| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) Классические понятия теории приближений в несимметричных CLUR-пространствах А. Р. Алимовab , И. Г. Царьковac a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва c Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Английская версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624090025 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеНаряду с обычными нормированными пространствами мы будем рассматривать пространства с несимметричной нормой. По определению несимметричная норма $\|\cdot|$ на линейном действительном пространстве $X$ удовлетворяет следующим аксиомам:
Термин несимметричная норма был предложен Крейном в 1938 г. (см., например, [1]). Если $\|\cdot|$ – несимметричная норма, то функционал
$$
\begin{equation}
\|x\|_{\mathrm{sym}}=\max\{\|x|,\|{-}x|\},\qquad x\in X,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
называемый нормой симметризации, является нормой. Объекты, определяемые относительно нормы симметризации будут снабжаться индексом $\mathrm{sym}$. К примеру, $B_{\mathrm{sym}}(x,r):=\{y\mid\|x-y\|_{\mathrm{sym}}\leqslant r\}$. Несимметрично нормированное пространство $X=(X,\|\cdot|)$ называется симметризуемым, если несимметричная норма $\|\cdot|$ эквивалентна норме симметризации, т.е. найдется число $K\geqslant 1$ такое, что
$$
\begin{equation*}
K^{-1}\|x\|_{\mathrm{sym}}\leqslant\|x|\leqslant\|x\|_{\mathrm{sym}}\qquad \text{для всех}\quad x\in X.
\end{equation*}
\notag
$$
Ниже: $X=(X,\|\cdot|)$ – несимметрично нормированное пространство, $\mathring B(x,r)=\{y\in X\mid\|y-x|<r\}$ – открытый шар с центром $x$ и радиусом $r$; $B(x,r)=\{y\in X\mid\|y-x|\leqslant r\}$ – “замкнутый” шар1 с центром $x$ и радиусом $r$; $S(x,r)=\{y\in X\mid\|y-x|=r\}$ – сфера с центром $x$ и радиусом $r$. В частном случае мы полагаем $B:=B(0,1)$ – единичный шар, $S=S(0,1)$ – единичная сфера. Для $\varnothing\ne M\subset X$ правая (левая) функция расстояния от точки $x\in X$ до множества $M\subset X$ (соответственно, от множества $M$ до точки $x\in X$) определяется формулой
$$
\begin{equation}
\rho(x,M):=\inf_{y\in M}\|y-x|,\qquad \rho^-(x,M):=\inf_{y\in M}\|x-y|.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Множество правых (левых) ближайших точек для точки $x\in X$ из множества $M$ определяется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
P_Mx:=\{y\in M\mid\rho(x,M)=\|y-x|\}, \qquad P_M^-x:=\{y\in M\mid\rho^-(x,M)=\|x-y|\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Точка $x$ называется точкой существования, если $P_Mx\ne\varnothing$. Ниже $\mathrm E(M)$ – множество всех точек существования для множества $M$. Топология $\tau$ несимметричного пространства $X=(X,\|\cdot|)$ задается предбазой из открытых шаров $\mathring{B}(x,r)$. В общем случае такая топология удовлетворяет лишь аксиоме отделимости $T_1$ и может быть нехаусдорфовой (см. [2]). Отметим, что если $X$ – несимметрично нормированное пространство, то единичный шар не содержит лучей (см., например, [2; с. 471]). Несимметричные пространства (с естественной $T_1$-топологией $\tau$) мы будем называть просто несимметричными пространствами. По поводу результатов и примеров, связанных с аксиомами отделимости в несимметричных пространствах, см. [2]. Класс несимметричных пространств, являющийся важным и полезным расширением класса линейных нормированных пространств, имеет многочисленные приложения в задачах теории аппроксимации, вариационного исчисления, теоретической информатики и математической экономики. В последнее время теория несимметричных пространств и их приложений получила интенсивное развитие. В теории приближений (в том числе – в геометрической теории приближений) несимметричные нормы возникают в ряде задач (см., например, [1], [3]–[8]). Целью работы является изучение различных обобщений классических понятий теории приближений в несимметричных пространствах. В частности, рассматриваются аналоги аппроксимативной компактности, непрерывности метрической функции и метрической проекции, и изучаются взаимосвязи между этими понятиями. С этой целью вводятся новые классы CLUR- и CCLUR-пространств, обобщающие класс (CLUR) нормированных пространств (см. п. 2), даются их эквивалентные аппроксимативно-геометрические переформулировки (теорема 4.1). В случае нормированных пространств имеет место следующий результат. (Определение CLUR-пространств дается в п. 3, аппроксимативно компактных множеств – в п. 2.) Теорема 1.A (Дойч, Ламберт [9]). Пусть $X$ – линейное нормированное пространство из клаcса $(\mathrm{CLUR})$, $M\subset X$ – множество существования, $x\in X$, $y\in P_Mx$, $z\in(x,y)$. Тогда В работе мы получаем различные обобщения и расширения этой теоремы для несимметричных пространств (теорема 4.2 и следствие 4.1). Также в несимметричных CLUR- и CCLUR-пространствах мы получаем теоремы о плотности множества точек (регулярной) аппроксимативной компактности (следствия 4.2 и 4.3). Ошман [10; следствие 3] и независимо Панда и Капур [11; теорема 1] показали, что