| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Множества единственности для подсистем тригонометрической системы А. Д. Казаковаa  , М. Г. Плотниковba a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Английская версия:
Mathematical Notes, 2025, Volume 117, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434625010079 
Реферативные базы данных:
   ВведениеВ работе изучаются проблемы единственности разложения функций в ортогональный ряд. Один из разделов данной тематики – теория множеств единственности, берущая начало с исследования Кантора о природе множеств, при сходимости вне которых к нулю рядов по тригонометрической системе не нарушается единственность. С тех пор теория стала разветвленной, а ее развитие стимулировалось большим количеством сложных проблем, которые были открытыми в течение многих десятилетий, а некоторые остаются такими и сейчас. См. по этому поводу: [1], [2], [3; гл. 11], [4; гл. 14]. Множество $A \subset D$ называют множеством единственности или $U$-множеством для некоторой системы функций $\{f_n\}$ с областью определения $D$, если сходимость к нулю на $D \setminus A$ ряда $\sum_n c_n f_n$ влечет равенство нулю всех $c_n$. Любое измеримое $U$-множество для тригонометрической системы функций $\{\exp(2\pi i n x), \, n \in \mathbb{Z}\}$, имеет нулевую меру. Здесь мы изучаем множества единственности для подсистем тригонометрической системы, в значительной степени используя для этого “двоичные” идеи и методы из работ Стечкина и Ульянова [5], Coury [6] и Асташкина и Суханова [7], а также Лукомского [8], [9], в которых в том числе исследовались $U$-множества для подсистем другой системы функций – системы Уолша. В частности, в [5] доказывалось, что любое множество $A \subset [0,1)$ меры меньше $1/2$ есть $U$-множество для системы Радемахера, являющейся лакунарной подсистемой системы Уолша, а в [6]–[9] найдены классы $U$-множеств положительной меры для других подсистем системы Уолша. Для тригонометрической системы известна следующая теорема Зигмунда (см., например, [3; гл. 6, теорема 6.13]): если лакунарный тригонометрический ряд сходится к нулю на множестве положительной меры, то все коэффициенты этого ряда равны нулю. Под лакунарным тригонометрическим рядом понимается ряд по некоторой лакунарной подсистеме тригонометрической системы. Любая такая подсистема имеет вид $\{\exp(2\pi i n x), \, n \in \pm M\}$, где $M \subset \mathbb{N}$, причем при естественном упорядочивании элементов $M$ последние образуют лакунарную (по Адамару) последовательность $\{n_k\}_{k=0}^\infty$, т.е. такую, что для некоторого $\lambda > 1$ неравенство $n_{k+1} / n_k \geqslant \lambda$ справедливо для всех $k$. С точки зрения множеств единственности теорема Зигмунда означает, что любое измеримое подмножество $[0,1)$ неполной меры является множеством единственности для любой лакунарной подсистемы тригонометрической системы. Зигмунд обобщил свою теорему на случай конечного объединения лакунарных подсистем. Основная цель данной работы – построение трех семейств подсистем тригонометрической системы, для которых существуют множества единственности положительной меры. Все три семейства содержат подсистемы, не являющиеся конечным объединением лакунарных. Описание построенных в работе систем функций использует $p$-ичные разложения целых неотрицательных чисел. Интересно сравнить, по крайней мере при $p=2$, полученные результаты с подобными результатами для системы Уолша. Такое сравнение проводится в разделе 3. В разделе 1 приведены определения и вспомогательные факты, а основные результаты работы содержатся в п. 2.1. 1. Определения и вспомогательные фактыВсюду $\mathbb{C}$ означает множество комплексных, $\mathbb{R}$ – действительных, $\mathbb{N}$ – натуральных чисел, $\mathbb{N}_0=\mathbb{N} \cup \{0\}$. Обозначим $\lfloor a \rfloor$ нижнюю целую часть числа $a \in \mathbb{R}$, $\mathrm{I}_E$ – индикатор множества $E \subset [0,1)$, $\mathrm{e}(x):=\exp(2 \pi i x)$. Cходимость последовательностей векторов в пространствах $\mathbb{C}^n$ понимается как сходимость в евклидовой норме $\|\cdot\|_2$. Под $\|\cdot \|_{2,2}$ понимаем матричную норму, порожденную векторной нормой $\|\cdot\|_2$: $\|A\|_{2,2}:=\sup_{x \ne 0}\|Ax\|_2 / \|x\|_2$. Выражение вида
