| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Геометрический подход к оценкам снизу максимума гауссовских случайных процессов Б. С. Кашинab a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Английская версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624110361 
Реферативные базы данных:
  Ниже через $\{g_k\}_{k\in \Lambda}$ мы обозначаем набор независимых гауссовских случайных величин с $\mathbb E g_k=0$, $\mathbb E g^2_k=1$, $k\in \Lambda$, индексированных элементами некоторого конечного множества $\Lambda$, а через $\{\varepsilon_k\}_{k\in \Lambda}$ – набор независимых бернуллиевых величин ($\mathbb P \{\varepsilon_k=1\}=\mathbb P\{\varepsilon_k=-1\}=1/2$). Если $\Lambda=\{1,2,\dots, n\}$, то через $G_n$ обозначаем случайный вектор $\{g_k\}_{k=1}^n$. В работе рассматриваются оценки снизу математического ожидания супремума случайных процессов, прежде всего, гауссовских. Такие оценки находят важные применения вне теории вероятностей, в частности, в теории ортогональных рядов. В этой связи приведу интересный результат Райдера. Теорема A [1]. Пусть $\Lambda \subset Z$ – такое множество, что для некоторой абсолютной постоянной $c_1>0$ и любых коэффициентов $\{a_k\}_{k\in \Lambda}$ имеет место соотношение Тогда $\Lambda$ – множество Сидона, т.е. для любых коэффициентов $\{a_k\}$ (здесь и далее через $c_1,c_2, \dots$ обозначаются различные абсолютные постоянные). О результатах, связанных с теоремой A и относящихся к рядам по общим, ограниченным в совокупности ортонормированным системам см. [2], [3]. Первые точные по порядку оценки снизу для случайных процессов, связанных с ортогональными рядами, были получены Салемом и Зигмундом в 1954 г. Теорема B [4]. Имеет место оценка В [4] использовался так называемый метод второго момента, основанный на сравнении $L^1$ и $L^2$ норм некоторых случайных функций. Этот метод применим к широкому классу независимых случайных величин (см., в частности, теорему D ниже). Другой метод нижних оценок был развит для гауссовских процессов на основе классической леммы Слепьяна (см., например, [5; c. 213]. Одним из важнейших результатов, полученных этим методом, является следующая Теорема C ( Судаков, [6]). Пусть – такой набор векторов, что для некоторого $a>0$ Тогда где $\langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle$ – скалярное произведение в соответствующем евклидовом пространстве. C использованием результатов типа теоремы C Маркусом и Пизье [7] был установлен критерий (на последовательность коэффициентов $\{a_k\}$) непрерывности почти наверное суммы случайного ряда вида
$$
\begin{equation*}
\sum_{k \in \mathbb Z} \varepsilon_k a_k e^{ikx} \quad \text{или} \quad \sum_{k \in \mathbb Z}g_k a_k e^{ikx}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для произвольного набора векторов (1) точная по порядку оценка левой части в (3) была получена Талаграном (см. [8]) и, как и предыдущие результаты в этом направлении, формулируется с использованием энтропийных характеристик множества $V$. В ряде важных случаев оценка $\varepsilon$-энтропии множества $V$ представляет собой весьма сложную задачу, что не позволяет довести оценку “до числа”. С этим отчасти связано отсутствие результатов, полученных этим методом и относящихся к оценкам равномерной нормы случайных рядов по общим ортонормированным системам. Следующий результат был получен в [9], [10] (см. также [11]) с использованием метода второго момента и центральной предельной теоремы для двумерных векторов с точной оценкой остаточного члена.
Теорема D. Пусть $\{\xi_k\}_{k=1}^n$ – набор независимых случайных величин с $\mathbb E \xi_k=0$, $\mathbb E \xi_k^2=1$, $\mathbb E |\xi_k|\geqslant 1/M$, $1\leqslant k\leqslant n$, а $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^n$ – ортонормированная система функций, заданных на пространстве с мерой $(X, \mu)$, $\mu(X)=1$, и такая, что Тогда для любых коэффициентов $\{a_k\}_{k=1}^n$ В случае независимых гауссовских величин имеет место оценка снизу, справедливая для любой ортонормированной системы. Теорема 1. Cуществует абсолютная постоянная $c_4>0$ такая, что при $n=1,2,\dots$ для любой ортонормированной системы (О.Н.С.) $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^n \subset L^2(X, \mu)$, $\mu(X)=1$, имеет место неравенство Лемма 1. При $r=0,1,\dots, n$ имеет место оценка снизу поперечника по Колмогорову множества $W_\Phi$ в пространстве $\ell_2^n$: Доказательство леммы не приводится, так как оно полностью аналогично доказательству классической оценки снизу поперечника $d_r(B_1^n, \ell_2^n)$ (см., например, [12; c. 139]). Из леммы 1 непосредственно вытекает Лемма 2. Для любой О.Н.С. $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^n$, $n>3$, найдется набор точек (“точки поперечника”) $\{x_1,\dots, x_{[n/2]}\} \subset X$ такой, что при $p=2,\dots, [n/2]$ где $\rho^{}_{\ell_2^n}(v,L)$ – евклидово расстояние от точки $v\in \mathbb R^n$ до множества $L \subset \mathbb R^n$, а $\operatorname{span} \{v_\alpha\}$ – линейная оболочка множества точек $\{v_\alpha\}$. Для завершения доказательства теоремы 1 рассмотрим построенный в лемме 2 набор точек $\{x_q\}_{q=1}^{[n/2]}$ и покажем, что
$$
\begin{equation}
\mathbb E \bigl(\max_q |\langle G_n, v_{x_q}\rangle| \bigr) \geqslant c_4(n\log n)^{1/2}.
