| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Об оценке неоднородной суммы Клоостермана методом Карацубы Н. К. Семенова Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Английская версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624090128 
Реферативные базы данных:
 1. Введение. Формулировка основных результатовНеполной суммой Клоостермана называется тригонометрическая сумма вида
$$
\begin{equation}
S(q, x; a, b)=S(x)=\sum_{\substack{\nu\leqslant x\\ (\nu, q)=1}} \exp \biggl(2\pi i \frac{a\overline{\nu}+b\nu}{q}\biggr),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $x,q,a,b$ – целые числа, $(a, q)=1$, $1<x<q$, а через $\overline{\nu}$ обозначается вычет, обратный к $\nu$ по модулю $q$. В случае, если $x\geqslant q^{1/2+ \varepsilon}$, $\varepsilon>0$, нетривиальная оценка таких сумм следует из классических результатов Вейля [1]. Для $x\leqslant \sqrt{q}$ в 1990-х гг. Карацубой [2], [3] был разработан принципиально новый метод, позволяющий получать нетривиальные оценки неполных сумм Клоостермана уже при $x\geqslant q^{\varepsilon}$, где $\varepsilon>0$ – сколь угодно малое фиксированное число. В основе метода лежит лемма о числе решений симметричного сравнения с обратными величинами, позволяющая оценивать двойные суммы Клоостермана вида
$$
\begin{equation}
W=\sum_{X<p\leqslant X_1} \sum_{Y< r\leqslant Y_1} \exp \biggl(2\pi i \frac{a\overline{pr}+bpr}{q}\biggr),
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $p,r$ – простые числа, $X_1\leqslant 2X$, $Y_1\leqslant 2Y$. С помощью оценки таких сумм Карацубой [3] была получена первая нетривиальная оценка (1.1) в случае $ q^{\varepsilon}\leqslant x\leqslant \sqrt{q}$, а именно,
$$
\begin{equation*}
\biggl| \sum_{\substack{\nu\leqslant x\\ (\nu, q)=1}}\exp\biggl(2\pi i \frac{a\overline{\nu}+b \nu}{q}\biggr)\biggr| \ll x \Delta, \qquad \Delta=(\ln q)^{-c}, \quad c=c(\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Постоянная $c$ зависела лишь от $\varepsilon$ и была очень маленькой. Дальнейшее развитие метод получил в работах Королёва [4]–[9], Бургейна и Гараева [10]. В случае простого модуля $q$ наилучшая в настоящее время оценка (по величине понижающего множителя $\Delta$) так называемой ”неоднородной” суммы (т.е. отвечающей условию $a, b \not\equiv 0 \ (\operatorname{mod}q)$) представлена в следующей теореме. Теорема 1 (Королёв, 2016, [6]). Пусть $q\geqslant q_0$ – достаточно большое простое число, $(ab, q)=1$, и пусть Оценка неполной суммы Клоостермана с помощью метода Карацубы и его модификаций следует общей схеме. Область суммирования разбивается на два множества: $A$ и $B$. Множество $A$ подбирается таким, чтобы все содержащиеся в нем числа имели хотя бы по одному простому делителю $p$ и $r$ в каждом из интервалов $X<p\leqslant X_1$, $Y<r\leqslant Y_1$ специального вида. Соответственно, оценка суммы по $A$ сводится к оценкам двойных сумм вида (1.2). Числа, попавшие во множество $B$, таких простых делителей не имеют, и сумма по $B$ оценивается тривиально – величиной $|B|$. Особенностью оценки суммы (1.2) является то, что понижающий множитель в ней тем лучше, чем больше величины $X$ и $Y$. ”Качество” оценки суммы по $A$ определяется в конечном итоге понижением, которое дает оценка суммы (1.2) с наименьшими возможными $X$ и $Y$, возникающими при построении множества $A$. Наблюдение, позволившее получить новую оценку суммы $S(x)$, состоит в том, что числа $\nu$, $1\leqslant \nu\leqslant x$, из множества $A$, у которых имеются простые делители $p$ и $r$, отвечающие лишь небольшим $X$ и $Y$, встречаются крайне редко и их целесообразнее относить ко множеству $B$ (см. далее шаг 4 доказательства). Все прочие $\nu$ таковы, что хотя бы один из простых делителей $p$ и $r$ у них достаточно велик. Это и приводит в итоге к выигрышу в оценке суммы по множеству $A$. Основным результатом является следующая теорема. Теорема 2. Пусть $q\geqslant q_0$ – достаточно большое простое число, $(ab, q)=1$, и пусть Замечание 1. В частном случае $x=q^\varepsilon$, где $\varepsilon>0$ – сколь угодно малое фиксированное число, понижающий множитель теоремы принимает вид 2. Вспомогательные утвержденияВведем ряд обозначений, необходимых для дальнейшего:
