| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Об успокоении системы управления произвольного порядка с глобальным последействием на дереве С. А. Бутеринabc a Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского b Московский центр фундаментальной и прикладной математики c Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Английская версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624050249 
Реферативные базы данных:
  1. Введение1.1.Дифференциальные операторы на геометрических графах, часто называемые квантовыми графами, активно изучаются с прошлого века в связи с большим числом приложений [1]–[3]. Такие операторы возникают при исследовании процессов в сложных системах, представимых в виде пространственных сетей, т.е. наборов одномерных континуумов, взаимодействующих только через концы [2]. Примером служат упругие струнные сетки, в узлах которых помимо условий непрерывности характерными являются условия Кирхгофа, выражающие баланс натяжений. В настоящей работе переменная на ребрах графа отождествляется со временем, когда в каждой внутренней вершине процесс разветвляется на несколько параллельных процессов по числу выходящих из нее ребер. В этом случае тоже могут возникать условия Кирхгофа. А именно, им будет удовлетворять такая траектория течения процесса, которая является оптимальной с учетом сразу всех перспектив. На временны́х графах становится актуальным рассмотрение также процессов с последействием. Однако до недавнего времени работы, посвященные нелокальным операторам на графах, относились в основном к локально нелокальному случаю, когда соответствующее нелокальное уравнение на каждом ребре решается независимо от уравнений на остальных ребрах [4]–[8]. При этом не освещался вопрос о том, как можно было бы определить оператор в глобально нелокальном случае и, в частности, как описать процесс с глобальным последействием на всем графе. Чтобы восполнить этот пробел, в [9] была предложена концепция функционально-дифференциальных операторов на графах с глобальным запаздыванием, которое “проходит” через вершины графа, а также исследовались обратные спектральные задачи для таких операторов (см. тж. [10]). С помощью данной концепции в [11] на графы был распространен и другой класс задач, для которого уже естественно отождествление графа со временем. Речь идет об успокоении управляемой системы с последействием для уравнения первого порядка запаздывающего типа. 1.2.На интервале эта задача впервые была поставлена и исследована Красовским [12] для уравнений с постоянными вещественными коэффициентами. Позднее Скубачевский [13] рассмотрел ее обобщение на случай, когда уравнение содержит также старшие члены с запаздыванием, т.е. имеет нейтральный тип. Минимизация функционала энергии приводит к соответствующей вариационной задаче. Была доказана ее эквивалентность некоторой самосопряженной краевой задаче для уравнения второго порядка с двунаправленными сдвигами аргумента и установлена однозначная разрешимость этой краевой задачи. При этом нейтральный тип исходного уравнения приводит к понятию обобщенного решения соответствующей краевой задачи, чья первая производная может терять гладкость. В [13] получены также необходимые и достаточные условия гладкости, а в монографии [14] приводится общая теория таких решений. Указанные результаты обобщены в [15], [16] на случай управляемой системы, заданной уравнениями нейтрального типа с непрерывно дифференцируемыми коэффициентами в пространстве вектор-функций. Отдельно следует отметить аналогичные результаты для случая, когда запаздывание не постоянно, а является пропорциональным времени сжатием [17]. В [11] данная задача при запаздывающем типе исходных уравнений была распространена на произвольное дерево. Полученную систему управления можно интерпретировать следующим образом. В каждый момент времени, соответствующий какой-либо внутренней вершине дерева, появляется несколько вариантов дальнейшего течения процесса (по числу выходящих из этой вершины ребер). Требуется подобрать управление, приводящее систему в состояние равновесия, независимо от того, какой именно набор сценариев в итоге будет реализован, т.е. с учетом сразу всех перспектив. Были установлены существование и единственность оптимальной траектории, которая, как и выяснилось, дополнительно удовлетворяет условиям типа Кирхгофа во всех внутренних вершинах дерева (см. ниже замечание 1). 1.3.В настоящей работе мы переходим к уравнениям нейтрального типа на графах. Однако рассматривается более общий случай управляемой системы, уравнения которой имеют произвольный порядок $n\in{\mathbb N}$, а коэффициенты являются комплекснозначными функциями из $L_2$, тогда как самые старшие принадлежат $L_\infty$. Для произвольного дерева установлено, что соответствующая вариационная задача эквивалентна некоторой самосопряженной краевой задаче для уравнений порядка $2n$ с разнонаправленными сдвигами аргумента и дополнительными $n$ условиями типа Кирхгофа в каждой внутренней вершине (теорема 5). При этом интересное развитие получает концепция обобщенного решения краевой задачи, которое перестает быть прерогативой исключительно нейтрального типа исходных уравнений даже в случае постоянных коэффициентов. Теперь для ее постановки требуется введение семейства нелокальных квазипроизводных порядков от $n$ до $2n$, параллельно позволяющих охватить и рассматриваемый случай негладких коэффициентов. При этих же условиях доказана однозначная разрешимость данной краевой задачи. Поскольку полученные результаты являются новыми даже в случае интервала, в следующем разделе они формулируются отдельно для этого случая. Там же демонстрируется преемственность понимания решения краевой задачи в терминах введенных квазипроизводных с понятием обобщенного решения в [13]. Для иллюстрации специфики графа в разделе 3 результаты приводятся отдельно для графа-звезды. Постановка вариационной задачи на произвольном дереве дается в разделе 4. Раздел 5 посвящен доказательству ее эквивалентности соответствующей краевой задаче, чья однозначная разрешимость установлена в разделе 6. В последнем разделе проводится сравнение введенных квазипроизводных в локальном случае с классическими квазипроизводными для обыкновенных дифференциальных операторов. 2. Случай интервала2.1.Рассмотрим управляемую систему, описываемую уравнением нейтрального типа
$$
\begin{equation}
\ell y(t):=\sum_{k=0}^n\bigl(b_k(t) y^{(k)}(t)+ c_k(t) y^{(k)}(t-\tau)\bigr)=u(t), \qquad t>0,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
с постоянным запаздыванием $\tau>0$, где коэффициенты $b_k=b_k(t)$, $c_k=c_k(t)$, а также управление $u=u(t)$ предполагаются комплекснозначными функциями, причем
$$
\begin{equation}
\forall\, a>0 \qquad b_n,\frac{1}{b_n}\,,c_n\in L_\infty(0,a), \quad u,b_k,c_k\in L_2(0,a), \quad k=0,\dots,n-1.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Предыстория системы определяется условием с заданной комплекснозначной функцией $\varphi(t)\in W_2^n[-\tau,0]$, а также условиями Приводя уравнение (2.1) к системе первого порядка и последовательно применяя теорему 1 в [18; гл. V] для каждого интервала $((j-1)\tau,j\tau)$, $j\in{\mathbb N}$, легко показать, что при всех $a>0$ задача Коши (2.1)–(2.4) имеет единственное решение $y\in W_2^n[-\tau,a]$. Зафиксируем $T>2\tau$ и рассмотрим задачу об успокоении системы (2.1)–(2.4), которое характеризуется условием $y(t)=0$ при $t\geqslant T$. Для этого достаточно применить управление $u(t)\in L_2(0,T)$, приводящее систему в состояние равновесия а затем убрать воздействие на нее, положив $u(t)=0$ при $t>T$.Поскольку такое $u(t)$ на $(0,T)$ не единственно, естественной является попытка минимизировать затрачиваемые при этом усилия $\|u\|_{L_2(0,T)}$, которая приводит к вариационной задаче о минимуме соответствующего функционала энергии при условиях (2.3)–(2.5).2.2.Обозначим
