Успехи математических наук
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



УМН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Успехи математических наук, 2021, том 76, выпуск 4(460), страницы 105–138
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10010
(Mi rm10010)
 

Обзоры

Динамическая алгебра Бете над $\mathfrak{sl}_2$ и функции на парах квазимногочленов

А. Н. Варченкоabc, А. М. Слинкинad, Д. Томпсонa

a Department of Mathematics, University of North Carolina at Chapel Hill, USA
b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
c Московский центр фундаментальной и прикладной математики
d Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"
Список литературы:
Аннотация: Рассматривается пространство $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$ функций на подалгебре Картана алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ со значениями в подпространстве нулевого веса $V[0]$ тензорного произведения неприводимых конечномерных $\mathfrak{sl}_2$-модулей. Также рассматривается алгебра $\mathcal{B}$ коммутирующих дифференциальных операторов на $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}\,V[0]$, определённая в 2009 г. В. Н. Рубцовым, А. В. Силантьевым и Д. В. Талалаевым. Изучается связь между действием алгебры $\mathcal{B}$ на $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$ и пространством пар квазимногочленов.
Библиография: 25 названий.
Ключевые слова: коммутирующие дифференциальные операторы, собственные функции, инвариантность относительно группы Вейля, анзац Бете, определитель Вронского, квазимногочлены.
Финансовая поддержка Номер гранта
National Science Foundation DMS-1665239
DMS-1954266
Работа А. Н. Варченко выполнена при поддержке NSF (гранты DMS-1665239, DMS-1954266).
Поступила в редакцию: 21.04.2021
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 4, Pages 653–684
DOI: https://doi.org/10.1070/RM10010
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517.984.55+517.983.6+512.714
MSC: 17B80, 81R12

1. Введение

Квантовой интегрируемой моделью называется векторное пространство $V$ и алгебра $\mathcal{B}$ коммутирующих операторов на $V$, называемая алгеброй Бете гамильтонианов. Задача состоит в нахождении собственных векторов операторов и их собственных значений. Если векторное пространство – это пространство функций, то гамильтонианы – это дифференциальные, или разностные, или интегральные операторы.1

Будем говорить, что квантовая интегрируемая модель геометризуема, если существуют топологическое пространство (схема) $X$ с алгеброй $\mathcal{O}_X$ функций на $X$, изоморфизм векторных пространств $\psi\colon\mathcal{O}_X\to V$ и изоморфизм алгебр $\tau\colon\mathcal{O}_X\to\mathcal{B}$ такие, что

$$ \begin{equation*} \psi(fg)=\tau(f)\psi(g)\quad \forall\,f,g\in\mathcal{O}_X. \end{equation*} \notag $$
Алгебра $\mathcal{O}_X$ и изоморфизмы $\psi$, $\tau$ отождествляют $\mathcal{B}$-модуль $V$ с регулярным представлением алгебры функций $\mathcal{O}_X$.

Если квантовая интегрируемая модель $(V,\mathcal{B})$ геометризована, то собственные векторы операторов алгебры $\mathcal{B}$ отождествляются с дельта-функциями на пространстве $X$, а собственные значения собственного вектора отвечают значениям функций на $X$ в соответствующей точке пространства $X$.

Наша мотивировка геометризовать алгебры Бете возникла из примеров, рассмотренных в [13], [15]. В этих примерах алгебра гамильтонианов действует на подпространстве тензорного произведения $\mathfrak{gl}_N$-модулей и отождествляется с алгеброй функций на пересечении подходящих циклов Шуберта в грассманиане. Это отождествление обнаружило неожиданную связь между теорией представлений и исчислением Шуберта.

Примеры в работах [13], [15] относятся к моделям, в которых пространство $V$ конечномерно. Не вполне ясно, как действовать, если пространство $V$ бесконечномерно. В настоящей работе мы рассматриваем пример. В нашем бесконечномерном пространстве $V$ мы выделяем семейство конечномерных подпространств $E[\mu]$, где $\mu\in\mathbb{C}$, каждое из которых инвариантно относительно действия коммутативной алгебры $\mathcal{B}$ дифференциальных операторов. Мы геометризуем каждую из пар $\bigl(E[\mu],\mathcal{B}\big|_{E[\mu]}\bigr)$ и таким образом получаем семейство топологических пространств $X[\mu]$, $\mu\in\mathbb{C}$. Далее мы замечаем, что естественные взаимосвязи между векторными пространствами $E[\mu]$ отвечают естественным взаимосвязям между топологическими пространствами $X[\mu]$. Например, оператор инволюции группы Вейля $V \to V$, возникающий в нашем примере, отождествляет пространства $E[\mu]$ и $E[-\mu]$. Мы показываем, что это отождествление отвечает естественному изоморфизму $X[\mu] \to X[-\mu]$.

Теория представлений является источником алгебр коммутирующих дифференциальных или разностных операторов. В этой статье мы обсуждаем конструкцию В. Н. Рубцова, А. В. Силантьева и Д. В. Талалаева [20]. Эта квантовая интегрируемая модель называется квантовой динамической моделью Годена. Мы изучаем тригонометрическую версию этой модели, отвечающую алгебре Ли $\mathfrak{sl}_2$, в то время как в [20] исследуется эллиптическая $\mathfrak{gl}_N$-версия.

Рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak{sl}_2$ и подалгебру Картана ${\mathfrak h}\subset \mathfrak{sl}_2$, $\dim{\mathfrak h}=1$. Для $s=1,\dots,n$ пусть $V_{m_s}$ – это неприводимый $\mathfrak{sl}_2$-модуль размерности $m_s+1$. Пусть $V=\bigotimes\limits_{s=1}^nV_{m_s}$ и

$$ \begin{equation*} V[0]=\{v\in V\mid hv=0 \ \forall\,h\in{\mathfrak h}\} \vphantom{\biggl\}} \end{equation*} \notag $$
– это подпространство нулевого веса в $V$. Подпространство $V[0]$ ненулевое, если $M=\displaystyle\sum_{s=1}^nm_s$ чётно. Рассмотрим пространство $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$ функций на ${\mathfrak h}$ со значениями в $V[0]$. Зафиксируем $z=\{z_1,\dots,z_n\}\subset \mathbb{C}^\times$. По этим данным в [20] строится семейство коммутирующих дифференциальных операторов, действующих на $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$.

Сначала вводится $(2\times 2)$-матрица

$$ \begin{equation*} \begin{bmatrix} x \partial_x & 0 \\ 0 & x \partial_x \end{bmatrix}+L(x)=[\delta_{ij}x\partial_x+L_{ij}(x)], \end{equation*} \notag $$
где $x$ – параметр, $\partial_x=\partial/\partial x$, а $L_{ij}(x)$ – некоторые специальные дифференциальные операторы на $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$, зависящие от параметра $x$. Пусть
$$ \begin{equation*} \mathcal C=\operatorname{cdet}[\delta_{ij}x\partial_x+L_{ij}(x)], \end{equation*} \notag $$
где $\operatorname{cdet}$-определитель для $(2\times 2)$-матрицы с некоммутирующими элементами определяется формулой
$$ \begin{equation*} \operatorname{cdet}\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\end{bmatrix}=ad-cb. \end{equation*} \notag $$
С использованием новой переменной $u$, $x=e^{-2\pi\sqrt{-1}\,u}$, оператор $\mathcal C$ записывается в виде
$$ \begin{equation*} \partial_u^2+C_1(x)\partial_u+C_2(x), \end{equation*} \notag $$
где $C_1(x)$, $C_2(x)$ – дифференциальные операторы на $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$, коэффициенты которых – это рациональные функции от $x$. Оказывается, что для любых $a,b\in \mathbb{C}\setminus\{z_1,\dots,z_n\}$ и $i,j=1,2$ операторы $C_i(a)$, $C_j(b)$ коммутируют. Пространство $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$ с алгеброй $\mathcal{B}$, порождённой этими коммутирующими дифференциальными операторами, называется квантовой динамической моделью Годена.

Мы показываем, что алгебра $\mathcal{B}$ порождается тригонометрическими дифференциальными KZB-операторами $H_0$, $H_1(z),\dots,H_n(z)$ (см. формулу (2.19), а также [7], [8]). KZB-оператор $H_0$ также известен как тригонометрический гамильтониан квантовой системы Калоджеро–Мозера двух частиц со спиновым пространством $V$. Оператор $H_0$ – это дифференциальный оператор второго порядка, не зависящий от параметров $z_1,\dots,z_n$.

Для произвольного $\mu\notin\mathbb{Z}$ мы определяем подпространство $E[\mu]\subset \operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$ как пространство мероморфных собственных функций оператора $H_0$ с собственным значением $\pi \sqrt{-1}\,\mu^2/2$ и предписанными полюсами. Подпространства $E[\mu]$ были введены в [6] и изучались в [8]. Имеет место соотношение $\dim E[\mu]=\dim V[0]$. Алгебра Бете $\mathcal{B}$ сохраняет пространства $E[\mu]$.

Оператор инволюции группы Вейля алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ действует на пространстве $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$ и индуцирует изоморфизм $E[\mu]\to E[-\mu]$, называемый в [6] матрицей рассеяния. Алгебра Бете $\mathcal{B}$ инвариантна относительно действия группы Вейля. Матрица рассеяния $E[\mu]\to E[-\mu]$ является изоморфизмом $\mathcal{B}$-модулей.

Процедура геометризации основывается на следующем наблюдении. Пусть $\psi\in E[\mu]$ – собственный вектор алгебры $\mathcal{B}$:

$$ \begin{equation*} C_i(x)\psi=E_i(x,\psi)\psi, \qquad i=1,2, \end{equation*} \notag $$
где $E_i(x,\psi)$ – скалярные функции собственных значений собственного вектора $\psi$. С вектором $\psi$ мы связываем скалярный дифференциальный оператор
$$ \begin{equation*} \mathcal E_\psi=\partial_u^2+E_1(x,\psi)\partial_u+E_2(x,\psi). \end{equation*} \notag $$
Оказывается, что ядро оператора $\mathcal E_\psi$ порождается двумя квазимногочленами $x^{-\mu/2}f(x)$ и $x^{\mu/2}g(x)$, где функции $f(x)$ и $g(x)$ – это многочлены степени $M/2$ со старшим коэффициентом $1$, при этом вронскиан квазимногочленов даётся формулой
$$ \begin{equation} \operatorname{Wr}\bigl(x^{-\mu/2}f(x),x^{\mu/2}g(x)\bigr)= \frac{\mu}{x}\prod_{s=1}^n(x-z_s)^{m_s}. \end{equation} \tag{1.1} $$
Это обстоятельство подсказывает, что пространство $X[\mu]$, геометризующее пару $\bigl(E[\mu],\mathcal{B}\big|_{E[\mu]}\bigr)$, есть пространство пар квазимногочленов $(x^{-\mu/2}f(x)$, $x^{\mu/2} g(x))$ с вронскианом, заданным формулой (1.1).

В данной работе мы показываем, что это действительно так, а именно, мы доказываем, что пространство функций $E[\mu]$ с коммутативной алгеброй $\mathcal{B}\big|_{E[\mu]}$ дифференциальных операторов, действующих на $E[\mu]$, изоморфно алгебре функций на пространстве $X[\mu]$ пар квазимногочленов $(x^{-\mu/2}f(x)$, $x^{\mu/2}g(x))$, вронскиан которых даётся формулой (1.1). В частности, это означает, что собственные функции алгебры $\mathcal{B}\big|_{E[\mu]}$ находятся во взаимно однозначном соответствии с точками пространства $X[\mu]$ (см. следствие 10).

Мы также показываем, что изоморфизм $E[\mu]\to E[-\mu]$, заданный матрицей рассеяния, соответствует естественному изоморфизму $X[\mu]\to X[-\mu]$, переставляющему квазимногочлены,

$$ \begin{equation*} (x^{-\mu/2}f(x),x^{\mu/2}g(x))\mapsto(x^{\mu/2}g(x),x^{-\mu/2}f(x)). \end{equation*} \notag $$

Результаты этой статьи указывают на существование тесной связи между квантовой динамической моделью Годена $(\mathcal{B},\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0])$ и пространствами пар квазимногочленов.

Было бы интересно исследовать эллиптическую версию этой связи. В эллиптическом случае пары квазимногочленов заменяются парами тета-полиномов (см. [24]), однако эллиптический KZB-оператор $H_0$ зависит от $z$ и нет очевидных аналогов семейства пространств $E[\mu]$.

Работа организована следующим образом. В разделе 2 определяется квантовая динамическая модель Годена для алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$. В разделе 3 обсуждаеются свойства пространств $E[\mu]$. В разделе 4 мы вводим квантовую тригонометрическую модель $(V[\nu],\mathcal{B}(z;\mu;V[\nu]))$ на весовом подпространстве $V[\nu]\subset V$ и показываем, что квантовая динамическая модель Годена $\bigl(E[\mu],\mathcal{B}\big|_{E[\nu]}\bigr)$ изоморфна квантовой тригонометрической модели Годена $(V[0],\mathcal{B}(z;\mu;V[0]))$ на подпространстве веса нуль. В разделе 5 описывается анзац Бете для квантовой тригонометрической модели Годена. В разделах 6 и 7 мы изучаем ядро оператора $\mathcal E_\psi$. В разделах 811 мы развиваем процедуру геометризации. Конструкции в разделах 911 аналогичны конструкциям в [13], [12].

2. Квантовая динамическая модель Годена

2.1. $\operatorname{RST}$-оператор для $\mathfrak{gl}_2$

Рассмотрим комплексную алгебру Ли $\mathfrak{gl}_2$ со стандартным базисом $e_{11}$, $e_{12}$, $e_{21}$, $e_{22}$. Пусть ${\mathfrak h} \subset \mathfrak{gl}_2$ – подалгебра Картана с базисом $e_{11}$, $e_{22}$; произвольный элемент в ${\mathfrak h}$ имеет вид $\lambda_1 e_{11}+\lambda_2 e_{22}$. Обозначим

$$ \begin{equation} \lambda:=\lambda_1-\lambda_2. \end{equation} \tag{2.1} $$
Пусть $z=\{z_1,\dots,z_n\}\subset \mathbb{C}^\times$ – множество ненулевых попарно различных чисел.

Рассмотрим $\mathfrak{gl}_2$-модули $V^1,\dots,V^n$ и их тензорное произведение $V=\bigotimes\limits_{k=1}^nV^k$. Пусть $V=\bigoplus\limits_{\nu \in {\mathfrak h}^*} V[\nu]$ – разложение в прямую сумму весовых подпространств, где $V[\nu]=\{v\in V \mid e_{jj}v=\nu (e_{jj})v, \ j=1,2\}$. В частности,

$$ \begin{equation} V[0]=\{v\in V \mid e_{11}v=e_{22}v=0\}. \end{equation} \tag{2.2} $$

Для $g\in \mathfrak{gl}_2$ обозначим $g^{(s)}=1 \otimes \cdots \otimes g \otimes \cdots\otimes 1\in \operatorname{End}(V)$, где $g$ стоит в $s$-м факторе. Элемент $e_{jk}$ действует на $V$ как $e_{jk}^{(1)}+\cdots+e_{jk}^{(n)}$.

