М. Б. Карманова, “Субриманова формула коплощади для классов неконтактных отображений групп Карно”, Матем. заметки, 114:6 (2023), 940–944; Math. Notes, 115:3 (2024), 439

Цель данной заметки – описать метрические свойства множеств уровня классов неконтактных отображений. Мы рассматриваем модельный случай, когда отображение определено на группе Карно произвольной глубины и принимает значения на двухступенчатой группе Карно. Недавно в [1] автором описаны метрические свойства множеств уровня контактных отображений сублоренцевых структур, что является естественным продолжением исследований, начатых в [2] для гладких контактных отображений пространств Карно–Каратеодори. Однако, как показали исследования (см., например, [3], [4]), построение нетривиальных примеров контактных отображений является самостоятельной сложной задачей из-за жестких ограничений на структуру дифференциала: образы горизонтальных полей должны быть только горизонтальными или вырождаться. В свою очередь, примеров неконтактных отображений очень много: например, достаточно рассмотреть произвольное отображение класса $C^1$ двух групп Карно (здесь группы Карно можно рассмотреть как римановы многообразия), дифференциал которого не переводит горизонтальные поля в горизонтальные хотя бы в одной точке. Поэтому возникает вопрос: а возможно ли извлечь некоторые “субримановы” свойства для таких отображений? Подчеркнем, что, помимо независимого интереса актуальность этого вопроса подтверждает то, что результаты имеют перспективу быть использованными в дальнейшем при исследовании метрических свойств множеств уровня липшицевых во внутреннем смысле отображений, которые могут не быть дифференцируемы в классическом смысле на множестве положительной меры. В [5], [6] для классов таких отображений установлены субримановы аналоги дифференцируемости: аппроксимация почти всюду горизонтальными гомоморфизмами относительно внутренних метрик. Вопрос о метрических свойствах множеств уровня липшицевых во внутреннем смысле отображений групп Карно и более общих субримановых структур является в общем виде открытым, и его решения найдены только для ряда частных случаев; см., например, [7], [8] и др. При построении гладких аппроксимаций таких отображений свойство липшицевости теряется, и, следовательно, субриманова теория дифференцируемости к ним неприменима; см. также [9], где описана специфика результата сглаживания некоторых классов контактных отображений. Так как субримановы метрические свойства для контактных отображений выражаются в терминах субриманова дифференциала, то и вопрос о субримановых свойствах неконтактных отображений, которые не являются дифференцируемыми в субримановом смысле, является открытым.

В данной статье мы решим этот вопрос для модельного случая классов отображений групп Карно. Отметим, что рассматриваемая в статье задача продолжает начатые в [10] исследования. Однако, в отличие от [10] где аналог субриманова коэффициента коплощади описывается относительно легко, для нового случая его определение нетривиально и требует дополнительных исследований его единственности.

Прежде всего, приведем необходимые для формулировки результата термины.

Определение 1 [11]. Группой Карно (глубины $M$) называется связная односвязная стратифицированная группа Ли $\mathbb G$, алгебра Ли $V$ которой градуирована, т.е. представляется в виде $V=\bigoplus_{k=1}^MV_k$, $[V_1,V_k]=V_{k+1}$, $k=1,\dots,M-1$, $[V_1,V_M]=\{0\}$. Если базисное поле $X_l$ принадлежит $V_k$, то его степень $\operatorname{deg}X_l$ равна $k$, $l=1,\dots,N$, $k=1,\dots,M$. Число $M$ называется глубиной группы $\mathbb G$.

Обозначим топологическую размерность группы $\mathbb G$ символом $N$. Групповая операция определяется формулой Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа.

Опишем субриманов аналог расстояния между точками.

Хаусдорфова размерность $\mathbb G$ относительно $d_2$ равна $\sum_{k=1}^Mk\dim V_k$ и обозначается $\nu$.

Будем рассматривать отображения $\varphi\colon\Omega\to\widetilde{\mathbb G}$ класса $C^1$, матрица дифференциала которых имеет максимальный ранг и строго отделена от нуля на ортогональном дополнении ядра, $\Omega\subset\mathbb G$ – открытое множество группы Карно $\mathbb G$, $\widetilde{\mathbb G}$ – группа Карно глубины два топологической размерности $\widetilde{N}$ и хаусдорфовой размерности $\widetilde{\nu}$ и выполнено $\dim V_k>\dim\widetilde{V}_k$ для $k=1,2$.