$$
\begin{equation}
\widetilde \ell_{k}y(t):= \overline{b_k(t)}\ell y(t) + \overline{c_k(t+\tau)}\ell y(t+\tau), \qquad 0< t < T-\tau, \quad k=0,\dots,n,
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
и введем квазипроизводные
$$
\begin{equation}
y^{\langle n\rangle}(t):=\widetilde\ell_{n} y(t), \qquad y^{\langle n+l\rangle}(t):=\widetilde\ell_{n-l} y(t)- (y^{\langle n+l-1\rangle})'(t), \quad l=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Теорема 1. Функция $y(t)\in W_2^n[-\tau,T]$ является решением вариационной задачи (2.3)–(2.6) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям Вместе с теоремой 1 следующая теорема дает существование и единственность решения вариационной задачи (2.3)–(2.6). Теорема 2. Краевая задача ${\mathcal B}$ имеет единственное решение $y(t)\in W_2^n[-\tau,T]$, удовлетворяющее условиям (2.9). При этом справедлива оценка где $C$ не зависит от $\varphi(t)$. Теоремы 1, 2 можно получить как следствия теорем 3, 4 для графа-звезды, в свою очередь являющихся частными случаями теорем 5, 6 для произвольного дерева. 2.3.Следующий пример показывает преемственность понимания решения задачи ${\mathcal B}$ в терминах введенных квазипроизводных с обобщенным решением в смысле [13]. Пример 1. Положим Поскольку $By(t)$ всегда принадлежит $W_2^1[0,T-\tau]$, условие (2.9) равносильно $Ay(t)\in W_1^1[0,T-\tau]$. Последнее в силу $Cy(t)\in L_2(0,T-\tau)$ равносильно, в свою очередь, принадлежности $y$ классу функций, в смысле которого обобщенные решения понимаются в [13], а именно, $Ay(t)\in W_2^1[0,T-\tau]$, коль скоро $y^{\langle 2\rangle}(t)=0$. Итак, решение задачи ${\mathcal B}$ в частном случае (2.10), понимаемое в смысле абсолютной непрерывности $y^{\langle 1\rangle}$, соответствует концепции обобщенного решения из [13]. Как отмечено в [13], а также непосредственно вытекает из представления (2.12), рассмотрение обобщенных решений в случае $n=1$ для постоянных коэффициентов актуально только при $a\ne0$, т.е. при нейтральном типе уравнения (2.11). Покажем, что при $n>1$ обобщенное решение в том смысле, что какая-либо его производная порядка с $n$ по $2n-1$ теряет гладкость, может возникать и при запаздывающем типе уравнения (2.1) даже в случае постоянных коэффициентов. Пример 2. Рассмотрим случай, когда то есть В силу (2.7) имеем Таким образом, мы показали, что обычное, т.е. “не обобщенное”, решение $y\in W_2^2[-\tau,T]\cap W_1^4[0,T-\tau]$ краевой задачи ${\mathcal B}$ в случае (2.13) может не существовать, поскольку согласно теореме 2 ее решение всегда удовлетворяет условиям (2.9). 3. Граф типа звезды3.1.Предположим, что до момента времени $t=T_1$, ассоциированного с единственной внутренней вершиной $v_1$ графа $\Gamma_m$, изображенного на рис. 1, наша управляемая система с запаздыванием $\tau<T_1$ на $\Gamma_m$ описывается уравнением
$$
\begin{equation}
\ell_1 y(t):=\sum_{k=0}^n\bigl(b_{k,1}(t)y_1^{(k)}(t)+ c_{k,1}(t)y_1^{(k)}(t-\tau)\bigr)=u_1(t), \qquad 0<t<T_1,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
заданным на ребре $e_1$, и имеет предысторию, определяемую соотношением
$$
\begin{equation}
y_1(t)=\varphi(t)\in W_2^n[-\tau,0], \qquad t\in(-\tau,0),
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
и начальными условиями
$$
\begin{equation}
y_1^{(k)}(0)=\varphi^{(k)}(0), \qquad k=0,\dots,n-1.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Далее, при $t=T_1$, т.е. в вершине $v_1$, процесс разветвляется на $m-1$ (по числу оставшихся ребер) независимых параллельных процессов, заданных уравнениями
$$
\begin{equation}
\ell_j y(t):=\sum_{k=0}^n\bigl(b_{k,j}(t)y_j^{(k)}(t)+ c_{k,j}(t)y_j^{(k)}(t-\tau)\bigr)=u_j(t), \qquad t>0, \quad j=2,\dots,m,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
но имеющих общую историю, определяемую уравнением (3.1) с предысторией (3.2) и (3.3), а также условиями прохождения запаздывания через вершину $v_1$:
$$
\begin{equation}
y_j(t)=y_1(t+T_1), \qquad t\in(-\tau,0), \quad j=2,\dots,m.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Соответственно, $j$-е уравнение в (3.4) задано на ребре $e_j$ графа $\Gamma_m$, представляющем собой, вообще говоря, бесконечный луч, выходящий из $v_1$. Кроме того, естественно наложить условия непрерывности в вершине $v_1$:
$$
\begin{equation}
y_j^{(k)}(0)=y_1^{(k)}(T_1), \qquad k=0,\dots,n-1, \quad j=2,\dots,m.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Зафиксируем произвольные числа $T_j>\tau$, $j=2,\dots,m$. Успокоение получившейся системы (3.1)–(3.6) будет означать, что решение $y_j(t)$ уравнения в (3.4) для каждого $j=2,\dots,m$ становится тождественным нулем при $t\geqslant T_j$. Другими словами, система должна “успокоиться” заведомо при любом возможном сценарии, допускаемом с момента времени $t=T_1$. Для этой цели достаточно отыскать управления $u_j(t)\in L_2(0,T_j)$, $j=1,\dots,m$, приводящие систему в положение равновесия сразу при всех исходах:
$$
\begin{equation}
y_j(t)=0, \qquad t\in[T_j-\tau,T_j], \quad j=2,\dots,m.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Поскольку набор таких $u_j(t)$ не единственен, разумно искать его из условия минимума функционала энергии. Таким образом, приходим к вариационной задаче при условиях (3.2), (3.3) и (3.5)–(3.7), которую для краткости обозначим через ${\mathcal V}$.Предполагается, что все функции, входящие в уравнения (3.1) и (3.4), а также $\varphi(t)$ в (3.2) комплекснозначны, причем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, b_{n,j},\frac{1}{b_{n,j}}\,,c_{n,j}\in L_\infty(0,T_j), \qquad u_j, b_{k,j},c_{k,j}\in L_2(0,T_j), \\ k=0,\dots,n-1, \qquad j=1,\dots,m. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
3.2.Для $k=0,\dots,n$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \ell_{k,j} y(t)&:=\overline{b_{k,j}(t)}\ell_j y(t) + \overline{c_{k,j}(t+\tau)}\ell_j y(t+\tau), \qquad 0<t<T_j-\tau, \quad j=1,\dots,m, \\ \ell_{k,1} y(t)&:=\overline{b_{k,1}(t)}\ell_1 y(t) + \sum_{\nu=2}^m \overline{c_{k,\nu}(t+\tau-T_1)} \ell_\nu y(t+\tau-T_1), \qquad T_1-\tau< t<T_1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и введем квазипроизводные
