Об уравнениях в свободных группах с коммутантными ограничениями на решения

Описан полиномиальный алгоритм, позволяющий по произвольному разрешенному относительно неизвестных уравнению вида $w(x_{1},\ldots,x_{n})=[a,b]$, где $w(x_{1},\ldots,x_{n})$ — групповое слово в алфавите неизвестных, а $[a,b]$ — коммутатор свободных образующих $a$ и $b$ свободной группы $F_2$, определить, существует ли решение этого уравнения, удовлетворяющее условию $x_{1},\ldots, x_{n}\in F_{2}^{(1)}$, где $F_2^{(1)}$ — коммутант группы $F_2$. Установлено существование полиномиального алгоритма, позволяющего по произвольному разрешенному относительно неизвестных уравнению вида $w(x_{1},\ldots,x_{n})=g(a,b)$, где $g(a,b)$ — элемент длины меньше $4$ свободной группы $F_{2}$, определить, существует ли решение этого уравнения, удовлетворяющее условию $x_{1},\ldots, x_{t}\in F_{2}^{(1)}$, где $t$  — произвольное фиксированное число между $1$ и $n$. Доказана алгоритмическая разрешимость аналогичной проблемы для уравнений $w(x_{1},a,b)=1$ с одной переменной $x_1$.