| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Предельная теорема о сходимости к локальному времени броуновского моста В. И. Афанасьев Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624110014 
Реферативные базы данных:
  1. Постановка задачи и основной результатПусть $X_{1},X_{2},\dots $ – независимые одинаково распределенные случайные величины, определенные на вероятностном пространстве $(\Omega,\mathcal{F},\mathbf{P})$. Рассмотрим случайное блуждание
$$
\begin{equation*}
S_{0}=0, \qquad S_{i}=\sum_{j=1}^{i}X_{j}, \quad i\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
В дальнейшем нам потребуются следующие предположения о распределении случайной величины $X_{1}$. Предположение A. Случайная величина $X_{1}$ имеет арифметическое распределение с максимальным шагом $1$, причем $\mathbf{P}(X_{1}=0)>0$. Вместо указанного предположения можно рассматривать более общее: случайная величина $X_{1}$ имеет решетчатое распределение, т.е. ее возможные значения принадлежат решетке $\{a+kh,\,k\in \mathbf{Z}\} $, где $h>0$ и $a\in [0,h) $, при этом максимальное из возможных $h$ равно $1$, а соответствующее этому $h$ значение $a$ равно $0$. Пусть $Y$ – некоторый случайный элемент, определенный на $(\Omega,\mathcal{F},\mathbf{P}) $. Пусть $A\in \mathcal{F}$ и $\mathbf{P}(A) >0$. Обозначим $\{Y\mid A\}$ случайный элемент, заданный на вероятностном пространстве $(A,\,\mathcal{F}\cap A,\,\mathbf{P}(\cdot \mid A)) $ (здесь $\mathbf{P}(\cdot \mid A) $ – условная вероятностная мера, т.е. $\mathbf{P}(B\mid A) =\mathbf{P}(AB) /\mathbf{P}(A) $ при $B\in \mathcal{F}\cap A$) и определяемый формулой $\{Y\mid A\} (\omega)=Y(\omega)$, $\omega \in A$. Для каждого $n\in \mathbb{N}$ введем случайный процесс $Y_{n}=\{Y_{n}(t),\,t\in [0,1] \} $, задаваемый формулой
$$
\begin{equation*}
Y_{n}(t)=\frac{S_{\lfloor nt\rfloor}}{\sigma\sqrt{n}}, \qquad t\in [0,1].
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $W_{0}=\{W_{0}(t),\,t\in [0,1] \} $ – стандартный броуновский мост. Хорошо известна следующая функциональная предельная теорема Лиггетта (см. [1]): если выполнены предположения A и B, то при $n\to \infty $ где символ $\stackrel{D}{\to}$ означает сходимость по распределению в пространстве $D[0,1] $ с топологией Скорохода. Значимость теоремы Лиггетта объясняется тем, что из нее не так сложно вывести теорему Колмогорова о выборочных функциях распределения. Пусть $\xi (k,n) $ означает число попаданий блуждания $\{ S_{i},\,0\leqslant i\leqslant n\} $ в состояние $k\in \mathbf{Z}$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\xi (k,n)=\bigl|\{i\colon 0\leqslant i\leqslant n,\,S_{i}=k\}\bigr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Случайную величину $\xi (k,n) $ назовем локальным временем случайного блуждания $\{S_{i},\,i\geqslant 0\} $ в точке $k$ за время $n$. Введем случайный процесс $Z_{n}=\{Z_{n}(u),\,u\in \mathbb{R}\} $, задаваемый формулой
$$
\begin{equation*}
Z_{n}(u)=\frac{\sigma \xi (\lfloor u\sigma\sqrt{n}\rfloor,n)}{\sqrt{n}}, \qquad u\in \mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Целью работы является теорема, описывающая предельное распределение процесса $Z_{n}$, рассматриваемого при условии, что $S_{n}=0$. Прежде чем сформулировать основной результат, определим случайный процесс, играющий роль предельного. Пусть $W=\{W(t),\,t\in [0,1] \} $ – стандартное броуновское движение. Пусть $l^{(t)}(u) $ – локальное время процесса $W$ в точке $u\in \mathbb{R}$ за время $t\in [0,1] $. Это означает, что п.н.
$$
\begin{equation*}
l^{(t)}(u)=\lim_{\varepsilon \downarrow 0} \frac{1}{2\varepsilon}\int_{0}^{t}I_{[u-\varepsilon,\,u+\varepsilon ]}(W(s))\,ds,
\end{equation*}
\notag
$$
где $I_{[u-\varepsilon,\,u+\varepsilon]}(\cdot) $ – индикатор множества $[u-\varepsilon,\,u+\varepsilon] $. Существование локального времени броуновского движения доказано П. Леви. Отметим, что по теореме Троттера можно подобрать такие варианты $l^{(t)}(u)$ при разных $t$ и $u$, что функция $l^{(t)}(u) $ будет п.н. непрерывна по $(u,t) \in \mathbf{R\times}[0,1] $. Это и предполагается в дальнейшем. Пусть $\tau=\sup \{t\in [0,1]\colon W(t)=0\}$. Рассмотрим стандартный броуновский мост $W_{0}=\{W_{0}(t),\,t\in [0,1] \} $. Известно (см., например, [2; гл. 6]), что
$$
\begin{equation*}
\bigl\{W_{0}(t),\,t\in [0,1] \bigr\}\stackrel{D}{=}\biggl\{\frac{W(t\tau)}{\sqrt{\tau}},\,t\in [0,1] \biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
причем случайный процесс в правой части не зависит от случайной величины $\tau $. Из этого утверждения следует (подробности см. в [5; раздел 2]), что во-первых, п.н. существует локальное время $l_{0}^{(t)}(u) $ процесса $W_{0}$ в точке $u\in \mathbb{R}$ за время $t\in [0,1] $, определяемое формулой
$$
\begin{equation*}
l_{0}^{(t)}(u)=\lim_{\varepsilon \downarrow 0} \frac{1}{2\varepsilon}\int_{0}^{t}I_{[u-\varepsilon ,u+\varepsilon ]}(W_{0}(s))\,ds,
\end{equation*}
\notag
$$
и, во-вторых, можно подобрать такие варианты $l_{0}^{(t)}(u) $ при разных $t$ и $u$, что функция $l_{0}^{(t)}(u) $ будет п.н. непрерывна по $(u,t) \in \mathbf{R\times}[0,1] $. Это и предполагается в дальнейшем. Под сходимостью случайных процессов по распределению в пространстве $D(\mathbb{R}) $ будем понимать сходимость этих процессов по распределению в пространстве $D[a,b] $ с топологией Скорохода для произвольных $a,b\in \mathbb{R}$ ($a<b$). Теорема 1. Если выполнены предположения A и B, то при $n\to \infty$ где символ $\stackrel{D}{\to}$ означает сходимость по распределению в пространстве $D(\mathbb{R}) $. Назовем отраженным случайным блужданием случайную последовательность $\{|S_{i}|,\,i\geqslant 0\} $. Положим
$$
\begin{equation*}
\widehat{\xi}(0,n)=2\bigl|\{i\colon 0\leqslant i\leqslant n,\,|S_{i}|=0\} \bigr|
\end{equation*}
\notag
$$
и при $k\in \mathbb{N}$
$$
\begin{equation*}
\widehat{\xi}(k,n)=\bigl|\{i\colon 0\leqslant i\leqslant n,\,|S_{i}|=k\} \bigr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Случайную величину $\widehat{\xi}(k,n) $ назовем локальным временем случайной последовательности $\{|S_{i}|,\,i\geqslant0\} $ в точке $k$ за время $n$. Введем случайный процесс $\widehat{Z}_{n}=\{\widehat{Z}_{n}(u),\,u\geqslant 0\} $, задаваемый формулой
$$
\begin{equation*}
\widehat{Z}_{n}(u)=\frac{\sigma \widehat{\xi}(\lfloor u\sigma \sqrt{n}\rfloor,n)}{\sqrt{n}}, \qquad u\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Как известно, отраженным броуновским мостом называется случайный процесс $\{|W_{0}(t)|,\,t\in [0,1] \} $. Введем его локальное время: при $u\geqslant 0$ и $t\in [0,1] $
