| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Об асимптотике решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в полосе с тонкими ответвлениями А. М. Будылинab, С. Б. Левинab, Т. С. Юроваcb a Санкт-Петербургский государственный университет b Институт проблем машиноведения РАН, г. Санкт-Петербург c Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики
Английская версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624090049 
Реферативные базы данных:
  ВведениеВ некоторой перспективе мы нацелены на граничные задачи для уравнения Гельмгольца в области тонкой плоской бесконечно протяженной “столешницы” с несколькими тонкими бесконечно протяженными круглыми “ножками”. Толщина столешницы и, одновременно, ножек будет служить малым параметром в соответствующей граничной задаче. Спецификой этой асимптотической задачи является однократное предельное поражение размерности области в круглых ответвлениях в сравнении с основной несущей областью (столешницы). Похожие задачи хорошо известны в связи с приложениями в теории упругости, см. например, [1] или в теории квантовых сетей, см. [2]. Однако в настоящей работе мы остановимся на двумерном аналоге и – одновременно – модельной задаче к поставленной выше. Для большей наглядности мы рассмотрим здесь уравнение Лапласа в плоской области типа перевернутой буквы $T$. Именно, областью будет служить конечной ширины полоса с ортогонально входящей в нее тонкой полуполосой (ножкой, ответвлением). Более того, в данном случае мы ограничимся условиями Дирихле. Отметим сразу, что основным методом асимптотического исследования данной задачи будет служить метод потенциала (что не слишком оригинально) в сочетании с альтернирующим методом Шварца. Последнее не столь ортодоксально, поскольку в классическом варианте метод Шварца применяется не к границе области, а к самой области. Кстати, переход к нескольким ножкам легко может быть обработан в рамках все того же альтернирующего метода Шварца. Следует отметить, что граница нашей области имеет угловые точки, что в рамках стандартной теории потенциала (для ограниченных областей) делает ее более тонкой, см. [3]–[5], поскольку соответствующие уравнения на потенциал c угловыми точками перестают быть уравнениями с компактными операторами. На наше счастье данное обстоятельство не играет никакой роли в рамках поставленной асимптотической задачи. Подчеркнем, что целью являются не координатные асимптотики решений, а (по сути дела) квазиклассические. 1. Постановка задачиИтак, мы будем рассматривать задачу Дирихле для уравнения Лапласа в $T$-образной бесконечно протяженной области с тонкой ножкой (тонким ответвлением). Нас будет интересовать асимптотика решения, когда параметр, контролирующий толщину ножки, стремится к нулю. Введем соответствующие обозначения. Перевернутую $T$-образную открытую область будем обозначать через $D$ с границей $\partial D$. Эта граница состоит из следующих линий на стандартной декартовой плоскости с координатами $x,y$. Прямая $l_{1}$, определенная уравнением $y=-1$. Две полупрямые $l_{-}$ и $l_{+}$ с уравнением $y=0$ при $x \leqslant -\varepsilon$ и $x \geqslant \varepsilon$ соответственно. Две полупрямые $h_{-}$ и $h_{+}$ с уравнениями $x=-\varepsilon$ и $x=\varepsilon$, соответственно, при $y\geqslant 0$. Введем также обозначения $l_{0}=l_{-}\cup l_{+}$, $l=l_{1}\cup l_{0}$ и $h=h_{-}\cup h_{+}$. Нас будет интересовать асимптотика при $\varepsilon\to0$ решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа
$$
\begin{equation*}
\Delta u=0, \qquad u=u (x,y), \quad (x,y)\in D, \qquad u|_{\partial D}=f,
\end{equation*}
\notag
$$
при этом мы полагаем, что $f$ – непрерывна и определяем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, f|_{l}=f_{l}, \qquad f|_{l_{1}}=f_{1}, \qquad f|_{l_{0}}=f_{0}, \qquad f|_{l_{-}}=f_{-}, \qquad f|_{l_{+}}=f_{+}, \\ f|_{h}=f_{h}, \qquad f|_{h_{-}}=f^{-}, \qquad f|_{h_{+}}=f^{+}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1}
$$
Принимая в расчет соображения непрерывности, мы требуем в равномерной норме Оператор, определяемый левой частью равенства, мы в дальнейшем будем обозначать через $A\colon Af=f^{+}-f^{-}$. Позже мы существенно уточним требования к функции $f$, что приведет нас к выбору подходящего пространства для анализа уравнений. Эти требования должны будут обеспечивать равенство $\|A\|=O (\varepsilon)$. 2. Решение с позиций теории потенциалаИспользуя теорию потенциала, мы можем описать решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в виде где $K$ – оператор вида
$$
\begin{equation*}
K\varphi (z)= \int_{\partial D} \frac{\partial E (z,s)}{\partial n_{s}} \varphi (s)\,dl_{s}, \qquad z\in D, \quad E (z,s)= -\frac{1}{2\pi}\ln |z-s|,
\end{equation*}
\notag
$$
см. [3], [4], [6]. Здесь $E$ – фундаментальное решение уравнения Лапласа, $n_{s}$ – единичная внешняя нормаль к $\partial D$ в точке $s$, $\varphi$ – функция плотности, удовлетворяющая уравнению где оператор $K_{1}$ определяется равенством
$$
\begin{equation*}