$$
\begin{equation}
\sum_{n=-N}^N c_n \exp(2\pi i n x),\qquad c_n \in \mathbb{C},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
называют тригонометрическим полиномом. Следующий результат хорошо известен (см., например, [3; гл. X, теорема (1.2)]). Лемма A1. Если полином (1.1) равен нулю в $2N+1$ различных точках $x_j \in [0,1)$, то $c_n=0$ для всех $n$. Если $A \subset \mathbb{N}_0$, то сходимость в точке $x$ к значению $S(x)$ ряда $\sum_{n \in \pm A} c_n \exp(2 \pi i n x)$ означает, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{N \to \infty}\,\sum_{n\colon|n|\leqslant N \wedge n\in\pm A} c_n \exp(2 \pi i n x)=S(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Следующая лемма есть лемма 3 из [5]. Лемма A2. Пусть $E \subset [0,1)$ – множество положительной меры, а последовательность $\{r_k\}_{k=1}^\infty$ всюду плотна в $[-1,1]$. Тогда Лемма 1. Пусть $p \geqslant 2$, $E_0,\dots,E_{p-1} \subset [0,1)$, причем $\mu E_m \geqslant a$ для всех $m$. Тогда $H:=\{x\colon x-\text{элемент минимум двух из множеств } E_0,\dots,E_{p-1}\}$. Доказательство. Обозначим
$$
\begin{equation*}
H_i:=\{x \in [0,1)\colon x-\text{элемент ровно из } i \text{ множеств } E_0,\dots,E_{p-1}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нужное неравенство вытекает из следующей цепочки:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, pa&\leqslant \sum_{m=0}^{p-1}\mu E_m=\sum_{m=0}^{p-1} \int_0^1\mathrm{I}_{E_m} d \mu=\int_0^1\sum_{m=0}^{p-1} \mathrm{I}_{E_m}(x)\,d\mu(x)=\int_0^1\sum_{i=1}^p i \, \mathrm{I}_{H_i}(x)\,d\mu(x) \\ &=\sum_{i=1}^pi\mu(H_i)\leqslant \mu\biggl(\,\bigcup_{i=1}^p H_i\biggr)+(p-1)\mu(H) \leqslant 1+(p-1)\mu(H). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Пусть задано натуральное $p \geqslant 2$. Запись
$$
\begin{equation}
n=\sum_{k=0}^{H(n)}n_k p^k,\qquad n_k \in \{0,\dots,p^k-1\},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
есть $p$-ичное разложение, а его коэффициенты $n_k$ – $p$-ичные коэффициенты числа $n \in \mathbb{N}_0$.
2. Основные результаты2.1. Системы тригонометрических функций по множествам типа $L$Выберем и зафиксируем натуральное $p \geqslant 2$. Рассмотрим произвольное счетное множество $L \subset \mathbb{N}_0$, удовлетворяющее следующему условию:
$$
\begin{equation}
\text{для всех } k \in \mathbb{N}_0 \text{ множество } \{n \in L \colon n_k \ne 0\} \text{ конечно}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Здесь $n_k$ – $p$-ичные коэффициенты числа $n$. При $p=2$ такие множества рассматривал в ряде задач Лукомский (см., например, [9]). Примером счетного множества $L$, удовлетворяющего (2.1), которое нельзя разбить на конечное число лакунарных последовательностей, является множество
$$
\begin{equation*}
\{n_{k,j}=2^{2^{2k}}+2^j, \, k \in \mathbb{N}, \, j=k,k+1,\dots,2k\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1. Если счетное множество $L \subset \mathbb{N}_0$ удовлетворяет (2.1), а ряд сходится к нулю на множестве $E$ положительной меры, то все $c_n=0$. Доказательство. Сначала покажем, что если ряд (2.2) сходится на множестве $E$ с $\mu E >0$, то он сходится п.в. на $[0,1)$. Возьмем любые целое $m$ и натуральное $l$. Так как множество $L$ удовлетворяет условию (2.1), то $p$-ичное разложение (1.2) всех $n \in L$, за исключением конечного набора, начинается с $k=l$, и для таких $n$
$$
\begin{equation*}
\mathrm{e}(\pm n(x+m p^{-l}))= \prod_{k=l}^{H(n)}\mathrm{e}(\pm n_k p^k(x+m p^{-l}))= \prod_{k=l}^{H(n)}\mathrm{e}(\pm n_k p^k x)=\mathrm{e}(\pm n x).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из сходимости ряда (2.2) на множестве $E$ получаем
$$
\begin{equation*}
\lim_{N \to \infty}\,\sum_{n \colon |n| > N \wedge n \in \pm L} c_n\mathrm{e}(n(x+m p^{-l}))=0, \qquad x \in E.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, ряд (2.2) сходится на всех множествах вида $E+m p^{-l}$, $m \in \mathbb{Z}$, $l \in \mathbb{N}$. Множество дробей $m p^{-l}$ плотно в $\mathbb{R}$, поэтому этот ряд сходится п.в. на $[0,1)$ согласно лемме A2.
