| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Симметричная гиперболическая ловушка С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов Центр интегрируемых систем, Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624090050 
Реферативные базы данных:
 1. Постановка задачи и описание результатовИстория развития современной гиперболической теории и основные ее достижения подробно описаны в обзорах [1], [2] и монографиях [3]–[12] (это, разумеется, далеко не полный библиографический список). Следует особо упомянуть известный критерий конусов [2], [4], [5], с помощью которого осуществляется проверка гиперболичности для конкретных примеров диффеоморфизмов. Однако к настоящему времени разработаны и другие способы проверки наличия свойства гиперболичности. Соответствующие результаты содержатся в статье [13], где получены 16 наборов достаточных условий, при которых инвариантное множество $A$ диффеоморфизма $f$ является гиперболическим. В настоящей работе, продолжающей начатые в [13] исследования, предлагается набор достаточных условий, при выполнении которых область определения $U\subset M$ диффеоморфизма $f$ будет гиперболической ловушкой. Как уже отмечалось выше, это означает автоматическую гиперболичность любого подмножества $A\subset U$, инвариантного для отображения $f$. Кроме того, в отличие от всех случаев из [13], новый набор достаточных условий гиперболичности обладает свойством симметричности, т.е. формулируется одинаково как для $f$, так и для $f^{-1}$. И в этом смысле гиперболическая ловушка $U$ является симметричной. Приступим теперь непосредственно к описанию результатов настоящей статьи. В связи с этим фиксируем произвольно некоторое открытое подмножество $U\subset M$ (не обязательно ограниченное), где $M$ – гладкое риманово многообразие размерности $m$, $m\geqslant 2$, и отображение $f\colon U\to M$ класса $C^1$, являющееся диффеоморфизмом из $U$ в $f(U)\subset M$. Сформулируем сначала используемое в дальнейшем определение гиперболичности (см. [3]). В связи с этим всюду ниже через $\|\cdot\|$ будем обозначать риманову норму в касательном пространстве $T_xM$, индуцированную некоторой римановой метрикой на $M$ (зависимость этой нормы от $x\in M$ для краткости мы опускаем). Далее, в предположении о существовании подмножества $A\subset U$, $f(A)=A$, для каждой точки $x\in A$ зададим операторы
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, D(f^n(x))=Df(x_{n-1})\circ Df(x_{n-2})\circ\dots\circ Df(x_{0}), \\ D(f^{-n}(x))=[Df(x_{-n})]^{-1}\circ [Df(x_{-(n-1)})]^{-1}\circ\dots\circ[Df(x_{-1})]^{-1}, \qquad n\in\mathbb{N}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $Df(x)\colon T_xM\to T_{f(x)}M$ – дифференциал отображения $f$, $x_j=f^j(x)$, $j\in\mathbb{Z}$. Определение (У). Инвариантное множество $A$ называется гиперболическим для отображения $f$, если, во-первых, при каждом $x\in A$ касательное пространство $T_xM$ допускает представление в виде прямой суммы линейных подпространств $E^{\mathrm u}_x$, $E^{\mathrm s}_x$, обладающих свойствами инвариантности Следует напомнить, что в статье [3] гиперболические диффеоморфизмы назывались У-диффеоморфизмами или У-системами. Именно по этой причине мы пометили определение гиперболичности буквой У. Обратимся, далее, к условиям, при выполнении которых область $U$ является гиперболической ловушкой. Первое из них обеспечивает равномерную ограниченность операторов $Df(x)$ и $[Df(x)]^{-1}$ по параметру $x\in U$. Ввиду возможной неограниченности самой области $U$ это свойство не выполняется автоматически, а значит, его приходится постулировать. Следующее условие идентично соответствующему ограничению из критерия конусов [2], [4], [5]. А именно, мы предполагаем существование некоторого изначального разложения пространства $T_xM$ при $x\in U\cup f(U)$ в прямую сумму двух линейных подпространств. Условие 2. При $\forall\,x\in U\cup f(U)$ имеет место разложение где сумма прямая, а линейные подпространства $E_1(x)$, $E_2(x)$, вообще говоря, не $Df$-инвариантны и не обязательно непрерывны по $x$. Характер их зависимости от $x\in U\cup f(U)$ таков, что для соответствующих проекторов выполнены неравенства Опираясь на разложение (1.7) и проекторы (1.8), введем в рассмотрение операторы
$$
\begin{equation}
\Lambda_{j, 1}(x) =P(f(x))Df(x)\colon \quad E_j(x)\to E_1(f(x)), \qquad j=1, 2,
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_{j, 2}(x) =Q(x)(Df(x))^{-1}\colon \quad E_j(f(x))\to E_2(x), \qquad j=1, 2,
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
где $E_1(x)$, $E_2(x)$ – подпространства из (1.7), $P(x)$, $Q(x)$ – проекторы (1.8). Ниже нам понадобятся некоторые дополнительные ограничения, которые формулируются в терминах операторов (1.10), (1.11). Условие 3. Предполагаем, что при $\forall\,x\in U$ линейные операторы $\Lambda_{j, j}(x)$, $j=1, 2$, обратимы, и имеют место свойства ограниченности Условие 4. Справедливы требования Подчеркнем, что в силу предположений (1.6), (1.9), (1.12) все фигурирующие в неравенствах (1.13) постоянные (1.14), (1.15) заведомо конечны. Развитые в работе [13] методы проверки гиперболичности позволяют установить следующее утверждение, являющееся основным результатом настоящей статьи. Теорема 1. При выполнении условий 1–4 любое подмножество $A\subset U$, инвариантное для диффеоморфизма $f$ (т.е. такое, что $f(A)=A$), автоматически оказывается гиперболическим. Сформулированная теорема означает, что при условиях 1–4 область $U$ представляет собой гиперболическую ловушку. А поскольку (как будет показано при обосновании этой теоремы) условия 1–4 не меняются при переходе от $f$ к обратному отображению $f^{-1}$, то упомянутая ловушка обладает свойством симметричности. Следует отметить, что ранее в книге [14] для диффеоморфизма $f\colon U\to\mathbb{R}^k\times\mathbb{R}^m$, где $U$ – некоторая область из $\mathbb{R}^k\times\mathbb{R}^m$, был получен набор достаточных условий, гарантирующих гиперболичность любого подмножества $A\subset U$, $f(A)=A$. Однако в отличие от наших условий 1–4 ограничения из [14] не являются симметричными. Добавим еще, что упомянутый результат из [14] усилен в статье [15], где впервые и был введен термин ”гиперболическая ловушка”. В частном случае $U=f(U)=M$ теорема 1 дает достаточные условия гиперболичности отображения $f$ на всем многообразии $M$, т.е. гарантирует принадлежность $f$ к диффеоморфизмам Аносова. Например, при $U=\mathbb{T}^m$, $m\geqslant 2$, $f(\mathbb{T}^m)=\mathbb{T}^m$, где $\mathbb{T}^m=\mathbb{R}^m/2\pi\mathbb{Z}^m$, на этом пути получается новая серия достаточных условий гиперболичности диффеоморфизмов $f$ тора $\mathbb{T}^m$. Таким образом, удается дополнить соответствующие результаты из [16], [17], где были получены некоторые другие достаточные условия гиперболичности $f$ на $\mathbb{T}^m$. Обратим внимание, что условия гиперболичности (1.13) в принципе зависят от способа задания нормы в $T_xM$. Однако в случае $U=f(U)=\mathbb{T}^2$ и при специальном выборе разложения (1.7) касательного пространства $T_x\mathbb{T}^2=\mathbb{R}^2$ их удается представить в некоторой инвариантной форме. Для определенности всюду ниже считаем, что тор $\mathbb{T}^2$ отождествлен с фундаментальным множеством
$$
\begin{equation}
\mathscr{U}=\biggl\{x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2\colon 0\leqslant x_1<2\pi,\,0\leqslant x_2<2\pi\biggr\}.