$$
\begin{equation*}
\widehat{l}_{0}^{(t)}(u)=\lim_{\varepsilon \downarrow 0} \frac{1}{\varepsilon}\int_{0}^{t}I_{[u,u+\varepsilon ]}(|W_{0}(s) |)\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно понять, что $\widehat{l}_{0}^{(t)}(u)=l_{0}^{(t)}(u)+l_{0}^{(t)}(-u) $ при $u>0$ и $\widehat{l}_{0}^{(t)}(0)=2l_{0}^{(t)}(0) $, откуда видно, что функция $\widehat{l}_{0}^{(t) }(u) $ п.н. непрерывна по $u\geqslant 0$. Теорема 2. Если выполнены предположения A и B, то при $n\to \infty $ здесь символ $\stackrel{D}{\to}$ означает сходимость по распределению в пространстве $D[0,+\infty) $ с топологией Скорохода. Из теорем 1 и 2 получены следующие результаты для функционалов от локального времени как случайного блуждания $\{S_{i},\,i\geqslant 0\} $, так и отраженного случайного блуждания $\{|S_{i}|,\,i\geqslant 0\} $. Теорема 3. В условиях теоремы 1 для каждого $u\in \mathbb{R}$ при всех $x\geqslant 0$ Положим при $x\in \mathbb{R}$
$$
\begin{equation*}
n(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \biggl(-\frac{x^{2}}{2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что функцией распределением Колмогорова называется функция
$$
\begin{equation*}
K(x)=1+2\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}\exp(-2k^{2}x^{2}), \qquad x>0
\end{equation*}
\notag
$$
($K(x)=0$ при $x\leqslant 0$). Введем для каждого $u>0$ функцию распределения
$$
\begin{equation*}
T_{u}(x)=1-2\sqrt{2\pi}\sum_{l=1}^{\infty} \sum_{j=0}^{l-1}C_{l-1}^{j}\frac{(-1)^{l-1}x^{j}}{j!}n^{(j)}(2lu+x), \qquad x\geqslant 0
\end{equation*}
\notag
$$
($T_{u}(x)=0$ при $x<0$). Отметим, что функция $T_{u}(x) $ непрерывна при $x>0$ и $T_{u}(0)=K(u) $. Теорема 4. В условиях теоремы 2 для каждого $u>0$ при всех $x\geqslant 0$ В частности, Положим
$$
\begin{equation*}
\widehat{M}_{n}=\sup_{u\geqslant 0}\widehat{Z}_{n}(u).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 5. В условиях теоремы 2 при всех $x\geqslant 0$ Отметим, что теоремы 1 и 2 дополняют работу [3], в которой при выполнении предположений A и B установлено, что
$$
\begin{equation*}
\bigl\{Z_{n}(u),\,u\geqslant 0\mid S_{1}>0,\dots,S_{n}>0\bigr\} \stackrel{D}{\to}\bigl\{l^{+}(u),\,u\geqslant 0\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $l^{+}(u) $ – локальное время броуновской извилины $\{W^{+}(t),\,t\in [0,1] \} $ в точке $u$ за время $1$. Укажем также работы [4] и [5], в которых установлены предельные теоремы о сходимости к локальному времени остановленной броуновской извилины и локальному времени броуновского прыжка в высоту. В частном случае, когда случайное блуждание $\{S_{i},\,i\geqslant 0\} $ является симметричным простым, в работе [6] установлена сходимость одномерных распределений в теоремах 1 и 2. Отметим также, что в [7; теорема 2.3] установлена условная локальная предельная теорема, из которой следует условная интегральная предельная теорема 3.
2. Вспомогательные результатыПусть $W=\{W(t),\,t\in [0,1]\} $ – стандартное броуновское движение. Хорошо известно (см., например, [8; раздел 1]), что при $\delta \downarrow0 $
$$
\begin{equation}
\bigl\{W(t),\,t\in [0,1] \mid |W(1) |\leqslant \delta\bigr\} \stackrel{D}{\to}\bigl\{W_{0}(t),\,t\in[0,1] \bigr\},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где символ $\stackrel{D}{\to}$ означает сходимость по распределению в пространстве $D[0,1] $ с топологией Скорохода. Положим при $t\in [0,1] $
$$
\begin{equation*}
W^{(t)}=\bigl\{W(s),\,s\in [0,t]\bigr\}, \qquad W_{0}^{(t)}=\bigl\{W_{0}(s),\,s\in [0,t] \bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и при $t\in (0,1) $
$$
\begin{equation*}
n(x,t)=\frac{1}{\sqrt{1-t}}\exp \biggl(-\frac{x^{2}}{2(1-t)}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1. Пусть $t\in (0,1) $ и $f$ – измеримое неотрицательное и ограниченное отображение $D[0,t] $ с топологией Скорохода в $\mathbb{R}$, причем это отображение п.н. непрерывно на траекториях процесса $W_{0}^{(t)}$. Тогда Доказательство. Из соотношения (2.1) по теореме о непрерывном отображении (см. [9; теорема 5.1]) следует, что при $\delta \to 0$
$$
\begin{equation*}
\bigl\{f(W^{(t)})\mid |W(1) |\leqslant \delta \bigr\} \stackrel{D}{\to}f(W_{0}^{(t)}).
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда по теореме 5.4 из [9] находим, что
$$
\begin{equation}
\mathbf{E}f(W_{0}^{(t)})=\lim_{\delta \to0}\mathbf{E}\bigl(f(W^{(t)}) \mid |W(1) |\leqslant \delta\bigr).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
В силу марковского свойства броуновского движения
$$
\begin{equation}
\mathbf{E}\bigl(f(W^{(t)}) \mid |W(1) |\leqslant \delta\bigr) =\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathbf{P}^{(x)}(|W(1-t) |\leqslant \delta)}{\mathbf{P}(|W(1) |\leqslant \delta)} \,d_{x}\mathbf{E}\bigl(f(W^{(t)});W(t) \leqslant x\bigr)
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
(верхний индекс у символа $\mathbf{P}^{(x)}$ означает, что броуновское движение стартует из точки $x$). Нетрудно понять, что при $x\in \mathbb{R}$
$$
\begin{equation}
\lim_{\delta \to 0}\frac{\mathbf{P}^{(x)}(|W(1-t) |\leqslant \delta)}{\mathbf{P}(|W(1) |\leqslant \delta)} =n(x,t).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Заметим, что при всех $x\in \mathbb{R}$
$$
\begin{equation*}
\frac{\mathbf{P}^{(x)}(|W(1-t)|\leqslant \delta)}{\mathbf{P}(|W(1) |\leqslant \delta)} \leqslant \frac{\mathbf{P}(|W(1-t) |\leqslant \delta)}{\mathbf{P}(|W(1) |\leqslant \delta)},
\end{equation*}
\notag
$$
причем предел правой части при $\delta \to 0$ равен (см. (2.4) при $x=0$) $n(0,t) $. Следовательно, при всех $x\in \mathbb{R}$ и всех достаточно малых $\delta $
$$
\begin{equation*}
\frac{\mathbf{P}^{(x)}(|W(1-t)|\leqslant \delta)}{\mathbf{P}(|W(1) |\leqslant \delta)}\leqslant 2n(0,t).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому из соотношений (2.3) и (2.4) находим по теореме Лебега о мажорируемой сходимости, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{\delta \to 0}\mathbf{E}\bigl(f(W^{(t)}) \mid |W(1)|\leqslant \delta\bigr) =\int_{-\infty}^{+\infty}n(x,t)\,d_{x}\mathbf{E}\bigl(f(W^{(t)});W(t) \leqslant x\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Вспоминая соотношение (2.2), получаем утверждение леммы. Пусть $u,v\in \mathbb{R}$ и $u<v$. Положим при $t\in [0,1] $ и $x\in D[0,t] $ Этот функционал измерим и п.н. непрерывен на траекториях процесса $W_{0}^{(t)}$ (см. [9; добавление II]). Положим
$$
\begin{equation*}