Пусть $u$ – переменная. Введём обозначение

$$ \begin{equation} x=e^{-2\pi\sqrt{-1}\,u}. \end{equation} \tag{2.3} $$
Пусть
$$ \begin{equation*} \partial_u=\dfrac{\partial }{\partial u}\,,\qquad \partial_x=\dfrac{\partial}{\partial x}\,,\qquad \partial_{\lambda_j}=\dfrac{\partial}{\partial\lambda_j}\,. \end{equation*} \notag $$

Введём $(2\times 2)$-матрицу $\mathcal{L}=(\mathcal{L}_{ij})$,

$$ \begin{equation*} \begin{bmatrix} \pi\sqrt{-1}\,\displaystyle\sum_{s=1}^n \dfrac{z_s+x}{z_s-x}e_{11}^{(s)}+ \pi \operatorname{ctg} (\pi\lambda)e_{22} & \pi\sqrt{-1}\,\displaystyle\sum_{s=1}^n \dfrac{z_s+x}{z_s-x}e_{21}^{(s)}- \pi \operatorname{ctg} (\pi\lambda)e_{21} \\ \pi\sqrt{-1}\,\displaystyle\sum_{s=1}^n \dfrac{z_s+x}{z_s-x}e_{12}^{(s)}+ \pi \operatorname{ctg} (\pi\lambda)e_{12} & \pi\sqrt{-1}\,\displaystyle\sum_{s=1}^n \dfrac{z_s+x}{z_s-x}e_{22}^{(s)}- \pi \operatorname{ctg} (\pi\lambda) e_{11} \end{bmatrix}. \end{equation*} \notag $$
Элементы матрицы $\mathcal{L}$ – тригонометрические функции от переменных $u$ и $\lambda$ со значениями в $\operatorname{End}(V)$.

Универсальный динамический дифференциальный оператор (или $\operatorname{RST}$-оператор) определяется формулой

$$ \begin{equation} \mathcal C=\operatorname{cdet}(\delta_{jk}\partial_u- \delta_{jk}\partial_{\lambda_{j}}+\mathcal{L}_{jk}), \end{equation} \tag{2.4} $$
где $\operatorname{cdet}$-определитель $(2\times 2)$-матрицы $A=(a_{jk})$ с некоммутирующими элементами определяется формулой
$$ \begin{equation} \operatorname{cdet} A=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}. \end{equation} \tag{2.5} $$
Запишем $\operatorname{RST}$-оператор в виде
$$ \begin{equation} \mathcal C=\partial_u^2+C_1(x)\partial_u+C_2(x), \end{equation} \tag{2.6} $$
где $C_1(x)$ и $C_2(x)$ – функции переменной $x$ со значениями в пространстве линейных дифференциальных операторов по переменным $\lambda_1$, $\lambda_2$ с коэффициентами в пространстве $\operatorname{End}(V)$.

Теорема 1 [20]. Зафиксируем $z=\{z_1,\dots,z_n\}\subset \mathbb{C}^\times$. Тогда для любого $a \in \mathbb{C}\setminus\{z_1,\dots,z_n\}$ операторы $C_1(a)$, $C_2(a)$, ограниченные на подпространство $V[0]$-значных функций от $\lambda_1$, $\lambda_2$, являются линейными дифференциальными операторами по переменным $\lambda_1$, $\lambda_2$ с коэффициентами в $\operatorname{End}(V[0])$. Кроме того, для любых $a,b \in \mathbb{C}\setminus\{z_1,\dots,z_n\}$ дифференциальные операторы $C_j(a)$, $C_k(b)$, $j,k=1,2$, действующие на пространстве $V[0]$-значных функций от $\lambda_1$, $\lambda_2$, коммутируют:

$$ \begin{equation} [C_j(a),C_k(b)]=0, \qquad j,k=1,2. \end{equation} \tag{2.7} $$

Эллиптический $\operatorname{RST}$-оператор для алгебры Ли $\mathfrak{gl}_N$ введён В. Н. Рубцовым, А. В. Силантьевым и Д. В. Талалаевым в [20]. Эллиптический $\operatorname{RST}$-оператор для алгебры Ли $\mathfrak{gl}_2$ обсуждается в [24]. $\operatorname{RST}$-оператор в формуле (2.6) является тригонометрическим вырождением эллиптического $\operatorname{RST}$-оператора для $\mathfrak{gl}_2$.

2.2. Динамическая алгебра Бете пространства $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$

В настоящей работе мы изучаем $\operatorname{RST}$-оператор, отвечающий алгебре Ли $\mathfrak{sl}_2$.

Алгебра Ли $\mathfrak{sl}_2$ является подалгеброй алгебры Ли $\mathfrak{gl}_2$, которая раскладывается в прямую сумму $\mathfrak{gl}_2=\mathfrak{sl}_2 \oplus \mathbb{C}(e_{11}+e_{22})$, где $e_{11}+e_{22}$ – центральный элемент. Пусть $V^1,\dots,V^n$ – это $\mathfrak{sl}_2$-модули, рассматриваемые как модули над $\mathfrak{gl}_2$, где центральный элемент $e_{11}+e_{22}$ действует нулём. Пусть $V=\bigotimes\limits_{k=1}^n V^k$ – тензорное произведение $\mathfrak{sl}_2$-модулей.

В настоящей работе мы будем рассматривать только такие тензорные произведения.

Произвольный элемент подалгебры Картана алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ имеет вид $\lambda_1e_{11}+\lambda_2e_{22}$, где $\lambda_1+\lambda_2=0$. Мы отождествляем алгебру функций на подалгебре Картана алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ с алгеброй функций от переменной

$$ \begin{equation} \lambda:=\lambda_1-\lambda_2, \end{equation} \tag{2.8} $$
поскольку выражения вида $\lambda_1e_{11}+\lambda_2e_{22}$, где $\lambda_1+\lambda_2=0$, однозначно определяются разностью $\lambda_1-\lambda_2$.

Обозначим через $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$ пространство $V[0]$-значных мероморфных функций на подалгебре Картана алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$. Иными словами, $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$ – это пространство $V[0]$-значных мероморфных функций от переменной $\lambda$.

Каждый из коэффициентов $C_1(x)$, $C_2(x)$ $\operatorname{RST}$-оператора задаёт дифференциальный оператор, действующий на пространстве $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$. С этого момента мы рассматриваем коэффициенты $C_1(x)$, $C_2(x)$ как семейство коммутирующих дифференциальных операторов на пространстве $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$, зависящих от параметра $x$.

Коммутативная алгебра дифференциальных операторов на $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$, порождённая тождественным оператором и операторами

$$ \begin{equation*} \{C_j(a)\mid j=1,2, \ a \in \mathbb{C} \setminus\{z_1,\dots,z_n\}\}, \end{equation*} \notag $$
называется динамической алгеброй Бете пространства $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$. Отметим, что эта алгебра зависит от выбора чисел $z_1,\dots,z_n$.

2.3. Тензорное произведение $\mathfrak{sl}_2$-модулей

Зафиксируем $m \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ и обозначим через $V_{m}$ неприводимый $\mathfrak{sl}_2$-модуль со старшим весом $m$. В пространстве $V_{m}$ есть базис $v^m_0,\dots,v^m_m$ такой, что

$$ \begin{equation} (e_{11}-e_{22})v^m_k=(m-2k)v^m_k, \quad e_{21}v^m_k=(k+1)v^m_{k+1}, \quad e_{12}v^m_k=(m-k+1)v^m_{k-1}. \end{equation} \tag{2.9} $$

В дальнейшем мы рассматриваем тензорное произведение неприводимых $\mathfrak{sl}_2$-модулей:

$$ \begin{equation} V=\bigotimes_{s=1}^n V_{m_s}, \qquad m_s\in\mathbb{Z}_{> 0}. \end{equation} \tag{2.10} $$
Рассмотрим весовое разложение $V=\bigoplus\limits_{\nu\in\mathbb{Z}}V[\nu]$, где
$$ \begin{equation} V[\nu]=\{v\in V\mid (e_{11}-e_{22})v=\nu v\}. \end{equation} \tag{2.11} $$
Если пространство $V[\nu]$ ненулевое, то
$$ \begin{equation} \nu=\sum_{s=1}^n m_s-2k \end{equation} \tag{2.12} $$
для некоторого неотрицательного целого $k$. Пространство $V[0]$ ненулевое, если сумма $\displaystyle\sum_{s=1}^n m_s$ чётная.

2.4. Оператор $\mathcal A(\mu)$

Группа Вейля $W$ алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ состоит из двух элементов: тождественного отображения и инволюции $\sigma$. Проективное действие группы $W$ на $V_m$ определяется формулой

$$ \begin{equation} \sigma\colon v^m_k \mapsto (-1)^kv^m_{m-k}, \qquad k \in \{0,\dots, m\}. \end{equation} \tag{2.13} $$
Заметим, что $\sigma^2=(-1)^m$. Группа Вейля $W$ действует на тензорном произведении $V$ диагонально.

Следуя [23], введём

$$ \begin{equation} p(\mu)=\sum_{k=0}^\infty \,e_{21}^k e_{12}^k\,\frac{1}{k!}\, \prod_{j=0}^{k-1}\,\frac{1}{\mu +e_{22}-e_{11}-j}\,,\qquad \mu\in \mathbb{C}. \end{equation} \tag{2.14} $$
Действие $p(\mu)$ на $V_m$ определено корректно, поскольку только конечное множество слагаемых в правой части формулы (2.14) действует на $V_m$ нетривиально. Формула действия $p(\mu)$ на базисный вектор $v^m_k$ записывается в более симметричном виде, если заменить $\mu$ на $\mu+\nu/2-1$, где $\nu=m-2k$ – вес вектора $v^m_k$:
$$ \begin{equation} p\biggl(\mu+\frac{\nu}{2}-1\biggr) v^m_k=\prod_{j=0}^{k-1}\, \frac{\mu+m/2-j}{\mu-m/2+j}\,v^m_k \end{equation} \tag{2.15} $$
(см. [23; разд. 2.5]).

Ряд $p(\mu)$ действует на тензорном произведении $V$ стандартным образом. Введём оператор

$$ \begin{equation} \mathcal A(\mu) \colon V \to V, \quad v \mapsto \sigma p(\mu) v. \end{equation} \tag{2.16} $$
Оператор $\mathcal A(\mu)$ является мероморфной функцией от $\mu$. Для каждого $\nu$ имеет место вложение $\mathcal A(\mu)V[\nu] \subset V[-\nu]$, и $\lim_{\mu\to \infty} \mathcal A(\mu)=\sigma$. Оператор $\mathcal A(\mu)$ можно рассматривать как деформацию оператора группы Вейля $\sigma$.

Лемма 2.1. Для пространства $V=\bigotimes\limits_{s=1}^n V_{m_s}$, введённого в (2.10), обозначим $M=\displaystyle\sum_{s=1}^n m_s$. Предположим, что $\mu \notin M/2+\mathbb{Z}$. Тогда для любого $\nu$ оператор

$$ \begin{equation} \mathcal A\biggl(\mu+\frac{\nu}{2}-1\biggr)\bigg|_{V[\nu]}\colon V[\nu] \to V[-\nu] \end{equation} \tag{2.17} $$
является изоморфизмом векторных пространств. Композиция этого оператора и оператора
$$ \begin{equation} \mathcal A\biggl(-\mu-\frac{\nu}{2}+1\biggr)\bigg|_{V[-\nu]}\colon V[-\nu] \to V[\nu] \end{equation} \tag{2.18} $$
есть скалярный оператор умножения на $(-1)^M\dfrac{\mu -\nu/2}{\mu+\nu/2}$ на пространстве $V[\nu]$.

Доказательство. В разложении $V=\bigoplus\limits_m V_m$ пространства $V$ на неприводимые $\mathfrak{sl}_2$-модули $V_m$ все старшие веса $m$ имеют вид $m=M-2k$, где $k\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$. Следовательно, формула (2.15) означает, что отображение (2.17) является изоморфизмом. Второе утверждение леммы о композиции операторов доказано в [23; теорема 10]. Лемма доказана.

Замечание 1. Оператор $\mathcal A(\mu)$ является (единственным) нетривиальным элементом динамической группы Вейля пространства $V$, см. определения в [4].

2.5. KZB-операторы

Введём следующие элементы в $\mathfrak{gl}_2\otimes\mathfrak{gl}_2$:

$$ \begin{equation*} \Omega_{12}=e_{12}\otimes e_{21},\qquad \Omega_{21}=e_{21}\otimes e_{12}, \qquad \Omega_0=e_{11}\otimes e_{11}+e_{22}\otimes e_{22} \end{equation*} \notag $$
и
$$ \begin{equation*} \Omega=\Omega_0+\Omega_{12}+\Omega_{21}. \end{equation*} \notag $$
KZB-операторами называются следующие дифференциальные операторы по переменным $\lambda_1$, $\lambda_2$, действующие на пространстве $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$:
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, H_0&=\frac{1}{4\pi i}(\partial_{\lambda_1}^2+\partial_{\lambda_2}^2)+ \frac{\pi i}{4}\,\sum_{s,t=1}^n\biggl[\frac{1}{2}\Omega^{(s,t)}_0+ \frac{1}{\sin^2(\pi\lambda)}\bigl(\Omega_{12}^{(s,t)}+ \Omega_{21}^{(s,t)}\bigr)\biggr], \\ H_s(z)&=-(e_{11}^{(s)}\partial_{\lambda_1}+e_{22}^{(s)}\partial_{\lambda_2})\\ &\hphantom{={}}+ \sum_{t: t \ne s}\biggl[\pi i\,\frac{z_t+z_s}{z_t-z_s} \, \Omega^{(s,t)}- \pi \operatorname{ctg} (\pi\lambda)\bigl(\Omega_{12}^{(s,t)}- \Omega_{21}^{(s,t)}\bigr)\biggr] \end{aligned} \end{equation} \tag{2.19} $$
(ср. формулы в [8; п. 3.4]). Эллиптические KZB-операторы были введены в [7]. В формуле (2.19) рассматриваются тригонометрические вырождения эллиптических KZB-операторов.

Согласно [7] операторы $H_0,H_1(z),\dots,H_n(z)$ коммутируют и $\displaystyle\sum_{s=1}^n H_s(z)=0$.

Замечание 2. Дифференциальный оператор $H_0$ является гамильтонианом квантовой тригонометрической системы двух частиц со спиновым пространством $V$.

2.6. Коэффициенты $C_1(x)$, $C_2(x)$

Лемма 2.2. Имеет место соотношение

$$ \begin{equation} C_1(x)=\mathcal{L}^0_{11}(x)+\mathcal{L}^0_{22}(x)- \partial_{\lambda_1}-\partial_{\lambda_2}. \end{equation} \tag{2.20} $$
Следовательно, оператор $C_1(x)$ действует умножением на нуль на пространстве $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$.

Следствие 1. $\operatorname{RST}$-оператор (2.6), ограниченный на $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$, имеет вид

$$ \begin{equation} \mathcal C=\partial_u^2+C_2(x). \end{equation} \tag{2.21} $$

Теорема 2 [24]. Имеет место соотношение

$$ \begin{equation} C_2(x)=-2\pi \sqrt{-1}\,H_0 -\sum_{s=1}^n\biggl[2\pi\sqrt{-1}\,\frac{H_s(z)}{1-x/z_s}+ 4\pi^2\biggl(-\frac{c_2^{(s)}}{1-x/z_s}+ \frac{c_2^{(s)}}{(1-x/z_s)^2}\biggr)\biggr], \end{equation} \tag{2.22} $$
где $c_2=e_{11}e_{22}-e_{12}e_{21}+e_{11}$ – центральный элемент алгебры Ли $\mathfrak{gl}_2$.

