Успехи математических наук
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



УМН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Успехи математических наук, 2023, том 78, выпуск 1(469), страницы 67–166
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10063
(Mi rm10063)
 

Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях)

Левоинвариантные задачи оптимального управления на группах Ли, интегрируемые в эллиптических функциях

Ю. Л. Сачков

Институт программных систем им. А. К. Айламазяна Российской академии наук
Список литературы:
Аннотация: Левоинвариантные задачи оптимального управления на группах Ли образуют важный класс задач с большой группой симметрий. Они интересны в теоретическом плане, так как часто допускают полное исследование и на этих модельных задачах можно изучить общие закономерности. В частности, задачи на нильпотентных группах Ли доставляют фундаментальную нильпотентную аппроксимацию общих задач. Левоинвариантные задачи также часто возникают в приложениях: в классической и квантовой механике, геометрии, робототехнике, моделях зрения и обработке изображений.
Цель данной работы – дать обзор основных понятий, методов и результатов, относящихся к левоинвариантным задачам оптимального управления на группах Ли, интегрируемым в эллиптических функциях. Основное внимание уделено описанию экстремальных траекторий и их оптимальности, времени разреза и множества разреза, оптимального синтеза.
Библиография: 162 названия.
Ключевые слова: оптимальное управление, геометрическая теория управления, левоинвариантные задачи, субриманова геометрия, группы Ли, оптимальный синтез, эллиптические функции.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 22-11-00140
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-11-00140, https://rscf.ru/project/22-11-00140/.
Поступила в редакцию: 14.06.2022
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 1, Pages 65–163
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10063e
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517.977
MSC: Primary 53C17; Secondary 22E25, 49K15

1. Предисловие

Исследование инвариантных управляемых систем на группах Ли и однородных пространствах является одной из центральных тем геометрической теории управления. С теоретической точки зрения это естественный и важный класс систем, для которого возможна содержательная глобальная теория (именно такие системы возникают, например, при локальной нильпотентной аппроксимации гладких систем). С другой стороны, такие системы моделируют целый ряд прикладных задач (вращение и качение тел, движение роботов, квантовая механика, компьютерное видение).

Хорошо известно, что получить точное решение глобальной нелинейной задачи управления (например, задачи управляемости или оптимального управления) представляется очень сложным, если задача не имеет большой группы симметрий. Для инвариантных задач на группах Ли (и их проекций на однородные пространства) точное решение часто можно найти на основе методов геометрической теории управления с использованием техники дифференциальной геометрии, теории групп и алгебр Ли. Полученное решение инвариантной задачи может дать хорошую аппроксимацию соответствующей нелинейной задачи. Например, инвариантная субриманова геометрия на группе Гейзенберга служит краеугольным камнем всей субримановой геометрии.

Основные задачи, рассматривавшиеся для левоинвариантных систем на группах Ли, – задача управляемости и задача оптимального управления. По задаче управляемости имеется обширная литература; она описана, например, в обзоре [128].

В настоящем обзоре рассматриваются только задачи, интегрируемые в эллиптических функциях. Задачи, интегрируемые в элементарных функциях, рассмотрены в обзоре [143].

2. Задачи, интегрируемые в эллиптических функциях и интегралах

2.1. Эллиптические интегралы и функции

Стандартные источники по эллиптическим интегралам и функциям: [8], [98], [162]. Мы приведем ниже минимальные сведения о них, необходимые для изложения в последующих разделах.

Эллиптические интегралы в форме Якоби. Эллиптические интегралы Лежандра первого рода:

$$ \begin{equation*} F(\varphi,k)=\int_0^{\varphi}\frac{dt}{\sqrt{1-k^2\sin^2 t}}\,, \end{equation*} \notag $$
второго рода:
$$ \begin{equation*} E(\varphi, k)=\int_0^{\varphi} \sqrt{1-k^2 \sin^2 t} \, dt, \end{equation*} \notag $$
третьего рода:
$$ \begin{equation*} \Pi(m; \varphi, k)=\int_0^{\varphi} \frac{dt}{(1+m \sin^2 t)\sqrt{1-k^2 \sin^2 t}}\,; \end{equation*} \notag $$
здесь и далее эллиптический модуль $k$ принадлежит интервалу $(0,1)$. Дополнительный модуль есть $k'=\sqrt{1-k^2}$.

Полные эллиптические интегралы:

$$ \begin{equation*} K(k)=F\biggl(\frac{\pi}{2}\,, k\biggr), \qquad E(k)=E\biggl(\frac{\pi}{2}\,, k\biggr). \end{equation*} \notag $$

Эллиптические функции Якоби:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \varphi=\operatorname{am}(u,k) \ \ \Longleftrightarrow \ \ u=F(\varphi, k), \\ \operatorname{sn}(u,k)=\sin \operatorname{am}(u,k), \qquad \operatorname{cn}(u,k)=\cos \operatorname{am}(u,k), \\ \operatorname{dn}(u,k)=\sqrt{1-k^2 \operatorname{sn}^2(u,k)}\,, \qquad \operatorname{E}(u,k)=E(\operatorname{am}u,k). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
При записи эллиптических функций модуль $k$ часто опускается.

Стандартные формулы. Производные и интегралы:

$$ \begin{equation*} \operatorname{am}' u=\operatorname{dn} u, \quad \operatorname{sn}'u=\operatorname{cn} u \operatorname{dn} u, \quad \operatorname{cn}' u=- \operatorname{sn} u \operatorname{dn} u, \quad \operatorname{dn}'u=- k^2 \operatorname{sn} u \operatorname{cn} u \end{equation*} \notag $$
и
$$ \begin{equation*} \int_0^u \operatorname{dn}^2 t \, dt=\operatorname{E}(u). \end{equation*} \notag $$

Вырождение:

$$ \begin{equation*} \begin{alignedat}{6} k &\to +0 &\quad &\Longrightarrow &\quad \operatorname{sn} u &\to \sin u, &\quad \operatorname{cn} u &\to \cos u,&\quad \operatorname{dn} u &\to 1, &\quad \operatorname{E}(u) &\to u; \\ k &\to 1-0 &\quad &\Longrightarrow &\quad \operatorname{sn} u &\to \operatorname{th} u, &\quad \operatorname{cn} u&\to \frac{1}{ \operatorname{ch} u}\,, &\quad \operatorname{dn} u &\to \frac{1}{ \operatorname{ch} u}\,, &\quad \operatorname{E}(u) &\to \operatorname{th} u. \end{alignedat} \end{equation*} \notag $$

2.2. Математический маятник

Во всех субримановых задачах разделов 2.32.10 вертикальная подсистема гамильтоновой системы принципа максимума Понтрягина загадочным образом сводится к уравнению маятника, поэтому все они интегрируются в эллиптических функциях и интегралах.

2.2.1. Уравнение маятника и его решение

Рассмотрим математический маятник – материальную точку, закрепленную на невесомом нерастяжимом стержне длины $L$, который может свободно вращаться в вертикальной плоскости вокруг точки подвеса. Пусть $\theta$ обозначает угол отклонения маятника от нижнего вертикального положения. Тогда движение маятника удовлетворяет уравнениям

$$ \begin{equation} \dot \theta=c, \quad \dot c=-r \sin \theta, \end{equation} \tag{2.1} $$
где $r=g/L > 0$ и $g$ есть ускорение силы тяжести. Полная энергия маятника (первый интеграл уравнений (2.1)) есть
$$ \begin{equation*} E=\frac{c^2}{2}-r\cos \theta \in [-r, +\infty). \end{equation*} \notag $$
Характер движения маятника определяется значением энергии $E$:

Выше указан характер движений маятника (2.1) при $r=g/L >0$. Если же $r=0$ (что можно истолковать как отсутствие силы тяжести), то:

Случай $r < 0$ (сила тяжести направлена вверх) сводится к случаю $r > 0$ заменой переменных $(\theta, c, r) \mapsto (\theta+\pi, c, -r)$.

2.2.2. Выпрямляющие координаты

При $r > 0$ фазовый цилиндр маятника (2.1),

$$ \begin{equation*} C=\{(\theta, c) \mid \theta\in S^1, \ c \in \mathbb{R}\}, \qquad S^1=\mathbb{R}/{2\pi}\mathbb{Z}, \end{equation*} \notag $$
стратифицируется в зависимости от типа движения маятника:
$$ \begin{equation*} C=\bigsqcup_{i=1}^5 C_i, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, C_1&=\{(\theta, c) \in C \mid E \in (-r, r)\}, \\ C_2&=\{(\theta, c) \in C \mid E >r\}, \\ C_3&=\{(\theta, c) \in C \mid E=r, \ c \ne 0\}, \\ C_4&=\{(\theta, c) \in C \mid c=0, \ \theta=0\}, \\ C_5&=\{(\theta, c) \in C \mid c=0, \ \theta=\pi\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
В областях $C_1$, $C_2$, $C_3$ можно ввести координаты $(\varphi,k)$, выпрямляющие уравнение маятника.

Если $(\theta,c) \in C_1$, то

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, k=\sqrt{\frac{E+r}{2r}} \in (0, 1), \qquad \sqrt r\,\varphi\operatorname{mod}{4K(k)} \in [0,4K(k)], \\ \sin \frac{\theta}{2}=k \operatorname{sn}(\sqrt r\,\varphi, k), \qquad \cos \frac{\theta}{2}=\operatorname{dn}(\sqrt r\,\varphi, k), \\ c=2 k \sqrt r\,\operatorname{cn}(\sqrt r\,\varphi, k). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Если $(\theta, c) \in C_2$, то
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, k=\sqrt{\frac{2r}{E+r}} \in (0, 1), \qquad \sqrt r\,\varphi\operatorname{mod}{2k K(k)} \in [0,2k K(k)], \\ \sin \frac{\theta}{2}=\pm\operatorname{sn} \biggl(\frac{\sqrt r\,\varphi}{k}\,, k\biggr), \qquad \cos \frac{\theta}{2}=\operatorname{cn} \biggl(\frac{\sqrt r\,\varphi}{k}\,, k\biggr), \\ c=\pm 2 \frac{\sqrt r}{k}\operatorname{dn} \biggl(\frac{\sqrt r \,\varphi}{k}\,,k\biggr), \qquad \pm=\operatorname{sign} c. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Если $(\theta, c) \in C_3$, то
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, k=1, \quad \varphi \in \mathbb{R}, \\ \sin \frac{\theta}{2}=\pm \operatorname{th} (\sqrt r\,\varphi), \qquad \cos \frac{\theta}{2}=\frac{1}{ \operatorname{ch} (\sqrt r\,\varphi)}\,, \\ c=\pm \frac{2 \sqrt r}{ \operatorname{ch} (\sqrt r\,\varphi)}\,, \qquad \pm=\operatorname{sign} c. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

В координатах $(\varphi,k)$ уравнение маятника (2.1) выпрямляется:

$$ \begin{equation*} \dot\varphi=1, \quad \dot k=0, \end{equation*} \notag $$
поэтому оно имеет решение
$$ \begin{equation*} \varphi_t=\varphi+t, \quad k \equiv \operatorname{const}. \end{equation*} \notag $$
Эти выпрямляющие координаты и их модификации используются для параметризации экстремальных траекторий в разделах 2.42.10.

2.2.3. Библиографические комментарии

Пункт 2.2.1 опирается на книгу [8], а п. 2.2.2 – на статью [123] (см. также [98], [142], [162]).

2.3. Плоская субриманова задача Мартине

2.3.1. Постановка задачи

Плоская субриманова структура Мартине задается метрикой $ds^2=dx^2+dy^2$ на распределении Мартине $\Delta=\{dz-(1/2)y^2\,dx= 0\}$ в пространстве $M=\mathbb{R}^3_{x, y, z}$. Ортонормированный репер может быть выбран в форме

$$ \begin{equation*} X_1=\frac{\partial}{\partial x}+\frac{y^2}{2}\, \frac{\partial}{\partial z}\,, \qquad X_2=\frac{\partial}{\partial y}\,. \end{equation*} \notag $$
Пусть $X_3=\partial/\partial z$, тогда алгебра Ли, порожденная полями $X_1$, $X_2$, имеет таблицу умножения
$$ \begin{equation*} [X_1,X_2]=-yX_3, \quad [X_2,[X_1,X_2]]=-X_3,\quad [X_1,[X_1,X_2]]=0, \quad \operatorname{ad} X_3=0, \end{equation*} \notag $$
т. е. это алгебра Энгеля (см. раздел 2.9).

Плоская субриманова структура Мартине не левоинвариантна, но мы включаем ее в данный обзор из-за ее особой роли в субримановой геометрии:

Кроме того, плоская субриманова структура Мартине есть факторструктура левоинвариантной субримановой структуры на группе Энгеля (см. раздел 2.9), поэтому гамильтонова система для экстремалей Мартине сводится к уравнению маятника, а сами эти экстремали проецируются на плоскость $(x,y)$ в эйлеровы эластики (см. раздел 2.6).

Задача оптимального управления для плоской субримановой структуры Мартине имеет вид

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \dot q=u_1X_1+u_2X_2, \quad q=(x, y, z) \in\mathbb{R}^3, \quad u=(u_1, u_2)\in\mathbb{R}^2, \\ q(0)=q_0, \quad q(t_1)=q_1, \\ J=\frac{1}{2}\int_0^{t_1}(u_1^2+u_2^2)\,dt \to \min. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

2.3.2. Принцип максимума Понтрягина

Предложение 2.1. Анормальные траектории суть $\{y=0,\ z=z_0\}$. Они нестрого анормальны.

Нормальные экстремали суть траектории гамильтонова поля с гамильтонианом

$$ \begin{equation*} H=\frac{1}{2}(h_1^2+h_2^2)= \frac{1}{2}\biggl[\biggl(p_x+\frac{y^2}{2}p_z\biggr)^2+p_y^2\biggr], \end{equation*} \notag $$
где $(p_x,p_y,p_z)$ – канонические координаты ковектора $\lambda \in T^*M$, а $h_i(\lambda)=\langle \lambda,X_i(q) \rangle$, $i=1,2,3$. Соответствующая гамильтонова система $\dot \lambda=\vec H(\lambda)$ имеет вид
$$ \begin{equation*} \begin{alignedat}{2} \dot x&=p_x+\frac{y^2}{2}p_z, &\qquad \dot p_x&=0, \\ \dot y&=p_y, &\qquad \dot p_y&=-\biggl(p_x+\frac{y^2}{2}p_z\biggr)p_z y, \\ \dot z&=\biggl(p_x+\frac{y^2}{2}p_z\biggr)\frac{y^2}{2}\,,&\qquad \dot p_z&=0, \end{alignedat} \end{equation*} \notag $$
или
$$ \begin{equation} \begin{alignedat}{2} &\dot x=h_1, &\qquad \dot h_1&=yh_2h_3, \\ &\dot y=h_2, &\qquad \dot h_2&=-yh_1h_3, \\ &\dot z=\frac{y^2}{2}h_1, &\qquad \dot h_3&=0. \end{alignedat} \end{equation} \tag{2.2} $$

Будем рассматривать экстремали на поверхности уровня $\{H=1/2\}$, на которой введем координаты

$$ \begin{equation*} h_1=\cos \theta, \quad h_2=\sin \theta, \quad h_3=c. \end{equation*} \notag $$

2.3.3. Симметрии

Отражения. Субриманова структура $(\Delta,ds^2)$ сохраняется группой отражений

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \operatorname{Sym}=\{ \operatorname{Id}, \varepsilon^1, \varepsilon^2, \varepsilon^3 \} \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2, \\ \begin{alignedat}{2} \varepsilon^1\colon (x, y, z)&\mapsto (x, -y, z), &\qquad (\theta, c)&\mapsto (\pi-\theta, c), \\ \varepsilon^2\colon (x, y, z)&\mapsto (- x, y, -z), &\qquad (\theta, c)&\mapsto (-\theta,-c), \\ \varepsilon^3\colon (x, y, z)&\mapsto (- x, -y, -z), &\qquad (\theta, c)&\mapsto (\theta-\pi,-c). \end{alignedat} \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Дилатации. Гамильтонова система (2.2) сохраняется однопараметрической группой дилатаций

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, (x,y,z) &\mapsto (\delta^{-1}x,\delta^{-1}y,\delta^{-3}z), \\ (h_1,h_2,h_3)&\mapsto (\delta^{-1}h_1,\delta^{-1}h_2,\delta h_3). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

2.3.4. Параметризация геодезических

Далее предполагается, что $q_0=0$.

Предложение 2.2. Натурально параметризованные геодезические, выходящие из $q_0=0$, суть кривые

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, x_t&=-t+\frac{2}{\sqrt c}(\operatorname{E}(u)-E(k)), \\ y_t&=- \frac{2 k}{\sqrt c} \operatorname{cn} u, \\ z_t&=\frac{2}{3c^{3/2}}[(2k^2-1)(\operatorname{E}(u) -E(k))+ k'^2t\sqrt c+2k^2\operatorname{sn}u\operatorname{cn}u\operatorname{dn}u], \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $u=K+t\sqrt c$, $k=\sin(\pi/4-\theta/2)$, $\theta \in (-\pi/2,\pi/2)$, $c > 0$, а также кривые
$$ \begin{equation*} x_t=t\sin\theta, \quad y_t=t\cos \theta, \quad z_t=\frac{t^3}{6}\sin\theta\cos^2\theta, \end{equation*} \notag $$
где $\theta \in (-\pi/2,\pi/2]$, и кривые, получающиеся из указанных с помощью симметрий $\varepsilon^1$, $\varepsilon^2$.

Пусть $\operatorname{Exp}$ обозначает экспоненциальное отображение

$$ \begin{equation*} \operatorname{Exp}\colon C \times \mathbb{R}_+ \to M, \quad (\lambda, t)\mapsto q_t=\pi \circ e^{t\vec H}(\lambda), \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} C=T_{q_0}^* M\cap\biggl\{H=\frac{1}{2} \biggr\}. \end{equation*} \notag $$

2.3.5. Сопряженное время

Если геодезическая проецируется на плоскость $(x, y)$ в прямую и строго нормальна, то она оптимальна, а потому свободна от сопряженных точек. В анормальном случае геодезическая оптимальна и состоит из сопряженных точек.

Пусть $\lambda=(\theta, c) \in C$, и пусть геодезическая $q_t=\operatorname{Exp}(\lambda, t)$ проецируется на плоскость $(x, y)$ не в прямую. Благодаря симметриям $\varepsilon^1$ и $\varepsilon^2$ можно считать, что $c > 0$ и $\theta \in (-\pi/2,\pi/2)$. Тогда первое сопряженное время есть

$$ \begin{equation*} t_{\rm conj}^1(\lambda)=\min\{t > 0 \mid v^2 c_1(v)+vc_2(v)+c_3(v)=0\}, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, c_1(v)&=k'^2\,\frac{\operatorname{cn} v}{\operatorname{dn} v}\,, \\ c_2(v)&=k'^2 \operatorname{sn} v- 2k'^2 \operatorname{E}(v)\frac{\operatorname{cn} v}{\operatorname{dn} v}\,, \\ c_3(v)&=\operatorname{E}^2(v)\frac{\operatorname{cn}v}{\operatorname{dn}v}- \operatorname{E}(v)\operatorname{sn} v \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
и $v=t\, \sqrt c$.

Теорема 2.1. Пусть $q_t=\operatorname{Exp}(\lambda,t)$, $\lambda \in C$, $t > 0$, есть геодезическая, которая проецируется на плоскость $(x,y)$ не в прямую. Тогда

$$ \begin{equation*} t_{\rm conj}^1(\lambda )\in \biggl(\frac{2 K}{\sqrt{|c|}}\,, \frac{3 K}{\sqrt{|c|}} \biggr). \end{equation*} \notag $$

Приближенные вычисления показывают, что отношение $t_{\rm conj}^1\, \sqrt{|c|}/(3K)$ есть приближенно константа $0.97$.

2.3.6. Время разреза и множество разреза

Теорема 2.2. Геодезические, проецирующиеся на плоскость $(x,y)$ в прямую, суть кратчайшие. Геодезическая $q_t=\operatorname{Exp}(\lambda,t)$, $\lambda \in C$, $t > 0$, проецирующаяся на плоскость $(x,y)$ не в прямую, имеет время разреза $t_{\rm cut}(\lambda)=2K/\sqrt{|c|}$, соответствующее ее первому пересечению с плоскостью Мартине $\{y=0\}$.

Множество разреза есть

$$ \begin{equation*} \operatorname{Cut}=\{q \in M \mid y=0,\ z \ne 0\}. \end{equation*} \notag $$
Это множество не пересекается с первой каустикой.

2.3.7. Сфера и фронт

Разные сферы с центром $q_0=0$ переводятся друг в друга дилатациями, поэтому достаточно рассмотреть единичную сферу

$$ \begin{equation*} S=\{q \in M \mid d(q_0,q)=1\}. \end{equation*} \notag $$
Сфера $S$ изображена на рис. 1 в координатах $(x,y,v)$, $v=z-xy^2/6$.

Теорема 2.3. Пересечение сферы $S$ с множеством разреза (см. рис. 2) есть кривая $k \mapsto \gamma(k)$, содержащаяся в плоскости Мартине $\{y=0\}$ и заданная параметрическими уравнениями

$$ \begin{equation} x(k) =-1+2\frac{E(k)}{K(k)}\,, \end{equation} \tag{2.3} $$
$$ \begin{equation} z(k) =\frac{1}{6K^3(k)}[(2 k^2-1)E(k)+k'^2K(k)], \end{equation} \tag{2.4} $$
где $k\! \in\! (0,1)$, и кривая, полученная из $\gamma$ симметрией $\varepsilon^2|_{\{y=0\}}\colon\! (x,z) \mapsto (-x,-z)$.

Если $k \to +0$, то кривая $\gamma$ есть сужение на полуплоскость $\{z>0\}$ графика аналитической функции

$$ \begin{equation*} z=-\frac{2}{3\pi^2}(x-1)+o(x-1),\qquad x \to 1-0. \end{equation*} \notag $$

Если $k \to 1-0$, то кривая $\gamma$ есть график гладкой неаналитической функции

$$ \begin{equation*} z=\frac{X^3}{6}+F(X), \qquad X=\frac{x+1}{2}\,, \end{equation*} \notag $$
где $F$ есть плоская функция
$$ \begin{equation*} F(X)=- 4 X^3 e^{-2/X}+o(X^3e^{-2/X}), \qquad X\to +0. \end{equation*} \notag $$

Теорема 2.4. Пересечение сферы $S$ с плоскостью Мартине не субаналитично, поэтому сфера $S$ не субаналитична.

Рассмотрим волновой фронт из точки $q_0$ за единичное время:

$$ \begin{equation*} W=\{q \in M \mid q=\operatorname{Exp}(\lambda,1), \ \lambda \in C\}, \end{equation*} \notag $$
остальные фронты из точки $q_0$ переводятся в этот фронт дилатациями.

Теорема 2.5. Пересечение волнового фронта $W$ с плоскостью Мартине $\{y=0\}$ и полупространством $\{z > 0\}$ есть объединение кривых $\gamma_n$, $n \in \mathbb{N}$, замыкание которых имеет две точки ветвления $x=\pm 1$, $z=0$. Кривая $\gamma_n$ задается параметрическими уравнениями

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, x_n(k)&=-1+2 \frac{E(k)}{K(k)}\,, \\ z_n(k)&=\frac{1}{6n^2K^3(k)}[(2k^2 -1)E(k)+k'^2K(k)]. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Эта кривая вблизи точки $x=-1$, $z= 0$ есть график функции
$$ \begin{equation*} z=\frac{1}{6n^2}X^3+F(X), \end{equation*} \notag $$
где $F(X)=\alpha X^3 e^{-2/X}+o(X^3e^{-2/X})$, $\alpha \ne 0$, а вблизи точки $x=1$, $z=0$ – график функции
$$ \begin{equation*} z=-\frac{2}{3n^2\pi^2}(x-1)+o(x-1). \end{equation*} \notag $$
Внешняя кривая $\gamma_1$ есть пересечение $\gamma$ сферы с плоскостью Мартине $\{y=0\}$ и полупространством $\{z > 0\}$ (см. теорему 2.3).

