Новый подход к большим и малым нормам в дискретных пространствах Лебега

Мы представляем новый подход к определению Большого и Малого дискретных пространств Лебега. Ранее мы разработали такой подход для непрерывного случая. Принципиальное отличие наших исследований состоит в том, что определение норм мы основываемся на теории экстраполяции, и наш подход позволяет учитывать крайние случаи $p=1$ и $p=\infty$, что является основным результатом представленного здесь исследования. Малое пространство для $p=\infty$ реализуется как сумма пространств $ l^{s}(\xi)\equiv \sum _{p \in [2, \infty)} \xi(p) l ^{p}$ с некоторой фундаментальной функцией $\xi$, а Большое пространство $l^{g}(\zeta)$ для случая $p=1$ задано произведением пространств $l^{ g}(\zeta)\equiv \bigcap_{p \in (1, 2]} \zeta(p) l^{p}$ с некоторой фундаментальной функцией $\zeta.$ В качестве одного из основных результатов показано что если функция $\xi$ удовлетворяет условию $\Delta_2$ (удвоения), то пространство $l^{s}(\xi)$ совпадает с точностью до эквивалентности нормы с дискретным пространством Лоренца $\lambda(\ psi)$, где $\psi(k ) \simeq \xi(1/\ln k).$ Также показано, что если функция $\zeta$ удовлетворяет условию $\Delta_2$, то пространство $l^ {g}(\zeta)$ совпадает с точностью до эквивалентности нормы с дискретным пространством Марцинкевича $m(\psi)$, где $\psi(k) \simeq k/(\zeta(1/\ln k)) .$ Мы ожидаем, что наша общая и новая конструкция норм в Больших и Малых дискретных пространствах Лебега повлечет за собой дальнейшее исследование пространств и операторов в этих пространствах в такой общей ситуации.