в нормированных CLUR-пространствах класс чебышёвских множеств с непрерывной метрической проекцией совпадает с классом аппроксимативно компактных чебышёвских множеств. В работе [1] получен несимметричный аналог этого результата (теорема 2.B); полного аналога этого результата не следует ожидать, поскольку, в отличие от нормированного случая, аппроксимативная компактность множества не влечет непрерывность метрической проекции и даже метрической функции (см. п. 2). Далее рассматривается свойство OR-устойчивости метрической проекции, представляющее собой существенное расширение понятия непрерывности метрической проекции не только в несимметричном, но и в линейном нормированном случае. Здесь впервые устойчивость метрической проекции рассматривается для не обязательно замкнутых множеств. В этом заключается принципиальное отличие OR-устойчивости от свойства непрерывности метрической проекции, в котором априори предполагается проксиминальность приближающего множества, что влечет его замкнутость. Такой подход позволяет изучать классические объекты теории приближений, не являющиеся замкнутыми множествами, например, множества экспоненциальных сумм, сплайны с нефиксированными узлами и т.п. Тем самым новое понятие OR-устойчивости не только расширяет и обобщает классическое понятие ORL-непрерывности метрической проекции, но и является удобным для приложений. Напомним, что метрическая проекция $P_M$ называется $\mathrm{ORL}$-непрерывной (outer radially lower continuous) в точке $x$ (см., например, [12; § 7.9]), если из условий
$$
\begin{equation*}
y\in P_Mx, \qquad (x_n)\subset\{y+\lambda(x-y)\mid\lambda\geqslant 1\}, \quad x_n\to x,
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что $\rho(y,P_Mx_n)\to 0$. Отметим следующий классический результат для линейно нормированных CLUR-пространств [9]. Теорема 1.B. Пусть $X\in(\mathrm{CLUR})$, $M\subset X$ – множество существования, $P_M$ $\mathrm{ORL}$-непрерывна. Тогда $M$ аппроксимативно компактно. Этот результат обобщается и расширяется на случай несимметричных пространств в теореме 5.2, в которой $\mathrm{ORL}$-непрерывность заменяется на $\mathrm{OR}$-устойчивость. Вводится новое полезное понятие $\pi$-солнечности, близкое к классическому понятию $\delta $-солнечности. Устанавливается связь между $\mathrm{OR}$-устойчивостью, свойством $\pi$-солнечности и аппроксимативной компактностью (теоремы 5.1, 5.3–5.5). Полученные в работе результаты являются новыми также в случае линейных нормированных пространств, являющихся частным случаем пространств с несимметричной нормой. 2. Аппроксимативно компактные множества в несимметрично нормированных пространствахПонятие аппроксимативно компактного множества было введено Ефимовым и Стечкиным в 60-х годах XX в. для случая линейных нормированных пространств (см. [12; гл. 4]). Известен ряд обобщений этого понятия – слабая аппроксимативная компактность, аппроксимативная компактность по Дойчу, аппроксимативная компактность в метрических и полуметрических пространствах и проч. В этом разделе мы остановимся на некоторых естественных аналогах аппроксимативной компактности в несимметрично нормированных пространствах. Определение 2.1. Множество $M$ называется право- (лево-) аппроксимативно компактным, если из условий $(y_n)\subset M$, $\|y_n-x|\to\rho(x,M)$ (соответственно, $\|x-y_n|\to\rho^-(x,M)$) следует, что найдется подпоследовательность $(y_{n_k})$, (лево-) сходящаяся к некоторой точке $\widehat y\in M$, т.е. $\|y_{n_k}-\widehat y|\to 0$. Соответствующая точка $x$ называется точкой правой (левой) аппроксимативной компактности для $M$. Обозначение: $x\in \operatorname{AC}(M)=\operatorname{AC}_R(M)$ ($x\in\operatorname{AC}_L(M)$). Ниже $\overline M$ – замыкание множества $M$. Определение 2.2. Множество $M$ называется присоединенно право-аппроксимативно компактным, если из условий $(y_n)\subset M$, $\|y_n-x|\to\rho(x,M)$ следует, что найдется подпоследовательность $(y_{n_k})$, (лево-) сходящаяся к некоторой точке $\widehat y\in\overline M$, т.е. $\|y_{n_k}-\widehat y|\to 0$. Соответствующая точка $x$ называется точкой присоединенной правой аппроксимативной компактности для $\overline M$. Обозначение: $x\in\operatorname{aAC}(M)$. Замечание 2.1. Если $x$ – точка правой аппроксимативной компактности для $M$, то точка $\widehat y$ из определения 2.1 может не быть ближайшей точкой из $M$ для $x$ (такой случай $\widehat y\notin P_Mx$, конечно, невозможен в симметризуемом случае). См. также замечание 2.3 ниже. Соответственно, для исключения указанного выше “неправильного” случая $\widehat y\notin P_Mx$, где $x\in\operatorname{AC}(M)$, мы вводим следующее определение. Определение 2.3 [1]. Множество $M$ называется регулярно аппроксимативно компактным (точнее, регулярно право-аппроксимативно компактным), если из условий $(y_n)\subset M$, $\|y_n-x|\to\rho(x,M)$, вытекает, что найдутся точка $\widehat y\in P_Mx$ и подпоследовательность $(y_{n_k})$, сходящаяся к точке $\widehat y$, т.