| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Устойчивость максимального члена ряда Дирихле заданного роста на дискретном множестве Г. А. Гайсина Уфимский университет науки и технологий
Английская версия:
Mathematical Notes, 2025, Volume 118, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434625603430 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеИзучение поведения максимального члена ряда Дирихле с положительными показателями, сумма которого представляет собой целую функцию, является классической задачей. Этот вопрос актуален в теории асимптотических значений, особенно при получении всевозможных оценок для целых рядов Дирихле – глобальных и локальных, в том числе на различных континуумах (например, на кривых), уходящих в бесконечность. Устойчивость максимального члена
$$
\begin{equation*}
\mu(\sigma)=\max_{n \geqslant 0} \{ |a_n| e^{\lambda_n \sigma} \}
\end{equation*}
\notag
$$
ряда Дирихле
$$
\begin{equation}
F(s)=\sum_{n=0}^\infty a_n e^{\lambda_n s}, \qquad s=\sigma+it, \quad a_0=1, \quad 0=\lambda_0 < \lambda_1 < \dots < \lambda_n \to \infty,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
абсолютно сходящегося во всей комплексной плоскости $\mathbb{C}$, впервые исследовалась в [1]. Это понятие оказалось полезным при изучении асимптотического поведения ряда Дирихле на кривых, уходящих в бесконечность, а именно, при доказательстве известной гипотезы Полиа (см. [1]). Аналогичные исследования позже проводились и для рядов Дирихле заданного роста, например, конечного порядка по Ритту (см. [2]). В данных вопросах показатели $\lambda_n$ ряда (1.1) являются нулями целой функции экспоненциального типа, иначе говоря, система экспонент
$$
\begin{equation*}
e_\Lambda=\{ e^{\lambda_n z} \}_{n=0}^\infty, \qquad \lambda_0=0, \quad \Lambda=\{ \lambda_n \}_{n=0}^\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
не полна в $\mathbb{C}$. Предположим, что система $e_\Lambda$ не полна в пространстве $C(\gamma)$, где $\gamma$ – некоторая спрямляемая дуга, отличная от вертикального отрезка. Тогда $e_\Lambda$ и минимальна в $C(\gamma)$ (или свободна по терминологии Шварца), и существует биортогональная система (см. [3]). Поскольку система $e_\Lambda$ минимальна в $C(\gamma)$, а ряд (1.1) сходится равномерно на $\gamma$, то, как известно, существуют $C_n > 0$, $n=0, 1, 2, \dots$, такие, что (см. [3])
$$
\begin{equation*}
|a_n \leqslant C_n \|F\|_\gamma, \qquad n=0, 1, 2, \dots,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\|F\|_\gamma=\max_\gamma |F(z)|$. Положим $\Phi(z)=F(z+\alpha)$, где $\alpha=\sigma+ it$ – параметр. Тогда имеем
$$
\begin{equation*}
|A_n| \leqslant C_n \|\Phi\|_\gamma, \qquad A_n=a_n e^{\lambda_n \operatorname{Re} \alpha},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation*}
|a_n| \leqslant C_n e^{-\lambda_n \sigma} \|F\|_{\gamma_\alpha},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma_\alpha$ – сдвиг $\gamma$ на вектор $\alpha$. Отсюда
$$
\begin{equation*}
\max_{n \geqslant 0} \{ |a_n| C_n^{-1} e^{\lambda_n \sigma} \} \leqslant \|F\|_{\gamma_\alpha}, \qquad n=0, 1, 2, \dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, при оценке скорости роста $\|F\|_{\gamma_\alpha}$ при $\alpha \to+\infty$ снизу, естественным образом возникает задача о необходимости изучения поведения максимального члена $\mu_b^* (\sigma)$ измененного ряда Дирихле $\sum_{n=0}^\infty a_n b_n e^{\lambda_n s}$ ($b_n \in \mathbb{C}$), в частности, о выполнении асимптотического соотношения при $\sigma \to +\infty$ вне некоторого исключительного множества $E \subset \mathbb{R}_+$ – устойчивости максимального члена $\mu(\sigma)$ ряда (1.1) (более подробно об этом см. в [1])1. Однако изучение устойчивости максимального члена ряда (1.1) является и самостоятельной задачей, где показатели $\lambda_n$ не обязаны быть нулями целой функции экспоненциального типа, даже целой функции конечного порядка. В общем случае условие неполноты системы экспонент $e_\Lambda$ во всей плоскости несущественно, поскольку это свойство не играет никакой роли в общей постановке задачи об устойчивости максимального члена $\mu(\sigma)$. В этом случае показатели $\lambda_n$ ряда (1.1) допускают оптимальный выбор (см. [4]). В настоящей статье изучается устойчивость максимального члена целого ряда Дирихле (1.1), рост которого контролируется некоторой выпуклой мажорантой $\Phi$. Цель статьи – в терминах преобразования Юнга функции $\Phi$ доказать критерий устойчивости максимального члена ряда (1.1). 