K_{1}\varphi (z)= \int_{\partial D\setminus\{z\}} \frac{\partial E (z,s)}{\partial n_{s}} \varphi (s)\,dl_{s}- \biggl( \frac{1}{2}+ \int_{\partial D\setminus\{z\}} \frac{\partial E (z,s)}{\partial n_{s}}\,dl_{s}\biggr)\varphi (z), \qquad z\in \partial D.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что в последней формуле слагаемое в скобках не равно нулю только в угловых точках границы и в рамках изучаемого вопроса значения представлять не будет. Нашей задачей будет как раз асимптотическое (по параметру $\varepsilon$) исследование уравнения (4). Поскольку граница области состоит из нескольких кусков, это уравнение естественно анализировать с привлечением альтернирующего метода Шварца. Данный анализ отличается от классического применения метода Шварца, которое оперирует объединяемыми (или пересекаемыми) областями (а не их границами). Однако для успешного применения собственно алгебраической схемы альтернирующего метода необходим разумный выбор банахова пространства. Для данной задачи это не совсем тривиальный вопрос. Мы займемся им сразу после напоминания основных положений альтернирующего метода Шварца в интерпретации близкой к известным уравнениям Фаддева в теории нескольких квантовых частиц. 3. Альтернирующий метод ШварцаНапомним основные положения абстрактного варианта этой схемы, см. [7], [8]. Обозначим через $\{G_{i}\}|_{i=1}^{n}$ некоторый набор линейных операторов в комплексном векторном пространстве $\mathcal X$. Определим оператор Предполагая, что все операторы $I-G_i$ биективны, положим Операторы $\Gamma_{i}$ носят название операторов отражения.Схема альтернирующего метода Шварца определяется следующими положениями. Если составить операторную матрицу
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{L}=\begin{pmatrix} I&\Gamma_1&\dots&\Gamma_1 \\ \Gamma_2&I&\dots&\Gamma_2 \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ \Gamma_n&\Gamma_n&\dots&I \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{5}
$$
и она окажется биекцией пространства ${\mathcal X}^n$, то оператор $I-G$ является биекцией пространства $\mathcal X$. Тогда обозначая через $\mathrm{diag} (\Gamma_{1},\dots \Gamma_{n})$ соответствующую диагональную матрицу, в условиях биективности (5) определим операторную матрицу $\boldsymbol{\gamma}$ с компонентами $\gamma_{ij}\colon \mathcal X\to\mathcal X$ как решение уравнения
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{L}\cdot\boldsymbol\gamma=\mathrm{diag}(\Gamma_1,\dots\Gamma_n).
\end{equation}
\tag{6}
$$
В силу (6) выполняются соотношения
$$
\begin{equation}
\gamma_{ij}=\Gamma_i\biggl(\delta_{ij}I-\sum_{k\ne i}\gamma_{kj}\biggr)= \biggl(\delta_{ij}I-\sum_{k\ne j}\gamma_{ik}\biggr)\Gamma_j.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Главное положение альтернирующего метода заключается в том, что оператор отражения $\Gamma$, определяемый соотношением дается в терминах $\gamma_{ij}$ формулойИнтересно, что компоненты $\gamma_{ij}$ могут быть восстановлены по оператору $\Gamma$ по формулам При $n=2$ оператор $\boldsymbol{L}$ будет биекцией $\mathcal{X}^{2}$ тогда и только тогда, когда оператор $(I-\Gamma_1\Gamma_2)$ будет биекцией $\mathcal{X}$. При этом
$$
\begin{equation}
I-\Gamma=(I-\Gamma_2)(I-\Gamma_1\Gamma_2)^{-1}(I-\Gamma_1).
\end{equation}
\tag{9}
$$
Отметим, что вообще, если оператор $I-G$ вместе с операторами $I-G_{i}$ является биекцией пространства $\mathcal{X}$, то оператор $\boldsymbol{L}$ оказывается биекцией пространства $\mathcal{X}^{n}$. Подчеркнем, что описанная выше схема метода Шварца носит чисто алгебраический характер. Однако если операторная матрица $\boldsymbol{\gamma}$ в подходящем банаховом пространстве ограничена и норма ее меньше единицы, то
$$
\begin{equation*}
\Gamma=\sum \Gamma_{i}-\sum_{i\ne j} \Gamma_{i}\Gamma_{j}+ \sum_{i\ne j\ne k} \Gamma_{i}\Gamma_{j}\Gamma_{k}-\dotsb,
\end{equation*}
\notag
$$
где ряд сумм понимается как сходящийся по норме. Эта формула как раз объясняет название метода. В данной работе нам будет полезно также следующее утверждение, вытекающее из равенств (7), (8). Пусть $\mathcal{X}$ – банахово и $B$ – некоторый оператор, действующий в $\mathcal{X}$ и такой, что относительно некоторого параметра $B\Gamma_{i}=o (1)$, $\Gamma_{i}B=o (1)$, $i=1,\dots n$. Тогда $B\Gamma=o (1)$, $\Gamma B=o (1)$. 4. Случай полосыВ случае полосы через $f_{0}$ мы будем обозначать граничное значение на стороне $y=0$. Соответственно, через $\varphi_{1}$ и $\varphi_{0}$ обозначим сужения плотности $\varphi$ на соответствующие части границы, т.е. на прямую $l_{1}$ и прямую $l_{0}$. Для большей наглядности проведем все вычисления подробно. В данном случае мы хотим несколько изменить обозначения переменных. Вместо $z$ и $s$ мы будем использовать стандартные $x$ и $y$, считая их двумерными декартовыми переменными с координатами $x_{1},x_{2}$ и $y_{1},y_{2}$. Тогда при $E (x,y)=-({1}/{2\pi})\ln|x-y|$ имеем
$$
\begin{equation*}
\nabla_{y}E (x,y)=-\frac{1}{2\pi}\frac{(y_{1}-x_{1})\vec i+ (y_{2}-x_{2})\vec j} {(x_{1}-y_{1})^{2}+ (x_{2}-y_{2})^{2}}, \qquad \frac{\partial E}{\partial n_{y}}= \nabla_{y}E\cdot n_{y},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\nabla_{y}$ – градиент по переменной $y$ и $n_{y}$ – вектор внешней единичной нормали к границе в точке $y$. В уравнении (4) интегрирование будет вестись по двум горизонтальным прямым. Пусть $x\in l_{1}$; тогда $x_{1}$ – произвольно, $x_{2}=-1$. При интегрировании по $l_{1}$ переменная $y_{2}=-1$ и вектор $n_{y}=-\vec j$, откуда этот интеграл исчезает. Остается интеграл по $l_{0}$, когда $y_{2}=0$ и $n_{y}=\vec j$. В этом случае мы получим уравнение
