| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 8 научных статьях (всего в 8 статьях) Элементы гиперболической теории на бесконечномерном торе С. Д. Глызинa  , А. Ю. Колесов a Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Английская версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM10058 
Реферативные базы данных:
     ВведениеИстория развития гиперболической теории и основные ее достижения подробно описаны в обзорах [1], [2] и монографиях [3]–[12] (это, разумеется, далеко не полный библиографический список). Что же касается бесконечномерных гиперболических динамических систем, то их изучение предпринималось неоднократно в целом ряде работ (см., например, [13]–[17]). К упомянутым работам примыкает и настоящая статья, являющаяся продолжением серии публикаций [18]–[22] и посвященная основам гиперболической теории на бесконечномерном торе. Мотивировкой для создания такой теории служит возможность последующего ее применения к динамическим системам с бесконечномерным фазовым пространством. Что же касается бесконечномерного тора, то он представляет собой наиболее естественный модельный пример бесконечномерного многообразия. Статья состоит из трех разделов. В первом из них даются определения абстрактной целочисленной решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$ и бесконечномерного тора $\mathbb{T}^{\infty}$. Показывается, в частности, что данный тор представляет собой аналитическое банахово многообразие, являющееся замкнутым и некомпактным. Помимо этого, вводятся такие базовые понятия, как касательное пространство, дифференциал, диффеоморфизм, а также описывается рассматриваемый в дальнейшем специальный класс диффеоморфизмов $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Доказывается теорема о структуре входящих в данный класс отображений. Во втором разделе излагается критерий гиперболичности для класса диффеоморфизмов $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. В первую очередь формулируется определение понятия гиперболичности и устанавливается ряд вспомогательных утверждений о гиперболических диффеоморфизмах (отделенность от нуля угла между устойчивым и неустойчивым подпространствами, равномерная ограниченность соответствующих проекторов и т. д.). Затем описывается сам критерий гиперболичности и с его помощью доказывается результат о $C^1$-грубости свойства гиперболичности для диффеоморфизмов класса $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Разбирается также некоторый нетривиальный пример гиперболического диффеоморфизма из $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Третий раздел, являющийся в техническом плане наиболее громоздким, содержит доказательства двух базовых результатов гиперболической теории: теоремы Адамара–Перрона о существовании устойчивых и неустойчивых локальных многообразий и теоремы о существовании устойчивого и неустойчивого инвариантных слоений. Как оказывается, оба эти результата справедливы для любого гиперболического диффеоморфизма из введенного нами класса $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. 1. Основные конструкции1.1. Определение бесконечномерного тораПоскольку мы излагаем элементы гиперболической теории на бесконечномерном торе $\mathbb{T}^{\infty}$, то сначала, следуя работам [18]–[22], дадим определение самого тора $\mathbb{T}^{\infty}$. С этой целью зафиксируем некоторое бесконечномерное вещественное банахово пространство $E$ с нормой $\|\,\cdot\,\|$ и в первую очередь сформулируем определение бесконечномерной целочисленной решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$. Определение 1.1. Бесконечномерной целочисленной решеткой (или просто целочисленной решеткой) назовем непустое подмножество $\mathbb{Z}^{\infty}\subset E$, удовлетворяющее следующим аксиомам. 1) Имеет место свойство линейности: для любых $l_1,l_2\in\mathbb{Z}^{\infty}$, $k_1,k_2\in\mathbb{Z}$ справедливо включение $k_1l_1+k_2l_2\in\mathbb{Z}^{\infty}$. 2) Выполняется условие дискретности
$$
\begin{equation}
\mu_0\overset{\rm def}{=}\inf_{l_1, l_2\in\mathbb{Z}^{\infty},\ l_1\ne l_2} \|l_1-l_2\|>0.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
3) Замыкание линейной оболочки векторов из $\mathbb{Z}^{\infty}$ совпадает с исходным пространством $E$ (это условие естественно назвать максимальностью). При построении конкретных примеров целочисленных решеток оказывается полезным понятие ядра. А именно, ядром $\Omega$ решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$ будем называть непустое подмножество из $\mathbb{Z}^{\infty}$ такое, что любой вектор $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$ представляет собой конечную линейную комбинацию элементов из $\Omega$ с целочисленными коэффициентами. Ясно, что всегда имеется так называемое максимальное ядро $\Omega=\mathbb{Z}^{\infty}$. Далее, ядро $\Omega$ назовем минимальным, если оно состоит из линейно независимых векторов. Характерная особенность минимального ядра $\Omega$ заключается в том, что для любого подмножества $\Omega_0\subset\Omega$, также являющегося ядром, выполняется равенство $\Omega_0=\Omega$. В общем случае вопрос о существовании минимального ядра остается открытым, однако в некоторых конкретных ситуациях его можно выписать явно. Примером целочисленной решетки в пространстве $\ell_{p}$, $p\geqslant 1$, состоящем из векторов
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)},\varphi_{(2)},\dots, \varphi_{(k)},\dots),\qquad \varphi_{(k)}\in \mathbb{R},\quad k\geqslant 1, \\ \|\varphi\|\overset{\rm def}{=} \biggl(\,\sum_{k=1}^{\infty}|\varphi_{(k)}|^{p}\biggr)^{1/p}<\infty, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
является множество
$$
\begin{equation}
\mathbb{Z}^{\infty}=\bigl\{l=\operatorname{colon}(l_{(1)},l_{(2)},\dots, l_{(k)},\dots) \in\ell_{p}\colon l_{(k)}\in\mathbb{Z},\ k\geqslant 1\bigr\}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
В силу сходимости ряда $\displaystyle\sum^{\infty}_{k=1}|l_{(k)}|^p$ (см. (1.2)) любой вектор $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$ имеет лишь конечное число ненулевых координат. Что же касается ядра $\Omega$, то в данном случае в качестве такового можно взять множество $\{e_k, k\in\mathbb{N}\}$ (через $e_k$ обозначен вектор, у которого $k$-я компонента равна единице, а все остальные нулевые). Заметим, далее, что поскольку эти векторы линейно независимы, то указанное ядро минимально. В случае пространства $\ell_{\infty}$, элементами которого являются векторы
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)},\varphi_{(2)},\dots, \varphi_{(k)},\dots),\qquad \varphi_{(k)}\in \mathbb{R},\quad k\geqslant 1, \\ \|\varphi\|\overset{\rm def}{=} \sup_{k\geqslant 1}|\varphi_{(k)}|<\infty, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
аналогичная (1.3) целочисленная решетка имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathbb{Z}^{\infty}=\{l=\operatorname{colon}(l_{(1)},l_{(2)},\dots, l_{(k)},\dots)\in \ell_{\infty}\colon l_{(k)}\in\mathbb{Z},\ k\geqslant 1\}.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Ядром же здесь будет множество $\Omega=\operatorname{Bin}(\ell_{\infty})$ так называемых бинарных векторов $l\in\ell_{\infty}$, у которых координаты $l_{(k)}$, $k\geqslant 1$, независимо друг от друга принимают значения $0$ или $1$. Действительно, возьмем произвольный вектор $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$ и заметим, что поскольку последовательность $l_{(k)}$ из (1.5) ограничена, то найдется такой конечный набор попарно различных целых чисел $m_1,m_2,\dots,m_s$, что
$$
\begin{equation*}
l_{(k)}\in\{m_1,m_2,\dots,m_s\}\quad \forall\,k\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
А это значит, что справедливо равенство $l=m_1e_{m_1}+m_2e_{m_2}+\cdots+m_se_{m_s}$, где бинарные векторы $e_{m_j}$, $1\leqslant j\leqslant s$, определяются по правилу
$$
\begin{equation*}
e_{m_j}=\operatorname{colon}(e_{m_j}^1,e_{m_j}^2,\dots, e_{m_j}^k,\dots),\qquad e_{m_j}^k=\begin{cases} 0&\text{при}\ l_{(k)}\ne m_j, \\ 1&\text{при}\ l_{(k)}=m_j. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим еще, что множество $\operatorname{Bin}(\ell_{\infty})$ заведомо не является минимальным ядром, так как ядром оказывается, например, и множество $\operatorname{Bin}(\ell_{\infty})\setminus\{l_0\}$, где $l_0=\operatorname{colon}(1,1,\dots,1,\dots)$. Вопрос же о существовании минимального ядра здесь, как и в общем случае, открыт. Аналог целочисленной решетки (1.5) можно определить и в лебеговом пространстве $L_{\infty}(0,1)$, состоящем из классов измеримых функций $x(t)$, для которых конечна норма
$$
\begin{equation*}
\|x\|= \operatorname*{ess\,sup} _{0\leqslant t\leqslant 1}|x(t)|.
\end{equation*}
\notag
$$
А именно, здесь целочисленной решеткой является множество вида
$$
\begin{equation*}
\mathbb{Z}^{\infty}=\{x(t)\in L_{\infty}(0,1)\colon x(t)\in \mathbb{Z} \text{ при почти всех } t\in [0,1]\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Еще один естественный пример целочисленной решетки строится по следующему правилу. Пусть $E$ – бесконечномерное вещественное гильбертово пространство, а $\{e_{\alpha}\in E\colon \alpha\in\Sigma\}$ – некоторая его полная ортонормированная система (индексное множество $\Sigma$ заведомо состоит из бесконечного числа элементов). Тогда, как нетрудно проверить, эта система служит минимальным ядром соответствующей целочисленной решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$. Элементами данной решетки являются всевозможные конечные линейные комбинации векторов $e_{\alpha}$ с целочисленными коэффициентами. Перейдем теперь к определению тора $\mathbb{T}^{\infty}$. В связи с этим всюду ниже считаем, что в пространстве $E$ фиксирована некоторая целочисленная решетка $\mathbb{Z}^{\infty}$. Тогда с ее помощью на $E$ вводится отношение эквивалентности по следующему правилу. Будем говорить, что два вектора $x, y\in E$ эквивалентны, если существует такой элемент $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, что $x-y=2\pi l$. Определение 1.2. Бесконечномерным тором $\mathbb{T}^{\infty}$ назовем множество всех классов эквивалентности, порожденных описанным выше отношением. Иными словами, справедливы равенства $\mathbb{T}^{\infty}=E/2\pi\mathbb{Z}^{\infty}=\operatorname{pr}(E)$, где отображение $\operatorname{pr}\colon E\to\mathbb{T}^{\infty}$ – так называемая естественная проекция. Эта проекция действует по правилу где $\varphi$ – произвольный элемент из $E$, а $\{\varphi\}$ – класс эквивалентности из $\mathbb{T}^{\infty}$, содержащий $\varphi$. Впрочем, для краткости в дальнейшем одной и той же буквой $\varphi$ будем обозначать как вектор из $E$, так и соответствующий ему класс $\{\varphi\}\in\mathbb{T}^{\infty}$ (из контекста всегда будет ясно, о каком именно объекте идет речь).Метрику на торе $\mathbb{T}^{\infty}$ зададим равенством
$$
\begin{equation}
\forall\,\varphi_1,\varphi_2\in\mathbb{T}^{\infty}\qquad \rho(\varphi_1,\varphi_2)= \inf_{l\in\mathbb{Z}^{\infty}}\|\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1)- \operatorname{pr}^{-1}(\varphi_2)+2\pi l\|,
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
где, напомним, $\|\,\cdot\,\|$ – норма в $E$, а $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1),\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_2)\in E$ – произвольные прообразы точек $\varphi_1,\varphi_2\in\mathbb{T}^{\infty}$. Так как упомянутые прообразы определяются с точностью до аддитивных добавок вида $2\pi l$, $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, то метрика (1.7) не зависит от их конкретного выбора. Отметим также, что в силу свойства дискретности (1.1) и формулы (1.7) отображение (1.6) является локальной изометрией, т. е.
