| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Устойчивость бегущей волны на траектории седло-узел Л. А. Калякин Институт математики с вычислительным центром, Уфимский федеральный исследовательский центр Российской академии наук, г. Уфа
Английская версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624050286 
Реферативные базы данных:
   1. Введение1.1. Предварительные сведенияПод бегущей волной понимается функция со специфической зависимостью от двух переменных: $\Phi(x-vt)$, $x\in\mathbb{R}$, $t>0$. При $v=\mathrm{const}>0$ эта функция от аргумента $s=x-vt$ интерпретируется как волна, бегущая по оси $x$ со скоростью $v$. Отыскание решений в такой форме1 дает один из способов редукции задач к обыкновенным дифференциальным уравнениям. В ряде задач для $\Phi(s)$ получается уравнение второго порядка:
$$
\begin{equation}
\frac{d^2\Phi}{d s^2}+\gamma\frac{d\Phi}{ds}=F(\Phi), \qquad s\in\mathbb{R}, \quad \gamma=\mathrm{const}>0.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Правая часть $F(\Phi)$ определяется спецификой исходного уравнения. Коэффициент $\gamma$ зависит от скорости $v$. Для приложений интерес представляют волны, которые на фазовой плоскости $(\Phi,\dot \Phi)$ соответствуют траекториям, соединяющим пару неподвижных точек. Они связываются с описанием динамического перехода от одного равновесия к другому. Такие решения выделяются следующими краевыми условиями:
$$
\begin{equation}
\Phi(s)\to\Phi_0 \quad\text{при}\ \ s\to-\infty, \qquad\Phi(s)\to\Phi_1 \quad \text{при}\ \ s\to+\infty
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
при условии $F(\Phi_0)=F(\Phi_1)=0$. Задача (1.1), (1.2) похожа на спектральную: требуется найти функцию $\Phi(s)$ и коэффициент $\gamma$ (или, что то же самое, скорость $v$). Решения в виде бегущей волны широко применяются при математическом моделировании в биологии и химии, в частности, в теории горения [1]–[3]; обширная библиография приведена в [4]–[7]. В таких приложениях исходные задачи формулируются для полулинейных параболических уравнений, которые связываются с именами Колмогорова, Петровского и Пискунова (КПП) и обычно записываются в виде
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\varphi}{\partial t}=\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}-F(\varphi), \qquad t>0, \quad x\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
При переходе к бегущей волне используется переменная $s=x-vt$ и параметр $\gamma=v$. В задачах магнитодинамики бегущая волна используется для описания динамики доменной стенки. Исходное уравнение является гиперболическим
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}+\alpha\frac{\partial\varphi}{\partial t}=c^2\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}-F(\varphi), \quad t>0, \quad x\in\mathbb{R}, \qquad \alpha,c^2=\mathrm{const}>0.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
В этом случае удобно взять $s=(x-vt)/\sqrt{c^2-v^2}$; связь параметра $\gamma$ со скоростью описывается соотношением $\gamma=\alpha v/\sqrt{c^2-v^2}$ при $0<v<c$, [8], [9]. 1.2. Уточнение исходных ограниченийРассматриваются уравнения (1.3) и (1.4). Функция $F(\Phi)$ предполагается гладкой (непрерывно дифференцируемой) на промежутке $\Phi\in[\Phi_0,\Phi_2)$. Промежуток содержит пару точек $\Phi_0$ и $\Phi_1$ со следующими свойствами:
$$
\begin{equation}
F(\Phi_0)=F(\Phi_1)=0, \qquad F'(\Phi_0)>0, \quad F'(\Phi_1)<0.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Без ограничения общности можно считать $\Phi_0<\Phi_1$. Правая граница промежутка $\Phi_2>\Phi_1$ определяется точкой пересечения оси $\Phi$ c сепаратрисой из седла при некотором $\gamma=\widehat\gamma\geqslant0$ (например, при $\gamma=0$). Это свойство гарантирует определенность функции $F(\Phi)$ на сепаратрисе при любом $\gamma>\widehat\gamma$. Предполагается, что на промежутке $[\Phi_0,\Phi_2)$ нет других нулей функции $F(\Phi)$, так что, в частности, $F(\Phi)>0$ при $\Phi\in(\Phi_0,\Phi_1)$. Конечно, наличие дополнительных нулей $F(\Phi)$ на промежутке $\Phi\in[\Phi_0,\Phi_2)$ не является экзотикой [10], [4]. Однако такое усложнение задачи не приводит к принципиальным изменениям в обсуждаемой методике и здесь не рассматривается. 1.3. ПримерыУравнение КПП [1], [2] в простейшем случае имеет вид (1.3) с $F(\varphi)=\varphi(1-\varphi)$. Соответствующее уравнение бегущей волны для $\varphi=\Phi(x-vt)$ записывается в форме (1.1) с $\gamma=v>0$ и с $F(\Phi)=\Phi(1-\Phi)$. Неподвижные точки: седло $\Phi_0=0$ и устойчивый узел $\Phi_1=1$ при $\gamma^2\geqslant4$. Иногда уравнение типа КПП приводится к системе с неустойчивым узлом, что соответствует замене $s\Rightarrow-s$. Выбранная здесь форма уравнения бегущей волны (1.1) более удобна для исследовании устойчивости. Уравнение магнитодинамики [8] при подходящей нормировке независимых переменных приводится к виду (1.4) с $F(\varphi)=\sin\varphi\cos\varphi+w\sin\varphi$, $w=\mathrm{const}>0$. Соответствующее уравнение бегущей волны для $\varphi=\Phi(s)$ при $s=(x-vt)/\sqrt{c^2-v^2}$ имеет вид (1.1) с $\gamma=\alpha v/\sqrt{c^2-v^2}$ и с $F(\Phi)=\sin\Phi\cos\Phi+w\sin\Phi$. Неподвижные точки: седло $\Phi_0=0$ и устойчивый узел $\Phi_1=\pi$ при $\gamma^2\geqslant4(w-1)>0$. 