Успехи математических наук
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



УМН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Успехи математических наук, 2022, том 77, выпуск 2(464), страницы 3–68
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10049
(Mi rm10049)
 

Эта публикация цитируется в 15 научных статьях (всего в 15 статьях)

Лемма о нормальной производной и вокруг неё

Д. Е. Апушкинскаяab, А. И. Назаровcb

a Российский университет дружбы народов
b Санкт-Петербургский государственный университет
c Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Список литературы:
Аннотация: В настоящем обзоре дано описание истории и современного состояния одного из важнейших разделов качественной теории дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа, связанного с сильным принципом максимума и принципом граничной точки (леммой о нормальной производной).
Библиография: 234 названия.
Ключевые слова: сильный принцип максимума, лемма о нормальной производной, лемма Хопфа–Олейник, неравенство Гарнака, принцип максимума Александрова–Бакельмана.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский фонд фундаментальных исследований 20-11-50059
Работа поддержана грантом РФФИ “Экспансия” № 20-11-50059.
The reported study was funded by RFBR, project number 20-11-50059.
Поступила в редакцию: 19.07.2021
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 2, Pages 189–249
DOI: https://doi.org/10.1070/RM10049
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517.95
MSC: Primary 35-02, 35B45, 35B50, 35J15; Secondary 35R05

1. Введение

Качественная теория уравнений в частных производных интенсивно развивается на протяжении последнего столетия. Одним из важнейших инструментов исследования решений эллиптических и параболических уравнений являются лемма о нормальной производной (известная также как лемма Хопфа–Олейник или принцип граничной точки) и сильный принцип максимума. Они играют ключевую роль в доказательствах теорем единственности для краевых задач, используются также при изучении свойств симметрии решений и поведения решений в неограниченных областях (теоремы типа Фрагмена–Линделёфа) и в других приложениях.

Первые результаты в этой области прослеживаются вплоть до работ К. Ф. Гаусса, который в знаменитой статье 1840 г. [1; § 21] доказал сильный принцип максимума для гармонических функций. В современных обозначениях утверждение Гаусса выглядит так:

Пусть $u$ – непостоянная гармоническая функция в области $\Omega \subset \mathbb{R}^3$, т. е. $\Delta u=0$ в $\Omega$. Тогда функция $u$ не может достигать во внутренних точках $\Omega$ ни максимального, ни минимального значения.

В дальнейшем под сильным принципом максимума для линейного эллиптического оператора ${\mathbb L}$ второго порядка мы будем понимать следующее утверждение.

Сильный принцип максимума. Пусть $u$ – суперэллиптическая функция в области $\Omega \subset \mathbb{R}^n$, т. е.1 ${\mathbb L} u \geqslant 0$ в $\Omega$. Если $u$ достигает наименьшего значения во внутренней точке области, то $u \equiv \operatorname{const}$ и ${\mathbb L} u \equiv 0$.

Напомним также формулировку слабого принципа максимума.

Слабый принцип максимума. Пусть $u$ – суперэллиптическая функция в ограниченной области $\Omega \subset \mathbb{R}^n$. Если $u$ неотрицательна на границе области, то $u$ неотрицательна в $\Omega$.

Граничной формой сильного принципа максимума является лемма о нормальной производной, впервые сформулированная С. Зарембой в 1910 г. [2] для гармонических функций в (трехмерной ограниченной) области, удовлетворяющей условию внутреннего шара2.

Лемма о нормальной производной. Пусть $u$ – непостоянная суперэллиптическая функция в области $\Omega \subset \mathbb{R}^n$. Если $u$ достигает наименьшего значения в граничной точке $x^0\in \partial\Omega$, то справедливо неравенство

$$ \begin{equation} \liminf_{\varepsilon\to+0} \frac{u(x^0+\varepsilon\mathbf{n})-u(x^0)}\varepsilon>0, \end{equation} \tag{1.1} $$
где $\mathbf{n}$ – вектор внутренней нормали к границе области в точке $x^0$.

В частности, если функция $u$ имеет в точке $x^0$ производную по направлению $\mathbf{n}$, то $\partial_{\mathbf{n}}u(x^0)>0$.

Важно отметить, что если сильный принцип максимума – свойство оператора ${\mathbb L}$, то выполнение леммы о нормальной производной зависит также от поведения $\partial\Omega$ в окрестности $x^0$.

К основным предметам обзора вплотную примыкает неравенство Гарнака, которое можно считать количественной версией сильного принципа максимума. Впервые оно было доказано К. Г. А. фон Гарнаком3 в 1887 г. [3; § 19] для гармонических функций на плоскости. Классическая формулировка этого неравенства такова.

Неравенство Гарнака. Пусть ${\mathbb L}$ – эллиптический оператор в области $\Omega$. Если $u$ – неотрицательное решение уравнения ${\mathbb L}u=0$ в $\Omega$, то в любой ограниченной подобласти $\Omega'$ такой, что $\overline{\Omega}{}'\subset\Omega$, справедливо неравенство

$$ \begin{equation} \sup_{\Omega'}u \leqslant C\inf_{\Omega'}u, \end{equation} \tag{1.2} $$
где $C$ – константа, не зависящая от $u$.

Замечание 1.1. Из соображений компактности ясно, что достаточно доказать (1.2) для случая, когда $\Omega$ и $\Omega'$ – концентрические шары. При этом для приложений важно, чтобы константа $C$ не зависела от радиусов шаров (а только от их отношения) или в крайнем случае оставалась ограниченной при стремлении радиусов к нулю при фиксированном их отношении.

Также количественной версией сильного принципа максимума можно считать некоторые априорные оценки решений, в частности принцип максимума Александрова–Бакельмана. А априорная оценка градиента решения на границе области, как стало ясно сравнительно недавно, является утверждением, двойственным к лемме о нормальной производной.

Затронутая тема практически необозрима, поэтому в настоящей работе мы сосредоточились на эллиптическом случае4. Основная часть статьи состоит из трех разделов. В разделе 2 обсуждаются свойства классических и сильных (суб/супер)решений уравнений недивергентного вида, в разделе 3 – свойства слабых (суб/супер)решений уравнений дивергентного вида. Наконец, раздел 4 – “винегрет” из различных обобщений и приложений. Здесь мы не претендуем на полноту изложения, а выбор тем отражает личные интересы авторов.

Различные аспекты обсуждаемой темы отражены в монографиях и обзорах [5]–[14]. В своей работе мы использовали информацию из этих источников, а также из наших статей [15], [16], но постарались по возможности глубже осветить историю упомянутых вопросов.

Мы глубоко признательны Нине Николаевне Уральцевой, нашему Учителю, которая ввела нас в эту тематику. Мы благодарны А. И. Ибрагимову, М. Квашницкому, В. Г. Мазья, Р. Мусине, М. В. Сафонову, М. Д. Сурначеву, Н. Д. Филонову, Т. Н. Шилкину за консультации и обсуждения. Отдельно хотим поблагодарить Г. В. Розенблюма и Н. С. Устинова за помощь в подборе материала.

Основные обозначения.

$\bullet$ $x=(x_1,\dots,x_{n-1},x_n)=(x',x_n)$ – точки в $\mathbb{R}^n$, $n\geqslant2$.

$\bullet$ $|x|$, $|x'|$ – евклидовы нормы в соответствующих пространствах.

$\bullet$ $\mathbb{R}_+=[0,+\infty)$ – замкнутая полуось.

$\bullet$ $\Omega$ – область (связное открытое множество) в $\mathbb{R}^n$ с границей $\partial\Omega$; если не оговорено противное (как в п. 4.2), то $\Omega$ считается ограниченной; $\overline{\Omega}$ обозначает замыкание $\Omega$, $|\Omega|$ – лебегову меру $\Omega$, а $\operatorname{diam}(\Omega)$ – диаметр $\Omega$.

$\bullet$ ${\rm d}(x)=\operatorname{dist}(x,\partial\Omega)$ – расстояние от точки $x$ до $\partial\Omega$.

$\bullet$ $B_r^n(x^0)=\{x\in\mathbb{R}^n\colon |x-x^0|<r\}$ – открытый шар в $\mathbb{R}^n$ с центром $x^0$ и радиусом $r$; $B_r^n=B_r^n(0)$; если размерность ясна из контекста, пишем просто $B_r(x^0)$ и $B_r$.

$\bullet$ $Q_{r,h}=B_r^{n-1}\times(0,h)$.

Индексы $i$ и $j$ принимают значения от $1$ до $n$. Символ $D_i$ обозначает оператор дифференцирования по переменной $x_i$. Применяется правило суммирования по повторяющимся индексам.

Для функции $f$ положим $f_{\pm}=\max\{\pm f,0\}$ и

Различные положительные константы обозначаются буквами $C$ и $N$ (с индексами или без). Запись $C(\ldots)$ означает, что $C$ зависит только от параметров, указанных в скобках.

Классы функций и областей.

$\bullet$ $\mathcal{C}^k(\overline{\Omega})$ – пространство функций, определенных на $\overline{\Omega}$ и имеющих непрерывные производные до порядка $k$ ($k \geqslant 0$) включительно. Для краткости вместо $\mathcal{C}^0$ мы обычно пишем $\mathcal{C}$.

$\bullet$ $L_p(\Omega)$, $W^k_p(\Omega)$ и $\mathring{W}^k_p(\Omega)$ – стандартные пространства Лебега и Соболева (см., например, [17; § 1.18.6]); $\|\cdot\|_{p,\Omega}$ – норма в $L_p(\Omega)$. Далее, $f\in L_{p,{\rm loc}}(\Omega)$, если $f\in L_p(\Omega')$ для любой подобласти $\Omega'$ такой, что $\overline{\Omega}{}'\subset\Omega$. Аналогично определим $f\in W^k_{p,{\rm loc}}(\Omega)$.

$\bullet$ $L_{p,q}(\Omega)$ – пространства Лоренца (см., например, [17; § 1.18.6]).

Будем говорить, что $\sigma \colon [0,1]\to \mathbb{R}_+$ – функция класса $\mathcal{D}$, если

(i) $\sigma$ непрерывна, возрастает и $\sigma (0)=0$;

(ii) $\sigma (\tau)/\tau$ убывает и суммируема.

Замечание 1.2. Предположение об убывании $\sigma(\tau)/\tau$ не является ограничительным. Действительно, пусть функция $\sigma\colon[0,1]\to \mathbb{R}_+$ возрастает, $\sigma(0)=0$, и функция $\sigma(\tau)/\tau$ суммируема. Определим

$$ \begin{equation*} \widetilde{\sigma}(t)=t\sup_{\tau \in [t,1]} \frac{\sigma(\tau)}{\tau}\,, \qquad t\in (0,1). \end{equation*} \notag $$
Очевидно, что $\widetilde{\sigma}(t)/t$ убывает на $[0,1]$ и $\sigma(t) \leqslant \widetilde{\sigma}(t)$ на $(0,1]$ (последнее неравенство позволяет поставить во всех оценках $\widetilde{\sigma}$ вместо $\sigma$). Далее, множество точек, в которых $\sigma(t)<\widetilde{\sigma}(t)$, представляет собой не более чем счетное объединение интервалов $(t_{1j},t_{2j})$. На каждом из этих интервалов функция $\widetilde{\sigma}$ возрастает, и потому она возрастает на $[0,1]$.

Рассмотрим теперь интеграл

$$ \begin{equation*} \int_0^1 \frac{\widetilde\sigma(\tau)}{\tau}\,d\tau= \int_{\{\widetilde\sigma=\sigma\}}\frac{\sigma(\tau)}{\tau}\,d\tau+ \sum_j\int_{t_{1j}}^{t_{2j}}\frac{\widetilde\sigma(\tau)}{\tau}\,d\tau. \end{equation*} \notag $$
Но на интервале $(t_{1j},t_{2j})$
$$ \begin{equation*} \frac{\widetilde\sigma(t)}{t}\equiv \frac{\sigma(t_{1j})}{t_{1j}}= \frac{\sigma(t_{2j})}{t_{2j}}\,, \end{equation*} \notag $$
откуда, учитывая монотонность $\sigma$, получаем
$$ \begin{equation*} \int_0^1\frac{\widetilde\sigma(\tau)}{\tau}\,d\tau = \int_{\{\widetilde\sigma=\sigma\}}\frac{\sigma(\tau)}{\tau}\,d\tau+ \sum_j\bigl(\sigma(t_{2j})-\sigma(t_{1j})\bigr)<\infty, \end{equation*} \notag $$
и, таким образом, $\widetilde{\sigma} \in \mathcal{D}$.

Замечание 1.3. Также не умаляя общности, можно считать функцию $\sigma$ непрерывно дифференцируемой на $(0,1]$. Действительно, для любой $\sigma \in \mathcal{D}$ определим

$$ \begin{equation} \widehat{\sigma}(r):=2\int_{r/2}^r\frac{\sigma(\tau)}{\tau}\,d\tau= 2\int_{1/2}^1\frac{\sigma(r\tau)}{\tau}\,d\tau, \qquad r \in (0,1]. \end{equation} \tag{1.3} $$
Из второго равенства в (1.3) в силу монотонности функций $\sigma$ и $\sigma(\tau)/\tau$ заключаем, что $\widehat{\sigma}$ также возрастает, а $\widehat{\sigma}(r)/r$ убывает на $(0,1]$. Далее, из первого равенства в (1.3) очевидно, что $\widehat{\sigma} \in \mathcal{C}^1(0,1]$ и выполнены неравенства
$$ \begin{equation} \sigma(r) \leqslant \widehat{\sigma}(r) \leqslant 2\sigma\biggl(\frac{r}{2}\biggr), \qquad r\in (0,1]. \end{equation} \tag{1.4} $$
Второе неравенство в (1.4) влечет $\widehat{\sigma}\in\mathcal{D}$. Наконец, первое из неравенств в (1.4) позволяет поставить во всех оценках $\widehat{\sigma}$ вместо $\sigma$.

Будем говорить, что функция $\zeta\colon {\Omega} \to \mathbb{R}$ удовлетворяет:

Далее, $\mathcal{C}^{k,\alpha}(\Omega)$ и $\mathcal{C}^{k,\mathcal{D}}(\Omega)$ при $k\geqslant0$ – пространства функций, у которых производные порядка $k$ удовлетворяют соответственно условию Гёльдера с показателем $\alpha \in (0,1]$ и условию Дини. Функции из $\mathcal{C}^{0,1}(\Omega)$ называются липшицевыми.

Говорят, что область $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ принадлежит классу $\mathcal{C}^k$, $k\geqslant0$, если существует $r>0$ такое, что для каждой точки $x^0\in\partial\Omega$ множество $B_r(x^0)\cap \partial\Omega$ в подходящей декартовой системе координат есть график некоторой функции5 $x_n=f(x')$, где $f\in \mathcal{C}^k(G)$ (здесь $G$ – какая-то область в $\mathbb{R}^{n-1}$). Аналогично определяются области классов $\mathcal{C}^{k,\alpha}$ и $\mathcal{C}^{k,\mathcal{D}}$.

Области класса $\mathcal{C}^{0,1}$ называют строго липшицевыми.

Напомним, что условие внутреннего шара состоит в том, что каждой точки границы $\partial\Omega$ можно коснуться шаром фиксированного радиуса, полностью лежащим в $\Omega$.

Аналогично, обозначим ${\mathfrak T}(\phi,h)$ (здесь $h>0$, $\phi\colon [0,+\infty) \to [0,+\infty)$ – выпуклая функция, $\phi(0)=0$) следующую область (тело):

$$ \begin{equation*} {\mathfrak T}(\phi,h)=\{x\in\mathbb{R}^n\colon \phi(|x'|)<x_n<h\}. \end{equation*} \notag $$
Предположим, что каждой точки $x^0\in\partial\Omega$ можно коснуться телом, конгруэнтным $\mathfrak{T}(\phi,h)$, с вершиной в точке $x^0$, которое полностью лежит в $\Omega$, причем $\phi$, $h$ не зависят от $x^0$; тогда говорят, что $\Omega$ удовлетворяет условию Аналогично определяются условия внешнего шара, внешнего параболоида и внешнего конуса.

Легко видеть, что область класса $\mathcal{C}^{1,1}$ удовлетворяет условиям внутреннего и внешнего шара (более того, эти условия совместно равносильны $\mathcal{C}^{1,1}$-гладкости области, см., например, [18; лемма 2]). Аналогично, области класса $\mathcal{C}^{1,\alpha}$ – это в точности области, удовлетворяющие условиям внутреннего и внешнего $\mathcal{C}^{1,\alpha}$-параболоида; области класса $\mathcal{C}^{1,\mathcal{D}}$ – области, удовлетворяющие условиям внутреннего и внешнего $\mathcal{C}^{1,\mathcal{D}}$-параболоида6; строго липшицевы области удовлетворяют условиям внутреннего и внешнего конуса7.

2. Операторы недивергентного вида

В этом разделе рассматриваются операторы следующей структуры:

$$ \begin{equation} \mathcal{L} \equiv -a^{ij}(x)D_i D_j+b^i(x)D_i. \end{equation} \tag{2.1} $$
Введем обозначения $\mathcal{A}=(a^{ij})$, $\mathbf{b}=(b^i)$. В случае $\mathbf{b}\equiv 0$ вместо $\mathcal{L}$ будем писать $\mathcal{L}_0$.

Матрица старших коэффициентов $\mathcal{A}$ симметрична и удовлетворяет условию эллиптичности с вырождением

$$ \begin{equation} a^{ij}(x)\xi_i\xi_j\geqslant0 \quad\text{для всех}\ \xi\in\mathbb{R}^n \end{equation} \tag{2.2} $$
или условию равномерной эллиптичности
$$ \begin{equation} \nu|\xi|^2\leqslant a^{ij}(x)\xi_i\xi_j\leqslant \nu^{-1}|\xi|^2 \quad\text{для всех}\ \xi\in\mathbb{R}^n \end{equation} \tag{2.3} $$
(здесь $\nu\in(0,1]$ – константа, именуемая константой эллиптичности).

В пп. 2.1, 2.2 мы считаем, что условие (2.2) или (2.3) выполнено при всех $x\in\Omega$. Начиная с п. 2.3 предполагается, что элементы матрицы $\mathcal{A}$ – измеримые функции и условие (2.2) или (2.3) выполнено при почти всех $x\in\Omega$.

Замечание 2.1. Для операторов более общего вида $\mathcal{L}+c(x)$ ни сильный принцип максимума, ни лемма о нормальной производной в форме, приведенной во введении, очевидно не выполняется (первая собственная функция задачи Дирихле для оператора Лапласа служит контрпримером даже для слабого принципа максимума). В этом случае обычно накладывают условие на знак коэффициента $c(x)$ в окрестности точки минимума. Приведем две пары простых утверждений.

1. Предположим, что для оператора $\mathcal{L}$ справедлив сильный принцип максимума.

2. Предположим, что для оператора $\mathcal{L}$ в области $\Omega$ справедлива лемма о нормальной производной.

Все четыре утверждения следуют из того, что в некоторой окрестности точки минимума неравенство $\mathcal{L}u+cu\geqslant0$ влечет $\mathcal{L}u\geqslant0$.

2.1. Классический период: от Гаусса и Неймана до Хопфа и Олейник

Напомним, что сильный принцип максимума для гармонических функций в трехмерной области был получен К. Ф. Гауссом [1] на основе доказанной им теоремы о среднем8. Поскольку эта теорема для гармонических функций справедлива в любом $\mathbb{R}^n$, доказательство Гаусса очевидным образом справедливо в любой размерности и, более того, легко распространяется на супергармонические функции.

Доказательство сильного принципа максимума для равномерно эллиптических операторов более общего вида $\mathcal{L}+c(x)$ с $\mathcal{C}^2$-гладкими коэффициентами (в форме, указанной в п. 1, (а), замечания 2.1) было дано:

Важнейший шаг был сделан в 1927 г. Э. Хопфом9 [20]. Хотя в этой работе справедливость сильного принципа максимума была установлена для равномерно эллиптических операторов вида (2.1) с непрерывными коэффициентами, фактически доказательство Хопфа без изменений проходит для операторов с ограниченными коэффициентами.

Еще одно существенное наблюдение сделано в работе [20] для операторов вида $\mathcal{L}+c(x)$. Кроме очевидного утверждения п. 1, (а), замечания 2.1, Хопф показал10, что если $\mathcal{L}u+cu\geqslant0$ в $\Omega$, то без каких-либо условий на знак коэффициента $c(x)$ функция $u$ не может достигать нулевого минимума в $\Omega$, за исключением случая $u\equiv0$.

Как упоминалось во введении, лемма о нормальной производной была впервые установлена С. Зарембой [2] для гармонических функций при условии внутреннего шара на границу трехмерной области. Доказательство Зарембы использует, кроме слабого принципа максимума, лишь функцию Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре, поэтому оно справедливо в любой размерности, а также проходит для супергармонических функций.

Следует отметить, что для оператора Лапласа существует альтернативная (равносильная) формулировка леммы о нормальной производной:

Пусть $\mathcal{G}$ – функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области $\Omega$. Если $x\in\Omega$, $x^0\in \partial\Omega$, то справедливо неравенство $\partial_{\mathbf{n}}\mathcal{G}(x,x^0)> 0$.

Это утверждение было доказано К. Нейманом еще в 1888 г. в двумерной $\mathcal{C}^2$-гладкой выпуклой области. Далее оно обобщалось:

Для оператора $-\Delta +b^i(x)D_i+c(x)$ при $c(x)\geqslant0$ в двумерной области класса $\mathcal{C}^{2,\alpha}$, $\alpha\in(0,1)$, это утверждение было установлено Л. Лихтенштейном в 1924 г. В дальнейшем, однако, почти все известные нам результаты формулировались в виде обычной леммы о нормальной производной12.

В 1931 г. М. Брело впервые отметил (для оператора $-\Delta+c(x)$ при $c(x)\geqslant0$ в двумерной области класса $\mathcal{C}^{2}$), что лемма о нормальной производной на самом деле верна для производной по любому строго внутреннему направлению (т. е. по направлению, образующему с внутренней нормалью острый угол).

В 1932 г. Ж. Жиро [21; гл. V] доказал лемму о нормальной производной13 для равномерно эллиптических операторов $\mathcal{L}+c(x)$, $c(x)\geqslant0$, с коэффициентами класса $\mathcal{C}^{0,\alpha}$, $\alpha\in(0,1)$, в $n$-мерной области класса $\mathcal{C}^{1,1}$. В работе [22] этот результат был распространен на случай, когда младшие коэффициенты могут иметь особенности на множестве $\mathfrak M$ – объединении конечного числа $\mathcal{C}^{1,\alpha}$-гладких многообразий коразмерности $1$, причем

$$ \begin{equation*} |b^i(x)|,|c(x)|\leqslant C\cdot \operatorname{dist}^{\gamma-1}(x,\mathfrak M),\qquad \gamma\in(0,1). \end{equation*} \notag $$

В 1937 г. впервые было существенно ослаблено условие на границу области: в работе М. В. Келдыша и М. А. Лаврентьева была доказана лемма о нормальной производной для оператора Лапласа в (трехмерной) области, удовлетворяющей условию внутреннего $\mathcal{C}^{1,\alpha}$-параболоида14.

Наконец, ключевой шаг был сделан Э. Хопфом [24] и О. А. Олейник [25], которые одновременно и независимо доказали лемму о нормальной производной для равномерно эллиптических операторов с непрерывными коэффициентами при условии внутреннего шара на границу области. Доказательства в [25] и [24] основаны на одной и той же идее и, как и в [20], без изменений проходят для операторов с ограниченными коэффициентами15.

Приведем теперь полное доказательство классических результатов работ [20] и [24], [25].

Теорема 2.1. A. Пусть $\mathcal{L}$ – оператор вида (2.1), функции $a^{ij}$, $b^i$ и $c$ ограничены в $\Omega$, выполнено условие (2.3), $u\in\mathcal{C}^2(\Omega)$ и $\mathcal{L}u+cu\geqslant0$ в $\Omega$. Тогда:

B. Пусть вдобавок область $\Omega$ удовлетворяет условию внутреннего шара, функция $u\not\equiv \operatorname{const}$ непрерывна в $\overline{\Omega}$. Обозначим $x^0$ точку $\partial\Omega$, в которой $u$ достигает наименьшего значения. Тогда неравенство (1.1) справедливо при выполнении любого из следующих условий16:

При этом в (1.1) можно заменить нормаль $\mathbf{n}$ на любое строго внутреннее направление $\boldsymbol{\ell}$.

Доказательство. 1. Рассмотрим сначала случай $c\equiv0$. Прежде всего установим для оператора $\mathcal{L}$ слабый принцип максимума в области $\pi$ достаточно малого диаметра $d$.

Предположим, напротив, что $\mathcal{L}u\geqslant0$ в $\pi$ и $u\big|_{\partial\pi}\geqslant0$, но $u(x^0)=-A<0$ для некоторого $x^0\in \pi$. Рассмотрим функцию

$$ \begin{equation*} u^\varepsilon(x)=u(x)-\varepsilon|x-x^0|^2. \end{equation*} \notag $$
Очевидно, что при всех достаточно малых $\varepsilon$ имеем
$$ \begin{equation*} u^\varepsilon\big|_{\partial \pi}\geqslant -\varepsilon d^2>-A=u^\varepsilon(x^0). \end{equation*} \notag $$
Поэтому $u^\varepsilon$ достигает наименьшего значения в некоторой точке $x^1\in \pi$. В точке минимума $Du^\varepsilon(x^1)=0$ и матрица $D^2u^\varepsilon(x^1)$ неотрицательно определена, а потому $\mathcal{L}u^\varepsilon(x^1)\leqslant0$.

Но условие $\mathcal{L}u\geqslant0$ влечет

$$ \begin{equation*} \mathcal{L}u^\varepsilon\geqslant 2\varepsilon\bigl(a^{ij}\delta_{ij}-b^i(x_i-x^0_i)\bigr)\geqslant 2\varepsilon(n\nu-d\sup|\mathbf{b}(x)|)>0 \quad\text{в}\ \pi, \end{equation*} \notag $$
если $d< d_0:=n\nu/\sup|\mathbf{b}(x)|$. Полученное противоречие доказывает утверждение.

2. Теперь докажем для $\mathcal{L}$ сильный принцип максимума. Предположим, напротив, что $\mathcal{L}u\geqslant0$ в $\Omega$ и $u\not\equiv \operatorname{const}$, но множество

$$ \begin{equation} M=\Bigl\{x\in\Omega\colon u(x)=\inf_{\Omega} u\Bigr\} \end{equation} \tag{2.4} $$
непусто. Дополнение $\Omega\setminus M$ открыто, и потому найдется лежащий в нем шар, граница которого содержит точку из $M$. Поместим начало координат в центр этого шара, и пусть $r$ обозначает радиус шара, $x^0$ – точку из $\partial B_r\cap M$, а $\pi$ – кольцо $B_r\setminus \overline{B}_{r/2}$. Не умаляя общности, можно считать, что $r< d_0/2$.

Рассмотрим в области $\pi$ барьерную функцию17

$$ \begin{equation} v_s(x)=|x|^{-s}-r^{-s}. \end{equation} \tag{2.5} $$
Оценим $\mathcal{L}v_s$ с учетом условия эллиптичности (2.3):
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, D_iv_s(x)&=-sx_i|x|^{-s-2};\qquad D_iD_jv_s(x)=s(s+2)x_ix_j|x|^{-s-4}-s\delta_{ij}|x|^{-s-2}; \\ \mathcal{L}v_s(x)&=|x|^{-s-2}\biggl(-s(s+2)a^{ij}\,\frac{x_i}{|x|}\, \frac{x_j}{|x|}+sa^{ij}\delta_{ij}-sb^ix_i\biggr) \\ &\leqslant s|x|^{-s-2}\Bigl[-(s+2)\nu+n\nu^{-1}+ r\sup_{\Omega}|\mathbf{b}(x)|\Bigr]. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Выберем $s$ настолько большим, чтобы выражение в квадратных скобках было отрицательным. Тогда при любом $\varepsilon>0$ функция $w^\varepsilon=u-\inf_{\Omega} u-\varepsilon v_s$ удовлетворяет неравенству $\mathcal{L}w^\varepsilon\geqslant0$ в $\pi$.