2. Необходимые сведения. Основной результатПусть $L$ – класс положительных, непрерывных и неограниченно возрастающих на $\mathbb{R}_+= [0, \infty)$ функций,
$$
\begin{equation*}
M(\sigma)=M(\sigma, F)=\sup_{|t| < \infty} |F(\sigma+it)|, \qquad \mu(\sigma)=\mu(\sigma, F)=\max_{n \geqslant 0} \{ |a_n| e^{\lambda_n \sigma} \}
\end{equation*}
\notag
$$
– супремум модуля и максимальный член ряда (1.1). Через $D(\Lambda)$ обозначим класс всех целых функций $F$, представимых всюду абсолютно сходящимися рядами Дирихле (1.1). Пусть $\Lambda=\{ \lambda_n \}_{n=0}^\infty$, $\lambda_0=0$, $\lambda_n \uparrow \infty$. В [5] доказана теорема: для того, чтобы для любой функции $F \in D(\Lambda)$ при $\sigma \to +\infty$ вне некоторого множества конечной меры выполнялось асимптотическое равенство необходимо и достаточно, чтобы Из оценок (см. [6])
$$
\begin{equation}
\int_0^R \frac{\ln^+ n(x)}{x^2}\,dx \leqslant \sum_{0 < \lambda_n \leqslant R} \frac{1}{n \lambda_n} \leqslant \frac{1}{\ln 2} \biggl[ \int_0^R \frac{\ln^+ n(x)}{x^2}\, dx+\frac{\ln n(R)}{R}\biggr],
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $a^+=\max(a, 0)$, $n(x)=\sum_{\lambda_n \leqslant x} 1$, видно, что (2.2) равносильно условию Ограничение (2.2) можно ослабить, если наложить дополнительное ограничение на рост функции $M(\sigma)=M(\sigma, F)$, что то же самое, на убывание коэффициентов ряда Дирихле (1.1). Действительно, пусть $g$ – любая функция, заданная на $\mathbb{R}_+$, ${g(x)}/{x} \to \infty$ при $x \to \infty$ (допускается, что на какой-то последовательности $\{ x_n \}$, $x_n \uparrow \infty$, функция $g(x)$ принимает значение $+\infty$). Сопряженной (или двойственной) по Юнгу называется функция Функция $g_*$ является выпуклой, ${g_*(\xi)}/{\xi} \to \infty$ при $\xi \to \infty$, а функция $(g_*)_*=g_{**}$ совпадает с наибольшей выпуклой минорантой функции $g$. В частности, если $g$ выпуклая, то $g_{**}(x) \equiv g(x)$ (см. [7]).Пусть $\Phi$ – выпуклая на $\mathbb{R}_+$ функция, а $\Psi$ – функция, двойственная с ней по Юнгу, $F \in D(\Lambda)$. Тогда, как известно (см. [7]), $\ln \mu(\sigma)=\ln \mu (\sigma, F) \leqslant \Phi (\sigma)$ тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation}
|a_n| \leqslant e^{-\Psi (\lambda_n)}, \qquad n \geqslant 0.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Если же $\ln \mu (\sigma) \leqslant \Phi (\sigma)$ только на некоторой последовательности $S=\{ \sigma_k \}$ точек $\sigma_k$, $\sigma_k \uparrow \infty$, то в оценках (2.5)
$$
\begin{equation*}
\Psi (t)=\Psi_S (t)=\sup_{k \geqslant 1} (t \sigma_k-\Phi (\sigma_k)),
\end{equation*}
\notag
$$
а функция ${\Psi_S}_*$, очевидно, совпадает с функцией, график которой есть граница выпуклого полигона с вершинами в точках $(\sigma_k, \Phi(\sigma_k))$, $k \geqslant 1$. Так что в этом случае ${\Psi_S}_* (\sigma_k)=\Phi(\sigma_k)$, $\Phi(\sigma) \leqslant {\Psi_S}_* (\sigma)$. В дальнейшем функцию $\Psi_S$ будем называть сопряженной с $\Phi$ относительно последовательности $S=\{ \sigma_k \}$ и обозначать $\Psi_S \ \mathrel{{}^{\displaystyle.}\kern-5.9pt-} \Phi$. Пусть выполняется условие (2.5). Если
$$
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \frac {\ln n}{\lambda_n \psi(\lambda_n)}=0, \qquad \psi(t)=\Psi(t) t^{-1},
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
то ряд (1.1) сходится абсолютно во всей плоскости, причем $\ln \mu (\sigma) \leqslant \Phi (\sigma)$, а для некоторого $m \in \mathbb{N}$ выполняются оценки
$$
\begin{equation}
\ln M(\sigma) \leqslant \Phi(m \sigma), \qquad k=1, 2, \dots \, .