1.4. Постановка задачиДля точного решения, найденного в виде бегущей волны $\varphi(x,t)=\Phi(x-vt)$, важным свойством является его устойчивость. Разные аспекты этой проблемы для параболических уравнений и систем обсуждаются в [3]–[5], см. также обзор [11]. Для скалярной задачи свойство монотонности волны (или ее фазовой траектории) оказывается необходимым и достаточным условием для устойчивости в линейном приближении. В случае, когда траектория волны соединяет две точки типа седла, наличие или отсутствие монотонности легко усматривается из фазового портрета. Седло в общем положении имеет две выходящие и две входящие сепаратрисы2. При наличии слагаемого с $\gamma>0$, которое играет роль диссипации в уравнении (1.1), структура фазового портрета неустойчива по $\gamma$ и седла будут соединены сепаратрисами лишь при исключительных $\gamma$. Имеется не больше двух значений параметра $\gamma$ (или скорости $v$), при которых сепаратриса из одного седла входит в другое. Лишь одна из этих траекторий может оказаться монотонной, и это свойство не зависит от наличия других равновесий, рис. 1, (a). Иная ситуация складывается, когда траектория волны соединяет седло и узел (либо фокус). В этом случае структура фазового портрета устойчива по $\gamma$. Попадание сепаратрисы из седла в такую точку не зависит от величины $\gamma>0$ (при отсутствии других равновесий), рис. 1, (b). Поэтому значение $\gamma$ (или скорость $v$) определяется неоднозначно. В случае фокуса монотонности заведомо не будет из-за осцилляции решения. Условие узла накладывает ограничение на величину $\gamma$ в виде требования $\gamma\geqslant2\sqrt{-F'(\Phi_1)}$, используемого со времен первой работы [1]. Однако такое ограничение не гарантирует ни монотонность, ни единственность волны, и устойчивость в линейном приближении бывает не всегда. Неоднозначность скорости и возможная неустойчивость приводят к проблемам при попытке описания эффектов возмущения в таких задачах [12]–[15]. Основной целью данной работы является нахождение минимальной скорости волны, устойчивой в линейном приближении. Отметим, что подобная задача в общей постановке рассмотрена в [5], [6], где, в частности, проанализированы разные аспекты проблемы устойчивости. 1.5. Описание результатаВ данной работе показано, что для уравнений (1.3) и (1.4) волна на траектории седло-узел будет устойчивой тогда и только тогда, когда параметр $\gamma$ не меньше предельного значения: $\gamma\geqslant\gamma_0$. Это неравенство является также критерием для монотонности волны, а граничное значение $\gamma_0$ соответствует минимальной скорости устойчивой волны и зависит от $F(\Phi)$. При некоторых ограничениях на исходную функцию $F(\Phi)$ величина $\gamma_0$ совпадает с критическим значением $\gamma_*=2\sqrt{-F'(\Phi_1)}$, при котором происходит бифуркация неподвижной точки из узла в фокус. В общей ситуации $\gamma_0>\gamma_*$ и аналитические формулы для $\gamma_0$ отсутствуют. Проблема отыскания минимальной скорости неоднократно обсуждалась для волн в параболических системах уравнений [4], [10] и до сих пор остается актуальной, см. например, [16], [17]. В рассматриваемом случае скалярного уравнения эта задача оказывается сравнительно простой и, как показано ниже, может быть эффективно решена с привлечением численных методов. 2. Формулировка результатаКак известно [18], неподвижная точка типа узел на фазовой плоскости $(\Phi,\Psi)\,{\in}\,\mathbb{R}^2$, $\Psi=\dot\Phi$, характеризуется двумя направлениями $\Psi=\Phi_1+\nu_\pm(\Phi-\Phi_1)$. Числа $\nu_\pm$ являются корнями характеристического уравнения для дифференциального уравнения, линеаризованного в точке $\Phi_1$:
$$
\begin{equation*}
\nu_\pm(\gamma)=\frac12\Bigl[-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2+4 F'(\Phi_1)}\Bigr].
\end{equation*}
\notag
$$
Условие узла $\gamma^2\geqslant-4F'(\Phi_1)>0$ гарантирует действительность корней. В окрестности этой неподвижной точки все траектории за исключением двух входят в узел, касаясь характеристического направления с наибольшим значением $\nu_+(\gamma)$. Только две траектории касаются направления с $\nu_-(\gamma)$, входя в узел из разных полуплоскостей. Назовем такие траектории исключительными. В данной работе результаты об устойчивости бегущей волны получены путем анализа фазовой траектории $\Psi=\Psi_0(\Phi;\gamma)$, которая выходит из седла в верхнюю полуплоскость $\Psi>0$ и входит в узел. Для уравнения (1.1) с заданной функцией $F(\Phi)$ ниже доказывается существование границы параметра $\gamma$, которая отделяет устойчивые волны от неустойчивых. Эта граница $\gamma_0$ либо совпадает с критическим значением $\gamma_*=2\sqrt{-F'(\Phi_1)}$, либо больше его. Попадание на случай $\gamma_0>\gamma_*$ можно выявить посредством анализа критической фазовой траектории $\Psi=\Psi_0(\Phi;\gamma_*)$. Способы вычисления значения $\gamma_0$ обсуждаются на примере в разделе 6. При критическом значении $\gamma=\gamma_*$, которое соответствует бифуркации фокуса в узел, корни $\nu_\pm$ совпадают, а следовательно, совпадают характеристические направления. В окрестности такого вырожденного узла траектории разбиваются на два семейства. В одном семействе траектории в входят в узел слева при $\Phi\to\Phi_1-0$. В другом семействе траектории в входят в узел справа при $\Phi\to\Phi_1+0$, [18; с. 41]. Сепаратрисная траектория $\Psi=\Psi_{0}(\Phi;\gamma)$, которая выходит из седла $(\Phi_0,0)$ в верхнюю полуплоскость и входит в узел $(\Phi_1,0)$, при $\gamma=\gamma_*$ может оказаться в любом из этих семейств в зависимости от структуры нелинейности $F(\Phi)$. При этом она пересекает ось $\Phi$ не более конечного числа раз. Из седла $(\Phi_0,0)$ выходит еще одна сепаратриса (в нижнюю полуплоскость $\Psi<0$). При наложенном ограничении $F'(\Phi_0)>0$ эта сепаратриса обязана выходить из седла в квадрант $\Phi<\Phi_0,\Psi<0$. Если такая траектория переходит в интересующую нас правую полуплоскость $\Phi>\Phi_0$, то она будет заведомо немонотонной и здесь не рассматривается, поскольку волна на ней не может быть устойчивой. Теорема 1. 