Лемма 1. Пусть $\mathcal{P} \subset (1, x]$ – некоторое подмножество простых чисел. Обозначим за $N(x; \mathcal{P})$ количество чисел $\nu\leqslant x$, не имеющих простых делителей из $\mathcal{P}$. Тогда где $c>0$ – абсолютная постоянная. Это есть теорема 2.2 из [11; гл. 2, п. 5]. Лемма 2. Пусть $q$ – простое число, $k\geqslant 2$ и $s\geqslant 2$ – целые числа и $ k<P<P_1\leqslant 2P$, $s<R<R_1\leqslant 2R$. Пусть далее $\alpha(p)$, $\beta(r)$ – произвольные арифметические функции такие, что $|\alpha(p)|\leqslant 1$, $|\beta(r)|\leqslant 1$. Тогда для суммы справедлива оценка $W \ll PR \Delta$, где Лемма 2 есть следствие леммы 7 из [12]. 3. Доказательство основного утвержденияШаг 1. Положим $H=\exp (2 \sqrt[4]{\ln x})$. Отнесем к $S_1$ те слагаемые $S(x)$, что отвечают значениям $\nu\leqslant x$, $\nu=f^2 d$, где $f>H$, $d$ – бесквадратное число. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |S_1| &\leqslant \sum_{\substack{\nu\leqslant x\\ \nu=f^2 d,\,f>H}}1=\sum_{H< f\leqslant x} \sum_{\substack{\nu\leqslant x\\ \nu=f^2 d}}{1}=\sum_{H< f\leqslant \sqrt{x}} \sum_{1\leqslant d\leqslant x f^{-2}}1 \\ &\leqslant \sum_{f>H} \frac{x}{f^2}\leqslant \frac{2x}{H} \ll x \exp \bigl(-2 \sqrt[4]{\ln x}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что оставшиеся числа $\nu$ будут иметь вид $ \nu=f^2d$, где $f\leqslant H$, $d$ – бесквадратное число. Положим
$$
\begin{equation*}
l_1=\biggl[ \frac{\ln q} {\ln x}\biggr], \qquad n_1=\biggl[ c_1 \frac{(\ln q)^{3/7}}{(\ln x)^{1/7} (\ln \ln q)^{2/7}}\biggr], \qquad \delta=\frac{1}{4n_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Точное значение $c_1$ выберем далее так, чтобы выполнялись неравенства Для этого, в свою очередь, достаточно потребовать выполнения неравенства
$$
\begin{equation*}
3 \frac{\ln q}{ \ln x}\leqslant \frac{c_1}{2} \frac{(\ln q)^{3/7}}{(\ln x)^{1/7} (\ln \ln q)^{2/7}},
\end{equation*}
\notag
$$
или, что то же, неравенства
$$
\begin{equation*}
\ln x\geqslant \biggl(\frac{6}{c_1} \biggr)^{7/6} (\ln q)^{2/3} (\ln \ln q)^{1/3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это условие будет выполнено, если $c_1\geqslant 6c_0^{-6/7}$. Для целого $k$, $l_1\leqslant k\leqslant n_1$, положим
$$
\begin{equation*}
X_k=q^{(1-\delta)/(2k)}, \qquad Y_k=q^{(1+\delta)/(2k)}, \qquad X=X_{n_1}, \qquad Y=Y_{l_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим за $I$ множество простых чисел из объединения промежутков $(Y_{k}, X_{k-1}]$, $l_1< k\leqslant n_1$. Шаг 2. Отнесем к $S_2$ те из оставшихся слагаемых $S(x)$, что отвечают значениям $\nu$, не имеющим простых делителей из $I$. Согласно лемме 1
$$
\begin{equation*}
|S_2|\leqslant N(x; I) \ll x \prod_{p \in I} \biggl(1-\frac{1}{p} \biggr) \ll x {\prod_{X<p\leqslant Y} \biggl(1-\frac{1}{p} \biggr)}{\prod_{l_1\leqslant k\leqslant n_1} \prod_{p \in (X_k, Y_k]} \biggl(1-\frac{1}{p} \biggr)^{-1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно формуле Мертенса
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \prod_{p \in (X_k, Y_k]} \biggl(1-\frac{1}{p} \biggr) &=\frac{\ln X_k}{\ln Y_k} \biggl(1+ O\biggl(\exp\biggl(-m_0 \sqrt{\frac{\ln q}k}\biggr)\biggr)\biggr) \\ &=\frac{1-\delta}{1+\delta} \biggl(1+O\bigl(\exp(-m_0 \sqrt[4]{\ln q})\bigr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\prod_{l_1\leqslant k\leqslant n_1} \prod_{p \in (X_k, Y_k]} \biggl(1-\frac{1}{p} \biggr)=\biggl( \frac{1-\delta}{1+\delta} \biggr)^{n_1-l_1+1} \bigl(1+O\bigl(n_1 \exp(-m_1 \sqrt[4]{\ln q})\bigr)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
N(x; I) \ll x \frac{\ln X}{\ln Y}\biggl(\frac{1+\delta}{1-\delta} \biggr)^{n_1} \bigl(1+ O\bigl(n_1 \exp(-m_2 \sqrt[4]{\ln q})\bigr)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl(\frac{1-\delta}{1+\delta} \biggr)^{n_1}=\biggl(1+\frac{2}{4n_1-1}\biggr)^{n_1} \ll 1, \\ n_1 \exp\bigl(-m_2 \sqrt[4]{\ln q}\bigr) \ll \sqrt{\ln q}\exp\bigl(-m_2 \sqrt[4]{\ln q}\bigr) \ll 1, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
оценка $S_2$ принимает вид
$$
\begin{equation*}
S_2 \ll N(x;I) \ll x \frac{\ln X}{\ln Y} \ll x \frac{l_1}{n_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, пусть
$$
\begin{equation*}
l_2=5n_1, \qquad n_2=\biggl[ c_2 \frac{(\ln x)^{5/7}}{(\ln q)^{1/7} (\ln\ln q)^{4/7}}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Точное значение $c_2$ выберем далее так, чтобы выполнялось неравенство $ 3 l_2\leqslant n_2$. Для этого, в свою очередь, достаточно потребовать выполнения неравенства
$$
\begin{equation*}
\frac{15 c_1(\ln q)^{3/7}}{(\ln x)^{1/7} (\ln\ln q)^{2/7}}\leqslant \frac{c_2}{2} \frac{(\ln x)^{5/7}}{(\ln q)^{1/7} (\ln\ln q)^{4/7}},
\end{equation*}
\notag
$$
или, что то же, неравенства
$$
\begin{equation*}
\ln x\geqslant \biggl(\frac{30c_1}{c_2}\biggr)^{7/6} (\ln q)^{2/3} (\ln\ln q)^{1/3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это условие будет выполнено в случае $c_2\geqslant 30c_1 c_0^{-6/7}$. Положим
$$
\begin{equation*}
U= q^{1/(2n_2)}, \qquad V=q^{1/(2l_2)}, \qquad J=(U, V].
