| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Об асимптотике скорости бегущей волны на траектории седло-узел Л. А. Калякин Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра РАН, г. Уфа
Английская версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624110348 
Реферативные базы данных:
  1. Введение1.1. Постановка задачиИсходный объект – полулинейное параболическое уравнение
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\varphi}{\partial t} -\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+f(\varphi)=0,\qquad t>0,\quad x\in\mathbb R,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
которое в контексте бегущей волны принято связывать с именами Колмогорова–Петровского–Пискунова (КПП) [1]. Решения в виде волны $\varphi=\Phi(x-v\,t)$ с постоянной скоростью $v$ определяются из обыкновенного дифференциального уравнения
$$
\begin{equation}
\frac{d^2\Phi}{ds^2}+v\,\frac{d\Phi}{ds}-f(\Phi)=0,\qquad s=x-vt,\quad v=\mathrm{const}>0.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Для приложений [2] и для теории возмущений [3], [4] интерес представляют волны, которые на фазовой плоскости $(\Phi,\dot\Phi)$ соответствуют траекториям, соединяющим пару неподвижных точек. Они описывают динамический переход от одного равновесия к другому. Ввиду возможности сдвига и перенормировки функции $\varphi(x,t)$ можно считать, что равновесия совпадают со значениями $0$ и $1$. Тогда подходящие решения выделяются следующими краевыми условиями:
$$
\begin{equation}
\Phi(s)\to 0\quad \text{при }\ s\to-\infty,\qquad \Phi(s)\to 1\quad \text{при }\ s\to+\infty.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Задача (1.2), (1.3) похожа на спектральную: требуется найти параметр $v$ и соответствующую функцию $\Phi=\Phi_v(s)$. Ее решение сводится к анализу фазового портрета при разных $v$ и не содержит каких-либо затруднений. Далее считается, что на фазовой плоскости для уравнения (1.2) неподвижная точка $(0,0)$ является седлом, а $(1,0)$ – устойчивый узел при $v\geqslant 2\sqrt{-f'(1)}$. Граничное значение $v_*=2\sqrt{-f'(1)}$ определяет минимальную скорость неосциллирующей волны. Переменные $x$, $t$ можно перенормировать так, чтобы $f'(1)=-1$; при этом получается $v_*=2$. Свойства рассматриваемой волны и выполняемые ниже конструкции во многом обусловлены структурой неподвижной точки $(1,0)$, которая при $v=v_*$ оказывается вырожденным узлом. Для соответствующего решения $\Phi=\Phi_*(s)$ это ведет к специфической асимптотике на бесконечности:
$$
\begin{equation}
\Phi_*(s)=\begin{cases} \exp(\lambda_+s)\bigl[\mathrm{const}+\mathscr O(\exp(\lambda_+s)))\bigr], &s\to-\infty, \\ 1+\exp(-s)\bigl[\alpha s+\beta+\mathscr O(s^2\exp(-s))\bigr], &s\to+\infty. \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
В ситуации общего положения константы $\alpha$ и $\gamma=\beta-\alpha$ не обращаются в нуль. Показатель $\lambda_+=-1+\sqrt{1+f'(0)}>0$ соответствует седловой точке, где $f'(0)>0$. 1.2. Краткий обзор и результатыДля уравнения в частных производных бегущая волна с постоянной скоростью представляет собой изолированное решение. Математическая проблема состоит в выявлении класса решений, которые выходят на волну с таким профилем в асимптотике при $t\to\infty$. Результаты в этом направлении были получены в первой работе КПП [1] и уточнялись в последующих публикациях [5]–[7]. Две объемные статьи [8], [9] отражают современное состояние этой теории. Считается, что основное достижение состоит в следующем: если начальная функция достаточно быстро стабилизируется на бесконечности $x\to\mp\infty$ к равновесиям, то главный член асимптотики решения описывается функцией $\Phi_*(s)$, которая соответствует решению уравнения (1.2) при минимальной скорости $v=v_*$; дополнительное условие – монотонность функции $\Phi_*(s)$. В формуле (1.5) фаза $s=x-S(t)$ зависит от времени нелинейно; скорость такой волны имеет асимптотику с универсальными константами $c_0,c_1\ne 0$, не зависящими от начальных данных. Очевидно, точное решение с постоянной скоростью $\Phi_*(x-v_*t)$ не входит в такой класс функций. Это означает, что начальная функция $\varphi(x,0)$ для решения с асимптотикой (1.5), (1.6) должна стабилизироваться к равновесию $\varphi=1$ быстрее экспоненты $\exp(-x)$. Например, это может быть функция типа ступеньки, как в [1].Принципиальный вопрос в теории бегущей волны состоит в отыскании коэффициентов $c_0$, $c_1$. Константа $c_0$ была найдена разными способами [5]–[8] и при соответствующей нормировке переменных, когда $v_*=2$, было получено значение $c_0=-3/2$. Выражение для второй константы $c_1=3\sqrt\pi/2$ предъявлено в [8]. Там же для скорости предлагается анзатц в виде ряда по степеням $t^{k/2}$. Однако приведенные в [8] результаты опираются на недоказанные утверждения. В данной заметке указан простой и эффективный способ вычисления $c_1$ и показано, что последующие поправки для скорости в виде членов степенного ряда не существуют. Таким образом, в формуле (1.6) структура остатка указана неверно, и под вопросом оказывается разложение решения в степенной ряд. 1.3. Уточнение исходных ограниченийФункция $f(\varphi)$ считается бесконечно дифференцируемой на промежутке $\varphi\in[0,1]$. Предполагается, что $f(0)=f(1)=0$ и на отрезке $[0,1]$ нет других нулей функции $f(\varphi)$. Существенным условием является монотонность сепаратрисы из седла в узел при $v=v_*$ [11]. Это требование эквивалентно монотонности соответствующей волны $\Phi_*(x-v_*t)$ и обеспечивает ее устойчивость [10], [11] в линейном приближении1. Свойство монотонности используется ниже при предъявлении явных формул. Условие волны общего положения с $\alpha\ne 0$ не принципиально. Результаты для случая $\alpha=0$ приведены в дополнении. Конструкция формального асимптотического решения при $t\to\infty$ выполняется в разной форме в разных секторах полуплоскости $x\in\mathbb R$, $t>0$ и соответствует [8]. Использование метода согласования [12] позволяет однозначно определить коэффициенты асимптотики, в частности, константы $c_0$, $c_1$. C этой методикой связана следующая терминология: внутреннее и внешнее разложение. Обоснование асимптотики с оценкой остаточных членов в постановке задачи Коши здесь не обсуждается. Для частного случая уравнения КПП это сделано в [13]. 2. Внутреннее разложениеПри построении асимптотики удобно пользоваться переменной бегущей волны (вместо $x$), сделав замену $\varphi(x,t)=\phi(s,t)$, $s=x-S(t)$. В получившемся уравнении