$$
\begin{equation*}
\varphi_{1} (x_{1})+\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\varphi_{0} (t)\,dt}{(x_{1}-t)^{2}+1}=-2f_{1} (x_{1}), \qquad x_{1}\in (-\infty,+\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично получаем вторую часть уравнения (4):
$$
\begin{equation*}
\varphi_{0} (x_{1})+\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\varphi_{1} (t)\,dt}{(x_{1}-t)^{2}+1}=-2f_{0} (x_{1}), \qquad x_{1}\in (-\infty,+\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
В виду того, что это система уравнений в свертках на всей оси, естественно попытаться решить ее при помощи преобразований Фурье. Определим
$$
\begin{equation*}
\widehat f (\xi)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}}f (x)e^{-ix\xi}\,dx
\end{equation*}
\notag
$$
со сверткой
$$
\begin{equation*}
f*g (t)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}f (s)g (t-s)\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Получим систему
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widehat \varphi_{1} (\xi) +e^{-|\xi|}\widehat \varphi_{0} (\xi)=-2\widehat f_{1} (\xi), \\ \widehat \varphi_{0} (\xi) +e^{-|\xi|}\widehat \varphi_{1} (\xi)=-2\widehat f_{0} (\xi) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
с решением
$$
\begin{equation}
\widehat \varphi_{0} (\xi)= -2\frac{\widehat f_{0} (\xi)-e^{-|\xi|}\widehat f_{1} (\xi)}{1-e^{-2|\xi|}}, \qquad \widehat \varphi_{1} (\xi)= -2\frac{\widehat f_{1} (\xi)-e^{-|\xi|}\widehat f_{0} (\xi)}{1-e^{-2|\xi|}}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
И здесь нас поджидает неожиданная неприятность. При сравнительно произвольных граничных условиях в лице $\widehat f_{0} (\xi),\widehat f_{1} (\xi)$ решение $\widehat\varphi_{0} (\xi),\widehat \varphi_{1} (\xi)$ имеет особенность в нуле типа $O ({1}/{|\xi|})$, для которой нет естественной регуляризации (в смысле обобщенных функций) для определения образа (в данном случае – прообраза) Фурье. На самом деле не все так плохо. Следует заметить, что пара функций $f_{0},f_{1}$ представляет собой функцию $f$, которая является граничным значением гармонической функции и можно считать, что $\oint_{\partial D}f=0$, как следствие $\lim (\widehat f_{0} (\xi)-\widehat f_{1} (\xi))=0$ при $\xi\to0$, что регуляризует особенность. Однако нам представляется более важным следующее наблюдение. Дело в том, что поиск плотности $\varphi$ не является самоцелью. Она нам нужна для того, чтобы построить решение уравнения Лапласа. Пусть $u (x)=u (x_{1},x_{2})$ – решение уравнения Лапласа, описываемое представлением (3). Обозначим через $\widehat u (\xi, x_{2})$ его преобразование Фурье по переменной $x_{1}$. Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag u (x_{1},x_{2})= -\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{(x_{2}+1)\varphi_{1} (t)\,dt}{(x_{1}-t)^{2}+ (x_{2}+1)^{2}} +\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x_{2}\varphi_{0} (t)\,dt}{(x_{1}-t)^{2}+ x_{2}^{2}}, \\ \widehat u (\xi,x_{2})=-\frac{1}{2}\,e^{-(1+x_{2})|\xi|}\widehat\varphi_{1} (\xi)-\frac{1}{2} e^{x_{2}|\xi|}\widehat\varphi_{0} (\xi), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{11}
$$
где, напомним, $x_{2}\in (-1,0)$. Подставляя решения (10), находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat u (\xi,x_{2}) &= \frac{e^{- (1+x_{2})|\xi|}-e^{(x_{2}-1)|\xi|}}{1-e^{-2|\xi|}}\widehat f_{1} (\xi)+ \frac{e^{x_{2}|\xi|}-e^{-(2+x_{2})|\xi|}}{1-e^{-2|\xi|}}\widehat f_{0} (\xi) \\ &= \frac{\mathrm{sh\,}|x_{2}\xi|}{\mathrm{sh\,}|\xi|}\,\widehat f_{1} (\xi)+ \frac{\mathrm{sh\,} (1+x_{2})|\xi|}{\mathrm{sh\,}|\xi|}\,\widehat f_{0} (\xi), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
см. также [5], [9]. Мы видим, что в этом представлении особенности по $\xi$ в нуле нет и обратное преобразование Фурье по $\xi$ даст нам искомое решение уравнения Лапласа. На самом деле это означает, что для регуляризации решения (10) окрестность точки $\xi=0$ можно безболезненно вырезать и стягивание вырезанной окрестности в точку восстановит полную картину. Эти замечания наводят на мысль определить норму плотности $\varphi$ (и тем самым выбрать пространство для анализа уравнения на плотность) через подходящую норму функции $u$. В случае полосы такой нормой могла бы послужить равномерная норма $u$: $\|\varphi\|=\max |u (x_{1},x_{2})|$. При этом ограниченность $\widehat u$ при $\xi\to 0$ является следствием ограниченности в нуле суммы $\widehat\varphi_{0}+\widehat\varphi_{1}$, см. (10), (11). Аналогичная ситуация реализуется и в случае $T$-образной области $D$, разумеется при соответствующей модификации. 5. Общая стратегия решения полной задачиСначала договоримся об обозначениях. Функцию плотности $\varphi$, равно как и функцию $f$, определяющую граничные условия, мы представляем как функцию точки на границе $T$-образной области $D$ с декартовыми координатами $x_{1},x_{2}$. По числу прямолинейных частей границы функция $\varphi$ определяется пятью функциями, каждая из которых является функцией одной декартовой переменной. Именно, это
