| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Асимптотическое поведение “длинных” произведений синусов и числа Пизо Е. Д. Алфероваab  , В. Е. Подольскийab, В. Б. Шерстюковab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Английская версия:
Mathematical Notes, 2025, Volume 117, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462501002X 
Реферативные базы данных:
   1. Введение. Формулировки основных результатовВ работе вычислен предел
$$
\begin{equation}
r(p)\equiv\lim_{n\to\infty} \Bigl(\sup_{x\in\mathbb{R}}|\sin(px)\dotsb\sin (p^n x)|\Bigr)^{1/n}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
для специального класса иррациональных значений параметра $p\in\mathbb{R}$. Ввиду четности предельной функции (1.1) считаем далее $p$ положительным. Отметим, что поставленный в [1] вопрос о нахождении в явном виде величины (1.1) оказался глубоким, а ответ на него – нетривиально зависящим от арифметической природы числа $p$. Так, согласно [2; лемма 1] для любого трансцендентного значения $p$ выполнено равенство $r(p)=1$. Случай алгебраических $p$ сложнее и до конца не исследован. Точный ответ (см. [2; лемма 4, теорема 2]) известен только для параметра $p$ из множества $\mathbb{S}^{(1)}$ всех целых алгебраических чисел с четной суммой коэффициентов минимального многочлена, а также из множества
$$
\begin{equation*}
\mathbb{S}^{(2)}\equiv\biggl\{\biggl(\frac{a}{b}\biggr)^{1/s} \colon a,b,s \in\mathbb{N}\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
всех положительных рациональных чисел и взятых от них простейших радикалов. Конкретнее говоря, в случае $p\in\mathbb{S}^{(1)}$ всегда $r(p)=1$, а в случае $p\in\mathbb{S}^{(2)}$ возникают два варианта: $r(p)=1$, если число $a+b$ четное, и $r(p)=\cos(\pi/(2a+2b))$, если число $a+b$ нечетное. Развернутые обоснования сформулированных утверждений см. в [2]. Элементарный метод доказательства и развития результатов [2] для некоторых чисел из $\mathbb{S}^{(2)}$ разработан в [3], [4]. Там же подробно изложена история вопроса с полезными добавлениями и библиографическими ссылками. Сформулируем основные результаты статьи. Для этого обозначим через $\mathbb{P}$ класс всех квадратичных иррациональностей вида $p=a+\sqrt{b}$, где компоненты $a,b \in \mathbb{N}$ удовлетворяют условиям i) $a$ – нечетное число, $b$ – четное число, ii) $(a-1)^2 + 2 \leqslant b \leqslant (a+1)^2 - 2 $ (как видно, $b$ не является полным квадратом, так что, пересечение $\mathbb{N}\cap\mathbb{P}$ пусто). В класс $\mathbb{P}$ входит, как наименьший элемент, так называемое серебряное сечение – число $1+\sqrt{2}$, а также число $3+2\sqrt{2}$ – его квадрат, число $7+5\sqrt{2}$ – его куб, и так далее. Свойства множества $\mathbb{P}$ мы обсудим подробнее в § 2. Сейчас укажем только, что все элементы $\mathbb{P}$ являются числами Пизо (см. § 2). Элементарное введение в мир этих замечательных чисел дано в [5], [6]; систематическое изложение теории и ее применения см. в [7], [8], см также [9; гл. XIV, § 20] и недавние публикации [10], [11]. Центральный результат работы доказан в § 3 и состоит в следующем. Теорема 1. Если $p=a+\sqrt{b}\in\mathbb{P}$, то $r(p)=1$. Более точно, для величины Поскольку $\mathbb{P}\subset\mathbb{S}^{(1)}$ (см. свойство $2^{\circ}$ в § 2), само равенство $r(p)=1$ для чисел $p\in\mathbb{P}$ не является новым. Новизна заключена в остальных утверждениях теоремы 1 и методе ее доказательства, основанном исключительно на свойстве Пизо (асимптотической близости степеней $p^n$ к целым числам) элементов семейства $\mathbb{P}$. Из теоремы 1, в частности, следует, что $r((1+\sqrt{2})^\nu)=1$ для всех $\nu\in\mathbb{N}$. Кроме того, функция (1.1) очевидно равна единице на множестве $\{1/p\colon p\in\mathbb{P}\}\subset(0,1)$. В то же время, даже для квадратичных иррациональностей $p\in(1, +\infty) \setminus (\mathbb{S}^{(1)}\cup\mathbb{S}^{(2)})$ вычислять явно $r(p)$ мы пока не умеем. Так что еще предстоит выяснить, какое значение принимает предельная функция (1.1), корректно определенная на всем множестве $\mathbb{R}$ (см. [3; теорема 2]), если зафиксировать в качестве ее аргумента, например, золотое сечение $p=(1+\sqrt{5})/2\notin\mathbb{S}^{(1)}\cup\mathbb{S}^{(2)}$ (кстати, тоже число Пизо). Впрочем, развивая идею доказательства теоремы 1, удается показать, что величина $r((1+\sqrt{5})/2)$ заключена между числами $0.747$ и $0.788$. При другом характерном выборе параметра $p=1+\sqrt{3}\notin\mathbb{S}^{(1)}\cup\mathbb{S}^{(2)}$ мы получаем для $r(p)=r(1+\sqrt{3})$ границы $0.866$ и $0.955$. Строгие аналитические результаты таковы:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\sqrt[4]{5}}{2}\leqslant r\biggl(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\biggr)\leqslant\sqrt[4]{\frac{2\sqrt{3}}{9}}, \\ \frac{\sqrt{3}}{2}\leqslant