\mu^{(t)}(u,v)=f(W^{(t)}), \qquad \mu_{0}^{(t)}(u,v)=f(W_{0}^{(t)}).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\mu^{(t)}(u,v) $ – время пребывания процесса $W^{(t)}$ на промежутке $[u,v] $, а $\mu_{0}^{(t)}(u,v) $ – время пребывания процесса $W_{0}^{(t)}$ на промежутке $[u,v] $, причем
$$
\begin{equation*}
l^{(t)}(u)=\lim_{\varepsilon \downarrow 0} \frac{\mu^{(t)}(u-\varepsilon,u+\varepsilon)}{2\varepsilon}, \qquad l_{0}^{(t)}(u)=\lim_{\varepsilon \downarrow 0} \frac{\mu_{0}^{(t)}(u-\varepsilon,u+\varepsilon)}{2\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2. Пусть $t\in (0,1) $, $m\in \mathbb{N}$ и $\lambda_{1},\dots,\lambda_{m}\geqslant 0$, тогда для произвольных $u_{1},\dots,u_{m}\in \mathbb{R}$ Доказательство. Положим при $\varepsilon >0$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Sigma (\varepsilon)=\sum_{k=1}^{m}\lambda_{k}\frac{\mu^{(t)}(u_{k}-\varepsilon,u_{k}+\varepsilon)}{2\varepsilon}, \qquad \Sigma=\sum_{k=1}^{m}\lambda_{k}l^{(t)}(u_{k}), \\ \Sigma_{0}(\varepsilon)=\sum_{k=1}^{m}\lambda_{k}\frac{\mu_{0}^{(t)}(u_{k}-\varepsilon,u_{k}+\varepsilon)}{2\varepsilon}, \qquad \Sigma_{0}=\sum_{k=1}^{m}\lambda_{k}l_{0}^{(t)}(u_{k}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу леммы 1
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}e^{-\Sigma_{0}(\varepsilon)} =\int_{-\infty}^{+\infty}n(x,t)\,d_{x}\mathbf{E}\bigl(e^{-\Sigma (\varepsilon)};W(t) \leqslant x\bigr) =\mathbf{E}e^{-\Sigma (\varepsilon)}\int_{-\infty}^{+\infty}n(x,t)\,d_{x}F_{\varepsilon}(x),
\end{equation*}
\notag
$$
где $F_{\varepsilon}(x) $, $x\in \mathbb{R}$, является функцией распределения, имеющей вид
$$
\begin{equation*}
F_{\varepsilon}(x)=\frac{\mathbf{E}(e^{-\Sigma (\varepsilon)};W(t) \leqslant x)}{\mathbf{E}e^{-\Sigma (\varepsilon)}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось заметить, что по теореме Лебега о мажорируемой сходимости
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lim_{\varepsilon \to 0}\mathbf{E}e^{-\Sigma_{0}(\varepsilon)} =\mathbf{E}e^{-\Sigma_{0}}, \qquad \lim_{\varepsilon\to 0}\mathbf{E}e^{-\Sigma (\varepsilon)}=\mathbf{E}e^{-\Sigma}, \\ \lim_{\varepsilon \to 0}F_{\varepsilon}(x) =\frac{\mathbf{E}(e^{-\Sigma};W(t) \leqslant x)}{\mathbf{E}e^{-\Sigma}} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и, поскольку сходимость (в основном) функций распределения влечет слабую сходимость соответствующих мер, Лемма доказана. Положим $l^{(t)}=\{l^{(t)}(u),\,u\in \mathbb{R}\} $ и $l_{0}^{(t)}=\{l_{0}^{(t) }(u),\,u\in \mathbb{R}\} $. Пусть $a,b\in \mathbb{R}$ и $a<b$. Лемма 3. При $t\in (0,1) $ для произвольного борелевского множества $A$ пространства $D[a,b] $ с топологией Скорохода Доказательство. В силу леммы 2 соотношение (2.5) справедливо для цилиндрических множеств $A$ пространства $D[a,b] $. Поскольку и левая, и правая части (2.5) являются вероятностными мерами, то из теоремы Каратеодори следует требуемое утверждение. Лемма 4. В условиях теоремы 1 при $n\to \infty $ и, следовательно, $\mathbf{P}(S_{n}=0) \neq 0$ при всех достаточно больших $n$. Доказательство. По локальной предельной теореме Гнеденко для произвольного $i\in \mathbf{Z}$ при $n\to \infty $ причем это соотношение выполняется равномерно по всем $i\in \mathbf{Z}$. При $i=0$ получаем утверждение леммы. Пусть верхний индекс $i$ у символа $\mathbf{P}^{(i)}$ означает, что случайное блуждание $\{S_{n}\} $ стартует из точки $i\in \mathbf{Z}$. Лемма 5. Пусть $t\in (0,1) $. В условиях теоремы 1 для произвольного $i\in \mathbf{Z}$ при $n\to \infty $ это соотношение выполняется равномерно по $i$, принадлежащим произвольному отрезку вида $[\sigma\sqrt{n}x,\sigma \sqrt{n}y] $, где $x,y\in \mathbb{R}$ ($x<y$). Кроме того, существует такая постоянная $L>0$, что при всех $i\in \mathbf{Z}$ Доказательство. Поскольку $\mathbf{P}^{(i)}(S_{n-\lfloor nt\rfloor}=0)=\mathbf{P}(S_{n-\lfloor nt\rfloor}=-i) $, в силу (2.6) при $n\to\infty $
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}^{(i)}(S_{n-\lfloor nt\rfloor}=0) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma \sqrt{n-\lfloor nt\rfloor}} \biggl(\exp\biggl(-\frac{i^{2}}{2\sigma^{2}(n-\lfloor nt\rfloor)}\biggr)+o(1)\biggr)
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
равномерно по $i\in \mathbf{Z}$. Так как правая часть соотношения (2.9) не превосходит $L/\sqrt{n}$ при всех $i\in \mathbf{Z}$ (здесь $L>0$ – некоторая постоянная), то получаем (2.8). Заметим, что (равномерно по $i\in \mathbf{Z}$)
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\sqrt{n(1-t)}}-\frac{1}{\sqrt{n-\lfloor nt\rfloor}}=o\biggl(\frac{1}{\sqrt{n(1-t)}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\exp \biggl(-\frac{i^{2}}{2(1-t) \sigma^{2}n}\biggr) -\exp\biggl(-\frac{i^{2}}{2\sigma^{2}(n-\lfloor nt\rfloor)}\biggr) \\ &\qquad =\exp \biggl(-\frac{i^{2}}{2(1-t) \sigma^{2}n}\biggr) \biggl(1-\exp \biggl(-\frac{i^{2}}{2\sigma^{2}n}\delta_{n}(t)\biggr)\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\delta_{n}(t)=\frac{n}{n-\lfloor nt\rfloor}-\frac{1}{1-t}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом $i^{2}|\delta_{n}(t) |/n=O(1/n) $ равномерно по $i$, принадлежащим отрезку $[\sigma\sqrt{n}x,\sigma \sqrt{n}y] $, поэтому правую часть соотношения (2.9) можно привести к виду, указанному в правой части соотношения (2.7). Это означает справедливость соотношения (2.7). Лемма доказана. 3. Доказательство теоремы 1Установим сначала сходимость конечномерных распределений. Покажем для произвольных $m\in \mathbb{N}$ и $u_{1},\dots,u_{m}\in \mathbb{R}$, что при $n\to \infty$
$$
\begin{equation}
\bigl(Z_{n}(u_{1}),\dots,Z_{n}(u_{m})\mid S_{n}=0\bigr) \stackrel{D}{\to}\bigl(l_{0}(u_{1}),\dots,l_{0}(u_{m})\bigr).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Положим $\xi (j,l,n)=|\{i\in \{l,\dots,n\} \colon S_{i}=j\}|$ при $l\leqslant n$. Для произвольного $t\in (0,1) $ запишем представление: при $u\in \mathbb{R}$ где
$$
\begin{equation*}
Z_{n}^{(t)}(u)=\frac{\sigma \xi (\lfloor u\sigma \sqrt{n}\rfloor,\lfloor nt\rfloor)}{\sqrt{n}}, \qquad \zeta_{n}^{(t)}(u)=\frac{\sigma \xi (\lfloor u\sigma \sqrt{n}\rfloor,\lfloor nt\rfloor+1,n)}{\sqrt{n}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сначала покажем, что при $\lambda_{1},\dots,\lambda_{m}\geqslant 0$
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\mathbf{E}\biggl(\exp \biggl(-\sum_{k=1}^{m}\lambda_{k}Z_{n}^{(t)}(u_{k})\biggr) \biggm| S_{n}=0\biggr) =\mathbf{E}\exp \biggl(-\sum_{k=1}^{m}\lambda_{k}l_{0}^{(t)}(u_{k})\biggr).
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\Sigma_{m}(n,t)=\sum_{k=1}^{m}\lambda_{k}Z_{n}^{(t)}(u_{k}).