Теперь допустим, что ряд (2.2) сходится к нулю на множестве $E$ с $\mu E > 0$, но не все его коэффициенты равны нулю: $c_{n_0} \ne 0$ для некоторого $n_0 \in \pm L$. Возьмем натуральное $l \in L$ настолько большим, что $l \geqslant |n_0|$ и $p^l \cdot \mu E > 1$, и возьмем натуральное $q > 2l$. Рассмотрим величины
$$
\begin{equation}
d_{m j}(x)=\sum_{n \in \pm L}c_n\mathrm{e}\bigl(n(x+m p^{-q})\bigr)- \sum_{n \in \pm L}c_n\mathrm{e}\bigl(n(x+jp^{-q})\bigr),
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
$m,j \in \{0,\dots,p^l-1\}$. Из доказанного выше вытекает, что ряд (2.2) сходится п.в. на $[0,1)$. Поэтому на некотором подмножестве $[0,1)$ меры $1$ сходятся при всех допустимых $m$ и $j$ оба ряда из формулы (2.3). Так как множество $L$ удовлетворяет условию (2.1), найдется $N \in L$ такое, что $N \geqslant p^q$ и $p$-ичное разложение всех чисел $n \in L \cap [N+1,+\infty)$ имеет вид $n=\sum_{k=q}^{H(n)} n_k p^k$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\mathrm{e}(n(x+m p^{-q}))=\mathrm{e}(n x), \qquad n \geqslant N +1,
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $x \in [0,1)$ и каждого целого $m$, и мы можем писать
$$
\begin{equation*}
d_{m j}(x)=\sum_{n \in \pm L \cap [-N,N]}c_n\bigl(\mathrm{e}(n m p^{-q})- \mathrm{e}(n j p^{-q})\bigr)\mathrm{e}(n x).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, каждая величина $d_{m j}(x)$ является тригонометрическим полиномом, причем при $m \ne j$ один из его коэффициентов есть $c_{n_0}(\mathrm{e}(n_0 m p^{-q})-\mathrm{e}(n_0 j p^{-q}))$ и он не равен нулю, так как $c_{n_0} \ne 0$ и
$$
\begin{equation*}
0 <|n_0 m p^{-q}-n_0 j p^{-q}|=|n_0|\,|m-j|p^{-q}<p^{2l-q}< 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем, с учетом леммы 1, что если $m \ne j$, то $d_{m j}(x) \ne 0$ п.в. на $[0,1)$ (и даже вне некоторого конечного множества).
С другой стороны, ряд (2.2) сходится к нулю на множестве $E \subset [0,1)$ положительной меры, поэтому при всех $m=0,\dots,p^l-1$ ряд $\sum_{n \in \pm L}c_n\mathrm{e}(n(x+m p^{-q}))$ сходится к нулю на некотором множестве $E_m \subset [0,1)$ той же самой меры. Если предположить, что $\mu(E_{m} \cap E_{j})=0$ для всех $m \ne j$, то
$$
\begin{equation}
\mu\bigcup_{m=0}^{p^l-1}E_m=\sum_{m=0}^{p^l-1}\mu E_m,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
причем левая часть (2.4) не превосходит единицы, а правая есть $p^l \cdot \mu E > 1$. Значит, $\mu(E_{m} \cap E_{j}) > 0$ для некоторых $m \ne j$. При этом $d_{m,j}(x)=0$ на множестве $E_{m} \cap E_{j}$. Мы пришли к противоречию с тем, что $d_{m,j}(x) \ne 0$ п.в. на $[0,1)$. Следовательно, $c_n=0$ для всех $n$. Теорема доказана. Следствие 1. Если счетное множество $L \subset \mathbb{N}_0$ удовлетворяет условию (2.1), то всякое множество $A \subset [0,1]$ c $\mu(A) < 1$ является множеством единственности для рядов по системе функций $\{\exp(\pm 2\pi i n x), \, n \in L\}$. 2.2. Системы тригонометрических функций по множествам $\widetilde{V}^{(d)}_p$Для натуральных $p \geqslant 2$ и $d$ обозначим $\widetilde{V}_p^{(d)}$ множество всех натуральных $n$ вида
$$
\begin{equation}
n=n_1 p^{k_1}+n_2 p^{k_2}+\dots+n_s p^{k_s}, \qquad k_1 < k_2 < \cdots < k_s, \qquad s \leqslant d, \qquad n_j \in \{1,\dots,p-1\}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Теорема 2. Предположим, что ряд сходится к постоянной $C$ на множестве $E \subset [0,1)$ меры $\mu E > 1-p^{-(d-1)}$. Тогда $C=0$ и все $c_n=0$. Доказательство. Доказательство проведем индукцией по $d$. При $d=1$ утверждение следует из обобщенной теоремы Зигмунда ($\mu E > 0$ в условии теоремы в этом случае), так как множество $\widetilde{V}_p^{(1)}$ состоит из чисел вида $m p^k$, где $k \in \mathbb{N}_0$, $m \in \{1,\dots,p-1\}$, и является объединением $p$ лакунарных последовательностей.