\end{equation*}
\notag
$$
Шаг 3. Отнесем к $S_3$ те из оставшихся $\nu\leqslant x$, которые не имеют простых делителей из промежутка $J$. Оценим такую сумму тривиально. Согласно лемме 1
$$
\begin{equation*}
|S_3|\leqslant N(x; J) \ll x \prod_{p \in J} \biggl(1-\frac{1}{p}\biggr) \ll x \frac{\ln U}{\ln V} \ll x\frac{l_2}{n_2} \ll x\frac{n_1}{n_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Все оставшиеся $\nu\leqslant x$ будут иметь хотя бы один простой делитель $p$, принадлежащий промежутку $I$, и хотя бы один простой делитель $r$, принадлежащий промежутку $J$. Введем параметр
$$
\begin{equation*}
\Lambda=c_3 \frac{(\ln x)^{3/7}}{ (\ln q)^{2/7} (\ln\ln q)^{1/7}}, \qquad \text{где} \quad c_3>\frac{1}{c_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Точное значение $c_3$ выберем позднее, с условием, чтобы выполнялись неравенства $ U<U^{\Lambda}<V$ и $X<X^{\Lambda}<Y$. Так как неравенство $\Lambda>1$ следует из определения $\Lambda$ и условия теоремы, то $ U<U^{\Lambda}$ и $ X<X^{\Lambda}$. Для того, чтобы было верно неравенство $ X^{\Lambda}<Y$, достаточно выполнения $\Lambda/n_1<1/l_1$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\Lambda}{n_1}<\frac{c_3 (\ln x)^{3/7}}{(\ln q)^{2/7} (\ln\ln q)^{1/7}} \frac{2 (\ln x)^{1/7} (\ln \ln q)^{2/7}}{c_1 (\ln q)^{3/7}}=\frac{2c_3}{c_1} \frac{(\ln x)^{4/7} (\ln \ln q)^{1/7}}{(\ln q)^{5/7}}, \\ l_1=\biggl[ \frac{\ln q} {\ln x}\biggr]\leqslant \frac{\ln q}{\ln x}, \qquad \frac{1}{l_1}\geqslant \frac{\ln x}{\ln q}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому достаточно выполнения неравенства
$$
\begin{equation*}
\frac{2c_3}{c_1} \frac{(\ln x)^{4/7} (\ln \ln q)^{1/7}}{(\ln q)^{5/7}}\leqslant \frac{\ln x}{\ln q},
\end{equation*}
\notag
$$
или, что то же, неравенства
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{2c_3}{c_1}\biggr)^{7/3} (\ln q)^{2/3} (\ln\ln q)^{1/3}\leqslant \ln x.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее неравенство будет выполнено в случае $c_3\leqslant (1/2) c_1 c_0^{3/7}$. Аналогично, для того чтобы выполнялось неравенство $U^{\Lambda}<V$, достаточно потребовать выполнения неравенства $\Lambda/n_2<1/l_2$. Действительно, так как
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\Lambda}{n_2}<\frac{c_3 (\ln x)^{3/7}}{(\ln q)^{2/7} (\ln\ln q)^{1/7}} \frac{2 (\ln q)^{1/7} (\ln \ln q)^{4/7}}{c_2 (\ln x)^{5/7}} =\frac{2c_3}{c_2} \frac{(\ln x)^{4/7} (\ln \ln q)^{1/7}}{(\ln q)^{5/7}}, \\ l_2=5n_1=5 \biggl[ c_1 \frac{(\ln q)^{3/7}}{(\ln x)^{1/7} (\ln \ln q)^{2/7}}\biggr]\leqslant 5 c_1 \frac{(\ln q)^{3/7}}{(\ln x)^{1/7} (\ln \ln q)^{2/7}}, \\ \frac{1}{l_2}\geqslant \frac{1}{5c_1} \frac{(\ln x)^{1/7} (\ln \ln q)^{2/7}}{(\ln q)^{3/7}}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
достаточно проверить
$$
\begin{equation*}
\frac{2c_3}{c_2} \frac{(\ln x)^{4/7} (\ln \ln q)^{1/7}}{(\ln q)^{5/7}}\leqslant \frac{1}{5c_1} \frac{(\ln x)^{1/7} (\ln \ln q)^{2/7}}{(\ln q)^{3/7}},
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{10c_3 c_1}{c_2}\biggr)^{7/3} (\ln q)^{2/3} (\ln\ln q)^{1/3}\leqslant \ln x.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее же неравенство будет выполнено в случае $c_0^{3/7}\geqslant 10 c_3 c_1/c_2$. Шаг 4. Отнесем к $S_4$ те из оставшихся $\nu\leqslant x$, которые не имеют простых делителей из объединения промежутков $(U^{\Lambda}, V]$ и $(X^{\Lambda}, Y]\cap I$. Оценим такую сумму тривиально. Подобно тому, как это делалось на шагах 2 и 3, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |S_4| &\ll x \prod_{r \in(U^{\Lambda}, V] } \biggl(1-\frac{1}{r} \biggr)\prod_{p \in (X^{\Lambda}, Y]\cap I} \biggl(1-\frac{1}{p}\biggr) \\ &\ll x \frac{\ln (U ^{\Lambda})}{\ln V} \frac{\ln (X^{\Lambda})}{\ln Y} \ll x \Lambda^2 \frac{l_1}{n_1} \frac{l_2}{n_2} \ll x \Lambda^2 \frac{l_1}{n_2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Все оставшиеся $\nu$ будут иметь хотя бы один простой делитель $r$, принадлежащий $(U^{\Lambda}, V]$, или простой делитель $p$, принадлежащий $(X^{\Lambda}, Y] \cap I$. Таким образом, оставшиеся $\nu\leqslant x$ можно отнести к одной из следующих совокупностей:
Обозначим за $S_a$ и $S_b$ суммы по данным совокупностям. Оценим $S_a$. Обозначим за $S(\lambda, \mu)$ сумму слагаемых $S_a$, отвечающих числам $\nu\leqslant x$, у которых сомножители $u$ и $v$ являются, соответственно, произведениями $\lambda$ и $\mu$ простых чисел. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
S_{a}=\sum_{\mu\geqslant 1} \sum_{\lambda\geqslant 1} S(\lambda, \mu).
