| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения О компактности интегральных операторов с однородными ядрами и переменными коэффициентами на группе Гейзенберга О. Г. Авсянкин  Южный федеральный университет, факультет математики, механики и компьютерных наук, Региональный математический центр, г. Ростов-на-Дону
Английская версия:
Mathematical Notes, 2025, Volume 118, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434625603533 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеДанная работа посвящена исследованию интегральных операторов с однородными ядрами в пространствах Лебега на группе Гейзенберга. Отметим, что в настоящее время многомерные интегральные операторы с однородными ядрами в пространствах $L_p(\mathbb{R}^n)$ изучены достаточно хорошо. Для таких операторов были получены критерии обратимости и нетеровости, исследованы порождаемые этими операторами банаховы алгебры, найдены условия применимости проекционных методов (см. [1]–[3] и цитированные в них источники). Однако, в современной математике и в приложениях все большее значение приобретает анализ на некоммутативных группах, в частности, на группе Гейзенберга (см., например, [4]). Интегральные операторы с однородными ядрами на группе Гейзенберга рассматривались в работах [5]–[7]. Данная работа продолжает исследования, начатые в статьях [5]–[7]. В ней изучается компактность многомерных интегральных операторов с однородными ядрами и ограниченными переменными коэффициентами в $L_p$-пространствах на группе Гейзенберга. Получены достаточные условия компактности таких операторов. Отдельно рассмотрен случай ядра, радиального по одной из переменных. Отметим, что применяемая нами техника исследования близка к той, что использовалась в работе [3]. 2. Предварительные сведенияСледуя [4; п. 9.8], приведем основные сведения о группе Гейзенберга. Пусть $\mathbb{C}^{n}$ – $n$-мерное комплексное арифметическое пространство векторов $z=(z_1,\dots,z_n)$ со скалярным произведением $z\cdot w=z_1\overline{w}_1+\dots+z_n\overline{w}_n$. Группа Гейзенберга – это множество $\mathbb{H}_n=\mathbb{C}^{n} \times \mathbb{R}$, наделенное групповой операцией
$$
\begin{equation*}
(z_1,t_1) (z_2,t_2)=(z_1+z_2,t_1+t_2+ 2 \operatorname{Im}(z_1 \cdot \overline{z}_2)).
\end{equation*}
\notag
$$
Определим на группе $\mathbb{H}_n$ (параболическое) растяжение $\delta_{\lambda}$, где $\lambda>0$, равенством
$$
\begin{equation*}
\delta_{\lambda}(x)= \delta_{\lambda}(z,t)=(\lambda z,\lambda^2 t), \qquad x=(z,t) \in \mathbb{H}_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Норму элемента $x=(z,t) \in \mathbb{H}_n$ определим формулой Эту норму называют нормой Кораньи. Очевидно, что $\|\delta_{\lambda}(x)\|=\lambda \|x\|$ для любого $x\in \mathbb{H}_n$. Введем сферические координаты на группе $\mathbb{H}_{n}$. Рассмотрим в $\mathbb{H}_{n}$ единичную сферу $\mathbb{S}_n=\{x\in \mathbb{H}_n \colon \|x\|=1\}$. Для любого $x\in \mathbb{H}_{n}$, $x\ne 0$, положим $r=\|x\|$ и $\sigma=\delta_{1/r}(x)$. Ясно, что $\sigma \in \mathbb{S}_n$. Пару $(r,\sigma)$ будем называть сферическими координатами точки $x$. Тогда $x=\delta_{r}(\sigma)$. Обычная мера Лебега на $\mathbb{R}^{2n+1}$ индуцирует на группе $\mathbb{H}_{n}$ биинвариантную меру Хаара. Обозначим через $L_p(\mathbb{H}_n)$, $1\leqslant p\leqslant \infty$, пространство (классов) измеримых комплекснозначных функций с нормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|_p=\biggl(\int_{\mathbb{H}_n}|f(x)|^p\,dx\biggr)^{1/p}, \quad 1\leqslant p<\infty, \qquad \|f\|_{\infty}= \operatorname*{ess\,sup}_{x\in \mathbb{H}_{n}}|f(x)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 1. Множество $\Psi=\{\psi\} \subset L_p(\mathbb{H}_n)$, где $1\leqslant p< \infty$, является предкомпактным тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: 3. Основные результатыВ пространстве $L_p(\mathbb{H}_n)$, где $1<p<\infty$, рассмотрим оператор
$$
\begin{equation}
(K\varphi)(x)=\int_{\mathbb{H}_n} k(x,y)\varphi(y)\,dy, \qquad x\in \mathbb{H}_n,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где функция $k(x,y)$, заданная на $\mathbb{H}_n\times\mathbb{H}_n$, измерима и однородна степени $(-2n-2)$, т.е.
