| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Многомерные весовые неравенства для целых функций экспоненциального типа Д. В. Горбачевab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Английская версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624110233 
Реферативные базы данных:
 В работе автора [1] доказано следующее одномерное весовое неравенство Бернштейна для целых функций экспоненциального типа не выше $\tau>0$:
$$
\begin{equation*}
\|Df\|_{p,\kappa}\leqslant C\tau\|f\|_{p,\kappa},\qquad D=\frac{d}{dx}\,,T,\quad \kappa\geqslant 0,\quad 0<p\leqslant \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C$ не зависит от $f$ и $\tau$, $\|f\|_{p,\kappa}=(\int_{\mathbb{R}}|f|^{p} |x|^{2\kappa}\,dx)^{1/p}$ (при $p=\infty$ здесь и далее берется существенный супремум $|f|$),
$$
\begin{equation*}
Tf(x)=\frac{d}{dx}\,f(x)+\kappa\,\frac{f(x)-f(-x)}{x}
\end{equation*}
\notag
$$
– дифференциально-разностный оператор Данкля.
Представляло интерес обобщить эти результаты на многомерный случай $\mathbb{R}^{d}$, $d\in \mathbb{N}$. Безвесовые неравенства Бернштейна см., например, в [2] ($p\geqslant 1$), [3] ($0<p<1$). Дадим здесь простое доказательство, использующее максимальную функцию [4]
$$
\begin{equation*}
n_{r,\lambda}f(x)=\sup_{y\in \mathbb{R}^{d}} \frac{|f(y)|}{(1+r|x-y|)^{\lambda}}\,,\qquad r,\lambda>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Схожая функция применялась для случая многомерной сферы (см. [5; гл. 5]).
Далее $C$ обозначают положительные константы, которые могут меняться от места к месту, $\widehat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}^{d}}f(x) e^{-i\langle\xi,x\rangle}\,dx$ – преобразование Фурье, $B_{r}(x)$ – евклидов шар с центром в точке $x\in \mathbb{R}^{d}$ и радиусом $r>0$, $Q_{r}(x)=[x-r/2,x+r/2]^{d}$, $K\subset \mathbb{R}^{d}$ – симметричное относительно нуля выпуклое тело, $\mathcal{B}(K)$ – класс целых функций $f$ экспоненциального типа, для которых на $\mathbb{C}^{d}$ справедлива оценка $|f(z)|\leqslant C(1+|z|)^{N}e^{\|\operatorname{Im}z\|_{K^{*}}}$, где $N\in \mathbb{Z}_{+}$, $\|x\|_{K^{*}}=\sup_{y\in K}|\langle x,y\rangle|$ – норма полярного множества $K^{*}$ [6]. Для таких функций по теореме Пэли–Винера–Шварца имеем $f\in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^{d})$ и $\operatorname{supp}\widehat{f}\subset K$ [6]. Пусть $\|f\|_{p,\mu}=(\int_{\mathbb{R}^{d}}|f|^{p}\,d\mu)^{1/p}$ – норма в пространстве $L^{p}(\mu)$ с положительной борелевской мерой $\mu$. Говорят, что мера удовлетворяет условию удвоения ($\mu\in \Delta_{2}$), если $\mu(B_{2r}(x))\leqslant C_{\mu}\mu(B_{r}(x))$ для любых $x$, $r$. Как известно, такая мера, эквивалентно, может быть задана условием
$$
\begin{equation*}
\frac{\mu(B_{r}(x))}{\mu(B_{r'}(x'))}\leqslant C\biggl(\frac{r+|x-x'|}{r'}\biggr)^{s}
\end{equation*}
\notag
$$
для произвольных $x$, $x'$, $r'\leqslant r$ и некоторого показателя $s>0$, наименьший из которых обозначим $s_{\mu}$. Шары можно заменить кубами, в том числе с параллельными координатным плоскостям сторонами, что влияет только на константу удвоения $C_{\mu}$. В [4] для $\Delta_{2}$-мер доказан следующий замечательный результат: если $f\in \mathcal{B}(B_{r}(0))$ – целая функция экспоненциального сферического типа не больше $r>0$, то с независящий от $f$ и $r$ константой
$$
\begin{equation}
\|n_{r,\lambda}f\|_{p,\mu}\leqslant C\|f\|_{p,\mu},\qquad \lambda>\frac{s_{\mu}}{p}\,.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Данное неравенство опирается на [4; лемма 3.1], где в доказательстве допущены неточности. Если их исправить, то вместе с [4; лемма 3.2] для $\Delta_{2}$-меры будем иметь
$$
\begin{equation*}
n_{r,\lambda}f(x)\leqslant C\bigl(t^{-\lambda}(m_{\mu} |f|^{a}(x))^{1/a}+tn_{r,\lambda}f(x)\bigr),\qquad t=R_{0}r\leqslant 1,\quad a=\frac{s}{\lambda}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $m_{\mu}$ – максимальный оператор Харди–Литтлвуда, ограниченный в $L^{a}(\mu)$ при $a>1$. Выбирая $t$, так чтобы $Ct=2^{-1}$, находим $n_{r,\lambda}f(x)\leqslant C(m_{\mu}|f|^{a}(x))^{1/a}$, что влечет (1).