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Это проверяется непосредственно (см. выкладки в конце § 4). Пусть выполнено естественное условие (2.6). Как и в работе [6], через $D_\psi (\Lambda)$ обозначим класс рядов Дирихле из $D(\Lambda)$, коэффициенты которых удовлетворяют оценкам (2.5). Верхней и нижней плотностями измеримого по мере Лебега множества $E \subset \mathbb{R}_+=[0, \infty)$ называются величины
$$
\begin{equation*}
DE=\varlimsup_{\sigma \to \infty} \frac{\operatorname{mes} (E \cap [0, \sigma])}{\sigma}, \qquad dE=\varliminf_{\sigma \to \infty} \frac{\operatorname{mes} (E \cap [0, \sigma])}{\sigma}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\psi \in L$. Если для любого $\eta > 0$
$$
\begin{equation}
\lim_{R \to \infty} \frac{1}{\psi (\eta R)} \sum_{0< \lambda_n \leqslant R} \frac{1}{n \lambda_n}= 0,
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
то для любой функции $F \in D_\psi (\Lambda)$ при $\sigma \to+\infty$ вне некоторого множества $E \subset \mathbb{R}_+$, $DE=0$, имеет место соотношение (2.1) (см. [6]). Если для любого $\eta >0$
$$
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{\lambda_n \psi(\eta \lambda_n)}=0,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
то условие (2.8) является и необходимым для того, чтобы для любой функции $F \in D_\psi (\Lambda)$ при $\sigma \to+\infty$ вне некоторого множества нулевой плотности выполнялось асимптотическое равенство (2.1). Рассмотрим случай функций $F \in D_\psi (\Lambda)$, имеющих конечный порядок по Ритту. В этом случае $\psi(x)=c \ln x$, $x \geqslant 1$, $c$ – const. Если $\lambda_n=\ln (n+1)$, $n=0, 1, 2, \dots$, имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{0< \lambda_n \leqslant \lambda_k} \frac{1}{n \lambda_n} \sim \ln \lambda_k, \qquad k \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому для целого ряда Дирихле конечного порядка $\rho_R$ по Ритту условие (2.8) выполнено тогда и только тогда, когда в оценках (2.5) функция $\psi \in L$ удовлетворяет условию: $\psi(x) / \ln x \to \infty$ при $x \to \infty$. Так что в данной ситуации соотношение (2.1) будет иметь место тогда и только тогда, когда $\rho_R=0$ (см. [6]). В настоящей статье изучаются целые ряды Дирихле (1.1) из класса $\underline{D}(\Phi)$, определяемого некоторой возрастающей выпуклой мажорантой $\Phi$: $\Phi(x) / x \to \infty$ при $x \to \infty$. По определению
$$
\begin{equation*}
\underline{D}(\Phi)=\bigcup_{m=1}^\infty \underline{D}_m(\Phi),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \underline{D}_m(\Phi)=\bigl\{ F \in D(\Lambda) \colon \exists\, \{ \sigma_k \}, \,0<\sigma_k \uparrow \infty, \,\ln M(\sigma_k) \leqslant \Phi(m \sigma_k),\, k=1, 2, \dots\bigr\}, \\ m \in \mathbb{N} , \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Lambda$ – последовательность, которая для любой последовательности $S=\{ \sigma_k \}$, $\sigma_k \uparrow \infty$, удовлетворяет условию (2.8) при $\psi=\psi_S$. Уточним последнее. Если $F \in \underline{D}(\Phi)$, то $F \in \underline{D}_m(\Phi)$ при некотором $m \in \mathbb{N}$ и потому вместо неравенств (2.5) будем иметь
$$
\begin{equation}
|a_n| \leqslant \exp\biggl(-\frac{\lambda_n}{m}\psi_m \biggl( \frac{\lambda_n}{m} \biggr)\biggr), \qquad n=0, 1, 2, \dots\,.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Здесь $\psi_m(t)=\Psi_m(t) / t$, $\Psi_m \stackrel{\mathrm{def}}{=} {\Psi_S}_m$, $\Psi_{S_m} \mathrel{{}^{\displaystyle.}\kern-5.9pt-} \Phi$, $S_m=\{m \sigma_k \}$, $0< \sigma_k \uparrow \infty$. Наряду с рядом (1.1) рассмотрим и ряд где неограниченная последовательность $B=\{b_n \}$ комплексных чисел $b_n$ ($b_0=1$, $b_n \ne 0$ при $n \geqslant 1$) удовлетворяет условию
$$
\begin{equation}
\varlimsup_{n \to \infty} \frac{\bigl|\ln |b_n|\bigr|}{\lambda_n} < \infty.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Отсюда следует, что если $F \in \underline{D}_m(\Phi)$, то и $F_b^* \in \underline{D}_m(\Phi)$ при $m \geqslant m_0$. Поэтому при $m \geqslant m_0$ для коэффициентов $a_n b_n$ ряда (2.11) также будут верны оценки (2.10) – с той же правой частью. Тогда предположение (2.8) для функции $\psi_m$ будет обеспечивать выполнение условия типа (2.9) для той же функции, а следовательно, и абсолютную сходимость рядов (1.1) и (2.11) в $\mathbb{C}$. Для заданной функции $\psi \in L$ рассмотрим класс $\underline{W}(\psi)$ функций $w \in L$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\sqrt{x} \leqslant w(x), \qquad \forall\, \eta > 0 \quad \lim_{x \to \infty} \frac{w(x)}{x \psi(\eta x)}=0, \quad \varliminf_{x \to \infty} \frac{1}{\psi(\eta x)} \int_1^x \frac{w(t)}{t^2}\,dt= 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что функция $w(x)=\sqrt{x}$ принадлежит классу
