| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Аппроксимации интегралов типа Римана–Лиувилля на отрезке некоторыми методами, основанными на суммах Фурье–Чебышёва П. Г. Поцейко, Е. А. Ровба Гродненский государственный университет им. Я. Купалы, Республика Беларусь
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624070095 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеИзучение дифференциальных и интегральных уравнений, в которых производная неизвестной функции содержится в дробном порядке, является в настоящее время одним из актуальных направлений [1]. Оператор дробного дифференцирования Римана–Лиувилля [2]
$$
\begin{equation*}
(I_{+}^{\alpha}f)(t) =\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{a}^{t}\frac{f(\tau)\,d\tau}{(t-\tau)^{1-\alpha}}, \qquad t>a, \quad \alpha>0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Gamma(\cdot)$ – гамма-функция Эйлера, нашел широкое применение в различных областях науки и техники [3], [4]. Ряд задач механики жидкости, химии, физики и других научных направлений описываются моделями с помощью математических инструментов из теории дробного исчисления. Как правило, аналитическое решение этих задач является затруднительным, поэтому актуальными являются разработки приближенных методов решения. Известно [5]–[8], что для использования оператора Римана–Лиувилля на практике исследователи задействуют его представление средствами численного анализа. Функции, представимые интегралом Римана–Лиувилля, широко используются в теории полиномиальной аппроксимации [9], [10]. При этом с их помощью были найдены новые классы непрерывных функций, на которых скорость равномерной рациональной аппроксимации является выше соответствующих полиномиальных аналогов [11]–[16]. Вместе с тем в аппроксимациях интегралов Римана–Лиувилля ряды Фурье используются эпизодически. Ряды Фурье–Чебышёва достаточно хорошо изучены, обладают рядом замечательных свойств и используются при решении различных задач математики и физики [17]–[20]. Ганзбургом [21] (см. также Бадков [22; с. 33]) найдено асимптотическое выражение точных верхних граней уклонений частичных сумм ряда Фурье–Чебышёва на классах $H_\omega[-1,1]$ функций $f(x)$, заданных на отрезке $[-1,1]$, для которых выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
|f(x')-f(x'')|\leqslant \omega(|x'-x''|), \qquad x', x'' \in [-1,1],
\end{equation*}
\notag
$$
$\omega(t)$ – выпуклый модуль непрерывности. В работе Селивановой [23] установлено асимптотическое выражение точной верхней грани уклонений частичных сумм ряда Фурье–Чебышёва на классах $W^{(a)}K[-1,1]$ функций $f(x)$, определенных на отрезке $[-1,1]$ и имеющих на нем производную $f^{(a)}(x)$ порядка $a$, удовлетворяющую неравенству $|f^{(a)}(x)| \leqslant K$, $K$ – константа. Отметим также работу Тимана и Тучинского [24], в которой получены асимптотические выражения точных верхних граней уклонений частичных сумм ряда Фурье–Чебышёва на классах $W^{(r)}H^{(\alpha)}M[-1,1]$ функций $f(x)$, определенных на отрезке $[-1,1]$ и имеющих на нем производную $f^{(r)}(x)$, $r \geqslant 0$, удовлетворяющую условию Липшица степени $\alpha$, $\alpha \in [0,1)$, с данной константой $M$. Райцин [25] получил асимптотическое выражение приближений функций, задаваемых в некотором смысле обобщениями интегралов Римана–Лиувилля частичными суммами ряда Фурье–Чебышёва в интегральной метрике. В работе [26] найдены значения дробной производной в смысле Римана–Лиувилля методом разложения в ряд Фурье–Чебышёва и применения правила неопределенных квадратур. В цитируемых выше работах оценки приближений достигались за счет аппроксимации ядра интеграла Римана–Лиувилля. В работах Горской и Галимянова [27], [28] разработаны методы приближенного вычисления интегралов Римана–Лиувилля на числовой прямой при помощи рядов Фурье по системам ортогональных с весом на вещественной оси функций. Отличительной особенностью этих исследований является аппроксимация плотности интеграла, когда она принадлежит различным классам непрерывных на вещественной оси функций. Такой способ аппроксимации интегралов Римана–Лиувилля, на наш взгляд, мало исследован и представляет научный интерес. В работе изучаются аппроксимации интегралов типа Римана–Лиувилля на отрезке $[-1,1]$ методом, основанным на представлении его плотности частичными суммами Фурье–Чебышёва. Устанавливается интегральное представление приближений. Получены оценки поточечных и равномерных приближений в случае, когда плотность принадлежит некоторым классам непрерывных функций на отрезке. 2. Приближения интегралов типа Римана–Лиувилля на отрезкеИсследуем аппроксимации функций, допускающих на отрезке $[-1,1]$ представление
$$
\begin{equation}
f(x)=\frac{1}{\Gamma(a)}\int_{-1}^{x}(x-t)^{a-1}\varphi(t)\,\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}, \qquad x \in [-1,1], \quad a \geqslant 1,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где функция $\varphi(t) \in C[-1,1]$. Когда $a \in \mathbb{N}$, из (2.1) следует т.е. плотность $\varphi(x)$ представляет собой $a$-ю производную функции $f(x)$, умноженную на $\sqrt{1-x^2}$. Предположим, что плотность интеграла (2.1) представляется рядом Фурье–Чебышёва:
$$
\begin{equation}
\varphi(t)=\frac{c_0}{2}+\sum_{k=1}^{+\infty}c_k T_k(t), \qquad c_k=\frac{2}{\pi}\int_{-1}^{+1}\varphi(y)T_k(y)\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}, \quad k=0,1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Введем обозначения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widetilde{\varepsilon}_n(\varphi,x) =f(x)-\widetilde{s}_n(\varphi,x), \qquad x \in [-1,1], \\ \notag \widetilde{\varepsilon}_n(\varphi)=\bigl\|f(x)-\widetilde{s}_n(\varphi,x)\bigr\|_{C[-1,1]}, \qquad n \in \mathbb{N}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где
$$
\begin{equation}
\widetilde{s}_n(\varphi,x)=\frac{1}{\Gamma(a)}\int_{-1}^{x}(x-t)^{a-1}s_n(\varphi,t)\,\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}, \qquad x \in [-1,1],
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
$s_n(\varphi,t)$ представляет собой частичную сумму ряда Фурье–Чебышева (2.2) порядка $n$. В следующей теореме устанавливается интегральное представление величины $\widetilde{\varepsilon}_n(\varphi,x)$. Теорема 1. Для приближений (2.3) образом сумм Фурье–Чебышёва (2.4) порядка $n$, $n+2-a>0$, справедливо интегральное представление Доказательство. Воспользуемся известным [19] интегральным представлением частичных сумм ряда Фурье–Чебышёва
$$
\begin{equation*}
s_n(\varphi,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\varphi(\cos v)D_n(v,\tau)\,dv, \qquad t=\cos \tau, \quad n=0,1,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
D_n(v,\tau) =\frac{\sin(n+1/2)(v-\tau)}{\sin((v-\tau)/2)} +\frac{\sin(n+1/2)(v+\tau)}{\sin((v+\tau)/2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим его в (2.4) и, пользуясь теоремой Фубини, поменяем порядок интегрирования. Тогда
$$
\begin{equation}
\widetilde{s}_n(f,x)=\frac{1}{2\pi \Gamma(a)}\int_{0}^{\pi}\varphi(\cos v)I_n(v,x)\,dv,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где
$$
\begin{equation*}
I_n(v,x)=\int_{-1}^{x}(x-t)^{a-1}D_n(v,\tau)\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}, \qquad t=\cos \tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Преобразуем выражение $I_n(v,x)$. Выполнив под знаком интеграла замену переменного интегрирования по формуле $t=\cos \tau$ и положив при этом $x=\cos \theta$, получим
$$
\begin{equation*}
I_n(v,x)=\int_{\theta}^{\pi}(\cos \theta-\cos \tau)^{a-1}D_n(v,\tau)\,d\tau, \qquad \theta \in [0,\pi].