Для $b\geqslant 0$ введем класс $\mathcal{D}_{b}$ ненулевых линейных операторов $D$, переводящих аналитические функции на $\mathbb{R}^{d}$ в аналитические, из них шварцовские функции в шварцовские и удовлетворяющих условию однородности $D(f(rx))=r^{b}(Df)(rx)$ для $r>0$. Например, $\mathcal{D}_{b}$ содержит дифференциальные операторы $P_{b}(\nabla)$, где $\nabla$ – градиент, $P_{b}$ – однородный многочлен степени $b$. Теорема 1. Пусть $0<p\leqslant \infty$, $\tau>0$, $\mu\in \Delta_{2}$, $D\in \mathcal{D}_{b}$, $b\geqslant 0$. Тогда для произвольной функции $f\in \mathcal{B}(\tau K)\cap L^{p}(\mu)$ справедливо неравенство Бернштейна где $C$ не зависит от $f$, $\tau$. Неравенство точное по порядку $\tau>0$. Доказательство. Возьмем аналитическую шварцовскую функцию $\varphi$, такую что $\widehat{\varphi}= 1$ на $K$. Например, $\widehat{\varphi}$ можно получить как свертку характеристической функции тела $(1+\varepsilon)K$ и гладкой функции с носителем $B_{\varepsilon}(0)$ и единичным интегралом, $\varepsilon>0$. Положим $\varphi_{\tau}(x)=\tau^{d}\varphi(\tau x)$; тогда $\widehat{\varphi_{\tau}}(\xi)=\widehat{\varphi}(\xi/\tau)=1$ на $\tau K$. В силу $\operatorname{supp}\widehat{f}\subset \tau K$ для произвольной функции $f\in \mathcal{B}(\tau K)$ будет $\widehat{f}=\widehat{f}\,\widehat{\varphi_{\tau}}$ на $\mathbb{R}^{d}$, что влечет известное тождество $f=f*\varphi_{\tau}$. Отсюда $Df=f*D\varphi_{\tau}$. Имеем $D\varphi_{\tau}(x)=\tau^{d+b}(D\varphi)(\tau x)$. Функция $D\varphi$ по условию на $D$ быстро убывающая, поэтому для фиксированных $R=\max_{x\in K}|x|$, $\lambda>s_{\mu}/p$, $\delta>d$ можно подобрать константу $C>0$, так чтобы
$$
\begin{equation*}
|D\varphi(x)|\leqslant \frac{C}{(1+R|x|)^{\lambda+\delta}}\,,\qquad x\in \mathbb{R}^{d}.
\end{equation*}
\notag
$$
Число $R$ взято из условия, чтобы $K\subset B_{R}(0)$ и $f$ была функцией сферического типа не больше $\tau R$. В итоге, с учетом определения максимальной функции и
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{d}}\frac{\tau^{d}\,dy}{{(1+\tau R|x-y|)^{\delta}}}= \int_{\mathbb{R}^{d}}\frac{dy}{{(1+R|y|)^{\delta}}}=O(1)
\end{equation*}
\notag
$$
получаем оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |Df(x)|&\leqslant \int_{\mathbb{R}^{d}}|f(y)|\,|D\varphi_{\tau}| (x-y)\,dy\leqslant C\tau^{d+b}\int_{\mathbb{R}^{d}} \frac{|f(y)|}{{(1+\tau R|x-y|)^{\lambda+\delta}}}\,dy \\ &\leqslant C\tau^{b}n_{\tau R,\lambda}f(x)\int_{\mathbb{R}^{d}} \frac{\tau^{d}\,dy}{{(1+\tau R|x-y|)^{\delta}}}\leqslant C\tau^{b}n_{\tau R,\lambda}f(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (1) вытекает искомое неравенство (2). Для доказательства точности по порядку потребуется следующее неравенство (оно есть в [4], но с ограничениями на $r$). Лемма 1. Пусть $\mu\in \Delta_{2}$, $\delta>d$. Тогда с независящей от $x'\in \mathbb{R}^{d}$, $r>0$ константой Данное неравенство удобно вывести для кубов, так как $\int_{\mathbb{R}^{d}}=\sum_{\nu\in \mathbb{Z}^{d}}\int_{Q_{r}(r\nu)}$. Отсюда и из оценок