$$
\begin{equation}
k(\delta_{\lambda}(x),\delta_{\lambda}(y))= \lambda^{-2n-2} k(x,y) \quad \forall\,\lambda>0.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Пусть функция $k(x,y)$ также удовлетворяет условиям:
$$
\begin{equation}
\kappa_1 =\operatorname*{ess\,sup}_{\sigma \in \mathbb{S}_n} \int_{\mathbb{H}_n}|k(\sigma,y)|\, \|y\|^{-(2n+2)/p}\,dy<\infty,
\end{equation}
\tag{3}
$$
$$
\begin{equation}
\kappa_2 =\operatorname*{ess\,sup}_{\sigma \in \mathbb{S}_n} \int_{\mathbb{H}_n}|k(x,\sigma)|\,\|x\|^{-(2n+2)/p'}\,dx<\infty,
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $p'=p/(p-1)$. Оператор $K$ ограничен в $L_p(\mathbb{H}_n)$, причем $\|K\| \leqslant \kappa_1^{1/p'}\kappa_2^{1/p}$ (см. [5]). В работе [7] было показано, что оператор $K$ коммутирует с операторами мультипликативного сдвига и, следовательно, не является компактным. Основной целью данной работы является исследование компактности оператора $M_a K$, где $M_a$ – оператор умножения на функцию $a\in L_{\infty}(\mathbb{H}_n)$. Обозначим через $C_{0,0}(\mathbb{H}_n)$ множество всех непрерывных на $\mathbb{H}_n$ финитных функций, носитель которых не содержит точку $x=0$. Лемма 1. Пусть ядро $k(x,y)$ оператора $K$ удовлетворяет условиям (2)–(4), а также условиям Тогда если $a\in C_{0,0}(\mathbb{H}_n)$, то оператор $T_a=M_a K$ компактен $L_p(\mathbb{H}_n)$. Доказательство. В пространстве $L_{p'}(\mathbb{H}_n)$ рассмотрим сопряженный оператор
$$
\begin{equation*}
(T_a^{\ast} \psi)(x)=\int_{\mathbb{H}_n} \overline{a}(y) \overline{k}(y,x) \psi(y)\,dy
\end{equation*}
\notag
$$
(здесь черта означает комплексное сопряжение). Покажем, что оператор $T_a^{\ast}$ компактен в $L_{p'}(\mathbb{H}_n)$. Пусть $\Psi=\{\psi\}$ – произвольное ограниченное множество в $L_{p'}(\mathbb{H}_n)$, т.е. $\|\psi\|_{p'} \leqslant C$ для любой $\psi \in \Psi$. Покажем, что множество $\{T_a^{\ast}\psi\}$, где $\psi \in \Psi$, предкомпактно в $L_{p'}(\mathbb{H}_n)$. Проверим условия i)–iii) из предложения 1.