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
Далее, рассмотрим отображение $f\colon \mathbb{T}^2\to\mathbb{T}^2$, имеющее вид
$$
\begin{equation}
f\colon x\mapsto \Lambda x+h(x)\ (\operatorname{mod} 2\pi).
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
Здесь $\Lambda$ – невырожденная квадратная матрица размера $2\times 2$ с целочисленными элементами, спектр которой не пересекается с единичной окружностью, а вектор-функция $h(x)$ принадлежит классу $C^1(\mathbb{R}^2; \mathbb{R}^2)$. Предположим также, что она является $2\pi$-периодической по $x\in\mathbb{R}^2$, т.е. $h(x+2\pi l)\equiv h(x)$ для любого $l\in\mathbb{Z}^2$. Что же касается вектора $\Lambda x+h(x)\ (\operatorname{mod} 2\pi)$, то при любом $x\in\mathscr{U}$ он представляет собой естественную проекцию исходного вектора $\Lambda x+h(x)$ из $\mathbb{R}^2$ на множество (1.16). И наконец, предполагаем, что (1.17) – диффеоморфизм тора $\mathbb{T}^2$, т.е.
$$
\begin{equation}
|\det\Lambda|=1, \qquad\det(\Lambda+h'(x))\ne 0 \quad \forall\,x\in\mathbb{R}^2,
\end{equation}
\tag{1.18}
$$
где $h'(x)$ – матрица Якоби вектор-функции $h(x)$. В силу ограничений, наложенных на матрицу $\Lambda$, она имеет собственные значения $\lambda_1$, $|\lambda_1|>1$, и $\lambda_2$, $|\lambda_2|<1$, с собственными векторами $e_1$ и $e_2$ соответственно. Кроме этого, рассмотрим векторы $g_s$, $s=1, 2$, удовлетворяющие соотношениям
$$
\begin{equation}
\Lambda^{*}g_s=\lambda_sg_s, \quad (e_j, g_s)=\delta_{j s}, \qquad j, s=1, 2,
\end{equation}
\tag{1.19}
$$
где $\Lambda^{*}$ – сопряженная матрица, $(*, *)$ – евклидово скалярное произведение в $\mathbb{R}^2$, $\delta_{j s}$ – символ Кронекера. Далее, положим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \beta_{j, s}(x)=(h'(x)e_j, g_s), \quad j, s=1, 2, \qquad \alpha(x)=\lambda_1+\beta_{1, 1}(x), \\ \Delta(x)=(\lambda_1+\beta_{1, 1}(x))(\lambda_2+\beta_{2, 2}(x))-\beta_{1, 2}(x)\beta_{2, 1}(x). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.20}
$$
Справедливо следующее утверждение. Теорема 2. Предположим, что выполнены неравенства Отметим, что условия (1.21) инвариантны по отношению к выбору векторов $e_1$, $e_2$, $g_1$, $g_2$. Действительно, если заменить $e_1$, $e_2$ на векторы $c_1e_1$, $c_2e_2$, где постоянные $c_1, c_2\ne 0$, то согласно (1.19) векторы $g_1$, $g_2$ заменятся на $(1/c_1)g_1$, $(1/c_2)g_2$. А отсюда и из (1.20)–(1.23) следует, что при таких заменах функция $\alpha(x)$, величины $\alpha_1^0$, $\alpha_2^0$ и произведение $\beta_{1}^0\beta_{2}^0$ останутся прежними. 2. Доказательство теоремы 1Предположим, что выполнены условия 1–4 и рассматриваемое отображение $f$ имеет в $U$ инвариантное подмножество $A$ (т.е. такое, что $f(A)=A$). В силу определения (У) для установления факта гиперболичности множества $A$ нам следует убедиться в справедливости разложения (1.2) пространства $T_xM$ при каждом $x\in A$ в прямую сумму подпространств $E^{\mathrm u}_x$, $E^{\mathrm s}_x$, обладающих свойствами $Df$-инвариантности (1.3). Кроме того, необходимо проверить выполнение неравенств (1.4), (1.5). Обсудим сначала общую схему отыскания гиперболической структуры (1.2) для отображения $f$. В первую очередь заметим, что хотя фигурирующие в ней подпространства ${E}^{\mathrm u}_x$, ${E}^{\mathrm s}_x$, вообще говоря, отличны от подпространств $E_1(x)$, $E_2(x)$ из разложения (1.7), но между ними есть определенная связь. А именно, интересующие нас подпространства ${E}^{\mathrm u}_x$, ${E}^{\mathrm s}_x$ могут быть представлены в параметрической форме:
$$
\begin{equation}
{E}^{\mathrm u}_x =\bigl\{\xi=u_1+u_2\in T_xM\colon u_2=a(x)u_1,\, u_1\in E_1(x)\bigr\},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
$$
\begin{equation}
{E}^{\mathrm s}_x =\bigl\{\xi=u_1+u_2\in T_xM\colon u_1=b(x)u_2,\, u_2\in E_2(x)\bigr\}.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Здесь $u_1\in E_1(x)$ и $u_2\in E_2(x)$ – векторные параметры на ${E}^{\mathrm u}_x$ и ${E}^{\mathrm s}_x$ соответственно, а подлежащие определению линейные операторы
$$
\begin{equation*}
a(x)\colon E_1(x)\to E_2(x), \qquad b(x)\colon E_2(x)\to E_1(x)
\end{equation*}
\notag
$$
таковы, что
$$
\begin{equation*}
\sup_{x\in A}\|a(x)\|_{E_1(x)\to E_2(x)}<\infty, \qquad \sup_{x\in A}\|b(x)\|_{E_2(x)\to E_1(x)}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Как будет показано ниже (см. также аналогичные построения в [13]), из условий $Df$-инвариантности (1.3) подпространств (2.1), (2.2) для $a(x)$, $b(x)$ получаются некоторые нелинейные операторные уравнения, к которым в последующем применяется принцип сжимающих отображений (справедливость этого принципа в подходящих функциональных пространствах гарантируют неравенства (1.13)). В результате устанавливаем существование требуемых подпространств ${E}^{\mathrm u}_x$, ${E}^{\mathrm s}_x$. Используя их параметрические представления (2.1), (2.2), удается обосновать как оценки вида (1.4), (1.5), так и разложение (1.2). Приступим к реализации описанной схемы и начнем с отыскания $a(x)$. Из (1.3), (2.1) следует, что должно выполняться равенство вида