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi_{1}=\varphi (x_{1},-1), \quad x_{1}\in \mathbb{R}, \qquad \varphi_{-}= \varphi (x_{1},0), \quad x_{1} < -\varepsilon, \\ \varphi_{+}= \varphi (x_{1},0), \quad x_{1} > \varepsilon, \qquad \varphi^{-}= \varphi (-\varepsilon,x_{2}), \quad x_{2} > 0, \qquad \varphi^{+}= \varphi (\varepsilon,x_{2}), \quad x_{2} > 0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
ср. (1). Как и в случае граничной функции $f$ мы используем обозначения $\varphi_{l}$ и $\varphi_{h}$ для сужений $\varphi$ на $l$ и $h$, соответственно. Шляпка наверху будет определять преобразование Фурье функции по соответствующей скалярной переменной:
$$
\begin{equation*}
\widehat\varphi_{1}= \widehat\varphi (\xi,-1)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}} \varphi (t,-1)\,e^{-i\xi t}\,dt
\end{equation*}
\notag
$$
и аналогично $\widehat\varphi_{-},\widehat\varphi_{+}$, и
$$
\begin{equation*}
\widehat\varphi^{-}=\widehat\varphi (-\varepsilon,\eta)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}} \varphi (-\varepsilon,t)\,e^{-i\eta t}\,dt
\end{equation*}
\notag
$$
и аналогично $\widehat\varphi^{+}$. В соответствии с этим разбиением $\varphi$ мы введем операторы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, G^{+}\varphi (z)=2 \int_{h_{+}} \frac{\partial E (z,s)}{\partial n_{s}}\,\varphi(s)\,ds, \qquad G^{-}\varphi (z)=2 \int_{h_{-}} \frac{\partial E (z,s)}{\partial n_{s}}\,\varphi(s)\,ds, \\ G_{1}\varphi (z)=2 \int_{l_{1}} \frac{\partial E (z,s)}{\partial n_{s}}\,\varphi(s)\,ds, \qquad G_{+}\varphi (z)=2 \int_{l_{+}} \frac{\partial E (z,s)}{\partial n_{s}}\,\varphi(s)\,ds, \\ G_{-}\varphi (z)=2 \int_{l_{-}} \frac{\partial E (z,s)}{\partial n_{s}}\,\varphi(s)\,ds, \qquad z\in \partial D, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
направление нормали $n_{s}$ индуцируется областью $D$. Положим далее $G_{h}=G^{+}+G^{-}$ и $G_{l}=G_{1}+G_{+}+G_{-}$. Мы хотим рассматривать уравнение (4) в форме где $I$ – оператор умножения на единицу. Считая, что функция $f$ лежит в подходящем пространстве $\mathcal{X}$, мы при помощи альтернирующего метода Шварца построим асимптотику (по $\varepsilon$) оператора $I-\Gamma=(I-G_{l}-G_{h})^{-1}$ в этом пространстве. Именно, мы явно найдем оператор $I-\Gamma_{h}= (I-G_{h})^{-1}$ и почти явно оператор $I-\Gamma_{l}= (I-G_{l})^{-1}$ и покажем, что $\Gamma_{h}\Gamma_{i}=O (\varepsilon)$, $\Gamma_{i}\Gamma_{h}=O (\varepsilon)$ в норме пространства $\mathcal{X}$, где $i=1,+,-$. Ссылаясь на последнее утверждение раздела 3, заключаем, что $\Gamma_{h}\Gamma_{l}=O (\varepsilon)$, $\Gamma_{l}\Gamma_{h}=O (\varepsilon)$, откуда в силу (9)Упомянутое выше пространство $\mathcal{X}$ вслед за последним замечанием предыдущего пункта нетрудно описать. Оно будет состоять из комплекснозначных функций $\varphi$ на $\partial D$, для которых $K\varphi$ ограничено с нормой $\|\varphi\|=\sup_{D}|K\varphi|$. Полнота и свойства нормы, по-сути, определяются принципом максимума для гармонических функций. Однако в действительности, на граничные условия (т.е. на $f$) нам придется наложить дополнительные ограничения, которые обеспечивают инвариантность оператора $K_{1}$ относительно $\mathcal{X}$. Мы будем считать, что граничные значения $f$ лежат в компактном в себе пространстве. Это пространство будет реализовано наложением условий гёльдеровости на функции $\widehat f_{1},\widehat f_{\pm},\widehat f^{\pm}$ вида
$$
\begin{equation}
\|f\|=\sup_{\xi,\eta}\biggl[(1+|\xi|^{1+\theta})\biggl(|f (\xi)|+ \frac{|f (\xi)-f (\eta)|}{|\xi-\eta|^{\mu}}\biggr)\biggr]\leqslant C,
\end{equation}
\tag{13}
$$
где $0 <\theta$, $0<\mu <1$. В действительности, мы будем требовать $\theta>1$, что обеспечивает непрерывность и убывание на бесконечности граничных условий для функции $u$ (решения граничной задачи). Также по техническим соображениям мы будем считать $\mu>1/2$ для функций $\widehat f^{\pm}$; см. далее. Если теперь $\varphi_{n}$ – последовательность Коши в $\mathcal{X}$, то $u_{n}=K\varphi_{n}$ – равномерно сходящаяся последовательность гармонических функций, которая сходится к гармонической функции $u$. Но в силу компактности существует подпоследовательность граничных функций $f_{n_{k}}$, сходящаяся к “гёльдеровой” функции $f$. В силу ограниченности оператора $K$ эта функция $f$ будет в точности граничным значением функции $u=K\varphi$, что доказывает полноту нормы для пространства $\mathcal{X}$. Инвариантность пространства $\mathcal{X}$ относительно оператора $K_{1}$ элементарна. 6. Обращение $I-G_{h}$Начнем с обращения оператора $I-G_{h}$ как более простого случая. Рассмотрим пока формально уравнение
$$
\begin{equation}
\varphi (z) - 2 \int_{h}\frac{\partial E (z,s)}{\partial n_{s}}\,\varphi (s)\,ds=g (z), \qquad z\in \partial D,
\end{equation}
\tag{14}
$$
где $g=-2f$. Введем операторы умножения $P^{+}$ и $P^{-}$ на характеристические функции полуосей $x_{1}=\varepsilon$, $x_{2}>0$ и $x_{1}=-\varepsilon$, $x_{2}>0$, соответственно, и пусть $P_{h}=P^{+}+P^{-}$ и, соответственно, $P_{l}=I-P_{h}$. Уравнение (14) запишется в виде Если мы решим уравнение на $P_{h}\varphi$, то мы решим и уравнение (14), поскольку Перепишем теперь уравнение (15) в виде
$$
\begin{equation*}
P^{+}\varphi+P^{-}\varphi - 2P_{h}K_{1}P^{+}\varphi-2P_{h}K_{1}P^{-}\varphi=P^{+}g+P^{-}g.