\end{equation*}
\notag
$$
Для произвольного $K>0$
$$
\begin{equation}
\mathbf{E}\bigl(e^{-\Sigma_{m}(n,t)}\mid S_{n}=0\bigr)=E_{1}(n,K)+E_{2}(n,K),
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, E_{1}(n,K)=\mathbf{E}\biggl(e^{-\Sigma_{m}(n,t)};\frac{S_{\lfloor nt\rfloor}}{\sigma\sqrt{n}}\in D_{K}\biggm| S_{n}=0\biggr), \\ E_{2}(n,K)=\mathbf{E}\biggl(e^{-\Sigma_{m}(n,t)};\frac{S_{\lfloor nt\rfloor}}{\sigma\sqrt{n}}\in \overline{D_{K}}\biggm| S_{n}=0\biggr) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и $D_{K}=(-K,K] $. Заметим, что
$$
\begin{equation}
0\leqslant E_{2}(n,K) \leqslant \mathbf{P} \biggl(\frac{S_{\lfloor nt\rfloor}}{\sigma \sqrt{n}}\in \overline{D_{K}}\biggm| S_{n}=0\biggr).
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Из (3.5) по теореме Лиггетта находим, что
$$
\begin{equation*}
\limsup_{n\to \infty}E_{2}(n,K) \leqslant \mathbf{P}(W_{0}(t) \in \overline{D_{K}})
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит,
$$
\begin{equation}
\lim_{K\to \infty}\limsup_{n\to \infty}E_{2}(n,K)=0.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
По марковскому свойству
$$
\begin{equation}
E_{1}(n,K)=\sum_{-\sigma \sqrt{n}K<i\leqslant \sigma\sqrt{n}K}\mathbf{E} (e^{-\Sigma_{m}(n,t)};S_{\lfloor nt\rfloor}=i) \frac{\mathbf{P}^{(i)}(S_{n-\lfloor nt\rfloor}=0)}{\mathbf{P}(S_{n}=0)}.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Пусть $l\in \mathbb{N}$ и $-K=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{l}=K$. Положим
$$
\begin{equation*}
E_{1,j}(n)=\sum_{\sigma \sqrt{n}x_{j}<i\leqslant \sigma\sqrt{n}x_{j+1}}\mathbf{E} (e^{-\Sigma_{m}(n,t)};S_{\lfloor nt\rfloor}=i) \frac{\mathbf{P}^{(i)}(S_{n-\lfloor nt\rfloor}=0)}{\mathbf{P}(S_{n}=0)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда ввиду (3.7) В силу лемм 4 и 5 при
$$
\begin{equation}
\frac{\mathbf{P}^{(i)}(S_{n-\lfloor nt\rfloor}=0)}{\mathbf{P}(S_{n}=0)} =\frac{1}{\sqrt{1-t}}\biggl(\exp\biggl(-\frac{i^{2}}{2(1-t) \sigma^{2}n}\biggr)+o(1)\biggr)
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
равномерно по всем таким $i$, что $\sigma \sqrt{n}x_{j}<i\leqslant \sigma \sqrt{n}x_{j+1}$. Следовательно, для произвольного $\varepsilon \in (0,1) $ при $\sigma \sqrt{n}x_{j}<i\leqslant \sigma \sqrt{n}x_{j+1}$ и всех достаточно больших $n$
$$
\begin{equation}
\frac{\mathbf{P}^{(i)}(S_{n-\lfloor nt\rfloor}=0)}{\mathbf{P}(S_{n}=0)}\leqslant (1+\varepsilon) n(x_{j},t).
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Из (3.10) следует, что
$$
\begin{equation}
E_{1,j}(n) \leqslant (1+\varepsilon) n(x_{j},t) \mathbf{E}\biggl(e^{-\Sigma_{m}(n,t)};x_{j} <\frac{S_{\lfloor nt\rfloor}}{\sigma \sqrt{n}}\leqslant x_{j+1}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
В силу принципа инвариантности Донскера–Прохорова при $n\to \infty $ (здесь имеется ввиду сходимость по распределению в пространстве $D[0,1] $ с топологией Скорохода). По теореме Бородина (см. [10; гл. VII, теорема 6.1]) при $n\to \infty $ (здесь имеется ввиду сходимость по распределению в пространстве $D(\mathbb{R}) $). Несложно показать, что соотношения (3.12) и (3.13) можно объединить в одно: при $n\to \infty $ (рассматривается сходимость по распределению в пространстве $D[0,1] \times D(\mathbb{R})$). Из (3.14) вытекает, что при $n\to \infty $
$$
\begin{equation}
(Y_{n}(t),Z_{n}^{(t)})\stackrel{D}{\to}(W(t),l^{(t)})
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
(рассматривается сходимость по распределению в пространстве $\mathbb{R}\times D(\mathbb{R}) $). Положим
$$
\begin{equation*}
\Sigma_{m}(t)=\sum_{k=1}^{m}\lambda_{k}l_{0}^{(t)}(u_{k}).
\end{equation*}
\notag
$$
Из соотношения (3.15) следует, что при $n\to \infty $
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\mathbf{E}\biggl(e^{-\Sigma_{m}(n,t)};x_{j}<\frac{S_{\lfloor nt\rfloor}}{\sigma\sqrt{n}}\leqslant x_{j+1}\biggr) =\mathbf{E}\bigl(e^{-\Sigma_{m}(t)};x_{j}<W(t) \leqslant x_{j+1}\bigr).
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Из соотношений (3.11) и (3.16) находим, что
$$
\begin{equation}
\limsup_{n\to \infty}E_{1,j}(n) \leqslant (1+\varepsilon) n(x_{j},t) \mathbf{E}\bigl(e^{-\Sigma_{m}(t)};x_{j}<W(t) \leqslant x_{j+1}\bigr).
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Применяя (3.17) к соотношению (3.8), получаем, что
$$
\begin{equation}
\limsup_{n\to \infty}E_{1}(n,K) \leqslant (1+\varepsilon) \sum_{j=0}^{l-1}n(x_{j},t) \mathbf{E}\bigl(e^{-\Sigma_{m}(t)};x_{j}<W(t) \leqslant x_{j+1}\bigr).
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Сумма по $j$ в правой части соотношения (3.18) является интегральной суммой для интеграла
$$
\begin{equation*}
\int_{-K}^{K}n(x,t)\,d_{x}\mathbf{E}\bigl(e^{-\Sigma_{m}(t)};W(t) \leqslant x\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\limsup_{n\to \infty}E_{1}(n,K) \leqslant (1+\varepsilon) \int_{-K}^{K}n(x,t)\,d_{x}\mathbf{E}\bigl(e^{-\Sigma_{m}(t)};W(t) \leqslant x\bigr).
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Аналогично показывается, что
$$
\begin{equation}
\liminf_{n\to \infty}E_{1}(n,K) \geqslant (1-\varepsilon) \int_{-K}^{K}n(x,t)\,d_{x}\mathbf{E}\bigl(e^{-\Sigma_{m}(t)};W(t) \leqslant x\bigr).
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Из соотношений (3.19) и (3.20) следует, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}E_{1}(n,K) =\int_{-K}^{K}n(x,t)\,d_{x}\mathbf{E}\bigl(e^{-\Sigma_{m}(t)};W(t) \leqslant x\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит,
$$
\begin{equation}
\lim_{K\to \infty}\lim_{n\to \infty}E_{1}(n,K) =\int_{-\infty}^{\infty}n(x,t)\,d_{x}\mathbf{E}\bigl(e^{-\Sigma_{m}(t)};W(t) \leqslant x\bigr).
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Из соотношений (3.4), (3.6) и (3.21) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\mathbf{E}\bigl(e^{-\Sigma_{m}(n,t)}\mid S_{n}=0\bigr) =\int_{-\infty}^{\infty}n(x,t)\,d_{x}\mathbf{E}\bigl(e^{-\Sigma_{m}(t)};W(t) \leqslant x\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда на основании леммы 2 получаем требуемое соотношение (3.3). Положим $\widetilde{S}_{0}=0$, $\widetilde{S}_{1}=S_{n-1}-S_{n}$, $\widetilde{S}_{2}=S_{n-2}-S_{n}$, …, $\widetilde{S}_{n}=S_{0}-S_{n}=-S_{n}$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
(\widetilde{S}_{1},\dots,\widetilde{S}_{n}) \stackrel{D}{=}-(S_{1},\dots,S_{n}).
