Математические заметки
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математические заметки, 2024, том 116, выпуск 3, страницы 372–387
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm14189
(Mi mzm14189)
 

Симметричная гиперболическая ловушка

С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов

Центр интегрируемых систем, Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Список литературы:
Аннотация: Рассматривается произвольный диффеоморфизм $f$ класса $C^1$, действующий из некоторого открытого подмножества $U$ риманова многообразия $M$ размерности $m$, $m\geqslant 2$, в $f(U)\subset M$. Предлагаются некоторые достаточные условия, при выполнении которых область $U$ представляет собой гиперболическую ловушку. Последнее означает, что любое подмножество $A\subset U$, $f(A)=A$, автоматически является гиперболическим множеством диффеоморфизма $f$. Добавим еще, что упомянутая гиперболическая ловушка симметрична в том смысле, что условия ее существования не меняются при переходе от $f$ к обратному отображению $f^{-1}$.
Библиография: 23 названия.
Ключевые слова: диффеоморфизм, многообразие, инвариантное множество, гиперболическая ловушка.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский фонд фундаментальных исследований 21-71-30011
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 21-71-30011, https://rscf.ru/project/21-71-30011/.
Поступило: 15.11.2023
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 3, Pages 446–457
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624090050
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517.926

1. Постановка задачи и описание результатов

История развития современной гиперболической теории и основные ее достижения подробно описаны в обзорах [1], [2] и монографиях [3]–[12] (это, разумеется, далеко не полный библиографический список). Следует особо упомянуть известный критерий конусов [2], [4], [5], с помощью которого осуществляется проверка гиперболичности для конкретных примеров диффеоморфизмов. Однако к настоящему времени разработаны и другие способы проверки наличия свойства гиперболичности. Соответствующие результаты содержатся в статье [13], где получены 16 наборов достаточных условий, при которых инвариантное множество $A$ диффеоморфизма $f$ является гиперболическим.

В настоящей работе, продолжающей начатые в [13] исследования, предлагается набор достаточных условий, при выполнении которых область определения $U\subset M$ диффеоморфизма $f$ будет гиперболической ловушкой. Как уже отмечалось выше, это означает автоматическую гиперболичность любого подмножества $A\subset U$, инвариантного для отображения $f$. Кроме того, в отличие от всех случаев из [13], новый набор достаточных условий гиперболичности обладает свойством симметричности, т.е. формулируется одинаково как для $f$, так и для $f^{-1}$. И в этом смысле гиперболическая ловушка $U$ является симметричной.

Приступим теперь непосредственно к описанию результатов настоящей статьи. В связи с этим фиксируем произвольно некоторое открытое подмножество $U\subset M$ (не обязательно ограниченное), где $M$ – гладкое риманово многообразие размерности $m$, $m\geqslant 2$, и отображение $f\colon U\to M$ класса $C^1$, являющееся диффеоморфизмом из $U$ в $f(U)\subset M$.

Сформулируем сначала используемое в дальнейшем определение гиперболичности (см. [3]). В связи с этим всюду ниже через $\|\cdot\|$ будем обозначать риманову норму в касательном пространстве $T_xM$, индуцированную некоторой римановой метрикой на $M$ (зависимость этой нормы от $x\in M$ для краткости мы опускаем). Далее, в предположении о существовании подмножества $A\subset U$, $f(A)=A$, для каждой точки $x\in A$ зададим операторы

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, D(f^n(x))=Df(x_{n-1})\circ Df(x_{n-2})\circ\dots\circ Df(x_{0}), \\ D(f^{-n}(x))=[Df(x_{-n})]^{-1}\circ [Df(x_{-(n-1)})]^{-1}\circ\dots\circ[Df(x_{-1})]^{-1}, \qquad n\in\mathbb{N}, \end{gathered} \end{equation} \tag{1.1} $$
где $Df(x)\colon T_xM\to T_{f(x)}M$ – дифференциал отображения $f$, $x_j=f^j(x)$, $j\in\mathbb{Z}$.

Определение (У). Инвариантное множество $A$ называется гиперболическим для отображения $f$, если, во-первых, при каждом $x\in A$ касательное пространство $T_xM$ допускает представление в виде прямой суммы

$$ \begin{equation} T_xM=E^{\mathrm u}_x\oplus E^{\mathrm s}_x \end{equation} \tag{1.2} $$
линейных подпространств $E^{\mathrm u}_x$, $E^{\mathrm s}_x$, обладающих свойствами инвариантности
$$ \begin{equation} Df(x)E^{\mathrm u}_x=E^{\mathrm u}_{f(x)}, \quad Df(x)E^{\mathrm s}_x=E^{\mathrm s}_{f(x)} \quad\forall\,x\in A, \end{equation} \tag{1.3} $$
во-вторых, существуют такие постоянные $\mu_1, \mu_2\in (0, 1)$, $c_1, c_2>0$, что
$$ \begin{equation} \|D(f^{-n}(x))\xi\| \leqslant c_1\mu_1^n\|\xi\| \quad \forall\,x\in A, \quad \forall\,\xi\in E_{x}^{\mathrm u}, \quad \forall\,n\in\mathbb{N}, \end{equation} \tag{1.4} $$
$$ \begin{equation} \|D(f^{n}(x))\xi\| \leqslant c_2\mu_2^n\|\xi\| \quad \forall\,x\in A, \quad \forall\,\xi\in E_{x}^{\mathrm s}, \quad \forall\,n\in\mathbb{N}. \end{equation} \tag{1.5} $$

Следует напомнить, что в статье [3] гиперболические диффеоморфизмы назывались У-диффеоморфизмами или У-системами. Именно по этой причине мы пометили определение гиперболичности буквой У.

Обратимся, далее, к условиям, при выполнении которых область $U$ является гиперболической ловушкой. Первое из них обеспечивает равномерную ограниченность операторов $Df(x)$ и $[Df(x)]^{-1}$ по параметру $x\in U$. Ввиду возможной неограниченности самой области $U$ это свойство не выполняется автоматически, а значит, его приходится постулировать.

Условие 1. Справедливы требования

$$ \begin{equation} \sup_{x\in U}\|Df(x)\|_{T_xM\to T_{f(x)}M}<\infty, \qquad \sup_{x\in U}\|[Df(x)]^{-1}\|_{T_{f(x)}M\to T_xM}<\infty. \end{equation} \tag{1.6} $$

Следующее условие идентично соответствующему ограничению из критерия конусов [2], [4], [5]. А именно, мы предполагаем существование некоторого изначального разложения пространства $T_xM$ при $x\in U\cup f(U)$ в прямую сумму двух линейных подпространств.

Условие 2. При $\forall\,x\in U\cup f(U)$ имеет место разложение

$$ \begin{equation} T_xM=E_1(x)\oplus E_2(x), \end{equation} \tag{1.7} $$
где сумма прямая, а линейные подпространства $E_1(x)$, $E_2(x)$, вообще говоря, не $Df$-инвариантны и не обязательно непрерывны по $x$. Характер их зависимости от $x\in U\cup f(U)$ таков, что для соответствующих проекторов
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, P(x), Q(x)\colon \quad \forall\, \xi=\xi_1(x)+\xi_2(x)\in T_xM, \qquad \xi_1(x)\in E_1(x), \qquad\xi_2(x)\in E_2(x), \\ P(x)\xi=\xi_1(x), \qquad Q(x)\xi=\xi_2(x) \end{gathered} \end{equation} \tag{1.8} $$
выполнены неравенства
$$ \begin{equation} \sup_{x\in U\cup f(U)}\|P(x)\|_{T_xM\to T_xM}<\infty, \qquad \sup_{x\in U\cup f(U)}\|Q(x)\|_{T_xM\to T_xM}<\infty. \end{equation} \tag{1.9} $$

Опираясь на разложение (1.7) и проекторы (1.8), введем в рассмотрение операторы

$$ \begin{equation} \Lambda_{j, 1}(x) =P(f(x))Df(x)\colon \quad E_j(x)\to E_1(f(x)), \qquad j=1, 2, \end{equation} \tag{1.10} $$
$$ \begin{equation} \Lambda_{j, 2}(x) =Q(x)(Df(x))^{-1}\colon \quad E_j(f(x))\to E_2(x), \qquad j=1, 2, \end{equation} \tag{1.11} $$
где $E_1(x)$, $E_2(x)$ – подпространства из (1.7), $P(x)$, $Q(x)$ – проекторы (1.8). Ниже нам понадобятся некоторые дополнительные ограничения, которые формулируются в терминах операторов (1.10), (1.11).

