| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О конструкциях, образованных на окружности вычетами по заданному модулю М. А. Королёв Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624110142 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеЗададимся целым числом $q\geqslant 5$ и рассмотрим правильный $q$-угольник, образованный корнями степени $q$ из единицы. Зафиксируем целое число $a$ и соединим хордой вершину $e(k/q)$ с вершиной $e(m/q)$, где $m\equiv ak\ (\operatorname{mod} q)$, а $e(u) = e^{2\pi iu}$. Проделав эту операцию для каждого $k=1,2,3,\dots, q$, получим некоторое множество хорд, которое будем называть конструкцией на единичной окружности, образованной вычетами по модулю $q$. Такие конструкции обладают несомненной визуальной красотой (см. рис. 1) и в ряде случаев допускают красивые физические интерпретации. Их геометрические и арифметические свойства хорошо известны и нашли отражение в ряде статей, по большей части научно-популярных (см., например [1]–[7])1. Однако лишь недавно (2023 г., см. [8]) был отмечен тот факт, что суммарная длина $\mathscr{L}(q,a)$ хорд, отвечающих заданным $q$ и $a$, в случае, когда числа $a-1$ и $q$ взаимно просты, не зависит от $a$ и равна
$$
\begin{equation}
\mathscr{L}(q,a)=2\operatorname{ctg}{\frac{\pi}{2q}}\sim \frac{4}{\pi}\,q.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Подобные конструкции можно рассматривать и в случае, когда линейное отображение $k\mapsto ak\pmod{q}$, сопоставляющее началу хорды с номером $k$ ее конец, заменяется другим: $k\mapsto af(k)\pmod{q}$. Визуальная красота таких конструкций, как правило, исчезает (см. рис. 2), но они становятся источником содержательных теоретико-числовых задач. Одна из них рассматривается в настоящей работе. Именно, обозначим через $\mathscr{L}(f;q,a)$ суммарную длину хорд такой конструкции, отвечающей заданным числам $q$ и $a$. Вопрос, которому посвящена статья, состоит в следующем: как распределены величины $\mathscr{L}(f;q,a)$ при изменении $a$ в пределах $1\leqslant a\leqslant q$, в случае квадратичной функции $f(k)=k^{2}$? При этом мы ограничиваемся случаем, когда $q$ принимает значения простых чисел. Несложно показать (теорема 1), что в первом приближении величины $\mathscr{L}(f;q,a)$ не зависят от $a$: главный член соответствующей формулы совпадает с (1.1). Напротив, остаточный член такой формулы имеет порядок $\sqrt{q}$ и существенным образом зависит от $a$. При этом оказывается, что величина
$$
\begin{equation}
\frac{\pi}{8\sqrt{q}}\biggl(2\operatorname{ctg}{\frac{\pi}{2q}}-\mathscr{L}(f;q,a)\biggr)
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
хорошо приближается некоторым тригонометрическим многочленом $\mathcal{R}_{q}(\varphi)$ и ее распределение зависит от того, какие значения принимает символ Лежандра $\bigl(\frac{p}{q}\bigr)$ на первых простых числах $p$, не превосходящих некоторой границы. Однако формализовать это утверждение удается лишь в двух специальных случаях (теоремы 2, 3), когда простое число $q$ лежит в особых арифметических прогрессиях с большой разностью. В общем же случае удается лишь получить нижние оценки на число тех вычетов $a$, для которых остаточный член (1.2) принимает значения, близкие к заданному (теорема 4). Некоторые свойства полинома $\mathcal{R}_{q}(\varphi)$, связанного с (1.2), исследуются в теореме 5. ОбозначенияВсюду в статье $q$ – нечетное простое число, $\bigl(\frac{\cdot}{q}\bigr)$ – символ Лежандра по модулю $q$; $p_{n}$, $n= 1,2,3,\dots$, – все подряд идущие простые числа, занумерованные по возрастанию; $\psi(z)=\Gamma'(z)/\Gamma(z)$ – дигамма-функция; $\theta, \theta_{1}, \theta_{2},\dots$ – комплексные числа, не превосходящие по модулю единицы, в разных соотношениях, вообще говоря, разные. Поскольку функция $f(k)=k^{2}$ зафиксирована, вместо $\mathscr{L}(f;q,a)$ условимся писать $\mathscr{L}(q,a)$. Для натурального $n\geqslant 2$ через $P^{+}(n)$ и $P^{-}(n)$ обозначаются его наибольший и, соответственно, наименьший простой делитель. Число $n$ называется $y$-гладким (для $y\geqslant 2$), если $n=1$ либо $P^{+}(n)\leqslant y$, и называется $y$-грубым, если $P^{-}(n)>y$. Наконец, символом $\Omega(n)$ обозначается число простых делителей $n$ с учетом кратности. 2. Вспомогательные утвержденияОпределим на вещественной прямой функции
$$
\begin{equation*}
P(\varphi)=\frac{1}{2}-\frac{\pi}{4}|\sin{\pi\varphi}|, \qquad Q(\varphi)= \frac{1}{2}(\sin{\pi\varphi})\ln\biggl|\operatorname{ctg}{\frac{\pi\varphi}{2}}\biggr|,
\end{equation*}
\notag
$$
полагая (по непрерывности) $Q(n)=0$ при всех целых $n$ (см. рис. 3). Непосредственным вычислением доказывается Для вычисления значений полиномов $P,Q$ в рациональных точках вида $\varphi=a/q$ потребуется следующее утверждение. Доказательство. Положим $n=kq+\ell$, где $k\geqslant 0$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{4n^{2}-1} &=\frac{1}{2}\biggl(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\biggr)=\frac{1}{2}\biggl(\frac{1}{2kq+2\ell-1}-\frac{1}{2kq+2\ell+1}\biggr) \\ &=\frac{1}{4q}\biggl(\frac{1}{k+(2\ell-1)/q}-\frac{1}{k+(2\ell+1)/q}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью равенства
$$
\begin{equation*}
\psi(z)=\sum_{k=0}^{+\infty}\biggl(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+z}\biggr)-\gamma,
\end{equation*}
\notag
$$
в котором $\gamma$ обозначает постоянную Эйлера, $z \ne 0,-1,-2,\dots$, сумма из условия преобразуется к виду
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{4q}\biggl\{\sum_{k=0}^{+\infty}\biggl(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+(2\ell+1)/q}\biggr)- \sum_{k=0}^{+\infty}\biggl(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+(2\ell-1)/q}\biggr)\biggr\} \\ &\qquad=\frac{1}{4q}\biggl\{ \psi\biggl(\frac{2\ell+1}{2q}\biggr)-\psi\biggl(\frac{2\ell-1}{2q}\biggr) \biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Замечание 1. В частном случае $\ell=0$ из тождеств Пусть $\alpha$ – точка максимума $Q(\varphi)$ на отрезке $0\leqslant\varphi\leqslant 0.5$, и $\beta=Q(\alpha)=(1/2)\operatorname{tg}{\pi\alpha}$; приближенное вычисление дает: $\alpha=0.1863009\dots$, $\beta=0.331372\dots$ . Несложно проверить, что производная $Q'(\varphi)$ имеет на отрезке $0\leqslant\varphi\leqslant 1$ нули в точках $\alpha$ и $1-\alpha$, монотонно убывает на интервале $(0,0.5)$ от $+\infty$ до значения $(-\pi/2)= Q'(0.5)$, и монотонно возрастает на интервале $(0.5,1)$ от $(-\pi/2)$ до $+\infty$. Далее, вторая производная $Q''(\varphi)$ монотонно возрастает на интервале $(0,1)$ от $-\infty$ до $+\infty$, обращаясь в нуль в точке $\varphi=0.5$. Наконец, третья производная $Q^{(3)}(\varphi)$ монотонно убывает на $(0,0.5)$ от $+\infty$ до значения $\pi^{3}=Q^{(3)}(0.5)$ и монотонно возрастает на $(0.5,1)$ до $+\infty$. Для всякого $x$ c условиями $0\leqslant x\leqslant \beta$ определим величины $\xi(x)$ и $\eta(x)$ как наименьший и наибольший корни уравнения $Q(\varphi)=x$, лежащие на отрезке $0\leqslant \varphi\leqslant 0.5$. Тогда $\xi(x)$ монотонно возрастает на отрезке $0\leqslant x\leqslant \beta$ от значения $\xi(0)=0$ до значения $\xi(\beta)=\alpha$, а $\eta(x)$ монотонно убывает от $\eta(0)=0.5$ до $\eta(\beta)=\alpha$. Очевидно, если $0\leqslant x\leqslant\beta$, то уравнение $Q(\varphi)=-x$ имеет на отрезке $0.5\leqslant \varphi\leqslant 1$ два корня: $\xi_{1}$ и $\eta_{1}$, причем $\xi_{1}=1-\xi(x)$, $\eta_{1}=1-\eta(x)$. Обозначим для каждой из функций $F=P,Q$ и любого вещественного $x$ через $\mathscr{E}(F;x)$ меру множества тех $\varphi$, $0\leqslant\varphi\leqslant 1$, для которых $F(\varphi)\leqslant x$. Определим, далее, для вещественного $x$ величину
$$
\begin{equation*}
\omega=\omega(F;x,h)=\bigl|\mathscr{E}(F+h;x)-\mathscr{E}(F;x)\bigr|.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае $F=Q$ при $|x|>\beta+|h|$ имеем, очевидно: $\omega(F;x,h)\equiv 0$. Следующая лемма дает оценку величины $\omega(F;x,h)$ при малых $h$. Лемма 3. Существует абсолютная постоянная $c_{0}$ такая, что при любом $h$, $|h|\leqslant c_{0}$, и любом $x$ для каждой из функций $F=P,Q$ справедлива оценка Доказательство. В случае $F=P$ несложно заключить, что наибольшее значение величины $\omega(F;x,h)$ равно длине отрезка $AD$ горизонтальной касательной к графику $P(\varphi)$ в точке $\varphi=1/2$, заключенного между двумя синусоидами (см. рис. 5). Обозначая длину $AB$ через $\delta$ (так что $AD=2\delta$), будем иметь
$$
\begin{equation*}
P\biggl(\frac{1}{2}-\delta\biggr)-h=P\biggl(\frac{1}{2}\biggr)=\frac{1}{2}-\frac{\pi}{4}
\end{equation*}
\notag
$$
или, что то же,
$$
\begin{equation*}
h=P\biggl(\frac{1}{2}-\delta\biggr)-P\biggl(\frac{1}{2}\biggr)=\frac{\pi}{4}(1-\cos{\pi \delta})=\frac{\pi}{2}\sin^{2}\frac{\pi\delta}{2},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
\delta=\frac{2}{\pi}\arcsin{\sqrt{\frac{2h}{\pi}}}, \qquad AD=\frac{4}{\pi}\arcsin{\sqrt{\frac{2h}{\pi}}}< 1.02\sqrt{h}.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем теперь утверждение в случае $F=Q$. Определим (см. рис. 6) для разных положений горизонтальной прямой $x=x_{i}$ отрезки $A_{i}B_{i}$, $C_{i}D_{i}$, предполагая, что в случаях, когда $x_{i}$ лежит между $\beta$ и $\beta+h$ либо между $(-\beta)$ и $(-\beta+h)$, точки $B_{i}$, $C_{i}$ совпадают и имеют одинаковую абсциссу (равную $\alpha$ либо $1-\alpha$). Тогда величина $\omega=\omega(F;x,h)$ равна суммарной длине указанных отрезков.