1. Пусть выполнены условия (1.5) и функция $F(\Phi)$ такова, что сепаратрисная траектория $\Psi=\Psi_{0}(\Phi;\gamma_*)$ при критическом значении $\gamma=\gamma_*$ входит в узел монотонно (без обхода точки $(\Phi_1,0)$). Тогда при любом бо́льшем $\gamma>\gamma_*$ сепаратриса из седла входит в узел монотонно. 2. Пусть выполнены условия (1.5) и функция $F(\Phi)$ такова, что сепаратрисная траектория $\Psi=\Psi_{0}(\Phi;\gamma_*)$ при критическом значении $\gamma=\gamma_*$ входит в узел после обхода точки $(\Phi_1,0)$. Тогда существует единственное значение $\gamma_0>\gamma_*$, при котором сепаратриса $\Psi=\Psi_{0}(\Phi;\gamma_0)$ будет исключительной монотонной траекторией. При любом $\gamma\geqslant\gamma_0$ и только при них сепаратрисная траектория входит в узел монотонно. 3. Доказательство теоремы 1Исследование деформации сепаратрисной траектории при увеличении параметра $\gamma$ составляет основу доказательства. На фазовой плоскости с координатами $(\Phi,\Psi)$ фазовые траектории автономного уравнения (1.1) касаются векторного поля
$$
\begin{equation}
\dot \Phi=\Psi, \qquad\dot \Psi=F(\Phi)-\gamma \Psi.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Рассмотрим семейство, зависящее от $\gamma$, сепаратрисных траекторий, которые выходят из седловой точки $(\Phi_0,0)$ в верхнюю полуплоскость $\Psi>0$. Это будут интегральные кривые $\Psi=\Psi_0(\Phi;\gamma)$ для уравнения, которое играет центральную роль в подобных исследованиях: Начальная точка $(\Phi_0,0)$ является особой. Тем не менее, функция $\Psi_0(\Phi;\gamma)$ непрерывна по параметру $\gamma$, поскольку вектор, касательный к сепаратрисе, непрерывен по $\gamma$ в начальной точке в силу уравнения (3.2). В точках фиксированной кривой $\Psi=\Psi_0(\Phi;\gamma_1)$ поле направлений, соответствующее параметру $\gamma\neq\gamma_1$, отличается от касательного. Отличие на величину $-(\gamma-\gamma_1)\Psi$ содержится во второй компоненте. При $\gamma>\gamma_1$ в верхней полуплоскости $\Psi>0$ это отличие описывает поворот вектора направо по ходу движения по “временно́й” переменной $s$. Поэтому при увеличении $\gamma$ фазовая кривая $\Psi=\Psi_0(\Phi;\gamma)$, фиксированная условием при $s\to-\infty$, смещается вправо и не пересекает кривую с меньшим значением $\gamma$. В неподвижной точке $(\Phi_1,0)$ существуют два направления $\Psi=\Phi_1+(\Phi-\Phi_1)\nu_\pm(\gamma)$, которые определяются корнями характеристического уравнения: $\nu_\pm(\gamma)<0$. С ростом параметра $\gamma$ одно из этих направлений (с $\nu_+(\gamma)=\mathcal{O}(\gamma^{-1})$, $\gamma\to\infty$) поворачивается и стремится к горизонтальному. Второе направление (с $\nu_-(\gamma)=-\gamma+\mathcal{O}(\gamma^{-1})$, $\gamma\to\infty$) стремится к вертикальному. Сепаратрисная траектория, выходящая в верхнюю полуплоскость $\Psi>0$, на промежутке $\Phi_0<\Phi<\Phi_1$ не пересекает ось $\Phi$ сверху вниз, поскольку векторное поле здесь направлено вверх. Если эта траектория при $\gamma=\gamma_*$ входила в узел монотонно по $\Phi$ (без обхода), то таковой она остается при $\gamma>\gamma_*$ и монотонно приближается к оси $\Phi$, см. рис. 2, (a). Тем самым первое утверждение теоремы доказано. Во втором случае сепаратрисная траектория $\Psi=\Psi_0(\Phi;\gamma)$ при $\gamma=\gamma_*$ обходит точку $(\Phi_1,0)$ и поэтому пересекает вертикальный луч $\Phi=\Phi_1$, $\Psi>0$ (возможно, неоднократно), см. рис. 2, (b). Рассмотрим верхнюю точку пересечения (с наибольшей координатой) $\Psi(\gamma)$. При росте параметра $\gamma\uparrow$ эта точка монотонно смещается вниз: $\Psi(\gamma)\equiv\Psi_0(\Phi_1;\gamma)\downarrow$, см. рис. 3, (a). Поэтому функция $\Psi(\gamma)$ обратима относительно $\gamma$, и величину $\gamma$ можно рассматривать, как монотонную функцию точки пересечения. Следующее утверждение может показаться очевидным: узел $(\Phi_1,0)$ является предельным положением точки пересечения, т.е. $\Psi(\gamma)\to0$ при $\gamma\to\gamma_0$. В пределе сепаратриса из седла $\Psi=\Psi_0(\Phi;\gamma_0)$ оказывается исключительной траекторией в узле, см. рис. 3, (b). Однако для аккуратного и строго доказательства надо показать: 1) предельное значение $\gamma_0<\infty$ конечно, и 2) предельная траектория касается направления $\nu_-(\gamma_0)$, а не $\nu_+(\gamma_0)$. Сепаратрисная траектория $\Psi=\Psi_0(\Phi;\gamma)$ на промежутке $\Phi_0<\Phi<\Phi_1$ содержится в верхней полуплоскости $\Psi>0$. При этом либо $\Psi_0(\Phi_1;\gamma)=0$, либо в силу уравнения (3.2) $\Psi_0'(\Phi_1;\gamma)<0$. Поскольку на другом краю $\Psi_0(\Phi_0;\gamma)=0$, то точка положительного максимума функции $\Psi_0(\Phi;\gamma)$ содержится внутри промежутка $\Phi_0<\Phi<\Phi_1$ и в ней производная равна нулю. Тогда в силу уравнения (3.2) для этой функции получается оценка
$$
\begin{equation*}
0<\Psi_0(\Phi;\gamma)<\gamma^{-1}\sup F(\Phi)=\frac{M}{\gamma}, \qquad M=\mathrm{const}<\infty \quad\forall\,\Phi\in(\Phi_0,\Phi_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, при больших $\gamma$ cепаратрисная траектория находится в узкой полосе вблизи оси $\Phi$. Далее покажем, что при больших $\gamma$ исключительная траектория, входящая в узел, не может быть сепаратрисой из седла. Рассмотрим исключительную траекторию, входящую в узел: $\Psi=\Psi_1(\Phi;\gamma)$. Эта функция удовлетворяет уравнению (3.2) и обладает следующими свойствами:
$$
\begin{equation*}
\Psi=\Psi_1(\Phi;\gamma)|_{\Phi=\Phi_1}=0, \qquad \Psi_1'(\Phi;\gamma)|_{\Phi=\Phi_1}=\nu_-(\gamma).
