Н. А. Тюрин, “О лагранжевой геометрии грассманиана $\mathrm{Gr}(1, n)$”, Матем. заметки, 116:6 (2024), 998–1005; Math. Notes, 116:6 (2024), 1373

Аннотация: В работе представлен еще один топологический тип лагранжева подмногообразия в грассманиане $\operatorname{Gr}(1, n)$, дополняющий список примеров разной степени однородности, построенных с помощью обобщения конструкции А. Е. Миронова.
Библиография: 5 названий.

Ключевые слова: алгебраическое многообразие, грассманиан прямых, лагранжево подмногообразие, действие тора.

Поступило: 19.07.2024

Дата публикации: 06.12.2024

Английская версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 6, Pages 1373–1378
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624110439

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

УДК: 514.763.424+514.763.337

1. Введение и формулировка основного результата

Лагранжева геометрия или геометрия лагранжевых подмногообразий как отдельный предмет возникла благодаря В. П. Маслову и его революционному подходу к исследованиям уравнений в частных производных, получившему название метода канонического оператора. В работах, написанных им самим и его учениками М. Карасевым, С. Доброхотовым, А. Шафаревичем и многими другими, были найдены и представлены основные характеристики лагранжевых подмногообразий, используемые ныне всем математическим сообществом (но часто без соответствующих ссылок на оригинальные работы, особенно в трудах западных коллег): класс Маслова, индекс Маслова, условие Бора–Зоммерфельда, – да и само название главного объекта исследований было предложено создателем теории квазиклассических приближений.

Со временем спектр приложений лагранжевой геометрии в современной математической физике существенно расширился: в связи с гипотезой о зеркальной симметрии необходимой оказалась задача классификации лагранжевых подмногообразий алгебраических компактных многообразий (и более общо – кэлеровых многообразий). Напомним, что по самому своему определению алгебраическое многообразие обязано обладать кэлеровой метрикой Ходжева типа, и соответствующая кэлерова форма может рассматриваться как симплектическая (таким образом, с точки зрения геометрического квантования алгебраическое многообразие ad hoc снабжено данными предквантования и комплексной поляризацией). При этом вариации формы в фиксированном классе когомологий не влияет на результаты классификации возможных типов лагранжевых подмногообразий, но выбор различных главных поляризаций в принципе приводит к разным результатам.

Настоящая работа посвящена нахождению новых топологических типов, реализуемых гладкими лагранжевыми подмногообразиями в многообразии Грассмана $\operatorname{Gr}(1, n)$ проективных прямых в комплексном проективном пространстве $\mathbb{C} \mathbb{P}^n$. В работе [3] было представлено обобщение конструкции Миронова из [1], возможное для случая, когда на алгебраическом многообразии имеются действие вещественного тора $T^k$ кэлеровыми изометриями и одновременно трансверсальная этому действию антиголоморфная инволюция. Как было отмечено, многообразие Грассмана, снабженное кэлеровой структурой, порождаемой вложением Плюккера, обладает необходимым набором данных, поэтому к нему можно применять обобщенную конструкцию Миронова.

В работе [2] был представлен ряд примеров таких лагранжевых подмногообразий для $\operatorname{Gr}(1, n)$, так что в их определении участвовали $k$ отображений моментов из имеющихся $n$, причем $k$ принимало значения от 0 до $n-1$. Конструкция, использованная в указанной работе, не предполагала возможности ее применения на случай $k=n$, поэтому в [3] отсутствовал пример лагранжева подмногообразия максимальной степени однородности, равной $n$. Таким образом, настоящая работа восполняет недостаток работы [3].

Напомним (детали см. в [2], [3]), что стандартным отображениям моментов $\mu_0,\dots, \mu_n$ на проективном пространстве $\mathbb{C} \mathbb{P}^n$, порождающим стандартное торическое действие, соответствует набор отображений моментов $\widetilde \mu_0, \dots, \widetilde \mu_n$ на многообразии Грассмана $\operatorname{Gr}(1, n)$ проективных прямых в этом проективном пространстве, снабженном стандартной кэлеровой структурой плюккеровым вложением. Так как комплексная размерность грассманиана равна $2n-2$, то набор таких отображений моментов не является полным; каждое из $\widetilde \mu_i$ есть гладкая функция, принимающая значения от 0 до 1, причем критическими значениями являются только эти два; сумма всех $\sum_{i=0}^n \widetilde \mu_i$ тождественно равна 2. Геометрический смысл значений каждой $\widetilde \mu_i$ на прямой $l \subset \mathbb{C} \mathbb{P}^n$ есть 1 минус квадрат расстояния от этой прямой до точки $p_i=[0:\dots:1:\dots:0]$, где единственная ненулевая координата имеет тот же номер $i$.