Будем считать, что $16h\leqslant \min\bigl\{Q(\alpha/2),Q(3\alpha/2)\bigr\}=0.276\dots$ . В силу симметрии рис. 6 относительно точки $(0.5,0.5h)$ достаточно доказать утверждение в случае $h>0$, $0.5h<x\leqslant \beta+h$. Пусть сначала $0.5h<x\leqslant 16h$. Положим тогда $\xi_{0}=\xi(16h)$, $\xi_{1}=\xi(h)$, так что $0<\xi_{1}<\xi_{0}$. Введя обозначения как на рис. 7, (а), будем, очевидно, иметь $BE\leqslant B'E'= \xi_{0}$. Далее, если $A'$ – точка с координатами $(-\xi_{1},0)$, то $AE\leqslant A'O= \xi_{1}\leqslant A''E''=\xi_{0}$. Следовательно, Подобным образом доказывается и неравенство $CD\leqslant 2(0.5-\eta_{0})$, где $\eta_{0}=\eta(16h)$.По формуле конечных приращений
$$
\begin{equation*}
16h=Q(\xi_{0})=Q(\xi_{0})-Q(0)=\xi_{0}Q'(\zeta_{1}), \qquad\text{где}\quad 0< \zeta_{1}\leqslant \xi_{0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $16h< Q(\alpha/2)$, то $\xi_{0}<\alpha/2$, так что $Q'(\zeta_{1})>Q'(\alpha/2)$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\xi_{0}=\frac{16h}{Q'(\zeta_{1})} < \frac{16h}{Q'(\alpha/2)}=\frac{16\sqrt{h}\sqrt{h}}{Q'(\alpha/2)} \leqslant \sqrt{h}\cdot\frac{4\sqrt{Q(\alpha/2)}}{Q'(\alpha/2)}< 1.61\sqrt{h}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично,
$$
\begin{equation}
16h=Q(\eta_{0})=Q(\eta_{0})-Q(0.5)=(0.5-\eta_{0})|Q'(\zeta_{2})|, \qquad \eta_{0}\leqslant \zeta_{2}\leqslant 0.5.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Поскольку $16h<Q(3\alpha/2)$, то $\zeta_{2}\geqslant \eta_{0}\geqslant 3\alpha/2$, так что $|Q'(\zeta_{2})| \geqslant |Q'(3\alpha/2)|$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
0.5-\eta_{0}=\frac{16h}{|Q'(\zeta_{2})|} \leqslant \frac{16h}{|Q'(3\alpha/2)|} \leqslant \sqrt{h}\cdot \frac{4\sqrt{Q(\alpha/2)}}{|Q'(3\alpha/2)|} < 2.59\sqrt{h}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $\omega\leqslant 2(1.61\sqrt{h}+2.59\sqrt{h})=8.4\sqrt{h}$. Пусть теперь $16h<x\leqslant \beta$, и пусть $u,v$ – абсциссы точек $C$ и $D$ (см. рис. 7, (b)). Очевидно, $\alpha\leqslant u\leqslant \eta_{0}$, $\alpha<v<0.5$. Поскольку $Q(u)=x$, $Q(v)+h=x=Q(u)$, то $h=Q(u)-Q(v)$. Полагая $\Delta=v-u$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
h=Q(u)-Q(u+\Delta)=-\Delta Q'(u)-\frac{\Delta^{2}}{2}Q''(\zeta_{3}), \qquad\text{где}\quad u\leqslant \zeta_{3}\leqslant v.
\end{equation*}
\notag
$$
Но $Q'(u)\leqslant 0$, $Q''(\zeta_{3})<0$, так что
$$
\begin{equation*}
h=\Delta|Q'(u)|+\frac{\Delta^{2}}{2}|Q''(\zeta_{3})|.
\end{equation*}
\notag
$$
Допустим сначала, что $3\alpha/2\leqslant u\leqslant \eta_{0}$. Тогда $|Q'(u)|\geqslant |Q'(3\alpha/2)|$, так что
$$
\begin{equation*}
\Delta\biggl|Q'\biggl(\frac{3\alpha}2\biggr)\biggr|\leqslant \Delta|Q'(u)|\leqslant h,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
\Delta\leqslant \frac{h}{|Q'(3\alpha/2)|} \leqslant \sqrt{h}\,\frac{\sqrt{Q(\alpha/2)}}{4|Q'(3\alpha/2)|} <0.17\sqrt{h}.
\end{equation*}
\notag
$$
Допустим теперь, что $\alpha \leqslant u < 3\alpha/2$. Покажем, что $v<2\alpha$. Действительно, положив $\eta_{1}=\eta(15h)$, будем иметь: $Q(\eta_{1})+h=16h<x=Q(v)+h$, т.е. $Q(\eta_{1})<Q(v)$ и, следовательно, $v<\eta_{1}$. Далее,
$$
\begin{equation*}
15h=Q(\eta_{1})=Q(\eta_{1})-Q(0.5)=(0.5-\eta_{1})|Q'(\zeta_{4})|, \qquad\text{где}\quad \eta_{1}\leqslant \zeta_{4}\leqslant 0.5.
\end{equation*}
\notag
$$
Но $|Q'(\zeta_{4})|\leqslant |Q'(0.5)|=\pi/2$, так что
$$
\begin{equation*}
15h\leqslant \frac{\pi}{2}\,(0.5-\eta_{1}), \qquad \eta_{1}\leqslant \frac{1}{2}-\frac{30}{\pi}h.