\end{equation*}
\notag
$$
Это уравнение распадается в систему двух уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P^{+} (I-2K_{1})P^{+}\varphi-2P^{+}K_{1}P^{-}\varphi&=P^{+}g, \\ P^{-} (I-2K_{1})P^{-}\varphi-2P^{-}K_{1}P^{+}\varphi&=P^{-}g \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
на функции $P^{+}\varphi$ и $P^{-}\varphi$. При этом операторы $P^{+} K_{1}P^{+}$ и $P^{-} K_{1}P^{-}$ обращаются в нуль. Запишем эту систему в образах Фурье. Заметим, что в смысле обобщенных функций
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty}e^{-it (\eta_{1}-\eta_{2}-i0)}\,dt=\frac{1}{2\pi i} \frac{1}{\eta_{1}-\eta_{2} -i0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это ядро оператора, проектирующего функции из $L_{2}$ на оси, допускающие аналитическое продолжение в нижнюю комплексную полуплоскость. Мы обозначим его через $q$. Но, как известно, он определен также на пространстве гёльдеровых функций $H_{\theta,\mu}$ с нормой
$$
\begin{equation}
\|f\|=\sup_{\xi,\eta}\biggl[(1+|\xi|^{\theta})\biggl(|f (\xi)|+ \frac{|f (\xi)-f (\eta)|}{|\xi-\eta|^{\mu}}\biggr)\biggr],
\end{equation}
\tag{16}
$$
где $0< \theta < 1$, $0<\mu < 1$ и является ограниченным $H_{\theta,\mu}\to H_{\theta',\mu}$, где $\theta'<\theta$. Операторы же $-2P^{+}K_{1}P^{-}$ и $-2P^{-}K_{1}P^{+}$ являются операторами с разностными ядрами вида
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\pi} \frac{2\varepsilon}{(x_{2}-y_{2})^{2}+4\varepsilon^{2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
В преобразовании Фурье (по переменной $x_{2}$) такой сверточный оператор превратится в оператор умножения на функцию $e^{-2\varepsilon |\eta|}$ (договоримся двойственную переменную по отношению к переменной $x_{2}$ обозначать через $\eta$, в то время как двойственную переменную по отношению к $x_{1}$ – через $\xi$). Мы обозначим этот оператор умножения через $k$. Тогда система примет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widehat \varphi^{+}+qk\widehat\varphi^{-}=\widehat g^{+}, \\ \widehat \varphi^{-}+qk\widehat\varphi^{+}=\widehat g^{-}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation}
(q-qkqkq)\widehat\varphi^{+}=\widehat g^{+}-qk\widehat g^{-}, \qquad (q-qkqkq)\widehat\varphi^{-}=\widehat g^{-}-qk\widehat g^{+}.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Оператор $q-qkqkq$ легко обращается при помощи метода Винера–Хопфа, см. например, [10], [11]. Действительно, введем аналитические факторизации функций $1\pm k$
$$
\begin{equation*}
1+k= (1+k)_{+} (1+k)_{-}, \qquad 1-k= (1-k)_{+} (1-k)_{-},
\end{equation*}
\notag
$$
где нижние индексы на этот раз указывают на продолжимость соответствующих факторов в верхнюю (+) или нижнюю (-) комплексные полуплоскости. Для функции $1+k$ эти фактормножители строятся стандартно элементарно
$$
\begin{equation*}
(1+k)_{+}= e^{(I-q)\ln (1+k)}, \qquad (1+k)_{-}=e^{q\ln (1+k)}.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае функции $1-k$ (которая обращается в нуль в нуле) мы определим фактормножители следующим образом. Функция
$$
\begin{equation*}
\varkappa= (1-k) \frac{\sqrt{1+(\varepsilon\eta)^{2}}}{\varepsilon|\eta|}
\end{equation*}
\notag
$$
не обращается в нуль и допускает стандартную аналитическую факторизацию $\varkappa=\varkappa_{+}\varkappa_{-}$. Тогда положим
$$
\begin{equation*}
(1-k)_{-}= \varkappa_{-}\frac{\sqrt{\varepsilon\eta-i0}}{\sqrt{1+i\varepsilon\eta}}, \qquad (1-k)_{+}=\varkappa_{+} \frac{\sqrt{\varepsilon\eta+i0}}{\sqrt{1-i\varepsilon\eta}}
\end{equation*}
\notag
$$
при надлежащем выборе ветвей комплексных корней. Введем весовую функцию
$$
\begin{equation*}
\varrho= \frac{\varepsilon|\eta|}{ 1+\varepsilon|\eta|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Говорят, что функция $f$ лежит в классе гёльдеровых функций $H_{\theta,\mu} (\rho)$ с весом $\rho$, если $\rho f\in H_{\theta,\mu}$. Тогда как ограниченный оператор $qH_{\theta,\mu} \to qH_{\theta',\mu} (\rho)$ при $\theta'<\theta<1$, $1/2<\mu<1$ и как ограниченный оператор в $qH_{\theta,\mu}\to qH_{\theta',\mu}$, но Полученные формулы формально определяют обратный оператор к $I-G_{h}$ и, тем самым, оператор $\Gamma_{h}$. Опять же формально, это оператор с ядром порядка $O(\varepsilon^{-1})$, однако в суперпозиции с оператором $A$, который вычленяется в правых частях уравнений (17), см. (2), оператор $\Gamma_{h}$ будет снабжаться нормой, ограниченной по $\varepsilon$. Для этого достаточно потребовать, чтобы в норме $H_{\theta,\mu}$ имело место равенство $\|\widehat{g}^{+}-\widehat {g}^{-}\|=O (\varepsilon)$. Действительно, имеет место представление