Условие 3. Предполагаем, что при $\forall\,x\in U$ линейные операторы $\Lambda_{j, j}(x)$, $j=1, 2$, обратимы, и имеют место свойства ограниченности

$$ \begin{equation} \sup_{x\in U}\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(x)\|_{E_1(f(x))\to E_1(x)}<\infty, \qquad \sup_{x\in U}\|\Lambda_{2, 2}^{-1}(x)\|_{E_2(x)\to E_2(f(x))}<\infty. \end{equation} \tag{1.12} $$

Условие 4. Справедливы требования

$$ \begin{equation} \alpha_1<1, \qquad \alpha_2<1, \qquad \beta_1\beta_2<(1-\alpha_1)(1-\alpha_2), \end{equation} \tag{1.13} $$
где
$$ \begin{equation} \alpha_1=\sup_{x\in U}\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(x)\|_{E_1(f(x))\to E_1(x)}, \qquad \alpha_2=\sup_{x\in U}\|\Lambda_{2, 2}^{-1}(x)\|_{E_2(x)\to E_2(f(x))}, \end{equation} \tag{1.14} $$
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \beta_1=&\sup_{x\in U}\|\Lambda_{2, 2}^{-1}(x)\Lambda_{1, 2}(x)\|_{E_1(f(x))\to E_2(f(x))}, \\ \beta_2=&\sup_{x\in U}\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(x)\Lambda_{2, 1}(x)\|_{E_2(x)\to E_1(x)}. \end{aligned} \end{equation} \tag{1.15} $$

Подчеркнем, что в силу предположений (1.6), (1.9), (1.12) все фигурирующие в неравенствах (1.13) постоянные (1.14), (1.15) заведомо конечны.

Развитые в работе [13] методы проверки гиперболичности позволяют установить следующее утверждение, являющееся основным результатом настоящей статьи.

Теорема 1. При выполнении условий 14 любое подмножество $A\subset U$, инвариантное для диффеоморфизма $f$ (т.е. такое, что $f(A)=A$), автоматически оказывается гиперболическим.

Сформулированная теорема означает, что при условиях 14 область $U$ представляет собой гиперболическую ловушку. А поскольку (как будет показано при обосновании этой теоремы) условия 14 не меняются при переходе от $f$ к обратному отображению $f^{-1}$, то упомянутая ловушка обладает свойством симметричности.

Следует отметить, что ранее в книге [14] для диффеоморфизма $f\colon U\to\mathbb{R}^k\times\mathbb{R}^m$, где $U$ – некоторая область из $\mathbb{R}^k\times\mathbb{R}^m$, был получен набор достаточных условий, гарантирующих гиперболичность любого подмножества $A\subset U$, $f(A)=A$. Однако в отличие от наших условий 14 ограничения из [14] не являются симметричными. Добавим еще, что упомянутый результат из [14] усилен в статье [15], где впервые и был введен термин ”гиперболическая ловушка”.

В частном случае $U=f(U)=M$ теорема 1 дает достаточные условия гиперболичности отображения $f$ на всем многообразии $M$, т.е. гарантирует принадлежность $f$ к диффеоморфизмам Аносова. Например, при $U=\mathbb{T}^m$, $m\geqslant 2$, $f(\mathbb{T}^m)=\mathbb{T}^m$, где $\mathbb{T}^m=\mathbb{R}^m/2\pi\mathbb{Z}^m$, на этом пути получается новая серия достаточных условий гиперболичности диффеоморфизмов $f$ тора $\mathbb{T}^m$. Таким образом, удается дополнить соответствующие результаты из [16], [17], где были получены некоторые другие достаточные условия гиперболичности $f$ на $\mathbb{T}^m$.

Обратим внимание, что условия гиперболичности (1.13) в принципе зависят от способа задания нормы в $T_xM$. Однако в случае $U=f(U)=\mathbb{T}^2$ и при специальном выборе разложения (1.7) касательного пространства $T_x\mathbb{T}^2=\mathbb{R}^2$ их удается представить в некоторой инвариантной форме.

Для определенности всюду ниже считаем, что тор $\mathbb{T}^2$ отождествлен с фундаментальным множеством

$$ \begin{equation} \mathscr{U}=\biggl\{x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2\colon 0\leqslant x_1<2\pi,\,0\leqslant x_2<2\pi\biggr\}. \end{equation} \tag{1.16} $$
Далее, рассмотрим отображение $f\colon \mathbb{T}^2\to\mathbb{T}^2$, имеющее вид
$$ \begin{equation} f\colon x\mapsto \Lambda x+h(x)\ (\operatorname{mod} 2\pi). \end{equation} \tag{1.17} $$
Здесь $\Lambda$ – невырожденная квадратная матрица размера $2\times 2$ с целочисленными элементами, спектр которой не пересекается с единичной окружностью, а вектор-функция $h(x)$ принадлежит классу $C^1(\mathbb{R}^2; \mathbb{R}^2)$. Предположим также, что она является $2\pi$-периодической по $x\in\mathbb{R}^2$, т.е. $h(x+2\pi l)\equiv h(x)$ для любого $l\in\mathbb{Z}^2$. Что же касается вектора $\Lambda x+h(x)\ (\operatorname{mod} 2\pi)$, то при любом $x\in\mathscr{U}$ он представляет собой естественную проекцию исходного вектора $\Lambda x+h(x)$ из $\mathbb{R}^2$ на множество (1.16). И наконец, предполагаем, что (1.17) – диффеоморфизм тора $\mathbb{T}^2$, т.е.
$$ \begin{equation} |\det\Lambda|=1, \qquad\det(\Lambda+h'(x))\ne 0 \quad \forall\,x\in\mathbb{R}^2, \end{equation} \tag{1.18} $$
где $h'(x)$ – матрица Якоби вектор-функции $h(x)$.

В силу ограничений, наложенных на матрицу $\Lambda$, она имеет собственные значения $\lambda_1$, $|\lambda_1|>1$, и $\lambda_2$, $|\lambda_2|<1$, с собственными векторами $e_1$ и $e_2$ соответственно. Кроме этого, рассмотрим векторы $g_s$, $s=1, 2$, удовлетворяющие соотношениям

$$ \begin{equation} \Lambda^{*}g_s=\lambda_sg_s, \quad (e_j, g_s)=\delta_{j s}, \qquad j, s=1, 2, \end{equation} \tag{1.19} $$
где $\Lambda^{*}$ – сопряженная матрица, $(*, *)$ – евклидово скалярное произведение в $\mathbb{R}^2$, $\delta_{j s}$ – символ Кронекера. Далее, положим
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \beta_{j, s}(x)=(h'(x)e_j, g_s), \quad j, s=1, 2, \qquad \alpha(x)=\lambda_1+\beta_{1, 1}(x), \\ \Delta(x)=(\lambda_1+\beta_{1, 1}(x))(\lambda_2+\beta_{2, 2}(x))-\beta_{1, 2}(x)\beta_{2, 1}(x). \end{gathered} \end{equation} \tag{1.20} $$
Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Предположим, что выполнены неравенства

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \alpha(x)\ne 0 \quad\forall\,x\in\mathbb{R}^2, \qquad \alpha_1^0<1, \qquad \alpha_2^0<1, \qquad \beta_{1}^0\beta_{2}^0< (1-\alpha_1^0)(1-\alpha_2^0), \end{gathered} \end{equation} \tag{1.21} $$
где
$$ \begin{equation} \alpha_1^0=\max_{x\in\mathbb{R}^2}\frac{1}{|\alpha(x)|}, \qquad \alpha_2^0=\max_{x\in\mathbb{R}^2}\biggl|\frac{\Delta(x)}{\alpha(x)}\biggr|, \end{equation} \tag{1.22} $$
$$ \begin{equation} \beta_1^0=\max_{x\in\mathbb{R}^2}\biggl|\frac{\beta_{1, 2}(x)\Delta(x)}{\alpha(x)}\biggr|, \qquad \beta_2^0=\max_{x\in\mathbb{R}^2}\biggl|\frac{\beta_{2, 1}(x)}{\alpha(x)}\biggr|. \end{equation} \tag{1.23} $$
Тогда отображение (1.17) является диффеоморфизмом Аносова на торе $\mathbb{T}^2$.