$$
\begin{equation}
\rho(\operatorname{pr}(\varphi_1),\operatorname{pr}(\varphi_2))= \|\varphi_1-\varphi_2\|\qquad \forall\,\varphi_1,\varphi_2\in E\colon\ \|\varphi_1-\varphi_2\|\leqslant\varepsilon_0,
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
где $\varepsilon_0=\operatorname{const}\in(0,\pi\mu_0)$. Поэтому метрическое пространство $(\mathbb{T}^{\infty},\rho)$ оказывается полным. В последующем нам понадобится понятие фундаментального множества тора $\mathbb{T}^{\infty}$. Таковым будем называть множество $\mathscr{U}\subset E$, для которого $\operatorname{pr}(\mathscr{U})=\mathbb{T}^{\infty}$ и отображение $\operatorname{pr}\colon\mathscr{U}\to\mathbb{T}^{\infty}$ взаимно однозначно. Подчеркнем, что существование данного множества гарантирует аксиома выбора, примененная к семейству непустых попарно непересекающихся множеств $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$, $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ (под $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$ здесь понимается полный прообраз элемента $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$). В случае (1.2), (1.3) фундаментальной является область
$$
\begin{equation}
\mathscr{U}=\{\varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)},\varphi_{(2)}, \dots,\varphi_{(k)},\dots)\in\ell_{p}\colon -\pi\leqslant\varphi_{(k)}<\pi,\ k\geqslant 1\},
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
а в случае (1.4), (1.5) – область
$$
\begin{equation}
\mathscr{U}=\{\varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)},\varphi_{(2)}, \dots,\varphi_{(k)},\dots)\in\ell_{\infty}\colon -\pi\leqslant\varphi_{(k)}<\pi,\ k\geqslant 1\}.
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
Нетрудно увидеть, что множество (1.10) ограничено, а множество (1.9) этим свойством не обладает. Необходимо отметить, что, как правило, под понятием “бесконечномерный тор” подразумевается прямое произведение счетного числа окружностей с тихоновской топологией (см., например, [16], [23]–[25]). В этом случае после введения соответствующей метрики $\mathbb{T}^{\infty}$ становится компактным метрическим пространством. Но этот вариант нас не устраивает по той причине, что такой тор не является многообразием. А поскольку гиперболическая теория, как правило, строится на гладких многообразиях, то определение бесконечномерного тора нуждается в доработке. В нашем случае тор $\mathbb{T}^{\infty}$ обладает требуемыми свойствами. А именно, справедлива следующая теорема. Теорема 1.1. Бесконечномерный тор $\mathbb{T}^{\infty}$ представляет собой аналитическое банахово многообразие. Это многообразие всегда замкнуто и некомпактно. В случае же существования у тора $\mathbb{T}^{\infty}$ ограниченного фундаментального множества $\mathscr{U}$ оно является ограниченным (т. е. ограничено соответствующее метрическое пространство $(\mathbb{T}^{\infty},\rho)$). Доказательство. Для задания на торе $\mathbb{T}^{\infty}$ дифференцируемой структуры зафиксируем некоторое его фундаментальное множество $\mathscr{U}$ и для каждого $\varphi_0\in\mathbb{T}^{\infty}$ обозначим через $u_0\in \mathscr{U}$ соответствующий прообраз $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_0)$ (который, напомним, определяется однозначно). Далее, введем в рассмотрение отображение
$$
\begin{equation}
h_{\varphi_0}(\varphi)=\operatorname{pr}^{-1}_{u_0}(\varphi),\qquad \varphi\in O(\varphi_0,r_0)\overset{\rm def}{=} \{\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}\colon \rho(\varphi_0,\ \varphi)<r_0\},
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
где $\operatorname{pr}^{-1}_{u_0}(\varphi)$, $\operatorname{pr}^{-1}_{u_0}(\varphi_0)=u_0$, – непрерывная ветвь соответствующего многозначного отображения $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$, $r_0=\operatorname{const}\in (0,\varepsilon_0/6)$, а $\varepsilon_0$ – постоянная из (1.8). Подчеркнем, что в силу выбора $r_0$ и свойства локальной изометрии (1.8) гомеоморфизм (1.11) корректно определен и переводит шар $O(\varphi_0,r_0)\subset \mathbb{T}^{\infty}$ на аналогичный шар $O(u_0,r_0)=\{u\in E\colon \|u-u_0\|<r_0\}$ из пространства $E$. Локальные гомеоморфизмы (1.11) позволяют естественным образом ввести на торе $\mathbb{T}^{\infty}$ атлас
$$
\begin{equation}
\{(O(\varphi_0,r_0),h_{\varphi_0}),\ \varphi_0\in\mathbb{T}^{\infty}\}.
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
Покажем теперь, что любые две локальные карты из атласа (1.12) аналитически согласованы. Действительно, если для некоторых $\varphi_1,\varphi_2\in\mathbb{T}^{\infty}$ имеем
$$
\begin{equation}
O(\varphi_1, r_0)\cap O(\varphi_2,r_0)\ne\varnothing,
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
то для соответствующих гомеоморфизмов $h_{\varphi_j}(\varphi)=\operatorname{pr}^{-1}_{u_j}(\varphi)$, где $u_j=\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_j)$, $u_j\in\mathscr{U}$, $j=1,2$, справедливо соотношение
$$
\begin{equation}
\forall\,\varphi\in O(\varphi_2,r_0)\quad h_{\varphi_2}(\varphi)=h_{\varphi_1}(\varphi)+2\pi l_0,\quad l_0=\operatorname{const}\in\mathbb{Z}^{\infty}.
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
Связано это с тем, что в силу малости $r_0$ отображение $h_{\varphi_1}(\varphi)$ доопределяется по непрерывности на шар $O(\varphi_1,3r_0)\supset O(\varphi_1,r_0)\cup O(\varphi_2,r_0)$. А поскольку $h_{\varphi_j}(\varphi)$, $j=1,2$, – различные непрерывные ветви одного и того же отображения $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$, то в силу дискретности решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$ они отличаются друг от друга на аддитивную постоянную добавку $2\pi l_0$, $l_0\in \mathbb{Z}^{\infty}$. Далее, рассмотрим соответствующее случаю (1.13) отображение перехода
$$
\begin{equation}
h_{\varphi_2}\circ h^{-1}_{\varphi_1}\colon h_{\varphi_1}(O(\varphi_1,r_0) \cap O(\varphi_2,r_0))\to h_{\varphi_2}(O(\varphi_1,r_0)\cap O(\varphi_2,r_0))
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
и заметим, что
$$
\begin{equation}
\forall\,u\in h_{\varphi_1}(O(\varphi_1,r_0)\cap O(\varphi_2,r_0))\quad h^{-1}_{\varphi_1}(u)=\operatorname{pr}(u).
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
Объединяя затем соотношения (1.14), (1.16), приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
h_{\varphi_2}(h^{-1}_{\varphi_1}(u))=h_{\varphi_2}(\operatorname{pr}(u))= h_{\varphi_1}(\operatorname{pr}(u))+2\pi l_0=u+2\pi l_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, отображение (1.15) записывается в виде $u\mapsto u+2\pi l_0$, а значит, является аналитическим по локальной переменной $u$. Итак, мы установили, что тор $\mathbb{T}^{\infty}$ действительно представляет собой аналитическое банахово многообразие. Далее, факт замкнутости этого многообразия (т. е. отсутствие у него края) вытекает из гомеоморфности любого шара $O(\varphi_0,r_0)\subset\mathbb{T}^{\infty}$ некоторому шару $O(u_0,r_0)\subset E$. Отсюда же и из очевидной некомпактности шаров пространства $E$ следует свойство некомпактности многообразия $\mathbb{T}^{\infty}$. И наконец, в случае существования у тора $\mathbb{T}^{\infty}$ ограниченного фундаментального множества $\mathscr{U}$ ограниченным будет и метрическое пространство $(\mathbb{T}^{\infty},\rho)$. Этот факт вытекает непосредственно из формулы (1.7), в которой прообразы $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1)$, $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_2)$ мы всегда можем выбрать принадлежащими ограниченному множеству $\mathscr{U}$. Теорема 1.1 доказана. Заканчивая обсуждение бесконечномерного тора $\mathbb{T}^{\infty}$, добавим, что наличие на нем дифференцируемой структуры (1.12) позволяет естественным образом перенести на данное многообразие такие понятия, как касательное пространство, дифференциал, диффеоморфизм и т. д. Например, касательное пространство $T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}$ тора $\mathbb{T}^{\infty}$ в любой точке $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ определяется следующим образом. Рассмотрим всевозможные непрерывные кривые $\varkappa(t)\in\mathbb{T}^{\infty}$, $t\in (-a,a)$, $a>0$, такие, что $\varkappa(0)=\varphi$. Будем считать, что для некоторой локальной карты $(O(\varphi_0,r_0),h_{\varphi_0})\colon \varphi\in O(\varphi_0,r_0)$ (а значит, для любой такой карты) функция $h_{\varphi_0}(\varkappa(t))$ дифференцируема в точке $t=0$. Далее, две кривые $\varkappa_1(t)$ и $\varkappa_2(t)$ с перечисленными свойствами назовем эквивалентными, если
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}h_{\varphi_0}(\varkappa_1(t))\bigg|_{t=0}= \frac{d}{dt}h_{\varphi_0}(\varkappa_2(t))\bigg|_{t=0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Что же касается пространства $T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}$, то оно есть совокупность получившихся классов эквивалентности $\{\varkappa\}$ (см. [4; § П 3]). Характерная особенность нашего случая заключается в том, что между классами $\{\varkappa\}$ и векторами пространства $E$ существует естественный изоморфизм $\Gamma_{\varphi}\colon T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}\to E$, осуществляющийся по правилам
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Gamma_{\varphi}\colon \{\varkappa\}&\mapsto e_{\{\varkappa\}} \overset{\rm def}{=}\frac{d}{dt}h_{\varphi_0}(\varkappa(t))\big|_{t=0}, \\ \Gamma^{-1}_{\varphi}\colon e\in E&\mapsto \{\operatorname{pr}[\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)+t e]\}\in T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти правила корректны в том смысле, что вектор $e_{\{\varkappa\}}\in E$ не зависит ни от выбора конкретной кривой $\varkappa(t)$ из соответствующего класса $\{\varkappa\}$ (в силу эквивалентности указанных кривых), ни от локального гомеоморфизма $h_{\varphi_0}$ (так как переход от одного из них к другому осуществляется по формуле (1.14)). Тем самым каждый класс $\{\varkappa\}\in T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}$ отождествляется со своим каноническим представителем $\varkappa(t)=\operatorname{pr}[\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)+t e]$, $e\in E$, а значит, с вектором $e$. Итак, допуская некоторую вольность речи, можно утверждать, что касательное пространство $T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}$ тора $\mathbb{T}^{\infty}$ в каждой точке $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ совпадает с $E$. А поскольку в пространстве $E$ задана норма $\|\,\cdot\,\|$, то $\mathbb{T}^{\infty}$ является одновременно и финслеровым многообразием (см. [4; § П 4]) с финслеровой метрикой (1.7). Напомним, что, в отличие от риманова многообразия, в случае финслерова многообразия $M$ при всех $x\in M$ в касательном пространстве $T_xM$ задано не скалярное произведение, а норма и эта норма в определенном смысле непрерывно зависит от точки $x$. 1.2. Описание класса $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$Сформулируем сначала ряд вспомогательных определений. Начнем с так называемых локальных поднятий, которые могут быть введены для любого непрерывного отображения $G\colon \mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$. Фиксируем произвольно точку $\varphi_0\in\mathbb{ T}^{\infty}$, положим затем $\varphi_1=G(\varphi_0)$ и рассмотрим произвольные прообразы $v_0=\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_0)$, $v_1=\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1)$ этих точек. Под локальным поднятием отображения $G$ будем понимать отображение вида
$$
\begin{equation}
\overline{G}_{v_0}(v)= \operatorname{pr}^{-1}_{v_1}[G(\operatorname{pr}(v))],\qquad \overline{G}_{v_0}(v_0)=v_1.