Доказательство. Эта теорема является тригонометрическим вырождением своего эллиптического аналога (см. [24; теорема 4.9]).

Следствие 2. Динамическая алгебра Бете пространства $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$ порождается KZB-операторами $H_0,H_1(z),\dots,H_n(z)$ и тождественным оператором.

Заметим, что из условия коммутативности KZB-операторов и соотношений (2.21), (2.22) следует коммутативность операторов $C_2(a)$ и $C_2(b)$ для любых $a,b \in \mathbb{C}\setminus\{z_1,\dots,z_n\}$ (ср. теорему 1).

2.7. Инвариантность относительно группы Вейля

Группа Вейля действует на пространстве $V[0]$ (см. п. 2.4). Поэтому она действует и на пространстве $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$,

$$ \begin{equation} \sigma\colon \psi(\lambda) \mapsto \sigma (\psi(-\lambda)), \qquad \psi \in\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]. \end{equation} \tag{2.23} $$
Это действие продолжается на действие на пространстве $\operatorname{End}(\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0])$. А именно,
$$ \begin{equation*} \sigma\colon T \mapsto \sigma T\sigma^{-1}, \end{equation*} \notag $$
где $\sigma,T,\sigma^{-1} \in \operatorname{End}(\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0])$.

Лемма 2.3 [24]. Оператор $C_2(a) \in\operatorname{End}(\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0])$ инвариантен относительно действия группы Вейля для любого $a\in \mathbb{C}\setminus\{z_1,\dots,z_n\}$.

Доказательство. Из [7] следует, что KZB-операторы $H_0,H_1(z),\dots,H_n(z)$ инвариантны относительно действия группы Вейля. Поэтому лемма вытекает из формулы (2.22).

3. Собственные функции оператора $H_0$

3.1. Тригонометрические операторы Годена

Тригонометрическая $r$-матрица определяется формулой

$$ \begin{equation} r(x)=\frac{\Omega_+x+\Omega_-}{x-1}\,, \end{equation} \tag{3.1} $$
где $\Omega_+=\Omega_0/2+\Omega_{12}$, $\Omega_-=\Omega_0/2+\Omega_{21}$.

Тригонометрические операторы Годена зависят от числа $\mu \in \mathbb{C}$ и определяются формулами

$$ \begin{equation} \mathcal{K}_s(z,\mu)=\frac{\mu}{2}(e_{11}-e_{22})^{(s)}+\sum_{t:t \ne s} r^{(s,t)}\biggl(\frac{z_s}{z_t}\biggr), \qquad s=1,\dots,n. \end{equation} \tag{3.2} $$
Операторы $\mathcal{K}_s(z,\mu)$ действуют на пространстве $V$, сохраняют весовые подпространства $V[\nu]$ и коммутируют между собой:
$$ \begin{equation*} [\mathcal{K}_s(z,\mu),\mathcal{K}_t(z,\mu)]=0 \end{equation*} \notag $$
для любых $s$, $t$ (см. [1], [3]).

3.2. Динамическая алгебра Бете пространства $E(\mu)$

Пусть

$$ \begin{equation*} \Lambda=e^{-2\pi\sqrt{-1}\,\lambda}, \quad\text{где}\quad \lambda=\lambda_1-\lambda_2. \end{equation*} \notag $$
Введём алгебру $\mathcal{A}$ функций переменной $\lambda$, которые могут быть представлены в виде мероморфных функций от $\Lambda$ с единственным полюсом в точке $\Lambda=1$.

Для $\mu\in\mathbb{C}$ рассмотрим $\mathcal{A}$-модуль $\mathcal{A}[\mu]$, состоящий из функций вида $e^{\pi\sqrt{-1}\,\mu\lambda}f$, где $f\in\mathcal{A}$. Этот модуль инвариантен относительно дифференцирования по переменным $\lambda_1$, $\lambda_2$. Следовательно, KZB-оператор $H_0$ сохраняет пространство $\mathcal{A}[\mu]\otimes V[0]$. Произвольный элемент $\psi \in \mathcal{A}[\mu]\otimes V[0]$ имеет вид

$$ \begin{equation*} \psi(\lambda)= e^{\pi\sqrt{-1}\,\mu\lambda}\sum_{k=0}^\infty\Lambda^k\psi^k,\qquad \psi^k\in V[0]. \end{equation*} \notag $$

Теорема 3 ([6], ср. также [8]). Пусть $\mu \notin\mathbb{Z}_{>0}$. Тогда для любого ненулевого $v \in V[0]$ существует единственная функция $\psi\in\mathcal{A}[\mu]\otimes V[0]$ такая, что

$$ \begin{equation*} H_0\psi=\epsilon\psi \quad \textit{для некоторого } \epsilon\in\mathbb{C} \end{equation*} \notag $$
и $\psi^0=v$. Более того, $\epsilon=\pi\sqrt{-1}\,\mu^2/2$.

Такая функция $\psi$ обозначается $\psi_v$.

Рассмотрим векторное пространство $E[\mu]$, которое состоит из функций $\psi\in \mathcal{A}[\mu] \otimes V[0]$ таких, что

$$ \begin{equation*} H_0\psi=\pi\sqrt{-1}\,\dfrac{\mu^2}{2}\,\psi. \end{equation*} \notag $$
Более подробно об этом пространстве написано в [8; разд. 9].

Для нулевого вектора в $V[0]$ мы определяем $\psi_0$ как нулевой элемент пространства $\mathcal{A}[\mu] \otimes V[0]$.

Следствие 3. Для $\mu \notin \mathbb{Z}_{>0}$ отображение

$$ \begin{equation} V[0]\to E[\mu], \qquad v \mapsto \psi_v, \end{equation} \tag{3.3} $$
является изоморфизмом комплексных векторных пространств.

Теорема 4 [8]. Пусть $\mu \notin \mathbb{Z}_{>0}$. Тогда для $s=1,\dots,n$ KZB-операторы $H_s(z)$ сохраняют пространство $E[\mu]$. Более того, для любого $v \in V[0]$ имеет место тождество

$$ \begin{equation*} H_s(z)\psi_v=\psi_w, \end{equation*} \notag $$
где $w=-2\pi\sqrt{-1}\,\mathcal{K}_s(z,\mu)v$.

Теорема 5. Пусть $\mu \notin \mathbb{Z}_{>0}$, $V=\bigotimes\limits_{s=1}^n V_{m_s}$. Пусть $v\in V[0]$. Тогда

$$ \begin{equation*} C_2(x)\psi_v=\psi_w, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation} w=(2\pi\sqrt{-1}\,)^2\biggl[-\frac{\mu^2}{4}+\sum_{s=1}^n \biggl[\frac{m_s(m_s+2)/4+\mathcal{K}_s(z,\mu)}{1-x/z_s} -\frac{m_s(m_s+2)/4}{(1-x/z_s)^2}\biggr]\biggr]v. \end{equation} \tag{3.4} $$

Доказательство. Теорема 2 позволяет вычислить действие дифференциального оператора $C_2(X)$ на функцию $\psi_v$. Это вычисление основывается на теореме 4, а также использует тот факт, что $c_2$ действует на пространстве $V_{m_s}$ умножением на $-m_s(m_s+2)/4$. Теорема доказана.

Из теоремы 4 следует, что подпространство $E[\mu]\subset \operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$ инвариантно относительно действия динамической алгебры Бете. Ограничение динамической алгебры Бете на $E[\mu]$ называется динамической алгеброй Бете пространства $E[\mu]$ и обозначается $\mathcal{B}(z;E[\mu])$.

Отметим, что $E[\mu]$ – конечномерное векторное пространство размерности $\dim V[0]$, не зависящее от $z$, поскольку KZB-оператор $H_0$ не зависит от $z$. При этом алгебра $\mathcal{B}(z;E[\mu])$, порождённая тождественным оператором и KZB-операторами $H_1(z),\dots,H_s(z)$, зависит от $z$.

3.3. Матрица рассеяния двух частиц.

Теорема 6 [6; лемма 6.2]. Если $\mu\notin\mathbb{Z}$, то действие оператора $\sigma$ группы Вейля на пространстве $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$ (см. (2.23)) отождествляет пространства $E[\mu]$ и $E[-\mu]$. А именно, для любого $v\in V[0]$ выполняется соотношение

$$ \begin{equation} \sigma(\psi_v^\mu(-\lambda))=\psi_{\mathcal A(\mu-1)v}^{-\mu}(\lambda), \end{equation} \tag{3.5} $$
где $\psi_v^\mu(\lambda)$ – элемент пространства $E[\mu]$ с начальным членом $v$, $\psi_{\mathcal A(\mu-1)v}^{-\mu}(\lambda)$ – элемент пространства $E[-\mu]$ с начальным членом $\mathcal A(\mu-1)v$. Здесь $\mathcal A(\mu-1)\colon V[0]\to V[0]$ – это изоморфизм векторных пространств, определённый в (2.16).

Доказательство. Формула (3.5) доказана в [6] (см. [6; пример после леммы 6.2]).

4. Квантовая тригонометрическая модель Годена

4.1. Универсальный дифференциальный оператор

Пусть

$$ \begin{equation*} V=\bigotimes\limits_{s=1}^n V_{m_s}. \end{equation*} \notag $$
Введём $(2\times 2)$-матрицу
$$ \begin{equation} \mathcal M=\begin{bmatrix} \mathcal M_{11} & \mathcal M_{12} \\ \mathcal M_{21} & \mathcal M_{22} \\ \end{bmatrix}=-2 \pi \sqrt{-1}\,\sum_{s=1}^n r^{(0,s)} \biggl(\frac{x}{z_s}\biggr), \end{equation} \tag{4.1} $$
где $r(x)$ – тригонометрическая $r$-матрица, определённая в (3.1); таким образом,
$$ \begin{equation} \mathcal{M}=\begin{bmatrix} 2\pi i \displaystyle\sum_{s=1}^n\dfrac{1}{1-x/z_s}\,e_{11}^{(s)}- \pi i e_{11} & 2 \pi i\displaystyle\sum_{s=1}^n\dfrac{1}{1-x/z_s}\, e_{21}^{(s)}-2 \pi i e_{21} \\ 2\pi i\displaystyle\sum_{s=1}^n\dfrac{1}{1-x/z_s}\,e_{12}^{(s)} & 2\pi i\displaystyle\sum_{s=1}^n\dfrac{1}{1-x/z_s}\,e_{22}^{(s)}-\pi i e_{22} \end{bmatrix}. \end{equation} \tag{4.2} $$
Универсальный (тригонометрический) дифференциальный оператор с параметром $\mu\in\mathbb{C}$ определяется формулой
$$ \begin{equation} \mathcal{D}=\operatorname{cdet}\begin{bmatrix} \partial_u-\pi\sqrt{-1}\,\mu+\mathcal{M}_{11} & \mathcal{M}_{12} \\ \mathcal{M}_{21} & \partial_u+\pi\sqrt{-1}\,\mu+\mathcal{M}_{22} \end{bmatrix}. \end{equation} \tag{4.3} $$
Запишем оператор $\mathcal{D}$ в виде
$$ \begin{equation} \mathcal{D}=\partial_u^2+D_1(x)\partial_u+D_2(x), \end{equation} \tag{4.4} $$
где $D_1(x)$, $D_2(x)$ – функции от $x$ со значениями в $\operatorname{End}(V)$. Ясно, что оператор $\mathcal{D}$ коммутирует с действием подалгебры Картана алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ на пространстве $V$. В частности, это означает, что операторы $D_1(x)$ и $D_2(x)$ сохраняют весовое разложение пространства $V$.

4.2. Коэффициенты $D_1(x)$, $D_2(x)$ и операторы Годена

Теорема 7. Имеют место тождества $D_1(x)=0$ и

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \nonumber &(2\pi\sqrt{-1}\,)^{-2}D_2(x)= -\frac{\mu^2+\mu(e_{11}-e_{22})-e_{11} e_{22}}{4} \\ &\qquad+\sum_{s=1}^n\biggl[\frac{m_s(m_s+2)/4+\mathcal{K}_s(z,\mu)}{1-x/z_s}- \frac{m_s(m_s+2)/4}{(1-x/z_s)^2}\biggr]. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.5} $$

Доказательство. Теорема доказывается прямым вычислением. А именно,
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \mathcal{D}&=\biggl(\partial_u-\pi\sqrt{-1}\,\mu+2\pi\sqrt{-1}\,\sum_{s=1}^n \frac{1}{1-x/ z_s} e_{11}^{(s)}-\pi \sqrt{-1}\,e_{11}\biggr) \\ &\qquad\times\biggl(\partial_u+\pi\sqrt{-1}\,\mu+2\pi\sqrt{-1}\, \sum_{s=1}^n\frac{1}{1-x/z_s}e_{22}^{(s)}-\pi\sqrt{-1}\,e_{22}\biggr) \\ &\qquad-\biggl(2\pi\sqrt{-1}\,\sum_{s=1}^n\frac{1}{1-x/z_s}e_{12}^{(s)}\biggr) \biggl(2\pi\sqrt{-1}\,\sum_{s=1}^n \frac{1}{1-x/z_s}e_{21}^{(s)}-2\pi\sqrt{-1}\,e_{21}\biggr). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Следовательно,
$$ \begin{equation*} D_1(x)=2\pi\sqrt{-1}\,\sum_{s=1}^n \frac{e_{11}^{(s)}+e_{22}^{(s)}}{1-x/z_s}-\pi\sqrt{-1}\,(e_{11}+e_{22})=0. \end{equation*} \notag $$

Напомним, что $x=e^{-2\pi\sqrt{-1}\,u}$, поэтому $\partial_u=-2 \pi\sqrt{-1} \,x \partial_x$. Следовательно, коэффициент при $(2\pi\sqrt{-1}\,)^{-2} D_2(x)$ равен

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \nonumber -\frac{\mu^2}{4}&-\sum_{s=1}^n \frac{e_{22}^{(s)}}{(1-x/z_s)^2}+ \sum_{s=1}^n \frac{e_{22}^{(s)}}{1-x/z_s} +\frac{\mu}{2} \sum_{s=1}^n \frac{e_{11}^{(s)}-e_{22}^{(s)}}{1-x/z_s}- \frac{\mu}{4}(e_{11}-e_{22}) \\ \nonumber &+\sum_{s=1}^n \frac{e_{11}^{(s)} e_{22}^{(s)}}{(1-x/z_s)^2} +\sum_{s=1}^n \biggl(\,\sum_{t: t\ne s}\frac{e_{11}^{(s)} e_{22}^{(t)}+ e_{11}^{(t)} e_{22}^{(s)}}{1- z_s/ z_t}\biggr)\frac{1}{1-x/z_s} \\ \nonumber &-\sum_{s=1}^n \frac{e_{11}^{(s)} e_{22}^{(s)}}{1-x/z_s}- \sum_{s=1}^n \biggl( \,\sum_{t: \, t\ne s} e_{22}^{(t)} \biggr) \frac{e_{11}^{(s)}}{1-x/z_s}+\frac{1}{4} e_{11} e_{22}- \sum_{s=1}^n \frac{e_{12}^{(s)}e_{21}^{(s)}}{(1-x/z_s)^2} \\ \nonumber &-\sum_{s=1}^n\biggl(\,\sum_{t: t\ne s}\frac{e_{12}^{(s)}e_{21}^{(t)}+ e_{12}^{(t)} e_{21}^{(s)}}{1-z_s/ z_t}\biggr)\frac{1}{1-x/z_s} \\ &+\sum_{s=1}^n\frac{e_{12}^{(s)} e_{21}^{(s)}}{1-x/z_s}+\sum_{s=1}^n \biggl(\,\sum_{t: t\ne s} e_{21}^{(t)}\biggr)\frac{e_{12}^{(s)}}{1-x/z_s}\,. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.6} $$
Свободный член в (4.6) равен $-\dfrac{\mu^2+\mu(e_{11}-e_{22})-e_{11} e_{22}}{4}$ . Для $s=1,\dots,n$ коэффициент при $\dfrac{1}{1-x/z_s}$ равен
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, -c_2^{(s)}+\frac{\mu}{2}(e_{11}-e_{22})^{(s)}+\sum_{t: t \ne s} \frac{e_{12}^{(s)} e_{21}^{(t)}z_s+e_{12}^{(t)}e_{21}^{(s)}z_t}{z_s-z_t}+ e_{22}^{(s)}( e_{22}-e_{22}^{(s)}) \\ =-c_2^{(s)}+\mathcal{K}_s(z,\mu)=\frac{m_s(m_s+2)}{4}+K_s(z\mu). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Коэффициент при $\dfrac{1}{(1-x/z_s)^2}$ , $s=1,\dots,n$, равен
$$ \begin{equation*} -e_{22}^{(s)}+e_{11}^{(s)}e_{22}^{(s)}-e_{12}^{(s)}e_{21}^{(s)}= (e_{11} e_{22}-e_{12}e_{21}+e_{11})^{(s)}=c_2^{(s)}. \end{equation*} \notag $$
Теорема доказана.