Отметим, что условия (1.21) инвариантны по отношению к выбору векторов $e_1$, $e_2$, $g_1$, $g_2$. Действительно, если заменить $e_1$, $e_2$ на векторы $c_1e_1$, $c_2e_2$, где постоянные $c_1, c_2\ne 0$, то согласно (1.19) векторы $g_1$, $g_2$ заменятся на $(1/c_1)g_1$, $(1/c_2)g_2$. А отсюда и из (1.20)(1.23) следует, что при таких заменах функция $\alpha(x)$, величины $\alpha_1^0$, $\alpha_2^0$ и произведение $\beta_{1}^0\beta_{2}^0$ останутся прежними.

2. Доказательство теоремы 1

Предположим, что выполнены условия 14 и рассматриваемое отображение $f$ имеет в $U$ инвариантное подмножество $A$ (т.е. такое, что $f(A)=A$). В силу определения (У) для установления факта гиперболичности множества $A$ нам следует убедиться в справедливости разложения (1.2) пространства $T_xM$ при каждом $x\in A$ в прямую сумму подпространств $E^{\mathrm u}_x$, $E^{\mathrm s}_x$, обладающих свойствами $Df$-инвариантности (1.3). Кроме того, необходимо проверить выполнение неравенств (1.4), (1.5).

Обсудим сначала общую схему отыскания гиперболической структуры (1.2) для отображения $f$. В первую очередь заметим, что хотя фигурирующие в ней подпространства ${E}^{\mathrm u}_x$, ${E}^{\mathrm s}_x$, вообще говоря, отличны от подпространств $E_1(x)$, $E_2(x)$ из разложения (1.7), но между ними есть определенная связь. А именно, интересующие нас подпространства ${E}^{\mathrm u}_x$, ${E}^{\mathrm s}_x$ могут быть представлены в параметрической форме:

$$ \begin{equation} {E}^{\mathrm u}_x =\bigl\{\xi=u_1+u_2\in T_xM\colon u_2=a(x)u_1,\, u_1\in E_1(x)\bigr\}, \end{equation} \tag{2.1} $$
$$ \begin{equation} {E}^{\mathrm s}_x =\bigl\{\xi=u_1+u_2\in T_xM\colon u_1=b(x)u_2,\, u_2\in E_2(x)\bigr\}. \end{equation} \tag{2.2} $$
Здесь $u_1\in E_1(x)$ и $u_2\in E_2(x)$ – векторные параметры на ${E}^{\mathrm u}_x$ и ${E}^{\mathrm s}_x$ соответственно, а подлежащие определению линейные операторы
$$ \begin{equation*} a(x)\colon E_1(x)\to E_2(x), \qquad b(x)\colon E_2(x)\to E_1(x) \end{equation*} \notag $$
таковы, что
$$ \begin{equation*} \sup_{x\in A}\|a(x)\|_{E_1(x)\to E_2(x)}<\infty, \qquad \sup_{x\in A}\|b(x)\|_{E_2(x)\to E_1(x)}<\infty. \end{equation*} \notag $$

Как будет показано ниже (см. также аналогичные построения в [13]), из условий $Df$-инвариантности (1.3) подпространств (2.1), (2.2) для $a(x)$, $b(x)$ получаются некоторые нелинейные операторные уравнения, к которым в последующем применяется принцип сжимающих отображений (справедливость этого принципа в подходящих функциональных пространствах гарантируют неравенства (1.13)). В результате устанавливаем существование требуемых подпространств ${E}^{\mathrm u}_x$, ${E}^{\mathrm s}_x$. Используя их параметрические представления (2.1), (2.2), удается обосновать как оценки вида (1.4), (1.5), так и разложение (1.2).

Приступим к реализации описанной схемы и начнем с отыскания $a(x)$. Из (1.3), (2.1) следует, что должно выполняться равенство вида

$$ \begin{equation} Df(x)(u_1+a(x)u_1)=C_a(x)u_1+a(f(x))C_a(x)u_1 \qquad \forall\,x\in A, \quad \forall\,u_1\in E_1(x), \end{equation} \tag{2.3} $$
где $C_a(x)\colon E_1(x)\to E_1(f(x))$ – некоторый линейный оператор.

Для анализа равенства (2.3) проделаем следующие операции. Сначала применим к его левой и правой частям проектор $P(f(x))$. В результате приходим к формуле

$$ \begin{equation} C_a(x)=\Lambda_{1, 1}(x)+\Lambda_{2, 1}(x)a(x), \end{equation} \tag{2.4} $$
где $\Lambda_{1, 1}(x), \Lambda_{2, 1}(x)$ – операторы (1.10). Затем перейдем от (2.3) к новому равенству
$$ \begin{equation} u_1+a(x)u_1=[Df(x)]^{-1}\bigl(C_a(x)u_1+a(f(x))C_a(x)u_1\bigr) \qquad \forall\,x\in A, \quad \forall\,u_1\in E_1(x). \end{equation} \tag{2.5} $$
И наконец, применяя к (2.5) проектор $Q(x)$, имеем
$$ \begin{equation} a(x)=\bigl[\Lambda_{1, 2}(x)+\Lambda_{2, 2}(x)a(f(x))\bigr]C_a(x), \end{equation} \tag{2.6} $$
где $\Lambda_{1, 2}(x), \Lambda_{2, 2}(x)$ – операторы (1.11).

Отдельного рассмотрения требует вопрос об эквивалентности перехода от равенства (2.3) к системе соотношений (2.4), (2.6). Проблема здесь сводится к проверке обратимости оператора перехода $\Pi\colon T_{f(x)}M\to H$, где пространство $H$ задается равенством

$$ \begin{equation} H=\bigl\{(u_1, u_2)\colon u_1\in E_1(f(x)),\, u_2\in E_2(x)\bigr\}, \end{equation} \tag{2.7} $$
а само отображение $\Pi$ линейно и имеет вид
$$ \begin{equation} \Pi \xi=\bigl(P(f(x))\xi,Q(x)[Df(x)]^{-1}\xi\bigr) \qquad\forall\,\xi\in T_{f(x)}M. \end{equation} \tag{2.8} $$

Из (2.7) и из очевидных равенств

$$ \begin{equation*} P(f(x))T_{f(x)}M=E_1(f(x)), \qquad Q(x)[Df(x)]^{-1}T_{f(x)}M=E_2(x) \end{equation*} \notag $$
следует, что оператор (2.8) сюръективен. Для проверки же его инъективности рассмотрим любой элемент $\xi_0\in T_{f(x)}M$, для которого $\Pi \xi_0=0$, т.е.
$$ \begin{equation} P(f(x))\xi_0=0, \qquad Q(x)[Df(x)]^{-1}\xi_0=0. \end{equation} \tag{2.9} $$
Но в этом случае автоматически $\xi_0\in E_2(f(x))$, а второе соотношение из (2.9) записывается в виде $\Lambda_{2, 2}(x)\xi_0=0$. Остается воспользоваться фактом обратимости оператора $\Lambda_{2, 2}(x)$ (см. условие 3) и заключить, что $\xi_0=0$. Инъективность оператора $\Pi$ доказана.