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2\phi}{\partial s^2}+S'(t)\,\frac{\partial\phi}{\partial s} -\frac{\partial\phi}{\partial t}-f(\phi)=0,\qquad t>0,\quad s\in\mathbb R,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
содержатся две неизвестные функции: $\phi$ и $S$. Очевидно, от выбора коэффициента $S'(t)$ зависит конструируемое решение $\phi(s,t)$. В теории усреднения и при возмущении солитонов подобный прием используется для построения асимптотических решений, пригодных до далеких времен, см. например, [14]. Здесь функция $S'(t)$ выбирается при построении асимптотики решения, пригодной далеко на переднем фронте волны, где $s\gg\sqrt{t}$. Других способов нахождения скорости $S'(t)$ не известно. Асимптотическое решение при $t\to\infty$ в области быстрого изменения волны (во внутреннем слое) строится в виде ряда
$$
\begin{equation}
\phi(s,t)=\Phi_*(s)+t^{-1}\biggl[\Phi_0(s)+t^{-1/2}\Phi_1(s) +\sum_{k=2}^\infty t^{-k/2}\Phi_k(s)\biggr],\qquad t\to\infty.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Главный член $\Phi_*(s)$ берется в виде решения обыкновенного дифференциального уравнения (1.2) при параметре $v=v_*$. Для скорости $S'(t)$ предлагается асимптотический ряд
$$
\begin{equation}
\frac{dS}{dt}=v_*+t^{-1}\biggl[c_0+c_1t^{-1/2}+\sum_{k=2}^\infty c_kt^{-k/2}\biggr],\qquad v_*=2,\quad t\to\infty.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Анзатц (2.2), (2.3) с бесконечным рядом для фазовой функции $S(t)$ соответствует двухмасштабному разложению в наиболее общей форме. Разложение фазы можно было бы оборвать в поправках $\mathscr O(t^{-1/2})$, следующих за логарифмическим сдвигом, как это иногда делается в методах усреднения. В таком подходе получается частное разложение, которое соответствует переразложению общего2. Естественно, что анзатц (2.3) накладывает ограничение на выбор скорости $S'(t)$, и заранее не ясно, будет ли такой анзатц подходящим для построения бесконечных рядов (2.2), (2.3). Включение полуцелых степеней в конструкцию (2.2), (2.3) не очевидно и на первый взгляд выглядит излишним. Они обнаруживаются в процессе согласования (matching) с асимптотическим решением на переднем фронте волны, где разложение в форме (2.2) оказывается непригодным. Производная главного члена $\Phi_*'(s)$ удовлетворяет однородному линеаризованному уравнению и в соответствии с (1.4) имеет асимптотику на бесконечностях:
$$
\begin{equation}
\Phi_*'(s)=\begin{cases} \exp(\lambda_+s)\bigl[\mathrm{const}+\mathscr O(\exp(\lambda_+s))\bigr], &s\to-\infty,\quad \lambda_+>0, \\ \exp(-s)\bigl[-(\alpha s+\gamma)+\mathscr O(s^2\exp(-s))\bigr], &s\to+\infty,\quad \gamma=\beta-\alpha. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Линеаризованный оператор определяется выражением
$$
\begin{equation*}
\mathscr L=\frac{d^2}{ds^2}+v_*\,\frac{d}{ds}-f'(\Phi_*(s)),\qquad s\in\mathbb R,\quad v_*=2.
\end{equation*}
\notag
$$
Поправки в асимптотическом решении (2.2) находятся из рекуррентной системы линейных неоднородных уравнений.
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathscr L\Phi_k=F_k(s),\qquad k=0,1,\dots, \\ F_0(s)=-c_0\Phi_*'(s),\quad F_1(s)=-c_1\Phi_*'(s), \\ F_2(s)=-c_2\Phi_*'(s)-c_0\Phi_0'(s)+\dfrac{1}{2}f''(\Phi_*(s))\Phi_0^2(s), \quad\dots\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Уравнения дополняются краевыми условиями На каждом шаге $k=0,1,\dots$ частное решение $\Phi_k(s)$ выписывается через интегралы в терминах функции $\Phi_*(s)$ и ее производных. Получаемое таким образом асимптотическое решение (2.2) зависит от констант $c_k$, которые пока остаются неопределенными. Определение 1. Обозначим через $\mathscr M$ класс гладких функций $\Phi(s)$, $s\in\mathbb R$, имеющих асимптотику на бесконечностях в виде квазиполиномов: через $Q(s)$, $P(s)$ обозначаются различные полиномы; $m, n>0$. Лемма 1. При любом наборе констант $c_k$ рекуррентная система задач (2.5), (2.6) для коэффициентов $\Phi_k(s)$ разрешима в классе функций $\mathscr M$. Доказательство. Фундаментальную систему решений для однородного уравнения $\mathscr L\Phi=0$ можно выбирать разными способами, например, фиксируя асимптотику при $s\to+\infty$. Если ориентироваться на формулы с использованием исходной волны $\Phi_*(s)$, то удобно взять пару решений в виде
$$
\begin{equation*}
\varphi_+(s)=\Phi_*'(s),\qquad \varphi_-(s)=\varphi_+(s)\int_\infty^s\frac{\exp(-2\zeta)}{\varphi_+^2(\zeta)}\,d\zeta
\end{equation*}
\notag
$$
с вронскианом $W[\varphi_+,\varphi_-]=\exp(-2s)$. Ниже устанавливаются свойства этих функций. Ввиду соотношения (2.4) первое решение экспоненциально стремится к нулю на обеих бесконечностях. Во втором решении интеграл сходится при $\alpha\ne 0$, поскольку в силу монотонности волны $\varphi_+(\zeta)\ne 0$ и подынтегральная функция мала на бесконечности $\exp(-2\zeta)\varphi_+^{-2}(\zeta)\approx(\alpha\,\zeta+\gamma)^{-2}$, $\zeta\to+\infty$. В случае $\alpha=0$ интеграл следует взять на конечном промежутке $\zeta\in[0,s]$.
На минус-бесконечности подынтегральная функция имеет асимптотику
$$
\begin{equation*}
\frac{\exp(-2\zeta)}{\varphi_+^2(\zeta)} =\exp((\lambda_--\lambda_+)\zeta) \bigl[\mathrm{const}+\mathscr O(\exp(\lambda_+\zeta))\bigr],\qquad \zeta\to-\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda_\pm=-1\pm\sqrt{1+f'(0)}$. Поэтому после интегрирования для $\varphi_-(s)$ получается экспоненциально растущая на этой бесконечности асимптотика:
$$
\begin{equation*}
\varphi_-(s)=\exp(\lambda_-s)\bigl[\mathrm{const}+\mathscr O(\exp(\lambda_+s))\bigr],\qquad s\to-\infty,\quad \lambda_-<0.