\end{equation*}
\notag
$$
Подынтегральная функция является четной по переменному интегрирования, поэтому
$$
\begin{equation*}
I_n(v,x)=\frac{1}{2}\int_{[-\pi,-\theta] \sqcup [\theta,\pi]}(\cos \theta-\cos \tau)^{a-1}D_n(v,\tau)\,d\tau, \qquad \theta \in [0,\pi].
\end{equation*}
\notag
$$
В полученном интеграле выполним замену переменного по формуле $z=\mathrm{e}^{ i \tau}$, положив при этом $\xi=\mathrm{e}^{ i \theta}$, $\zeta=\mathrm{e}^{ i v}$. В этом случае интеграл примет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I_n(v,x) &=\frac{(-1)^{1-a}}{2^a i}\int_{\Gamma}(z-\xi)^{a-1}(z-\overline{\xi})^{a-1}z^{-a} \\ &\qquad \times\biggl[\frac{z^{n+1}\overline{\zeta}^n-\zeta^{n+1}\overline{z}^n}{z-\zeta}- \frac{z^{n+1}\zeta^n-\overline{z}^n \overline{\zeta}^{n+1}}{z-\overline{\zeta}}\biggr]\,dz, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где $\Gamma$ – дуга единичной окружности от точки $\xi$ до точки $\overline{\xi}$, обходимая против часовой стрелки (см. рис. 1).
Разобьем интеграл в (2.7) на четыре интеграла, соответственно слагаемым в квадратной скобке. Отметим, что в интеграле (2.7) значения $z=\zeta$ и $z=\overline{\zeta}$ представляют собой устранимые особые точки, поскольку являются нулями числителей в соответствующих дробях. Однако для каждого интеграла по отдельности они уже будут представлять собой простые полюсы. Воспользуемся методикой вывода параметра с контура интегрирования внутрь единичного круга, предложенной Русаком [29]. Будем полагать, что $\zeta=\rho \mathrm{e}^{i v}$, $\rho \in (0,1)$. Тогда
$$
\begin{equation}
I_n(v,x)=\frac{(-1)^{1-a}}{2^a i} [\overline{\zeta}^n I_n^{(1)}-\zeta^{n+1} I_n^{(2)} +\zeta^{n} I_n^{(3)}-\overline{\zeta}^{n+1}I_n^{(4)}],
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_n^{(1)}&=\int_{\Gamma}(z-\xi)^{a-1}(z-\overline{\xi})^{a-1}\,\frac{z^{n+1-a}\,dz}{z-\zeta}, \\ I_n^{(2)}&=\int_{\Gamma}(z-\xi)^{a-1}(z-\overline{\xi})^{a-1}\,\frac{dz}{(z-\zeta)z^{n+a}}, \\ I_n^{(3)}&=\int_{\Gamma}(z-\xi)^{a-1}(z-\overline{\xi})^{a-1}\frac{z^{n+1-a}\,dz}{z-\overline{\zeta}}, \\ I_n^{(4)}&=\int_{\Gamma}(z-\xi)^{a-1}(z-\overline{\xi})^{a-1}\,\frac{dz}{(z-\overline{\zeta})z^{n+a}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что в случае, когда параметр $a \geqslant 1$ не является натуральным, подынтегральные функции каждого из интегралов имеют точки ветвления $z=0$, $z= \xi$ и $z=\overline{\xi}$. Если же $a=1,2,\dots$, то подынтегральные функции представляют собой рациональные функции от переменного интегрирования и рассуждения в этом случае являются более простыми. Поскольку, очевидно, приближения (2.3) будут иметь при этом аналогичное интегральное представление, будем полагать, что $a \in [1,+\infty) \setminus \mathbb{N}$. Исследуем каждый из четырех интегралов по отдельности. Так, для интеграла $I_n^{(1)}$ зафиксируем параметр $\xi$ и рассмотрим область $D$ (см. рис. 1), ограниченную контуром
$$
\begin{equation*}
C=C_1 \cup C_{\delta_1} \cup \Gamma' \cup C_{\delta_2} \cup C_2^{-} \cup C_\delta^{-},
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_1=\{z\colon z=\xi t,\, t \in [\delta,1-\delta_1]\}$, $C_{\delta_1}$ – дуга окружности $|z-\xi|=\delta_1$, $\delta_1>0$, от точки пересечения с лучом $z=\xi t$, $t \in (0,\infty)$, до точки пересечения с единичной окружностью, обходимая по часовой стрелке, $C_{\delta_2}$ – дуга окружности $|z-\overline{\xi}|=\delta_2$, $\delta_2> 0$, до точки пересечения с единичной окружностью до точки пересечения с лучом $z=\overline{\xi} t$, $t \in (0,\infty)$, обходимая по часовой стрелке, $\Gamma'$ – часть дуги $\Gamma$ между точками пересечения с окружностями $C_{\delta_1}$ и $C_{\delta_2}$, $C_2=\{z\colon z=\overline{\xi} t,\,t \in [\delta,1-\delta_2]\}$, $C_\delta=\{z\colon z=\delta \mathrm{e}^{i \tau},\,\tau \in [\theta,2\pi-\theta]\}$. В указанной области подынтегральная функция интеграла $I_n^{(1)}$
$$
\begin{equation*}
\psi_1(z,\xi)=\frac{z^n}{z-\zeta} g_a(z,\xi), \qquad g_a(z,\xi)=\bigl((z-\xi)(1-\overline{\xi z})\bigr)^{a-1}
\end{equation*}
\notag
$$
распадается на регулярные ветви $g_a(1,\xi)=(2\mathrm{e}^{i \pi k}\sin \theta/2)^{2(a-1)}$, $ k \in \mathbb{Z}$. Выделив ту ветвь, для которой выполняется условие $g_a^{*}(1,\xi)=(2\sin \theta/2)^{2(a-1)}$, подынтегральная функция регулярна в рассматриваемой области. Применив основную теорему о вычетах, получим
