Успехи математических наук
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



УМН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Успехи математических наук, 2022, том 77, выпуск 2(464), страницы 195–196
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10050
(Mi rm10050)
 

Сообщения Московского математического общества

Арифметический фрагмент в теории управления

А. И. Овсеевич

Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского Российской академии наук
Список литературы:
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 21-11-00151
Работа выполнена при поддержке РНФ (грант № 21-11-00151).
Поступила в редакцию: 01.02.2022
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 2, Pages 369–371
DOI: https://doi.org/10.1070/RM10050
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
MSC: Primary 49N35; Secondary 33C45

1.

В задаче о приведении линейной управляемой системы размерности $N$ в нуль естественным образом возникает [1]–[5] явно заданная матрица

$$ \begin{equation*} Q=q^{-1}, \qquad q_{ij}=\int_0^1 \tau^{(i-1)+(j-1)}(1-\tau)\,d\tau= \frac{1}{(i+j)(i+j-1)}\,,\quad i,j=1,\dots,N. \end{equation*} \notag $$
Важность матрицы $Q$ связана, прежде всего, с тем, что она задает общую функцию Ляпунова для двух устойчивых матриц ${M}=-\operatorname{diag}(1,2,\dots,N)$ и $A+BC$, где $Ae_i=-ie_{i+1}$, $i=1,\dots,N$, $B=e_1^*$, $C=-(1/2)B^{*}Q$. Здесь $e_i$, $i=1,\dots,N$, образуют стандартный базис пространства $\mathbb{R}^N$ и $e_{N+1}=0$.

В работе [6] было доказано, что матрица $Q$ – целочисленная и четная: $Q_{ij}\in 2\mathbb{Z}$, и сформулирована гипотеза о том, что ее матричные элементы делятся на $N(N+1)$. Доказательства в [6] основаны на рассмотрении ортогональных полиномов. Здесь мы докажем эту гипотезу с помощью аналогичных методов.

Теорема 1. Каждый матричный элемент $(N\times N)$-матрицы $Q=(Q_{ij})$ – целое число, делящееся на $N(N+1)$.

Доказательство. Рассмотрим сдвинутые полиномы Якоби, ортогональные относительно меры $d\mu=(1-x)\,dx$ на интервале $[0,1]$ и задаваемые формулой Родрига
$$ \begin{equation*} {P_n}(x)=\frac{1}{n!\,(1-x)}\,\partial^n[(1-x) (x-x^2)^n]\in \mathbb{Z}[x],\qquad \partial=\frac{d}{dx}\,. \end{equation*} \notag $$
Очевидно, что $P_n\in\mathbb{Z}[x]$, поскольку оператор $(1/n!)\,\partial^n$ сохраняет $\mathbb{Z}[x]$. Выполнены соотношения ортогональности [7], [6]: $\displaystyle\int_0^1 {P_n}{P_m}\,d\mu=\dfrac{1}{2(n+1)}\,\delta_{mn}$, которые очевидно эквивалентны тому, что интегральный оператор c ядром (Кристоффеля–Дарбу) $K(x,y)=\displaystyle\sum_{k=1}^N{2k} P_{k-1}(x)P_{k-1}(y)\in \mathbb{Z}[x,y]$ – ортогональная проекция на пространство полиномов степени $<N$.

Покажем, что матрица $Q$ и ядро Кристоффеля–Дарбу связаны соотношением

$$ \begin{equation} Q(x,y):=\sum_{i,j=1}^N{Q}_{ij}x^{i-1}y^{j-1}=K(x,y). \end{equation} \tag{1} $$
Для этого достаточно доказать, что при $k\leqslant N$
$$ \begin{equation} \int Q(x,y)x^{k-1}\,d\mu(x)=\int K(x,y)x^{k-1}\,d\mu(x). \end{equation} \tag{2} $$
Левая часть (2) равна
$$ \begin{equation*} \sum_{i,j=1}^N{Q}_{ij}\int x^{i-1}x^{k-1}\,d\mu(x)\,y^{j-1}= \sum_{i,j=1}^N{Q}_{ij}{q}_{ik}\,y^{j-1}= \sum_{j=1}^N\delta_{kj}\,y^{j-1}=y^{k-1}. \end{equation*} \notag $$
C другой стороны, оператор с ядром $K(x,y)$ действует на $x^{i-1}$ тождественно:
$$ \begin{equation*} \int K(x,y)x^{k-1}\,d\mu(x)=y^{k-1}, \end{equation*} \notag $$
и потому левая и правая части (2) совпадают.