\end{equation*}
\notag
$$
В области, где $F(\Phi)/\Psi>0$, из уравнения (3.2) вытекает оценка производной $\Psi_1'(\Phi;\gamma)>-\gamma$. Поэтому такая траектория $\Psi=\Psi_1(\Phi;\gamma)>-\gamma[\Phi-\Phi_1]$ оказывается в секторе, границы которого заданы лучами $\{\Psi=-\gamma[\Phi-\Phi_1]\}$ и $\{\Phi=0,\,\Psi>0\}$. За правую границу $\Phi=\Phi_1$ траектория выйти не может из-за направления векторного поля: $\dot\Phi>0$, $\dot\Psi|_{\Phi=\Phi_1}<0$. Как видим, при больших $\gamma>M/\gamma$ исключительная траектория содержится в узком секторе вблизи вертикального луча $\{\Phi=0,\, \Psi>0\}$. Поэтому на фиксированном промежутке $\Phi\in[\Phi_1-\delta,\Phi_1]$, $\delta=\mathrm{const}>0$, исключительная траектория выходит из полосы, в которой содержится сепаратриса седла. Следовательно, эти траектории не совпадают и сепаратриса входит в узел монотонно (без обхода), касаясь направления с $\nu_+(\gamma)$. Отсюда, в частности, вытекает конечность предельного значения $\gamma_0<\infty$, при котором сепаратрисная траектория перестает обходить узел. Остается показать, что при предельном значении $\gamma=\gamma_0$ сепаратриса совпадает с исключительной траекторией. Два семейства траекторий, которые касаются направлений с $\nu_+(\gamma)$ при $\gamma\geqslant\gamma_*$, лежат в открытых множествах в трехмерном пространстве $(\Phi,\Psi,\gamma)\in\mathbb{R}^3)$. Эти множества разделены гладкой поверхностью с исключительными траекториями $\Psi=\Psi_1(\Phi;\gamma)$. Сепаратрисная траектория $\Psi=\Psi_0(\Phi;\gamma)$ при $\gamma\neq\gamma_0$ лежит в одном из этих множеств. При $\gamma>\gamma_0$ эта траектория касается направления с $\nu_+(\gamma)$, поскольку направление с $\nu_-(\gamma)$ и траектория смещаются в разные стороны с ростом $\gamma$. Предельная траектория $\Psi=\Psi_0(\Phi;\gamma_0)$ не может касаться направления с $\nu_+(\gamma)$ ввиду отрытости множества таких траекторий. Второе утверждение теоремы доказано. Замечание 1. Граничное значение параметра $\gamma_0$ соответствует минимальной скорости устойчивой волны. Для волн в параболических системах это значение является решением задачи о минимаксе [10], [4] для функционала, соответствующего уравнению (3.2). В приведенном доказательстве также можно усмотреть задачу о минимаксе при анализе движения точки пересечения с максимальной координатой $\Psi(\gamma)$. Однако использование уравнения (3.2) для приближенного вычисления $\gamma_0$ методом пристрелки выглядит более простым, нежели отыскание минимакса [10], хотя такой подход годится только для скалярной волны. 4. Достаточное условие монотонностиВ отличие от формулы $\gamma_*=2\sqrt{-F'(\Phi_1)}$ столь эффективное аналитическое представление для границы монотонности $\gamma_0$ в случае $\gamma_0>\gamma_*$ отсутствует. Проблемы с нахождением минимальной скорости выявлялись на довольно простых примерах как в ранних работах [10], так и в недавних [16]. В конкретных задачах для вычисления $\gamma_0$ можно с успехом применять численные методы. Иногда для границы монотонности бывает полезна оценка сверху, получаемая в следующем утверждении. Теорема 2. Пусть функция $F(\Phi)$ такова, что производная ограничена снизу $F'(\Phi)\geqslant -m>-\infty$, $\Phi\in[\Phi_0,\Phi_1]$ и минимум этой функции достигается в изолированных точках. Тогда граница монотонности имеет оценку сверху $\gamma_0\leqslant2\sqrt{m}$, так что при любом $\gamma\geqslant 2\sqrt{m}$ сепаратрисная траектория входит в узел монотонно (без обхода). Доказательство проводится для $\gamma\geqslant\gamma_*=2\sqrt{-F'(\Phi_0)}$. Рассмотрим поле направлений, определяемое уравнением фазовых траекторий (3.1). Наклон поля в точке $(\Phi,\Psi)$ определяется через правую часть уравнения коэффициентом Воспользуемся теоремой о среднем $F(\Phi)=F'(\tilde\Phi)(\Phi-\Phi_1),\ \Phi<\tilde\Phi<\Phi_1$ и учтем изолированность минимума: $F'(\tilde\Phi)>-m$. Вычислим коэффициент $k$ на прямой $\Psi= -(\Phi-\Phi_1)\gamma/2$, выходящей из узла. Получаем Поскольку в рассматриваемом случае $-F'(\tilde\Phi)< m\leqslant \gamma^2/4$, то получается оценка $k< 2m/\gamma-\gamma\leqslant- \gamma/2$. Она показывает, что фазовые траектории не пересекают прямую $\Psi= -(\Phi-\Phi_1)\gamma/2$ снизу в точках с координатой $\Phi<\Phi_1$. Поэтому сепаратриса седла, выходящая в верхнюю полуплоскость $\Psi>0$, остается под этой прямой и, следовательно, входит в узел без обхода. В частном случае, когда производная достигает наименьшего значения в узле, получается известный результат с предельно возможной границей монотонности. Следствие 1. Пусть выполнено условие работы [1]: $F'(\Phi)> F'(\Phi_1)$ для любого $\Phi\in(\Phi_0,\Phi_1)$. Тогда при любом $\gamma\geqslant\gamma_*$ сепаратрисная траектория входит в узел монотонно (без обхода). 5. Устойчивость по линейному приближениюУстойчивость волны по линейному приближению понимается как устойчивость по $t$ (в смысле Ляпунова) точного решения $\phi(x,t)=\Phi(s;\gamma)$ начально-краевой задачи для исходного уравнения. Ниже рассматриваются два варианта исходного дифференциального уравнения в частных производных: либо (1.3), либо (1.4). Параметр $\gamma$ соответственно связан со скоростью волны: $\gamma=v$ либо $\gamma=\alpha v/\sqrt{c^2-v^2}$. Линейное приближение означает, что при анализе возмущенного решения
$$
\begin{equation*}
\varphi(x,t)=\Phi(s;\gamma)+\varepsilon\varphi_1(x,t;\gamma)+\mathcal{O}(\varepsilon^2), \quad\varepsilon\to0 \qquad \biggl(s=x-vt \quad \text{либо}\quad s=\frac{x-vt}{\sqrt{c^2-v^2}}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
поправка $\varphi_1(x,t;\gamma)$ определяется из линеаризованного уравнения с нулевыми условиями на бесконечности и с ненулевыми начальными данными. Имея в виду метод разделения переменных, ограничимся анализом поправки специального вида
$$
\begin{equation*}
\varphi_1(x,t)=\phi(s;\gamma)\cdot\exp(\mu t), \qquad \mu=\mathrm{const}.