Обобщенная конструкция Миронова лагранжева подмногообразия степени однородности $n$ в этих терминах выглядит так: выберем подходящие значения $c_1, \dots, c_n$ для отображений моментов $\widetilde \mu_1, \dots, \widetilde \mu_n$; найдем пересечение

$$ \begin{equation*} S_{\mathbb{R}}(c_1, \dots, c_n)=\operatorname{Gr}_{\mathbb{R}}(1, n) \cap N(c_1, \dots, c_n), \end{equation*} \notag $$

Наш главный результат содержится в следующем утверждении.

Теорема. Пусть значения $c_1, \dots, c_n$ отображений моментов $\widetilde \mu_1, \dots, \widetilde \mu_n$ выбраны так, что $0<c_i <1$, $1 <\sum_{i=1}^n c_i <2$. Тогда соответствующее $S_n$ есть гладкое лагранжево подмногообразие в $\operatorname{Gr}(1, n)$, топологически изоморфное $T^n$-расслоению над $\mathbb{R}\mathbb{P}^{n-2}$.

2. Доказательство теоремы

Доказательство следует той же общей стратегии, что и в [2]: мы ищем торические листы имеющегося $T^n$-действия, т.е. семейство подмногообразий, которые инвариантны относительно данного торического действия и при этом имеют размерность $n$, так что ограничение действия на каждый лист является вполне интегрируемым.

Для начала зафиксируем некоторое значение суммы $\sum_{i=1}^n c_i=c$ как в условиях теоремы. Тогда по свойствам отображений моментов это в точности соответствует выбору значения $2-c$ для оставшегося отображения моментов $\widetilde \mu_0$. Рассмотрим соответствующее замкнутое подмногообразие $N^0 \subset \operatorname{Gr}(1, n)$ вещественной коразмерности 1. Так как $c$ не является критическим значением $\widetilde \mu_0$, то $N^0$ – гладкое подмногообразие. Так как все $\widetilde \mu_i$ коммутируют между собой, это замкнутое подмногообразие инвариантно относительно $T^n$-действия, индуцируемого набором $\widetilde \mu_1, \dots, \widetilde \mu_n$.

Любая прямая $l \subset \mathbb{C} \mathbb{P}^n$, попадающая как элемент грассманиана в $N^0$, удовлетворяет следующему условию: она касается $2n-1$ сферы $S_0 \subset \mathbb{C} \mathbb{P}^n$, являющейся множеством уровня $\{ \mu_0=c \}$. В самом деле, квадрат расстояния от прямой $l$ до точки $p_0$ есть в точности квадрат расстояния до точки касания со сферой $S_0$. Отсюда следует, что всякая прямая из $N^0$ касается в некоторой точке сферы $S_0$. При этом та же прямая ровно в одной точке пересекается с $n-1$ мерным проективным подпространством $\langle p_1, \dots, p_n\rangle \subset \mathbb{C} \mathbb{P}^n$ (здесь и ниже мы, как обычно, обозначаем проективную оболочку точек $p_{i_1}, \dots, p_{i_k}$ как $\langle p_{i_1}, \dots, p_{i_k}\rangle$). В самом деле, любая прямая или лежит в $\langle p_1, \dots, p_n\rangle$, или пересекает эту гиперплоскость в единственной точке; но в первом случае значение $\widetilde \mu_0$ на этой прямой равно нулю, что по условию было исключено.