$$
\begin{equation*}
\biggl(\int_{C_1}+\int_{C_{\delta_1}}+\int_{\Gamma'}+\int_{C_{\delta_2}}+\int_{C_2^{-}}+\int_{C_\delta^{-}}\biggr)\psi_1(z,\xi)\,dz=R(\zeta,\xi),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
R(\zeta,\xi)= \begin{cases} 2 \pi i(\zeta-\xi)^{a-1} (\zeta-\overline{\xi})^{a-1}\zeta^{n+1-a}, &|v| \geqslant \theta, \\ 0, &|v| < \theta. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Рассмотрим интеграл по дуге $C_\delta$. Выполнив замену переменного по формуле $z=\delta \mathrm{e}^{i \tau}$, получим
$$
\begin{equation*}
\int_{C_\delta^{-}}\psi_1(z,\xi)\,dz =i \delta^{n-a+2}\int_{-\theta}^{\theta} \frac{(\delta \mathrm{e}^{i \tau}-\overline{\xi})^{a-1}(\delta \mathrm{e}^{i \tau}-\xi)^{a-1}\mathrm{e}^{i \tau(n-a+2)}d\tau} {\delta \mathrm{e}^{i \tau}-\zeta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно заметить, что при $\delta \to 0$ и $n-a+2>0$ исследуемый интеграл обращается в нуль. Рассуждая аналогичным образом, убеждаемся, что при $\delta_1 \to 0$ и $\delta_2 \to 0$ интегралы дугам $C_{\delta_1}$ и $C_{\delta_2}$ также обращаются в нуль. При этом получим
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{\xi}\psi_1(z,\xi)\,dz +I_n^{(1)}+\int_{\overline{\xi}}^{0}\psi(z,\xi)\,dz=R(\zeta,\xi),
\end{equation*}
\notag
$$
где первый и третий интегралы берутся по соответствующим лучам комплексной плоскости. В первом интеграле выполним замену переменного интегрирования по формуле $z=\xi t$, а в третьем $z=\overline{\xi} t$. Тогда после некоторых вычислений придем к выражению
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I_n^{(1)} &=-\int_{0}^{1}{ (t-1)^{a-1} t^{n+1-a}} \\ &\qquad\times \biggl[\frac{\xi^{n+1}(\xi t-\overline{\xi})^{a-1}}{\xi t-\zeta} -\frac{\overline{\xi}^{n+1}(\overline{\xi} t-\xi)^{a-1}}{\overline{\xi}t-\zeta}\biggr]\,dt +R(\zeta,\xi). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Рассмотрим интеграл $I_n^{(2)}$. Аналогично как и в случае с интегралом $I_n^{(1)}$, зафиксируем параметр $\xi$ и рассмотрим область $D$, ограниченную контуром (рис. 2)
$$
\begin{equation*}
C=C_{\delta_1} \cup C_1 \cup C_R \cup C_2^{-} \cup C_{\delta_2} \cup \Gamma',
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_{\delta_1}$ – дуга окружности $|z-\xi|=\delta_1$, $\delta_1>0$, от точки пересечения с единичной окружностью до точки пересечения с лучом $z=\xi t$, $t \in (0,\infty)$, обходимая по часовой стрелке, $C_1=\{z \colon z=\xi t,\,t \in [1+\delta_1,R]\}$, $C_R=\{z \colon z=R \mathrm{e}^{i \tau},\,\tau \in [\theta,2\pi-\theta] \}$, $C_{\delta_2}$ – дуга окружности $|z-\overline{\xi}|=\delta_2$, $\delta_2>0$, от точки пересечения с лучом $z=\overline{\xi} t$, $t \in (0,\infty)$, до точки пересечения с единичной окружностью, обходимая по часовой стрелке, $C_2=\{z \colon z=\overline{\xi} t,\, t \in [1+\delta_2,R]\}$, $\Gamma'$ – часть дуги $\Gamma$ между точками пересечения с окружностями $C_{\delta_1}$ и $C_{\delta_2}$. В указанной области подынтегральная функция интеграла $I_n^{(2)}$
$$
\begin{equation*}
\psi_2(z,\xi)=\frac{1}{(z-\zeta)z^{n+1}} g_a(z,\xi), \qquad g_a(z,\xi)=((z-\xi)(1-\overline{\xi z}))^{a-1}
\end{equation*}
\notag
$$
распадается на регулярные ветви $g_a(1,\xi)=(2\mathrm{e}^{i \pi k}\sin \theta/2)^{2(a-1)}$, $ k \in \mathbb{Z}$. Выделив ту ветвь, для которой выполняется условие $g_a^{*}(1,\xi)=(2\sin \theta/2)^{2(a-1)}$, подынтегральная функция регулярна в рассматриваемой области. Применив интегральную теорему Коши, получим
$$
\begin{equation}
\biggl(\int_{C_{\delta_1}}+\int_{C_1}+\int_{C_R}+\int_{C_2^{-}}+\int_{C_{\delta_2}}+\int_{\Gamma'}\biggr) \psi_2(z,\xi)\,dz=0.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Рассмотрим интеграл по дуге $C_R$. Выполнив в интеграле замену переменного по формуле $z=R \mathrm{e}^{i \tau}$, нетрудно получить, что
$$
\begin{equation*}
\int_{C_R}\psi_2(z,\xi)\,dz=\frac{i}{R^{n+2-a}}\int_{\theta}^{-\theta} \frac{\mathrm{e}^{i \tau(1-n-a)}\,d\tau}{(\mathrm{e}^{i \tau}-\zeta/R)(\mathrm{e}^{i \tau}-\xi/R)^{1-a} (\mathrm{e}^{i \tau}-\overline{\xi}/R)^{1-a}}.