\end{equation*}
\notag
$$
Условие $\{S_{n}=0\} $ означает, что $\{\widetilde{S}_{n}=0\} $. Пусть $\widetilde{\xi}(k,m) $ при $m\in\{0,1,\dots,n\} $ означает число попаданий блуждания $\{\widetilde{S}_{i},\,0\leqslant i\leqslant m\} $ в состояние $k\in \mathbf{Z}$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\xi}(k,m)=\bigl|\{i\colon 0\leqslant i\leqslant m,\,\widetilde{S}_{i}=k\} \bigr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $S_{n}=0$, то при $m\in \{0,1,\dots,n\} $
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widetilde{\xi}(k,m) &=\bigl|\{i\colon 0\leqslant i\leqslant m,\,S_{n-i}-S_{n}=k\} \bigr| =\bigl|\{i\colon 0\leqslant i\leqslant m,\,S_{n-i}=k\} \bigr| \notag \\ &=\bigl|\{i\colon n-m\leqslant i\leqslant n,\,S_{i}=k\} \bigr| =\xi (k,n-m,n). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Положим при $u\in \mathbb{R}$
$$
\begin{equation*}
\widetilde{Z}_{n}^{(t)}(u)=\frac{\sigma \widetilde{\xi}(\lfloor u\sigma \sqrt{n}\rfloor,\lfloor nt\rfloor)}{\sqrt{n}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $S_{n}=0$, то в силу соотношения (3.22)
$$
\begin{equation}
\zeta_{n}^{(t)}(u) =\frac{\sigma \widetilde{\xi}(\lfloor u\sigma \sqrt{n}\rfloor,n-\lfloor nt\rfloor -1)}{\sqrt{n}} =\frac{\sigma \widetilde{\xi}(\lfloor u\sigma \sqrt{n}\rfloor,\lfloor n(1-t_{n}) \rfloor)}{\sqrt{n}} =\widetilde{Z}_{n}^{(1-t_{n})}(u),
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
где $t_{n}$ находится из уравнения $n-\lfloor nt\rfloor -1=\lfloor n(1-t_{n}) \rfloor $. Ясно, что $|t_{n}-t|\leqslant 1/n$. Заметим, что для фиксированного $s\in (0,1) $
$$
\begin{equation}
\bigl\{\widetilde{Z}_{n}^{(1-s)}(u) \mid \widetilde{S}_{n}=0\bigr\} \stackrel{D}{=}\{Z_{n}^{(1-s)}(u) \mid S_{n}=0\}
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
и для блуждания $\{\widetilde{S}_{i}\} $ выполнены условия теоремы 1, поэтому в силу доказанного соотношения (3.3) для произвольного $\lambda >0$ при $n\to \infty $
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\mathbf{E} \bigl(\exp (-\lambda\widetilde{Z}_{n}^{(1-s)}(u)) \mid \widetilde{S}_{n}=0\bigr) =\mathbf{E}\exp (-\lambda l_{0}^{(1-s)}(u)).
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
Пусть $\delta \in (0,t) $. Ввиду монотонности $\widetilde{Z}_{n}^{(t)}(u) $ по $t$ при всех $n\geqslant 1/\delta $
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf{E}\bigl(\exp (-\lambda \widetilde{Z}_{n}^{(1-t+\delta)}(u)) \mid\widetilde{S}_{n}=0\bigr) \leqslant \mathbf{E}\bigl(\exp (-\lambda \widetilde{Z}_{n}^{(1-t_{n})}(u)) \mid \widetilde{S}_{n}=0\bigr) \\ &\qquad\leqslant \mathbf{E}\bigl(\exp (-\lambda\widetilde{Z}_{n}^{(1-t-\delta)}(u)) \mid \widetilde{S}_{n}=0\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому (см. (3.25))
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf{E}\bigl(\exp (-\lambda l_{0}^{(1-t+\delta)}(u))\bigr) \leqslant\liminf_{n\to \infty}\mathbf{E}\bigl(\exp (-\lambda \widetilde{Z}_{n}^{(1-t_{n})}(u))\mid \widetilde{S}_{n}=0\bigr) \\ &\qquad\leqslant \limsup_{n\to \infty}\mathbf{E}\bigl(\exp (-\lambda \widetilde{Z}_{n}^{(1-t_{n})}(u))\mid \widetilde{S}_{n}=0\bigr) \leqslant \mathbf{E}\bigl(\exp (-\lambda l_{0}^{(1-t-\delta )}(u))\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к пределу при $\delta \to 0$ и учитывая непрерывность $l_{0}^{(s)}(u) $ по $s$, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\mathbf{E}\bigl(\exp (-\lambda\widetilde{Z}_{n}^{(1-t_{n})}(u)) \mid \widetilde{S}_{n}=0\bigr) =\mathbf{E}\bigl(\exp (-\lambda l_{0}^{(1-t)}(u))\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда, вспоминая (3.23), находим, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\mathbf{E}\bigl(\exp (-\lambda\zeta_{n}^{(t)}(u))\mid S_{n}=0\bigr) =\mathbf{E}\bigl(\exp (-\lambda l_{0}^{(1-t)}(u))\bigr).
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
В силу теоремы непрерывности для преобразования Лапласа это означает, что при $n\to \infty $
$$
\begin{equation}
\bigl(\zeta_{n}^{(t)}(u) \mid S_{n}=0\bigr) \stackrel{D}{\to}l_{0}^{(1-t)}(u).
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Покажем, что для произвольного $\varepsilon >0$
$$
\begin{equation}
\lim_{t\uparrow 1}\limsup_{n\to \infty}\mathbf{P}\bigl(\zeta_{n}^{(t)}(u) \geqslant \varepsilon\bigr)=0.
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
Из (3.27) по теореме Александрова (см. [9; теорема 2.1]) находим, что для произвольного $\varepsilon >0$ при $n\to \infty $
$$
\begin{equation}
\limsup_{n\to \infty}\mathbf{P}\bigl(\zeta_{n}^{(t)}(u) \geqslant \varepsilon\mid S_{n}=0\bigr) \leqslant \mathbf{P}\bigl(l_{0}^{(1-t)}(u) \geqslant \varepsilon\bigr).
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
Поскольку п.н. $l_{0}^{(1-t)}(u) \to 0$ при $t\uparrow 1$, то
$$
\begin{equation}
\lim_{t\uparrow 1}\mathbf{P}(l_{0}^{(1-t)}(u) \geqslant \varepsilon)=0.
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
Из (3.29) и (3.30) вытекает требуемое соотношение (3.28). Из соотношения (3.13) следует, что при $n\to \infty$
$$
\begin{equation}
\bigl(Z_{n}^{(t)}(u_{1}),\dots,Z_{n}^{(t)}(u_{m}) \mid S_{n}=0\bigr) \stackrel{D}{\to}\bigl(l_{0}^{(t)}(u_{1}),\dots,l_{0}^{(t)}(u_{m})\bigr).
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
В силу непрерывности $l_{0}^{(t)}(u) $ по $t$
$$
\begin{equation}
\bigl(l_{0}^{(t)}(u_{1}),\dots,l_{0}^{(t)}(u_{m})\bigr) \stackrel{D}{\to}\bigl(l_{0}^{(1)}(u_{1}),\dots,l_{0}^{(1)}(u_{m})\bigr)
\end{equation}
\tag{3.32}
$$
при $t\uparrow 1$. Ввиду соотношений (3.2) и (3.28) для каждого $k\in \{1,\dots,m\}$
$$
\begin{equation}
\lim_{t\uparrow 1}\limsup_{n\to \infty}\mathbf{P}\bigl(|Z_{n}(u_{k}) -Z_{n}^{(t)}(u_{k}) |\geqslant \varepsilon\bigr)=0.
\end{equation}
\tag{3.33}
$$
Из соотношений (3.31)–(3.33) по теореме 4.2 из [9] получаем требуемое соотношение (3.1). Зафиксируем $a,b\in \mathbb{R}$ ($a<b$). Введем модуль непрерывности для $x\in D[a,b]$: при $\delta >0$
$$
\begin{equation*}
w_{x}(\delta)=\sup_{u,v\in [a,b] \colon |u-v|\leqslant \delta}|x(u) -x(v)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрение указанного модуля непрерывности связано с применением теоремы 15.5 из [9]. Покажем, что для произвольного $\varepsilon>0$
$$
\begin{equation}
\lim_{\delta \to 0}\limsup_{n\to \infty}\mathbf{P}\bigl(w_{Z_{n}}(\delta) \geqslant \varepsilon\mid S_{n}=0\bigr)=0.