Замкнутое подмногообразие $N^0$ может быть описано следующим образом. Рассмотрим в $\langle p_1, \dots, p_n\rangle$ произвольную гиперплоскость $\pi$, по определению имеющую проективную размерность $n-2$. Рассмотрим множество гиперплоскостей в $\mathbb{C} \mathbb{P}^n$, содержащих $\pi$ и касающихся сферы $S_0$. Нетрудно видеть, что это множество есть окружность $S^1$. В самом деле, в объемлющем пространстве $\mathbb{C} \mathbb{P}^n$ ортогоналом к $\pi$ будет прямая $l_{\pi}$, проходящая через точку $p_0$ (это следует из ортогональности $\langle p_1,\dots, p_n\rangle$ и $p_0$); пересечение $l_{\pi} \cap S_0$ составляет окружность $S^1$; по построению проективная оболочка $\pi$ и произвольной точки на этой окружности есть гиперплоскость, касательная к $S_0$ в этой точке. Таким образом, эта гиперплоскость однозначно определена соответствующей точкой на окружности $l_{\pi} \cap S_0$.

Далее, касательная к $S_0$ прямая $l$ однозначно определена двумя точками: точкой на $S_0$ и точкой на $\langle p_1, \dots, p_n\rangle$. Но, как мы видели выше, точка $s \in S_0$ однозначно определяет некоторое $\pi \subset\langle p_1, \dots, p_n\rangle$ по следующему правилу: рассмотрим прямую $\langle p_0, s\rangle $ и возьмем ее ортогонал, который обязан лежать в $\langle p_1, \dots, p_n\rangle $. Тогда прямая $l$ однозначно определена точкой пересечения с $\langle p_1, \dots, p_n\rangle $, обязанной лежать в $\pi$.

Таким образом, многообразие $N^0$ представляется как $S^1$-расслоение над многообразием частичных флагов $F(1, n-2)$ в проективном пространстве $\langle p_1, \dots, p_n\rangle $. Более того, так как сфера $S_0$ является тотальным пространством расслоения Хопфа над проективным пространством $\langle p_1, \dots, p_n\rangle $, то описание $N^0$ получается следующим.

Рассмотрим пространство $\mathbb{C}^n$, снабженное эрмитовым скалярным произведением, имеющим стандартный вид в аффинных координатах $X_1, \dots, X_n$. Рассмотрим сферу $S_c \subset \mathbb{C}^n$, задаваемую уравнением $\sum_{i=1}^n |X_i|^2=c$. Рассмотрим проективизацию $\mathbb{C}^n$ до проективного пространства $\mathbb{C} \mathbb{P}^{n-1}$ с соответствующими однородными координатами $[x_1:\dots:x_n]$. Рассмотрим двойственное проективное пространство $(\mathbb{C} \mathbb{P}^{n-1})^{\vee}$ с соответствующим набором двойственных координат $[y_1:\dots:y_n]$ так что точке с координатами $[y_1:\dots:y_n]$ соответствует гиперплоскость $\sum_{i=1}^n y_i x_i=0$ в исходном проективном пространстве. Тогда многообразие $N^0$ задается в прямом произведении $S_c \times (\mathbb{C} \mathbb{P}^{n-1})^{\vee}$ уравнением

В самом деле, рассмотрим точку $p \in \langle p_1, \dots, p_n\rangle $. Проведем прямую $\langle p, p_0\rangle $, пересекающую $S_0$ по окружности, лежащей в слое расслоения Хопфа над $p$. Тогда если $\pi= p^{\perp}$ в $\langle p_1, \dots, p_n\rangle $, то любая точка из $\pi$ соответствует окружности касательных прямых к $S_0$. Но точки из $\pi$ однозначно соответствуют гиперплоскостям, проходящим через $p$, откуда получаем необходимое описание.

В этих терминах торическое действие, задаваемое $\widetilde \mu_1, \dots, \widetilde \mu_n$, имеет замечательно простой вид. Прежде всего, заметим, что вместо последней функции $\widetilde \mu_n$ в нашем наборе можно взять $\sum_{i=1}^n \widetilde \mu_i$, и это не изменит соответствующего $T^n$-действия. Но такая сумма задает гамильтоново векторное поле на $N^0$, только знаком отличающееся от гамильтонова векторного поля $X_{\widetilde \mu_0}$. Далее, для любой точки $p \in \langle p_1, \dots, p_n\rangle $ соответствующая ей окружность $S_p^1=S_0 \cap \langle p, p_0\rangle $ переходит в себя под действием, порождаемым $X_{\widetilde \mu_0}$: поскольку $X_{\widetilde \mu_0}$ тривиально на $\langle p_1, \dots, p_n\rangle $, то любая такая $p$ остается неподвижной, но при этом окружность $S_p^1$ поворачивается как при фазовых вращениях. Так как сфера $S_0$ в точности соответствует сфере $S_c \subset \mathbb{C}^n$ в нашем представлении, то отсюда видно, что в данном представлении $X_{\widetilde \mu_0}$ соответствует стандартным фазовым вращениям $S_c$, порождаемым гамильтоновым векторным полем $X_{\sum_{i=1}^n|X_i|^2}$ во всем $\mathbb{C}^n$, и тривиально действует на проективизацию $\langle p_1, \dots, p_n\rangle =\mathbb{P}(\mathbb{C}^n)$. С другой стороны, ограничения $\widetilde \mu_i$, $i=1, \dots, n-1,$ на гиперповерхность $\langle p_1, \dots, p_n\rangle $ задают стандартное торическое действие со стандартным набором отображений моментов вида