$$
\begin{equation}
Df(x)(u_1+a(x)u_1)=C_a(x)u_1+a(f(x))C_a(x)u_1 \qquad \forall\,x\in A, \quad \forall\,u_1\in E_1(x),
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $C_a(x)\colon E_1(x)\to E_1(f(x))$ – некоторый линейный оператор. Для анализа равенства (2.3) проделаем следующие операции. Сначала применим к его левой и правой частям проектор $P(f(x))$. В результате приходим к формуле где $\Lambda_{1, 1}(x), \Lambda_{2, 1}(x)$ – операторы (1.10). Затем перейдем от (2.3) к новому равенству
$$
\begin{equation}
u_1+a(x)u_1=[Df(x)]^{-1}\bigl(C_a(x)u_1+a(f(x))C_a(x)u_1\bigr) \qquad \forall\,x\in A, \quad \forall\,u_1\in E_1(x).
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
И наконец, применяя к (2.5) проектор $Q(x)$, имеем
$$
\begin{equation}
a(x)=\bigl[\Lambda_{1, 2}(x)+\Lambda_{2, 2}(x)a(f(x))\bigr]C_a(x),
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где $\Lambda_{1, 2}(x), \Lambda_{2, 2}(x)$ – операторы (1.11). Отдельного рассмотрения требует вопрос об эквивалентности перехода от равенства (2.3) к системе соотношений (2.4), (2.6). Проблема здесь сводится к проверке обратимости оператора перехода $\Pi\colon T_{f(x)}M\to H$, где пространство $H$ задается равенством
$$
\begin{equation}
H=\bigl\{(u_1, u_2)\colon u_1\in E_1(f(x)),\, u_2\in E_2(x)\bigr\},
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
а само отображение $\Pi$ линейно и имеет вид
$$
\begin{equation}
\Pi \xi=\bigl(P(f(x))\xi,Q(x)[Df(x)]^{-1}\xi\bigr) \qquad\forall\,\xi\in T_{f(x)}M.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Из (2.7) и из очевидных равенств
$$
\begin{equation*}
P(f(x))T_{f(x)}M=E_1(f(x)), \qquad Q(x)[Df(x)]^{-1}T_{f(x)}M=E_2(x)
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что оператор (2.8) сюръективен. Для проверки же его инъективности рассмотрим любой элемент $\xi_0\in T_{f(x)}M$, для которого $\Pi \xi_0=0$, т.е. Но в этом случае автоматически $\xi_0\in E_2(f(x))$, а второе соотношение из (2.9) записывается в виде $\Lambda_{2, 2}(x)\xi_0=0$. Остается воспользоваться фактом обратимости оператора $\Lambda_{2, 2}(x)$ (см. условие 3) и заключить, что $\xi_0=0$. Инъективность оператора $\Pi$ доказана. Итак, мы показали, что соотношения (2.3) и (2.4), (2.6) действительно эквивалентны. Подставляя, далее, представление (2.4) в (2.6) и заменяя в получившемся выражении $x$ на $f^{-1}(x)$, убеждаемся в том, что $a(x)$ является решением нелинейного операторного уравнения где
$$
\begin{equation}
\mathscr{A}_a(x)=\Lambda_{2, 2}^{-1}(\theta) \bigl\{a(\theta)C_a^{-1}(\theta)-\Lambda_{1, 2}(\theta)\bigr\}\big|_{\theta=f^{-1}(x)}.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Последующий анализ состоит в применении к уравнению (2.10) принципа сжимающих отображений в подходящем метрическом пространстве. В связи с этим обозначим через $X(\mathscr{L})$ совокупность линейных операторов $a(x)$, действующих из $E_1(x)$ в $E_2(x)$ и удовлетворяющих условию ограниченности
$$
\begin{equation}
\sup_{x\in A}\|a(x)\|_{E_1(x)\to E_2(x)}\leqslant\mathscr{L}.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Здесь $\mathscr{L}\geqslant 0$ – некоторая постоянная, не зависящая от выбора $a(x)$. Упомянутую константу будем считать такой, что где величина $\beta_2$ определена формулой из (1.15). Далее, после введения метрики
$$
\begin{equation}
\forall\,a_1(x), a_2(x)\in X(\mathscr{L}) \qquad\rho(a_1, a_2)=\sup_{x\in A}\|a_1(x)-a_2(x)\|_{E_1(x)\to E_2(x)}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
множество $X(\mathscr{L})$ становится полным метрическим пространством. Наша ближайшая задача – показать, что при соответствующем выборе постоянной $\mathscr{L}$ в условии (2.12) нелинейный оператор $\mathscr{A}\colon a(x)\mapsto \mathscr{A}_a(x)$ переводит пространство $X(\mathscr{L})$ в себя и является сжимающим. Прежде всего, убедимся в корректности определения оператора $\mathscr{A}$. А именно, проверим обратимость линейного оператора $C_a(f^{-1}(x))$ при любом выборе $a(x)$ из $X(\mathscr{L})$ и $x\in A$. Для этого сначала заметим, что в силу соотношений (1.15), (2.12), (2.13) справедливы оценки