Пересечение сферы $S$ с плоскостью Мартине и полупространством $\{z > 0\}$ есть параметрически заданная кривая $k \mapsto (x(k), z(k))$, $k\in (0,1)$ (см. (2.3), (2.4)). Эта кривая продолжается по непрерывности в полуплоскость $\{z \geqslant 0\}$ условием $k \in [0,1]$. Полученная кривая полуаналитична при $k \ne 1$. Однако при $k=1$ эта кривая не полуаналитична, поэтому не субаналитична.

Теорема 2.6. Пересечение сферы $S$ с плоскостью Мартине $\{y=0\}$ и полуплоскостью $\{z \geqslant 0\}$ вблизи точки $X=0$, где $X=(x+1)/2$, является графиком функции вида

$$ \begin{equation*} z=F\biggl(X,\frac{e^{-1/X}}{X^2}\biggr), \end{equation*} \notag $$
где $X \geqslant 0$ и $F$ есть аналитическое отображение из окрестности точки $(0,0) \in \mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}$.

Поэтому пересечение сферы $S$ с плоскостью Мартине принадлежит $\exp$-$\log$-категории [65], [101].

2.3.8. Библиографические комментарии

Этот раздел опирается на работу [3].

2.4. Субриманова задача на группе $\operatorname{SE}(2)$ евклидовых движений плоскости

2.4.1. Постановка задачи

Механическая постановка. Рассмотрим задачу об оптимальном движении для кинематической модели мобильного робота на плоскости. Состояние робота задается его положением на плоскости $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ и углом ориентации $\theta \in S^1=\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$ относительно положительного направления оси абсцисс. Робот может двигаться с произвольной линейной скоростью $u_1 \in \mathbb{R}$ и при этом поворачиваться с произвольной угловой скоростью $u_2\in\mathbb{R}$. Требуется перевести робот из начального состояния $g_0=(x_0,y_0,\theta_0)$ в конечное состояние $g_1=(x_1, y_1, \theta_1)$ вдоль кратчайшего пути в пространстве состояний. Длина пути в пространстве состояний $\mathbb{R}^2_{x, y}\times S^1_{\theta}$ измеряется интегралом $\displaystyle\int_0^{t_1}(\dot x^2+\dot y^2+\alpha^2\dot\theta^2)^{1/2}\,dt$, где $\alpha > 0$ – некоторое заданное число, определяющее компромисс между линейной и угловой скоростью.

Задача оптимального управления и ее нормализация. Описанная задача для мобильного робота формализуется как задача оптимального управления:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \dot x=u_1 \cos\theta, \quad \dot y=u_1 \sin \theta, \quad \dot\theta=u_2, \\ g=(x, y, \theta) \in \mathbb{R}^2_{x,y}\times S^1_{\theta}, \quad u=(u_1, u_2)\in\mathbb{R}^2, \\ g(0)=g_0, \quad g(t_1)=g_1, \\ l=\int_0^{t_1}\sqrt{u_1^2+\alpha^2u_2^2}\,\, dt \to \min. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Заменой масштаба в плоскости $(x,y)$:
$$ \begin{equation*} (x,y,\theta) \mapsto \biggl(\frac{x}{\alpha}\,, \frac{y}{\alpha}\,,\theta\biggr),\quad (u_1, u_2)\mapsto \biggl(\frac{u_1}{\alpha}\,,u_2\biggr), \end{equation*} \notag $$
можно свести эту задачу к случаю $\alpha=1$.

Параллельными переносами и поворотами плоскости $(x,y)$ можно добиться равенства $g_0=(0,0,0)$.

В итоге получаем задачу оптимального управления:

$$ \begin{equation} \dot x=u_1 \cos \theta, \quad \dot y=u_1 \sin \theta, \quad \dot \theta=u_2, \end{equation} \tag{2.5} $$
$$ \begin{equation} g=(x, y, \theta) \in \mathbb{R}^2_{x, y}\times S^1_{\theta}, \qquad u=(u_1, u_2)\in \mathbb{R}^2, \end{equation} \tag{2.6} $$
$$ \begin{equation} g(0)=g_0=(0, 0, 0), \quad g(t_1)= g_1=(x_1, y_1, \theta_1), \end{equation} \tag{2.7} $$
$$ \begin{equation} l=\int_0^{t_1}\sqrt{u_1^2+u_2^2}\, dt \to \min. \end{equation} \tag{2.8} $$
Это субриманова задача, заданная ортонормированным репером
$$ \begin{equation} X_1=\cos\theta\,\frac{\partial}{\partial x}+ \sin \theta\,\frac{\partial}{\partial y}\,, \quad X_2=\frac{\partial}{\partial \theta}\,. \end{equation} \tag{2.9} $$

Группа движений плоскости. Группа $G=\operatorname{SE}(2)$ собственных евклидовых движений плоскости есть полупрямое произведение группы параллельных переносов $\mathbb{R}^2$ и группы вращений $\operatorname{SO}(2)$:

$$ \begin{equation*} \operatorname{SE}(2)=\mathbb{R}^2 \ltimes \operatorname{SO}(2). \end{equation*} \notag $$
Эта группа имеет линейное представление
$$ \begin{equation*} \operatorname{SE}(2)=\left\{\begin{pmatrix} \cos \theta &-\sin \theta & x \\ \sin \theta &\hphantom{-} \cos \theta & y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\ \bigg|\ \theta \in S^1= \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}, \ x,y \in \mathbb{R}\right\}. \end{equation*} \notag $$
Действие движения $g=(x, y, \theta)$ на вектор $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ вычисляется с помощью матричного произведения:
$$ \begin{equation*} \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & x \\ \sin \theta & \hphantom{-}\cos \theta & y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a \cos \theta-b \sin\theta+x \\ a\sin\theta+b\cos \theta+y \\ 1 \end{pmatrix}, \end{equation*} \notag $$
т. е.
$$ \begin{equation*} g\colon (a,b) \mapsto (a\cos\theta-b\sin\theta+x, \ a\sin\theta+b \cos\theta+y). \end{equation*} \notag $$

Алгебра Ли группы Ли $\operatorname{SE}(2)$ есть

$$ \begin{equation*} \mathfrak{g}=\mathfrak{se}(2)=\operatorname{span}(E_{21}-E_{12},E_{13},E_{23}), \end{equation*} \notag $$
где $E_{ij}$ есть $(3\times 3)$-матрица с единственным ненулевым элементом – единицей в строке $i$ и столбце $j$. Базисные левоинвариантные векторные поля на группе $\operatorname{SE}(2)$ суть
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, X_1&=g E_{13}=\cos\theta\,\frac{\partial}{\partial x}+ \sin \theta\,\frac{\partial}{\partial y}\,, \\ X_2&=g(E_{21}-E_{12})=\frac{\partial}{\partial \theta}\,, \\ X_3&=- g E_{23}=\sin\theta\,\frac{\partial}{\partial x}- \cos \theta\,\frac{\partial}{\partial y} \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
с таблицей умножения
$$ \begin{equation} [X_1,X_2]=X_3, \quad [X_2,X_3]=X_1, \quad [X_1,X_3]=0. \end{equation} \tag{2.10} $$

Ортонормированный репер (2.9) для субримановой задачи (2.5)(2.8) состоит из левоинвариантных полей, поэтому эта задача – левоинвариантная субриманова задача на группе $G=\operatorname{SE}(2)$.

Согласно классификации Аграчева–Барилари [1], это единственная, с точностью до локальных изометрий, вполне неголономная субриманова задача на $\operatorname{SE}(2)$; ей соответствуют инварианты $\chi=\kappa=1$.

Существование оптимальных управлений в задаче (2.5)(2.8) следует из теорем Рашевского–Чжоу и Филиппова: система имеет полный ранг, так как

$$ \begin{equation*} \mathfrak{g}=\operatorname{span}(X_1,X_2,X_3), \qquad X_3=[X_1,X_2]. \end{equation*} \notag $$

2.4.2. Принцип максимума Понтрягина

Анормальные траектории постоянны.

Нормальные экстремали суть траектории гамильтоновой системы $\dot\lambda=\vec H(\lambda)$, $\lambda \in T^*G$, где $H=(h_1^2+h_2^2)/2$, $h_i(\lambda)=\langle \lambda,X_i \rangle$, $i=1,2,3$. В координатах эта система записывается как

$$ \begin{equation} \begin{alignedat}{3} \dot h_1&=- h_2 h_3, &\quad \dot h_2&=h_1 h_3, &\quad \dot h_3&=h_1 h_2, \\ \dot x&=h_1 \cos \theta, &\quad \dot y&=h_1 \sin \theta, &\quad \dot \theta&=h_2. \notag \end{alignedat} \end{equation} \tag{2.11} $$
На поверхности уровня $\{H=1/2\}$ в координатах $(\gamma, c)$, где
$$ \begin{equation*} h_1=\sin \frac{\gamma}{2}\,, \quad h_2=-\cos \frac{\gamma}{2}\,, \quad c=2h_3, \end{equation*} \notag $$
вертикальная подсистема (2.11) гамильтоновой системы принимает форму двулистного накрытия маятника:
$$ \begin{equation} \dot\gamma=c, \quad \dot c=-\sin\gamma, \quad (\gamma,c) \in C=\mathfrak{g}^*\cap\biggl\{H=\frac{1}{2}\biggr\} \cong (2S^1_{\gamma})\times \mathbb{R}_c, \quad 2S^1=\mathbb{R}/4\pi\mathbb{Z}. \end{equation} \tag{2.12} $$
Первый интеграл этого уравнения – энергия маятника
$$ \begin{equation} E=\frac{c^2}{2}-\cos \gamma \in [-1,+\infty). \end{equation} \tag{2.13} $$

Симплектическое слоение. На коалгебре Ли $\mathfrak{g}^*$ имеется функция Казимира $F=h_1^2+h_3^2$. Симплектическое слоение состоит из круговых цилиндров $\{h_1^2+h_3^2=\operatorname{const} > 0\}$ и точек $\{h_1=h_3=0, \ h_2=\operatorname{const}\}$.

Энергия маятника есть линейная комбинация функции Казимира и гамильтониана:

$$ \begin{equation*} E=2F-2H. \end{equation*} \notag $$

Стратификация цилиндра $C$ и выпрямляющие координаты. Цилиндр $C$ разбивается на инвариантные множества маятника (2.12) критическими линиями уровня энергии $E$:

$$ \begin{equation} \begin{aligned}[t] \, C&=\bigsqcup_{i=1}^5 C_i, \\ C_1&=\{\lambda \in C \mid E \in (-1, 1) \}, \notag \\ C_2&=\{\lambda \in C \mid E \in (1,+\infty) \}, \notag \\ C_3&=\{\lambda \in C \mid E =1, \ c \ne 0 \}, \notag \\ C_4&=\{\lambda \in C \mid E=- 1 \}= \{ (\gamma, c) \in C \mid \gamma=2 \pi n, \ c=0 \}, \notag \\ C_5&=\{\lambda \in C \mid E=1, \ c=0 \}= \{ (\gamma, c) \in C \mid \gamma=\pi+2 \pi n, \ c=0 \}, \notag \end{aligned} \end{equation} \tag{2.14} $$
где $n \in \mathbb{Z}$.

Для регулярного интегрирования уравнения маятника (2.12) на стратах $C_1$, $C_2$, $C_3$ вводятся координаты $(\varphi, k)$, выпрямляющие это уравнение.

Если $\lambda=(\gamma, c) \in C_1$, то

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, k=\sqrt{\frac{E+1}{2}}= \sqrt{\sin^2 \frac{\gamma}{2}+\frac{c^2}{4}} \in (0,1), \\ \sin \frac{\gamma}{2}=s_1 k \operatorname{sn}(\varphi,k), \qquad s_1=\operatorname{sign} \cos\frac{\gamma}{2}\,, \\ \cos \frac{\gamma}{2}=s_1 \operatorname{dn}(\varphi,k), \\ \frac{c}{2}=k \operatorname{cn}(\varphi,k), \qquad \varphi \in [0, 4 K(k)]. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Если $\lambda=(\gamma, c) \in C_2$, то

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, k=\sqrt{\frac{2}{E+1}}=\frac{1}{\sqrt{\sin^2(\gamma/2)+c^2/4}} \in (0,1), \\ \sin \frac{\gamma}{2}= s_2 \operatorname{sn}\biggl(\frac{\varphi}{k}\,,k\biggr), \qquad s_2=\operatorname{sign} c, \\ \cos \frac{\gamma}{2}=\operatorname{cn}\biggl(\frac{\varphi}{k}\,,k\biggr), \\ \frac{c}{2}= \frac{s_2}{k}\operatorname{dn}\biggl(\frac{\varphi}{k}\,,k\biggr), \qquad \varphi \in [0,4 k K(k)]. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Если $\lambda=(\gamma,c) \in C_3$, то

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, k=1, \\ \sin \frac{\gamma}{2}=s_1 s_2 \operatorname{th} \varphi, \qquad s_1=\operatorname{sign} \cos\frac{\gamma}{2}\,, \quad s_2=\operatorname{sign} c, \\ \cos \frac{\gamma}{2}=\frac{s_1}{ \operatorname{ch} \varphi}\,, \\ \frac{c}{2}=\frac{s_2}{ \operatorname{ch} \varphi}\,, \qquad \varphi \in (-\infty, +\infty). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

В координатах $(\varphi,k)$ поток маятника (2.12) выпрямляется:

$$ \begin{equation*} \dot \varphi=1, \quad \dot k=0, \qquad \lambda=(\varphi,k) \in \bigcup_{i=1}^3 C_i. \end{equation*} \notag $$

Параметризация геодезических. Если $\lambda=(\varphi,k) \in C_1$, то $\varphi_t=\varphi+t$ и

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \cos \theta_t&=\operatorname{cn} \varphi \operatorname{cn} \varphi_t+ \operatorname{sn} \varphi \operatorname{sn} \varphi_t, \\ \sin \theta_t&=s_1(\operatorname{sn} \varphi \operatorname{cn} \varphi_t- \operatorname{cn} \varphi \operatorname{sn} \varphi_t),\\ \theta_t&=s_1(\operatorname{am} \varphi- \operatorname{am} \varphi_t)\operatorname{mod}{2\pi}, \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, x_t&=\frac{s_1}{k}[\operatorname{cn}\varphi(\operatorname{dn}\varphi- \operatorname{dn}\varphi_t)+\operatorname{sn} \varphi(t+\operatorname{E}(\varphi)-\operatorname{E}(\varphi_t))], \\ y_t&=\frac{1}{k}[\operatorname{sn}\varphi(\operatorname{dn}\varphi- \operatorname{dn}\varphi_t)-\operatorname{cn}\varphi(t+ \operatorname{E}(\varphi)-\operatorname{E}(\varphi_t))]. \end{aligned} \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Если $\lambda \in C_2$, то

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \cos \theta_t&=k^2 \operatorname{sn} \psi \operatorname{sn} \psi_t+ \operatorname{dn} \psi \operatorname{dn} \psi_t, \\ \sin \theta_t&=k(\operatorname{sn} \psi \operatorname{dn} \psi_t- \operatorname{dn} \psi \operatorname{sn} \psi_t), \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, x_t&=s_2 k\biggl[\operatorname{dn} \psi(\operatorname{cn} \psi- \operatorname{cn} \psi_t)+\operatorname{sn} \psi\,\biggl(\frac{t}{k}+ \operatorname{E}(\psi)-\operatorname{E}(\psi_t)\biggr)\biggr], \\ y_t&=s_2\biggl[k^2\operatorname{sn} \psi (\operatorname{cn} \psi- \operatorname{cn} \psi_t)-\operatorname{dn} \psi\,\biggl(\frac{t}{k}+ \operatorname{E}(\psi)-\operatorname{E}(\psi_t)\biggr)\biggr], \end{aligned} \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
где $\psi=\varphi/k$ и $\psi_t=\varphi_t/k=\psi+t/k$.

Если $\lambda=(\varphi,k) \in C_3$, $k=1$, то $\varphi_t=\varphi+t$ и

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \cos \theta_t&=\frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi \operatorname{ch} \varphi_t}+ \operatorname{th} \varphi \operatorname{th} \varphi_t, \\ \sin \theta_t&= s_1\biggl(\frac{ \operatorname{th} \varphi}{ \operatorname{ch} \varphi_t}- \frac{ \operatorname{th} \varphi_t}{ \operatorname{ch} \varphi}\biggr), \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, x_t&=s_1 s_2\biggl[\frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi} \biggl(\frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi}- \frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi_t}\biggr)+ \operatorname{th} \varphi\, (t+ \operatorname{th} \varphi- \operatorname{th} \varphi_t)\biggr], \\ y_t&=s_2\biggl[ \operatorname{th} \varphi\, \biggl(\frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi}- \frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi_t}\biggr)-\frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi} (t+ \operatorname{th} \varphi- \operatorname{th} \varphi_t)\biggr]. \end{aligned} \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Если $\lambda \in C_4$, то

$$ \begin{equation*} \theta_t=-s_1 t, \qquad x_t=0, \qquad y_t=0. \end{equation*} \notag $$

Если $\lambda \in C_5$, то

$$ \begin{equation*} \theta_t=0, \qquad x_t=t\operatorname{sign}\sin\frac{\gamma}{2}\,, \qquad y_t=0. \end{equation*} \notag $$

Проекции геодезических на плоскость $(x,y)$ в случаях $C_1$, $C_2$ и $C_3$ изображены соответственно на рис. 3, 4 и 5.

2.4.3. Симметрии и страты Максвелла

Фазовый портрет маятника (2.12) сохраняется группой симметрий $\operatorname{Sym}$, порожденной отражениями цилиндра $C$ относительно осей координат $\gamma$, $c$, в начале координат $(\gamma,c)=(0,0)$ и поворотом на угол $2\pi$:

$$ \begin{equation*} \operatorname{Sym}=\{\operatorname{Id},\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^7\} \cong \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \varepsilon^1\colon (\gamma,c)&\to (\gamma,-c), \\ \varepsilon^2\colon (\gamma,c)&\to (-\gamma,c), \\ \varepsilon^3\colon (\gamma,c)&\to (-\gamma,-c), \\ \varepsilon^4\colon (\gamma,c)&\to (\gamma+2 \pi,c), \\ \varepsilon^5\colon (\gamma,c)&\to (\gamma+2 \pi,-c), \\ \varepsilon^6\colon (\gamma,c)&\to (-\gamma+2 \pi,c), \\ \varepsilon^7\colon (\gamma,c)&\to (-\gamma+2 \pi,-c). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Эти симметрии естественно продолжаются на прообраз и образ экспоненциального отображения.

Если $\nu=(\lambda,t)=(\gamma,c,t) \!\in\! N=C \times \mathbb{R}_+$, то $\varepsilon^i(\nu)=\nu^i=(\lambda^i,t)=(\gamma^i,c^i,t)\! \in\! N$ и

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, (\gamma^1,c^1)&=(\gamma_t, -c_t), \\ (\gamma^2,c^2)&=(-\gamma_t, c_t), \\ (\gamma^3,c^3)&=(-\gamma, -c), \\ (\gamma^4,c^4)&=(\gamma+2 \pi, c), \\ (\gamma^5,c^5)&=(\gamma_t+2 \pi, -c_t), \\ (\gamma^6,c^6)&=(-\gamma_t+ 2 \pi, c_t), \\ (\gamma^7,c^7)&=(-\gamma, -c). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Если $g=(x,y,\theta) \in G$, то $g^i=\varepsilon^i(g)=(x^i,y^i,\theta^i) \in G$, где

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, (x^1,y^1,\theta^1)&=(x \cos \theta+y \sin \theta, x \sin \theta- y \cos \theta, \theta), \\ (x^2,y^2,\theta^2)&=(-x \cos \theta- y \sin \theta, -x \sin \theta+y \cos \theta, \theta), \\ (x^3,y^3,\theta^3)&=(-x, -y, \theta), \\ (x^4,y^4,\theta^4)&=(-x, y, -\theta), \\ (x^5,y^5,\theta^5)&=(-x \cos \theta-y \sin \theta, x \sin \theta- y \cos \theta, -\theta), \\ (x^6,y^6,\theta^6)&=(x \cos \theta+y \sin \theta, -x \sin \theta+ y \cos \theta, -\theta), \\ (x^7,y^7,\theta^7)&=(x, -y, -\theta). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Предложение 2.3. Группа $\operatorname{Sym}= \{\operatorname{Id},\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^7\}$ есть подгруппа группы симметрий экспоненциального отображения.

Теорема 2.7. Первое время Максвелла, соответствующее группе симметрий $\operatorname{Sym}$, для почти всех геодезических выражается следующим образом:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \lambda \in C_1 &\quad\Longrightarrow\quad t_{\rm Max}^1(\lambda)=2K(k), \\ \lambda \in C_2 &\quad\Longrightarrow\quad t_{\rm Max}^1(\lambda)=2kp_1^1(k), \\ \lambda \in C_3 &\quad\Longrightarrow\quad t_{\rm Max}^1(\lambda)=+\infty, \\ \lambda \in C_4 &\quad\Longrightarrow\quad t_{\rm Max}^1(\lambda)=\pi, \\ \lambda \in C_5 &\quad\Longrightarrow\quad t_{\rm Max}^1(\lambda)=+\infty, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $p=p_1^1(k) \in (K(k),2K(k))$ есть первый положительный корень функции
$$ \begin{equation*} f_1(p,k)=\operatorname{cn}p(\operatorname{E}(p)-p)- \operatorname{dn} p \operatorname{sn} p. \end{equation*} \notag $$

Замечание 2.1. Для тех геодезических, для которых первое время Максвелла, соответствующее группе $\operatorname{Sym}$, не равно $t_{\rm Max}^1$, оно больше этого значения, а $t_{\rm Max}^1$ есть первое сопряженное время.

Обозначим через $\vec H_v$ вертикальную компоненту гамильтонова векторного поля $\vec H$, соответствующую обыкновенному дифференциальному уравнению (2.11).

2.4.4. Оценки сопряженного времени

Теорема 2.9. (1) Если $\lambda \in C_1\cup C_3\cup C_4\cup C_5$, то $t_{\rm conj}^1(\lambda)=+\infty$.

(2) Если $\lambda \in C_2$, то $t_{\rm conj}^1(\lambda)\in [2kp_1^1,4kK]$.

(3) Следовательно, $t_{\rm conj}^1(\lambda) \geqslant t_{\rm Max}^1(\lambda)$ для всех $\lambda \in C$.

2.4.5. Диффеоморфная структура экспоненциального отображения

Рассмотрим подмножество в пространстве состояний, не содержащее неподвижных точек отражений $\varepsilon^i$:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \widetilde G=\{g \in G \mid \varepsilon^i(g) \ne g, \ i=1,\dots,7\}= \{g \in G \mid R_1(g) R_2(g)\sin\theta\ne 0\}, \\ R_1=y\cos \frac{\theta}{2}-x \sin\frac{\theta}{2}\,, \qquad R_2=x \cos \frac{\theta}{2}+y\sin\frac{\theta}{2}\,, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
и его разбиение на компоненты связности
$$ \begin{equation*} \widetilde G=\bigsqcup_{i=1}^8 G_i, \end{equation*} \notag $$
где каждое множество $G_i$ характеризуется постоянными знаками функций $\sin\theta$, $R_1$, $R_2$, описанными в табл. 1.