Далее, $\partial\pi=\partial B_r\cup\partial B_{r/2}$. Очевидно, что $w^\varepsilon\big|_{\partial B_r}\geqslant0$. Так как $B_r\subset\Omega\setminus M$ по построению, на $\partial B_{r/2}$ функция $u-\inf_{\Omega}u$ отделена от нуля, и для достаточно малого $\varepsilon>0$ имеем $w^\varepsilon\big|_{\partial B_{r/2}}\geqslant0$. Следовательно, к $w^\varepsilon$ в $\pi$ применим слабый принцип максимума, и $w^\varepsilon\geqslant0$ в $\pi$.

Но $w^\varepsilon(x^0)=0$, и потому для любого вектора $\boldsymbol{\ell}$, направленного внутрь $\pi$, имеем $\partial_{\boldsymbol{\ell}}w^\varepsilon(x^0)\geqslant0$, т. е.

$$ \begin{equation*} \partial_{\boldsymbol{\ell}}u(x^0)\geqslant \varepsilon \partial_{\boldsymbol{\ell}}v_s(x^0)>0, \end{equation*} \notag $$
что невозможно, поскольку в точке минимума выполнено равенство $Du(x^0)= 0$. Полученное противоречие доказывает утверждение.

3. Докажем теперь для $\mathcal{L}$ лемму о нормальной производной. По условию можно выбрать шар радиусом $r$, касающийся $\partial\Omega$ в точке $x^0$. Поместим начало координат в центр этого шара. Согласно сильному принципу максимума, $u>u(x^0)$ в $B_r$. Далее дословное повторение части 2 доказательства дает неравенство (1.1), в котором $\mathbf{n}$ можно заменить на $\boldsymbol{\ell}$.

4. Наконец, откажемся от условия $c\equiv0$. Утверждения (A2), (A3), (B2) и (B3) немедленно следуют из замечания 2.1.

Для доказательства (A1) и (B1) представим функцию $u$ в виде произведения $u=\psi v$, где $\psi>0$ и $v\geqslant0$ в $\overline{\Omega}$. Прямым вычислением получаем

$$ \begin{equation} 0\leqslant \frac{\mathcal{L}u+cu}{\psi}=\widetilde{\mathcal{L}}v:= -a^{ij}D_iD_jv+\widetilde{b}^iD_iv+\widetilde{c}v, \end{equation} \tag{2.6} $$
где
$$ \begin{equation*} \widetilde{b}^i=b^i-\frac{2a^{ij}D_j\psi}{\psi}\,, \qquad \widetilde{c}=\frac{\mathcal{L}\psi+c\psi}{\psi}\,. \end{equation*} \notag $$
Теперь положим $\psi(x)=\exp\{\lambda x_1\}$. Тогда
$$ \begin{equation*} \mathcal{L}\psi+c\psi=\psi (-a^{11}\lambda^2+b^1\lambda+c)\leqslant \psi\Bigl(-\nu\lambda^2+\sup_{\Omega}b^1(x)\lambda+\sup_{\Omega}c(x)\Bigr). \end{equation*} \notag $$
Выберем $\lambda$ настолько большим, чтобы выражение в последних скобках было отрицательным. Тогда для оператора $\widetilde{\mathcal{L}}$, определенного в (2.6), справедливы пп. 1, (b), и 2, (b), замечания 2.1. В частности, $v$ не может обращаться в нуль внутри области, что дает (A1). Поскольку $u(x^0)=0$ влечет $Du(x^0)=\psi(x^0)Dv(x^0)$, из п. 2, (b), для функции $v$ следует (B1) для $u$. Теорема 2.1 доказана.

2.2. Расширение классических результатов. Уточнение условий на границу области

После появления базовых результатов [24], [25] усилиями многих авторов тематика развивалась по нескольким направлениям:

Описание результатов начнем с работы К. Пуччи [29], в которой лемма о нормальной производной установлена в области $\Omega=B_r$ для более широкого класса операторов, чем в [24], [25]. Именно, допускается вырождение условия эллиптичности на касательных к $\partial\Omega$ направлениях, а младшие коэффициенты удовлетворяют условиям

$$ \begin{equation} |b^i(x)|\leqslant \frac{\sigma({\rm d}(x))}{{\rm d}(x)}\,,\qquad 0\leqslant c(x)\leqslant \frac{\sigma({\rm d}(x))}{{\rm d}^2(x)}\,,\qquad \sigma\in\mathcal{D}. \end{equation} \tag{2.7} $$
Основой доказательства Пуччи служит барьерная функция
$$ \begin{equation*} \mathfrak{v}(x)=\int_0^{{\rm d}(x)}\,\int_0^\tau\frac{\sigma(t)}t\,dt\,d\tau+ \kappa{\rm d}(x) \end{equation*} \notag $$
при подходящем выборе константы $\kappa$. Эта функция и различные ее вариации используются во многих последующих работах.

Если условие эллиптичности вырождается еще больше, то сильный принцип максимума в классическом виде не выполняется. А. Д. Александров в серии работ [30] дал для таких операторов описание структуры множества нулей неотрицательной функции $u$, удовлетворяющей неравенству $\mathcal{L}u+cu\geqslant0$ в $\Omega$.18

В работах Р. Выборного [31], [32] лемма о нормальной производной была доказана для оператора $\mathcal{L}+c(x)$ в области класса19 $\mathcal{C}^{1,\mathcal{D}}$. При этом на коэффициенты оператора накладывались такие же условия20, как в статье [29]. К сожалению, результаты работ [31], [32] не получили должной известности.

В работе [34] для уравнения Лапласа в области класса $\mathcal{C}^{1,\mathcal{D}}$ были получены точные оценки производных функции Грина задачи Дирихле21. В частности, была доказана лемма о нормальной производной в форме Неймана (нормальная производная функции Грина на $\partial\Omega$ положительна), а также построен контрпример, показывающий, что условие $\mathcal{C}^{1,\mathcal{D}}$ на границу области нельзя ослабить до $\mathcal{C}^{1}$. Именно, если $\phi'$ не удовлетворяет условию Дини в нуле, то в параболоиде ${\mathfrak T}(\phi,h)$ выполнено соотношение $\partial_{\mathbf{n}}\mathcal{G}(x,0)=0$.

Одновременно с [34] была опубликована заметка [35]. В ней были выведены тонкие асимптотики гармонических функций в окрестности негладких точек границы. В качестве следствия было показано, что если гармоническая в параболоиде ${\mathfrak T}(\phi,h)$ функция $u$ достигает наименьшего значения в его вершине $x^0=0$, то необходимым и достаточным условием положительности $\partial_{\boldsymbol{\ell}}u(0)$ для любого строго внутреннего направления $\boldsymbol{\ell}$ является условие Дини для функции $\phi'$ в нуле (это утверждение равносильно полученному в [34]).

Поведение решений уравнения $\mathcal{L}u=0$ в окрестности точки $x^0\in\partial\Omega$ в случае, когда граница области удовлетворяет в точке $x^0$ лишь условию внутреннего/внешнего конуса, при условии $b^i(x)=o(|x-x^0|^{-1})$ изучалось соответственно Дж. К. Оддсоном и К. Миллером.

Большой цикл работ по обобщению леммы о нормальной производной принадлежит Б. Н. Химченко и Л. И. Камынину.

В статье [36] лемма о нормальной производной для оператора Лапласа была установлена для областей, удовлетворяющих условию внутреннего $\mathcal{C}^{1,\mathcal{D}}$-параболоида. Далее, в этой работе была получена оценка нормальной производной на $\partial\Omega$ для решения задачи

$$ \begin{equation*} -\Delta u=f\quad\text{в}\ \Omega,\qquad u\big|_{\partial\Omega}=0, \end{equation*} \notag $$
в случае, когда $\Omega$ удовлетворяет условию внешнего $\mathcal{C}^{1,\mathcal{D}}$-параболоида22, а функция $f$ допускает оценку $|f(x)|\leqslant C {\rm d}^{\gamma-1}(x)$, $\gamma\in(0,1)$. Наконец, в [36] даны примеры, показывающие, что условия на границу нельзя заметно улучшить (и по существу повторяющие соответствующие контрпримеры из [34] и [35]).

В [37] результаты работы [36] были распространены на равномерно эллиптические операторы вида $\mathcal{L}+c(x)$ с ограниченными коэффициентами $b^i(x)$. Лемма о нормальной производной здесь сформулирована (для любого строго внутреннего направления) при условии, что “предполагается справедливым принцип максимума” (что, по-видимому, означало $c(x)\geqslant0$), а оценка градиента на $\partial\Omega$ для решения задачи

$$ \begin{equation*} \mathcal{L}u+cu=f \quad \text{в} \ \Omega,\qquad u\big|_{\partial\Omega}=g, \end{equation*} \notag $$
– при условиях
$$ \begin{equation*} |c(x)|, |f(x)|\leqslant C {\rm d}^{\gamma-1}(x), \quad \gamma\in(0,1);\qquad g\in \mathcal{C}^{1,\mathcal{D}}(\partial\Omega). \end{equation*} \notag $$

В статье [23] лемма о нормальной производной перенесена на эллиптико-параболические операторы

$$ \begin{equation*} -a^{ij}(x,y)D_{x_i} D_{x_j}-\tilde a^{kl}(x,y)D_{y_k} D_{y_l}+ b^i(x,y)D_{x_i}+\tilde b^k(x,y)D_{y_k}+c(x,y) \end{equation*} \notag $$
с ограниченными коэффициентами при следующих условиях: матрица $\mathcal{A}$ удовлетворяет условию равномерной эллиптичности, матрица $\widetilde{\mathcal{A}}$ неотрицательно определена, $c(x)\geqslant0$, область $\Omega$ удовлетворяет условию внутреннего $\mathcal{C}^{1,\mathcal{D}}$-параболоида, ось которого не перпендикулярна плоскости $y=0$.

В работе [38] результаты [37] обобщаются на класс слабо вырождающихся операторов, старшие коэффициенты которых удовлетворяют условиям, близким к условиям в [29], [31] (младшие коэффициенты ограничены)23.

Наконец, в серии статей 1978–1980 гг. Камынин и Химченко дали тонкие обобщения результатов работы [30].

Весьма интересная “ослабленная” форма леммы о нормальной производной была установлена Н. С. Надирашвили [40] в области $\Omega$, удовлетворяющей условию внутреннего конуса. Именно, пусть $\mathcal{L}$ – равномерно эллиптический оператор вида (2.1) и $c(x)\geqslant0$. Если непостоянная функция $u$, удовлетворяющая условию $\mathcal{L}u+cu\geqslant0$, достигает наименьшего неположительного значения в точке $x^0\in \partial\Omega$, то в любой окрестности $x^0$ найдется точка $x^*\in \partial\Omega$ такая, что для любого строго внутреннего направления $\boldsymbol{\ell}$ справедливо неравенство

$$ \begin{equation*} \liminf_{\varepsilon\to+0}\, \frac{u(x^*+\varepsilon\boldsymbol{\ell})-u(x^*)}\varepsilon>0. \end{equation*} \notag $$
В работе [41] этот результат был обобщен на некоторый класс областей с внешними “пиками” и на слабо вырождающиеся (в духе [38]) недивергентные операторы.

В статье Г. Либермана [33] было введено важное понятие регуляризованного расстояния24. В частности, было показано, что в любой области $\Omega$ класса $\mathcal{C}^1$ существует функция $\rho\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^n\setminus\partial\Omega)\cap \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^n)$, для которой выполнены следующие оценки (знаки $+$ и $-$ относятся соответственно к точкам $x\in\overline{\Omega}$ и $x\in\mathbb R^n\setminus\Omega$):

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, C^{-1}{\rm d}(x)&\leqslant \pm\rho(x)\leqslant C\,{\rm d}(x), \\ |D\rho(x)-D\rho(y)|&\leqslant C\sigma(|x-y|), \\ |D^2\rho(x)|&\leqslant C\,\frac{\sigma(|\rho(x)|)}{|\rho(x)|}\,. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Здесь $\sigma$ – общий модуль непрерывности градиентов функций, задающих $\partial\Omega$ в локальных координатах.

В качестве следствия в [33] получена лемма о нормальной производной в области класса $\mathcal{C}^{1,\mathcal{D}}$ при условиях на коэффициенты (как старшие, так и младшие), близких к [29], [31]. Вслед за этим в работе [42] были установлены оценки градиента на $\partial\Omega$ для решения задачи Дирихле в области класса $\mathcal{C}^{1,\mathcal{D}}$ с граничными данными $g\in \mathcal{C}^{1,\mathcal{D}}(\partial\Omega)$, а также проанализирована граничная гладкость решения в случае, когда $Dg\in\mathcal{C}(\partial\Omega)$ не удовлетворяет условию Дини.

Отметим, наконец, монументальную работу [14]. Условия на коэффициенты, при которых справедливы лемма о нормальной производной и сильный принцип максимума, в ней несколько ослаблены по сравнению с работами, перечисленными ранее, хотя проверять эти условия существенно труднее. Также в [14] приведены некоторые новые контрпримеры, показывающие точность введенных условий.

2.3. Принцип максимума Александрова–Бакельмана

Этот пункт посвящен одной из самых красивых геометрических идей в теории уравнений в частных производных – принципу максимума А. Д. Александрова и И. Я. Бакельмана. Такое название получили априорные оценки максимума для решений недивергентных уравнений, имеющие огромное число приложений и, в частности, играющие ключевую роль в доказательстве сильного принципа максимума и леммы о нормальной производной для уравнений с неограниченными младшими коэффициентами из пространств Лебега.

Первые оценки этого типа были опубликованы в работах25 [43] и [44]. Оценка решения задачи Дирихле в общем случае была получена в [48]. В этой работе, кроме того, была доказана точность полученных оценок26. В 1963 г. Александров прочел в Италии цикл лекций о своем методе. Двумя годами позже эти лекции были изданы в Риме.

Для доказательства оценки Александрова–Бакельмана введем некоторые определения.

Пусть в области $\Omega$ задана непрерывная функция $u$, причем $u\big|_{\partial \Omega}<0$. Обозначим $\widetilde\Omega={\rm conv}(\Omega)$ выпуклую оболочку $\Omega$ и будем в дальнейшем считать, что функция $u_+$ продолжена нулем на $\widetilde\Omega\setminus\Omega$.

Выпуклой оболочкой функции $u_+$ назовем наименьшую функцию, выпуклую вверх и мажорирующую $u_+$ в области $\widetilde\Omega$. Будем обозначать эту функцию $z$. Очевидно, что $z\big|_{\partial\widetilde\Omega}=0$ и подграфик функции $z$ – выпуклое множество (выпуклая оболочка подграфика $u_+$). Можно показать также (см. [18]), что если $\Omega$ – область класса $\mathcal{C}^{1,1}$ и $u\in \mathcal{C}^{1,1}(\Omega)$, то27 $z\in \mathcal{C}^{1,1}(\widetilde\Omega)$. Введем еще так называемое контактное множество

$$ \begin{equation*} \mathcal{Z}=\{x\in\Omega\colon z(x)=u(x)\}. \end{equation*} \notag $$

Определим теперь (вообще говоря, многозначное) нормальное отображение (отображение годографа) $\Phi\colon\widetilde\Omega\to\mathbb{R}^n$, порождаемое функцией $z$. Каждой точке $x^0\in\widetilde\Omega$ это отображение ставит в соответствие всевозможные векторы $p\in \mathbb{R}^n$ такие, что график функции $\pi(x)=p\cdot(x-x^0)+z(x^0)$ является опорной плоскостью к подграфику функции $z$ в точке $x^0$. Очевидно, что если $z\in C^1(\widetilde\Omega)$, то отображение $\Phi$ однозначно в области $\widetilde\Omega$ (но не в ее замыкании!) и задается формулой $\Phi(x)=Dz(x)$.

Рассмотрим сначала оператор $\mathcal{L}_0$ с измеримыми коэффициентами.

Лемма 2.1. Пусть $\Omega$ – область класса $\mathcal{C}^{1,1}$, и пусть $u\in \mathcal{C}^{1,1}(\Omega)$, причем $u\big|_{\partial\Omega}<0$. Предположим, что выполнено условие равномерной эллиптичности (2.3). Тогда для любой неотрицательной функции $\mathfrak{g}$ справедливо неравенство

$$ \begin{equation} \int_{\Phi(\widetilde\Omega)}\mathfrak{g}(p)\,dp\leqslant \frac{1}{n^n} \int_{\mathcal{Z}}\mathfrak{g}(Du) \frac{(\mathcal{L}_0u)^n}{\det(\mathcal{A})}\,dx. \end{equation} \tag{2.8} $$

Доказательство. Заметим, что в условиях леммы отображение $\Phi$ удовлетворяет условию Липшица. По формуле замены переменных в интеграле получаем
$$ \begin{equation} \int_{\Phi(\widetilde\Omega)}\mathfrak{g}(p)\,dp= \int_{\widetilde\Omega}\mathfrak{g}(Dz)|\det(D^2z)|\,dx= \int_{\widetilde\Omega}\mathfrak{g}(Dz)\det(-D^2z)\,dx \end{equation} \tag{2.9} $$
(последнее равенство следует из того, что матрица $(-D^2z)$ неотрицательно определена).

Если $x\notin \mathcal{Z}$, то по теореме Каратеодори точка $(x,z(x))$ является внутренней точкой симплекса28, полностью лежащего на графике функции $z$. Поэтому вторая производная $z$ в некотором направлении равна нулю. Но в силу знакоопределенности $D^2z(x)$ это направление должно быть главным, и, следовательно, $\det(-D^2z(x))=0$.

Если же $x\in \mathcal{Z}$, то условие касания в точке $x$ дает

$$ \begin{equation*} Dz(x)=Du(x),\qquad -D^2z(x)\leqslant-D^2u(x) \end{equation*} \notag $$
(второе соотношение понимается в смысле квадратичных форм и справедливо для почти всех $x$). Поэтому из (2.9) следует, что
$$ \begin{equation*} \int_{\Phi(\widetilde\Omega)}\mathfrak{g}(p)\,dp\leqslant \int_\mathcal{Z}\mathfrak{g}(Du)\det(-D^2u)\,dx. \end{equation*} \notag $$

Далее, поскольку на множестве $\mathcal Z$ матрицы $\mathcal{A}$ и $-D^2u$ неотрицательно определены, матрица $-\mathcal{A}\cdot D^2u$ имеет неотрицательные собственные числа. По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим имеем (здесь и далее $\operatorname{Tr}$ – след матрицы)

$$ \begin{equation*} \det(-D^2u)=\frac{\det(-\mathcal{A}\cdot D^2u)}{\det(\mathcal{A})}\leqslant \frac{1}{n^n}\,\frac{(\operatorname{Tr}(-\mathcal{A}\cdot D^2u))^n} {\det(\mathcal{A})}=\frac{1}{n^n}\, \frac{(\mathcal{L}_0u)^n}{\det(\mathcal{A})}\,, \end{equation*} \notag $$
откуда немедленно получаем (2.8). Лемма доказана.

Замечание 2.2. Поскольку на множестве $\mathcal{Z}$ выполнены неравенства $u>0$ и $\mathcal{L}_0u\geqslant0$, вместо (2.8) часто используется более удобная оценка

$$ \begin{equation} \int_{\Phi(\widetilde\Omega)}\mathfrak{g}(p)\,dp\leqslant \frac{1}{n^n}\int_{\{u>0\}}\mathfrak{g}(Du)\, \frac{(\mathcal{L}_0u)_+^n}{\det(\mathcal{A})}\,dx. \end{equation} \tag{2.10} $$

Теорема 2.2. Пусть выполнено условие (2.2), и пусть $\operatorname{Tr}(\mathcal{A})> 0$ почти всюду в $\Omega$. Тогда для любой функции $u\in W^2_{n,{\rm loc}}(\Omega)$ такой, что29 $u\big|_{\partial\Omega}\leqslant0$, выполнена оценка

$$ \begin{equation} \bigl(\max_{\overline\Omega}u_+\bigr)^n\leqslant \frac{\operatorname{diam}^n(\Omega)}{n^n|B_1|}\int_{\mathcal{Z}} \frac {(\mathcal{L}_0u)^n}{\det(\mathcal{A})}\,dx \end{equation} \tag{2.11} $$
(здесь и далее следует положить $0/0=0$, если такая неопределенность возникает).

Доказательство. Будем сначала считать, что матрица $\mathcal{A}$, функция $u$ и область $\Omega$ удовлетворяют условиям леммы 2.1. Достаточно рассмотреть случай $M=\max_{\overline\Omega}u=\max_{\widetilde\Omega}z>0$.

Положим $d=\operatorname{diam}(\Omega)=\operatorname{diam}(\widetilde\Omega)$ и покажем, что множество $\Phi(\widetilde\Omega)$ содержит шар $B_{M/d}$. Действительно, пусть $p\in B_{M/d}$. Рассмотрим плоскость – график функции $\pi(x)=p\cdot x+h$. Выбрав подходящее $h$, можно добиться, чтобы эта плоскость была опорной к подграфику функции $z$ в некоторой точке $x^0$, и записать $\pi(x)=p\cdot(x-x^0)+z(x^0)$.

Если $x^0\in\partial\widetilde\Omega$, то $z(x^0)=0$ и в точке максимума функции $z$ имеем

$$ \begin{equation*} M=z(x)\leqslant p\cdot(x-x^0)\leqslant |p|\cdot d<M, \end{equation*} \notag $$
что невозможно. Поэтому $x^0\in\widetilde\Omega$, откуда следует, что
$$ \begin{equation*} p=Dz(x^0)=\Phi(x^0)\in\Phi(\widetilde\Omega), \end{equation*} \notag $$
и утверждение доказано.

Применяя оценку (2.8) с $\mathfrak{g}\equiv1$, получим

$$ \begin{equation*} |B_1|\cdot \biggl(\frac{M}{d}\biggr)^n=|B_{M/d}|\leqslant |\Phi(\widetilde\Omega)|\leqslant \frac{1}{n^n}\int_\mathcal{Z} \frac{(\mathcal{L}_0u)^n}{\det(\mathcal{A})}\,dx, \end{equation*} \notag $$
откуда немедленно следует (2.11).

Рассмотрим теперь общий случай. Подынтегральное выражение в (2.11) не меняется от домножения матрицы $\mathcal{A}$ на положительную функцию. Поэтому, не умаляя общности, можно считать, что $\operatorname{Tr}(\mathcal{A})\equiv1$. Возьмем функцию $u^{\varepsilon}=u-\varepsilon$ и аппроксимируем $\Omega$ изнутри областями с гладкими границами. Далее, поскольку оценка (2.11) выдерживает предельный переход в $W^2_n$, можно считать $u^{\varepsilon}$ гладкой функцией. Применим оценку (2.11) к функции $u^{\varepsilon}$ и равномерно эллиптическому оператору $\mathcal{L}_0-\nu\Delta$. Затем можно положить $\nu\to0$, а потом $\varepsilon\to0$. Теорема доказана.

Теорема 2.3. Пусть $\mathcal{L}$ – оператор общего вида (2.1), выполнено условие (2.2) и $\operatorname{Tr}(\mathcal{A})>0$ почти всюду в $\Omega$. Предположим, что

$$ \begin{equation} \mathfrak{h}\equiv \frac{|\mathbf{b}|}{\det^{1/n}(\mathcal{A})} \in L_n(\Omega). \end{equation} \tag{2.12} $$
Тогда для любой функции $u$, удовлетворяющей условиям теоремы 2.2, выполнена оценка
$$ \begin{equation} \max_{\overline\Omega}u_+\leqslant N(n,\|\mathfrak{h}\|_{n,\{u>0\}}) \operatorname{diam}(\Omega)\, \biggl\|\frac{(\mathcal{L}u)_+}{\det^{1/n}(\mathcal{A})}\biggr\|_{n,\{u>0\}}. \end{equation} \tag{2.13} $$

Доказательство. Будем считать, что матрица $\mathcal{A}$, функция $u$ и область $\Omega$ удовлетворяют условиям леммы 2.1. Общий случай получается из этого аналогично второй части доказательства теоремы 2.2.

Пусть $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}(|p|)$. Учитывая, что $B_{M/d}\subset\Phi(\widetilde\Omega)$, из (2.10) получаем

$$ \begin{equation} n|B_1|\int_0^{M/d}\mathfrak{g}(\rho)\rho^{n-1}\,d\rho\leqslant \frac{1}{n^n}\int_{\{u>0\}}\mathfrak{g}(|Du|)\, \frac{(\mathcal{L}u-b^iD_iu)_+^n}{\det(\mathcal{A})}\,dx. \end{equation} \tag{2.14} $$

Введем обозначение

$$ \begin{equation*} F=\biggl\|\frac{(\mathcal{L}u)_+}{\det^{1/n}(\mathcal{A})}\biggr\|_{n,\{u>0\}} +\varepsilon,\qquad \varepsilon>0. \end{equation*} \notag $$
Тогда дробь в правой части (2.14) можно оценить по неравенству Гёльдера:
$$ \begin{equation*} \frac{(\mathcal{L}u-b^iD_iu)_+^n}{\det(\mathcal{A})}\leqslant (F^{n/(n-1)}+|Du|^{n/(n-1)})^{n-1} \biggl(\frac{(\mathcal{L}u)_+^n} {\det(\mathcal{A})F^n}+\mathfrak{h}^n\biggr). \end{equation*} \notag $$
Положим $\mathfrak{g}(\rho)=(F^n+\rho^n)^{-1}$. Тогда из (2.14) получим
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &n|B_1|\int_0^{M/d}\frac{\rho^{n-1}}{F^n+\rho^n}\,d\rho \\ &\qquad\leqslant \frac{1}{n^n}\int_{\{u>0\}} \frac{(F^{n/(n-1)}+|Du|^{n/(n-1)})^{n-1}} {F^n+|Du|^n}\biggl(\frac{(\mathcal{L}u)_+^n}{\det(\mathcal{A})F^n}+ \mathfrak{h}^n\biggr)\,dx. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Учитывая элементарное неравенство $(x+y)^{n-1}\leqslant 2^{n-2}(x^{n-1}+y^{n-1})$, отсюда выводим
$$ \begin{equation*} \ln\biggl(1+\frac{M^n}{d^nF^n}\biggr)\leqslant \frac{2^{n-2}}{n^n|B_1|}(1+\|\mathfrak{h}\|^n_{n,\{u>0\}}), \end{equation*} \notag $$
или
$$ \begin{equation*} M\leqslant d\cdot F\cdot\biggl(\exp\biggl\{\frac{2^{n-2}}{n^n|B_1|} \bigl(1+\|\mathfrak{h}\|^n_{n,\{u>0\}}\bigr)\biggr\}-1\biggr)^{1/n}. \end{equation*} \notag $$
Полагая $\varepsilon\to0$ в выражении для $F$, приходим к (2.13). Теорема доказана.

Замечание 2.3. Если выполнено условие (2.3) равномерной эллиптичности, то из (2.13) с учетом замечания 2.2 следует более простая оценка:

$$ \begin{equation} \max_{\overline\Omega}u_+\leqslant N\biggl(n,\frac{\|\mathbf{b}\|_{n,\{u>0\}}}{\nu}\biggr)\, \frac{\operatorname{diam}(\Omega)}{\nu}\, \|(\mathcal{L}u)_+\|_{n,\{u>0\}}. \end{equation} \tag{2.15} $$

Поясним отличие теоремы 2.3 от некоторых других оценок максимума.