\end{equation*}
\notag
$$
В главном члене асимптотики при $\varepsilon\to0$ это приводит к спектральной задаче на оси $-\infty<s<+\infty$ по определению $\phi(s;\gamma)$ и $\mu$. Устойчивость волны ассоциируется с отсутствием экспоненциального роста по $t$ в поправке. Фактически такой подход соответствует первому методу Ляпунова для обыкновенных дифференциальных уравнений. Если из поправки выделить подходящий множитель, положив
$$
\begin{equation*}
\phi(s;\gamma)=\exp\biggl(-\frac{\gamma s}2\biggr)\psi(s;\gamma) \quad \text{либо}\quad \phi(s;\gamma)=\exp\biggl(-\frac{1}{2} \biggl[\gamma+2\mu\frac{v}{\sqrt{c^2-v^2}}\biggr]s\biggr) \psi(s;\gamma),
\end{equation*}
\notag
$$
то спектральная задача приводится к уравнению с самосопряженным оператором3
$$
\begin{equation}
L\psi\equiv\biggl[-\frac{d^2}{ds^2}+\biggl[F'(\Phi(s;\gamma))+ \frac{\gamma^2}{4}\biggr]\biggr]\psi= \lambda \psi, \qquad -\infty<s<+\infty,
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
при краевых условиях Спектральный параметр $\lambda$ связан с $\mu$ соотношениям, зависящим от исходного уравнения: либо $\lambda=-\mu$, либо $\lambda=-(\mu^2+\alpha\mu)c^2/(c^2-v^2)$ при $0<v<c$. Как видно из этих формул, устойчивость обеспечивается отсутствием спектра на левой полуоси $\lambda<0$. Самосопряженность оператора дает возможность воспользоваться результатами и приемами теории Штурма–Лиувилля. Условия, при которых спектр неотрицателен и волна устойчива, можно выделять разными способами. Наиболее прост случай $F'(\Phi)\geqslant F'(\Phi_1)$, который соответсствует условиям работы [1]. Поскольку $F'(\Phi_1)=-\gamma_*^2/4$, то потенциал в спектральной задаче
$$
\begin{equation*}
F'(\Phi)+\frac{\gamma^2}4\geqslant F'(\Phi)+\frac{\gamma_*^2}4\geqslant0
\end{equation*}
\notag
$$
неотрицателен при любых $\gamma\geqslant\gamma_*$. Поэтому в этом случае отрицательных собственных значений не существует, как видно из оценки, получаемой для квадратов собственной функции из уравнения (5.1)
$$
\begin{equation*}
\lambda\int_{-\infty}^{+\infty}\psi^2(s)\,ds\geqslant \int_{-\infty}^{+\infty}\biggl(\frac{d\psi}{ds}\biggr)^2\,ds>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Если подходящей оценки для производной $F'(\Phi)$ нет, то таким способом устойчивость получается только для волн с большими скоростями, которые соответствуют значениям $\gamma^2/4\geqslant\max(-F'(\Phi))$. Исчерпывающие результаты получаются с учетом более тонких свойств функции $\Phi(s;\gamma)$. Поскольку $\Phi(s;\gamma)$ – решение автономного уравнения (1.1), то производная $\Phi'(s;\gamma)$ удовлетворяет соответствующему линеаризованному уравнению. В таком случае $\psi_0(s;\gamma)=\Phi'(s;\gamma)\exp(\gamma s/2)$ будет решением уравнения (5.1) при $\lambda=0$. Кроме того, $\psi_0(s;\gamma)\to0$ при $s\to-\infty$. Эту функцию можно использовать в теореме Штурма для сравнения с решениями уравнения (5.1) при других значениях $\lambda$. Теорема 3. Пусть параметр $\gamma$ не меньше предельного значения $\gamma\geqslant\gamma_0$, определенного в теореме 1. Тогда для уравнения (1.3) (либо (1.4)) бегущая волна со скоростью $v$, определяемой соотношением $v=\gamma$ (либо $\alpha v/\sqrt{c^2-v^2}=\gamma$), будет монотонна и устойчива в линейном приближении. Доказательство. Монотонность волны очевидна ввиду монотонности траектории при $\gamma\geqslant\gamma_0$. В рассматриваемой спектральной задаче потенциал определяется выражением $q(s)=F'(\Phi(s;\gamma))+{\gamma^2}/{4}.$ Его асимптотика на бесконечности быстро стабилизируется к константам и определяется производными в неподвижных точках (в седле и в узле):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q(s)&=\biggl[F'(\Phi_0)+ \frac{\gamma^2}{4}\biggr]+\mathcal{O}(\exp(\nu_0 s)), \\ &\qquad s\to-\infty, \qquad \nu_0=\frac12\Bigl[-\gamma+\sqrt{\gamma^2+4 F'(\Phi_0)}\Bigr]>0, \\ q(s)&=\biggl[F'(\Phi_1)+\frac{\gamma^2}{4}\biggr]+\mathcal{O}(\exp(\nu_{\pm} s)), \\ &\qquad s\to+\infty, \qquad\nu_\pm=\frac12\Bigl[-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2+4 F'(\Phi_1)}\Bigr]<0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Показатели $\nu_\pm$ в остатках определяются поведением траектории при входе в узел.