\end{equation*}
\notag
$$
На плюс бесконечности подынтегральная функция имеет асимптотику
$$
\begin{equation*}
\frac{\exp(-2\zeta)}{\varphi_+^2(\zeta)} =(\alpha\zeta+\gamma)^{-2}+\mathscr O(\exp(-\zeta)),\qquad \zeta\to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
После интегрирования для $\varphi_-(s)$ получается асимптотика при $s\to+\infty$ похожая на $\varphi_+(s)$:
$$
\begin{equation*}
\varphi_-(s)=\frac{1}{\alpha}\exp(-s)\bigl[1+\mathscr O(\exp(-s))\bigr],\qquad s\to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае $\alpha=0$ интеграл на промежутке $\zeta\in[0,s]$ дает
$$
\begin{equation*}
\varphi_-(s)=\frac{s}{\beta}\exp(-s)\bigl[1+\mathscr O(\exp(-s))\bigr],\qquad s\to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Частное решение неоднородного уравнения $\mathscr L\Phi_k=F_k(s)$ берется в виде
$$
\begin{equation}
\Phi_k(s)=-\varphi_+(s)\int_0^s\varphi_-(\zeta)F_k(\zeta) \exp(2\zeta)\,d\zeta +\varphi_-(s)\int_{-\infty}^s\varphi_+(\zeta)F_k(\zeta)\exp(2\zeta)\,d\zeta.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Пусть функция $F_k(s)$ принадлежит классу $\mathscr M$. Тогда подынтегральные функции в (2.7) при $\zeta\to+\infty$ экспоненциально близки к полиномам. Это свойство сохраняется при интегрировании. Поэтому при $s\to+\infty$ функция $\Phi_k(s)$ имеет асимптотику, указанную для класса $\mathscr M$.
При $s\to-\infty$ ситуация аналогична для первого интеграла. Во втором интеграле функция экспоненциально мала при $\zeta\to-\infty$:
$$
\begin{equation*}
\varphi_+(\zeta)F_k(\zeta)\exp(2\zeta) =Q(\zeta)\exp(2\sqrt{1+f'(0)}\zeta)\bigl[1+\mathscr O(2\lambda_+\zeta)\bigr],\qquad \zeta\to-\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Такая асимптотика сохраняется для интеграла по промежутку вблизи минус-бесконечности. С учетом структуры множителя $\varphi_-(s)$ при $s\to-\infty$ получается асимптотика, указанная для класса $\mathscr M$.
Класс $\mathscr M$ инвариантен относительно дифференцирования и перемножения функций. Это позволяет закончить доказательство леммы ссылкой на метод индукции по номерам $k$. Замечание 1. Нетрудно проследить, что для функций $\Phi_k(s)$ на каждом шаге $k$ в асимптотике при $s\to+\infty$ степени полиномов $P(s)$ повышаются на два порядка по сравнению с асимптотикой правой части $F_k(s)$. Из-за такого роста степеней асимптотическое решение в форме (2.2) становится непригодным для больших значений $s\approx\sqrt{t}$, и его приходится менять. Мы не обсуждаем в деталях задний фронт волны, где $s\to-\infty$, поскольку он не влияет на скорость и на константы $c_0$, $c_1$. Отметим лишь, что степени полиномов $Q(s)$ повышаются на единицу и разложение становится непригодным при $-s=\mathscr O(t)$, $t\to\infty$. В процедуре согласования разных разложений важную роль играют первые два коэффициента квазиполиномов в асимптотике
$$
\begin{equation*}
\Phi_k(s)=\bigl[\beta_{k+2}+\alpha_{k+2}s+\mathscr O(s^2)\bigr] \exp(-s)\bigl[1+\mathscr O(\exp(-s))\bigr],\qquad s\to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти коэффициенты содержат произвол, связанный с произволом $S'(t)$. В доказанной лемме для $\Phi_k(s)$ использованы частные решения неоднородных уравнений в форме (2.7). Общее решение с нулевыми условиями на бесконечностях содержит дополнительное слагаемое в виде решения однородного уравнения с произвольной константой3: $d_k\Phi_*'(s)$ для любых $d_k=\mathrm{const}$. Этим произволом можно распорядиться по-разному и строить разные асимптотические решения. В частности, $d_k$ можно использовать вместо констант $c_k$, $k\geqslant 1$. Все такие решения асимптотически совпадают, если константы разного типа связать между собой. Конструкция без упоминания $d_k$ представляется наиболее простой. Поэтому в дальнейшем для $\Phi_k(s)$ используется формула частного решения (2.7). В таком случае коэффициенты $\beta_k$, $\alpha_k$ определяются через интегралы на бесконечном промежутке. Например, при $\alpha\ne 0$ коэффициенты $\alpha_2=c_0I$, $\alpha_3=c_1I$ выражаются через интеграл
$$
\begin{equation*}
I=\int_0^\infty\biggl[\alpha\zeta+\gamma-\alpha\varphi_+^2(\zeta) \exp(2\zeta)\int_\zeta^\infty\frac{d\xi}{\varphi_+^2(\xi)\exp(2\xi)}\biggr]\,d\zeta,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varphi_+(s)=\Phi_*'(s)$, $\gamma=\beta-\alpha$.
3. Асимптотика в промежуточном слоеДля дальнейших построений требуется асимптотика коэффициентов $\Phi_k(s)$ на переднем фронте. Эти функции экспоненциально стремятся к нулю при $s\to+\infty$. Однако такое свойство не гарантирует асимптотическую структуру ряда (2.2) равномерно по $s$. При экспонентах обнаруживаются степенные множители, порядок степеней которых растет с ростом номера $k$. Идентифицировать такие “секулярные” слагаемые можно разными способами. Один из них состоит в исследовании асимптотики интегралов в выражениях для решений $\Phi_k(s)$. Но структуру асимптотики можно выявить более простым способом, который состоит в построении формального асимптотического решения заново после выделения убывающей экспоненты. Для этого делается замена искомой функции Для новой функции $\psi(s,t)$ уравнение (2.1) приводится к виду
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2\psi}{\partial s^2} =\frac{\partial\psi}{\partial t} +t^{-1}[c_0+c_1t^{-1/2}+c_2t^{-1}+\dotsb] \biggl[\psi-\frac{\partial\psi}{\partial s}\biggr] +\mathscr O(e^{-s}\psi^2),\qquad t>0,\quad s\gg 1.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Нелинейные слагаемые оказываются экспоненциально малыми и не участвуют в дальнейшей конструкции в области $s\gg 1$. Асимптотическое решение строится в виде ряда
$$
\begin{equation}
\psi(s,t)=\Psi_*(s)+t^{-1}\biggl[\Psi_0(s)+t^{-1/2}\Psi_1(s) +\sum_{k=2}^\infty t^{-k/2}\Psi_k(s)\biggr].
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Коэффициенты находятся из рекуррентной системы тривиальных уравнений.