r(1+\sqrt{3})\leqslant\frac{1}{3}\sqrt[6]{\frac{587+143\sqrt{13}}{2}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти и некоторые другие примеры подробно разобраны в заключительном § 4. Во всех указанных “трудных” частных случаях выявлена существенно более точная информация о величине (1.1) по сравнению с той, что содержится в [2; § 3]. При выводе оценок сверху используем следующее полезное утверждение, доказанное в § 4. Теорема 2. Пусть вещественная квадратичная иррациональность имеет вид $p=a+\sqrt{b}\notin\mathbb{Q}$ с какими-либо $a,b\in\mathbb{Q}$. Тогда для фиксированного натурального числа $\nu\geqslant 3$ величина Несложно проверить, что $M_{\nu}(p)=1$ для всякого $p\in\mathbb{P}$ при любом выборе $\nu\geqslant 3$. Действительно, в таком случае при каждом $j\in\{1,\dots,\nu-2\}$ оба фигурирующих в (1.7) коэффициента $c_j$ и $d_j$ будут натуральными числами, причем одно – нечетным, а другое – четным (см. i) и (1.8)). Следовательно, взяв в (1.7) $x=y=\pi/2$, получим нужный результат, согласованный с теоремой 1. Укажем также, что неравенства (1.6) и (1.9) останутся в силе, если в их правые части вместо точной верхней грани $M_{\nu}(p)$ поставить не превосходящую ее величину
$$
\begin{equation}
r_\nu(p)\equiv\sqrt[\nu]{\sup_{x\in\mathbb{R}}\prod^{\nu}_{k=1}|\sin(p^k x)|}= \sup_{x\in\mathbb{R}}\sqrt[\nu]{\prod^{\nu}_{k=1}|\sin(p^k x)|},
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
но вычислять или оценивать последнюю (из-за наличия квадратичной иррациональности $p$ в аргументах синусов) сложнее, чем (1.7). Приступим к основной части работы. 2. Свойства класса $\mathbb{P}$Вначале для наглядности выпишем несколько конкретных элементов $\mathbb{P}$. Всюду в этом разделе $a,b\in\mathbb{N}$, $a$ – нечетное число, $b$ – четное число, как в условии i) из определения $\mathbb{P}$. Пусть $a=1$. Тогда из ii) находим единственное значение $b=2$. Поэтому Пусть затем $a=3$. Тогда из ii) получим, что $b\in\{6,\,8,\,10,\,12,\,14\}$. Отсюда
$$
\begin{equation*}
\Bigl\{3+\sqrt{6},\,3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2,\,3+\sqrt{10}, \,3+2\sqrt{3},\,3+\sqrt{14}\Bigr\}\subset\mathbb{P}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть еще $a=5$. Тогда, согласно ii), имеем $b\in\{18,\,20,\,22,\,24,\,26,\,28,\,30,\,32,\,34\}$, и в $\mathbb{P}$ выделяется подмножество
$$
\begin{equation*}
\Bigl\{5+3\sqrt{2},\, 5+2\sqrt{5},\, 5+\sqrt{22},\, 5+2\sqrt{6},\, 5+\sqrt{26},\, 5+2\sqrt{7},\, 5+\sqrt{30},\, 5+4\sqrt{2},\, 5+\sqrt{34}\Bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
из девяти элементов, среди которых $5+2\sqrt{6}=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$. Процедура “развертывания” множества $\mathbb{P}$ ясна. Сформулируем несколько его общих свойств.
Поскольку все свойства $1^{\circ}$–$7^{\circ}$ легко выводятся на основе определения семейства $\mathbb{P}$, ограничимся коротким комментарием. Счетность $\mathbb{P}$ очевидна. Напомним, что целое алгебраическое число $p>1$ называют числом Пизо, если все остальные корни минимального для $p$ многочлена расположены в единичном круге $|z|< 1$ комплексной плоскости $\mathbb{C}$. Свойство $2^{\circ}$ дает простое, но полезное дополнение к свойству $1^{\circ}$ и напрямую связано с ii). Свойство $3^{\circ}$ просматривается из представлений
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (a+\sqrt{b})^{\nu}=\sum_{k=0}^\nu C_\nu^k a^{\nu-k} b^{k/2} =\sum_{0\leqslant j \leqslant \nu/2} C_\nu^{2j} a^{\nu-2j} b^{j} + \sqrt{b}\sum_{0\leqslant j \leqslant (\nu-1)/2} C_\nu^{2j+1} a^{\nu-2j-1} b^{j}, \\ (a-\sqrt{b})^{\nu}=\sum_{0\leqslant j \leqslant \nu/2} C_\nu^{2j} a^{\nu-2j} b^{j} - \sqrt{b}\sum_{0\leqslant j \leqslant (\nu-1)/2} C_\nu^{2j+1} a^{\nu-2j-1} b^{j} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
с учетом требований i), ii) на $a$ и $b$. Иллюстрацией к свойству $4^{\circ}$ служит пример где $c\in\mathbb{N} $ и $4c+1$ не является полным квадратом. Ясно, что $p\notin\mathbb{P}$, но Свойство $5^{\circ}$ очевидно. Для демонстрации свойства $6^{\circ}$ подходят две различные натуральные степени фиксированного элемента из $\mathbb{P}$, а для демонстрации свойства $7^{\circ}$ пригодны пары $(p,q)$, где $p=1+\sqrt{2},q=(3+\sqrt{6})^{\nu}$ с произвольным $\nu\in\mathbb{N}$. Ключевую роль в доказательстве теоремы 1 играет следующее утверждение. Лемма 1. Пусть $p\in\mathbb{P}$. Тогда при любом $n\in\mathbb{N}$ справедливо представление где $s_n=s_n(p)\in\mathbb{N}_0\equiv\mathbb{N}\cup\{0\}$ и $\varepsilon_n=\varepsilon_n (p)\to 0$ при $n\to\infty$. Доказательство. Пусть $p=a+\sqrt{b}$, причем натуральные числа $a$ и $b$ удовлетворяют условиям i), ii). При $n=1$ выберем $s_1=(a-1)/2\in\mathbb{N}_0,\varepsilon_1=\sqrt{b}-a$ и получим нужное разложение $p=a+\sqrt{b}=4s_1+2+\varepsilon_1$.