е. $\|y_{n_k}-\widehat y|\to 0$. Соответствующая точка $x$ называется точкой регулярной (правой) аппроксимативной компактности. Обозначение: $x\in\operatorname{rAC}(M)$. Множество $M$ называется присоединенно регулярно аппроксимативно компактным, если из условий $(y_n)\subset M$, $\|y_n-x|\to \rho (x,M)$, вытекает, что найдутся точка $\widehat y\in P_{\overline M}$ и подпоследовательность $(y_{n_k})$, сходящаяся к точке $\widehat y$, т.е. $\|y_{n_k}-\widehat y|\to 0$. Соответствующая точка $x$ называется точкой присоединенной регулярной (правой) аппроксимативной компактности. Отметим, что (поскольку $\overline M\subset X\setminus\mathring B(x,\rho(x,M))$).Множество $M\subset X$ называется регулярно лево-аппроксимативно компактным, если из условий $(y_n)\subset M$, $\|x-y_n|\to\rho^-(x,M)$, вытекает, что найдутся точка $\widehat y\in P_M^-x$ и подпоследовательность $(y_{n_k})$ (лево-) сходящаяся к точке $\widehat y$, т.е. $\|y_{n_k}-\widehat y|\to 0$. Ниже:
Замечание 2.2. Если $M\ne\varnothing$, то Замечание 2.3. Если $x$ – точка левой аппроксимативной компактности для $M$, то включение $\widehat y\in P_M^-x$ всегда выполнено (так как левый шар $B^-$ замкнут в топологии $\tau$). Как следствие, лево-аппроксимативно компактное множество необходимо регулярно лево-аппроксимативно компактно. Замечание 2.4. Легко проверяется, что если шар $B(0,1)$ пространства $X$ замкнут2, то в $X$ правая аппроксимативная компактность замкнутого множества эквивалентна его регулярной правой аппроксимативной компактности, т.е. (В частности, это условие выполнено в любом линейном нормированном пространстве.) Несложно видеть, что единичный шар $B$ замкнут, если и только если любой шар $B(x,r)$ замкнут. Замечание 2.5. Хаусдорфово несимметрично нормированное пространство с незамкнутым единичным шаром построено в [2; пример 6.9]. Также в [2; пример 6.8] построен пример нехаусдорфова несимметрично нормированного пространства. Предложение 2.1. Пусть $X$ – линейное несимметрично нормированное пространство. Тогда для замкнутости единичного шара $B(0,1)$ необходимо и достаточно, чтобы единичная сфера в $X$ была замкнута. Доказательство. Достаточность. Рассуждаем от противного. Пусть шар $B=B(0,1)$ не замкнут, но сфера $S=S(0,1)$ замкнута. Тогда найдется последовательность $(x_n)\subset B$ и точка $x\notin B$ такие, что $\|x_n-x|\to 0$. Пусть $y_n\in S\cap [x,x_n]$. Имеем: $\|y_n-x|\leqslant\|x_n-x|\to 0$. Поэтому $x\in S$ в силу замкнутости сферы. Противоречие с условием $x\notin B$. Необходимость. Если единичный шар $B$ замкнут, то сфера замкнута, поскольку $S=B\setminus\mathring B$. Пример 2.1. Пусть $X$ – нехаусдорфово несимметрично нормированное пространство (см. замечание 2.5). Пусть $x,y\in X$ – точки, которые нельзя разделить окрестностями и пусть $y_n\in\mathring B(x,1/n)\cap\mathring B(y,1/n)$, $n\in\mathbb N$. Тогда $\|y_n-x|\to 0$, $\|y_n-y|\to 0$. Определим Тогда множество $M$ компактно, $P_Mx=\varnothing$ (следовательно, $M$ незамкнуто), но $x\in\operatorname{AC}(M)$. (При этом, конечно, $x\notin\operatorname{rAC}(M)$.) Замечание 2.6 (к примеру 2.1). Положим в предыдущем примере $x=0$ и пусть $y'_n=\sqrt{n}y_n$. Тогда луч, с началом в точке $0$ и проходящий через $y$, состоит из пределов последовательности $(y_n')$. Поэтому замыкание компакта $\{y\}\cup\{y'_n\mid n\in\mathbb N\}$ содержит этот луч и, следовательно, не ограничено. (В хаусдорфовом пространстве компакт, конечно, является замкнутым множеством и поэтому его замыкание совпадает с самим компактом и, следовательно, ограничено.) Замечание 2.7. Если пространство $X$ хаусдорфово и множество $M$ – аппроксимативно компактно, то $M$ замкнуто. Отметим следующие два результата. Теорема 2.A [1; теорема 4.1]. Пусть $X$ – несимметричное пространство, $\varnothing\ne M\subset X$, $x\notin M$, $x\in\operatorname{AC}(M)$, $y\in P_Mx$. Тогда т.e. любая точка из отрезка $[x,y]$ есть точка аппроксимативной компактности множества $M$. Пусть $\mathrm C(\rho(M))$ – множество точек непрерывности функции расстояния $\rho(\,\cdot\,,M)$, где $M\subset X$ – непустое множество (т.e. $x\in\mathrm C(\rho(M))$ если и только если $\rho(x_n,M)\to\rho(x,M)$ для любой последовательности $(x_n)$ такой, что $\|x_n-x|\to 0$). Отметим (см. [13; следствие 3]), что для одноточечного множества непрерывность функции расстояния эквивалентна симметризуемости пространства (при этом, конечно, метрическая проекция на одноточечное множество непрерывна). Подмножество $M$ несимметричного пространства $X =(X,\|\cdot|)$ называется лево-сильно замкнутым, если условие $(x_n)\subset M$, $\|x_n-x|\to 0$, $n\to\infty$, влечет, что $x\in M$ и $\|x_n-x\|_{\mathrm{sym}}\to 0$, $n\to\infty$. Теорема 2.B [1]. Пусть $X$ – несимметричное пространство, в котором единичный шар $B(0,1)$ замкнут, $M$ – непустое лево-сильно замкнутое множество, и пусть $x\notin M$, $P_Mx=\{y\}$. Пусть $x$ – точка непрерывности функции расстояния и точка аппроксимативной компактности для $M$ (т.e. $x\in\mathrm C(\rho(M))\cap\operatorname{AC}(M))$. Тогда любая точка $z\in[x,y]$ является точкой непрерывности функции расстояния и точкой аппроксимативной компактности для $M$, т.