Допустим, утверждение теоремы верно для $d-1$; докажем, что оно верно и для $d$. Предположим, что это не так и существует ряд (2.6), не все коэффициенты которого нулевые, сходящийся к $C$ на множестве $E$ меры $\mu E > 1-p^{-(d-1)}$. Из всех $n \ne 0$ с $c_n \ne 0$ выберем $n$ с минимальным $k_1$ из формулы (2.5). Обозначим $\widetilde{n}$ выбранное $n$, а $\widetilde{k}$ – соответствующее $k_1$. Положим
$$
\begin{equation*}
X=\bigcap_{m=0}^{p-1}E_m,\qquad E_m:=E+m p^{-\widetilde{k}-1}\ (\operatorname{mod}1).
\end{equation*}
\notag
$$
Мера множества $X$ больше, чем
Фиксируем произвольное $x \in X$. Учитывая выбор $\widetilde{n}$ и $\widetilde{k}$, из сходимости ряда (2.6) к $C$ на множестве $E$ получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{n \in A_0 \sqcup \dots \sqcup A_{p-1}}c_n\mathrm{e} \bigl(n(x-m p^{-\widetilde{k}-1})\bigr)=C,\qquad m=0,\dots,p-1,
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
$$
\begin{equation*}
A_j:=\bigl\{n \in \widetilde{V}^{(d)}_p\colon n-j p^{\widetilde{k}}=0\ (\operatorname{mod}p^{\widetilde{k}+1})\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что для всех $m,j \in \{0,\dots,p-1\}$ верно соотношение
$$
\begin{equation*}
\mathrm{e}\bigl(n(x-m p^{-\widetilde{k}-1})\bigr) =\mathrm{e}\biggl(-\frac{m j}p\biggr) \mathrm{e}\bigl(j p^{\widetilde{k}}x\bigr)\mathrm{e}\bigl((n-j p^{\widetilde{k}})x\bigr), \qquad n \in A_j.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда (2.7) есть система линейных уравнений $\lim_{N \to \infty} W S_N=B$ в матричной форме, $W$, $S_N$ и $C$ – $(p \times p)$-, $(p \times 1)$- и $(p \times 1)$-матрицы соответственно,
$$
\begin{equation*}
W=\biggl(\mathrm{e}\biggl(-\frac{mj}p\biggr)\biggr)_{m,j=0,\dots,p-1},\qquad B=(C,C,\dots,C)^\top,
\end{equation*}
\notag
$$
а $j$-й элемент столбца $S_N$ есть
$$
\begin{equation*}
\sum_{n \in A_j \colon n \leqslant N}c_n \mathrm{e} (j p^{\widetilde{k}}x)\mathrm{e}((n-j p^{\widetilde{k}})x),\qquad j=0,\dots,p-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Матрица $W$ не вырождена, так как ее определитель есть определитель Вандермонда, порожденный (различными) числами $\mathrm{e}(-j/p)$, $j=0,\dots,p-1$, и он не равен нулю. Если обозначить $B_N:=W S_N$, то $S_N:=W^{-1} B_N$. Так как $\lim_{N \to \infty}\|B_N-B\|_2= 0$, то
$$
\begin{equation*}
\|S_N-W^{-1}B\|_2=\|W^{-1}(B_N-B)\|_2\leqslant \|W^{-1}\|_{2,2}\|B_N-B\|_2\to 0 \quad\text{при }\ N \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем, что для каждого $j=0,\dots,p-1$ ряд $\sum_{n \in A_j}c_n \mathrm{e}(j p^{\widetilde{k}}x) \mathrm{e}((n-j p^{\widetilde{k}}) x)$ сходится к значению $C_j$, совпадающему с $j$-й компонентой вектора $W^{-1} B$ и не зависящему от $x \in X$. Решая матричное уравнение $W(C_0,C_1,\dots,C_{p-1})^\top=(C,C,\dots,C)^\top$, несложно увидеть, что $C_0=C$ (это нам не понадобится), а все остальные $C_j$ равны нулю.