\end{equation*}
\notag
$$
Но тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \zeta_{3}\leqslant v<\eta_{1}\leqslant \frac{1}{2}-\frac{30}{\pi}h, \\ |Q''(\zeta_{3})|>|Q''(\eta_{1})|\geqslant \biggl|Q''\biggl(\frac{1}{2}-\frac{30}{\pi}h\biggr)\biggr| =\frac{30h}{\pi}Q^{(3)}(\zeta_{4}) > \frac{30h}{\pi}Q^{(3)}(0.5)=30\pi^{2}h. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 30\pi^{2}h\,\frac{\Delta^{2}}{2}\leqslant |Q''(\zeta_{3})|\,\frac{\Delta^{2}}{2}\leqslant \Delta |Q'(u)|+\frac{\Delta^{2}}{2}\,|Q''(\zeta_{3})|= h,\\ 15\pi^{2}\Delta^{2}\leqslant 1 \qquad\text{и, наконец,}\quad \Delta\leqslant \frac{1}{\pi\sqrt{15}} < \frac{\alpha}{2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $v=u+\Delta<3\alpha/2+\Delta < 3\alpha/2+\alpha/2=2\alpha$, что и требовалось. Поэтому $\zeta_{3}\leqslant v < 2\alpha$, $|Q''(\zeta_{3})|> |Q''(2\alpha)|$, так что окончательно находим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\Delta^{2}}{2}|Q''(2\alpha)| \leqslant \frac{\Delta^{2}}{2}|Q''(\zeta_{3})| \leqslant \Delta |Q'(u)|+\frac{\Delta^{2}}{2}|Q''(\zeta_{3})|= h, \\ \Delta^{2}\leqslant \frac{2h}{|Q''(\alpha)|}, \qquad \Delta\leqslant \sqrt{\frac{2h}{|Q''(2\alpha)|}} < 0.72\sqrt{h}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, $\Delta=CD\leqslant 0.72\sqrt{h}$ при $16h<x\leqslant \beta$. Но эта же оценка остается справедливой и в случае $\beta < x\leqslant \beta+h$, так как длина отрезка $C'D'$, отвечающего указанному $x$, не превосходит длины отрезка $CD$, отвечающего $x=\beta$. Оценим, наконец, длину $\delta$ отрезка $AB$. Как и выше, достаточно ограничиться случаем $16h<x\leqslant\beta$. Пусть $Q(u)+h=Q(v)$, $v= u+\delta$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, h=Q(v)-Q(u)=Q(v)-Q(v-\delta)=\delta Q'(v)-\frac{\delta^{2}}{2}Q''(\zeta_{5})=\delta |Q'(v)|+\frac{\delta^{2}}{2}|Q''(\zeta_{5})|, \\ u\leqslant \zeta_{5}\leqslant v. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $v\leqslant \alpha$, то тем более $\zeta_{5}\leqslant v$ и $|Q''(\zeta_{5})|\geqslant |Q''(\alpha)|$, откуда
$$
\begin{equation*}
\frac{\delta^{2}}{2}|Q''(\alpha)|\leqslant \frac{\delta^{2}}{2}|Q''(\zeta_{5})|\leqslant h, \qquad \delta\leqslant \sqrt{\frac{2h}{|Q''(\alpha)|}}< 0.44\sqrt{h}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана.
3. Явная формула для величины $\mathscr{L}(q,a)$Целью настоящего раздела является описание множества значений, которые принимает величина $\mathscr{L}(q,a)$ при изменении $a$. Теорема 1. Пусть $q$ – нечетное простое число. Тогда при любом $a$, $0<a<q$, справедливо равенство Доказательство. Для упрощения выкладок вместо функции $f(k)=k^{2}$ будем рассматривать функцию $f(k)=-k^{2}$. Пусть $A, B$ – точки на единичной окружности, и пусть $\pi\varphi$ – длина любой из дуг, соединяющих эти точки. Тогда $|AB|=2|\sin{\pi\varphi}|$. Полагая $\varphi=(ak^{2}+k)/q$, и пользуясь разложением
$$
\begin{equation*}
|\sin{\pi\varphi}|=-\frac{2}{\pi}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{e(n\varphi)}{4n^{2}-1},
\end{equation*}
\notag
$$
которое получается из формул леммы 1, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathscr{L}(q,a) &=2\sum_{k=1}^{q}\biggl|\sin{\frac{\pi}{q}(ak^{2}+k)}\biggr|= -\frac{4}{\pi}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{4n^{2}-1}\sum_{k=1}^{q}e\biggl(\frac{n}{q}(ak^{2}+k)\biggr) \\ &=-\frac{4}{\pi}q\sum_{n\equiv 0\,(\operatorname{mod}{q})}\frac{1}{4n^{2}-1}-\frac{4}{\pi}\sum_{n\not\equiv 0\,(\operatorname{mod}{q})}\frac{G(q;na,n)}{4n^{2}-1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
G(q;u,v)=\sum_{k=1}^{q}e\biggl(\frac{uk^{2}+vk}{q}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
– сумма Гаусса. С помощью формулы (2.2) первое слагаемое в (3.1) преобразуется к виду
$$
\begin{equation*}
-\frac{4}{\pi}q\biggl(2\sum_{\substack{n\equiv 0\,(\operatorname{mod}{q}) \\ n\geqslant 0}}\frac{1}{4n^{2}-1}+1\biggr)= -\frac{4}{\pi}q\biggl(-1-\frac{\pi}{2q}\operatorname{ctg}{\frac{\pi}{2q}}+1\biggr)= 2\operatorname{ctg}{\frac{\pi}{2q}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, в случае $(a,q)=1$ имеем
$$
\begin{equation*}
ak^{2}+k \equiv a(k+\overline{2}\,\overline{a})^{2}-\overline{4}\,\overline{a} \pmod{q}, \qquad\text{где}\quad a\overline{a}\equiv 1\pmod{q},
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
G(q;na,n)=e\biggl(-\frac{\overline{4}\,\overline{a}n}{q}\biggr)G(q;na), \qquad\text{где}\quad G(q;u)=G(q;u,0)=\sum_{k=1}^{q}e\biggl(\frac{u k^{2}}{q}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Для $u$, взаимно простого с $q$, справедливы равенства (см. [9; гл. I, § 3, формула (51)])
$$
\begin{equation*}
G(q;u)=\biggl(\frac{u}{q}\biggr)G(q;1)=\biggl(\frac{u}{q}\biggr)\varepsilon(q)\sqrt{q}, \qquad \varepsilon(q)= \begin{cases} 1, & \text{если } q\equiv 1\pmod{4}, \\ i, & \text{если } q\equiv 3\pmod{4}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому второе слагаемое в (3.1) принимает вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &-\frac{4}{\pi}\sum_{\substack{n=1 \\ (n,q)=1}}^{+\infty}\frac{1}{4n^{2}-1}\biggl\{e\biggl(-\,\frac{\overline{4}\,\overline{a}n}{q}\biggr)\biggl(\frac{an}{q}\biggr)+ e\biggl(\frac{\overline{4}\,\overline{a}n}{q}\biggr)\biggl(\frac{-an}{q}\biggr)\biggr\}\varepsilon(q)\sqrt{q} \\ &\qquad =-\frac{4}{\pi}\varepsilon(q)\sqrt{q}\sum_{\substack{n=1 \\ (n,q)=1}}^{+\infty}\frac{1}{4n^{2}-1}\biggl(\frac{an}{q}\biggr)\biggl\{e\biggl(-\,\frac{\overline{4}\,\overline{a}n}{q}\biggr)+ (-1)^{(q-1)/2}e\biggl(\frac{\overline{4}\,\overline{a}n}{q}\biggr)\biggr\} \\ &\qquad =-\frac{4}{\pi}\biggl(\frac{a}{q}\biggr)\varepsilon(q)\sqrt{q}\sum_{\substack{n=1 \\ (n,q)=1}}^{+\infty}\frac{1}{4n^{2}-1}\biggl(\frac{n}{q}\biggr) \biggl\{e\biggl(-\,\frac{\overline{4}\,\overline{a}n}{q}\biggr)+(-1)^{(q-1)/2}e\biggl(\frac{\overline{4}\,\overline{a}n}{q}\biggr)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выражение в фигурных скобках равно $2\cos(2\pi\,\overline{4}\,\overline{a}n/q)$ либо $\bigl(-2i\sin(2\pi\,\overline{4}\,\overline{a}n/q)\bigl)$ в зависимости от того, сравнимо ли $q$ с $1$ или $3$ по модулю $4$. Следовательно, второе слагаемое в (3.1) представится в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &-\frac{4}{\pi}\biggl(\frac{a}{q}\biggr)\sqrt{q}\sum_{\substack{n=1 \\ (n,q)=1}}^{+\infty}\frac{2}{4n^{2}-1}\biggl(\frac{n}{q}\biggr)\mathcal{H}\biggl(\frac{\overline{4}\,\overline{a}n}{q}\biggr) \\ &\qquad =-\frac{8}{\pi}\biggl(\frac{\overline{4}\,\overline{a}}{q}\biggr)\sqrt{q}\sum_{\substack{n=1 \\ (n,q)=1}}^{+\infty}\frac{1}{4n^{2}-1}\biggl(\frac{n}{q}\biggr)\mathcal{H}\biggl(\frac{\overline{4}\,\overline{a}n}{q}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $a$ пробегает полную систему вычетов по модулю $q$, то множитель при $(-8/\pi)\sqrt{q}$ в правой части последнего равенства пробегает то же множество значений, что и величина