Для произвольного целого показателя $n\geqslant 2$ запишем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n =\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^{k/2}+\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}(-1)^kb^{k/2} \\ &\qquad =2\sum_{0\leqslant j\leqslant n/2} C_n^{2j} a^{n-2j} b^{j} =2\sum_{1\leqslant j \leqslant n/2} C_n^{2j} a^{n-2j} b^{j}+2a^n \\ &\qquad =4\cdot\frac{1}{2}\biggl(\sum_{1\leqslant j \leqslant n/2} C_n^{2j} a^{n-2j} b^{j}+a^n-1\biggr)+2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая
$$
\begin{equation}
s_n=\frac{1}{2}\biggl(\sum_{1\leqslant j \leqslant n/2} C_n^{2j} a^{n-2j} b^{j}+a^n-1 \biggr), \qquad\varepsilon_n=-(a-\sqrt{b})^n,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
получим, что $s_n\in\mathbb{N}$, ввиду i), а $\varepsilon_n\to 0$ при $n\to\infty$, так как $|a-\sqrt{b}|< 1$ (см. свойство $2^{\circ}$). Отметим, что формула (2.2) действует и при $n=1$, если сумму по пустому множеству индексов считать равной нулю. С учетом введенных обозначений имеем при каждом $n\in\mathbb{N}$ представление (2.1). Лемма 1 доказана. Обозначим $\|u\|$ расстояние от $u\in\mathbb{R}$ до ближайшего к нему целого числа. Для ближайшего к $u$ целого числа часто используют символ $\lfloor u \rceil$, причем в случае полуцелого $u=m+1/2$, $m\in\mathbb{Z}$, когда $\|u\|=u-m=m+1-u=1/2$, полагают $\lfloor u \rceil=m+1$. Числа Пизо характеризуются соотношением $\|u^n\|\to 0$ при $\mathbb{N}\ni n\to\infty$. Лемма 1 показывает, что для всякого числа $p=a+\sqrt{b}\in\mathbb{P}$ при любом $n\geqslant n_0$, где номер $n_0=n_0(p)$ задан правилом (1.5), выполнены равенства (см. (2.1), (2.2))
$$
\begin{equation}
\|p^n\|=|\varepsilon_n|=|a-\sqrt{b}|^n, \qquad \lfloor p^n\rceil=4s_n+2.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Тем самым лемма 1 выделяет среди всех чисел Пизо специальный класс $\mathbb{P}$ квадратичных иррациональностей, натуральные степени которых, начиная с некоторого момента, приближаются к целым числам, дающим при делении на $4$ остаток $2$. В качестве примера возьмем число $p=9+\sqrt{66}\in\mathbb{P}$. Здесь
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lfloor 9+\sqrt{66} \rceil=17, \qquad\lfloor(9+\sqrt{66})^{2}\rceil=293, \qquad \lfloor(9+\sqrt{66})^{3}\rceil=5021, \\ \lfloor(9+\sqrt{66})^{4}\rceil=85985, \qquad \lfloor(9+\sqrt{66})^{5}\rceil=1472417, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и для номеров $n\in\{1,\,2,\,3,\,4,\,5\}$ равенства (2.3) нарушены. Так, для $n=2$ согласно (2.1), (2.2) имеем
$$
\begin{equation*}
p^2=(9+\sqrt{66})^{2}=4\cdot73+2-(9-\sqrt{66})^{2}=4s_2+2+\varepsilon_2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $s_2=73$, $\varepsilon_2=-(9-\sqrt{66})^{2}=-0.767\dots$, и в то же время,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, p^2=(9+\sqrt{66})^{2}=293.232 \dots, \qquad\|p^2\|=0.232\dotsc=1-|\varepsilon_2|\neq|\varepsilon_2|, \\ \lfloor p^2\rceil=293\neq 294=4\cdot73 + 2=4s_2 + 2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Подобные “сбои” будут наблюдаться для всех первых номеров $n$ от $1$ до $5$. Но затем, при $n\geqslant 6$, вступает в силу закон (2.3), по которому
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|(9+\sqrt{66})^{6}\|=\|25213733.548\dots\|=0.451\dotsc= |\varepsilon_6|=(9-\sqrt{66})^{6}, \\ \lfloor(9+\sqrt{66})^{6}\rceil=25213734=4\cdot 6303433 + 2=4s_6 + 2, \\ \|(9+\sqrt{66})^{7}\|=\|431760941.604\dots\|=0.395\dotsc= |\varepsilon_7|=(9-\sqrt{66})^{7}, \\ \lfloor(9+\sqrt{66})^{7}\rceil=431760942=4\cdot 107940235 + 2=4s_7 + 2, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и так далее. Номер $n_0=6$ согласован с правилом (1.5), ибо
$$
\begin{equation*}
(9-\sqrt{66})^{5}=0.515\dotsc>\frac{1}{2}, \qquad (9-\sqrt{66})^{6}=0.451\dotsc<\frac{1}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Еще одно наблюдение состоит в том, что т.е. тенденция к регулярному поведению (2.3) может, в зависимости от выбора $p$, начать проявляться со сколь угодно далеких номеров. В этом легко убедиться, исходя из соотношений
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a+\sqrt{(a-1)^2+2} \in\mathbb{P} \quad \text{при любом нечетном } a\in\mathbb{N}, \\ \lim_{a\to\infty}\Bigl(a-\sqrt{(a-1)^2+2} \Bigr)= \lim_{a\to\infty}\frac{2a-3}{a+\sqrt{(a-1)^2+2}}=1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Например, для числа $101+\sqrt{10002} \in\mathbb{P}$ закон (2.3) начнет работать с номера $n_0=69$, поскольку
$$
\begin{equation*}
(101+\sqrt{10002})^{68}=0.504\dotsc>\frac{1}{2}, \qquad (101+\sqrt{10002})^{69}=0.499\dotsc<\frac{1}{2} ;
\end{equation*}
\notag
$$
при первых номерах $n\in\{1, \dots, 68\}$ запись (2.1) не столь информативна, как (2.3).