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
Здесь, как и в (1.11), через $\operatorname{pr}^{-1}_{v_1}(\varphi)$ обозначена непрерывная ветвь многозначного отображения $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$, выделяющаяся равенством $\operatorname{pr}^{-1}_{v_1}(\varphi_1)=v_1$ и определенная на шаре $O(\varphi_1, r_0)\subset\mathbb{ T}^{\infty}$ (постоянная $r_0>0$ та же самая, что и в (1.11)). Что же касается переменной $v$ из (1.17), то она пробегает шар где $\delta_0\in(0,r_0)$ удовлетворяет требованию
$$
\begin{equation}
\rho(G(\operatorname{pr}(v)),\varphi_1)<r_0\quad \forall\,v\in O(v_0,\delta_0).
\end{equation}
\tag{1.18}
$$
Добавим еще, что в силу непрерывности отображения $G(\operatorname{pr}(v))$ и равенства $G(\operatorname{pr}(v_0))=\varphi_1$ такая постоянная $\delta_0$ заведомо найдется. Далее, непрерывно дифференцируемым назовем непрерывное отображение $G\colon \mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$, у которого каждое локальное поднятие (1.17) дифференцируемо по Фреше и соответствующая производная Фреше $D(\overline{G}_{v_0}(v))$ непрерывно зависит от $v\in O(v_0,\delta_0)$ в равномерной операторной топологии (т. е. по норме банахова пространства $L(E;E)$ линейных ограниченных операторов). В случае непрерывно дифференцируемого отображения $G$ наличие локальных представлений (1.17) позволяет ввести для него понятие дифференциала $DG(\varphi)$, $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$. По определению таковым является линейный ограниченный оператор из $E$ в $E$, задаваемый равенством
$$
\begin{equation}
DG(\varphi)|_{\varphi=\operatorname{pr}(v)}=D(\overline{G}_{v_0}(v))\quad \forall\,v\in O(v_0,\delta_0).
\end{equation}
\tag{1.19}
$$
Следует отметить, что формула (1.19) корректна в том смысле, что, выбирая различные локальные представления, мы не можем получить для одной и той же точки $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ различные значения $DG(\varphi)$. Действительно, поскольку любые две непрерывные ветви отображения $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$ на пересечении своих областей определения (точнее говоря, на любой связной компоненте этого пересечения) отличаются на постоянную аддитивную добавку вида $2\pi l$, $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, то же самое верно и для любых двух локальных поднятий $\overline{G}_{\widetilde{v}_0}(v)$, $\overline{G}_{\widetilde{\widetilde{v}}_0}(v)$. Поэтому на их общей области определения автоматически имеем $D(\overline{G}_{\widetilde{v}_0}(v)) =D(\overline{G}_{\widetilde{\widetilde{v}}_0}(v))$. Предположим теперь, что отображение $G$ является гомеоморфизмом тора $\mathbb{T}^{\infty}$ и непрерывно дифференцируемы как $G$, так и $G^{-1}$. Такого рода отображения будем называть диффеоморфизмами (также будем говорить, что $G$ обладает свойством диффеоморфности). Выписывая для $G^{-1}$ формулы, аналогичные (1.17), (1.19), нетрудно показать, что при любом $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ оператор $DG(\varphi)$ обратим и
$$
\begin{equation}
D(G^{-1}(\varphi))=[DG(\theta)]^{-1}\big|_{\theta=G^{-1}(\varphi)}\quad \forall\,\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}.
\end{equation}
\tag{1.20}
$$
Перечисленные вспомогательные понятия позволяют ввести в рассмотрение интересующий нас класс $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Определение 1.3. Класс $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ состоит из произвольных диффеоморфизмов $G\colon\mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$, удовлетворяющих условиям ограниченности и равномерной непрерывности: Напомним, что под индуцированной нормой произвольного линейного оператора $A\colon E\to E$ понимается величина $\|A\|_{E\to E}=\sup_{x\in E, \|x\|=1}\|Ax\|$ (если она конечна). Подобного рода нормы встречаются и в дальнейшем. А именно, ниже через $\|\,\cdot\,\|_{V_1\to V_2}$, где $V_j$, $j=1,2$, – замкнутые подпространства из $E$, будем обозначать соответствующие индуцированные операторные нормы, считая нормы в $V_j$, $j=1,2$, заимствованными из $E$ (если не оговорено противное) или заданными каким-либо специальным образом. Интересно отметить, что в силу равенства (1.20) диффеоморфизмы $G$ и $G^{-1}$ принадлежат классу $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ или нет одновременно, т. е. наблюдается определенная симметрия. В дальнейшем, однако, нам потребуется более детальная информация о структуре входящих в множество $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ отображений. Для получения соответствующего результата введем в рассмотрение некоторые дополнительные объекты. Через $L(\mathbb{Z}^{\infty})$ обозначим класс линейных ограниченных операторов $\Lambda$ из $E$ в $E$ таких, что любой оператор $\Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty})$ является обратимым и $\Lambda\mathbb{Z}^{\infty}=\mathbb{Z}^{\infty}$. Далее, через $B^1_{\rm per}(E)$ будем обозначать совокупность вектор-функций $g(\varphi)\in E$, $\varphi\in E$, со следующими свойствами. Предполагаем, что, во-первых, все функции $g(\varphi)$ из $B^1_{\rm per}(E)$ и их производные Фреше $g'(\varphi)$ непрерывны по $\varphi\in E$; во-вторых, выполняются требования $2\pi$-периодичности, ограниченности и равномерной непрерывности:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, g(\varphi+2\pi l)\equiv g(\varphi)\quad \forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty},\quad \sup_{\varphi\in E}\|g'(\varphi)\|_{E\to E}<\infty, \\ \lim_{\varepsilon\to 0}\ \sup_{\substack{\varphi_1,\varphi_2\in E: \\ \|\varphi_1-\varphi_2\|<\varepsilon}} \|g'(\varphi_1)-g'(\varphi_2)\|_{E\to E}=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.22}
$$
Любой паре $\Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty})$, $g(\varphi)\in B^1_{\rm per}(E)$ поставим в соответствие два отображения $\overline{G}\colon E\to E$ и $G\colon \mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$ по правилам
$$
\begin{equation}
\overline{G}\colon\varphi \mapsto \overline{G}(\varphi) \overset{\rm def}{=}\Lambda\varphi+g(\varphi),
\end{equation}
\tag{1.23}
$$
$$
\begin{equation}
G\colon\varphi \mapsto \overline{G}(\varphi) \,(\operatorname{mod}\,2\pi) = \Lambda\varphi+g(\varphi) \,(\operatorname{mod}\,2\pi) .
\end{equation}
\tag{1.24}
$$
Здесь элемент $\overline{G}(\varphi) \,(\operatorname{mod}\,2\pi) $ из $\mathbb{T}^{\infty}$ задается формулой
$$
\begin{equation}
\forall\,\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}\quad \overline{G}(\varphi) \,(\operatorname{mod}\,2\pi) =\Lambda\varphi+g(\varphi) \,(\operatorname{mod}\,2\pi) = \operatorname{pr}[\overline{G}(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi))],
\end{equation}
\tag{1.25}
$$
в которой $\operatorname{pr}$ – проекция (1.6), а $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)\in E$ – произвольный прообраз точки $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$. Поскольку разность любых двух таких прообразов есть величина вида $2\pi l$, $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, и $\Lambda\mathbb{Z}^{\infty}=\mathbb{Z}^{\infty}$, а функция $g(\varphi)$ периодична с периодом $2\pi$ (см. (1.22)), то формула (1.25) не зависит от конкретного выбора $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$. В дальнейшем $\overline{G}$ будем называть глобальным поднятием отображения $G$, а само $G$ – спуском отображения $\overline{G}$ на тор $\mathbb{T}^{\infty}$. В силу соотношений (1.19), (1.23)–(1.25) оба эти отображения непрерывно дифференцируемы, а их дифференциалы связаны равенствами
$$
\begin{equation}
DG(\operatorname{pr}(\varphi))=D\overline{G}(\varphi)= \Lambda+g'(\varphi)\quad \forall\,\varphi\in E.
\end{equation}
\tag{1.26}
$$
Справедливо следующее утверждение о структуре диффеоморфизмов из интересующего нас класса $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Теорема 1.2. Любой диффеоморфизм $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ допускает представление (1.24), (1.25) при некоторых $\Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty})$, $g(\varphi)\in B^1_{\rm per}(E)$, а отвечающее ему глобальное поднятие (1.23) является диффеоморфизмом из $E$ в $E$ и обладает свойством Доказательство. Обоснование первого из утверждений теоремы проводится по следующей схеме. Сначала мы установим, что любое локальное поднятие (1.17) диффеоморфизма $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ может быть продолжено до глобального поднятия $\overline{G}(v)$, определенного на всем пространстве $E$. После этого убедимся в том, что, во-первых, $\overline{G}(v)$ является диффеоморфизмом из $E$ в $E$ и допускает представление вида
$$
\begin{equation}
\overline{G}(v)=\Lambda v+g(v),\qquad \Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty}),\quad g\in B^1_{\rm per}(E);
\end{equation}
\tag{1.28}
$$
во-вторых, для операторов $\Lambda$, $g$ из (1.28) справедлива оценка (1.27). Зафиксируем произвольно $v_0\in E$ и рассмотрим соответствующее локальное поднятие (1.17), определенное на шаре $O(v_0,\delta_0)$. Покажем сначала, что при условиях (1.21) радиус $\delta_0>0$ этого шара может быть выбран не зависящим от $v_0$. Действительно, для любого $v\in O(v_0,\delta_0)$ в силу (1.19), (1.21) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \rho(G(\operatorname{pr}(v)),\varphi_1)&\leqslant \|\overline{G}_{v_0}(v)-v_1\|=\|\overline{G}_{v_0}(v)- \overline{G}_{v_0}(v_0)\| \\ &\leqslant\sup_{v\in O(v_0,\delta_0)}\|D(\overline{G}_{v_0}(v))\|_{E\to E} \cdot\|v-v_0\|\leqslant N\delta_0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
N=\sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|DG(\varphi)\|_{E\to E}<\infty.