Из сказанного вытекает, что для всех $x \in X$ ряд $\sum_{n \in A_j}c_n\mathrm{e}((n-j p^{\widetilde{k}})x)$ сходится к нулю при $j=1,\dots,p-1$. Заметим, что $n-j p^{\widetilde{k}} \in \widetilde{V}_p^{(d-1)}$, а $\mu (X) > 1-p^{-(d-2)}$. Согласно предположению индукции $c_n=0$ для всех $j=1,\dots,p-1$ и $n \in A_j$. Это противоречит тому, что $c_n \ne 0$ для некоторого $j$ из указанного диапазона и $n \in A_j$, согласно построению множеств $A_j$. Противоречие завершает индукционный переход и доказывает теорему. Следствие 2. Если $X \subset [0,1)$ и $\mu X < p^{-(d-1)}$, то $X$ – множество единственности для системы $\{\exp(2\pi i n x ), \, n \in \widetilde V_p^{(d)}\}$. Теорема 3. Предположим, что ряд сходится к постоянной $C$ на множестве $E \subset [0,1)$ меры $\mu E > 1-p^{-(2d-2)}$. Тогда все его коэффициенты равны нулю и $C$ тоже. Доказательство. Докажем более общее утверждение A: если $l,d \in \mathbb{N}$, то сходимость к постоянной $C$ на множестве $E$ меры $\mu E > 1-p^{-(d+l-2)}$, ряда влечет равенство нулю всех коэффициентов. Доказав его и положив $l=d$, получим из него утверждение теоремы.
При $l=d=1$ утверждение A верно согласно теореме Зигмунда, так как ряд
$$
\begin{equation*}
-C+\sum_{n \in -\widetilde V_p^{(1)} \cup \widetilde V_p^{(1)}} c_n\exp(2\pi i n x)
\end{equation*}
\notag
$$
есть тригонометрический ряд, суммирование в котором ведется по множеству, являющемся конечным объединением лакунарных последовательностей, и сходимость этого ряда п.в. к нулю дает равенство нулю всех $c_n$. Остается доказать, что если утверждение A верно для пар $(l-1,d )$ и $(l,d-1 )$, то оно верно и для пары $(l,d )$.
Допустим, что утверждение A верно для пары $(l-1,d)$; докажем, что оно верно для пары $(l,d)$. Допустим, это не так и существует ряд вида (2.8), не все коэффициенты которого нулевые, сходящийся к $C$ на множестве $E^l \subset [0,1)$ меры $\mu E^l > 1-p^{-(d+l-2)}$. Для каждого $n \in -\widetilde V_p^{(l)} \cup \widetilde V_p^{(d)}$ с $c_n \ne 0$ возьмем $k_1$ в разложении $|n|$ по формуле (2.5) и выберем минимальное $k_1$, которое обозначим $\widetilde{k}$. Положим
$$
\begin{equation*}
E^{l-1}:=\bigcap_{m=0}^{p-1}\bigl(E^l+m p^{-\widetilde{k}-1}\ (\operatorname{mod}1)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Мера множества $E^{l-1}$ больше, чем $1-p \cdot p^{-(d+l-2)}=1-p^{-(d+l-3)}$.
Фиксируем произвольное $x \in E^{l-1}$. Учитывая выбор $\widetilde{k}$, из сходимости ряда (2.8) к $C$ на множестве $E$ получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{n \in (\bigcup_{j=1}^{p-1}A_j^-)\cup A_0 \cup (\bigcup_{j=1}^{p-1} A_j^+)}c_n \mathrm{e} (n(x-m p^{-\widetilde{k}-1}))=C,\qquad m=0,\dots,p-1,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_j^-&:=\bigl\{n \in -\widetilde{V}_p^{(l)} \colon n+j p^{\widetilde{k}} \in -\widetilde{V}_p^{(l-1)}\text{ и } n+j p^{\widetilde{k}}=0\ (\operatorname{mod}p^{\widetilde{k}+1})\bigr\}, \\ A_j^{+}&:=\bigl\{n \in \widetilde{V}_p^{(d)} \colon n-j p^{\widetilde{k}} \in \widetilde{V}_p^{(d-1)}\text{ и } n-j p^{\widetilde{k}}=0 \ (\operatorname{mod}p^{\widetilde{k}+1})\bigr\}, \\ A_0&:=\bigl\{n \in -\widetilde{V}_p^{(l)} \cup \widetilde{V}_p^{(d)} \colon n=0 \ (\operatorname{mod}p^{\widetilde{k}+1})\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что множество, по которому ведется суммирование в (2.9), можно записать в виде $A_0 \cup (\bigcup_{j=1}^{p-1}(A_j^- \cup A_{p-j}^+))$. (Для дальнейших расчетов важно, что мы объединяем каждое $A_j^-$ в пару с $A_{p-j}^+$, а не с $A_j^+$.) Возьмем произвольные $m,j \in 0,\dots,p-1$. Будем пользоваться $1$-периодичностью функции $\mathrm{e}$. Имея в виду, что $n$ кратно $p^{\widetilde{k}+1}$ для всех $n \in A_0$, получаем