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\mu(Q_{r}(r\nu))}{\mu(Q_{r}(x'))}\leqslant C\biggl(\frac{r+|r\nu-x'|}{r}\biggr)^{s_{\mu}+\delta}, \\ |\,|x-x'|-|r\nu-x'|\,|\leqslant |x-r\nu|\leqslant C_{d}r\quad\text{при}\quad x\in Q_{r}(r\nu) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
находим искомое неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb{R}^{d}} \frac{d\mu(x)}{(1+r^{-1}|x-x'|)^{s_{\mu}+\delta}}&\leqslant \sum_{\nu\in\mathbb{Z}^{d}}\int_{Q_{r}(r\nu)} \frac{d\mu(x)}{((1+C_{d}+r^{-1}|x-x'|)/(1+C_{d}))^{s_{\mu}+\delta}} \\ &\leqslant C\sum_{\nu\in \mathbb{Z}^{d}} \frac{\mu(Q_{r}(r\nu))}{(1+r^{-1}|r\nu-x'|)^{s_{\mu}+\delta}} \\ &\leqslant C\mu(Q_{r}(x'))\sum_{\nu\in \mathbb{Z}^{d}} \frac{1}{(1+|\nu-r^{-1}x'|)^{\delta}}\leqslant C\mu(Q_{r}(x')). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем некоторую ненулевую шварцовскую функцию $\psi\in \mathcal{B}(K)$. Тогда функция $D\psi$ – аналитическая шварцовская. Из аналитичности следует, что найдется шар $B\subset B_{1}(0)$, на котором $|D\psi(x)|\geqslant C_{0}$. В силу быстрого убывания $\psi$ имеем
$$
\begin{equation*}
|\psi(x)|=O\biggl(\frac{1}{(1+|x|)^{\lambda}}\biggr) \quad\text{на}\quad \mathbb{R}^{d},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda=(s_{\mu}+\delta)/p$, $\delta$ – параметр из леммы 1. Соответственно для функции $\psi_{\tau}(x)=\psi(\tau x)$ будем иметь $D\psi_{\tau}(x)=\tau^{b}(D\psi)(\tau x)$, $|D\psi_{\tau}|\geqslant \tau^{b}C_{0}$ на $\tau^{-1}B$, $|\psi_{\tau}(x)|\leqslant C/(1+\tau|x|)^{\lambda}$ на $\mathbb{R}^{d}$. Отсюда по условию удвоения и лемме 1
$$
\begin{equation*}
\|D\psi_{\tau}\|_{p,\mu}\geqslant \tau^{b}C_{0}\mu(\tau^{-1}B)^{1/p}\geqslant C\tau^{b}\mu(B_{\tau^{-1}}(0))^{1/p},\qquad \|\psi_{\tau}\|_{p,\mu}\leqslant C\mu(B_{\tau^{-1}}(0))^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\frac{\|D\psi_{\tau}\|_{p,\mu}}{\|\psi_{\tau}\|_{p,\mu}} \geqslant C\tau^{b}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана.
Чтобы иметь возможность оценивать $\|Df\|_{q,\mu}$ при $q>p$ (для локально компактных пространств случай $q<p$ в силу неограниченности не рассматривается) запишем еще неравенство Никольского. Для этого нам потребуется дополнительное условие на меру
$$
\begin{equation}
\mu(B_{r}(x))\geqslant C\mu(B_{r}(0)),\qquad x\in \mathbb{R}^{d},\quad r>0.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Мы не знаем, встречалось ли оно для локально компактных пространств. Положим $\rho(r)=\mu(B_{r^{-1}}(0))^{-1}$. По условию удвоения $\rho(Cr)\asymp \rho(r)$ для произвольной константы $C$.