$$
\begin{equation*}
W(\psi)=\biggl\{ w \in L \colon \sqrt{x} \leqslant w(x), \ \forall\, \eta > 0 \ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\psi(\eta x)} \int_1^x \frac{w(t)}{t^2}\,dt=0 \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем говорить, что последовательность $B=\{ b_n \}$ ($b_0 =1$, $b_n \ne 0$ при $n \geqslant 1$) $W(\psi)$-нормальна, если найдется функция $\theta \in W(\psi)$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{|b_n|} \leqslant e^{\theta (\lambda_n)}, \qquad n \geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $n(t)=\sum_{0 < \lambda_n \leqslant t} 1$, $\ln n(t)=\mathrm{o}(t)$ при $t \to \infty$, а $n_l(t)$ – наименьшая вогнутая мажоранта функции $\ln n(t)$. Тогда функция $n_l(t)$ определена корректно, причем $n_l(t)=\mathrm{o}(t)$ при $t \to \infty$. Через $\mu(\sigma)$ и $\mu^*_b(\sigma)$ обозначим максимальные члены рядов (1.1) и (2.11). В [8] была доказана следующая теорема. Теорема 1. Пусть $B=\{ b_n \}$ – последовательность, удовлетворяющая условию (2.12), $\Phi$ – выпуклая на $\mathbb{R}_+$ функция из $L$. Предположим, что для функции $\varphi$, обратной к $\Phi$, выполнено условие а мажоранта $n_l(t)$ принадлежит классу $W(\varphi)$. Для того, чтобы для любой функции $F \in \underline{D}(\Phi)$ при $\sigma \to +\infty$ вне некоторого множества нулевой нижней плотности выполнялось асимптотическое равенство достаточно, а для $W(\varphi)$–нормальной последовательности $B$ и необходимо, чтобы существовала мажоранта $w \in {W}(\varphi)$ такая, чтоОтметим, что поскольку в теореме 1 функция $\varphi$ вогнутая, то в определении класса ${W}(\varphi)$ достаточно считать, что $\eta=1$. Справедлива аналогичная теорема и для двойственного класса ${D}(\Phi)$. В этом случае мажоранта $w$ берется из класса $\underline{W}(\varphi)$ (см. [9]). Сформулируем теперь основной результат. Теорема 2. Пусть $\Phi$ – любая выпуклая функция из $L$, а $\underline{D}(\Phi)$ – класс функций, введенный выше, $F \in \underline{D}(\Phi)$, т.е. $F \in \underline{D}_m(\Phi)$ при некотором $m \in \mathbb{N}$. Обозначим через $\Psi_S$ функцию, сопряженную с $\Phi$ по Юнгу относительно соответствующей последовательности $S=\{ \sigma_k \}$, $\psi_S(t)=\Psi_S (t) / t$. Пусть последовательность $B= \{ b_n \}$ удовлетворяет условию (2.12). Если существует функция $w \in W(\psi_S)$, такая, что
$$
\begin{equation}
|b_n|+\frac{1}{|b_n|} \leqslant e^{w(\lambda_n)}, \qquad n \geqslant 0,
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
то максимальный член соответствующего ряда (1.1) устойчив, т.е. при $\sigma \to +\infty$ вне некоторого исключительного множества $E \subset \mathbb{R}_+$ нулевой нижней плотности справедливо асимптотическое равенство (2.13). Теорема 3. Пусть последовательность $\Lambda$ и функция $\Phi$ те же, что и в теореме 2, $\Psi_S$ – функция, двойственная с ней по Юнгу относительно какой-то последовательности $S=\{ \sigma_k \}$, $\sigma_k \uparrow \infty$. Предположим, что последовательность $B=\{ b_n \}$ удовлетворяет условию (2.12). Если условие (2.14) не выполняется ни для какой мажоранты $w \in W(\psi_S)$, $\psi_S(t)=\Psi_S(t) t^{-1}$, то существует ряд (1.1) с суммой $F \in \underline{D}(\Phi)$, для которого асимптотическое равенство (2.13) не имеет места на всем луче $\mathbb{R}_+$. В теореме 1, в отличие от теорем 2, 3, к функции $\Phi$ предъявлены более жесткие требования. Кроме того, как легко убедиться, основные результаты настоящей статьи доказаны для более широкого класса последовательностей $\Lambda$. 3. Доказательство теоремы 2Предварительно сделаем одно важное замечание. Замечание 1. Условие (2.8) для $\psi_S$ в силу оценок (2.3) можно записать в виде: для любого $\eta >0$ Замечание состоит в том, что в условиях (2.14) и (3.1) функции $w(t)$ и $\ln n(t)$ можно заменить на мажоранту более быстрого роста: существует функция $\omega \in L$ такая, что $\ln n(t) \leqslant \omega(t)$, $w(t)=\mathrm{o}(\omega(t))$ при $t \to \infty$, причем