Таблица 1.Определение областей $G_i$

$G_i$$G_1$$G_2$$G_3$$G_4$$G_5$$G_6$$G_7$$G_8$
$\operatorname{sign} \sin\theta$$-$$-$$-$$-$$+$$+$$+$$+$
$\operatorname{sign} R_1$$+$$+$$-$$-$$-$$-$$+$$+$
$\operatorname{sign} R_2$$+$$-$$-$$+$$+$$-$$-$$+$

Также рассмотрим открытое плотное подмножество в пространстве всех потенциально оптимальных геодезических:

$$ \begin{equation*} \widetilde N=\bigl\{(\lambda,t) \in N \mid t < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t/2}\sin\gamma_{t/2} \ne 0\bigr\}, \end{equation*} \notag $$
и его связные компоненты, $\widetilde N=\bigsqcup\limits_{i=1}^8D_i$:
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, D_1&=\bigl\{ (\lambda, t) \in N \mid t < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t/2} > 0, \ \gamma_{t/2}\in(-\pi, 0)\bigr\}, \\ D_2&=\bigl\{ (\lambda, t) \in N \mid t < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t/2} > 0, \ \gamma_{t/2}\in(0, \pi)\bigr\}, \\ D_3&=\bigl\{ (\lambda, t) \in N \mid t < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t/2} < 0, \ \gamma_{t/2}\in(0, \pi)\bigr\}, \\ D_4&=\bigl\{ (\lambda, t) \in N \mid t < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t/2} < 0, \ \gamma_{t/2}\in(-\pi, 0)\bigr\}, \\ D_5&=\bigl\{ (\lambda, t) \in N \mid t < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t/2} > 0, \ \gamma_{t/2}\in(\pi, 2\pi)\bigr\}, \\ D_6&=\bigl\{ (\lambda, t) \in N \mid t < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t/2} > 0, \ \gamma_{t/2}\in(2\pi, 3\pi)\bigr\}, \\ D_7&=\bigl\{ (\lambda, t) \in N \mid t < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t/2} < 0, \ \gamma_{t/2}\in(2\pi, 3\pi)\bigr\}, \\ D_8&=\bigl\{ (\lambda, t) \in N \mid t < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t/2} < 0, \ \gamma_{t/2}\in(\pi, 2\pi)\bigr\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Теорема 2.10. Следующие отображения являются диффеоморфизмами:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \operatorname{Exp}\colon D_i &\to G_i, \qquad i=1,\dots,8; \\ \operatorname{Exp}\colon \widetilde N &\to \widetilde G. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

2.4.6. Время разреза

Теорема 2.11. Для любого $\lambda \in C$

$$ \begin{equation*} t_{\rm cut}(\lambda)=t_{\rm Max}^1(\lambda). \end{equation*} \notag $$

Время разреза инвариантно относительно вертикальной компоненты гамильтонова поля $\vec H_v$, поэтому субриманова структура на группе $\operatorname{SE}(2)$ эквиоптимальна.

2.4.7. Множество разреза и его стратификация

Теорема 2.12. Множество разреза есть двумерное стратифицированное многообразие со стратификацией

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \operatorname{Cut}=\operatorname{Cut}_{\rm glob} \sqcup \operatorname{Cut}_{\rm loc}^+ \sqcup \operatorname{Cut}_{\rm loc}^-, \\ {\begin{aligned} \, \operatorname{Cut}_{\rm glob}&=\{q \in M \mid \theta=\pi\}, \\ \operatorname{Cut}_{\rm loc}^+&=\{q \in M \mid \theta \in (- \pi, \pi), \ R_2=0, \ R_1 \geqslant R_1^1(|\theta|)\}, \\ \operatorname{Cut}_{\rm loc}^-&=\{q \in M \mid \theta\in (- \pi, \pi), \ R_2=0, \ R_1 \leqslant-R_1^1(|\theta|)\}, \end{aligned}} \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{alignedat}{2} R_1&=R_1^1(\theta), &\qquad \theta &\in [0,\pi], \\ R_1^1(\theta)&=2(F(v_1^1(k),k)-E(v_1^1(k),k)), &\qquad k&=k_1^1(\theta), \\ v_1^1(k)&=\operatorname{am}(p_1^1(k),k), &\qquad k &\in [0,1), \end{alignedat} \end{equation*} \notag $$
а функция $k=k_1^1(\theta)$, $\theta \in [0,\pi]$, есть обратная функция к убывающей функции
$$ \begin{equation*} \theta(k)=2\arcsin(k\sin v_1^1(k)), \qquad k \in [0,1]. \end{equation*} \notag $$
Начальная точка $g_0=\operatorname{Id}$ содержится в замыкании каждой компоненты $\operatorname{Cut}_{\rm loc}^+$, $\operatorname{Cut}_{\rm loc}^-$ и отделена от компоненты $\operatorname{Cut}_{\rm glob}$.

Множество разреза $\operatorname{Cut} \subset \operatorname{SE}(2)$ изображено на рис. 6 (в выпрямляющих координатах $R_1=y \cos(\theta/2)-x \sin(\theta/2)$, $R_2=x \cos(\theta/2)+y \sin(\theta/2)$) и на рис. 7 (при вложении в полноторий – модель группы $\operatorname{SE}(2)$).

2.4.8. Сферы

Субримановы сферы $S_R$ гомеоморфны (но не диффеоморфны)

На рис. 8, 9 и 10 изображены субримановы сферы радиусов $\pi/2$, $\pi$ и $3\pi/2$ соответственно, вложенные в полноторий – модель группы $\operatorname{SE}(2)$.

2.4.9. Метрические прямые

Метрические прямые, проходящие через единичный элемент $g_0=\operatorname{Id}$, суть $g(t)=\operatorname{Exp}(\lambda,t)$, $t \in \mathbb{R}$, где $\lambda \in C_3\cup C_5$. Геодезические $\operatorname{Exp}(\lambda,t)$, $\lambda \in C_3$, проецируются на плоскость $(x,y)$ в трактрисы, а геодезические $\operatorname{Exp}(\lambda,t)$, $\lambda \in C_5$, – в прямые $(x,y)=(\pm t,0)$.

2.4.10. Модель велосипеда

Субриманову задачу на группе $\operatorname{SE}(2)$ можно рассматривать как задачу об оптимальном движении модели велосипеда.

Пусть переднее и заднее колеса велосипеда касаются земли в точках $\mathbf{f}$ и $\mathbf{b}$ соответственно, а расстояние между этими точками (длина рамы велосипеда) постоянно и равно $\ell$. При движении велосипеда точки $\mathbf{f}$ и $\mathbf{b}$ пробегают две кривые – передний и задний пути. При этом отрезок $\mathbf{f}-\mathbf{b}$ в каждый момент времени касается заднего пути. Назовем движение велосипеда оптимальным, если оно минимизирует длину переднего пути. Тогда задача об оптимальном движении велосипеда есть в точности субриманова задача (2.5)(2.8) на группе $\operatorname{SE}(2)$.

Будем говорить, что две кривые на плоскости имеют одинаковую форму, если одну из них можно перевести в другую композицией движений и растяжений. Ширина плоской кривой есть нижняя грань расстояний между двумя параллельными прямыми, ограничивающими полосу, содержащую эту кривую.

Теорема 2.13. Оптимальная траектория переднего колеса велосипеда, $\mathbf{b}(t)$, есть либо прямая, либо дуга неинфлексионной эластики ширины не более $2\ell$. Таким образом возникает любая форма неинфлексионной эластики.

Теорема 2.14. Бесконечное движение велосипеда является оптимальным на каждом своем отрезке тогда и только тогда, когда оно имеет один из следующих двух типов:

2.4.11. Группа изометрий и однородные геодезические

Теорема 2.15. Группа изометрий субримановой структуры на $\operatorname{SE}(2)$ есть

$$ \begin{equation*} \operatorname{Isom}(\operatorname{SE}(2))=\operatorname{SE}(2) \rtimes (\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2), \end{equation*} \notag $$
где справа первый сомножитель $\operatorname{SE}(2)$ действует на себе левыми сдвигами, второй сомножитель $\mathbb{Z}_2$ действует на пару $(\mathbf{b},\mathbf{f})$ как отражение плоскости в какой-нибудь оси, а третий сомножитель $\mathbb{Z}_2$ действует как отражение $(\mathbf{b},\mathbf{f}) \mapsto (\mathbf{b},2\mathbf{b}-\mathbf{f})$.

Геодезическая $\gamma$ на субримановом многообразии $M$ называется однородной, если она является однородным пространством некоторой однопараметрической подгруппы в группе изометрий $\operatorname{Isom}(M)$, т. е. существует однопараметрическая подгруппа $\{\varphi_s \mid s \in \mathbb{R}\} \subset \operatorname{Isom}(M)$ такая, что

Субриманово многообразие называется геодезически орбитальным, если все его геодезические однородны.

Теорема 2.16. Однородные геодезические на $\operatorname{SE}(2)$ суть $g(t)=\operatorname{Exp}(\lambda,t)$, $\lambda \in C_4\cup C_5$. Это однопараметрические подгруппы $e^{t X_2}$ и $e^{t X_1}$, они проецируются на плоскость $(x,y)$ соответственно в точку $(0,0)$ и прямую $y=0$.

Поэтому $\operatorname{SE}(2)$ не является геодезически орбитальным пространством.

2.4.12. Библиографические комментарии

Пункты 2.4.12.4.3 опираются на [116], пп. 2.4.42.4.6, 2.4.8, 2.4.9 – на [134], п. 2.4.7 – на [135], пп. 2.4.10 и 2.4.11 – на [12], [140].

Субриманова задача на группе $\operatorname{SE}(2)$ рассматривалась также в работах [2], [12], [39], [111], [142].

2.5. Субриманова задача на группе $\operatorname{SH}(2)$ движений псевдоевклидовой плоскости

2.5.1. Группа $\operatorname{SH}(2)$ движений псевдоевклидовой плоскости

Псевдоевклидова плоскость. Псевдоевклидовой плоскостью называется двумерное вещественное линейное пространство, в котором задана знакопеременная билинейная форма

$$ \begin{equation*} (\mathbf{x},\mathbf{y})=x_1 y_1-x_2 y_2, \qquad \mathbf{x}=(x_1, x_2), \quad \mathbf{y}=(y_1, y_2). \end{equation*} \notag $$
Расстояние $r$ между точками $\mathbf{x}=(x_1,x_2)$ и $\mathbf{y}=(y_1,y_2)$ определяется следующим образом:
$$ \begin{equation*} r^2=(\mathbf{x}-\mathbf{y},\mathbf{x}-\mathbf{y})= (x_1-y_1)^2-(x_2-y_2)^2,\qquad r=\begin{cases} |r| &\text{ при }\ r^2 \geqslant 0, \\ i |r| &\text{ при }\ r^2 < 0. \end{cases} \end{equation*} \notag $$
Множество точек $\mathbf{x}=(x_1,x_2)$, находящихся на нулевом расстоянии от начала координат $(x_1^2-x_2^2=0$), называется световым конусом. Дополнение псевдоевклидовой плоскости до светового конуса распадается на четыре связные компоненты – квадранты ($\operatorname{sign}(x_1-x_2)=\pm 1$, $\operatorname{sign}(x_1+x_2 )=\pm 1$).

Группа Ли $\operatorname{SH}(2)$ и алгебра Ли $\mathfrak{sh}(2)$. Движением псевдоевклидовой плоскости называется ее линейное преобразование, сохраняющее ориентацию, квадранты и расстояние между точками этой плоскости. Группа движений псевдоевклидовой плоскости обозначается $\operatorname{SH}(2)$. Эта группа имеет линейное представление

$$ \begin{equation*} \operatorname{SH}(2)=\left\{\begin{pmatrix} \operatorname{ch} z & \operatorname{sh} z & x \\ \operatorname{sh} z & \operatorname{ch} z & y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\ \bigg|\ x, y, z \in \mathbb{R}\right\}. \end{equation*} \notag $$
Действие движения $g=(x,y,z)$ на точку $\mathbf{a}=(a_1,a_2)$ псевдоевклидовой плоскости вычисляется с помощью матричного произведения:
$$ \begin{equation*} \begin{pmatrix} \operatorname{ch} z & \operatorname{sh} z & x \\ \operatorname{sh} z & \operatorname{ch} z & y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1 \operatorname{ch} z+a_2 \operatorname{sh} z+x \\ a_1 \operatorname{sh} z+a_2 \operatorname{ch} z+y \\ 1 \end{pmatrix}, \end{equation*} \notag $$
т. е. $g \colon (a_1,a_2) \mapsto (a_1 \operatorname{ch} z+a_2 \operatorname{sh} z+x, a_1 \operatorname{sh} z+a_2 \operatorname{ch} z+y)$.

$G=\operatorname{SH}(2)$ есть группа Ли с алгеброй Ли

$$ \begin{equation*} \mathfrak{g}=\mathfrak{sh}(2)= \operatorname{span}(E_{21}+E_{12},E_{13},E_{23}). \end{equation*} \notag $$
Базисные левоинвариантные векторные поля на группе $\operatorname{SH}(2)$ суть
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, X_1&=L_{g*} E_{13}= \operatorname{ch} z\,\frac{\partial}{\partial x}+ \operatorname{sh} z\,\frac{\partial}{\partial y}\,, \\ X_2&=L_{g*} (E_{21}+E_{12})=\frac{\partial}{\partial z}\,, \\ X_3&=L_{g*} E_{23}= \operatorname{sh} z\,\frac{\partial}{\partial x}+ \operatorname{ch} z\,\frac{\partial}{\partial y} \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
с таблицей умножения
$$ \begin{equation} [X_1, X_2]=- X_3, \quad [X_2. X_3]=X_1, \quad [X_1, X_3]=0. \end{equation} \tag{2.15} $$

2.5.2. Субриманова задача на $\operatorname{SH}(2)$

Рассмотрим субриманову задачу на группе $\operatorname{SH}(2)$ с ортонормированным репером $(X_1, X_2)$:

$$ \begin{equation} \dot g=u_1 X_1+u_2 X_2, \quad g \in G=\operatorname{SH}(2), \quad u=(u_1, u_2) \in \mathbb{R}^2, \end{equation} \tag{2.16} $$
$$ \begin{equation} g(0)=g_0=\operatorname{Id}, \quad g(t_1)=g_1, \end{equation} \tag{2.17} $$
$$ \begin{equation} l=\int_0^{t_1} \sqrt{u_1^2 +u_2^2}\,dt \to \min. \end{equation} \tag{2.18} $$

Согласно классификации Аграчева–Барилари [1], это единственная, с точностью до локальных изометрий, неинтегрируемая субриманова задача ранга 2 на группе $\operatorname{SH}(2)$; ей соответствуют инварианты $\chi=-\kappa=1$.

2.5.3. Геодезические

Существование оптимальных управлений в задаче (2.16)(2.18) следует из теорем Рашевского–Чжоу и Филиппова.

Принцип максимума Понтрягина. Анормальные траектории постоянны.

Нормальные экстремали суть проекции траекторий гамильтоновой системы $\dot\lambda=\vec{H}(\lambda)$, $\lambda \in T^*G$, где $H=(h_1^2+h_2^2)/2$, $h_i(\lambda)=\langle \lambda,X_i\rangle$, $i=1,2,3$. В координатах эта система записывается следующим образом:

$$ \begin{equation} \dot{h}_{1} =h_{2}h_{0}, \end{equation} \tag{2.19} $$
$$ \begin{equation} \dot{h}_{2} =-h_{1}h_{0}, \end{equation} \tag{2.20} $$
$$ \begin{equation} \dot{h}_{0} = h_{1}h_{2}, \end{equation} \tag{2.21} $$
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \dot{x}=h_{1} \operatorname{ch} z, \\ \dot{y}=h_{1}\operatorname{sh} z, \\ \dot{z}=h_{2}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
На поверхности уровня $\{H=1/2\}$ в координатах $(\gamma,c)$, где
$$ \begin{equation*} h_1=\cos \frac{\gamma}{2}\,, \quad h_2=\sin \frac{\gamma}{2}\,, \quad c=-2 h_3, \end{equation*} \notag $$
вертикальная подсистема (2.19)(2.21) принимает форму двулистного накрытия маятника
$$ \begin{equation} \dot\gamma=c, \quad \dot c=-\sin \gamma, \qquad (\gamma,c) \in \mathfrak{g}^* \cap \biggl\{H=\frac{1}{2}\biggr\} \simeq (2 S^1_{\gamma}) \times \mathbb{R}_c. \end{equation} \tag{2.22} $$
Первый интеграл этого уравнения – энергия маятника
$$ \begin{equation*} E=\frac{c^2}{2}-\cos \gamma=2 h_3^2-h_1^2+h_2^2 \in [-1,+\infty). \end{equation*} \notag $$

Симплектическое слоение. На коалгебре Ли $\mathfrak{g}^*$ имеется функция Казимира $F=h_1^2-h_3^2$. Симплектическое слоение состоит из

Энергия маятника есть линейная комбинация функции Казимира и гамильтониана: $E=2 H-2 F$.

Стратификация цилиндра $C$ и выпрямляющие координаты. Так как вертикальная подсистема гамильтоновой системы для задачи на $\operatorname{SH}(2)$ – маятник (2.22) – совпадает с таковой системой (2.12) для задачи на $\operatorname{SE}(2)$, то стратификация цилиндра $C$ и выпрямляющие координаты $(\varphi,k)$ для задачи на $\operatorname{SH}(2)$ совпадают с таковыми для задачи на $\operatorname{SE}(2)$ (см. п. 2.4.2).

Параметризация геодезических. Если $\lambda=(\varphi,k) \in C_1$, то $\varphi_t=\varphi+t$ и

$$ \begin{equation*} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{s_{1}}{2}\biggl[\biggl(w+\dfrac{1}{w(1-k^{2})}\biggr) [\operatorname{E}(\varphi)-\operatorname{E}(\varphi_{0})]+ \biggl(\dfrac{k}{w(1-k^{2})}-kw\biggr)[\operatorname{sn}\varphi- \operatorname{sn}\varphi_{0}]\biggr] \\ \dfrac{1}{2}\biggl[\biggl(w-\dfrac{1}{w(1-k^{2})}\biggr) [\operatorname{E}(\varphi)-\operatorname{E}(\varphi_{0})]- \biggl(\dfrac{k}{w(1-k^{2})}+kw\biggr)[\operatorname{sn}\varphi- \operatorname{sn}\varphi_{0}]\biggr] \\ s_{1}\ln[(\operatorname{dn}\varphi-k\operatorname{cn}\varphi)w] \end{pmatrix}, \end{equation*} \notag $$
где $w=1/(\operatorname{dn}\varphi_{0}-k\operatorname{cn}\varphi_{0})$.

Если $\lambda=(\varphi,k) \in C_2$, то $\psi=\varphi/k$, $\psi_t=\varphi_t/k=\psi+t/k$ и

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, x&=\frac{1}{2}\biggl(\frac{1}{w(1-k^{2})}-w\biggr)[\operatorname{E}(\psi)- \operatorname{E}(\psi_{0})-k^{\prime2}(\psi-\psi_{0})] \\ &\qquad+\frac{1}{2}(kw+\frac{k}{w(1-k^{2})}) [\operatorname{sn}\psi-\operatorname{sn}\psi_{0}], \\ y&=-\frac{s_{2}}{2}\biggl(\frac{1}{w(1-k^{2})}+w\biggr) [\operatorname{E}(\psi)-\operatorname{E}(\psi_0)-k^{\prime2}(\psi-\psi_{0})] \\ &\qquad+\frac{s_{2}}{2}\biggl(kw-\frac{k}{w(1-k^{2})}\biggr) [\operatorname{sn}\psi-\operatorname{sn}\psi_{0}], \\ z&=s_{2}\ln[(\operatorname{dn}\psi-k\operatorname{cn}\psi)w], \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $w=1/(\operatorname{dn}\psi_{0}-k\operatorname{cn}\psi_{0})$.

Если $\lambda=(\varphi,k) \in C_3$, $k=1$, то ${\varphi_t}=\varphi+t$ и

$$ \begin{equation*} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{s_{1}}{2}\biggl[\dfrac{1}{w}(\varphi-\varphi_{0})+ w( \operatorname{th} \varphi- \operatorname{th} \varphi_{0})\biggr] \\ \dfrac{s_{2}}{2}\biggl[\dfrac{1}{w}(\varphi-\varphi_{0})- w( \operatorname{th} \varphi- \operatorname{th} \varphi_{0})\biggr] \\ -s_{1}s_{2}\ln(w\operatorname{sech}\varphi) \end{pmatrix}, \end{equation*} \notag $$
где $w= \operatorname{ch} \varphi_{0}$.

Если $\lambda=(\gamma,c) \in C_4$, то

$$ \begin{equation*} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \operatorname{sign}\biggl(\cos\dfrac{\gamma}{2}\biggr)t \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag $$

Если $\lambda=(\gamma,c) \in C_5$, то

$$ \begin{equation*} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \operatorname{sign}\biggl(\sin\dfrac{\gamma}{2}\biggr)t \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag $$

Проекция геодезической на плоскость $(x,y)$ имеет кривизну $ \operatorname{tg} (\gamma/2)/\! \operatorname{ch} ^{3/2}(2z)$. Она имеет точки перегиба при $\sin(\gamma/2)=0$ (если $\lambda \in C_1 \cup C_2 \cup C_3$) и точки возврата при $\cos(\gamma/2)=0$ (если $\lambda \in C_2$).

2.5.4. Симметрии и страты Максвелла

Фазовый портрет маятника (2.22) имеет группу симметрий $\operatorname{Sym}=\{\operatorname{Id},\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^7\}$, описанную в п. 2.4.3. Продолжение этой группы симметрий на прообраз экспоненциального отображения $N=C \times \mathbb{R}_+$ описано в том же пункте. Продолжение этой группы симметрий на образ экспоненциального отображения имеет вид

$$ \begin{equation*} \varepsilon^i \colon g=(x,y,z) \mapsto g^i=\varepsilon^i(g)=(x^i,y^i,z^i), \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, (x^{1},y^{1},z^{1})&=(x \operatorname{ch} z-y\operatorname{sh} z, x\operatorname{sh} z-y \operatorname{ch} z,z), \\ (x^{2},y^{2},z^{2})&=(x \operatorname{ch} z-y\operatorname{sh} z, -x\operatorname{sh} z+y \operatorname{ch} z,-z), \\ (x^{3},y^{3},z^{3})&=(x,-y,-z), \\ (x^{4},y^{4},z^{4})&=(-x,y,-z), \\ (x^{5},y^{5},z^{5})&=(-x \operatorname{ch} z+y\operatorname{sh} z, x\operatorname{sh} z-y \operatorname{ch} z,-z), \\ (x^{6},y^{6},z^{6})&=(-x \operatorname{ch} z+y\operatorname{sh} z, -x\operatorname{sh} z+y \operatorname{ch} z,z), \\ (x^{7},y^{7},z^{7})&=(-x,-y,z). \end{aligned} \end{equation} \tag{2.23} $$

Имеет место предложение, аналогичное предложению 2.3.

Теорема 2.17. Первое время Максвелла, соответствующее группе симметрий $\operatorname{Sym}$, для почти всех геодезических выражается следующим образом:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \lambda\in C_{1} & \ \ \Longrightarrow\ \ t_{\rm Max}^1(\lambda)=4K(k), \\ \lambda\in C_{2} & \ \ \Longrightarrow\ \ t_{\rm Max}^1(\lambda)=4kK(k), \\ \lambda\in C_{3}\cup C_{4}\cup C_{5} & \ \ \Longrightarrow \ \ t_{\rm Max}^1(\lambda)=+\infty. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Справедливо следующее утверждение.

Следствие 2.1. Для любого $\lambda \in C$ первое время Максвелла $t_{\rm Max}^1$ равно периоду колебаний маятника (2.22).

Имеет место теорема, аналогичная теореме 2.8.

2.5.5. Оценки сопряженного времени

Обозначим через $p_1^1(k)\! \in\! (2K,3K)$ первый положительный корень уравнения $\operatorname{cn}p\operatorname{E}(p)- \operatorname{sn}p\operatorname{dn}p=0$.