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем $\lambda$ и $\mu$ и оценим сумму $S(\lambda, \mu)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, | S(\lambda, \mu)| &=\biggl| \sum_{f^2uvw\leqslant x} e_q(a\overline{f^2uvw}+ bf^2uvw)\biggr| \\ &\leqslant \sum_{f\leqslant H} \sum_{w} \biggl| \sum_{uv\leqslant x (f^2w)^{-1}} e_q(a\overline{f^2uvw}+bf^2uvw) \biggr|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $w$ пробегает возрастающую последовательность чисел, не имеющих простых делителей из $A$ и $I$ и $w\leqslant x f^{-2} X^{-\mu} U^{-\lambda \Lambda}$. Зафиксируем $w$ и рассмотрим внутреннюю сумму $S(w;\lambda, \mu)$:
$$
\begin{equation}
S(w; \lambda, \mu)=\sum_{uv\leqslant x (f^2w)^{-1}} e_q(a\overline{f^2uvw}+bf^2uvw) =\sum_{uv\leqslant x (f^2w)^{-1}} e_q(a_1\overline{uv}+ b_1uv),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $a_1 \equiv a\overline{f^2w} \ (\operatorname{mod}q)$, $b_1 \equiv bf^2 w \ (\operatorname{mod}q)$. Сравним (3.1) с суммой
$$
\begin{equation*}
S'(w;\lambda, \mu)=\frac{1}{\lambda\mu} \sum_{u_1} \sum_{v_1} \sum_{p} \sum_{r} e_q (a_1 \overline{u_1rv_1p}+b_1u_1rv_1p),
\end{equation*}
\notag
$$
где $u_1$ и $v_1$ пробегают возрастающие последовательности чисел, которые являются произведениями $(\lambda-1)$ и $(\mu-1)$ различных простых сомножителей из $A$ и $I$ соответственно, $r$ принимает значения простых чисел из $A$, $p$ принимает значения простых чисел из $I$, и, кроме того, выполнено условие $u_1pv_1r\leqslant x(f^2 w)^{-1}$. Числа $u$ и $v$, отвечающие слагаемым из $S(w; \lambda, \mu)$, можно представить в виде $u=u_1r$ и $v=v_1p$, где $(u_1,r)=1$ и $(v_1,p)=1$, ровно $\lambda$ и $\mu$ способами соответственно. Следовательно, любое слагаемое из (3.1) встретится в $S'(w; \lambda, \mu)$ ровно $\lambda\mu$ раз и потому войдет в $S'(w; \lambda, \mu)$ с коэффициентом единица. Кроме того, в сумме $S'(w;\lambda, \mu)$ будут слагаемые, для которых не выполнено хотя бы одно из условий $(u_1, r)=1$ или $ (v_1, p)=1$. Положим для таких случаев $u_1=u_2r$ и $v_1=v_2p$ соответственно и оценим вклад таких слагаемых тривиально, т.е. в случае когда $(u_1, r)\neq1$ и $ (v_1, p)=1$ величиной
$$
\begin{equation*}
S'_1=\sum_{r^2u_2pv_1\leqslant x(f^2w)^{-1}} 1 \leqslant \sum_{r \in A} \sum_{u_2v_1p\leqslant x(f^2r^2w)^{-1}} 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $d=v_1u_1p$. Число представлений целого $d$, имеющего ровно $\mu$ простых делителей из $I$ (не обязательно различных), не превосходит $\mu$, поэтому
$$
\begin{equation*}
S'_1 \leqslant \mu \sum_{r \in A} \sum_{d\leqslant x(f^2r^2w)^{-1}} 1 \leqslant \mu \sum_{r \in A} \frac{x}{f^2 r^2 w} \leqslant \frac{x\mu}{f^2 w} \sum_{r\geqslant U^{\Lambda}} \frac{1}{r^2} \ll \frac{x \mu}{f^2 w U}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, в случах, когда $(u_1, r)=1$, $ (v_1, p) \neq 1$ и $(u_1, r)\neq 1$, $ (v_1, p) \neq 1$, получим, соответственно,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S'_2=\sum_{p^2v_2ru_1\leqslant x(f^2w)^{-1}} 1 \ll \frac{x\lambda}{f^2 w X}\ll \frac{x\lambda}{f^2 w U}, \\ S'_3=\sum_{p^2v_2r^2u_2\leqslant x(f^2w)^{-1}} 1 \ll \frac{x\lambda \mu}{f^2 w X U} \ll \frac{x\lambda \mu}{f^2 w U}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |S(w;\lambda,\mu)| &\leqslant \frac{1}{\lambda\mu}\biggl| \sum_{u_1, v_1} \sum_{p,r} e_q(a_1 \overline{u_1rv_1p}+b_1u_1rv_1p)\biggr|+O\biggl(\frac{x}{f^2 w U} \biggr) \\ &\leqslant \frac{1}{\lambda \mu} \sum_{u_1, v_1}| \widetilde{S}(u_1, v_1)| +O\biggl( \frac{x}{f^2 w U} \biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde{S}(u_1, v_1)=\widetilde{S} =\sum_{\substack{ p,r\\ pr\leqslant Z }} e_q(a_2 \overline{p} \overline{r}+b_2 p r), \\ a_2 \equiv a_1 \overline{u_1v_1}\ (\operatorname{mod}q), \qquad b_2 \equiv b_1{u_1v_1}\ (\operatorname{mod}q), \qquad Z= \frac{x}{f^2 w u_1 v_1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем $u_1$, $v_1$ и оценим $\widetilde{S}$. Разобьем области изменения $p$ и $r$ на промежутки вида $R<r\leqslant R_1\leqslant 2R$, $P<p\leqslant P_1\leqslant 2P$, причем будем выбирать $P,P_1,R,R_1$ таким образом, чтобы всякий промежуток $(R, R_1]$ целиком содержался в некотором промежутке $(q^{1/(2s)}, q^{1/(2s-2)}] \subset A$, а всякий промежуток $(P, P_1]$ содержался в промежутке $(Y_k, X_{k-1}]$, $l_1<k\leqslant n_1$. Таким образом, $\widetilde{S}$ разбивается на не более чем $(\ln V) (\ln Y) \ll (\ln q)^2 (l_1 n_1)^{-1}$ сумм вида
$$
\begin{equation*}
S(P, R)=\sum_{P<p\leqslant P_1 }\sum_{\substack{ R<r\leqslant R_1\\ pr\leqslant Z }} e_q(a_2 \overline{p} \overline{r}+b_2 p r).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что так как и в то же время то
$$
\begin{equation*}
q^{\Lambda/(2n_2)}<q^{1/(2s-2)}, \qquad q^{1/(2s)}<q^{1/(2l_2)},
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
l_2<s<\frac{n_2} {\Lambda}+1\leqslant \frac{2n_2}{\Lambda}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим одну из таких сумм $S(P, R)$. Нетрудно видеть, что $P<p\leqslant P_2$, $R<r\leqslant R_2$, где $P_2=\min(P_1, Z/R)$ и $R_2=\min(R_1, Z/p)$, и, таким образом, $S(P, R)$ представляется в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S(P, R) &=\sum_{P<p\leqslant P_2 }\sum_{\substack{ R<r\leqslant R_2 }} e_q(a_2 \overline{p} \overline{r}+b_2 p r) \\ &=\sum_{P<p\leqslant P_2} \sum_{R<r\leqslant R_1} \biggl(\sum_{R<\xi\leqslant R_2} \frac{1}{q} \sum_{|d|<q/2} e_q(d(r-\xi)) \biggr) e_q(a_2 \overline{pr}+b_2 pr) \\ &=\sum_{|d|<q/2} \frac{1}{|d|+1} \sum_{P<p\leqslant P_2} \sum_{R<r\leqslant R_1} \biggl(\frac{|d|+1}{q} \sum_{R<\xi\leqslant R_2} e_q(-d\xi) \biggr) e_q(dr) e_q(a_2 \overline{pr}+b_2 pr) \\ &=\sum_{|d|<q/2} \frac{1}{|d|+1} \sum_{P<p\leqslant P_2} \sum_{R<r\leqslant R_1} \alpha(p) \beta(r) e_q(a_2 \overline{pr}+b_2 pr)=\sum_{|d|<q/2} \frac{T(d)}{|d|+1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, T(d)=\sum_{P<p\leqslant P_2} \sum_{R<r\leqslant R_1} \alpha(p) \beta(r) e_q(a_2 \overline{pr}+b_2 pr), \\ \alpha(p)=\frac{|d|+1}{q} \sum_{R<\xi\leqslant R_2} e_q(-d\xi), \qquad \beta(r)=e_q(dr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $|\alpha(p)|\leqslant 1$, $|\beta(r)|=1$. Согласно лемме 2 $T(d) \ll PR\Delta'$, где
