Пространственно неоднородные решения в двух краевых задачах для уравнения Кана-Хиллиарда

Рассматривается известное в математической физике уравнение Кана-Хиллиарда, имеющее приложения в химической кинетике и физике пограничных явлений. Данное нелинейное дифференциальное уравнение изучается вместе с однородными краевыми условиями Дирихле и Неймана. Для обеих краевых задач дан анализ локальных бифуркаций в окрестности однородных состояний равновесия. Для краевой задачи Дирихле получены условия, при выполнении которых в окрестности нулевого состояния равновесия реализуется бифуркация типа «вилка». Более сложный характер бифуркаций реализуется в краевой задаче Неймана. В работе показано, что при превышении порогового значения управляющего параметра из однородных состояний равновесия бифурцируют однопараметрические семейства пространственно неоднородных состояний равновесия. Для обоснования результатов использованы методы теории динамических систем с бесконечномерным пространством начальных условий: метод интегральных (инерциальных) многообразий, аппарат теории нормальных форм Пуанкаре, асимптотические методы анализа. Их использование позволяет получать асимптотические формулы для найденных решений, а также изучать вопрос об их устойчивости в смысле определения А.М. Ляпунова в метрике фазового пространства решений.