Теорема 2.18. Если $\lambda \in C_1$, то $4K(k) \leqslant t_{\rm conj}^1(\lambda) \leqslant 2 p_1^1(k)$. Более того,

$$ \begin{equation*} \lim_{k \to+0} t_{\rm conj}^1(\lambda)=2 \pi,\qquad \lim_{k \to 1-0} t_{\rm conj}^1(\lambda)=+\infty. \end{equation*} \notag $$

Теорема 2.19. Если $\lambda \in C_2$, то $4k K(k) \leqslant t_{\rm conj}^1(\lambda) \leqslant 2 k p_1^1(k)$. Более того,

$$ \begin{equation*} \lim_{k \to+0} t_{\rm conj}^1(\lambda)=0,\qquad \lim_{k \to 1-0} t_{\rm conj}^1(\lambda)=+\infty. \end{equation*} \notag $$

Теорема 2.20. Если $\lambda \in C_4$, то $t_{\rm conj}^1(\lambda)=2\pi$.

Если $\lambda \in C_3 \cup C_5$, то $t_{\rm conj}^1(\lambda)=+\infty$.

Теорема 2.21. Нижние оценки для $t_{\rm conj}^1(\lambda)$ при $\lambda \in C_1 \cup C_2$, приведенные в теоремах 2.18 и 2.19, точны:

2.5.6. Время разреза

Теорема 2.22. Для любого $\lambda \in C$

$$ \begin{equation*} t_{\rm cut}(\lambda)=\min\bigl(t_{\rm Max}^1(\lambda),t_{\rm conj}^1(\lambda)\bigr)= \begin{cases} 4K(k), & \lambda \in C_1, \\ 4k K(k), & \lambda \in C_2, \\ 2\pi, & \lambda \in C_4, \\ +\infty, & \lambda \in C_3 \cup C_5. \end{cases} \end{equation*} \notag $$

Теорема 2.23. (1) Функция $t_{\rm cut}\colon C\to (0,+\infty]$ зависит только от энергии $E$ маятника (2.22).

(2) Функция $t_{\rm cut}$ инвариантна относительно вертикальной компоненты гамильтонова поля $\vec{H}_v$ и симметрий $\varepsilon^i \in \operatorname{Sym}$.

(3) Функция $t_{\rm cut}$ является непрерывной на $C$ и гладкой на $C_1 \cup C_2$.

(4) $\lim_{E \to-1}t_{\rm cut}=2 \pi$, $\lim_{E \to 1}t_{\rm cut}=+ \infty$, $\lim_{E \to+\infty} t_{\rm cut}=0$.

2.5.7. Диффеоморфная структура экспоненциального отображения

Рассмотрим открытое всюду плотное подмножество в $G$, не содержащее первых точек Максвелла:

$$ \begin{equation*} \widetilde{G}=\{g \in G \mid z \ne 0\}, \end{equation*} \notag $$
и его разбиение на компоненты связности:
$$ \begin{equation*} \widetilde{G}=G_1 \sqcup G_2, \qquad G_1=\{g \in G \mid z > 0\}, \quad G_2=\{g \in G \mid z < 0\}. \end{equation*} \notag $$
Также рассмотрим открытое плотное подмножество в пространстве всех потенциально оптимальных геодезических:
$$ \begin{equation*} \widetilde N=\biggl\{(\lambda,t) \in \bigcup_{i=1}^3 N_1 \cup N_5 \Bigm| t < t_{\rm cut}(\lambda), \ \sin\frac{\gamma_{t/2}}{2} \ne 0 \biggr\} \end{equation*} \notag $$
и его разбиение на компоненты связности:
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \widetilde N=D_1 \sqcup D_2, \\ D_1=\biggl\{(\lambda,t) \in \widetilde N \Bigm| \sin\frac{\gamma_{t/2}}{2} > 0 \biggr\}, \\ D_2=\biggl\{(\lambda,t) \in \widetilde N \Bigm| \sin\frac{\gamma_{t/2}}{2} < 0\biggr\}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Теорема 2.24. Отображения

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \operatorname{Exp}\colon D_i &\to G_i, \qquad i=1, 2, \\ \operatorname{Exp}\colon \widetilde N &\to \widetilde{G} \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
суть диффеоморфизмы.

2.5.8. Множество разреза

Теорема 2.25. Множество разреза $\operatorname{Cut}$ содержится в плоскости $\{z=0\}$. Имеет место разбиение на связные компоненты:

$$ \begin{equation*} \operatorname{Cut}=\operatorname{Cut}_{\rm loc}^+ \sqcup \operatorname{Cut}_{\rm loc}^- \sqcup \operatorname{Cut}_{\rm glob}^+ \sqcup \operatorname{Cut}_{\rm glob}^-, \end{equation*} \notag $$
где Компоненты связности $\operatorname{Cut}_{\rm loc}^{\pm}$ содержат в своем замыкании начальную точку $\operatorname{Id}$, а компоненты $\operatorname{Cut}_{\rm glob}^{\pm}$ – нет.

Множество разреза изображено на рис. 11. На рис. 12 изображено множество разреза и первая каустика $\operatorname{Conj}^1$.

2.5.9. Сферы

Субримановы сферы $S_R$, $R > 0$, гомеоморфны двумерной евклидовой сфере (см. сферу $S_{\pi}$ на рис. 13 и сферу $S_{2 \pi}$ на рис. 14).

Сферы имеют особенности при пересечении с множеством разреза (см. пересечение $\operatorname{Cut}$ и $S_{\pi} \cap \{z < 0\}$ на рис. 15 и пересечение $\operatorname{Cut}$ и $S_{2\pi} \cap \{z < 0\}$ на рис. 16).

2.5.10. Структура оптимального синтеза

Теорема 2.26. (1) Для любой точки $g_1 \in \operatorname{Cut} \setminus \operatorname{Conj}^1=\operatorname{int}_{\{z=0\}} \operatorname{Cut}$ существуют ровно две кратчайшие, соединяющие точки $\operatorname{Id}$ и $g_1$, причем для этих кратчайших $g_1$ есть точка разреза и точка Максвелла, но не сопряженная точка.

(2) Для любой точки $g_1 \in \operatorname{Cut} \mathop{\cap} \operatorname{Conj}^1= (\partial_{\{z=0\}} \operatorname{Cut}) \setminus \{\operatorname{Id}\}$ существует единственная кратчайшая, соединяющая точки $\operatorname{Id}$ и $g_1$, причем для этой кратчайшей $g_1$ есть точка разреза и сопряженная точка, но не точка Максвелла.

(3) Для любой точки $g_1 \in G \setminus(\operatorname{Cut} \cup \operatorname{Id})$ существует единственная кратчайшая, соединяющая точки $\operatorname{Id}$ и $g_1$, причем для этой кратчайшей $g_1$ не является ни точка разреза, ни сопряженной точкой, ни точкой Максвелла.

2.5.11. Метрические прямые

Метрические прямые, проходящие через единичный элемент $\operatorname{Id}$, суть

$$ \begin{equation*} g(t)=\operatorname{Exp}(\lambda,t), \qquad t \in \mathbb{R}, \quad \lambda \in C_3 \cup C_5. \end{equation*} \notag $$

2.5.12. Библиографические комментарии

Пункт 2.5.1 опирается на монографию [159], пп. 2.5.2, 2.5.3 – на [58], пп. 2.5.4, 2.5.5 – на [59], пп. 2.5.62.5.11 – на [60].

2.6. Задача Эйлера об эластиках

2.6.1. История задачи

В 1691 г. Я. Бернулли рассмотрел задачу о форме однородного плоского упругого стержня, сжимаемого внешней силой. Он вывел уравнения для упругого стержня, закрепленного вертикально в горизонтальной стене и согнутого силой, направляющей его верхний конец горизонтально (прямоугольная эластика):

$$ \begin{equation*} dy=\frac{x^2\,d x}{\sqrt{1-x^4}}\,, \quad ds=\frac{d x}{\sqrt{1-x^4}}\,, \qquad x \in [0,1), \end{equation*} \notag $$
где $(x,y)$ есть упругий стержень, а $s$ – его параметр длины (стержень отклоняется по горизонтали на расстояние 1). Я. Бернулли проинтегрировал эти дифференциальные уравнения в рядах и получил двусторонние оценки их решения в конечной точке $x=1$ [44].

В 1742 г. Д. Бернулли в своем письме [43] к Эйлеру написал, что упругая энергия стержня пропорциональна величине $J=\displaystyle\int\dfrac{ds}{R^2}$, где $R$ – радиус кривизны стержня, и предложил отыскивать форму упругого стержня из вариационного принципа $J \to \min$. В это время Эйлер писал свой трактат по вариационному исчислению [70] (опубликованный в 1744 г.); он снабдил свою книгу приложением “De curvis elasticis”, в котором применил только что разработанные методы к задаче об упругих стержнях. Эйлер рассмотрел тонкую однородную упругую пластину, прямолинейную в естественном (не напряженном) состоянии. Он поставил следующую задачу для профиля пластины:

… среди всех кривых одной и той же длины, которые не только проходят через $A$ и $B$, но и касаются в этих точках прямых, заданных по положению, определить ту, для которой значение выражения $\displaystyle\int_A^B\dfrac{ds}{R^2}$ будет наименьшим”.

Эйлер написал уравнение, известное сейчас как уравнение Эйлера–Лагранжа, для соответствующей вариационной задачи и свел его к уравнениям

$$ \begin{equation*} dy=\frac{(\alpha+\beta x+\gamma x^2)\, dx} {\sqrt{a^4 -(\alpha+\beta x+\gamma x^2)^2}}\,,\qquad ds=\frac{a^2\,dx}{\sqrt{a^4-(\alpha+\beta x+\gamma x^2)^2}}\,, \end{equation*} \notag $$
параметры которых выражаются через упругие характеристики и длину стержня, а также величину нагрузки. Говоря современным языком, Эйлер исследовал качественное поведение эллиптических функций, параметризующих упругие кривые, с помощью качественного анализа определяющих их уравнений. После работы Эйлера кривые, представляющие форму однородного плоского стержня, стали называть эластиками Эйлера. Эйлер описал все типы эластик и указал значения параметров, для которых эти типы реализуются. Он разделил все эластики на девять классов (см. рис. 1925 далее): Эластики типов (ii)–(vi), имеющие точки перегиба, называются инфлексионными, эластика типа (vii) называется критической, а эластики типа (viii) без точек перегиба называются неинфлексионными. Семейство всех эластик изображено на рис. 17.

Первая явная параметризация эластик Эйлера была получена Л. Заалшютцем в 1880 г. [122].

В 1906 г. будущий нобелевский лауреат Макс Борн защитил диссертацию “Устойчивость упругих кривых на плоскости и в пространстве” [51]. Он рассмотрел задачу об эластиках методами вариационного исчисления и вывел из уравнения Эйлера–Лагранжа уравнения

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \dot x=\cos \theta, \quad \dot y=\sin \theta, \\ A \ddot \theta+R \sin (\theta-\gamma)=0,\quad A,R,\gamma=\operatorname{const}, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
т. е. угол $\theta$ наклона эластик удовлетворяет уравнению математического маятника. Далее, Борн изучил устойчивость эластик с закрепленными концами и касательными на концах. Он доказал, что дуга эластики без точек перегиба устойчива (в этом случае угол $\theta$ монотонен и может быть выбран параметром на эластике; Борн показал, что вторая вариация функционала упругой энергии $J=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \dot\theta^2\,dt$ положительна). В общем случае он записал якобиан, обращающийся в нуль в сопряженных точках. В силу сложности функций, входящих в якобиан, Борн ограничился численным исследованием сопряженных точек. Он первым численно построил чертежи эластик и проверил теоретические результаты с помощью экспериментов с упругими стержнями. Более того, им была исследована устойчивость эластик с различными другими граничными условиями и получены некоторые результаты для трехмерных упругих кривых.

В 1993 г. эластики Эйлера были обнаружены В. Джурджевичем [86] в задаче о качении шара по плоскости без прокручивания и проскальзывания (см. раздел 2.8) и Р. Брокеттом и Л. Даи [56] в субримановой задаче на группе Картана (см. раздел 2.10). Эластики Эйлера также удивительным образом появляются в плоской субримановой задаче Мартине (см. раздел 2.3), субримановых задачах на группах $\operatorname{SE}(2)$ (см. раздел 2.4) и на группе Энгеля (см. раздел 2.9). Было бы интересно понять, почему эластики Эйлера появляются в стольких задачах оптимального управления.

В дальнейшем задача Эйлера об эластиках исследовалась в работах [18], [111], [129]–[131], [133], [136], [137], на которые опирается изложение в этом разделе.

2.6.2. Постановка задачи

Механическая постановка. Пусть однородный упругий стержень на плоскости $\mathbb{R}^2$ имеет длину $l > 0$. Выберем любые точки $a_0, a_1 \in \mathbb{R}^2$ и произвольные единичные касательные векторы $v_i \in T_{a_i} \mathbb{R}^2$, $|v_i|=1$, $i=0,1$. Задача заключается в том, чтобы найти профиль стержня $\gamma\colon[0,l]\to\mathbb{R}^2$, $|\dot \gamma(s)| \equiv 1$, выходящего из точки $a_0$ и приходящего в точку $a_1$ с соответствующими касательными векторами $v_0$ и $v_1$:

$$ \begin{equation*} \begin{alignedat}{2} \gamma(0)&=a_0, &\qquad \gamma(l)&=a_1, \\ \dot\gamma(0)&=v_0, &\qquad \dot\gamma(l)&=v_1, \end{alignedat} \end{equation*} \notag $$
с минимальной упругой энергией
$$ \begin{equation*} J=\frac{1}{2} \int_0^l k^2(s)\,ds \to \min, \end{equation*} \notag $$
где $k(s)$ – кривизна кривой $\gamma(s)$.

Задача оптимального управления. Выберем на плоскости $\mathbb{R}^2$ декартовы координаты $(x,y)$. Будем обозначать параметр длины $s$ на кривой $\gamma$ через $t$, и пусть $t_1=l$. Искомая кривая имеет параметризацию $\gamma(t)=(x(t),y(t))$, $t \in [0,t_1]$, а ее граничные точки имеют координаты $a_i=(x_i,y_i)$, $i=0,1$. Обозначим через $\theta(t)$ угол между касательным вектором $\dot\gamma(t)$ и положительным направлением оси $x$. Наконец, пусть касательные векторы в граничных точках кривой $\gamma$ имеют координаты $v_i=(\cos\theta_i,\sin\theta_i)$, $i=0,1$ (см. рис. 18).

Тогда искомая кривая $\gamma(t)=(x(t),y(t))$ есть проекция траектории следующей управляемой системы:

$$ \begin{equation} \dot x =\cos \theta, \end{equation} \tag{2.24} $$
$$ \begin{equation} \dot y =\sin \theta, \end{equation} \tag{2.25} $$
$$ \begin{equation} \dot \theta =u, \end{equation} \tag{2.26} $$
$$ \begin{equation} g =(x,y,\theta) \in M=\mathbb{R}^2_{x,y} \times S^1_{\theta},\quad u \in \mathbb{R}, \end{equation} \tag{2.27} $$
$$ \begin{equation} g(0) =g_0=(x_0,y_0,\theta_0), \quad g(t_1)=g_1=(x_1,y_1,\theta_1), \quad t_1 \text{ фиксировано}. \end{equation} \tag{2.28} $$
Для натурально параметризованной кривой $\gamma$ кривизна равна угловой скорости: $k=\dot \theta=u$, откуда получаем функционал качества
$$ \begin{equation} J=\frac{1}{2} \int_0^{t_1} u^2(t) \, dt\to \min\!. \end{equation} \tag{2.29} $$
Естественный класс допустимых управлений для задачи (2.24)(2.29) есть $u(\,\cdot\,) \in L^2[0, t_1]$, поэтому допустимая траектория есть $g(\,\cdot\,) \in W^{1,2}([0,t_1], M)$.

В векторных обозначениях задача принимает вид

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \dot g=X_1(g)+u X_2(g),\quad g \in M=\mathbb{R}^2 \times S^1,\quad u \in \mathbb{R}, \\ \notag g(0)=g_0, \quad g(t_1)=g_1, \quad t_1 \text{ фиксировано}, \\ \notag J=\frac{1}{2} \int_0^{t_1} u^2\,dt \to \min, \quad u \in L^2[0,t_1], \end{gathered} \end{equation} \tag{2.30} $$
где векторные поля в правой части системы (2.30) суть
$$ \begin{equation*} X_1=\cos \theta\,\frac{\partial}{\partial x}+ \sin \theta\,\frac{\partial}{\partial y}\,, \quad X_2=\frac{\partial}{\partial \theta}\,. \end{equation*} \notag $$
Пространство состояний $M=\mathbb{R}^2 \times S^1$ имеет естественную структуру группы движений плоскости $G=\mathbb{R}^2 \ltimes \operatorname{SO}(2)$ (см. раздел 2.4). При этом векторные поля $X_1$, $X_2$ становятся левоинвариантными полями на группе Ли $G$. Таблица умножения в алгебре Ли $\mathfrak{g}=\mathfrak{se}(2)$ приведена в (2.10).

Таким образом, задача Эйлера об эластиках (2.24)(2.29) есть левоинвариантная задача оптимального управления на группе $\operatorname{SE}(2)$. Поэтому можно считать, что $g_0=\operatorname{Id}=(0,0,0)$.

2.6.3. Множество достижимости

Теорема 2.27. Множество достижимости системы (2.30) из точки $\operatorname{Id}=(0,0,0)$ за время $t_1 > 0$ есть

$$ \begin{equation*} \mathcal{A}(t_1)=\{(x,y,\theta) \in G \mid x^2+y^2 < t_1^2 \textit{ или } (x,y,\theta)=(t_1,0,0)\}. \end{equation*} \notag $$

Топологически множество достижимости $\mathcal{A}(t_1)$ есть открытый полноторий (внутренность тора) с одной точкой на границе. Будем далее рассматривать задачу об эластиках при естественном условии управляемости: $g_1 \in \mathcal{A}(t_1)$.

2.6.4. Существование и ограниченность оптимальных управлений

Теорема 2.28. Пусть $g_1 \in \mathcal{A}(t_1)$. Тогда существует оптимальное управление $u \in L^2[0, t_1]$. Более того, $u \in L^{\infty}[0, t_1]$. Поэтому оптимальное управление удовлетворяет принципу максимума Понтрягина.

2.6.5. Экстремали

Анормальные траектории. Проходящая через точку $\operatorname{Id}$ натурально параметризованная анормальная траектория есть $(x,y,\theta)\!=\!(t,0,0)$, $t \in [0,t_1]$. Она проецируется на плоскость $(x,y)$ в отрезок – это упругий стержень в отсутствие внешних сил. Упругая энергия в этом случае достигает абсолютного минимума $J=0$, поэтому анормальная траектория оптимальна. Именно эта траектория приходит в единственную точку $(t_1,0,0)$ на границе множества достижимости $\mathcal{A}(t_1)$. Анормальная траектория одновременно нормальна.

Нормальные экстремали. Нормальные экстремали удовлетворяют гамильтоновой системе

$$ \begin{equation*} \dot \lambda=\vec{H}(\lambda),\qquad \lambda \in T^*G, \end{equation*} \notag $$
где $H=h_1+h_2^2/2$, $h_i(\lambda)=\langle \lambda,X_i\rangle$, $i=1,2,3$. В координатах эта система имеет вид
$$ \begin{equation} \dot h_1=- h_2h_3, \quad \dot h_2=h_3, \quad \dot h_3=h_1h_2, \end{equation} \tag{2.31} $$
$$ \begin{equation} \dot g=X_1+h_2 X_2. \end{equation} \tag{2.32} $$
Вертикальная подсистема (2.31) имеет интеграл – функцию Казимира $F=h_1^2+h_3^2$.

Введем координаты

$$ \begin{equation*} c=h_2, \quad h_1=- r \cos \gamma, \quad h_2=- r \sin \gamma, \end{equation*} \notag $$
в которых вертикальная подсистема (2.31) принимает форму математического маятника
$$ \begin{equation} \dot \gamma=c, \quad \dot c=-r \sin \gamma, \qquad c \in \mathbb{R}, \quad \gamma \in S^1, \quad r \equiv \operatorname{const} \geqslant 0, \end{equation} \tag{2.33} $$
известного как кинетический аналог Кирхгофа для эластик. Полная энергия маятника есть
$$ \begin{equation*} E=H=\frac{c^2}{2}-r \cos \gamma \in [-r,+\infty). \end{equation*} \notag $$

Стратификация прообраза экспоненциального отображения и выпрямляющие координаты. Экспоненциальное отображение за время $t_1 > 0$ в задаче об эластиках есть

$$ \begin{equation*} \operatorname{Exp}_{t_1}\colon N=\mathfrak{g}^*\to G, \qquad \lambda \mapsto \pi \circ e^{t_1 \vec{H}}(\lambda), \end{equation*} \notag $$
где $\pi\colon T^*G \to G$ – каноническая проекция.

Прообраз экспоненциального отображения $N=\mathfrak{g}^*$ разбивается на инвариантные многообразия гамильтонова поля $\vec{H}$ критическими множествами энергии $E=H$:

$$ \begin{equation*} N=\bigsqcup_{i=1}^7 N_i, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, N_1&=\{\lambda \in N \mid r \ne 0, \ E \in (-r, r)\}, \\ N_2&=\{\lambda \in N \mid r \ne 0, \ E \in (r,+\infty)\}, \\ N_3&=\{\lambda \in N \mid r \ne 0, \ E=r, \ \gamma \ne \pi\}, \\ N_4&=\{\lambda \in N \mid r \ne 0, \ E =-r \}, \\ N_5&=\{\lambda \in N \mid r \ne 0, \ E =r, \ \gamma=\pi\}, \\ N_6&=\{\lambda \in N \mid r=0, \ c \ne 0 \}, \\ N_7&=\{\lambda \in N \mid r=c=0\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
На множествах $N_1$, $N_2$, $N_3$ введем координаты $(\varphi,k,r)$ следующим образом:
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \lambda&=(\gamma,c,r) \in N_1 \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} \sin \dfrac{\gamma}{2}=k \operatorname{sn}(\sqrt{r}\,\varphi,k), \\ \dfrac{c}{2}=k \sqrt{r}\,\operatorname{cn}(\sqrt{r}\,\varphi,k), \\ \cos \dfrac{\gamma}{2}=\operatorname{dn}(\sqrt{r}\,\varphi,k), \end{cases} \\ &\qquad k=\sqrt{\dfrac{E+r}{2r}} \in (0,1), \quad \sqrt{r}\,\varphi\ \operatorname{mod}{4K(k)} \in [0,4K(k)]; \\ \lambda&=(\gamma,c,r) \in N_2 \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} \sin \dfrac{\gamma}{2}=\pm \operatorname{sn} \biggl(\dfrac{\sqrt{r}\,\varphi}{k}\,,k\biggr), \\ \dfrac{c}{2}=\pm \dfrac{\sqrt{r}}{k} \operatorname{dn}\biggl(\dfrac{\sqrt{r}\,\varphi}{k}\,,k\biggr), \\ \cos \dfrac{\gamma}{2}=\operatorname{cn} \biggl(\dfrac{\sqrt{r}\,\varphi}{k}\,,k\biggr), \end{cases} \\ &\qquad k=\sqrt{\frac{2 r}{E+r}} \in (0,1), \quad \sqrt{r}\, \varphi\ \operatorname{mod}{2K(k)k} \in [0,2K(k)k], \quad \pm=\operatorname{sign} c; \\ \lambda&=(\gamma,c,r) \in N_3 \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} \sin \dfrac{\gamma}{2}=\pm \operatorname{th} (\sqrt{r}\,\varphi), \\ \dfrac{c}{2}=\pm \dfrac{\sqrt{r}}{ \operatorname{ch} (\sqrt{r}\,\varphi)}\,, \\ \cos \dfrac{\gamma}{2}=\dfrac{1}{ \operatorname{ch} (\sqrt{r}\,\varphi)}\,, \end{cases} \\ &\qquad k=1, \quad \varphi \in \mathbb{R}, \quad \pm=\operatorname{sign} c. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Параметризация экстремалей. В области $N_1 \cap N_2 \cup N_3$ уравнение маятника выпрямляется:

$$ \begin{equation*} \dot \varphi=1, \quad \dot k=\dot r=0, \end{equation*} \notag $$
и поэтому имеет решения
$$ \begin{equation*} \varphi_t=\varphi+t, \quad k,r \equiv \operatorname{const}. \end{equation*} \notag $$
В исходных координатах $(\gamma,c)$ уравнение маятника (2.33) имеет решения:
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \lambda \in N_1 &\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} \sin \dfrac{\gamma_t}{2}=k_1 \operatorname{sn}(\sqrt{r}\,\varphi_t), \\ \cos \dfrac{\gamma_t}{2}=\operatorname{dn}(\sqrt{r}\,\varphi_t), \\ \dfrac{c_t}{2}=k \sqrt{r}\,\operatorname{cn}(\sqrt{r}\,\varphi_t); \end{cases} \\ \lambda \in N_2 &\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} \sin \dfrac{\gamma_t}{2}=\pm \operatorname{sn} \biggl(\dfrac{\sqrt{r}\,\varphi_t}{k}\biggr), \\ \cos \dfrac{\gamma_t}{2}=\operatorname{cn} \biggl(\dfrac{\sqrt{r}\,\varphi_t}{k}\biggr), \\ \dfrac{c_t}{2}=\pm \dfrac{\sqrt{r}}{k} \operatorname{dn} \biggl(\dfrac{\sqrt{r}\,\varphi_t}{k}\biggr), \end{cases} \qquad \pm=\operatorname{sign}c; \\ \lambda \in N_3 &\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} \sin\dfrac{\gamma_t}{2}=\pm \operatorname{th} (\sqrt{r}\,\varphi_t), \\ \cos \dfrac{\gamma_t}{2}=\dfrac{1}{ \operatorname{ch} (\sqrt{r}\,\varphi_t)}\,, \\ \dfrac{c_t}{2}=\pm\dfrac{\sqrt{r}}{ \operatorname{ch} (\sqrt{r}\,\varphi_t)}, \end{cases} \qquad \pm=\operatorname{sign}c. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
В вырожденных случаях $\bigcup\limits_{i=4}^7 N_i$ уравнение маятника (2.33) интегрируется в элементарных функциях:
$$ \begin{equation*} \begin{alignedat}{2} \lambda \in N_4 &\quad\Longrightarrow\quad \gamma_t \equiv 0, &\qquad c_t &\equiv 0; \\ \lambda \in N_5 &\quad\Longrightarrow\quad \gamma_t \equiv \pi, &\qquad c_t &\equiv 0; \\ \lambda \in N_6 & \quad\Longrightarrow\quad \gamma_t=c t+\gamma, &\qquad c_t &\equiv c; \\ \lambda \in N_7 &\quad\Longrightarrow\quad c_t \equiv 0, &\qquad r &\equiv 0. \end{alignedat} \end{equation*} \notag $$

Параметризация решений горизонтальной подсистемы (2.32) имеет следующий вид.