3. Доказательство теоремы 1Следующий факт широко известен (см., например, [12; отд. I, гл. 2, § 1, № 68]). Лемма 2. Если последовательность положительных чисел $(\alpha_n)_{n\in\mathbb{N}}$ стремится к положительному пределу $\alpha$, то также Приступим к доказательству основного результата статьи – теоремы 1. Возьмем $a, b\in\mathbb{N}$ так, чтобы выполнялись условия i), ii), и зафиксируем число $p=a+\sqrt{b}\in\mathbb{P}$. По лемме 1 найдутся (зависящие от $p$) последовательность чисел $s_n\in\mathbb{N}_0$ и бесконечно малая последовательность $\varepsilon_n$, с помощью которых степени $p^n$ записываются в виде (2.1). Положим
$$
\begin{equation*}
\alpha_n \equiv \biggl|\sin\biggl(p^n \frac{\pi}{4}\biggr)\biggr|, \qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\alpha_n=\biggl|\sin\biggl((4s_n+2+\varepsilon_n)\frac{\pi}{4}\biggr)\biggr|= \biggl|\sin\biggl(\pi s_n+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4} \varepsilon_n\biggr)\biggr| =\cos\biggl(\frac{\pi}{4} \varepsilon_n\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $n\in\mathbb{N}$. Числа $\alpha_n$ положительны, так как (см. (2.2) и свойство $2^{\circ}$)
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\pi}{4} \varepsilon_n\biggr| =\frac{\pi}{4}|a-\sqrt{b}|^{n} \leqslant\frac{\pi}{4}|a-\sqrt{b}|<\frac{\pi}{4}, \qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\alpha_n=\lim_{n\to\infty}\cos\biggl(\frac{\pi}{4} \varepsilon_n\biggr)=1
\end{equation*}
\notag
$$
благодаря тому, что $\varepsilon_n\to 0$ при $n\to\infty$. Но тогда по лемме 2 верно предельное соотношение
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}(\alpha_1\dotsb\alpha_n)^{1/n}= \lim_{n\to\infty} \biggl(\biggl|\sin\biggl(p\frac{\pi}{4}\biggr) \dotsb\sin\biggl(p^n\frac{\pi}{4}\biggr)\biggr|\biggr)^{1/n}=1.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Ввиду очевидной оценки
$$
\begin{equation*}
\sup_{x\in\mathbb{R}}\bigl|\sin(px)\dotsb\sin (p^n x)\bigr|\geqslant \biggl|\sin\biggl(p\frac{\pi}{4}\biggr) \dotsb\sin\biggl(p^n\frac{\pi}{4}\biggr)\biggr|, \qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
с учетом (3.1) и существования при любом $p\in\mathbb{R}$ предела (1.1) имеем
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty} \Bigl(\sup_{x\in\mathbb{R}}\bigl|\sin(px)\dotsb\sin (p^n x)\bigr|\Bigr)^{1/n}\geqslant 1, \qquad p\in\mathbb{P}.
\end{equation*}
\notag
$$
Другими словами, $r(p)\geqslant 1$ для каждого $p\in\mathbb{P}$. Поскольку множество значений функции (1.1) содержится в отрезке $[0,1]$, то Первая часть теоремы 1 доказана. Для доказательства второй части теоремы выберем номер $n_0$ по правилу (1.5), считая $n_0\geqslant2$ (в случае $n_0=1$ упрощения в выкладках с сохранением результата очевидны). При $n\geqslant n_0$ на основании первой части запишем
$$
\begin{equation*}
r_n(p)\geqslant \biggl(\prod^n_{k=1}\cos\biggl(\frac{\pi}{4} \varepsilon_k\biggr)\biggr)^{1/n}= \biggl(\prod^{n_0-1}_{k=1}\cos\biggl(\frac{\pi}{4} \varepsilon_k\biggr) \prod^n_{k=n_0}\cos\biggl(\frac{\pi}{4} \varepsilon_k\biggr)\biggr)^{1/n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\cos\biggl(\frac{\pi}{4} \varepsilon_k\biggr)>\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $k=1, \dots, n_0-1$, то
$$
\begin{equation*}
\prod^{n_0-1}_{k=1}\cos\biggl(\frac{\pi}{4} \varepsilon_k\biggr)>\frac{1}{2^{(n_0-1)/2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для номеров $k\geqslant n_0$ воспользуемся вытекающей из (1.5) оценкой
$$
\begin{equation*}
|a-\sqrt{b}|^{k} \equiv |\varepsilon_k|\leqslant\frac{|\varepsilon_{n_0}|}{2^{k-n_0}}
\end{equation*}
\notag
$$
и получим, что
$$
\begin{equation*}
\prod^n_{k=n_0}\cos\biggl(\frac{\pi}{4} \varepsilon_k\biggr)\geqslant \prod^n_{k=n_0}\cos\biggl(\frac{\pi}{4} \frac{\varepsilon_{n_0}}{2^{k-n_0}}\biggr) =\frac{1}{2^{n-n_0+1}}\frac{\sin(\frac{\pi}{2} \varepsilon_{n_0})}{\sin(\frac{\pi}{4} \frac{\varepsilon_{n_0}}{2^{n-n_0}})} >\frac{\sin(\frac{\pi}{2} \varepsilon_{n_0})}{\frac{\pi}{2} \varepsilon_{n_0}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, при любом $n\geqslant n_0$ справедливы неравенства (1.3), т.е.
$$
\begin{equation*}
1\geqslant r_n(p)>(K(p))^{1/n}\equiv \exp\biggl(\frac{\ln K(p)}{n}\biggr)>1+\frac{\ln K(p)}{n}
\end{equation*}
\notag
$$
с определенной в (1.4) величиной $K(p)$. Теорема 1 полностью доказана. Своеобразным аддитивным аналогом теоремы 1 является утверждение о том, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\inf_{x\in\mathbb{R}}\sum^n_{k=1}\cos (p^k x)=-1
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $p\in\mathbb{P}$. Идея доказательства сохраняется, нужно лишь применить версию леммы 2 с заменой в ней среднего геометрического средним арифметическим.