\end{equation*}
\notag
$$
При выполнении условий $n+2-a>0$ в пределе при $R \to \infty$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
\int_{C_R}\psi_2(z,\xi)\,dz\ =-\frac{2i\sin(n+2-a)\theta}{(n+2-a)R^{n+2-a}}\underset{R \to \infty}{\longrightarrow} 0.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом из (2.11) находим
$$
\begin{equation*}
I_n^{(2)}=\biggl(\int_{\xi}^{\xi\infty}+\int_{\overline{\xi}\infty}^{\overline{\xi}}\biggr)\psi_2(z,\xi)\,dz,
\end{equation*}
\notag
$$
где интегрирование ведется по соответствующим лучам в комплексной плоскости. В первом из интегралов слева выполним замену переменного по формуле $z=\xi t$, а во втором по формуле $z=\overline{\xi} t$. Тогда
$$
\begin{equation*}
I_n^{(2)} =\int_{+\infty}^{1}\frac{1}{(t-1)^{1-a}t^{n+a}} \biggl[\frac{\xi^n (\overline{\xi}t-\xi)^{a-1}}{\overline{\xi}t-\zeta} -\frac{\overline{\xi}^n (\xi t-\overline{\xi})^{a-1}}{{\xi}t-\zeta}\biggr]\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Еще одной заменой по формуле $t \mapsto 1/t$ интеграл справа приводится к виду
$$
\begin{equation}
I_n^{(2)} =-\int_{0}^{1} (1-t)^{a-1} t^{n+1-a} \biggl[\frac{\xi^n (\overline{\xi}-\xi t)^{a-1}}{\overline{\xi}-\zeta t} -\frac{\overline{\xi}^n (\xi -\overline{\xi}t)^{a-1}}{\xi-\zeta t}\biggr]\,dt.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Рассуждая в отношении оставшихся двух интегралов аналогичным образом, получаем, что
$$
\begin{equation}
I_n^{(3)}=-\int_{0}^{1} (t-1)^{a-1} t^{n+1-a} \biggl[\frac{\xi^{n+1} (\xi t-\overline{\xi})^{a-1}}{\xi t-\overline{\zeta}} -\frac{\overline{\xi}^{n+1}(\overline{\xi} t-\xi)^{a-1}}{\overline{\xi}t-\overline{\zeta}}\biggr]\,dt,
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
$$
\begin{equation}
I_n^{(4)}=-\int_{0}^{1}(1-t)^{a-1} t^{n+1-a} \biggl[\frac{\xi^{n} ( \overline{\xi}-\xi t)^{a-1}}{\overline{\xi} -\overline{\zeta} t} -\frac{\overline{\xi}^{n}( \xi-\overline{\xi} t)^{a-1}}{{\xi}-\overline{\zeta} t}\biggr]\,dt-\zeta R(\zeta,\xi),
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
где $R(\zeta,\xi)$ из (2.9). Интегральные представления (2.10), (2.12)–(2.14) получены в предположении, что $\zeta=\rho \mathrm{e}^{i v}$, $\rho \in (0,1)$. Из приведенных выше рассуждений вытекает, что они справедливы также и при $\rho \to 1$. При этом из (2.8) после соответствующих преобразований приходим к выражению
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_n(v,x) &=\frac{2^{1-a}}{ i}\int_{0}^{1}(1-t)^{a-1} t^{n+1-a} \biggl[\biggl(\frac{\xi}{\zeta}\biggr)^{n+1} \frac{(\xi t -\overline{\xi})^{a-1}}{1-\frac{\xi}{\zeta} t} -\biggl(\frac{\zeta}{\xi}\biggr)^{n+1}\frac{(\overline{\xi} t-\xi)^{a-1}}{1-(\zeta/\xi) t} \\ &\quad +\frac{ (\xi \zeta)^{n+1} (\xi t -\overline{\xi})^{a-1} }{1-\xi \zeta t} -\frac{(\overline{\xi} t-\xi)^{a-1}}{(\xi \zeta)^n (\xi \zeta-t)}\biggr]\,dt+R_1(v,\theta), \qquad \xi=\mathrm{e}^{ i \theta}, \quad \zeta=\mathrm{e}^{ i v}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
R_1(v,\theta) =\begin{cases} 2\pi (\cos \theta-\cos v)^{a-1}, &v \in [\theta,\pi] \sqcup [-\pi,-\theta], \\ 0, &v \in [-\theta,\theta]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (2.6) и последнего представления получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{s}_n(\varphi,x) &=\frac{1}{\Gamma(a)}\int_{\theta}^{\pi}(\cos \theta-\cos v)^{a-1}{\varphi(\cos v)\,dv} \\ &\qquad +\frac{1}{2^a\pi \Gamma(a)i}\int_{0}^{\pi}f(\cos v)\int_{0}^{1}(1-t)^{a-1} t^{n+1-a} \biggl[\biggl(\frac{\xi}{\zeta}\biggr)^{n+1}\frac{(\xi t -\overline{\xi})^{a-1}}{1-(\xi/\zeta) t} \\ &\qquad -\biggl(\frac{\zeta}{\xi}\biggr)^{n+1} \frac{(\overline{\xi} t-\xi)^{a-1}}{1-\frac{\zeta}{\xi} t} +\frac{ (\xi \zeta)^{n+1}(\xi t -\overline{\xi})^{a-1}}{(1-\xi \zeta t)} -\frac{(\overline{\xi} t-\xi)^{a-1}}{(\xi \zeta)^n (\xi \zeta-t)}\biggr]\,dt\,dv. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Первое слагаемое справа представляет собой интеграл Римана–Лиувилля (2.1). Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{\varepsilon}_n(\varphi,x) &= -\frac{1}{2^a\pi \Gamma(a)i}\int_{0}^{\pi}\varphi(\cos v)\int_{0}^{1}(1-t)^{a-1} t^{n+1-a} \biggl[\biggl(\frac{\xi}{\zeta}\biggr)^{n+1} \frac{(\xi t -\overline{\xi})^{a-1}}{1-(\xi/\zeta) t} \\ &\qquad -\biggl(\frac{\zeta}{\xi}\biggr)^{n+1} \frac{(\overline{\xi} t-\xi)^{a-1}}{1-\frac{\zeta}{\xi} t} +\frac{ (\xi \zeta)^{n+1} (\xi t -\overline{\xi})^{a-1} }{1-\xi \zeta t} -\frac{(\overline{\xi} t-\xi)^{a-1}}{(\xi \zeta)^n (\xi \zeta-t)}\biggr]\,dt\,dv. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Разбивая внешний интеграл на два интеграла соответственно слагаемым в квадратной скобке, и выполнив, затем, необходимые замены переменных интегрирования, нетрудно перейти к следующему интегральному представлению:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\widetilde{\varepsilon}_n(\varphi,x) =\frac{1}{2^a\pi \Gamma(a)i}\int_{-\pi}^{\pi}\varphi(\cos v)\int_{0}^{1}(1-t)^{a-1}t^{n+1-a} \\ &\qquad\qquad \times\biggl[\biggl(\frac{\zeta}{\xi}\biggr)^{n+1} \frac{\biggl(\overline{\xi} t-\xi\biggr)^{a-1}}{1-(\zeta/\xi) t} -\biggl(\frac{\xi}{\zeta}\biggr)^{n+1}\frac{(\xi t -\overline{\xi})^{a-1}}{1-(\xi/\zeta) t}\biggr]\,dt\,dv, \qquad \xi=\mathrm{e}^{ i \theta}, \quad \zeta=\mathrm{e}^{ i v}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Выражения в квадратных скобках, являются взаимно комплексно-сопряженными. Следовательно, их разность представляет собой удвоенный синус некоторого угла, умноженный на модуль этих выражений. Учитывая сказанное, для того, чтобы прийти к (2.5), достаточно выполнить соответствующие преобразования и воспользоваться $2\pi$-периодичностью подынтегральной функции внешнего интеграла. Теорема 1 доказана. Теорема 2. Если $\max_{|x|\leqslant 1}|\varphi(x)|=K$, то равномерно относительно всех $x \in [-1,1]$ справедлива оценка сверху Доказательство. Воспользовавшись интегральным представлением приближений (2.5) и заметив, что подынтегральная функция является $2\pi$-периодической по переменному $v$, нетрудно получить, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\widetilde{\varepsilon}_n(\varphi,x)| &\leqslant\frac{K}{2^{a-1}\pi \Gamma(a)} \\ &\quad \times\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\frac{(1-t)^{a-1}(1-2t\cos 2\theta+t^2)^{(a-1)/2} t^{n+1-a}}{\sqrt{1-2t\cos v+t^2}}|\sin \psi_n(x,t,v)|\,dt\,dv, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где величина $\psi_n(x,t,v)$ определена в (2.5).