$$
\begin{equation*}
\rho(q;a)=\biggl(\frac{a}{q}\biggr)\sum_{\substack{n=1 \\ (n,q)=1}}^{+\infty}\frac{1}{4n^{2}-1}\biggl(\frac{n}{q}\biggr)\mathcal{H}\biggl(\frac{na}{q}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь леммой 2, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \rho(q;a) &=\biggl(\frac{a}{q}\biggr)\sum_{\ell=1}^{q-1}\sum_{\substack{n\equiv\ell\,(\operatorname{mod} q) \\ n\geqslant 0}}\frac{1}{4n^{2}-1}\biggl(\frac{n}{q}\biggr)\mathcal{H}\biggl(\frac{na}{q}\biggr) \\ &=\biggl(\frac{a}{q}\biggr)\sum_{\ell=1}^{q-1}\biggl(\frac{\ell}{q}\biggr)\mathcal{H}\biggl(\frac{\ell a}{q}\biggr) \sum_{\substack{n\equiv\ell\,(\operatorname{mod} q) \\ n\geqslant 0}}\frac{1}{4n^{2}-1} \\ &=\,\frac{1}{4q}\biggl(\frac{a}{q}\biggr)\sum_{\ell=1}^{q-1}\biggl(\frac{\ell}{q}\biggr)\mathcal{H}\biggl(\frac{\ell a}{q}\biggr)\biggl\{\psi\biggl(\frac{2\ell+1}{2q}\biggr)-\psi\biggl(\frac{2\ell-1}{2q}\biggr)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Несложно проверить, что произведение $\bigl(\frac{\ell}{q}\bigr)\mathcal{H}\bigl(\ell a/q\bigr)$ не меняется от замены $\ell$ на $q-\ell$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \rho(q;a) &=\frac{1}{4q}\biggl(\frac{a}{q}\biggr)\sum_{\ell=1}^{(q-1)/2}\biggl(\frac{\ell}{q}\biggr)\mathcal{H}\biggl(\frac{\ell a}{q}\biggr)\biggl\{ \psi\biggl(\frac{2\ell+1}{2q}\biggr)-\psi\biggl(\frac{2\ell-1}{2q}\biggr) \\ &\qquad +\psi\biggl(\frac{2(q-\ell)+1}{2q}\biggr)-\psi\biggl(\frac{2(q-\ell)-1}{2q}\biggr)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью формул (2.1) выражение в фигурных скобках приводится к виду
$$
\begin{equation*}
\pi\operatorname{ctg}{\frac{\pi(2\ell-1)}{2q}}-\pi\operatorname{ctg}{\frac{\pi(2\ell+1)}{2q}}=\frac{\pi\sin{\frac{\pi}{q}}}{\sin{\frac{\pi(2\ell-1)}{2q\mathstrut }}\,\sin{\frac{\pi(2\ell+1)}{2q\mathstrut}}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, пользуясь при $0<x\leqslant 0.5$ разложением
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\sin{\pi x}}=\frac{1}{\pi x}+\frac{\pi x}{6}+O(x^{3}),
\end{equation*}
\notag
$$
заключаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl\{\sin{\frac{\displaystyle \pi(2\ell-1)}{\displaystyle 2q\mathstrut }}\,\sin{\frac{\displaystyle \pi(2\ell+1)}{\displaystyle 2q\mathstrut}}\biggr\}^{-1} \\ &\qquad =\biggl(\frac{2q}{\pi(2\ell+1)}+\frac{\pi(2\ell+1)}{12q}+O\biggl(\frac{\ell^{3}}{q^{3}}\biggr)\biggr) \biggl(\frac{2q}{\pi(2\ell-1)}+\frac{\pi(2\ell-1)}{12q}+O\biggl(\frac{\ell^{3}}{q^{3}}\biggr)\biggr) \\ &\qquad =\frac{4q^{2}}{\pi^{2}(4\ell^{2}-1)}+O(1), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \rho(q;a) &=\frac{\pi}{4q}\biggl(\sin{\frac{\pi}{q}}\biggr)\biggl(\frac{a}{q}\biggr)\sum_{\ell=1}^{(q-1)/2} \biggl(\frac{\ell}{q}\biggr)\mathcal{H}\biggl(\frac{a\ell}{q}\biggr)\biggl\{ \frac{4q^{2}}{\pi^{2}(4\ell^{2}-1)}+O(1)\biggr\} \\ &=\frac{q}{\pi}\biggl(\sin{\frac{\pi}{q}}\biggr)\biggl(\frac{a}{q}\biggr) \sum_{\ell=1}^{(q-1)/2}\biggl(\frac{\ell}{q}\biggr)\frac{\mathcal{H}(a\ell/q)}{4\ell^{2}-1}+O\biggl(\frac{1}{q}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Замечая, наконец, что
$$
\begin{equation*}
\frac{q}{\pi}\biggl(\sin{\frac{\pi}{q}}\biggr)=1+O\biggl(\frac{1}{q^{2}}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
получим Для завершения доказательства остается заметить, что 4. Распределение величин $r(q;a)$ в случае специальных модулей $q$Результаты вычисления значений величин $r(q;a)$, $a=1,2,\dots,q$, для заданных $q$ можно представить в виде гистограмм, примеры которых приведены на рис. 8. В свете теоремы 1 естественно предположить, что распределение величин $r(q;a)$ существенно зависит от свойств полинома $\mathcal{R}_{q}(\varphi)$. В свою очередь, поведение этого полинома во многом определяется тем, какие значения принимает символ Лежандра $\bigl(\frac{n}{q}\bigr)$ на начальном отрезке натурального ряда. По этой причине отыскать предельную форму гистограмм удается лишь в очень частном случае, когда наименьший квадратичный невычет $n_{q}$ по модулю $q$ достаточно велик, т.е. когда полином $\mathcal{R}_{q}(\varphi)$ с хорошей точностью приближается функцией
$$
\begin{equation*}
\sum_{\ell=1}^{+\infty}\frac{\mathcal{H}(\ell\varphi)}{4\ell^{2}-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Последняя же совпадает с функцией $P(\varphi)$ в случае $q\equiv 1\pmod{4}$ и с функцией $Q(\varphi)$ при $q\equiv 3\pmod{4}$. Справедливы следующие утверждения. Теорема 2. Пусть $0<\varepsilon<0.1$ – фиксированная постоянная, Теорема 3. Пусть $0<\varepsilon<0.1$ – фиксированная постоянная, Доказательство. Докажем теорему 2. Из условий (4.2) следует, что $p_{N}<n_{q}$, где $n_{q}$ – наименьший квадратичный невычет по модулю $q$. Очевидно, $n_{q}<q$, так что $(p_{n},q)=1$ для всех $n\leqslant N$. Поэтому $\bigl(\frac{\ell}{q}\bigr)=+1$ для всякого $p_{N}$-гладкого числа $\ell$. Обозначим через $\mathcal{A}$ множество всех $p_{N}$-гладких чисел отрезка $1\leqslant \ell\leqslant t$, $t=(q-1)/2$, а через $\mathcal{B}$ – дополнение к нему. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{R}_{q}(\varphi) &=\sum_{\ell=1}^{t}\biggl(\frac{\ell}{q}\biggr)\frac{\mathcal{H}(\ell\varphi)}{4\ell^{2}-1}=\biggl(\,\sum_{\ell\in \mathcal{A}}+\sum_{\ell\in \mathcal{B}}\biggr)\biggl(\frac{\ell}{q}\biggr)\frac{\mathcal{H}(\ell\varphi)}{4\ell^{2}-1} =\sum_{\ell\in \mathcal{A}}\frac{\mathcal{H}(\ell\varphi)}{4\ell^{2}-1}+\sum_{\ell\in \mathcal{B}}\biggl(\frac{\ell}{q}\biggr)\frac{\mathcal{H}(\ell\varphi)}{4\ell^{2}-1} \\ &=\sum_{\ell=1}^{+\infty}\frac{\mathcal{H}(\ell\varphi)}{4\ell^{2}-1}-\sum_{\ell>t}\frac{\mathcal{H}(\ell\varphi)}{4\ell^{2}-1} - \sum_{\substack{\ell\leqslant t \\ \ell\in \mathcal{B}}}\frac{\mathcal{H}(\ell\varphi)}{4\ell^{2}-1}+ \sum_{\substack{\ell\leqslant t \\ \ell\in \mathcal{B}}}\biggl(\frac{\ell}{q}\biggr)\frac{\mathcal{H}(\ell\varphi)}{4\ell^{2}-1} \\ &=P(\varphi)-S_{1}(\varphi)-S_{2}(\varphi), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
