Унимодальность распределений вероятностей для максимумов выборки независимых эрланговских случайных величин

Рассматриваются выборки конечного объема $N > 2$ независимых одинаково распределенных случайных неотрицательных величин $\tilde{r}_1, \ldots, \tilde{r}_N$. Ставится задача о нахождении достаточных условий для их общего распределения вероятностей $Q(x)=Pr\{\tilde{r}_j<x\}, j=1\div N$, которые гарантируют унимодальность распределения вероятностей $F_N(x)=Pr\{\tilde{r}<x\}$ их максимума $\tilde{r}=\max\{\tilde{r}_j; \, j=1\div N\}$. Доказывается, что в случае, если $Q$ имеет непрерывно дифференцируемую плотность $q$, которая является плотностью Эрланга произвольного порядка $n \in \mathbb{N}$, то распределение $F_N$ обладает непрерывно дифференцируемой унимодальной плотностью $F_N$.