Так как при $\dim V_1>\widetilde{N}$ задача фактически сводится к задаче из [10], то будем предполагать, что $\dim V_1\leqslant\widetilde{N}$.

Известно, что для контактных отображений в силу особенностей строения дифференциала сумма степеней $\widetilde{N}$ независимых некасательных векторов не может быть меньше $\widetilde{\nu}$. В точках, где субриманов аналог дифференциала невырожден, такая сумма совпадает с $\widetilde{\nu}$. В свою очередь, точка является характеристической тогда и только тогда, когда минимально возможная сумма степеней независимых некасательных в этой точке векторов строго больше $\widetilde{\nu}$. Это свойство мы возьмем за основу определения аналога характеристической точки для неконтактных отображений. Так как для неконтаткных отображений сумма степеней $\widetilde{N}$ независимых некасательных векторов не может быть меньше $\dim V_1+2(\widetilde{N}-\dim V_1)$, введем

Обозначим символом $D_1\varphi$ часть матрицы $D\varphi$, состоящую из первых $\dim V_1$ столбцов, а часть, состоящую из первых $\dim V_1+\dim V_{2}$ столбцов, обозначим символом $D_{2}\varphi$. Справедлива следующая

Из нее вытекает, что множество характеристических точек замкнуто. Далее будем рассматривать открытые множества, состоящие из нехарактеристических точек.

Обозначим символом $\mathcal B_{\widetilde{N}}$ набор базисных векторов, сумма степеней которых равна

Рассмотрим сначала матрицу $D_2\varphi$ и подействуем на нее слева ортогональным преобразованием $O_{\widetilde{N}}$ таким образом, чтобы первые $\dim V_1$ столбцов матрицы $O_{\widetilde{N}}D_2\varphi$ лежали в $\mathbb R^{\dim V_1}\times 0^{\widetilde{N}-\dim V_1}$. Тогда, во-первых, $\ker O_{\widetilde{N}}D_2\varphi=\ker D_2\varphi$ и, во-вторых, матрица $O_{\widetilde{N}}D_2\varphi$ имеет вид

Определение 5. В нехарактеристической точке $x$ рассмотрим матрицу $\widehat{D}^{\triangle}\varphi(x)$, равную

$$ \begin{equation*} \begin{pmatrix} [O_{\widetilde{N}}D_1\varphi] & 0_{\dim V_1\times(\widetilde{N}-\dim V_1)} & 0_{\dim V_1\times ({N}-\widetilde{N})} \\ 0_{(\widetilde{N}-\dim V_1)\times\dim V_1} & [O_{\widetilde{N}}(D_2\varphi\setminus D_1\varphi)_{\widetilde{N}- \dim V_1}O_{V_1,V_2}] & 0_{(\widetilde{N}-\dim V_1)\times({N}-\widetilde{N})} \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag $$

Эту матрицу будем называть дифференциалом $\varphi$ субриманова типа в точке $x$.

Следующий результат является одним из специфических для неконтактного случая. Дело в том, что при исследовании задачи возникла необходимость решения естественного вопроса о корректности такого преобразования и определения, так как способ получения $\widehat{D}^{\triangle}\varphi(x)$ из $D\varphi$ не является единственным.

Следующий результат описывает структуру ядра дифференциала и метрические свойства проходящих через нехарактеристические точки множеств уровня. Здесь и далее $\theta_x$ определено как $(y_1,\dots,y_N)\mapsto\exp\bigl(\sum_{j=1}^Ny_jX_j\bigr)(x)$, а $\{\mathbf e_k\}_{k=1}^N$ – стандартный базис в $\mathbb R^N$.

Теорема 2. Рассмотрим отображение $\varphi_x=\varphi\circ\theta_x$. Верны следующие утверждения.