$$
\begin{equation*}
\Delta'=k^{1/(2s)} s^{1/(2k)} s^{1/(2ks)} \biggl(R \biggl(\frac{\sqrt{q}}{P^{k}}+ \frac{P^{k-1}}{\sqrt{q}} \biggr) \biggl(\frac{\sqrt{q}}{R^{s}}+\frac{R^{s-1}}{\sqrt{q}} \biggr)\biggr)^{1/(2ks)}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу условий на $P$ и $R$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\sqrt{q}}{P^{k}}\leqslant \frac{q^{1/2}}{q^{(1+\delta)/2}}=q^{-\delta/2}, \qquad \frac{\sqrt{q}}{R^{s}}\leqslant 1, \\ \frac{P^{k-1}}{\sqrt{q}}\leqslant \frac{q^{(1-\delta)/2}}{q^{1/2}}=q^{-\delta/2}, \qquad \frac{R^{s-1}}{\sqrt{q}}\leqslant 1; \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
R \biggl(\frac{\sqrt{q}}{P^{k}}+\frac{P^{k-1}}{\sqrt{q}} \biggr) \biggl(\frac{\sqrt{q}}{R^{s}}+\frac{R^{s-1}}{\sqrt{q}} \biggr) \ll q^{1/(2l_2)} q^{-\delta/2} \ll q^{1/(10n_1)-1/(8n_1)} \ll q^{-1/(40n_1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\Delta' \ll k^{1/(2s)} s^{1/(2k)}(q^{-1/(40n_1)})^{1/(2ks)} \ll k^{1/(2s)} s^{1/(2k)} q^{-1/(80n_1ks)}=\Delta''.
\end{equation*}
\notag
$$
Заменим оценку $\Delta''$ чуть менее точной, но не зависящей от $k$, $s$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, k^{1/(2s)}=\exp \biggl(\frac{\ln k}{2s}\biggr)\leqslant \exp \biggl(\frac{\ln n_1}{10 n_1} \biggr) \ll 1, \\ s^{1/(2k)}\leqslant s^{1/4}\leqslant n_2 ^{1/4}\leqslant (\sqrt{\ln q})^{1/4}=(\ln q)^{1/8}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу условий на $k$ и $s$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{80n_1 k s}\geqslant\gamma=\frac{\Lambda}{160 n_1^2 n_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, объединяя полученные оценки, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, T(d) \ll PR \Delta'' \ll PR (\ln q)^{1/8} q^{-\gamma}, \qquad S(P,R) \ll PR (\ln q)^{9/8} q^{-\gamma} \ll Z (\ln q)^{9/8} q^{-\gamma}, \\ \widetilde{S} \ll Z q^{-\gamma}\frac{ (\ln q)^{25/8}}{l_1 n_1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Перейдем к оценке суммы $S_a$. Последовательно получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S(w; \lambda, \mu) & \ll \frac{1}{\lambda \mu} \sum_{u_1, v_1} \frac{x}{f^2 w u_1 v_1} q^{-\gamma}\frac{ (\ln q)^{25/8}}{l_1 n_1}+\frac{x }{f^2 w U} \\ & \ll \frac{1}{\lambda \mu } \frac {xq^{-\gamma} }{l_1 n_1} \frac{(\ln q)^{25/8}}{f^2 w}\sum_{u_1} \frac{1}{u_1} \sum_{v_1} \frac{1}{v_1}+\frac{x }{f^2 w U}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
S(\lambda, \mu) \ll \frac{1}{\lambda \mu} \frac {xq^{-\gamma} (\ln q)^{25/8} }{l_1 n_1}\sum_{f\leqslant H} \frac{1}{f^2} \sum_{w}\frac{1}{w} \sum_{u_1} \frac{1}{u_1} \sum_{v_1} \frac{1}{v_1}+\frac{x }{U} \sum_{f\leqslant H} \frac{1}{f^2} \sum_{w}\frac{1}{w}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
S_a \ll \sum_{\mu, \lambda\geqslant 1} |S(\lambda, \mu)| \ll \frac {xq^{-\gamma} (\ln q)^{25/8} }{l_1 n_1} D_1+\frac{x }{U} D_2,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
D_1=\sum_{\lambda, \mu\geqslant 1} \frac{1}{\lambda \mu}\sum_{f\leqslant H} \frac{1}{f^2} \sum_{w}\frac{1}{w} \sum_{u_1} \frac{1}{u_1} \sum_{v_1} \frac{1}{v_1}, \qquad D_2= \sum_{\lambda, \mu\geqslant 1} 1 \sum_{f\leqslant H} \frac{1}{f^2} \sum_{w}\frac{1}{w}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценивая сумму $D_1$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
D_1 \ll \biggl(\sum_{f=1}^{+\infty} \frac{1}{f^2}\biggr) \biggl(\sum_{w\leqslant x} \frac{1}{w} \biggr) \biggl(\sum_{\lambda\geqslant 1} \sum_{u_1} \frac{1}{u_1} \biggr) \biggl(\sum_{\mu\geqslant 1} \sum_{v_1} \frac{1}{v_1} \biggr) \ll \sum_{w\leqslant x}\frac{1}{w} \sum_{u\leqslant x} \frac{1}{u} \sum_{v\leqslant x} \frac{1}{v},
\end{equation*}
\notag
$$
где $u$ и $v$ пробегают возрастающие последовательности бесквадратных чисел, все простые делители которых принадлежат множествам $A$ и $I$ соответственно, a $w$ пробегает бесквадратные числа, не имеющих простых из $A$ и $I$. Далее, находим
$$
\begin{equation*}
D_1 \ll \prod_{\substack{p\leqslant x\\ p \in A}} \biggl(1+\frac{1}{p} \biggr) \prod_{\substack{p\leqslant x\\ p \in I}} \biggl(1+\frac{1}{p} \biggr) \prod_{\substack{p\leqslant x\\ p \notin A, p \notin I}} \biggl(1+\frac{1}{p} \biggr) \ll \prod_{p\leqslant x} \biggl(1+\frac{1}{p} \biggr) \ll \ln x \ll \ln q.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечая, что
$$
\begin{equation*}
x>P^{\mu}R^{\lambda}\geqslant X^{\mu}(U^{\Lambda})^{\lambda}>q^{\mu/(3n_1)+\Lambda\lambda/(2n_2)},
\end{equation*}
\notag
$$
находим откуда
$$
\begin{equation*}
D_2\leqslant 6n_1 n_2 \sum_{f\leqslant H} \frac{1}{f^2} \sum_{w}\frac{1}{w} \ll n_1 n_2 \ln x \ll (\ln q)^{6/7} \ln x \ll (\ln q)^{13/7}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
S_a \ll \frac {xq^{-\gamma} (\ln q)^{33/8} }{l_1 n_1}+\frac{x (\ln q)^{13/7}}{U}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сумма $S_b$ оценивается подобно сумме $S_a$. Обозначим за $S(\lambda, \mu)$ сумму слагаемых $S_b$, отвечающих числам $\nu$, $\nu\leqslant x$, у которых сомножители $u$ и $v$ являются, соответственно, произведениями $\lambda$ и $\mu$ простых чисел. Имеем тогда
$$
\begin{equation*}
S_b=\sum_{\mu\geqslant 1} \sum_{\lambda\geqslant 1} S(\lambda, \mu).