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(x)\Lambda_{2, 1}(x)a(x)\|_{E_1(x)\to E_1(x)} \notag \\ &\qquad \leqslant\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(x)\Lambda_{2, 1}(x)\|_{E_2(x)\to E_1(x)}\cdot\|a(x)\|_{E_1(x)\to E_2(x)}\leqslant\beta_2\mathscr{L}<1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Далее, используем вытекающие из формулы (2.4) представления
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, C_a(x)=\Lambda_{1, 1}(x)(I-D_a(x)), \qquad C_a^{-1}(x)=\biggl(\sum_{k=0}^{\infty}D_a^k(x)\biggr) \Lambda_{1,1}^{-1}(x), \\ D_a(x)=-\Lambda_{1,1}^{-1}(x)\Lambda_{2, 1}(x)a(x), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
где $I$ – единичный оператор в $E_1(x)$. Заменяя в (2.16) аргумент $x$ на $f^{-1}(x)$ и учитывая информацию (2.15), приходим к выводу, что оператор $C_a(f^{-1}(x))$ действительно обратим и, более того,
$$
\begin{equation}
\|C_a^{-1}(f^{-1}(x))\|_{E_1(x)\to E_1(f^{-1}(x))}\leqslant \frac{\alpha_1}{1-\beta_2\mathscr{L}},
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
где $\alpha_1$ – постоянная из (1.14). В свою очередь, неравенство (2.17) и формула (2.11) приводят к оценке
$$
\begin{equation}
\|\mathscr{A}_a(x)\|_{E_1(x)\to E_2(x)}\leqslant\frac{(\alpha_1\alpha_2- \beta_1\beta_2)\mathscr{L}+\beta_1}{1-\beta_2\mathscr{L}} \qquad\forall\,a(x)\in X(\mathscr{L}), \quad\forall\,x\in A,
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
где $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\beta_1$, $\beta_2$ – постоянные (1.14), (1.15). На следующем этапе выберем константу $\mathscr{L}$. Для этого рассмотрим квадратное уравнение
$$
\begin{equation}
\Phi(\mathscr{L})\stackrel{\mathrm{def}}{=} \beta_2\mathscr{L}^2+(\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2-1)\mathscr{L}+\beta_1=0,
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
корни которого при условиях
$$
\begin{equation}
\mathscr{D}\stackrel{\mathrm{def}}{=}(\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2-1)^2- 4\beta_1\beta_2>0, \qquad \alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2-1<0
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
лежат на полуоси $\mathscr{L}\geqslant 0$. Заметим, далее, что в нашем случае требования (2.20) выполняются. Действительно, эти требования заведомо справедливы при
$$
\begin{equation}
\alpha_1\alpha_2-1<\beta_1\beta_2<\bigl(1-\sqrt{\alpha_1\alpha_2}\bigr)^2.
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Что же касается оценок (2.21), то они имеют место в силу (1.13) и неравенства
$$
\begin{equation*}
\bigl(1-\sqrt{\alpha_1\alpha_2}\bigr)^2\geqslant (1-\alpha_1)(1-\alpha_2),
\end{equation*}
\notag
$$
проверка которого не вызывает затруднений. Опираясь на установленные свойства функции $\Phi(\mathscr{L})$, в качестве постоянной $\mathscr{L}$ в (2.12) возьмем наименьший корень уравнения (2.19), т.е. положим
$$
\begin{equation}
\mathscr{L}=\mathscr{L}_*, \qquad \mathscr{L}_*=\frac{1+\beta_1\beta_2-\alpha_1\alpha_2-\sqrt{\mathscr{D}}}{2\beta_2}= \frac{2\beta_1} {1+\beta_1\beta_2-\alpha_1\alpha_2+\sqrt{\mathscr{D}}}.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Далее, нетрудно увидеть, что в случае (2.22) выполняется априорное условие (2.13) (оно вытекает из неравенств (1.13)) и, кроме того, справедливы свойства
$$
\begin{equation}
(\Psi(\mathscr{L})-\mathscr{L})|_{\mathscr{L}=\mathscr{L}_*}=0, \qquad \Psi'(\mathscr{L})|_{\mathscr{L}=\mathscr{L}_*}<1,
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
где $\Psi(\mathscr{L})=((\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2)\mathscr{L} +\beta_1)/(1-\beta_2\mathscr{L})$. Учитывая первое из них в (2.18), приходим к выводу, что
$$
\begin{equation}
\sup_{x\in A}\|\mathscr{A}_a(x)\|_{E_1(x)\to E_2(x)}\leqslant\mathscr{L}_* \qquad\forall\,a(x)\in X(\mathscr{L}_*),
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
а значит, справедливо требуемое включение $\mathscr{A}(X(\mathscr{L}_*))\subset X(\mathscr{L}_*)$. Покажем теперь, что интересующий нас оператор $\mathscr{A}$ является сжимающим в пространстве $X(\mathscr{L}_*)$. С этой целью фиксируем произвольно два оператора $a_1(x)$, $a_2(x)$ из $X(\mathscr{L}_*)$ и заметим, что в силу (2.4), (2.11) имеют место представления
$$
\begin{equation}
\mathscr{A}_{a_1}(x)-\mathscr{A}_{a_2}(x)=\Lambda^{-1}_{2,2}(\theta) \big[a_1(\theta)-a_2(\theta)\big]C_{a_1}^{-1}(\theta) \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad+\Lambda_{2,2}^{-1}(\theta)a_2(\theta) \big[C_{a_1}^{-1}(\theta)-C_{a_2}^{-1}(\theta)\big]\big|_ {\theta=f^{-1}(x)},
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
$$
\begin{equation}
C_{a_1}^{-1}(\theta)-C_{a_2}^{-1}(\theta)=C_{a_1}^{-1}(\theta)\Lambda_{2,1}(\theta) \big(a_2(\theta)-a_1(\theta)\big)C_{a_2}^{-1}(\theta).
