Комбинаторные аспекты $q$-гафниана

Гафниан был введён в середине XX в. в работах итальянского физика-теоретика Э. Р. Каяньелло в связи с задачами квантовой теории поля. В дальнейшем гафниан нашёл применение в комбинаторике как перечисляющая функция числа совершенных паросочетаний графов. По своему виду гафниан близок к такой более известной функции, как пфаффиан. В отличие от последней, он задаётся на симметричных, а не кососимметричных матрицах и не учитывает знаки перестановок индексов в соответствующих мономах. В данной работе рассмотрен $q$-гафниан — обобщение гафниана, зависящее от формальных параметров и совпадающее с исходной функцией при единичных значениях параметров. Указан комбинаторный смысл $q$-гафниана как производящей функции числа перестановок и числа дуговых (линейных хордовых) диаграмм определённых классов. Доказаны несколько свойств одно- и двупараметрического $q$-гафниана, которые являются обобщениями свойств обычного гафниана. В частности, мы приводим аналог свойства разложения по строке и аналог свойства, выражающего гафниан матрицы смежности двудольного взвешенного графа с равными долями через перманент матрицы бисмежности. Данные понятия и свойства, помимо чисто теоретического интереса, могут быть использованы при разработке алгоритмов, изучающих статистику числа инверсий определённых классов перестановок и статистику числа взаимных пересечений и вложений рёбер определённых классов дуговых диаграмм.