$$
\begin{equation*}
\lim_{R \to \infty} \frac{1}{\psi_S(\eta R)} \int_1^R \frac{\omega(t)}{t^2}\, dt=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко показать, что функции $\omega$ и $\psi_S$ тогда будут удовлетворять и условию согласованности типа (2.9). Действительно, для любого $\eta > 0$
$$
\begin{equation*}
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\psi_S(\eta x)} \int_{x/2}^x \frac{\omega(t)}{t^2}\, dt= 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\lim_{x \to \infty} \frac{\omega ({x}/{2})}{({x}/{2}) \psi_S(\eta x)}= 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось положить $\eta={\xi}/{2}$, где $\xi >0$ – любое заданное число. Далее нам понадобится и следующая лемма. Лемма 1. Пусть $w \in L$, $w(t) \equiv 0$ при $0 \leqslant t \leqslant t_0$, $F \in \underline{D}(\Phi)$, $S=\{ \sigma_k \}$ – последовательность, выбранная так, что $\ln M(\sigma_k)=\ln M(\sigma_k, F) \leqslant \Phi(m \sigma_k)$, $k \geqslant 1$, $m \in \mathbb{N}$. Пусть $S_m=\{ m \sigma_k \}$, $\Psi_m \stackrel{\mathrm{def}}{=} \Psi_{S_m}$, $\Psi_m(t)=\psi_m(t) t$, $\Psi_{S_m} \mathrel{{}^{\displaystyle.}\kern-5.9pt-} \Phi$, а для любого $\eta >0$ Если для любого $\xi > 0$
$$
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{\lambda_n \psi_m(\xi \lambda_n)}=0,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
то при всех $\sigma \geqslant 0$ вне некоторого $E \subset \mathbb{R}_+$ нулевой нижней плотности верны оценки
$$
\begin{equation}
|a_n| e^{\lambda_n \sigma} \leqslant \mu(\sigma) \exp \biggl\{ -\int_{\lambda_\nu}^{\lambda_n} \frac{\lambda_n-t}{t^2} w(t)\, dt \biggr\}, \qquad n \geqslant 0,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где $\mu(\sigma)=\mu(\sigma, F)$, $\nu=\nu(\sigma, F)$ – максимальный член и центральный индекс ряда (1.1). Доказательство. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha(t)=\int_0^t \frac{w(x)}{x^2}\, dx, \qquad \alpha_n=\exp \biggl\{ -\int_0^{\lambda_n} \alpha(t)\, dt \biggr\}, \qquad \tau_n=\alpha(\lambda_n), \\ A_n=\frac{|a_n|}{\alpha_n}, \qquad n \geqslant 0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $[R_n, R_{n+1})$ – полуинтервал, в котором центральный индекс ряда Дирихле с коэффициентами $A_n$ совпадет с $\nu=\nu(\sigma)=n$. Тогда оценки (3.4) верны при всех $\sigma \geqslant 0$ вне множества (см. [10])
По условию $\Psi_{S_m} \mathrel{{}^{\displaystyle.}\kern-5.9pt-} \Phi$, $S_m=\{ m\sigma_k \}$, $\Psi_m=\Psi_{S_m}$. Если $\sigma_k \in [R_n+\tau_{n}, R_{n+1}+\tau_n)$ при некотором $n \geqslant 1$, то для таких $\sigma_k$ верны неравенства (3.4), а если учесть (2.10), то при некотором $m \in \mathbb{N}$
$$
\begin{equation}
0 \leqslant \ln \mu(\sigma_k) \leqslant -\frac{\lambda_n}{m} \psi_m \biggl( \frac{\lambda_n}{m} \biggr)+ \lambda_n \sigma_k, \qquad k \geqslant k_0, \qquad \psi_m(t)=\frac{\Psi_m(t)}{t}.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Очевидно, $\ln \mu(\sigma_k) \leqslant \Phi(m \sigma_k)$, а как видно из (3.5),
$$
\begin{equation}
\sigma_k \geqslant \frac{1}{m} \psi_m \biggl( \frac{\lambda_n}{m} \biggr), \qquad k \geqslant k_0.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\mu(E \cap [0, \sigma_k])=\mu(E \cap [0, R_n+\tau_n]) \leqslant \sum_{j=1}^n (\tau_j-\tau_{j-1}) \leqslant \tau_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть – переменная плотность множества $E$. Согласно (3.6)
$$
\begin{equation}
r(\sigma_k) \leqslant \frac{m \tau_n}{\psi_m ({\lambda_n}/{m})},
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
если $\sigma_k \in [R_n+\tau_n, R_{n+1}+\tau_n)$. Если же $\sigma_k \in [R_n+\tau_{n-1}, R_n+ \tau_n)$, то
$$
\begin{equation*}
\sigma_k \geqslant R_n+\tau_n-(\tau_n-\tau_{n-1}) \geqslant \frac{1}{m} \psi \biggl( \frac{\lambda_n}{m} \biggr)-\tau_n,
\end{equation*}
\notag
$$
так как оценка (3.6) верна и при $\sigma= R_n+ \tau_n$. Значит,
$$
\begin{equation}
r(\sigma_k) \leqslant \frac{\tau_n}{m^{-1} \psi_m ({\lambda_n}/{m})-\tau_n}.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Так как $\tau_n=\alpha(\lambda_n)=\mathrm{o}(\psi_m(\eta \lambda_n))$ при $n \to \infty$ для любого $\eta > 0$, из (3.7), (3.8) получаем, что $r(\sigma_k)= \mathrm{o}(\sigma_k)$ при $k \to \infty$. Это означает, что $dE=0$.