\end{equation}
\tag{3.34}
$$
Заметим (см. (3.2)), что при $t\in (0,1)$
$$
\begin{equation*}
w_{Z_{n}}(\delta) \leqslant w_{Z_{n}^{(t)}}(\delta)+w_{\zeta_{n}^{(t)}}(\delta)
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\bigl(w_{Z_{n}}(\delta) \geqslant \varepsilon\mid S_{n}=0\bigr) \leqslant\mathbf{P}\biggl(w_{Z_{n}^{(t)}}(\delta ) \geqslant \frac{\varepsilon}{2}\biggm| S_{n}=0\biggr) +\mathbf{P}\biggl(w_{\zeta_{n}^{(t)}}(\delta) \geqslant \frac{\varepsilon}{2}\biggm| S_{n}=0\biggr).
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
В силу марковского свойства случайного блуждания
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\biggl(w_{Z_{n}^{(t)}}(\delta)\geqslant \frac{\varepsilon}{2}\biggm| S_{n}=0\biggr) =\sum_{i\in \mathbf{Z}}\mathbf{P}\biggl(w_{Z_{n}^{(t)}}(\delta) \geqslant \frac{\varepsilon}{2},\,S_{\lfloor nt\rfloor}=i\biggr) \frac{\mathbf{P}^{(i)}(S_{n-\lfloor nt\rfloor}=0)}{\mathbf{P}(S_{n}=0)}.
\end{equation}
\tag{3.36}
$$
Ввиду лемм 4 и 5 при всех достаточно больших $n$ и всех $i\in\mathbf{Z}$
$$
\begin{equation}
\frac{\mathbf{P}^{(i)}(S_{n-\lfloor nt\rfloor}=0)}{\mathbf{P}(S_{n}=0)}\leqslant K,
\end{equation}
\tag{3.37}
$$
где $K>0$ – постоянная. Применяя (3.37) к соотношению (3.36), находим, что
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\biggl(w_{Z_{n}^{(t)}}(\delta) \geqslant \frac{\varepsilon}{2}\biggm| S_{n}=0\biggr) \leqslant K\mathbf{P}(w_{Z_{n}^{(t)}}(\delta) \geqslant\varepsilon).
\end{equation}
\tag{3.38}
$$
Из соотношения (3.13), учитывая, что п.н. траектории процесса $l^{(t)}$ непрерывны, получаем, что при $n\to \infty $
$$
\begin{equation*}
w_{Z_{n}^{(t)}}(\delta) \stackrel{D}{\to}w_{l^{(t)}}(\delta).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, по теореме Александрова для произвольного $\varepsilon>0$
$$
\begin{equation}
\limsup_{n\to \infty}\mathbf{P}\biggl(w_{Z_{n}^{(t)}}(\delta) \geqslant \frac{\varepsilon}{2}\biggr) \leqslant\mathbf{P}\biggl(w_{l^{(t)}}(\delta) \geqslant\frac{\varepsilon}{2}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.39}
$$
Поскольку п.н. $w_{l^{(t)}}(\delta) \to 0$ при $\delta \to 0$, то
$$
\begin{equation}
\lim_{\delta \to 0}\mathbf{P}\biggl(w_{l^{(t)}}(\delta) \geqslant \frac{\varepsilon}{2}\biggr)=0.
\end{equation}
\tag{3.40}
$$
Из соотношений (3.39) и (3.40) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\lim_{\delta \to 0}\limsup_{n\to \infty}\mathbf{P}\biggl(w_{Z_{n}^{(t)}}(\delta) \geqslant\frac{\varepsilon}{2}\biggr)=0.
\end{equation}
\tag{3.41}
$$
Из (3.38) и (3.41) находим, что
$$
\begin{equation}
\lim_{\delta \to 0}\limsup_{n\to \infty}\mathbf{P}\biggl(w_{Z_{n}^{(t)}}(\delta) \geqslant\frac{\varepsilon}{2}\biggm| S_{n}=0\biggr)=0.
\end{equation}
\tag{3.42}
$$
Если $S_{n}=0$, то $\widetilde{S}_{n}=0$ и в силу соотношения (3.23)
$$
\begin{equation}
w_{\zeta_{n}^{(t)}}(\delta)=w_{\widetilde{Z}_{n}^{(1-t_{n})}}(\delta),
\end{equation}
\tag{3.43}
$$
причем $|t_{n}-t| \leqslant 1/n$, поэтому при каждом $u\in [a,b] $
$$
\begin{equation*}
\bigl|\widetilde{\xi}(\lfloor u\sigma \sqrt{n}\rfloor,\lfloor n(1-t_{n}) \rfloor) -\widetilde{\xi} (\lfloor u\sigma \sqrt{n}\rfloor,\lfloor n(1-t) \rfloor) \bigr|\leqslant 1
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation}
|\widetilde{Z}_{n}^{(1-t_{n})}(u)-\widetilde{Z}_{n}^{(1-t)}(u) |\leqslant\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
\end{equation}
\tag{3.44}
$$
Из (3.44) вытекает, что
$$
\begin{equation}
|w_{\widetilde{Z}_{n}^{(1-t_{n})}}(\delta) -w_{\widetilde{Z}_{n}^{(1-t)}}(\delta)|\leqslant \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}.
\end{equation}
\tag{3.45}
$$
Поскольку $1-t\in(0,1) $, учитывая (3.24) и (3.42), получаем, что
$$
\begin{equation}
\lim_{\delta \to 0}\limsup_{n\to \infty }\mathbf{P}\biggl(w_{\widetilde{Z}_{n}^{(1-t)}}(\delta) \geqslant \frac{\varepsilon}{2}\biggm| \widetilde{S}_{n}=0\biggr)=0.
\end{equation}
\tag{3.46}
$$
Из соотношений (3.45) и (3.46) находим, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{\delta \to 0}\limsup_{n\to \infty}\mathbf{P}\biggl(w_{\widetilde{Z}_{n}^{(1-t_{n})}}(\delta ) \geqslant \frac{\varepsilon}{2}\biggm|\widetilde{S}_{n}=0\biggr)=0
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит (см. (3.43)),
$$
\begin{equation}
\lim_{\delta \to 0}\limsup_{n\to \infty}\mathbf{P}\biggl(w_{\zeta_{n}^{(t)}}(\delta) \geqslant \frac{\varepsilon}{2}\biggm| \widetilde{S}_{n}=0\biggr)=0.