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{d^2\Psi_*}{ds^2}=0,\qquad \frac{d^2\Psi_k}{ds^2}=G_k(s),\quad k=0,1,\dots, \\ G_0=c_0\biggl[\Psi_*-\frac{d\Psi_*}{ds}\biggr],\qquad G_1=c_1\biggl[\Psi_*-\frac{d\Psi_*}{ds}\biggr], \\ G_2=c_2\biggl[\Psi_*-\frac{d\Psi_*}{ds}\biggr] +c_0\biggl[\Psi_0-\frac{d\Psi_0}{ds}\biggr]-\Psi_0, \qquad\dots\,. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Константы интегрирования выбираются из согласования с функциями $\Phi_k(s)$. В частности, $\Psi_*(s)=\alpha s+\beta$. Для поправок $\Psi_k(s)$, $k=0,1,\dots$, получаются формулы
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \Psi_0(s) &=c_0\biggl[\frac{\alpha s^3}{3!}+\frac{\gamma s^2}{2!}\biggr] +\alpha_2s+\beta_2, &\qquad \Psi_1(s) &=c_1\biggl[\frac{\alpha s^3}{3!}+\frac{\gamma s^2}{2!}\biggr] +\alpha_3s+\beta_3, \\ \Psi_2(s) &=c_2p(s)+P_5(s), &\qquad \Psi_3(s) &=c_3p(s)+Q_5(s),\quad \gamma=\beta-\alpha. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
На $k$-м шаге в функции $\Psi_k(s)$ явно выделяется зависимость от $c_k$ с множителем $p(s)=\alpha s^3/3!+\gamma s^2/2!$. Полиномы $P_{k+1}(s)$, $Q_k(s)$ в оставшейся части не зависят от от $c_k$. Их линейная часть $\Psi_k(s)=\beta_k+\alpha_ks+\mathscr O(s^2)$ содержит коэффициенты $\beta_k$, $\alpha_k$, точные значения которых надо вычислять из асимптотики интегралов (2.7). Как видим, при переходе от $t^{-k/2}\Psi_k(s)$ к $t^{-k/2-1}\Psi_{k+2}(s)$ степень по $s$ повышается на $2$ за счет двукратного интегрирования. Асимптотическое решение для $s\gg 1$ можно записать в форме
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi(s,t) &=t^0[\alpha s+\beta]+t^{-1}\biggl[\alpha_2 s+\beta_2 +c_0\biggl(\frac{\alpha s^3}{3!}+\frac{\gamma s^2}{2!}\biggr)\biggr] \\ &\qquad+t^{-3/2}\biggl[\alpha_3s+\beta_3 +c_1\biggl(\frac{\alpha s^3}{3!}+\frac{\gamma s^2}{2!}\biggr)\biggr] \\ &\qquad+t^{-2}\biggl[\alpha_4s+\beta_4 +c_2\biggl(\frac{\alpha s^3}{3!}+\frac{\gamma s^2}{2!}\biggr) +\mathscr O(s^4)\biggr]+\dotsb\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для коэффициентов здесь указаны первые члены асимптотики при $s\to\infty$. Этот ряд представляет асимптотическое решение (2.2) при $t\to\infty$ для больших $s\gg 1$. C другой стороны, он будет асимптотическим при $t\to\infty$ равномерно по $s$ на промежутке не слишком большом: при $s\ll\sqrt{t}$. Таким образом определяется промежуточный слой: $1\ll s\ll\sqrt{t}$. Асимптотичность ряда нарушается при $s\approx\sqrt{t}$. Конструкция асимптотики при $s\approx\sqrt{t}$ должна быть изменена с использованием переменной типа $s/\sqrt{t}$. От выбора новой переменной зависит структура стандартного уравнения. Одна из подходящих замен $z={s^2}/{4t}$ указана в [8]. После такой замены полученное разложение в промежуточном слое запишем, выделив $t^{1/2}$ в качестве общего множителя:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \phi(s,t) &=1+\exp(-s)t^{1/2}\biggl\{\alpha\biggl[\sqrt{4z} +\frac{c_0(4z)^{3/2}}{3!}+\mathscr O(z^{5/2})\biggr] \nonumber \\ &\qquad{}+t^{-1/2}\biggl[\beta+\frac{c_0\gamma 4z}{2!} +\frac{c_1\alpha(4z)^{3/2}}{3!}+\mathscr O(z^2)\biggr] \nonumber \\ &\qquad{}+t^{-1}\biggl[\alpha_2\sqrt {4z}+\frac{c_1\gamma 4z}{2!} +\frac{c_2\alpha(4z)^{3/2}}{3!}+\mathscr O(z^2)\biggr]+\dotsb\biggr\},\qquad z=\frac{s^2}{4t}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Первое слагаемое отсутствует, если $\alpha=0$. Для коэффициентов указаны главные члены асимптотики при $z\to 0$. Асимптотическое решение в такой форме пригодно в промежуточном слое $t^{-1}\ll z\ll 1$, который в более определенной форме описывается неравенствами4
$$
\begin{equation*}
t^{-1+\delta_1}\leqslant z=\frac{s^2}{4t}\leqslant t^{-\delta_2}
\end{equation*}
\notag
$$
с какими-нибудь $\delta_1,\delta_2>0$, $\delta_1+\delta_2<1$. Заметим, что в промежуточном слое экспоненциальная малость по $s$ влечет экспоненциальную малость по $t$, поскольку $\exp(-2t^{(1-\delta_2)/2})\leqslant\exp(-s)$. Этим обосновывается игнорирование остатка с нелинейными членами в уравнении (3.1), когда строится степенное по $t$ разложение (3.2). Сформулируем итог данного раздела следующим образом. Теорема 1. При любом наборе констант $c_k$ асимптотическое решение в форме (2.2) пригодно в области $-t\ll s\ll\sqrt{t}$. В промежуточном слое $1\ll s\ll\sqrt{t}$ разложения (2.2) и (3.3) асимптотически совпадают. Обратим внимание, что асимптотики коэффициентов $\Psi_k(s)$ при $s\to\infty$ не содержат отрицательных степеней. Это гарантирует от особенностей при $z\to 0$ в разложении (3.3). Таким образом, рассматриваемая задача не похожа на задачи с бисингулярным возмущением в смысле [12]. Структура решения здесь напоминает обычный экспоненциальный погранслой в задачах с сингулярным возмущением. 4. Внешнее разложениеДалее строится асимптотическое решение, которое будет пригодно, по крайней мере, до конечных значений $z\approx 1$. Для этого в исходном уравнении (1.1) делается переход к переменной $z$. Для упрощения конструкции выгодно произвести замену функции
$$
\begin{equation*}