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, y_j^{\langle n\rangle}(t):=\ell_{n,j} y(t), \qquad y_j^{\langle n+l\rangle}(t):=\ell_{n-l,j} y(t) - (y_j^{\langle n+l-1\rangle})'(t), \\ l=1,\dots,n, \qquad j=1,\dots,m. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Поскольку $y_j^{\langle k\rangle}$ может зависеть не только от $y_j$, но и от $y_\nu$ на других ребрах $\Gamma_m$, т.е. при $\nu\ne j$, квазипроизводные имеют глобально нелокальный характер. Теорема 3. Функции Замечание 1. Условие (3.11) можно охарактеризовать как нелокальное условие типа Кирхгофа. Например, в случае $n=1$, когда $b_{1,j}(t)=1$ и $c_{1,j}(t)=0$, а также $b_{0,j}(t),c_{0,j}(t)\in W_1^1[0,T_j]$ при $j=1,\dots,m$, абсолютная непрерывность квазипроизводных $y_j^{\langle 1\rangle}(t)$ равносильна абсолютной непрерывности обычных производных $y_j'(t)$, а условие (3.11) принимает вид Теорема 4. Краевая задача ${\mathcal B}$ имеет единственное решение Ниже мы обобщим теоремы 3 и 4 на случай произвольного дерева (теоремы 5 и 6). Как и $\Gamma_m$, оно будет содержать изначально бесконечные ребра, но фактически речь пойдет о компактном дереве ${\mathcal T}$, получаемом обрезанием бесконечных граничных ребер в соответствующих точках $T_j$. Для определенности мы снова ограничимся случаем, когда параметр запаздывания $\tau$ меньше длины каждого ребра теперь уже дерева ${\mathcal T}$. Однако аналогично построениям из раздела 7 в [9] можно рассмотреть и более общий случай – например, когда $2\tau<T$, где $T$ – высота дерева. 4. Постановка вариационной задачи на произвольном дереве4.1.Рассмотрим компактное дерево ${\mathcal T}$ с множеством вершин $\{v_0,v_1,\dots,v_m\}$ и множеством ребер $\{e_1,\dots, e_m\}$. Пусть $\{v_0,v_{d+1},\dots,v_m\}$ – граничные вершины, т.е. принадлежащие только одному (граничному) ребру, а $\{v_1,\dots, v_d\}$ – внутренние. Без ущерба для общности будем считать, что всякое ребро $e_j$, $j=1,\dots,m$, начинается в вершине $v_{k_j}$ и заканчивается в $v_j$, и записывать $e_j=[v_{k_j},v_j]$, где $k_1=0$. Вершину $v_0$ назовем корнем. Например, на рис. 2 имеем $m=9$ и $d=3$, тогда как
$$
\begin{equation*}
k_1=0, \qquad k_2=k_3=1, \qquad k_4=k_5=2, \qquad k_6=k_7=k_8=k_9=3.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $k_j$ порождает некоторое отображение $\{1,\dots,m\}$ на $\{0,1,\dots,d\}$, однозначно определяющее структуру ${\mathcal T}$. А именно, для всякого $j=0,\dots,d$ множество $\{e_\nu\}_{\nu\in V_j}$, где $V_j:=\{\nu\colon k_\nu=j\}$, состоит из ребер, начинающихся в вершине $v_j$. В частности, имеем $\#\{e_\nu\}_{\nu\in V_0}=1$, поскольку $v_0$ является граничной вершиной. Положим $k_j^{\{0\}}:=j$ и $k_j^{\{\nu+1\}}:=k_{k_j^{\{\nu\}}}$ при $\nu=0,\dots,\nu_j$, где $\nu_j$ таково, что $k_j^{\{\nu_j\}}=1$. Тогда для каждого $j=1,\dots,m$ цепочка ребер $\{e_{k_j^{\{\nu\}}}\}_{\nu=0,\dots,\nu_j}$ образует единственный простой путь между вершиной $v_j$ и корнем. Обозначим через $T_j$ длину ребра $e_j$. Величина
$$
\begin{equation*}
T:=\max_{j=d+1,\dots,m}\,\sum_{\nu=0}^{\nu_j}T_{k_j^{\{\nu\}}}
\end{equation*}
\notag
$$
называется высотой дерева ${\mathcal T}$. Пусть каждое ребро $e_j$ параметризовано переменной $t\in[0,T_j]$, причем $t=0$ соответствует его началу $v_{k_j}$, а $t=T_j$ – концу $v_j$. Под функцией $y$ на ${\mathcal T}$ будем понимать кортеж $y=[y_1,\dots,y_m]$, чья $j$-я компонента $y_j$ определена на ребре $e_j$, т.е. $y_j=y_j(t)$, $t\in[0,T_j]$. Также зафиксируем $\tau\geqslant0$ и будем говорить, что функция $y$ определена на расширенном дереве ${\mathcal T}_\tau$, если она определена на ${\mathcal T}$, а ее первая компонента $y_1(t)$ определена также при $t\in[-\tau,0)$. 4.2.Пусть для определенности $\tau<T_j$, $j=1,\dots,m$. Рассмотрим следующую управляемую систему, определяемую задачей Коши на ${\mathcal T}_\tau$ для уравнений нейтрального типа:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \ell_j y(t):=\sum_{k=0}^n\bigl(b_{k,j}(t) y_j^{(k)}(t)+ c_{k,j}(t)y_j^{(k)}(t-\tau)\bigr)=u_j(t), \\ 0<t<T_j, \qquad j=1,\dots,m, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
$$
\begin{equation}
y_j(t)=y_{k_j}(t+T_{k_j}), \qquad t\in(-\tau,0), \quad j=2,\dots,m,
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
$$
\begin{equation}
y_j^{(k)}(0)=y_{k_j}^{(k)}(T_j), \qquad k=0,\dots,n-1, \quad j=2,\dots,m,
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
$$
\begin{equation}
y_1(t)=\varphi(t)\in W_2^n[-\tau,0], \qquad t\in(-\tau,0),
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
$$
\begin{equation}
y_1^{(k)}(0)=\varphi^{(k)}(0), \qquad k=0,\dots,n-1,
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
с комплекснозначными $\varphi(t)$ и $b_{k,j}(t)$, $c_{k,j}(t)$, $u_j(t)$, удовлетворяющими (3.8). Предполагается, что $j$-е уравнение в (4.1) определено на ребре $e_j$ дерева ${\mathcal T}$, причем (4.3) являются условиями склейки в его внутренних вершинах. Соотношения (4.2) задают начальные функции для всех уравнений в (4.1), кроме первого, и означают, что запаздывание распространяется через все внутренние вершины дерева ${\mathcal T}$. Предыстория процесса на всем дереве определяется условиями (4.4) и (4.5). Нетрудно показать, что задача Коши (4.1)–(4.5) имеет единственное решение
$$
\begin{equation*}
y=[y_1,\dots,y_m]\in W_2^n({\mathcal T}_\tau):= W_2^n[-\tau,T_1]\oplus\bigoplus_{j=2}^m W_2^n[0,T_j],
\end{equation*}
\notag
$$
а при $d=1$ она совпадает с задачей (3.1)–(3.6). Требуется найти управление
$$
\begin{equation*}
u=[u_1,\dots,u_m]\in L_2({\mathcal T}):= \bigoplus_{j=1}^m L_2(0,T_j),
\end{equation*}
\notag
$$
приводящее систему (4.1)–(4.5) в состояние равновесия
$$
\begin{equation}
y_j(t)=0, \qquad t\in[T_j-\tau,T_j], \qquad j=d+1,\dots,m,
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
и при этом минимизирующее норму
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{L_2({\mathcal T})}= \sqrt{\sum_{j=1}^m\|u_j\|_{L_2(0,T_j)}^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, приходим к вариационной задаче
$$
\begin{equation}
{\mathcal J}(y):=\sum_{j=1}^m\int_0^{T_j}|\ell_j y(t)|^2\,dt\to\min
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
для функций $y=[y_1,\dots,y_m]$ на ${\mathcal T}_\tau$, удовлетворяющих условиям (4.2)–(4.6). Заметим, что условия (4.2) никаких ограничений на функцию $y=[y_1,\dots,y_m]$ не накладывают. Поэтому условимся, что взятие ${\mathcal J}(y)$, равно как и $\ell_j y$ при $j=2,\dots,m$, от какой бы то ни было функции $y$ на ${\mathcal T}$ автоматически подразумевает применение условий (4.2). Для краткости также введем обозначение $\ell y:=[\ell_1y,\dots,\ell_my]$. 5. Сведение к краевой задаче на дереве5.1.Рассмотрим в $W_2^k({\mathcal T}_\tau)$ обычное скалярное произведение
$$
\begin{equation*}
(y,z)_{W_2^k({\mathcal T}_\tau)}=(y_1,z_1)_{W_2^k[-\tau,T_1]}+ \sum_{j=2}^m (y_j,z_j)_{W_2^k[0,T_j]},
\end{equation*}
\notag
$$
где $y=[y_1,\dots,y_m]$ и $z=[z_1,\dots,z_m]$, тогда как
$$
\begin{equation*}
(f,g)_{W_2^k[a,b]}=\sum_{\nu=0}^k(f^{(\nu)},g^{(\nu)})_{L_2(a,b)}
\end{equation*}
\notag
$$
– скалярное произведение в $W_2^k[a,b]$, а $(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)_{L_2(a,b)}$ – в $L_2(a,b)$. Обозначим через ${\mathcal W}$ замкнутое подпространство $W_2^n({\mathcal T}_\tau)$, состоящее из кортежей $[y_1,\dots,y_m]$, удовлетворяющих условиям (4.3), (4.6) и условию $y_1(t)=0$ на $[-\tau,0]$, причем если $\tau=0$, то потребуем
$$
\begin{equation*}
y_1^{(k)}(0)=y_j^{(k)}(T_j)=0, \qquad j=d+1,\dots,m, \quad k=0,\dots,n-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, на ${\mathcal W}$ можно смотреть и как на подпространство $W_2^n({\mathcal T})$ или $W_2^n(\widetilde{\mathcal T})$, где $W_2^k({\mathcal T}):=W_2^k({\mathcal T}_0)$, в то время как определение $W_2^k(\widetilde{\mathcal T})$ отличается от определения $W_2^k({\mathcal T})$ только заменой $T_j$ на $T_j-\tau$ при $j=d+1,\dots,m$. Лемма 1. Пусть $y\in W_2^n({\mathcal T}_\tau)$ – решение вариационной задачи (4.2)–(4.7). Тогда Доказательство. Пусть $y\in W_2^n({\mathcal T}_\tau)$ – решение (4.2)–(4.7). Тогда для всякого $w\in{\mathcal W}$ сумма $y+sw$, в частности, при $s\in{\mathbb R}$ также принадлежит $W_2^n({\mathcal T}_\tau)$ и удовлетворяет условиям (4.3)–(4.6). Положим $F(s):={\mathcal J}(y+sw)$. Поскольку ${\mathcal J}(y+sw)\geqslant {\mathcal J}(y)$ для всех $s\in{\mathbb R}$, получаем $F'(0)=0$. С другой стороны, имеет место $F'(0)=2\operatorname{Re}B(y,w)$, что влечет (5.1) в силу произвольности $w\in{\mathcal W}$.