Если $\lambda \in N_1$, то

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \sin \frac{\theta_t}{2} &= k \operatorname{dn}(\sqrt{r}\,\varphi) \operatorname{sn}(\sqrt{r}\,\varphi_t)-k\operatorname{sn}(\sqrt{r}\,\varphi) \operatorname{dn}(\sqrt{r}\,\varphi_t), \\ \cos \frac{\theta_t}{2} &= \operatorname{dn}(\sqrt{r}\,\varphi) \operatorname{dn}(\sqrt{r}\,\varphi_t)+k^2\operatorname{sn}(\sqrt{r}\,\varphi) \operatorname{sn} (\sqrt{r}\,\varphi_t), \\ x_t &= \frac{2}{\sqrt r} \operatorname{dn}^2 (\sqrt r\,\varphi) \bigl(\operatorname{E}(\sqrt r\,\varphi_t)- \operatorname{E}(\sqrt r\,\varphi)\bigr) \\ &\qquad+\frac{4k^2}{\sqrt r}\operatorname{dn}(\sqrt{r}\,\varphi) \operatorname{sn}(\sqrt{r}\,\varphi) \bigl(\operatorname{cn}(\sqrt{r}\,\varphi)- \operatorname{cn} (\sqrt{r}\,\varphi_t)\bigr) \\ &\qquad+\frac{2k^2 }{\sqrt r} \operatorname{sn}^2(\sqrt{r}\,\varphi) \bigl(\sqrt r\,t+\operatorname{E}(\sqrt r\,\varphi)- \operatorname{E}(\sqrt r\,\varphi_t)\bigr)-t, \\ y_t &= \frac{2k}{\sqrt r}(2 \operatorname{dn}^2(\sqrt{r}\,\varphi)-1) \bigl(\operatorname{cn}(\sqrt{r}\,\varphi)- \operatorname{cn}(\sqrt{r}\,\varphi_t)\bigr) \\ &\qquad-\frac{2k}{\sqrt r}\operatorname{sn}(\sqrt{r}\,\varphi) \operatorname{dn}(\sqrt{r}\,\varphi) \bigl[2\bigl(\operatorname{E}(\sqrt r\,\varphi_t)- \operatorname{E}(\sqrt r\,\varphi)\bigr)-\sqrt r\,t\bigr]. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Если $\lambda \in N_2$, то

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \sin \frac{\theta_t}{2} &=\pm\bigl(\operatorname{cn}(\sqrt r\,\psi) \operatorname{sn}(\sqrt r\,\psi_t)-\operatorname{sn}(\sqrt r\,\psi) \operatorname{cn}(\sqrt r\,\psi_t)\bigr), \\ \cos \frac{\theta_t}{2} &=\operatorname{cn}(\sqrt r\,\psi) \operatorname{cn}(\sqrt r\,\psi_t)+\operatorname{sn}(\sqrt r\,\psi) \operatorname{sn}(\sqrt r\,\psi_t), \\ x_t &= \frac{1}{\sqrt r}\bigl(1-2 \operatorname{sn}^2(\sqrt r\,\psi)\bigr) \biggl[\frac{2}{k}\bigl(\operatorname{E}(\sqrt r\,\psi_t)- \operatorname{E}(\sqrt r\,\psi)\bigr)-\frac{2-k^2}{k^2}\sqrt r\,t\biggr] \\ &\qquad+ \frac{4}{k \sqrt r} \operatorname{cn}(\sqrt r\,\psi) \operatorname{sn}(\sqrt r\,\psi)\bigl(\operatorname{dn}(\sqrt r\,\psi)- \operatorname{dn}(\sqrt r\,\psi_t)\bigr), \\ y_t &= \pm \biggl(\frac{2}{k\sqrt r} \bigl(2\operatorname{cn}^2(\sqrt r\,\psi)-1\bigr) \bigl(\operatorname{dn}(\sqrt r\,\psi)-\operatorname{dn}(\sqrt r\,\psi_t)\bigr) \\ &\qquad- \frac{2}{\sqrt r} \operatorname{sn}(\sqrt r\,\psi) \operatorname{cn}(\sqrt r\,\psi)\biggl[\frac{2}{k} \bigl(\operatorname{E}(\sqrt r\,\psi_t)-\operatorname{E}(\sqrt r\,\psi)\bigr)- \frac{2-k^2}{k^2}\sqrt r\,t\biggr]\biggr). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $\pm=\operatorname{sign} c$, $\psi_t=\varphi_t/k=(\varphi+t)/k$.

Если $\lambda \in N_3$, то

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \sin \frac{\theta_t}{2} &= \pm \biggl(\frac{ \operatorname{th} (\sqrt r\,\varphi_t)}{ \operatorname{ch} (\sqrt r\,\varphi)}- \frac{ \operatorname{th} (\sqrt r\,\varphi)} { \operatorname{ch} (\sqrt r\,\varphi_t)}\biggr), \\ \cos \frac{\theta_t}{2} &= \frac{1}{ \operatorname{ch} (\sqrt r\,\varphi) \operatorname{ch} (\sqrt r\,\varphi_t)}+ \operatorname{th} (\sqrt r\,\varphi) \operatorname{th} (\sqrt r\,\varphi_t), \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, x_t &=(1-2 \operatorname{th} ^2(\sqrt r\,\varphi)) t +\frac{4 \operatorname{th} (\sqrt r\,\varphi)} {\sqrt r\, \operatorname{ch} (\sqrt r\,\varphi)} \biggl(\frac{1}{ \operatorname{ch} (\sqrt r\,\varphi)} -\frac{1}{ \operatorname{ch} (\sqrt r\,\varphi_t)}\biggr), \\ y_t &=\pm\biggl[\frac{2}{\sqrt r} \biggl(\frac{2}{ \operatorname{ch} ^2(\sqrt r\,\varphi)}-1\biggr) \biggl(\frac{1}{ \operatorname{ch} (\sqrt r\,\varphi)} -\frac{1}{ \operatorname{ch} (\sqrt r\,\varphi_t)}\biggr)\biggr. -2\,\frac{ \operatorname{th} (\sqrt r\,\varphi)} { \operatorname{ch} (\sqrt r\,\varphi)}\,t \biggr]. \end{aligned} \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
где $\pm=\operatorname{sign} c$.

Если $\lambda \in N_4 \cup N_5 \cup N_7$, то

$$ \begin{equation*} \theta_t=0, \quad x_t=t, \quad y_t=0. \end{equation*} \notag $$

Если $\lambda \in N_6$, то

$$ \begin{equation*} \theta_t=ct, \quad x_t=\frac{\sin (ct)}{c}\,, \quad y_t=\frac{1-\cos (ct)}{c}\,. \end{equation*} \notag $$

Эластики Эйлера. Проекции экстремальных траекторий на плоскость $(x,y)$ суть эйлеровы эластики. Эти кривые удовлетворяют уравнениям

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \dot x=\cos \theta, \quad \dot y=\sin \theta, \notag \\ \ddot \theta=-r \sin(\theta-\gamma), \qquad r,\gamma \equiv \operatorname{const}. \end{gathered} \end{equation} \tag{2.34} $$
В зависимости от значения энергии маятника $E=\dot\theta^2/2-r \cos(\theta-\gamma) \in [-r,+\infty)$ и функции Казимира $r \geqslant 0$, эластики имеют разные качественные типы, открытые Эйлером.

Если энергия $E$ принимает минимальное значение $-r < 0$, т. е. $\lambda \in N_4$, то эластика $(x_t,y_t)$ есть прямая. Соответствующее движение маятника (2.34) (кинетический аналог Кирхгофа) есть устойчивое положение равновесия.

Если $E \in (-r,r)$, $r > 0$, т. е. $\lambda \in N_1$, то маятник (2.34) колеблется между экстремальными значениями угла и угловая скорость $\dot\theta$ меняет знак. Соответствующие эластики имеют точки перегиба при $\dot \theta=0$ и вершины при $|\dot\theta|=\max$, так как $\dot \theta$ есть кривизна эластики. Такие эластики называются инфлексионными (см. рис. 1923). Разные случаи на этих рисунках определяются значениями модуля эллиптических функций $k=\sqrt{E+r}/(2r) \in (0,1)$:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, k \in \biggl(0,\frac{1}{\sqrt 2}\biggr) &\quad\Longrightarrow\quad \text{рис. 19}, \\ k=\frac{1}{\sqrt 2} &\quad\Longrightarrow\quad \text{рис. 20}, \\ k \in \biggl(\frac{1}{\sqrt 2}\,,k_0\biggr) &\quad\Longrightarrow\quad \text{рис. 21}, \\ k=k_0 &\quad\Longrightarrow\quad \text{рис. 22}, \\ k \in \biggl(k_0,1\biggr) &\quad\Longrightarrow\quad \text{рис. 23}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Значение $k=1/\sqrt 2$ соответствует прямоугольной эластике, исследованной Я. Бернулли (см. п. 2.6.1); рис. 20. Значение $k \approx 0.909$ соответствует периодической эластике в форме восьмерки; см. рис. 22. Как отмечал Эйлер, при $k \to 0$ инфлексионные эластики похожи на синусоиды, что соответствует гармоническому осциллятору $\ddot \theta=- r (\theta-\gamma)$ как кинетическому аналогу Кирхгофа; см. рис. 19.

Если $E=r > 0$ и $\theta-\gamma \ne \pi$, т. е. $\lambda \in N_3$, то маятник (2.34) стремится к неустойчивому положению равновесия ($\theta-\gamma=\pi$, $\dot \theta=0$) вдоль сепаратрисы седла, а соответствующая критическая эластика (“солитон Эйлера”) имеет одну петлю; см. рис. 24.

Если $E=r > 0$ и $\theta-\gamma=\pi$, т. е. $\lambda \in N_5$, то маятник (2.34) находится в неустойчивом положении равновесия ($\theta-\gamma=\pi$, $\dot \theta=0$) и эластика есть прямая.

Если $E > r > 0$, т. е. $\lambda \in N_2$, то кинетический аналог Кирхгофа есть маятник (2.34), вращающийся против часовой стрелки ($\dot \theta > 0$) или по часовой стрелке ($\dot \theta < 0$). Соответствующие эластики имеют ненулевую кривизну $\dot \theta$, не имеют точек перегиба и называются неинфлексионными; см. рис. 25.

Если $r=0$ и $\dot \theta \ne 0$, т. е. $\lambda \in N_6$, то маятник (2.34) равномерно вращается в невесомости и соответствующая эластика есть окружность.

Наконец, если $r=0$ и $\dot \theta=0$, т. е. $\lambda \in N_7$, то маятник (2.34) неподвижен в невесомости (положение равновесия неустойчиво) и эластика есть прямая.

Изображения эластик на рис. 1925 не всегда передают отношение $x/y$ для экономии места.

Периодические движения маятника (2.33), (2.34) имеют период

$$ \begin{equation*} T=\begin{cases} 4\,\dfrac{K(k)}{\sqrt r}\,, & \lambda \in N_1, \\ 2\,\dfrac{k K(k)}{\sqrt r}\,, & \lambda \in N_2, \\ \dfrac{2\pi}{|c|}\,, & \lambda \in N_6. \end{cases} \end{equation*} \notag $$

2.6.6. Симметрии и страты Максвелла

Фазовый портрет маятника (2.33) сохраняется группой симметрий $\operatorname{Sym}$, порожденной отражением $\varepsilon^1$ относительно оси $\gamma$, отражением $\varepsilon^2$ относительно оси $c$ и отражением $\varepsilon^3$ в начале координат $(\gamma,c)=(0,0)$:

$$ \begin{equation*} \operatorname{Sym}= \{\operatorname{Id},\varepsilon^1,\varepsilon^2,\varepsilon^3\} \simeq \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2. \end{equation*} \notag $$
Эти симметрии естественно продолжаются на прообраз $N=\mathfrak{g}^*$ и образ $G$ экспоненциального отображения $\operatorname{Exp}_t$. Если $\nu=(\gamma,c,r) \in N$, то
$$ \begin{equation*} \varepsilon^i(\nu)=\nu^i=(\gamma^i,c^i,r) \in N, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} (\gamma^1,c^1)=(\gamma_t,-c_t), \quad (\gamma^2,c^2)=(-\gamma_t, c_t), \quad (\gamma^3,c^3)=(-\gamma,-c). \end{equation*} \notag $$
Если $g=(x,y,\theta) \in G$, то
$$ \begin{equation*} \varepsilon^i(g)=(x^i,y^i,\theta^i) \in G, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, (x^1, y^1, \theta^1)&= (x \cos \theta+y \sin \theta,-x \sin \theta+y \cos \theta,-\theta), \\ (x^2, y^2, \theta^2)&= (x \cos \theta+y \sin \theta, x \sin \theta-y \cos \theta, \theta), \\ (x^3, y^3, \theta^3)&=(x,-y,-\theta). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Предложение 2.4. Группа $\operatorname{Sym}= \{\operatorname{Id},\varepsilon^1,\varepsilon^2,\varepsilon^3\}$ состоит из симметрий экспоненциального отображения.

Теорема 2.29. Первое время Максвелла, соответствующее группе симметрий $\operatorname{Sym}$, для почти всех экстремальных траекторий $g_t=\operatorname{Exp}_t(\lambda)$, $\lambda \in N$, выражается следующим образом:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \lambda \in N_1 &\quad\Longrightarrow\quad t_{\rm Max}^1=\frac{2}{\sqrt r} p_1(k), \\ \lambda \in N_2 &\quad\Longrightarrow\quad t_{\rm Max}^1=\frac{2}{\sqrt r} kK(k), \\ \lambda \in N_6 &\quad\Longrightarrow\quad t_{\rm Max}^1=\frac{2\pi}{|c|}\,, \end{aligned} \\ \lambda \in N_3 \cup N_4 \cup N_5 \cup N_7 \quad\Longrightarrow\quad t_{\rm Max}^1=+\infty, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} p_1(k)=\min\bigl(2K(k),p_z^1(k)\bigr)=\begin{cases} 2 K(k), & k \in (0,k_0], \\ p_z^1(k), & k \in (k_0,1), \end{cases} \end{equation*} \notag $$
$p=p_z^1(k) \in (K,3K)$ есть первый положительный корень уравнения $\operatorname{sn} p \operatorname{dn} p- (2\operatorname{E}(p)-p)\operatorname{cn}p=0$, а $k_0 \approx 0.909$ есть корень уравнения $2E(k)-K(k)=0$.

Справедливы замечание, аналогичное замечанию 2.1, и теорема об инвариантных свойствах функции $t_{\rm Max}^1\colon N\to(0,+\infty]$, аналогичная теореме 2.8.

2.6.7. Оценки сопряженного времени

Для эластик Эйлера вопрос локальной оптимальности очень важен с прикладной точки зрения, так как локальная оптимальность эластики означает ее устойчивость относительно малых возмущений профиля при закрепленных концах и касательных на концах. С теоретической точки зрения решение этого вопроса важно как шаг в направлении исследования глобальной оптимальности эластик.

Теорема 2.30. Пусть $\lambda=(k,\varphi,r) \in N_1$. Тогда первое сопряженное время $t_{\rm conj}^1(\lambda)$ на траектории $\operatorname{Exp}_t(\lambda)$ принадлежит отрезку с концами $4 K(k)/\sqrt r$ и $2 p_1(k)/\sqrt r$, а именно:

$$ \begin{equation*} \begin{alignedat}{3} &(1)&\quad k &\in (0,k_0) &\quad\Longrightarrow\quad t_{\rm conj}^1 &\in \biggl[\frac{4K(k)}{\sqrt r}\,, \frac{2 p_1^1(k)}{\sqrt r}\biggr], \\ &(2)&\quad k &=k_0 &\quad\Longrightarrow\quad t_{\rm conj}^1&=\frac{4K(k)}{\sqrt r}= \frac{2 p_1^1(k)}{\sqrt r}\,, \\ &(3)&\quad k &\in (k_0,1) &\quad\Longrightarrow\quad t_{\rm conj}^1 &\in \biggl[\frac{2 p_1^1(k)}{\sqrt r}\,, \frac{4K(k)}{\sqrt r}\biggr], \end{alignedat} \end{equation*} \notag $$
где функция $p_1(k)$ определена в теореме 2.29.

Следствие 2.2. Пусть $\lambda=(k,\varphi,r) \in N_1$. Тогда

$$ \begin{equation*} \begin{alignedat}{3} &(1)&\quad k &\in (0,k_0) &\quad\Longrightarrow\quad t_{\rm conj}^1 &\in [T, t_1^1] \subset \biggl[T,\frac{3T}{2}\biggr), \quad t_1^1=\frac{2 p_1^1}{\sqrt r} \in \biggl(T,\frac{3T}{2}\biggr), \\ &(2)&\quad k &=k_0 &\quad\Longrightarrow\quad t_{\rm conj}^1&=T, \\ &(3)&\quad k &\in (k_0,1) &\quad\Longrightarrow\quad t_{\rm conj}^1 &\in [t_1^1,T] \subset \biggl(\frac{T}{2}\,,T\biggr],\quad t_1^1=\frac{2p_1^1}{\sqrt r} \in \biggl(\frac{T}{2}\,,T\biggr), \end{alignedat} \end{equation*} \notag $$
где $T=4 K(k)/\sqrt r$ есть период колебаний маятников (2.33), (2.34).

Следствие 2.3. Пусть $\lambda=(k,\varphi,r) \in N_1$, $t_1 > 0$, и пусть

$$ \begin{equation} \Gamma=\{(x_t, y_t) \mid t \in [0, t_1]\},\qquad g(t)=(x_t, y_t, \theta_t)=\operatorname{Exp}_t(\lambda), \end{equation} \tag{2.35} $$
есть дуга соответствующей эластики.

(1) Если дуга $\Gamma$ не содержит точек перегиба, то она локально оптимальна.

(2) Если $k \in (0,k_0]$ и дуга $\Gamma$ содержит ровно одну точку перегиба, то она локально оптимальна.

(3) Если дуга $\Gamma$ содержит не менее трех точек перегиба внутри себя, то она не является локально оптимальной.

Рассмотрим дуги инфлексионных эластик (2.35), центрированные в вершине, т. е. пусть в точке $(x_{t_1/2},y_{t_1/2})$ достигается локальный экстремум кривизны эластики. Примеры таких дуг см. на рис. 26.

Обозначим $t_1^1=(2/\sqrt r\,)p_1(k)$, где функция $p_1(k)$ определена в теореме 2.29.

Рассмотрим дуги инфлексионных эластик (2.35), центрированные в точке перегиба, т. е. пусть в точке $(x_{t_1/2},y_{t_1/2})$ эластика имеет нулевую кривизну. Примеры таких дуг см. на рис. 27.

Теорема 2.33. Пусть $\lambda \in N_2 \cup N_3 \cup N_6$. Тогда экстремальная траектория $g(t)=\operatorname{Exp}_t(\lambda)$ не содержит сопряженных точек при $t > 0$.

Итак, если дуга эластики не содержит точек перегиба, то она устойчива; если она содержит не менее трех точек перегиба внутри себя, то она неустойчива. Если есть одна или две точки перегиба, то эластика может быть так устойчивой, так и неустойчивой.

2.6.8. Диффеоморфная структура экспоненциального отображения

Пусть $t_1=1$, $\operatorname{Exp}=\operatorname{Exp}_1$ и

$$ \begin{equation*} \mathcal{A}=\mathcal{A}_1=\{(x,y,\theta) \in G \mid x^2+y^2 < 1 \text{ или } (x,y,\theta)=(1,0,0)\}. \end{equation*} \notag $$
Случай общего $t_1 > 0$ сводится к частному случаю $t_1=0$ гомотетиями плоскости $(x,y)$:
$$ \begin{equation*} (x,y,\theta,t,u,t_1,J) \mapsto (\tilde x,\tilde y,\tilde\theta,\tilde t, \tilde u,\tilde t_1,\tilde J)=(e^sx,e^sy,\theta,e^st,e^{-s}u,e^st_1,e^{-s}J). \end{equation*} \notag $$

Рассмотрим подмножество в $\mathcal{A}$, не содержащее неподвижных точек отражений $\varepsilon^1$, $\varepsilon^2$:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \widetilde{G}=\{g \in \mathcal{A} \mid \varepsilon^i (g) \ne g, \ i=1, 2\}= \biggl\{g \in \mathcal{A} \Bigm| \sin\biggl(\frac{\theta}{2}\biggr)P(g) \ne 0 \biggr\}, \\ P(g)=x \sin \frac{\theta}{2}-y \cos \frac{\theta}{2}\,, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
и его разбиение на компоненты связности:
$$ \begin{equation*} \widetilde{G}=G_+ \sqcup G_-, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} G_{\pm}=\{ g \in G \mid \theta \in (0, 2\pi), \ x^2+y^2 < 1, \ \operatorname{sign} P(g)=\pm 1 \}. \end{equation*} \notag $$
Также рассмотрим открытое плотное подмножество в пространстве всех потенциально оптимальных экстремальных траекторий:
$$ \begin{equation*} \widetilde{N}=\biggl\{\lambda \in \bigcup_{i=1}^3 N_i \Bigm| t_1 < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t_1/2} \sin\gamma_{t_1/2} \ne 0\biggr\}, \end{equation*} \notag $$
и его связные компоненты:
$$ \begin{equation*} \widetilde{N}=\bigsqcup_{i=1}^4 D_i, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, D_1&=\biggl\{\lambda \in \bigcup_{i=1}^3 N_i \Bigm| t_1 < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t_1/2} > 0, \ \sin \gamma_{t_1/2} > 0\biggr\}, \\ D_2&=\biggl\{\lambda \in \bigcup_{i=1}^3 N_i \Bigm| t_1 < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t_1/2} < 0, \ \sin \gamma_{t_1/2} > 0\biggr\}, \\ D_3&=\biggl\{\lambda \in \bigcup_{i=1}^3 N_i \Bigm| t_1 < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t_1/2} < 0, \ \sin \gamma_{t_1/2} < 0\biggr\}, \\ D_4&=\biggl\{\lambda \in \bigcup_{i=1}^3 N_i \Bigm| t_1 < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t_1/2} > 0, \ \sin \gamma_{t_1/2} < 0\biggr\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Теорема 2.34. Следующие отображения являются диффеоморфизмами:

$$ \begin{equation*} \operatorname{Exp}\colon D_1\to G_+, \quad \operatorname{Exp}\colon D_2\to G_-, \quad \operatorname{Exp}\colon D_3\to G_+, \quad \operatorname{Exp}\colon D_4\to G_-. \end{equation*} \notag $$

Следствие 2.4. Отображение $\operatorname{Exp}\colon\widetilde{N}\to \widetilde{G}$ есть двулистное накрытие.