е. Замечание 2.8. В связи с теоремой 2.B отметим, что (в отличие от нормированного и симметризуемого случая) аппроксимативная компактность (регулярная аппроксимативная компактность или даже компактность множества) не влечет непрерывность метрической проекции. Замечание 2.9. В теореме 2.B вместо условия замкнутости единичного шара можно потребовать, чтобы $x$ была точкой регулярной аппроксимативной компактности для $M$, т.е. $x\in\operatorname{rAC}(M)$ (см. определение 2.3). 3. Несимметрично нормированные CLUR-пространстваВ нормированном случае класс3 пространств $(\mathrm{CLUR})$ определяется следующим образом. $X\in(\mathrm{CLUR})$, если из соотношений $x\in S$, $y_n\in S$, $\|x+y_n\|/2\to 1$ следует, что $(y_n)$ имеет сходящуюся подпоследовательность. Класс CLUR-пространств был введен Л. П. Власовым в [14]. В несимметричном случае класс CLUR-пространств мы определяем следующим образом: $X\in(\mathrm{CLUR})$, если
$$
\begin{equation}
\biggl[s_n,s\in S,\,\biggl\|\frac{s+s_n}{2}\biggr|\to 1\biggl] \quad\Longrightarrow\quad\exists\,(n_k),\ \exists\,s_0\in X\colon\|s_{n_k}-s_0|\to 0.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Любое симметризуемое рефлексивное CLUR-пространство является пространством Ефимова–Стечкина (см. [12], [15; лемма 9]; по поводу свойств несимметричных пространств Ефимова–Стечкина см. [16]). Класс $(\mathrm{CLUR})$ включает в себя равномерно выпуклые пространства ($(\mathrm{UR})$-пространства) и локально равномерно выпуклые нормированные пространства ($(\mathrm{LUR})$-пространства), при этом $(\mathrm{CLUR})\supsetneqq(\mathrm{LUR})$. Класс $(\mathrm{CLUR})$ также содержит все конечномерные несимметричные пространства. В связи с определением (3.1) отметим, что если последовательность лежит в единичной сфере, то ее предел может не принадлежать сфере (см. замечание 2.5 и предложение 2.1 выше). В связи с этим замечанием введем класс (CCLUR). Несимметрично нормированное пространство $X$ лежит в классе (CCLUR), если
$$
\begin{equation*}
\biggl[s_n,s\in S,\,\biggl\|\frac{s+s_n}{2}\biggr|\to 1\,\biggr] \quad\Longrightarrow\quad\exists\,(n_k),\ \exists\,s_0\in S\colon\|s_{n_k}-s_0|\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 3.1. В несимметричных пространствах с замкнутым единичным шаром классы (CCLUR) и (CLUR) совпадают (см. предложение 2.1). В частности, это совпадение имеет место для линейных нормированных пространств. 4. Аппроксимативно компактные множества в CLUR-пространствахВ любом конечномерном пространстве $X$ для замкнутого множества $M\subset X$ любая точка $x\in X$ является точкой аппроксимативной компактности множества $M$. В частности, любая точка из $X\setminus \mathring B$ является точкой аппроксимативной компактности. В любом бесконечномерном пространстве точка $0$ не является точкой аппроксимативной компактности замкнутого множества $X\setminus \mathring B$. Поэтому в случае бесконечномерных пространств включение “$\supset$” в теоремах 4.A и 4.1 можно заменить на равенство. В [15; лемма 7] установлена следующая характеризация CLUR-пространств в терминах точек аппроксимативной компактности множества $M:=X\setminus\mathring B$. (Напомним, что $\mathring B$ – открытый единичный шар.) Теорема 4.A. Пусть $X$ – линейное нормированное пространство. Тогда $X\in(\mathrm{CLUR})$ если и только если Для несимметрично нормированных пространств аналог теоремы 4.A дается в следующем утверждении. Доказательство. Достаточность в (4.1). Пусть $0<\|x_0|=\alpha <1$ и пусть $(z_n)$ – минимизирующая последовательность из $M:=X\setminus\mathring B$ для $x_0$, т.е. Тогда
$$
\begin{equation}
1\leqslant\|z_n|\leqslant\|z_n-x_0|+\|x_0|\overset{(4.3)}\to \rho (x_0,M) +\|x_0|\overset{(4.3)} \leqslant(1-\alpha)+\|x_0|=(1-\alpha )+\alpha=1.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Пусть $s$ – точка на сфере $S$, полученная пересечением сферы $S$ с лучом $[\overrightarrow{0,x_0})$, т.е. $\alpha s = x_0$. Тогда
$$
\begin{equation}
\|z_n-\alpha s|=\|z_n-x_0|\overset{(4.3)}\to 1-\alpha.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Имеем
$$
\begin{equation}
\|(1+\alpha)z_n|=\|\alpha(s+z_n)+(z_n-\alpha s)| \leqslant\|\alpha(s+z_n)|+\|z_n-\alpha s|,
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
откуда, применяя (4.5), находим, что что дает
Далее, положим $s_n:=z_n/\|z_n|\in S$. Покажем, что $\|s+s_n|\to 2$. Имеем
$$
\begin{equation*}
2=\|s|+\|s_n|\geqslant\|s+s_n|\geqslant\|s+z_n|-\|s_n-z_n| \overset{(4.7),\,(4.4)}\to 2-0=2.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как по условию $X\in(\mathrm{CCLUR})$ и $\|s+s_n|\to 2$, то из последовательности $(s_n)$ можно выбрать сходящуюся подпоследовательность $(s_{n_k})$ такую, что $\|s_{n_k}-s_0|\to 0$ при некотором $s_0\in S$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\|z_{n_k}-s_0|\leqslant\|z_{n_k}-s_{n_k}|+\|s_{n_k}-s_0| \overset{(4.4)}\to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $x_0\in\operatorname{rAC}(M)$.