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Объединяя затем полученные представления (2.25), (2.26) с оценками (2.12), (2.13), (2.15), (2.17) (при $\mathscr{L}=\mathscr{L}_*$), соотношениями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, C_{a_1}^{-1}(\theta)\Lambda_{2,1}(\theta)= \biggl(\sum_{k=0}^{\infty}D_{a_1}^k(\theta)\biggr)\Lambda_{1,1}^{-1}(\theta) \Lambda_{2,1}(\theta), \\ \|C_{a_1}^{-1}(\theta)\Lambda_{2,1}(\theta)\|_{E_2(\theta)\to E_1(\theta)}\leqslant \frac{\beta_2}{1-\beta_2\mathscr{L}_*} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и вытекающим из равенства $f^{-1}(A)=A$ свойством
$$
\begin{equation*}
\rho\bigl(a_1(f^{-1}(x)), a_2(f^{-1}(x))\bigr)=\rho\bigl(a_1(x), a_2(x)\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
метрики (2.14), последовательно выводим:
$$
\begin{equation*}
\|\mathscr{A}_{a_1}(x)-\mathscr{A}_{a_2}(x)\|_{E_1(x)\to E_2(x)}\leqslant q\rho(a_1,a_2) \quad \forall\,x\in A, \qquad \rho(\mathscr{A}_{a_1},\mathscr{A}_{a_2})\leqslant q\rho(a_1,a_2),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
q=\frac{\alpha_1\alpha_2}{1-\beta_2\mathscr{L}_*}+ \frac{\alpha_1\alpha_2\beta_2\mathscr{L}_*} {(1-\beta_2\mathscr{L}_*)^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим еще, что в силу второго свойства из (2.23) величина $q$ строго меньше единицы. Остается воспользоваться принципом сжимающих отображений и заключить, что уравнение (2.10) имеет единственное решение $a_*(x)\in X(\mathscr{L}_*)$. Итак, нам удалось показать существование $Df$-инвариантного подпространства ${E}^{\mathrm u}_x$, задающегося формулой (2.1) при $a=a_*(x)$. Проверим, далее, выполнение для этого подпространства неравенства вида (1.4) с некоторыми не зависящими от $x$, $\xi$, $n$ постоянными $c_1>0$, $\mu_1\in(0, 1)$. Привлекая формулу (2.5), нетрудно показать, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, [Df(x_{-1})]^{-1}(u_1+a_*(x)u_1)= C^{-1}_{a_*}(x_{-1})u_1+a_*(x_{-1})C^{-1}_{a_*}(x_{-1})u_1 \\ \forall\,x\in A, \qquad\forall\,u_1\in E_1(x), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где, напомним, $x_j=f^j(x)$, $j\in\mathbb{Z}$. А отсюда, используя метод математической индукции и явное выражение для $D(f^{-n}(x))$ (см. (1.1)), заключаем, что при всех $n\in\mathbb{N}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &D(f^{-n}(x))(u_1+a_*(x)u_1)=C^{-1}_{a_*}(x_{-n}) C^{-1}_{a_*}(x_{-(n-1)})\dotsb C^{-1}_{a_*}(x_{-1})u_1 \\ &\qquad\quad+a_*(x_{-n})C^{-1}_{a_*}(x_{-n}) C^{-1}_{a_*}(x_{-(n-1)})\dotsb C^{-1}_{a_*}(x_{-1})u_1 \qquad \forall\,x\in A, \quad \forall\,u_1\in E_1(x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
Что же касается интересующего нас неравенства (1.4), то оно вытекает из (1.9), (2.12), (2.17), (2.27) и из итоговой оценки
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl\|C^{-1}_{a_*}(x_{-n}) C^{-1}_{a_*}(x_{-(n-1)})\dotsb C^{-1}_{a_*}(x_{-1})\bigr\|_{E_1(x_0)\to E_1(x_{-n})} \notag \\ &\qquad\leqslant\prod_{k=1}^n\|C^{-1}_{a_*}(x_{-k})\|_{E_1(x_{-(k-1)})\to E_1(x_{-k})}\leqslant \biggl(\frac{\alpha_1}{1-\beta_2\mathscr{L}_*}\biggr)^n. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
В частности, согласно (2.28) постоянная $\mu_1$ из (1.4) имеет вид Несложный анализ показывает, что условие $\mu_1<1$ заведомо выполняется при
$$
\begin{equation*}
\beta_1\beta_2< \begin{cases} 1-\alpha_1-\alpha_1(1-\alpha_2)&\text{при } \alpha_1\leqslant \alpha_2, \\ (1-\alpha_1)(1-\alpha_2)&\text{при }\alpha_1\geqslant \alpha_2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Остается отметить, что данное неравенство слабее предполагаемой нами оценки сверху на $\beta_1\beta_2$ из (1.13). Для отыскания устойчивого подпространства ${E}_x^{\mathrm s}$ из (1.2) заметим, что оно является одновременно неустойчивым подпространством для диффеоморфизма $\widetilde{f}=f^{-1}$. Поэтому мы можем применить все приведенные выше построения к отображению $\widetilde{f}$. Действительно, обозначим через $\widetilde{\Lambda}_{j, k}(x)$, $j, k=1, 2$ и $\widetilde{\alpha}_j$, $\widetilde{\beta}_j$, $j=1, 2$ операторы (1.10), (1.11) и постоянные (1.14), (1.15), соответствующие случаю $\widetilde{f}$. Принимая во внимание то обстоятельство, что для $\widetilde{f}$ подпространства $E_1(x)$, $E_2(x)$ меняются местами, приходим к выводу, что
$$
\begin{equation}
\widetilde{\Lambda}_{j, k}(\theta)|_{\theta=f(x)}=\Lambda_{3-j, 3-k}(x), \quad j, k=1, 2; \qquad \widetilde{\alpha}_j=\alpha_{3-j}, \quad \widetilde{\beta}_j=\beta_{3-j}, \quad j=1, 2.
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
А отсюда очевидным образом следует, что для $f$ и $\widetilde{f}$ условия 1–4 совпадают. Итак, проделанный выше анализ сохраняет силу и в случае $\widetilde{f}$. Опираясь на этот факт и учитывая формулы (2.29), убеждаемся в существовании требуемого подпространства (2.2) с оператором $b=b_*(x)\colon E_2(x)\to E_1(x)$. Кроме того, справедлива аналогичная (2.12) оценка
$$
\begin{equation}
\sup_{x\in A}\|b_*(x)\|_{E_2(x)\to E_1(x)}\leqslant\mathscr{R}_*,
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
где $\mathscr{R}=\mathscr{R}_*$ – наименьший корень аналогичного (2.19) квадратного уравнения
$$
\begin{equation}
\beta_1\mathscr{R}^2+(\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2-1)\mathscr{R}+\beta_2=0,
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
а также оценка (1.5) с постоянной
$$
\begin{equation*}
\mu_2=\frac{\alpha_2}{1-\beta_1\mathscr{R}_*}\in (0, 1).