2.6.9. Оптимальные эластики для различных граничных условий

Граничные условия общего положения. Если $g_1 \in G_+$, то существует единственная пара $(\lambda_1,\lambda_3) \in D_1 \times D_3$, для которой $\operatorname{Exp}(\lambda_1)=\operatorname{Exp}(\lambda_3)=g_1$. Оптимальная траектория находится среди траекторий $q^1(t)=\operatorname{Exp}_t(\lambda_1)$ и $q^3(t)=\operatorname{Exp}_t(\lambda_3)$, $t \in [0,1]$. Для отыскания оптимальной траектории необходимо взять ту из них, для которой функционал качества $J[q^i(\,\cdot\,)]=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 (c_t^i)^2\,dt$ принимает меньшее значение. Если $J[q^1(\,\cdot\,)]=J[q^3(\,\cdot\,)]$, то оптимальны обе траектории (этот случай изображен на рис. 28).

Если $g_1 \in G_-$, то оптимальные траектории выбираются аналогично среди соответствующих ковекторам $\lambda_2 \in D_2$ и $\lambda_4 \in D_4$, для которых $\operatorname{Exp}(\lambda_2)=\operatorname{Exp}(\lambda_4)=g_1$.

Случай $(x_1,y_1,\theta_1)=(1,0,0)$. Оптимальная эластика есть отрезок $(x,y)=(t,0)$, $t \in [0,1]$.

Случай $x_1>0$, $y_1=0$, $\theta_1=\pi$. В этом случае $g_1 \in G_+$ и уравнение $\operatorname{Exp}(\lambda)=g_1$, $\lambda \in \widetilde{G}$, имеет два корня $\lambda_1 \in D_1$ и $\lambda_3 \in D_3$. Траектории $q^1(t)=\operatorname{Exp}_t(\lambda_1)$ и $q^3(t)=\operatorname{Exp}_t(\lambda_3)$ имеют одинаковое значение функционала $J$ и поэтому оптимальны. Соответствующие оптимальные инфлексионные эластики симметричны относительно оси $x$ (см. рис. 29).

Случай $x_1<0$, $y_1=0$, $\theta_1=\pi$. Этот случай аналогичен предыдущему случаю (см. рис. 30).

Случай $x_1=0$, $y_1=0$, $\theta_1=\pi$. Единственная оптимальная эластика-“капля” определяется параметрами $\lambda=(\varphi,k,r) \in N_1$, $\varphi=\dfrac{\tau}{2p}-\dfrac{1}{2}$, $r=4 p^2$, $\operatorname{sn}\tau=0$, $1-2k^2\operatorname{sn}^2 p=0$, $2\operatorname{E}(p)-p=0$ (см. рис. 31).

Случай $x_1=0$, $y_1=0$, $\theta_1=0$. Существуют две оптимальные эластики – окружности, симметричные относительно оси $x$.

Случай $x_1>0$, $y_1=0$, $\theta_1=0 $. Имеются две или четыре оптимальные эластики; существует такое $x_* \in (0.4,0.5)$, что

Случай $x_1<0$, $y_1=0$, $\theta_1=0$. Существуют две оптимальные неинфлексионные эластики (см. рис. 33).

2.6.10. Библиографические комментарии

Первое классическое исследование эластик дал Л. Эйлер в книге [70].

Пункт 2.6.1 по истории задачи об эластиках опирается на классические источники [105], [153], [154]. Имеется также замечательное описание [99] этой истории.

Заметим, что задача об эластиках долгое время представляла лишь теоретический интерес и служила одним из примеров приложения теории эллиптических функций (см., например, [78], [105]). В связи с широким внедрением стали в практику проектирования и появлением гибких тонкостенных конструкций, стимулировавшим развитие теории устойчивости деформируемых систем, решение задачи об эластиках стало приобретать практическое значение. Возникли, в частности, важные для инженерных приложений вопросы: каково поведение сжатой стойки при нагрузках, превышающих эйлерово критическое значение, какова при этом форма стойки, единственна ли эта форма и устойчива ли она? Решению этих вопросов посвящены многочисленные исследования [49], [69], [75], [96], [119], [148], [149], [161], где рассматривались различные условия опирания и нагружения гибких нерастяжимых стержней. В последние десятилетия интерес к эластикам возрос в связи с применением теории гибких стержней к анализу микро- и наноструктур в биологии и нанотехнологиях [76], [84], [115], [151]. Подтверждено существование множественных форм равновесия при фиксированной нагрузке.

Пункты 2.6.22.6.6 опираются на работу [130], п. 2.6.7 – на работы [131] и [133], пп. 2.6.8 и 2.6.9 – на работы [137] и [136].

Задачи об эластиках рассматривались также в работах [2], [9], [12], [79], [87]–[89], [106], [107], [117], [142].

2.7. Левоинвариантная субриманова задача общего вида на группе $\operatorname{SO}(3)$

2.7.1. Постановка задачи

Из классификации контактных левоинвариантных субримановых структур на трехмерных группах Ли [1] следует, что для произвольной такой структуры на группе $G=\operatorname{SO}(3)$ можно выбрать ортонормированный репер $(X_1,X_2)$ с таблицей умножения

$$ \begin{equation} [X_2,X_1]=X_3, \quad [X_1,X_3]=(\kappa+\chi)X_2, \quad [X_2,X_3]=(\chi-\kappa)X_1, \end{equation} \tag{2.36} $$
где $\kappa$ и $\chi$, $\kappa \geqslant \chi \geqslant 0$, суть дифференциальные инварианты субримановой структуры. Равномерное растяжение полей $(X_1,X_2)$ пропорционально изменяет функцию расстояния и оба инварианта $\kappa$ и $\chi$. В работе [1] использована нормализация $\kappa^2+\chi^2=1$. В этом разделе удобнее считать, что $\kappa+\chi=1$, и использовать инвариант $a=\sqrt{2\chi} \in [0,1)$. Случай $a=0$ соответствует осесимметричной субримановой структуре, рассмотренной в работе [55].

Следующие векторные поля удовлетворяют таблице умножения (2.36):

$$ \begin{equation*} X_1(g)=L_{g*} A_2, \quad X_2(g)=\sqrt{1-a^2}\,L_{g*} A_1, \quad X_3(g)=\sqrt{1-a^2}\,L_{g*} A_3, \end{equation*} \notag $$
где базис $A_1$, $A_2$, $A_3$ алгебры Ли $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}(3)$ имеет вид
$$ \begin{equation} A_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\quad A_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad A_3=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation} \tag{2.37} $$

2.7.2. Параметризация геодезических

Анормальные экстремальные траектории постоянны.

Для параметризации нормальных геодезических введем гамильтонианы

$$ \begin{equation*} h_i(\lambda)=\langle \lambda,X_i(g)\rangle,\quad i=1,2,3,\qquad H=\frac{1}{2}(h_1^2+h_2^2). \end{equation*} \notag $$
Натурально параметризованные экстремали параметризуются точками цилиндра $C=\mathfrak{g}^* \cap \{H=1/2\}$. Введем на этом цилиндре координаты $(\psi,c)$:
$$ \begin{equation*} h_1=\cos \psi, \quad h_2=- \sin \psi, \quad h_3=c. \end{equation*} \notag $$

Нормальная гамильтонова система принципа максимума Понтрягина имеет вид

$$ \begin{equation} \dot h_1=h_2 h_3, \quad \dot h_2=- h_1 h_3, \quad \dot h_3=a^2 h_1 h_2, \end{equation} \tag{2.38} $$
$$ \begin{equation} \dot g=h_1 X_1(g)+h_2 X_2(g). \end{equation} \tag{2.39} $$
Вертикальная подсистема (2.38) задает на цилиндре $C$ уравнение маятника
$$ \begin{equation} \dot \psi=c, \quad \dot c=-\frac{a^2}{2} \sin(2\psi). \end{equation} \tag{2.40} $$
Этот цилиндр имеет стратификацию
$$ \begin{equation*} C=\bigsqcup_{i=1}^5 C_i \end{equation*} \notag $$
на инвариантные множества системы (2.40), которые определяются значением полной энергии маятника $E=2c^2-a^2\cos(2\psi)$:
$$ \begin{equation*} \begin{alignedat}{2} C_1&=\{\lambda\in C\mid E\in(-a^2,a^2)\}&&\quad (\text{область внутри сепаратрис}), \\ C_2&=\{\lambda\in C\mid E\in(a^2, +\infty)\}&&\quad (\text{область вне сепаратрис}), \\ C_3&=\{\lambda\in C\mid E=a^2, c \ne 0\}&&\quad (\text{сепаратрисы}), \\ C_4&=\{\lambda\in C\mid E=-a^2\}&&\quad (\text{устойчивое положение равновесия}), \\ C_5&=\{\lambda\in C\mid E=a^2, c=0\}&&\quad (\text{неустойчивое положение равновесия}). \end{alignedat} \end{equation*} \notag $$
Введем на множествах $C_1$, $C_2$, $C_3$ координаты $(\theta,k)$, выпрямляющие уравнение маятника (2.40). В области $C_1$
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \sin\psi=s_1k\operatorname{sn}(a\theta,k), \qquad \cos\psi=s_1\operatorname{dn}(a\theta,k), \qquad c=ak\operatorname{cn}(a\theta,k), \\ s_1=\operatorname{sign}\cos\psi,\qquad k=\sqrt{\frac{E+a^2}{2a^2}}\in(0,1),\qquad \theta\in\biggl[0,\frac{4K(k)}{a}\biggr]. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
В области $C_2$
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \sin\psi=s_2\operatorname{sn}\biggl(\frac{a\theta}{k}\,,k\biggr),\qquad \cos\psi=\operatorname{cn}\biggl(\frac{a\theta}{k}\,,k\biggr), \qquad c=\frac{s_2a}{k}\operatorname{dn}\biggl(\frac{a\theta}{k}\,,k\biggr), \\ s_2=\operatorname{sign}c,\qquad k=\sqrt{\frac{2a^2}{E+a^2}}\in (0,1),\qquad \theta \in\biggl[0,\frac{4kK(k)}{a}\biggr]. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
На множестве $C_3$
$$ \begin{equation*} \sin\psi=s_1s_2 \operatorname{th} (a\theta),\quad \cos\psi=\frac{s_1}{ \operatorname{ch} (a\theta)}\,,\quad c=\frac{s_2a}{ \operatorname{ch} (a\theta)}\,, \quad \theta \in(-\infty,+\infty), \quad k=1. \end{equation*} \notag $$

Тогда при $(\psi_0,c_0) \in C_1 \cup C_2 \cup C_3$ решение уравнения маятника есть $\theta(t)=t+\theta_0$, $k \equiv \operatorname{const}$. При $(\psi_0,c_0) \in C_4$ имеем $\psi \equiv \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$, $c=0$, а при $(\psi_0,c_0) \in C_5$ имеем $\psi \equiv-\pi/2+\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$, $c=0$.

Для параметризации решений горизонтальной подсистемы (2.39) представим их с помощью углов Эйлера:

$$ \begin{equation*} g_t=\exp(-\varphi_1(0) A_3) \exp(-\varphi_2(0) A_1) \exp(\varphi_3(t) A_3) \exp(\varphi_2(t) A_1) \exp(\varphi_1(t) A_3). \end{equation*} \notag $$
Тогда
$$ \begin{equation} \cos \varphi_2 =\frac{c}{\sqrt M}\,, \qquad \sin \varphi_2 =\sqrt{\frac{M-c^2}{M}}\,, \end{equation} \tag{2.41} $$
$$ \begin{equation} \cos \varphi_1 =\frac{h_1\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{M-c^2}}\,, \qquad \sin \varphi_1 =\sqrt{\frac{h_2}{M-c}}\,, \end{equation} \tag{2.42} $$
где $M=h_2^2+(1-a^2) h_1^2+c^2$ есть первый интеграл подсистемы (2.38).

Угол $\varphi_3$ удовлетворяет уравнению

$$ \begin{equation} \dot\varphi_3=\frac{\sqrt{M (1-a^2)}}{M-c^2}= \frac{\sqrt{M(1-a^2)}}{1-a^2 h_1^2} \end{equation} \tag{2.43} $$
и является монотонной функцией времени, так как
$$ \begin{equation*} 0 < \sqrt{M(1-a^2)} \leqslant \dot \varphi_3 \leqslant \sqrt{\frac{M}{1-a^2}}\,. \end{equation*} \notag $$
Решения этого уравнения имеют следующий вид:
  • $\bullet$ в $C_1$
    $$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \varphi_3&=\sqrt{\frac{1-a^2(1-k^2)}{a^2(1-a^2)}}\, \biggl[\Pi\biggl(\frac{a^2k^2}{a^2-1}\,; \operatorname{am}(a\theta,k),k\biggr) \\ &\qquad-\Pi\biggl(\frac{a^2k^2}{a^2-1}\,; \operatorname{am}(a\theta_0,k),k\biggr)\biggr]; \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
  • $\bullet$ в $C_2$
    $$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \varphi_3&=\sqrt{\frac{k^2+a^2(1-k^2)}{a^2(1-a^2)}}\, \biggl[\Pi\biggl(\frac{a^2}{a^2-1}\,;\operatorname{am} \biggl(\frac{a\theta}{k}\,,k\biggr),k \biggr) \\ &\qquad-\Pi\biggl(\frac{a^2}{a^2-1}\,;\operatorname{am} \biggl(\frac{a\theta_0}{k}\,,k\biggr),k\biggr)\biggr]; \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
  • $\bullet$ в $C_3$
    $$ \begin{equation*} \varphi_3=\sqrt{1-a^2}\,t+\biggl[ \operatorname{arctg} \biggl(\frac{a}{\sqrt{1-a^2}} \operatorname{th} (a\theta)\biggr)- \operatorname{arctg} \biggl(\frac{a}{\sqrt{1-a^2}} \operatorname{th} (a\theta_0)\biggr)\biggr]; \end{equation*} \notag $$
  • $\bullet$ в $C_4$
    $$ \begin{equation*} \varphi_3=t; \end{equation*} \notag $$
  • $\bullet$ в $C_5$
    $$ \begin{equation*} \varphi_3=\sqrt{1-a^2}\,t. \end{equation*} \notag $$
Здесь $\operatorname{am}(\varphi,k)$ – амплитуда Якоби, а $\Pi(n;\varphi,k)$ – эллиптический интеграл третьего рода. Заметим, что из последних двух выражений видно, что геодезические, которые соответствуют областям $C_4$ и $C_5$, являются вращениями вокруг горизонтальных базисных векторов $e_1=(1,0,0) \in \mathbb{R}^3$ и $e_2=(0,1,0) \in \mathbb{R}^3$.

2.7.3. Периодические геодезические

Предложение 2.5. Для любого $a \in (0,1)$ в соответствующей субримановой задаче на группе $\operatorname{SO}(3)$ существует бесконечное количество геодезических.

В случае $\lambda \in C_1$ (или $\lambda \in C_2$) периодическая геодезическая может иметь только период $T=4K(k)/a$ (соответственно $T=4k K(k)/a$), и такие траектории существуют тогда и только тогда, когда для некоторых $n,m \in \mathbb{N}$ выполнено равенство $\varphi_3(m T)=2 \pi n$. Это равенство выполняется вдоль некоторой геодезической тогда и только тогда, когда

$$ \begin{equation} \frac{n}{m} > \frac{1}{a} \end{equation} \tag{2.44} $$
в случае $C_1$ и
$$ \begin{equation} \frac{n}{m} > 1 \end{equation} \tag{2.45} $$
в случае $C_2$. Различным несократимым дробям $n/m \in \mathbb{Q}_+$ соответствуют различные периодические геодезические.

Предложение 2.6. Любая периодическая геодезическая для $\lambda \in C_1$ (или $\lambda \in C_2$) однозначно определяется несократимой дробью $n/m \in \mathbb{Q}_+$, удовлетворяющей условию (2.44) (соответственно (2.45)).

При $\lambda \in C_3$ геодезические непериодичны.

При $\lambda \in C_4 \cup C_5$ геодезические периодичны.

Так как $\pi_1(\operatorname{SO}(3))=\mathbb{Z}_2$, то существует только два гомотопических класса замкнутых путей на $\operatorname{SO}(3)$. Следующее утверждение показывает, какие из периодических геодезических стягиваемы (нуль-гомотопны).

Предложение 2.7. Рассмотрим периодическую геодезическую $g_t \in \operatorname{SO}(3)$, которая является проекцией экстремали $\lambda_t \in C_1$ (или $\lambda_t \in C_2$) и задана своей несократимой дробью $n/m \in \mathbb{Q}_+$, удовлетворяющей (2.44) (соответственно (2.45)). В этом случае геодезическая $g_t$ стягиваема тогда и только тогда, когда $n$ четно.

Все геодезические, соответствующие $\lambda \in C_4 \cup C_5$, нестягиваемы.

2.7.4. Условия оптимальности

Рассмотрим трехмерную единичную сферу в алгебре кватернионов:

$$ \begin{equation*} S^3=\{q=q^0+i q^1+j q^2+k q^3 \in \mathbb{H} \mid (q^0)^2+(q^1)^2+(q^2)^2+(q^3)^2=1\}. \end{equation*} \notag $$
Сфера $S^3$ односвязна и образует двулистное накрытие группы $\operatorname{SO}(3)$. Геодезическая $g_t \in \operatorname{SO}(3)$ имеет лифт $q_t \in S^3$, $q_0=1$, вида
$$ \begin{equation*} q_t=\exp\biggl(-\frac{\varphi_1(0)}{2}k\biggr) \exp\biggl(-\frac{\varphi_2(0)}{2}i\biggr) \exp\biggl(\frac{\varphi_3(t)}{2}k\biggr) \exp\biggl(\frac{\varphi_2(t)}{2}i\biggr) \exp\biggl(\frac{\varphi_1(t)}{2}k\biggr), \end{equation*} \notag $$
где углы Эйлера $\varphi_i(t)$ совпадают с аналогичными углами в (2.41)(2.43).

Теорема 2.35. Пусть $g_t \in \operatorname{SO}(3)$, $t \in [0,t_1]$, есть геодезическая, а $q_t \in S^3$, $q_0=1$, есть ее лифт на $S^3$. Пусть $\theta_t$ есть соответствующая выпрямленная координата маятника (2.40) и $\tau=a(\theta_0+t/2)$.

Тогда кривая $g_t$ неоптимальна, если для некоторого $t \in (0,t_1)$ выполняется одно из следующих условий:

(1) $q_t^0=0$;

(2) $q_t^1=0$ и $\operatorname{sn} \tau \ne 0$, если $\lambda_0 \in C_1 \cup C_2$, или $\tau \ne 0$, если $\lambda_0 \in C_3$;

(3) $q_t^2=0$ и $\operatorname{cn} \tau \ne 0$, если $\lambda_0 \in C_1$;

(4) $q_t^3=0$ и $\operatorname{cn} \tau \ne 0$, если $\lambda_0 \in C_2$.

2.7.5. Библиографические комментарии

Результаты этого раздела получены в работе [46].

2.8. Задача о качении шара по плоскости без прокручивания и проскальзывания

2.8.1. История задачи

В 1983 г. Дж. Хаммерсли [83] рассмотрел следующую оксфордскую задачу о шаре. Шар единичного радиуса лежит на бесконечной горизонтальной плоскости. Состояние шара определяется его пространственной ориентацией и положением на плоскости. Требуется перевести шар из заданного начального состояния в заданное конечное состояние с помощью последовательности качений. Каждое качение выполняется вдоль некоторой прямой на плоскости: длина и направление качений выбираются нами, но качение должно выполняться без прокручиваний и проскальзываний, т. е. ось вращения должна быть горизонтальной и скорость шара в точке касания с плоскостью должна быть нулевой. Какое наименьшее число качений $N$ необходимо для достижения любого конечного состояния? С использованием кватернионов Хаммерсли показал, что $N \in \{3,4\}$. Далее, он поставил две континуальные версии задачи о шаре:

Для задачи (b) Хаммерсли указал, что оптимальная кривая $\Gamma$ есть отрезок или дуга окружности и $0 \leqslant T \leqslant \pi\sqrt 3$, где верхняя граница достигается, только если требуемая переориентация сферы есть ее поворот на $\pi$ вокруг вертикальной оси.

В заключительном разделе статьи [83] “Варианты для двадцать первого века” Хаммерсли сформулировал ряд вариаций и обобщений указанных задач о шаре, остающихся открытыми до сих пор.

В 1986 г. А. Артурс и Дж. Уолш [29] исследовали задачу (a). С использованием кватернионов и принципа максимума Понтрягина они доказали, что точка контакта шара и плоскости $(x,y)$ удовлетворяет уравнениям

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \dot x=\sin \psi, \quad \dot y=-\cos \psi, \\ \ddot \psi=\lambda \cos(\psi+\varepsilon), \qquad \lambda,\varepsilon \equiv \operatorname{const}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Артурс и Уолш указали, что эти дифференциальные уравнения интегрируются в эллиптических интегралах первого и третьего рода, и оставили задачу оптимального управления для численного исследования.

Независимо от этих работ, в 1993 г. Р. Брокетт и Л. Даи [56] поставили “задачу о пластинах и шаре” (the plate-ball problem). Они рассмотрели шар, катящийся без прокручивания и проскальзывания между двумя плоскими горизонтальными пластинами, расстояние между которыми равно диаметру шара. Брокетт и Даи записали управляемую систему для шара в форме (2.46)(2.50) (см. ниже) и показали, что нильпотентная аппроксимация этой системы эквивалентна управляемой системе (2.117) на группе Картана (см. раздел 2.10).