Итак, мы показали, что соотношения (2.3) и (2.4), (2.6) действительно эквивалентны. Подставляя, далее, представление (2.4) в (2.6) и заменяя в получившемся выражении $x$ на $f^{-1}(x)$, убеждаемся в том, что $a(x)$ является решением нелинейного операторного уравнения

$$ \begin{equation} a(x)=\mathscr{A}_a(x), \end{equation} \tag{2.10} $$
где
$$ \begin{equation} \mathscr{A}_a(x)=\Lambda_{2, 2}^{-1}(\theta) \bigl\{a(\theta)C_a^{-1}(\theta)-\Lambda_{1, 2}(\theta)\bigr\}\big|_{\theta=f^{-1}(x)}. \end{equation} \tag{2.11} $$

Последующий анализ состоит в применении к уравнению (2.10) принципа сжимающих отображений в подходящем метрическом пространстве. В связи с этим обозначим через $X(\mathscr{L})$ совокупность линейных операторов $a(x)$, действующих из $E_1(x)$ в $E_2(x)$ и удовлетворяющих условию ограниченности

$$ \begin{equation} \sup_{x\in A}\|a(x)\|_{E_1(x)\to E_2(x)}\leqslant\mathscr{L}. \end{equation} \tag{2.12} $$
Здесь $\mathscr{L}\geqslant 0$ – некоторая постоянная, не зависящая от выбора $a(x)$. Упомянутую константу будем считать такой, что
$$ \begin{equation} \beta_2\mathscr{L}<1, \end{equation} \tag{2.13} $$
где величина $\beta_2$ определена формулой из (1.15). Далее, после введения метрики
$$ \begin{equation} \forall\,a_1(x), a_2(x)\in X(\mathscr{L}) \qquad\rho(a_1, a_2)=\sup_{x\in A}\|a_1(x)-a_2(x)\|_{E_1(x)\to E_2(x)} \end{equation} \tag{2.14} $$
множество $X(\mathscr{L})$ становится полным метрическим пространством. Наша ближайшая задача – показать, что при соответствующем выборе постоянной $\mathscr{L}$ в условии (2.12) нелинейный оператор $\mathscr{A}\colon a(x)\mapsto \mathscr{A}_a(x)$ переводит пространство $X(\mathscr{L})$ в себя и является сжимающим.

Прежде всего, убедимся в корректности определения оператора $\mathscr{A}$. А именно, проверим обратимость линейного оператора $C_a(f^{-1}(x))$ при любом выборе $a(x)$ из $X(\mathscr{L})$ и $x\in A$. Для этого сначала заметим, что в силу соотношений (1.15), (2.12), (2.13) справедливы оценки

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(x)\Lambda_{2, 1}(x)a(x)\|_{E_1(x)\to E_1(x)} \notag \\ &\qquad \leqslant\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(x)\Lambda_{2, 1}(x)\|_{E_2(x)\to E_1(x)}\cdot\|a(x)\|_{E_1(x)\to E_2(x)}\leqslant\beta_2\mathscr{L}<1. \end{aligned} \end{equation} \tag{2.15} $$
Далее, используем вытекающие из формулы (2.4) представления
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, C_a(x)=\Lambda_{1, 1}(x)(I-D_a(x)), \qquad C_a^{-1}(x)=\biggl(\sum_{k=0}^{\infty}D_a^k(x)\biggr) \Lambda_{1,1}^{-1}(x), \\ D_a(x)=-\Lambda_{1,1}^{-1}(x)\Lambda_{2, 1}(x)a(x), \end{gathered} \end{equation} \tag{2.16} $$
где $I$ – единичный оператор в $E_1(x)$. Заменяя в (2.16) аргумент $x$ на $f^{-1}(x)$ и учитывая информацию (2.15), приходим к выводу, что оператор $C_a(f^{-1}(x))$ действительно обратим и, более того,
$$ \begin{equation} \|C_a^{-1}(f^{-1}(x))\|_{E_1(x)\to E_1(f^{-1}(x))}\leqslant \frac{\alpha_1}{1-\beta_2\mathscr{L}}, \end{equation} \tag{2.17} $$
где $\alpha_1$ – постоянная из (1.14). В свою очередь, неравенство (2.17) и формула (2.11) приводят к оценке
$$ \begin{equation} \|\mathscr{A}_a(x)\|_{E_1(x)\to E_2(x)}\leqslant\frac{(\alpha_1\alpha_2- \beta_1\beta_2)\mathscr{L}+\beta_1}{1-\beta_2\mathscr{L}} \qquad\forall\,a(x)\in X(\mathscr{L}), \quad\forall\,x\in A, \end{equation} \tag{2.18} $$
где $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\beta_1$, $\beta_2$ – постоянные (1.14), (1.15).

На следующем этапе выберем константу $\mathscr{L}$. Для этого рассмотрим квадратное уравнение

$$ \begin{equation} \Phi(\mathscr{L})\stackrel{\mathrm{def}}{=} \beta_2\mathscr{L}^2+(\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2-1)\mathscr{L}+\beta_1=0, \end{equation} \tag{2.19} $$
корни которого при условиях
$$ \begin{equation} \mathscr{D}\stackrel{\mathrm{def}}{=}(\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2-1)^2- 4\beta_1\beta_2>0, \qquad \alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2-1<0 \end{equation} \tag{2.20} $$
лежат на полуоси $\mathscr{L}\geqslant 0$. Заметим, далее, что в нашем случае требования (2.20) выполняются. Действительно, эти требования заведомо справедливы при
$$ \begin{equation} \alpha_1\alpha_2-1<\beta_1\beta_2<\bigl(1-\sqrt{\alpha_1\alpha_2}\bigr)^2. \end{equation} \tag{2.21} $$
Что же касается оценок (2.21), то они имеют место в силу (1.13) и неравенства
$$ \begin{equation*} \bigl(1-\sqrt{\alpha_1\alpha_2}\bigr)^2\geqslant (1-\alpha_1)(1-\alpha_2), \end{equation*} \notag $$
проверка которого не вызывает затруднений.

Опираясь на установленные свойства функции $\Phi(\mathscr{L})$, в качестве постоянной $\mathscr{L}$ в (2.12) возьмем наименьший корень уравнения (2.19), т.е. положим

$$ \begin{equation} \mathscr{L}=\mathscr{L}_*, \qquad \mathscr{L}_*=\frac{1+\beta_1\beta_2-\alpha_1\alpha_2-\sqrt{\mathscr{D}}}{2\beta_2}= \frac{2\beta_1} {1+\beta_1\beta_2-\alpha_1\alpha_2+\sqrt{\mathscr{D}}}. \end{equation} \tag{2.22} $$
Далее, нетрудно увидеть, что в случае (2.22) выполняется априорное условие (2.13) (оно вытекает из неравенств (1.13)) и, кроме того, справедливы свойства
$$ \begin{equation} (\Psi(\mathscr{L})-\mathscr{L})|_{\mathscr{L}=\mathscr{L}_*}=0, \qquad \Psi'(\mathscr{L})|_{\mathscr{L}=\mathscr{L}_*}<1, \end{equation} \tag{2.23} $$
где $\Psi(\mathscr{L})=((\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2)\mathscr{L} +\beta_1)/(1-\beta_2\mathscr{L})$. Учитывая первое из них в (2.18), приходим к выводу, что
$$ \begin{equation} \sup_{x\in A}\|\mathscr{A}_a(x)\|_{E_1(x)\to E_2(x)}\leqslant\mathscr{L}_* \qquad\forall\,a(x)\in X(\mathscr{L}_*), \end{equation} \tag{2.24} $$
а значит, справедливо требуемое включение $\mathscr{A}(X(\mathscr{L}_*))\subset X(\mathscr{L}_*)$.

Покажем теперь, что интересующий нас оператор $\mathscr{A}$ является сжимающим в пространстве $X(\mathscr{L}_*)$. С этой целью фиксируем произвольно два оператора $a_1(x)$, $a_2(x)$ из $X(\mathscr{L}_*)$ и заметим, что в силу (2.4), (2.11) имеют место представления