4. Доказательство теоремы 2. Частные значения параметраВ этом разделе мы обоснуем все утверждения, содержащиеся в теореме 2, и применим их в некоторых конкретных ситуациях. Сначала докажем для величины (1.10) общее свойство действующее для каждого $p\in\mathbb{R}$ при фиксированном $\nu\in\mathbb{N}$ и всех $m\in\mathbb{N}$. Имеем
$$
\begin{equation*}
r_{\nu m}(p)\equiv \biggl(\sup_{x\in\mathbb{R}}\prod^{\nu m}_{k=1}|\sin(p^k x)|\biggr)^{1/(\nu m)}= \biggl(\sup_{x\in\mathbb{R}}\prod^m_{j=1}\prod^{\nu j}_{k=\nu(j-1)+1}|\sin(p^k x)|\biggr)^{1/(\nu m)},
\end{equation*}
\notag
$$
что мажорируется величиной
$$
\begin{equation*}
\biggl(\prod^m_{j=1}\sup_{x\in\mathbb{R}}\prod^{\nu j}_{k=\nu(j-1)+1}|\sin(p^k x)|\biggr)^{1/(\nu m)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сделав замену переменной $t=p^{\nu(j-1)} x$, перепишем эту мажоранту в виде
$$
\begin{equation*}
\biggl(\prod^m_{j=1}\sup_{t\in\mathbb{R}}\prod^{\nu}_{s=1}|\sin(p^s t)|\biggr)^{1/(\nu m)}= \biggl(\sup_{t\in\mathbb{R}}\prod^{\nu}_{s=1}|\sin(p^s t)|\biggr)^{1/\nu}=r_{\nu}(p)
\end{equation*}
\notag
$$
и тем самым завершим проверку (4.1). Пусть теперь $p$ – квадратичная иррациональность вида $a+\sqrt{b}$ с компонентами $a,b\in\mathbb{Q}$ (см. формулировку теоремы 2). Учитывая это особое обстоятельство, зафиксируем натуральное число $\nu\geqslant3$ и выведем из оценки (4.1) огрубленный, но более пригодный для практического использования, вариант (1.6). Согласно выбору $p$ имеем $p^2=b-a^2+2ap$. Вообще, для любого $j\in\mathbb{N}$ по индукции легко выводится представление $p^{j+1}=c_j+d_j p$, где $c_j, d_j$ – рациональные числа, подчиненные рекуррентным соотношениям (1.8). Но тогда, последовательно привлекая определения (1.10), (1.7), получим, что
$$
\begin{equation*}
r_\nu(p)=\sqrt[\nu]{\sup_{x\in\mathbb{R}} \prod^{\nu-1}_{j=0}|\sin(p^j x)|}= \sup_{x\in\mathbb{R}}\sqrt[\nu]{|\sin x|\,|\sin(p x)|\,\prod^{\nu-2}_{j=1}\bigl|\sin(c_j x+d_j(p x))\bigr|} \leqslant M_{\nu}(p).
\end{equation*}
\notag
$$
Переход в (1.6) к пределу при $m\to\infty$ дает (1.9). Теорема 2 доказана. Рассмотрим подробно несколько примеров, иллюстрирующих наши результаты. Доказательство. Здесь $a=1$, $ b=2$. Согласно формулам (1.4), (1.5) имеем $n_0=1$, $\varepsilon_1=\sqrt{2}-1$,
$$
\begin{equation*}
K(1,2)=\frac{\sin(\pi(\sqrt{2}-1)/2)}{\pi(\sqrt{2}-1)/2}=0.9309 \dots,
\end{equation*}
\notag
$$
и оценка (1.3) теоремы 1 дает (4.2). Доказательство. Выбранное число $p$ имеет минимальный многочлен $\lambda^2-2\lambda-2$, сумма коэффициентов которого равна $-3$, а сумма модулей коэффициентов равна $5$. Поэтому, согласно результатам [2; § 3], верна двусторонняя оценка где верхняя граница находится между числами $0.983$ и $0.984$.
Сейчас мы по-новому (ср. с [2]) выведем оценку снизу в (4.4), используя по сути лишь тот факт, что $1+\sqrt{3}$ является числом Пизо. Оценка же сверху в (4.4) оказывается завышенной, и ее можно улучшить, применив теорему 2. В результате будет доказано соотношение (4.3). Для обоснования оценки снизу в (4.3) запишем
$$
\begin{equation*}
(1+\sqrt{3})^n+(1-\sqrt{3})^n= \sum_{k=0}^nC_n^k 3^{k/2} + \sum_{k=0}^nC_n^k (-1)^k 3^{k/2}=2\sum_{0\leqslant j\leqslant n/2} C_n^{2j} 3^{j}=3s_n+2,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
(1+\sqrt{3})^n=3s_n+2+\varepsilon_n, \qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
где $s_n\in\mathbb{N}_0$ и $\varepsilon_n=-(1-\sqrt{3})^n\to 0$ при $n\to\infty$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
r_n(1+\sqrt{3})\equiv \biggl(\sup_{x\in\mathbb{R}}\prod^n_{k=1}|\sin((1+\sqrt{3})^k x)|\biggr)^{1/n}\geqslant \biggl(\prod^n_{k=1}\biggl|\sin\biggl((3s_k+2+\varepsilon_k)\frac{\pi}{3}\biggr)\biggr|\biggr)^{1/n}
\end{equation*}
\notag
$$
при любом $n\in\mathbb{N}$. Последняя величина упрощается к виду
$$
\begin{equation*}
\biggl(\prod^n_{k=1}\sin\biggl(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3} \varepsilon_k\biggr)\biggr)^{1/n}
\end{equation*}
\notag
$$
и по лемме 2 стремится к $\sqrt{3}/2$ при $n\to\infty$, что дает левую часть оценки (4.3).
Теперь посмотрим, какой результат извлекается из теоремы 2 при $a=1$, $ b=3$. Выберем $\nu=3$ и по формулам (1.7), (1.8) запишем
$$
\begin{equation*}
M_3(1,3)\equiv\sup_{(x,y)\in\mathbb{R}^2} \sqrt[3]{|\sin x\,\sin y\,\sin(2x+2y)|}= \max_{(x,y)\in[0,\pi]^2} \sqrt[3]{|\sin x\,\sin y\,\sin(2x+2y)|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Стандартными методами анализа такой максимум отыскивается “вручную”, равен
$$
\begin{equation*}
\frac{\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}}{3}\sqrt[6]{\frac{11-\sqrt{13}}{2}} = \frac{1}{3} \sqrt[6]{\frac{587+143\sqrt{13}}{2}}=0.9545 \dots
\end{equation*}
\notag
$$
и достигается при Применив (1.9), получим оценку сверху в (4.3).