Необходимость в (4.1). Далее, пусть последовательность $(z_n)\subset S$ такова, что $\|(y+z_n)/2|\to 1$. Положим
$$
\begin{equation*}
w_n:=\frac{y+z_n}{2}\,, \qquad \varepsilon_n:=1-\|w_n|, \qquad v_n:=\frac{3y}{4}+\frac{z_n}{4}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation}
p\ -\ \text{ расстояние от точки } v_n \text{ до сферы }S(0,1), \text{ т.е. } p=1-\|v_n|,
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
$$
\begin{equation}
q\ -\ \text{ расстояние от точки } v_n \text{ до точки }A_n,
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
где точка $A_n$ определяется из подобия треугольников
$$
\begin{equation*}
\bigtriangleup z_nw_nC_n \quad\text{и}\quad \bigtriangleup z_nv_nA_n, \qquad \text{где}\quad C_n:=\frac{w_n}{\|w_n|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|C_n-w_n|=\|C_n|-\|w_n|=\varepsilon_n, \\ q=\|\varepsilon_n-w_n|\,\frac{\|v_n-z_n|}{\|w_n-z_n|} =\varepsilon_n\cdot\frac {3/4}{1/2} =\frac{3}{2}\,\varepsilon_n. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Точка $A $ лежит вне шара $B(0,1)$, поскольку она лежит на продолжении хорды $[z_n,v_n]$. Поэтому
$$
\begin{equation}
p\leqslant q=\frac{3}{2}\,\varepsilon_n\qquad \text{и}\qquad \|v_n|=1-p\geqslant 1-q=1-\frac{3}{2}\,v_n.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Положим При больших $n$ имеем
$$
\begin{equation*}
\|a_nv_n|\overset{(4.10),\,(4.11)}\geqslant(1+4\varepsilon_n) \biggl(1-\frac{3}{2}\,\varepsilon_n\biggr) =1+\frac{5}{2}\,\varepsilon_n-6\varepsilon_n^2>1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому при больших $n$
$$
\begin{equation}
a_n\biggl(\frac{3}{4}\,y+\frac{1}{4}\,z_n\biggr)\notin B(0,1).
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Пусть $H^2_y$ – гомотетия относительно точки $y$ с коэффициентом $2$. Пусть $y_n:=H^2_y(a_nv_n)=2a_nv_n-y$. Тогда точка $y_n$ лежит вне шара $B(-y,2)=H^2_y(B(0,1))$, и, учитывая, что $w_n=H^2_y(v_n)$, мы получаем оценки
$$
\begin{equation*}
\|y_n-w_n|=2\|a_nv_n-v_n|=2(a_n-1)\|v_n| =8\varepsilon_n(1-p)\leqslant 8\varepsilon_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда
$$
\begin{equation*}
\|y_n|\leqslant\|y_n-w_n|+\|w_n|\leqslant 1+8\varepsilon_n,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $y_n\in P_M^{8\varepsilon_n}0 :=\{w\in M\mid\|w-0|\leqslant\rho(0,M)+8\varepsilon_n\}$. Так как по условию $0\in\operatorname{rAC}(M)$, то последовательность $(y_n)$ имеет сходящуюся подпоследовательность $(y_{n_k})$. Но тогда последовательность $v_{n_k}=(y_{n_k}+y)/(2a_{n_k})$ сходится, и, следовательно, сходится последовательность $z_{n_k}=4v_{n_k}-3y$. Поэтому последовательность $(z_{n_k})$ сходится к некоторой точке $z_0\in S$. Импликация (4.2) проверяется аналогично. Теорема 4.1 доказана. Имеет место следующий несимметричный аналог п. 1) теорем 1.A и 2.A. (Напомним, что $\overline M$ – замыкание множества $M$.) Теорема 4.2. 1) Пусть $X\in(\mathrm{CCLUR})$, $M\subset X$, $x\in X$, $y\in P_{\overline M}x$. Тогда 2) Пусть $X\in(\mathrm{CLUR})$, $x\in X$, $y\in P_Mx$. Тогда Доказательство. Докажем 1). Пусть $z\in(x,y)$, $(y_n)$ – минимизирующая последовательность из $\overline M$ для $z$. Поскольку $\overline M\subset X\setminus\mathring B(x,\rho(x,M))$ (см. (2.1)), то
$$
\begin{equation*}
(y_n)\subset X\setminus\mathring B(x,\rho(x,M)) \qquad\text{при всех}\quad n.
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме 4.1 $z\in\operatorname{rAC}(X\setminus\mathring B(x,\rho(x,M))$). Поэтому $(y_n)$ имеет подпоследовательность $(y_{n_k})$, сходящуюся к некоторой точке $\widehat y\in X\setminus\mathring B(x,\rho(x,M))$, т.е. $\|y_{n_k}-\widehat y|\to 0$, при этом $\widehat y\in P_{(X\setminus\mathring B(x,\rho(x,M))}z$. Так как $(y_n)\subset\overline M$ и $\overline M$ замкнуто, то $\widehat y\in\overline M$. Окончательно, $\overline M\subset X\setminus\mathring B(x,\rho(x,M))$ и $\widehat y\in\overline M$, поэтому $\widehat y\in P_{\overline M}z$, т.е. $z\in\operatorname{rAC}(\overline M)$. Включение $\operatorname{rAC}(\overline M)\subset\mathrm{aAC}(M)$ очевидно.