Справедливость условия i) вытекает из ограниченности оператора $T_a$. Проверим условие ii). Пользуясь неравенством Гёльдера, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|(T_a^{\ast} \psi)(x+h)-(T_a^{\ast} \psi)(x)| \leqslant \int_{\mathbb{H}_n}\bigl(|a(y)|^{1/p} |k(y,x+h)-k(y,x)|^{1/p} \|y\|^{-(2n+2)/(pp')}\bigr) \\ &\qquad\qquad\times \bigl(|a(y)|^{1/p'}|k(y,x+h)-k(y,x)|^{1/p'} \|y\|^{(2n+2)/(pp')}|\psi(y)|\bigr)\,dy \\ &\qquad\leqslant \mathscr{J}(x)\biggl(\int_{\mathbb{H}_n} |a(y)|\, |k(y,x+h)-k(y,x)|\,\|y\|^{(2n+2)/p}|\psi(y)|^{p'}\,dy\biggr)^{1/p'}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathscr{J}(x)&=\biggl(\int_{\mathbb{H}_n}|a(y)|\, |k(y,x+h)-k(y,x)|\,\|y\|^{-(2n+2)/p'}\,dy\biggr)^{1/p} \\ &\leqslant \|a\|_{\infty}^{1/p}\biggl(\int_{\mathbb{H}_n} |k(y,x+h)|\,\|y\|^{-(2n+2)/p'}\,dy + \int_{\mathbb{H}_n}|k(y,x)|\,\|y\|^{-(2n+2)/p'}\,dy\biggr)^{1/p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В первом интеграле сделаем замену $y=\delta_{\|x+h\|}(t)$, $dy=\|x+t\|^{2n+2}\,dt$, а во втором – замену $y=\delta_{\|x\|}(t)$, $dy=\|x\|^{2n+2}\,dt$. Тогда, учитывая условие однородности (2), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathscr{J}(x) &\leqslant \|a\|_{\infty}^{1/p} \biggl(\|x+h\|^{-(2n+2)/p'} \int_{\mathbb{H}_n} |k(t,\sigma_{x+h})|\,\|t\|^{-(2n+2)/p'}\,dt \\ &\qquad+\|x\|^{-(2n+2)/p'} \int_{\mathbb{H}_n} |k(t,\sigma_{x})|\,\|t\|^{-(2n+2)/p'}\,dt\biggr)^{1/p}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sigma_{x+h}=\delta_{1/\|x+h\|}(x+h)$ и $\sigma_{x}=\delta_{1/\|x\|}(x)$. Тогда используя вначале условие (4), а затем неравенство $(b+c)^s \leqslant 2^{s}(b^s+c^s)$, верное для любых $b,c,s>0$, получим
$$
\begin{equation*}
\mathscr{J}(x) \leqslant (2\|a\|_{\infty}\kappa_2)^{1/p} \bigl(\|x+h\|^{-(2n+2)/(pp')}+\|x\|^{-(2n+2)/(pp')}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|(T_a^{\ast} \psi)(\,\cdot\,+h)-(T_a^{\ast}\psi)(\,\cdot\,)\|_{p'} \\ &\qquad\leqslant(2\|a\|_{\infty}\kappa_2)^{1/p} \biggl(\int_{\mathbb{H}_n} (\|x+h\|^{-(2n+2)/(pp')}+\|x\|^{-(2n+2)/(pp')})^{p'}\,dx \\ &\qquad\qquad\times \int_{\mathbb{H}_n}|a(y)|\,|k(y,x+h)-k(y,x)|\, \|y\|^{(2n+2)/p}|\psi(y)|^{p'}\,dy\biggr)^{1/p'}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Снова применяя неравенство $(b+c)^s \leqslant 2^{s}(b^s+c^s)$, получаем
$$
\begin{equation}
\|(T_a^{\ast}\psi)(\,\cdot\,+h)- (T_a^{\ast}\psi)(\,\cdot\,)\|_{p'} \leqslant 2(2\|a\|_{\infty}\kappa_2)^{1/p}\bigl(\mathscr{A}_1(\psi,h)+ \mathscr{A}_2(\psi,h)\bigl)^{1/p'},
\end{equation}
\tag{7}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathscr{A}_1(\psi,h)&=\int_{\mathbb{H}_n}\|x\|^{-(2n+2)/p} \,dx \int_{\mathbb{H}_n}|a(y)|\,|k(y,x+h)-k(y,x)|\, \|y\|^{(2n+2)/p}|\psi(y)|^{p'}\,dy, \\ \mathscr{A}_2(\psi,h)&=\int_{\mathbb{H}_n}\|x+h\|^{-(2n+2)/p} \,dx \int_{\mathbb{H}_n}|a(y)|\,|k(y,x+h)-k(y,x)|\, \|y\|^{(2n+2)/p}|\psi(y)|^{p'}\,dy. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что