S_{1}(\varphi)=\sum_{\ell>t}\frac{\mathcal{H}(\ell\varphi)}{4\ell^{2}-1}, \qquad S_{2}(\varphi)=\sum_{\substack{\ell\leqslant t \\ \ell\in \mathcal{B}}}\biggl\{1-\biggl(\frac{\ell}{q}\biggr)\biggr\}\frac{\mathcal{H}(\ell\varphi)}{4\ell^{2}-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Прежде всего,
$$
\begin{equation*}
|S_{1}(\varphi)|\leqslant \sum_{\ell> t}\frac{1}{4\ell^{2}-1}=\frac{1}{2q}, \qquad |S_{2}(\varphi)|\leqslant 2\sum_{\substack{\ell\leqslant t \\ \ell\in \mathcal{B}}}\frac{1}{4\ell^{2}-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, всякое $\ell\in \mathcal{B}$ имеет вид $n=km$, где $m\in \mathcal{A}$, а $k$ является $p_{N}$-грубым. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |S_{2}(\varphi)| &\leqslant 2\sum_{\substack{\ell\leqslant t \\ \ell=km\in \mathcal{B}}}\frac{1}{4m^{2}k^2-1} \leqslant 2\sum_{\substack{\ell\leqslant t \\ \ell=km\in \mathcal{B}}}\frac{1}{(4m^{2}-1)k^2} \\ &< 2\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{1}{4m^{2}-1}\sum_{\substack{p_{N}<k\leqslant t \\ P^{-}(k)>p_{N}}}\frac{1}{k^{2}} < \sum_{\substack{k>p_{N}\\ P^{-}(k)>p_{N}}}\frac{1}{k^{2}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\Phi(x,y)$ количество $y$-грубых чисел, не превосходящих $x$. Применяя к сумме по $k$ преобразование Абеля наряду с оценкой $\Phi(x,y)\leqslant x/\ln{y}$, справедливой при всех $2\leqslant y\leqslant x$ (см. [10]), будем иметь:
$$
\begin{equation*}
|S_{2}(\varphi)|< 2\int_{p_{N}}^{+\infty}\frac{\Phi(u,p_{N})}{u^{3}}\,du\leqslant \frac{2}{p_{N}(\ln{p_{N}})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\bigl|P(\varphi)-\mathcal{R}_{q}(\varphi)\bigr|\leqslant \frac{2}{p_{N}(\ln{p_{N}})}+\frac{1}{2q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, в силу оценки Виноградова (см. [11], а также [12; гл. VII, вопрос 4 ($\eta$)]),
$$
\begin{equation*}
p_{N}<n_{q} < q^{1/(2\sqrt{e})}(\ln{q})^{2}<q^{1/3}, \qquad \frac{1}{q}<\frac{1}{p_{N}^{3}},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation}
\bigl|P(\varphi)-\mathcal{R}_{q}(\varphi)\bigr|< h, \qquad h=\frac{2}{p_{N}(\ln{p_{N}})}+\frac{1}{2p_{N}^{3}}.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
В частности, справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
r(q;a)=s(q;a)+\theta h,\qquad s(q,a)=\biggl(\frac{a}{q}\biggr)P\biggl(\frac{a}{q}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем теперь произвольное $x$, $-0.5\leqslant x\leqslant 0.5$. Тогда количество $\nu(q;x)$ чисел $a$ ряда $1,2,\dots, q-1$ с условием $s(q;a)\leqslant x$ складывается из количества $\nu_{1}(q;a)$ чисел того же ряда с условиями
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{a}{q}\biggr)=+1, \qquad P\biggl(\frac{a}{q}\biggr)\leqslant x,
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
и количества $\nu_{2}(q;a)$ чисел того же ряда с условиями
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{a}{q}\biggr)=-1, \qquad P\biggl(\frac{a}{q}\biggr)\geqslant -x.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Пусть сначала $0\leqslant x\leqslant \pi/4-1/2$. Тогда уравнение
$$
\begin{equation*}
P(\varphi)=\frac{1}{2}-\frac{\pi}{4}\sin{\pi\varphi}=x
\end{equation*}
\notag
$$
имеет на отрезке $0\leqslant \varphi\leqslant 1$ два решения: $\varphi(x)$ и $1-\varphi(x)$, где $\varphi(x)$ определена выше. Условия (4.6) в этом случае принимают вид
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{a}{q}\biggr)=+1, \qquad \varphi(x)\leqslant \frac{a}{q}\leqslant 1-\varphi(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Иными словами, $\nu_{1}(q;x)$ есть число квадратичных вычетов на отрезке $q\varphi(x)\leqslant a\leqslant q(1-\varphi(x))$. В силу классической оценки суммы символов Лежандра, принадлежащей Виноградову (см. [13], а также [12; гл. V, вопрос 11b ($\varkappa$)]), имеют место равенства
$$
\begin{equation*}
\nu_{1}(q;x)=\frac{1}{2}\sum_{q\varphi(x)\leqslant a\leqslant q(1-\varphi(x))}\biggl(1+\biggl(\frac{a}{q}\biggr)\biggr)= q\biggl(\frac{1}{2}-\varphi(x)\biggr) +\frac{\theta_{1}}{2}\bigl(\sqrt{q}\ln{q}+1\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, $\nu_{2}(q;x)$ совпадает с числом квадратичных невычетов, которые лежат в объединении промежутков $0<a\leqslant q\varphi(-x)$, $q(1-\varphi(-x))\leqslant a <q$ или, что то же, в промежутке $q(1-\varphi(-x))\leqslant a\leqslant q(1+\varphi(-x))$. Так находим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \nu_{2}(q;x)=q\varphi(-x)+\frac{\theta_{2}}{2}\bigl(\sqrt{q}\ln{q}+2\bigr), \\ \nu(q;x)=\nu_{1}(q;x)+\nu_{2}(q;x)=q\biggl(\frac{1}{2}-\varphi(x)+\varphi(-x)\biggr)+\theta_{3}\bigl(\sqrt{q}\ln{q}+1.5\bigr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Эта же формула остается справедливой и в случае $-(\pi/4-1/2)\leqslant x<0$. Случай $|x|>\pi/4-1/2$ рассматривается аналогично. В итоге получаем равенство
$$
\begin{equation*}
\nu(q;x)=qF_{1}(x)+\theta\bigl(\sqrt{q}\ln{q}+1.5\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
По доказанному выше, график полинома $\mathcal{R}_{q}(\varphi)$ заключен в полосе ширины $2h$, где $h$ определено в (4.5), окружающей график $P(\varphi)$ (ее границы получаются сдвигом графика $P(\varphi)$ по вертикали на $\pm h$).
Согласно лемме 3 суммарная длина промежутков, на которых выполняется неравенство $\mathcal{R}_{q}(\varphi)\leqslant x$, отличается от величины $\mathscr{E}(P;x)$ самое большее на $8.4\sqrt{h}$. Количество дробей вида $a/q$, содержащихся в таких промежутках, не превосходит числа дробей $a/q$, попавших в проекции промежутков $AB$, $CD$ (см. рис. 6) на горизонтальную ось. Последнее же число не превосходит, очевидно
$$
\begin{equation*}
q\cdot 8.4\sqrt{h}+2=q\biggl(8.4\sqrt{h}+\frac{2}{q}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, N(q;x)=\nu(q;x)+q\theta_{1}\biggl(8.4\sqrt{h}+\frac{2}{q}\biggr)+\theta_{2}(\sqrt{q}\ln{q}+1.5)=q\bigl(F_{1}(x)+\Delta(q;x)\bigr), \\ |\Delta(q;x)|\leqslant 8.4\sqrt{h}+\frac{\ln{q}}{\sqrt{q}}+\frac{7}{2q} < 8.4\sqrt{\frac{2}{p_{N}(\ln{p_{N}})}+\frac{1}{2p_{N}^{3}}}+ \frac{3\ln{p_{N}}}{p_{N}^{3/2}}+\frac{7}{2p_{N}^{3}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из условий, которым удовлетворяет $p_{N}$, заключаем: $|\Delta(q;x)|<10\varepsilon$. Теорема 2 доказана. Доказательство теоремы 3 проводится с помощью тех же рассуждений, с заменой (4.5) аналогичным неравенством для разности $Q(\varphi)-\mathcal{R}_{q}(\varphi)$. На рис. 9, 10 представлены графики функций распределения $F_{i}(x)$ и отвечающих им плотностей $f_{i}(x)=F_{i}'(x)$, $i=1,2$. В свою очередь, графики плотности интересно сопоставить с гистограммами, отвечающими значениям $q=9601$ и $q=18191$ (см. рис. 11). В первом случае $q\equiv 1\pmod{4}$, $n_{q}=13$, однако при этом $\bigl(\frac{17}{q}\bigr)=\bigl(\frac{19}{q}\bigr)=+1$. Во втором случае $q\equiv 3 \pmod{4}$ и при этом $n_{q}=23$. Можно определить поведение функции распределения $F_{2}(x)$ и плотности $f_{2}(x)$ в окрестностях точек $x=0$, $x=\pm\beta$. Так, пользуясь тождеством