Для равномерно эллиптических операторов вида (2.1) хорошо известна оценка максимума Хопфа (см., например, [51; теорема 3.7]):

$$ \begin{equation*} \max_{\overline\Omega}u_+\leqslant C\biggl(\operatorname{diam}(\Omega), \frac{\|\mathbf{b}\|_{\infty,\{u>0\}}}{\nu}\biggr)\, \frac{\|(\mathcal{L}u)_+\|_{\infty,\{u>0\}}}{\nu}\,. \end{equation*} \notag $$
Здесь максимум решения оценивается через $L_{\infty}$-норму правой части, что оказывается недостаточным в приложениях.

С другой стороны, из коэрцитивных оценок в $L_r$ (см. [51; теорема 9.13]) и теоремы вложения Соболева следует, что

$$ \begin{equation} \max_{\overline\Omega}u_+\leqslant C\|(\mathcal{L}_0u)_+\|_{r,\Omega},\qquad r>\frac{n}{2}\,. \end{equation} \tag{2.16} $$
Однако в этой оценке константа $C$ зависит от модулей непрерывности коэффициентов $a^{ij}$. Поэтому, например, для квазилинейных уравнений, когда коэффициенты $a^{ij}$ зависят от самого решения $u$ и от его производных, оценка (2.16) мало полезна.

Оценка Александрова–Бакельмана отличается тем, что не требует ни непрерывности старших коэффициентов, ни ограниченности младших коэффициентов и правой части уравнения.

В связи с теоремой 2.3 упомянем так называемый принцип максимума в форме Бони:

Пусть $\mathcal{L}$ – оператор вида (2.1) и выполнено условие (2.2). Если функция $u$ достигает наименьшего значения в точке $x^0\in\Omega$, то справедливо неравенство

$$ \begin{equation*} \operatorname{ess}\,\liminf_{x\to x^0}\mathcal{L}u\leqslant 0. \end{equation*} \notag $$

Это утверждение было доказано для операторов с ограниченными коэффициентами Ж.-М. Бони в 1967 г. при $u\in W^2_q(\Omega)$, $q>n$, и П.-Л. Лионсом30 в 1983 г. при $u\in W^2_n(\Omega)$. Мы докажем его вариант для операторов с неограниченными младшими коэффициентами.

Следствие 2.1. Предположим, что коэффициенты оператора $\mathcal{L}$ удовлетворяют условиям теоремы 2.3. Если функция $u\in W^2_{n,{\rm loc}}(\Omega)$ достигает наименьшего значения в точке $x^0\in\Omega$, то

$$ \begin{equation} \operatorname{ess}\,\liminf_{x\to x^0} \frac{\mathcal{L}u}{\operatorname{Tr}(\mathcal{A})}\leqslant 0. \end{equation} \tag{2.17} $$

Доказательство. Как и в теореме 2.2, не умаляя общности, можно считать, что $\operatorname{Tr}(\mathcal{A})\equiv1$. Поместим начало координат в точку $x^0$.

Предположим, что в некоторой окрестности точки $0$ почти всюду выполнено неравенство $\mathcal{L}u\geqslant\delta>0$. Рассмотрим в шаре $B_r$ функцию

$$ \begin{equation*} w^\varepsilon(x)=\varepsilon\biggl(1-\frac{|x|^2}{r^2}\biggr)-u(x)+u(0). \end{equation*} \notag $$
Тогда $w^\varepsilon(0)=\varepsilon$ и при достаточно малом $r$ имеем $w^\varepsilon\big|_{\partial B_r}\leqslant0$. Применяя к $w^\varepsilon$ в $B_r$ оценку (2.15), получаем
$$ \begin{equation*} \varepsilon\leqslant N(n,\|\mathfrak{h}\|_{n,B_r})\cdot 2r\cdot \biggl\|\frac{(\mathcal{L}w^\varepsilon)_+} {\det^{1/n}(\mathcal{A})}\biggr\|_{n,B_r}. \end{equation*} \notag $$
Поскольку
$$ \begin{equation*} \mathcal{L}w^\varepsilon=\frac{2\varepsilon}{r^2} \bigl(\operatorname{Tr}(\mathcal{A})+b^ix_i\bigr)-\mathcal{L}u\leqslant \frac {2\varepsilon}{r^2}(1+r|\mathbf{b}|)-\delta, \end{equation*} \notag $$
это дает при $\varepsilon<\delta r^2/4$
$$ \begin{equation*} \varepsilon\leqslant N \biggl\|\frac{(4\varepsilon|\mathbf{b}|-r\delta)_+} {\det^{1/n}(\mathcal{A})}\biggr\|_{n,B_r}\overset{(*)}{\leqslant} 4\varepsilon N \biggl\|\biggl(\mathfrak{h}- \frac {r\delta}{4\varepsilon}\biggr)_+\biggr\|_{n,B_r}= o(\varepsilon)\quad\text{при}\ \varepsilon\to 0 \end{equation*} \notag $$
(неравенство ($*$) следует из $\det^{1/n}(\mathcal{A})\leqslant\operatorname{Tr}(\mathcal{A})=1$). Полученное противоречие доказывает (2.17). Следствие доказано.

А. Д. Александров неоднократно развивал и усиливал результаты работы [48]. В статье [52] получены поточечные оценки решения задачи Дирихле через расстояние до границы области, в [53] они распространены на более широкий класс уравнений. Работа [54] посвящена доказательству достижимости полученных оценок, в небольшой заметке [55] доказана невозможность в общем случае ослабить требования на правую часть уравнения. Наконец, в статье [56] получены поточечные оценки решения через тонкие характеристики области $\Omega$ и на основании этого результата получена оценка градиента решения на $\partial\Omega$ для некоторых частных случаев.

В середине 1970-х годов Н. В. Крылов [57] впервые получил оценки александровского типа для параболических операторов. После этого исследование эллиптических и параболических задач шло почти параллельно, но обсуждение результатов для нестационарных уравнений выходит за рамки нашего обзора.

В дальнейшем техника работы с нормальным изображением стала применяться к краевым задачам, отличным от задачи Дирихле. Локальная оценка максимума александровского типа для задачи с наклонной производной (на части границы области задана производная по направлению некасательного векторного поля) была установлена в [58] для ограниченных коэффициентов $b^i$ и в [59] в общем случае (см. также [60]).

Для задачи Вентцеля, в которой на границе задается оператор

$$ \begin{equation*} \mathcal{L}' \equiv -\alpha^{ij}(x)\mathfrak{d}_i \mathfrak{d}_j+ \beta^i(x)D_i,\qquad \mathfrak{d}_i\equiv D_i-\mathbf{n}_i\mathbf{n}_kD_k,\qquad \beta^i(x)\mathbf{n}_i\geqslant0, \end{equation*} \notag $$
имеющий второй порядок по касательным переменным, соответствующие оценки были получены в [61], [62] в двух случаях: невырожденном, когда оператор $\mathcal{L}'$ равномерно эллиптичен относительно касательных переменных, и вырожденном, когда члены второго порядка в граничном операторе могут обращаться в нуль на множестве положительной меры, но векторное поле $(\beta^i)$ некасательно к $\partial\Omega$. Впоследствии эти оценки были обобщены на случай операторов $\mathcal{L}$ и $\mathcal{L}'$ с неограниченными младшими коэффициентами [63], [64]. В статье [65] были установлены локальные оценки александровского типа для решений так называемой двухфазной задачи Вентцеля. Во всех перечисленных случаях указанные оценки служили “стартовой площадкой” для получения серии априорных оценок, требуемых для доказательства теорем существования решения квазилинейных и нелинейных краевых задач.

Другое направление развития идей Александрова – перенесение оценок максимума на уравнения с младшими коэффициентами и правыми частями из других функциональных классов. В работах [66], [60] и [67] были рассмотрены различные классы операторов с “составными” коэффициентами. Статья [68] посвящена оценке александровского типа через нормы правой части в весовых пространствах Лебега. Каждый из этих результатов приводил к соответствующему расширению класса нелинейных уравнений, для которых удается доказать разрешимость основных краевых задач.

Л. Каффарелли [69] установил оценку Александрова–Бакельмана для так называемых вязкостных решений эллиптических уравнений. Далее эта идея активно применялась к различным классам нелинейных уравнений (см., например, главу 3 монографии [70] и ссылки в ней, а также ряд более поздних работ).

Еще одна группа работ посвящена ослаблению условий на правую часть уравнения для некоторых классов операторов $\mathcal{L}$. В 1984 г. Ю. Фэйбс и Д. Струк [71] получили оценку (2.16) для операторов с измеримыми старшими коэффициентами при $r>r_0$, где $r_0<n$ – показатель, зависящий от константы эллиптичности оператора. В работах [72] и [73] эта оценка была установлена для задачи с наклонной производной. С другой стороны, К. Пуччи [74] с помощью введенных им понятий максимального и минимального операторов установил нижнюю границу для значений $r_0$, при которых такая оценка возможна (в связи с этим см. [75] и цитируемую там литературу). Необходимые и достаточные условия выполнения оценки (2.16) получены лишь в двумерном случае [76]. В ряде работ (см. [77] и приведенную там литературу) результаты статьи [71] были распространены на вязкостные решения нелинейных уравнений.

В работе [78] установлена серия оценок максимума решения через $L_m$-нормы правой части (здесь $m\in(n/2,n]$ – целое число) при условии, что матрица старших коэффициентов уравнения для почти всех $x\in\Omega$ принадлежит некоторому специальному выпуклому конусу в пространстве матриц. Среди недавних продвижений в этом направлении назовем статью Н. С. Трудингера [79]. Несомненно, эти исследования еще далеки от завершения.

Следует отметить также работу [80], в которой изучается зависимость оценки максимума от характеристик области. В частности, удалось получить оценку через $|\Omega|^{1/n}$ вместо диаметра области (заметим, что для выпуклых областей это было сделано еще в [48]).

Упомянем еще работу Х.-Ж. Куо и Н. С. Трудингера 2000 г., в которой получен дискретный аналог оценки Александрова–Бакельмана для разностных операторов.

2.4. Результаты для операторов с коэффициентами $b^i(x)$ из пространств Лебега

Простейшее следствие оценки Александрова–Бакельмана – слабый принцип максимума для операторов вида (2.1) с коэффициентами $b^i\in L_n(\Omega)$ и функций $u\in W^2_n(\Omega)$. Более того, как указано уже в [48], эта оценка позволяет рассмотреть оператор $\mathcal{L}+c(x)$ с коэффициентом $c(x)$ “неправильного знака”.

Следствие 2.2. Предположим, что коэффициенты оператора $\mathcal{L}$ удовлетворяют условиям теоремы 2.3. Тогда существует константа $\delta>0$, зависящая только от $n$, $\operatorname{diam}\Omega$ и $\|\mathfrak{h}\|_{n,\Omega}$ (функция $\mathfrak{h}$ введена в (2.12)), такая, что если

$$ \begin{equation*} h\equiv \frac{c_-}{\det^{1/n}(\mathcal{A})}\in L_n(\Omega), \qquad \|h\|_{n,\Omega}<\delta \end{equation*} \notag $$
(напомним, что мы полагаем $0/0=0$, если такая неопределенность возникает), то для оператора $\mathcal{L}+c(x)$ и функций $u\in W^2_{n,{\rm loc}}(\Omega)$ справедлив слабый принцип максимума.

Доказательство. Предположим, напротив, что $\mathcal{L}u+cu\geqslant0$ в $\Omega$ и $u\geqslant0$ на $\partial\Omega$, но $\min_{\Omega}u=-A<0$. Рассмотрим функцию $u^\varepsilon=-u-\varepsilon$ и применим к ней оценку (2.13). Поскольку на множестве $\{u^\varepsilon>0\}$ справедливо неравенство $\mathcal{L}u^\varepsilon=-\mathcal{L}u\leqslant cu\leqslant Ac_-$, мы получаем
$$ \begin{equation*} (A-\varepsilon)_+\leqslant N(n,\|\mathfrak{h}\|_{n,\Omega}) \operatorname{diam}(\Omega)\,\|h\|_{n,\Omega}\,A, \end{equation*} \notag $$
что невозможно, если $N(n,\|\mathfrak{h}\|_{n,\Omega}) \operatorname{diam}(\Omega)\|h\|_{n,\Omega}<1$ и $\varepsilon>0$ достаточно мало. Следствие доказано.

Легко видеть, что доказательство теоремы 2.1 теперь проходит без изменений для так называемых сильных суперрешений: $u\in W^2_n(\Omega)$ и $\mathcal{L}u+cu\geqslant0$ почти всюду в $\Omega$ (коэффициенты оператора $\mathcal{L}$ измеримы и ограничены). Однако для того, чтобы включить в рассмотрение младшие коэффициенты из пространств Лебега, были необходимы новые идеи.

Заметим, что снизить требование $b^i\in L_n(\Omega)$ до $b^i\in L_p(\Omega)$ при $p<n$ невозможно: функция $u(x)=|x|^2$ удовлетворяет уравнению

$$ \begin{equation*} -\Delta u+\frac{nx_i}{|x|^2}\,D_iu=0 \quad\text{в} \ B_1, \end{equation*} \notag $$
но не удовлетворяет принципу максимума; коэффициенты $b^i(x)=nx_i/|x|^2$ при этом лежат в пространстве $L_p(B_1)$ с любым $p<n$ и даже в слабом пространстве $L_n$ – пространстве Лоренца $L_{n,\infty}(B_1)$, но не в $L_n(B_1)$.

Сильный принцип максимума для операторов с $b^i\in L_n(\Omega)$ был установлен в [30; ч. VI]. Мы докажем простейший вариант этого результата31.

Теорема 2.4. Пусть $\mathcal{L}$ – оператор вида (2.1), выполнено условие (2.3) и $b^i\in L_{n,{\rm loc}}(\Omega)$. Предположим, что $u\in W^2_{n,{\rm loc}}(\Omega)$ и неравенство $\mathcal{L}u\geqslant0$ выполнено почти всюду в $\Omega$. Если $u$ достигает наименьшего значения во внутренней точке области, то $u \equiv \operatorname{const}$ и $\mathcal{L} u \equiv 0$.

Доказательство. Предположим, что $u\not\equiv \operatorname{const}$, но множество (2.4) не пусто. Как и в доказательстве теоремы 2.1, в $\Omega\setminus M$ найдется шар, граница которого содержит точку $x^0\in M$. Обозначим радиус этого шара $r/2$ и будем считать, не умаляя общности, что $B_r\subset\Omega$. Обозначим $\pi= B_r\setminus \overline{B}_{r/4}$ и рассмотрим в $\pi$ барьерную функцию (2.5).

Имеем

$$ \begin{equation*} \mathcal{L}v_s(x) \leqslant s|x|^{-s-2}\bigl(-(s+2)\nu +n\nu^{-1}+ r|\mathbf{b}(x)|\bigr). \end{equation*} \notag $$
В отличие от теоремы 2.1, здесь мы не можем добиться выполнения неравенства $\mathcal{L}v_s\leqslant0$. Однако, выбрав $s=n\nu^{-2}$, мы получим
$$ \begin{equation*} \mathcal{L}v_s(x) \leqslant s|x|^{-s-2}|\mathbf{b}(x)|\leqslant 4^{s+2}sr^{-s-1}|\mathbf{b}(x)|\quad\text{в}\ \pi. \end{equation*} \notag $$
По построению на $\partial B_{r/4}$ выполнено неравенство $u(x)-u(x^0)>0$. Поэтому для достаточно малого $\varepsilon>0$ функция $w^\varepsilon(x)=\varepsilon v_s(x)-u(x)+u(x_0)$ неположительна на всей границе области $\pi$.

Применяя к $w^\varepsilon$ в $\pi$ оценку (2.15), получаем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, w^\varepsilon(x)&\leqslant C(n,\nu,\|\mathbf{b}\|_{n,\pi})r\varepsilon \|(\mathcal{L}v_s(x))_+\|_{n,\pi} \\ &\leqslant C(n,\nu,s,\|\mathbf{b}\|_{n,\pi})\varepsilon r^{-s} \|\mathbf{b}\|_{n,\pi}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
и потому
$$ \begin{equation} u(x)-u(x^0)\geqslant \varepsilon\bigl(|x|^{-s}-r^{-s}- C(n,\nu,s,\|\mathbf{b}\|_{n,\pi})\|\mathbf{b}\|_{n,\pi}r^{-s}\bigr). \end{equation} \tag{2.18} $$
По теореме Лебега для любого $\delta>0$ можно выбрать $r$ столь малым, что $\|\mathbf{b}\|_{n,\pi}\leqslant\delta$. Тогда неравенство (2.18) в точке $x^0$ дает
$$ \begin{equation*} 0\geqslant \varepsilon r^{-s}\bigl(2^s-1-C(n,\nu,s,\delta)\delta\bigr), \end{equation*} \notag $$
что невозможно при достаточно малом $\delta$. Теорема доказана.

В качестве следствия в [30; ч. VI] было доказано такое утверждение32.

Следствие 2.3. Пусть оператор $\mathcal{L}$ и функция $u$ удовлетворяют условиям теоремы 2.4. Пусть в окрестности $U$ точки $x^0\in\partial\Omega$ область удовлетворяет условию внутреннего шара. Предположим, что

$$ \begin{equation} u\big|_{\partial\Omega\cap U}\equiv \inf_{\Omega}u, \qquad Du\big|_{\partial\Omega\cap U}\equiv0. \end{equation} \tag{2.19} $$
Тогда $u\equiv \operatorname{const}$ в $\Omega$.

Доказательство. Продолжая функцию $u$ константой за пределы $\Omega$ в окрестности точки $x^0$, мы попадаем в условия теоремы 2.4.

Легко видеть, что следствие 2.3 существенно слабее леммы о нормальной производной, поскольку условия (2.19) должны выполняться на целом куске границы. Однако в отличие от случая ограниченных младших коэффициентов (когда сильный принцип максимума и лемма о нормальной производной доказываются практически одинаково) в условиях теоремы 2.4 лемма о нормальной производной неверна! Приведем соответствующий контрпример (см. [81]–[83]).

Пусть $u(x)=x_n\ln^\alpha(|x|^{-1})$ в полушаре $B_r^+=B_r\cap\{x_n>0\}$. Тогда легко видеть, что $u\in W^2_n(B_r^+)$ при $r\leqslant 1/2$ и $\alpha<(n-1)/n$. Далее, прямое вычисление показывает, что $u$ удовлетворяет уравнению

$$ \begin{equation*} -\Delta u+b^n(x)D_nu=0, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} |b^n|\leqslant \frac{C(\alpha)}{|x|\ln(|x|^{-1})}\in L_n(B_r^+). \end{equation*} \notag $$
Наконец, $u>0$ в $B_r^+$ и $u$ достигает наименьшего значения в граничной точке $0$. Однако при $\alpha<0$ очевидно имеем $D_nu(0)=0$.

Замечание 2.4. Ослабленная форма леммы о нормальной производной (см. [40]) в этом примере верна. Мы предполагаем, что такое утверждение верно для общего равномерно эллиптического оператора $\mathcal{L}$ с $b^i\in L_n(\Omega)$, но, насколько нам известно, этот вопрос остается открытым.

Замечание 2.5. Приведенный контрпример также показывает, что условия $b^i\in L_n(\Omega)$ недостаточно для оценки градиента решения задачи Дирихле на $\partial\Omega$, поскольку при $\alpha>0$ имеем $D_nu(0)=+\infty$.

Важную роль играет статья О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой [84] (краткое сообщение было опубликовано тремя годами раньше в Докладах АН СССР). Здесь впервые был применен итерационный метод оценки решения в окрестности границы. В простейшем случае он выглядит так.

Пусть в цилиндре $Q_{1,1}$ задана функция $u$, удовлетворяющая уравнению $\mathcal{L}u=f$ и граничному условию $u\big|_{x_n=0}=0$. Введем последовательность цилиндров $Q_{r_k,h_k}$, где $r_k=2^{-k}$, а $h_k$ – подходящим образом выбранная последовательность такая, что $h_k=o(r_k)$ при $k\to\infty$. Обозначим

$$ \begin{equation*} M_k=\sup_{Q_{r_k,h_k}}\frac{u(x)}{h_k} \end{equation*} \notag $$
и применим оценку Александрова–Бакельмана к разности
$$ \begin{equation*} u(x)-M_kh_k \cdot \mathfrak{v}\biggl(\frac{x'}{r_k}\,,\frac{x_n}{h_k}\biggr), \end{equation*} \notag $$
где $\mathfrak{v}$ – специальная барьерная функция.

Полученная оценка, взятая в точках $x\in Q_{r_{k+1},h_{k+1}}$, дает рекуррентное соотношение между $M_{k+1}$ и $M_k$. Итерированием этого соотношения получаем $\limsup_k M_k<\infty$, что дает оценку сверху для $D_nu(0)$ через $\sup_{Q_{1,1}}u$ и некоторую интегральную норму правой части.

В [84] эта схема была применена к уравнению $\mathcal{L}u=f$ с равномерно эллиптическим оператором $\mathcal{L}$ при условиях

$$ \begin{equation} u\in W^2_n(\Omega),\quad b^i\in L_q(\Omega),\quad f_+\in L_q(\Omega),\qquad q>n, \end{equation} \tag{2.20} $$
в области одного из двух классов:

1) выпуклые области;

2) области класса33 $W^2_q$.

В работе [66], как уже упоминалось в п. 2.3, была установлена оценка александровского типа в $\Omega\subset Q_{R,R}$ для операторов вида (2.1) с “составными” младшими коэффициентами $b^i=b^i_{(1)}+b^i_{(2)}$ при условии

$$ \begin{equation} b^i_{(1)}\in L_n(\Omega),\quad |b^i_{(2)}(x)|\leqslant Cx_n^{\gamma-1},\quad \gamma\in(0,1). \end{equation} \tag{2.21} $$
На основании этого результата в [66] была установлена оценка $\operatorname{ess}\,\sup\partial_{\mathbf{n}}u$ на $\partial\Omega$ в области класса $W^2_q$, $q>n$, при условиях
$$ \begin{equation*} \begin{alignedat}{3} b^i&=b^i_{(1)}+b^i_{(2)}, &\qquad b^i_{(1)}&\in L_q(\Omega), &\quad |b^i_{(2)}(x)|&\leqslant Cx_n^{\gamma-1}, \\ \mathcal{L}u&=f^{(1)}+f^{(2)}, &\qquad f^{(1)}_+&\in L_q(\Omega), &\quad f^{(2)}_+(x)&\leqslant Cx_n^{\gamma-1}, \end{alignedat} \qquad\gamma\in(0,1). \end{equation*} \notag $$

В работе М. В. Сафонова [85] (см. также [86]) был развит новый подход к проблеме, основанный на граничном неравенстве Гарнака (см. п. 4.3). При этом единым способом установлены:

В статье [82] итерационный метод Ладыженской–Уральцевой (несколько усовершенствованный) был применен35 для вывода леммы о нормальной производной в области $\Omega=Q_{R,R}$ при условиях

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, u\in W^2_{n,{\rm loc}}(\Omega)\cap \mathcal{C}(\overline{\Omega}),\qquad \min_{\overline\Omega} u=u(0); \\ b^i\in L_n(\Omega),\qquad b^n\in L_q(\Omega),\quad q>n. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Таким образом, оказалось, что по сравнению с $b^i\in L_n(\Omega)$ достаточно усилить условие только на нормальную компоненту вектора $\mathbf{b}$.

В работе [83] получены наиболее точные на данный момент условия справедливости как леммы о нормальной производной, так и оценки градиента решения задачи Дирихле на границе области. При этом явным образом продемонстрирована двойственность этих утверждений. Результат достигается комбинацией техники Ладыженской–Уральцевой–Сафонова и оценки александровского типа [60], в которой условие на $b^i_{(2)}$ из (2.21) уточнено до $|b^i_{(2)}(x)|\leqslant \sigma(x_n)/x_n$, $\sigma\in\mathcal{D}$.

Приведем формулировку этого результата.

Теорема 2.5. Пусть $\mathcal{L}$ – равномерно эллиптический оператор вида (2.1) в области $\Omega=Q_{R,R}$. Пусть $b^i=b^i_{(1)}+b^i_{(2)}$ и выполнены условия

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, b^i_{(1)}\in L_n(\Omega), \qquad \|b^n_{(1)}\|_{n,Q_{r,r}}\leqslant \sigma(r)\quad \textit{при } r\leqslant R; \\ |b^i_{(2)}(x)|\leqslant\frac{\sigma(x_n)}{x_n}\,;\qquad \sigma\in\mathcal{D}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Пусть также $u\in W^2_{n,{\rm loc}}(\Omega)\cap \mathcal{C}(\overline{\Omega})$. Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Если $u>0$ в $Q_{R,R}$, $u(0)=0$ и $\mathcal{L}u\geqslant0$, то

$$ \begin{equation*} \inf_{0<x_n<R}\frac{u(0,x_n)}{x_n}>0. \end{equation*} \notag $$

2. Если $u\big|_{x_n=0}\leqslant0$, $u(0)=0$ и $\mathcal{L}u=f^{(1)}+f^{(2)}$, где

$$ \begin{equation*} \|f^{(1)}_+\|_{n,Q_{r,r}}\leqslant \sigma(r)\quad \textit{при } r\leqslant R,\qquad f^{(2)}_+(x)\leqslant\frac {\sigma(x_n)}{x_n}\,, \end{equation*} \notag $$
то
$$ \begin{equation*} \sup_{0<x_n<R}\frac{u(0,x_n)}{x_n}\leqslant C, \end{equation*} \notag $$
где $C<\infty$ определяется известными величинами.

Важно отметить, что включение слагаемого $b^i_{(2)}$ позволяет проводить преобразование координат, использующее регуляризованное расстояние, в окрестности недостаточно гладкой границы. Таким образом к теореме 2.5 сводятся соответствующие утверждения в областях, удовлетворяющих условию внутреннего/внешнего $\mathcal{C}^{1,\mathcal{D}}$-параболоида.

В работе [15] был построен новый контрпример, показывающий точность условия внутреннего $\mathcal{C}^{1,\mathcal{D}}$-параболоида для леммы о нормальной производной. Приведем его формулировку в простейшем случае.

Теорема 2.6. Пусть $\Omega$ – область, локально выпуклая в окрестности начала координат, т. е. при некотором $R>0$

$$ \begin{equation*} \Omega\cap B_R=\bigl\{x\in\mathbb{R}^n\colon F(x')<x_n<\sqrt{R^2-|x'|^2}\,\bigr\}, \end{equation*} \notag $$
где $F$ – выпуклая функция, $F \geqslant 0$ и $F(0)=0$.

Пусть, далее, $u \in W^2_{n,{\rm loc}}( \Omega) \cap \mathcal{C}( \overline{\Omega})$ – решение уравнения $\mathcal{L}_0u=0$ с равномерно эллиптическим оператором $\mathcal{L}_0$, удовлетворяющее условию $u\big|_{\partial\Omega\cap B_R}=0$.

Если функция

$$ \begin{equation*} \delta (r)=\sup_{|x'|\leqslant r}\frac{F(x')}{|x'|} \end{equation*} \notag $$
не удовлетворяет условию Дини в нуле, то
$$ \begin{equation*} \lim_{\varepsilon\to+0} \frac{u(\varepsilon x_n)}\varepsilon=0. \end{equation*} \notag $$

Заметим, что если $\delta(r)$ удовлетворяет условию Дини в нуле, то $\Omega$ удовлетворяет условию внутреннего $\mathcal{C}^{1,\mathcal{D}}$-параболоида в начале координат. Таким образом, в случае локально выпуклых областей условие Дини в нуле для функции $\delta(r)$ необходимо и достаточно для справедливости леммы о нормальной производной.