$$
\begin{equation*}
\widehat\varphi^{+}-\widehat\varphi^{-}= (q-qkq)^{-1}q (\widehat{g}^{+}-\widehat{g}^{-}).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что в нуле особенности функций $\widehat\varphi^{\pm}$ того же порядка, что и для плотностей на полосе. Тем самым, следует остановиться на доказательстве ограниченности функции $u$, построенной по $\widehat\varphi$. Вопрос может вызывать лишь поведение $\widehat\varphi (x_{1},\eta)$ в нуле по переменной $\eta$. Но при построении $\widehat u (x_{1},\eta)$ при $\eta\to 0$ учитывается лишь сумма $\widehat\varphi^{+}+\widehat\varphi^{-}$. Однако для этой суммы мы имеем представление
$$
\begin{equation*}
\widehat\varphi^{+}+\widehat\varphi^{-}= (q+qkq)^{-1} q(\widehat g^{+}+\widehat g^{-}).
\end{equation*}
\notag
$$
7. Обращение $I-G_{l}$Рассмотрим теперь уравнение
$$
\begin{equation}
\varphi (z)-2 \int_{l} \frac{\partial E (z,s)}{\partial n_{s}}\,\varphi (s)\,ds=g (z), \qquad z\in \partial D.
\end{equation}
\tag{18}
$$
На этот раз введем операторы умножения $P_{+}$ и $P_{-}$ на характеристические функции полуосей $x_{1}> \varepsilon$, $x_{2}=0$ и $x_{1}< -\varepsilon$, $x_{2}=0$, а также оператор $P_{1}$ умножения на характеристическую функцию оси $x_{2}=-1$. Положим $P_{u}=P_{+}+P_{-}$, $P_{l}=P_{u}+P_{1}$. Уравнение (18) запишется в виде Если мы решим уравнение на функцию $P_{l}\varphi$, то мы решим и уравнение (19), поскольку К сожалению, уравнение (20) не может быть решено точно, поскольку эквивалентно уравнению в свертках на конечном интервале. Но нам достаточно найти асимптотику его решения. Рассмотрим уравнение вида (18), предполагая на этот раз, что переменная $z$ лежит на объединении полос $x_{2}=0$ и $x_{2}=-1$. Оно естественно переписывается в виде (19) и опять эквивалентно уравнению (20). Но на этот раз уравнение вида (19) может быть записано в форме где через $P_{\varepsilon}$ обозначен оператор умножения на характеристическую функцию интервала $x_{1}\in (-\varepsilon,\varepsilon)$, $x_{2}=0$. Обращение оператора $I-2K_{1}$ в случае всей полосы было рассмотрено выше в терминах преобразований Фурье функции $\varphi$ ($\widehat\varphi_{1}$ и $\widehat\varphi_{0}$, см. (10)). По-сути, повторим упомянутые вычисления, для того, чтобы описать возмущение и сделать его оценку.Введем оператор умножения $P_{0}$ на характеристическую функцию полосы $x_{2}=0$. При этом $P_{0}=P_{u}+P_{\varepsilon}$. Операторы $P_{0}K_{1}P_{0}$ и $P_{1}K_{1}P_{1}$ обращаются в нуль. Тогда уравнение (21) примет вид системы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P_{0}\varphi-2P_{0}K_{1}P_{1}\varphi=P_{0}g, \\ P_{1}\varphi-2P_{1}K_{1}P_{0}\varphi+2P_{1}K_{1}P_{\varepsilon}P_{0}\varphi=P_{1}g \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
для определения функций $P_{0}\varphi$ и $P_{1}\varphi$. Перепишем ее следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P_{0}\varphi-2P_{0}K_{1}P_{1}\varphi=P_{0}g, \\ P_{1}\varphi-2P_{1}K_{1}P_{0}\varphi+4P_{1}K_{1}P_{\varepsilon}K_{1}P_{1}\varphi =P_{1}g-2P_{1}K_{1}P_{\varepsilon}P_{0}g. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Оператор $4P_{1}K_{1}P_{\varepsilon}K_{1}P_{1}$ можно рассматривать как оператор возмущения для задачи на полосе, см. раздел 4. Здесь оператор $K_{1}$ можно рассматривать как оператор свертки с ядром Тогда оператор $P_{1}K_{1}P_{\varepsilon}K_{1}P_{1}$ в Фурье-представлении действует как оператор с ядром (с точностью до постоянного множителя)
$$
\begin{equation*}