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}\sin{(\pi\xi)}\ln{\operatorname{ctg}{\frac{\pi\xi}{2}}}=x,
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
несложно показать, что при $x\to+0$ справедливы неравенства где $c>1$ – некоторая абсолютная постоянная. Пользуясь тем, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{ctg}{\frac{\pi\xi}{2}}=\frac{2}{\pi\xi}\,\bigl(1+O(\xi^{2})\bigr), \quad \sin{\pi\xi}=\pi\xi\bigl(1+O(\xi^{2})\bigr) \qquad\text{при}\quad \xi\to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
из (4.8) и (4.9) находим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\pi\xi}{2}\ln{\frac{2}{\pi\xi}}=x\biggl(1+O\biggl(\frac{x^{2}}{L^{2}}\biggr)\biggr), \\ \xi=\xi(x)=\frac{2}{\pi}\,\frac{x}{L}\biggl(1-\frac{\ln{L}}{L}+O\biggl(\frac{\ln^{2}{L}}{L^{2}}\biggr)\biggr), \qquad L=\ln{\frac{1}{x}}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Аналогично, замечая, что $\eta(x)\to 0.5-0$ при $x\to 0-$, и пользуясь равенством (4.8) с заменой $\xi$ на $\eta$, получим: Следовательно,
$$
\begin{equation*}
F_{2}(x)=1-\eta(x)+\xi(x)=\frac{1}{2}+\frac{2x}{\pi}\biggl(1+\frac{1}{L}-\frac{\ln{L}}{L^{2}} +O\biggl(\frac{(\ln{L})^{2}}{L^{3}}\biggr)\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
при $x>0$ и
$$
\begin{equation*}
F_{2}(x)=\eta(|x|)-\xi(|x|)=\frac{1}{2}- \frac{2|x|}{\pi}\biggl(1+\frac{1}{L}-\frac{\ln{L}}{L^{2}} +O\biggl(\frac{(\ln{L})^{2}}{L^{3}}\biggr)\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
при $x<0$ (в последней формуле $L=\ln{(1/|x|)}$). Объединив эти равенства, получим:
$$
\begin{equation*}
F_{2}(x)=\frac{1}{2}+ \frac{2x}{\pi}\biggl(1+\frac{1}{\ln{(1/|x|)}}-\frac{\ln{\ln{(1/|x|)}}}{(\ln{(1/|x|)})^{2}} +O\biggl(\frac{(\ln{\ln{(1/|x|)}})^{2}}{(\ln{(1/|x|)})^{3}}\biggr)\biggr), \qquad x\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, дифференцируя (4.8) по $x$, найдем:
$$
\begin{equation*}
\xi'(x)=\frac{2}{\pi}\biggl(\cos{(\pi\xi)} \ln{\operatorname{ctg}{\frac{\pi\xi}{2}}}-1\biggr)^{-1}=\frac{(2/\pi)}{2x\operatorname{ctg}{\pi\xi}-1},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда, пользуясь разложением (4.10), заключаем
$$
\begin{equation}
\xi'(x)=\frac{2}{\pi}\biggl(\ln{\frac{1}{x}}\biggr)^{-1}\biggl(1-\frac{\ln{L}-1}{L} +O\biggl(\frac{(\ln{L})^{2}}{L^{2}}\biggr)\biggr),\qquad x\to+0.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Подобным образом получается и разложение
$$
\begin{equation}
\eta'(x)=-\frac{2}{\pi}\bigl(1+4x^{2}+O(x^{3})\bigr), \qquad x\to+0.
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Так из (4.11), (4.12) и равенства $f_{2}(x)=\xi'(|x|)-\eta'(|x|)$ находим
$$
\begin{equation*}
f_{2}(x)= \frac{2}{\pi}\biggl(1+\frac{1}{\ln{(1/|x|)}}-\frac{\ln{\ln{(1/|x|)}}-1}{(\ln{(1/|x|)})^{2}} +O\biggl(\frac{(\ln{\ln{(1/|x|)}})^{2}}{(\ln{(1/|x|)})^{3}}\biggr)\biggr), \qquad x\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, пусть $\delta>0$ достаточно мало. Определим $h=h(\delta)>0$ из уравнения Тогда $\alpha-h=\xi(\beta-\delta)$, так что для разложения в ряд по степеням $\delta$ функции $\xi(\beta-\delta)$ достаточно найти разложение для $h$. В свою очередь, согласно (4.13) имеем: $\delta=\beta-Q(\alpha-h)=Q(\alpha)-Q(\alpha-h)$, откуда
$$
\begin{equation}
\delta=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n!}Q_{n}h^{n}= -\frac{Q''(\alpha)}{2}\,h^{2}+\frac{Q^{(3)}(\alpha)}{6}\,h^{3}-\frac{Q^{(4)}(\alpha)}{24}\,h^{4}+\dotsb,
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
где обозначено: $Q_{n}=Q^{(n)}(\alpha)$. Из равенств
$$
\begin{equation}
Q'(\varphi)=\frac{\pi}{2}\biggl(\cos{(\pi\varphi)}\ln{\operatorname{ctg}{\frac{\pi\varphi}{2}}}-1\biggr)=\pi\bigl(Q(\varphi)\operatorname{ctg}{(\pi\varphi)}-0.5\bigr)
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
получим:
$$
\begin{equation}
\beta=Q(\alpha)=\frac{1}{2}\,\operatorname{tg}{(\pi\alpha)}, \qquad \operatorname{ctg}{(\pi\alpha)}=\frac{1}{2\beta}
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Пользуясь (4.15), несложно прийти к соотношениям
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Q^{(2k)}(\varphi)=(-1)^{k}\pi^{2k}\bigl(Q(\varphi)+P_{2k-1}(\operatorname{ctg}{(\pi\varphi)})\bigr), \\ Q^{(2k+1)}(\varphi)=(-1)^{k}\pi^{2k+1}\bigl(Q(\varphi)\operatorname{ctg}{(\pi\varphi)}+P_{2k}(\operatorname{ctg}{(\pi\varphi)})\bigr), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
в которых
$$
\begin{equation*}
P_{0}(w)=-\frac{1}{2}, \qquad P_{1}(w)=\frac{1}{2}\,w, \qquad P_{2}(w)=-1-\frac{1}{2}\,w^{2}, \qquad P_{3}(w)=-\frac{1}{2}\,w-w^{3}
\end{equation*}
\notag
$$
и вообще
$$
\begin{equation*}
P_{n}(w)=P_{2-i}(w)+(-1)^{n-1}(w^{2}+1)P_{n-1}'(w) \qquad\text{при условии}\quad n\equiv i\ (\operatorname{mod}{2}), \quad i=0,1.
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая в этих формулах $\varphi=\alpha$ и пользуясь (4.16), находим следующие выражения для производных:
$$
\begin{equation*}
Q_{2}=-\frac{\pi^{2}}{4\beta}(4\beta^{2}+1), \qquad Q_{3}=\frac{\pi^{3}}{8\beta^{2}}\,(4\beta^{2}+1), \qquad Q_{4}= \frac{\pi^{4}}{8\beta^{3}}\,(8\beta^{4}-2\beta^{2}-1), \qquad\text{и т.д.}
\end{equation*}
\notag
$$
Обращая ряд (4.14), будем иметь
$$
\begin{equation*}
h(\delta)=D_{1}\delta^{1/2}+D_{2}\delta+D_{3}\delta^{3/2}+\dotsb, \qquad \xi(\beta-\delta)= \alpha-D_{1}\delta^{1/2}-D_{2}\delta-D_{3}\delta^{3/2}+\dotsb,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, D_{1}=\sqrt{\frac{2}{|Q_{2}|}}=\frac{2}{\pi}\sqrt{\frac{2\beta}{4\beta^{2}+1}}, \qquad D_{2}=-\frac{1}{3}\,\frac{Q_{3}}{Q_{2}^{2}}= -\frac{2}{3\pi}\,\frac{1}{4\beta^{2}+1}, \\ D_{3}=\frac{5Q_{3}^{2}-3Q_{2}Q_{4}}{18\sqrt{2}|Q_{2}|^{7/2}}=\frac{12\beta^{2}-1}{9\pi\sqrt{2\beta}(4\beta^{2}+1)^{3/2}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Подобным образом получается и разложение
$$
\begin{equation*}
\eta(\beta-\delta)=\alpha+D_{1}\delta^{1/2}-D_{2}\delta+D_{3}\delta^{3/2}+\dotsb.