Докажем 2). Выше отмечено (см. (2.1)), что $\rho(x,M)=\rho (x,\overline M)$. Пусть $z\in(x,y]$, $(y_n)$ – минимизирующая последовательность из $\overline M$ для $z$. Ясно, что при больших $n$ $(y_n)\subset X\setminus\mathring B(x,\rho(x,M))=X\setminus\mathring B(x,\rho(x,\overline M))$. По теореме 4.1 $z\in\operatorname{AC}(X\setminus\mathring B(x,\rho(x,M))$). Поэтому $(y_n)$ имеет подпоследовательность $(y_{n_k})$, сходящуюся к некоторой точке $\widehat y\in X\setminus\mathring B(x,\rho(x,M))$, т.е. $\|y_{n_k}-\widehat y|\to 0$. Так как $\overline M$ замкнуто, то $\widehat y\in\overline M$. Из доказанного п. 2) теоремы 4.2 вытекает следующее утверждение. Следующие два результата очевидны ввиду теоремы 4.2. Следствие 4.2. 1) Если $X\in(\mathrm{CCLUR})$, $M$ – замкнутое множество. Тогда 2) Если $X\in(\mathrm{CLUR})$, $M$ – замкнутое непустое множество. Тогда Следствие 4.3. 1) Если $X\in(\mathrm{CCLUR})$, $M$ – множество существования. Тогда 2) Если $X\in(\mathrm{CLUR})$, $M$ – множество существования. Тогда В связи со следствием 4.2 напомним, что в примере 2.1 построено компактное множество $M$ и точка $x\in\operatorname{AC}(M)$ такие, что $x\notin\mathrm E(M)$, т.е. $P_Mx=\varnothing$. 5. OR-устойчивость в CLUR- и CCLUR-пространствах и $\pi$-солнечностьВ геометрической теории приближений важную роль играют понятия $\delta$- и $\gamma$-солнц (см., например, [12], [17], [18]). К примеру, отметим, что на настоящий момент не известна характеризация пространств, в которых чебышёвское множество с непрерывной метрической проекцией является солнцем (это верно, к примеру, в пространствах $C(Q)$). Однако хорошо известно, что в линейном нормированном пространстве $(X,\|\cdot\|)$ чебышёвское множество с непрерывной метрической проекцией является $\delta$-солнцем (см., например, [12; теорема 6.5]). Последнее означает по определению, что $((\rho(x_n,M)-\rho(x,M))/\|x_n-x\|)\to 1$ для любой точки $x\notin M$ и некоторой последовательности $x_n\to x$. В последнее время свойства типа $\delta $-солнечности показали свою важность в ряде задач min- и max-аппроксимации (см., например, [19]–[21]). Рассмотрим следующее свойство, расширяющее понятие $\delta $-солнечности множества и являющееся удобным для приложений. Определение 5.1. Точка $x$ называется точкой $\pi$-солнечности для множества $M$, если найдутся точка $y$ из замыкания $\overline M$ множества $M$ и последовательность $(x_n)$, $x\in(y,x_n)$, $\|x-x_n|\to 0$, такие, что Соответствующую точку $y$ будем называть аппроксимативно ближайшей для $x$. Множество $M\subset X$ называется $\pi$-солнцем, если любая точка $x$ является точкой $\pi$-солнечности для множества $M$. Замечание 5.1. Если $y\in\overline M$ является аппроксимативно ближайшей точкой для $x$ (в смысле определения 5.1), то $y$ является ближайшей точкой для $x$ из замыкания $\overline M$ множества $M$, т.е. (В частности, если $M$ замкнуто, то $y\in P_Mx$.) Покажем, что если $y\in\overline M$ удовлетворяет определению 5.1, то $y\in P_{\overline M}x$. Действительно, из (5.1) имеем
$$
\begin{equation}
\|x-x_n|+o(\|x-x_n|)=\rho(x_n,M)-\|y-x| \leqslant\rho(x_n,M)-\rho(x,\overline M)\leqslant\|x-x_n|.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Поскольку по условию $\|x-x_n|\to 0$, из (5.3) имеем $\|y-x|-\rho(x,\overline M)=0$, т.е. $y\in P_{\overline M}x$. Замечание 5.2. Если $x$ – точка $\pi$-солнечности для $M$, то $x\notin\overline M$ (поскольку по условию $x\in(y,x_n)$ в определении 5.1 и имеет место (5.2)). Определение 5.2. Точка $x\notin M$ называется точкой строгой $\pi$-солнечности для множества $M$, если $P_{\overline M}x\ne\varnothing$ и для любой точки $y\in P_{\overline M}x$ существует последовательность $(x_n)$, $x\in(y,x_n)$, $\|x-x_n|\to 0$, для которой выполнено (5.1). Множество $M\subset X$ называется строгим $\pi$-солнцем, если любая точка $x\notin M$ является точкой строгой $\pi$-солнечности для множества $M$. Определение 5.3. Пусть $X$ – несимметричное пространство, $\varnothing\ne M\subset X$. Множество $M$ назовем $\mathrm{OR}$-устойчивым4 в точке $x$, если найдутся точка $y\in P_{\overline M}x$ и последовательность $(x_n)$, $x\in (y,x_n)$, $\|x-x_n|\to 0$, такие где по определению $\rho_{\mathrm{sym}}(x,N):=\inf_{y\in N}\|x-y\|_{\mathrm{sym}}$ (см. (1.1)). Соответствующую точку $y\in P_{\overline M}x$ будем называть точкой радиальной приближаемости для $M$ и $x$. Замечание 5.3. В условиях определения 5.3 всегда выполнено $x\notin\overline M$, при этом $x_n\notin\overline M$ при больших $n$, поскольку $\|x-x_n|\to 0$ и $x\in(x_n,y)$, а сужения несимметричных норм $\|\cdot|$ и $\|-\cdot|$ на луч $[ \overrightarrow{y,x})$ эквивалентны. Поэтому в определении 5.3 условие $\|x-x_n|\to 0$ можно заменить на $\|x-x_n\|_{\mathrm{sym}}\to 0$. Определение 5.4. Пусть $X$ – несимметричное пространство, $\varnothing\ne M\subset X$. Множество $M$ называется строго $\mathrm{OR}$-устойчивым в точке $x$, если $P_{\overline M}x\ne\varnothing$ и для любой точки $y\in P_{\overline M}x$ найдется последовательность $(x_n)$, $x\in (y,x_n)$, $\|x-x_n|\to 0$, такая, что Теорема 5.1. Пусть $M\subset X$ и $x$ – точка $\mathrm{OR}$-устойчивости метрической проекции на $M$. Тогда $x$ – точка $\pi$-солнечности множества $M$. Доказательство. Пусть $y\in P_{\overline M}x$, $y_n\in P_{\overline M}x_n$. Согласно замечанию 5.3 $x\notin\overline M$ и $x_n\notin\overline M$ при больших $n$. Ясно, что $\|y_n-x|\geqslant\|y-x|$. Без ограничения общности считаем, что $\|y-x|=1$. Пусть точка $z\in[x_n,y_n]$ ($z$ зависит от $n$) определяется из условия параллельности векторов $z-x$ и $y_n-y$. Из подобия треугольников $\bigtriangleup x_nyy_n$ и $\bigtriangleup x_nxz$ имеем
$$
\begin{equation*}
\|x-z\|_{\mathrm{sym}}=\|y-y_n\|_{\mathrm{sym}} \cdot\frac{\|x-x_n|}{\|y-x_n|}=o(\|x-x_n|).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, используя неравенство треугольника, получаем, что
$$
\begin{equation}
\nonumber \|y_n-x_n| =\|y_n-z|+\|z-x_n|\geqslant\|y_n-x|-\|z-x\|_{\mathrm{sym}}+\|z-x_n|
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\geqslant\|y-x|+\|z-x_n|-\|x-z\|_{\mathrm{sym}} \geqslant\|y-x|+\|x-x_n|-2\|x-z\|_{\mathrm{sym}} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\|y_n-x_n| =\|y_n-z|+\|z-x_n|\leqslant\|y_n-z|+\|x-x_n|+\|z-x| \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\leqslant\|y-z|+\|x-x_n|+\|z-x\|_{\mathrm{sym}} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\leqslant\|y-x|+\|x-z\|_{\mathrm{sym}}+\|x-x_n|+\|z-x\|_{\mathrm{sym}} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=1+\|x-x_n|+2\|x-z\|_{\mathrm{sym}} =1+\|x-x_n|+o(\|x-x_n|).