e^{-|\xi_{1}|} \frac{\sin \varepsilon (\xi_{1}-\xi_{2})}{\xi_{1}-\xi_{2}}e^{-|\xi_{2}|},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. является оператором порядка $O (\varepsilon)$. Следует заметить, что решение уравнения (21) зависит от продолжения исходной функции $g$ (для $T$-образной области) на перемычку между полосой и полуполосой (т.е. от определения функции $P_{\varepsilon}g$), но это не влияет на оценку оператора $P_{1}K_{1}P_{\varepsilon}K_{1}P_{1}$ и, тем самым, на асимптотику оператора $\Gamma_{l}$. Таким образом, мы построили асимптотику оператора $\Gamma_{l}$. 8. Малость оператора $\Gamma_{h}\Gamma_{k}$Напомним, что оператор $G_{l}$ является суммой трех операторов $G_{+},G_{-}$ и $G_{1}$. Как было показано в разделе 3, для доказательства малости $\Gamma_{h}\Gamma_{l}$ достаточно показать малость произведений $\Gamma_{h}\Gamma_{+},\Gamma_{h}\Gamma_{-}$ и $\Gamma_{h}\Gamma_{1}$. Для определенности мы остановимся на произведении $\Gamma_{h}\Gamma_{+}$. Остальные случаи аналогичны ($\Gamma_{h}\Gamma_{-}$) или проще ($\Gamma_{h}\Gamma_{1}$). С этой целью мы рассматриваем на границе $T$-образной области $D$ два уравнения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi (z)-2 \int_{h} \frac{\partial E (z,s)}{\partial n_{s}}\,\varphi (s)\,ds =g (z), \qquad z\in \partial D, \\ \varphi (z) -2\int_{l_{+}} \frac{\partial E (z,s)}{\partial n_{s}}\,\varphi (s)\,ds =g (z),\qquad z\in \partial D. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Решение первого из этих уравнений уже было рассмотрено выше, второе стандартно решается методом Винера-Хопфа. Введем оператор умножения $P_{+}$ на характеристическую функцию полуполосы $l_{+}$. Определим также дополнительные операторы $P_{h}'=P_{l}=I-P_{h}$, $P_{+}'=I-P_{+}$, где в качестве $I$ выступает оператор умножения на характеристическую функцию $\partial D$. В операторных обозначениях эти уравнения принимают вид
$$
\begin{equation*}
(I-2K_{1}P_{h})\varphi=g, \qquad (I-2K_{1}P_{+})\varphi=g.
\end{equation*}
\notag
$$
В разделе 6 был явно описан оператор $(P_{h}-2P_{h}K_{1}P_{h})^{-1}P_{h}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
P_{h}\varphi= (P_{h}-2P_{h}K_{1}P_{h})^{-1}P_{h}g, \qquad P_{h}'\varphi=P_{h}'g+2P_{h}'K_{1}(P_{h}-2P_{h}K_{1}P_{h})^{-1}P_{h}g.
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду определения $G_{h}=2K_{1}P_{h}$ для $\Gamma_{h}$ получаем описание в виде
$$
\begin{equation}
\Gamma_{h}=-2K_{1} (P_{h}-2P_{h}K_{1}P_{h})^{-1}P_{h}.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Аналогично получим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \Gamma_{+}=-2K_{1} (P_{+}-2P_{+}K_{1}P_{+})^{-1}P_{+}, \\ \Gamma_{l}=-2K_{1} (P_{l}-2P_{l}K_{1}P_{l})^{-1}P_{l}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{23}
$$
Как следствие,
$$
\begin{equation*}
\Gamma_{h}\Gamma_{+}=4K_{1} (P_{h}-P_{h}K_{1}P_{h})^{-1}P_{h}K_{1} (P_{+}-2P_{+}K_{1}P_{+})^{-1}P_{+}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для доказательства малости (по $\varepsilon$) оператора $\Gamma_{h}\Gamma_{+}$ нам достаточно оценить норму оператора $K_{1}P_{h}K_{1}P_{+}\colon C (\partial D)\to C (\partial D)$. Ядро этого оператора как функция от $x= (x_{1},x_{2})\in \partial D$ и $y= (y_{1},y_{2})\in l_{+}$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2\pi^{2}}\int_{0}^{\infty}\biggl[ \frac{\varepsilon-x_{1}}{(\varepsilon-x_{1})^{2}+ (z_{2}-x_{2})^{2}} -\frac{-\varepsilon-x_{1}}{(-\varepsilon-x_{1})^{2}+ (z_{2}-x_{2})^{2}}\biggr] \frac{z_{2}\,dz_{2}}{y_{1}^{2}+z_{2}^{2}}
\end{equation*}
\notag
$$
Искомая норма оценивается интегралом
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\max_{x\in D} \frac{1}{2\pi^{2}}\int_{0}^{\infty}dz \int_{\varepsilon}^{\infty}dy \biggl| \frac{\varepsilon-x_{1}}{(\varepsilon-x_{1})^{2}+ (z_{2}-x_{2})^{2}} \\ &\qquad\qquad -\frac{-\varepsilon-x_{1}}{(-\varepsilon-x_{1})^{2}+ (z_{2}-x_{2})^{2}}\biggr| \frac{z}{y^{2}+z^{2}} =O (\varepsilon). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Соотношение $\Gamma_{l}\Gamma_{h}=O (\varepsilon)$ доказывается аналогично. Таким образом, формула (12) установлена. Подчеркнем, что операторы $\Gamma_{h}$ и $\Gamma_{l}$ по $\varepsilon$ одного порядка. Оформим полученный результат в виде теоремы. Теорема 1. Пусть граничные условия (функция $f$) удовлетворяют требованиям: $\widehat f_{1},\widehat f_{\pm},\widehat{f}^{\pm}\in H_{\theta,\mu}$ при $\theta>1$, $\mu> 1/2$, причем в норме $H_{\theta,\mu}$ выполнено равенство $\|\widehat{f}^{+}-\widehat{f}^{-}\|=O (\varepsilon)$. Тогда в норме пространства $\mathcal{X}$ имеет место равенство (12), где операторы $\Gamma_{h}$ и $\Gamma_{l}$ описываются равенствами (22) и (23), соответственно. Замечание 2. Мы позволили себе не описывать данные представления операторов отражения $\Gamma_{h}$ и $\Gamma_{l}$ более явно в виду их