\end{equation}
\tag{1.29}
$$
А отсюда, в свою очередь, заключаем, что условие (1.18) для отыскания $\delta_0$ заведомо выполняется при
$$
\begin{equation}
\delta_0=\operatorname{const}\in \biggl(0,\min\biggl(r_0,\frac{r_0}{N}\biggr)\biggr).
\end{equation}
\tag{1.30}
$$
Принимая во внимание данный способ выбора $\delta_0$, зафиксируем произвольно вектор $\overline{v}_0\in O(v_0,\delta_0)$, положим $\overline{v}_1=\overline{G}_{v_0}(\overline{v}_0)$ и рассмотрим аналогичные (1.17) вектор-функции
$$
\begin{equation}
\overline{G}_{\overline{v}_0}(v)=\operatorname{pr}^{-1}_{\overline{v}_1} [G(\operatorname{pr}(v))],\qquad v\in O(\overline{v}_0,\delta_0).
\end{equation}
\tag{1.31}
$$
Здесь $\operatorname{pr}^{-1}_{\overline{v}_1}(\varphi)$ – непрерывная ветвь $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$, удовлетворяющая условию
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}^{-1}_{\overline{v}_1}(\overline{\varphi}_1)=\overline{v}_1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\overline{\varphi}_1=G(\operatorname{pr}(\overline{v}_0)) \in\mathbb{T}^{\infty}$. Как уже отмечалось выше, два различных локальных поднятия на пересечении областей определения отличаются друг от друга на постоянную добавку вида $2\pi l$, $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$. В нашем же случае имеем $\overline{G}_{\overline{v}_0}(\overline{v}_0)=\overline{v}_1= \overline{G}_{v_0}(\overline{v}_0)$, а значит,
$$
\begin{equation}
\overline{G}_{\overline{v}_0}(v)=\overline{G}_{v_0}(v)\quad \forall\,v\in O(v_0,\delta_0)\cap O(\overline{v}_0,\delta_0).
\end{equation}
\tag{1.32}
$$
Таким образом, мы можем доопределить отображение (1.17) на множестве
$$
\begin{equation}
\bigcup_{\overline{v}_0\in O(v_0,\delta_0)}O(\overline{v}_0,\delta_0)= O(v_0,2\delta_0)
\end{equation}
\tag{1.33}
$$
по формуле
$$
\begin{equation}
\overline{G}_{v_0}(v)=\{\overline{G}_{\overline{v}_0}(v)\text{ при } v\in O(\overline{v}_0,\delta_0)\}.
\end{equation}
\tag{1.34}
$$
Добавим еще, что в силу (1.32) это определение заведомо корректно. На следующем шаге рассмотрим отображения (1.31) уже при $\overline{v}_0\in O(v_0,2\delta_0)$ и доопределим исходное отображение (1.17) на аналогичном (1.33) множестве
$$
\begin{equation*}
\bigcup_{\overline{v}_0\in O(v_0,2\delta_0)}O(\overline{v}_0,\delta_0)= O(v_0,3\delta_0)
\end{equation*}
\notag
$$
по правилу (1.34). Ясно, что в силу универсальности $\delta_0$ (см. (1.30)) этот процесс продолжается до бесконечности и приводит в итоге к глобальному поднятию $\overline{G}(v)$, $v\in E$. Как и каждое локальное поднятие, вектор-функция $\overline{G}(v)$ непрерывно дифференцируема по Фреше, причем в силу (1.19) имеем аналогичное (1.26) равенство
$$
\begin{equation}
D\overline{G}(v)=DG(\varphi)\big|_{\varphi=\operatorname{pr}(v)}\quad \forall\,v\in E.
\end{equation}
\tag{1.35}
$$
А отсюда и из (1.21) получаем свойства
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \sup_{v\in E}\|D\overline{G}(v)\|_{E\to E}= \sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|DG(\varphi)\|_{E\to E}<\infty, \\ \sup_{v\in E}\|(D\overline{G}(v))^{-1}\|_{E\to E}= \sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|(DG(\varphi))^{-1}\|_{E\to E}<\infty, \\ \lim_{\varepsilon\to 0}\, \sup_{\substack{v_1,v_2\in E: \\ \|v_1-v_2\|<\varepsilon}} \|D\overline{G}(v_1)-D\overline{G}(v_2)\|_{E\to E}=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.36}
$$
Что же касается диффеоморфизма $G$, то из локальных представлений вида (1.17) для него вытекает глобальное представление
$$
\begin{equation}
G(\varphi)= \operatorname{pr}[\overline{G}(v)]\big|_{v=\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)} \quad \forall\,\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}.
\end{equation}
\tag{1.37}
$$
Из формулы (1.37) с необходимостью имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}[\overline{G}(v+2\pi l)]= \operatorname{pr}[\overline{G}(v)]\quad \forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty},\quad \forall\,v\in E,
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, найдется такое $\overline{l}\in\mathbb{Z}^{\infty}$, что
$$
\begin{equation*}
\overline{G}(v+2\pi l)=\overline{G}(v)+2\pi\overline{l}.
\end{equation*}
\notag
$$
Добавим еще, что в силу непрерывности $\overline{G}(v)$ и свойства дискретности целочисленной решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$ элемент $\overline{l}$ не зависит от $v\in E$. Тем самым на решетке $\mathbb{Z}^{\infty}$ корректно определен оператор
$$
\begin{equation}
\Lambda l\overset{\rm def}{=}\frac{1}{2\pi}\,(\overline{G}(v+2\pi l)- \overline{G}(v))\in\mathbb{Z}^{\infty}\quad \forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty}.
\end{equation}
\tag{1.38}
$$
Остановимся на некоторых свойствах оператора (1.38). Из очевидных равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Lambda(l_1+l_2)&=\frac{1}{2\pi}\bigl(\overline{G}(v+2\pi (l_1+l_2))- \overline{G}(v)\bigr) \\ &=\frac{1}{2\pi}\bigl(\overline{G}((v+2\pi l_2)+2\pi l_1)- \overline{G}(v+2\pi l_2)\bigr)+ \frac{1}{2\pi}(\overline{G}(v+2\pi l_2)-\overline{G}(v)) \\ &=\Lambda l_1+\Lambda l_2 \quad \forall\,l_1,l_2\in\mathbb{Z}^{\infty}, \\ \Lambda(-l)&=\frac{1}{2\pi}\,(\overline{G}(v-2\pi l)-\overline{G}(v)) \\ &=-\frac{1}{2\pi}\bigl(\overline{G}((v-2\pi l)+2\pi l)- \overline{G}(v-2\pi l)\bigr)=-\Lambda l\quad \forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
вытекает, что
$$
\begin{equation}
\Lambda(k_1l_1+k_2l_2)=k_1\Lambda l_1+k_2\Lambda l_2\quad \forall\,l_1,l_2\in\mathbb{Z}^{\infty},\quad \forall\,k_1,k_2\in\mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{1.39}
$$
Кроме того, в силу (1.36) имеем
$$
\begin{equation}
\|\Lambda l\|\leqslant N\|l\|\quad \forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty},
\end{equation}
\tag{1.40}
$$
где $N$ – постоянная (1.29). Установленные свойства (1.39), (1.40) позволяют продолжить оператор (1.38) с решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$ на все пространство $E$ с сохранением свойств линейности и ограниченности. А именно, сначала для любой конечной линейной комбинации
$$
\begin{equation}
v=\alpha_1 l_1+\alpha_2 l_2+\cdots+\alpha_k l_k,\qquad l_j\in\mathbb{Z}^{\infty},\quad \alpha_j\in\mathbb{R},\quad j=1,\dots,k,
\end{equation}
\tag{1.41}
$$
положим
$$
\begin{equation}
\Lambda v\overset{\rm def}{=}\sum_{j=1}^k\alpha_j\Lambda l_j.
\end{equation}
\tag{1.42}
$$
Убедимся, далее, в том, что в случае (1.41), (1.42) сохраняется оценка вида (1.40), т. е. Предположим сначала, что все коэффициенты в (1.41) рациональны. Без ограничения общности можно считать, что $\alpha_j=m_j/m$, $m_j\in\mathbb{Z}$, $m\in\mathbb{N}$. Тогда из (1.40), (1.42) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl\|\Lambda\biggl(\,\sum_{j=1}^k\frac{m_j}{m}\,l_j\biggr)\biggr\|&= \frac{1}{m}\biggl\|\Lambda\biggl(\,\sum_{j=1}^km_jl_j\biggr)\biggr\| \nonumber \\ &\leqslant\frac{N}{m}\biggl\|\,\sum_{j=1}^km_jl_j\biggr\|=N \biggl\|\,\sum_{j=1}^k\frac{m_j}{m}\,l_j\biggr\|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.44}
$$
Далее, зафиксируем произвольно элемент (1.41) и выберем такие последовательности рациональных чисел $\alpha_j^{(n)}$, $j=1,\dots,k$, что $\alpha_j^{(n)}\to\alpha_j$ при $n\to+\infty$. В этом случае в силу (1.42), (1.44) справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl\|\,\sum_{j=1}^k\alpha_j^{(n)}\Lambda l_j\biggr\|\leqslant N\biggl\|\,\sum_{j=1}^k\alpha_j^{(n)}l_j\biggr\|.
\end{equation}
\tag{1.45}
$$
Переходя затем в (1.45) к пределу при $n\to+\infty$, получаем требуемую оценку (1.43). Остается добавить, что в силу плотности в $E$ линейных комбинаций вида (1.41) (см. свойство максимальности целочисленной решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$) оператор $\Lambda$ однозначно продолжается на все пространство $E$ с сохранением неравенства (1.43). Итак, нами построен линейный ограниченный оператор $\Lambda\colon E\to E$, обладающий свойством $\Lambda\mathbb{Z}^{\infty}\subset\mathbb{Z}^{\infty}$. Кроме того, в силу равенства (1.38) вектор-функция $g(v)=\overline{G}(v)-\Lambda v$ оказывается $2\pi$-периодической по $v$, непрерывно дифференцируемой по Фреше и такой, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sup_{v\in E}\|g'(v)\|_{E\to E}\leqslant \sup_{v\in E}\|D\overline{G}(v)\|_{E\to E}+ \|\Lambda\|_{E\to E}=N+\|\Lambda\|_{E\to E}\leqslant 2N, \\ \|g'(v_1)-g'(v_2)\|_{E\to E}=\|D\overline{G}(v_1)- D\overline{G}(v_2)\|_{E\to E}\to 0\quad\text{при } \|v_1-v_2\|\to 0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $N$ – постоянная (1.29). Следовательно, справедливо нужное включение $g(v)\in B^1_{\rm per}(E)$. Выполняется также и требуемое в теореме 1.2 свойство ограниченности (1.27) (оно вытекает из формулы (1.35) и второго неравенства из (1.36)). Таким образом, для завершения доказательства первого утверждения теоремы осталось убедиться в обратимости оператора $\Lambda$, показать справедливость включения $\Lambda^{-1}\mathbb{Z}^{\infty}\subset\mathbb{Z}^{\infty}$ и установить факт диффеоморфности отображения $\overline{G}(v)$. Отметим, что все приведенные выше рассуждения остаются в силе и для обратного отображения $G^{-1}$, поскольку оно также принадлежит классу $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. В частности, на шаре $O(v_1,\delta_0)\subset E$ корректно определено соответствующее ему локальное поднятие
$$
\begin{equation}
\overline{H}_{v_1}(v)= \operatorname{pr}^{-1}_{v_0}[G^{-1}(\operatorname{pr}(v))],\qquad \overline{H}_{v_1}(v_1)=v_0.