Обратно, для всякой фиксированной $y\in W_2^n({\mathcal T}_\tau)$, удовлетворяющей условиям (4.3)–(4.6), все функции, на которых рассматривается функционал из (4.7), можно представить в виде $y+w$, $w\in {\mathcal W}$. При этом выполнение (5.1) повлечет
$$
\begin{equation*}
{\mathcal J}(y+w)={\mathcal J}(y)+2\operatorname{Re}B(y,w)+ {\mathcal J}(w)\geqslant {\mathcal J}(y)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $w\in {\mathcal W}$, что, в свою очередь, дает (4.7). 5.2.Далее, применяя (4.2) к $w=[w_1,\dots,w_m]\in{\mathcal W}$, получаем представление
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^{T_j}\ell_jy(t)\overline{c_{k,j}(t)w_j^{(k)}(t-\tau)}\,dt= \int_0^{T_j-\tau}\ell_jy(t+\tau)\overline{c_{k,j} (t+\tau)w_j^{(k)}(t)}\,dt \\ &\qquad\qquad+\int_{T_{k_j}-\tau}^{T_{k_j}}\ell_jy(t+\tau-T_{k_j}) \overline{c_{k,j}(t+\tau-T_{k_j})w_{k_j}^{(k)}(t)}\,dt, \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad j=1,\dots,m, \qquad k=0,\dots,n, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $T_0=0$ и $w_0=0$. Просуммировав по $j$ от $1$ до $m$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{j=1}^m \int_0^{T_j}\ell_jy(t) \overline{c_{k,j}(t)w_j^{(k)}(t-\tau)}\,dt= \sum_{j=1}^m \int_0^{T_j-\tau}\ell_jy(t+\tau)\overline{c_{k,j} (t+\tau)w_j^{(k)}(t)}\,dt \\ &\qquad+\sum_{j=1}^d\,\sum_{\nu\in V_j} \int_{T_j-\tau}^{T_j}\ell_\nu y(t+\tau-T_j)\overline{c_{k,\nu}(t+\tau-T_j)w_j^{(k)}(t)}\,dt,\qquad k=0,\dots,n. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, положив
$$
\begin{equation*}
l_j:=T_j,\quad j=1,\dots,d, \qquad l_j:=T_j-\tau, \quad j=d+1,\dots,m,
\end{equation*}
\notag
$$
в соответствии с (4.1), перепишем (5.1) в эквивалентном виде
$$
\begin{equation}
B(y,w)=\sum_{j=1}^m\,\sum_{k=0}^n \int_0^{l_j} \ell_{k,j} y(t) \overline{w_j^{(k)}(t)} \,dt=0\qquad \forall\,w=[w_1,\dots,w_n]\in {\mathcal W},
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
где
$$
\begin{equation}
\ell_{k,j} y(t)=\overline{b_{k,j}(t)}\ell_j y(t)+\begin{cases} \overline{c_{k,j}(t+\tau)}\ell_j y(t+\tau), \\[1mm] \qquad 0<t<T_j-\tau, \quad j=1,\dots,m, \\[2mm] \displaystyle\sum_{\nu\in V_j}\overline{c_{k,\nu}(t+\tau-T_j)} \ell_\nu y(t+\tau-T_j), \\[-1mm] \qquad T_j-\tau< t<T_j, \quad j=1,\dots,d. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
В силу (3.8) для всякой функции $y\in W_2^n({\mathcal T}_\tau)$ будем иметь
$$
\begin{equation}
\ell_{k,j} y(t)\in L(0,l_j), \quad k=0,\dots,n-1, \qquad \ell_{n,j} y(t)\in L_2(0,l_j), \quad j=1,\dots,m.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Лемма 2. Пусть задан некоторый набор функций 1. Предположим, что имеет место тождество
$$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^m\,\sum_{k=0}^n \int_0^{l_j} f_{k,j}(t) \overline{w_j^{(k)}(t)}\,dt=0 \qquad \forall \, w=[w_1,\dots,w_n]\in {\mathcal W}.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
g_{k,j}(t)\in W_1^1[0,l_j], \qquad k=n,\dots,2n-1, \quad j=1,\dots,m,
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
$$
\begin{equation}
g_{k,j}(l_j)=\sum_{\nu\in V_j}g_{k,\nu}(0), \qquad j=1,\dots,d, \quad k=n,\dots,2n-1,
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
а также
$$
\begin{equation}
g_{2n,j}(t)=0 \quad \textit{\rm п.в.\ на}\ \ (0,l_j), \qquad j=1,\dots,m,
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
где $g_{k,j}(t)$ определяются формулами
$$
\begin{equation}
g_{n,j}(t):=f_{n,j}(t), \quad g_{n+l,j}(t):=f_{n-l,j}(t)-g_{n+l-1,j}'(t), \qquad l=1,\dots,n, \quad j=1,\dots,m.
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
2. Обратно, пусть выполняются (5.6) и (5.7). Тогда справедливо тождество Доказательство. 1. Выберем функции $F_{k,j}(t)\in W_1^{n-k}[0,l_j]$ так, чтобы
$$
\begin{equation}
F_{k,j}^{(n-k)}(t)=f_{k,j}(t), \qquad k=0,\dots,n, \quad j=1,\dots,m,
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
и при этом удовлетворяющие условиям
$$
\begin{equation}
F_{k,j}^{(s)}(l_j)=\sum_{\nu\in V_j} F_{k,\nu}^{(s)}(0), \qquad s=0,\dots,n-k-1, \quad k=0,\dots,n-1, \quad j=1,\dots,d,
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
что, очевидно, возможно. Действительно, при $j=d+1,\dots,m$ в качестве $F_{k,j}(t)$ можно выбрать любую первообразную $(n-k)$-го порядка для $f_{k,j}(t)$, тогда как остальные первообразные $F_{k,j}(t)$ при $j=1,\dots,d$ рекуррентно определяются условиями (5.12).