Подчеркнем, что все предыдущие контрпримеры этого типа (см. [34], [35], [37] и [85]) требуют отсутствия условия Дини для функции $\inf\limits_{|x'|\leqslant r}\dfrac{F(x')}{|x'|}$ . Грубо говоря, в них условие Дини должно нарушаться во всех направлениях, в то время как в теореме 2.6 достаточно его нарушения в одном направлении.

Для областей общего вида в работе [86] был построен более тонкий контрпример, который, однако, слишком сложен для описания.

2.5. Неравенство Гарнака

Как уже упоминалось во введении, неравенство Гарнака, которое можно рассматривать как количественную версию сильного принципа максимума, впервые было доказано К. Г. А. фон Гарнаком [3] для гармонических функций на плоскости. Поскольку доказательство Гарнака основано на формуле Пуассона, оно очевидным образом справедливо в любой размерности. Формулировка Гарнака вошла в большинство учебников:

Если $u\geqslant0$ – гармоническая функция в $B_R\subset\mathbb{R}^n$, то

$$ \begin{equation} u(0)\frac{(R-|x|)R^{n-2}}{(R+|x|)^{n-1}}\leqslant u(x)\leqslant u(0)\frac{(R+|x|)R^{n-2}}{(R-|x|)^{n-1}}\,. \end{equation} \tag{2.22} $$
Отсюда для $\Omega=B_R$ и $\Omega'=B_{\theta R}$, $\theta<1$, немедленно следует неравенство (1.2) с $C=\biggl(\dfrac{1+\theta}{1-\theta}\biggr)^n$.

Далее в этом параграфе предполагается выполненным условие равномерной эллиптичности (2.3).

Л. Лихтенштейн в 1912 г. доказал неравенство (1.2) для операторов общего вида $\mathcal{L}+c(x)$, $c\geqslant0$, с $\mathcal{C}^2$-гладкими коэффициентами (также в двумерном случае).

Дж. Серрин в 1955 г. установил неравенство Гарнака при $n=2$ для операторов $\mathcal{L}+c(x)$, $c\geqslant0$, с ограниченными коэффициентами. Одновременно и независимо этот результат был получен в работе Л. Берса и Л. Ниренберга. Для случая $n\geqslant3$ Серрин также доказал (1.2) при условии36 $a^{ij}\in\mathcal{C}^{0,\mathcal{D}}(\Omega)$.

Важное улучшение было сделано Е. М. Ландисом [87] (см. также [28; гл. 1]). С помощью предложенной им леммы о возрастании он доказал неравенство Гарнака в произвольной размерности для оператора $\mathcal{L}_0$ с ограниченными коэффициентами при дополнительном условии – разброс собственных чисел матрицы $\mathcal{A}$ достаточно мал37. Именно, предполагаются выполненными следующие соотношения (после домножения матрицы $\mathcal{A}$ на подходящую положительную функцию):

$$ \begin{equation} \operatorname{Tr}(\mathcal{A})\equiv1, \qquad \nu>\frac{1}{n+2} \end{equation} \tag{2.23} $$
(очевидно, что всегда выполнено неравенство $\nu\leqslant 1/n$, причем равенство возможно только для оператора Лапласа).

Отметим, что все перечисленные результаты были получены для классических решений $u\in\mathcal{C}^2(\Omega)$.

Наконец, решающий шаг был сделан Н. В. Крыловым и М. В. Сафоновым [88], [89]. Сочетая метод Ландиса с оценками Александрова–Бакельмана (в эллиптическом случае) и Крылова [57] (в параболическом случае), им удалось получить неравенство (1.2) для сильных решений эллиптических [89] и параболических [88] уравнений с операторами общего вида $\mathcal{L}+c(x)$, $c\geqslant0$ (с ограниченными коэффициентами), без предположений о непрерывности матрицы $\mathcal{A}$ или о малости разброса ее собственных значений38.

Для операторов $\mathcal{L}$ с условием $b^i\in L_n(\Omega)$ неравенство Гарнака было доказано в [82] (см. также [59]). В статьях [91] и [92] продемонстрирован единый подход к доказательству неравенства Гарнака для дивергентных и недивергентных операторов. В то же время в [91] было показано39, что для операторов смешанного (дивергентно-недивергентного) вида

$$ \begin{equation*} -D_i(a^{ij}(x)D_j)-\tilde a^{ij}(x)D_iD_j \end{equation*} \notag $$
(матрицы старших коэффициентов $\mathcal{A}$ и $\widetilde{\mathcal{A}}$ удовлетворяют условию равномерной эллиптичности) неравенство Гарнака может не выполняться даже при $n=1$.

Упомянем еще работу [94], в которой неравенство Гарнака и гёльдеровская непрерывность решений были рассмотрены в “абстрактном” контексте метрических и квазиметрических пространств.

3. Операторы дивергентного вида

В этом разделе рассматриваются операторы следующей структуры:

$$ \begin{equation} {\mathfrak L} \equiv -D_i(a^{ij}(x)D_j)+b^i(x)D_i \end{equation} \tag{3.1} $$
(в случае $\mathbf{b}\equiv 0$ вместо ${\mathfrak L}$ будем писать ${\mathfrak L}_0$), а также операторы более общего вида
$$ \begin{equation} \widehat{\mathfrak L}\equiv -D_i(a^{ij}(x)D_j+d^i)+b^i(x)D_i+c(x). \end{equation} \tag{3.2} $$

Матрица старших коэффициентов $\mathcal{A}$ симметрична и удовлетворяет условию эллиптичности

$$ \begin{equation} \nu(x)|\xi|^2\leqslant a^{ij}(x)\xi_i\xi_j\leqslant \mathcal{V}(x)|\xi|^2 \quad\text{для всех } \xi\in\mathbb{R}^n \end{equation} \tag{3.3} $$
или условию равномерной эллиптичности (2.3) для почти всех $x\in\Omega$. В (3.3) функции $\nu(x)$ и $\mathcal{V}(x)$ положительны и конечны40 почти всюду в $\Omega$.

Под решением уравнения $\widehat{\mathfrak L}u=0$ здесь понимается слабое решение, т. е. функция $u\in W^1_{2,{\rm loc}}(\Omega)$ такая, что интегральное тождество

$$ \begin{equation*} \langle \widehat{\mathfrak L}u,\eta\rangle:= \int_{\Omega}(a^{ij}D_juD_i\eta+b^iD_iu\,\eta+d^iuD_i\eta+cu\eta)\,dx=0 \end{equation*} \notag $$
выполняется для любой пробной функции $\eta\in\mathcal{C}^\infty_0(\Omega)$. Соответственно слабое суперрешение ($\widehat{\mathfrak L}u\geqslant0$) – это функция $u\in W^1_{2,{\rm loc}}(\Omega)$ такая, что
$$ \begin{equation} \int_{\Omega}(a^{ij}D_juD_i\eta+b^iD_iu\,\eta+d^iuD_i\eta+ cu\eta)\,dx \geqslant 0 \end{equation} \tag{3.4} $$
для любой неотрицательной пробной функции $\eta\in \mathcal{C}^\infty_0(\Omega)$. Аналогично определяется слабое субрешение ($\widehat{\mathfrak L}u\leqslant0$).

Докажем для оператора $\widehat{\mathfrak L}$ слабый принцип максимума при простейших ограничениях на коэффициенты.

Теорема 3.1. Пусть $n\geqslant3$, $\widehat{\mathfrak L}$ – оператор вида (3.2) в области $\Omega\subset\mathbb R^n$, выполнено условие (2.3),

$$ \begin{equation*} b^i, d^i\in L_n(\Omega),\qquad c\in L_{n/2}(\Omega) \end{equation*} \notag $$
и функция ${\mathfrak u}\equiv1$ – слабое суперрешение уравнения $\widehat{\mathfrak L}u=0$ в $\Omega$.

Пусть $u\in W^1_{2,{\rm loc}}(\Omega)$, $\widehat{\mathfrak L}u\geqslant0$ в $\Omega$ и $u\geqslant0$ на $\partial\Omega$.41 Тогда $u\geqslant0$ в $\Omega$.

Доказательство. 1. Для начала заметим, что билинейная форма $\langle \widehat{\mathfrak L}u,\eta\rangle$ непрерывна на $W^1_{2,{\rm loc}}(\Omega)\times\mathring{W}^1_2(\Omega')$, если $\overline{\Omega}{}'\subset\Omega$. Действительно, применяя неравенства Гёльдера и Соболева, получаем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, |\langle \widehat{\mathfrak L}u,\eta\rangle|&\leqslant \nu^{-1}\|Du\|_{2,\Omega'}\|D\eta\|_{2,\Omega'}+\|\mathbf{b}\|_{n,\Omega} \|Du\|_{2,\Omega'}\|\eta\|_{2^*,\Omega'} \\ &\qquad+\|\mathbf{d}\|_{n,\Omega}\|D\eta\|_{2,\Omega'}\|u\|_{2^*,\Omega'}+ \|c\|_{n/2,\Omega}\|u\|_{2^*,\Omega'}\|\eta\|_{2^*,\Omega'} \\ &\leqslant C\bigl(\|Du\|_{2,\Omega'}+\|u\|_{2,\Omega'}\bigr) \|D\eta\|_{2,\Omega'} \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
(здесь и далее $2^*=2n/(n-2)$ – предельный показатель Соболева). Поэтому в определении слабого решения (суб/суперрешения) можно брать любые пробные функции $\eta\in\mathring{W}^1_2(\Omega)$ с компактным носителем.

2. Предположим, напротив, что $\operatorname{ess}\inf_{\Omega}u=-A<0$ (случай $A=\infty$ не исключается). Тогда при $0<k<A$ функция $\eta=(u+k)_-\in\mathring{W}^1_2(\Omega)$ неотрицательна и имеет компактный носитель в $\Omega$, а потому справедливо неравенство (3.4). Поскольку $D(u+k)_-=-Du\cdot\chi_{\{u<-k\}}$, это дает

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_{\{u<-k\}}a^{ij}D_juD_iu\,dx&\leqslant \int_{\{u<-k\}}\!(b^iD_iu\,\eta+ d^iuD_i\eta+cu\eta)\,dx \\ &=\int_{\{u<-k\}}(b^i-d^i)D_iu\,\eta\,dx \\ &\qquad+\int_{\{u<-k\}}(d^iD_i(u\eta)+c(u\eta))\,dx. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Последнее слагаемое здесь неположительно, поскольку ${\mathfrak u}\equiv1$ – слабое суперрешение. Используя в левой части условие (2.3), а в правой – неравенства Гёльдера и Соболева, мы получаем
$$ \begin{equation} \nu \|Du\|^2_{2,\{u<-k\}}\leqslant \bigl(\|\mathbf{b}\|_{n,\{u<-k\}}+ \|\mathbf{d}\|_{n,\{u<-k\}}\bigr)\|Du\|^2_{2,\{u<-k\}}. \end{equation} \tag{3.5} $$
Если $A=\infty$, то первый множитель в правой части стремится к нулю при $k\to\infty$, что дает противоречие.

Если же $A<\infty$, то $Du=0$ почти всюду на множестве $\{u=-A\}$ и неравенство (3.5) переписывается так:

$$ \begin{equation*} \nu\leqslant \|\mathbf{b}\|_{n,\mathscr{A}_k}+ \|\mathbf{d}\|_{n,\mathscr{A}_k}, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \mathscr{A}_k=\{x\in\Omega\colon -A<u(x)<-k,\ Du(x)\ne0\}. \end{equation*} \notag $$
Очевидно, что $|\mathscr{A}_k|\to0$ при $k\to A$. Следовательно,
$$ \begin{equation*} \|\mathbf{b}\|_{n,\mathscr{A}_k}+ \|\mathbf{d}\|_{n,\mathscr{A}_k}\to0, \end{equation*} \notag $$
и мы вновь приходим к противоречию. Теорема доказана.

Замечание 3.1. В недавней работе [95] доказан слабый принцип максимума в области класса Джона для функций $u\in W^1_2(\Omega)$, если $\widehat{\mathfrak L}u\geqslant0$ в $\Omega$, а вместо условия $u\geqslant0$ на $\partial\Omega$ выполняется условие с конормальной производной $(a^{ij}D_ju+d^iu)\mathbf{n}_i\geqslant0$, т. е. неравенство (3.4) выполнено для всех неотрицательных функций $\eta\in W^1_2(\Omega)$.

3.1. Неравенство Гарнака и сильный принцип максимума

В отличие от недивергентных операторов, 42 в дивергентном случае почти все результаты о сильном принципе максимума были получены как следствие соответствующих неравенств Гарнака.

Сравните годы появления первых результатов, приведенные в таблице:

Сильный принцип максимумаНеравенство Гарнака
Оператор Лапласа1839/401887
Операторы с гладкими коэффициентами18921912
Операторы с разрывными коэффициентами19271955

В связи с этим мы приводим историю этих результатов параллельно.

Несколько особняком стоят две работы У. Литтмана 1959 и 1963 гг., в которых изучались операторы

$$ \begin{equation} \mathcal{L}^*\equiv -D_i D_ja^{ij}(x)-D_ib^i(x), \end{equation} \tag{3.6} $$
формально сопряженные к операторам вида (2.1). Слабым суперрешением уравнения $\mathcal{L}^*u+cu=0$ называется функция $u\in L_{1,{\rm loc}}(\Omega)$ такая, что для любой неотрицательной пробной функции $\eta\in \mathcal{C}^\infty_0(\Omega)$ выполнено неравенство
$$ \begin{equation*} \langle \mathcal{L}^*u+cu,\eta\rangle:= \int_{\Omega}u (\mathcal{L}\eta+c\eta)\,dx\geqslant0. \end{equation*} \notag $$
В первой из этих работ коэффициенты оператора предполагались гладкими, во второй условия были существенно ослаблены. Сформулируем этот результат.

Пусть $\mathcal{L}$ – оператор вида (2.1), функции $a^{ij}$, $b^i$ и $c$ принадлежат $\mathcal{C}^{0,\alpha}(\Omega)$, $\alpha\in(0,1)$, выполнено условие (2.3), и пусть $u$ – слабое суперрешение уравнения $\mathcal{L}^*u+cu=0$ в $\Omega$. Тогда справедливы следующие утверждения.

Дальнейшее развитие этих результатов для оператора вида (3.6) можно найти в работах [96], [97] (см. также цитируемую там литературу).

Вернемся к дивергентным уравнениям. Впервые неравенство Гарнака для равномерно эллиптического оператора ${\mathfrak L}_0$ с измеримыми коэффициентами было доказано Ю. Мозером44 [98]. В работе Г. Стампаккья [101] этот результат был обобщен на операторы вида (3.2) при условии

$$ \begin{equation} b^i\in L_n(\Omega),\quad d^i\in L_q(\Omega),\quad c\in L_{q/2}(\Omega),\qquad q>n. \end{equation} \tag{3.7} $$
Аналогичный результат можно извлечь из статьи [102], посвященной квазилинейным уравнениям.

В качестве следствия в [101] доказан сильный принцип максимума в двух вариантах:

Приведем несколько упрощенное доказательство второго утверждения, основанное на идее Мозера [103], но не опирающееся на неравенство Гарнака.

Теорема 3.2. Пусть $\mathfrak{L}$ – равномерно эллиптический оператор вида (3.1) в области $\Omega\subset\mathbb R^n$, $n\geqslant3$, и $b^i\in L_n(\Omega)$. Пусть $u\in W^1_{2,{\rm loc}}(\Omega)$ и ${\mathfrak L}u\geqslant0$ в $\Omega$. Если $u$ достигает в точке $x^0\in\Omega$ наименьшего значения45, то $u\equiv \operatorname{const}$.

Доказательство. 1. Аналогично п. 1 доказательства теоремы 3.1 получаем, что в определении слабого решения (суб/суперрешения) можно брать любые пробные функции $\eta\in\mathring{W}^1_2(\Omega)$ с компактным носителем.

2. Пусть теперь $v$ – слабое субрешение, т. е. ${\mathfrak L}v\leqslant0$ в $\Omega$. Подставим в неравенство $\langle {\mathfrak L}v,\eta\rangle\leqslant0$ пробную функцию $\eta=\varphi'(v)\cdot\varsigma$, где $\varsigma$ – неотрицательная липшицева функция с носителем в $\overline{B}_{2R}\subset\Omega$, а $\varphi$ – выпуклая липшицева на $\mathbb R$ функция, равная нулю на отрицательной полуоси. Это дает

$$ \begin{equation} \int_{B_{2R}\cap\{u>0\}}\biggl(a^{ij}D_jVD_i\varsigma+\frac{\varphi''(v)} {(\varphi'(v))^2}a^{ij}D_jVD_iV\varsigma+b^iD_iV\varsigma\biggr)\,dx \leqslant0, \end{equation} \tag{3.8} $$
где $V=\varphi(v)\in W^1_{2,{\rm loc}}(\Omega)$. В частности, поскольку второе слагаемое в (3.8) неотрицательно, $V$ – также слабое субрешение.

Положим46 в (3.8) $\varphi(\tau)=\tau_+^p$, $p>1$, и $\varsigma=V\zeta^2$, где $\zeta$ – гладкая срезка в $B_{2R}$. Получим

$$ \begin{equation} \int_{B_{2R}}\frac{2p-1}{p}\,a^{ij}D_jVD_iV\,\zeta^2\,dx\leqslant -\int_{B_{2R}}(2a^{ij}D_jV\,VD_i\zeta\,\zeta+b^iD_iV\,V\zeta^2)\,dx. \end{equation} \tag{3.9} $$
Левую часть (3.9) оценим снизу по неравенству (2.3), а правую – сверху по неравенствам Гёльдера и Соболева:
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \nu\|DV\,\zeta\|^2_{2,B_{2R}}&\leqslant 2\nu^{-1}\|DV\,\zeta\|_{2,B_{2R}} \|VD\zeta\|_{2,B_{2R}} \\ &\qquad+\|\mathbf{b}\|_{n,B_{2R}}\|DV\,\zeta\|_{2,B_{2R}} \|V\,\zeta\|_{2^*,B_{2R}} \\ &\leqslant N(n)\|\mathbf{b}\|_{n,B_{2R}}\|DV\,\zeta\|^2_{2,B_{2R}}+ C\|DV\,\zeta\|^2_{2,B_{2R}}\|VD\zeta\|^2_{2,B_{2R}}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
По теореме Лебега при достаточно малом $R_*$ имеем
$$ \begin{equation*} N(n)\|\mathbf{b}\|_{n,B_{2R_*}}\leqslant\frac{\nu}{2}\,. \end{equation*} \notag $$
Это дает для $R\leqslant R_*$
$$ \begin{equation} \|DV\,\zeta\|_{2,B_{2R}}\leqslant C(n,\nu,\|\mathbf{b}\|_{n,\Omega})\|VD\zeta\|_{2,B_{2R}}. \end{equation} \tag{3.10} $$

Положим в (3.10) $R_k=R(1+2^{-k})$, $k\in \mathbb N\cup\{0\}$, и возьмем $\zeta=\zeta_k$ такие, что

$$ \begin{equation*} \zeta_k\equiv1\quad \text{в}\ B_{R_{k+1}},\qquad \zeta_k\equiv0\quad \text{вне}\ B_{R_k},\qquad |D\zeta_k|\leqslant \frac{2^{k+2}}{R}\,. \end{equation*} \notag $$
Тогда получим
$$ \begin{equation} \|DV\,\zeta_k\|_{2,B_{R_k}}\leqslant \frac{C(n,\nu,\|\mathbf{b}\|_{n,\Omega})}{R}\cdot 2^k\|V\|_{2,B_{R_k}}. \end{equation} \tag{3.11} $$
Теперь для $p=p_k\equiv (2^*/2)^k$ мы выводим из неравенства Соболева и (3.11)
$(3.12)$
где $C$ зависит только от $n$, $\nu$ и $\|\mathbf{b}\|_{n,\Omega}$.

Итерируя (3.12), получаем, что любое (слабое) субрешение $v$ допускает оценку

$(3.13)$

3. Приступим теперь к доказательству теоремы. Не умаляя общности, можно считать, что $\operatorname{ess}\inf_\Omega u=0$.

Предположим противное. Тогда в области $\Omega$ найдется точка $x^0$ такая, что $\operatorname{ess}\liminf_{x\to x^0}u= 0$, но для некоторых $k>0$, $\delta>0$ и $R\leqslant R_*$ выполнено неравенство

$$ \begin{equation} |\{u\geqslant k\}\cap B_R(x^0)|\geqslant\delta|B_R|. \end{equation} \tag{3.14} $$
Не умаляя общности, считаем, что $\overline{B}_{2R}(x^0)\subset\Omega$. Поместим начало координат в точку $x^0$ и введем функцию $v_\varepsilon(x)=1-\varepsilon-u/k$, $\varepsilon>0$. Очевидно, что $v_\varepsilon$ – субрешение.

Применим неравенство (3.8) с $V=\varphi(v^\varepsilon)\equiv \biggl(\ln\dfrac{1}{1-v^\varepsilon}\biggr)_+$ (это возможно, поскольку $v^\varepsilon<1$) и $\varsigma=\zeta^2$, где $\zeta$ – гладкая срезающая функция, равная единице в $B_R$. Поскольку $\varphi''/\varphi^{\prime2}\equiv1$, с помощью (2.3) и неравенств Гёльдера и Соболева получим

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \nu\|DV\,\zeta\|^2_{2,B_{2R}}&\leqslant \int_{B_{2R}}a^{ij}D_jVD_iV\,\zeta^2\,dx \\ &\leqslant -\int_{B_{2R}}(2a^{ij}D_jV\,\zeta D_i\zeta+b^iD_iV\,\zeta^2)\,dx \\ &\leqslant C(n,\nu,\|\mathbf{b}\|_{n,\Omega}) \|DV\,\zeta\|_{2,B_{2R}}\|D\zeta\|_{2,B_{2R}}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
или
$$ \begin{equation} \|DV\,\zeta\|_{2,B_{2R}}\leqslant C(n,\nu,\|\mathbf{b}\|_{n,\Omega})R^{n/2-1}. \end{equation} \tag{3.15} $$

Заметим теперь, что $V$ обращается в нуль на множестве $\{u\geqslant k\}\cap B_R$ и $\zeta\equiv 1$ на этом множестве. Из доказательства леммы 5.1 в [104; гл. II] следует, что это влечет

$$ \begin{equation*} |\{u\geqslant k\}\cap B_R|\cdot V(x)\,\zeta(x)\leqslant \frac{(4R)^n}{n}\int_{B_{2R}}\frac{|DV(y)|\,\zeta(y)}{|y-x|^{n-1}}\,dy. \end{equation*} \notag $$
Оценим правую часть по неравенству Харди–Литтлвуда–Соболева (см., например, [17; теорема 1.18.9/3]) и учтем (3.14) и (3.15):
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \|V\|_{2,B_R}&\leqslant C(n)R\|V\zeta\|_{2^*,B_{2R}}\leqslant \frac{C(n)}{\delta}\, R\|DV\,\zeta\|_{2,B_{2R}} \\ &\leqslant C(n,\nu,\delta,\|\mathbf{b}\|_{n,\Omega})R^{n/2}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
или
Наконец, поскольку $V$ – субрешение, можно применить оценку (3.13). Это дает $\operatorname{ess\,sup}_{B_{R/2}} V_+\leqslant C$, что равносильно неравенству
$$ \begin{equation*} \operatorname{ess\,inf}_{B_{R/2}}u\geqslant k(\exp\{-C\}-\varepsilon). \end{equation*} \notag $$
Поскольку константа $C$ не зависит от $\varepsilon$, получаем противоречие с предположением $\operatorname{ess}\liminf_{x\to 0}u=0$. Теорема доказана.

Замечание 3.2. Если оценить последний член в (3.9) так:

$$ \begin{equation*} \int_{B_{2R}}|b^iD_iV\,V\zeta^2|\,dx \leqslant \|\mathbf{b}\|_{L_{n,\infty}(B_{2R})} \|DV\,\zeta\|_{2,B_{2R}}\|V\,\zeta\|_{L_{2^*,2}(B_{2R})} \end{equation*} \notag $$
(напомним, что $L_{p,q}$ – пространства Лоренца) и воспользоваться усиленной теоремой вложения Соболева $\mathring{W}^1_2(\Omega)\hookrightarrow L_{2^*,2}(\Omega)$, то условие $b^i\in L_n(\Omega)$ можно ослабить до $b^i\in L_{n,q}(B_{2R})$ с любым $q<\infty$. Контрпример в начале п. 2.4 показывает, что положить $q=\infty$ нельзя. Однако если норма $\|\mathbf{b}\|_{L_{n,\infty}(\Omega)}$ достаточно мала, то доказательство проходит без изменений.

При тех же условиях справедливо и неравенство Гарнака (доказательство теоремы 2.5$'$ из работы [105] полностью переносится на этот случай).

Замечание 3.3. В двумерном случае утверждение теоремы 3.2 (и даже теоремы 3.1) неверно47; приведем соответствующий контрпример из работы [106].

При $n=2$ положим $u(x)=\ln^{-1}(|x|^{-1})$. Очевидно, что при $r\leqslant 1/2$ функция $u\in W^1_2(B_r)$ является слабым решением уравнения

$$ \begin{equation*} -\Delta u+b^i(x)D_iu=0, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} b^i(x)=\frac{2x_i}{|x|^2\ln(|x|^{-1})}\in L_2(B_r). \end{equation*} \notag $$
Однако функция $u$ достигает наименьшего значения в точке $0$.

Таким образом, при $n=2$ условие на $b^i$ надо усилить. Например, можно оценить последний член в (3.9) так (ср. [107; теорема 3.1]):

$$ \begin{equation*} \int_{B_{2R}}|b^iD_iV\,V\zeta^2|\,dx \leqslant \|\mathbf{b}\|_{L_{\Phi_1}(B_{2R})}\|DV\,\zeta\|_{2,B_{2R}} \|V\,\zeta\|_{L_{\Phi_2}(B_{2R})}, \end{equation*} \notag $$
где $L_\Phi$ – пространства Орлича с $N$-функцией $\Phi$ (см., например, [108; § 10]),
$$ \begin{equation*} \Phi_1(t)=t\ln^{1/2}(1+t), \qquad \Phi_2(t)=\exp\{t^2\}-1, \end{equation*} \notag $$
и применить теорему вложения Юдовича–Похожаева $\mathring{W}^1_2(\Omega) \hookrightarrow L_{\Phi_2}(\Omega)$ (см., например, [108; 10.6]). Это дает сильный принцип максимума при условии $\mathbf{b}\ln^{1/2}(1+|\mathbf{b}|)\in L_2(\Omega)$, введенном в [105]. При том же условии справедливо и неравенство Гарнака (см. [105; теорема 2.5$^\prime$]). Приведенный выше пример показывает, что степень $1/2$ у логарифма уменьшить нельзя.

Со второй половины 1960-х годов количество работ о неравенстве Гарнака для дивергентных уравнений (даже линейных) быстро растет. Мы остановимся на трех важных направлениях развития этой темы.

I. Неравномерно эллиптические операторы

В ряде работ изучались операторы с условием эллиптичности (3.3) при различных предположениях о функциях $\nu(x)$ и $\mathcal{V}(x)$.