\end{equation}
\tag{1.46}
$$
Здесь векторы $v_0$, $v_1$ те же самые, что и в (1.17), а $\operatorname{pr}^{-1}_{v_0}(\varphi)$ – непрерывная ветвь $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$, для которой $\operatorname{pr}^{-1}_{v_0}(\varphi_0)=v_0$. Что же касается постоянной $\delta_0$, то ее можно выбрать универсальным образом из условия (1.30), где теперь вместо (1.29) мы имеем
$$
\begin{equation*}
N=\sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}} \|(DG(\varphi))^{-1}\|_{E\to E}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, осуществляя продолжение локального поднятия (1.46) на все пространство $E$ по описанному выше правилу, получаем непрерывно дифференцируемую по Фреше вектор-функцию $\overline{H}(v)$, обладающую аналогичными (1.36) свойствами ограниченности и равномерной непрерывности
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \sup_{v\in E}\|D\overline{H}(v)\|_{E\to E}= \sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|(DG(\varphi))^{-1}\|_{E\to E}<\infty, \\ \sup_{v\in E}\|(D\overline{H}(v))^{-1}\|_{E\to E}= \sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|DG(\varphi)\|_{E\to E}<\infty, \\ \lim_{\varepsilon\to 0}\,\sup_{\substack{ v_1,v_2\in E: \\ \|v_1-v_2\|<\varepsilon}}\|D\overline{H}(v_1)- D\overline{H}(v_2)\|_{E\to E}=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.47}
$$
Кроме того, по построению имеет место аналогичное (1.37) представление
$$
\begin{equation}
G^{-1}(\varphi)= \operatorname{pr}[\overline{H}(v)]\big|_{v=\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)} \quad \forall\,\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}.
\end{equation}
\tag{1.48}
$$
Последующие рассуждения повторяют изложенный выше фрагмент доказательства, связанный с оператором (1.38). А именно, опираясь на свойства (1.47) и формулу (1.48), убеждаемся в том, что где $h(v)\in B^1_{\rm per}(E)$, а линейный ограниченный оператор $C\colon E\to E$ таков, что $C\mathbb{Z}^{\infty}\subset\mathbb{Z}^{\infty}$. Далее, из представлений (1.37), (1.48) и очевидных соотношений $G(G^{-1}(\varphi))=\varphi$, $G^{-1}(G(\varphi))=\varphi$ для соответствующих поднятий $\overline{G}(v)$, $\overline{H}(v)$ получаем равенства
$$
\begin{equation}
\overline{G}(\overline{H}(v))=v+2\pi l_1,\quad \overline{H}(\overline{G}(v))=v+2\pi l_2\quad \forall\,v\in E.
\end{equation}
\tag{1.50}
$$
Добавим еще, что в силу непрерывности функций $\overline{G}(\overline{H}(v))-v$, $\overline{H}(\overline{G}(v))-v$ и дискретности решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$ элементы $l_1,l_2\in \mathbb{Z}^{\infty}$ из (1.50) не зависят от выбора $v\in E$. Более того, покажем, что на самом деле $l_1=l_2=0$. Действительно, обратимся сначала к первому равенству из (1.50) и подставим в него $v=v_1$. Тогда из очевидных свойств $\overline{H}(v_1)=v_0$, $\overline{G}(v_0)=v_1$ имеем $\overline{G}(\overline{H}(v_1))=v_1$ и, следовательно, $l_1=0$. Аналогичным образом, полагая $v=v_0$ во втором равенстве из (1.50), приходим к выводу, что $l_2=0$. Итак, мы убедились в справедливости формул
$$
\begin{equation}
\overline{G}(\overline{H}(v))=v,\quad \overline{H}(\overline{G}(v))=v\quad \forall\,v\in E,
\end{equation}
\tag{1.51}
$$
из которых, кстати, следует, что отображение $\overline{G}(v)$ является диффеоморфизмом из $E$ в $E$. Заменяя, далее, в (1.51) аргумент $v$ на $v+2\pi l$, $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, и привлекая равенство (1.49) вместе с аналогичным представлением $\overline{G}(v)=\Lambda v+g(v)$, после несложных преобразований заключаем, что
$$
\begin{equation}
\Lambda Cl=l,\quad C\Lambda l=l\quad \forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty}.
\end{equation}
\tag{1.52}
$$
А поскольку, как было показано выше, любой линейный ограниченный оператор, заданный на решетке $\mathbb{Z}^{\infty}$, однозначно продолжается на $E$ (с сохранением свойств линейности и ограниченности), то из (1.52) автоматически имеем $\Lambda C=I$, $C\Lambda=I$, где, как обычно, $I$ – единичный оператор в пространстве $E$. Тем самым, интересующий нас оператор $\Lambda$ обратим и $\Lambda^{-1}\mathbb{Z}^{\infty}=C\mathbb{Z}^{\infty}\subset \mathbb{Z}^{\infty}$. Первая часть теоремы 1.2 доказана. Для доказательства содержащегося в теореме 1.2 обратного утверждения достаточно убедиться в том, что если при некоторых $\Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty})$, $g\in B^1_{\rm per}(E)$ отображение $\overline{G}$ (см. (1.23)) является диффеоморфизмом, то таковым будет и его спуск $G$ на тор $\mathbb{T}^{\infty}$. Итак, пусть $\overline{G}$ – диффеоморфизм. Тогда в силу равенств (1.26) и предполагаемой обратимости дифференциала $D\overline{G}(\varphi)$ отображение $G$ оказывается локальным диффеоморфизмом. Кроме того, из очевидных соотношений $\operatorname{pr}^{-1}(\mathbb{T}^{\infty})=E$, $\overline{G}(E)=E$, $\operatorname{pr}(E)=\mathbb{T}^{\infty}$ и формулы (1.37) заключаем, что $G(\mathbb{T}^{\infty})=\mathbb{T}^{\infty}$. Тем самым, для проверки факта диффеоморфности $G$ остается доказать инъективность этого отображения. В предположении противного существуют такие точки $\varphi_1,\varphi_2\in\mathbb{T}^{\infty}$, $\varphi_1\ne\varphi_2$, что $G(\varphi_1)=G(\varphi_2)$. Тогда из (1.37) имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}[\overline{G}(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1))]= \operatorname{pr}[\overline{G}(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_2))]
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\overline{G}(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1))= \overline{G}(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_2))+2\pi l
\end{equation}
\tag{1.53}
$$
при некотором $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$. Далее, при анализе равенства (1.53) воспользуемся очевидным свойством
$$
\begin{equation*}
\overline{G}(\varphi+2\pi l)\equiv 2\pi\Lambda l+\overline{G}(\varphi)\quad \forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая данное обстоятельство и факт взаимной однозначности отображения $\overline{G}$, приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\overline{G}(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1))= \overline{G}(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_2)+2\pi\Lambda^{-1}l),\qquad \operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1)= \operatorname{pr}^{-1}(\varphi_2)+2\pi\Lambda^{-1}l.
\end{equation*}
\notag
$$
А так как, напомним, $\Lambda^{-1}l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, то вопреки предполагаемому выше точки $\varphi_1,\varphi_2\in\mathbb{T}^{\infty}$ совпадают. Полученное противоречие доказывает требуемую инъективность $G$ и в силу сказанного выше завершает обоснование теоремы 1.2. 1.3. О некоторых достаточных условиях диффеоморфностиПри построении конкретных примеров диффеоморфизмов из класса $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ возникает следующая проблема. Рассмотрим произвольное отображение $G$ из $\mathbb{T}^{\infty}$ в $\mathbb{T}^{\infty}$ вида
$$
\begin{equation}
G\colon \varphi\mapsto \Lambda\varphi+g(\varphi) \,(\operatorname{mod}\,2\pi) ,\qquad \Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty}),\quad g(\varphi)\in B^1_{\rm per}(E),
\end{equation}
\tag{1.54}
$$
предполагая, что линейный оператор $\Lambda+g'(\varphi)\colon E\to E$ при любом $\varphi\in E$ обратим. Вопрос заключается в том, как проверить, что данное отображение является диффеоморфизмом. Иными словами: можно ли получить какие-либо достаточные условия, гарантирующие справедливость свойства диффеоморфности? Ответ на этот вопрос содержится в следующем утверждении. Теорема 1.3. Предположим, что фигурирующая в формуле (1.54) вектор-функция $g(\varphi)$ обладает свойством ограниченности и вполне непрерывно в пространстве $E$ отображение Тогда оператор (1.54) – диффеоморфизм тора $\mathbb{T}^{\infty}$. Доказательство. Как показано в процессе доказательства теоремы 1.2, если диффеоморфизмом из $E$ в $E$ является поднятие $\overline{G}$ (см. (1.23)) оператора $G$, то таковым оказывается и само отображение (1.54). Тем самым, в проверке нуждается факт диффеоморфности $\overline{G}$.