$$
\begin{equation*}
\mathrm{e}(n(x-m p^{-\widetilde{k}-1}))=\mathrm{e}(n x),\qquad n \in A_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $n \in A_j^-$, то $n+j p^{\widetilde{k}}$ кратно $p^{\widetilde{k}+1}$, поэтому
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \mathrm{e}\bigl(n(x-m p^{-\widetilde{k}-1})\bigr) &=\mathrm{e}\bigl((n+j p^{\widetilde{k}})(x-m p^{-\widetilde{k}-1})\bigr) \mathrm{e}\bigl(-jp^{\widetilde{k}}(x-m p^{-\widetilde{k}-1})\bigr) \\ &=\mathrm{e}\biggl(\frac{m j}{p}\biggr) \mathrm{e}(-j p^{\widetilde{k}}x) \mathrm{e}\bigl((n+jp^{\widetilde{k}})xr), \qquad n \in A_j^-. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation}
n+j p^{\widetilde{k}} \in-\widetilde{V}_p^{(l-1)},\qquad n \in A_j^-.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Если же $n \in A_{p-j}^{+}$, то $n-(p-j)p^{\widetilde{k}}= n+j p^{\widetilde{k}}-p^{\widetilde{k}+1}$ кратно $p^{\widetilde{k}+1}$, поэтому $n+j p^{\widetilde{k}}$ тоже. Следовательно, равенство в (2.10) верно не только для $n \in A_j^-$, но и $n \in A_{p-j}^+$. Помимо этого, $n+j p^{\widetilde{k}}-p^{\widetilde{k}+1} \in \widetilde{V}_p^{(d-1)}$ для таких $n$, откуда
$$
\begin{equation}
n+j p^{\widetilde{k}}\in \widetilde{V}_p^{d},\qquad n \in A_{p-j}^+.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Из сказанного вытекает, что (2.9) можно записать как систему линейных уравнений $\lim_{N \to \infty} W S_N=B$ в матричной форме. Здесь $W$, $S_N$ и $B$ – $(p \times p)$-, $(p \times 1)$- и $(p \times 1)$-матрицы соответственно,
$$
\begin{equation*}
W=\biggl(\mathrm{e} \biggl(\frac{m j}{p}\biggr)\biggr)_{m,j=0,\dots,p-1},\qquad B=(C,C,\dots,C)^\top,
\end{equation*}
\notag
$$
а $j$-й элемент столбца $S_N$ есть
$$
\begin{equation}
\sum_{n \in A_j^- \cup A_{p-j}^+ \colon n \leqslant N} c_n\mathrm{e}(-j p^{\widetilde{k}}x)\mathrm{e} ((n+j p^{\widetilde{k}})x)
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
при $j \in 1$: $p-1$ и $\sum_{n \in A_0 \colon n \leqslant N} c_n\mathrm{e}(nx)$ при $j=0$ (последнее нам не понадобится). Повторяя рассуждения из концовки доказательства теоремы 2, получаем, что матрица $W$ не вырождена, $\lim _{N \to \infty}S_N=W^{-1}B$, причем $j$-я компонента столбца $W^{-1} B$ равна $C$ при $j=0$ и нулю при $j \in 1,\dots,p-1$. Получаем, что для $j \in 1,\dots,p-1$ выражение (2.13) стремится к нулю при $N \to \infty$, откуда вытекает сходимость к нулю ряда
$$
\begin{equation}
\sum_{n \in A_j^- \cup A_{p-j}^+}c_n \mathrm{e}((n+j p^{\widetilde{k}})x)
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
(напомним, $x \in E^{l-1}$). В силу (2.11) и (2.12) ряд (2.14) есть ряд вида
$$
\begin{equation*}
\sum_{n \in -\widetilde V_p^{(l-1)} \cup \widetilde V_p^{(d)}} c_n\exp(2\pi i n x),
\end{equation*}
\notag
$$
а сходимость этого ряда к нулю дает $c_n=0$ для всех $n \in \bigcup_{j=1}^{p-1}(A_j^- \cup A_j^+ )$ в силу предположения индукции и неравенства $\mu E^{l-1} > 1-p^{-(d+l-3)}$. Это противоречит тому, что по построению $c_n \ne 0$ для некоторого $n \in \bigcup_{j=1}^{p-1}(A_j^- \cup A_j^+)$. Противоречие доказывает, что утверждение A верно для пары $(l,d)$.