Внешний интеграл представим в виде суммы трех интегралов по промежуткам $[0,1/n]$, $[1/n,2\pi-1/n]$ и $[2\pi-1/n,2\pi]$, так что
$$
\begin{equation}
|\widetilde{\varepsilon}_n(\varphi,x)| \leqslant \frac{K}{2^{a-1}\pi \Gamma(a)}(I_n^{(1)}+I_n^{(2)}+I_n^{(3)}),
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_n^{(1)} &=\int_{0}^{1/n}\int_{0}^{1} \frac{(1-t)^{a-1}(1-2t\cos 2\theta+t^2)^{(a-1)/2} t^{n+1-a}}{\sqrt{1-2t\cos v+t^2}}|\sin \psi_n(x,t,v)|\,dt\,dv, \\ I_n^{(2)} &=\int_{1/n}^{2\pi-1/n} \int_{0}^{1}\frac{(1-t)^{a-1}(1-2t\cos 2\theta+t^2)^{(a-1)/2} t^{n+1-a}}{\sqrt{1-2t\cos v+t^2}}|\sin \psi_n(x,t,v)|\,dt\,dv, \\ I_n^{(3)} &=\int_{2\pi-1/n}^{2\pi} \int_{0}^{1}\frac{(1-t)^{a-1}(1-2t\cos 2\theta+t^2)^{(a-1)/2} t^{n+1-a}}{\sqrt{1-2t\cos v+t^2}}|\sin \psi_n(x,t,v)|\,dt\,dv. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Исследуем каждый из трех интегралов по отдельности. Так, для интеграла $I_n^{(1)}$ справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
|I_n^{(1)}| \leqslant\frac{1}{n}\int_{0}^{1}{(1-t)^{a-2}(1-2t\cos 2\theta+t^2)^{(a-1)/2} t^{n+1-a}}\,dt, \qquad a > 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Для исследования асимптотического поведения при $n \to \infty$ интеграла справа воспользуемся методом Лапласа [30], [31]. Зафиксируем величину $\theta, \theta \in [0,\pi]$, после чего последнее соотношение запишем в виде
$$
\begin{equation*}
|I_n^{(1)}| \leqslant\frac{1}{n}\int_{0}^{1}g_a(t,x)\mathrm{e}^{(n+1-a)\ln t}\,dt, \qquad g_a(t,x) =(1-t)^{a-2}(1-2t\cos 2\theta+t^2)^{(a-1)/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что $\ln t=t-1+o(t-1)$, $t \to 1$, а также асимптотическое равенство
$$
\begin{equation*}
g_a(t,x)\sim (2\sin \theta)^{a-1}(1-t)^{a-2}, \qquad t \to 1,
\end{equation*}
\notag
$$
при некотором достаточно малом $\varepsilon >0$ и $n \to \infty$ получим
$$
\begin{equation*}
|I_n^{(1)}| \leqslant \frac{(2\sin \theta)^{a-1}}{n}(1+o(1)) \int_{1-\varepsilon}^{1}(1-t)^{a-2}\mathrm{e}^{(n+1-a)(t-1)}\,dt, \qquad n \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Выполнив в интеграле справа несложные преобразования, придем к асимптотическому равенству
$$
\begin{equation}
|I_n^{(1)}| \leqslant\frac{(2\sin \theta)^{a-1}\Gamma(a-1)}{n^a}(1+o(1)) \qquad n \to \infty.
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Во внешнем интеграле выражения $I_n^{(3)}$ выполним замену переменного по формуле $2\pi-v \mapsto v$. Ввиду $2\pi$-периодичности подынтегральной функции нетрудно убедиться, что
$$
\begin{equation}
|I_n^{(3)}| \leqslant \frac{(2\sin \theta)^{a-1}\Gamma(a-1)}{n^a}(1+o(1)) \qquad n \to \infty.
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Займемся выражением $I_n^{(2)}$. Применив для исследования асимптотического поведения при $n \to \infty$ его внутреннего интеграла метод Лапласа, получим
$$
\begin{equation}
I_n^{(2)}=\frac{(2\sin \theta)^{a-1}\Gamma(a)}{n^a}A_n^{(a)}(1+o(1)), \qquad x=\cos \theta,
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
где
$$
\begin{equation*}
A_n^{(a)} =\int_{1/n}^{2\pi-1/n}\biggl|\frac{\sin((n+1/2)v+3a\pi/2)}{2 \sin (v/2)}\biggr|\,dv, \qquad a > 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Асимптотическое поведение интеграла $A_n^{(a)}$ было исследовано в работе Пинкевича [32]. Воспользовавшись результатами этой работы, заключаем, что
$$
\begin{equation*}
A_n^{(a)}=\frac{4}{\pi} \ln n+O(1), \qquad n \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего асимптотического равенства и соотношения (2.20) получим
$$
\begin{equation}
I_n^{(2)} =\frac{4(2 \sin \theta)^{a-1}\Gamma(a)}{\pi}\frac{\ln n}{n^a}(1+o(1)), \qquad x=\cos \theta, \quad n \to \infty.
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Из равенства (2.17) с учетом оценок (2.18), (2.19) и асимптотического равенства (2.21) получим (2.16). Теорема 2 доказана. 3. Оценка приближений интегралов типа Римана–Лиувилля с плотностью, удовлетворяющей условию ЛипшицаИзучим величину (2.3), когда плотность $\varphi(x) $ принадлежит классу $ H^{(\gamma)}[-1,1]$, $\gamma \in (0,1]$, функций, удовлетворяющих на отрезке $[-1,1]$ условию Липшица степени $\gamma$ с константой единица, т.е. условию
$$
\begin{equation*}
|\varphi(x_1)-\varphi(x_2)| \leqslant |x_1-x_2|^\gamma, \qquad x_1,x_2 \in [-1,1].
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 3. Если плотность $\varphi \in H^{(\gamma)}[-1,1], \gamma \in (0,1]$, то равномерно для всех $x \in [-1,1]$ при $a >1$ для приближений $\widetilde{\varepsilon}_n(f,x)$ имеет место оценка сверху Доказательство. Очевидно, что $\widetilde{\varepsilon}_n(1,x)=0$, поэтому интегральное представление (2.5) можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\varepsilon}_n(\varphi,x)= \frac{2^{1-a}}{\pi \Gamma(a)}\int_{-\pi}^{\pi}(\varphi(\cos (v+\theta))-\varphi(\cos \theta))J_n(x,v)\,dv, \qquad x=\cos \theta,
\end{equation*}
\notag
$$
где величина $J_n(x,v)$ представляет внутренний интеграл в (2.5). Его асимптотическая оценка найдена при доказательстве теоремы 2 и указана в соотношении (2.18). Воспользовавшись ею, получим при $n \to \infty$
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\varepsilon}_n(\varphi,x)= \frac{(\sin \theta)^{a-1}(1+o(1))}{2 \pi (n+1-a)^a} \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\varphi(\cos (v+\theta)) -\varphi(\cos \theta)}{\sin(v/2)}\sin\biggl(\biggl(n+\frac{1}{2}\biggr)v+\frac{3a\pi}{2}\biggr)\,dv.