Н. С. Трудингер [109] доказал неравенство Гарнака для операторов ${\mathfrak L}_0$ при условии

$$ \begin{equation*} \nu^{-1}\in L_q(\Omega),\quad \nu^{-1}\mathcal{V}^2\in L_r(\Omega), \qquad \frac{1}{q}+\frac{1}{r} <\frac{2}{n}\,. \end{equation*} \notag $$
В работе [110] были рассмотрены операторы общего вида (3.2) при более слабом условии
$$ \begin{equation} \nu^{-1}\in L_q(\Omega),\quad \mathcal{V}\in L_r(\Omega), \qquad \frac{1}{q}+\frac{1}{r} <\frac{2}{n}\,; \end{equation} \tag{3.16} $$
на младшие коэффициенты при этом накладывались некоторые условия48 суммируемости с весом, определяемым матрицей $\mathcal{A}$.

При этих условиях в [110] установлено неравенство Гарнака, а также сильный принцип максимума в такой форме:

Пусть $u$ – слабое суперрешение уравнения $\widehat{\mathfrak L}u=0$ в $\Omega$. Если ${\mathfrak u}\equiv1$ – также суперрешение, то $u$ не может достигать в $\Omega$ отрицательного минимума, за исключением случая $u\equiv\operatorname{const}$ (в этом случае $u$ – слабое решение).

Для операторов простейшего вида ${\mathfrak L}_0$ в недавней статье [111] условие на показатели в (3.16) было ослаблено до $\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r} <\dfrac{2}{n-1}$ . С другой стороны, в [112] был построен контрпример, показывающий, что в размерности $n\geqslant4$ при $\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r}>\dfrac{2}{n-1}$ уравнение ${\mathfrak L}_0u=0$ в $B_R$ может иметь слабое решение, неограниченное в $B_{R/2}$. Вопрос о справедливости неравенства Гарнака в пограничном случае $\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r}=\dfrac{2}{n-1}$ пока остается открытым.

В работе [113] рассматривались операторы ${\mathfrak L}_0$ при следующих условиях49:

При этих условиях в [113] доказаны неравенство Гарнака и сильный принцип максимума. Кроме того, приведен контрпример, показывающий, что ослабление условия $\nu\in A_2$ до $\nu\in \bigcup\limits_{p>2}A_p$ не обеспечивает выполнения неравенства Гарнака50.

В статье [114] результаты [113] были обобщены на операторы общего вида (3.2). На младшие коэффициенты при этом накладывались условия

$$ \begin{equation} \frac{b^i}{\nu}\in L_m(\Omega),\quad \frac{d^i}{\nu}\in L_q,\quad \frac{c}{\nu}\in L_{q/2},\qquad q>m \end{equation} \tag{3.18} $$
(здесь $m$ – показатель, названный в [114] “внутренней размерностью”, порождаемой поведением веса $\nu$; для равномерно эллиптических операторов $m=n$ и эти условия превращаются в (3.7)).

Отметим еще работы [115] и [116], в которых неравенство Гарнака было установлено для оператора ${\mathfrak L}_0$ при “абстрактных” условиях на функции $\nu(x)$ и $\mathcal{V}(x)$, а именно при выполнении некоторых весовых неравенств Соболева и Пуанкаре.

II. Младшие коэффициенты из классов Като

Пространства Лебега (а также Лоренца и Орлича) относятся к перестановочно инвариантным пространствам – норма функции $f$ в них определяется только поведением меры множества $\{x\in\Omega\colon |f(x)|>N\}$ при $N\to\infty$. Более тонкое описание особенностей коэффициентов может быть дано в терминах классов Като.

Напомним, что класс $\mathcal{K}_{n,\beta}$, $\beta\in(0,n)$, состоит из функций $f\in L_1(\Omega)$, для которых

$$ \begin{equation} \omega_\beta(r):=\sup_{x\in\Omega}\int_{\Omega\cap B_r(x)} \frac{|f(y)|}{|x-y|^{n-\beta}}\,dy\to 0 \quad\text{при}\ r\to 0. \end{equation} \tag{3.19} $$
Соответственно $f\in\mathcal{K}_{n,\beta,{\rm loc}}$ означает, что $f\chi_{\Omega'}\in\mathcal{K}_{n,\beta}$ для любой подобласти $\Omega'$ такой, что $\overline{\Omega}{}'\subset\Omega$.

Функционалы $\omega_\beta(r)$ и пространства, определяемые ими, были введены М. Шехтером в [117] и подробно исследованы в [118].51 Дальнейшее развитие теории и ссылки можно найти в [121].

Все результаты этого пункта относятся к случаю $n\geqslant3$.

В статье [122] было получено неравенство Гарнака для оператора $-\Delta+c(x)$ при условии $c\in \mathcal{K}_{n,2}$. В работе [123] этот результат был распространен на равномерно эллиптические операторы вида ${\mathfrak L}_0+c(x)$ при том же условии.52

В статье [125] неравенство Гарнака было доказано для равномерно эллиптических операторов более общего вида ${\mathfrak L}+c(x)$ при условии53

$$ \begin{equation} (b^i)^2,c\in \mathcal{K}_{n,2,{\rm loc}}. \end{equation} \tag{3.20} $$
Наконец, в работе [127] два описанных выше направления объединены. Именно, неравенство Гарнака доказано для операторов (3.2), причем функции $\nu(x)$ и $\mathcal{V}(x)$ из (3.3) удовлетворяют условиям $\mathcal{V}(x)\leqslant N\nu(x)$ и (3.17), а функции $(b^i)^2$, $(d^i)^2$ и $c$ принадлежат весовому аналогу класса Като $\mathcal{K}_{n,2}$ с дополнительным ограничением54: соответствующий аналог функции $\omega_2$ из (3.19) допускает при $r\to0$ оценку $O(r^\gamma)$ с некоторым $\gamma>0$.

Условие (3.20) в общем случае весьма близко к оптимальному. Его вариации возможны, если наложить некоторые дополнительные условия на матрицу $\mathcal{A}$.

В статье [128] рассмотрен равномерно эллиптический оператор вида (3.1) с $a^{ij}\in\mathcal{C}^{0,\alpha}(\Omega)$, $\alpha\in(0,1)$. Это ограничение позволило доказать неравенство Гарнака при условии $b^i\in\mathcal{K}_{n,1}$.

Заметим, что условие Гёльдера на старшие коэффициенты в [128] излишне: используя оценки функции Грина и ее производных из [129], тот же результат можно получить при $a^{ij}\in\mathcal{C}^{0,\mathcal{D}}(\Omega)$.

В недавней работе [130] разобран в некотором смысле промежуточный случай. Старшие коэффициенты равномерно эллиптического оператора ${\mathfrak L}$ в этой работе принадлежат пространству Сарасона $\operatorname{VMO}(\Omega)$. Это означает, что $\omega^{ij}(\rho)\to 0$ при $\rho\to 0$, где

$(3.21)$
На младшие коэффициенты при этом накладывается условие $|b^i|^{\beta}\in \mathcal{K}_{n,\beta}$, $\beta>1$, с дополнительным ограничением
$$ \begin{equation} \sup_{x\in\Omega}\int_{\ \Omega\cap B_r(x)\setminus B_{r/2}(x)} \frac{|b^i(y)|^{\beta}}{|x-y|^{n-\beta}}\,dy\leqslant \sigma^\beta(r),\qquad \sigma\in\mathcal{D}. \end{equation} \tag{3.22} $$
Для таких операторов в [130] доказан сильный принцип максимума55. Заметим, что неравенство Гарнака также может быть доказано при этих условиях. Возможно ли снять или хотя бы ослабить ограничение (3.22), пока неясно.

III. Операторы с ${\rm div}(\mathbf{b})\leqslant0$

При исследовании задач гидродинамики нередко возникают (см., например, [131], [132]) операторы $-\Delta+b^i(x)D_i$ (или, более общо, операторы вида (3.1)) с дополнительным структурным условием $D_i(b^i)=0$ или $D_i(b^i)\leqslant0$ в смысле обобщенных функций. Напомним, что это означает соответственно

$$ \begin{equation*} \int_{\Omega}b^iD_i\eta\,dx=0 \quad\text{для всех}\quad \eta\in \mathcal{C}^\infty_0(\Omega) \end{equation*} \notag $$
или
$$ \begin{equation*} \int_{\Omega}b^iD_i\eta\,dx \geqslant 0 \quad\text{для всех}\quad \eta\in \mathcal{C}^\infty_0(\Omega),\quad \eta\geqslant0. \end{equation*} \notag $$

Это условие позволяет существенно ослабить предположения о регулярности коэффициентов $b^i$.

В статье [133] было установлено неравенство Гарнака для оператора $-\Delta+b^i(x)D_i$ с $D_i(b^i)=0$ при условии $b^i\in \operatorname{BMO}^{-1}(\Omega)$. Это означает, что $b^i=D_j(B^{ij})$ в смысле обобщенных функций, где $B^{ij}\in \operatorname{BMO}(\Omega)$, т. е. функции $\omega^{ij}(\rho)$, определенные в (3.21) (с $B^{ij}$ вместо $a^{ij}$), ограничены56. При этом соотношение $D_i(b^i)=0$ обеспечивается дополнительным условием $B^{ij}(x)=-B^{ji}(x)$ для почти всех $x\in\Omega$.

В работе [105] изучались равномерно эллиптические операторы вида (3.1) с $D_i(b^i)\leqslant0$. При этом требования на младшие коэффициенты описывались в терминах пространств Морри.

Напомним, что пространство Морри ${\mathbb M}_p^\alpha(\Omega)$, $1\leqslant p<\infty$, $\alpha\in(0,n)$, состоит из функций $f\in L_p(\Omega)$, для которых

$$ \begin{equation*} \|f\|_{\mathbb M^{\alpha}_p(\Omega)}:= \sup_{B_r(x)\subset\Omega}r^{-\alpha}\|f\|_{p,B_r(x)}<\infty. \end{equation*} \notag $$

В частности, в [105] было доказано неравенство Гарнака при условии57 $b^i\in \mathbb M^{n/q-1}_q(\Omega)$, $n/2<q<n$. Н. Д. Филонов построил чрезвычайно тонкий контрпример [106; теорема 1.6]), показывающий, что даже при условии $D_i(b^i)=0$ показатель $\alpha=n/q-1$ не может быть уменьшен.

Сильный принцип максимума был установлен в [105] для липшицевых суперрешений58 при $b^i\in L_q(\Omega)$, $q>n/2$. Однако с помощью аппроксимации [134; теорема 3.1] можно получить такое частичное обобщение этого результата:

Пусть $\Omega\subset\mathbb R^n$, $n\geqslant3$. Предположим, что функция $u\in W^1_{2,{\rm loc}}(\Omega)$ является слабым решением уравнения $-\Delta u+b^i(x)D_iu=0$ в $\Omega$, причем

$$ \begin{equation*} D_i(b^i)=0;\quad b^i\in L_q(\Omega); \quad q>\frac{n}{2}\quad \text{при}\ n\geqslant4;\quad q=2\quad \text{при}\ n=3. \end{equation*} \notag $$
Если $u$ достигает в точке $x^0\in\Omega$ наименьшего значения, то $u\equiv \operatorname{const}$.

С другой стороны, в [134] был построен следующий контрпример.

Пусть $n\geqslant4$ и $u(x)=\ln^{-1}(|x'|^{-1})$. Тогда $u\in W^1_2(B_r)$ при $r\leqslant 1/2$. Прямой подсчет показывает, что $u$ является слабым решением уравнения $-\Delta u+b^i(x)D_iu=0$ при59

$$ \begin{equation*} b^i(x)=\begin{cases} \biggl(\dfrac{n-3}{|x'|}+\dfrac{2}{|x'|\ln(|x'|^{-1})}\biggr)\, \dfrac {x_i}{|x'|}\,, & i<n; \\ -\biggl(\dfrac{(n-3)^2}{|x'|}+\dfrac{2(n-3)}{|x'|\ln(|x'|^{-1})}+ \dfrac{2}{|x'|\ln^2(|x'|^{-1})}\biggr)\,\dfrac {x_n}{|x'|}\,, & i=n. \end{cases} \end{equation*} \notag $$
Несложно видеть, что $D_i(b^i)=0$ и $b^i\in L_q(B_r)$ при всех $q<(n-1)/2$. Однако сильный принцип максимума не выполняется. В недавней работе [135] был построен пример векторного поля $\mathbf{b}\in L_{(n-1)/2}(B_r)$, $D_i(b^i)=0$, для которого уравнение $-\Delta u+b^i(x)D_iu=0$ имеет слабое решение, неограниченное в $B_{r/2}$, что также можно считать нарушением сильного принципа максимума. Вопрос о справедливости сильного принципа максимума для $(n-1)/2<q\leqslant n/2$ при условии $D_i(b^i)=0$ открыт.

3.2. Лемма о нормальной производной

История леммы о нормальной производной для слабых (супер)решений уравнения ${\mathfrak L}u=0$ довольно коротка. Первый результат здесь был получен Р. Финном и Д. Гилбаргом в 1957 г. в работе [136]. В ней рассматривались равномерно эллиптические операторы вида (3.1) с $a^{ij}\in\mathcal{C}^{0,\alpha}(\Omega)$ и $b^i\in\mathcal{C}(\overline\Omega)$ в двумерной области класса $\mathcal{C}^{1,\alpha}$, $\alpha\in(0,1)$.

Только в 2015 г. этот результат был обобщен Х. К. Сабиной де Лисом на $n$-мерный случай, причем граница области предполагалась гладкой60. В статье [137] лемма о нормальной производной была доказана для всех $n \geqslant3$ при тех же условиях на $a^{ij}$ и $\partial\Omega$, что и в [136], и при $b^i\in L^q(\Omega)$, $q>n$.

Еще в 1959 г. Д. Гилбаргом был построен контрпример61, показывающий, что требование на старшие коэффициенты нельзя ослабить до $a^{ij}\in\mathcal{C}(\overline\Omega)$. Приведем здесь пример более общего вида (см. [83]).

Пусть $\Omega$ – область в $\mathbb{R}^n$ такая, что $\Omega\cap \{x_n<h\}={\mathfrak T}(\phi,h)$, причем $\phi\in\mathcal{C}^1$, но $\phi'$ не удовлетворяет условию Дини в нуле. Как упоминалось в п. 2.2, в работе [35] показано, что лемма о нормальной производной для оператора Лапласа в такой области не выполняется.

Теперь распрямим границу в окрестности начала координат. Это даст нам оператор ${\mathfrak L}_0$ с непрерывными старшими коэффициентами, для которого лемма о нормальной производной не выполняется в гладкой области.

Из этого примера видно, что естественным условием на старшие коэффициенты оператора является условие Дини. Отметим в связи с этим работу В. А. Козлова и В. Г. Мазья [138], в которой для оператора ${\mathfrak L}_0$ получено более тонкое условие на коэффициенты $a^{ij}$, обеспечивающее оценку градиента решения в точках (гладкой) границы $\partial\Omega$. По-видимому, из полученной в [138] асимптотики решения можно вывести также условие выполнения леммы о нормальной производной, более точное, чем условие Дини.

Для демонстрации основной идеи мы докажем лемму о нормальной производной для простейшего оператора ${\mathfrak L}_0$ с коэффициентами62 $a^{ij}\in\mathcal{C}^{0,\mathcal{D}}(\Omega)$ при минимальных условиях на границу области.

Теорема 3.3. Пусть область $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ удовлетворяет условию внутреннего $\mathcal{C}^{1,\mathcal{D}}$-параболоида. Предположим, что коэффициенты оператора ${\mathfrak L}_0$ удовлетворяют условиям (2.3) и $a^{ij}\in\mathcal{C}^{0,\mathcal{D}}(\Omega)$. Пусть $u\not\equiv \operatorname{const}$ – слабое суперрешение уравнения ${\mathfrak L}_0u=0$ в $\Omega$.

Если функция $u$ непрерывна в $\overline{\Omega}$ и достигает минимума в точке $x^0\in \partial\Omega$, то для любого строго внутреннего направления $\boldsymbol{\ell}$ справедливо неравенство

$$ \begin{equation*} \liminf_{\varepsilon\to+0} \frac{u(x^0+\varepsilon\boldsymbol{\ell})-u(x^0)}{\varepsilon}>0. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Не умаляя общности, можно считать, что $x^0=0$ и $\Omega={\mathfrak T}(\phi,h)$, причем $\phi\in\mathcal{C}^{1,\mathcal{D}}$. Далее, ограничения на $a^{ij}$ сохраняются при преобразовании координат класса $\mathcal{C}^{1,\mathcal{D}}$. Поэтому можно распрямить $\partial\Omega$ в окрестности $x^0$ и считать, что $B_R \cap \{x_n>0\} \subset \Omega$ для некоторого $R>0$.

При $0<r<R/2$ возьмем точку $x^r=(0,\dots,0,r)$ и рассмотрим кольцо $\pi=B_r(x^r)\setminus \overline{B}_{r/2}(x^r)\subset \Omega$.

Условие $a^{ij}\in\mathcal{C}^{0,\mathcal{D}}(\Omega)$ дает

$$ \begin{equation} |a^{ij}(x)-a^{ij}(y)|\leqslant \sigma(|x-y|),\qquad x,y \in \pi,\quad \sigma\in\mathcal{D}. \end{equation} \tag{3.23} $$

Пусть $x^*$ – произвольная точка в $\overline{\pi}$. Следуя [136], определим барьерную функцию ${\mathfrak V}$ и вспомогательную функцию $\Psi_{x^*}$ как решения следующих краевых задач:

$$ \begin{equation*} \begin{cases} {\mathfrak L}_0{\mathfrak V}=0 & \text{в}\ \pi, \\ {\mathfrak V}=1 & \text{на}\ \partial B_{r/2}(x^r), \\ {\mathfrak V}=0 & \text{на}\ \partial B_r(x^r), \end{cases}\qquad \begin{cases} {\mathfrak L}_0^{x^*}\Psi_{x^*}=0 & \text{в}\ \pi, \\ \Psi_{x^*}=1 & \text{на}\ \partial B_{r/2}(x^r), \\ \Psi_{x^*}=0 & \text{на}\ \partial B_r(x^r), \end{cases} \end{equation*} \notag $$
где ${\mathfrak L}_0^{x^*}$ – оператор с постоянными коэффициентами:
$$ \begin{equation*} {\mathfrak L}_0^{x^*}\Psi_{x^*}:=-D_i(a^{ij}(x^*)D_j\Psi_{x^*}). \end{equation*} \notag $$

Хорошо известно, что $\Psi_{x^*} \in \mathcal{C}^\infty(\overline{\pi})$. Далее, существование (единственного) слабого решения ${\mathfrak V}$ следует из общей линейной теории. Более того, лемма 3.2 из [129] показывает, что ${\mathfrak V}\in \mathcal{C}^1(\overline{\pi})$ и при $y\in \overline{\pi}$ справедлива следующая оценка:

$$ \begin{equation} |D{\mathfrak V}(y)|\leqslant \frac{N_1(n,\nu,\sigma)}{r}\,. \end{equation} \tag{3.24} $$

Положим ${\mathfrak w}={\mathfrak V}-\Psi_{x^*}$ и заметим, что ${\mathfrak w}=0$ на $\partial\pi$. Поэтому для ${\mathfrak w}$ имеет место представление через функцию Грина $\mathcal{G}_{x^*}$ оператора ${\mathfrak L}_0^{x^*}$ в $\pi$:

$$ \begin{equation*} {\mathfrak w}(x)=\int_{\pi} \mathcal{G}_{x^*}(x,y){\mathfrak L}_0^{x^*} {\mathfrak w}(y)\,dy\overset{(\star)}=\int_{\pi}\mathcal{G}_{x^*}(x,y) \bigl({\mathfrak L}_0^{x^*}{\mathfrak V}(y)- {\mathfrak L}_0 {\mathfrak V}(y)\bigr)\,dy \end{equation*} \notag $$
(равенство $(\star)$ следует из соотношения ${\mathfrak L}_0^{x^*}\Psi_{x^*}={\mathfrak L}_0{\mathfrak V}=0$).

Интегрируя по частям, имеем

$$ \begin{equation} {\mathfrak w}(x)=\int_{\pi}D_{y_i}\mathcal{G}_{x^*}(x,y) \bigl(a^{ij}(x^*)-a^{ij}(y)\bigr)D_j{\mathfrak V}(y)\,dy. \end{equation} \tag{3.25} $$
Дифференцируя обе части равенства (3.25) по $x_k$, получаем
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, D_k{\mathfrak w}(x^*)=\int_{\pi}D_{x_k}D_{y_i}\mathcal{G}_{x^*}(x^*,y) \bigl(a^{ij}(x^*)-a^{ij}(y)\bigr)D_j{\mathfrak V}(y)\,dy, \\ k=1,\dots,n. \end{gathered} \end{equation} \tag{3.26} $$

Производные функции Грина $\mathcal{G}_{x^*}(x,y)$ допускают следующую оценку (см., например, [129; теорема 3.3]):

$$ \begin{equation} |D_xD_y\mathcal{G}_{x^*}(x,y)|\leqslant \frac{N_2(n,\nu)}{|x-y|^n}\,, \qquad x,y \in \pi. \end{equation} \tag{3.27} $$

Подстановка (3.24), (3.27) и (3.23) в равенство (3.26) дает

$$ \begin{equation*} |D{\mathfrak w}(x^*)|\leqslant \frac{N_1N_2}{r}\int_{B_{2r}(x^*)} \frac{\sigma(|x^*-y|)}{|x^*-y|^n}\,dy, \end{equation*} \notag $$
и мы получаем
$$ \begin{equation} |D{\mathfrak V}(x^*)-D\Psi_{x^*} (x^*)| \leqslant \frac{N_3(n,\nu,\sigma)}{r} \int_0^{2r}\frac{\sigma(\tau)}{\tau}\,d\tau,\qquad x^*\in\overline{\pi}. \end{equation} \tag{3.28} $$

Поскольку лемма о нормальной производной верна для операторов с постоянными коэффициентами, для любого строго внутреннего направления $\boldsymbol{\ell}$ имеем

$$ \begin{equation*} \partial_{\boldsymbol{\ell}}\Psi_0(0)\geqslant \frac{N_4(n, \nu,\boldsymbol{\ell})}{r}>0. \end{equation*} \notag $$
Ввиду (3.28) при достаточно малом $r>0$ имеем
$$ \begin{equation*} \partial_{\boldsymbol{\ell}}{\mathfrak V}(0) \geqslant \partial_{\boldsymbol{\ell}}\Psi_0(0)-|D{\mathfrak V}(0)-D\Psi_0(0)|\geqslant \frac{N_4}{r}-\frac{N_3}{r}\int_0^{2r}\frac{\sigma(\tau)}{\tau}\,d\tau \geqslant \frac{N_4}{2r}\,. \end{equation*} \notag $$
Зафиксируем такое $r$. Поскольку $u\not\equiv \operatorname{const}$, сильный принцип максимума дает $u-u(0)>0$ на $\partial B_{r/2}(x^r)$. Следовательно, при достаточно малых $\varkappa>0$ справедливы неравенства
$$ \begin{equation*} {\mathfrak L}_0(u-u(0)-\varkappa{\mathfrak V}) \geqslant 0\quad \text{в}\ \pi;\qquad u-u(0)-\varkappa{\mathfrak V}\geqslant 0 \quad \text{на} \ \partial\pi. \end{equation*} \notag $$
Теперь слабый принцип максимума дает $u-u(0) \geqslant \varkappa{\mathfrak V}$ в $\pi$. Ввиду равенства в начале координат имеем
$$ \begin{equation*} \liminf_{\varepsilon\to+0}\frac{u(\varepsilon\boldsymbol{\ell})-u(0)} {\varepsilon}\geqslant\varkappa \partial_{\boldsymbol{\ell}}{\mathfrak V}(0), \end{equation*} \notag $$
и теорема доказана.

Приведем формулировку более общего результата, установленного в [16]. В этой работе получены наиболее точные на данный момент условия справедливости леммы о нормальной производной.

Теорема 3.4. Пусть область $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ и старшие коэффициенты оператора ${\mathfrak L}$ удовлетворяют условиям теоремы 3.3. Предположим также, что

$$ \begin{equation} \sup_{x\in\Omega}\int_{\Omega\cap B_r(x)}\frac{|\mathbf{b}(y)|}{|x-y|^{n-1}}\, \frac{{\rm d}(y)}{{\rm d}(y)+|x-y|}\,dy\to 0 \quad\textit{при}\ r\to 0. \end{equation} \tag{3.29} $$
Пусть $u\in W^1_2(\Omega)$ – слабое суперрешение уравнения ${\mathfrak L}u=0$, непостоянное в $\Omega$, и $b^iD_iu\in L_1(\Omega)$. Тогда справедливо заключение теоремы 3.3.

Замечание 3.4. В любой подобласти $\Omega'$ такой, что $\overline{\Omega}{}'\subset\Omega$, условие (3.29) совпадает с $b^i\in\mathcal{K}_{n,1}$ (ср. (3.22)). Поэтому, в частности, из (3.29) вытекает $b^i\in\mathcal{K}_{n,1,{\rm loc}}$. С другой стороны, в [16] показано, что условия на $b^i$, наложенные в теореме 2.5, влекут (3.29).

Замечание 3.5. Лемма о нормальной производной для операторов дивергентного вида напрямую связана со свойствами функций Грина для этих операторов.

Впервые функция Грина для равномерно эллиптического оператора ${\mathfrak L}_0$ с измеримыми коэффициентами была построена в эпохальной статье [139]. Среди других результатов этой работы отметим оценку63

$$ \begin{equation*} \frac{C^{-1}}{|x-y|^{n-2}}\leqslant\mathcal{G}(x,y)\leqslant \frac{C}{|x-y|^{n-2}} \end{equation*} \notag $$
(здесь $C$ зависит только от $n$ и $\nu$), справедливую в $\mathbb{R}^n$, $n\geqslant3$.

Не менее важную роль сыграла статья [129], в которой среди других результатов были доказаны следующие оценки функции Грина для равномерно эллиптического оператора ${\mathfrak L}_0$ с коэффициентами, удовлетворяющими условию Дини, в области $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, $n\geqslant3$, удовлетворяющей условию внешнего шара:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \mathcal{G}(x,y)&\leqslant \frac{C}{|x-y|^{n-2}}\, \frac{{\rm d}(x)}{{\rm d}(x)+|x-y|}\,\frac{{\rm d}(y)}{{\rm d}(y)+|x-y|}\,; \\ |D_x\mathcal{G}(x,y)|&\leqslant \frac{C}{|x-y|^{n-1}}\, \frac{{\rm d}(y)}{{\rm d}(y)+|x-y|}\,; \\ |D_xD_y\mathcal{G}(x,y)| &\leqslant \frac{C}{|x-y|^n} \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
(константа $C$ зависит от $n$, $\nu$, функции $\sigma$ в условии Дини для коэффициентов и области $\Omega$).

Таким образом, условие (3.29), грубо говоря, означает, что функция $|\mathbf{b}(y)||D_x\mathcal{G}(x,y)|$ интегрируема равномерно по $x$.

4. Некоторые обобщения и приложения

Как уже упоминалось во введении, этот раздел посвящен краткому описанию некоторых сюжетов, либо обобщающих основные утверждения нашего обзора, либо непосредственно опирающихся на них.

4.1. Симметрия решений нелинейных краевых задач

Мы начнем со знаменитого метода движущихся плоскостей (moving plain method). Впервые он был применен А. Д. Александровым [141; ч. V] в задаче о характеризации сферы свойством постоянства ее средней кривизны (или некоторых других функций главных кривизн)64. В 1971 г. метод был переоткрыт Дж. Серрином при решении переопределенной задачи

$$ \begin{equation*} -\Delta u=1 \quad \text{в}\ \Omega,\qquad u\big|_{\partial\Omega}=0, \qquad \partial_{\mathbf{n}}u\big|_{\partial\Omega}=\operatorname{const} \end{equation*} \notag $$
в неизвестной области $\Omega$ класса $\mathcal{C}^2$. Серрин показал, что такая задача разрешима только в том случае, когда $\Omega$ – шар.