\phi(s.t)=1+\exp(-s)\exp(-z)t^{1/2}u(z,t),\qquad z=\frac{s^2}{4t}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге получается уравнение для $u(z,t)$ в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &z\,\frac{\partial^2u}{\partial z^2} +\biggl(\frac{1}{2}-z\biggr)\,\frac{\partial u}{\partial z} -(1+c_0)u-t\,\frac{\partial u}{\partial t} \nonumber \\ \nonumber &\qquad=\biggl[\frac{c_1}{\sqrt{t}}+\frac{c_2}{t}+\dotsb\biggr]u -\biggl[\frac{c_0}{\sqrt{t}}+\frac{c_1}{t}+\dotsb\biggr] \sqrt{z}(\partial_zu-u) \\ &\qquad\qquad +\mathscr O\bigl(\exp(-\sqrt{zt}-z)t^{1/2}u^2\bigr),\qquad z,t>0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Нелинейности присутствуют здесь в остатках, которые будут экспоненциально малы, пока переменная $z$ не слишком мала: $t^{-1}\ll z$. Поэтому игнорирование нелинейных членов ведет к ограничению области применимости конструируемого разложения. Асимптотическое решение для уравнения (4.1) строится при следующих дополнительных ограничениях: при $z\to 0$ требуется согласование с внутренним разложением в промежуточном слое (3.3). Это условие позволяет однозначно определить все коэффициенты асимптотики независимо от выбора констант $c_k$. 4.1. АнзатцРазложение в промежуточной области (3.3) подсказывает структуру асимптотики во внешней области:
$$
\begin{equation}
u(z,t)=U_0(z)+t^{-1/2}U_1(z)+t^{-1}U_2(z) +\sum_{k=3}^\infty t^{-k/2}U_k(z).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Для коэффициентов получается рекуррентная система уравнений. Главную роль теперь играет оператор Куммера5
$$
\begin{equation*}
\mathscr K_k\equiv z\,\frac{d^2}{dz^2}+(b-z)\,\frac{d}{dz}-a_k,\qquad z>0,\quad k=0,1,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
в котором один коэффициент фиксирован $b=1/2$, а другой зависит от константы $c_0$ и от номера приближения: $a_k=c_0+1-k/2$. На первых шагах получаем следующие уравнения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathscr K_0U_0 &\equiv z\,\frac{d^2U_0}{dz^2}+\biggl(\frac{1}{2}-z\biggr)\,\frac{dU_0}{dz} -(1+c_0)U_0=0, \\ \mathscr K_1U_1 &\equiv z\,\frac{d^2U_{1}}{dz^2} +\biggl(\frac{1}{2}-z\biggr)\,\frac{dU_1}{dz} -\biggl(\frac{1}{2}+c_0\biggr)U_1=H_1(z), \\ H_1(z) &=c_1U_0-c_0\sqrt{z}\biggl(\frac{dU_0}{dz}-U_0\biggr), \\ \mathscr K_2U_2 &\equiv z\,\frac{d^2U_{2}}{dz^2} +\biggl(\frac{1}{2}-z\biggr)\,\frac{dU_2}{dz}-c_0U_2=H_2(z), \\ H_2(z) &=c_2U_0+c_1U_1-c_1\sqrt{z}\biggl(\frac{dU_0}{dz}-U_0\biggr) -c_0\sqrt{z}\biggl(\frac{dU_1}{dz}-U_1\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
На общем шаге имеем неоднородное уравнение
$$
\begin{equation}
\mathscr K_kU_k\equiv z\,\frac{d^2U_k}{dz^2} +\biggl(\frac{1}{2}-z\biggr)\frac{dU_k}{dz} -\biggl(1+c_0-\frac{k}{2}\biggr)U_k=H_k(z)
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
с правой частью, в которой выделим зависимость от константы $c_k$: Остаток $\widetilde H_k(z)$ зависит от предыдущих $U_l(s)$, $l<k$ и от $c_0,\dots,c_{k-1}$. Уравнения дополняются асимптотическим условием в нуле, которое вытекает из требования согласования с внутренним решением:
$$
\begin{equation}
U_k(z)=\beta_{k-1}+\alpha_k\sqrt{z}+\mathscr O(z),\qquad z\to 0,\quad k=0,1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Коэффициенты $\alpha_k$, $\beta_{k-1}$ берутся из асимптотики в промежуточном слое (3.3). На начальных номерах их следует доопределить, чтобы соотношение (4.4) выглядело одинаково для всех номеров: $\beta_{-1}=0$, $\beta_0=\beta$, $\beta_1=0$ и $\alpha_0=\alpha$, $\alpha_1=0$. Фундаментальная система решений однородного уравнения $\mathscr K_ku=0$ зависит от номера $k$ и выписывается через известные функции Куммера $M(a,b,z)$, которые представимы сходящимися степенными рядами, [15]:
$$
\begin{equation*}
u_1(z;k)=M\biggl(a_k,\frac 12,z\biggr),\quad u_2(z;k)=\sqrt{z}M\biggl(a_k+\frac{1}{2}\,,\frac{3}{2}\,,z\biggr),\qquad a_k=c_0+1-\frac{k}{2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, при $z\to 0$ функция $u_1(z;k)$ имеет разложение по целым, а функция $u_2(z;k)$ – по полуцелым степеням. В частности,
$$
\begin{equation*}
u_1(z;k)=1+2a_kz+\mathscr O(z^2),\quad u_2(z;k)=\sqrt{z}\biggl[1+\frac{2a_k+1}{3}\,z+\mathscr O(z^2)\biggr],\qquad z\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Асимптотика функций Куммера при $z\to\infty$ существенно зависит от параметра $a$ и в общем случае имеет экспоненциальный рост, [15]:
$$
\begin{equation}
M(a,b,z)=\frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)}\,z^{a-b} \exp(z)[1+\mathscr O(z^{-1})],\qquad z\to\infty,\quad a\ne -m.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Если число $a=-m$ целое неположительное, то функция $M(-m,b,z)=P_m(z)$ будет полиномом степени $m$. При этом из-за полюсов гамма-функции [15] в экспоненциальной асимптотике (4.5) формально получается нулевой множитель. Вронскиан $W$ не зависит от параметра $a_k$ и для рассматриваемой пары функций выражается по формуле [15] 4.2. РезультатыРассмотрим рекуррентную систему задач с произвольными константами $\alpha_k$, $\beta_{k-1}$ вне связи с исходной асимптотической конструкцией. Если учесть структуру фундаментальной системы решений $u_1(z;k)$, $u_2(z;k)$, то видно, что две константы $\alpha_k$, $\beta_{k-1}$ в краевом условии (4.4) однозначно идентифицируют решение дифференциального уравнений второго порядка. Лемма 2. При любом наборе констант $c_k$ и $\alpha_k$, $\beta_{k-1}$ рекуррентная система уравнений (4.3) с условиями (4.4) разрешима однозначно. Доказательство. На исходном шаге $k=0$ краевое условие однозначно определяет константы в общем решении однородного уравнения Решение имеет разложение при $z\to 0$ по целым и полуцелым степеням.