громоздкости. Подробные процедуры построения операторов $(P_{h}-2P_{h}K_{1}P_{h})^{-1}P_{h}$ и $(P_{l}-2P_{l}K_{1}P_{l})^{-1}P_{l}$ как раз описаны в разделах 6 и 7. Старший член асимптотики оператора $(P_{l}-2P_{l}K_{1}P_{l})^{-1}P_{l}$ определяется формулой (10). Замечание 3. Опишем еще раз кратко алгоритм предлагаемого решения. Мы строим решение рассматриваемой граничной задачи методом теории потенциала (см. (3)–(4)). Решение уравнения (4) на функцию плотности мы записываем в форме $\varphi=-2(I-\Gamma)f\ $ ($f$ – граничное условие), где оператор $\Gamma$ строится при помощи альтернирующего метода Шварца. Для этого мы решаем явно задачу на границе ответвления при помощи метода Винера–Хопфа, строя при этом оператор $\Gamma_h$ (см. п. 6). А также находим асимптотику оператора $\Gamma_l$, которая дается решением задачи на границе полосы (см. пп. 4, 7). При этом асимптотика оператора $\Gamma$, как вытекает из теоремы, дается равенством $\Gamma=\Gamma_h+\Gamma_l$. Интересно заметить, что нетрудно уточнить асимптотику (12). Именно, верно равенство
$$
\begin{equation*}
\Gamma=\Gamma_{l}+\Gamma_{h}-\Gamma_{l}\Gamma_{h}-\Gamma_{h}\Gamma_{l} +\Gamma_{l}\Gamma_{h}\Gamma_{l} +O (\varepsilon^{2}),
\end{equation*}
\notag
$$
что сразу вытекает из (9). Дело в том, что в старшем порядке оператор отражения $\Gamma_{l}$ в преобразовании Фурье является оператором умножения и может быть представлен как квадрат оператора, в то время как малость в произведение операторов отражения привносит наличие оператора $\Gamma_{h}$. Отсюда заключаем, что
9. Случай нескольких ответвленийИз наших оценок вытекает асимптотика решения для случая нескольких ответвлений-полуполос. Для определенности перенумеруем эти полуполосы: $h_{1},\dots, h_{N}$. При этом мы считаем, что эти узкие полуполосы отстоят одна от другой на конечном по $\varepsilon$ расстоянии. Оценки вида $\Gamma_{h_{i}}\Gamma_{h_{j}}=O (\varepsilon)$ столь же элементарны, как и оценки вида $\Gamma_{h_{i}}\Gamma_{l}=O (\varepsilon)$. Тогда в силу формул альтернирующего метода имеем
$$
\begin{equation*}
\Gamma=\Gamma_{l}+\sum_{l=1}^{N}\Gamma_{h_{i}}+O (\varepsilon)
\end{equation*}
\notag
$$
или с большей точностью
$$
\begin{equation*}
\Gamma=\Gamma_{l}+ (I-\Gamma_{l})\sum_{l=1}^{N}\Gamma_{h_{i}} (I-\Gamma_{l}) + O (\varepsilon^{2}) .
\end{equation*}
\notag
$$
10. Сравнение теоретических результатов с результатами численного анализаВ данном разделе мы представим графические результаты численного анализа рассматриваемой граничной задачи, качественно подтверждающие теоретические результаты, описанные выше. Численный анализ проводился в пакете Comsole Multiphysics. Была проведена достаточно большая серия вычислений, из которой мы выбрали для иллюстрации вполне типовые результаты. В качестве граничных условий использовались функции вида $A/(1+x^s)$, где $s=0,2/3,4/3,2,8/3$. При этом на верхних границах, как вертикальных, так и горизонтальных, выбиралось всегда убывающее на бесконечности условие. На нижней же горизонтальной границе условие могло быть как убывающим, так и постоянным. При вычислении на границе среза ставились условия Неймана. Мы представляем пары графиков, каждая из которых относится к следующей ситуации. Первый график (левый) в паре демонстрирует численное решение поставленной граничной задачи в $T$-образной области. На втором графике представлена разность решения задачи в $T$-образной области и объединения решений отдельно в полосе и отдельно – в полуполосе (в тонком ответвлении). Как видно из иллюстраций, разница решений сосредоточена лишь в окрестности соединения областей. При этом по абсолютной величине она $\varepsilon$-мала. На всех графиках параметр $\varepsilon$ имеет величину порядка $0.1$. На рис. 2, 3 приведены результаты вычислений с граничным условием вида на нижней границе полосы.На рис. 4, 5 приведены результаты вычислений с граничным условием вида на нижней границе полосы.На рис. 6, 7 приведены результаты вычислений с граничным условием вида на нижней границе полосы.На рис. 8, 9 приведены результаты вычислений с граничным условием вида на нижней границе полосы.Более строгий количественный анализ в этой работе мы проводить не будем. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BudLevYur24} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|