Как показывает компьютерный расчет, выбор $\nu=4$ в теореме 2 позволяет снизить верхнюю границу в (4.3) до значения $0.944$, но найти соответствующий максимум в явном виде уже не удается.Пример 3. Пусть $p$ – золотое сечение, т.е. $p=(1+\sqrt{5})/2\notin\mathbb{S}^{(1)}\cup\mathbb{S}^{(2)}$. Тогда Доказательство. Минимальным многочленом этого знаменитого числа $p$ является квадратный трехчлен $\lambda^2-\lambda-1$, сумма коэффициентов которого равна $-1$, а сумма модулей коэффициентов равна $3$. В таком “исключительном” случае результаты [2] (см. там лемму 4) не дают для $r((1+\sqrt{5})/2)$ какой-либо положительной нижней границы. Верхняя же граница
$$
\begin{equation*}
r\biggl(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\biggr)\leqslant\sqrt[3]{\cos\frac{\pi}{6}}=\sqrt[6]{\frac{3}{4}}=0.953 \dots,
\end{equation*}
\notag
$$
извлекаемая из [2; лемма 3], оказывается грубоватой по сравнению с верхней границей, указанной в (4.5). Для демонстрации эффективности нашего подхода мы намеренно подобрали “сложный” в свете утверждений [2], но важный пример.
Обоснуем (4.5). Начнем с верхней оценки. Снова привлечем теорему 2, выбрав в (1.7) параметры $a=1/2$, $ b=5/4$, $ \nu=4$. Согласно (1.8), (1.9) точное значение $r((1+\sqrt{5})/2)$ не превосходит числа
$$
\begin{equation*}
M_4\biggl(\frac{1}{2},\frac{5}{4}\biggr)\equiv\sup_{(x,y)\in\mathbb{R}^2} \sqrt[4]{|\sin x\,\sin y\,\sin(x+y)\,\sin(x+2y)|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Без компьютерной поддержки удается показать, что
$$
\begin{equation}
M_4\biggl(\frac{1}{2},\frac{5}{4}\biggr)=\max_{(x,y)\in[0,\pi]^2} \sqrt[4]{|\sin x\,\sin y\,\sin(x+y)\,\sin(x+2y)|}=\sqrt[4]{\frac{2\sqrt{3}}{9}},
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где максимум достигается при
$$
\begin{equation*}
x=\arcsin\sqrt{\frac{2}{3}}, \qquad y=\arcsin{\frac{1}{\sqrt{3}}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что точная верхняя грань
$$
\begin{equation*}
M_3\biggl(\frac{1}{2},\frac{5}{4}\biggr)\equiv\sup_{(x,y)\in\mathbb{R}^2} \sqrt[3]{|\sin x\,\sin y\,\sin(x+y)|}=\max_{(x,y)\in[0,\pi]^2} \sqrt[3]{|\sin x\,\sin y\,\sin(x+y)|}
\end{equation*}
\notag
$$
вычисляется проще, чем (4.6), равна $\sqrt{3}/2$ и достигается при $x=y=\pi/3$. Элементарное решение такой задачи даже не требует знания дифференциального исчисления; см. также [13; гл. 10, § 6, № 10.41 а)]. Однако $\sqrt{3}/2>\sqrt[8]{4/27}$. По-видимому,
$$
\begin{equation*}
\inf_{\nu\geqslant 3}M_{\nu}\biggl(\frac{1}{2},\frac{5}{4}\biggr) =M_4\biggl(\frac{1}{2},\frac{5}{4}\biggr)=0.7876 \dots,
\end{equation*}
\notag
$$
и основное содержание теоремы 2 в примере 3 уже “выжато”.
Оценка снизу в (4.5) доказывается сложнее. В основе рассуждений по-прежнему (ср. с примером 2) лежит свойство Пизо, но дополнительно особым образом учитывается специфика ситуации. Опираемся на представление
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\biggr)^n + \biggl(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\biggr)^n = L_n, \qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
где натуральные числа $L_n$ образуют последовательность Люка
$$
\begin{equation*}
1,\,3,\,4,\,7,\,11,\,18,\,29,\,47,\,76,\,123,\,199,\,322,\,521,\,843,\,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
полностью определяемую соотношениями
$$
\begin{equation}
L_1=1, \quad L_2=3, \qquad L_{n+2}=L_n+L_{n+1}, \quad n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Как известно (см., например, [14; § 3]), ни один из элементов (4.8) не делится на $5$, причем последовательность Люка по модулю $5$ является периодической вида
$$
\begin{equation*}
1,\,3,\,4,\,2,\,1,\,3,\,4,\,2,\,1,\,3,\,4,\,2,\,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
что подсказывает идею оценить снизу величину
$$
\begin{equation}
r_{4m}\biggl(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\biggr)\equiv \biggl(\sup_{x\in\mathbb{R}}\prod^{4m}_{k=1} \biggl|\sin\biggl(\biggl(\frac{1+\sqrt{5}}2\biggr)^k x\biggr)\biggr|\biggr)^{1/(4m)}, \qquad m\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
через значение произведения синусов в точке $x=\pi/5$.