На следующих шагах $k=1,2,\dots$ правые части $H_k(z)$ формируются из предыдущих приближений с участием оператора Поэтому структура асимптотики по целым и полуцелым неотрицательным степеням сохраняется при переходе от $U_l(z)$, $l<k$ к $H_k(z)$.Для перехода от $H_k(z)$ к $U_k(z)$ используется частное решение неоднородного уравнения, которое выписывается через интегралы
$$
\begin{equation*}
\widetilde U_k(z) =u_2(z;k)\int_0^z\frac{u_1(\zeta;k)}{W(\zeta)}\frac{H_k(\zeta)}{\zeta}\,d\zeta -u_1(z;k)\int_0^z\frac{u_2(\zeta;k))}{W(\zeta)}\frac{H_k(\zeta)}{\zeta}\,d\zeta.
\end{equation*}
\notag
$$
Подынтегральные функции имеют следующую асимптотику в нуле:
$$
\begin{equation*}
\frac{u_1(\zeta;k)}{W(\zeta)}\frac{H_k(\zeta)}{\zeta} =\frac{1}{\sqrt\zeta}\,\mathscr O(1),\quad \frac{u_2(\zeta;k)}{W(\zeta)}\frac{H_k(\zeta)}{\zeta}= \mathscr O(1),\qquad \zeta\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому частное решение в нуле имеет асимптотику $\widetilde U_k(z)=\mathscr O(z)$, $z\to 0$, и разлагается в ряд по целым и полуцелым степеням.
Искомая функция $U_k(z)$ может включать еще решение однородного уравнения, которое однозначно определяется константами из краевого условия Полученное решение разлагается по целым и полуцелым неотрицательным степеням при $z\to 0$. Тем самым лемма доказана по индукции.Теорема 2. При любом наборе констант $c_k$ ряд (4.2) является асимптотическим при $t\to\infty$ на любом фиксированном отрезке $0\leqslant z\leqslant L$. Он представляет асимптотическое решение уравнения (4.1) до нижней границы промежуточного слоя: $t^{-1}\ll z\leqslant L$. В промежуточном слое $t^{-1}\ll z\ll 1$ разложения (4.2) и (2.2) асимптотически совпадают. Доказательство. Если константы $\alpha_k$, $\beta_{k-1}$ выбрать из внутреннего разложения (3.3), то построенное асимптотическое решение (4.2) согласовано с внутренним (2.2) и асимптотически совпадает с ним в промежуточном слое при любом наборе констант $c_k$. Совпадение решений во всех порядках асимптотики следует из единственности коэффициентов разложения в промежуточном слое, [12]. Область асимптотичности ряда (4.2) можно расширить, сделав его зависящим от $t$, если для коэффициентов $U_k(z)$ в асимптотике при $z\to\infty$ учесть степень роста. Надо иметь в виду, что асимптотики функций $U_k(z)$ могут содержать растущую экспоненту $\exp(z)$. Если экспоненциальный рост удастся исключить при всех номерах $k$, то остается степенной рост $U_k(z)\approx z^{k/2}$, и область асимптотичности расширяется: $t^{-1}\ll z\ll t$ [8]. Обратим внимание, что наличие $\exp(z)$ хотя бы в одном слагаемом разрушает свойство асимптотичности на большом промежутке. Случай, когда экспонента содержится общим множителем во всех слагаемых, не представляет интереса [8]. 5. Асимптотика скорости волныДля нахождения $c_k$ предлагается использовать дополнительное условие на коэффициенты внешнего разложения (4.2) в виде требования отсутствия экспоненциального роста при $z\to\infty$. Помимо приведенных выше рассуждений аргументы в пользу этого требования указаны в [8]. Определение 2. Обозначим через $\mathscr N$ класс гладких функций $U(z)$, $z\in(0,\infty)$, имеющих рост на бесконечности не выше степенного: Следуя [8], сформулируем следующее утверждение, которое кажется естественным: ES-Гипотеза. Существуют наборы констант $c_0,c_1,c_2,\dots$, однозначно определяемые по первому коэффициенту $c_0$, при которых рекуррентная система уравнений (4.3), (4.4) для коэффициентов $U_k(s)$ разрешима в классе функций $\mathscr N$. 5.1. Вычисление $c_0$На первом шаге $k=0$ получается однородное уравнение с параметром $a_0=1+c_0$. Из структуры асимптотики в промежуточной области и из соображений согласования следует, что искомое решение однородного уравнения должно иметь асимптотику $U_0(z)\sim\sqrt{z}$, $z\to 0$. Следовательно, оно пропорционально второму базисному решению $u_2(z,0)$. Множитель пропорциональности находится из согласования
$$
\begin{equation*}
U_0(z)=2\alpha u_2(z,0)\equiv 2\alpha\sqrt{z} M\biggl(c_0+\frac{3}{2}\,,\frac{3}{2}\,,z\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Дополнительное условие на искомую функцию $U_0(z)$ – отсутствие экспоненциального роста при $z\to\infty$. Такое случается, только если число $c_0+3/2=-m$ целое неположительное. В этом случае $u_2(z,0)=\sqrt{z}P_m(z)$, где $P_m(z)$ полином степени $m$. В частности, при $c_0=-3/2$ получается полином нулевой степени: $U_0(z)=\alpha\sqrt{4z}$ тогда и только тогда, когда $c_0=-3/2$. Согласование с внутренним разложением (3.3) получается с учетом экспоненциального множителя
$$
\begin{equation*}
\exp(-z)U_0(z)=\alpha\biggl[\sqrt{4z}+\frac{c_0(4z)^{3/2}}{3!} +\mathscr O(z^{5/2})\biggr],\qquad z\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 2. В качестве $c_0$ можно брать любое полуцелое отрицательные число $c_0=-3/2,-5/2,-7/2,\dots$ . Из приводимых ниже формальных конструкций не видно критериев для выбора этой константы. Дальнейшая конструкция не зависит от конкретного выбора $c_0$. 5.2. Свойства ортогональностиВ рассматриваемом уравнении Куммера параметр $a_k=c_0+1-k/2$ при полуцелом $c_0\leqslant -3/2$ может быть целым, либо полуцелым в зависимости от четности номера $k=0,1,2,\dots$ . В таком случае фундаментальная система решений $u_1(z,k)$, $u_2(z,k)$ обладает следующим свойством: при любом номере $k$ одна из этих функций выражается через полином:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} u_2(z;k) &=\sqrt{z}P_m(z), &\qquad &-m=a_k+\frac{1}{2}\,, &\qquad &k-\text{четное}, \\ u_1(z;k) &=P_m(z), &\qquad &-m=a_k, &\qquad &k-\text{нечетное}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Второе базисное решение экспоненциально растет и здесь не обсуждается. Полиномы $P_m(z)$ соответствуют полиномам Эрмита [15], и для таких функций имеет место ортогональность с весом на оси. Мы воспроизведем здесь доказательство этого свойства на полуоси. Лемма 3. Фундаментальная система решений $u_{1}(\zeta,k)$, $u_2(\zeta,k)$ уравнения Куммера для разных номеров $k\ne l$ обладает следующим свойством: Доказательство. Для однородного уравнения
$$
\begin{equation*}
\mathscr K_ku \equiv z\,\frac{d^2u}{dz^2} +\biggl(\frac{1}{2}-z\biggr)\,\frac{du}{dz}-au=0,\qquad z>0,
\end{equation*}
\notag
$$
при разных значениях параметра $a=a_k$ рассматриваются решения $u(z;k)$. Они фиксируются условием в нуле: либо первого типа $u=1+2a_kz+\mathscr O(z^2)$, либо второго типа $u=\sqrt{z}[1+\mathscr O(z)]$. Уравнение для $u(z;k)$ умножается на $u(z;l)/z W(z)$. После интегрирования получаем соотношение В слагаемом со второй производной интеграл берется по частям два раза. С учетом соотношения для вронскиана $W'(z)(z)=-(1/2z-1)W(z)$ и в силу уравнения для $u(\zeta;l)$ приходим к равенству Заметим, что выражение в числителе не совпадает с вронскианом $W(z)$ фундаментальной системы решений, поскольку функции $u(\zeta;k),u(\zeta;l)$ соответствуют разным уравнениям.