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Объединяя (5.6) и (5.7), мы получаем (5.1), что доказывает теорему 5.1. В следующем результате мы обобщаем и расширяем теорему 1.B на случай несимметричных пространств и с заменой $\mathrm{ORL}$-непрерывности на $\mathrm{OR}$-устойчивость. Теорема 5.2. 1) Пусть $X\in (\mathrm{CLUR})$ и множество $M\subset X$ $\mathrm{OR}$-устойчиво в точке $x$. Тогда $x$ – точка аппроксимативной компактности для $\overline M$. 2) Пусть $X\in(\mathrm{CCLUR})$ и множество $M\subset X$ $\mathrm{OR}$-устойчиво в точке $x$. Тогда $x$ – точка регулярной аппроксимативной компактности для $\overline M$. Доказательство. Пусть $y\in P_{\overline M}x$ – точка радиальной приближаемости для $M$ и $x$, и пусть $(x_n)$, $x\in (y,x_n)$, $\|x-x_n|\to 0$, для которого имеет место сходимость (5.4), т.е. Без ограничения общности считаем $x=0\notin\overline M$, $\rho(0,\overline M)=1$. Требуется показать, что $0\in\operatorname{AC}(\overline M)$.
Пусть $H^k_y$ – гомотетия относительно точки $y$ с коэффициентом $k$. Пусть $k_n> 1$, $k_n\to 1$, таково, что $x_n=H^{k_n}_y0$. Тогда $B(x_n,k_n)=H^{k_n}_y(B(0,1))$. Положим $\Delta_n:=k_n-1$. Не ограничивая общности считаем, что $\Delta_n<1/2$. Пусть $(z_n)$ – минимизирующая последовательность из $\overline M$ для $0$. Наш план таков: покажем, что найдется подпоследовательность номеров $(n_m)$ такая, что Тогда по свойству $X\in(\mathrm{CLUR})$ последовательность $(z_n)$ будет иметь сходящуюся подпоследовательность.Предположим, что (5.8) не выполняется; тогда для достаточно больших $n$ имеем
$$
\begin{equation}
\biggl\|\frac{(y+z_n)}{2}\biggr|<1-2\varepsilon\qquad \text{при некотором}\quad \varepsilon>0.
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Пусть точка $\widetilde z_n$ определяется условием $ \widetilde z_n\in S(0,1)\cap[y,z_n]$. Тогда $\|z_n-\widetilde z_n|\leqslant\|z_n|-1$. При необходимости переходя к подпоследовательности, можно считать, что $\|z_n|-1<R_n/2<\varepsilon$, где $R_n:=2\varepsilon\Delta_n$ (в последнем неравенстве мы воспользовались тем, что $\Delta_n<1/2$). Покажем, что $B((y+\widetilde z_n)/2,4\varepsilon/3)\subset B(0,1)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \theta_n &:=\frac{\|(y+\widetilde z_n)/2-y|}{\|(y+z_n)/2-y|} =\frac{\|\widetilde z_n-y|}{\|z_n-y|} \geqslant\frac{\|\widetilde z_n-y|}{\|z_n-\widetilde z_n|+\|\widetilde z_n-y|} =\frac 1{1+\|z_n-\widetilde z_n|/\|\widetilde z_n-y|} \\ &\geqslant\frac 1{1+\|z_n-\widetilde z_n|/(2\varepsilon)}\geqslant\frac{2}{3}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь в предпоследнем неравенстве мы воспользовались тем, что хорда $[y,\widetilde z_n]$ пересекает шар $B((y+z_n)/2,2\varepsilon)\subset B(0,1)$ радиуса $2\varepsilon$ с центром точкой на этой хорде. Поскольку в силу (5.9) имеет место включение $B((y+z_n)/2,2\varepsilon)\subset B(0,1)$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B\biggl(\frac{(y+\widetilde z_n)}{2}\,,\varepsilon\biggr) &\subset B\biggl(\frac{(y+\widetilde z_n)}{2}\,,\frac{4\varepsilon}{3}\biggr) \\ &\subset B\biggl(\frac{(y+\widetilde z_n)}{2}\,,2\varepsilon\theta_n\biggr) =H^{\theta_n}_y\biggl(B\biggl(\frac{(y+z_n)}{2}\,,2\varepsilon\biggr)\biggr) \subset B(0,1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $z_n':=H^{k_n}_y\widetilde z_n=(\widetilde z_n-y)k_n+y$ (отметим, что $z'_n\in S(x_n,k_n)$),
$$
\begin{equation*}
w_n:=H^{k_n}_y\biggl(\frac{y+\widetilde z_n}2\biggr)=\biggl(\frac{y+\widetilde z_n}2-y\biggr)k_n+y.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что
$$
\begin{equation*}
\widetilde z_n-z_n'=\widetilde z_n-((\widetilde z_n-y)k_n+y) =(k_n-1)(y-\widetilde z_n),\qquad w_n-z_n'=\frac{k_n}{2}(y-\widetilde z_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