$$ \begin{equation} \mathscr{A}_{a_1}(x)-\mathscr{A}_{a_2}(x)=\Lambda^{-1}_{2,2}(\theta) \big[a_1(\theta)-a_2(\theta)\big]C_{a_1}^{-1}(\theta) \nonumber \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \qquad\qquad+\Lambda_{2,2}^{-1}(\theta)a_2(\theta) \big[C_{a_1}^{-1}(\theta)-C_{a_2}^{-1}(\theta)\big]\big|_ {\theta=f^{-1}(x)}, \end{equation} \tag{2.25} $$
$$ \begin{equation} C_{a_1}^{-1}(\theta)-C_{a_2}^{-1}(\theta)=C_{a_1}^{-1}(\theta)\Lambda_{2,1}(\theta) \big(a_2(\theta)-a_1(\theta)\big)C_{a_2}^{-1}(\theta). \end{equation} \tag{2.26} $$
Объединяя затем полученные представления (2.25), (2.26) с оценками (2.12), (2.13), (2.15), (2.17) (при $\mathscr{L}=\mathscr{L}_*$), соотношениями
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, C_{a_1}^{-1}(\theta)\Lambda_{2,1}(\theta)= \biggl(\sum_{k=0}^{\infty}D_{a_1}^k(\theta)\biggr)\Lambda_{1,1}^{-1}(\theta) \Lambda_{2,1}(\theta), \\ \|C_{a_1}^{-1}(\theta)\Lambda_{2,1}(\theta)\|_{E_2(\theta)\to E_1(\theta)}\leqslant \frac{\beta_2}{1-\beta_2\mathscr{L}_*} \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
и вытекающим из равенства $f^{-1}(A)=A$ свойством
$$ \begin{equation*} \rho\bigl(a_1(f^{-1}(x)), a_2(f^{-1}(x))\bigr)=\rho\bigl(a_1(x), a_2(x)\bigr) \end{equation*} \notag $$
метрики (2.14), последовательно выводим:
$$ \begin{equation*} \|\mathscr{A}_{a_1}(x)-\mathscr{A}_{a_2}(x)\|_{E_1(x)\to E_2(x)}\leqslant q\rho(a_1,a_2) \quad \forall\,x\in A, \qquad \rho(\mathscr{A}_{a_1},\mathscr{A}_{a_2})\leqslant q\rho(a_1,a_2), \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} q=\frac{\alpha_1\alpha_2}{1-\beta_2\mathscr{L}_*}+ \frac{\alpha_1\alpha_2\beta_2\mathscr{L}_*} {(1-\beta_2\mathscr{L}_*)^2}. \end{equation*} \notag $$
Заметим еще, что в силу второго свойства из (2.23) величина $q$ строго меньше единицы. Остается воспользоваться принципом сжимающих отображений и заключить, что уравнение (2.10) имеет единственное решение $a_*(x)\in X(\mathscr{L}_*)$.

Итак, нам удалось показать существование $Df$-инвариантного подпространства ${E}^{\mathrm u}_x$, задающегося формулой (2.1) при $a=a_*(x)$. Проверим, далее, выполнение для этого подпространства неравенства вида (1.4) с некоторыми не зависящими от $x$, $\xi$, $n$ постоянными $c_1>0$, $\mu_1\in(0, 1)$.

Привлекая формулу (2.5), нетрудно показать, что

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, [Df(x_{-1})]^{-1}(u_1+a_*(x)u_1)= C^{-1}_{a_*}(x_{-1})u_1+a_*(x_{-1})C^{-1}_{a_*}(x_{-1})u_1 \\ \forall\,x\in A, \qquad\forall\,u_1\in E_1(x), \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
где, напомним, $x_j=f^j(x)$, $j\in\mathbb{Z}$. А отсюда, используя метод математической индукции и явное выражение для $D(f^{-n}(x))$ (см. (1.1)), заключаем, что при всех $n\in\mathbb{N}$
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &D(f^{-n}(x))(u_1+a_*(x)u_1)=C^{-1}_{a_*}(x_{-n}) C^{-1}_{a_*}(x_{-(n-1)})\dotsb C^{-1}_{a_*}(x_{-1})u_1 \\ &\qquad\quad+a_*(x_{-n})C^{-1}_{a_*}(x_{-n}) C^{-1}_{a_*}(x_{-(n-1)})\dotsb C^{-1}_{a_*}(x_{-1})u_1 \qquad \forall\,x\in A, \quad \forall\,u_1\in E_1(x). \end{aligned} \end{equation} \tag{2.27} $$
Что же касается интересующего нас неравенства (1.4), то оно вытекает из (1.9), (2.12), (2.17), (2.27) и из итоговой оценки
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\bigl\|C^{-1}_{a_*}(x_{-n}) C^{-1}_{a_*}(x_{-(n-1)})\dotsb C^{-1}_{a_*}(x_{-1})\bigr\|_{E_1(x_0)\to E_1(x_{-n})} \notag \\ &\qquad\leqslant\prod_{k=1}^n\|C^{-1}_{a_*}(x_{-k})\|_{E_1(x_{-(k-1)})\to E_1(x_{-k})}\leqslant \biggl(\frac{\alpha_1}{1-\beta_2\mathscr{L}_*}\biggr)^n. \end{aligned} \end{equation} \tag{2.28} $$
В частности, согласно (2.28) постоянная $\mu_1$ из (1.4) имеет вид
$$ \begin{equation*} \mu_1=\frac{\alpha_1}{1-\beta_2\mathscr{L}_*}. \end{equation*} \notag $$

Несложный анализ показывает, что условие $\mu_1<1$ заведомо выполняется при

$$ \begin{equation*} \beta_1\beta_2< \begin{cases} 1-\alpha_1-\alpha_1(1-\alpha_2)&\text{при } \alpha_1\leqslant \alpha_2, \\ (1-\alpha_1)(1-\alpha_2)&\text{при }\alpha_1\geqslant \alpha_2. \end{cases} \end{equation*} \notag $$
Остается отметить, что данное неравенство слабее предполагаемой нами оценки сверху на $\beta_1\beta_2$ из (1.13).

Для отыскания устойчивого подпространства ${E}_x^{\mathrm s}$ из (1.2) заметим, что оно является одновременно неустойчивым подпространством для диффеоморфизма $\widetilde{f}=f^{-1}$. Поэтому мы можем применить все приведенные выше построения к отображению $\widetilde{f}$.

Действительно, обозначим через $\widetilde{\Lambda}_{j, k}(x)$, $j, k=1, 2$ и $\widetilde{\alpha}_j$, $\widetilde{\beta}_j$, $j=1, 2$ операторы (1.10), (1.11) и постоянные (1.14), (1.15), соответствующие случаю $\widetilde{f}$. Принимая во внимание то обстоятельство, что для $\widetilde{f}$ подпространства $E_1(x)$, $E_2(x)$ меняются местами, приходим к выводу, что

$$ \begin{equation} \widetilde{\Lambda}_{j, k}(\theta)|_{\theta=f(x)}=\Lambda_{3-j, 3-k}(x), \quad j, k=1, 2; \qquad \widetilde{\alpha}_j=\alpha_{3-j}, \quad \widetilde{\beta}_j=\beta_{3-j}, \quad j=1, 2. \end{equation} \tag{2.29} $$
А отсюда очевидным образом следует, что для $f$ и $\widetilde{f}$ условия 14 совпадают.

Итак, проделанный выше анализ сохраняет силу и в случае $\widetilde{f}$. Опираясь на этот факт и учитывая формулы (2.29), убеждаемся в существовании требуемого подпространства (2.2) с оператором $b=b_*(x)\colon E_2(x)\to E_1(x)$. Кроме того, справедлива аналогичная (2.12) оценка

$$ \begin{equation} \sup_{x\in A}\|b_*(x)\|_{E_2(x)\to E_1(x)}\leqslant\mathscr{R}_*, \end{equation} \tag{2.30} $$
где $\mathscr{R}=\mathscr{R}_*$ – наименьший корень аналогичного (2.19) квадратного уравнения
$$ \begin{equation} \beta_1\mathscr{R}^2+(\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2-1)\mathscr{R}+\beta_2=0, \end{equation} \tag{2.31} $$
а также оценка (1.5) с постоянной
$$ \begin{equation*} \mu_2=\frac{\alpha_2}{1-\beta_1\mathscr{R}_*}\in (0, 1). \end{equation*} \notag $$
Добавим еще, что в силу (2.31) имеет место равенство $\mathscr{R}_*=1/\mathscr{L}_{**}$, где $\mathscr{L}_{**}$ – наибольший корень уравнения (2.19).

Покажем, наконец, что сумма подпространств ${E}_x^{\mathrm u}$, ${E}_x^{\mathrm s}$ является прямой и совпадает с $T_xM$. Согласно представлениям (2.1), (2.2) (при $a=a_*(x)$, $b=b_*(x)$) для этого достаточно убедиться в том, что однозначно разрешима относительно $u_1\in E_1(x)$, $u_2\in E_2(x)$ система уравнений

$$ \begin{equation*} u_1+b_*(x)u_2=\widetilde{u}_1, \qquad a_*(x)u_1+u_2=\widetilde{u}_2 \end{equation*} \notag $$
при любых фиксированных $\widetilde{u}_1\in E_1(x)$, $\widetilde{u}_2\in E_2(x)$. Но последнее верно в силу равенств
$$ \begin{equation*} u_2=\widetilde{u}_2-a_*(x)u_1, \qquad u_1-b_*(x)a_*(x)u_1= \widetilde{u}_1-b_*(x)\widetilde{u}_2 \end{equation*} \notag $$
и обратимости в $E_1(x)$ оператора $I-b_*(x)a_*(x)$ ($I$ – единичный оператор в $E_1(x)$). Что же касается упомянутой обратимости, то она – следствие неравенств (2.12), (2.24) (при $a=a_*(x)$, $\mathscr{L}=\mathscr{L}_{*}$), (2.30) и оценок
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\|b_*(x)a_*(x)\|_{E_1(x)\to E_1(x)} \\ &\qquad \leqslant \|b_*(x)\|_{E_2(x)\to E_1(x)}\cdot \|a_*(x)\|_{E_1(x)\to E_2(x)}\leqslant\mathscr{R}_*\mathscr{L}_*=\frac{\mathscr{L}_*}{\mathscr{L}_{**}}<1. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Теорема 1 полностью доказана.