Теорема 2. Пусть $0<p\leqslant q\leqslant \infty$, $\tau>0$, $\mu\in \Delta_{2}$ и справедлива оценка (3). Тогда для произвольной функции $f\in \mathcal{B}(\tau K)\cap L^{p}(\mu)$ справедливо неравенство Никольского где $C$ не зависит от $f$, $\tau$. Неравенство точное по порядку $\tau>0$. Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда $f(x)$ стремится к нулю при $|x|\to \infty$. Иначе, в силу $f(x)=O((1+|x|)^{N})$ на $\mathbb{R}^{d}$, можно умножить $f$ на шварцовскую функцию $\varphi(\varepsilon x)\in \mathcal{B}(\varepsilon K)$, $\varphi(0)=1$, доказать (4) и устремить $\varepsilon$ к нулю. Имеем
$$
\begin{equation}
\biggl(\int_{\mathbb{R}^{d}}|f|^{q}\,d\mu\biggr)^{1/q}= \biggl(\int_{\mathbb{R}^{d}}|f|^{q-p}|f|^{p}\,d\mu\biggr)^{1/q} \leqslant \|f\|_{\infty}^{1-p/q}\|f\|_{p,\mu}^{p/q}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Оценим $\|f\|_{\infty}=|f(x_{0})|$. По неравенству Бернштейна $\|\nabla f\|_{\infty}\leqslant C_{\infty}\tau\|f\|_{\infty}$ и теореме о среднем значении для $x\in B_{r^{-1}}(x_{0})$, $r=2C_{\infty}\tau$, находим
$$
\begin{equation*}
|f(x_{0})|-|f(x)|\leqslant |f(x_{0})-f(x)|\leqslant \|\nabla f\|_{\infty}|x_{0}-x|\leqslant C_{\infty}\tau(2C_{\infty}\tau)^{-1}\|f\|_{\infty}= 2^{-1}\|f\|_{\infty}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом (3)
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{d}}|f|^{p}\,d\mu\geqslant \int_{B_{r^{-1}}(x_{0})}|f|^{p}\,d\mu\geqslant (2^{-1}\|f\|_{\infty})^{p}\mu(B_{r^{-1}}(x_{0}))\geqslant C\|f\|_{\infty}^{p}\rho(\tau)^{-1}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\|f\|_{\infty}\leqslant C\rho(\tau)^{1/p}\|f\|_{p,\mu}$. Объединяя эту оценку с (5), находим искомое неравенство (4). Порядковая точность доказывается аналогично случаю неравенства Бернштейна выше, только для тождественного оператора $D$. В этом случае, повторяя рассуждения, получаем что требуется. Следствие доказано.Отметим, что на самом деле $N=0$ для функций $f\in \mathcal{B}(\tau K)\cap L^{p}(\mu)$. Если $\rho(r)=r^{s}$, то из теорем 1 и 2 получим неравенство Бернштейна–Никольского в классическом виде $\|Df\|_{q,\mu}\leqslant C\tau^{b+s(1/p-1/q)}\|f\|_{p,\mu}$. Приведем примеры $\mu$ и $D$, для которых неравенства Бернштейна и Никольского верны со степенной функцией $\rho$. Пусть
$$
\begin{equation*}
d\mu_{\kappa}(x)=|x|^{\kappa_{0}}\prod_{i=1}^{m}|\langle a_{i},x\rangle|^{\kappa_{i}}\,dx, \qquad a_{i}\in \mathbb{R}^{d}\setminus \{0\}, \quad \kappa_{i}\geqslant 0, \quad i=1,\dots,d, \quad \kappa_{0}>-d.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\kappa_{0}=0$, $m$ четное, векторы $a_{i}$ образуют систему корней и $\kappa_{i}$, $i\ne 0$, инвариантны относительно отвечающей корням группы отражений, то получаем вес Данкля. Если при этом $\kappa_{0}\ne 0$, то будет вес для деформированного преобразования Фурье–Данкля. В [8] показано, что мера $\mu_{\kappa}\in \Delta_{2}$, причем
$$
\begin{equation*}
\mu_{\kappa}(B_{r}(x))\asymp r^{d}|\,|x|+r|^{\kappa_{0}}\prod_{i=1}^{m}|\,| \langle a_{i},x\rangle|+r|^{\kappa_{i}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда находим, что показатель $s_{\mu_{\kappa}}=d+\sum_{i=0}^{m}\kappa_{i}$, верна оценка (4) и $\rho(r)=r^{s_{\mu_{\kappa}}}$.
В случае веса Данкля изучается дифференциально-разностный градиент $\nabla_{\kappa}$. Предполагая, что $\{a_{i}\}_{1}^{m/2}=-\{a_{i}\}_{m/2+1}^{m}$, его координатами для $j=1,\dots,d$ будут
$$
\begin{equation*}
(\nabla_{\kappa})_{j}f(x)=\partial_{j}f(x)+ \sum_{i=1}^{m/2}\kappa_{i}a_{ij}\, \frac{f(x)-f(\sigma_{a_{i}}x)}{\langle a_{i},x\rangle}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\sigma_{a}x=x-2\frac{\langle a,x\rangle}{\langle a,a\rangle}\,a
\end{equation*}
\notag
$$
– отражение относительно плоскости $\langle a,x\rangle=0$. Хорошо известно, что $\nabla_{\kappa}\in \mathcal{D}_{1}$. Поэтому, как и случае обычного градиента $P_{b}(\nabla_{\kappa})\in \mathcal{D}_{b}$.
В заключении скажем, что в случае веса Данкля неравенство Бернштейна для лапласиана Данкля при $p\geqslant 1$ и неравенство Никольского способом доказаны в [9]. Теорема 1 дополняет одномерные результаты [7]. Во многих замечательных работах по тематике классических неравенств теории приближений для $\Delta_{2}$-весов и их обобщений (например, [5] и предшествующие), вопрос порядковой точности неравенств не обсуждается. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gor24} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|