\end{equation*}
\notag
$$
Окончательно находим
$$
\begin{equation*}
\eta(\beta-\delta)-\xi(\beta-\delta)=2D_{1}\delta^{1/2}+2D_{3}\delta^{3/2}+\dotsb, \qquad F_{2}(\beta-\delta)=1-2D_{1}\delta^{1/2}- 2D_{3}\delta^{3/2}+\dotsb,
\end{equation*}
\notag
$$
причем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 2D_{1}=\frac{4}{\pi}\sqrt{\frac{2\beta}{4\beta^{2}+1}}=0.864008\dots, \\ 2D_{3}=\frac{2(12\beta^{2}-1)}{9\pi\sqrt{2\beta}(4\beta^{2}+1)^{3/2}}=0.0159871\dots\,. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, беря $\varepsilon$ и $\delta$ достаточно малыми, причем так, чтобы $\varepsilon=o(\sqrt{\delta})$, для количества чисел $a$ с условиями $0<a<q$, $\beta-\delta<r(q;a)\leqslant \beta$ получим выражение вида
$$
\begin{equation*}
q(F_{2}(\beta)-F_{2}(\beta-\delta)+10\theta\varepsilon)=\frac{4q}{\pi}\sqrt{\frac{2\beta}{4\beta^{2}+1}}\,\sqrt{\delta}\bigl(1+o(1)\bigr)= 0.864\dots q\sqrt{\delta}\bigl(1+o(1)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
5. Распределение величин $r(q;a)$ в случае произвольного $q$Отсутствие в случае произвольного $q$ аналога леммы 3 не позволяет доказать утверждения, подобные теоремам 2,3. Вместе с тем, положив
$$
\begin{equation*}
f_{q}(\varphi)=\sum_{n=1}^{+\infty}\biggl(\frac{n}{q}\biggr)\frac{\mathcal{H}(n\varphi)}{4n^{2}-1},
\end{equation*}
\notag
$$
можно получить нижнюю оценку на количество тех квадратичных вычетов (невычетов) $a$, для которых величина $r(q;a)$ близка к $f_{q}(\varphi)$ (соответственно, к $-f_{q}(\varphi)$), где $\varphi$ – произвольное число отрезка $0\leqslant \varphi\leqslant 1$. Теорема 4. Пусть $q$ – достаточно большое простое число, $2q^{-1/4}\sqrt{\ln{q}}<\varepsilon<10^{-2}$, $N$ – произвольное целое с условиями $3\varepsilon^{-1}<N\leqslant \varepsilon\sqrt{q}/(\ln{q})$. Пусть, далее, $\varphi$ – произвольное фиксированное число из промежутка $-0.5\leqslant\varphi\leqslant 0.5$. Тогда по крайней мере для Доказательство. Ограничимся случаем $q\equiv 1\,(\operatorname{mod}{4})$, когда $\mathcal{H}(x)=\cos{(2\pi x)}$; для $q\equiv 3\pmod{4}$ рассуждения аналогичны.
Пусть $\varphi$ фиксировано, и пусть $a$ принимает значения $[q\varphi]+\ell$, где $|\ell|\leqslant \varepsilon q/N$. Полагая $\vartheta= \{q\varphi\}$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \cos{\frac{2\pi an}{q}} &=\cos{\biggl(2\pi n\varphi+\frac{2\pi(\ell-\vartheta)n}{q}\biggr)} \\ &=\cos{(2\pi n\varphi)}-2\cos{(2\pi n\varphi)}\sin^{2}\biggl(\frac{\pi(\ell\,{-}\,\vartheta)n}{q}\biggr)-\sin(2\pi n\varphi)\sin\biggl(\frac{2\pi(\ell\,{-}\,\vartheta)n}{q}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{(\ell-\vartheta)n}{q}\biggr|\leqslant \frac{(|\ell|+1)n}{q}\leqslant \frac{2|\ell|n}{q}\leqslant \frac{2\varepsilon q n}{N},
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
\biggl|\cos{\biggl(\frac{2\pi an}{q}\biggr)}-\cos{(2\pi n\varphi)}\biggr| \leqslant 8\frac{(\pi\varepsilon n)^{2}}{N^{2}}+\frac{4\pi\varepsilon n}{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Задавшись целым $M$, $N<M<(q-1)/2$, для рассматриваемых $a$ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{R}_{q}\biggl(\frac{a}{q}\biggr) &=\biggl(\,\sum_{n=1}^{M}+\sum_{n=M+1}^{(q-1)/2}\biggr)\biggl(\frac{n}{q}\biggr)\frac{\cos{(2\pi na/q)}}{4n^{2}-1} \\ &=\sum_{n=1}^{M}\biggl(\frac{n}{q}\biggr)\frac{1}{4n^{2}-1}\biggl(\cos{(2\pi n\varphi)}+\theta_{1}\biggl(\frac{8(\pi\varepsilon n)^{2}}{N^{2}}+ \frac{4\pi \varepsilon n}{N}\biggr)\biggr)+\frac{\theta_{2}}{2M} \\ & =\sum_{n=1}^{+\infty}\biggl(\frac{n}{q}\biggr)\frac{\cos{(2\pi n\varphi)}}{4n^{2}-1}+\frac{\theta_{3}}{M}+\rho_{1}+\rho_{2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
причем
$$
\begin{equation*}
|\rho_{1}| \leqslant\sum_{n=1}^{M}\frac{1}{4n^{2}-1}\,\frac{8(\pi\varepsilon n)^{2}}{N^{2}} \leqslant \frac{8(\pi\varepsilon)^{2}M}{3N^{2}}, \qquad |\rho_{2}| \leqslant\frac{4\pi\varepsilon}{3N}\sum_{n=1}^{M}\frac{1}{n} < \frac{4\pi\varepsilon}{3N}(\ln{M}+1).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\biggl|\mathcal{R}_{q}\biggl(\frac{a}{q}\biggr)-f_{q}(\varphi)\biggr|\leqslant \rho, \qquad \rho=\frac{8(\pi\varepsilon)^{2}M}{3N^{2}}+ \frac{4\pi\varepsilon}{3N}(\ln{M}+1)+\frac{1}{M}.
\end{equation*}
\notag
$$
Беря $M=[2N/(7\varepsilon)]$, находим
$$
\begin{equation*}
\rho < \frac{4\pi\varepsilon}{3N}\biggl(\ln{\frac{N}{\varepsilon}}+1\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, равенство
$$
\begin{equation*}
\mathcal{R}_{q}\biggl(\frac{a}{q}\biggr)=f_{q}(\varphi)+\frac{4\theta\pi\varepsilon}{3N}\biggl(\ln{\frac{N}{\varepsilon}}+1\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
выполнено для всех $a$ из промежутка
$$
\begin{equation*}
-\frac{\varepsilon q}{N}+[q\varphi]\leqslant a\leqslant \frac{\varepsilon q}{N}+[q\varphi].
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, для таких $a$ будем иметь В силу условий теоремы По теореме Виноградова количество квадратичных вычетов (невычетов) на таком промежутке ограничено снизу величиной Теорема доказана. Замечание 2. Пусть $\varepsilon>0$ фиксировано. Беря $N=\bigl[\varepsilon\sqrt{q}/\ln{q}\bigr]$, получим не менее $(0.5-o(1))\sqrt{q}\ln{q}$ квадратичных вычетов, для которых 6. Некоторые свойства полиномов $\mathcal{R}_{q}(\varphi)$Как отмечалось выше, основным препятствием, которое не позволяет получить аналоги теорем 2,3 в случае произвольного простого $q$, является сложное поведение тригонометрических полиномов $\mathcal{R}_{q}(\varphi)$ и, в частности, отсутствие в общем случае аналога леммы 3, т.е. оценки типа $\omega(\mathcal{R}_{q};h,x)\leqslant g(h)$, где $g(h)\to 0$ при $h\to 0$. В этом разделе помещена теорема, в некоторой степени указывающая на различие в поведении $\mathcal{R}_{q}(\varphi)$ при различных $q$. Именно, оказывается, что для положительной доли простых чисел $q$ значение $\mathcal{R}_{q}(0.5)$ может быть сколь угодно близко к минимуму $\mathcal{R}_{q}(\varphi)$ на отрезке $0 \leqslant \varphi\leqslant 1$, и в то же время для положительной доли простых $q$ полином $\mathcal{R}_{q}(\varphi)$ в точке $\varphi_{0}\approx 0.4$ принимает значение меньшее, чем в точке $\varphi=0.5$ (см. рис. 12). Более точно, справедливо следующее утверждение. Теорема 5. Пусть $0<\varepsilon<10^{-2}$ – сколь угодно малое фиксированное число. Тогда существует постоянная $c=c(\varepsilon)$ такая, что при $x\to+\infty$ для не менее чем $c\pi(x)$ простых чисел $q$ с условием $q\equiv 1\pmod{4}$ неравенство $\mathcal{R}_{q}(\varphi)>\mathcal{R}_{q}(0.5)-\varepsilon$ выполнено на всем промежутке $0\leqslant\varphi\leqslant 1$. Вместе с тем, имеется не менее $(2^{-8}+o(1))\pi(x)$ простых чисел $q$ с условием $q\equiv 1\pmod{4}$, для которых можно указать число $\varphi_{0}$ с условиями такое, что Доказательство. Несложно проверить равенство
$$
\begin{equation*}
\mathcal{R}_{q}(0.5)-\mathcal{R}_{q}(\varphi)=2\sum_{n=1}^{(q-1)/2}\frac{\varepsilon(n)g_{n}(\varphi)}{4n^{2}-1},
\end{equation*}
\notag
$$
в котором
$$
\begin{equation*}
\varepsilon(n)=(-1)^{n}\biggl(\frac{n}{q}\biggr), \qquad g_{n}(\varphi)= \begin{cases} \sin^{2}(\pi n\varphi), & n\equiv 0\pmod{2}, \\ \cos^{2}(\pi n\varphi), & n\equiv 1\pmod{2}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Определим $p_{N}$ как наименьшее простое с условием
$$
\begin{equation*}
p_{N}\geqslant \frac{3}{\varepsilon}\ln{\frac{1}{\varepsilon}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем теперь простое $q$ так, чтобы выполнялись следующие соотношения:
$$
\begin{equation}
q\equiv 1\pmod{4}, \qquad \biggl(\frac{2}{q}\biggr)=-1, \qquad \biggl(\frac{p_{k}}{q}\biggr)=+1, \quad k=2,3,\dots, N.
