Момент-угол-многообразия, соответствующие трёхмерным симплициальным сферам, хордовость и связные суммы произведений сфер

Доказано, что кольцо когомологий момент-угол-комплекса $\mathcal Z_K$, соответствующего 3-мерной симплициальной сфере $K$, изоморфно кольцу когомологий связной суммы произведений сфер тогда и только тогда, когда либо а) $K$ является границей 4-мерного аналога октаэдра, либо б) одномерный остов $K^1$ - это хордовый граф, либо в) $K$ имеет ровно два недостающих ребра, и они образуют бесхордовый 4-цикл. Для симплициальных сфер $K$ произвольной размерности приводится достаточное условие изоморфизма колец $H^*(\mathcal Z_K)\cong H^*(M)$, где $M$ - связная сумма произведений сфер.