Обозначив для краткости $\varepsilon_k=-((1-\sqrt{5})/2)^k$, подставим (4.7) в (4.9). Тогда
$$
\begin{equation*}
r_{4m}\biggl(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\biggr) \geqslant \biggl(\prod^{4m}_{k=1} \biggl|\sin\biggl((L_k+\varepsilon_k)\frac{\pi}{5}\biggr)\biggr|\biggr)^{1/(4m)}, \qquad m\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Перепишем миноранту в форме
$$
\begin{equation*}
\biggl(\prod^{m}_{j=1} \prod^{4j}_{k=4j-3} \biggl|\sin\biggl((L_k+\varepsilon_k)\frac{\pi}{5}\biggr)\biggr|\biggr)^{1/(4m)}
\end{equation*}
\notag
$$
и преобразуем к виду
$$
\begin{equation*}
\sqrt[4m]{\prod^{m}_{j=1} \sin\biggl(\frac{\pi}{5}+\frac{\pi}{5} \varepsilon_{4j-3}\biggr) \sin\biggl(\frac{3\pi}{5}+\frac{\pi}{5} \varepsilon_{4j-2}\biggr) \sin\biggl(\frac{4\pi}{5}+\frac{\pi}{5} \varepsilon_{4j-1}\biggr) \sin\biggl(\frac{2\pi}{5}+\frac{\pi}{5} \varepsilon_{4j}\biggr)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Введем четыре сходящиеся последовательности
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \alpha^{(1)}_j & \equiv \sqrt[4]{\sin\biggl(\frac{\pi}{5}+\frac{\pi}{5} \varepsilon_{4j-3}\biggr)} \to \sqrt[4]{\sin\frac{\pi}{5}}, \\ \alpha^{(2)}_j & \equiv \sqrt[4]{\sin\biggl(\frac{3\pi}{5}+\frac{\pi}{5} \varepsilon_{4j-2}\biggr)} \to \sqrt[4]{\sin\frac{3\pi}{5}}, \\ \alpha^{(3)}_j & \equiv \sqrt[4]{\sin\biggl(\frac{4\pi}{5}+\frac{\pi}{5} \varepsilon_{4j-1}\biggr)} \to \sqrt[4]{\sin\frac{4\pi}{5}}, \\ \alpha^{(4)}_j & \equiv \sqrt[4]{\sin\biggl(\frac{2\pi}{5}+\frac{\pi}{5} \varepsilon_{4j}\biggr)} \to \sqrt[4]{\sin\frac{2\pi}{5}} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $j\to\infty$. Полученную выше оценку запишем так
$$
\begin{equation*}
r_{4m}\biggl(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\biggr) \geqslant \biggl(\prod^{m}_{j=1}\alpha^{(1)}_j\biggr)^{1/m} \biggl(\prod^{m}_{j=1}\alpha^{(2)}_j\biggr)^{1/m} \biggl(\prod^{m}_{j=1}\alpha^{(3)}_j\biggr)^{1/m} \biggl(\prod^{m}_{j=1}\alpha^{(4)}_j\biggr)^{1/m}.
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 2 правая часть имеет при $m\to\infty$ предел, равный
$$
\begin{equation*}
\sqrt[4]{\sin\frac{\pi}{5}} \sqrt[4]{\sin\frac{3\pi}{5}} \sqrt[4]{\sin\frac{4\pi}{5}} \sqrt[4]{\sin\frac{2\pi}{5}}= \sqrt{\sin\frac{\pi}{5} \sin\frac{2\pi}{5}}= \sqrt[4]{\frac{5-\sqrt{5}}{8}\frac{5+\sqrt{5}}{8}}=\frac{\sqrt[4]{5}}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
r\biggl(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\biggr)=\lim_{m\to\infty}r_{4m}\biggl(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\biggr) \geqslant \frac{\sqrt[4]{5}}{2},
\end{equation*}
\notag
$$
и завершаем доказательство двусторонней оценки (4.5). Доказательство. Минимальным многочленом такого числа $p$ является квадратный трехчлен $\lambda^2-4\lambda+2$, сумма коэффициентов которого (как и в примере 3) равна $-1$, а сумма модулей коэффициентов равна $7$. Снова результаты [2] не дают для $r(2+\sqrt{2})$ какой-либо положительной нижней границы, а верхняя граница
$$
\begin{equation*}
r(2+\sqrt{2})\leqslant\sqrt[3]{\cos\frac{\pi}{14}}=0.9915 \dots,
\end{equation*}
\notag
$$
которую получим на основании [2; лемма 3], хуже верхней границы, указанной в (4.10). Ясно, что величина
$$
\begin{equation*}
M_3(2,2)=\max_{(x,y)\in[0,\pi]^2}\sqrt[3]{|\sin x\,\sin y\,\sin(4y-2x)|}
\end{equation*}
\notag
$$
будет мажорантой для $r(2+\sqrt{2})$ в силу оценки (1.9) при выборе $a=b=2$ и $\nu=3$.
Обоснование оценки снизу в (4.10) потребует гораздо больших усилий. Вначале проверяем, что последовательность
$$
\begin{equation*}
u_n\equiv(2+\sqrt{2})^n+(2-\sqrt{2})^n, \qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
задается рекуррентным соотношением
$$
\begin{equation}
u_1=4,\quad u_2=12, \qquad u_{n+2}=4u_{n+1}-2u_n, \quad n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Для наглядного контроля расчетов выпишем несколько ее первых членов
$$
\begin{equation*}
4,\,12,\,40,\,136,\,464,\,1584,\,5408,\,18464,\,63040,\,215232,\,2508928,\,8566016.