3. Доказательство теоремы 2

Справедливость теоремы 2 устанавливается посредством применения к отображению (1.17) теоремы 1 при подходящем выборе стартового разложения (1.7). А именно, положим

$$ \begin{equation} \mathbb{R}^2=E_1\oplus E_2, \end{equation} \tag{3.1} $$
где
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, E_1=\{x=te_1\colon t\in\mathbb{R}\}, \qquad \|x\|_{E_1}=c_1^0|t|, \\ E_2=\{x=te_2\colon t\in\mathbb{R}\}, \qquad \|x\|_{E_2}=c_2^0|t|, \end{gathered} \end{equation} \tag{3.2} $$
$e_1, e_2$ – векторы из (1.19), а $c_1^0, c_2^0>0$ – произвольно фиксированные постоянные (характеризующие произвол в выборе норм $\|*\|_{E_1}$, $\|*\|_{E_2}$).

Нетрудно увидеть, что в случае (3.1), (3.2) операторы (1.10), (1.11) задаются формулами

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \Lambda_{1, 1}(x)\colon te_1\to \alpha(x)te_1, \qquad \Lambda_{2, 2}(x)\colon te_2\to \frac{\alpha(x)}{\Delta(x)}te_2, \\ \Lambda_{2, 1}(x)\colon te_2\to \beta_{2, 1}(x)te_1, \qquad \Lambda_{1, 2}(x)\colon te_1\to \beta_{1, 2}(x)te_2, \end{gathered} \end{equation} \tag{3.3} $$
где $t\in\mathbb{R}$, а функции $\alpha(x)$, $\beta_{2, 1}(x)$, $\beta_{1, 2}(x)$ определены в (1.20). Далее, в силу предположений (1.18), (1.21) и очевидного равенства $\Delta(x)=\det(\Lambda+h'(x))$ имеем $\alpha(x)\ne 0$, $\Delta(x)\ne 0$ $\forall\,x\in\mathbb{R}^2$. А это значит, что фигурирующие в (3.3) операторы $\Lambda_{1, 1}(x)$, $\Lambda_{2, 2}(x)$ корректно определены и обратимы. Кроме того, справедливы соотношения
$$ \begin{equation} \alpha_1=\alpha_1^0, \qquad\alpha_2=\alpha_2^0, \qquad\beta_1=\frac{c_2^0}{c_1^0}\beta_{1}^0, \qquad\beta_2=\frac{c_1^0}{c_2^0}\beta_{2}^0, \end{equation} \tag{3.4} $$
где $\alpha_1^0$, $\alpha_2^0$, $\beta_{1}^0$, $\beta_{2}^0$ – величины (1.22), (1.23). А отсюда и из (1.21) заключаем, что постоянные (3.4) удовлетворяют требуемым в теореме 1 условиям (1.13). Тем самым, в силу упомянутой теоремы интересующий нас диффеоморфизм (1.17) оказывается гиперболическим. Теорема 2 доказана.

4. Анализ примера

Применимость теоремы 2 проиллюстрируем на конкретном примере, заимствованном из работ [18], [19]. Как и в указанных статьях, рассмотрим диффеоморфизм тора $\mathbb{T}^2$ вида

$$ \begin{equation} f\colon \begin{array}{l} x_1\mapsto 2x_1+x_2+\mathscr{M}(2x_1+x_2, \varepsilon)\ (\operatorname{mod} 2\pi), \\ x_2\mapsto x_1+x_2\ (\operatorname{mod} 2\pi), \end{array} \end{equation} \tag{4.1} $$
где $\varepsilon=\mathrm{const}\in (0, 1)$, а $\mathscr{M}(z, \varepsilon)$, $z\in\mathbb{R}$ – так называемая функция Мебиуса. Данная функция является $2\pi$-периодической по $z$ и на отрезке $0\leqslant z\leqslant 2\pi$ задается формулой
$$ \begin{equation*} \mathscr{M}(z, \varepsilon)= \begin{cases} \Omega(z, \varepsilon)-z&\text{при }0\leqslant z<z_1, \\ \Omega(z, \varepsilon)+\pi-z&\text{при }z_1<z<z_2, \\ \Omega(z, \varepsilon)+2\pi-z&\text{при }z_2<z\leqslant 2\pi, \end{cases} \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \Omega(z, \varepsilon)=\operatorname{arctg}\biggl(\frac{(1-\varepsilon^2)\sin z}{2\varepsilon+(1+\varepsilon^2)\cos z}\biggr), \\ z_1=\arccos\biggl(-\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon^2}\biggr), \qquad z_2=2\pi-\arccos\biggl(-\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon^2}\biggr). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Что же касается точек $z=z_j$, $j=1, 2$, то в них она доопределяется по непрерывности. Добавим еще, что в силу очевидных свойств
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \mathscr{M}'_z(z, \varepsilon)+1=\frac{1-\varepsilon^2}{1+\varepsilon^2+2\varepsilon\cos z} >0 \qquad \forall\,z\in \mathbb{R}, \\ \mathscr{M}''_{zz}(z, \varepsilon)=\frac{2\varepsilon(1-\varepsilon^2)\sin z}{(1+\varepsilon^2+2\varepsilon\cos z)^2}>0 \qquad\text{при}\quad0<z<\pi, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
имеют место соотношения
$$ \begin{equation} \max_{z\in \mathbb{R}}\mathscr{M}'_z(z, \varepsilon)=\overline{\varepsilon}, \qquad \min_{z\in \mathbb{R}}\mathscr{M}'_z(z, \varepsilon)=-\overline{\overline{\varepsilon}}, \qquad \overline{\varepsilon}=\frac{2\varepsilon}{1-\varepsilon}, \qquad \overline{\overline{\varepsilon}}=\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon}. \end{equation} \tag{4.2} $$

Покажем, что при надлежащем уменьшении параметра $\varepsilon$ диффеоморфизм (4.1) удовлетворяет условиям теоремы 2. Нетрудно увидеть, что в данном случае

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \Lambda= \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}, \qquad \lambda_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}>1, \qquad \lambda_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\in (0, 1), \\ e_s=g_s=\frac{1}{\sqrt{1+(\lambda_s-1)^2}}\begin{pmatrix} \lambda_s-1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad s=1, 2. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
А отсюда и из (4.2) последовательно выводим:
$$ \begin{equation} \alpha(x)=\lambda_1+\frac{\lambda^2_1}{1+\lambda_1}\mathscr{M}'_z(z, \varepsilon)|_{z=2x_1+x_2}>0 \qquad\forall\,x\in\mathbb{R}^2, \end{equation} \tag{4.3} $$
$$ \begin{equation} 1-\alpha_1^0=\frac{\lambda_1-1-\lambda^2_1\overline{\overline{\varepsilon}}/(1+\lambda_1)} {\lambda_1-\lambda^2_1\overline{\overline{\varepsilon}}/(1+\lambda_1)}, \qquad 1-\alpha_2^0=(\lambda_1-1)\cdot\frac{1+2\overline{\varepsilon}/(1+\lambda_1)} {\lambda_1+\lambda^2_1\overline{\varepsilon}/(1+\lambda_1)}, \end{equation} \tag{4.4} $$
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \beta_1^0&=\frac{(2\lambda_1-1)(1-\lambda_2)\overline{\varepsilon}(1+\overline{\varepsilon})} {\sqrt{1+(\lambda_1-1)^2}\sqrt{1+(\lambda_2-1)^2}}\cdot \frac{1}{\lambda_1+\lambda^2_1\overline{\varepsilon}/(1+\lambda_1)}, \\ \beta_2^0&=\frac{(1-2\lambda_2)(\lambda_1-1)\overline{\overline{\varepsilon}}} {\sqrt{1+(\lambda_1-1)^2}\sqrt{1+(\lambda_2-1)^2}}\cdot \frac{1}{\lambda_1-\lambda^2_1\overline{\overline{\varepsilon}}/(1+\lambda_1)}. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.5} $$
Что же касается неравенств (1.21), то в силу формул (4.3)(4.5) все они эквивалентны одному требованию
$$ \begin{equation*} \mathscr{H}(\varepsilon)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac{4}{5}\varepsilon^2(1+\varepsilon) -(\lambda_1-1)(1-\varepsilon)\biggl(\lambda_1-1-\frac{3\lambda_1}{1+\lambda_1}\varepsilon\biggr) \biggl(1+\frac{3-\lambda_1}{1+\lambda_1}\varepsilon\biggr)<0. \end{equation*} \notag $$