Константы стабилизации в потенциале определяют показатели экспоненциальной асимптотики решений уравнения (5.1). Для любого $\lambda\leqslant0$ всегда существует решение, обращающееся в нуль на минус бесконечности:
$$
\begin{equation}
\psi_\lambda(s)=\exp\biggl(s\sqrt{-\lambda+F'(\Phi_0)+\frac{\gamma^2}{4}}\biggr)[1+o(1)], \qquad s\to-\infty.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Такое решение на плюс бесконечности в общем случае имеет неубывающую асимптотику
$$
\begin{equation}
\psi_\lambda(s)=\exp\biggl(s\sqrt{-\lambda+F'(\Phi_1)+\frac{\gamma^2}{4}}\biggr)[1+o(1)], \qquad s\to+\infty,
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
поскольку $F'(\Phi_1)+ {\gamma^2}/{4}\geqslant0$. При исключительных $\lambda\leqslant0$, которые соответствуют собственным значениям (если таковые существуют), это решение имеет убывающую асимптотику
$$
\begin{equation*}
\psi_\lambda(s)=\exp\biggl(-s\sqrt{-\lambda+F'(\Phi_1)+\frac{\gamma^2}{4}}\biggr)[1+o(1)], \qquad s\to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Однако в рассматриваемой задаче таких $\lambda<0$ не существует, и этот факт доказывается ниже.
Функция $\psi_0(s)$ является решением уравнения (5.1) при $\lambda=0$ и стремится к нулю на минус бесконечности. При $\gamma=\gamma_0$ траектория волны $\Phi(s;\gamma_0)$ будет исключительной в узле, касаясь направления с $\nu_-$. Поэтому асимптотика
$$
\begin{equation*}
\Phi(s;\gamma_0)=\Phi_1+\mathcal{O}(\exp(\nu_-s)), \qquad s\to+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
дает экспоненциальное убывание функции $\psi_0(s)=\exp(s\gamma/2)\Phi'(s;\gamma)$ при $s\to+\infty$. В этом случае $\psi_0(s)$ оказывается собственной функцией, соответствующей $\lambda=0$.
При других значениях $\gamma\neq\gamma_0$ траектория волны $\Phi(s;\gamma)$ не будет исключительной в узле, касаясь направления с $\nu_+$. Ее неубывающая асимптотика с $\gamma\geqslant\gamma_*$ соответствует (5.4)
$$
\begin{equation*}
\psi_0(s)=\exp\biggl(s\sqrt{F'(\Phi_1)+\frac{\gamma^2}{4}}\biggr)[1+o(1)], \qquad s\to+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
так что $\lambda=0$ не будет точкой спектра.
Однако более важным свойством функции $\psi_0(s)$ является отсутствие нулей в конечных точках $s\in\mathbb{R}$. Это свойство вытекает из монотонности функции $\Phi(s;\gamma)$ на рассматриваемой траектории седло-узел. При других значениях $\lambda<0$ решения $\psi_\lambda(s)$ уравнения (5.1), обращающиеся в нуль на минус бесконечности, также не имеют нулей, что следует из теоремы сравнения Штурма. Напомним, что формальное доказательство основано на интегрировании уравнения (5.1) после умножения на $\psi_0(s)$ на промежутке $-\infty<s<s_0$ до ближайшего нуля. В результате интегрирования по частям приходим к соотношению
$$
\begin{equation*}
\lambda\int_{-\infty}^{s_0}\psi_\lambda(s)\psi_0(s)\,ds= \int_{-\infty}^{s_0}\biggl[-\frac{d^2\psi_\lambda}{ds^2}\psi_0+ \psi_\lambda\psi_0\biggr]\,ds =-\frac{d\psi_\lambda}{ds}\psi_0\bigg|_{s=s_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, такое соотношение не возможно, если $\lambda<0$. Здесь надо учесть, что при $\lambda<0$ нули, если существуют, то будут простыми и их число конечно; см. [19; с. 268]. В предельном случае $s_0=+\infty$ получается соотношение
$$
\begin{equation*}
\lambda\int_{-\infty}^{+\infty}\psi_\lambda(s)\psi_0(s)\,ds=0,
\end{equation*}
\notag
$$
что также невозможно при $\lambda<0$ и знакопостоянных функциях $\psi_\lambda(s),\psi_0(s)$. Интеграл здесь сходится ввиду асимптотики (5.3) в предположении, что $\psi_\lambda(s)$ является собственной функцией. Теорема доказана. Теорема 4. Пусть параметр $\gamma$ меньше предельного значения $\gamma<\gamma_0$, определенного в теореме 1. Тогда для уравнения (1.3) (либо (1.4)) бегущая волна со скоростью $v$, определяемой соотношением $v=\gamma$ (либо $\alpha v/\sqrt{c^2-v^2}=\gamma$), будет немонотонна и неустойчива в линейном приближении. Доказательство основано на свойствах ненулевого решения $\psi_\lambda(s;\gamma)$ уравнения (5.1), фиксированного условием $\psi_\lambda(s;\gamma)\to0$, $ s\to-\infty$. Его асимптотика при $s\to-\infty$ экспоненциально убывает и определяется соотношением (5.3). Для этих решений при $\lambda<0$ далее используются результаты теории Штурма о нулях. А именно: все нули $s_\lambda$ являются простыми, изолированными, непрерывны по $\lambda$, монотонно сдвигаются направо при уменьшении $\lambda$; см. [20]. Крайне левый нуль находится на минус бесконечности; эта деталь не проявляется на приведенных результатах ввиду быстрого убывания функций, которое обепечивает сходимость интегралов в теории Штурма.