\end{equation*}
\notag
$$
Для исследования интеграла справа применим метод, введенный Бесовым [33], [34]. Учитывая, что подынтегральная функция является $2\pi$-периодической по переменному интегрированию, запишем где $\lambda=n+{1}/{2}$.
Выполнив в интеграле замену переменного по формуле $v \mapsto v -\pi/\lambda$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\varepsilon}_n(\varphi,x) =-\frac{(\sin \theta)^{a-1}(1+o(1))}{2 \pi (n+1-a)^a} \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\varphi(\cos (v+\theta+\pi/\lambda))-\varphi(\cos \theta)}{\sin((v+\pi/\lambda)/2)} \sin\biggl(\lambda v+\frac{3a\pi}{2}\biggr)\,dv.
\end{equation*}
\notag
$$
И, следовательно, интегральное представление приближений примет вид
$$
\begin{equation}
\widetilde{\varepsilon}_n(\varphi,x)= \frac{(\sin \theta)^{a-1}}{4 \pi(n+1-a)^a}B_n^{(a)}(\varphi)(1+o(1)), \qquad x=\cos \theta,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, B_n^{(a)}(\varphi) =\int_{0}^{2\pi}[\psi_\theta(v)-\psi_\theta(v+\frac{\pi}{\lambda})] \sin\biggl(\lambda v+\frac{3a\pi}{2}\biggr)\,dv, \qquad\lambda=n+\frac{1}{2}, \\ \psi_\theta(v) =\frac{\varphi(\cos(v+\theta))-\varphi(\cos \theta)}{\sin(v/2)}, \qquad x=\cos \theta. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Исследуем асимптотическое поведение величины $B_n^{(a)}(\varphi)$ при $n \to \infty$. С этой целью представим ее в виде где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_{1}=\int_{0}^{\pi/\lambda} \biggl[\psi_\theta(v)-\psi_\theta\biggl(v+\frac{\pi}{\lambda}\biggr)\biggr] \sin\biggl(\lambda v+\frac{3a\pi}{2}\biggr)\,dv, \\ I_{2}=\int_{\pi/\lambda}^{2\pi-\pi/\lambda} \biggl[\psi_\theta(v)-\psi_\theta\biggl(v+\frac{\pi}{\lambda}\biggr)\biggr] \sin\biggl(\lambda v+\frac{3a\pi}{2}\biggr)\,dv, \\ I_{3}=\int_{2\pi-\pi/\lambda}^{2\pi} \biggl[\psi_\theta(v)-\psi_\theta\biggl(v+\frac{\pi}{\lambda}\biggr)\biggr] \sin\biggl(\lambda v+\frac{3a\pi}{2}\biggr)\,dv. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что $(2/\pi) v \leqslant \sin v \leqslant v$, когда $v \in [0,\pi/2]$, для функции $\psi_\theta(v)$ в этом случае получаем оценку
$$
\begin{equation*}
|\psi_\theta(v)|\leqslant\pi|\sin \theta|^\gamma v^{1-\gamma}+2^{-\gamma} \pi v^{2\gamma-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для интеграла $I_1$ находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |I_1| &\leqslant \pi |\sin \theta|^\gamma\int_{0}^{\pi/\lambda}v^{\gamma-1}\,dv +{2^{-\gamma}\pi}\int_{0}^{\pi/\lambda}v^{2\gamma-1}\,dv +\pi|\sin \theta|^\gamma\int_{0}^{\pi/\lambda}\biggl(v+\frac{\pi}{\lambda}\biggr)^{\gamma-1}\,dv \\ &\qquad +{2^{-\gamma}}\pi\int_{0}^{\pi/\lambda} \biggl(v+\frac{\pi}{\lambda}\biggr)^{2\gamma-1}\,dv \leqslant\frac{2^{1+\gamma} \pi^{1+\gamma} |\sin \theta|^\gamma}{\gamma \lambda^\gamma}, \qquad \gamma \in (0,1], \quad \lambda=n+\frac{1}{2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Выполнив в интеграле $I_{3}$ замену переменного по формуле $v \mapsto 2\pi-v$ и рассуждая как в случае с интегралом $I_1$, находим, что
$$
\begin{equation}
|I_{3}| \leqslant\frac{2^{1+\gamma} \pi^{1+\gamma} |\sin \theta|^\gamma}{\gamma \lambda^\gamma}, \qquad \gamma \in (0,1], \quad \lambda=n+\frac{1}{2}.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Займемся интегралом $I_{2}$. Так же ввиду $2\pi$-периодичности подынтегральной функции достаточно оценить модуль интеграла по интервалу $[\pi/\lambda,\pi]$, поскольку оставшаяся часть интеграла будет иметь такую же оценку. Имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{\pi/\lambda}^{\pi} [\psi_\theta(v)-\psi_\theta(v+\frac{\pi}{\lambda})] \sin\biggl(\lambda v+\frac{3a\pi}{2}\biggr)\,dv=I_4+I_5,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_4=\int_{\pi/\lambda}^{\pi}\frac{\varphi(\cos(v+\theta)) -\varphi(\cos(v+\theta+\pi/\lambda))}{\sin((v+\pi/\lambda)/2)} \sin\biggl(\lambda v+\frac{3a\pi}{2}\biggr)\,dv, \\ I_5=\int_{\pi/\lambda}^{\pi}(\varphi(\cos(v+\theta))-\varphi(\cos \theta)) \biggl[\frac{1}{\sin(v/2)}-\frac{1}{\sin((v+\pi/\lambda)/2)}\biggr] \sin\biggl(\lambda v+\frac{3a\pi}{2}\biggr)\,dv. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\varphi \in H^{(\gamma)} [-1,1]$, $\gamma \in (0,1]$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\varphi(\cos(v+\theta))-\varphi\biggl(\cos\biggl(v+\theta+\frac{\pi}{\lambda}\biggr)\biggr)\biggr| \leqslant\biggl|2 \sin \biggl(\theta+v+\frac{\pi}{2\lambda}\biggr)\sin \frac{\pi}{2\lambda}\biggr|^\gamma \\ &\qquad= \biggl|\sin(\theta+v )\sin \frac{\pi}{\lambda}+2\cos(\theta+v )\sin ^2 \frac{\pi}{2\lambda}\biggr|^\gamma \\ &\qquad= \biggl|\sin \theta \cos v \sin \frac{\pi}{\lambda}+\cos \theta \sin v \sin \frac{\pi}{\lambda} +2\cos(\theta+v )\sin ^2 \frac{\pi}{2\lambda}\biggr|^\gamma \\ &\qquad\leqslant |\sin \theta|^\gamma\biggl(\frac{\pi}{\lambda}\biggr)^\gamma+2v^\gamma\biggl(\frac{\pi}{\lambda}\biggr)^\gamma, \qquad v \in \biggl[\frac{\pi}{\lambda},\pi\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, для интеграла $I_4$ справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |I_4| &\leqslant\biggl(\pi|\sin \theta|^\gamma\biggl(\frac{\pi}{\lambda}\biggr)^\gamma \int_{\pi/\lambda}^{\pi}\frac{d v}{v}+2\pi\biggl(\frac{\pi}{\lambda}\biggr)^\gamma \int_{\pi/\lambda}^{\pi}v^{\gamma-1}\,dv\biggr) \biggl(1+\frac{\pi^2}{8\lambda^2}\biggr) \\ &\leqslant2\pi^{1+\gamma}|\sin \theta|^\gamma\frac{\ln \lambda}{\lambda^\gamma} +\frac{4\pi^{2\gamma+1}}{\gamma \lambda^\gamma}, \qquad \gamma \in (0,1], \quad n >n_0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Займемся интегралом $I_5$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
| \varphi(\cos(v+\theta))-\varphi(\cos \theta)| \leqslant|\sin \theta|^\gamma v^\gamma+\frac{v^{2\gamma}}{2^\gamma}, \qquad v \in \biggl[\frac{\pi}{\lambda},\pi\biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
а также
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\sin(v/2)}-\frac{1}{\sin((v+\pi/\lambda)/2)} \leqslant\frac{\pi^3}{2\lambda v^2}, \qquad v \in \biggl[\frac{\pi}{\lambda},\pi\biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation*}
|I_5|\leqslant\frac{\pi^3}{2\lambda}|\sin\theta|^\gamma\int_{\pi/\lambda}^{\pi}v^{\gamma-2}\,dv +\frac{\pi^3}{2^{1+\gamma}\lambda}\int_{\pi/\lambda}^{\pi}v^{2\gamma-2}\,dv.