Численный анализ функции $\mathscr{H}(\varepsilon)$ показывает существование у нее на отрезке $0\leqslant\varepsilon\leqslant 1$ такого корня $\varepsilon=\varepsilon_0$, $\varepsilon_0\approx 0.53786$, что $\mathscr{H}(\varepsilon)<0$ при $0\leqslant\varepsilon<\varepsilon_0$, $\mathscr{H}(\varepsilon)>0$ при $\varepsilon_0<\varepsilon\leqslant 1$. Тем самым, в силу теоремы 2 интересующее нас отображение (4.1) при всех $0<\varepsilon<\varepsilon_0$ оказывается диффеоморфизмом Аносова. Для сравнения напомним, что ранее в статье [20] для отображения (4.1) было получено условие гиперболичности $\varepsilon<1/\sqrt{5}\approx 0.4472$. Причина, по которой нам удалось улучшить соответствующий результат из [20], состоит в симметричности новых достаточных условий гиперболичности (1.13). В связи с этим уместно отметить, что достаточные условия гиперболичности, используемые в [16], [17], [20], свойством симметричности не обладают.

Отдельно остановимся на упрощенном варианте примера (4.1), в котором функция Мебиуса $\mathscr{M}(z, \varepsilon)$ заменена на

$$ \begin{equation} \mathscr{M}(z, \varepsilon)=\varepsilon\cos(z+\nu), \qquad \varepsilon=\mathrm{const}\in (0,1), \quad \nu=\mathrm{const}\in\mathbb{R}. \end{equation} \tag{4.6} $$
В этом случае, как нетрудно увидеть, формулы (4.3)(4.5) сохраняются, но теперь в них следует положить $\overline{\varepsilon}=\overline{\overline{\varepsilon}}=\varepsilon$. Принимая во внимание указанные обстоятельства и привлекая в очередной раз теорему 2, приходим к выводу, что диффеоморфизм (4.1), (4.6) оказывается гиперболическим при $0<\varepsilon<\varepsilon_0$, $\nu\in\mathbb{R}$. Здесь $\varepsilon=\varepsilon_0$, $\varepsilon_0\approx 0.80174$ – корень уравнения
$$ \begin{equation*} \frac{1}{5}\varepsilon^2(1+\varepsilon) -(\lambda_1-1)\biggl(\lambda_1-1-\frac{\lambda_1^2}{1+\lambda_1}\varepsilon\biggr) \biggl(1+\frac{2}{1+\lambda_1}\varepsilon\biggr)=0, \end{equation*} \notag $$
принадлежащий отрезку $0\leqslant\varepsilon\leqslant 1$.

5. Заключение

Как следует из результатов статьи [13], существуют и другие достаточные условия (отличные от условий (1.13)), при выполнении которых произвольное открытое подмножество $U\subset M$ является гиперболической ловушкой для диффеоморфизма $f\colon U\to M$. Иными словами, для одного и того же множества $U$ имеются различные способы превращения его в гиперболическую ловушку. Ниже дается описание некоторых из этих способов.

Фиксируем произвольно диффеоморфизм $f\colon U\to M$, удовлетворяющий условиям 1, 2. Разложение (1.7) и проекторы (1.8) позволяют ввести для него в рассмотрение линейные операторы

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \Lambda_{j, 1}(x)&=P(f(x))Df(x)\colon E_j(x)\to E_1(f(x)), \qquad j=1, 2, \\ \Lambda_{j, 2}(x)&=Q(f(x))Df(x)\colon E_j(x)\to E_2(f(x)), \qquad j=1, 2, \end{aligned} \end{equation} \tag{5.1} $$
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \widetilde{\Lambda}_{j, 1}(x)&=Q(x)[Df(x)]^{-1}\colon E_{3-j}(f(x))\to E_2(x), \qquad j=1, 2, \\ \widetilde{\Lambda}_{j, 2}(x)&=P(x)[Df(x)]^{-1}\colon E_{3-j}(f(x))\to E_1(x), \qquad j=1, 2, \end{aligned} \end{equation} \tag{5.2} $$
и постоянные
$$ \begin{equation} \alpha_1=\sup_{x\in U}\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(x)\|_{E_1(f(x))\to E_1(x)}, \qquad \alpha_2=\sup_{x\in U}\|\Lambda_{2, 2}(x)\|_{E_2(x)\to E_2(f(x))}, \end{equation} \tag{5.3} $$
$$ \begin{equation} \beta_1=\sup_{x\in U}\|\Lambda_{1, 2}(x)\|_{E_1(x)\to E_2(f(x))}, \qquad \beta_2=\sup_{x\in U}\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(x)\Lambda_{2, 1}(x)\|_{E_2(x)\to E_1(x)}, \end{equation} \tag{5.4} $$
$$ \begin{equation} \gamma_1=\sup_{x\in U}\|\Lambda_{1, 2}(x)\Lambda_{1, 1}^{-1}(x)\|_{E_1(f(x))\to E_2(f(x))}, \qquad \gamma_2=\sup_{x\in U}\|\Lambda_{2, 1}(x)\|_{E_2(x)\to E_1(f(x))}, \end{equation} \tag{5.5} $$
$$ \begin{equation} \widetilde{\alpha}_1=\sup_{x\in U}\|\widetilde{\Lambda}_{1, 1}^{-1}(x)\|_{E_2(x)\to E_2(f(x))}, \qquad \widetilde{\alpha}_2=\sup_{x\in U}\|\widetilde{\Lambda}_{2, 2}(x)\|_{E_1(f(x))\to E_1(x)}, \end{equation} \tag{5.6} $$
$$ \begin{equation} \widetilde{\beta}_1=\sup_{x\in U}\|\widetilde{\Lambda}_{1, 2}(x)\|_{E_2(f(x))\to E_1(x)}, \qquad \widetilde{\beta}_2=\sup_{x\in U}\|\widetilde{\Lambda}_{1, 1}^{-1}(x)\widetilde{\Lambda}_{2, 1}(x)\|_{E_1(f(x))\to E_2(f(x))}, \end{equation} \tag{5.7} $$
$$ \begin{equation} \widetilde{\gamma}_1=\sup_{x\in U}\|\widetilde{\Lambda}_{1, 2}(x)\widetilde{\Lambda}_{1, 1}^{-1}(x)\|_{E_2(x)\to E_1(x)}, \qquad \widetilde{\gamma}_2=\sup_{x\in U}\|\widetilde{\Lambda}_{2, 1}(x)\|_{E_1(f(x))\to E_2(x)}. \end{equation} \tag{5.8} $$
Справедливы следующие два результата о гиперболической ловушке.

Теорема 3. Предположим, что, во-первых, выполнены условия 1, 2; во-вторых, при всех $x\in U$ обратим оператор $\Lambda_{1, 1}(x)$ из (5.1) и

$$ \begin{equation*} \sup_{x\in U}\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(x)\|_{E_1(f(x))\to E_1(x)}<\infty; \end{equation*} \notag $$
в-третьих, имеют место неравенства
$$ \begin{equation} \alpha_1<1, \qquad \alpha_2<1, \qquad \min(\beta_1\beta_2, \gamma_1\gamma_2)<(1-\alpha_1)(1-\alpha_2), \end{equation} \tag{5.9} $$
где $\alpha_j$, $\beta_j$, $\gamma_j$, $j=1, 2$ – постоянные (5.3)(5.5). Тогда множество $U$ является гиперболической ловушкой для отображения $f$.