\end{equation}
\tag{3.47}
$$
Из соотношений (3.35), (3.42) и (3.47) следует требуемое соотношение (3.34). В свою очередь, из соотношений (3.1) и (3.34) вытекает (см. [9; теорема 15.5]) утверждение теоремы. 4. Доказательство теоремы 2Заметим, что $\widehat{Z}_{n}(u)=Z_{n}(u)+Z_{n}(-u) $ при $u>0$ и $\widehat{Z}_{n}(0)=2Z_{n}(0) $. Пусть $m\in \mathbb{N}$ и $u_{1},\dots,u_{m}\in (0,+\infty) $. В силу соотношения (3.1) при $n\to \infty $
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl(Z_{n}(0),Z_{n}(u_{1}),Z_{n}(-u_{1}),\dots,Z_{n}(u_{m}),Z_{n}(-u_{m})\mid S_{n}=0\bigr) \\ &\qquad \stackrel{D}{\to}\bigl(l_{0}(0),l_{0}(u_{1}),l_{0}(-u_{1}),\dots,l_{0}(u_{m}),l_{0}(-u_{m})\bigr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl(\widehat{Z}_{n}(0),\widehat{Z}_{n}(u_{1}),\dots,\widehat{Z}_{n}(u_{m})\mid S_{n}=0\bigr) \notag \\ &\qquad \stackrel{D}{\to}\bigl(2l_{0}(0),l_{0}(u_{1})+l_{0}(-u_{1}),\dots,l_{0}(u_{m})+l_{0}(-u_{m})\bigr) =\bigl(\widehat{l}_{0}(0),\widehat{l}_{0}(u_{1}),\dots,\widehat{l}_{0}(u_{m})\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Тем самым, доказана сходимость конечномерных распределений. Положим для $c,d\in \mathbb{R}$ ($c<d$) и $x\in D[c,d]$
$$
\begin{equation*}
w_{x}(\delta;c,d)=\sup_{u,v\in [c,d] \colon |u-v|\leqslant \delta}|x(u) -x(v)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $0\leqslant a<b<+\infty $. Покажем, что для произвольного $\varepsilon >0$
$$
\begin{equation}
\lim_{\delta \to 0}\limsup_{n\to \infty}\mathbf{P}\bigl(w_{\widehat{Z}_{n}}(\delta;a,b) \geqslant \varepsilon \mid S_{n}=0\bigr)=0.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Очевидно,
$$
\begin{equation*}
w_{\widehat{Z}_{n}}(\delta;a,b) \leqslant w_{Z_{n}}(\delta;a,b)+w_{Z_{n}}(\delta;-b,-a),
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbf{P}\bigl(w_{\widehat{Z}_{n}}(\delta;a,b) \geqslant\varepsilon \mid S_{n}=0\bigr) \notag \\ &\qquad\leqslant \mathbf{P}\biggl(w_{Z_{n}}(\delta;a,b) \geqslant\frac{\varepsilon}{2}\biggm|S_{n}=0\biggr) +\mathbf{P}\biggl(w_{Z_{n}}(\delta;-b,-a) \geqslant\frac{\varepsilon}{2}\biggm| S_{n}=0\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
В силу соотношения (3.34)
$$
\begin{equation}
\lim_{\delta \to 0}\limsup_{n\to \infty}\mathbf{P}\biggl(w_{Z_{n}}(\delta;a,b) \geqslant \frac{\varepsilon}{2}\biggm| S_{n}=0\biggr)=0,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
$$
\begin{equation}
\lim_{\delta \to 0}\limsup_{n\to \infty}\mathbf{P}\biggl(w_{Z_{n}}(\delta;-b,-a) \geqslant \frac{\varepsilon}{2}\biggm| S_{n}=0\biggr)=0.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Из (4.3)–(4.5) вытекает требуемое соотношение (4.2). Из (4.1) и (4.2) следует утверждение теоремы.
5. Доказательство теоремы 3В силу теоремы 1 при $n\to\infty $
$$
\begin{equation}
\{Z_{n}(u) \mid S_{n}=0\} \stackrel{D}{\to}l_{0}^{(1)}(u).
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Положим при $x\in \mathbb{R}$ Из (5.1) следует, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\mathbf{P}\bigl(Z_{n}(u) \leqslant x\mid S_{n}=0\bigr)=F_{u}(x)
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
при всех $x$, которые являются точками непрерывности функции $F_{u}(\cdot) $. В [11; § 2] установлено, что для каждого $u\in \mathbb{R}$ при всех $x\geqslant 0$
$$
\begin{equation*}
F_{u}(x)=1-\exp \biggl(-\frac{(2|u|+x)^{2}}{2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, $F_{u}(x)=0$ при $x<0$. Функция $F_{u}(x) $ непрерывна при всех $x>0$ и, следовательно, соотношение (5.2) справедливо при всех $x>0$. По той же причине соотношение (5.2) справедливо при $x=0$ в случае, когда $u=0$. Предположим, что $u\neq 0$. Тогда в точке $x=0$ функция $F_{u}(\cdot) $ разрывна. Тем не менее, соотношение (5.2) справедливо и при $x=0$, т.е.
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\mathbf{P}(Z_{n}(u)=0\mid S_{n}=0)=1-e^{-2u^{2}}.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Докажем (5.3) при $u>0$ (случай $u<0$ рассматривается аналогично). Поскольку $\{Z_{n}(u)=0\}=\{\xi (\lfloor u\sigma \sqrt{n}\rfloor,n)=0\} $, то при $t\in (0,1) $
$$
\begin{equation}
\bigl|\mathbf{P}(Z_{n}(u)=0\mid S_{n}=0) -P_{1}(n,t) \bigr|\leqslant 1-P_{2}(n,t),
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P_{1}(n,t,u)=\mathbf{P}\bigl(\xi (\lfloor u\sigma \sqrt{n}\rfloor,\lfloor nt\rfloor)=0\mid S_{n}=0\bigr), \\ P_{2}(n,t,u)=\mathbf{P}\bigl(\xi (\lfloor u\sigma \sqrt{n}\rfloor,\lfloor nt\rfloor+1,n) =0\mid S_{n}=0\bigr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично соотношениям (3.3) и (3.26) можно показать, что соответственно
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}P_{1}(n,t,u)=\mathbf{P}\bigl(l_{0}^{(t)}(u)=0\bigr) ,
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}P_{2}(n,t,u)=\mathbf{P}\bigl(l_{0}^{(1-t)}(u)=0\bigr).
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
По лемме 3
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}(l_{0}^{(t)}(u)=0) =\int_{-\infty}^{+\infty}n(x,t)\,d_{x}\mathbf{P}\bigl(l^{(t)}(u)=0,\,W(t) \leqslant x\bigr).
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
По формуле 1.1.3.8 (1) работы [12] при $x\in \mathbb{R}$
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\bigl(l^{(t)}(u)=0,\,W(t) \leqslant x\bigr) =\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{-\infty}^{x} \biggl(\exp \biggl(-\frac{y^{2}}{2t}\biggr) -\exp \biggl(-\frac{(|y-u|+|u|)^{2}}{2t}\biggr)\biggr)\,dy.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Из соотношений (5.7) и (5.8), вспоминая определение $n(x,t) $, находим, что
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\bigl(l_{0}^{(t)}(u)=0\bigr)=I_{1}(t) -I_{2}(t,u),
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_{1}(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t(1-t)}}\int_{-\infty}^{+\infty} \exp \biggl(-\frac{1}{2}\biggl(\frac{x^{2}}{t}+\frac{x^{2}}{1-t}\biggr)\biggr)\,dx, \\ I_{2}(t,u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t(1-t)}}\int_{-\infty}^{+\infty} \exp \biggl(-\frac{1}{2}\biggl(\frac{(|x-u|+|u|)^{2}}{t}+\frac{x^{2}}{1-t}\biggr)\biggr)\,dx. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $1/t+1/(1-t)=t^{-1}(1-t)^{-1}$, то При $x\leqslant u$
$$
\begin{equation*}
\frac{(|x-u|+|u|)^{2}}{t}+\frac{x^{2}}{1-t}=\frac{(x-2u(1-t))^{2}}{t(1-t)}+4u^{2},
\end{equation*}
\notag
$$
а при $x>u$ правую часть надо заменить на $x^{2}t^{-1}(1-t)^{-1}$. Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{\sqrt{2\pi t(1-t)}}\int_{-\infty}^{u}\exp \biggl(-\frac{1}{2}\biggl(\frac{(x-2u(1-t)) ^{2}}{t(1-t)}+4u^{2}\biggr)\biggr)\,dx \\ &\qquad =e^{-2u^{2}}\int_{-\infty}^{(2t-1)u}\frac{1}{\sqrt{2\pi t(1-t)}} \exp \biggl(-\frac{y^{2}}{2t(1-t)}\biggr) \,dy \\ &\qquad =e^{-2u^{2}}\int_{-\infty}^{(2t-1) u/\sqrt{t(1-t)}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \biggl(-\frac{z^{2}}{2}\biggr) \,dz =e^{-2u^{2}}\Phi \biggl(\frac{(2t-1) u}{\sqrt{t(1-t)}}\biggr), \\ &\frac{1}{\sqrt{2\pi t(1-t)}}\int_{u}^{+\infty}\exp \biggl(-\frac{x^{2}}{2t(1-t)}\biggr) \,dx \\ &\qquad =1-\int_{-\infty}^{{u}/{\sqrt{t(1-t)}}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \biggl(-\frac{z^{2}}{2}\biggr)\,dz =1-\Phi \biggl(\frac{u}{\sqrt{t(1-t)}}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Phi (\cdot) $ – функция Лапласа. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
I_{2}(t,u)=e^{-2u^{2}}\Phi \biggl(\frac{(2t-1)u}{\sqrt{t(1-t)}}\biggr)+1 -\Phi \biggl(\frac{u}{\sqrt{t(1-t)}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда видно, что Из соотношений (5.9)–(5.12) получаем, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{t\uparrow 1}\mathbf{P}(l_{0}^{(t)}(u)=0)=1-e^{-2u^{2}}, \qquad \lim_{t\uparrow 1}\mathbf{P}(l_{0}^{(1-t)}(u)=0)=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно (см. (5.5) и (5.6)),
$$
\begin{equation}
\lim_{t\uparrow 1}\lim_{n\to \infty}P_{1}(n,t,u) =1-e^{-2u^{2}},
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
$$
\begin{equation}
\lim_{t\uparrow 1}\lim_{n\to \infty}P_{2}(n,t,u)=1.