Лемма 4.1. Для любых $a,b\in \mathbb{C}\setminus\{z_1,\dots,z_n\}$ операторы $D_2(a),D_2(b)\in \operatorname{End}(V)$ коммутируют. Кроме того, они коммутируют с действием на $V$ подалгебры Картана алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$.

Доказательство. Очевидно, что тригонометрические операторы Годена $\mathcal{K}_s(z,\mu)$ коммутируют с подалгеброй Картана алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$. Поэтому утверждение леммы следует из теоремы 7 и свойств коммутативности операторов $\mathcal{K}_s(z,\mu)$.

Следствие 4. Зафиксируем весовое подпространство $V[\nu] \subset V$. Тогда оператор $(2\pi\sqrt{-1}\,)^{-2}D_2(x)$, ограниченный на $V[\nu]$, имеет вид

$$ \begin{equation} -\frac{(\mu+\nu/2)^2}{4}+\sum_{s=1}^n \biggl[\frac{m_s(m_s+2)/4+\mathcal{K}_s( z,\mu)}{1-x/z_s}- \frac{m_s(m_s+2)/4}{(1-x/z_s)^2}\biggr]. \end{equation} \tag{4.7} $$

Коммутативная алгебра операторов на $V[\nu]$, порождённая тождественным оператором и операторами $\{D_2(a)\mid a\in \mathbb{C}\setminus\{z_1,\dots,z_n\}\}$, называется алгеброй Бете пространства $V[\nu]$ с параметром $\mu$ и обозначается $\mathcal{B}(z;\mu;V[\nu])$. Она порождается тождественным оператором и тригонометрическими операторами Годена $\mathcal{K}_1(z,\mu),\dots,\mathcal{K}_n(z,\mu)$.

Пара $(V[\nu],\mathcal{B}(z;\mu;V[\nu]))$ называется тригонометрической моделью Годена на пространстве $V[\nu]$.

Следствие 5. Пусть $\mu\notin \mathbb{Z}_{>0}$. Тогда изоморфизм $V[0]\to E[\mu]$ в формуле (3.3) индуцирует изоморфизм $\mathcal{B}(z;\mu;V[0])\to \mathcal{B}(z;E[\mu])$ алгебры Бете пространства $V[0]$ с параметром $\mu$ и динамической алгебры Бете пространства $E[\mu]$.

Доказательство. Следствие вытекает из сравнения формул (3.4) и (4.7).

4.3. Операторы Годена и группа Вейля.

Лемма 4.2 [23; лемма 18] (ср. [18; лемма 5.5]). Для любого весового подпространства $V[\nu]$ и произвольного вектора $v\in V[\nu]$ выполняется соотношение

$$ \begin{equation} \mathcal A\biggl(\mu+\frac{\nu}{2}-1\biggr)\mathcal{K}_s(z,\mu)v= \mathcal{K}_s(z,-\mu)\mathcal A\biggr(\mu+\frac{\nu}{2}-1\biggr)v,\qquad s=1,\dots,n. \end{equation} \tag{4.8} $$

Теорема 8. Пусть $V=\bigotimes\limits_{s=1}^n V_{m_s}$ и $M=\displaystyle\sum_{s=1}^n m_s$. Пусть $\mu \notin \dfrac{M}{2}+\mathbb{Z}$. Тогда для любого $\nu$ изоморфизм векторных пространств

$$ \begin{equation} \mathcal A\biggl(\mu+\frac{\nu}{2}-1\biggr)\bigg|_{V[\nu]}\colon V[\nu]\to V[-\nu] \end{equation} \tag{4.9} $$
индуцирует изоморфизм алгебр Бете
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \mathcal{B}(z;\mu;V[\nu]) &\to \mathcal{B}(z;-\mu;V[-\nu]), \\ T&\mapsto\mathcal A\biggl(\mu+\frac{\nu}{2}-1\biggr) T\mathcal A\biggl(\mu+\frac{\nu}{2}-1\biggr)^{-1}. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.10} $$

Доказательство. Теорема является следствием лемм 2.1 и 4.2.

4.4. Коммутативная диаграмма

Предположим, что $\mu\notin\mathbb{Z}$ и $M$ чётно. Тогда весовое подпространство $V[0]$ – ненулевое.

Рассмотрим пространство $V[0]$ как модуль над $\mathcal{B}(z;\mu;V[0])$ и то же пространство $V[0]$ как модуль над $\mathcal{B}(z;-\mu;V[0])$. Также рассмотрим $\mathcal{B}(z; E[\mu])$-модуль $E[\mu]$ и $\mathcal{B}(z;E[-\mu])$-модуль $E[-\mu]$. Следующая диаграмма описывает связь между этими модулями:

$(4.11)$
На этой диаграмме отображение
$$ \begin{equation*} (\mathcal{B}(z;\mu;V[0]),V[0]) \to (\mathcal{B}(z;-\mu;V[0]),V[0]) \end{equation*} \notag $$
– это изоморфизм модулей из теоремы 8; отображение
$$ \begin{equation*} (\mathcal{B}(z;E[\mu]),E[\mu]) \to (\mathcal{B}(z;E[-\mu]),E[-\mu]) \end{equation*} \notag $$
– это изоморфизм модулей, индуцированный инволюцией $\sigma$ (см. лемму 2.3), а отображения
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, (\mathcal{B}(z;\mu;V[0]),V[0])&\to (\mathcal{B}(z; E[\mu]),E[\mu]), \\ (\mathcal{B}(z;-\mu;V[0]),V[0])&\to (\mathcal{B}(z;E[-\mu]),E[-\mu]) \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
– это изоморфизмы из следствия 5.

Теорема 9. Диаграмма (4.11) коммутативна.

Доказательство. Теорема следует из теорем 4, 6, 8.

5. Анзац Бете

5.1. Уравнения анзаца Бете для тройки $(z;\mu;V[\nu])$

Пусть $V=\bigotimes\limits_{s=1}^n V_{m_s}$ (см. (2.10)) и $M=\displaystyle\sum_{s=1}^n m_s$. Рассмотрим ненулевое весовое подпространство $V[\nu]$ в $V$. Тогда $\nu=M-2m$ для некоторого целого неотрицательного числа $m$.

Пусть $\mu\in\mathbb{C}$ и $z=\{z_1,\dots,z_n\}\subset\mathbb{C}^\times$ – множество ненулевых попарно различных чисел (см. п. 2.1).

Введём мастер-функцию, зависящую от переменных $t=(t_1,\dots,t_m)$, $\mu$, $z$:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \Phi(t,z,\mu)&=\biggl(1-\mu+\frac{\nu}{2}\biggr)\sum_{i=1}^m \ln t_i+\sum_{s=1}^n\frac{m_s}{4}(2\mu+m_s-\nu)\ln z_s \\ &\qquad+2\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant m}\ln(t_i-t_j)- \sum_{i=1}^m\,\sum_{s=1}^n m_s\ln(t_i-z_s) \\ &\qquad+\sum_{1 \leqslant s < r \leqslant n}\frac{m_s m_r}{2}\ln(z_s-z_r). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Уравнения анзаца Бете – это уравнения на критические точки мастер-функции $\Phi(t,z,\mu)$ относительно переменных $t_1,\dots,t_m$:
$$ \begin{equation} \frac{1-\mu+\nu/2}{t_i}+\sum_{j \ne i}\frac{2}{t_i-t_j}- \sum_{s=1}^n\frac{m_s}{t_i-z_s}=0,\qquad i=1,\dots,m. \end{equation} \tag{5.1} $$
Мастер-функция $\Phi(t,z,\mu)$ является тригонометрическим вырождением эллиптической мастер-функции, рассматривавшейся в [24; п. 5] (см. также [5], [10]).

Симметрическая группа $S_m$ действует на множестве критических точек. Если $(t_1^0,\dots,t^0_m;z;\mu)$ – решение уравнений анзаца Бете, то для любой перестановки $\rho\in S_m$ точка $\bigl(t_{\rho(1)}^0,\dots,t^0_{\rho(m)};z;\mu\bigr)$ также является решением.

5.2. Векторы Бете

Пусть

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \mathcal{C}=\{\ell=(\ell_1,\dots,\ell_n)\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}\mid \ell_s\leqslant m_s,\,\ell_1+\cdots+\ell_n=m\}, \\ \omega_{\ell}(t,z)=\operatorname{Sym}\biggl[\,\prod_{s=1}^n\, \prod_{i=\ell_1+\cdots+\ell_{s-1}+1}^{\ell_1+\cdots+\ell_s} \frac{1}{t_i-z_s}\biggr], \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
где $\operatorname{Sym}f(t_1,\dots,t_m)= \displaystyle\sum_{\rho \in S_m}f(t_{\rho(1)},\dots,t_{\rho(m)})$. Рассмотрим весовую функцию
$$ \begin{equation} \omega(t,z)=\sum_{\ell \in \mathcal{C}}\omega_{\ell}(t,z) v^{m_1}_{\ell_1}\otimes\cdots\otimes v^{m_n}_{\ell_n} \end{equation} \tag{5.2} $$
(см. п. 2.3). Об этой функции см. [18], а также [8], [10], [21].

Отметим, что $\omega(t,z)$ – симметрическая функция переменных $t_1,\dots,t_m$.

Если $(t^0;z;\mu)$ – решение уравнений анзаца Бете (5.1), то вектор $\omega(t^0,z)$ называется вектором Бете.

Теорема 10 [16], [25]. Пусть $(t^0;z;\mu)$ есть решение уравнений анзаца Бете (5.1). Тогда вектор Бете $\omega(t^0,z)$ – ненулевой.

Теорема 11 [5], [8] (ср. [19]). Пусть $(t^0;z;\mu)$ есть решение уравнений анзаца Бете (5.1). Тогда вектор Бете $\omega(t^0,z)$ является собственным вектором тригонометрических операторов Годена:

$$ \begin{equation*} \mathcal{K}_s(z,\mu)\omega(t^0,z)= z_s\,\frac{\partial \Phi}{\partial z_s}(t^0,z,\mu)\omega(t^0,z),\qquad s=1,\dots,n. \end{equation*} \notag $$

Введём обозначение

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \nonumber k_s(t^0,z,\mu)&=z_s\,\frac{\partial \Phi}{\partial z_s}(t^0,z,\mu) \\ &=\frac{m_s}{2}\biggl[\biggl(\mu-\frac{\nu}{2}+\frac{m_s}{2}\biggr)+ \sum_{p: p \ne s} m_p \frac{z_s}{z_s-z_p}+ 2\sum_{i=1}^m\frac{z_s}{t_i^0-z_s}\biggr]. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.3} $$

5.3. Векторы Бете и коэффициент $D_2(x)$.

Лемма 5.1. Пусть $(t^0;z;\mu)$ есть решение уравнений анзаца Бете (5.1). Тогда вектор Бете $\omega(t^0,z)$ является собственным для всех операторов алгебры Бете $\mathcal{B}(z;\mu;V[\nu])$. В частности, оператор $D_2(x)$ действует на $\omega(t^0,z)$ умножением на скаляр

$$ \begin{equation} (2\pi\sqrt{-1}\,)^2\biggl[-\frac{(\mu+\nu/2)^2}{4}+\sum_{s=1}^n \biggl[\frac{m_s(m_s+2)/4+k_s(t^0,z,\mu)}{1-x/z_s} -\frac{m_s(m_s+2)/4}{(1-x/z_s)^2}\biggr]\biggr]. \end{equation} \tag{5.4} $$

Доказательство. Лемма вытекает из теоремы 11 и следствия 4.

Для решения $(t^0;z;\mu)$ уравнений анзаца Бете (5.1) мы вводим фундаментальный дифференциальный оператор

$$ \begin{equation} \mathcal{E}_{t^0;z;\mu}=\partial_u^2+E_2(x,t^0,z,\mu), \end{equation} \tag{5.5} $$
где функция $E_2(x,t^0,z,\mu)$ приведена в (5.4).

5.4. Базис из векторов Бете

Метод анзаца Бете – это метод строить собственные векторы коммутирующих операторов, в качестве примера см. лемму 5.1. Стандартная проблема состоит в том, чтобы определить, образуют ли построенные собственные векторы базис в пространстве действия этих операторов. В случае леммы 5.1 ответ утвердительный.

Лемма 5.2. Пусть $\mu\notin \nu/2+\mathbb{Z}_{>0}$. Тогда для $z=\{z_1,\dots,z_n\}$ общего положения множество решений $(t^0;z;\mu)$ системы уравнений (5.1) таково, что соответствующие им векторы Бете $\omega(t^0,z,\mu)$ образуют базис в пространстве $V[\nu]$.

Доказательство. Общность положения в лемме 5.2 означает, что множество точек $z$ общего положения является открытым по Зарискому множеством в пространстве всех точек. Доказательство леммы аналогично доказательству в [22; теорема 8] (ср. [17; п. 4.4], [18; п. 5.4], [11; п. 10.6]).