Имеется общая формула для ядра Кристоффеля–Дарбу [7; теорема 3.2.2 и уравнение (4.5.2)], которая в рассматриваемом случае сводится к

$$ \begin{equation} \sum_{k=1}^N{2k} P_{k-1}(x)P_{k-1}(y)= -\frac{N(N+1)}{2N+1}\,\frac{P_{N}(x)P_{N-1}(y)-P_{N-1}(x)P_{N}(y)}{x-y}\,. \end{equation} \tag{3} $$
Поскольку рациональная дробь $N(N+1)/(2N+1)$ несократима, левая часть (3) содержится в идеале ${N(N+1)}{\mathbb{Z}}[x,y]$ кольца ${\mathbb{Z}}[x,y]$. Ввиду (1) это доказывает теорему.

2.

Аналогичные результаты верны для матриц Гильберта [8]

$$ \begin{equation*} (q_H)_{ij}=\int_0^1 \tau^{(i-1)+(j-1)}\,d\tau=\frac{1}{i+j-1}\,,\quad Q_H=q_H^{-1},\qquad i,j=1,\dots,N. \end{equation*} \notag $$

Теорема 2. Каждый матричный элемент $(N\times N)$-матрицы $Q_H$ – целое число, делящееся на $N$.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1; вместо полиномов Якоби используются полиномы Лежандра.

Для матрицы $Q_H$ имеется явное выражение, представленное, например, в [9]. В частности, целочисленность матрицы $Q_H$ хорошо известна. Однако утверждение о делимости из последней теоремы, возможно, является новым.

Список литературы

1. В. И. Коробов, Матем. сб., 109(151):4(8) (1979), 582–606  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
2. А. Э. Чоке Риверо, В. И. Коробов, В. А. Скорик, Матем. физ., анал., геом., 11:2 (2004), 208–225  mathnet  mathscinet  zmath
3. А. Э. Чоке Риверо, В. И. Коробов, В. А. Скорик, Матем. физ., анал., геом., 11:3 (2004), 341–354  mathnet  mathscinet  zmath
4. И. М. Ананьевский, Н. В. Анохин, А. И. Овсеевич, Докл. РАН, 434:3 (2010), 319–323  crossref  mathscinet  zmath
5. A. Ovseevich, J. Optim. Theory Appl., 165:2 (2015), 532–544  crossref  mathscinet  zmath
6. A. Fedorov, A. Ovseevich, Mosc. Math. J., 16:3 (2016), 561–598  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
7. Г. Сегё, Ортогональные многочлены, Физматлит, М., 1962, 500 с.  mathscinet  zmath  zmath
8. D. Hilbert, Acta Math., 18:1 (1894), 155–159  crossref  mathscinet  zmath
9. Man-Duen Choi, Amer. Math. Monthly, 90:5 (1983), 301–312  crossref  mathscinet  zmath

Образец цитирования: А. И. Овсеевич, “Арифметический фрагмент в теории управления”, УМН, 77:2(464) (2022), 195–196; Russian Math. Surveys, 77:2 (2022), 369–371
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ovs22}
\by А.~И.~Овсеевич
\paper Арифметический фрагмент в~теории управления
\jour УМН
\yr 2022
\vol 77
\issue 2(464)
\pages 195--196
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10050}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10050}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4461372}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1494.93043}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022RuMaS..77..369O}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2022
\vol 77
\issue 2
\pages 369--371
\crossref{https://doi.org/10.1070/RM10050}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000819157400001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85134531657}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm10050
  • https://doi.org/10.4213/rm10050
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm/v77/i2/p195
  • Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Успехи математических наук Russian Mathematical Surveys
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:250
    PDF русской версии:36
    PDF английской версии:18
    HTML русской версии:96
    Список литературы:48
    Первая страница:40
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024