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего соотношения приходим к оценкам
$$
\begin{equation}
|I_5|\leqslant \begin{cases} \displaystyle \frac{\pi^{2+\gamma}|\sin \theta|^\gamma}{2(1-\gamma)\lambda^\gamma} +\delta_n^{(\gamma)}(x), &\gamma \in (0,1), \\ \displaystyle \frac{\pi^3 |\sin \theta|}{2}\frac{\ln \lambda}{\lambda}+\delta_n^{(1)}(x), &\gamma=1, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\delta_n^{(\gamma)}(x) =\begin{cases} \displaystyle O\biggl(\frac{1}{\lambda^{2\gamma}}\biggr), &\gamma \in \biggl(0,\dfrac 12\biggr), \\ \displaystyle O\biggl(\frac{ \ln \lambda}{\lambda}\biggr), &\gamma=\dfrac12, \\ \displaystyle O\biggl(\frac{1 }{\lambda}\biggr), & \gamma \in \biggl(\dfrac12,1\biggr]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Из представления (3.3) с учетом полученных оценок (3.4)–(3.7) будем иметь
$$
\begin{equation*}
|B_n^{(a)}(\varphi)| \leqslant\begin{cases} \displaystyle 4\pi^{1+\gamma}|\sin \theta|^\gamma \frac{\ln \lambda}{\lambda^\gamma} +\frac{\pi^{1+\gamma}(4(1-\gamma)(2\gamma+4\pi^\gamma)+\pi\gamma)}{\gamma(1-\gamma)\lambda^\gamma}, &\gamma \in (0,1), \\ \displaystyle \pi^2(4+\pi)|\sin \theta|\frac{\ln \lambda}{\lambda}+\frac{8\pi^2(1+\pi)}{\lambda}, &\gamma=1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметив, что $\lambda=n+1/2$, а также $x=\cos \theta$, из (3.2) с учетом последних оценок придем к (3.1). Теорема 3 доказана. 4. Приближения в случае плотности $(1-x)^\gamma$, $\gamma \in (0,+\infty)\setminus \mathbb{N}$Как однажды заметил Ньюман [35; с. 206], каждая ветвь теории приближения начинается с приближения элементарных функций $|x|$, $\mathrm{e}^x$, $x^k$. Задачи, связанные с аппроксимацией функций со степенной особенностью, являются предметом исследований специалистов по теории функций и в наше время [36]. В настоящем разделе изучим приближения (2.3) интеграла типа Римана–Лиувилля, когда плотность $\varphi_\gamma(x)=(1-x)^\gamma$, $\gamma >0$. Иначе говоря, в настоящем разделе изучаются аппроксимации функций вида
$$
\begin{equation}
{f}_\gamma(x)=\frac{1}{\Gamma(a)}\int_{-1}^{x}(x-t)^{a-1}(1-t)^\gamma\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}, \qquad x \in [-1,1], \quad a \geqslant 1, \quad \gamma >0.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Обратим внимание, что при натуральных значениях параметра $\gamma$ плотность представляет собой полином степени $\gamma$, который приближается частичными суммами ряда Фурье–Чебышёва степени $n, n>\gamma$, точно. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\varepsilon}_n(\varphi_\gamma,x)=0, \qquad \gamma \in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем полагать, что $\gamma \in (0,+\infty)\setminus \mathbb{N}$. Теорема 4. Для приближений интегралов типа Римана–Лиувилля $f_\gamma(x)$ на отрезке $[-1,1]$ образом сумм Фурье–Чебышёва порядка $n$, $n+1-\gamma>0$, справедливы: 1) интегральное представление
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \widetilde{\varepsilon}_n(\varphi_\gamma,x) &=\frac{2^{2-\gamma-a} \sin \pi \gamma}{\Gamma(a) \pi} \int_{0}^{1}(1-y)^{2\gamma} y^{n-\gamma} \\ &\qquad\times \int_{0}^{1}\frac{(1-t)^{a-1} t^{n+1-a} (1-2t\cos 2\theta+t^2)^{(a-1)/2}\sin \Omega_n(x,t,y)}{\sqrt{1-2ty\cos\theta+t^2 y^2}}\,dt\,dy, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где $\Omega_n(x,t,y)=(n+1)\theta+(a-1)\mathrm{arg}(\xi t-\overline{\xi})-\mathrm{arg}(1-ty\xi)$, $\xi=\mathrm{e}^{i \theta}$, $x=\cos \theta$; 2) поточечная оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |\widetilde{\varepsilon}_n(\varphi_\gamma,x)| &\leqslant\frac{2^{2-\gamma-a} |\sin \pi \gamma|}{\Gamma(a) \pi}\int_{0}^{1}(1-y)^{2\gamma} y^{n-\gamma} \\ &\qquad\times \int_{0}^{1} \frac{(1-t)^{a-1} t^{n+1-a}(1-2t\cos 2\theta+t^2)^{(a-1)/2}}{\sqrt{1-2ty\cos\theta+t^2 y^2}}\,dt\,dy, \qquad x=\cos \theta; \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
3) равномерно по всем $x \in [-1,1]$ оценка приближений где $\Gamma(\cdot)$ – гамма-функция Эйлера. Доказательство. Воспользуемся представлением приближений (2.15). Запишем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \widetilde{\varepsilon}_n(\varphi_\gamma,x) &=\frac{1}{2^a\pi \Gamma(a)i} \int_{0}^{1}(1-t)^{a-1} t^{n+1-a} \int_{-\pi}^{\pi}(1-\cos v)^\gamma \biggl[\biggl(\frac{\zeta}{\xi}\biggr)^{n+1}\frac{(\overline{\xi} t-\xi)^{a-1}}{1-(\zeta/\xi) t} \\ &\qquad -\biggl(\frac{\xi}{\zeta}\biggr)^{n+1}\frac{(\xi t -\overline{\xi})^{a-1}}{1-(\xi/\zeta) t}\biggr]\,dv\,dt, \qquad \zeta=\mathrm{e}^{ i v}, \quad \xi=\mathrm{e}^{ i \theta}, \quad x=\cos \theta. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Исследуем подробно внутренний интеграл. Выполнив замену переменного по формуле $\zeta=\mathrm{e}^{ i v}$, получим
$$
\begin{equation*}
J_n(x,t) =\frac{(-1)^\gamma}{2^\gamma i} \oint_{C}\frac{(1-\zeta)^{2\gamma}}{\zeta^{\gamma+1}} \biggl[\frac{({\zeta}/{\xi})^{n+1} (\overline{\xi} t-\xi)^{a-1}}{1-(\zeta/\xi) t} -\frac{({\xi}/{\zeta})^{n+1} (\xi t -\overline{\xi})^{a-1}}{1-(\xi/\zeta) t}\biggr]\,d\zeta,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C=\{\zeta \colon \zeta=\mathrm{e}^{i v}$, $v \in [0,2\pi]\}$.