Таким образом, торическое действие на $N^0$ можно определить следующим образом: решение уравнение $\sum_{i=1}^n y_i x_i=0$ в прямом произведении $\mathbb{C} \mathbb{P}^{n-1} \times (\mathbb{C} \mathbb{P}^{n-1})^{\vee}$ инвариантно относительно стандартного $T^{n-1}$-действия, задаваемого следующим набором отображений моментов:

Следовательно, задача о нахождении и описании торических листов на $N^0$ относительно действия $T^n$ свелась к задаче описания торических листов на цикле инциденции

$$ \begin{equation*} \mathcal U=\biggl\{\sum_{i=1}^n x_i y_i=0 \biggr\} \subset \mathbb{C} \mathbb{P}^{n-1} \times (\mathbb{C} \mathbb{P}^{n-1})^{\vee} \end{equation*} \notag $$

Описание торических листов для цикла инциденции $\mathcal U$ с набором отображений моментов $(f_1, \dots, f_{n-1})$ не представляет особого труда, поскольку в свое время в работе [4] мы подробно исследовали лагранжевы подмногообразия и лагранжевы слоения многообразия флагов $F^3$. Для решения сегодняшней нашей задачи нам надо обобщить эту конструкцию со случая $n= 4$ до общего случая.

$$ \begin{equation*} \psi\colon \bigl(\mathbb{C} \mathbb{P}^{n-1} \times (\mathbb{C} \mathbb{P}^{n-1})^{\vee} \bigr) \setminus B \to \mathbb{C} \mathbb{P}^{n-1}, \end{equation*} \notag $$

$$ \begin{equation*} B_I=\bigl\{ x_i=0,\,y_j=0 \ \forall\, i \in I, \forall\, j \in (1, \dots., n) \setminus I \bigr\}; \end{equation*} \notag $$

Нетрудно видеть, что $\mathcal U$ составляет прообраз гиперплоскости

Рассмотрим общий слой отображения $\psi_0$ над точкой $w \in H_0$, у которой все однородные координаты $w_i$ ненулевые. Тогда для фиксированного набора $[w_1:\dots:w_n]$ и произвольного набора $[x_1:\dots:x_n]$ такого, что все $x_i$ также ненулевые, соответствующий набор однородных координат $[y_1:\dots:y_n]$ однозначно определен. Таким образом, слой $\psi_0$ над точкой $w \in H_0$ с ненулевыми координатами естественно изоморфен

$$ \begin{equation*} \psi^{-1}(w)=\mathbb{C} \mathbb{P}^{n-1} \setminus\biggl\{ \bigcup_{i=1}^n \{x_i=0 \} \biggr\}; \end{equation*} \notag $$

Рассмотрим теперь случай, когда точка $w \in H_0$ имеет нулевую координату $w_i=0$. Тогда, как и в случае многообразия флагов $F^3$ из [4], слой является приводимым: компоненты слоя соответствуют случаям $x_i=0$ и $y_i=0$, а особенность слоя описывается одновременным обращением в нуль $x_i=y_i=0$, поскольку это подмножество есть в точности пересечение двух компонент слоя. При этом обе компоненты сами по себе являются торическими многообразиями, и для общего выбора значений отображений моментов $(f_1, \dots, f_{n-1})$ совместное множество уровня снова будет гладким лиувиллевым тором, содержащимся или в одной, или в другой компоненте. Не вдаваясь в детали, покажем, что в условиях нашей теоремы учтено требование непопадания на “диагональ”, задаваемую условием $x_i=y_i=0$. Для этого исследуем зависимость этого случая от значений $c_1, \dots, c_n$ наших исходных отображений моментов $\widetilde \mu_1, \dots, \widetilde \mu_n$.