\end{equation}
\tag{4}
$$
По построению при $q=2, \dots, [n/2]$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, v_{x_q}=u_q+z_q, \qquad u_q \perp L_{q-1}\equiv \operatorname{span} \{v_{x_\nu}, 1\leqslant \nu\leqslant q-1\}, \\ \|u_q\|_{\ell_2^n} \geqslant \biggl(\frac{n}{2}\biggr)^{1/2}, \qquad z_q\in L_{q-1}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5}
$$
Далее можно, конечно, получить искомое утверждение с помощью теоремы C, однако гораздо проще использовать тот факт, что некоррелированные совместно гауссовские величины независимы. Поэтому для $q=2$, $[n/2]$ и любого $A>0$ вероятность
$$
\begin{equation*}
\alpha(q,A)\equiv \mathbb{P} \Bigl\{\max_{1\leqslant \nu\leqslant q}|\langle G_n, v_{x_\nu}\rangle | \leqslant A\Bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяет соотношению
$$
\begin{equation}
\alpha(q,A)\leqslant \alpha(q-1, A) \cdot\mathbb{P}\{|\langle G_n, u_q\rangle|\leqslant A\}.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Если $A=\gamma(n\log n)^{1/2}$, где $\gamma>0$ – достаточно малая абсолютная постоянная, то из (6) и оценки снизу для $\|u_q\|_{\ell_2^n}$ (см. (5)) получаем
$$
\begin{equation*}
\alpha\biggl(\biggl[\frac n2\biggr]\biggr),A)\leqslant \biggl(1-\frac{1}{n^{1/3}}\biggr)^{[n/2]-1} \leqslant c_5 \exp(-c_6 n^{2/3}).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1 доказана.
Ниже приводится доказательство теоремы C, основанное на следующем классическом неравенстве Урысона, опубликованном в Математическом сборнике ровно сто лет назад. Теорема E [13]. Для любого выпуклого тела $K$ и единичного евклидова шара $B$ в $\mathbb R^n$ имеет место неравенство где $\operatorname{Vol} K$ и $w(K)$ – соответственно объем и средняя ширина тела $K$. Связь неравенства Урысона с оценками $\epsilon$-энтропии множеств в пространстве $\ell_2^n$ была установлена в работе Мильмана [14] (с участием Пажора, см. [14]), однако для доказательства результатов типа теоремы C, насколько известно автору, не использовалась. Подход, основанный на неравенстве Урысона, имеет то преимущество, что потенциально позволяет избавиться от оценок $\varepsilon$-энтропии и заменить ее геометрическими характеристиками набора векторов $V$ (см. (1)), допускающими более простую оценку (см., например, теорему 2 ниже). Итак, для данного набора (1) обозначим через $K$ выпуклую оболочку множества $V \cup -V$. Используя тот факт, что случайный вектор $G_n/\|G_n\|_{\ell_2^n}$ равномерно распределен на сфере $S^{n-1}$, несложно проверить, что
$$
\begin{equation}
\mathbb{E} \Bigl(\sup_{1\leqslant j \leqslant N}|\langle G_n, v_j\rangle|\Bigr)=\gamma_n w(K),
\end{equation}
\tag{7}
$$
где $0<c_6n^{1/2}\leqslant \gamma_n \leqslant c_7 n^{1/2}$.
Рассмотрим сначала случай, когда число векторов в $V$ экспоненциально велико в сравнении с $n$: $\log N=\delta \cdot n$, $\delta \geqslant \delta_0>0$, $\delta_0$ – произвольная фиксированная абсолютная постоянная. Следуя [14], рассмотрим сумму Минковского тел $K$ и $({a}/{2})B$ и применим к этому множеству неравенство Урысона. По условию теоремы C
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Vol}\biggl(K+\frac{a}{2}B\biggr)\geqslant N\biggl(\frac{a}{2}\biggr)^n \operatorname{Vol} B,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому
$$
\begin{equation*}
w\biggl(K+\frac{a}{2}B\biggr) \geqslant w(B)N^{1/n}\frac{a}{2}= N^{1/n}\cdot a.