Фазовая траектория волны, обходя узел конечное число раз, пересекает ось $\Phi$, где производная обращается в нуль $\Psi=\dot\Phi=0$. Поэтому функция $\psi_0(s;\gamma)$ имеет конечное число нулей в конечных точках. Пусть $s=s_0>-\infty$ – наименьший конечный нуль, ближайший к минус бесконечность. При уменьшении $\lambda$ такой нуль монотонно и непрерывно движется направо. Для уравнения (5.1) на решении с нулем $s_\lambda$ получается неравенство Легко видеть, что при больших отрицательных $\lambda$ такого неравенства быть не может. Следовательно, при убывании $\lambda$ нуль выходит на бесконечность $s_\lambda\to+\infty$ в конечном пределе при $\lambda\to\lambda_0<0$. Решение на предельном значении $\psi_{\lambda_0}(s;\gamma)$ является собственной функцией с отрицательным собственным значением $\lambda_0<0$. Этим заканчивается доказательство теоремы о неустойчивости.Дополнение к доказательству. Для полноты и строгости доказательства следует показать обращение в нуль предельного решения $\psi_{\lambda_0}(s;\gamma)\to0$, $s\to+\infty$, на бесконечности. Предположим от противного, что эта функция не обращается в нуль на бесконечности; без ограничения общности ее можно считать положительной. Тогда для $\psi_{\lambda_0}(s;\gamma)$, как решения дифференциального уравнения (5.1), имеет место асимптотика (5.4), экспоненциально растущая на бесконечности с показателем
$$
\begin{equation*}
\sqrt{-\lambda_0+\biggl[F'(\Phi_1)+ \frac{\gamma^2}{4}\biggr]}>0.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, эта функция является пределом $\psi_{\lambda}(s;\gamma)\rightrightarrows\psi_{\lambda_0}(s;\gamma)$ при $\lambda\to\lambda_0$ равномерно по $s$ на любом компакте. Поскольку
$$
\begin{equation*}
F'(\Phi_1)+\frac{\gamma^2}{4}>F'(\Phi_1)+\frac{\gamma_*^2}{4}>0=0,
\end{equation*}
\notag
$$
то вблизи бесконечности можно выбрать точку $s=S<+\infty$ так, чтобы $-\lambda_0+F'(\Phi(s))+{\gamma^2}/{4}>0$ для всех $s>S$. Ввиду сходимости все функции (их можно считать положительными для $\lambda$ достаточно, близких к $\lambda_0$) в этой точке ограничены одной константой $0<\psi_{\lambda}(s;\gamma)<M<\infty$, $\lambda_0<\lambda<\lambda_0+\delta$. Эти функции имеют нули, уходящие на бесконечность $S<s_{\lambda}\to+\infty$, $\lambda\to\lambda_0$. Кроме того, эти функции приближаются к экспоненциально растущей функции. Поэтому при $\lambda$ достаточно близких к $\lambda_0$ эти функции будут иметь положительный максимум при $s>S$, превосходящий значение в граничной точке $S$. Однако из уравнения (5.1) следует, что такой максимум не может существовать из-за положительности коэффициента $-\lambda_0+F'(\Phi(s))+ {\gamma^2}/{4}>0$; в этом состоит принцип максимума для уравнения второго порядка. Полученное противоречие показывает, что предположение о необращении в нуль предельного решения на бесконечности неверно. Следовательно, $\psi_{\lambda_0}(s;\gamma)\to0$, $s\to+\infty$, и $\lambda_0<0$ является собственным значением.
6. Анализ примеров6.1. Уравнение КППДля уравнения (1.3) с функцией $F(\Phi)=\Phi(1-\Phi)$ критическое значение параметра $\gamma_*=2$. В силу следствия 1 бегущая волна будет устойчивой и монотонной при всех $\gamma\geqslant\gamma_*$ (при любой скорости $v\geqslant2$). В частности, устойчива волна со скоростью $v=5/\sqrt6\approx2.04$, найденная в явном виде в работе [21]. Примеры уравнения КПП с более сложной функцией $F(\Phi)$ проанализированы в [10]. 6.2. Устойчивость бегущей волны в магнитодинамикеВ уравнении магнитодинамики (1.4) берется функция $F(\Phi)=\sin\Phi\cos\Phi+w\sin\Phi$, содержащая параметр $w>0$, [8]. Пара равновесий $\varphi\equiv0$ и $\varphi\equiv\pi$ не зависит от $w$. Ищется бегущая волна со скоростью $v$, бегущая из $0$ в $\pi$. Соответствующее обыкновенное дифференциальное уравнение (1.1) содержит параметр $\gamma$, связаный со скоростью соотношением $\gamma=\alpha v/\sqrt{c^2-v^2}$ . Таким образом, волна зависит от двух параметров $w,\gamma>0$ (или $w,v>0$). В частном случае, когда $\gamma=w$, известно решение в явной форме [8]:
$$
\begin{equation}
\Phi_0(s)=2\operatorname{arctg}\exp(s), \qquad s=\frac{x-vt}{\sqrt{c^2-v^2}}.
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
При этом для скорости волны получается выражение через параметры уравнения: $v_z(w)={c}/{\sqrt{1+\alpha^2/w^2}}.$ Поскольку функция (6.1) монотонна, то такая волна устойчива в линейном приближении независимо от параметра $w$. Ниже обсуждается вопрос о существовании других устойчивых волн, с другими скоростями при разных $w>0$. Неподвижная точка $(0,0)$ в уравнении бегущей волны (1.1) имеет тип седла независимо от $w,\gamma>0$. Структура неподвижной точки $(\pi,0)$ определяется корнями характеристического уравнения
$$
\begin{equation*}
\nu_\pm(\gamma,w)=\frac12\Bigl[-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2+4(1-w)}\Bigr]
\end{equation*}
\notag
$$
и зависит от $\gamma,w$. При $0<w<1$ это будет седло. Бегущая волна с краевыми условиями $0$ и $\pi$ соответствует траектории из седла $(0,0)$ в седло $(\pi,0)$. Такая траектория бывает лишь при исключительном значении параметра $\gamma=\gamma_z(w)$, и оно указано в явной формуле: $\gamma_z\equiv w$. Других волн такого типа (из $0$ в $\pi$) в случае $0<w<1$ не существует из-за смещения сепаратрисы при изменении $\gamma$. Если $w>1$, то неподвижная точка $(\pi,0)$ будет либо фокусом, либо узлом, и функция $F(\Phi)$ не имеет дополнительных нулей на промежутке $\Phi\in[0,2\pi)$. Сепаратрисная траектории из седла $(0,0)$ входит в точку $(\pi,0)$ независимо от параметра $\gamma$. Это означает, что существует много волн с разными скоростями, которые бегут из $0$ в $\pi$. В случае фокуса (при $\gamma<2\sqrt{w-1}$) такие волны не монотонны и поэтому не устойчивы. Условие узла $\gamma\geqslant\gamma_*=2\sqrt{w-1}$ накладывает ограничение на нижнюю границу скорости $v\geqslant v_*(w)={c}/\sqrt{1+\alpha^2/(4(w-1))}$. Однако монотонность волны и ее устойчивость не гарантируется таким условием. Для волны с условием $\gamma=w$ характеристические корни $\nu_\pm(\gamma,w)=[-w\pm|2-w|]/2$. При $1<w<2$ наименьший корень $\nu_-=-1$ определяет направление исключительной траектории в узле $(\pi,0)$ и асимптотику решения уравнения (1.1) при $s\to+\infty$ на входе в узел. Обратим внимание, что такую асимптотику имеет явное решение (6.1). Поскольку траектория этого решения оказывается исключительной, то скорость $v_z(w)$ будет наименьшей среди устойчивых волн. Волны с меньшими скоростями $v\in[v_*(w),v_z(w))$, $w\in(1,2)$, что соответствует неравенствам $\gamma_*(w)\leqslant\gamma<\gamma_0(w)$, будут немонотонны и поэтому неустойчивы. Для оценки границы устойчивости $\gamma_0=\gamma_0(w)$ при $w>2$ воспользуемся теоремой 2. Сравним производную $F'(\Phi)$ с ее значением на краю:
$$
\begin{equation*}
F'(\Phi)-F'(\pi)=2(\cos^2\Phi-1)+w(\cos\Phi+1)=(\cos\Phi+1) [w+2(\cos\Phi-1)].