Лемма доказана. Теперь можем приступить к доказательству теоремы 2. Доказательство. Сначала убедимся в том, что при всех $\sigma \geqslant 0$ вне некоторого множества нулевой плотности выполняется оценка $\lambda_{\nu(\sigma)} < v(\sigma)$, где $v=v(\sigma)$ – решение уравнения Здесь $w^*$ – функция, удовлетворяющая условию типа (3.2) и имеющая вид $w^*(t)= \beta(t) w_0(t)$, $0< \beta(t) \uparrow \infty$, $\beta \in L$, $w_0 \in L$, причем
$$
\begin{equation*}
\ln n(t) \leqslant w_0(t), \qquad w(t) \leqslant w_0(t),
\end{equation*}
\notag
$$
а $w$ – мажоранта из условия (2.14). Согласно замечания 1, функция $w^*$ с указанными свойствами существует.
Возьмем в лемме 1 $w(t) =w^*(et)$. Тогда, полагая в (3.4) $n=0$ и учитывая, что $a_0=1$, будем иметь: вне некоторого множества $E_1 \subset \mathbb{R}_+$ нулевой нижней плотности
$$
\begin{equation*}
\ln \mu(\sigma) \geqslant \int_0^{\lambda_\nu} \frac{w^*(et)}{t}\, dt \geqslant \int_{\lambda_\nu / e}^{\lambda_\nu} \frac{w^*(et)}{t}\, dt \geqslant w^*(\lambda_\nu).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, принимая во внимание равенство (3.9), при всех $\sigma \geqslant 0$ вне множества $E_1$, $dE_1=0$, получим
$$
\begin{equation*}
w^*(v) \leqslant 2 w^*(\lambda_\nu) > w^*(\lambda_\nu).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, учитывая (2.14), (3.9), имеем
$$
\begin{equation*}
\mu(\sigma)=|a_\nu| e^{\lambda_\nu \sigma}=|a_\nu b_\nu| e^{\lambda_\nu \sigma} |b_\nu|^{-1} \leqslant \mu_b^*(\sigma) e^{\lambda_\nu} \leqslant \mu_b^*(\sigma) e^{w^*(v)}=\mu_b^*(\sigma) (\mu(\sigma))^{\mathrm{o}(1)}
\end{equation*}
\notag
$$
при $\sigma \to+\infty$ вне $E_1$. Это означает, что
$$
\begin{equation}
(1+\mathrm{o}(1)) \ln \mu(\sigma) \leqslant \ln \mu_b^*(\sigma).
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
\mu_b^*(\sigma)=|a_k b_k| e^{\lambda_k \sigma} \leqslant \mu(\sigma) e^{w(\lambda_k)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $k=k(\sigma)$ – центральный индекс ряда (2.11).
Пусть $p=p(\sigma)$ – решение уравнения Так как при достаточно большом $m \in \mathbb{N}$
$$
\begin{equation*}
\ln \mu(\sigma) \leqslant \Phi(m \sigma), \qquad \ln \mu_b^*(\sigma) \leqslant \Phi (m \sigma)
\end{equation*}
\notag
$$
для $\sigma=\sigma_k$, $k \geqslant 1$, то для коэффициентов ряда (2.11) также верны оценки (3.4), возможно, вне некоторого множества $E_2 \subset \mathbb{R}_+$, $dE_2=0$. Так как $a_0=1$, $b_0=1$, отсюда следует, что при всех $\sigma \geqslant 0$ вне $E_2$ верна оценка $\lambda_{k(\sigma)} < p(\sigma)$. При этом для одной и той же последовательности точек $\sigma_k$, $k \geqslant 1$,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mes}(E_1 \cap [0, \sigma_k])=\mathrm{o}(\sigma_k), \qquad \operatorname{mes}(E_2 \cap [0, \sigma_k])=\mathrm{o}(\sigma_k)
\end{equation*}
\notag
$$
при $k \to \infty$. Так что $dE=0$, где $E=E_1 \cup E_2$.
При $\sigma \to \infty$ вне $E_2$ имеем
$$
\begin{equation*}
\mu_b^* (\sigma) \leqslant \mu(\sigma) e^{w(p(\sigma))}=\mu(\sigma) [\mu_b^*(\sigma)]^{\mathrm{o}(1)},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation}
(1+\mathrm{o}(1)) \ln \mu_b^* (\sigma) \leqslant \ln \mu(\sigma).