$$
\begin{equation}
\lim_{h\to 0}\,\sup_{\psi \in \Psi}\mathscr{A}_j(\psi,h)=0, \qquad j=1,2.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Преобразуем функцию $\mathscr{A}_1(\psi,h)$. Изменим порядок интегрирования, а затем сделаем замену $x=\delta_{\|y\|}(t)$, $dx=\|y\|^{2n+2}\,dt$. Тогда, учитывая условие (2), получим
$$
\begin{equation*}
\mathscr{A}_1(\psi,h)=\int_{\mathbb{H}_n}|a(y)|\,|\psi(y)|^{p'}\,dy \int_{\mathbb{H}_n}|k(\sigma,t+\delta_{1/\|y\|}(h))-k(\sigma,t)|\, \|t\|^{-(2n+2)/p}\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sigma=\delta_{1/\|y\|}(y)$. Так как $a\in C_{0,0}(\mathbb{H}_n)$, существуют такие числа $\alpha_1$ и $\alpha_2$, что $a(x)\equiv 0$ при $\|x\|<\alpha_1$ и $\|x\|>\alpha_2$. Обозначим $\mathbb{D}_{\alpha_1,\alpha_2}= \{x\in \mathbb{H}_n \colon \alpha_1 \leqslant \|x\| \leqslant \alpha_2\}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathscr{A}_1(\psi,h) &\leqslant \|a\|_{\infty} \int_{\mathbb{D}_{\alpha_1,\alpha_2}}|\psi(y)|^{p'}\,dy \int_{\mathbb{H}_n}|k(\sigma,t+\delta_{1/\|y\|}(h))- k(\sigma,t)|\,\|t\|^{-(2n+2)/p}\,dt \\ &\leqslant C^{p'}\|a\|_{\infty} \sup_{y \in \mathbb{D}_{\alpha_1,\alpha_2}}\, \operatorname*{ess\,sup}_{\sigma \in \mathbb{S}_n} \int_{\mathbb{H}_n} |k(\sigma,t+\delta_{1/\|y\|}(h))-k(\sigma,t)|\, \|t\|^{-(2n+2)/p}\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\|\delta_{1/\|y\|}(h)\| \leqslant \|h\|/\alpha_1$ для всех $y \in \mathbb{D}_{\alpha_1,\alpha_2}$, то $\delta_{1/\|y\|}(h) \to 0$ при $h \to 0$ равномерно относительно $y \in \mathbb{D}_{\alpha_1,\alpha_2}$. Тогда из условия (6) вытекает равенство (8), где $j=1$. Аналогично доказывается равенство (8) при $j=2$. Из неравенства (7) с учетом формул (8) следует, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{h\to 0}\,\sup_{\psi \in \Psi}\|(T_a^{\ast}\psi)(\,\cdot\,+h)- (T_a^{\ast}\psi)(\,\cdot\,)\|_{p'}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Проверим условие iii). Будем рассуждать аналогично тому, как мы действовали при проверке условия ii). А именно, применив неравенство Гёльдера, получим
$$
\begin{equation*}
|(T_a^{\ast} \psi)(x)| \leqslant \mathscr{I}(x) \biggl(\int_{\mathbb{H}_n}|a(y)|\,|k(y,x)|\,\|y\|^{(2n+2)/p} |\psi(y)|^{p'}\,dy\biggr)^{1/p'},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathscr{I}(x)=\biggl(\int_{\mathbb{H}_n}|a(y)|\,|k(y,x)|\, \|y\|^{-(2n+2)/p'}\,dy \biggr)^{1/p} \leqslant (\kappa_2\|a\|_{\infty})^{1/p}\|x\|^{-(2n+2)/(pp')}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\chi_{\rho} T_a^{\ast}\psi\|_{p'} &\leqslant (\kappa_2\|a\|_{\infty})^{1/p}\biggl(\int_{\|x\|>\rho} \|x\|^{-(2n+2)/p} \,dx \\ &\qquad\times\int_{\mathbb{H}_n}|a(y)|\,|k(y,x)|\, \|y\|^{(2n+2)/p}|\psi(y)|^{p'}\,dy\biggr)^{1/p'} \\ &=(\kappa_2\|a\|_{\infty})^{1/p}\biggl(\int_{\mathbb{H}_n} |a(y)|\,\|y\|^{(2n+2)/p}|\psi(y)|^{p'}\,dy \\ &\qquad\times\int_{\|x\|>\rho} |k(y,x)|\,\|x\|^{-(2n+2)/p}\,dx\biggr)^{1/p'}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В результате замены $x=\delta_{\|y\|}(t)$ во внутреннем интеграле, с учетом условия (2), получим