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда видно, что если $w\geqslant4$, то $F'(\Phi)\geqslant F'(\pi)$ и в силу следствия 1 волна устойчива при любой скорости не ниже критической $v\geqslant v_*(w)$ для всех $w\geqslant4$. Остается исследовать промежуток параметра $2\leqslant w\leqslant 4$ для волн со скоростями от критической до специальной, когда $\gamma_*(w)<\gamma<\gamma_z=w$. Здесь вопрос решается проверкой первого утверждения теоремы 1. Эта проверка выполняется путем численного решения уравнения для критической фазовой траектории
$$
\begin{equation*}
\frac{d\Psi}{d\Phi}=\frac{\sin \Phi\cos\Phi+w\sin \Phi}{\Psi}-\gamma_*, \qquad\gamma_*=2\sqrt{w-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сепаратрисная траектория вычисляется при критическом значении $\gamma_*(w)\!=\!2\sqrt{w-1}$ для разных $w\in[2,4]$. Искомая траектория выходит из особой точки $(0,0)$, что неудобно при использовании стандартных численных методов. Поэтому начальную точку $(\Phi_0,\Psi_0)$ следует брать вблизи сепаратрисы вне особой точки. Практически реализуемый вариант: точка $(\Phi_0,\Psi_0)$ берется на касательной к сепаратрисе вблизи исходного седла $(0,0)$. Затем проверяется прохождение этой траектории вблизи узла $(\pi,0)$. Выясняется, что траектория входит в узел без обхода. Следовательно, при $2\leqslant w\leqslant 4$ критическая скорость $v_*(w)$ является минимальной для устойчивой волны. Отметим, что подобный численный эксперимент при $1<w<2$ дает критическую траекторию $\Psi_0(\Phi;\gamma_*)$ с обходом узла (рис. 2), что подтверждает наличие неустойчивых волн. Минимальную скорость устойчивой волны в этом случае также можно вычислить приближенно, подбирая предельное значение $\gamma_0(w)$, при котором прекращается обход узла. Такое приближение аппроксимирует точное значение, которое в данной задаче удалось вычислить аналитически $\gamma_0(w)=\gamma_z\equiv w$. Результаты анализа устойчивости изображены на рис. 4. На плоскости параметров $(w,\gamma)$ либо $(w,v)$ граница области устойчивости на разных промежутках по $w$ описывается разными формулами, которые совпадают при $w=2$. 7. ЗаключениеИсходные уравнения в частных производных (1.3) либо (1.4) имеют тривиальные решения $\varphi\equiv\Phi_0$ и $\varphi\equiv\Phi_1$, не зависящие от $x,t$. Эти однородные состояния являются равновесиями соответствующего обыкновенного дифференциального уравнения, например, в случае (1.4):
$$
\begin{equation*}
\frac{d^2\Phi}{d^2t}+\alpha\frac{d\Phi}{dt}+F(\Phi)=0, \qquad t>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Для этого уравнения при наложенных ограничениях (1.5) равновесие $\Phi_0$ будет устойчиво, а $\Phi_1$ неустойчиво. Бегущая волна описывает динамический переход, замещение неустойчивого однородного состояния устойчивым [6]. Такая волна является решением похожего уравнения (1.1), которое имеет те же равновесия $\Phi_0,\Phi_1$. Но здесь устойчивость того или иного равновесия зависит от выбора формулы для бегущей переменной $s$ и не имеет отношения к устойчивости однородных состояний. В данной работе для полулинейных уравнений параболичекого и гиперболического типа (1.3) либо (1.4) решена задача об устойчивости в линейном приближении для решений типа бегущей волны, которые определяются уравнением (1.1) на траектории седло-узел. Устойчивость идентифицируется с отсутствием в первой поправке экспоненциального роста по $t$. Для нахождения минимальной скорости устойчивой волны указан способ, который легко реализуется численно. Здесь не обсуждается устойчивость в той форме, что преподносится для параболических уравнений и систем в известных публикациях [1], [22], [23], [5], когда доказывается сходимость возмущенного решения к бегущей волне при $t\to\infty$. Для гиперболических уравнений подобные исследования об асимптотической устойчивости отсутствуют. На наличие проблемы в случае неустойчивого однородного состояния $\Phi_1$ указывают численные эксперименты. Для уравнения магнитодинамики, а также для КПП обнаруживается неустойчивость переднего фронта относительно погрешностей вычислений. Этот эффект наблюдается на волне из седла в узел, которая формально устойчива в линейном приближении. Кажущееся противоречие объясняется медленным убыванием по $s$ погрешностей, возникающих в численных экспериментах перед фронтом бегущей волны. Похожие проблемы возникают в задаче о возмущении такой волны [24], [25]. Выяснение роли устойчивости в конструкции асимптотики возмущенного решения для гиперболических уравнений остается предметом дальнейших исследований. В этом направлении интерес представляют класс допустимых начальных возмущений и времена, при которых сохраняется структура волны. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kal24} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|