Если точка $p \in \langle p_1, \dots, p_n\rangle $ имеет нулевую $i$-ю однородную координату, то это значит, что $p \in \langle p_1, \dots, \widehat p_i, \dots, p_n\rangle $, где значок $\widehat p_i$, как обычно, означает исключение точки $p_i$ из набора. Отсюда следует, что прямая $\langle p, p_0\rangle $ содержится в гиперплоскости $\{ z_i=0 \}$ в нашем исходном проективном пространстве $\mathbb{C} \mathbb{P}^n$. Отсюда следует, что окружность $S_p^1 \subset S_c$ также принадлежит этой гиперплоскости. Следовательно, для любой точки окружности $S^1_p$ значение $\mu_i$ в этой точке равно нулю. С другой стороны, если двойственная координата $y_i=0$, то это означает, что соответствующая гиперплоскость, наоборот, содержит точку $p_i$. Напомним, что точке $p \in \langle p_1, \dots, p_n\rangle $ мы сопоставляем ортогональную ей гиперплоскость $\pi= p^{\perp} \subset \langle p_1, \dots, p_n\rangle $, и вторые “концы” соответствующих прямых, касающихся $S_c$, лежат в $\pi$. Но тогда очевидно, что точки в $\pi$ двойственны гиперплоскостям, содержащим $p$, и поэтому каждая такая точка в случае $x_i=y_i=0$ также должна лежать в пересечении $\pi \cap \{ z_i=0 \}$, откуда следует, что соответствующая прямая $l$ полностью содержится в той же гиперплоскости и, следовательно, $\widetilde \mu_i([l])=0$. Однако в условии теоремы мы исключили нулевые значения для отображений моментов $\widetilde \mu_1, \dots, \widetilde \mu_n$, откуда следует, что, зафиксировав набор соответствующих ненулевых значений $(c_1, \dots, c_n)$, мы получаем в каждом слое $\psi_0$ гладкий лиувиллев тор. Таким образом, совместное множество уровня расслоено над базой $H_0$, что дает вместе с подъемом с $\mathcal U$ до $N^0$ гладкое расслоение

В частности, отсюда вытекает, что симплектическая редукция $\operatorname{Gr}(1, n)//T^n$ есть $H_0=\mathbb{C} \mathbb{P}^{n-2}$ (подчеркнем, что получаемая в результате редукции симплектическая форма на последнем проективном пространстве не обязана быть стандартной кэлеровой формой метрики Фубини–Штуди).

Однако необходимо напомнить, что определение подмногообразия $S_n \subset \operatorname{Gr}(1, n)$ исходило из описания $S_{\mathbb{R}}(c_1, \dots, c_n) \subset \operatorname{Gr}_{\mathbb{R}}(1, n)$, а затем необходимо было применять действие $T^n$ к этому вещественному подмножеству. Воспользуемся следующим альтернативным описанием, естественным в присутствии уже построенного расслоения $q$: а именно, докажем, что ограничение расслоения $q$ на вещественное подмногообразие $\mathbb{R} \mathbb{P}^{n-1} \subset H_0$ есть в точности $S_n$. Для этого достаточно показать, что в каждом слое ограничения $q_{\mathbb{R}}=q|_{\mathbb{R} \mathbb{P}^{n-2}}$ имеется по меньшей мере одна точка, принадлежащая $S_{\mathbb{R}}(c_1, \dots, c_n)$. Но поскольку тотальное пространство расслоения $q$ есть совместное множество уровня, то нам достаточно показать, что в каждом слое есть вещественная точка, т.е. точка, соответствующая некоторой вещественной проективной прямой $l \subset \mathbb{C} \mathbb{P}^n$. В свою очередь напомним, что прямая $l$ вещественная, если $\tau(l)=l$, где $\tau\colon \mathbb{C} \mathbb{P}^n \to \mathbb{C} \mathbb{P}^n$ – стандартная антиголоморфная инволюция.