В том же 1993 г. В. Джурджевич [86] подробно исследовал задачу об оптимальном качении шара по плоскости без прокручиваний и проскальзываний, опираясь на постановку Брокетта и Даи [56] и независимо от работ [29], [83]. Джурджевич рассмотрел эту задачу как левоинвариантную задачу оптимального управления на группе Ли $G=\mathbb{R}^2\times\operatorname{SO}(3)$:

$$ \begin{equation} \dot x=u_1, \qquad \dot y=u_2, \end{equation} \tag{2.46} $$
$$ \begin{equation} \dot R=R\begin{pmatrix} 0 & 0 &-u_1\\ 0 & 0 & -u_2\\ u_1 & u_2 & 0 \end{pmatrix}, \end{equation} \tag{2.47} $$
$$ \begin{equation} g=(x,y,R) \in G, \quad u=(u_1,u_2) \in \mathbb{R}^2, \end{equation} \tag{2.48} $$
$$ \begin{equation} g(0)=\operatorname{Id}=(0,0,E_{11}+E_{22}+E_{33}), \qquad g(t_1)=g_1 , \end{equation} \tag{2.49} $$
$$ \begin{equation} J=\frac{1}{2} \int_0^{t_1}(u_1^2+u_2^2)\,dt \to \min. \end{equation} \tag{2.50} $$
Далее он применил к этой задаче принцип максимума Понтрягина в инвариантной формулировке для групп Ли (см. [6], [88]) и получил следующие результаты. Оптимальные анормальные управления постоянны и порождают качение шара по прямой; эти управления нестрого анормальны. Нормальные экстремали суть траектории гамильтоновой системы с гамильтонианом
$$ \begin{equation*} H=\frac{1}{2}(h_1-H_2)^2+\frac{1}{2}(h_2+H_1)^2, \end{equation*} \notag $$
где гамильтонианы $h_1$ и $h_2$ соответствуют векторным полям $\partial/\partial x$ и $\partial/\partial y$, а гамильтонианы $H_1$, $H_2$, $H_3$ соответствуют левоинвариантным полям на $\operatorname{SO}(3)$, задающим вращение трехмерного пространства с генераторами
$$ \begin{equation*} A_1=E_{32}-E_{23}, \qquad A_2=E_{13}-E_{31}, \qquad A_3=E_{21}-E_{12}. \end{equation*} \notag $$
Вертикальная подсистема этой гамильтоновой системы есть
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \dot h_1&=\dot h_2=0, \\ \dot H_1&=(h_1-H_2) H_3, \\ \dot H_2&=(h_2+H_1)H_3, \\ \dot H_3&=-h_1 H_1-h_2 H_2. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Эта подсистема имеет интегралы $h_1$, $h_2$, $H$ и $M=H_1^2+H_2^2+H_3^2$, а потому интегрируема. Более того, эта подсистема сведена к уравнению маятника. Чтобы проинтегрировать уравнения для ориентации шара $R(t) \in\operatorname{SO}(3)$, вводятся углы Эйлера $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\varphi_3$; для этих углов получены дифференциальные уравнения, которые качественно исследованы и частично проинтегрированы. Показано, что траектория точки контакта шара и плоскости $(x(t),y(t))$ есть эйлерова эластика (см. раздел 2.6). Получена связь между типом пересечения цилиндра $\{H=\operatorname{const}\}$ и сферы $\{M=\operatorname{const}\}$, типом эластик и качественным поведением углов Эйлера $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\varphi_3$.

Дальнейшее изложение в этом разделе опирается на [114], [132].

2.8.2. Постановка задачи

Механическая постановка. Рассматривается механическая система, состоящая из двух горизонтальных плоскостей и сферы, касающейся этих плоскостей. Нижняя плоскость неподвижна, а сфера катится без прокручивания и проскальзывания благодаря горизонтальному движению верхней плоскости. Состояние такой системы описывается точкой контакта сферы с нижней плоскостью и ориентацией сферы в трехмерном пространстве. Требуется перекатить сферу из заданного начального состояния в заданное терминальное состояние так, чтобы кривая, пробегаемая точкой контакта на плоскости, имела минимальную длину. Управлением является скорость верхней плоскости или, что эквивалентно, скорость центра сферы.

Рассматривается кинематика данной системы, поэтому наличие верхней плоскости можно игнорировать и изучать качение сферы по (нижней) плоскости без прокручивания и проскальзывания. Отсутствие проскальзывания означает, что мгновенная скорость точки контакта сферы и плоскости равна нулю, а отсутствие прокручивания означает, что вектор угловой скорости сферы горизонтален. Качение одной поверхности по другой без прокручивания и проскальзывания моделирует работу руки робота-манипулятора, и задачи о таком движении вызывают большой интерес в механике, робототехнике и теории управления (см., например, работы [6], [48], [97], [100], [108]).

Математическая постановка. Пусть $e_1$, $e_2$, $e_3$ – неподвижный правый репер в пространстве $\mathbb{R}^3$ такой, что векторы $e_1$, $e_2$ лежат в плоскости $\mathbb{R}^2 \cong (\mathbb{R}^2,0) \subset \mathbb{R}^3$, по которой катится сфера $S^2$ единичного радиуса, а вектор $e_3$ направлен в полупространство, содержащее эту сферу. Репер $e_1$, $e_2$, $e_3$ закреплен в точке $O \in (\mathbb{R}^2,0)$. Пусть $f_1$, $f_2$, $f_3$ – подвижный правый репер, закрепленный в катящейся сфере $S^2$. Обозначим координаты точки в $\mathbb{R}^3$ в базисе $e_1$, $e_2$, $e_3$ через $(x,y,z)$, а координаты этой точки в базисе $f_1$, $f_2$, $f_3$, перенесенном в точку $O$, через $(X,Y,Z)$. Таким образом,

$$ \begin{equation*} x e_1+y e_2+z e_3=X f_1+Y f_2+Z f_3. \end{equation*} \notag $$
Пусть матрица $R \in \operatorname{SO}(3)$ переводит координаты точки в неподвижном репере $e_1$, $e_2$, $e_3$ в ее координаты в подвижном репере $f_1$, $f_2$, $f_3$, т. е.
$$ \begin{equation*} \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix}= R \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag $$
Состояние системы “сфера $S^2$ и плоскость $\mathbb{R}^2$” задается координатами $(x,y)$ точки контакта $S^2$ и $\mathbb{R}^2$, а также матрицей вращения $R$. В качестве управлений будем использовать вектор $(u_1,u_2)$ скорости центра сферы. Задача об оптимальном качении сферы по плоскости формализуется как следующая задача оптимального управления:
$$ \begin{equation} \dot x=u_1, \end{equation} \tag{2.51} $$
$$ \begin{equation} \dot y=u_2, \end{equation} \tag{2.52} $$
$$ \begin{equation} \dot R=R(u_2 A_1-u_1 A_2), \end{equation} \tag{2.53} $$
$$ \begin{equation} Q=(x,y,R) \in G=\mathbb{R}^2 \times \operatorname{SO}(3), \end{equation} \tag{2.54} $$
$$ \begin{equation} u=(u_1, u_2) \in \mathbb{R}^2, \end{equation} \tag{2.55} $$
$$ \begin{equation} Q(0)=Q_0=(0, 0, \operatorname{Id}), \qquad Q(t_1)=Q_1, \end{equation} \tag{2.56} $$
$$ \begin{equation} l=\int_0^{t_1} \sqrt{u_1^2+u_2^2} \, dt \to \min. \end{equation} \tag{2.57} $$
Здесь и далее мы используем базисные матрицы в алгебре Ли $\mathfrak{so}(3)$:
$$ \begin{equation} A_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\quad A_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad A_3=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation} \tag{2.58} $$

Левоинвариантная субриманова задача. Задача (2.51)(2.57) есть левоинвариантная субриманова задача на группе Ли $G=\mathbb{R}^2 \times \operatorname{SO}(3)$. Введем следующий левоинвариантный репер на этой группе Ли:

$$ \begin{equation*} e_1=\frac{\partial}{\partial x}\,, \quad e_2=\frac{\partial}{\partial y}\,, \quad V_i(R)=R A_i, \quad i=1,2,3. \end{equation*} \notag $$
В терминах левоинвариантных полей
$$ \begin{equation*} X_1=e_1-V_2, \qquad X_2=e_2+V_1 \end{equation*} \notag $$
управляемая система (2.51)(2.55) принимает вид
$$ \begin{equation} \dot Q=u_1 X_1 (Q)+u_2 X_2(Q), \qquad Q \in G=\mathbb{R}^2 \times \operatorname{SO}(3), \quad (u_1, u_2) \in \mathbb{R}^2. \end{equation} \tag{2.59} $$
Функционал (2.57) есть функционал субримановой длины для левоинвариантной субримановой структуры, заданной полями $X_1$, $X_2$ как ортонормированным базисом:
$$ \begin{equation} \begin{gathered}[t] \, l=\int_0^{t_1} \langle \dot Q,\dot Q\rangle^{1/2} \, dt \to \min, \\ \langle X_i,X_j\rangle=\delta_{ij}, \qquad i,j=1, 2. \notag \end{gathered} \end{equation} \tag{2.60} $$

Существование оптимальных управлений. Напомним, что матричные коммутаторы $[A_i,A_j]=A_i A_j-A_j A_i$ вычисляются следующим образом:

$$ \begin{equation*} [A_1, A_2]=A_3, \qquad [A_2, A_3]=A_1, \qquad [A_3, A_1]=A_2. \end{equation*} \notag $$
Таблица умножения в алгебре Ли $\mathfrak{g}=\mathbb{R}^2 \oplus \mathfrak{so}(3)= \operatorname{span}(e_1, e_2, V_1, V_2, V_3)$ группы Ли $G$ имеет вид
$$ \begin{equation*} \operatorname{ad}e_i=0, \qquad [V_1, V_2]=V_3, \qquad [V_2, V_3]=V_1, \qquad [V_3, V_1]=V_2. \end{equation*} \notag $$

В силу равенств

$$ \begin{equation*} [X_1, X_2]=V_3, \qquad [X_1, V_3]=- V_1, \qquad [X_2, V_3]=- V_2 \end{equation*} \notag $$
векторные поля $X_1$, $X_2$ в правой части системы (2.59) порождают алгебру Ли $\mathfrak{g}$. По теореме Рашевского–Чжоу система (2.59) вполне управляема. Из теоремы Филиппова следует существование оптимальных управлений в задаче (2.51)(2.57) для любых $Q_0,Q_1 \in G$ в классе существенно ограниченных измеримых управлений.

2.8.3. Экстремали

Введем линейные на слоях $T^*G$ гамильтонианы

$$ \begin{equation*} \begin{alignedat}{2} h_i(\lambda)&=\langle \lambda, e_i \rangle, &\quad i&=1,2, \\ H_i(\lambda)&=\langle \lambda, V_i \rangle, &\quad i&=1,2,3. \end{alignedat} \end{equation*} \notag $$

Анормальные траектории. Анормальные траектории постоянной скорости имеют вид

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, x_t=u_1 t, \qquad y_t=u_2 t, \\ R_t=\exp(t(u_2 A_1-u_1 A_2)). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Они нестрого анормальны и оптимальны. В анормальном случае сфера равномерно катится по прямой.

Нормальная гамильтонова система. В нормальном случае гамильтонова система с гамильтонианом

$$ \begin{equation*} H=\frac{1}{2}((h_1-H_2)^2+(h_2+H_1)^2) \end{equation*} \notag $$
записывается в координатах так:
$$ \begin{equation} \dot h_1 =\dot h_2=0, \end{equation} \tag{2.61} $$
$$ \begin{equation} \dot H_1 =(h_1-H_2)H_3, \end{equation} \tag{2.62} $$
$$ \begin{equation} \dot H_2 =(h_2+H_1) H_3, \end{equation} \tag{2.63} $$
$$ \begin{equation} \dot H_3 =- h_1 H_1-h_2 H_2, \end{equation} \tag{2.64} $$
$$ \begin{equation} \dot Q =(h_1-H_2) X_1+(h_2+H_1) X_2. \end{equation} \tag{2.65} $$
Как всегда в субримановых задачах, можно ограничиться геодезическими единичной скорости, т. е. экстремальными траекториями, вдоль которых $H \equiv 1/2$. При таком ограничении удобно перейти в сопряженном пространстве от координат $(h_1,h_2,H_1,H_2,H_3)$ к новым координатам $(r,\alpha,\theta,c)$:
$$ \begin{equation} h_1=r \cos \alpha, \qquad h_2=r \sin \alpha, \end{equation} \tag{2.66} $$
$$ \begin{equation} h_1-H_2=\cos(\theta+\alpha), \qquad h_2+H_1=\sin (\theta+\alpha), \end{equation} \tag{2.67} $$
$$ \begin{equation*} c=H_3. \end{equation*} \notag $$
После этого гамильтонова система для нормальных экстремалей (2.61)(2.65) принимает следующую форму:
$$ \begin{equation} \dot \theta =c, \end{equation} \tag{2.68} $$
$$ \begin{equation} \dot c =-r \sin \theta, \end{equation} \tag{2.69} $$
$$ \begin{equation} \dot \alpha =\dot r=0, \end{equation} \tag{2.70} $$
$$ \begin{equation} \dot x =\cos(\theta+\alpha), \end{equation} \tag{2.71} $$
$$ \begin{equation} \dot y =\sin(\theta+\alpha), \end{equation} \tag{2.72} $$
$$ \begin{equation} \dot R =R \Omega, \qquad \Omega=\sin(\theta+\alpha) A_1-\cos(\theta+\alpha) A_2. \end{equation} \tag{2.73} $$
Семейство нормальных экстремалей $\lambda_t$ параметризуется цилиндром $C$, состоящим из начальных точек $\lambda=\lambda_t\big|_{t=0}$:
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, C &= \biggl\{\lambda \in\mathfrak{g}^* \mid H(\lambda)=\frac{1}{2}\biggr\} \\ & \cong \{(h_1, h_2, H_1, H_2, H_3) \in \mathbb{R}^5 \mid (h_1-H_2)^2+(h_2+H_1)^2=1\} \\ & \cong \{(\theta, c, \alpha, r) \mid \theta \in S^1, \ c \in \mathbb{R}, \ \alpha \in S^1, \ r \geqslant 0\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Экспоненциальное отображение определяется как
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \operatorname{Exp}(\lambda,t)=\pi \circ e^{t \vec H}(\lambda)=Q_t, \\ \operatorname{Exp}\colon N \to M, \qquad N=C \times \mathbb{R}_+=\{(\lambda,t) \mid \lambda \in C, \ t > 0\}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

В случае $r=0$ эластика $(x_t,y_t)$ есть прямая (при $H_3=c=0$) или окружность (при $H_3=c \ne 0$); будем называть такие эластики вырожденными.

В случае $r \ne 0$ эластика $(x_t,y_t)$ принадлежит одному из четырех классов в зависимости от полной энергии $E=c^2/2-r\cos \theta$ маятника (2.68), (2.69) (см. раздел 2.6):

Эластики классов 1)–3) будем называть невырожденными.

Симплектическое слоение. На коалгебре Ли $\mathfrak{g}^*$ имеются функции Казимира $h_1$, $h_2$, $M=H_1^2+H_2^2+H_3^2$. Симплектическое слоение состоит из

Нормальная гамильтонова система имеет интегралы $h_1$, $h_2$, $M$, $E=(M+h_1^2+h_2^2)/2-H$ и интегрируема в эллиптических функциях и интегралах.

Различные типы геодезических, которые проецируются в эйлеровы эластики $(x_t,y_t)$, соответствуют разным типам пересечения поверхности уровня гамильтониана $\{H=\operatorname{const}\}$ с симплектическими листами.

Выпрямляющие координаты. Цилиндр $C=\{\lambda \in \mathfrak{g}^* \mid H(\lambda)=1/2\}$ стратифицируется согласно разным типам движения маятника (2.68), (2.69):

$$ \begin{equation*} C=\bigsqcup_{i=1}^7 C_i, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, C_1&=\{\lambda \in C \mid E \in (-r, r), \ r > 0\}, \\ C_2&=\{\lambda \in C \mid E \in (r,+\infty), \ r > 0\}, \\ C_3&=\{\lambda \in C \mid E=r > 0, \ c \ne 0\}, \\ C_4&=\{\lambda \in C \mid E=-r, \ r > 0\}, \\ C_5&=\{\lambda \in C \mid E=r > 0, \ c=0\}, \\ C_6&=\{\lambda \in C \mid r=0, \ c \ne 0\}, \\ C_7&=\{\lambda \in C \mid r=0, \ c=0\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

В области $\bigcup\limits_{i=1}^3 C_i$ введем координаты $(\varphi,k,\alpha,r)$, выпрямляющие уравнения маятника (2.68), (2.69).

Если $\lambda=(\theta,c,\alpha,r)\in C_1$, то

$$ \begin{equation*} \sin\frac{\theta}{2}=k\operatorname{sn}(\sqrt{r}\,\varphi,k), \quad \cos\frac{\theta}{2}=\operatorname{dn}(\sqrt{r}\,\varphi,k), \quad \frac{c}{2}=k \sqrt{r}\,\operatorname{cn}(\sqrt{r}\,\varphi, k), \end{equation*} \notag $$
при этом $k=\sqrt{(E+r)/(2r)} \in (0, 1)$ и $\sqrt{r}\,\varphi\,\operatorname{mod}{4K} \in [0,4K]$.

Если $\lambda=(\theta,c,\alpha,r)\in C_2$, то

$$ \begin{equation*} \sin\frac{\theta}{2}= \pm\operatorname{sn}\biggl(\frac{\sqrt{r}\,\varphi}{k}\,,k\biggr), \quad \cos\frac{\theta}{2}= \operatorname{cn}\biggl(\frac{\sqrt{r}\,\varphi}{k}\,,k\biggr), \quad \frac{c}{2}=\pm \frac{\sqrt{r}}{k} \operatorname{dn}\biggl(\frac{\sqrt{r}\,\varphi}{k}\,,k\biggr), \end{equation*} \notag $$
где $ \pm=\operatorname{sign}c$, при этом $k=\sqrt{2r/(E+r)} \in (0,1)$ и $\sqrt{r}\,\varphi\,\operatorname{mod}{2kK} \in [0,2kK]$.

Если $\lambda \in C_3$, то

$$ \begin{equation*} \sin\frac{\theta}{2}=\pm \operatorname{th} (\sqrt{r}\,\varphi), \quad \cos\frac{\theta}{2}=\frac{1}{ \operatorname{ch} (\sqrt{r}\,\varphi)}\,, \quad \frac{c}{2}=\pm \frac{\sqrt{r}}{ \operatorname{ch} (\sqrt{r} \varphi)}\,, \end{equation*} \notag $$
где $\pm=\operatorname{sign} c$, при этом $k=1$, $\varphi \in (-\infty,+\infty)$.

В новых координатах уравнения маятника (2.68), (2.69) принимают вид:

$$ \begin{equation*} \dot \varphi=1, \quad \dot k=0, \quad \dot \alpha=0, \quad \dot r=0, \end{equation*} \notag $$
откуда следует, что $\varphi_t=\varphi+t$, а $k,\alpha,r=\operatorname{const}$.

Интегрирование вертикальной подсистемы гамильтоновой системы принципа максимума Понтрягина. Если $\lambda \in C_1$, то

$$ \begin{equation*} \sin\frac{\theta_t}{2}=k\operatorname{sn}(\sqrt{r}\,\varphi_t,k), \quad \cos\frac{\theta_t}{2}=\operatorname{dn}(\sqrt{r}\,\varphi_t,k), \quad \frac{c_t}{2}=k\sqrt{r}\,\operatorname{cn}(\sqrt{r}\,\varphi_t,k). \end{equation*} \notag $$
Если $\lambda \in C_2$, то
$$ \begin{equation*} \sin\frac{\theta_t}{2}= \pm \operatorname{sn}\biggl(\frac{\sqrt{r}\,\varphi_t}{k}\,,k\biggr), \quad \cos\frac{\theta_t}{2}= \operatorname{cn}\biggl(\frac{\sqrt{r}\,\varphi_t}{k}\,,k\biggr), \quad \frac{c_t}{2}=\pm \frac{\sqrt{r}}{k}\operatorname{dn} \biggl(\frac{\sqrt{r}\,\varphi_t}{k}\,,k\biggr), \end{equation*} \notag $$
где $\pm=\operatorname{sign}c$.

Если $\lambda \in C_3$, то

$$ \begin{equation*} \sin\frac{\theta_t}{2}= \pm \operatorname{th} (\sqrt{r}\,\varphi_t), \quad \cos\frac{\theta_t}{2}=\frac{1}{ \operatorname{ch} (\sqrt{r}\,\varphi_t)}\,, \quad \frac{c_t}{2}=\pm \frac{\sqrt{r}}{ \operatorname{ch} (\sqrt{r}\,\varphi_t)}\,, \end{equation*} \notag $$
где $\pm=\operatorname{sign}c$.

Для случаев $\lambda \in \bigcup\limits_{i=4}^7 C_i$ система (2.68)(2.70) интегрируется непосредственно:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \theta_t \equiv 0,\quad c_t \equiv 0 \quad\text{при } \lambda \in C_4;\qquad \theta_t \equiv \pi,\quad c_t \equiv 0\quad\text{при } \lambda \in C_5; \\ \theta_t=c t+\theta,\quad c_t \equiv c \ne 0\quad\text{при } \lambda \in C_6;\qquad \theta_t \equiv \theta,\quad c_t \equiv 0\quad\text{при }\lambda \in C_7. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Интегрирование уравнений для $x$, $y$. Для интегрирования уравнений (2.71), (2.72) с начальным условием $x_0=y_0=0$ воспользуемся симметрией задачи – поворотом

$$ \begin{equation*} x=\bar x\cos \alpha-\bar y \sin \alpha, \quad y=\bar x \sin \alpha+\bar y \cos \alpha. \end{equation*} \notag $$
В новых переменных получаем задачу Коши
$$ \begin{equation} \dot{\bar x}_t=\cos \theta_t, \quad \dot{\bar y}_t=\sin \theta_t, \qquad \bar x_0= \bar y_0=0, \end{equation} \tag{2.74} $$
решения которой параметризуются следующим образом.

Если $\lambda \in C_1$, то

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \bar{x}_t&=\frac{2(\operatorname{E}(\sqrt{r}\,\varphi_t)- \operatorname{E}(\sqrt{r}\,\varphi))-\sqrt{r}\,t}{\sqrt{r}}\,, \\ \bar{y}_t&=\frac{2k(\operatorname{cn}(\sqrt{r}\,\varphi)- \operatorname{cn}(\sqrt{r}\,\varphi_t))}{\sqrt{r}}\,. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Если $\lambda \in C_2$, то

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \bar{x}_t&=\frac{2(\operatorname{E}(\sqrt{r}\,\varphi_t/k)- \operatorname{E}(\sqrt{r}\,\varphi/k)-(2-k^2)\sqrt{r}\,t/(2k))}{k\sqrt{r}}\,, \\ \bar{y}_t&=\pm\frac{2(\operatorname{dn}(\sqrt{r}\,\varphi/k)- \operatorname{dn}(\sqrt{r}\,\varphi_t/k))}{k\sqrt{r}}\,, \qquad \pm=\operatorname{sign}c. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Если $\lambda \in C_3$, то

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \bar{x}_t&=\frac{2( \operatorname{th} (\sqrt{r}\,\varphi_t)- \operatorname{th} (\sqrt{r}\,\varphi))- \sqrt{r}\,t}{\sqrt{r}}\,, \\ \bar{y}_t&=\pm \frac{2(1/ \operatorname{ch} (\sqrt{r}\,\varphi)- 1/ \operatorname{ch} (\sqrt{r}\,\varphi_t))}{\sqrt{r}}\,, \qquad \pm=\operatorname{sign}c. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

При $\lambda \in \bigcup\limits_{i=4}^7 C_i$ уравнения (2.74) интегрируются непосредственно:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \bar{x}_t=t,\quad \bar{y}_t=0\quad\text{при } \lambda \in C_4;\qquad \bar{x}_t=-t,\quad \bar{y}_t=0\quad\text{при } \lambda \in C_5; \\ \bar{x}_t=\frac{\sin(c t+\theta)-\sin \theta}{c}\,,\quad \bar{y}_t=\frac{\cos \theta-\cos(c t+\theta)}{c}\quad\text{при } \lambda \in C_6; \\ \bar{x}_t=t \cos \theta,\quad \bar{y}_t=t \sin \theta\quad\text{при } \lambda \in C_7. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Интегрирование уравнений для $R$. Пусть $M=H_1^2+H_2^2+H_3^2 > 0$. Тогда

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag R(t)&=\exp\bigl((\alpha-\varphi_3^0) A_3\bigr) \exp\bigl(-\varphi_2^0 A_2\bigr)\exp\bigl(\varphi_1(t) A_3\bigr) \\ &\qquad\times\exp\bigl(\varphi_2(t) A_2\bigr) \exp\bigl((\varphi_3(t)-\alpha)A_3\bigr), \end{aligned} \end{equation} \tag{2.75} $$
где углы $\varphi_i$ определяются из соотношений (2.76)(2.82) при $r \ne 1$ и (2.79)(2.83) при $r=1$ (см. ниже), а угол $\varphi_1$ удовлетворяет начальному условию $\varphi_1^0=0$.