\end{equation*}
\notag
$$
Добавим еще, что в силу (2.31) имеет место равенство $\mathscr{R}_*=1/\mathscr{L}_{**}$, где $\mathscr{L}_{**}$ – наибольший корень уравнения (2.19). Покажем, наконец, что сумма подпространств ${E}_x^{\mathrm u}$, ${E}_x^{\mathrm s}$ является прямой и совпадает с $T_xM$. Согласно представлениям (2.1), (2.2) (при $a=a_*(x)$, $b=b_*(x)$) для этого достаточно убедиться в том, что однозначно разрешима относительно $u_1\in E_1(x)$, $u_2\in E_2(x)$ система уравнений
$$
\begin{equation*}
u_1+b_*(x)u_2=\widetilde{u}_1, \qquad a_*(x)u_1+u_2=\widetilde{u}_2
\end{equation*}
\notag
$$
при любых фиксированных $\widetilde{u}_1\in E_1(x)$, $\widetilde{u}_2\in E_2(x)$. Но последнее верно в силу равенств
$$
\begin{equation*}
u_2=\widetilde{u}_2-a_*(x)u_1, \qquad u_1-b_*(x)a_*(x)u_1= \widetilde{u}_1-b_*(x)\widetilde{u}_2
\end{equation*}
\notag
$$
и обратимости в $E_1(x)$ оператора $I-b_*(x)a_*(x)$ ($I$ – единичный оператор в $E_1(x)$). Что же касается упомянутой обратимости, то она – следствие неравенств (2.12), (2.24) (при $a=a_*(x)$, $\mathscr{L}=\mathscr{L}_{*}$), (2.30) и оценок
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|b_*(x)a_*(x)\|_{E_1(x)\to E_1(x)} \\ &\qquad \leqslant \|b_*(x)\|_{E_2(x)\to E_1(x)}\cdot \|a_*(x)\|_{E_1(x)\to E_2(x)}\leqslant\mathscr{R}_*\mathscr{L}_*=\frac{\mathscr{L}_*}{\mathscr{L}_{**}}<1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1 полностью доказана.
3. Доказательство теоремы 2Справедливость теоремы 2 устанавливается посредством применения к отображению (1.17) теоремы 1 при подходящем выборе стартового разложения (1.7). А именно, положим где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, E_1=\{x=te_1\colon t\in\mathbb{R}\}, \qquad \|x\|_{E_1}=c_1^0|t|, \\ E_2=\{x=te_2\colon t\in\mathbb{R}\}, \qquad \|x\|_{E_2}=c_2^0|t|, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
$e_1, e_2$ – векторы из (1.19), а $c_1^0, c_2^0>0$ – произвольно фиксированные постоянные (характеризующие произвол в выборе норм $\|*\|_{E_1}$, $\|*\|_{E_2}$). Нетрудно увидеть, что в случае (3.1), (3.2) операторы (1.10), (1.11) задаются формулами
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Lambda_{1, 1}(x)\colon te_1\to \alpha(x)te_1, \qquad \Lambda_{2, 2}(x)\colon te_2\to \frac{\alpha(x)}{\Delta(x)}te_2, \\ \Lambda_{2, 1}(x)\colon te_2\to \beta_{2, 1}(x)te_1, \qquad \Lambda_{1, 2}(x)\colon te_1\to \beta_{1, 2}(x)te_2, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $t\in\mathbb{R}$, а функции $\alpha(x)$, $\beta_{2, 1}(x)$, $\beta_{1, 2}(x)$ определены в (1.20). Далее, в силу предположений (1.18), (1.21) и очевидного равенства $\Delta(x)=\det(\Lambda+h'(x))$ имеем $\alpha(x)\ne 0$, $\Delta(x)\ne 0$ $\forall\,x\in\mathbb{R}^2$. А это значит, что фигурирующие в (3.3) операторы $\Lambda_{1, 1}(x)$, $\Lambda_{2, 2}(x)$ корректно определены и обратимы. Кроме того, справедливы соотношения
$$
\begin{equation}
\alpha_1=\alpha_1^0, \qquad\alpha_2=\alpha_2^0, \qquad\beta_1=\frac{c_2^0}{c_1^0}\beta_{1}^0, \qquad\beta_2=\frac{c_1^0}{c_2^0}\beta_{2}^0,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где $\alpha_1^0$, $\alpha_2^0$, $\beta_{1}^0$, $\beta_{2}^0$ – величины (1.22), (1.23). А отсюда и из (1.21) заключаем, что постоянные (3.4) удовлетворяют требуемым в теореме 1 условиям (1.13). Тем самым, в силу упомянутой теоремы интересующий нас диффеоморфизм (1.17) оказывается гиперболическим. Теорема 2 доказана.