\end{equation*}
\notag
$$
Но
$$
\begin{equation*}
w\biggl(K+\frac{a}{2}B\biggr) = w(K)+w\biggl(\frac{a}{2}B\biggr)=w(K)+a.
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге мы получаем
$$
\begin{equation}
w(K) \geqslant (N^{1/n}-1)a=(e^{\log N/n} -1)a\geqslant C_{\delta_0}\frac{\log N}{n}a\geqslant C_{\delta_0}'a.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Рассмотрим теперь общий случай теоремы C, при этом всегда можно считать, что $n \leqslant N$. Нам потребуется стандартная (см., например, [15]) оценка для распределения длины ортогональной проекции случайного вектора на сфере $S^{n-1}$ на фиксированное $r$-мерное подпространство: для некоторых положительных $c_8$, $c_9$, $c_{10}$ при $r=1,2,\dots, n$
$$
\begin{equation}
\mu_{n-1} \biggl\{z=\{z_\nu\}_{\nu=1}^n \in S^{n-1} \colon \biggl(\sum_{\nu=1}^r z_\nu^2\biggr)^{1/2} \notin \biggl[c_8\sqrt{\frac rn},\, c_9\sqrt{\frac rn}\,\biggr]\biggr\}\leqslant 4\exp (-c_{10}r).
\end{equation}
\tag{9}
$$
Положим $r=[c_{11}\log N]$, где постоянная $c_{11}$ настолько велика, что и фиксируем постоянную $\delta_0$ настолько малой, что условие $\log N\leqslant \delta_0 n$ влечет неравенство $r<n$. Ниже мы считаем, что $\log N <\delta_0 n$, так как утверждение теоремы C в случае, когда $\log N \geqslant \delta_0 n$, проверено выше.
Так же, как в доказательстве классической леммы Джонсона–Линденштрауса (которое также основано на оценках типа (9)), рассмотрим ортогональную проекцию $\pi_L$ набора $V$ на случайное $r$-мерное (равномерно распределенное по мере Хаара) подпространство $L \subset \mathbb R^n$. Оценка (9) и выбор числа $r$ гарантирует, что для случайного подпространства $L$ и каждой пары $(j,j')$, $1\leqslant j,j' \leqslant N$, $j\ne j'$ мы имеем
$$
\begin{equation}
\|\pi_Lv_j-\pi_Lv_{j'}\|_{\ell_2^n}\geqslant ac_8\sqrt{\frac{r}{n}}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
При этом мера Хаара тех подпространств, для которых (10) нарушается хотя бы для одной пары $(j,j')$, не превосходит $N^{-1}$.
Рассматривая для случайного подпространства $L$ среднюю ширину $w_L(K)$ тела $K$ для направлений из $L$ и учитывая, что $\log N \geqslant r/c_{11}$, а значит, мы можем воспользоваться уже установленной оценкой (8), получаем, что для большинства (по мере Хаара) $r$-мерных подпространств $L$
$$
\begin{equation}
w_L(K)\geqslant c_{12} a\biggl(\frac rn\biggr)^{1/2} \geqslant c_{13} a \sqrt{\frac{\log N}{n}}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Проинтегрировав неравенство (11) по всем $r$-мерным подпространствам, получаем утверждение теоремы C. Точнее, мы используем равенство, справедливое для любой непрерывной функции $f$ на сфере $S^{n-1}$:
$$
\begin{equation*}
\int_{S^{n-1}}f\,d\mu_{n-1}= \int_{O^n}\int_{S(TL_r^\circ)} f\,d\mu_{r-1}\,d \nu_H,
\end{equation*}
\notag
$$
где $O^n$ – группы ортогональных преобразований пространства $\mathbb R^n$ c мерой Хаара $\nu_H$, $T \in O^n$, $L_r^\circ =\{a_1,a_2,\dots, a_r, 0,\dots, 0\} \subset \mathbb R^n$, а $S(TL_r^\circ)$ – сфера в подпространстве $T(L_r^\circ)$.
Приведенное доказательство теоремы C допускает существенное ослабление энтропийного условия (2). В частности, следующий результат был фактически установлен выше (для простоты ограничимся случаем, когда $N$ гораздо больше $n$). Теорема 2. Пусть $\log N \geqslant \delta_0 n > 0$, а набор (1) таков, что где $B_a(v)$ – евклидов шар радиуса $a$ с центром $v$. Тогда Отметим, что правая часть в (12) допускает эффективную оценку. БлагодарностиАвтор благодарит Институт Исаака Ньютона для математических исследований (Кембридж) за приглашение выступить с докладом по теме работы и за гостеприимство. Автор благодарит также Ф. Дая и А. Литвака за полезные обсуждения. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kas24} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|