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Таким образом, из (3.10), (3.11) окончательно получаем, что при $\sigma \to \infty$ вне $E=E_1 \cup E_2$, $dE=0$, выполняется требуемое асимптотическое равенство
$$
\begin{equation*}
\ln \mu(\sigma)=(1+\mathrm{o}(1)) \ln \mu_b^* (\sigma).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. 4. Доказательство теоремы 3Приведем доказательство теоремы 3. Оно конструктивное. Доказательство. Пусть $\Phi$ – выпуклая функция из $L$, $\Psi_S$ – функция, двойственная с ней по Юнгу относительно $S=\{ \sigma_k \}$, $\psi_S(t)=\Psi_S(t) t^{-1}$. Для простоты обозначений положим: $\Psi_S=\Psi$, $\psi_S=\psi$. Предположим, что $\Lambda$ удовлетворяет условию (2.8), а значит, и (2.9), но оценки (2.14) не выполнены ни для одной функции $w \in W(\psi)$. Покажем, что тогда существует функция $F \in \underline{D}(\Phi)$, для которой асимптотическое равенство (2.13) не имеет места на всем луче $\mathbb{R}_+$. Для этого рассмотрим два выражения
$$
\begin{equation*}
A_\eta=\varlimsup_{x \to \infty} \frac{1}{\psi(\eta x)} \int_0^x \frac{\alpha(t)}{t^2} \,dt, \qquad B_\eta=\varlimsup_{x \to \infty} \frac{1}{\psi(\eta x)} \int_0^x \frac{\alpha^*(t)}{t^2}\, dt,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha(t)=\max_{\lambda_n \leqslant t} \{ \ln |b(\lambda_n)| \colon n \geqslant 0 \}, \qquad \alpha^*(t)=\max_{\lambda_n \leqslant t} \{ -\ln |b(\lambda_n)| \colon n \geqslant 0 \}, \\ b(\lambda_n)=b_n, \qquad n \geqslant 0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $\alpha(t)>0$, $\alpha^*(t) > 0$ при $t \geqslant \lambda_N$, причем $\alpha(t)$, $\alpha^*(t)$ – неубывающие ступенчатые функции, непрерывные справа. Заметим, что $\alpha(t)$ является наименьшей неубывающей мажорантой последовательности $\{ \ln |b_n| \}_{n=0}^\infty$, а $\alpha^*(t)$ – наименьшей неубывающей мажорантой последовательности $\{ -\ln |b_n| \}_{n=0}^\infty$.
Покажем, что $A_\eta$ и $B_\eta$ одновременно не могут равняться нулю при всех $\eta > 0$. Действительно, если бы это было так, то нашлась бы мажоранта $w_\alpha \in W(\psi)$ такая, что $\alpha(t) \leqslant w_a(t)$, $\alpha^*(t) \leqslant w_\alpha(t)$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
|b_n|+|b_n|^{-1} \leqslant e^{\theta(\lambda_n)}, \qquad n \geqslant N, \quad \theta(\lambda_n)= w_a(\lambda_n)+\ln 2, \quad \theta \in W(\psi).
\end{equation*}
\notag
$$
Получили противоречие. Значит, для любого $\eta >0$ величины $A_\eta$ и $B_\eta$ одновременно не равны нулю. Пусть, для определенности, $A_\eta \ne 0$, т.е. существует $\eta >0$ такое, что
$$
\begin{equation}
\varlimsup_{x \to \infty} \frac{1}{\psi( \eta x)} \int_0^x \frac{\alpha(t)}{t^2}\, dt > 0.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Покажем, что тогда
$$
\begin{equation}
\varlimsup_{n \to \infty} \frac{1}{\psi(\eta t_n)} \int_0^{t_n} \frac{\alpha(t)}{t^2}\, dt > 0,
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где $\{ t_n \}$ – последовательность точек разрыва $\alpha(t)$, $t_0=\lambda_N$. Предположим, что это не так, т.е.
$$
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\psi(\eta t_n)} \int_0^{t_n} \frac{\alpha(t)}{t^2} \,dt=0.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Пусть $\alpha(t)=\alpha_n$ при $t_n \leqslant t < t_{n+1}$, $n >0$. Если $x \in [t_{n-1}, t_n)$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\varlimsup_{x \to \infty} \frac{1}{\psi(\eta x)} \int_0^{x} \frac{\alpha(t)}{t^2}\, dt \leqslant \varlimsup_{x \to \infty} \frac{1}{\psi(\eta x)} \int_0^{t_{n-1}} \frac{\alpha(t)}{t^2}\, dt+ \varlimsup_{x \to \infty} \frac{1}{\psi(\eta x)} \int_{t_{n-1}}^{t_{n}} \frac{\alpha(t)}{t^2}\, dt \\ &\qquad\leqslant \varlimsup_{n \to \infty} \frac{1}{\psi(\eta t_{n-1})} \int_0^{t_{n-1}} \frac{\alpha(t)}{t^2}\, dt +\varlimsup_{n \to \infty} \frac{\alpha(t_{n-1})}{\psi(\eta t_{n-1})t_{n-1}} =0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предполагая (4.3), получили противоречие с условием (4.1). Значит, действительно (4.2) имеет место. Пусть
$$
\begin{equation*}
\varlimsup_{n \to \infty} \frac{1}{\psi(\eta t_n)} \int_0^{t_n} \frac{\alpha(t)}{t^2}\, dt= \beta >0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что существует последовательность $\{ \tau_k \}=\{ t_{n_k} \}$ такая, что
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\psi(\eta \tau_k)} \int_0^{\tau_k} \frac{\alpha(t)}{t^2} \,dt \geqslant \beta_1 > 0, \qquad k \in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Введем в рассмотрение неограниченно возрастающую последовательность $\{ x_n \}_{n=0}^\infty$,
$$
\begin{equation*}
x_n=\frac{G_{n+1}-G_n}{t_{n+1}-t_n}, \qquad G_n=t_n I(t_n),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
I(t_n)=\int_{\lambda_N}^{t_n}\frac{g(t)}{t^2}\, dt, \qquad g(t)=q \alpha(t), \quad 0< q<1, \quad n \geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Точно так же, как и в работе [2], строим выпуклый полигон Ньютона $P$ с последовательностью вершин $P_n=(t_n, G_n)$ для ряда Дирихле
$$
\begin{equation}
F(s)=1+\sum_{n=1}^\infty a_k e^{\lambda_k s}, \qquad s=\sigma+it,
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где
$$
\begin{equation*}
a_k=\begin{cases} e^{-G_n}, & \lambda_n=\tau_k, \\ 0 & \lambda_n \ne \tau_k. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\{ t_n \}_{n=0}^\infty$ – последовательность центральных индексов ряда (4.5), абсолютно сходящегося во всей плоскости. Имея это в виду, оценим максимальный член ряда (4.5) сверху.