Интегрируя по частям, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\sum_{j=1}^m\,\sum_{k=0}^n\,\int_0^{l_j} f_{k,j}(t) \overline{w_j^{(k)}(t)}\,dt=\sum_{j=1}^m\,\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\, \int_0^{l_j} F_{k,j}(t) \overline{w_j^{(n)}(t)}\,dt \\ &\qquad-\sum_{j=1}^m\,\sum_{k=0}^{n-1}\,\sum_{s=1}^{n-k} (-1)^s (F_{k,j}^{(n-k-s)}(t)\overline{w_j^{(k+s-1)}(t)})\Big|_{t=0}^{l_j}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
Кроме того, в силу определения класса ${\mathcal W}$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{j=1}^m(F_{k,j}^{(n-k-s)}(t) \overline{w_j^{(k+s-1)}(t)})\Big|_{t=0}^{l_j} \\ &\qquad=\sum_{j=1}^d F_{k,j}^{(n-k-s)}(l_j) \overline{w_j^{(k+s-1)}(l_j)}-\sum_{j=2}^m F_{k,j}^{(n-k-s)}(0) \overline{w_j^{(k+s-1)}(0)} \\ &\qquad=\sum_{j=1}^d \biggl(F_{k,j}^{(n-k-s)}(l_j)- \sum_{\nu\in V_j} F_{k,\nu}^{(n-k-s)}(0)\biggr) \overline{w_j^{(k+s-1)}(l_j)}=0, \\ &\qquad k=0,\dots,n-1, \qquad s=1,\dots,n-k, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где последнее равенство следует из (5.12). Таким образом, (5.5) вместе с (5.13) дает
$$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^m\,\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}\,\int_0^{l_j} F_{k,j}(t) \overline{w_j^{(n)}(t)}\,dt =0, \qquad w\in{\mathcal W},
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
откуда следует, в частности, что
$$
\begin{equation}
\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} F_{k,j}(t)= \sum_{k=0}^{n-1}C_{k,j}\frac{t^k}{k!}\,, \qquad j=1,\dots,m.
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
В самом деле, для этого достаточно ограничиться функциями $w_j(t)\in \mathring{W}_2^n[0,l_j]$ и учесть, что ортогональное дополнение в $L_2(0,l_j)$ множества их производных $n$-го порядка совпадает с множеством полиномов степени меньшей $n$.
Поскольку $F_{k,j}(t)\in W_1^{n-k}[0,l_j]$ для $k=0,\dots,n-1$ и $j=1,\dots,m$, из (5.15) вытекает
$$
\begin{equation}
{\mathcal F}_{l,j}(t):=\sum_{k=l}^n (-1)^{n-k} F_{k,j}(t)\in W_1^{n-l+1}[0,l_j], \qquad l=0,\dots,n, \quad j=1,\dots,m.
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
Используя (5.9), (5.11) и последнее обозначение, по индукции получаем
$$
\begin{equation}
g_{n+l,j}(t)=(-1)^l{\mathcal F}_{n-l,j}^{(l)}(t), \qquad l=0,\dots,n, \quad j=1,\dots,m,
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
что вместе с (5.16) дает (5.6). Кроме того, из (5.15)–(5.17) следует (5.8).
Далее, подставляя (5.15) в (5.14) и интегрируя по частям, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0&=\sum_{j=1}^m\,\sum_{k=0}^{n-1}C_{k,j}\int_0^{l_j}\frac{t^k}{k!} \overline{w_j^{(n)}(t)}\,dt \\ &=\sum_{j=1}^m\,\sum_{k=0}^{n-1} C_{k,j}\biggl(\,\sum_{s=0}^k(-1)^s \frac{l_j^{k-s}}{(k-s)!}\overline{w_j^{(n-s-1)}(l_j)} -(-1)^k \overline{w_j^{(n-k-1)}(0)}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Меняя порядок суммирования и учитывая определение ${\mathcal W}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{s=0}^{n-1}(-1)^s \sum_{j=1}^d \overline{w_j^{(n-s-1)}(l_j)} \biggl(\,\sum_{k=s}^{n-1}C_{k,j}\frac{l_j^{k-s}}{(k-s)!}- \sum_{\nu\in V_j}C_{s,\nu}\biggr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсутствие ограничений на величины $w_j^{(s)}(l_j)$ при $j=1,\dots,d$ и $s=0,\dots,n-1$ дает
$$
\begin{equation}
\sum_{k=s}^{n-1}C_{k,j}\frac{l_j^{k-s}}{(k-s)!} = \sum_{\nu\in V_j} C_{s,\nu}, \qquad s=0,\dots,n-1, \quad j=1,\dots,d.
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
{\mathcal G}_{l,j}(t):=\sum_{k=0}^{l-1} (-1)^{n-k} F_{k,j}(t), \qquad l=1,\dots,n, \quad j=1,\dots,m,
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
и запишем (5.15) в виде
$$
\begin{equation}
{\mathcal G}_{l,j}(t)=\sum_{k=0}^{n-1}C_{k,j}\frac{t^k}{k!}- {\mathcal F}_{l,j}(t), \qquad l=1,\dots,n, \quad j=1,\dots,m,
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
где ${\mathcal F}_{l,j}(t)$ определены в (5.16). Согласно (5.12) и (5.19) будем иметь
$$
\begin{equation}
{\mathcal G}_{l,j}^{(s)}(l_j)= \sum_{\nu\in V_j} {\mathcal G}_{l,\nu}^{(s)}(0), \qquad s=0,\dots,n-l, \quad l=1,\dots,n, \quad j=1,\dots,d.
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
Подставляя (5.20) в (5.21) и используя (5.18), приходим к равенствам
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, {\mathcal F}_{l,j}^{(s)}(l_j)- \sum_{\nu\in V_j} {\mathcal F}_{l,\nu}^{(s)}(0)= \sum_{k=s}^{n-1}C_{k,j}\frac{l_j^{k-s}}{(k-s)!}- \sum_{\nu\in V_j}C_{s,\nu}=0, \\ s=0,\dots,n-l, \qquad l=1,\dots,n, \qquad j=1,\dots,d. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, в силу (5.17) последняя формула при $s=n-l$ дает (5.7).
2. Предположим теперь, что имеют место (5.6) и (5.7). Интегрируя $n$ раз по частям с учетом (5.6) и (5.9), получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^n \int_0^{l_j} f_{k,j}(t) \overline{w_j^{(k)}(t)} \,dt= \sum_{l=0}^{n-1}(g_{n+l,j}(t) \overline{w_j^{(n-l-1)}(t)})\Big|_{t=0}^{l_j}+\int_0^{l_j} g_{2n,j}(t) \overline{w_j(t)} \,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, используя свойства функций класса ${\mathcal W}$ и (5.7), будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{j=1}^m\,\sum_{l=0}^{n-1} (g_{n+l,j}(t) \overline{w_j^{(n-l-1)}(t)})\Big|_{t=0}^{l_j} \\ &\qquad=\sum_{l=0}^{n-1}\biggl(\sum_{j=1}^d g_{n+l,j}(l_j) \overline{w_j^{(n-l-1)}(l_j)}- \sum_{j=2}^m g_{n+l,j}(0)\overline{w_j^{(n-l-1)}(0)}\biggr) \\ &\qquad=\sum_{l=0}^{n-1}\,\sum_{j=1}^d \biggl(g_{n+l,j}(l_j)- \sum_{\nu\in V_j}g_{n+l,\nu}(0)\biggr) \overline{w_j^{(n-l-1)}(l_j)}=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что вместе с предыдущей формулой дает (5.10). Лемма доказана полностью. 5.3.Введем глобально нелокальные квазипроизводные $y_j^{\langle k\rangle}(t)$ при $k=n,\dots,2n$ и $j=1,\dots,m$, снова используя формулы (3.9) теперь вместе с (5.3), и для краткости обозначим $y^{\langle k\rangle}:= [y_1^{\langle k\rangle},\dots,y_m^{\langle k\rangle}]$. На функциях $y=[y_1,\dots,y_m]\in W_2^n({\mathcal T}_\tau)$, удовлетворяющих условиям
$$
\begin{equation}
y_j^{\langle k\rangle}(t)\in W_1^1[0,l_j], \qquad k=n,\dots,2n-1, \quad j=1,\dots,m,
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
рассмотрим краевую задачу, которую будем обозначать через ${\mathcal B}$, состоящую из функционально-дифференциальных уравнений $2n$-го порядка
$$
\begin{equation}
y_j^{\langle 2n\rangle}(t)=0, \qquad 0<t< l_j, \quad j=1,\dots,m,
\end{equation}
\tag{5.23}
$$
и условий (4.2)–(4.6), а также нелокальных условий типа Кирхгофа
$$
\begin{equation}
y_j^{\langle k\rangle}(l_j)= \sum_{\nu\in V_j}y_\nu^{\langle k\rangle}(0), \qquad j=1,\dots,d, \quad k=n,\dots,2n-1.