Далее надо учесть выражение для вронскиана, которое дает и асимптотику решений на краях промежутка $z>0$. В случае, когда функции $u(\zeta;k)$, $u(\zeta;l)$ одного типа, выражение
$$
\begin{equation}
\bigl[u'(z;k)u(z;l)-u(z;k)u'(z;l)\bigr]2\sqrt{z}\exp(-z)
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
имеет нулевой предел при $z\to 0$. В случае, когда функции $u(\zeta;k)$, $u(\zeta;l)$ разного типа, то же выражение при $z\to 0$ имеет предел $+1$ либо $-1$ в зависимости от того, которая из функций относится ко второму типу.
Для рассматриваемых решений полиномиального типа выражение (5.2) в пределе на бесконечности дает нуль. Наконец, учитывая соотношение $a_k-a_l=(l-k)/2$, приходим к требуемым равенствам (5.1). Замечание 3. Свойства ортогональности имеют место с участием функций, растущих экспоненциально на бесконечности, при условии, что сходятся соответствующие интегралы. Сходимость гарантируется не всегда, как показывает следующий пример: 5.3. Вычисление $c_1$На шаге $k=1$ получается неоднородное уравнение с параметром $a_1=c_0+1/2$. Значение $a_1=-m$ оказывается целым отрицательным числом $m\geqslant 1$, тогда как $a_1+1/2=1+c_0$ – полуцелое. Поэтому соответствующая фундаментальная система решений обладает следующими свойствами:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_1(z;1) &=M\biggl(c_0+\frac{1}{2}\,,\frac{1}{2}\,,z\biggr) \equiv P_m(z)=1-2mz+\mathscr O(z^{2}), \\ u_2(z;1) &=\sqrt{z}M\biggl(1+c_0,\frac{3}{2}\,,z\biggr) =\frac{\Gamma(1/2)}{\Gamma(1+c_0)}\, z^{c_0}\exp(z)[1+\mathscr O(z^{-1})],\qquad z\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Частное решение неоднородного уравнения выписывается через интегралы
$$
\begin{equation*}
\widetilde U_1(z) =u_2(z;1)\int_0^z\frac{u_1(\zeta;1)H_1(\zeta)}{\zeta W(\zeta)}\,d\zeta -u_1(z;1)\int_0^z\frac{u_2(\zeta;1)H_1(\zeta)}{\zeta W(\zeta)}\,d\zeta\,d\zeta.
\end{equation*}
\notag
$$
Подынтегральные функции имеют следующую асимптотику в нуле:
$$
\begin{equation*}
\frac{u_1(\zeta;1)H_1(\zeta)}{\zeta W(\zeta)}\,d\zeta =\frac{1}{\sqrt\zeta}\,\mathscr O(1),\quad \frac{u_2(\zeta;1)H_1(\zeta)}{\zeta W(\zeta)}\,d\zeta =\mathscr O(1),\qquad \zeta\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому частное решение в нуле имеет асимптотику $\widetilde U_1(z)=\mathscr O(z)$, $z\to 0$. Искомая функция $U_1(z)$ может включать еще решение однородного уравнения. Из сравнения со структурой асимптотики в промежуточном слое (3.3) следует, что в рассматриваемом случае подходит только одно из двух решений, которое оказывается полиномом: $U_1(z)=\widetilde U_1(z)+\beta u_1(z;1)$. Коэффициент $\beta$ берется из соображений согласования. Построенная таким образом функция $U_1(z)$ может экспоненциально расти на бесконечности из-за множителя $u_2(z,1)$, который входит в выражение для частного решения $\widetilde U_1(z)$. Требование отсутствия экспоненциального роста в решении $U_1(z)$ приводит к необходимости обращения в нуль интеграла в виде своеобразного условия ортогональности:
$$
\begin{equation*}
\int_0^\infty\frac{u_1(\zeta;1)H_1(\zeta)}{\zeta W(\zeta)}\,d\zeta=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду формулы для правой части $H_1$ и выражения для $U_0(z)=2\alpha\,u_2(z;0)$ это требование дает уравнение для константы $c_1$
$$
\begin{equation*}
c_1\int_0^\infty\frac{u_1(\zeta;1)u_2(\zeta;0)}{\zeta\,W(\zeta)}\,d\zeta =c_0\int_0^\infty\frac{u_1(\zeta;1)[u_2'(\zeta;0)-u_2(\zeta;0)]} {\sqrt{\zeta}W(\zeta)}\,d\zeta.
\end{equation*}
\notag
$$
Интеграл в левой части равен $2$ в силу леммы. Интеграл в правой части можно упростить, если подставить выражение для вронскиана и затем взять интеграл по частям:
$$
\begin{equation*}
c_1=c_0\int_0^\infty u_1'(\zeta;1)u_2(\zeta;0)\exp(-\zeta)\,d\zeta.