6. Функция $w(x)$ в ядре оператора $\mathcal{E}_{t^0;z;\mu}$

Пусть $(t^0;z;\mu)$ есть решение уравнений анзаца Бете (5.1), где $t^0=(t^0_1,\dots,t^0_m)$. Определим функции

$$ \begin{equation} y(x)=\prod_{i=1}^m (x- t^0_i), \qquad w(x)=y(x) x^{(\nu/2-\mu)/2}\prod_{s=1}^n(x-z_s)^{-m_s/2}. \end{equation} \tag{6.1} $$

Теорема 12. Оператор $\mathcal{E}_{t^0;z;\mu}$ записывается в виде

$$ \begin{equation} \mathcal{E}_{t^0;z;\mu}=\bigl(\partial_u+(\ln w)'\bigr) \bigl(\partial_u-(\ln w)'\bigr), \end{equation} \tag{6.2} $$
где $'=\partial/\partial u$. Иными словами,
$$ \begin{equation} E_2(x,t^0,z,\mu)=-(\ln w)''-((\ln w)')^2. \end{equation} \tag{6.3} $$

Замечание 3. Для $\nu=0$ теорема 12 является тригонометрическим вырождением своего эллиптического аналога (см. [24; теорема 5.3]).

Доказательство. Так как $x=e^{-2\pi \sqrt{-1}u}$ (см. (2.3)), то $\partial_u=-2\pi\sqrt{-1}\,x \partial_x$. Следовательно,
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, (\ln w)'&=-2\pi\sqrt{-1}\,\biggl[-\frac{\nu/2+\mu}{2}+\sum_{i=1}^m \frac{t^0_i}{x-t^0_i}-\frac{1}{2}\sum_{s=1}^n\frac{z_s m_s}{x-z_s}\biggr], \\ (\ln w)''&=(2\pi\sqrt{-1}\,)^2 \biggl[-\sum_{i=1}^m\frac{t^0_i}{x-t^0_i}- \sum_{i=1}^m\frac{(t^0_i)^2}{(x-t^0_i)^2}\\ &\qquad\qquad\qquad\;+ \frac{1}{2}\sum_{s=1}^n\frac{z_s m_s}{x-z_s}+ \frac{1}{2}\sum_{s=1}^n\frac{z_s^2 m_s}{(x-z_s)^2}\biggr]. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Поэтому $(2\pi\sqrt{-1}\,)^{-2}[-(\ln w)''-((\ln w)')^2]$ равно
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^m \frac{t^0_i}{x-t^0_i}+ \sum_{i=1}^m \frac{(t^0_i)^2}{(x-t^0_i)^2} -\frac{1}{2} \sum_{s=1}^n \frac{z_s m_s}{x-z_s}- \frac{1}{2} \sum_{s=1}^n\frac{z_s^2 m_s}{(x-z_s)^2} \\ &\qquad-\frac{1}{4}\biggl(\mu+\frac{\nu}{2}\biggr)^2- \sum_{i=1}^m\frac{(t_i^0)^2}{(x-t^0_i)^2}- 2\sum_{i=1}^m\,\sum_{j:j \ne i}\frac{t^0_it^0_j}{t^0_i-t^0_j}\, \frac{1}{x-t^0_i} \\ &\qquad-\frac{1}{4} \sum_{s=1}^n \frac{z_s^2 m_s^2}{(x-z_s)^2}- \frac{1}{2}\sum_{s=1}^n\,\sum_{p:p \ne s}\frac{z_s z_pm_s m_p}{z_s-z_p}\, \frac{1}{x-z_s}+\biggl(\mu+\frac{\nu}{2}\biggr) \sum_{i=1}^m \frac{t^0_i}{x-t^0_i} \\ &\qquad-\frac{1}{2}\biggl(\mu+\frac{\nu}{2}\biggr)\sum_{s=1}^n \frac{z_s m_s}{x-z_s}+\sum_{i=1}^m\,\sum_{s=1}^n \frac{t^0_i z_s m_s}{t^0_i-z_s}\,\frac{1}{x-t^0_i}- \sum_{i=1}^m\,\sum_{s=1}^n\frac{t^0_i z_s m_s}{t^0_i-z_s}\,\frac{1}{x-z_s}\,. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Для каждого $i=1,\dots,m$ коэффициент при $\dfrac{1}{(x-t^0_i)^2}$ в приведённом выше выражении равен нулю. Коэффициент при $\dfrac{1}{x-t^0_i}$ равен
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\biggl(\mu+\frac{\nu}{2}+1\biggr)t^0_i- \sum_{j:j \ne i}\frac{2t^0_it^0_j}{t^0_i-t^0_j}+ \sum_{s=1}^n\frac{t^0_i z_sm_s}{t^0_i-z_s} \\ &\qquad=t^0_i\biggl[\mu+\frac{\nu}{2}+1+ 2\sum_{j:j \ne i} \frac{t^0_j-t^0_i+t^0_i}{t^0_j-t^0_i}- \sum_{s=1}^n \frac{(z_s-t^0_i+t^0_i)m_s}{z_s-t^0_i}\biggr] \\ &\qquad=t^0_i\biggl[\mu+\frac{\nu}{2}+1+2(m-1)+\sum_{j:j \ne i} \frac{2t^0_i}{t^0_j-t^0_i}-\sum_{s=1}^n m_s- \sum_{s=1}^n\frac{t^0_i m_s}{z_s-t^0_i}\biggr] \\ &\qquad=-(t^0_i)^2\biggl[\frac{1-\mu+\nu/2}{t^0_i}+ \sum_{j:j \ne i}\frac{2}{t^0_i-t^0_j}- \sum_{s=1}^n\frac{m_s}{t^0_i-z_s}\biggr]=0. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Последнее равенство следует из уравнений анзаца Бете (5.1). Для каждого $s=1,\dots,n$ коэффициент при $\dfrac{1}{(1-x/z_s)^2}$ равен $-\dfrac{m_s(m_s+2)}{4}$ . Коэффициент при $\dfrac{1}{1-x/z_s}$ равен
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\frac{1}{2}m_s+\frac{1}{2} m_s\sum_{p:p \ne s}\frac{z_p m_p}{z_s-z_p}+ \frac{1}{2}\biggl(\mu+\frac{\nu}{2}\biggr)m_s+ \sum_{i=1}^m \frac{t^0_i m_s}{t^0_i-z_s} \\ &\qquad=\frac{m_s}{2}\biggl[1+\mu+\frac{\nu}{2}- \sum_{p:p \ne s}\frac{(z_p-z_s+z_s)m_p}{z_p-z_s}+ 2\sum_{i=1}^m\frac{t^0_i-z_s+z_s}{t^0_i-z_s}\biggr] \\ &\qquad=\frac{m_s}{2}\biggl[1+\mu+\frac{\nu}{2}-\sum_{p \ne s} m_p- \sum_{p:p \ne s}\frac{z_s m_p}{z_p-z_s}+2\sum_{i=1}^m1+ 2\sum_{i=1}^m\frac{z_s}{t^0_i-z_s}\biggr] \\ &\qquad=\frac{m_s}{2}\biggl[\biggl(1+\mu-\frac{\nu}{2}+m_s\biggr)+ \sum_{p:p \ne s}\frac{z_s m_p}{z_s-z_p}+ 2\sum_{i=1}^m\frac{z_s}{t^0_i-z_s}\biggr] \\ &\qquad=\frac{m_s(m_s+2)}{4}+\frac{m_s}{2}\biggl[\biggl(\mu-\frac{\nu}{2}+ \frac{m_s}{2}\biggr)+\sum_{p:p \ne s}m_p \frac{z_s}{z_s-z_p}+ 2\sum_{i=1}^m \frac{z_s}{t^0_i-z_s}\biggr] \\ &\qquad=\frac{m_s(m_s+2)}{4}+k_s(t^0,z,\mu), \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $k_s(t^0,z,\mu)$ определено в (5.3). Следовательно, $E_2=-(\ln w)''-((\ln w)')^2$. Теорема доказана.

Следствие 6. Функция $w(x)$ лежит в ядре оператора $\mathcal{E}_{t^0;z;\mu}$.

7. Функция $\widetilde w(x)$ в ядре оператора $\mathcal E_{t^0;z;\mu}$

7.1. Вронскиан

Вронскианом двух функций $f(a)$ и $g(a)$ называется функция

$$ \begin{equation} \operatorname{Wr}_a(f,g)=f\,\frac{d g}{d a}-\frac{d f}{d a}g. \end{equation} \tag{7.1} $$
Для любой функции $h(a)$ имеет место соотношение
$$ \begin{equation} \operatorname{Wr}_a(hf,hg)=h^2\operatorname{Wr}_a(f,g). \end{equation} \tag{7.2} $$

7.2. Вронскиан и уравнения анзаца Бете

Лемма 7.1. (i) Предположим, что $\mu\notin \nu/2+\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$. Пусть $(t^0;z;\mu)$ есть решение уравнений анзаца Бете (5.1) и $y(x)=\prod\limits_{i=1}^m(x-t^0_i)$. Тогда существует единственный многочлен $\widetilde y(x)$ степени $M-m$ со старшим коэффициентом $1$ такой, что

$$ \begin{equation} \operatorname{Wr}_x\bigl(y(x),x^{\mu-\nu/2} \widetilde y(x)\bigr)= \operatorname{const}x^{\mu-\nu/2-1}\prod_{s=1}^n (x-z_s)^{m_s}, \end{equation} \tag{7.3} $$
где $\operatorname{const}$ – это ненулевая константа.

(ii) Пусть $\mu\ne \nu/2$. Предположим, что у многочлена $y(x)=\prod_{i=1}\limits^m(x-t^0_i)$ все корни различны и $y(z_s)\ne 0$, $s=1,\dots,n$. Допустим, что существует многочлен $\widetilde y(x)$ такой, что выполнено равенство (7.3). Тогда $(t^0_1;\dots;t^0_m;z;\mu)$ является решением уравнений анзаца Бете (5.1).

Доказательство. См. [18; теорема 3.2, следствие 3.3].

7.3. Функция $\widetilde w(x)$

Пусть $(t^0;z;\mu)$ есть решение уравнений анзаца Бете (5.1). Напомним, что $\mathcal{E}_{t^0;z;\mu}$ – фундаментальный дифференциальный оператор (см. (5.5)) и

$$ \begin{equation*} w(x)=y(x)x^{(\nu/2-\mu)/2} \prod_{s=1}^n(x-z_s)^{-m_s/2}, \end{equation*} \notag $$
где $y(x)=\prod\limits_{i=1}^m(x-t^0_i)$ (см. (6.1)).

Теорема 13. Пусть $\mu\notin \nu/2+\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$. Тогда существует единственный многочлен $\widetilde y(x)$ степени $M-m$ со старшим коэффициентом $1$ такой, что функция

$$ \begin{equation} \widetilde w(x)=\widetilde y(x)x^{(\mu-\nu/2)/2} \prod_{s=1}^n(x-z_s)^{-m_s/2} \end{equation} \tag{7.4} $$
лежит в ядре оператора $\mathcal{E}_{t^0;z;\mu}$. Функции $w(x)$, $\widetilde w(x)$ порождают ядро оператора $\mathcal{E}_{t^0;z;\mu}$.

Доказательство. Дифференциальный оператор $\mathcal{E}_{t^0;z;\mu}$, определённый соотношением (5.5), не содержит члена первого порядка. Поэтому ядро $\mathcal{E}_{t^0;z;\mu}$ состоит из функций $\widetilde w(x)$, удовлетворяющих соотношению
$$ \begin{equation} \operatorname{Wr}_u(w(x),\widetilde w(x))=\operatorname{const}. \end{equation} \tag{7.5} $$
Согласно лемме 7.1 существует единственный многочлен $\widetilde y(x)$ степени $M-m$ со старшим коэффициентом $1$ такой, что выполняется равенство (7.3). Поделим обе части формулы (7.3) на $x^{\mu-\nu/2}\prod\limits_{s=1}^n(x-z_s)^{m_s}$ и получим
$$ \begin{equation} \operatorname{Wr}_x\biggl(y(x)x^{\frac{\nu/2-\mu}{2}} \prod_{s=1}^n(x-z_s)^{-\frac{m_s}{2}},\widetilde y(x)x^{\frac{\mu-\nu/2}{2}} \prod_{s=1}^n(x-z_s)^{-\frac{m_s}{2}}\biggr)=\operatorname{const}x^{-1}. \end{equation} \tag{7.6} $$
Напомним, что $x=e^{-2\pi\sqrt{-1}\,u}$, поэтому $\partial_u=-2\pi\sqrt{-1}\,x\partial_x$. Таким образом, формула (7.5) следует из формулы (7.6). Теорема доказана.

7.4. Уравнения анзаца Бете для троек $(z;\mu;V[\nu])$ и $(z;-\mu;V[-\nu])$

Лемма 7.2. Предположим, что $\mu\notin \nu/2+\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$. Пусть $(t^0;z;\mu)$ является решением уравнений анзаца Бете (5.1), отвечающих тройке $(z;\mu;V[\nu])$ (см. п. 5.1). Пусть

$$ \begin{equation*} \widetilde y(x)=\prod_{i=1}^{M-m}(x-\widetilde t^{\,0}_i) \end{equation*} \notag $$
– многочлен из теоремы 13. Если корни многочлена $\widetilde y(x)$ различны и $\widetilde y(z_s)\ne 0$, $s=1,\dots,n$, то $(\widetilde t^{\,0}_1,\dots,\widetilde t^{\,0}_{M-m};z;-\mu)$ является решением уравнений анзаца Бете (5.1), отвечающих тройке $(z;-\mu;V[-\nu])$.

Доказательство. Перепишем уравнение (7.3) в виде
$$ \begin{equation} \operatorname{Wr}_x (x^{-\mu+\nu/2}y(x), \widetilde y(x))= \operatorname{const} x^{-\mu+\nu/2-1}\prod_{s=1}^n (x-z_s)^{m_s}. \end{equation} \tag{7.7} $$
Поскольку $-\nu=-M+2m=M-2(M-m)$, лемма вытекает из пункта (ii) леммы 7.1.

Теорема 14 [18; теорема 5.7]. Если выполнены условия леммы 7.2, то векторы Бете $\omega(t^0,z,\mu) \in V[\nu]$, $\omega(\widetilde t^{\,0},z,-\mu) \in V[-\nu]$ удовлетворяют соотношению

$$ \begin{equation} \mathcal{A}\biggl(\mu+\frac{\nu}{2}-1\biggr)\omega(t^0,z,\mu)= \operatorname{const}\omega(\widetilde t^{\,0},z,-\mu), \end{equation} \tag{7.8} $$
где $\operatorname{const}$ – это ненулевая константа.

Следствие 7. Предположим, что выполнены условия леммы 7.2. Тогда для каждого $s=1,\dots,n$ собственное значение оператора $\mathcal{K}_s(z,\mu)$ на векторе $\omega(t^0,z,\mu)$ равно собственному значению оператора $\mathcal{K}_s(z,-\mu)$ на векторе $\omega(\widetilde t^{\,0},z,\mu)$.

Доказательство. Следствие вытекает из леммы 4.2 и теоремы 8.

8. Операторы, сопряжённые к $\mathcal{D}$ и $\mathcal{E}_{\,t^0;z;\mu}$

8.1. Оператор, сопряжённый к $\mathcal{D}$

Пусть $\mathcal{D}=\partial_u^2+D_2(x)$ – универсальный дифференциальный оператор, введённый в (4.3), где коэффициент $D_2(x)$ вычисляется по формуле (4.5). Рассмотрим оператор

$$ \begin{equation} \mathcal{D}^{c}=\frac{1}{(2\pi\sqrt{-1}\,x)^2}\,\prod_{s=1}^n(x-z_s)^{m_s/2} \cdot \mathcal{D} \cdot \prod_{s=1}^n (x-z_s)^{-m_s/2}, \end{equation} \tag{8.1} $$
где $c$ в верхнем индексе означает сопряжение.