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
Имеет место следующее утверждение. Лемма 3. Пусть $y\in W_2^n({\mathcal T}_\tau)$ удовлетворяет условиями (4.3), (4.4), (4.6) и (5.1). Тогда имеет место (5.22), а $y$ является решением краевой задачи ${\mathcal B}$. Обратно, всякое решение задачи ${\mathcal B}$ удовлетворяет (5.1). Доказательство. Принимая во внимание (5.4) и применяя к (5.2) первое утверждение леммы 2, приходим к (5.22)–(5.24).
Обратно, пусть $y\in W_2^n({\mathcal T}_\tau)$ является решением задачи ${\mathcal B}$. Тогда второе утверждение леммы 2 вместе с левым равенством в (5.2), а также с (5.22) и (5.24) дает
$$
\begin{equation}
B(y,w)=\sum_{j=1}^m \int_0^{l_j} y_j^{\langle 2n\rangle}(t) \overline{w_j(t)}\,dt \qquad \forall\,w\in {\mathcal W}.
\end{equation}
\tag{5.25}
$$
Наконец, (5.23) влечет (5.1). Замечание 2. В силу (5.25) краевая задача ${\mathcal B}$ является самосопряженной в том смысле, что для всех $y,z\in{\mathcal W}$, удовлетворяющих условиям (5.22) и (5.24), имеет место соотношение где $(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)_{L_2({\mathcal T})}$ – скалярное произведение в $L_2({\mathcal T})$. Однако мы не будем непосредственно опираться на этот факт. Объединяя леммы 1 и 3, приходим к основному результату настоящего раздела. Теорема 5. Функция $y\in W_2^n({\mathcal T}_\tau)$ представляет собой решение вариационной задачи (4.2)–(4.7) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет (5.22) и является решением краевой задачи ${\mathcal B}$. 6. Однозначная разрешимость краевой задачиВ данном разделе устанавливается однозначная разрешимость краевой задачи ${\mathcal B}$, а согласно теореме 5 – и вариационной задачи (4.2)–(4.7). 6.1.Введем обозначения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \ell_j^0 y(t):=b_{n,j}(t)y_j^{(n)}(t)+ c_{n,j}(t)y_j^{(n)}(t-\tau), \quad \ell_j^1 y(t):=\ell_j y(t)-\ell_j^0 y(t), \qquad j=1,\dots,m, \\ \nonumber {\mathcal J}_\nu(y):= \sum_{j=1}^m\int_0^{T_j}|\ell_j^\nu y(t)|^2\,dt, \qquad \nu=0,1, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
где автоматически предполагается (4.2), а также $y_1(t)=0$ на $(-\tau,0)$. Рассмотрим банахово пространство $C^k(\widetilde{\mathcal T})$, состоящее из функций $y=[y_1,\dots,y_m]$ таких, что $y_j(t)\in C^k[0,l_j]$, $j=1,\dots,m$, с нормой $\|y\|_{C^k(\widetilde{\mathcal T})}:= \max_{j=1,\dots,m}\|y_j\|_{C^k[0,l_j]}$. При помощи теоремы Арцела нетрудно показать, что для каждого $k\in{\mathbb N}$ пространство $W_2^k(\widetilde{\mathcal T})$ компактно вложено в $C^{k-1}(\widetilde{\mathcal T})$, т.е. всякое ограниченное множество в первом из них является предкомпактным во втором. Доказательство. Положим $b_j:=\|b_{n,j}\|_{L_\infty(0,T_j)}$ и $c_j:=\|c_{n,j}\|_{L_\infty(0,T_j)}$, а также
$$
\begin{equation*}
\gamma:=\max_{\substack{j=1,\dots,m\\ k=0,\dots,n-1}}\, \max\{\|b_{k,j}\|_{L_2(0,T_j)},\|c_{k,j}\|_{L_2(0,T_j)}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $w\in {\mathcal W}$. Используя (4.1) и неравенство
$$
\begin{equation}
(\alpha_1+\dots+\alpha_s)^2\leqslant s(\alpha_1^2+\dots+\alpha_s^2), \qquad \alpha_1,\dots,\alpha_s\in{\mathbb R},
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
для $s=2$ и $s=2n$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathcal J}_0(w)&\leqslant 2\sum_{j=1}^m \biggl(b_j^2\|w_j^{(n)}\|_{L_2(0,l_j)}^2+ c_j^2\int_0^{T_j}|w_j^{(n)}(t-\tau)|^2\,dt\biggr), \\ {\mathcal J}_1(w)&\leqslant 2n\gamma^2\sum_{j=1}^m\,\sum_{k=0}^{n-1} (\|w_j^{(k)}\|_{C[0,l_j]}^2+ \max_{0\leqslant t\leqslant T_j}|w_j^{(k)}(t-\tau)|^2) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно. Учитывая (4.2) применительно к $w$, для $j=1,\dots,m$ вычисляем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_0^{T_j}|w_j^{(n)}(t-\tau)|^2\,dt= \|w_j^{(n)}\|_{L_2(0,T_j-\tau)}^2+ \|w_{k_j}^{(n)}\|_{L_2(T_{k_j}-\tau,T_{k_j})}^2, \\ \max_{0\leqslant t\leqslant T_j}|w_j^{(k)}(t-\tau)|= \max\{\|w_{k_j}^{(k)}\|_{C[T_{k_j}-\tau,T_{k_j}]}, \|w_j^{(k)}\|_{C[0,T_j-\tau]}\}, \qquad k=0,\dots,n-1, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $T_0=0$ и $w_0=0$. Используя оценку ${\mathcal J}(w)\leqslant2{\mathcal J}_0(w)+2{\mathcal J}_1(w)$, получаем (6.2). Доказательство. Согласно (6.1) почти всюду на $(0,T_j)$ справедливы оценки где $\widetilde b_j:=\|b_{n,j}^{-1}\|_{L_\infty(0,T_j)}$, а $c_j$ определены в доказательстве предыдущей леммы.
Предположим от противного, что найдутся $w_{(s)}=[w_{(s),1},\dots,w_{(s),m}]\in {\mathcal W}$, $s\in{\mathbb N}$, такие, что $\|w_{(s)}\|_{W_2^n(\widetilde{\mathcal T})}=1$ и
$$
\begin{equation}
{\mathcal J}_0(w_{(s)})\leqslant \frac{1}{s}\,, \qquad s\in{\mathbb N}.
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
Используя (6.3), (6.5) и (6.6), при всех $s\in{\mathbb N}$ и $j=1,\dots,m$ получаем оценки
$$
\begin{equation*}
\|w_{(s),j}^{(n)}\|_{L_2(l\tau,M_{l,j})}^2 \leqslant \frac{2\widetilde b_j^2}s +2\widetilde b_j^2c_j^2 \|w_{(s),j}^{(n)}\|_{L_2((l-1)\tau,l\tau)}^2, \qquad 0\leqslant l<\frac{l_j}{\tau}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $M_{l,j}:=\min\{(l+1)\tau,l_j\}$. В частности, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\lim_{s\to\infty}\|w_{(s),j}^{(n)}\|_{L_2(l\tau,M_{l,j})}^2 \leqslant 2\widetilde b_j^2c_j^2\lim_{s\to\infty} \|w_{(s),j}^{(n)}\|_{L_2((l-1)\tau,l\tau)}^2, \qquad 0\leqslant l<\frac{l_j}{\tau}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя тождества
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|w_{(s),1}^{(n)}\|_{L_2(-\tau,0)}=0, \qquad \|w_{(s),j}^{(n)}\|_{L_2(-\tau,0)}= \|w_{(s),k_j}^{(n)}\|_{L_2(T_{k_j}-\tau,T_{k_j})}, \\ j=2,\dots,m, \qquad s\in{\mathbb N}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
по индукции получаем $\|w_{(s)}^{(n)}\|_{L_2({\mathcal T})}\to0$ при $s\to\infty$, где $w^{(n)}=[w_1^{(n)},\dots,w_m^{(n)}]$.