\end{equation*}
\notag
$$
При таком выборе $c_1$ выражение для первой поправки приобретает вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, U_1(z)=\beta u_1(z;1) -u_2(z;1)\int_z^\infty\frac{u_1(\zeta;1)}{W(\zeta)}\frac{H_1(\zeta)}{\zeta}\,d\zeta -u_1(z;1)\int_0^z\frac{u_2(\zeta;1))}{W(\zeta)}\frac{H_1(\zeta)}{\zeta}\,d\zeta, \\ H_1(\zeta)=2\alpha\bigl[c_1u_2(\zeta;0) -c_0\sqrt{\zeta}[u_2'(\zeta;0)-u_2(\zeta;0){d\zeta}]\bigr]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В частном случае при выборе $c_0=-3/2$ и с учетом $u_1(\zeta;1)=1-2\zeta$, $u_2(\zeta;0)=\sqrt{\zeta}$ для $c_1$ получается известное значение $c_1=3\sqrt{\pi}/2$. Из приведенных выше рассуждений создается впечатление, что подобным способом можно определить все константы $c_k$. 5.4. Попытка вычисления $c_2$На следующем шаге $k=2$ получается неоднородное уравнение с параметром $a_2=c_0.$ Теперь $a_2$ полуцелое, $a_2+1/2=1/2+c_0=-m$ оказывается числом целым отрицательным с $m\geqslant1$. Поэтому соответствующая фундаментальная система решений обладает свойствами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_1(z;2) &=M\biggl(c_0,\frac{1}{2}\,,z\biggr) =\frac{\Gamma(1/2)}{\Gamma(c_0)}\,z^{c_0-1/2} \exp(z)[1+\mathscr O(z^{-1})],\qquad z\to\infty, \\ u_2(z;2) &=\sqrt{z}M\biggl(c_0+\frac{1}{2}\,,\frac{3}{2}\,,z\biggr) \equiv\sqrt{z}P_m(z) =\sqrt{z}\biggl[1-\frac{2}{3}\,mz+\mathscr O(z^2)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Частное решение неоднородного уравнения выписывается через интегралы
$$
\begin{equation*}
\widetilde U_2(z) =u_2(z;2)\int_0^z\frac{u_1(\zeta;2)H_2(\zeta)}{\zeta W(\zeta)}\,d\zeta -u_1(z;2)\int_0^z\frac{u_2(\zeta;2)H_2(\zeta)}{\zeta W(\zeta)}\,d\zeta.
\end{equation*}
\notag
$$
Подынтегральные функции имеют следующую асимптотику в нуле:
$$
\begin{equation*}
\frac{u_1(\zeta;2)H_2(\zeta)}{\zeta W(\zeta)} =\frac{1}{\sqrt\zeta}\,\mathscr O(1),\qquad \frac{u_2(\zeta;2)H_2(\zeta)}{\zeta W(\zeta)}=\mathscr O(1),\qquad \zeta\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому частное решение имеет асимптотику $\widetilde U_2(z)=\mathscr O(z)$, $z\to 0$. Искомая функция $U_2(z)$ может включать еще решение однородного уравнения. Из сравнения со структурой асимптотики в промежуточном слое (3.3) следует, что в рассматриваемом случае можно использовать только одно из двух решений, которое выражается через полином $u_2(z;2)=\sqrt{z}P_m(z)$:
$$
\begin{equation*}
U_2(z)=\widetilde U_2(z)+2\alpha_2u_2(z;2),\qquad \alpha_2=c_0I.
\end{equation*}
\notag
$$
Коэффициент $2\alpha_2$ берется из соображений согласования с (3.3). Построенная таким образом функция $U_2(z)$ может экспоненциально расти на бесконечности из-за множителя $u_1(z;2)$, который входит в выражение для частного решения $\widetilde U_2(z)$. Требование отсутствия экспоненциального роста в решении $U_2(z)$ приводит к необходимости обращения в нуль интеграла
$$
\begin{equation}
\int_0^\infty\frac{u_2(\zeta;2)}{W(\zeta)}\frac{H_2(\zeta)}{\zeta}\,d\zeta=0.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Ввиду формулы для правой части
$$
\begin{equation*}
H_2(z)=c_2U_0+c_1U_1-c_1\sqrt{z}\biggl(\frac{dU_0}{dz}-U_0\biggr) -c_0\sqrt{z}\biggl(\frac{dU_1}{dz}-U_1\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и с учетом выражения для главного члена $U_0=2\alpha u_2(\zeta;0)$ это требование дает следующее уравнение для константы $c_2$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &c_22\alpha\int_0^\infty\frac{u_2(\zeta;2)u_2(\zeta;0)}{\zeta\,W(\zeta)}\,d\zeta =c_12\alpha\int_0^\infty\frac{u_2(\zeta;2)[u_2'(\zeta;0)-u_2(\zeta;0)]} {\sqrt{\zeta}W(\zeta)}\,d\zeta \nonumber \\ &\qquad{}+c_0\int_0^\infty \frac{u_2(\zeta;2)[U_1'(\zeta)-U_1(\zeta)]}{\sqrt{\zeta}W(\zeta)}\,d\zeta -c_1\int_0^\infty\frac{u_2(\zeta;2)U_1(\zeta)}{\zeta W(\zeta)}\,d\zeta. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Однако в силу леммы интеграл при $c_2$ равен нулю. Выполнить условие ортогональности за счет выбора $c_2$ невозможно, если правая часть в соотношении (5.4) не равна нулю. Если же правая часть обращается в нуль, то условие ортогональности выполняется при любом коэффициенте $c_2$. Такая же ситуация для всех $c_k$ c четными номерами $k$. 5.5. ДополнениеВ исключительном случае, когда исходная волна имеет асимптотику
$$
\begin{equation*}
\Phi_*(s)=1+\beta\exp(-s)[1+\mathscr O\exp(-s)],\qquad s\to+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
коэффициент $\alpha=0$. Тогда главный член внешнего разложения оказывается нулевым: $U_0\equiv 0$, и вся процедура определения $U_k(z)$ сдвигается по номерам на единицу. При этом в качестве значений $c_0$ допустимы только полуцелые отрицательные числа, начиная с $-1/2$. В частном случае при $c_0=-1/2$ получается $a_1=0$, $u_1(z,1)\equiv 1$, $U_1(z)\equiv\beta$. На следующем шаге имеем
$$
\begin{equation*}
H_2=\beta[c_1+c_0\sqrt{z}],\qquad a_2=c_0=-\frac{1}{2}\,,\qquad u_2(z;2)=\sqrt{z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь требование ортогональности в форме (5.3) приводит к определению константы $c_1=\sqrt{\pi}/4$, что совпадает с результатом [8]. Невозможность определения $c_2$ выясняется при анализе поправки $U_3(z)$. Причина – ортогональность пары базисных решений: $u_1(z,1)$, $u_1(z,3)$. Вывод. ES-Гипотеза не верна. Для уравнения КПП при выходе решения на бегущую волну асимптотика скорости в виде степенного ряда (2.3) не определяется в слагаемых с номерами $k\geqslant 2$. Из-за этого рушится вся конструкция асимптотического решения в форме степенных рядов, пригодных далеко на переднем фронте волны, при $1\ll z=s^2/4t\ll t$, $s\approx x-v_*t$. 6. ЗаключениеНевозможность построения асимптотики бегущей волны в форме степенного ряда имеет место не только для уравнения КПП. Таким же свойством обладают бегущие волны для других уравнений, которые анализировались в [8], постольку конструкция асимптотики приводит к уравнению Куммера. Подобные ситуации известны в теории возмущений для разных задач. Проблема с построением степенной асимптотики зачастую указывает на необходимость включения логарифмов в асимптотическое разложение [12]. Учет логарифмов для рассмотренной задачи будет темой последующей публикации. Стоит отметить, что для обоснования первых членов асимптотики вовсе не обязательно иметь полное разложение, как это продемонстрировано в [5], [13]. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kal24} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|