4. Анализ примераПрименимость теоремы 2 проиллюстрируем на конкретном примере, заимствованном из работ [18], [19]. Как и в указанных статьях, рассмотрим диффеоморфизм тора $\mathbb{T}^2$ вида
$$
\begin{equation}
f\colon \begin{array}{l} x_1\mapsto 2x_1+x_2+\mathscr{M}(2x_1+x_2, \varepsilon)\ (\operatorname{mod} 2\pi), \\ x_2\mapsto x_1+x_2\ (\operatorname{mod} 2\pi), \end{array}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где $\varepsilon=\mathrm{const}\in (0, 1)$, а $\mathscr{M}(z, \varepsilon)$, $z\in\mathbb{R}$ – так называемая функция Мебиуса. Данная функция является $2\pi$-периодической по $z$ и на отрезке $0\leqslant z\leqslant 2\pi$ задается формулой
$$
\begin{equation*}
\mathscr{M}(z, \varepsilon)= \begin{cases} \Omega(z, \varepsilon)-z&\text{при }0\leqslant z<z_1, \\ \Omega(z, \varepsilon)+\pi-z&\text{при }z_1<z<z_2, \\ \Omega(z, \varepsilon)+2\pi-z&\text{при }z_2<z\leqslant 2\pi, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Omega(z, \varepsilon)=\operatorname{arctg}\biggl(\frac{(1-\varepsilon^2)\sin z}{2\varepsilon+(1+\varepsilon^2)\cos z}\biggr), \\ z_1=\arccos\biggl(-\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon^2}\biggr), \qquad z_2=2\pi-\arccos\biggl(-\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon^2}\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Что же касается точек $z=z_j$, $j=1, 2$, то в них она доопределяется по непрерывности. Добавим еще, что в силу очевидных свойств
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathscr{M}'_z(z, \varepsilon)+1=\frac{1-\varepsilon^2}{1+\varepsilon^2+2\varepsilon\cos z} >0 \qquad \forall\,z\in \mathbb{R}, \\ \mathscr{M}''_{zz}(z, \varepsilon)=\frac{2\varepsilon(1-\varepsilon^2)\sin z}{(1+\varepsilon^2+2\varepsilon\cos z)^2}>0 \qquad\text{при}\quad0<z<\pi, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
имеют место соотношения
$$
\begin{equation}
\max_{z\in \mathbb{R}}\mathscr{M}'_z(z, \varepsilon)=\overline{\varepsilon}, \qquad \min_{z\in \mathbb{R}}\mathscr{M}'_z(z, \varepsilon)=-\overline{\overline{\varepsilon}}, \qquad \overline{\varepsilon}=\frac{2\varepsilon}{1-\varepsilon}, \qquad \overline{\overline{\varepsilon}}=\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Покажем, что при надлежащем уменьшении параметра $\varepsilon$ диффеоморфизм (4.1) удовлетворяет условиям теоремы 2. Нетрудно увидеть, что в данном случае
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Lambda= \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}, \qquad \lambda_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}>1, \qquad \lambda_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\in (0, 1), \\ e_s=g_s=\frac{1}{\sqrt{1+(\lambda_s-1)^2}}\begin{pmatrix} \lambda_s-1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad s=1, 2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
А отсюда и из (4.2) последовательно выводим:
$$
\begin{equation}
\alpha(x)=\lambda_1+\frac{\lambda^2_1}{1+\lambda_1}\mathscr{M}'_z(z, \varepsilon)|_{z=2x_1+x_2}>0 \qquad\forall\,x\in\mathbb{R}^2,
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
$$
\begin{equation}
1-\alpha_1^0=\frac{\lambda_1-1-\lambda^2_1\overline{\overline{\varepsilon}}/(1+\lambda_1)} {\lambda_1-\lambda^2_1\overline{\overline{\varepsilon}}/(1+\lambda_1)}, \qquad 1-\alpha_2^0=(\lambda_1-1)\cdot\frac{1+2\overline{\varepsilon}/(1+\lambda_1)} {\lambda_1+\lambda^2_1\overline{\varepsilon}/(1+\lambda_1)},
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \beta_1^0&=\frac{(2\lambda_1-1)(1-\lambda_2)\overline{\varepsilon}(1+\overline{\varepsilon})} {\sqrt{1+(\lambda_1-1)^2}\sqrt{1+(\lambda_2-1)^2}}\cdot \frac{1}{\lambda_1+\lambda^2_1\overline{\varepsilon}/(1+\lambda_1)}, \\ \beta_2^0&=\frac{(1-2\lambda_2)(\lambda_1-1)\overline{\overline{\varepsilon}}} {\sqrt{1+(\lambda_1-1)^2}\sqrt{1+(\lambda_2-1)^2}}\cdot \frac{1}{\lambda_1-\lambda^2_1\overline{\overline{\varepsilon}}/(1+\lambda_1)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Что же касается неравенств (1.21), то в силу формул (4.3)–(4.5) все они эквивалентны одному требованию
$$
\begin{equation*}
\mathscr{H}(\varepsilon)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac{4}{5}\varepsilon^2(1+\varepsilon) -(\lambda_1-1)(1-\varepsilon)\biggl(\lambda_1-1-\frac{3\lambda_1}{1+\lambda_1}\varepsilon\biggr) \biggl(1+\frac{3-\lambda_1}{1+\lambda_1}\varepsilon\biggr)<0.
\end{equation*}
\notag
$$
Численный анализ функции $\mathscr{H}(\varepsilon)$ показывает существование у нее на отрезке $0\leqslant\varepsilon\leqslant 1$ такого корня $\varepsilon=\varepsilon_0$, $\varepsilon_0\approx 0.53786$, что $\mathscr{H}(\varepsilon)<0$ при $0\leqslant\varepsilon<\varepsilon_0$, $\mathscr{H}(\varepsilon)>0$ при $\varepsilon_0<\varepsilon\leqslant 1$. Тем самым, в силу теоремы 2 интересующее нас отображение (4.1) при всех $0<\varepsilon<\varepsilon_0$ оказывается диффеоморфизмом Аносова. Для сравнения напомним, что ранее в статье [20] для отображения (4.1) было получено условие гиперболичности $\varepsilon<1/\sqrt{5}\approx 0.4472$. Причина, по которой нам удалось улучшить соответствующий результат из [20], состоит в симметричности новых достаточных условий гиперболичности (1.13). В связи с этим уместно отметить, что достаточные условия гиперболичности, используемые в [16], [17], [20], свойством симметричности не обладают. Отдельно остановимся на упрощенном варианте примера (4.1), в котором функция Мебиуса $\mathscr{M}(z, \varepsilon)$ заменена на
$$
\begin{equation}
\mathscr{M}(z, \varepsilon)=\varepsilon\cos(z+\nu), \qquad \varepsilon=\mathrm{const}\in (0,1), \quad \nu=\mathrm{const}\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
В этом случае, как нетрудно увидеть, формулы (4.3)–(4.5) сохраняются, но теперь в них следует положить $\overline{\varepsilon}=\overline{\overline{\varepsilon}}=\varepsilon$. Принимая во внимание указанные обстоятельства и привлекая в очередной раз теорему 2, приходим к выводу, что диффеоморфизм (4.1), (4.6) оказывается гиперболическим при $0<\varepsilon<\varepsilon_0$, $\nu\in\mathbb{R}$. Здесь $\varepsilon=\varepsilon_0$, $\varepsilon_0\approx 0.80174$ – корень уравнения
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{5}\varepsilon^2(1+\varepsilon) -(\lambda_1-1)\biggl(\lambda_1-1-\frac{\lambda_1^2}{1+\lambda_1}\varepsilon\biggr) \biggl(1+\frac{2}{1+\lambda_1}\varepsilon\biggr)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежащий отрезку $0\leqslant\varepsilon\leqslant 1$.