Далее, аналогично лемме 5 в [11] нетрудно показать, что $\|w^{(n)}\|_{L_2({\mathcal T})}$ порождает норму в ${\mathcal W}$, эквивалентную норме $\|w\|_{W_2^n(\widetilde{\mathcal T})}$, а значит, и $\|w_{(s)}\|_{W_2^n(\widetilde{\mathcal T})}\to0$ при $s\to\infty$. Последнее противоречит сделанному предположению. Доказательство. Снова предположим от противного, что найдутся $w_{(s)}\in {\mathcal W}$ при $s\in{\mathbb N}$ такие, что $\|w_{(s)}\|_{W_2^n(\widetilde{\mathcal T})}=1$, но теперь
$$
\begin{equation}
{\mathcal J}(w_{(s)})\leqslant \frac{1}{s}\,, \qquad s\in{\mathbb N}.
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
Неравенство ${\mathcal J}_0(w)\leqslant2{\mathcal J}(w)+2{\mathcal J}_1(w)$ вместе с оценками (6.2) и (6.4) влечет
В силу компактности вложения $W_2^n(\widetilde{\mathcal T})$ в $C^{n-1}(\widetilde{\mathcal T})$ найдется подпоследовательность $\{w_{(s_k)}\}$, сходящаяся в $C^{n-1}(\widetilde{\mathcal T})$. Неравенство (6.8) дает
$$
\begin{equation*}
\frac{c_0}2\|w_{(s_k)}-w_{(s_l)}\|_{W_2^n(\widetilde{\mathcal T})}^2 \leqslant {\mathcal J}(w_{(s_k)}-w_{(s_l)})+ C_1\|w_{(s_k)}-w_{(s_l)}\|_{C^{n-1}(\widetilde{\mathcal T})}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, в силу (6.7) имеем ${\mathcal J}(w_{(s_k)}-w_{(s_l)})\leqslant2/s_k+2/s_l$, а значит, подпоследовательность $\{w_{(s_k)}\}$ является фундаментальной в ${\mathcal W}$ и имеет там предел $w_{(0)}$.
В силу леммы 4 сходимость $w_{(s_k)}$ к $w_{(0)}$ в ${\mathcal W}$ влечет $\ell w_{(s_k)} \to \ell w_{(0)}$ в $L_2({\mathcal T})$. Следовательно, в силу (6.7) будем иметь
$$
\begin{equation*}
\|\ell w_{(0)}\|_{L_2({\mathcal T})}^2= \lim_{k\to\infty}\|\ell w_{(s_k)}\|_{L_2({\mathcal T})}^2= \lim_{k\to\infty}{\mathcal J}(w_{(s_k)})=0,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $\ell w_{(0)}=0$. Итак, $w_{(0)}$ является решением задачи Коши (4.1)–(4.5) с $\varphi(t)\equiv 0$ и $u_j(t)=0$ при $j=1,\dots,m$, а значит, $w_{(0)}=0$, что противоречит $\|w_{(0)}\|_{W_2^n(\widetilde{\mathcal T})}=1$. 6.2.Следующая теорема является основным результатом данного раздела. Теорема 6. Краевая задача ${\mathcal B}$ имеет единственное решение $y\in W_2^n({\mathcal T}_\tau)$, удовлетворяющее условиям (5.22). Кроме того, выполняется оценка где $C$ не зависит от $\varphi(t)$. Доказательство. Рассмотрим функцию $\Phi=[\Phi_1,\dots,\Phi_m]\in W_2^n({\mathcal T}_\tau)$ вида где а $p_k(t)$ – базисные многочлены Эрмита степени $2n-1$, удовлетворяющие условиям $p_k^{(\nu)}(0)=\delta_{k,\nu}$ и $p_k^{(\nu)}(T_1-\tau)=0$ при $\nu,k=0,\dots,n-1$. Здесь $\delta_{k,\nu}$ – символ Кронекера.
В силу леммы 3 всякая функция $y\in W_2^n({\mathcal T}_\tau)$, для которой выполняются условия (4.3), (4.4) и (4.6), будет удовлетворять условиям абсолютной непрерывности квазипроизводных (5.22) и являться решением краевой задачи ${\mathcal B}$ тогда и только тогда, когда имеет место (5.1). Другими словами, $y$ удовлетворяет (5.22) и является решением задачи ${\mathcal B}$, если и только если $x:=y-\Phi\in {\mathcal W}$ и
$$
\begin{equation}
B(\Phi,w)+B(x,w)=0 \qquad \forall\,w\in {\mathcal W}.
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
Так как $B(w,w)={\mathcal J}(w)$, полуторалинейная форма $(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)_{\mathcal W}:=B(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$ в силу леммы 6 является скалярным произведением в ${\mathcal W}$. Кроме того, справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber |B(\Phi,w)|&=\biggl|\int_0^{T_1}\ell_1\Phi(t) \overline{\ell_1w(t)}\,dt\biggr| \\ &\leqslant M\|\varphi\|_{W_2^n[-\tau,0]} \|w\|_{W_2^n(\widetilde{\mathcal T})}\leqslant \frac{M}{\sqrt{c}}\|\varphi\|_{W_2^n[-\tau,0]}\|w\|_{\mathcal W}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
где $\|w\|_{\mathcal W}:=\sqrt{(w,w\,)_{\mathcal W}}$ . Таким образом, в силу теоремы Рисса об общем виде линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве, существует единственная функция $x\in {\mathcal W}$ такая, что выполняется равенство (6.10), а значит, задача ${\mathcal B}$ имеет единственное решение $y=\Phi+x$. Согласно (6.10) и (6.11) имеем
$$
\begin{equation*}
\|x\|_{\mathcal W}\leqslant \frac{M}{\sqrt{c}}\|\varphi\|_{W_2^n[-\tau,0]}.
\end{equation*}
\notag
$$
Снова применяя лемму 6, приходим к (6.9). 7. Сравнение введенных квазипроизводных с классическимиРазличные формы квазипроизводных играют важную роль в спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов (см., например, [18]–[29]). Принципиальным отличием введенных квазипроизводных (2.8) является нелокальность. Однако в локальном случае $\tau=0$ их можно сравнить с известными. 7.1.Приведем некоторые сведения о квазипроизводных для дифференциальных операторов. Рассмотрим дифференциальное выражение четного порядка
$$
\begin{equation}
L_{2n}y:=\sum_{k,s=0}^n (r_{ks}(t)y^{(n-k)})^{(n-s)}, \qquad -\infty\leqslant a<t<b\leqslant\infty,
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
понимаемое обычным образом, коль скоро каждый коэффициент $r_{ks}(t)$ имеет производные до порядка $n-s$ включительно. Чтобы придать смысл выражению (7.1), например, при локально суммируемых $r_{ks}(t)$, можно ввести квазипроизводные
$$
\begin{equation*}
y^{\{n\}}:=\sum_{k=0}^n r_{k0}(t)y^{(n-k)}, \qquad y^{\{n+l\}}:=(y^{\{n+l-1\}})'+ \sum_{k=0}^n r_{kl}(t)y^{(n-k)},\quad l=1,\dots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
предполагая $y^{\{k\}}\,{\in}\, AC_{\mathrm{loc}}(a,b)$ при $k\,{=}\,n,\dots,2n-1$. При этом $L_{2n}y\,{=}\,y^{\{2n\}}$. Тогда выражение (7.1) можно записать в эквивалентном векторном виде с локально суммируемыми матрицами $Q_0(t)$ и $Q(t)$ размерности $2n\times2n$, где
$$
\begin{equation*}
Y=[y,y',\dots,y^{(n-1)},y^{\{n\}},\dots,y^{\{2n-1\}}]^\top,\qquad {\mathcal L}Y=[0,\dots,0,L_{2n}y]^\top,
\end{equation*}
\notag
$$
причем свободный член для (7.2) должен иметь нули на тех же местах, что и ${\mathcal L}Y$. Чтобы матрица $Q_0(t)$ была почти всюду обратимой, а элементы $(Q_0(t))^{-1}$ принадлежали $L_{\infty,\rm loc}(a,b)$, достаточно потребовать $r_{00}^{-1},r_{0k}\in L_{\infty,\rm loc}(a,b)$ при $k=1,\dots,n$. Таким образом квазипроизводные использовались, например, в [18], [20], [21], но для выражений более частного вида, нежели (7.1). Вообще говоря, квазипроизводные можно задавать по-разному, но все такие построения укладываются в общую конструкцию квазидифференциального выражения, предложенную Шином [19]. Обобщением указанной выше цели применения квазипроизводных является регуляризация сингулярных дифференциальных выражений с коэффициентами из пространств обобщенных функций [22]–[29], т.е. преобразование таких дифференциальных выражений к эквивалентному виду в пространстве вектор-функций, но с регулярными (суммируемыми либо локально суммируемыми) коэффициентами. В соответствии с этим различные формы квазипроизводных можно ранжировать по степени сингулярности коэффициентов дифференциального выражения, которое они регуляризуют [28]. Для выражений четного порядка наиболее “сильные” в таком смысле квазипроизводные введены Мирзоевым и Шкаликовым [26]. Регуляризация в [26] допускает для коэффициентов в (7.1) выполнение условий
$$
\begin{equation}
|r_{00}|^{-1/2},|r_{00}|^{-1/2}R_{ks}\in L_{2,\rm loc}(a,b), \qquad k+s=1,\dots,2n,
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
где $R_{ks}$ – первообразная порядка $\min\{k,s\}$ для $r_{ks}$ в смысле распределений. В частности, это соответствует регуляризации выражения Штурма–Лиувилля с потенциалом-распределением $q\in W_2^{-1}[0,1]$ (см. [22], [23]). Последнее означает, что $q=\sigma'$ для некоторой функции $\sigma\in L_2(0,1)$. Тогда квазипроизводная приводит к соответствующему квазидифференциальному выражениюОтметим, что (в случае локальной суммируемости) матрица $(Q_0(t))^{-1}Q(t)$ в (7.2) называется согласованной с дифференциальным выражением (7.1) и принадлежит в терминологии [26] классу Шина–Зеттла. Своя согласованная матрица из этого класса возникает при любом способе регуляризации и хранит информацию о форме использованных квазипроизводных. Например, для (7.5) она имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{bmatrix} \sigma & 1 \\ -\sigma^2 & -\sigma \end{bmatrix}.