Своей популярностью метод обязан статье [26], в которой рассматривалась задача

$$ \begin{equation} -\Delta u=f(u) \quad \text{в} \ B_R,\qquad u\big|_{\partial B_R}=0 \end{equation} \tag{4.1} $$
и ее обобщения. Сформулируем базовый результат этой работы.

Теорема 4.1. Пусть $f\in\mathcal{C}^1_{\rm loc}(\mathbb{R}_+)$, и пусть $u\in\mathcal{C}^2(\overline{B}_R)$ – положительное в $B_R$ решение задачи (4.1). Тогда $u=u(r)$ (функция $u$ радиально симметрична), причем $u'(r)<0$ при $0<r<R$.

Приведем набросок доказательства теоремы 4.1. Очевидно, что достаточно показать, что $u$ – четная функция переменной $x_n$ и $D_nu(x)<0$ при $x_n>0$.

При $0<\lambda<R$ плоскость $\Pi_\lambda=\{x\colon x_n=\lambda\}$ отсекает от шара сегмент $\Sigma_\lambda$. При $x\in\overline{\Sigma}_\lambda$ обозначим $\widehat x_\lambda=(x',2\lambda-x_n)$ точку, симметричную $x$ относительно $\Pi_\lambda$.

Рассмотрим в $\overline{\Sigma}_\lambda$ функцию $v_\lambda(x)=u(\widehat x_\lambda)-u(x)$. Она удовлетворяет уравнению

$$ \begin{equation*} -\Delta v_\lambda+c(x)v_\lambda=0, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} c(x)=\frac{f(u(\widehat x_\lambda))-f(u(x))}{u(x)-u(\widehat x_\lambda)} \in L_\infty(\Sigma_\lambda). \end{equation*} \notag $$
При $\lambda$, достаточно близких к единице, функция $v_\lambda$ положительна в $\Sigma_\lambda$ (график “отраженной” функции лежит выше исходного) и достигает нулевого минимума на $\Pi_\lambda$. По лемме о нормальной производной (п. (B1) теоремы 2.1) мы имеем $\partial_{\mathbf{n}} v_\lambda(x)=2D_nu(x)<0$ на $\Pi_\lambda$.65 Поэтому можно немного уменьшить $\lambda$ (сдвинуть плоскость $\Pi_\lambda$ к центру шара), и неравенство $v_\lambda>0$ в $\Sigma_\lambda$ будет по-прежнему выполнено.

Обозначим $\lambda_0$ точную нижнюю грань тех $\lambda$, для которых $v_\lambda>0$ в $\Sigma_\lambda$. Если предположить, что $\lambda_0>0$, то $v_{\lambda_0}>0$ на “круглой” части $\partial\Sigma_{\lambda_0}$. Согласно сильному принципу максимума (п. (A1) теоремы 2.1) мы имеем $v_{\lambda_0}>0$ в $\Sigma_{\lambda_0}$. Но тогда можно повторить предыдущее рассуждение и получить, что плоскость $\Pi_{\lambda_0}$ можно еще немного сдвинуть к центру, что невозможно. Таким образом, $\lambda_0=0$, и $v_0\equiv0$, т. е. $u(x',-x_n)\equiv u(x)$. Теорема доказана.

Как указано в [26], при $f(0)\geqslant0$ априорную положительность $u$ можно заменить на условие $u\geqslant0$, $u\not\equiv0$. Очевидно также, что условие $f\in\mathcal{C}^1_{\rm loc}(\mathbb{R}_+)$ можно заменить на локальное условие Липшица. Следующий пример, приведенный в [26], показывает, что условия Гёльдера на $f$, вообще говоря, недостаточно.

Пусть $p>2$ и $u(x)=(1-|x-x^0|^2)_+^p$. Прямой подсчет показывает, что $u$ есть решение задачи (4.1) при $R>|x^0|+1$, если положить66

$$ \begin{equation*} f(u)=2p(n-2+2p)u^{1-1/p}-4p(p-1)u^{1-2/p} \in \mathcal{C}^{0,1-2/p}_{\rm loc}(\mathbb{R}_+). \end{equation*} \notag $$
Показатель Гёльдера можно сделать сколь угодно близким к единице за счет выбора $p$, но утверждение теоремы не выполняется67.

Статья [26] (а также работа [144], где рассматривались уравнения вида (4.1) во всем пространстве) породила огромное количество усилений и обобщений, среди которых следует выделить работу А. Берестики и Л. Ниренберга [145]. В ней с помощью принципа максимума Александрова–Бакельмана результаты [26] распространены на сильные решения для весьма широкого класса равномерно эллиптических нелинейных уравнений. Применение метода движущихся плоскостей к вырождающимся операторам типа $p$-лапласиана можно найти в статьях [146], [147] и цитируемых там работах.

Значительное число работ используют метод движущихся сфер – сочетание метода движущихся плоскостей с конформными преобразованиями (см., например, [148]).

Другие применения сильного принципа максимума и леммы о нормальной производной к доказательству свойств симметрии в геометрических задачах можно найти, например, в [149]–[152] (см. также [6]). Приложениям принципа максимума Александрова–Бакельмана и его вариантов к исследованию свойств симметрии решений нелинейных краевых задач и доказательству изопериметрических неравенств посвящены работы [153]–[155] (см. также обзор [156]).

4.2. Теоремы типа Фрагмена–Линделёфа

Принцип Фрагмена–Линделёфа в первоначальной формулировке [157] описывает поведение на бесконечности функции, аналитической в неограниченной области.

Для решений равномерно эллиптических (недивергентных) уравнений общего вида теоремы такого типа впервые были доказаны Е. М. Ландисом [158], [159] (краткое сообщение было опубликовано ранее – см. [160]). При этом старшие коэффициенты оператора в [159] удовлетворяют условию Дини, а поведение области на бесконечности описывается в терминах меры.

Более точные теоремы типа Фрагмена–Линделёфа получаются, если области описываются в терминах емкости. Первые результаты здесь были получены в [161], [162] для дивергентных уравнений с измеримыми старшими коэффициентами и в [162] для недивергентных уравнений с условием Гёльдера на старшие коэффициенты.

Наконец, решающий шаг был сделан Е. М. Ландисом [27] (см. также [28; гл. 1]), который с помощью введенного им понятия $s$-емкости доказал теоремы типа Фрагмена–Линделёфа для недивергентных уравнений с измеримыми старшими коэффициентами.

Приведем, например, один из результатов [28; гл. 1, § 6].

Теорема 4.2. Пусть $\Omega$ – неограниченная область, лежащая внутри бесконечного слоя

$$ \begin{equation*} \Omega\subset \{x\in\mathbb{R}^n \colon |x_n|<h\}. \end{equation*} \notag $$
Пусть оператор $\mathcal{L}_0$ удовлетворяет условию (2.3), и пусть $u\in \mathcal{C}^2(\Omega)$ – классическое субрешение68 уравнения $\mathcal{L}_0u=0$, удовлетворяющее условию $u\big|_{\partial\Omega}\leqslant0$.

Если $u(x)>0$ в какой-нибудь точке $x\in\Omega$, то

$$ \begin{equation*} \liminf_{R\to\infty}\frac{\max_{|x|=R} u(x)}{\exp\{(C/h)R\}}>0, \end{equation*} \notag $$
где константа $C>0$ зависит только от $n$ и $\nu$.

Отметим еще работу В. Г. Мазья [163], в которой исследовались близкие вопросы для квазилинейных операторов типа $p$-лапласиана.

В случае, когда на части $\partial\Omega$ задана производная по некасательному направлению, теоремы типа Фрагмена–Линделёфа были доказаны в [164], [165] для дивергентных уравнений и в [166] для недивергентных уравнений. Отметим, что в последней работе использовалась ослабленная форма леммы о нормальной производной [40].

К упомянутым результатам примыкает гипотеза Ландиса – задача о максимально возможной скорости стремления к нулю нетривиального решения равномерно эллиптического уравнения в области $\Omega=\mathbb{R}^n\setminus B_R$. Впервые она была сформулирована в обзоре [7] для уравнения

$$ \begin{equation} -\Delta u +c(x)u=0 \end{equation} \tag{4.2} $$
с ограниченным коэффициентом $c(x)$ (в этом случае предполагаемый ответ – экспоненциальное убывание: если $|u(x)|=O(-N|x|)$ при $|x|\to\infty$ для любого $N>0$, то $u\equiv0$). Полностью эта задача не решена даже для простейшего уравнения (4.2). Недавние результаты в этой области, а также обзор по истории вопроса можно найти в [167] (см. также [168]).

4.3. Граничное неравенство Гарнака

Если лемма о нормальной производной не выполняется, ее ослабленной версией может выступать следующее утверждение.

Граничное неравенство Гарнака. Пусть $0\in\Omega$ и ${\mathbb L}$ – эллиптический оператор в области $\Omega$. Если $u_1$ и $u_2$ – положительные решения уравнения ${\mathbb L}u=0$ в $\Omega$, удовлетворяющие условию

$$ \begin{equation*} u_1\big|_{\partial\Omega\cap B_R}=u_2\big|_{\partial\Omega\cap B_R}=0, \end{equation*} \notag $$
то в подобласти $\Omega\cap B_{R/2}$ справедливы неравенства
$$ \begin{equation} C^{-1}\frac{u_1(0)}{u_2(0)}\leqslant\frac{u_1(x)}{u_2(x)} \leqslant C\frac {u_1(0)}{u_2(0)}\,, \end{equation} \tag{4.3} $$
где $C$ – константа, не зависящая от $u_1$ и $u_2$.

Замечание 4.1. Если, например, $\Omega$ – область класса $\mathcal{C}^{1,\mathcal{D}}$, а $\mathcal{L}$ – равномерно эллиптический оператор вида (2.1) с ограниченными коэффициентами, то (4.3) легко следует из леммы о нормальной производной, оценки градиента решения на $\partial\Omega$ и обычного неравенства Гарнака.

Замечание 4.2. В важном частном случае плоской границы $x_n=0$ и оператора $\mathcal{L}_0$, когда можно взять $u_2(x)=x_n$, граничное неравенство Гарнака было впервые получено Н. В. Крыловым [169] с целью вывода граничных оценок в $\mathcal{C}^{2,\alpha}$ для решений нелинейных уравнений.

Для описания результатов этого пункта нам потребуются новые классы областей:

Точные определения этих классов можно найти в соответствующих работах, перечисленных в табл. 1. Для удобства читателя мы приведем лишь соотношения между ними (см., например, работу69 [170]):
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \mathcal{C}^{0,1}\subset\text{NTA}\subset\text{UD}\subset\text{JD}&\;=\; \text{THD-1}; \\ \mathcal{C}^{0,\alpha}\subset \tfrac{1}{\alpha}\text{-JD} &\overset{(\bigtriangleup)}{=} \text{THD-}\alpha. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

В табл. 1 по умолчанию предполагается, что старшие коэффициенты операторов измеримы и удовлетворяют условию (2.3).

Таблица 1.Граничное неравенство Гарнака для разных классов областей

Оператор$\mathcal{C}^{0,1}\rule[-2mm]{0mm}{6mm}$NTAUDJD$\mathcal{C}^{0,\alpha}$THD70
$-\Delta\rule[-2mm]{0mm}{6mm}$[173][174][175]
$\hphantom{-}\mathcal{L}+c(x)\rule[-2mm]{0mm}{6mm}$71[176]
$\hphantom{-}{\mathfrak L}_0\rule[-2mm]{0mm}{6mm}$[177][178][171]
$-\Delta+b^i(x)D_i\rule[-2mm]{0mm}{6mm}$72[126]
$\hphantom{-}\mathcal{L}_0\rule[-2mm]{0mm}{6mm}$[179]73
$\hphantom{-}{\mathfrak L}_0+c(x)$, $c\in \mathcal{K}_{n,2}\rule[-2mm]{0mm}{6mm}$[124]
$\hphantom{-}\widehat{\mathfrak L}\rule[-1.5mm]{0mm}{6mm}$[114]74
$\hphantom{-}\mathcal{L}$, $b^i\in L_\infty(\Omega)\rule[-2mm]{0mm}{6mm}$[182] 75
$\hphantom{-}\mathcal{L}$, $b^i\in L_n(\Omega)\rule[-2mm]{0mm}{6mm}$[82][183][170]

В недавних работах [184], [185] продемонстрирован единый подход к доказательству граничного неравенства Гарнака для дивергентных и недивергентных операторов76.

Вариация граничного неравенства Гарнака для суперрешений и “почти суперрешений” уравнения ${\mathfrak L}u+cu=0$ с ограниченными коэффициентами получена в [186].77

К граничному неравенству Гарнака примыкают результаты (см. [188] и цитированную там литературу) типа слабого неравенства Гарнака для отношения $u(x)/{\rm d}(x)$. Приведем, например, один из результатов работы [188].

Теорема 4.3. Пусть $u$ – неотрицательное слабое суперрешение уравнения78 ${\mathfrak L}u=f$ в области класса $\mathcal{C}^{1,1}$. Предположим, что выполнено условие (2.3), а также следующие условия:

$$ \begin{equation*} a^{ij}\in W^1_q(\Omega), \quad b^i\in L_q(\Omega), \quad f_-\in L_q(\Omega),\qquad q>n. \end{equation*} \notag $$
Тогда
$$ \begin{equation*} \biggl(\int_{\Omega}\biggl(\frac{u(x)}{{\rm d}(x)}\biggr)^s\,dx\biggr)^{1/s} \leqslant C\biggl(\inf_{x\in\Omega}\frac{u(x)}{{\rm d}(x)}+ \|f_-\|_{q,\Omega}\biggr) \end{equation*} \notag $$
для любого $s<1$. Константа $C$ зависит от $n$, $\nu$, $s$, $q$, от норм коэффициентов $a^{ij}$ и $b^i$ в соответствующих пространствах, от $\operatorname{diam}(\Omega)$ и от свойств $\partial\Omega$.

Пример гармонической функции $x_n|x|^{-n}$ в полушаре $B_r^+=B_r\cap\{x_n>0\}$ показывает, что ограничение $s<1$ точно.

Упомянем еще работы (см., например, [189] и цитируемую там литературу), в которых граничное неравенство Гарнака было получено в “абстрактном” контексте метрических пространств.

4.4. Другие результаты для линейных операторов

В работах [190], [191] установлен обобщенный сильный принцип максимума для операторов вида $-\Delta+c(x)$, где $c\in L_1(\Omega)$; решения при этом понимаются в смысле мер. Дальнейшие результаты в этом направлении можно найти в [192], [193].

Хорошо известно, что справедливость слабого принципа максимума для эллиптического оператора второго порядка равносильна положительности первого собственного числа соответствующей задачи Дирихле. В работе [194] для равномерно эллиптических операторов $\mathcal{L}+c(x)$ с ограниченными коэффициентами в произвольной ограниченной области определено обобщенное первое собственное число79 (супремум берется по $\phi\in W^2_{n,{\rm loc}}(\Omega)$, $\phi>0$ в $\Omega$):

$$ \begin{equation} \lambda_1=\sup_{\phi}\,\inf_{x\in\Omega} \frac{\mathcal{L}\phi(x)+c(x)\phi(x)}{\phi(x)} \end{equation} \tag{4.4} $$
и показано, что слабый принцип максимума (а также введенный в этой статье “улучшенный” слабый принцип максимума) для оператора $\mathcal{L}+c(x)$ равносилен неравенству $\lambda_1>0$.

В последние десятилетия весьма популярными стали исследования уравнений в частных производных на сложных структурах. В ряде работ (см., например, [196], [197] и цитируемую там литературу) изучались условия справедливости сильного принципа максимума, неравенства Гарнака, леммы о нормальной производной и граничного неравенства Гарнака для субэллиптических операторов, включая сублапласианы на однородных группах Карно.

В работах [198], [199] рассматривались сильный принцип максимума и лемма о нормальной производной для простейших эллиптических операторов на стратифицированных множествах – клеточных комплексах с некоторыми специальными свойствами80.

4.5. Нелинейные операторы

Даже простейший поиск по ключевым словам показывает, что за последние годы количество статей по теме обзора, касающихся нелинейных операторов, исчисляется десятками в год. Поэтому данный пункт имеет очевидно пунктирный характер и не претендует даже на минимальную полноту охвата темы.

Неравенство Гарнака для квазилинейных операторов дивергентного вида было впервые доказано в [102] и затем для более широких классов операторов – в [200] и [201]. Эти работы ныне являются классическими. Отметим также работу [99], в которой было установлено неравенство Гарнака для квазиминимайзеров вариационных задач.

В работе [202] было получено обобщение леммы о нормальной производной из [31], [32] на квазилинейный случай.

Для операторов типа $p$-лапласиана

$$ \begin{equation} \Delta_pu\equiv D_i(|Du|^{p-2}D_iu), \qquad p>1, \end{equation} \tag{4.5} $$
лемма о нормальной производной была впервые доказана в [203]. Из недавних обобщений этого результата упомянем статью [204].

В работах [205] и [206] были получены точные условия справедливости сильного принципа максимума и леммы о нормальной производной для минимайзеров функционала

$$ \begin{equation*} J[u]=\int_\Omega f(Du)\,dx. \end{equation*} \notag $$

Х. Л. Васкес [207] исследовал уравнение

$$ \begin{equation} -\Delta_pu+f(u)=0 \quad \text{в} \ \Omega \subset \mathbb{R}^n, \quad n \geqslant 2, \end{equation} \tag{4.6} $$
и доказал следующую теорему.

Теорема 4.4. Пусть $f\in\mathcal{C}(\mathbb{R}_+)$ – неубывающая функция, $f(0)=0$. Тогда необходимым и достаточным условием того, чтобы любое (ненулевое) неотрицательное суперрешение уравнения (4.6) не обращалось в нуль в $\Omega$, является соотношение

$$ \begin{equation} \int_0^\delta\frac{dt}{(F(t))^{1/p}}=\infty, \quad\textit{где}\quad F(t)=\int_0^t f(s)\,ds. \end{equation} \tag{4.7} $$

Обобщение этого результата на более широкие классы квазилинейных операторов см. в [208], [209], [167]. В статье [210] установлено (при $p=2$) соответствующее неравенство Гарнака.

Теорема 4.5. Предположим, что $f\colon\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$ – неубывающая функция. Пусть $u\in W^1_2(B_1)$ – решение уравнения ${\mathfrak L}_0u+f(u)=0$, где ${\mathfrak L}_0$ – (дивергентный) равномерно эллиптический оператор с измеримыми коэффициентами. Обозначим $M=\sup_{B_1}u$, $m=\inf_{B_1}u$. Тогда81

$$ \begin{equation*} \int_m^M\frac{dt}{(F(t))^{1/2}+t}\leqslant C, \end{equation*} \notag $$
где $F$ определена в (4.7), а константа $C$ зависит только от $n$ и $\nu$ (в частности, она не зависит от $f$!).

Граничное неравенство Гарнака для операторов типа $p$-лапласиана в области класса $\mathcal{C}^2$ было установлено в [211]. Впоследствии оно было доказано для более широких классов областей, обсуждаемых в п. 4.3 (см. [212] и цитируемую там литературу). Граничное неравенство Гарнака для максимальных и минимальных операторов Пуччи было доказано в работе [213].

Популярными объектами исследования в настоящее время являются также $p(x)$-лапласианы – операторы вида (4.5), в которых показатель $p$ есть функция переменных $x$. Неравенство Гарнака для таких операторов было впервые доказано в [214] (из недавних обобщений см., например, [215] и [216]). В работе [217] было установлено граничное неравенство Гарнака в области класса $\mathcal{C}^{1,1}$.

4.6. Нелокальные операторы

В последние десятилетия существенно возрос интерес к изучению нелокальных (интегро-дифференциальных) операторов, среди которых выделяются дробные лапласианы. Простейший (и исторически первый) из них – дробный лапласиан в $\mathbb{R}^n$ порядка $s$, определяемый с помощью преобразования Фурье82:

$$ \begin{equation*} (-\Delta)^su=\mathcal{F}^{-1}\bigl(|\xi|^{2s}(\mathcal{F}u)(\xi)\bigr),\qquad s>0; \end{equation*} \notag $$
при $s\in(0,1)$ этот оператор можно определить с помощью гиперсингулярного интеграла
$$ \begin{equation*} \bigl((-\Delta)^s u\bigr)(x)=C_{n,s}\cdot\operatorname{PV} \int_{\mathbb{R}^n}\frac{u(x)-u(y)}{|x-y|^{n+2s}}\,dy, \qquad C_{n,s}=\frac{s\cdot 2^{2s}\Gamma(n/2+s)}{\pi^{n/2}\Gamma(1-s)}\,. \end{equation*} \notag $$

Еще М. Рисс [218] доказал прямой аналог неравенства Гарнака (2.22) для $(-\Delta)^s$ при $s\in(0,1)$:

Пусть неотрицательная в $\mathbb{R}^n$ функция $u$ удовлетворяет в $B_R$ уравнению $(-\Delta)^s u=0$. Тогда при $x\in B_R$ имеем

$$ \begin{equation*} u(0)\frac{(R-|x|)^s R^{n-2s}}{(R+|x|)^{n-s}}\leqslant u(x)\leqslant u(0)\frac {(R+|x|)^s R^{n-2s}}{(R-|x|)^{n-s}}\,. \end{equation*} \notag $$

В отличие от случая всего пространства, дробные лапласианы в области $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, естественно, зависят от граничных условий (различают дробные лапласианы Дирихле, Неймана и т. д.). Более того, даже для фиксированного типа граничных условий существует несколько существенно различных определений дробных лапласианов: суженные (restricted), спектральные и др. Отметим, что для сравнения суженного и спектрального лапласиана Дирихле в работах [219], [220] использовалась классическая лемма о нормальной производной для слабо вырождающихся операторов (см. [38], [14]).

Доказательство сильного принципа максимума для различных дробных лапласианов порядка $s\in(0,1)$ в $\Omega$ можно найти в [221]–[223]; в работе [224] был предложен единый подход для большого семейства дробных лапласианов и более общих нелокальных операторов. В то же время в работе [225] показано, что при $s>1$ для суженного дробного лапласиана Дирихле в области общего вида не выполнен даже слабый принцип максимума83.

Граничное неравенство Гарнака для оператора $(-\Delta)^s$, $s\in(0,1)$, в липшицевой области было доказано в [226]. В связи с нелокальностью оператора его формулировка отличается от стандартной (см. п. 4.3):

Пусть $0\in\Omega$. Если $u_1$, $u_2$ – неотрицательные в $\mathbb{R}^n$ функции, непрерывные в шаре $B_R$, удовлетворяющие уравнению $(-\Delta)^s u=0$ в $\Omega\cap B_R$ и условию $u_1\big|_{B_R\setminus\Omega}=u_2|_{B_R\setminus\Omega}=0$, то в подобласти $\Omega\cap B_{R/2}$ справедливо неравенство84 (4.3) с константой $C$, зависящей только от $n$, $s$, $\Omega$ и $R$.

В дальнейшем этот результат был распространен на произвольные области $\Omega$ и на широкий класс интегро-дифференциальных операторов (см. [227] и цитируемую там литературу).

В работе [228] был построен барьер, достаточный для доказательства аналога леммы о нормальной производной в следующей форме:

Пусть $\Omega$ – область класса $\mathcal{C}^{1,1}$ и $s\in(0,1)$. Пусть $u$ – слабое суперрешение уравнения $(-\Delta)^s u=0$ в $\Omega$, равное нулю в $\mathbb{R}^n\setminus\Omega$. Если $u\not\equiv0$, то

$$ \begin{equation} \inf_{x\in\Omega}\frac{u(x)}{{\rm d}^s(x)}>0. \end{equation} \tag{4.8} $$

Дальнейшие обобщения этого результата можно найти, например, в [229]. Для операторов типа дробных $p$-лапласианов аналогичное утверждение было доказано в [230].

Для спектрального дробного лапласиана Дирихле вместо (4.8) при тех же условиях справедливо неравенство $\inf_{x\in\Omega}{u(x)}/{{\rm d}(x)}>0$ (см. теорему 1.2 [231], где рассмотрены также более общие функции от оператора Лапласа с условиями Дирихле). Аналог леммы о нормальной производной для регионального (regional) дробного лапласиана при $s\in(1/2,1)$ получен в недавнем препринте [232].

В статье [233] получено обобщение принципа максимума Александрова–Бакельмана для нелокальных аналогов максимальных и минимальных операторов Пуччи.

Применение метода движущихся плоскостей к задачам с дробными лапласианами можно найти в [234] и цитируемых там работах.