Теорема 15. Оператор $\mathcal{D}^{c}$ равен

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \nonumber &\partial_x^2+\biggl[\frac{1}{x}-\sum_{s=1}^n \frac{m_s}{x-z_s}\biggr] \partial_x-\frac{1}{x}\sum_{s=1}^n\frac{m_s/2}{x-z_s}+ \sum_{s=1}^n\frac{m_s(m_s+2)/4}{(x-z_s)^2} \\ \nonumber &\qquad+\sum_{s \ne p}\frac{m_s m_p/4}{(x-z_s)(x-z_p)}- \frac{\mu^2+\mu(e_{11}-e_{22})-e_{11}e_{22}}{4x^2} \\ &\qquad-\frac{1}{x^2}\sum_{s=1}^n \biggl[z_s\frac{m_s(m_s+2)/4+\mathcal{K}_s(z,\mu)}{x-z_s}+ z_s^2\,\frac{m_s(m_s+2)/4}{(x-z_s)^2}\biggr]. \end{aligned} \end{equation} \tag{8.2} $$

Доказательство. Напомним, что $x=e^{-2\pi\sqrt{-1}\,u}$, поэтому
$$ \begin{equation*} \partial_u=-2\pi\sqrt{-1}\,x \partial_x \quad \text{и}\quad \partial_u^2=(2\pi\sqrt{-1}\,)^2 (x\partial_x+x^2\partial_x^2). \end{equation*} \notag $$
Обозначим $f=\prod\limits_{s=1}^n(x-z_s)^{-m_s/2}$. Тогда
$$ \begin{equation*} f'=-\sum_{s=1}^n\frac{m_s/2}{x-z_s}f \end{equation*} \notag $$
и
$$ \begin{equation*} f''=\biggl(\,\sum_{s=1}^n\frac{m_s^2/4}{(x-z_s)^2}+ \sum_{s \ne p}\frac{m_s m_p/4}{(x-z_s)(x-z_p)}+ \sum_{s=1}^n\frac{m_s/2}{(x-z_s)^2}\biggr)f, \end{equation*} \notag $$
где $'=\partial/\partial x$. Следовательно,
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \mathcal{D}^{c}&=\frac{1}{x^2}f^{-1}\biggl[x^2 \partial_x^2+ x\partial_x+\frac{1}{(2\pi\sqrt{-1}\,)^2}D_2(x)\biggr] f \\ &=\frac{1}{x^2}f^{-1}\biggl[x^2(f\partial_x^2+2f'\partial_x+f'')+ x(f \partial_x+f')+\frac{1}{(2\pi\sqrt{-1}\,)^2}D_2(x)f\biggr] \\ &=\partial_x^2+\biggl[2f^{-1} f'+\frac{1}{x}\biggr]\partial_x+ \biggl[ f^{-1} f''+\frac{1}{x} f^{-1} f'+ \frac{1}{x^2}\,\frac{1}{(2\pi\sqrt{-1}\,)^2}D_2(x)\biggr], \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
что даёт формулу (8.2). Теорема доказана.

8.2. Оператор, сопряжённый к $\mathcal{E}_{\,t^0;z;\mu}$

Аналогично сопряжению оператора $\mathcal{D}$ мы сопрягаем оператор $\mathcal{E}_{t^0,z,\mu}$ и рассматриваем новый дифференциальный оператор

$$ \begin{equation} \mathcal{E}_{t^0;z;\mu}^c=\frac{1}{(2\pi\sqrt{-1}\,x)^2}\, \prod_{s=1}^n (x-z_s)^{m_s/2} \cdot\mathcal{E}_{t^0;z;\mu} \cdot \prod_{s=1}^n (x-z_s)^{-m_s/2}. \end{equation} \tag{8.3} $$

Лемма 8.1. Ядро оператора $\mathcal{E}_{\,t^0;z;\mu}^c$ порождается квазимногочленами

$$ \begin{equation} x^{(\nu/2-\mu)/2}y(x), \qquad x^{(\mu-\nu/2)/2}\widetilde y(x), \end{equation} \tag{8.4} $$
где $y(x)$ – многочлен степени $m$ со старшим коэффициентом $1$, определённый в (6.1), а $\widetilde y(x)$ – многочлен степени $M-m$ со старшим коэффициентом $1$ из теоремы 13.

Лемма 8.2. Предположим, что выполнены условия леммы 7.2. Пусть $(t^0;z;\mu)$ является решением уравнений анзаца Бете (5.1), отвечающих тройке $(z;\mu;V[\nu])$. Предположим, что корни $\widetilde t^{\,0}_1,\dots,\widetilde t^{\,0}_{M-m}$ многочлена $\widetilde y(x)$ из леммы 7.2 таковы, что $(\widetilde t^{\,0}_1,\dots,\widetilde t^{\,0}_{M-m};z;-\mu)$ является решением уравнений анзаца Бете (5.1), отвечающих тройке $(z;-\mu;V[-\nu])$. Тогда

$$ \begin{equation} \mathcal{E}_{\,\widetilde t^{\,0};z;-\mu}^c= \mathcal{E}_{\,t^0;z;\mu}^c. \end{equation} \tag{8.5} $$

9. Пространство $V$-значных функций от $n$ переменных

9.1. Пространство $V_1^{\otimes n}[\nu]$

Рассмотрим неприводимый двумерный $\mathfrak{sl}_2$-модуль $V_1$ с базисом $v^1_0$, $v^1_1$ (см. (2.9)). В дальнейшем мы предполагаем, что пространство $V$ – это тензорная степень $V_1$:

$$ \begin{equation} V= V_1^{\otimes n}, \quad \text{где } n>1. \end{equation} \tag{9.1} $$
В пространстве $V$ есть базис, состоящий из векторов
$$ \begin{equation*} v_I=v_{i_1}^1\otimes\cdots\otimes v_{i_n}^1, \end{equation*} \notag $$
каждый из которых отвечает разбиению $I=(I_1,I_2)$ множества $\{1,\dots,n\}$, где $i_j=0$, если $j\in I_1$, и $i_j=1$, если $j\in I_2$. Рассмотрим весовое разложение $V=\bigoplus\limits_{m=0}^n V[n-2m]$, где $V[n-2m]$ – это пространство размерности $\begin{pmatrix} n \\ m\end{pmatrix}$ с базисом $\{v_I\mid I=(I_1,I_2),\ |I_1|=m,\ |I_2|=n-m\}$.

Введём обозначения $\nu=n-2m$, $\ell=n-m$, так что $ m+\ell=n$.

9.2. Пространство $\mathcal{V}^{S}$

Пусть $z=(z_1,\dots,z_n)$ – переменные. Симметрическая группа $S_n$ действует на алгебре $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]$, переставляя переменные. Пусть $\sigma_s(z)$, $s=1,\dots,n$, – это $s$-й элементарный симметрический многочлен от переменных $z_1,\dots, z_n$. Алгебра симметрических многочленов $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$ – это свободная полиномиальная алгебра с образующими $\sigma_1(z),\dots,\sigma_n(z)$.

Рассмотрим пространство $\mathcal{V}$ многочленов от переменных $z_1,\dots,z_n$ с коэффициентами в $V_1^{\otimes n}$:

$$ \begin{equation*} \mathcal{V}=V_1^{\otimes n}\otimes \mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]. \end{equation*} \notag $$
Симметрическая группа $S_n$ действует на $\mathcal{V}$, одновременно переставляя факторы в $V_1^{\otimes n}$ и переменные $z_1,\dots,z_n$:
$$ \begin{equation*} \rho(v_1\otimes\cdots\otimes v_n\otimes p(z_1,\dots,z_n))= v_{(\rho^{-1})(1)}\otimes\cdots\otimes v_{(\rho^{-1})(n)} \otimes p(z_{\rho(1)},\dots,z_{\rho(n)}), \end{equation*} \notag $$
где $\rho\in S_n$. Определим $\mathcal{V}^S$ как подпространство в $\mathcal{V}$, состоящее из многочленов, инвариантных относительно действия $S_n$.

Лемма 9.1 [13]. Пространство $\mathcal{V}^S$ – это свободный $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$-модуль ранга $2^n$.

Введём градуировку на $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]$, полагая $\deg z_s=1$ для любого $s=1,\dots, n$. Введём градуировку на пространстве $\mathcal{V}$, определив $\deg(v \otimes p)=\deg p$, где $v \in V_1^{\otimes n}$ и $p\in\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]$. Градуировка на $\mathcal{V}$ индуцирует градуировку на пространстве $\operatorname{End}(\mathcal{V})$.

Алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2\subset\mathfrak{gl}_2$ естественно действуют на пространстве $\mathcal{V}^S$. Имеет место весовое разложение

$$ \begin{equation*} \mathcal{V}^S=\bigoplus_{m=0}^n \mathcal{V}^S[n-2m],\qquad \mathcal{V}^S[n-2m]=(V[n-2m]\otimes\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n])^{S}. \end{equation*} \notag $$

Пусть $\mathscr{M}$ – это $\mathbb{Z}_{>0}$-градуированное пространство с конечномерными однородными компонентами. Пусть $\mathscr{M}_j\subset \mathscr{M}$ – однородная компонента степени $j$. Формальный степенной ряд по переменной $\alpha$, $ \operatorname{ch} _{\mathscr{M}}(\alpha)=\displaystyle\sum_{j=0}^\infty(\dim \mathscr{M}_j)\alpha^j$, называется градуированным характером пространства $\mathscr{M}$.

Лемма 9.2 [12]. Пространство $\mathcal{V}^S[n-2m]$ – это свободный $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$- модуль ранга $\displaystyle\binom{n}{m}$ и

$$ \begin{equation} \operatorname{ch} _{\mathcal{V}^S[n-2m]}(\alpha)=\prod_{i=1}^m \frac{1}{1-\alpha^i}\cdot \prod_{j=1}^{n-m}\frac{1}{1-\alpha^j}\,. \end{equation} \tag{9.2} $$

9.3. Алгебра Бете пространства $\mathcal{V}^S[\nu]$

Пусть $\mathcal{D}^c$ – определённый в (8.2) дифференциальный оператор, действующий на пространстве $V=\bigotimes\limits_{s=1}^nV_{m_s}$и зависящий от параметра $\mu\in \mathbb{C}$. В случае $V=V_1^{\otimes n}$ оператор $\mathcal{D}^c$ имеет вид

$$ \begin{equation} \mathcal F=\partial_x^2+F_1(x)\partial_x+F_2(x), \end{equation} \tag{9.3} $$
где
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, F_1(x)&=\frac{1}{x}-\sum_{s=1}^n \frac{1}{x-z_s}\,, \\ F_2(x)&=-\frac{1}{x}\sum_{s=1}^n\frac{1/2}{x-z_s}+ \sum_{s=1}^n\frac{3/4}{(x-z_s)^2}+\sum_{s \ne p} \frac{1/4}{(x- z_s)(x- z_p)} \\ &\qquad-\frac{\mu^2+\mu (e_{11}-e_{22})-e_{11} e_{22}}{4x^2} \\ &\qquad-\frac{1}{x^2}\sum_{s=1}^n \biggl[z_s\frac{3/4+\mathcal{K}_s(z,\mu)}{x-z_s}+ z_s^2\,\frac{3/4}{(x-z_s)^2}\biggr]. \end{aligned} \end{equation} \tag{9.4} $$
В формуле (8.2) $\{z_1,\dots,z_n\}$ было подмножеством в $\mathbb{C}^\times$. С этого момента мы рассматриваем $z_1,\dots,z_n$ как независимые переменные.

Оператор $\mathcal{F}$, определённый формулами (9.3), (9.4), в которых $z_1,\dots,z_n$ – переменные, называется универсальным дифференциальным оператором пространства $\mathcal{V}^S$ с параметром $\mu\in\mathbb{C}$.

Лемма 9.3 (ср. [13; п. 2.7]). Разложения функций $F_1(x)$ и $F_2(x)$ в ряд Лорана в бесконечности имеют вид

$$ \begin{equation} F_1(x)=\sum_{j=1}^\infty F_{1j} x^{-j},\qquad F_2 (x)=\sum_{j=2}^\infty F_{2j} x^{-j}, \end{equation} \tag{9.5} $$
где
$$ \begin{equation*} F_{11}=1-n,\qquad F_{1j}=- \displaystyle\sum_{s=1}^n z_s^{j-1} \quad \textit{для } j\geqslant 2. \end{equation*} \notag $$
Для любого $j\geqslant 2$ коэффициент $F_{2j}$ является однородным многочленом от переменных $z_1,\dots,z_n$ степени $j-2$ с коэффициентами в $\operatorname{End}(V)$. Коэффициенты $F_{2j}$, $j\geqslant 2$, сохраняют весовое разложение пространства $\mathcal{V}$. Каждый из коэффициентов $F_{1j}$, $j\geqslant 1$, $F_{2j}$, $j\geqslant 2$, определяет эндоморфизм $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^{S}$- модуля $\mathcal{V}^S$.

Доказательство. Лемма доказывается прямым вычислением.

Лемма 9.4. Коэффициенты $F_{1j}$, $j\geqslant 1$, $F_{2j}$, $j\geqslant 2$, рассматриваемые как эндоморфизмы $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^{S}$-модуля $\mathcal{V}^S$, коммутируют.

Доказательство. Утверждение вытекает из свойства коммутативности тригонометрических операторов Годена в формуле (8.2).

Для весового пространства $\mathcal{V}^S[\nu]$, $\nu=n-2m$, $\ell=n-m$, рассмотрим коммутативную подалгебру $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$ алгебры эндоморфизмов $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^{S}$-модуля $\mathcal{V}^S[\nu]$, порождённую элементами $F_{1j}$, $j\geqslant 1$, $F_{2j}$, $j\geqslant 2$. Подалгебра $\mathcal{B}(\mu; m;\ell)$ называется алгеброй Бете пространства $\mathcal{V}^S[\nu]$ с параметром $\mu\in \mathbb{C}$.

Лемма 9.5. Алгебра Бете $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$ содержит подалгебру операторов умножения на элементы из $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$.

Доказательство. Достаточно заметить, что подалгебра операторов умножения на элементы из $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$ порождается элементами $F_{1j}$, $j\geqslant 1$ (см. лемму 9.3).

По лемме 9.5 алгебра Бете $\mathcal{B}(\mu; m;\ell)$ является $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$-модулем.