Отметим, что подынтегральная функция имеет точки ветвления $\zeta=0$ и $\zeta=1$. Разобьем интеграл справа на два интеграла так, что
$$
\begin{equation}
J_n(x,t) =\frac{(-1)^\gamma}{2^\gamma i} \biggl[-\frac{(\overline{\xi}t-\xi)^{a-1}}{t \xi^{n}}I_6 -\xi^{n+1} (\xi t -\overline{\xi})^{a-1}I_7\biggr], \qquad \xi=\mathrm{e}^{ i \theta}, \quad x=\cos \theta,
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где
$$
\begin{equation*}
I_6 =\oint_{C}\frac{(1-\zeta)^{2\gamma}}{\zeta^{\gamma}}\frac{\zeta^n \,d\zeta}{\zeta-{\xi}/{t}}, \quad I_7 =\oint_{C}\frac{(1-\zeta)^{2\gamma}}{\zeta^{\gamma+1}}\frac{d\zeta}{\zeta^n(\zeta-\xi t)}, \qquad t \in (0,1).
\end{equation*}
\notag
$$
Для исследования интегралов $I_6$ и $I_7$ воспользуемся рассуждениями, которые применялись при доказательстве теоремы 1. Отметим, что при $\gamma \in (0,+\infty) \setminus \mathbb{N}$ подынтегральные функции обоих интегралов имеют точки ветвления при $\zeta=0$, $\zeta=1$, $\zeta=\infty$. Выполнив соответствующие преобразования, находим, что
$$
\begin{equation}
I_6=-(1-\mathrm{e}^{-2\pi i \gamma})\int_{0}^{1}(1-y)^{2\gamma} y^{-\gamma}\frac{y^n \,dy}{y-{\xi}/{t}}, \qquad I_7=(1-\mathrm{e}^{-2\pi i\gamma })\int_{0}^{1}\frac{(1-y)^{2\gamma}y^{n-\gamma}}{1-t\xi y }\,dy.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Из (4.6) с учетом интегральных представлений (4.7) получим
$$
\begin{equation*}
J_n(x,t) ={2^{1-\gamma}\sin \pi \gamma}\int_{0}^{1}(1-y)^{2\gamma}y^{n-\gamma} \biggl[\frac{\xi^{n+1}(\xi t-\overline{\xi})^{a-1}}{1-ty\xi} -\frac{\overline{\xi}^{n+1} (\overline{\xi} t-\xi)^{a-1}}{1-ty\overline{\xi}}\biggr]\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (4.5) и последнего интегрального представления приходим к выражению
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{\varepsilon}_n(\varphi_\gamma,x) &=\frac{2^{1-\gamma-a} \sin \pi \gamma}{\Gamma(a) \pi i} \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(1-y)^{2\gamma} y^{n-\gamma}t^{n+1-a} (1-t)^{a-1} \\ &\qquad \times \biggl[\frac{\xi^{n+1} (\xi t-\overline{\xi})^{a-1}}{1-ty\xi} -\frac{\overline{\xi}^{n+1} (\overline{\xi} t-\xi)^{a-1}}{1-ty\overline{\xi}}\biggr]\,dt\,dy, \qquad \xi=\mathrm{e}^{i \theta}, \quad x=\cos \theta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выражения в квадратной скобке являются взаимно комплексно-сопряженными. Их разность представляет собой удвоенный синус некоторого угла, умноженного на модуль этих выражений. Выполнив необходимые вычисления, получим (4.2).
Из интегрального представления (4.2) легко следует оценка (4.3). Докажем оценку (4.4). С этой целью изучим внутренний интеграл в (4.3):
$$
\begin{equation*}
J_n(x,y) =\int_{0}^{1}\frac{(1-t)^{a-1} t^{n+1-a} (1-2t\cos 2\theta+t^2)^{(a-1)/2}}{\sqrt{1-2ty\cos\theta+t^2 y^2}}\,dt, \qquad x=\cos \theta, \quad y \in (0,1).
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользовавшись методом Лапласа [30], [31] исследования асимптотического поведения интегралов, для этого интеграла получим
$$
\begin{equation}
J_n(x,y)=\frac{(2\sin \theta)^{a-1}\Gamma(a)}{\sqrt{1-2y\cos \theta+y^2}(n+1-a)^a}(1+o(1)), \qquad n \to \infty.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Из оценок (4.3) и (4.8) приходим к неравенству
$$
\begin{equation*}
|\widetilde{\varepsilon}_n(\varphi_\gamma,x)| \leqslant\frac{2^{1-\gamma} |\sin \pi \gamma| (\sqrt{1-x^2})^{a-1}}{\pi (n+1-a)^{a}} (1+o(1))\int_{0}^{1}\frac{(1-y)^{2\gamma} y^{n-\gamma}}{\sqrt{1-2y\cos \theta+y^2}}\,dy, \qquad n \in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего соотношения нетрудно получить, что
$$
\begin{equation*}
|\widetilde{\varepsilon}_n(\varphi_\gamma,x)| \leqslant\frac{2^{1-\gamma} |\sin \pi \gamma| (\sqrt{1-x^2})^{a-1}}{\pi (n+1-a)^{a}} (1+o(1))\int_{0}^{1}(1-y)^{2\gamma-1} y^{n-\gamma}\,dy, \qquad \gamma >0.
\end{equation*}
\notag
$$
Снова применив метод Лапласа для исследования асимптотического поведения интеграла справа, будем иметь
$$
\begin{equation*}
|\widetilde{\varepsilon}_n(\varphi_\gamma,x)| \leqslant\frac{2^{1-\gamma} |\sin \pi \gamma|\Gamma(2\gamma) (\sqrt{1-x^2})^{a-1}}{\pi (n+1-a)^a (n-\gamma)^{2\gamma}}(1+o(1)), \qquad a \geqslant 1, \quad \gamma >0.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь для того, чтобы прийти к оценке (4.4), необходимо справа выполнить соответствующие алгебраические преобразования. Доказательство теоремы 4 завершено. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PotRov24} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|