О линейных трансляторах и бумеранг-матрицах над абелевыми группами

С 2018 г. при оценивании параметров криптографического преобразования относительно метода «бумеранга» рассматривается его бумеранг-матрица над полем $\mathbb{F}_{p^m}$, как правило, для $p=2$. В работе вводятся бумеранг-матрица $b(s)$ подстановки $s$ на произвольной конечной абелевой группе $(X,+)$, а также порядок бумеранг-равномерности ${\sigma^{(b)}}(s)$, равный наибольшему элементу матрицы $b(s)$. Рассматривается класс XSH-алгоритмов блочного шифрования с раундовой функцией, являющейся композицией преобразования $v_k$ наложения ключа $k\in X$, подстановки $s$ и преобразования $h$, принадлежащего голоморфу ${\rm{Hol}}(X, + )$ группы $(X,+)$. При $X=\mathbb{F}^{n}_{2^m}$ к классу XSH-алгоритмов относятся XSL-алгоритмы с линейным преобразованием $h$. Анализируется влияние наличия линейного транслятора у подстановки $s$ на свойства бумеранг-матрицы и оценки порядков бумеранг-равномерности XSH-алгоритмов. Приведены примеры при $X\in \{\mathbb{F}^{n}_{2^m}, \mathbb{Z}_{2^{n}} \}$.