9.4. Инвариантность относительно группы Вейля

Рассмотрим линейное отображение $\mathcal A(\mu+\nu/2-1)\colon V[\nu] \to V[-\nu]$, определённое в (2.16), где $V[\nu]=V_1^{\otimes n}[\nu]$. Если $\mu \notin n/2+\mathbb{Z}$, то $\mathcal A(\mu+\nu/2-1)$ – изоморфизм векторных пространств. Это линейное отображение индуцирует изоморфизм $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$-модулей,

$$ \begin{equation} \mathcal A\biggl(\mu+\frac{\nu}{2}-1\biggr)\colon \mathcal{V}^S[\nu] \to \mathcal{V}^S[-\nu]. \end{equation} \tag{9.6} $$

Лемма 9.6. Пусть $\mu \notin n/2+\mathbb{Z}$. Пусть $F_{ij}(\mu,m,\ell)$ – образующие алгебры Бете $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$, определённые в (9.5), а $F_{ij}(-\mu,\ell,m)$ – соответствующие образующие алгебры Бете $\mathcal{B}(-\mu;\ell;m)$. Тогда

$$ \begin{equation} F_{ij}(-\mu,\ell,m)=\mathcal{A}\biggl(\mu+\frac{\nu}{2}-1\biggr) F_{ij}(\mu,m,\ell)\mathcal{A}\biggl(\mu+\frac{\nu}{2}-1\biggr)^{-1} \end{equation} \tag{9.7} $$
для любых $i$, $j$. Отображение
$$ \begin{equation} \mathcal{B}(\mu;m;\ell) \to \mathcal{B}(\mu;m;\ell), \qquad F_{ij}(\mu,m,\ell) \mapsto F_{ij}(-\mu,\ell,m), \end{equation} \tag{9.8} $$
является изоморфизмом алгебр, а также изофоморфизмом $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$-модулей. Отображения (9.6) и (9.8) задают изоморфизм между $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$-модулем $\mathcal{V}^S[\nu]$ и $\mathcal{B}(-\mu;\ell;m)$-модулем $\mathcal{V}^S[-\nu]$.

Доказательство. Лемма следует из леммы 4.2.

9.5. Общие слои пространства $\mathcal{V}^S[\nu]$

Для $a=(a_1,\dots,a_n)\in \mathbb{C}^n$ обозначим через $I_a$ идеал в кольце $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]$, порождённый многочленами $\sigma_s(z)- a_s$, $s=1,\dots,n$. Рассмотрим пространство

$$ \begin{equation} I_a\mathcal{V}^S[\nu]:=\mathcal{V}^S \cap (V[\nu]\otimes I_a). \end{equation} \tag{9.9} $$
Пусть $a$ таково, что многочлен $x^n+\displaystyle\sum_{s=1}^n(-1)^s a_sx^{n-s}$ имеет попарно различные ненулевые корни $b_1,\dots,b_n$.

Лемма 9.7 [13; лемма 2.13]. Факторпространство $\mathcal{V}^S[\nu]/I_a\mathcal{V}^S[\nu]$ является конечномерным комплексным векторным пространством, канонически изоморфным пространству $V[\nu]$. При этом изоморфизме алгебра Бете $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$ индуцирует коммутативную алгебру операторов на $V[\nu]$. Эта алгебра операторов канонически изоморфна алгебре Бете $\mathcal{B}(b_1,\dots,b_n;\mu;V[\nu])$, которая определена в п. 4.2.

10. Функции на пространстве пар квазимногочленов

10.1. Пространство пар квазимногочленов

Пусть $m$, $\ell$, $n$ – положительные целые числа, $m+\ell=n$. Обозначим $\nu=n-2m$ (ср. п. 9.1). Пусть

$$ \begin{equation} \zeta \in \mathbb{C}\setminus\frac{1}{2}\mathbb{Z}. \end{equation} \tag{10.1} $$
Рассмотрим $n$-мерное аффинное пространство $\Omega(\zeta,m,\ell)$ с координатами $p_i$, $i=1,\dots,m$, $q_j$, $j=1,\dots,\ell$. Введём производящие функции
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, p(x)&=x^{-\zeta}(x^m+p_1x^{m-1}+\cdots+p_m), \\ q(x)&=x^{\zeta}(x^\ell+q_1x^{\ell-1}+\cdots+q_\ell). \end{aligned} \end{equation} \tag{10.2} $$
Отождествим точки $U$ пространства $\Omega(\zeta, m,\ell)$ с точками двумерного комплексного пространства, порождённого квазимногочленами
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, p(x,U)&=x^{-\zeta}\bigl(x^m+p_1(U)x^{m-1}+\cdots+p_m(U)\bigr), \\ \nonumber q(x,U)&=x^{\zeta}\bigl(x^\ell+q_1(U)x^{\ell-1}+\cdots+q_\ell(U)\bigr). \phantom{aaa}\; \end{aligned} \end{equation} \tag{10.3} $$
Обозначим через $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ алгебру регулярных функций на $\Omega(\zeta,m,\ell)$:
$$ \begin{equation*} \mathcal{O}(\zeta,m,\ell)=\mathbb{C}[p_1,\dots,p_m,q_1,\dots,q_\ell]. \end{equation*} \notag $$
Введём градуировку на $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$, полагая $\deg p_i=\deg q_i=i$ для всех $i$.

Лемма 10.1. Градуированный характер алгебры $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ даётся формулой

$$ \begin{equation} \operatorname{ch} _{\mathcal{O}(\zeta, m,\ell)}(\alpha)=\prod_{i=1}^m \frac{1}{1-\alpha^i} \cdot\prod_{j=1}^\ell \frac{1}{1-\alpha^j}\,. \end{equation} \tag{10.4} $$

10.2. Отображение Вронского

Пусть $p(x)$, $q(x)$ – производящие функции из формулы (10.2). Имеет место соотношение

$$ \begin{equation} \operatorname{Wr}_x(p,q)=\frac{2\zeta+\ell-m}{x} \biggl(x^n+\sum_{s=1}^n(-1)^s\Sigma_s x^{n-s}\biggr), \end{equation} \tag{10.5} $$
где $\Sigma_1,\dots,\Sigma_n$ – элементы алгебры $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$. Заметим, что число $2\zeta+\ell-m=2\zeta+\nu$ не является целым в силу (10.1). Элементы $\Sigma_1,\dots,\Sigma_n$ суть однородные многочлены, $\deg \Sigma_s=s$.

Определим отображение Вронского

$$ \begin{equation*} \operatorname{Wr}\colon \Omega(\zeta,m,\ell) \to \mathbb{C}^n,\qquad U \mapsto (\Sigma_1(U),\dots,\Sigma_n(U)). \end{equation*} \notag $$

Лемма 10.2. Если $\zeta\in \mathbb{C}\setminus \frac{1}{2}\mathbb{Z}$, то отображение Вронского – отображение положительной степени.

Доказательство повторяет, с незначительными изменениями, доказательства в [14; предложение 3.1].

Рассмотрим подалгебру $\mathcal{O}^S$ алгебры $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$, порождённую элементами $\Sigma_1,\dots,\Sigma_n$. Пусть $\sigma_1,\dots,\sigma_n$ – координаты на пространстве $\mathbb{C}^n$, являющемся образом отображения Вронского. Введём градуировку на алгебре $\mathbb{C}[\sigma_1,\dots,\sigma_n]$, полагая $\deg \sigma_s=s$ для любого $s$. Отображение Вронского индуцирует изоморфизм градуированных алгебр $\mathbb{C}[\sigma_1,\dots,\sigma_n]\to \mathcal{O}^S$, $\sigma_s \mapsto \Sigma_s$ (см. лемму 10.2). Этот изоморфизм наделяет алгебру $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ структурой $\mathbb{C}[\sigma_1,\dots,\sigma_n]$-модуля.

10.3. Другая реализация алгебры $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$

Определим дифференциальный оператор

$$ \begin{equation} \mathcal{G}=\frac{1}{\operatorname{Wr}_x(p,q)}\operatorname{rdet} \begin{bmatrix} p & p' & p'' \\ q & q' & q'' \\ 1 & \partial_x & \partial^2_x \end{bmatrix}, \end{equation} \tag{10.6} $$
ядро которого порождается многочленами $p(x)$ и $q(x)$. Оператор $\mathcal{G}$ имеет вид
$$ \begin{equation} \mathcal{G}=\partial_x^2+G_1(x)\partial_x+G_2(x), \end{equation} \tag{10.7} $$
где $G_1(x)$, $G_2(x)$ – рациональные функции от $x$ с коэффициентами в $\mathcal{O}(\zeta, m,\ell)$ (ср. [13]).

Заметим, что

$$ \begin{equation} G_1=-\frac{(\operatorname{Wr}_x(p,q))'}{\operatorname{Wr}_x(p,q)}\,. \end{equation} \tag{10.8} $$

Лемма 10.3 (ср. [13; п. 2.7]). Разложения функций $G_1(x)$ и $G_2(x)$ в ряд Лорана в бесконечности имеют вид

$$ \begin{equation} G_i(x)=\sum_{j=i}^\infty G_{ij}x^{-j}, \qquad i=1,2, \end{equation} \tag{10.9} $$
где $G_{ij}$ – однородные элементы в $\mathcal{O}(\zeta, m,\ell)$ степени $j-i$.

Доказательство. Лемма доказывается прямым вычислением.

Лемма 10.4 [13; лемма 3.4], [12; лемма 4.3]. Пусть $\zeta\in \mathbb{C}\setminus\frac{1}{2}\mathbb{Z}$. Тогда элементы $G_{ij}$, $i=1,2$, $j\geqslant i$, порождают алгебру $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$.

10.4. Слои отображения Вронского

Для $a=(a_1,\dots,a_n)\in \mathbb{C}^n$ обозначим через $J_a$ идеал в $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$, порождённый элементами $\Sigma_s-a_s$, $s=1,\dots,n$. Определим

$$ \begin{equation} \mathcal{O}_a(\zeta,m,\ell):=\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)/J_a. \end{equation} \tag{10.10} $$
Алгебра $\mathcal{O}_a(\zeta,m,\ell)$ – это алгебра функций на слое $\operatorname{Wr}^{-1}(a)$ отображения Вронского.

Пусть

$$ \begin{equation} x^n+\sum_{s=1}^n\,(-1)^{n-s} a_s x^{n-s}=\prod_{s=1}^n(x-b_s) \end{equation} \tag{10.11} $$
для некоторых $b_s\in\mathbb{C}$. Пусть $U$ – любая точка пространства $\Omega(\zeta,m,\ell)$ и
$$ \begin{equation*} p(x,U)=x^{-\zeta}\prod_{i=1}^m(x-t^0_i),\qquad q(x,U)=x^{\zeta}\prod_{i=1}^\ell(x-\widetilde t^{\,0}_i) \end{equation*} \notag $$
для некоторых $t_i^0,\widetilde t^{\,0}_i\in\mathbb{C}$.

Лемма 10.5. Пусть $\zeta\in \mathbb{C}\setminus\frac{1}{2}\mathbb{Z}$. Тогда существует открытое по Зарискому подмножество $X\subset \mathbb{C}^n$ такое, что для любого $a\in X$ все числа $b_1,\dots,b_n$ различны и отличны от нуля. Более того, для любой точки $U\in\operatorname{Wr}^{-1}(a)$ все числа $b_1,\dots,b_n$, $t^0_1,\dots,t^0_m$, $\widetilde t^{\,0}_1,\dots,\widetilde t^{\,0}_\ell$ различны.

Лемма 10.6. Пусть $a\in X$. Если $U\in \operatorname{Wr}^{-1}(a)$, то $(t^0_1,\dots,t^0_m;b_1,\dots,b_n;2\zeta+\nu/2)$ является решением уравнений анзаца Бете (5.1), отвечающих тройке $(b_1,\dots,b_n;2\zeta+\nu/2;V[\nu])$. Кроме того, $(\widetilde t^{\,0}_1,\dots,\widetilde t^{\,0}_\ell; b_1,\dots,b_n;-2\zeta-\nu/2)$ является решением уравнений анзаца Бете (5.1), отвечающих тройке $(b_1,\dots,b_n;-2\zeta-\nu/2;V[-\nu])$.

Доказательство. Имеет место соотношение
$$ \begin{equation*} \operatorname{Wr}_x(p(x,U),q(x,U))=\frac{2\zeta+\ell-m}{x} \biggl(x^n+\sum_{s=1}^n(-1)^s a_s x^{n-s}\biggr). \end{equation*} \notag $$
Теперь лемма вытекает из лемм 10.5 и 7.1.

Для $U\in \Omega(\zeta, m,\ell)$ обозначим через $\mathcal{G}_U$ дифференциальный оператор со старшим коэффициентом $1$ и ядром $\langle p(x,U),q(x,U) \rangle$:

$$ \begin{equation} \mathcal{G}_U=\partial_x^2+G_{1;U}(x)\partial_x+G_{2;U}(x). \end{equation} \tag{10.12} $$
Оператор $\mathcal{G}_U$ получается из оператора $\mathcal{G}$ вычислением производящих функций $p$, $q$ в точке $U$.

Лемма 10.7. Пусть $a\in X$ и $U\in \operatorname{Wr}^{-1}(a)$. Пусть $(t^0;b;2\zeta+\nu/2)$ есть решение уравнений анзаца Бете (см. лемму 10.6). Пусть $\mathcal{E}_{t^0;b;2\zeta+\nu/2}^c$ – это дифференциальный оператор, определённый в (8.3). Тогда

$$ \begin{equation*} \mathcal{E}_{t^0;b;2\zeta+\nu/2}^c=\mathcal{G}_U. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Лемма вытекает из леммы 8.1.

11. Изоморфизмы

В разделе 9 был введён $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$-модуль $\mathcal{V}^S[\nu]$, где $\mu\in \mathbb{C}$, $\nu=n-2m$, $m+\ell=n$. В разделе 10 обсуждались свойства алгебры $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ в предположении, что $\zeta\in \mathbb{C}\setminus\frac{1}{2}\mathbb{Z}$.

Мы рассматриваем алгебру функций $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ как $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$-модуль, где действие определяется умножением.

В этом разделе мы строим изоморфизм между $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$-модулем $\mathcal{V}^S[\nu]$ и $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$-модулем $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ в предположении, что

$$ \begin{equation} \zeta=\frac{\mu}{2}-\frac{\nu}{4}\quad \text{и} \quad \zeta\in \mathbb{C}\setminus\frac{1}{2}\mathbb{Z}. \end{equation} \tag{11.1} $$
Последнее условие может быть переписано в виде
$$ \begin{equation} \mu \notin \frac{n}{2}+\mathbb{Z} \end{equation} \tag{11.2} $$
(ср. условия на $\mu$ и $\zeta$ в теоремах 8, 13, леммах 7.1, 7.2 и разделе 10).

Построение упомянутого выше изоморфизма аналогично конструкциям в [13], [12].

11.1. Изоморфизм алгебр

Рассмотрим отображение

$$ \begin{equation*} \tau \colon \mathcal{O}(\zeta,m,\ell) \to \mathcal{B}(\mu;m;\ell), \qquad G_{ij}\mapsto F_{ij}. \end{equation*} \notag $$

Теорема 16 (ср. [13; теорема 5.3], [12; теорема 6.3]). Пусть выполнено условие (11.1). Тогда отображение $\tau$ – корректно определенный изоморфизм градуированных алгебр.

Доказательство. Пусть многочлен $R(G_{ij})$ равен нулю в $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$, где $G_{ij}$ – образующие алгебры $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$. Докажем, что соответствующий многочлен $R(F_{ij})$ равен нулю в $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$. Действительно, $R(F_{ij})$ – это многочлен от $z_1,\dots,z_n$ со значениями в $\operatorname{End}(V[\nu])$. Согласно леммам 10.510.7, 5.2, для общих $b_1,\dots,b_n$ значение многочлена $R(F_{ij})$ в точке $z_1=b_1,\dots,z_n=b_n$ равно нулю. Следовательно, многочлен $R(F_{ij})$ тождественно равен нулю и отображение $\tau$ является корректно определённым гомоморфизмом алгебр.