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
Из (5.4), (5.13) и (5.14) вытекает требуемое соотношение (5.3). Теорема доказана.
6. Доказательство теоремы 4В силу теоремы 2 при $n\to \infty $
$$
\begin{equation}
\{\widehat{Z}_{n}(u) \mid S_{n}=0\} \stackrel{D}{\to}\widehat{l}_{0}^{(1)}(u).
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Положим при $x\in \mathbb{R}$
$$
\begin{equation*}
G_{u}(x)=\mathbf{P}(\widehat{l}_{0}^{(1) }(u) \leqslant x).
\end{equation*}
\notag
$$
Из (6.1) следует, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\mathbf{P}\bigl(\widehat{Z}_{n}(u) \leqslant x\mid S_{n}=0\bigr)=G_{u}(x)
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
при всех $x$, которые являются точками непрерывности функции $G_{u}(\cdot) $. В [6; соотношения (150) и (151)] установлено, что для каждого $u>0$ при всех $x\geqslant 0$ Функция $T_{u}(x) $ непрерывна при всех $x>0$ и, следовательно, соотношение (6.2) справедливо при всех $x>0 $. Из соотношений (6.2) и (6.3) вытекает соотношение (1.1) при $x>0$. Докажем (1.2). Положим $\widehat{\xi}(j,l,n)=|\{i\in \{l,\dots,n\} \} \colon |S_{i}|=j|$ при $l\leqslant n$. Заметим, что при $t\in (0,1) $
$$
\begin{equation}
\bigl|\mathbf{P}(\widehat{Z}_{n}(u)=0\mid S_{n}=0) -Q_{1}(n,t,u) \bigr| \leqslant 1-Q_{2}(n,t,u),
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Q_{1}(n,t,u)=\mathbf{P}\bigl(\widehat{\xi}(\lfloor u\sigma \sqrt{n}\rfloor,\lfloor nt\rfloor)=0\mid S_{n}=0\bigr), \\ Q_{2}(n,t,u)=\mathbf{P}\bigl(\widehat{\xi}(\lfloor u\sigma \sqrt{n}\rfloor,\lfloor nt\rfloor+1,n)=0\mid S_{n}=0\bigr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widehat{\xi}(\lfloor u\sigma \sqrt{n}\rfloor,\lfloor nt\rfloor) =\xi (\lfloor u\sigma\sqrt{n}\rfloor,\lfloor nt\rfloor) +\xi (-\lfloor u\sigma \sqrt{n}\rfloor,\lfloor nt\rfloor), \\ \widehat{\xi}(\lfloor u\sigma \sqrt{n}\rfloor,\lfloor nt\rfloor+1,n) =\xi (\lfloor u\sigma\sqrt{n}\rfloor,\lfloor nt\rfloor+1,n) +\xi (-\lfloor u\sigma \sqrt{n}\rfloor,\lfloor nt\rfloor+1,n), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
можно показать (см. вывод соотношений (3.3) и (3.26)), что соответственно
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}Q_{1}(n,t,u)=\mathbf{P}\bigl(l_{0}^{(t)}(u)+l_{0}^{(t)}(-u)=0\bigr),
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}Q_{2}(n,t,u)=\mathbf{P}\bigl(l_{0}^{(1-t)}(u)+l_{0}^{(1-t)}(-u)=0\bigr).
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
Очевидно,
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\bigl(l_{0}^{(t)}(u)+l_{0}^{(t)}(-u)=0\bigr) =\mathbf{P}\bigl(l_{0}^{(t)}(u)=0,\,l_{0}^{(t)}(-u)=0\bigr).
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\bigl(l_{0}^{(t)}(u)=0,\,l_{0}^{(t)}(-u)=0\bigr) =\mathbf{P}\Bigl(\sup_{0\leqslant s\leqslant t}|W_{0}(s) |\leqslant u\Bigr).
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
Из соотношений (6.7) и (6.8) находим, что
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\bigl(l_{0}^{(t)}(u)+l_{0}^{(t)}(-u)=0\bigr) =\mathbf{P}\Bigl(\sup_{0\leqslant s\leqslant t}|W_{0}(s) |\leqslant u\Bigr).
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
Траектории броуновского моста п.н. непрерывны и $W_{0}(1)=0$ п.н., поэтому нетрудно показать, что
$$
\begin{equation}
\lim_{t\uparrow 1}\mathbf{P}\Bigl(\sup_{0\leqslant s\leqslant t}| W_{0}(s) |\leqslant u\Bigr) =\mathbf{P}\Bigl(\sup_{0\leqslant s\leqslant 1}|W_{0}(s) |\leqslant u\Bigr).
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
Известно (см. [9; гл. 2, § 11]), что
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\Bigl(\sup_{0\leqslant s\leqslant 1}|W_{0}(s)|\leqslant u\Bigr)=K(u).
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
Из соотношений (6.9)–(6.11) следует, что
$$
\begin{equation}
\lim_{t\uparrow 1}\mathbf{P}\bigl(l_{0}^{(t)}(u) +l_{0}^{(t)}(-u)=0\bigr)=K(u).
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
Применяя к (6.5) соотношение (6.12), находим, что
$$
\begin{equation}
\lim_{t\uparrow 1}\lim_{n\to \infty}Q_{1}(n,t,u)=K(u).
\end{equation}
\tag{6.13}
$$
Траектории броуновского моста п.н. непрерывны и $W_{0}(0)=0$ п.н., поэтому
$$
\begin{equation}
\lim_{t\downarrow 0}\mathbf{P}\Bigl(\sup_{0\leqslant s\leqslant t}|W_{0}(s) |\leqslant u\Bigr)=1.
\end{equation}
\tag{6.14}
$$
Из (6.9) и (6.14) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\lim_{t\downarrow 0}\mathbf{P}\bigl(l_{0}^{(t)}(u)+l_{0}^{(t)}(-u)=0\bigr)=1.
\end{equation}
\tag{6.15}
$$
Применяя к (6.6) соотношение (6.15), получаем, что
$$
\begin{equation}
\lim_{t\uparrow 1}\lim_{n\to \infty}Q_{2}(n,t,u)=1.
\end{equation}
\tag{6.16}
$$
Наконец, из соотношений (6.4), (6.13) и (6.16) следует требуемое соотношение (1.2). Теорема доказана.
7. Доказательство теоремы 5В силу теоремы 2 при $n\to \infty $
$$
\begin{equation*}
\Bigl(\sup_{u\geqslant 0}\widehat{Z}_{n}(u)\mid S_{n}=0\Bigr) \stackrel{D}{\to}\sup_{u\geqslant 0}\widehat{l}_{0}^{(1)}(u).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\mathbf{P}\Bigl(\sup_{u\geqslant0}\widehat{Z}_{n}(u) \leqslant x\mid S_{n}=0\Bigr) =\mathbf{P}\Bigl(\sup_{u\geqslant 0}\widehat{l}_{0}^{(1)}(u) \leqslant x\Bigr)
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
при всех $x\geqslant 0$, которые являются точками непрерывности правой части. Известно (см., например, [13; раздел 5]), что
$$
\begin{equation}
\sup_{u\geqslant 0}\widehat{l}_{0}^{(1)}(u)\stackrel{D}{=}4\sup_{t\in [0,1]}|W_{0}(t) |.
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
Из соотношений (6.11) и (7.2) находим, что при $x\geqslant 0$
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\Bigl(\sup_{u\geqslant 0}\widehat{l}_{0}^{(1)}(u) \leqslant x\Bigr)=K\biggl(\frac{x}{4}\biggr).
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
Поскольку правая часть соотношения (7.3) непрерывна, то (7.1) выполняется при всех $x\geqslant 0$. Из (7.1) и (7.3) следует утверждение теоремы 5. Автор признателен рецензентам за внимательное чтение и полезные замечания.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Afa24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|