Докажем теперь, что если утверждение A верно для пары $(l,d-1)$, оно верно и для пары $(l,d)$. Отметим, что утверждение A инвариантно относительно перестановки местами $l$ и $d$. В самом деле, если оно верно для пары $(l,d)$ и множества $E$, то оно верно для пары $(d,l)$ и множества $1-E$ той же меры, что и $E$. А так как $E$ и $1-E$ пробегают семейство множеств меры, большей $1-p^{-(d+l-2)}$, одновременно, инвариантность доказана. Используя ее, получаем, что из справедливости утверждения A для пары $(l,d-1)$ вытекает его справедливость для пары $(d-1,l)$, а из нее – его справедливость для пары $(d,l)$, согласно доказанному выше. Снова пользуясь указанной инвариантностью утверждения A, получаем его справедливость для пары $(l,d)$, что и требовалось. Индукционный переход завершен и утверждение A доказано, а с ним и данная теорема. Следствие 3. Если $X \subset [0,1)$ и $\mu X < p^{-(2d-2)}$, то $X$ – множество единственности для системы $\{\exp(2\pi i n x), \, n \in \pm \widetilde V_p^{(d)}\}$. 2.3. Системы тригонометрических функций типа хаосов РадемахераЗдесь мы уточним теорему 2 и следствие 2 для рядов степенного типа по подсистемам $V_p^{(d)} \subset \widetilde V_p^{(d)}$, арифметическая структура номеров функций из которых напоминает аналогичную структуру для хаосов Радемахера [7], являющихся подсистемами системы Уолша. Для натуральных $p \geqslant 2$ и $d$ обозначим $V_p^{(d)}$ множество всех натуральных $n$ вида
$$
\begin{equation}
n=p^{k_1}+p^{k_2}+\dots+p^{k_s},\qquad k_1 < k_2 < \dots < k_s,\quad s \leqslant d.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Ограничимся вопросом о единственности для рядов степенного типа. При доказательстве теоремы 4, используется “$p$-ичная” техника, подобная той, что в случае $p=2$ использовалась при доказательстве теоремы 1 из [7]. Теорема 4. Если тригонометрический ряд сходится к некоторому $C$ на множестве $E \subset [0,1)$ меры $\mu E > 1-((p-1)/p)^{d-1}$, то $C=0$ и все $c_n=0$. Доказательство. Будем доказывать индукцией по $d$. При $d=1$ множество $V_p^{(1)}$ состоит из всех чисел вида $p^k$, а система $\exp(2\pi i n x), \, n \in V_p^{(1)}$ является лакунарной. Поэтому применима теорема Зигмунда ($\mu E > 0$ в условии теоремы при $d=1$), из которой при $d=1$ вытекает нужное утверждение.
Допустим, утверждение верно для $d-1$ и предположим, что оно не верно для $d$ и существует не тождественно нулевой ряд (2.16), который сходится к $C$ на множестве $E$ меры Рассмотрим все подобные ряды и из всех номеров $n$ с ненулевыми коэффициентами $c_n$ этих рядов выберем $n$ с минимальным $k_1$ из формулы (2.15). Обозначим $\widetilde{n}$ выбранное $n$ и $\widetilde{k}$ – соответствующее $k_1$. Положим
$$
\begin{equation*}
E_m:=E+m p^{-\widetilde{k}-1}\ (\operatorname{mod}1),\quad m \in 0,\dots,p-1,\qquad F_{mj}:=E_m \cap E_j,\quad m \ne j.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $X$ – объединение всевозможных $F_{mj}$, то лемма 1 дает
$$
\begin{equation}
\mu(X)>\frac{p \mu(E)-1}{p-1}>\frac{1}{p-1} \biggl(p\biggl(1-\biggl(\frac{p-1}{p}\biggr)^{d-1}\biggr)-1\biggr)= 1-\biggl(\frac{p-1}{p}\biggr)^{d-2}.
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Возьмем произвольное $F_{mj}$ и для всех $x \in F_{mj}$ рассмотрим выражение
$$
\begin{equation}
\sum_{n \in V^{(d)}_p}c_n \mathrm{e}(n(x-m p^{-\widetilde{k}-1}))- \sum_{n \in V^{(d)}_p}c_n \mathrm{e}(n(x-j p^{-\widetilde{k}-1})).