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем $\lambda$, $\mu$ и оценим $S(\lambda, \mu)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, | S(\lambda, \mu)| &=\biggl| \sum_{f^2uvw\leqslant x} e_q(a\overline{f^2uvw}+ bf^2uvw)\biggr| \\ &\leqslant \sum_{f\leqslant H} \sum_{w}\biggl| \sum_{uv\leqslant x (f^2w)^{-1}} e_q(a\overline{f^2uvw}+bf^2uvw)\biggr|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $w$ пробегает возрастающую последовательность чисел, не имеющих простых делителей из объединения $J$ и $B$, и $w\leqslant x f^{-2} X^{-\Lambda\mu} U^{-\lambda}$. Зафиксируем $w$ и рассмотрим внутреннюю сумму $S(w; \lambda, \mu)$:
$$
\begin{equation}
S(w; \lambda, \mu)=\sum_{uv\leqslant x (f^2w)^{-1}} e_q(a\overline{f^2uvw}+bf^2uvw)=\sum_{uv\leqslant x (f^2w)^{-1}} e_q(a_1\overline{uv}+ b_1uv),
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $a_1 \equiv a\overline{f^2w}\ (\operatorname{mod}q)$, $b_1 \equiv bf^2 w \ (\operatorname{mod}q)$. Сравним (3.2) с суммой
$$
\begin{equation*}
S'(w;\lambda, \mu)=\frac{1}{\lambda\mu} \sum_{u_1} \sum_{v_1} \sum_{p} \sum_{r} e_q (a_1 \overline{u_1rv_1p}+b_1u_1rv_1p),
\end{equation*}
\notag
$$
где $u_1$ и $v_1$ пробегают возрастающие последовательности чисел, которые являются произведениями $(\lambda-1)$ и $(\mu-1)$ различных простых сомножителей из $(U, U^\Lambda]$ и $B$ соответственно, $r$ принимает значения простых из $(U, U^\Lambda]$, $p$ принимает значения простых чисел из $B$, и, кроме того, выполнено условие $u_1rv_1p\leqslant x (f^2 w)^{-1}$. Числа $u$ и $v$, отвечающие слагаемым из $S(w; \lambda, \mu)$, можно представить в виде $u=u_1 r$ и $v=v_1 p$, где $(u_1, r)=1$ и $(v_1, p)=1$, ровно $\lambda$ и $\mu$ способами соответственно. Следовательно, любое слагаемое из исходной суммы встретится в $S(w; \lambda, \mu)$ ровно $\lambda\mu$ раз, и войдет в нее с коэффициентом единица. Кроме того, в сумме $S'(w;\lambda, \mu)$ будут слагаемые, для которых не выполнено хотя бы одно из условий $(u_1, r)=1$ или $(v_1, p)=1$. Положим для таких случаев $u_1=u_2r$ и $v_1=v_2 p$ соответственно и оценим вклад таких слагаемых тривиально, т.е. в случае когда $(u_1, r)\neq1$ и $ (v_1, p)=1$ величиной
$$
\begin{equation*}
S'_1=\sum_{r^2u_2pv_1\leqslant x(f^2w)^{-1}} 1\leqslant \sum_{r \in (U, U^\Lambda]} \sum_{u_2v_1p\leqslant x(f^2r^2w)^{-1}} 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим за $d=v_1u_2p$. Число представлений целого $d$, имеющего ровно $\mu$ простых делителей из $B$ (не обязательно различных), не превосходит $\mu$, поэтому
$$
\begin{equation*}
S'_1 \leqslant \mu \sum_{r \in A} \sum_{d\leqslant x(f^2r^2w)^{-1}} 1 \leqslant \mu \sum_{r \in (U, U^\Lambda]} \frac{x}{f^2 r^2 w} \leqslant \frac{x\mu}{f^2 w} \sum_{r\geqslant U} \frac{1}{r^2}\ll \frac{x \mu}{f^2 w U}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, в случаях когда $(u_1, r)=1$, $ (v_1, p) \neq 1$ и $(u_1, r)\neq 1$, $ (v_1, p) \neq 1$, получим соответственно:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S'_2=\sum_{p^2v_2ru_1\leqslant x(f^2w)^{-1}} 1 \ll \frac{x\lambda}{f^2 w X^\Lambda}\ll \frac{x\lambda}{f^2 w U}, \\ S'_3=\sum_{p^2v_2r^2u_2\leqslant x(f^2w)^{-1}} 1 \ll \frac{x\lambda \mu}{f^2 w X^\lambda U} \ll \frac{x\lambda \mu}{f^2 w U}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, | S(w;\lambda,\mu)| &\leqslant \frac{1}{\lambda\mu} \biggl| \sum_{u_1, v_1} \sum_{p,r} e_q(a_1 \overline{u_1rv_1p}+b_1u_1rv_1p)\biggr|+O\biggl(\frac{x}{f^2 w U}\biggr) \\ &\leqslant \frac{1}{\lambda \mu} \sum_{u_1, v_1}| \widetilde{S}(u_1, v_1)|+ O\biggl(\frac{x}{f^2 w U}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde{S}(u_1, v_1)=\widetilde{S}=\sum_{\substack{ p,r\\ pr\leqslant Z }} e_q(a_2 \overline{p} \overline{r}+b_2 p r), \\ a_2 \equiv a_1 \overline{u_1v_1} \ (\operatorname{mod}q), \qquad b_2 \equiv b_1{u_1v_1} \ (\operatorname{mod}q), \qquad Z= \frac{x}{f^2 w u_1 v_1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем $u_1$, $v_1$ и оценим $ \widetilde{S}$. Разобьем области изменения $p$ и $r$ на промежутки вида $ R<r\leqslant R_1\leqslant 2R$, $P<p\leqslant P_1\leqslant 2P$, причем будем выбирать $P$, $P_1$, $R$ и $R_1$ таким образом, чтобы всякий промежуток $(R, R_1]$ целиком содержался в промежутке $(q^{1/(2s)}, q^{1/(2s-2)}]$, содержащимся в $(U, U^{\Lambda}]$, а всякий промежуток $(P, P_1]$ содержался в $(Y_k, X_{k-1}] \subset B$, $l_1< k<n_1 / \Lambda$. Таким образом, $\widetilde{S}$ разбивается на не более чем $\ln (U^{\Lambda}) \cdot \ln Y \ll\ln V \cdot \ln Y \ll (\ln q)^2 (l_1 n_1)^{-1}$ сумм вида