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем ключевое наблюдение: остатки
$$
\begin{equation*}
4,\,5,\,5,\,3,\,2,\,2,\,4,\,5,\,5,\,3,\,2,\,2,\,\dots
\end{equation*}
\notag
$$
от деления $u_n$ на $7$ периодически повторяются. Этот факт несложно объяснить после преобразования рекуррентного правила в (4.11) к виду Поэтому вполне естественно воспользоваться подходящим образом той же идеей, что и в примере 3, а именно, оценить снизу величину
$$
\begin{equation*}
r_{6m}(2+\sqrt{2})\equiv \biggl(\sup_{x\in\mathbb{R}} \prod^{6m}_{k=1}\bigl|\sin((2+\sqrt{2})^k x)\bigr|\biggr)^{1/(6m)}
\end{equation*}
\notag
$$
при любом $m\in\mathbb{N}$ через значение произведения синусов в точке $x=\pi/7$. Пригодится компактная запись где $\varepsilon_k=-(2-\sqrt{2})^k\to0$ при $k\to\infty$. Для всех $m\in\mathbb{N}$ очевидно имеем
$$
\begin{equation*}
r_{6m}(2+\sqrt{2})\geqslant \biggl(\prod^{6m}_{k=1}\biggl|\sin\biggl((u_k+\varepsilon_k) \frac{\pi}{7}\biggr)\biggr|\biggr)^{1/(6m)}.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом структуры последовательности $u_n$ по модулю $7$ сомножители в произведении сгруппируем так
$$
\begin{equation*}
\biggl(\prod^{6m}_{k=1}\biggl|\sin\biggl((u_k+\varepsilon_k) \frac{\pi}{7}\biggr)\biggr|\biggr)^{1/(6m)}= \biggl(\prod^m_{j=1} \prod^{6j}_{k=6j-5} \sqrt[6]{\biggl|\sin\biggl((u_k+\varepsilon_k) \frac{\pi}{7}\biggr)\biggr|}\biggr)^{1/m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что при любом $j$ от $1$ до $m$ внутреннее произведение принимает вид
$$
\begin{equation*}
\prod^{6j}_{k=6j-5} \sqrt[6]{\biggl|\sin\biggl((u_k+\varepsilon_k) \frac{\pi}{7}\biggr)\biggr|}= \prod^6_{\nu=1}\beta^{(\nu)}_j,
\end{equation*}
\notag
$$
где фигурируют последовательности
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \beta^{(1)}_j & \equiv \sqrt[6]{\sin\biggl(\frac{4\pi}{7}+\frac{\pi}{7} \varepsilon_{6j-5}\biggr)} \to \sqrt[6]{\sin\frac{4\pi}{7}}, \\ \beta^{(2)}_j & \equiv \sqrt[6]{\sin\biggl(\frac{5\pi}{7}+\frac{\pi}{7} \varepsilon_{6j-4}\biggr)} \to \sqrt[6]{\sin\frac{5\pi}{7}}, \\ \beta^{(3)}_j & \equiv \sqrt[6]{\sin\biggl(\frac{5\pi}{7}+\frac{\pi}{7} \varepsilon_{6j-3}\biggr)} \to \sqrt[6]{\sin\frac{5\pi}{7}}, \\ \beta^{(4)}_j & \equiv \sqrt[6]{\sin\biggl(\frac{3\pi}{7}+\frac{\pi}{7} \varepsilon_{6j-2}\biggr)} \to \sqrt[6]{\sin\frac{3\pi}{7}}, \\ \beta^{(5)}_j & \equiv \sqrt[6]{\sin\biggl(\frac{2\pi}{7}+\frac{\pi}{7} \varepsilon_{6j-1}\biggr)} \to \sqrt[6]{\sin\frac{2\pi}{7}}, \\ \beta^{(6)}_j & \equiv \sqrt[6]{\sin\biggl(\frac{2\pi}{7}+\frac{\pi}{7} \varepsilon_{6j}\biggr)} \to \sqrt[6]{\sin\frac{2\pi}{7}} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $j\to\infty$. Таким образом, величина
$$
\begin{equation*}
\biggl(\prod^{6m}_{k=1}\biggl|\sin\biggl((u_k+\varepsilon_k) \frac{\pi}{7}\biggr)\biggr|\biggr)^{1/(6m)}= \prod^6_{\nu=1}\biggl(\prod^m_{j=1}\beta^{(\nu)}_j\biggr)^{1/m}
\end{equation*}
\notag
$$
при $m\to\infty$ стремится (см. лемму 2) к пределу
$$
\begin{equation*}
\sqrt[6]{\sin\frac{4\pi}{7}} \sqrt[3]{\sin\frac{5\pi}{7}} \sqrt[6]{\sin\frac{3\pi}{7}} \sqrt[3]{\sin\frac{2\pi}{7}} =\sqrt[3]{\sin^2\frac{2\pi}{7} \sin\frac{4\pi}{7}}=\sin\frac{2\pi}{7} \sqrt[3]{2\cos\frac{2\pi}{7}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, верна оценка
$$
\begin{equation*}
r(2+\sqrt{2})\geqslant\sin\frac{2\pi}{7} \sqrt[3]{2\cos\frac{2\pi}{7}}>0.841.
\end{equation*}
\notag
$$
Нужное утверждение (4.10) полностью доказано. В каждом из рассмотренных примеров в качестве $p$ выбрано конкретное число Пизо с тем, чтобы в оценке снизу для $r(p)$ использовать асимптотическую близость $p^n$ к целым числам и периодичность последовательности $\lfloor p^n \rceil$ по некоторому подходящему модулю. Получаемые на этом пути результаты представляются нам весьма содержательными и близкими к точным. Что же касается оценок сверху для $r(p)$, основанных на теореме 2, то они, хотя и наглядны, изначально содержат загрубления и вряд ли точны. По всей видимости, окончательное решение задачи о вычислении $r(p)$ в точках $p$, обладающих свойством Пизо, требует разработки комбинированного метода, развивающего идеи [3]. С другой стороны, пока не найдено содержательного подхода к локализации значений типа $r((1+\sqrt{3})/2)$. Квадратичная иррациональность $p=(1+\sqrt{3})/2$ является нецелым алгебраическим числом, что затрудняет исследование. Не помогает переход $r((1+\sqrt{3})/2)=r(\sqrt{3}-1)$, так как у целого алгебраического числа $p=\sqrt{3}-1$ сумма коэффициентов минимального многочлена $\lambda^2+2\lambda-2$ равна $1$. Предварительную оценку
$$
\begin{equation*}
r\biggl(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\biggr) \leqslant\sqrt[3]{\cos\frac{\pi}{10}}=0.9834 \dots
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [2; § 3]) можно слегка улучшить, поскольку
$$
\begin{equation*}
r\biggl(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\biggr)\leqslant M_3\biggl(\frac{1}{2},\frac{3}{4}\biggr)=\max_{(x,y)\in[0,\pi]^2} \sqrt[3]{|\sin 2x\,\sin y\,\sin(x+y)|}=0.9545 \dots,
\end{equation*}
\notag
$$
но последовательность расстояний $\|((1+\sqrt{3})/2)^n\|$ не является бесконечно малой, и какая-нибудь положительная нижняя граница для $r((1+\sqrt{3})/2)$ не известна. Выражаем благодарность Л. Е. Россовскому за неизменный интерес к нашим исследованиям и Ю. В. Малыхину за помощь в компьютерных расчетах. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AlfPodShe25} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|