$$
\begin{equation*}
\|\chi_{\rho} T_a^{\ast}\psi\|_{p'} \leqslant (\kappa_2\|a\|_{\infty})^{1/p}\biggl(\int_{\mathbb{H}_n}|a(y)|\, |\psi(y)|^{p'}\,dy\int_{\|t\|>\rho/\|y\|}|k(\sigma,t)|\, \|t\|^{-(2n+2)/p}\,dt\biggr)^{1/p'},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sigma=\delta_{1/\|y\|}(y)$. Так как $a(x)\equiv 0$ вне множества $\mathbb{D}_{\alpha_1,\alpha_2}$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\chi_{\rho} T_a^{\ast}\psi\|_{p'} &\leqslant \kappa_2^{1/p} \|a\|_{\infty}\biggl(\int_{\mathbb{D}_{\alpha_1,\alpha_2}} |\psi(y)|^{p'}\,dy\int_{\|t\|>\rho/\|y\|}|k(\sigma,t)|\, \|t\|^{-(2n+2)/p}\,dt\biggr)^{1/p'} \\ &\leqslant C\kappa_2^{1/p}\|a\|_{\infty} \biggl(\operatorname*{ess\,sup}_{\sigma\in \mathbb{S}_n} \int_{\|t\|>\rho/\alpha_2}|k(\sigma,t)|\, \|t\|^{-(2n+2)/p}\,dt\biggr)^{1/p'}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая условие (5), получаем, что Лемма доказана. Определение 1. Будем говорить, что функция $a\in L_{\infty}(\mathbb{H}_n)$ принадлежит классу $B_{0,0}^{\sup}(\mathbb{H}_n)$, если Теорема 1. Пусть $K$ – оператор вида (1), ядро $k(x,y)$ которого удовлетворяет условиям (2)–(6), и $a \in B_{0,0}^{\sup}(\mathbb{R}^n)$. Тогда оператор $M_a K$ компактен в $L_p(\mathbb{H}_n)$. Доказательство. Для любого $N \in \mathbb{N}$ положим
$$
\begin{equation*}
a_N(x) =\begin{cases} a(x), & \text{если}\ \dfrac1N \leqslant \|x\| \leqslant N, \\ 0, & \text{если}\ \|x\|<\dfrac1N\ \text{или}\ \|x\|>N \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
и покажем, что оператор $M_{a_N} K$ компактен. Действительно, пусть функция $b\in C_{0,0}(\mathbb{H}_n)$ такова, что $b(x)\equiv1$ при $1/N \leqslant \|x\| \leqslant N$. Тогда $M_{a_N} K=M_{a_N} M_b K$. По лемме 1 оператор $M_b K$ компактен в $L_p(\mathbb{H}_n)$; значит оператор $M_{a_N} K$ также является компактным. Так как $a\in B_{0,0}^{\sup}(\mathbb{H}_n)$, то при $N\to\infty$. Следовательно, оператор $M_a K$ компактен в $L_p(\mathbb{H}_n)$. В заключение рассмотрим оператор $K$ вида (1) с ядром $k(\|x\|,y)$, которое является радиальным по первой переменной. Для такого ядра условие (3) принимает вид
$$
\begin{equation}
\kappa_1=\int_{\mathbb{H}_n} \bigl|k(1,\|y\|)\bigr|\, \|y\|^{-(2n+2)/p}\,dy <\infty.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Следствие 1. Пусть функция $k(\|x\|,y)$ удовлетворяет условиям (2), (9) и (4). Тогда если $a\in B_{0,0}^{\sup}(\mathbb{H}_n)$, то оператор $M_a K$ компактен в $L_p(\mathbb{H}_n)$. Доказательство. Для функции $k(\|x\|,y)$ интегралы в формулах (5) и (6) не зависят от $\sigma$. Поэтому условия (5) и (6) автоматически следуют из (9) в силу свойств интеграла Лебега.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Avs25} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|