$$
\begin{equation*}
S(P, R)=\sum_{P<p\leqslant P_1 }\sum_{\substack{ R<r\leqslant R_1\\ pr\leqslant Z }} e_q(a_2 \overline{p} \overline{r}+b_2 p r).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как и в то же время то
$$
\begin{equation*}
q^{1/(2n_2)}<q^{1/(2s-2)}, \qquad q^{1/(2s)}<q^{\Lambda/(2n_2)},
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, Рассмотрим одну из таких сумм $S(P, R)$. Нетрудно видеть, что $P<p\leqslant P_2$, $R<r\leqslant R_2$, где $P_2=\min(P_1, Z / R)$ и $R_2=\min(R_1, Z/p)$. Таким образом, сумма представляется в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S(P, R) &=\sum_{P<p\leqslant P_2 }\sum_{\substack{ R<r\leqslant R_2 }} e_q(a_2 \overline{p} \overline{r}+b_2 p r) \\ &=\sum_{P<p\leqslant P_2} \sum_{R<r\leqslant R_1} \biggl(\sum_{R<\xi\leqslant R_2} \frac{1}{q} \sum_{|d|<q/2} e_q(d(r-\xi)) \biggr) e_q(a_2 \overline{pr}+b_2 pr) \\ &=\sum_{|d|<q/2} \frac{1}{|d|+1} \sum_{P<p\leqslant P_2} \sum_{R<r\leqslant R_1} \biggl(\frac{|d|+1}{q} \sum_{R<\xi\leqslant R_2} e_q(-d\xi) \biggr) e_q(dr) e_q(a_2 \overline{pr}+b_2 pr) \\ &=\sum_{|d|<q/2} \frac{1}{|d|+1} \sum_{P<p\leqslant P_2} \sum_{R<r\leqslant R_1} \alpha(p) \beta(r) e_q(a_2 \overline{pr}+b_2 pr)=\sum_{|d|<q/2} \frac{T(d)}{|d|+1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, T(d)=\sum_{P<p\leqslant P_2} \sum_{R<r\leqslant R_1} \alpha(p) \beta(r) e_q(a_2 \overline{pr}+b_2 pr), \\ \alpha(p)=\frac{|d|+1}{q} \sum_{R<\xi\leqslant R_2} e_q(-d\xi), \qquad \beta(r)=e_q(dr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $|\alpha(p)|\leqslant 1$, $|\beta(r)|=1$. Согласно лемме 2 $T(d) \ll PR\Delta'$, где
$$
\begin{equation*}
\Delta'=k^{1/(2s)} s^{1/(2k)} s^{1/(2ks)}\biggl(R \biggl(\frac{\sqrt{q}}{P^{k}}+ \frac{P^{k-1}}{\sqrt{q}} \biggr) \biggl(\frac{\sqrt{q}}{R^{s}}+\frac{R^{s-1}}{\sqrt{q}} \biggr)\biggr)^{1/(2ks)}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу условий на $P$ и $R$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\sqrt{q}}{P^{k}}\leqslant \frac{q^{1/2}}{q^{(1+\delta)/2}}=q^{-\delta/2}, \qquad \frac{\sqrt{q}}{R^{s}}\leqslant 1, \\ \frac{P^{k-1}}{\sqrt{q}}\leqslant \frac{q^{(1-\delta)/2}}{q^{1/2}}=q^{-\delta/2}, \qquad \frac{R^{s-1}}{\sqrt{q}}\leqslant 1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Это влечет за собой
$$
\begin{equation*}
R \biggl(\frac{\sqrt{q}}{P^{k}}+\frac{P^{k-1}}{\sqrt{q}} \biggr) \biggl(\frac{\sqrt{q}}{R^{s}}+\frac{R^{s-1}}{\sqrt{q}} \biggr) \ll q^{1/(2l_2)} q^{-\delta/2} \ll q^{1/(10n_1)-1/(8n_1)} \ll q^{-1/(40n_1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\Delta' \ll k^{1/(2s)} s^{1/(2k)}s^{1/(2ks)}(q^{- 1/(40n_1)})^{1/(2ks)} \ll k^{1/(2s)} s^{1/(2k)} q^{-1/(80n_1ks)}=\Delta''.
\end{equation*}
\notag
$$
Заменим оценку $\Delta''$ чуть менее точной, но не зависящей от $k$, $s$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
s^{1/(2k)}\leqslant s^{1/4}\leqslant (2 n_2)^{1/4} \ll (\sqrt{\ln q})^{1/4}=(\ln q)^{1/8}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, так как
$$
\begin{equation*}
k<\frac{n_1}{\Lambda}<n_1<(\ln q)^{3/7}, \qquad s>\frac{n_2}{\Lambda},
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\ln k}{2s} &<\frac{\Lambda}{2n_2} \frac{3}{7} \ln\ln q <\frac{3}{14} \frac{c_3 (\ln x)^{3/7}}{(\ln q)^{2/7} (\ln \ln q)^{1/7}} \frac{2 (\ln q)^{1/7} (\ln\ln q)^{4/7}}{c_2 (\ln x)^{5/7}} (\ln\ln q) \\ &<\frac{3c_3}{7c_2} \frac{(\ln\ln q)^{10/7}}{(\ln q)^{1/7} (\ln x)^{2/7}}<\frac{3c_3}{7c_2 c_0^{2/7}} \frac{(\ln \ln q)^{4/3}}{(\ln q)^{1/3}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это влечет за собой
$$
\begin{equation*}
k^{1/(2s)}=\exp \biggl(\frac{\ln k}{2s} \biggr)<\exp \biggl(\frac{3c_3}{7c_2 c_0^{2/7}} \frac{(\ln \ln q)^{4/3}}{(\ln q)^{1/3}} \biggr) \ll 1.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу условий на $k$ и $s$ получаем где $\gamma$ определено выше. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
T(d) \ll PR \Delta'' \ll PQ (\ln q)^{1/8} q^{-\gamma},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
S(P, R) \ll PR (\ln q)^{9/8} q^{-\gamma}\ll Z (\ln q)^{9/8} q^{-\gamma},
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\widetilde{S} \ll Zq^{-\gamma} \frac{(\ln q)^{25/8}}{n_1 l_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Перейдем к оценке суммы $S_b$. Практически дословно повторяя приведенные выше рассуждения, получаем
$$
\begin{equation*}
S_b \ll \frac {xq^{-\gamma} (\ln q)^{33/8} }{l_1 n_1}+\frac{x (\ln q)^{13/7}}{U}.