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Пусть $n$ – произвольное $p_{N}$-гладкое число, $2\leqslant n\leqslant (q-1)/2$. Если $n$ – нечетное, то
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{n}{q}\biggr)=+1, \qquad \varepsilon(n)=-1;
\end{equation*}
\notag
$$
если $n=2^{2s+1}m$, $s\geqslant 0$, $(m,2)=1$, то
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{n}{q}\biggr)=-1, \qquad \varepsilon(n)=-1;
\end{equation*}
\notag
$$
если, наконец, $n= 2^{2s}m$, $s\geqslant 1$, $(m,2)=1$, то
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{n}{q}\biggr)=+1, \qquad \varepsilon(n)=+1.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначая, как и выше, через $\mathcal{A}$ множество всех $p_{N}$-гладких чисел, не превосходящих $(q-1)/2$, а через $\mathcal{B}$ – дополнение к нему, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\mathcal{R}_{q}(0.5)-\mathcal{R}_{q}(\varphi)=2\biggl(\;\sum_{n\in \mathcal{A}}+\sum_{n\in \mathcal{B}}\biggr)\frac{\varepsilon(n)g_{n}(\varphi)}{4n^{2}-1}= 2(A(\varphi)+B(\varphi)).
\end{equation*}
\notag
$$
Подобно тому, как это делалось выше, находим
$$
\begin{equation*}
|B(\varphi)|\leqslant \sum_{n\in \mathcal{B}}\frac{1}{4n^{2}-1}<\frac{1}{p_{N}\ln{p_{N}}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, преобразуем $A(\varphi)$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A(\varphi) &=-\sum_{\substack{n\in \mathcal{A} \\ n\equiv 1\;(\operatorname{mod}{2}) \\ 1\leqslant n\leqslant (q-1)/2}}\frac{\cos^{2}(\pi n\varphi)}{4n^{2}-1} - \sum_{\substack{n\in \mathcal{A} \\ n=2^{2s+1}m,\;(m,2)=1 \\ 1\leqslant n\leqslant (q-1)/2}}\frac{\sin^{2}(\pi n\varphi)}{4n^{2}-1} \\ &\qquad+\sum_{\substack{n\in \mathcal{A} \\ n=2^{2s}m,\;(m,2)=1 \\ 1\leqslant n\leqslant (q-1)/2}}\frac{\sin^{2}(\pi n\varphi)}{4n^{2}-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к верхней оценке, отбросим первую сумму, а вторую и третью заменим бесконечными; получим
$$
\begin{equation*}
A(\varphi) \leqslant -\sum_{\substack{n\in \mathcal{A} \\ n=2^{2s+1}m,\;(m,2)=1}}\frac{\sin^{2}(\pi n\varphi)}{4n^{2}-1} +\sum_{\substack{n\in \mathcal{A} \\ n=2^{2s}m,\;(m,2)=1 }}\frac{\sin^{2}(\pi n\varphi)}{4n^{2}-1}+\frac{1}{2q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $n=2^{2s+1}m$, где $P^{+}(m)\leqslant p_{N}$, то слагаемое, отвечающее значению $2n=2^{2(s+1)}m$, встретится во второй сумме; верно и обратное. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A(\varphi) &\leqslant -\sum_{\substack{n\in \mathcal{A} \\ n=2^{2s+1}m\\ (m,2)=1}}\biggl(\frac{\sin^{2}(\pi n\varphi)}{4n^{2}-1}-\frac{\sin^{2}(2\pi n\varphi)}{16n^{2}-1}\biggr)+\frac{1}{2q} \\ &=-\sum_{\substack{n\in \mathcal{A} \\ n=2^{2s+1}m \\(m,2)=1}}\bigl((16n^{2}-1)\sin^{2}(\pi n\varphi)+3\cos^{2}(\pi n\varphi)\bigr)\frac{\sin^{2}(\pi n\varphi)}{(4n^{2}-1)(16n^{2}-1)}+\frac{1}{2q} \\ &\leqslant \frac{1}{2q} < \frac{1}{2p_{N}^{3}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\mathcal{R}_{q}(0.5)-\mathcal{R}_{q}(\varphi)< \frac{2}{p_{N}\ln{p_{N}}}+\frac{1}{p_{N}^{3}} < \varepsilon, \qquad \mathcal{R}_{q}(\varphi)>\mathcal{R}_{q}(0.5)-\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Остается заметить, что всякое проcтое $q$, удовлетворяющее (6.1), принадлежит прогрессии $q\equiv 5\pmod{8}$ и, сверх того, одной из $(p_{k}-1)/2=\varphi(p_{k})/2$ прогрессий вида $q\equiv a\pmod{p_{k}}$, где $a$ – произвольный квадратичный вычет по модулю $p_{k}$. Ясно, что при фиксированном $p_{N}$ и $x\to+\infty$ общее число таких $q$ равно где в качестве $c$ можно взять, например, число $2^{-(N+2)}$.
Для доказательства второго утверждения выберем простое число $q$ так, чтобы выполнялись условия
$$
\begin{equation}
q\equiv 1\pmod{4}, \qquad \biggl(\frac{2}{q}\biggr)=+1, \qquad \biggl(\frac{p}{q}\biggr)=-1 \quad\text{для всех простых }\ p, \quad 3\leqslant p\leqslant 19.
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\mathcal{R}_{q}(\varphi)-\mathcal{R}_{q}(0.5)=2\sum_{n=1}^{(q-1)/2}\frac{\delta(n)g_{n}(\varphi)}{4n^{2}-1}, \qquad \delta(n)= (-1)^{n-1}\biggl(\frac{n}{q}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $P^{+}(n)\leqslant 19$. Несложно проверить, что
$$
\begin{equation*}
\delta(n)= \begin{cases} (-1)^{\Omega(n)}, & \text{если } (n,2)=1, \\ (-1)^{\Omega(m)+1}, & \text{если } n=2^{k}m, k\geqslant 1, (m,2)=1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
A(\varphi)=\sum_{n=1}^{20}\frac{\varepsilon(n)g_{n}(\varphi)}{4n^{2}-1}, \qquad B(\varphi)= \sum_{n=21}^{(q-1)/2}\frac{\varepsilon(n)g_{n}(\varphi)}{4n^{2}-1},
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A(\varphi) &=\frac{\cos^{2}{\pi\varphi}}{3}-\frac{\sin^{2}{2\pi\varphi}}{15}-\frac{\cos^{2}{3\pi\varphi}}{35}- \frac{\sin^{2}{4\pi\varphi}}{63}-\frac{\cos^{2}{5\pi\varphi}}{99}+\frac{\sin^{2}{6\pi\varphi}}{143} -\frac{\cos^{2}{7\pi\varphi}}{195} \\ &\qquad -\frac{\sin^{2}{8\pi\varphi}}{255}+\frac{\cos^{2}{9\pi\varphi}}{323}+ \frac{\sin^{2}{10\pi\varphi}}{399}-\frac{\cos^{2}{11\pi\varphi}}{483}+\frac{\sin^{2}{12\pi\varphi}}{575}-\frac{\cos^{2}{13\pi\varphi}}{675} \\ &\qquad+\frac{\sin^{2}{14\pi\varphi}}{783} + \frac{\cos^{2}{15\pi\varphi}}{899}-\frac{\sin^{2}{16\pi\varphi}}{1023}-\frac{\cos^{2}{17\pi\varphi}}{1155} - \frac{\sin^{2}{18\pi\varphi}}{1295} \\ &\qquad-\frac{\cos^{2}{19\pi\varphi}}{1443}+\frac{\sin^{2}{20\pi\varphi}}{1599}, \\ |B(\varphi)| &\leqslant b(\varphi)=\sum_{\substack{n\equiv 1\;(\operatorname{mod}{2}) \\ n>20}}\frac{\cos^{2}(\pi n\varphi)}{4n^{2}-1}+ \sum_{\substack{n\equiv 0\;(\operatorname{mod}{2}) \\ n>20}}\frac{\sin^{2}(\pi n\varphi)}{4n^{2}-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственное вычисление с $\varphi_{0}=0.39928245$ дает
$$
\begin{equation*}
A(\varphi_{0}) < -0.034849, \qquad b(\varphi_{0}) < 0.000139.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\mathcal{R}_{q}(\varphi_{0})-\mathcal{R}_{q}(0.5) < 2(-0.034849+0.000139)<-0.069423<-\frac{2}{29}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для завершения доказательства остается заметить, что условию (6.2) удовлетворяют $(2^{-8}+o(1))\pi(x)$ простых чисел $q$, $q\leqslant x$. Теорема 5 доказана. Автор благодарит М. Р. Габдуллина за помощь в подготовке статьи.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kor24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|