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
С одной стороны, оно равно нулю, так как обе суммы равны $C$. С другой стороны, значение (2.18) не изменится, если из обеих сумм одновременно удалить члены с одинаковыми номерами $n$ такими, что в разложении (2.15) числа $n$ либо $k_1 > \widetilde{k}$ (мы удаляем разность одинаковых чисел), либо $k_1 < \widetilde{k}$ (мы удаляем разность нулевых чисел). Тогда
$$
\begin{equation}
\sideset{}{'}\sum c_n \mathrm{e}(n x) \bigl[\mathrm{e}(-n m p^{-\widetilde{k}-1})- \mathrm{e}(-n j p^{-\widetilde{k}-1})\bigr]=0,
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
где $\sum'$ распространяется на
$$
\begin{equation*}
n \in V^{(d-1)}_p\colon n-p^{\widetilde{k}} \in V^{(d-1)}_p \quad \text{и} \quad n-p^{\widetilde{k}}=0\ (\operatorname{mod}p^{\widetilde{k}+1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $n-p^{\widetilde{k}}$ делится на $p^{\widetilde{k}+1}$, все $n$ внутри квадратных скобок в (2.19) можно заменить на $p^{\widetilde{k}}$ и получить
$$
\begin{equation}
\sideset{}{'}\sum c_n \mathrm{e}(n x)\biggl[\mathrm{e}\biggl(-\frac mp\biggr) -\mathrm{e}\biggl(-\frac jp\biggr)\biggr]=0,
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
причем выражение в квадратных скобах не равно нулю, так как $(m-j)/p$ не целое число. Поделим на него и на $\mathrm{e}(p^{\widetilde{k}}x)$ обе части (2.20) и получим
$$
\begin{equation}
\sideset{}{'}\sum c_n \mathrm{e}((n-p^{\widetilde{k}})x)=0,
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
причем этот ряд имеет вид $\sum_{n \in V^{(d-1)}_p}d_{n}\mathrm{e}(n x)$, он один и тот же для всех $F_{mj}$. и сходится к нулю на множестве $X$ меры, большей, $1-((p-1)/p)^{d-2}$. Поэтому, все $d_n$ равны нулю, согласно индукционному предположению. Тогда и все $c_n$ в ряде (2.21). Но это противоречит тому, что $c_{\widetilde{n}} \ne 0$ и $\widetilde{n}$ принадлежит множеству индексов суммирования ряда (2.21). Полученное противоречие доказывает теорему. Следствие 4. Если $X \subset [0,1)$ и то $X$ – множество единственности для системы $\{\exp(2\pi i n x), \, n \in V_p^{(d)}\}$. 3. ЗаключениеВ теоремах 1–4 и их следствиях подмножества $\mathbb{N}_0$ или $\mathbb{N}$, по которым строятся рассматриваемые подсистемы тригонометрических функций, определяются $p$-ичными разложениями своих элементов. Естественно сравнить в случае $p=2$ полученные результаты с известными фактами в случае, когда вместо тригонометрических функций берутся функции Уолша, определение которых использует двоичную природу как номеров функций, так и их аргументов. Функции Уолша можно определить на промежутке $[0,1)$ формулой где $R_k(x):=(-1)^{\lfloor x 2^{k+1}\rfloor}$ – функции Радемахера, а $n_k$ – двоичные коэффициенты числа $n$. Подробнее о функциях Уолша см. [12], [10], [11].Упомянутая во введении теорема Зигмунда говорит о том, что любое измеримое подмножество $[0,1)$ неполной меры является $U$-множеством для лакунарной подсистемы тригонометрической системы. В аналогичной ситуации для лакунарных рядов Уолша $U$-множеств в каком-то смысле меньше: согласно результатам работы Кури [6] для таких рядов любое множество нулевой меры является $U$-множеством. При этом нулевую меру нельзя заменить на любую положительную: для любого $\delta > 0$ существует подмножество $[0,1)$, не являющееся $U$-множеством. Асташкин и Суханов доказали в [7], что любое множество меры меньше $2^{-d}$ является множеством единственности для системы $\{W_n(x), \, n \in V_2^{(d)}\}$ (согласно терминологии [7], такая система есть объединение первых $d$ хаосов Радемахера). При этом, как показано в [7], величину $2^{-d}$ нельзя уменьшить. Из следствий 3 и 4 вытекает, что для аналогичной системы $\{\exp(2\pi i n x), \, n \in V_2^{(d)}\}$ из тригонометрических функций уже любое множество меры меньше $2^{-(d-1)}$ является множеством единственности, т.е. в тригонометрическом случае данные следствия дают более широкий класс таких множеств, нежели в случае системы Уолша. Но если в тригонометрическом случае не ограничиваться рядами степенного типа, то для системы $\{\exp(2\pi i n x), \, n \in \pm V_2^{(d)}\}$ следствие 3 дает уже более узкий класс $U$-множеств, состоящий из множеств меры меньше $2^{-2(d-1)}$. При этом, в отличие от системы Уолша, мы не знаем, являются ли точными ограничения на меру множеств $E$ и $X$ в теоремах 2–4 и их следствиях. Конечно, все построенные в работе подсистемы тригонометрической системы, не являются полными в $L_2[0,1)$. Полные системы функций, для которых существуют множества единственности положительной меры, найдены в [13] и [14]. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KazPlo25} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|