Покажем сначала сюръективность отображения $\overline{G}$. В связи с этим зафиксируем произвольно элемент $z\in E$ и рассмотрим уравнение $\overline{G}(\varphi)=z$ относительно $\varphi\in E$. Выполняя, далее, в нем замену $\varphi=\Lambda^{-1}z+h$, для нахождения $h\in E$ приходим к уравнению Опираясь на предполагаемое свойство ограниченности (1.55) и на факт полной непрерывности оператора (1.56), приходим к выводу, что по переменной $h$ правая часть уравнения (1.57) порождает в $E$ вполне непрерывный оператор, преобразующий в себя шар с центром в нуле и радиусом
$$
\begin{equation*}
r=\|\Lambda^{-1}\|_{E\to E}\cdot\sup_{\varphi\in E}\|g(\varphi)\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, в силу принципа Шаудера упомянутое уравнение допускает хотя бы одно решение $h\in E$, а значит, справедливо соотношение $\overline{G}(E)=E$. Добавим еще, что оператор $\overline{G}$ не только сюръективен, но и является локальным диффеоморфизмом (это вытекает из предполагаемой обратимости при всех $\varphi\in E$ дифференциала $D\overline{G}(\varphi)$). Согласно результатам С. Банаха и С. Мазура (см. [26], [27]) если в дополнение к указанным свойствам отображение $\overline{G}$ собственное (т. е. прообраз $\overline{G}^{\,-1}(Y)$ любого компактного множества $Y$ компактен), то оно будет и глобальным диффеоморфизмом из $E$ в $E$. Следовательно, в проверке нуждается факт компактности $\overline{G}^{\,-1}(Y)$ при любом компактном множестве $Y\subset E$. Фиксируем произвольно компакт $Y\subset E$ и бесконечную последовательность точек $x_n\in\overline{G}^{\,-1}(Y)$, $n\geqslant 1$. Без ограничения общности можно считать, что соответствующая последовательность $y_n=\Lambda x_n+g(x_n)\in Y$ сходится при $n\to +\infty$ к некоторому элементу $y_*\in Y$. Принимая во внимание этот факт, из соотношения и свойства (1.55) заключаем, что последовательность $x_n$ ограничена. А поскольку оператор (1.56) компактен, то из $g(x_n)$ можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Не теряя общности, будем предполагать, что имеет место сходимость $g(x_n)\to z_*\in E$, $n\to+\infty$. Тогда, опираясь на формулу (1.58) и свойство непрерывности $g(\varphi)$, последовательно выводим:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, x_n\to x_*=\Lambda^{-1}y_*-\Lambda^{-1}z_*,\quad g(x_n)\to g(x_*)=z_*,\qquad n\to+\infty, \\ \Lambda x_*+g(x_*)=y_*. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым установлено включение $x_*\in \overline{G}^{\,-1}(Y)$, доказывающее компактность множества $\overline{G}^{\,-1}(Y)$. Итак, мы показали, что отображение $\overline{G}$ является диффеоморфизмом из $E$ в $E$. Как уже было сказано выше, в этом случае исходный оператор (1.54) представляет собой диффеоморфизм тора $\mathbb{T}^{\infty}$. Теорема 1.3 доказана. 2. Критерий гиперболичности2.1. Простейшие свойства гиперболических диффеоморфизмовПрежде всего, определим понятие гиперболичности применительно к любому диффеоморфизму $G\colon\mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$. Для этого кроме дифференциала $DG(\varphi)$ нам потребуются линейные операторы $D(G^n(\varphi))$, $D(G^{-n}(\varphi))$, $n\in\mathbb{N}$, задаваемые равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D(G^n(\varphi))&=DG(\varphi_{n-1})\circ DG(\varphi_{n-2}) \circ\cdots\circ DG(\varphi_{0}), \\ D(G^{-n}(\varphi))&=[DG(\varphi_{-n})]^{-1}\circ [DG(\varphi_{-(n-1)})]^{-1}\circ\cdots\circ[DG(\varphi_{-1})]^{-1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $\varphi_j=G^j(\varphi)$, $j\in\mathbb{Z}$. Определение 2.1. Будем говорить, что диффеоморфизм $G\colon \mathbb{T}^{\infty}\to \mathbb{T}^{\infty}$ гиперболический или является диффеоморфизмом Аносова, если для каждого $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ пространство $T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}=E$ допускает представление в виде прямой суммы ненулевых замкнутых линейных подпространств $E_\varphi^{\rm u}$, $E_\varphi^{\rm s}$ и выполняются следующие требования: (a) для каждого $\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}$ имеем $DG(\varphi)E_{\varphi}^{\rm u}=E_{G(\varphi)}^{\rm u}$, $DG(\varphi)E_{\varphi}^{\rm s}=E_{G(\varphi)}^{\rm s}$ (это свойство называется $DG$-инвариантностью); (b) существуют такие постоянные $\mu_1,\mu_2\in (0,1)$, $c_1,c_2>0$, что
$$
\begin{equation}
\|D(G^{-n}(\varphi))\xi\| \leqslant c_1\mu_1^n\|\xi\| \qquad \forall\,\varphi \in \mathbb{T}^{\infty}, \quad \forall\,\xi \in E_\varphi^{\rm u}, \quad \forall\,n \in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
$$
\begin{equation}
\|D(G^n(\varphi))\xi\| \leqslant c_2\mu_2^n\|\xi\| \qquad \forall\,\varphi \in \mathbb{T}^{\infty}, \quad \forall\,\xi \in E_\varphi^{\rm s}, \quad \forall\,n \in\mathbb{N};
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
(c) проекторы
$$
\begin{equation*}
P_{\varphi}\xi=\xi_1,\quad Q_{\varphi}\xi=\xi_2\quad \forall\,\xi=\xi_1+\xi_2\in E,\quad \xi_1\in E_\varphi^{\rm u},\quad \xi_2\in E_\varphi^{\rm s},
\end{equation*}
\notag
$$
связанные с разложением (2.2), равномерно непрерывны по $\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}$ в равномерной операторной топологии, т. е. Сформулированное определение представляет собой естественное обобщение определения Д. В. Аносова (см. [3; § 1]) на бесконечномерный тор $\mathbb{T}^{\infty}$. Следует, впрочем, напомнить, что при замене тора $\mathbb{T}^{\infty}$ на конечномерный тор $\mathbb{T}^{m}$, $m\geqslant 2$, равномерная непрерывность проекторов $P_{\varphi}$, $Q_{\varphi}$ автоматически вытекает из $DG$-инвариантности подпространств $E_\varphi^{\rm u}$, $E_\varphi^{\rm s}$ и условий (2.3), (2.4) (см., например, [3], [6]). В бесконечномерном же случае вопрос о справедливости данного факта остается открытым. В связи с этим указанную непрерывность, являющуюся одним из базовых свойств гиперболической структуры, в нашем определении 2.1 приходится постулировать. Всюду ниже рассматриваются только диффеоморфизмы $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Причины, по которым мы остановили свой выбор именно на классе $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$, состоят в том, что для гиперболических диффеоморфизмов $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ сохраняются некоторые элементарные результаты из гиперболической теории: отделенность от нуля угла между подпространствами $E_\varphi^{\rm u}$, $E_\varphi^{\rm s}$, равномерная ограниченность проекторов $P_\varphi$, $Q_\varphi$ и т. д. В случае же отказа от требований (1.21) такого рода результаты установить не удается. Обсудим сначала вопрос об условиях гиперболичности простейших представителей класса $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$, а именно линейных диффеоморфизмов
$$
\begin{equation}
\varphi\mapsto \Lambda\varphi \,(\operatorname{mod}\,2\pi) ,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $\Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty})$. Нетрудно увидеть, что эти условия формулируются в терминах спектра $\sigma(\Lambda)$ оператора $\Lambda$ и заключаются в следующем:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \sigma(\Lambda)=\sigma_1\cup\sigma_2,\qquad \sigma_j\ne\varnothing,\quad j=1,2,\qquad \sigma_1\subset\{\lambda\in\mathbb{C}\colon |\lambda|>1\}, \\ \sigma_2\subset\{\lambda\in\mathbb{C}\colon|\lambda|<1,\ \lambda\ne 0\}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Действительно, из приведенных условий вытекает справедливость разложения где сумма прямая, а замкнутые линейные подпространства $E_1$, $E_2$ таковы, что $\Lambda E_j=E_j$, $j=1,2$, и спектры сужений $\Lambda_j=\Lambda\big|_{E_j}$, $j=1,2$, совпадают со спектральными множествами $\sigma_j$, $j=1,2$, из (2.6). Ясно также, что разложение (2.7) удовлетворяет всем требованиям из определения 2.1, а значит, отображение (2.5) при условиях (2.6) является гиперболическим. Такие отображения будем называть линейными гиперболическими автоморфизмами тора.Приступим теперь к описанию некоторых простейших свойств гиперболических диффеоморфизмов $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Для этого нам потребуется определение гиперболичности для диффеоморфизма $\overline{G}$ (см. (1.23)), являющегося глобальным поднятием произвольного отображения $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Определение 2.2. Гиперболичность диффеоморфизма $\overline{G}$ означает выполнение следующих условий. 1) При каждом $\varphi\in E$ пространство $E$ допускает представление в виде прямой суммы
$$
\begin{equation}
E=\overline{E}_\varphi^{\rm \,u}\oplus \overline{E}_\varphi^{\rm \,s}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
ненулевых замкнутых линейных подпространств $\overline{E}_\varphi^{\rm \,u}$, $\overline{E}_\varphi^{\rm \,s}$, которые удовлетворяют условиям инвариантности
$$
\begin{equation}
D\overline{G}(\varphi)\overline{E}_{\varphi}^{\rm \,u}= \overline{E}_{\overline{G}(\varphi)}^{\rm \,u},\quad D\overline{G}(\varphi)\overline{E}_{\varphi}^{\rm \,s}= \overline{E}_{\overline{G}(\varphi)}^{\rm \,s}\quad \forall\,\varphi\in E,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где, напомним, $D\overline{G}(\varphi)=\Lambda+g'(\varphi)$. 2) Существуют такие постоянные $\mu_1,\mu_2\in (0,1)$, $c_1,c_2>0$, что
$$
\begin{equation}
\|D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))\xi\| \leqslant c_1\mu_1^n\|\xi\| \quad \forall\,\varphi \in E, \quad \forall\,\xi \in \overline{E}_\varphi^{\rm \,u}, \quad \forall\,n \in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
$$
\begin{equation}
\|D(\overline{G}^{\,n}(\varphi))\xi\| \leqslant c_2\mu_2^n\|\xi\| \quad \forall\,\varphi \in E, \quad \forall\,\xi \in \overline{E}_\varphi^{\rm \,s}, \quad \forall\,n \in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Здесь операторы $D(\overline{G}^{\,n}(\varphi))$, $D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))$ задаются аналогичными (2.1) равенствами, в которых дифференциал $DG(\varphi)$ заменен на $D\overline{G}(\varphi)$, а итерации отображения $G$ заменены аналогичными итерациями $\varphi_j=\overline{G}^{\,j}(\varphi)$, $j\in\mathbb{Z}$. 3) Проекторы $\overline{P}_{\varphi}$, $\overline{Q}_{\varphi}$, $\overline{P}_{\varphi}E=\overline{E}_\varphi^{\rm \,u}$, $\overline{Q}_{\varphi}E=\overline{E}_\varphi^{\rm \,s}$, связанные с разложением (2.8), равномерно непрерывны по $\varphi\in E$ в равномерной операторной топологии. Опираясь на сформулированные определения 2.1, 2.2 и теорему 1.2, удается установить следующий результат. Лемма 2.1. Любой диффеоморфизм $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ и его глобальное поднятие $\overline{G}$ гиперболичны или нет одновременно. Доказательство. Предположим сначала, что гиперболичным является отображение $\overline{G}$, и установим наличие требуемого свойства у исходного отображения $G$. Заметим, что в случае гиперболичности $\overline{G}$ помимо трех фигурирующих в определении 2.2 стандартных свойств имеет место периодичность вида