Что дополняет нашу конструкцию при условии, что прямая $l$, касающаяся сферы $S_0$, является вещественной? Поскольку сфера $S_0$ вещественна, гиперплоскость $\langle p_1, \dots, p_n\rangle $ вещественна, а прямая однозначно задается точкой касания на сфере и точкой пересечения с $\langle p_1, \dots, p_n\rangle $, то условие вещественности прямой $l$ эквивалентно тому, что эти точки касания и пересечения обе вещественны (напомним, что не всякая точка вещественного подмногообразия является вещественной). Поскольку точка касания лежит на фазовой окружности $S_p^1=\langle p, p_0\rangle \cap S_0$, то прямая $\langle p, p_0\rangle $ содержит две вещественные точки, а следовательно является вещественной (и наоборот, если прямая $\langle p, p_0\rangle $ не является вещественной, то $S_p$ не содержит вещественных точек). Следовательно, вещественной является и точка $p \in \langle p_1, \dots, p_n\rangle $. Второй “конец” прямой $l$ – точка ее пересечения с $\pi=p^{\perp}$ – вещественна, но вещественная и сама $\pi$, будучи перпендикуляром к вещественной точке $p$. Отсюда следует, что соответствующие однородные координаты $[x_1:\dots:x_n]$ и $[y_1:\dots:y_n]$ могут быть выбранными вещественными, и вещественными получаются произведения $w_i=x_i y_i$. Поэтому вещественная прямая всегда соответствует элементу, который под действием $q$ проецируется в $\mathbb{R} \mathbb{P}^{n-2} \subset H_0$.

Далее, пусть $[l_1] \in N(c_1, \dots, c_n)$ и получается из некоторого элемента $[l_{\mathbb{R}}] \in S_{\mathbb{R}}(c_1, \dots, c_n)$, соответствующего вещественной прямой, действием тора $T^n$. Но как мы только что установили, это означает, что $q([l_{\mathbb{R}}]) \in \mathbb{R} \mathbb{P}^{n-2}$, откуда следует требуемая реализация $S_n$ как ограничения расслоения $q$ на вещественную часть $H_0$, что завершает доказательство теоремы.

3. Заключение

Необходимо заметить, что новый тип гладкого лагранжева подмногообразия в многообразии Грассмана $\operatorname{Gr}(1, n)$, полученный нами в настоящей работе, отличается от серии $S_k$, $k=0, \dots, n-1$, построенной в [3]: напомним, что каждое из этих последних было изоморфно расслоению со слоем $T^{2k}$ над $\operatorname{Gr}_{\mathbb{R}}(1, n-k)$, и наш пример $S_n$ не вписывается в эти рамки.

С другой стороны, интересно было бы попробовать продолжить “расщепление” грассманиана $\operatorname{Gr}(1, n)$, пользуясь другими наборами первых интегралов. Как известно (см., например, [5]), многообразие Грассмана является фазовым пространством для системы Гельфанда–Цейтлина, которая является вполне интегрируемой системой, но в которой первые интегралы своим гамильтоновым действием не сохраняют комплексную структуру (в отличие от тех отображений моментов, которые мы рассматривали здесь и в предыдущих работах). Однако, как было замечено Д. Милинковичем (Белградский университет), метод Миронова может быть обобщен и на некэлеров случай: в роли антиголоморфной инволюции может быть использована просто антисимплектическая инволюция, а вместо вещественной части – соответствующее подмножество неподвижных точек. Было бы интересно расширить список топологических типов лагранжевых подмногообразий в грассманиане, используя такое некэлерово обобщение конструкции Миронова.

Образец цитирования: Н. А. Тюрин, “О лагранжевой геометрии грассманиана $\mathrm{Gr}(1, n)$”, Матем. заметки, 116:6 (2024), 998–1005; Math. Notes, 116:6 (2024), 1373–1378

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Tyu24}

\by Н.~А.~Тюрин

\paper О лагранжевой геометрии грассманиана $\mathrm{Gr}(1, n)$

\jour Матем. заметки

\yr 2024

\vol 116

\issue 6

\pages 998--1005

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm14507}

\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm14507}

\transl

\jour Math. Notes

\yr 2024

\vol 116

\issue 6

\pages 1373--1378

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434624110439}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85218196575}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/mzm14507

https://doi.org/10.4213/mzm14507

https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v116/i6/p998

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

1. Введение и формулировка основного результата

2. Доказательство теоремы

3. Заключение

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