Для $x_{n-1} \leqslant \sigma < x_n$ имеем [2]
$$
\begin{equation*}
\ln \mu(\sigma)=\tau_n (-I(\tau_n)+\sigma) < \frac{\tau_n \tau_{n+1}}{\tau_{n+1}-\tau_n} \int_{\tau_n}^{\tau_{n+1}} \frac{g(t)}{t^2}\, dt=q \alpha_n, \qquad n \geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
\mu_b^*(\sigma) \geqslant |a_{j_n} b_{j_n}| e^{\lambda_{j_n}\sigma}, \qquad \lambda_{j_n}=\tau_n, \qquad n \geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $b_{j_n}=e^{\alpha(t_n)}=e^{\alpha_n}$, то для $x_{n-1} \leqslant \sigma < x_n$, $n \geqslant 1$, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\ln \mu_b^*(\sigma) \geqslant \alpha_n-\tau_n I(\tau_n)+\tau_n \sigma=\alpha_n+\ln \mu(\sigma) > \alpha_n, \qquad n \geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для $x_{n-1} \leqslant \sigma < x_n$, $n \geqslant 1$, выполняется оценка
$$
\begin{equation}
\frac{\ln \mu(\sigma)}{\ln \mu_b^*(\sigma)} < q < 1, \qquad \sigma \geqslant x_0 >0.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Следовательно, асимптотическая оценка (2.13) не выполнена при $\sigma \to \infty$, $\sigma \in \mathbb{R}_+$. Осталось убедиться в том, что $F \in \underline{D}(\Phi)$. Действительно, из (4.4) следует, что
$$
\begin{equation*}
I(\tau_k) \geqslant q \beta_1 \psi(\eta \tau_k), \qquad k \geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
M(\sigma) \leqslant 1+\sum_{n=1}^\infty \exp\bigl(-\beta_2 \tau_n \psi(\eta \tau_n)+\tau_n \sigma\bigr), \qquad \beta_2=q \beta_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\ln n=\mathrm{o}(\lambda_n \psi(\eta \lambda_n))$ при $n \to \infty$, то
$$
\begin{equation*}
C=\sum_{n=1}^\infty \exp{ \biggl\{ -\frac{\beta_2}{2} \tau_n \psi(\eta \tau_n) \biggr\} } < \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
M(\sigma) \leqslant 1+C \exp \biggl\{ \sup_{n \geqslant 1} \biggl(-\frac{\beta_2}{2} \tau_n \psi(\eta \tau_n)+\tau_n \sigma \biggr) \biggr\}, \qquad \sigma >0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда при $k \geqslant k_0$
$$
\begin{equation*}
M(\sigma) \leqslant 1+C \exp \biggl\{ \frac{\beta_2}{2 \eta} \Phi \biggl( \frac{2}{\beta_2} \sigma \biggr) \biggr\} \leqslant \exp \biggl\{ B \Phi \biggl( \frac{2}{\beta_2} \sigma \biggr) \biggr\}, \qquad \sigma=\sigma_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку функция $\Phi$ выпуклая, то
$$
\begin{equation*}
B \Phi \biggl( \frac{2}{\beta_2} \sigma \biggr) \leqslant \Phi \biggl( \frac{2B}{\beta_2} \sigma \biggr) \leqslant \Phi (m \sigma)
\end{equation*}
\notag
$$
при некотором $m \in \mathbb{N}$. Это означает, что $F \in \underline{D} (\Phi)$.
Таким образом, если условие (2.14) не выполнено, то найдется функция $F \in \underline{D}(\Phi)$, для которой при $\sigma \geqslant x_0 > 0$ имеет место оценка (4.6). Значит, соотношение (2.13) не выполнено. Теорема доказана. Для класса $D(\Phi)$ также имеет место критерий справедливости соотношения (2.13), который доказан в [11]. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gai25} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|