5. ЗаключениеКак следует из результатов статьи [13], существуют и другие достаточные условия (отличные от условий (1.13)), при выполнении которых произвольное открытое подмножество $U\subset M$ является гиперболической ловушкой для диффеоморфизма $f\colon U\to M$. Иными словами, для одного и того же множества $U$ имеются различные способы превращения его в гиперболическую ловушку. Ниже дается описание некоторых из этих способов. Фиксируем произвольно диффеоморфизм $f\colon U\to M$, удовлетворяющий условиям 1, 2. Разложение (1.7) и проекторы (1.8) позволяют ввести для него в рассмотрение линейные операторы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Lambda_{j, 1}(x)&=P(f(x))Df(x)\colon E_j(x)\to E_1(f(x)), \qquad j=1, 2, \\ \Lambda_{j, 2}(x)&=Q(f(x))Df(x)\colon E_j(x)\to E_2(f(x)), \qquad j=1, 2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widetilde{\Lambda}_{j, 1}(x)&=Q(x)[Df(x)]^{-1}\colon E_{3-j}(f(x))\to E_2(x), \qquad j=1, 2, \\ \widetilde{\Lambda}_{j, 2}(x)&=P(x)[Df(x)]^{-1}\colon E_{3-j}(f(x))\to E_1(x), \qquad j=1, 2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
и постоянные
$$
\begin{equation}
\alpha_1=\sup_{x\in U}\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(x)\|_{E_1(f(x))\to E_1(x)}, \qquad \alpha_2=\sup_{x\in U}\|\Lambda_{2, 2}(x)\|_{E_2(x)\to E_2(f(x))},
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
$$
\begin{equation}
\beta_1=\sup_{x\in U}\|\Lambda_{1, 2}(x)\|_{E_1(x)\to E_2(f(x))}, \qquad \beta_2=\sup_{x\in U}\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(x)\Lambda_{2, 1}(x)\|_{E_2(x)\to E_1(x)},
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
$$
\begin{equation}
\gamma_1=\sup_{x\in U}\|\Lambda_{1, 2}(x)\Lambda_{1, 1}^{-1}(x)\|_{E_1(f(x))\to E_2(f(x))}, \qquad \gamma_2=\sup_{x\in U}\|\Lambda_{2, 1}(x)\|_{E_2(x)\to E_1(f(x))},
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{\alpha}_1=\sup_{x\in U}\|\widetilde{\Lambda}_{1, 1}^{-1}(x)\|_{E_2(x)\to E_2(f(x))}, \qquad \widetilde{\alpha}_2=\sup_{x\in U}\|\widetilde{\Lambda}_{2, 2}(x)\|_{E_1(f(x))\to E_1(x)},
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{\beta}_1=\sup_{x\in U}\|\widetilde{\Lambda}_{1, 2}(x)\|_{E_2(f(x))\to E_1(x)}, \qquad \widetilde{\beta}_2=\sup_{x\in U}\|\widetilde{\Lambda}_{1, 1}^{-1}(x)\widetilde{\Lambda}_{2, 1}(x)\|_{E_1(f(x))\to E_2(f(x))},
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{\gamma}_1=\sup_{x\in U}\|\widetilde{\Lambda}_{1, 2}(x)\widetilde{\Lambda}_{1, 1}^{-1}(x)\|_{E_2(x)\to E_1(x)}, \qquad \widetilde{\gamma}_2=\sup_{x\in U}\|\widetilde{\Lambda}_{2, 1}(x)\|_{E_1(f(x))\to E_2(x)}.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Справедливы следующие два результата о гиперболической ловушке. Теорема 3. Предположим, что, во-первых, выполнены условия 1, 2; во-вторых, при всех $x\in U$ обратим оператор $\Lambda_{1, 1}(x)$ из (5.1) и Теорема 4. Область $U$ оказывается гиперболической ловушкой для диффеоморфизма $f$ при выполнении условий 1, 2 и при следующих дополнительных ограничениях. Во-первых, при любом $x\in U$ обратим оператор $\widetilde{\Lambda}_{1, 1}(x)$ из (5.2) и Отметим, что доказательство теоремы 3 непосредственно следует из соответствующих построений работы [13]. Что же касается теоремы 4, то она есть результат применения теоремы 3 к отображению $\widetilde{f}=f^{-1}$. В этом случае подпространства $E_1(x)$ и $E_2(x)$ меняются местами, а неравенства (5.9) принимают вид (5.10). Добавим еще, что хотя операторы (1.10), (1.11) присутствуют среди операторов (5.1), (5.2), но теорема 1 не вытекает из теорем 3, 4. Действительно, теорема 1 гарантирует существование симметричной гиперболической ловушки, а гиперболические ловушки, доставляемые теоремами 3, 4, не симметричны (точнее говоря, они переходят друг в друга при замене $f$ на $f^{-1}$). Отдельно остановимся на связи условий (5.9) с условиями существования аттракторов лоренцевского типа [21]–[23], имеющими в наших обозначениях вид
$$
\begin{equation}
\alpha_1<1, \qquad \alpha_2<1, \qquad \gamma_1\gamma_2<(1-\alpha_1)(1-\alpha_2).
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Как следует из теоремы 3, даже при более слабых чем (5.11) условиях (5.9) двумерное отображение лоренцевского типа (см. [21]–[23]) допускает гиперболическую ловушку. Тем самым, оно заведомо не может иметь устойчивых циклов. Однако более сложный вопрос о справедливости при условиях (5.9) всех содержащихся в [21]–[23] результатов пока остается открытым. В заключение отметим, что в принципе утверждения теорем 1–4 могут быть установлены с помощью критерия конусов. Однако наш метод доказательства, основанный на параметрических представлениях (2.1), (2.2), в ряде случаев оказывается более продуктивным. Например, он автоматически позволяет распространить результаты теорем 1–4 на случай $M=E$, $T_xM=E$, где $E$ – произвольное бесконечномерное вещественное банахово пространство. Необходимо только требовать замкнутость соответствующих подпространств $E^{\mathrm u}_x$, $E^{\mathrm s}_x$, $E_1(x)$, $E_2(x)$ (см. (1.2), (2.7)). При попытке же воспользоваться для этих целей полями конусов возникает проблема обоснования в бесконечномерном случае самого критерия конусов. Упомянутая проблема пока не решена. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GlyKol24} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|