Теорема 4. Область $U$ оказывается гиперболической ловушкой для диффеоморфизма $f$ при выполнении условий 1, 2 и при следующих дополнительных ограничениях. Во-первых, при любом $x\in U$ обратим оператор $\widetilde{\Lambda}_{1, 1}(x)$ из (5.2) и

$$ \begin{equation*} \sup_{x\in U}\|\widetilde{\Lambda}_{1, 1}^{-1}(x)\|_{E_2(x)\to E_2(f(x))}<\infty; \end{equation*} \notag $$
во-вторых, имеем
$$ \begin{equation} \widetilde{\alpha}_1<1, \qquad \widetilde{\alpha}_2<1, \qquad \min(\widetilde{\beta}_1\widetilde{\beta}_2, \widetilde{\gamma}_1\widetilde{\gamma}_2)<(1-\widetilde{\alpha}_1) (1-\widetilde{\alpha}_2), \end{equation} \tag{5.10} $$
где $\widetilde{\alpha}_j$, $\widetilde{\beta}_j$, $\widetilde{\gamma}_j$, $j=1, 2$, – константы (5.6)(5.8).

Отметим, что доказательство теоремы 3 непосредственно следует из соответствующих построений работы [13]. Что же касается теоремы 4, то она есть результат применения теоремы 3 к отображению $\widetilde{f}=f^{-1}$. В этом случае подпространства $E_1(x)$ и $E_2(x)$ меняются местами, а неравенства (5.9) принимают вид (5.10). Добавим еще, что хотя операторы (1.10), (1.11) присутствуют среди операторов (5.1), (5.2), но теорема 1 не вытекает из теорем 3, 4. Действительно, теорема 1 гарантирует существование симметричной гиперболической ловушки, а гиперболические ловушки, доставляемые теоремами 3, 4, не симметричны (точнее говоря, они переходят друг в друга при замене $f$ на $f^{-1}$).

Отдельно остановимся на связи условий (5.9) с условиями существования аттракторов лоренцевского типа [21]–[23], имеющими в наших обозначениях вид

$$ \begin{equation} \alpha_1<1, \qquad \alpha_2<1, \qquad \gamma_1\gamma_2<(1-\alpha_1)(1-\alpha_2). \end{equation} \tag{5.11} $$
Как следует из теоремы 3, даже при более слабых чем (5.11) условиях (5.9) двумерное отображение лоренцевского типа (см. [21]–[23]) допускает гиперболическую ловушку. Тем самым, оно заведомо не может иметь устойчивых циклов. Однако более сложный вопрос о справедливости при условиях (5.9) всех содержащихся в [21]–[23] результатов пока остается открытым.

В заключение отметим, что в принципе утверждения теорем 14 могут быть установлены с помощью критерия конусов. Однако наш метод доказательства, основанный на параметрических представлениях (2.1), (2.2), в ряде случаев оказывается более продуктивным. Например, он автоматически позволяет распространить результаты теорем 14 на случай $M=E$, $T_xM=E$, где $E$ – произвольное бесконечномерное вещественное банахово пространство. Необходимо только требовать замкнутость соответствующих подпространств $E^{\mathrm u}_x$, $E^{\mathrm s}_x$, $E_1(x)$, $E_2(x)$ (см. (1.2), (2.7)). При попытке же воспользоваться для этих целей полями конусов возникает проблема обоснования в бесконечномерном случае самого критерия конусов. Упомянутая проблема пока не решена.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. С. Смейл, “Дифференцируемые динамические системы”, УМН, 25:1 (151) (1970), 113–185  mathnet  mathscinet
2. Д. В. Аносов, В. В. Солодов, “Гиперболические множества”, Динамические системы – 9, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 66, ВИНИТИ, М., 1991, 12–99  mathscinet
3. Д. В. Аносов, Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны, Тр. МИАН СССР, 90, ред. И. Г. Петровский, 1967, 211 с.  mathnet
4. А. Б. Каток, Б. Хасселблат, Введение в современную теорию динамических систем, Факториал, М., 1999  mathscinet
5. А. Б. Каток, Б. Хасселблат, Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений, МЦНМО, М., 2005
6. С. Ю. Пилюгин, Пространства динамических систем, РХД, М.–Ижевск, 2008  mathscinet
7. В. З. Гринес, О. В. Починка, Введение в топологическую классификацию каскадов на многообразиях размерности два и три, РХД, М.–Ижевск, 2011
8. V. Grines, E. Zhuzhoma, Surface laminations and chaotic dynamical systems, Izhevsk Institute of Computer Science, M.–Izhevsk, 2021
9. Ж. Палис, В. ди Мелу, Геометрическая теория динамических систем: введение, Мир, М., 1986  mathscinet
10. Я. Б. Песин, Лекции по теории частичной гиперболичности и устойчивой эргодичности, МЦНМО, М., 2006  mathscinet
11. C. Robinson, Dynamical Systems. Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos, Stud. Adv. Math., CRC Press, Boca Raton, FL, 1999  mathscinet
12. J. Palis, F. Takens, Hyperbolicity and Sensitive Chaotic Dynamics at Homoclinic Bifurcations, Cambridge Stud. Adv. Math., 35, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993  mathscinet
13. С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов, Н. Х. Розов, “О некоторых достаточных условиях гиперболичности”, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей, Труды МИАН, 308, МИАН, М., 2020, 116–134  mathnet  crossref  mathscinet
14. V. Afraimovich, S.-B. Hsu, Lectures on Chaotic Dynamical Systems, AMS/IP Stud. Adv. Math., 28, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003  mathscinet
15. С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов, Н. Х. Розов, “Соленоидальные аттракторы диффеоморфизмов кольцевых множеств”, УМН, 75:2 (452) (2020), 3–60  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
16. А. Ю. Колесов, Н. Х. Розов, В. А. Садовничий, “О гиперболичности эндоморфизмов тора”, Матем. заметки, 105:2 (2019), 251–268  mathnet  crossref  mathscinet
17. С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов, “Критерий гиперболичности эндоморфизмов тора”, Матем. заметки, 111:1 (2022), 134–139  mathnet  crossref  mathscinet
18. V. Chigarev, A. O. Kazakov, A. S. Pikovsky, “Kantorovich–Rubinstein–Wasserstein distance between overlapping attractor and repeller”, Chaos, 30:7 (2020), 073114  mathscinet
19. С. В. Гонченко, М. Н. Кайнов, А. О. Казаков, Д. В. Тураев, “О методах проверки псевдогиперболичности странных аттракторов”, Известия вузов. ПНД, 29:1 (2021), 160–185  mathnet  crossref
20. С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов, “О некоторых модификациях отображения “кот Арнольда””, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 500 (2021), 26–30  mathnet  crossref  zmath
21. В. С. Афраймович, В. В. Быков, Л. П. Шильников, “О возникновении и структуре аттрактора Лоренца”, Докл. АН СССР, 234:2 (1977), 336–339  mathnet  mathscinet  zmath
22. В. С. Афраймович, В. В. Быков, Л. П. Шильников, “О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца”, Тр. ММО, 44, Изд-во Моск. ун-та, М., 1982, 150–212  mathnet  mathscinet  zmath
23. I. Ovsyannikov, D. Turaev, “Analytic proof of the existence of the Lorenz attractor in the extended Lorenz model”, Nonlinearity, 30:1 (2016), 115–137  crossref  mathscinet

Образец цитирования: С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов, “Симметричная гиперболическая ловушка”, Матем. заметки, 116:3 (2024), 372–387; Math. Notes, 116:3 (2024), 446–457
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GlyKol24}
\by С.~Д.~Глызин, А.~Ю.~Колесов
\paper Симметричная гиперболическая ловушка
\jour Матем. заметки
\yr 2024
\vol 116
\issue 3
\pages 372--387
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm14189}
\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm14189}
\transl
\jour Math. Notes
\yr 2024
\vol 116
\issue 3
\pages 446--457
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434624090050}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85213297123}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/mzm14189
  • https://doi.org/10.4213/mzm14189
  • https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v116/i3/p372
  • Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математические заметки Mathematical Notes
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:212
    PDF полного текста:3
    HTML русской версии:19
    Список литературы:31
    Первая страница:15
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2025