$$
\begin{equation}
\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,u}\equiv \overline{E}_\varphi^{\rm \,u},\quad \overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,s}\equiv \overline{E}_\varphi^{\rm \,s},\quad \overline{P}_{\varphi+2\pi l}\equiv\overline{P}_\varphi,\quad \overline{Q}_{\varphi+2\pi l}\equiv\overline{Q}_\varphi
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
для любого $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$. Для того чтобы убедиться в этом, обратимся к представлениям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \overline{G}(\varphi)=\Lambda\varphi+g(\varphi),\quad \overline{G}^{\,-1}(\varphi)=\Lambda^{-1}\varphi+h(\varphi), \\ \Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty}),\qquad g,h\in B^1_{\rm per}(E), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
справедливость которых гарантирует теорема 1.2. Далее, опираясь на формулы (2.13) и метод математической индукции, последовательно заключаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \overline{G}^{\,m}(\varphi+2\pi l)\equiv 2\pi\Lambda^ml+ \overline{G}^{\,m}(\varphi),\quad D(\overline{G}^{\,m}(\varphi+2\pi l))\equiv D(\overline{G}^{\,m}(\varphi)) \\ \forall\,l\in \mathbb{Z}^{\infty},\quad \forall\,m\in\mathbb{Z}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
А отсюда, в свою очередь, следует, что разложение $E=\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,u}\oplus \overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,s}$ при любом фиксированном $l\in \mathbb{Z}^{\infty}$ также образует гиперболическую структуру. Действительно, в силу (2.9), (2.14) для подпространств $\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,u}$, $\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,s}$ имеют место требуемые свойства инвариантности
$$
\begin{equation*}
D\overline{G}(\varphi)\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,u}= \overline{E}_{\overline{G}(\varphi+2\pi l)}^{\rm \,u},\quad D\overline{G}(\varphi)\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,s}= \overline{E}_{\overline{G}(\varphi+2\pi l)}^{\rm \,s}\quad \forall\,\varphi\in E
\end{equation*}
\notag
$$
и оценки (2.10), (2.11) (с заменой условий $\xi\in\overline{E}_{\varphi}^{\rm \,u}$ и $\xi\in\overline{E}_{\varphi}^{\rm \,s}$ на $\xi\in\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,u}$ и $\xi\in\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,s}$ соответственно и с теми же константами $c_j$, $\mu_j$, $j=1,2$). А так как гиперболическая структура для отображения $\overline{G}$ единственна, то интересующие нас тождества (2.12) выполняются автоматически. Поскольку аналогичные рассуждения встречаются и в дальнейшем, то остановимся на обосновании тождеств (2.12) чуть более подробно. Предполагая противное, рассмотрим, например, случай, когда $\overline{E}_{\varphi}^{\rm \,u}\ne\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,u}$ при некоторых $\varphi\in E$, $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$ и существует вектор $\xi_0\ne 0$ такой, что $\xi_0\in\overline{E}_{\varphi}^{\rm \,u}$, $\xi_0\not\in\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,u}$. В этой ситуации очевидным образом
$$
\begin{equation*}
\|D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))\xi_0\|\leqslant c_1\mu_1^n\|\xi_0\|
\end{equation*}
\notag
$$
и в то же время, полагая $\xi_0=\xi_0^1+\xi_0^2$, $\xi_0^1\in\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,u}$, $\xi_0^2\in\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,s}$, и опираясь на аналогичные (2.10), (2.11) неравенства для подпространств $\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,u}$, $\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,s}$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))\xi_0\|&= \|D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))(\xi_0^1+\xi_0^2)\| \geqslant\|D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))\xi_0^2\|- \|D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))\xi_0^1\| \\ &\geqslant\frac{1}{c_2}\biggl(\frac{1}{\mu_2}\biggr)^n\|\xi_0^2\|- c_1\mu_1^n\|\xi_0^1\|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Остается добавить, что поскольку $\xi_0^2\ne 0$ (так как $\xi_0\notin\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,u}$), то при $n\to+\infty$ получившиеся оценки противоречивы. Другие возможные случаи рассматриваются аналогично. Возвращаясь к отображению $G$, для каждого $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ положим
$$
\begin{equation}
E_\varphi^{\rm \,u}= \overline{E}_{\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)}^{\rm \,u},\quad E_\varphi^{\rm \,s}= \overline{E}_{\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)}^{\rm \,s},\quad P_{\varphi}=\overline{P}_{\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)},\quad Q_{\varphi}=\overline{Q}_{\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)}.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Подчеркнем, что в силу периодичности (2.12) формулы (2.15) не зависят от конкретного выбора прообраза $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)\in E$. Более того, они и задают искомую гиперболическую структуру для $G$. Действительно, $DG$-инвариантность подпространств $E_\varphi^{\rm \,u},E_\varphi^{\rm \,s}$ и справедливость свойств (2.2)–(2.4) вытекают из формулы (1.26) и условий (2.8)–(2.11). Остается лишь добавить, что проекторы $P_{\varphi}$, $Q_{\varphi}$ из (2.15) обладают нужной равномерной непрерывностью по $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$. Таким образом, диффеоморфизм $G$ удовлетворяет определению 2.1. Обратная часть леммы устанавливается достаточно просто. В самом деле, если гиперболическим является диффеоморфизм $G$, то имеют место соотношения (2.2)–(2.4). Поэтому мы вправе положить
$$
\begin{equation}
\overline{E}_\varphi^{\rm \,u}=E_{\operatorname{pr}(\varphi)}^{\rm \,u},\quad \overline{E}_\varphi^{\rm \,s}=E_{\operatorname{pr}(\varphi)}^{\rm \,s},\quad \overline{P}_\varphi=P_{\operatorname{pr}(\varphi)},\quad \overline{Q}_\varphi=Q_{\operatorname{pr}(\varphi)}\quad \forall\,\varphi\in E.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Опираясь в очередной раз на равенства (1.26), нетрудно убедиться в том, что формулы (2.16) задают гиперболическую структуру для диффеоморфизма $\overline{G}$. Лемма 2.1 доказана. Для формулировки очередного утверждения фиксируем произвольно диффеоморфизм $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ и натуральное $n_0$. Справедлива следующая лемма. Доказательство. Гиперболичность $G^{n_0}$ в случае гиперболичности исходного отображения $G$ очевидна: гиперболическая структура для $G^{n_0}$ по-прежнему имеет вид (2.2), а аналогичные (2.3), (2.4) оценки выполняются с постоянными $c_1$, $\mu_1^{n_0}$ и $c_2$, $\mu_2^{n_0}$ соответственно. Предположим теперь, что гиперболично отображение $G^{n_0}$. Далее, пусть $\overline{G}$ – глобальное поднятие диффеоморфизма $G$. Тогда, очевидно, диффеоморфизм $f=\overline{G}^{n_0}$ является глобальным поднятием для $G^{n_0}$. А отсюда и из леммы 2.1 вытекает, что проблема обоснования леммы 2.2 сводится к проверке гиперболичности $\overline{G}$ при условии гиперболичности $f$. Итак, пусть для отображения $f$ существует разложение (2.8), удовлетворяющее всем сформулированным в определении 2.2 требованиям. Это означает, в частности, что справедливы соотношения
$$
\begin{equation}
Df(\varphi)\overline{E}^{\rm\,u}_\varphi= \overline{E}^{\rm\,u}_{f(\varphi)},\quad Df(\varphi)\overline{E}^{\rm\,s}_\varphi= \overline{E}^{\rm\,s}_{f(\varphi)}\quad \forall\,\varphi\in E,
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
и
$$
\begin{equation}
\|D(f^{\,-n}(\varphi))\xi\| \leqslant c_1\mu_1^n\|\xi\| \quad \forall\,\varphi \in E, \quad \forall\,\xi \in \overline{E}_\varphi^{\rm \,u}, \quad \forall\,n \in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
$$
\begin{equation}
\|D(f^{\,n}(\varphi))\xi\| \leqslant c_2\mu_2^n\|\xi\| \quad \forall\,\varphi \in E, \quad \forall\,\xi \in \overline{E}_\varphi^{\rm \,s}, \quad \forall\,n \in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
где $c_1,c_2>0$, $\mu_1,\mu_2\in (0,1)$. Далее, непосредственная проверка показывает, что наряду с (2.8) справедливо разложение $E=\widetilde{E}_\varphi^{\rm \,u}\oplus\widetilde{E}_\varphi^{\rm \,s}$, где подпространства
$$
\begin{equation}
\widetilde{E}_\varphi^{\rm \,u}=D\overline{G}(\theta) \overline{E}_\theta^{\rm \,u}\big|_{\theta=\overline{G}^{\,-1}(\varphi)},\quad \widetilde{E}_\varphi^{\rm \,s}=D\overline{G}(\theta) \overline{E}_\theta^{\rm \,s}\big|_{\theta=\overline{G}^{\,-1}(\varphi)},
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
как и исходные подпространства $\overline{E}_\varphi^{\rm \,u}$, $\overline{E}_\varphi^{\rm \,s}$, являются $Df$-инвариантными. Действительно, принимая во внимание явную формулу для дифференциала $Df(\varphi)=D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))$ (получающуюся из (2.1) при замене $G$ на $\overline{G}$ и $n$ на $n_0$), перепишем условия $Df$-инвариантности (2.17) в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D\overline{G}(\varphi_{n_0-1})\circ D\overline{G}(\varphi_{n_0-2})\circ\cdots \circ D\overline{G}(\varphi_{0})\overline{E}_{\varphi_0}^{\rm \, u}&= \overline{E}_{\varphi_{n_0}}^{\rm \,u}, \\ D\overline{G}(\varphi_{n_0-1})\circ D\overline{G}(\varphi_{n_0-2})\circ\cdots \circ D\overline{G}(\varphi_{0})\overline{E}_{\varphi_0}^{\rm\, s}&= \overline{E}_{\varphi_{n_0}}^{\rm \,s}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