\lambda_n:=\frac{\|\widetilde z_n-z_n'|}{\|w_n-z_n'|} =\frac{2(k_n-1)}{k_n}=\frac{2\Delta_n}{k_n}<1.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $B((y+\widetilde z_n)/2,\varepsilon)\subset B(0,1)$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B(w_n,\varepsilon k_n) &=B\biggl(\frac{k_n}{2}(\widetilde z_n-y)+y,\varepsilon k_n\biggr) =H^{k_n}_y\biggl(B\biggl(\frac{y+\widetilde z_n}{2}\,,\varepsilon\biggr)\biggr) \\ &\subset H^{k_n}_y(B(0,1))=B(x_n,k_n). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя гомотетию $H^{\lambda_n}_{z'_n}$ относительно точки $z'_n$ с коэффициентом $\lambda_n$ к доказанному выше включению $B(w_n,\varepsilon k_n)\subset B(x_n,k_n)$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B(z_n,R_n/2) &\subset B(z_n,R_n-\|z_n-\widetilde z_n|) \subset B(\widetilde z_n,R_n)=B(\widetilde z_n,2\varepsilon\Delta_n) \\ &=B(\widetilde z_n,\varepsilon k_n\lambda_n) =H^{\lambda_n}_{z'_n}(B(w_n,\varepsilon k_n)) \subset H^{\lambda_n}_{z'_n}(B(x_n,k_n))\subset B(x_n,k_n). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь последнее включение имеет место, поскольку $z'_n\in S(x_n,k_n)$ и $\lambda_n<1$. Итак,
$$
\begin{equation}
B\biggl(z_n,\frac{R_n}{2}\biggr)\subset B(x_n,k_n):=H^{k_n}_y(B(0,1)).
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
По $\pi$-солнечности (см. теорему 5.1)
$$
\begin{equation*}
\overline M\cap B(x_n,k_n)\subset X\setminus B(x_n,k_n-o(\Delta_n)).
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее включение противоречит (5.10), поскольку $z_n\in\overline M$. Это доказывает п. 1 теоремы 5.2. Пункт 2 вытекает из свойства пространств класса (CCLUR). Теорема 5.2 доказана. Замечание 5.4. В доказательстве теоремы 5.2, начиная со второго абзаца, доказано, что если $x$ – точка $\pi$-солнечности и $X$ – пространство класса (CLUR), то $x$ – точка аппроксимативной компактности (а если $X\in (\mathrm{CCLUR})$, то $x$ – точка регулярной аппроксимативной компактности). Следующий результат является непосредственным следствием замечания 5.4. Теорема 5.3. 1) Пусть $X\in(\mathrm{CCLUR})$, $M\subset X$ и $x$ – точка $\pi$-солнечности для $M$. Тогда $x$ – точка регулярной аппроксимативной компактности для $M$. 2) Пусть $X\in(\mathrm{CLUR})$, $M\subset X$ и $x$ – точка $\pi$-солнечности для $M$. Тогда $x$ – точка аппроксимативной компактности для $M$. Из теоремы 5.3 вытекает следующий результат. Следствие 5.1. 1) Пусть $M$ – замкнутое $\pi$-солнце и $X\in(\mathrm{CCLUR})$. Тогда $M$ – регулярно аппроксимативно компактно. 2) Пусть $M$ – замкнутое $\pi$-солнце и $X\in(\mathrm{CLUR})$. Тогда $M$ – аппроксимативно компактно. Следующий результат является непосредственным следствием теоремы 5.2. Следствие 5.2. 1) Пусть $X\in (\mathrm{CLUR})$ и пусть замкнутое множество $M\subset X$ $\mathrm{OR}$-устойчиво в точке $x$. Тогда $x$ – точка аппроксимативной компактности для $M$. 2) Пусть $X\in(\mathrm{CCLUR})$, и пусть замкнутое множество $M\subset X$ $\mathrm{OR}$-устойчиво в точке $x$. Тогда $x$ – точка регулярной аппроксимативной компактности для $M$. Теорема 5.4. Пусть $X\in(\mathrm{CLUR})$ – симметризуемое несимметричное пространство, $M\subset X$ – множество существования, $x$ – точка аппроксимативной компактности для множества $M$ и $P_Mx=\{y\}$. Тогда $M$ (строго) $\mathrm{OR}$-устойчиво в точке $x$. Доказательство. Так как множество $M$ и шар $B(0,1)$ замкнуты, то $x{\in}\operatorname{rAC}(M)$ и $(\mathrm{CLUR})=(\mathrm{CCLUR})$ (см. замечания 2.4 и 3.1). Пусть $(x_n)$ – произвольная последовательность такая, что $x\in(y,x_n)$. Тогда $\rho_{\mathrm{sym}}(y,P_Mx_n)\to 0$ ($n\to \infty$), т.е. множество $M$ (строго) $\mathrm{OR}$-устойчиво в точке $x$. Теорема 5.A [9]. Пусть $X\in(\mathrm{CLUR})$, $M\subset X$ – чебышёвское множество. Тогда следующие условия эквивалентны: Следующий результат, являющийся расширением и обобщением теоремы 5.A, вытекает из теорем 5.1–5.4. Полученный результат является новым также в нормированном случае. Теорема 5.5. Пусть $X\in(\mathrm{CLUR})$ – симметризуемое несимметричное пространство (в частности, линейное нормированное пространство), $M\subset X$ – множество существования, $x\in X$ и $P_Mx=\{y\}$. Тогда следующие условия равносильны: БлагодарностьАвторы благодарны рецензенту за полезные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AliTsa24} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|