1. Ядро $D\varphi_x(0)$ состоит из $\dim V_1+\dim V_2-\widetilde{N}$ векторов степени два, равных

$$ \begin{equation*} O_{V_1,V_2,E}\langle \mathbf w_k\rangle, \qquad\textit{где}\quad \mathbf w_k=\mathbf e_{k}+\widehat{w}_{k-\widetilde{N}}, \end{equation*} \notag $$

а $\widehat{w}_{k-\widetilde{N}}$ – результат такого вложения в $\mathbb R^N$ вектора

$$ \begin{equation*} w_{k-\widetilde{N}}=-[O_{\widetilde{N}}D_1\varphi]^{-1}O_{\widetilde{N}} D\varphi O_{V_1,V_2,E}\langle \mathbf e_{k}\rangle \qquad\textit{для}\quad k=\widetilde{N}+1,\dots,\dim V_1+\dim V_2, \end{equation*} \notag $$

что первые $\dim V_1$ координат образа (вектор $O_{\widetilde{N}}D\varphi O_{V_1,V_2,E}\langle \mathbf e_{k}\rangle$ можно считать элементом $\mathbb R^{\dim V_1}$) совпадают с соответствующими координатами данного вектора, а оставшиеся координаты, начиная с $\dim V_1+1$, равны нулю, и $N-(\dim V_1+\dim V_2)$ векторов степеней $3,\dots,M$, равных

$$ \begin{equation*} O_{V_1,V_2,E}\langle \mathbf w_k\rangle, \qquad\textit{где}\quad \mathbf w_k=\mathbf e_{k}+\widehat{w}_{k-\widetilde{N}}, \end{equation*} \notag $$

а $\widehat{w}_{k-\widetilde{N}}$ – результат такого вложения в $\mathbb R^N$ вектора

$$ \begin{equation*} w_{k-\widetilde{N}}= -[O_{\widetilde{N}}D_2\varphi O_{V_1,V_2}]_{\widetilde{N}}^{-1} O_{\widetilde{N}}D\varphi O_{V_1,V_2,E}\langle \mathbf e_{k}\rangle \end{equation*} \notag $$

для $k=\dim V_1+\dim V_2+1,\dots,N$, что первые $\widetilde{N}$ координат образа совпадают с соответствующими координатами данного вектора, а оставшиеся координаты, начиная с $\widetilde{N}+1$, равны нулю.

2. Вычисляемая через значение риманова тензора $\mathcal H^{N-\widetilde{N}}$-мера пересечения множества уровня $\varphi^{-1}(\varphi(x))$ и $\operatorname{Box}_2(0,r)$ равна

$$ \begin{equation*} \omega_{\mathbb G,\widetilde{\mathbb G}}\cdot \frac{\sqrt{\det{D\varphi(x)D\varphi(x)^*}}} {\sqrt{\det\bigl(\widehat{D}^{\triangle}\varphi(x)\widehat{D}^{\triangle} \varphi(x)^*\bigr)}}\cdot \sqrt{\det (g|_{\ker D\varphi(x)})}\cdot r^{\mu}\cdot (1+o(1)), \end{equation*} \notag $$

где

$$ \begin{equation*} \omega_{\mathbb G,\widetilde{\mathbb G}}= \omega_{\dim V_1+\dim V_2-\dim\widetilde{V}_1- \dim\widetilde{V}_2}\prod_{k=3}^M\omega_{\dim V_k}, \end{equation*} \notag $$

$g|_{\ker D\varphi(x)}$ – ограничение риманова тензора на $\ker D\varphi(x)$, а $o(1)\to0$ при $r\to0$ равномерно в некоторой окрестности.

Идея описания базиса ядра состоит в применении теоремы о неявной функции, а методы вывода выражения для меры пересечения используют как специфику установленных свойств дифференциала субриманова типа, так и подходы работы [2].

Из этой теоремы следует утверждение о хаусдорфовой размерности множеств уровня неконтактных отображений. Подчеркнем, что в отличие от контактного случая эта размерность строго больше разности (субримановых) хаусдорфовых размерностей прообраза и образа и она равна $\mu$.

Отсюда вытекает свойство абсолютной непрерывности мер $\mathcal H^{N-\widetilde{N}}$ и $\mathcal H^{\mu}$ одной относительно другой, а также их свойство удвоения. Поэтому [12] одну меру можно восстановить по другой через производную.

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Kar23}

\by М.~Б.~Карманова

\paper Субриманова формула коплощади для~классов~неконтактных отображений

групп Карно

\jour Матем. заметки

\yr 2023

\vol 114

\issue 6

\pages 940--944

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm14130}

\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm14130}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4716501}

\transl

\jour Math. Notes

\yr 2024

\vol 115

\issue 3

\pages 439--443

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434624030167}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85196127451}

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