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге находим
$$
\begin{equation*}
S(x) \ll x \biggl(\exp(-2\sqrt[4]{\ln x})+\frac{l_1}{n_1}+\frac{n_1}{n_2}+\Lambda^2 \frac{l_1}{n_2}+\frac{1}{n_1 l_1}q^{-\gamma} (\ln q)^{33/8}+\frac{(\ln q)^{13/7}}{U}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу определения $l_1$, $n_1$, $n_2$, $\Lambda$, $U$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{l_1}{n_1} \ll \frac{\ln q}{\ln x} \frac{(\ln x)^{1/7} (\ln\ln q)^{2/7}}{(\ln q)^{3/7}} \ll \frac{(\ln q)^{4/7}}{(\ln x)^{6/7}}(\ln\ln q)^{2/7}, \\ \frac{n_1}{n_2} \ll \frac{(\ln q)^{3/7}}{(\ln x)^{1/7} (\ln\ln q)^{2/7}} \frac{(\ln q)^{1/7} (\ln\ln q)^{4/7}}{(\ln x)^{5/7}} \ll \frac{(\ln q)^{4/7}}{(\ln x)^{6/7}}(\ln\ln q)^{2/7}, \\ \Lambda^2 \frac{l_1}{n_2} \ll \frac{(\ln x)^{6/7}}{(\ln q)^{4/7} (\ln\ln q)^{2/7}} \frac{\ln q}{\ln x} \frac{(\ln q)^{1/7} (\ln \ln q)^{4/7}}{(\ln x)^{5/7}} \ll \frac{(\ln q)^{4/7}}{(\ln x)^{6/7}}(\ln\ln q)^{2/7}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что так как
$$
\begin{equation*}
n_1=\biggl[ c_1 \frac{(\ln q)^{3/7}}{(\ln x)^{1/7} (\ln \ln q)^{2/7}}\biggr]\leqslant \frac{1}{4}(\ln q)^{3/7},
\end{equation*}
\notag
$$
то и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\frac{(\ln q)^{13/7}}{U}\ll (\ln q)^{13/7}e^{-2(\ln q)^{4/7}} \ll e^{-(\ln q)^{4/7}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, так как
$$
\begin{equation*}
n_2=\biggl[ c_2 \frac{(\ln x)^{5/7}}{(\ln q)^{1/7} (\ln\ln q)^{4/7}}\biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
n_1^2 n_2\leqslant c_1^2 c_2 \frac{(\ln q)^{6/7}}{(\ln q)^{1/7}(\ln \ln q)^{4/7}} \frac{(\ln x)^{5/7}}{(\ln x)^{1/7} (\ln \ln q)^{4/7}}=c_1^2 c_2 \frac{(\ln q)^{5/7} (\ln x)^{3/7}}{(\ln \ln q)^{8/7}},
\end{equation*}
\notag
$$
таким образом,
$$
\begin{equation*}
\gamma \ln q=\frac{\Lambda \ln q}{160 n_1^2 n_2}\geqslant \frac{c_3 (\ln x)^{3/7} \ln q}{(\ln q)^{2/7} (\ln\ln q)^{1/7}} \frac{(\ln\ln q)^{8/7}}{160 c_1^2 c_2 (\ln q)^{5/7} (\ln x)^{3/7}}=\frac{c_3}{160 c_1^2 c_2} \ln\ln q,
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
q^{-\gamma} (\ln q)^{33/8}\leqslant \exp\biggl(-\frac{c_3}{160 c_1^2 c_2} \ln\ln q+ \frac{33}{8} \ln\ln q\biggr)\leqslant \exp\biggl(-\frac{7}{8} \ln\ln q\biggr)=(\ln q)^{-7/8}.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее неравенство будет верно в случае, если $c_3 / (160 c_1 ^ 2 c_2)\geqslant 5$, т.е. $c_3 / c_1 ^2 c_2\geqslant 800$. Выберем теперь постоянные $c_1$, $c_2$, $c_3$ так, чтобы выполнялись все условия, наложенные на них ранее, а именно:
$$
\begin{equation*}
c_1\geqslant 6 c_0^{-6/7}, \qquad c_2\geqslant 30 c_1 c_0 ^{ -6/7}, \qquad c_3\leqslant \frac{1}{2}c_1 c_0 ^{3/7}, \qquad c_0^{3/7}\geqslant 10 \frac{c_3 c_1}{c_2}, \qquad \frac{c_3}{c_1^2 c_2}\geqslant 800.
\end{equation*}
\notag
$$
Данные условия будут выполнены, если положить
$$
\begin{equation*}
c_1=6c_0 ^{-5/7}, \qquad c_2=180 c_0 ^{-10/7}, \qquad c_3=3c_0^{-3/7}.
\end{equation*}
\notag
$$
В самом деле, при таком выборе параметров все условия примут вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 6 c_0^{-5/7}\geqslant 6 c_0^{-6/7}, \qquad 180 c_0 ^{-10/7}\geqslant 180 c_0 ^{ -{11}/7}, \qquad 3 c_0 ^{ -{3}/{7}}\leqslant 3 c_0 ^{ -{2}/{7}}, \\ c_0^{ {3}/{7}}\geqslant c_0^{{2}/{7}}, \qquad \frac{c_0^{{17}/{7}}}{2160}\geqslant 800, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и будут, очевидно, выполнены при $c_0>297>(800\cdot 1260)^{7/17}$. Окончательно находим:
$$
\begin{equation*}
S(x) \ll x \frac{(\ln q)^{4/7}}{(\ln x)^{6/7}}(\ln\ln q)^{2/7}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sem24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|