где $\varphi_j=\overline{G}^{\,j}(\varphi)$, $j\in \mathbb{Z}$. Применяя затем к получившимся соотношениям оператор $D\overline{G}(\varphi_{n_0})$, приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi_1))(D\overline{G}(\varphi_{0})\overline{E} _{\varphi_0}^{\rm \,u})&= D\overline{G}(\varphi_{n_0})\overline{E}_{\varphi_{n_0}}^{\rm \,u}, \\ D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi_1))(D\overline{G}(\varphi_{0})\overline{E} _{\varphi_0}^{\rm \,s})&= D\overline{G}(\varphi_{n_0})\overline{E}_{\varphi_{n_0}}^{\rm \,s}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Остается добавить, что из получившихся формул требуемая $Df$-инвариантность подпространств (2.20) вытекает автоматически. Заметим еще, что, как показывает несложная проверка, для введенных выше подпространств (2.20) имеют место формулы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D(f^{-n}(\varphi))\widetilde{E}_\varphi^{\rm \,u}&= D\overline{G}(\varphi_{-nn_0-1})\circ D(f^{-n}(\varphi_{-1}))\overline{E}_{\varphi_{-1}}^{\rm \,u}, \\ D(f^{n}(\varphi))\widetilde{E}_\varphi^{\rm \,s}&= D\overline{G}(\varphi_{nn_0-1})\circ D(f^{n}(\varphi_{-1}))\overline{E}_{\varphi_{-1}}^{\rm \,s}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где, как и в (2.21), $\varphi_j=\overline{G}^{\,j}(\varphi)$, $j\in \mathbb{Z}$. А отсюда и из факта ограниченности дифференциала $D\overline{G}$ (см. (1.36)) вытекает справедливость для подпространств (2.20) оценок вида (2.18), (2.19). Подведем некоторый итог. Из проделанных построений следует, что подпространства (2.20) задают еще одну (наряду с (2.8)) гиперболическую структуру для отображения $f$. Но, как мы уже знаем (см. аналогичное место в обосновании тождеств (2.12)), гиперболическая структура у $f$ заведомо единственна. Тем самым, автоматически выполнены равенства $\widetilde{E}_\varphi^{\rm \,u}=\overline{E}_\varphi^{\rm \,u}$, $\widetilde{E}_\varphi^{\rm \,s}=\overline{E}_\varphi^{\rm \,s}$. Остается добавить, что указанные равенства вместе с формулами (2.20) приводят к соотношениям (2.9). Иными словами, мы установили, что кроме свойств (2.17) подпространства $\overline{E}_\varphi^{\rm \,u}$, $\overline{E}_\varphi^{\rm \,s}$ обладают также свойством $D\overline{G}$-инвариантности. Выполняются для указанных подпространств и оценки вида (2.10), (2.11). Точнее говоря, они выводятся из неравенств (2.18), (2.19) и из представлений
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, D(\overline{G}^{\,n}(\varphi))= D(f^{\,k}(\theta))\big|_{\theta=\overline{G}^{\,r}(\varphi)}\circ D(\overline{G}^{\,r}(\varphi)),\quad \\ D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))= D(f^{\,-k}(\theta))\big|_{\theta=\overline{G}^{\,-r}(\varphi)}\circ D(\overline{G}^{\,-r}(\varphi)), \\ n=kn_0+r,\quad r\in\{0,1,\dots,n_0-1\}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
с учетом вытекающих из (1.36) свойств ограниченности
$$
\begin{equation*}
\sup_{\varphi\in E}\|D(\overline{G}^{\,r}(\varphi))\|_{E\to E}+ \sup_{\varphi\in E}\|D(\overline{G}^{\,-r}(\varphi))\|_{E\to E}<\infty,\qquad 0\leqslant r\leqslant n_0-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, факт гиперболичности диффеоморфизма $\overline{G}$, а значит, и лемма 2.2 полностью доказаны. Еще один известный результат гиперболической теории связан с углом между подпространствами $E_\varphi^{\rm \,u}$, $E_\varphi^{\rm \,s}$ из (2.2). Упомянутый угол задается формулой
$$
\begin{equation}
\angle(E_\varphi^{\rm \,u}, E_\varphi^{\rm \,s})= \inf\{\|v-w\|\colon v\in E_\varphi^{\rm \,u},\ w\in E_\varphi^{\rm \,s},\ \|v\|=\|w\|=1\}.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Справедливо следующее утверждение (см. [6; лемма 7.3]). Доказательство. Зафиксируем произвольно векторы $v\in E_\varphi^{\rm \,u}$, $w\in E_\varphi^{\rm \,s}$, $\|v\|=\|w\|=1$, и целое $k\geqslant 0$. Далее, положим $a(k)=D(G^{\,k}(\varphi))(v-w)$ и заметим, что где в силу условий (1.21) Для получения оценки снизу на $\|a(k)\|$ обратимся к неравенству (2.4) и к эквивалентному (2.3) неравенству
$$
\begin{equation*}
\|D(G^{\,n}(\varphi))\xi\|\geqslant \frac{1}{c_1}\biggl(\frac{1}{\mu_1}\biggr)^n\|\xi\|\quad \forall\,\varphi\in \mathbb{T}^{\infty},\quad \forall\,\xi\in E_\varphi^{\rm \,u},\quad \forall\,n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Опираясь на эти факты, имеем
$$
\begin{equation*}
\|a(k)\|\geqslant \|D(G^{\,k}(\varphi))v\|-\|D(G^{\,k})(\varphi)w\|\geqslant \frac{1}{c_1}\biggl(\frac{1}{\mu_1}\biggr)^k-c_2\mu_2^k\to+\infty
\end{equation*}
\notag
$$
при $k\to+\infty$. Поэтому существует такое не зависящее от выбора векторов $v$, $w$ натуральное $k_0$, что $\|a(k_0)\|\geqslant 1$. А отсюда и из (2.24) (при $k=k_0$) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\|v-w\|\geqslant N^{-k_0}\quad \forall\,v\in E_\varphi^{\rm \,u},\ w\in E_\varphi^{\rm \,s}\colon \|v\|=\|w\|=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, в силу (2.22) в качестве константы $\alpha$ в (2.23) можно взять $N^{-k_0}$. Лемма 2.3 доказана. Завершая рассмотрение простейших свойств гиперболических диффеоморфизмов, исследуем вопрос о равномерной ограниченности проекторов $P_{\varphi}$, $Q_{\varphi}$ из определения 2.1. Заметим, что в случае конечномерного тора факт равномерной ограниченности данных проекторов вытекает из их непрерывности. В случае же тора $\mathbb{T}^{\infty}$ этот факт нуждается в отдельной проверке. Лемма 2.4. Для любого гиперболического диффеоморфизма $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ выполняются свойства ограниченности Доказательство. Из очевидного равенства $P_{\varphi}+Q_{\varphi}=I$, где $I$ – единичный оператор в $E$, следует, что достаточно показать справедливость лишь первого свойства из (2.26). В предположении противного существует такая последовательность точек $\varphi_n\in \mathbb{T}^{\infty}$, что $\|P_{\varphi_n}\|_{E\to E}\to+\infty$, $n\to+\infty$. Далее, в силу теоремы о фиксации особенности (см. [28; гл. IV, § 1]) найдется элемент $\xi\in E$, для которого Без ограничения общности будем считать, что Тогда из соотношения с необходимостью имеемПокажем теперь, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}\frac{\|P_{\varphi_n}\xi\|}{\|Q_{\varphi_n}\xi\|}=1.
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
В связи с этим обратимся к формуле (2.28), из которой вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|Q_{\varphi_n}\xi\|-\|\xi\|&\leqslant \|P_{\varphi_n}\xi\|\leqslant \|Q_{\varphi_n}\xi\|+\|\xi\|, \\ 1-\frac{\|\xi\|}{\|Q_{\varphi_n}\xi\|}&\leqslant \frac{\|P_{\varphi_n}\xi\|}{\|Q_{\varphi_n}\xi\|}\leqslant 1+\frac{\|\xi\|}{\|Q_{\varphi_n}\xi\|}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
А отсюда с учетом (2.29) требуемое равенство (2.30) получается автоматически. Объединяя установленные предельные свойства (2.27), (2.29), (2.30), приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\|\frac{P_{\varphi_n}\xi}{\|P_{\varphi_n}\xi\|}+ \frac{Q_{\varphi_n}\xi}{\|Q_{\varphi_n}\xi\|}\biggr\|&= \frac{1}{\|P_{\varphi_n}\xi\|}\biggl\| P_{\varphi_n}\xi+ \frac{\|P_{\varphi_n}\xi\|}{\|Q_{\varphi_n}\xi\|}\,Q_{\varphi_n}\xi\biggr\| \\ &=\frac{1}{\|P_{\varphi_n}\xi\|} \biggl\|\xi+\biggl(\frac{\|P_{\varphi_n}\xi\|}{\|Q_{\varphi_n}\xi\|}-1\biggr) \,Q_{\varphi_n}\xi\biggr\| \\ &\leqslant\frac{\|\xi\|}{\|P_{\varphi_n}\xi\|}+ \biggl|1-\frac{\|Q_{\varphi_n}\xi\|}{\|P_{\varphi_n}\xi\|}\biggr|\to 0,\qquad n\to+\infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\angle(E_{\varphi_n}^{\rm u}, E_{\varphi_n}^{\rm s})\leqslant \biggl\|\frac{P_{\varphi_n}\xi}{\|P_{\varphi_n}\xi\|}+ \frac{Q_{\varphi_n}\xi}{\|Q_{\varphi_n}\xi\|}\biggr\|\to 0,\qquad n\to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее же противоречит оценке (2.23). Таким образом, наше допущение не верно, и на самом деле имеют место свойства (2.26). Лемма 2.4 доказана. 2.2. Сводка результатов о критерии гиперболичностиПриступим к описанию критерия гиперболичности для класса диффеоморфизмов $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Как и в известном критерии конусов (см. [5; теорема 10.1.5]), мы постулируем существование некоторого изначального разложения пространства $E$ в прямую сумму замкнутых линейных подпространств. Условие 2.1. При любом $\varphi\in E$ справедливо разложение Для формулировки следующих двух условий фиксируем произвольно диффеоморфизм $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ и натуральное $n_0$. Далее, положим где $\overline{G}$ – глобальное поднятие отображения $G$ (см. (1.23)). Затем, опираясь на соотношения (2.31), (2.32), введем в рассмотрение линейные операторы
$$
\begin{equation}
\Lambda_{j,1}(\varphi) =P(f(\varphi))Df(\varphi)\colon E_j(\varphi)\to E_1(f(\varphi)), \qquad j =1,2,
\end{equation}
\tag{2.35}
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_{j,2}(\varphi) =Q(f(\varphi))Df(\varphi)\colon E_j(\varphi)\to E_2(f(\varphi)), \qquad j =1,2,
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
где $f$ – отображение (2.34). Условие 2.2. При любом $\varphi\in E$ обратим оператор $\Lambda_{1,1}(\varphi)$ из (2.35) и имеет место свойство ограниченности Для формулировки заключительного условия нам потребуются постоянные
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\alpha_1=\sup_{\varphi\in E} \|\Lambda_{1,1}^{-1}(\varphi)\|_{E_1(f(\varphi))\to E_1(\varphi)}, \\ &\alpha_2=\sup_{\varphi\in E} \|\Lambda_{2,2}(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_2(f(\varphi))}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.38}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\beta_1=\sup_{\varphi\in E} \|\Lambda_{1,2}(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(f(\varphi))}, \\ &\beta_2=\sup_{\varphi\in E} \|\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\Lambda_{2,1}(\varphi)\|_{E_2(\varphi) \to E_1(\varphi)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.39}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\gamma_1=\sup_{\varphi\in E}\|\Lambda_{1, 2}(\varphi) \Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\|_{E_1(f(\varphi))\to E_2(f(\varphi))}, \\ &\gamma_2=\sup_{\varphi\in E} \|\Lambda_{2,1}(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(f(\varphi))}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.40}
$$
которые в силу неравенств (1.36), (2.33), (2.37) заведомо конечны. Используя развитую в работах [19], [29] технику, удается установить следующие два утверждения, дающие в совокупности интересующий нас критерий гиперболичности. Теорема 2.1. Любой диффеоморфизм $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ при выполнении условий 2.1–2.3 является гиперболическим. Теорема 2.2. Если диффеоморфизм $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ обладает свойством гиперболичности, то найдутся разложение (2.31) и натуральное $n_0$, для которых справедливы условия 2.1–2.3. Еще один важный результат, вытекающий из теорем 2.1, 2.2, касается $C^1$-грубости свойства гиперболичности. Для его формулировки рассмотрим банахово пространство $C^1_{\rm per}(E)\subset B^1_{\rm per}(E)$, элементами которого являются вектор-функции $g(\varphi)$ из $B^1_{\rm per}(E)$, обладающие дополнительным свойством ограниченности (1.55). Норму в этом пространстве зададим равенством
$$
\begin{equation}
\|g\|_{C^1_{\rm per}}=\sup_{\varphi\in E}\|g(\varphi)\|+ \sup_{\varphi\in E}\|g'(\varphi)\|_{E\to E}.
\end{equation}
\tag{2.42}
$$
Справедливо следующее утверждение о $C^1 | ||||||||||