\end{equation}
\tag{7.6}
$$
Обратно, всякая матрица из класса Шина–Зеттла (см. определение в [26]) порождает некоторое квазидифференциальное выражение соответствующего порядка. 7.2.Посмотрим, как вписываются в данную картину квазипроизводные (2.8). Пусть $n=1$. При $\tau=0$, $T=1$, $b_1=1$ и $c_0=c_1=0$ выражение в (2.1) примет вид Тогда согласно (2.7) имеем $\widetilde\ell_0y=\overline{b}y'+|b|^2y$, $\widetilde\ell_1y=y'+by$, что вместе с (2.8) дает
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, y^{\langle 1\rangle}=y'+by, \\ \nonumber y^{\langle 2\rangle}=\widetilde\ell_0 y -(y^{\langle 1\rangle})'= -y'' -i(({\rm Im}\,b)y)'-i({\rm Im}\,b)y'+ (|b|^2-(\operatorname{Re}\,b)')y. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
В частности, для вещественных $b$ будем иметь $y^{\langle 2\rangle}=Ly$ вида (7.4), где что может быть достигнуто и без требования вещественности $b$, но путем отказа от комплексного сопряжения в (2.7). Тогда (7.4) представляется в виде
$$
\begin{equation*}
y^{\langle 2\rangle}=-(y^{\langle 1\rangle})'+by^{\langle 1\rangle}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, квазипроизводная (7.7) регуляризует выражение Штурма–Лиувилля (7.4) с потенциалами $q\in W_2^{-1}[0,1]$, допускающими представление (7.8). Вместе с тем вещественность $q$, как и при использовании квазипроизводной (7.5), очевидно, не требуется. Соответствующая согласованная матрица имеет вид При этом класс допустимых $q\in W_2^{-1}[0,1]$ определяется разрешимостью в $L_2(0,1)$ уравнения Риккати (7.8), которое приводится к уравнению Штурма–Лиувилля заменой $b=-u'/u$. Чтобы $b\in L_2(0,1)$, решение $u$ уравнения (7.10) не должно обращаться в нуль на отрезке $[0,1]$. Потенциалы $q$, для которых такое решение существует и вещественно, называются потенциалами Миуры [25]. Для всякого комплексного $q\in W_2^{-1}[0,1]$ существование такого решения гарантировано после прибавления достаточно большого положительного числа $C$, т.е. заменой $q$ на $q+C$. В частности, вещественный потенциал $q\in W_2^{-1}[0,1]$ является потенциалом Миуры, если оператор Дирихле, порожденный левой частью (7.10), положительно определен [25]. Согласно лемме 6 из предыдущего раздела, это условие является и необходимым.Итак, квазипроизводная $y^{\langle1\rangle}$ совпадает по “силе” в указанном выше смысле с квазипроизводной $y^{[1]}$ и (с учетом модификации для комплексных $q$) дает альтернативную регуляризацию выражения (7.4) после сдвига для потенциала $q\in W_2^{-1}[0,1]$ спектрального параметра при необходимости. Например, применение $y^{\langle1\rangle}$ отвечало бы [25], где требовалась факторизация
$$
\begin{equation*}
-\frac{d^2}{dt^2}+q=-\biggl(\frac{d}{dt}-b\biggr) \biggl(\frac{d}{dt}+b\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим также, что в [30] использовалось разложение дифференциальных выражений произвольного порядка на оси на множители первого порядка, но не с целью регуляризации или введения квазипроизводных. Взаимная преемственность матриц (7.6), (7.9) прослеживается в одном результате [29], согласно которому все согласованные с выражением (7.4) матрицы имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{bmatrix} \sigma_1 & 1 \\ q_1-\sigma_1^2 & -\sigma_1 \end{bmatrix},\qquad \sigma_1\in L_2(0,1), \quad q_1\in L(0,1), \quad q=\sigma_1' +q_1.
\end{equation*}
\notag
$$
В [29] также получено описание согласованных матриц для нормальной формы (см. определение в [26]) общего выражения (7.1) в случае $r_{00}=1$. 7.3.Пусть теперь $n$ произвольное. Рассмотрим соответствующее локальное выражение $\ell$ в (2.1) вместе с формально сопряженным ему выражением $\ell^*$:
$$
\begin{equation*}
\ell y=\sum_{k=0}^n b_k(t)y^{(k)}, \quad \ell^* y=\sum_{k=0}^n (-1)^k(\overline{b_k(t)}y)^{(k)}, \qquad 0<t<1,
\end{equation*}
\notag
$$
где коэффициенты удовлетворяют условиям (2.2) при $a=1$. Тогда (2.7), (2.8) дают, в частности, $y^{\langle2n\rangle}=\ell^*\ell y$, что проще увидеть, сопоставляя формулы (5.1) и (5.25). При этом соответствующие квазипроизводные (2.8) регуляризуют выражение $\ell^*\ell$. Согласно лемме 6 оператор $\ell^*\ell y$ с краевыми условиями положительно определен. Рассмотрим дифференциальное выражение $L_{2n}$ вида (7.1) на интервале $(0,1)$ и вместо (7.3) для простоты предположим
$$
\begin{equation*}
r_{00},r_{00}^{-1}\in L_\infty(0,1), \qquad r_{ks} \in W_2^{-l}[0,1], \qquad l:=\min\{k,s\}, \qquad k+s=1,\dots,2n.
\end{equation*}
\notag
$$
В свете сказанного выше представляет интерес вопрос: допускает ли это выражение факторизацию $L_{2n}=\ell^*\ell$, если оператор $L_{2n}y$ с краевыми условиями (7.11) положительно определен либо полуограничен снизу с достаточно большой константой? В случае положительного ответа можно было бы снова говорить об альтернативной [26] регуляризации сингулярного выражения (7.1), но когда оно является формально самосопряженным. Как было продемонстрировано выше, для самосопряженного сингулярного выражения Штурма–Лиувилля $L$ эта гипотеза верна. Автор выражает благодарность А. Л. Скубачевскому за рекомендацию посмотреть задачу об успокоении системы управления с последействием в связи с предложенной автором идеей глобального запаздывания на графе, а также Н. П. Бондаренко, М. Ю. Игнатьеву, М. А. Кузнецовой и П. А. Терехину за полезные обсуждения.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{But24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|