Список литературы

1. К. Ф. Гаусс, “Общие теоремы относительно сил притяжения и отталкивания, действующих обратно пропорционально квадрату расстояния”, Избранные труды по земному магнетизму, Классики науки, Изд-во АН СССР, М., 1952, 179–234; пер. с нем.: C. F. Gauss, Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungs-Kräfte, Wiedmannschen Buchhandlung, Leipzig, 1840, 51 pp.
2. С. Заремба, “Об одной смешанной задаче, относящейся к уравнению Лапласа”, УМН, 1:3-4(13-14) (1946), 125–146  mathnet  mathscinet  zmath; пер. с фр.: S. Zaremba, “Sur un problème mixte relatif à l'équation de Laplace”, Bull. Acad. Sci. Cracovie. Cl. Sci. Math. Nat. Ser. A, 1910, 313–344  zmath
3. A. Harnack, Die Grundlagen der Theorie des logarithmischen Potentiales und der eindeutigen Potentialfunction in der Ebene, Teubner, Leipzig, 1887, 158 pp.  zmath
4. G. Kresin, V. Maz'ya, On sharp Agmon–Miranda maximum principles, 2020, 20 pp., arXiv: 2009.01805
5. M. H. Protter, H. F. Weinberger, Maximum principles in differential equations, Corr. reprint of the 1967 original, Springer-Verlag, New York, 1984, x+261 pp.  crossref  mathscinet  zmath
6. R. P. Sperb, Maximum principles and their applications, Math. Sci. Eng., 157, Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York–London, 1981, ix+224 pp.  mathscinet  zmath
7. В. А. Кондратьев, Е. М. Ландис, “Качественная теория линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка”, Дифференциальные уравнения с частными производными – 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 32, ВИНИТИ, М., 1988, 99–215  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. A. Kondrat'ev, E. M. Landis, “Qualitative theory of second order linear partial differential equations”, Partial differential equations III, Encyclopaedia Math. Sci., 32, Springer, Berlin, 1991, 87–192
8. M. Bramanti, “Potential theory for stationary Schrödinger operators: a survey of results obtained with non-probabilistic methods”, Matematiche (Catania), 47:1 (1992), 25–61  mathscinet  zmath
9. L. E. Fraenkel, An introduction to maximum principles and symmetry in elliptic problems, Cambridge Tracts in Math., 128, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2000, x+340 pp.  crossref  mathscinet  zmath
10. P. Pucci, J. Serrin, “The strong maximum principle revisited”, J. Differential Equations, 196:1 (2004), 1–66  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
11. А. И. Назаров, “Принцип максимума А. Д. Александрова”, Совр. матем. и ее приложения, 29 (2005), 129–145  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. I. Nazarov, “The A. D. Aleksandrov maximum principle”, J. Math. Sci. (N. Y.), 142:3 (2007), 2154–2171  crossref
12. M. Kassmann, “Harnack inequalities: an introduction”, Bound. Value Probl., 2007 (2007), 081415, 21 pp.  crossref  mathscinet  zmath
13. P. Pucci, J. Serrin, The maximum principle, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 73, Birkhäuser Verlag, Basel, 2007, x+235 pp.  crossref  mathscinet  zmath
14. Р. Альворадо, Д. Бригхам, В. Мазья, М. Митреа, Е. Зиадэ, “О регулярности областей, удовлетворяющих равномерному условию песочных часов, и точная версия принципа граничных точек Хопфа–Олейник”, Проблемы матем. анализа, 57, 2011, 3–68  mathscinet  zmath; англ. пер.: R. Alvarado, D. Brigham, V. Maz'ya, M. Mitrea, E. Ziadé, “On the regularity of domains satisfying a uniform hour-glass condition and a sharp version of the Hopf–Oleinik boundary point principle”, J. Math. Sci. (N. Y.), 176:3 (2011), 281–360  crossref
15. D. E. Apushkinskaya, A. I. Nazarov, “A counterexample to the Hopf–Oleinik lemma (elliptic case)”, Anal. PDE, 9:2 (2016), 439–458  crossref  mathscinet  zmath
16. D. E. Apushkinskaya, A. I. Nazarov, “On the boundary point principle for divergence-type equations”, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Lincei Mat. Appl., 30:4 (2019), 677–699  crossref  mathscinet  zmath
17. Х. Трибель, Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы, Мир, М., 1980, 664 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: H. Triebel, Interpolation theory, function spaces, differential operators, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1978, 528 с.  mathscinet  zmath; North-Holland Math. Library, 18, North-Holland Publishing Co., Amsterdam–New York, 1978, 528 pp.  mathscinet  zmath
18. А. И. Назаров, Н. Н. Уральцева, “Выпукло-монотонные оболочки и оценка максимума решения параболического уравнения”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 17, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 147, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1985, 95–109  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. I. Nazarov, N. N. Ural'tseva, “Convex-monotone hulls and an estimate of the maximum of the solution of a parabolic equation”, J. Soviet Math., 37 (1987), 851–859  crossref
19. Н. Г. Кузнецов, “Свойства средних значений гармонических функций и родственные темы”, Проблемы матем. анализа, 99, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2019, 3–21  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. G. Kuznetsov, “Mean value properties of harmonic functions and related topics (a survey)”, J. Math. Sci. (N. Y.), 242:2 (2019), 177–199  crossref
20. E. Hopf, “Elementare Bemerkungen über die Lösungen partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus”, Sitzungsber. Preuß. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., 19 (1927), 147–152  zmath
21. G. Giraud, “Généralisation des problèmes sur les opérations du type elliptique”, Bull. Sci. Math. (2), 56 (1932), 316–352  zmath
22. G. Giraud, “Problèmes de valeurs à la frontière relatifs à certaines données discontinues”, Bull. Soc. Math. France, 61 (1933), 1–54  crossref  mathscinet  zmath
23. Л. И. Камынин, Б. Н. Химченко, “О принципе максимума для эллиптико-параболического уравнения 2-го порядка”, Сиб. матем. журн., 13:4 (1972), 773–789  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: L. I. Kamynin, B. N. Khimchenko, “The maximum principle for an elliptic-parabolic equation of the second order”, Siberian Math. J., 13:4 (1972), 533–545  crossref
24. E. Hopf, “A remark on linear elliptic differential equations of second order”, Proc. Amer. Math. Soc., 3:5 (1952), 791–793  crossref  mathscinet  zmath
25. О. А. Олейник, “О свойствах решений некоторых краевых задач для уравнений эллиптического типа”, Матем. сб., 30(72):3 (1952), 695–702  mathnet  mathscinet  zmath
26. B. Gidas, Wei-Ming Ni, L. Nirenberg, “Symmetry and related properties via the maximum principle”, Comm. Math. Phys., 68:3 (1979), 209–243  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
27. Е. М. Ландис, “$s$-емкость и ее приложения к исследованию решений эллиптического уравнения 2-го порядка с разрывными коэффициентами”, Матем. сб., 76(118):2 (1968), 186–213  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: E. M. Landis, “$s$-capacity and its applications to the study of solutions of a second-order elliptic equation with discontinuous coefficients”, Math. USSR-Sb., 5:2 (1968), 177–204  crossref
28. Е. М. Ландис, Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов, Наука, М., 1971, 287 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: E. M. Landis, Second order equations of elliptic and parabolic type, Transl. Math. Monogr., 171, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998, xii+203 с.  crossref  mathscinet  zmath
29. C. Pucci, “Proprietà di massimo e minimo delle soluzioni di equazioni a derivate parziali del secondo ordine di tipo ellittico e parabolico. I”, Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (8), 23:6 (1957), 370–375  mathscinet  zmath; II, 24:1 (1958), 3–6  mathscinet  zmath
30. А. Д. Александров, “Исследования о принципе максимума. I”, Изв. вузов. Матем., 1958, № 5, 126–157  mathnet  mathscinet  zmath; II, 1959, № 3, 3–12  mathnet  mathscinet  zmath; III, 1959, № 5, 16–32  mathnet  mathscinet  zmath; IV, 1960, № 3, 3–15  mathnet  mathscinet  zmath; V, 1960, № 5, 16–26  mathnet  mathscinet  zmath; VI, 1961, № 1, 3–20  mathnet  mathscinet  zmath
31. R. Výborný, “On a certain extension of the maximum principle”, Differential equations and their applications (Prague, 1962), Publ. House Czech. Acad. Sci., Prague; Academic Press, New York, 1963, 223–228  mathscinet  zmath
32. R. Výborný, “Über das erweiterte {M}aximumprinzip”, Czech. Math. J., 14 (1964), 116–120  crossref  mathscinet  zmath
33. G. M. Lieberman, “Regularized distance and its applications”, Pacific J. Math., 117:2 (1985), 329–352  crossref  mathscinet  zmath
34. K.-O. Widman, “Inequalities for the Green function and boundary continuity of the gradient of solutions of elliptic differential equations”, Math. Scand., 21 (1967), 17–37  crossref  mathscinet  zmath
35. Г. М. Вержбинский, В. Г. Мазья, “Об асимптотике решений задачи Дирихле вблизи нерегулярной границы”, Докл. АН СССР, 176:3 (1967), 498–501  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: G. M. Verzhbinskii, V. G. Maz'ya, “Asymptotic behavior of solutions of the Dirichlet problem near a nonregular boundary”, Soviet Math. Dokl., 8 (1967), 1110–1113
36. Б. Н. Химченко, “О поведении супергармонической функции вблизи границы области типа $A^{(1)}$”, Дифференц. уравнения, 5:10 (1969), 1845–1853  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: B. N. Khimchenko, “The behavior of the superharmonic function near the boundary of a domain of type $A^{(1)}$”, Differ. Equ., 5(1969) (1972), 1371–1378
37. Б. Н. Химченко, “О поведении решений эллиптических уравнений вблизи границы области типа $A^{(1)}$”, Докл. АН СССР, 193:2 (1970), 304–305  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: B. N. Khimchenko, “On the behavior of solutions of elliptic equations near the boundary of a domain of type $A^{(1)}$”, Soviet Math. Dokl., 11 (1970), 943–944
38. Л. И. Камынин, Б. Н. Химченко, “Теоремы типа Жиро для уравнений $2$-го порядка со слабо вырождающейся неотрицательной характеристической частью”, Сиб. матем. журн., 18:1 (1977), 103–121  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: L. I. Kamynin, B. N. Khimchenko, “Theorems of the Giraud type for second-order equations with weakly degenerate nonnegative characteristic part”, Siberian Math. J., 18:1 (1977), 76–91  crossref
39. Sungwon Cho, Boo Rim Choe, Hyungwoon Koo, “Weak Hopf lemma for the invariant Laplacian and related elliptic operators”, J. Math. Anal. Appl., 408:2 (2013), 576–588  crossref  mathscinet  zmath
40. Н. С. Надирашвили, “К вопросу о единственности решения второй краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка”, Матем. сб., 122(164):3(11) (1983), 341–359  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. S. Nadirashvili, “On the question of the uniqueness of the solution of the second boundary value problem for second order elliptic equations”, Math. USSR-Sb., 50:2 (1985), 325–341  crossref
41. Л. И. Камынин, “Теорема о внутренней производной для слабо вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 126(168):3 (1985), 307–326  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: L. I. Kamynin, “A theorem on the internal derivative for a weakly degenerate second-order elliptic equation”, Math. USSR-Sb., 54:2 (1986), 297–316  crossref
42. G. M. Lieberman, “The Dirichlet problem for quasilinear elliptic equations with continuously differentiable boundary data”, Comm. Partial Differential Equations, 11:2 (1986), 167–229  crossref  mathscinet  zmath
43. А. Д. Александров, “Некоторые оценки, касающиеся задачи Дирихле”, Докл. АН СССР, 134:5 (1960), 1001–1004  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. D. Aleksandrov, “Certain estimates for the Dirichlet problem”, Soviet Math. Dokl., 1 (1961), 1151–1154
44. И. Я. Бакельман, “К теории квазилинейных эллиптических уравнений”, Сиб. матем. журн., 2:2 (1961), 179–186  mathnet  mathscinet  zmath
45. I. J. Bakelman, Convex analysis and nonlinear geometric elliptic equations, Springer-Verlag, Berlin, 1994, xxii+510 pp.  crossref  mathscinet  zmath
46. И. Я. Бакельман, “Задача Дирихле для уравнений типа Монжа–Ампера и их $n$-мерных аналогов”, Докл. АН СССР, 126 (1959), 923–926  mathscinet  zmath
47. И. Я. Бакельман, Первая краевая задача для нелинейных эллиптических уравнений, Дисс. … докт. физ.-матем. наук, ЛГПИ им. А. И. Герцена, Л., 1959
48. А. Д. Александров, “Условия единственности и оценки решения задачи Дирихле”, Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон., 18:13(3) (1963), 5–29  mathscinet  zmath
49. C. Pucci, “Su una limitazione per soluzioni di equazioni ellittiche”, Boll. Un. Mat. Ital. (3), 21 (1966), 228–233  mathscinet  zmath
50. C. Pucci, “Limitazioni per soluzioni di equazioni ellittiche”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 74 (1966), 15–30  crossref  mathscinet  zmath
51. Д. Гилбарг, Н. Трудингер, Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, Наука, М., 1989, 464 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: D. Gilbarg, N. S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Grundlehren Math. Wiss., 224, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1983, xiii+513 с.  crossref  mathscinet  zmath
52. А. Д. Александров, “Мажорирование решений линейных уравнений второго порядка”, Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон., 21:1(1) (1966), 5–25  mathscinet  zmath
53. А. Д. Александров, “Один общий метод мажорирования решений задачи Дирихле”, Сиб. матем. журн., 7:3 (1966), 486–498  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. D. Aleksandrov, “General method for majorizing the solutions of the Dirichlet problem”, Siberian Math. J., 7:3 (1966), 394–403  crossref
54. А. Д. Александров, “О мажорантах решений и условиях единственности для эллиптических уравнений”, Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон., 21:7(2) (1966), 5–20  mathscinet  zmath
55. А. Д. Александров, “Невозможность общих оценок решений и условий единственности для линейных уравнений с нормами, более слабыми, чем $L_n$”, Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон., 21:13(3) (1966), 5–10  mathscinet  zmath
56. А. Д. Александров, “Некоторые оценки решений задачи Дирихле”, Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон., 22:7(2) (1967), 19–29  mathscinet  zmath
57. Н. В. Крылов, “Последовательности выпуклых функций и оценки максимума решения параболического уравнения”, Сиб. матем. журн., 17:2 (1976), 290–303  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. V. Krylov, “Sequences of convex functions and estimates of the maximum of the solution of a parabolic equation”, Siberian Math. J., 17:2 (1976), 226–236  crossref
58. Н. С. Надирашвили, “Некоторые оценки в задаче с наклонной производной”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 52:5 (1988), 1982–1090  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. S. Nadirashvili, “Some estimates in a problem with oblique derivative”, Math. USSR-Izv., 33:2 (1989), 403–411  crossref
59. А. И. Назаров, “Гёльдеровские оценки для ограниченных решений задач с наклонной производной для параболических уравнений недивергентной структуры”, Нелинейные уравнения и вариационные неравенства. Линейные операторы и спектральная теория, Проблемы матем. анализа, 11, ЛГУ, Л., 1990, 37–46  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. I. Nazarov, “Hölder estimates for bounded solutions of problems with an oblique derivative for parabolic equations of nondivergence structure”, J. Soviet Math., 64:6 (1993), 1247–1252  crossref
60. G. M. Lieberman, “The maximum principle for equations with composite coefficients”, Electron. J. Differential Equations, 2000, 38, 17 pp.  mathscinet  zmath
61. Yousong Luo, “An Aleksandrov–Bakelman type maximum principle and applications”, J. Differential Equations, 101:2 (1993), 213–231  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
62. Yousong Luo, N. S. Trudinger, “Linear second order elliptic equations with Venttsel boundary conditions”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 118:3-4 (1991), 193–207  crossref  mathscinet  zmath
63. D. E. Apushkinskaya, A. I. Nazarov, “Hölder estimates of solutions to initial-boundary value problems for parabolic equations of nondivergent form with Wentzel boundary condition”, Nonlinear evolution equations, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 164, Adv. Math. Sci., 22, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995, 1–13  crossref  mathscinet  zmath
64. Д. Е. Апушкинская, А. И. Назаров, “Гёльдеровские оценки решений вырожденных граничных задач Вентцеля для параболических и эллиптических уравнений недивергентного вида”, Проблемы математической физики и теории функций, Проблемы матем. анализа, 17, СПбГУ, СПб., 1997, 3–19  zmath; англ. пер.: D. E. Apushkinskaya, A. I. Nazarov, “Hölder estimates for solutions to the degenerate boundary-value Venttsel' problem for parabolic and elliptic equations of nondivergence type”, J. Math. Sci. (N. Y.), 97:4 (1999), 4177–4188  crossref  mathscinet
65. D. E. Apushkinskaya, A. I. Nazarov, “Linear two-phase Venttsel problems”, Ark. Mat., 39:2 (2001), 201–222  crossref  mathscinet  zmath
66. Д. Е. Апушкинская, А. И. Назаров, “Оценки на границе области градиента решения недивергентного параболического уравнения с “составной” правой частью и коэффициентами при младших производных”, Линейные и нелинейные краевые задачи. Экстремальные задачи, Проблемы матем. анализа, 14, СПбГУ, СПб., 1995, 3–27  zmath; англ. пер.: D. E. Apushkinskaya, A. I. Nazarov, “Boundary estimates for the first-order derivatives of a solution to a nondivergent parabolic equation with composite right-hand side and coefficients of lower-order derivatives”, J. Math. Sci. (N. Y.), 77:4 (1995), 3257–3276  crossref  mathscinet
67. А. И. Назаров, “Приграничные оценки решений задачи Вентцеля для параболических и эллиптических уравнений в области с границей класса $W^2_{q-1}$”, Теория функций и приложения, Проблемы матем. анализа, 24, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2002, 181–204  zmath; англ. пер.: A. I. Nazarov, “Boundary estimates for solutions to Venttsel's problem for parabolic and elliptic equations in a domain with boundary of class $W^2_{q-1}$”, J. Math. Sci. (N. Y.), 112:1 (2002), 4048–4064  crossref  mathscinet
68. А. И. Назаров, “Оценки максимума решений эллиптических и параболических уравнений через весовые нормы правой части”, Алгебра и анализ, 13:2 (2001), 151–164  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. I. Nazarov, “Estimates of the maximum for solutions of elliptic and parabolic equations in terms of weighted norms of the right-hand side”, St. Petersburg Math. J., 13:2 (2002), 269–279
69. L. Caffarelli, “Elliptic second order equations”, Rend. Sem. Mat. Fis. Milano, 58 (1988), 253–284  crossref  mathscinet  zmath
70. L. A. Caffarelli, X. Cabré, Fully nonlinear elliptic equations, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 43, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995, vi+104 pp.  crossref  mathscinet  zmath
71. E. B. Fabes, D. W. Stroock, “The $L^p$-integrability of {G}reen's functions and fundamental solutions for elliptic and parabolic equations”, Duke Math. J., 51:4 (1984), 997–1016  crossref  mathscinet  zmath
72. C. E. Kenig, N. S. Nadirashvili, “On optimal estimates for some oblique derivative problems”, J. Funct. Anal., 187:1 (2001), 70–93  crossref  mathscinet  zmath
73. G. M. Lieberman, “Maximum estimates for oblique derivative problems with right hand side in $L^p$, $p<n$”, Manuscripta Math., 112:4 (2003), 459–472  crossref  mathscinet  zmath
74. C. Pucci, “Operatori ellittici estremanti”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 72 (1966), 141–170  crossref  mathscinet  zmath
75. К. Пуччи, “Максимизирующие эллиптические операторы, приложения и гипотезы”, Дифференциальные уравнения с частными производными (Новосибирск, 1983), Наука, Новосибирск, 1986, 167–172  mathscinet  zmath
76. K. Astala, T. Iwaniec, G. Martin, “Pucci's conjecture and the Alexandrov inequality for elliptic PDEs in the plane”, J. Reine Angew. Math., 2006:591 (2006), 49–74  crossref  mathscinet  zmath
77. S. Koike, “On the ABP maximum principle and applications”, Suurikaisekikenkyusho Kokyuroku, 1845 (2013), 107–120
78. Hung-Ju Kuo, N. S. Trudinger, “New maximum principles for linear elliptic equations”, Indiana Univ. Math. J., 56:5 (2007), 2439–2452  crossref  mathscinet  zmath
79. N. S. Trudinger, “Remarks on the {P}ucci conjecture”, Indiana Univ. Math. J., 69:1 (2020), 109–118  crossref  mathscinet  zmath
80. X. Cabré, “On the Alexandroff–Bakelman–Pucci estimate and the reversed Hölder inequality for solutions of elliptic and parabolic equations”, Comm. Pure Appl. Math., 48:5 (1995), 539–570  crossref  mathscinet  zmath
81. A. I. Nazarov, N. N. Ural'tseva, Qualitative properties of solutions to elliptic and parabolic equations with unbounded lower-order coefficients, Препринты С.-Петерб. матем. о-ва, электрон. архив, № 2009-05, СПбМО, СПб., 2009, 6 с. http://www.mathsoc.spb.ru/preprint/index.html
82. M. V. Safonov, “Non-divergence elliptic equations of second order with unbounded drift”, Nonlinear partial differential equations and related topics, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 229, Adv. Math. Sci., 64, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2010, 211–232  crossref  mathscinet  zmath
83. A. I. Nazarov, “A centennial of the Zaremba–Hopf–Oleinik lemma”, SIAM J. Math. Anal., 44:1 (2012), 437–453  crossref  mathscinet  zmath
84. О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, “Оценки на границе области первых производных функций, удовлетворяющих эллиптическому или параболическому неравенству”, Краевые задачи математической физики. 13, Сборник работ, Тр. МИАН СССР, 179, Наука, М., 1988, 102–125  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: O. A. Ladyzhenskaya, N. N. Ural'tseva, “Estimates on the boundary of a domain for the first derivatives of functions satisfying an elliptic or parabolic inequality”, Proc. Steklov Inst. Math., 179 (1989), 109–135
85. M. V. Safonov, Boundary estimates for positive solutions to second order elliptic equations, 2008, 20 pp., arXiv: 0810.0522
86. M. V. Safonov, “On the boundary estimates for second-order elliptic equations”, Complex Var. Elliptic Equ., 63:7-8 (2018), 1123–1141  crossref  mathscinet  zmath
87. Е. М. Ландис, “Неравенство Харнака для эллиптических уравнений второго порядка кордесовского типа”, Докл. АН СССР, 179:6 (1968), 1272–1275  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: E. M. Landis, “Harnack's inequality for second-order elliptic equations of Cordes type”, Soviet Math. Dokl., 9 (1968), 540–543
88. Н. В. Крылов, М. В. Сафонов, “Некоторое свойство решений параболических уравнений с измеримыми коэффициентами”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 44:1 (1980), 161–175  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. V. Krylov, M. V. Safonov, “A certain property of solutions of parabolic equations with measurable coefficients”, Math. USSR-Izv., 16:1 (1981), 151–164  crossref
89. М. В. Сафонов, “Неравенство Харнака для эллиптических уравнений и гельдеровость их решений”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 12, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 96, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1980, 272–287  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: M. V. Safonov, “Harnack's inequality for elliptic equations and the Hölder property of their solutions”, J. Soviet Math., 21:5 (1983), 851–863  crossref
90. О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, “Обзор результатов по разрешимости краевых задач для равномерно эллиптических и параболических квазилинейных уравнений второго порядка, имеющих неограниченные особенности”, УМН, 41:5(251) (1986), 59–83  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: O. A. Ladyzhenskaya, N. N. Ural'tseva, “A survey of results on the solubility of boundary-value problems for second-order uniformly elliptic and parabolic quasi-linear equations having unbounded singularities”, Russian Math. Surveys, 41:5 (1986), 1–31  crossref  adsnasa
91. E. Ferretti, M. V. Safonov, “Growth theorems and Harnack inequality for second order parabolic equations”, Harmonic analysis and boundary value problems (Fayetteville, AR, 2000), Contemp. Math., 277, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001, 87–112  crossref  mathscinet  zmath
92. M. V. Safonov, “Narrow domains and the {H}arnack inequality for elliptic equations”, Алгебра и анализ, 27:3 (2015), 220–237  mathnet  mathscinet  zmath; St. Petersburg Math. J., 27:3 (2016), 509–522  crossref
93. Gong Chen, M. Safonov, “On second order elliptic and parabolic equations of mixed type”, J. Funct. Anal., 272:8 (2017), 3216–3237  crossref  mathscinet  zmath
94. M. V. Safonov, “Growth theorems for metric spaces with applications to PDE”, Алгебра и анализ, 32:4 (2020), 271–284  mathnet  mathscinet  zmath; St. Petersburg Math. J., 32:4 (2021), 809–818  crossref
95. Doyoon Kim, Seungjin Ryu, “The weak maximum principle for second-order elliptic and parabolic conormal derivative problems”, Commun. Pure Appl. Anal., 19:1 (2020), 493–510  crossref  mathscinet  zmath
96. L. Escauriaza, “Bounds for the fundamental solution of elliptic and parabolic equations in nondivergence form”, Comm. Partial Differential Equations, 25:5-6 (2000), 821–845  crossref  mathscinet  zmath
97. V. Maz'ya, R. McOwen, “Asymptotics for solutions of elliptic equations in double divergence form”, Comm. Partial Differential Equations, 32:2 (2007), 191–207  crossref  mathscinet  zmath
98. J. Moser, “On Harnack's theorem for elliptic differential equations”, Comm. Pure Appl. Math., 14:3 (1961), 577–591  crossref  mathscinet  zmath
99. E. DiBenedetto, N. S. Trudinger, “Harnack inequalities for quasi-minima of variational integrals”, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 1:4 (1984), 295–308  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
100. E. De Giorgi, “Sulla differenziabilità e l'analiticità delle estremali degli integrali multipli regolari”, Mem. Accad. Sci. Torino. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (3), 3 (1957), 25–43  mathscinet  zmath
101. G. Stampacchia, “Le problème de {D}irichlet pour les équations elliptiques du second ordre à coefficients discontinus”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 15:1 (1965), 189–257  crossref  mathscinet  zmath
102. J. Serrin, “Local behavior of solutions of quasi-linear equations”, Acta Math., 111 (1964), 247–302  crossref  mathscinet  zmath
103. J. Moser, “A new proof of de Giorgi's theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations”, Comm. Pure Appl. Math., 13:3 (1960), 457–468  crossref  mathscinet  zmath
104. О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, Наука, М., 1967, 736 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: O. A. Ladyženskaja, V. A. Solonnikov, N. N. Ural'ceva, Linear and quasi-linear equations of parabolic type, Transl. Math. Monogr., 23, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1968, xi+648 с.  mathscinet  zmath
105. А. И. Назаров, Н. Н. Уральцева, “Неравенство Гарнака и связанные с ним свойства решений эллиптических и параболических уравнений с бездивергентными младшими коэффициентами”, Алгебра и анализ, 23:1 (2011), 136–168  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. I. Nazarov, N. N. Uraltseva, “The Harnack inequality and related properties for solutions of elliptic and parabolic equations with divergence-free lower-order coefficients”, St. Petersburg Math. J., 23:1 (2012), 93–115  crossref
106. N. Filonov, “On the regularity of solutions to the equation $-\Delta u+b\cdot\nabla u=0$”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 43, Зап. науч. сем. ПОМИ, 410, ПОМИ, СПб., 2013, 168–186  mathnet  mathscinet  zmath; J. Math. Sci. (N.Y.), 195:1 (2013), 98–108  crossref
107. D. E. Apushkinskaya, A. I. Nazarov, D. K. Palagachev, L. G. Softova, “Venttsel boundary value problems with discontinuous data”, SIAM J. Math. Anal., 53:1 (2021), 221–252  crossref  mathscinet  zmath
108. О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский, Интегральные представления функций и теоремы вложения, 2-е изд., перераб. и доп., Наука, М., 1996, 480 с.  mathscinet  zmath; англ. пер. 1-го изд.: O. V. Besov, V. P. Il'in, S. M. Nikol'skii, Integral representations of functions and imbedding theorems, т. I, II, Scripta Series in Mathematics, V. H. Winston & Sons, Washington, DC; Halsted Press [John Wiley & Sons], New York–Toronto, ON–London, 1978, 1979, viii+345 pp., viii+311 с.  mathscinet  mathscinet  zmath
109. N. S. Trudinger, “On the regularity of generalized solutions of linear, non-uniformly elliptic equations”, Arch. Ration. Mech. Anal., 42 (1971), 50–62  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