Поскольку элементы $G_{ij}$, $F_{ij}$ имеют одну и ту же степень, отображение $\tau$ является градуированным гомоморфизмом.

Пусть многочлен $R(G_{ij})$ не равен тождественно нулю в $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$. Тогда значение $R(G_{ij})$ в общей точке $U \in \Omega(\zeta,m,\ell)$ отлично от нуля в силу леммы 10.7. Следовательно, многочлен $R(F_{ij})$ не равен тождественно нулю. Таким образом, отображение $\tau$ инъективно. Поскольку элементы $F_{ij}$ порождают алгебру $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$, отображение $\tau$ сюръективно. Теорема доказана.

Алгебра $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$ вкладывается в алгебру $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$ как подалгебра операторов умножения на симметрические многочлены. Кроме того, алгебра $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$ вкладывается в алгебру $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$, причём элементарные симметрические многочлены $\sigma_1(z),\dots,\sigma_n(z)$ переходят в элементы $\Sigma_1,\dots,\Sigma_n$. Эти вложения наделяют алгебры $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$ и $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ структурой $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$-модулей.

Лемма 11.1 [13; лемма 6.4]. Пусть выполнено условие (11.1). Тогда отображение $\tau$ является изоморфизмом $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$-модулей.

Доказательство. Лемма вытекает из формул (7.6), (10.8).

11.2. Изоморфизм модулей

Подпространство в $\mathcal{V}^S[\nu]$, состоящее из векторов степени нуль, имеет размерность 1 и порождается вектором

$$ \begin{equation*} v_+=\sum_{I=(I_1,I_2),\ |I_1|=m,\ |I_2|=\ell} v_I. \end{equation*} \notag $$
Подпространство в $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ всех элементов степени нуль также одномерно и порождается элементом 1. Пусть выполнено условие (11.1). Определим $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$-линейное отображение
$$ \begin{equation} \varphi\colon \mathcal{O}(\zeta,m,\ell) \to \mathcal{V}^S[\nu], \qquad G\mapsto \tau(G) v_+. \end{equation} \tag{11.3} $$

Теорема 17 [13; теорема 6.7]. Предположим, что выполнено условие (11.1). Тогда отображение $\varphi$ является градуированным изоморфизмом градуированных $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$-модулей. Отображения $\tau$ и $\varphi$ отождествляют действие операторов умножения на $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ и действие операторов Бете алгебры $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$ на $\mathcal{V}^S[\nu]$, т. е. для любых $f,g \in\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ имеет место соотношение

$$ \begin{equation} \varphi(fg)=\tau(f)\varphi(g). \end{equation} \tag{11.4} $$
Иначе говоря, отображения $\tau$ и $\varphi$ определяют изоморфизм между $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$-модулем $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ и $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$-модулем $\mathcal{V}^S[\nu]$.

Доказательство. Покажем, что отображение $\varphi$ инъективно. Действительно, $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ – свободная полиномиальная алгебра, содержащая подалгебру $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$. При этом факторалгебра $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)/\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$ конечномерна в силу леммы 10.2. Ядро отображения $\varphi$ является собственным идеалом $\mathcal{I}$ в $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$. Тогда $\tau(\mathcal I)$ – это идеал в $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$. Любой собственный идеал в $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$ имеет нулевое пересечение с $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$, а значит, идеал $\mathcal{I}$ имеет нулевое пересечение с $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$ и поэтому является тривиальным идеалом. Таким образом, инъективность отображения $\varphi$ доказана.

Отображение $\varphi$ градуированно. Согласно леммам 9.2 и 10.1 градуированные характеры $\mathcal{V}^S[\nu]$ и $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ равны. Поэтому $\varphi$ является изоморфизмом. Теорема доказана.

Следствие 8. Предположим, что $a=(a_1,\dots,a_n)\in \mathbb{C}^n$ таково, что многочлен $x^n+\displaystyle\sum_{s=1}^n(-1)^s a_sx^{n-s}$ имеет попарно различные ненулевые корни $b_1,\dots,b_n$. Пусть выполнено условие (11.1). Тогда изоморфизмы $\tau$, $\varphi$ индуцируют изоморфизм $\mathcal{B}(b_1,\dots,b_n;\mu;V[\nu])$-модуля $V[\nu]$ и $\mathcal{O}_a(\zeta;m,\ell)$-модуля $\mathcal{O}_a(\zeta;m,\ell)$, где $\mathcal{O}_a(\zeta;m,\ell)$ – это алгебра функций на слое $\operatorname{Wr}^{-1}(a)$ отображения Вронского (см. (10.10)).

Доказательство. Следствие вытекает из леммы 9.7 и теорем 16, 17.

Следствие 9. Степень отображения Вронского $\operatorname{Wr}$ равна $\dim V[\nu]=\begin{pmatrix} n \\ m\end{pmatrix}$.

11.3. Динамическая алгебра Бете и квазимногочлены

Подпространство веса нуль в пространстве $V=V_1^{\otimes n}$ нетривиально, если $n$ чётно. Пусть $n=2m$. Тогда для весового подпространства $V[0]$ имеем $\nu=0$, $m=\ell$, а условия (11.1) принимают вид

$$ \begin{equation} \zeta=\frac{\mu}{2}\,, \quad \text{где } \mu\notin \mathbb{Z}. \end{equation} \tag{11.5} $$

Пусть $a=(a_1,\dots,a_n)\in \mathbb{C}^n$ таково, что многочлен $x^n+\displaystyle\sum_{s=1}^n(-1)^s a_sx^{n-s}$ имеет попарно различные ненулевые корни $b_1,\dots,b_n$. Рассмотрим функциональное пространство $E[\mu]$ как модуль над динамической алгеброй Бете $\mathcal{B}(b_1,\dots,b_n;E[\mu])$ (см. п. 3.2). Рассмотрим $\mathcal{O}_a(\zeta;m,m)$-модуль $\mathcal{O}_a(\zeta;m,m)$, где $\mathcal{O}_a(\zeta;m,m)$ – алгебра функций на слое $\operatorname{Wr}^{-1}(a)$ отображения Вронского.

Следствие 10. Предположим, что выполнено условие (11.1). Тогда изоморфизмы $\tau$, $\varphi$ и изоморфизм $V[0]\to E[\mu]$ из следствия 5 индуцируют изоморфизм $\mathcal{B}(b_1,\dots,b_n;E[\mu])$-модуля $E[\mu]$ и $\mathcal{O}_a(\zeta;m,m)$-модуля $\mathcal{O}_a(\zeta;m,m)$.

11.4. Оператор инволюции группы Вейля и перестановка квазимногочленов

Рассмотрим $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$-модуль $\mathcal{V}^S[\nu]$ и $\mathcal{B}(-\mu;\ell;m)$-модуль $\mathcal{V}^S[-\nu]$. Рассмотрим $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$-модуль $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ и $\mathcal{O}(-\zeta,\ell,m)$-модуль $\mathcal{O}(-\zeta,\ell,m)$.

Пусть выполнено условие (11.1). Рассмотрим диаграмму

$(11.6)$
На этой диаграмме отображения $\mathcal{V}^S[\nu] \to \mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$, $\mathcal{V}^S[-\nu] \to \mathcal{O}(-\zeta,\ell,m)$ – это изоморфизмы модулей из теоремы 17. Отображение $\mathcal{V}^S[\nu] \to \mathcal{V}^S[-\nu]$ – это изоморфизм модулей из леммы 9.6. Отображение $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell) \to \mathcal{O}(-\zeta,\ell,m)$ – это изоморфизм модулей, переставляющий квазимногочлены $p$ и $q$.

Теорема 18. Диаграмма (11.6) коммутативна.

Доказательство. Теорема следует из леммы 8.2.

Коммутативность диаграммы (11.6) влечёт коммутативность диаграммы слоёв над общей точкой $a\in\mathbb{C}^n$,

$(11.7)$
(см. обозначения в п. 11.2).

Объединяя диаграммы (11.7) и (4.11), получаем коммутативную диаграмму

$(11.8)$
которая имеет место, если $n=2m$ чётно и $\mu\notin\mathbb{Z}$. Диаграмма (11.8) отождествляет оператор инволюции группы Вейля $\sigma\colon E[\mu]\to E[-\mu]$, действующий на функциональных пространствах собственных функций KZB-оператора $H_0$, с изоморфизмом $\mathcal{O}_a(\zeta,m,m) \to \mathcal{O}_a(-\zeta,m,m)$, индуцированным перестановкой квазимногочленов.

Авторы благодарят В. О. Тарасова за полезные обсуждения.

Список литературы

1. И. В. Чередник, “Обобщённые группы кос и локальные $r$-матричные системы”, Докл. АН СССР, 307:1 (1989), 49–53  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: I. V. Cherednik, “Generalized braid groups and local $r$-matrix systems”, Dokl. Math., 40:1 (1990), 43–48
2. P. Etingof, E. Frenkel, D. Kazhdan, Hecke operators and analytic Langlands correspondence for curves over local fields, 2021, 38 pp., arXiv: 2103.01509
3. P. I. Etingof, I. B. Frenkel, A. A. Kirillov, Jr., Lectures on representation theory and Knizhnik–Zamolodchikov equations, Math. Surveys Monogr., 58, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998, xiv+198 pp.  crossref  mathscinet  zmath
4. P. Etingof, A. Varchenko, “Dynamical Weyl groups and applications”, Adv. Math., 167:1 (2002), 74–127  crossref  mathscinet  zmath
5. G. Felder, A. Varchenko, “Integral representation of solutions of the elliptic Knizhnik–Zamolodchikov–Bernard equations”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 1995:5 (1995), 221–233  crossref  mathscinet  zmath
6. G. Felder, A. Varchenko, “Three formulas for eigenfunctions of integrable Schrödinger operators”, Compos. Math., 107:2 (1997), 143–175  crossref  mathscinet  zmath
7. G. Felder, C. Wieczerkowski, “Conformal blocks on elliptic curves and the Knizhnik–Zamolodchikov–Bernard equations”, Comm. Math. Phys., 176:1 (1996), 133–161  crossref  mathscinet  zmath
8. E. Jensen, A. Varchenko, “Norms of eigenfunctions of trigonometric KZB operators”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2013:6 (2013), 1230–1267  crossref  mathscinet  zmath
9. M. Kontsevich, “Notes on motives in finite characteristic”, Algebra, arithmetic, and geometry, In honor of Yu. I. Manin, v. II, Progr. Math., 270, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2009, 213–247  crossref  mathscinet  zmath
10. Y. Markov, A. Varchenko, “Hypergeometric solutions of trigonometric KZ equations satisfy dynamical difference equations”, Adv. Math., 166:1 (2002), 100–147  crossref  mathscinet  zmath
11. E. Mukhin, V. Tarasov, A. Varchenko, “Generating operator of XXX or Gaudin transfer matrices has quasi-exponential kernel”, SIGMA, 3 (2007), 060, 31 pp.  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
12. E. Mukhin, V. Tarasov, A. Varchenko, “Spaces of quasi-exponentials and representations of $\mathfrak{gl}_N$”, J. Phys. A, 41:19 (2008), 194017, 28 pp.  crossref  mathscinet  zmath
13. E. Mukhin, V. Tarasov, A. Varchenko, “Schubert calculus and representations of the general linear group”, J. Amer. Math. Soc., 22:4 (2009), 909–940  crossref  mathscinet  zmath
14. E. Mukhin, V. Tarasov, A. Varchenko, “On reality property of Wronski maps”, Confluentes Math., 1:2 (2009), 225–247  crossref  mathscinet  zmath
15. E. Mukhin, V. Tarasov, A. Varchenko, “The B. and M. Shapiro conjecture in real algebraic geometry and the Bethe ansatz”, Ann. of Math. (2), 170:2 (2009), 863–881  crossref  mathscinet  zmath
16. E. Mukhin, V. Tarasov, A. Varchenko, “Bethe algebra of the $\frak{gl}_{N+1}$ Gaudin model and algebra of functions on the critical set of the master function”, New trends in quantum integrable systems, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2011, 307–324  crossref  mathscinet  zmath
17. E. Mukhin, A. Varchenko, “Norm of a Bethe vector and the Hessian of the master function”, Compos. Math., 141:4 (2005), 1012–1028  crossref  mathscinet  zmath
18. E. Mukhin, A. Varchenko, “Quasi-polynomials and the Bethe ansatz”, Groups, homotopy and configuration spaces, Geom. Topol. Monogr., 13, Geom. Topol. Publ., Coventry, 2008, 385–420  crossref  mathscinet  zmath
19. N. Reshetikhin, A. Varchenko, “Quasiclassical asymptotics of solutions to the KZ equations”, Geometry, topology & physics, Conf. Proc. Lecture Notes Geom. Topology, IV, Int. Press, Cambridge, MA, 1995, 293–322  mathscinet  zmath
20. V. Rubtsov, A. Silantyev, D. Talalaev, “Manin matrices, quantum elliptic commutative families and characteristic polynomial of elliptic Gaudin model”, SIGMA, 5 (2009), 110, 22 pp.  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
21. V. V. Schechtman, A. N. Varchenko, “Arrangements of hyperplanes and Lie algebra homology”, Invent. Math., 106:1 (1991), 139–194  crossref  mathscinet  zmath
22. I. Scherbak, A. Varchenko, “Critical points of functions, $\mathfrak{sl}_2$ representations, and Fuchsian differential equations with only univalued solutions”, Mosc. Math. J., 3:2 (2003), 621–645  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
23. V. Tarasov, A. Varchenko, “Difference equations compatible with trigonometric KZ differential equations”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2000:15 (2000), 801–829  crossref  mathscinet  zmath
24. D. Thompson, A. Varchenko, “Dynamical elliptic Bethe algebra, KZB eigenfunctions, and theta-polynomials”, LiMS, 1:1 (2019), 78–125
25. A. Varchenko, “Quantum integrable model of an arrangement of hyperplanes”, SIGMA, 7 (2011), 032, 55 pp.  mathnet  crossref  mathscinet  zmath

Образец цитирования: А. Н. Варченко, А. М. Слинкин, Д. Томпсон, “Динамическая алгебра Бете над $\mathfrak{sl}_2$ и функции на парах квазимногочленов”, УМН, 76:4(460) (2021), 105–138; Russian Math. Surveys, 76:4 (2021), 653–684
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VarSliTho21}
\by А.~Н.~Варченко, А.~М.~Слинкин, Д.~Томпсон
\paper Динамическая алгебра Бете над~$\mathfrak{sl}_2$ и~функции на парах квазимногочленов
\jour УМН
\yr 2021
\vol 76
\issue 4(460)
\pages 105--138
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10010}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10010}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4295019}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:7505213}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021RuMaS..76..653V}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=47777892}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2021
\vol 76
\issue 4
\pages 653--684
\crossref{https://doi.org/10.1070/RM10010}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000712061200001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85119406970}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm10010
  • https://doi.org/10.4213/rm10010
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm/v76/i4/p105
  • Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Успехи математических наук Russian Mathematical Surveys
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:266
    PDF русской версии:80
    PDF английской версии:29
    HTML русской версии:99
    Список литературы:23
    Первая страница:6
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024