110. N. S. Trudinger, “Linear elliptic operators with measurable coefficients”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (3), 27 (1973), 265–308  mathscinet  zmath
111. P. Bella, M. Schäffner, “Local boundedness and Harnack inequality for solutions of linear nonuniformly elliptic equations”, Comm. Pure Appl. Math., 74:3 (2021), 453–477  crossref  mathscinet  zmath
112. B. Franchi, R. Serapioni, F. Serra Cassano, “Irregular solutions of linear degenerate elliptic equations”, Potential Anal., 9:3 (1998), 201–216  crossref  mathscinet  zmath
113. E. B. Fabes, C. E. Kenig, R. P. Serapioni, “The local regularity of solutions of degenerate elliptic equations”, Comm. Partial Differential Equations, 7:1 (1982), 77–116  crossref  mathscinet  zmath
114. V. De Cicco, M. A. Vivaldi, “Harnack inequalities for Fuchsian type weighted elliptic equations”, Comm. Partial Differential Equations, 21:9-10 (1996), 1321–1347  crossref  mathscinet  zmath
115. S. Chanillo, R. L. Wheeden, “Harnack's inequality and mean-value inequalities for solutions of degenerate elliptic equations”, Comm. Partial Differential Equations, 11:10 (1986), 1111–1134  crossref  mathscinet  zmath
116. F. Chiarenza, A. Rustichini, R. Serapioni, “De Giorgi–Moser theorem for a class of degenerate non-uniformly elliptic equations”, Comm. Partial Differential Equations, 14:5 (1989), 635–662  crossref  mathscinet  zmath
117. M. Schechter, “On the invariance of the essential spectrum of an arbitrary operator. III”, Proc. Cambridge Philos. Soc., 64:4 (1968), 975–984  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
118. M. Schechter, Spectra of partial differential operators, North-Holland Ser. Appl. Math. Mech., 14, 2nd ed., North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1986, xiv+310 pp.  mathscinet  zmath
119. F. Stummel, “Singuläre elliptische Differentialoperatoren in Hilbertschen Räumen”, Math. Ann., 132 (1956), 150–176  crossref  mathscinet  zmath
120. T. Kato, “Schr{ö}dinger operators with singular potentials”, Israel J. Math., 13 (1972), 135–148  crossref  mathscinet  zmath
121. Quan Zheng, Xiaohua Yao, “Higher-order Kato class potentials for Schrödinger operators”, Bull. Lond. Math. Soc., 41:2 (2009), 293–301  crossref  mathscinet  zmath
122. M. Aizenman, B. Simon, “Brownian motion and Harnack inequality for Schrödinger operators”, Comm. Pure Appl. Math., 35:2 (1982), 209–273  crossref  mathscinet  zmath
123. F. Chiarenza, E. Fabes, N. Garofalo, “Harnack's inequality for Schrödinger operators and the continuity of solutions”, Proc. Amer. Math. Soc., 98:3 (1986), 415–425  crossref  mathscinet  zmath
124. M. Cranston, E. Fabes, Z. Zhao, “Conditional gauge and potential theory for the Schrödinger operator”, Trans. Amer. Math. Soc., 307:1 (1988), 171–194  crossref  mathscinet  zmath
125. K. Kurata, “Continuity and {H}arnack's inequality for solutions of elliptic partial differential equations of second order”, Indiana Univ. Math. J., 43:2 (1994), 411–440  crossref  mathscinet  zmath
126. M. Cranston, Z. Zhao, “Conditional transformation of drift formula and potential theory for $\frac12\Delta+b(\,\cdot\,)\cdot \nabla$”, Comm. Math. Phys., 112:4 (1987), 613–625  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
127. P. Zamboni, “Hölder continuity for solutions of linear degenerate elliptic equations under minimal assumptions”, J. Differential Equations, 182:1 (2002), 121–140  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
128. Qi Zhang, “A Harnack inequality for the equation $\nabla(a\nabla u)+b\nabla u=0$, when $|b|\in K_{n+1}$”, Manuscripta Math., 89:1 (1996), 61–77  crossref  mathscinet  zmath
129. M. Grüter, K.-O. Widman, “The Green function for uniformly elliptic equations”, Manuscripta Math., 37:3 (1982), 303–342  crossref  mathscinet  zmath
130. V. Kozlov, A. Nazarov, “A comparison theorem for nonsmooth nonlinear operators”, Potential Anal., 54:3 (2021), 471–481  crossref  mathscinet  zmath
131. Qi S. Zhang, “A strong regularity result for parabolic equations”, Comm. Math. Phys., 244:2 (2004), 245–260  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
132. G. Koch, N. Nadirashvili, G. A. Seregin, V. Šverák, “Liouville theorems for the Navier–Stokes equations and applications”, Acta Math., 203:1 (2009), 83–105  crossref  mathscinet  zmath
133. G. Seregin, L. Silvestre, V. Šverák, A. Zlatoš, “On divergence-free drifts”, J. Differential Equations, 252:1 (2012), 505–540  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
134. N. Filonov, T. Shilkin, “On some properties of weak solutions to elliptic equations with divergence-free drifts”, Mathematical analysis in fluid mechanics: selected recent results, Contemp. Math., 710, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2018, 105–120  crossref  mathscinet  zmath
135. Н. Д. Филонов, П. А. Ходунов, “О локальной ограниченности решений уравнения $-\Delta u+a\partial_z u=0$”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 49, К юбилею Григория Александровича Серегина, Зап. науч. сем. ПОМИ, 508, ПОМИ, СПб., 2021, 173–184  mathnet
136. R. Finn, D. Gilbarg, “Asymptotic behavior and uniqueness of plane subsonic flows”, Comm. Pure Appl. Math., 10 (1957), 23–63  crossref  mathscinet  zmath
137. V. Kozlov, N. Kuznetsov, “A comparison theorem for super- and subsolutions of $\nabla^2 u+f(u)=0$ and its application to water waves with vorticity”, Алгебра и анализ, 30:3 (2018), 112–128  mathnet  mathscinet  zmath; St. Petersburg Math. J., 30:3 (2019), 471–483  crossref
138. V. Kozlov, V. Maz'ya, “Asymptotic formula for solutions to the Dirichlet problem for elliptic equations with discontinuous coefficients near the boundary”, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), 2:3 (2003), 551–600  mathscinet  zmath
139. У. Литтман, Г. Стампаккья, Г. Ф. Вайнбергер, “Регулярные точки для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами”, Математика, 9:2 (1965), 72–97  mathnet; пер. с англ.: W. Littman, G. Stampacchia, H. F. Weinberger, “Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (3), 17 (1963), 43–77  mathscinet  zmath
140. Yu. Alkhutov, M. Surnachev, “Global Green's function estimates for the convection-diffusion equation”, Complex Var. Elliptic Equ., 2020, 1–30, Publ. online  crossref
141. А. Д. Александров, “Теоремы единственности для поверхностей ‘в целом’. I”, Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон., 11:19(4) (1956), 5–17  mathscinet  zmath; II, 12:7(2) (1957), 15–44  mathscinet  zmath; III, 13:7(2) (1958), 14–26  mathscinet  zmath; IV, 13:13(3) (1958), 27–34  mathscinet  zmath; V, 13:19(4) (1958), 5–8  mathscinet  zmath; VI, 14:1(1) (1959), 5–13  mathscinet  zmath; VII, 15:7(2) (1960), 5–13  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. D. Aleksandrov, “Uniqueness theorems for surfaces in the large. I”, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 21, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1962, 341–354  mathscinet  zmath; II, 354–388  mathscinet  zmath; III, 389–403  mathscinet  zmath; IV, 403–411  mathscinet  zmath; V, 412–416  mathscinet  zmath
142. Yan Yan Li, L. Nirenberg, “A geometric problem and the Hopf lemma. I”, J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 8:2 (2006), 317–339  crossref  mathscinet  zmath; II, Chinese Ann. Math. Ser. B, 27:2 (2006), 193–218  crossref  mathscinet  zmath
143. P. L. Lions, “Two geometrical properties of solutions of semilinear problems”, Appl. Anal., 12:4 (1981), 267–272  crossref  mathscinet  zmath
144. B. Gidas, Wei Ming Ni, L. Nirenberg, “Symmetry of positive solutions of nonlinear elliptic equations in $\mathbb{R}^n$”, Mathematical analysis and applications, Part A, Adv. Math. Suppl. Stud., 7, Academic Press, New York–London, 1981, 369–402  mathscinet  zmath
145. H. Berestycki, L. Nirenberg, “On the method of moving planes and the sliding method”, Bol. Soc. Brasil. Mat. (N. S.), 22:1 (1991), 1–37  crossref  mathscinet  zmath
146. L. Damascelli, F. Pacella, M. Ramaswamy, “A strong maximum principle for a class of non-positone singular elliptic problems”, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl., 10:2 (2003), 187–196  crossref  mathscinet  zmath
147. F. Esposito, B. Sciunzi, “On the Höpf boundary lemma for quasilinear problems involving singular nonlinearities and applications”, J. Funct. Anal., 278:4 (2020), 108346, 25 pp.  crossref  mathscinet  zmath
148. Yanyan Li, Meijun Zhu, “Uniqueness theorems through the method of moving spheres”, Duke Math. J., 80:2 (1995), 383–417  crossref  mathscinet  zmath
149. A. Aeppli, “On the uniqueness of compact solutions for certain elliptic differential equations”, Proc. Amer. Math. Soc., 11 (1960), 826–832  crossref  mathscinet  zmath
150. J. Serrin, “On surfaces of constant mean curvature which span a given space curve”, Math. Z., 112 (1969), 77–88  crossref  mathscinet  zmath
151. V. I. Oliker, “Hypersurfaces in $\mathbb{R}^{n+1}$ with prescribed Gaussian curvature and related equations of Monge–Ampère type”, Comm. Partial Differential Equations, 9:8 (1984), 807–838  crossref  mathscinet  zmath
152. R. Musina, “Planar loops with prescribed curvature: existence, multiplicity and uniqueness results”, Proc. Amer. Math. Soc., 139:12 (2011), 4445–4459  crossref  mathscinet  zmath
153. X. Cabré, “Equacions en derivades parcials, geometria i control estocàstic”, Butl. Soc. Catalana Mat., 15:1 (2000), 7–27  mathscinet
154. X. Cabré, “Elliptic PDE's in probability and geometry: symmetry and regularity of solutions”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 20:3 (2008), 425–457  crossref  mathscinet  zmath
155. X. Cabré, X. Ros-Oton, J. Serra, “Sharp isoperimetric inequalities via the ABP method”, J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 18:12 (2016), 2971–2998  crossref  mathscinet  zmath
156. X. Cabré, “Topics in regularity and qualitative properties of solutions of nonlinear elliptic equations”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 8:2 (2002), 331–359  crossref  mathscinet  zmath
157. E. Phragmén, E. Lindelöf, “Sur une extension d'un principe classique de l'analyse et sur quelques propriétés de fonctions monogènes dans le voisinage d'un point singulier”, Acta Math., 31:1 (1908), 381–406  crossref  mathscinet  zmath
158. Е. М. Ландис, “Некоторые вопросы качественной теории эллиптических и параболических уравнений”, УМН, 14:1(85) (1959), 21–85  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: E. M. Landis, “Some questions in the qualitative theory of elliptic and parabolic equations”, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 20, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1962, 173–238  crossref  mathscinet  zmath
159. Е. М. Ландис, “Некоторые вопросы качественной теории эллиптических уравнений второго порядка (случай многих независимых переменных)”, УМН, 18:1(109) (1963), 3–62  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: E. M. Landis, “Some problems of the qualitative theory of second order elliptic equations (case of several independent variables)”, Russian Math. Surveys, 18:1 (1963), 1–62  crossref
160. Е. М. Ландис, “О некоторых свойствах решений эллиптических уравнений”, в ст.: “Заседания Московского математического общества”, УМН, 11:2(68) (1956), 235–237  mathnet
161. В. Г. Мазья, “О поведении вблизи границы решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме”, Матем. заметки, 2:2 (1967), 209–220  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. G. Maz'ya, “Behavior, near the boundary, of solutions of the Dirichlet problem for a second-order elliptic equation in divergent form”, Math. Notes, 2:2 (1967), 610–617  crossref
162. Г. Н. Блохина, “Теоремы типа Фрагмена–Линделёфа для линейного эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 82(124):4(8) (1970), 507–531  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: G. N. Blohina, “Theorems of Phragmén–Lindelöf type for linear elliptic equations of second order”, Math. USSR-Sb., 11:4 (1970), 467–490  crossref
163. В. Г. Мазья, “О непрерывности в граничной точке решения квазилинейных эллиптических уравнений”, Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон., 25:13(3) (1970), 42–55  mathscinet  zmath
164. А. И. Ибрагимов, Е. М. Ландис, “О поведении решений задачи Неймана в неограниченных областях”, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 19, Изд-во Моск. ун-та, М., 1996, 218–234  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. I. Ibragimov, E. M. Landis, “On the behavior of solutions to the Neumann problem in unbounded domains”, J. Math. Sci. (N. Y.), 85:6 (1997), 2373–2384  crossref
165. A. I. Ibragimov, E. M. Landis, “Zaremba's problem for elliptic equations in the neighbourhood of a singular point or at infinity”, Appl. Anal., 67:3-4 (1997), 269–282  crossref  mathscinet  zmath
166. Dat Cao, A. Ibraguimov, A. I. Nazarov, “Mixed boundary value problems for non-divergence type elliptic equations in unbounded domains”, Asymptot. Anal., 109:1-2 (2018), 75–90  crossref  mathscinet  zmath
167. B. Sirakov, P. Souplet, “The Vázquez maximum principle and the Landis conjecture for elliptic PDE with unbounded coefficients”, Adv. Math., 387 (2021), 107838, 27 pp.  crossref  mathscinet  zmath
168. A. Logunov, E. Malinnikova, N. Nadirashvili, F. Nazarov, The Landis conjecture on exponential decay, 2020, 40 pp., arXiv: 2007.07034
169. Н. В. Крылов, “Ограниченно неоднородные эллиптические и параболические уравнения в области”, Изв. АН СССР, 47:1 (1983), 75–108  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. V. Krylov, “Boundedly nonhomogeneous elliptic and parabolic equations in a domain”, Math. USSR-Izv., 22:1 (1984), 67–97  crossref
170. Х. Ким, М. Сафонов, “Граничный принцип Харнака для эллиптических уравнений второго порядка с неограниченным сносом”, Проблемы матем. анализа, 61, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2011, 109–122  zmath; англ. пер.: H. Kim, M. Safonov, “Boundary Harnack principle for second order elliptic equations with unbounded drift”, J. Math. Sci. (N. Y.), 179:1 (2011), 127–143  crossref  mathscinet
171. R. F. Bass, K. Burdzy, “A boundary Harnack principle in twisted Hölder domains”, Ann. of Math. (2), 134:2 (1991), 253–276  crossref  mathscinet  zmath
172. Х. Ким, М. Сафонов, “Оценка типа Карлесона для эллиптических уравнений второго порядка с неограниченным сносом”, Проблемы матем. анализа, 58, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2011, 195–207  zmath; англ. пер.: H. Kim, M. Safonov, “Carleson type estimates for second order elliptic equations with unbounded drift”, J. Math. Sci. (N. Y.), 176:6 (2011), 928–944  crossref  mathscinet
173. B. E. J. Dahlberg, “Estimates of harmonic measure”, Arch. Ration. Mech. Anal., 65:3 (1977), 275–288  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
174. D. S. Jerison, C. E. Kenig, “Boundary behavior of harmonic functions in non-tangentially accessible domains”, Adv. Math., 46:1 (1982), 80–147  crossref  mathscinet  zmath
175. H. Aikawa, “Boundary {H}arnack principle and {M}artin boundary for a uniform domain”, J. Math. Soc. Japan, 53:1 (2001), 119–145  crossref  mathscinet  zmath
176. A. Ancona, “Principe de Harnack à la frontière et théorème de Fatou pour un opérateur elliptique dans un domaine lipschitzien”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 28:4 (1978), 169–213  crossref  mathscinet  zmath
177. L. Caffarelli, E. Fabes, S. Mortola, S. Salsa, “Boundary behavior of nonnegative solutions of elliptic operators in divergence form”, Indiana Univ. Math. J., 30:4 (1981), 621–640  crossref  mathscinet  zmath
178. R. Bañuelos, R. F. Bass, K. Burdzy, “Hölder domains and the boundary Harnack principle”, Duke Math. J., 64:1 (1991), 195–200  crossref  mathscinet  zmath
179. E. Fabes, N. Garofalo, S. Marín-Malave, S. Salsa, “Fatou theorems for some nonlinear elliptic equations”, Rev. Mat. Iberoamericana, 4:2 (1988), 227–251  crossref  mathscinet  zmath
180. P. Bauman, “Positive solutions of elliptic equations in nondivergence form and their adjoints”, Ark. Mat., 22:2 (1984), 153–173  crossref  mathscinet  zmath
181. H. Aikawa, “Equivalence between the boundary Harnack principle and the Carleson estimate”, Math. Scand., 103:1 (2008), 61–76  crossref  mathscinet  zmath
182. R. F. Bass, K. Burdzy, “The boundary {H}arnack principle for non-divergence form elliptic operators”, J. London Math. Soc. (2), 50:1 (1994), 157–169  crossref  mathscinet  zmath
183. H. Kim, M. Safonov, “The boundary Harnack principle for second order elliptic equations in John and uniform domains”, Proceedings of the St. Petersburg Mathematical Society, Workshop dedicated to the 90th anniversary of the O. A. Ladyzhenskaya birthday (Stockholm, 2012), v. XV, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 232, Advances in mathematical analysis of partial differential equations, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, 153–176  crossref  mathscinet  zmath
184. D. De Silva, O. Savin, “A short proof of boundary Harnack principle”, J. Differential Equations, 269:3 (2020), 2419–2429  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
185. D. De Silva, O. Savin, “On the boundary Harnack principle in Hölder domains”, Math. Eng., 4:1 (2022), 004, 12 pp.  crossref  mathscinet
186. M. Allen, H. Shahgholian, “A new boundary Harnack principle (equations with right hand side)”, Arch. Ration. Mech. Anal., 234:3 (2019), 1413–1444  crossref  mathscinet  zmath
187. G. Sweers, “Hopf's lemma and two dimensional domains with corners”, Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste, 28, suppl. (1996), 383–419  mathscinet  zmath
188. B. Sirakov, Global integrability and boundary estimates for uniformly elliptic PDE in divergence form, 2020 (v1 – 2019), 26 pp., arXiv: 1901.07464
189. M. T. Barlow, M. Murugan, “Boundary Harnack principle and elliptic Harnack inequality”, J. Math. Soc. Japan, 71:2 (2019), 383–412  crossref  mathscinet  zmath
190. A. Ancona, “Une propriété d'invariance des ensembles absorbants par perturbation d'un opérateur elliptique”, Comm. Partial Differential Equations, 4:4 (1979), 321–337  crossref  mathscinet  zmath
191. H. Brezis, A. C. Ponce, “Remarks on the strong maximum principle”, Differential Integral Equations, 16:1 (2003), 1–12  mathscinet  zmath
192. M. Bertsch, F. Smarrazzo, A. Tesei, “A note on the strong maximum principle”, J. Differential Equations, 259:8 (2015), 4356–4375  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
193. A. C. Ponce, N. Wilmet, “The Hopf lemma for the Schrödinger operator”, Adv. Nonlinear Stud., 20:2 (2020), 459–475  crossref  mathscinet  zmath
194. H. Berestycki, L. Nirenberg, S. R. S. Varadhan, “The principal eigenvalue and maximum principle for second-order elliptic operators in general domains”, Comm. Pure Appl. Math., 47:1 (1994), 47–92  crossref  mathscinet  zmath
195. J. Barta, “Sur la vibration fondamentale d'une membrane”, C. R. Acad. Sci. Paris, 204 (1937), 472–473  zmath
196. E. Battaglia, S. Biagi, A. Bonfiglioli, “The strong maximum principle and the Harnack inequality for a class of hypoelliptic non-Hörmander operators”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 66:2 (2016), 589–631  crossref  mathscinet  zmath
197. V. Martino, G. Tralli, “On the Hopf–Oleinik lemma for degenerate-elliptic equations at characteristic points”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 55:5 (2016), 115, 20 pp.  crossref  mathscinet  zmath
198. С. Н. Ощепкова, О. М. Пенкин, Д. В. Савастеев, “Сильный принцип максимума для эллиптического оператора на стратифицированном множестве”, Матем. заметки, 92:2 (2012), 276–290  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: S. N. Oshchepkova, O. M. Penkin, D. Savasteev, “Strong maximum principle for an elliptic operator on a stratified set”, Math. Notes, 92:2 (2012), 249–259  crossref
199. С. Н. Ощепкова, О. М. Пенкин, Д. В. Савастеев, “Лемма о нормальной производной для лапласиана на полиэдральном множестве”, Матем. заметки, 96:1 (2014), 116–125  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: S. N. Oshchepkova, O. M. Penkin, D. Savasteev, “The normal derivative lemma for the Laplacian on a polyhedral set”, Math. Notes, 96:1 (2014), 122–129  crossref
200. N. S. Trudinger, “On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic equations”, Comm. Pure Appl. Math., 20:4 (1967), 721–747  crossref  mathscinet  zmath
201. N. S. Trudinger, “Harnack inequalities for nonuniformly elliptic divergence structure equations”, Invent. Math., 64:3 (1981), 517–531  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
202. M. A. Dow, R. Výborný, “Maximum principles for some quasilinear second order partial differential equations”, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 47 (1972), 331–351  mathscinet  zmath
203. P. Tolksdorf, “On the Dirichlet problem for quasilinear equations in domains with conical boundary points”, Comm. Partial Differential Equations, 8:7 (1983), 773–817  crossref  mathscinet  zmath
204. D. Castorina, G. Riey, B. Sciunzi, “Hopf Lemma and regularity results for quasilinear anisotropic elliptic equations”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 58:3 (2019), 95, 18 pp.  crossref  mathscinet  zmath
205. A. Cellina, “On the strong maximum principle”, Proc. Amer. Math. Soc., 130:2 (2002), 413–418  crossref  mathscinet  zmath
206. S. Bertone, A. Cellina, E. M. Marchini, “On Hopf's lemma and the strong maximum principle”, Comm. Partial Differential Equations, 31:4-6 (2006), 701–733  crossref  mathscinet  zmath
207. J. L. Vázquez, “A strong maximum principle for some quasilinear elliptic equations”, Appl. Math. Optim., 12:3 (1984), 191–202  crossref  mathscinet  zmath
208. P. Pucci, J. Serrin, “A note on the strong maximum principle for elliptic differential inequalities”, J. Math. Pures Appl. (9), 79:1 (2000), 57–71  crossref  mathscinet  zmath
209. P. L. Felmer, A. Quaas, “On the strong maximum principle for quasilinear elliptic equations and systems”, Adv. Differential Equations, 7:1 (2002), 25–46  mathscinet  zmath
210. V. Julin, “Generalized {H}arnack inequality for semilinear elliptic equations”, J. Math. Pures Appl. (9), 106:5 (2016), 877–904  crossref  mathscinet  zmath
211. M.-F. Bidaut-Véron, R. Borghol, L. Véron, “Boundary Harnack inequality and a priori estimates of singular solutions of quasilinear elliptic equations”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 27:2 (2006), 159–177  crossref  mathscinet  zmath
212. K. Nyström, “$p$-harmonic functions in the {H}eisenberg group: boundary behaviour in domains well-approximated by non-characteristic hyperplanes”, Math. Ann., 357:1 (2013), 307–353  crossref  mathscinet  zmath
213. B. Sirakov, “Boundary Harnack estimates and quantitative strong maximum principles for uniformly elliptic PDE”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2018:24 (2018), 7457–7482  crossref  mathscinet  zmath
214. Ю. А. Алхутов, “Неравенство Харнака и гёльдеровость решений нелинейных эллиптических уравнений с нестандартным условием роста”, Дифференц. уравнения, 33:12 (1997), 1651–1660  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: Yu. A. Alkhutov, “The Harnack inequality and the Hölder property of solutions of nonlinear elliptic equations with a nonstandard growth condition”, Differ. Equ., 33:12 (1997), 1653–1663
215. Ю. А. Алхутов, М. Д. Сурначёв, “О неравенстве Харнака для $p(x)$-лапласиана с двухфазным показателем $p(x)$”, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 32, Изд-во Моск. ун-та, М., 2019, 8–56  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: Yu. A. Alkhutov, M. D. Surnachev, “Harnack's inequality for the $p(x)$-Laplacian with a two-phase exponent $p(x)$”, J. Math. Sci. (N. Y.), 244:2 (2020), 116–147  crossref
216. I. I. Skrypnik, M. V. Voitovych, “$\mathcal{B}_1$ classes of De Giorgi–Ladyzhenskaya–Ural'tseva and their applications to elliptic and parabolic equations with generalized Orlicz growth conditions”, Nonlinear Anal., 202 (2021), 112135, 30 pp.  crossref  mathscinet  zmath
217. T. Adamowicz, N. L. P. Lundström, “The boundary Harnack inequality for variable exponent $p$-Laplacian, Carleson estimates, barrier functions and $p(\,\cdot\,)$-harmonic measures”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 195:2 (2016), 623–658  crossref  mathscinet  zmath
218. M. Riesz, “Intégrales de Riemann–Liouville et potentiels”, Acta Litt. Sci. Szeged, 9 (1938), 1–42  zmath
219. R. Musina, A. I. Nazarov, “On fractional Laplacians”, Comm. Partial Differential Equations, 39:9 (2014), 1780–1790  crossref  mathscinet  zmath
220. R. Musina, A. I. Nazarov, “On fractional Laplacians – 2”, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 33:6 (2016), 1667–1673  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
221. L. Silvestre, “Regularity of the obstacle problem for a fractional power of the Laplace operator”, Comm. Pure Appl. Math., 60:1 (2007), 67–112  crossref  mathscinet  zmath
222. A. Capella, J. Dávila, L. Dupaigne, Y. Sire, “Regularity of radial extremal solutions for some non-local semilinear equations”, Comm. Partial Differential Equations, 36:8 (2011), 1353–1384  crossref  mathscinet  zmath
223. A. Iannizzotto, S. Mosconi, M. Squassina, “$H^s$ versus $C^0$-weighted minimizers”, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl., 22:3 (2015), 477–497  crossref  mathscinet  zmath
224. R. Musina, A. I. Nazarov, “Strong maximum principles for fractional Laplacians”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 149:5 (2019), 1223–1240  crossref  mathscinet  zmath
225. N. Abatangelo, S. Jarohs, A. Saldaña, “On the loss of maximum principles for higher-order fractional Laplacians”, Proc. Amer. Math. Soc., 146:11 (2018), 4823–4835  crossref  mathscinet  zmath
226. K. Bogdan, “The boundary Harnack principle for the fractional Laplacian”, Studia Math., 123:1 (1997), 43–80  crossref  mathscinet  zmath
227. X. Ros-Oton, J. Serra, “The boundary Harnack principle for nonlocal elliptic operators in non-divergence form”, Potential Anal., 51:3 (2019), 315–331  crossref  mathscinet  zmath
228. X. Ros-Oton, J. Serra, “The Dirichlet problem for the fractional Laplacian: regularity up to the boundary”, J. Math. Pures Appl. (9), 101:3 (2014), 275–302  crossref  mathscinet  zmath
229. X. Ros-Oton, “Boundary regularity, {P}ohozaev identities and nonexistence results”, Recent developments in nonlocal theory, De Gruyter, Berlin, 2018, 335–358  crossref  mathscinet  zmath
230. L. M. Del Pezzo, A. Quaas, “A Hopf's lemma and a strong minimum principle for the fractional $p$-Laplacian”, J. Differential Equations, 263:1 (2017), 765–778  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
231. Panki Kim, Renming Song, Z. Vondraček, “Potential theory of subordinate killed Brownian motion”, Trans. Amer. Math. Soc., 371:6 (2019), 3917–3969  crossref  mathscinet  zmath
232. N. Abatangelo, M. M. Fall, R. Y. Temgoua, A Hopf lemma for the regional fractional Laplacian, 2021, 16 pp., arXiv: 2112.09522
233. N. Guillen, R. W. Schwab, “Aleksandrov–Bakelman–Pucci type estimates for integro-differential equations”, Arch. Ration. Mech. Anal., 206:1 (2012), 111–157  crossref  mathscinet  zmath
234. M. M. Fall, S. Jarohs, “Overdetermined problems with fractional Laplacian”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 21:4 (2015), 924–938  crossref  mathscinet  zmath

Образец цитирования: Д. Е. Апушкинская, А. И. Назаров, “Лемма о нормальной производной и вокруг неё”, УМН, 77:2(464) (2022), 3–68; Russian Math. Surveys, 77:2 (2022), 189–249
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ApuNaz22}
\by Д.~Е.~Апушкинская, А.~И.~Назаров
\paper Лемма о~нормальной производной и~вокруг неё
\jour УМН
\yr 2022
\vol 77
\issue 2(464)
\pages 3--68
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10049}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10049}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4461384}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1492.35001}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022RuMaS..77..189A}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2022
\vol 77
\issue 2
\pages 189--249
\crossref{https://doi.org/10.1070/RM10049}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000819149200001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85134536350}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm10049
  • https://doi.org/10.4213/rm10049
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm/v77/i2/p3
  • Эта публикация цитируется в следующих 15 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Успехи математических наук Russian Mathematical Surveys
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:727
    PDF русской версии:231
    PDF английской версии:136
    HTML русской версии:375
    Список литературы:107
    Первая страница:76
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024