Входящие в разложение (2.75) экспоненты матриц, содержащие $\varphi_2$, $\varphi_3$, выражаются через $\cos \varphi_2$, $\sin \varphi_2$, $\cos \varphi_3$, $\sin \varphi_3$, которые с помощью соотношений (2.76), (2.77), (2.79), (2.80) выражены через переменные $c$, $\cos(\theta/2)$, $\sin(\theta/2)$, которые, в свою очередь, представлены выше как функции эллиптических координат или непосредственно. При $r=1$ имеем $\varphi_1(t)=\sqrt M\,t/2$. Интегрирование уравнения (2.78) при $r \ne 1$ вынесено в следующий пункт.

В случае $M=0$ имеем $r=1$, $c=0$, $\theta=0$, следовательно, $u_1=\cos\alpha$, $u_2=\sin \alpha$. Поэтому $\Omega=u_2 A_1-u_1 A_2 \equiv \operatorname{const}$ и $R(t)=e^{t\Omega}$.

Интегрирование уравнений для $\varphi_1$. Вдоль нормальных геодезических углы $\varphi_i$ удовлетворяют при $r \ne 1$ равенствам

$$ \begin{equation} \cos \varphi_2 =\frac{c}{\sqrt{M}}\,, \qquad \sin \varphi_2 =\pm \frac{\sqrt{M-c^2}}{\sqrt{M}}\,, \end{equation} \tag{2.76} $$
$$ \begin{equation} \cos \varphi_3 =\mp\frac{\sin \theta}{\sqrt{M-c^2}}\,, \qquad \sin \varphi_3 =\pm\frac{r-\cos \theta}{\sqrt{M-c^2}}\,, \end{equation} \tag{2.77} $$
$$ \begin{equation} \dot\varphi_1=\frac{\sqrt{M}(1-r \cos \theta)}{M-c^2}\,, \end{equation} \tag{2.78} $$
а при $r=1$ равенствам
$$ \begin{equation} \cos \varphi_2 =\frac{c}{\sqrt{M}}\,, \qquad \sin \varphi_2 =\pm \frac{2 \sin(\theta/2)}{\sqrt{M}}\,, \end{equation} \tag{2.79} $$
$$ \begin{equation} \cos \varphi_3 =\mp \cos\frac{\theta}{2}\,, \qquad \sin \varphi_3 =\pm \sin\frac{\theta}{2}\,, \end{equation} \tag{2.80} $$
$$ \begin{equation} \dot\varphi_1=\frac{\sqrt{M}}{2}\,. \end{equation} \tag{2.81} $$

Введем в рассмотрение эллиптический интеграл III рода в следующей форме:

$$ \begin{equation} \Pi(n, u, k)=\int_0^u \frac{dt}{(1-n \sin^2 t)\sqrt{1-k^2 \sin^2 t}}=\int_0^{F(u,k)} \frac{dv}{1-n \operatorname{sn}^2 v}\,. \end{equation} \tag{2.82} $$

Пусть $r \ne 1$. Если $\lambda_1 \in C_1$, то

$$ \begin{equation} \varphi_1(t)=\frac{\sqrt{M}}{2}\,t+\frac{\sqrt{M}\,(1+r)}{2\,\sqrt{r}\,(1-r)} \bigl[\Pi(l,\operatorname{am}(\sqrt{r}\,(\varphi+t)),k)- \Pi(l,\operatorname{am}(\sqrt{r}\,\varphi),k)\bigr], \end{equation} \tag{2.83} $$
где $l=-4 k^2 r/(1-r)^2$.

Если $\lambda_1 \in C_2$, то

$$ \begin{equation*} \varphi_1(t)=\frac{\sqrt{M}}{2}\,t+\frac{\sqrt{M}\,k(1+r)}{2\,\sqrt{r}\,(1-r)}\, \biggl[\Pi\biggl(l,\operatorname{am} \biggl(\frac{\sqrt{r}\,(\varphi+t)}{k}\biggr),k\biggr)- \Pi\biggl(l,\operatorname{am} \biggl(\frac{\sqrt{r}\,\varphi}{k}\biggr),k\biggr)\biggr], \end{equation*} \notag $$
где $l=-4r/(1-r)^2$.

Если $\lambda_1 \in C_3$, то

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \varphi_1(t)=\frac{\sqrt{M}}{2}\,t+\frac{\sqrt{M}\,k(1-r^2)}{8 r^{3/2}} \bigl[I(\sqrt{r}\,(\varphi+t),a)-I(\sqrt{r}\,\varphi,a)\bigr], \\ I(v,a)=\int_0^v\frac{dt}{a^2+ \operatorname{th} ^2t}= \frac{a t- \operatorname{arctg} a+ \operatorname{arctg} (e^t(a^2 \operatorname{ch} t+ \operatorname{sh} t)/a)}{a+a^3}\,, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
где $ a=(1-r)/(2\,\sqrt{r}\,)$.

Если $\lambda_1 \in C_6$, то $\varphi_1(t)=\sqrt{1+c^2}\, t$.

Если $\lambda \in C_4 \cup C_5 \cup C_7$, то

$$ \begin{equation*} \theta_t \equiv \operatorname{const}=\theta,\quad \Omega=\sin(\alpha+\theta)A_1-\cos(\alpha+\theta) A_2 \equiv \operatorname{const},\quad R(t)=e^{t\Omega}. \end{equation*} \notag $$

Управляемая система в терминах кватернионов. Для описания ориентации катящейся сферы удобно, наряду с матрицей вращения $R$, использовать кватернионы.

Пусть

$$ \begin{equation*} \mathbb{H}=\{q=q_0+iq_1+j q_2+k q_3 \mid q_0,\dots,q_3 \in \mathbb{R}\} \end{equation*} \notag $$
– алгебра кватернионов, $S^3=\{q \in \mathbb{H} \mid |q|^2=q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2=1\}$ – единичная сфера,
$$ \begin{equation*} I=\{q \in \mathbb{H} \mid \operatorname{Re}q=q_0=0\} \end{equation*} \notag $$
– подпространство чисто мнимых кватернионов. Любой кватернион $q \in S^3$ задает вращение евклидова пространства $I$:
$$ \begin{equation*} q \in S^3 \quad\Longrightarrow \quad R_q(a)=q a q^{-1}, \quad a \in I, \quad R_q \in \operatorname{SO}(3)\cong \operatorname{SO}(I). \end{equation*} \notag $$

Соответствие между кватернионом $q=q_0+i q_1+j q_2+k q_3 \in S^3$ и матрицей $R \in \operatorname{SO}(3)$ имеет вид

$$ \begin{equation} R=\begin{pmatrix} q_0^2+q_1^2-q_2^2-q_3^2 & 2 q_1 q_2-2 q_0 q_3& 2 q_0 q_2 + 2 q_1 q_3 \\ 2 q_1 q_2+2 q_0 q_3 &q_0^2-q_1^2+q_2^2-q_3^2 & -2 q_0q_1+2 q_2 q_3 \\ -2 q_0 q_2+2 q_1 q_3 & 2 q_0 q_1+2 q_2 q_3 & q_0^2-q_1^2 - q_2^2+q_3^2 \end{pmatrix}. \end{equation} \tag{2.84} $$

Управляемая система (2.47) в терминах кватернионов принимает форму

$$ \begin{equation} \begin{cases} \dot{q}_0=(q_2 u_1-q_1 u_2)/2, \\ \dot{q}_1=(q_3 u_1+q_0 u_2)/2, \\ \dot{q}_2=(-q_0 u_1+q_3 u_2)/2, \\ \dot{q}_3=(-q_1 u_1-q_2 u_2)/2, \end{cases}\qquad q=q_0+i q_1+j q_2+k q_3 \in S^3, \quad (u_1,u_2) \in \mathbb{R}^2. \end{equation} \tag{2.85} $$

Управляемая система на $\mathbb{R}^2\times\operatorname{SO}(3)$ (2.46), (2.47) с начальным условием $g(0)=\operatorname{Id}$ имеет лифт на $\mathbb{R}^2\times S^3$ вида (2.46), (2.85) с начальным условием $(x,y)(0)=(0,0)$, $q(0)=1$.

2.8.4. Симметрии

Симметрии семейства экстремальных траекторий. Вращения эластик $(x_s,y_s)$ вокруг начала координат в плоскости $(x,y)$ порождают однопараметрическую группу симметрий траекторий гамильтоновой системы (2.68)(2.73):

$$ \begin{equation*} \{\Phi^{\beta} \mid \beta \in S^1 \}, \end{equation*} \notag $$
где вращение $\Phi^{\beta}$ определяется следующим образом:
$$ \begin{equation} \Phi^{\beta}\colon\{\lambda_s \mid s \in [0,t]\}\to \{\lambda_s^{\beta} \mid s \in [0,t]\}, \end{equation} \tag{2.86} $$
$$ \begin{equation} \lambda_s=(\theta_s, c_s, \alpha, r, Q_s), \qquad Q_s=(x_s, y_s, R_s), \end{equation} \tag{2.87} $$
$$ \begin{equation} \lambda_s^{\beta}= (\theta_s^{\beta},c_s^{\beta},\alpha^{\beta},r,Q_s^{\beta}),\qquad Q_s^{\beta}=(x_s^{\beta},y_s^{\beta},R_s^{\beta}), \end{equation} \tag{2.88} $$
$$ \begin{equation} \theta_s^{\beta}=\theta_s, \qquad c_s^{\beta}=c_s, \qquad \alpha^{\beta}=\alpha+\beta, \end{equation} \tag{2.89} $$
$$ \begin{equation} \begin{pmatrix} x_s^{\beta} \\ y_s^{\beta}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos \beta &-\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_s \\ y_s\end{pmatrix}, \end{equation} \tag{2.90} $$
$$ \begin{equation} R_s^{\beta}=e^{\beta A_3} R_s e^{-\beta A_3}, \qquad \Omega_s^{\beta}=e^{\beta A_3} \Omega_s e^{-\beta A_3}. \end{equation} \tag{2.91} $$

Предложение 2.8. Если $\{\lambda_s \mid s \in [0,t]\}$ есть некоторая траектория системы (2.68)(2.73), то для любого $\beta \in S^1$ кривая $\{\lambda_s^{\beta} \mid s \in [0,t]\}$ есть также траектория этой системы.

Отражения траекторий $(\theta_s,c_s)$ маятника (2.68), (2.69) относительно осей координат $\theta$, $c$ и в начале координат продолжаются до дискретных симметрий $\varepsilon^1$, $\varepsilon^2$, $\varepsilon^3$ семейства траекторий гамильтоновой системы (2.68)(2.73):

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \varepsilon^i\colon\{\lambda_s \mid s \in [0,t]\}\to \{\lambda_s^{i} \mid s \in [0,t]\}, \qquad i=1,2,3, \\ \begin{alignedat}{2} \lambda_s&=(\theta_s, c_s, \alpha, r, Q_s), &\qquad Q_s&=(x_s, y_s, R_s), \\ \lambda_s^{i}&=(\theta_s^{i}, c_s^{i}, \alpha^{i}, r, Q_s^{i}), &\qquad Q_s^{i}&=(x_s^{i}, y_s^{i}, R_s^{i}). \end{alignedat} \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Отражению траекторий $(\theta_s,c_s)$ маятника (2.68), (2.69) относительно оси координат $\theta$ соответствует дискретная симметрия $\varepsilon^1$ семейства экстремальных траекторий:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \theta_s^{1}=\theta_{t-s}, \qquad c_s^{1}=-c_{t-s}, \qquad \alpha^{1}=\alpha+\pi, \\ x_s^1=x_{t-s}-x_t, \qquad y_s^1=y_{t-s}-y_t, \\ R_s^{1}=(R_t)^{-1} R_{t-s}, \qquad \Omega_s^{1}=-\Omega_{t-s}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Отражение траекторий маятника $(\theta_s,c_s)$ относительно оси координат $c$ порождает симметрию $\varepsilon^2$ экстремальных траекторий:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \theta_s^{2}=-\theta_{t-s}, \qquad c_s^{2}=c_{t-s}, \qquad \alpha^{2}=\pi-\alpha, \\ x_s^2=x_{t-s}-x_t, \qquad y_s^2=y_t-y_{t-s}, \\ R_s^{2}=I_2 (R_t)^{-1} R_{t-s} I_2, \qquad \Omega_s^{2}=- I_2 \Omega_{t-s} I_2, \\ I_2=I_2^{-1}=e^{\pi A_2}=\begin{pmatrix} - 1 & 0 & \hphantom{-}0 \\ \hphantom{-}0 & 1 & \hphantom{-}0 \\ \hphantom{-}0 & 0 & -1 \end{pmatrix}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Отражение траекторий маятника $(\theta_s,c_s)$ в начале координат $(\theta,c)=(0,0)$ продолжается до симметрии $\varepsilon^3$ экстремальных траекторий:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \theta_s^{3}=-\theta_{s}, \qquad c_s^{3}=-c_{s}, \qquad \alpha^{3}=- \alpha, \\ x_s^3=x_{s}, \qquad y_s^3=- y_{s}, \\ R_s^{3}=I_2 R_{s} I_2, \qquad \Omega_s^{3}=I_2 \Omega_{s} I_2. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Предложение 2.9. Если $\{\lambda_s \mid s \in [0,t]\}$ есть некоторая траектория системы (2.68)(2.73), то кривые $\{\lambda_s^{i} \mid s \in [0,t]\}$, $i=1,2,3$, суть также траектории этой системы.

Симметрии экспоненциального отображения. Действия вращений $\Phi^\beta$ и отражений $\varepsilon^i$ в прообразе и образе экспоненциального отображения определяются так, чтобы они коммутировали с действием экспоненциального отображения.

Вращения $\Phi^\beta\colon\lambda\to\lambda^{\beta}$ (2.86)(2.91) являются симметриями гамильтоновой системы, поэтому их действие в $T^*G$ естественно распадается в прямую сумму действий в $N=\mathfrak{g}^* \times \mathbb{R}_+$ (на $(\lambda,t)$, где $\lambda$ – начало экстремали) и в $G$ (на $Q_t$ – конец соответствующей экстремальной траектории):

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \Phi^\beta\colon N \to N, \qquad (\lambda,t) \mapsto (\lambda^{\beta},t), \\ \lambda=(\theta,c,\alpha,r), \qquad \lambda^{\beta}=(\theta,c,\alpha^{\beta},r),\qquad \alpha^{\beta}=\alpha+\beta, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
и
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \Phi^\beta\colon G\to G, \qquad Q \mapsto Q^{\beta}, \\ Q=(x, y, R), \qquad Q^{\beta}=(x^{\beta}, y^{\beta}, R^{\beta}), \\ \begin{pmatrix} x^{\beta} \\ y^{\beta}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos \beta &-\sin \beta \\ \sin \beta & \hphantom{-}\cos \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix},\qquad R^{\beta}=e^{\beta A_3} R e^{-\beta A_3}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Действие отражений $\varepsilon^i$ в $N$ определяется ограничением их действия на вертикальные составляющие экстремальных траекторий в начальный момент времени $s=0$:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \varepsilon^i\colon N\to N, \quad (\lambda, t) \mapsto (\lambda^{i}, t), \qquad i=1, 2, 3, \\ \lambda=(\theta, c, \alpha, r), \qquad \lambda^{i}=(\theta^i, c^i, \alpha^{i}, r), \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
где $\lambda=\lambda_s\big|_{s=0}$, $\lambda^i=\lambda_s^i\big|_{s=0}$. Явные выражения для действия $\varepsilon^i$ в $N$:
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \varepsilon^1\colon(\theta,c,\alpha,r,t)\to(\theta^1,c^1,\alpha^1,r,t)&= (\theta_t,-c_t,\alpha+\pi,r,t), \\ \varepsilon^2\colon(\theta,c,\alpha,r,t)\to(\theta^2,c^2,\alpha^2,r,t)&= (-\theta_t, c_t, \pi-\alpha, r, t), \\ \varepsilon^3\colon(\theta,c,\alpha,r,t)\to(\theta^3,c^3,\alpha^3,r,t)&= (-\theta, -c, -\alpha, r, t). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Действие отражений в $G$ определяется их действием на экстремальные траектории в конечный момент времени $s=t$:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \varepsilon^i\colon G\to G, \quad Q \mapsto Q^{i}, \qquad i=1,2,3, \\ Q=(x,y,R), \qquad Q^i=(x^i,y^i,R^i), \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
где $Q=Q_s\big|_{s=t}$, $Q^i=Q_s^i\big|_{s=t}$. Явные формулы:
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \varepsilon^1\colon(x, y, R)\to(x^1, y^1, R^1)&=(-x, -y, (R)^{-1}), \\ \varepsilon^2\colon(x, y, R)\to(x^2, y^2, R^2)&=(-x, y, I_2 (R)^{-1}I_2), \\ \varepsilon^3\colon(x, y, R)\to(x^3, y^3, R^3)&=(x, -y, I_2 R I_2). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Итак, определено действие вращений и отражений в прообразе и образе экспоненциального отображения:

$$ \begin{equation} \Phi^\beta,\varepsilon^i \colon N \to N, \qquad (\lambda,t) \mapsto (\lambda^{\beta},t),(\lambda^i,t), \end{equation} \tag{2.92} $$
$$ \begin{equation} \Phi^\beta,\varepsilon^i \colon G \to G, \qquad Q \mapsto Q^{\beta},Q^i. \end{equation} \tag{2.93} $$
Существенно, что образ $Q^i=\varepsilon^i(Q)$ зависит лишь от прообраза $Q$, но не от момента времени $t$.

Предложение 2.10. Отображения $\Phi^\beta$, $\varepsilon^i$ являются симметриями экспоненциального отображения.

Рассмотрим группу симметрий экспоненциального отображения, порожденную вращениями и отражениями:

$$ \begin{equation*} \operatorname{Sym}= \langle \Phi^\beta,\varepsilon^1,\varepsilon^2,\varepsilon^3 \rangle. \end{equation*} \notag $$
Таблица умножения в этой группе имеет следующий вид:

$\cdot \, \circ \, \cdot$$\varepsilon^1$$\varepsilon^2$$\varepsilon^3$$\Phi^\beta$
$\varepsilon^1$$\operatorname{Id}$$\varepsilon^3$$\varepsilon^2$$\Phi^\beta \circ \varepsilon^1$
$\varepsilon^2$$\varepsilon^3$$\operatorname{Id}$$\varepsilon^1$$\Phi^{-\beta} \circ \varepsilon^2$
$\varepsilon^3$$\varepsilon^2$$\varepsilon^1$$\operatorname{Id}$$\Phi^{-\beta} \circ \varepsilon^3$
$\Phi^{\gamma}$$\varepsilon^1 \circ \Phi^{\gamma}$$\varepsilon^2 \circ \Phi^{-\gamma}$$\varepsilon^3 \circ \Phi^{-\gamma}$$\Phi^{\beta+\gamma}$

Отсюда получаем явное описание группы симметрий экспоненциального отображения:

$$ \begin{equation*} \operatorname{Sym}=\{\Phi^\beta,\Phi^\beta \circ \varepsilon^i \mid \beta \in S^1, \ i=1,2,3\} \cong \operatorname{SO}(2)\times (\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2). \end{equation*} \notag $$

Определим множество Максвелла, соответствующее группе $\langle \varepsilon^i,\Phi^\beta\rangle$, $i=1,2,3$:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \operatorname{MAX}^i=\bigl\{(\lambda,t)\in N\mid \exists\beta \in S^1&\colon (\tilde\lambda,t)=\varepsilon^i \circ \Phi^\beta(\lambda,t), \\ &\quad\operatorname{Exp}(\lambda, s) \not\equiv \operatorname{Exp}(\tilde\lambda, s), \ \operatorname{Exp}(\lambda,t)= \operatorname{Exp}(\tilde \lambda,t)\bigr\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

2.8.5. Условия оптимальности

Теорема 2.36. Пусть $t > 0$ и $Q_s=(x_s, y_s, R_s)=\operatorname{Exp}(\lambda,s)$ есть такая экстремальная траектория, что

Тогда $(\lambda,t) \in \operatorname{MAX}^1$, поэтому для любого $t_1 > t$ траектория $Q_s$, $s \in [0,t_1]$, неоптимальна.

Теорема 2.37. Пусть $t > 0$ и $Q_s=(x_s,y_s,R_s)=\operatorname{Exp}(\lambda,s)$ есть такая экстремальная траектория, что

Тогда $(\lambda,t) \in \operatorname{MAX}^2$, поэтому для любого $t_1 > t$ траектория $Q_s$, $s \in [0, t_1]$, неоптимальна.

Теорема 2.38. Пусть $t > 0$ и $Q_s=(x_s, y_s, R_s)=\operatorname{Exp}(\lambda,s)$ есть такая экстремальная траектория, что

Тогда $(\lambda,t) \in \operatorname{MAX}^3$, поэтому для любого $t_1 > t$ траектория $Q_s$, $s \in [0,t_1]$, неоптимальна.

Замечание 2.2. Учитывая то, что для любого кватерниона $q=q_0+iq_1+jq_2+kq_3 \in S^3$ соответствующее движение $R_q\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ есть вращение вокруг вектора $(q_1,q_2,q_3) \in\mathbb{R}^3$, можно дать следующую наглядную интерпретацию условиям (1) теорем 2.362.38.

1. Условие (1) теоремы 2.36 означает, что вращение сферы $R_t$ есть поворот вокруг некоторой горизонтальной оси.

2. Условие (1) теоремы 2.37 означает, что вращение $R_t$ есть поворот вокруг некоторой оси, ортогональной вектору перемещения точки контакта сферы и плоскости $(x_t,y_t,0)$.

3. Условие (1) теоремы 2.38 означает, что вращение $R_t$ есть поворот вокруг горизонтальной оси, ортогональной вектору $(x_t,y_t,0)$, или что $R_t$ есть поворот на угол $\pi$ вокруг некоторой оси, лежащей в вертикальной плоскости, которая содержит вектор $(x_t,y_t,0)$.

2.8.6. Библиографические комментарии

Пункт 2.8.1 опирается на [29], [56], [83], [86], п. 2.8.2 – на [132], п. 2.8.3 – на [114], [132], п. 2.8.4 – на [132].

Задача о качении шара по плоскости без прокручивания и проскальзывания рассматривалась также в работах [2], [88].

2.9. Субриманова задача на группе Энгеля

2.9.1. Постановка задачи

Геометрическая постановка. Пусть на евклидовой плоскости заданы точки $a_0,a_1 \in \mathbb{R}^2$, соединенные кривой $\gamma_0 \subset \mathbb{R}^2$. Пусть также заданы число $S \in \mathbb{R}$ и прямая $L \subset \mathbb{R}^2$. Требуется соединить точки $a_0$ и $a_1$ кратчайшей кривой $\gamma \subset \mathbb{R}^2$ так, чтобы кривые $\gamma_0$ и $\gamma$ ограничивали на плоскости область алгебраической площади $S$ с центром масс, принадлежащим прямой $L$. Таким образом, это некоторое обобщение (усложнение) задачи Дидоны (см. [143], [157]).

Задача оптимального управления. Поставленную геометрическую задачу можно переформулировать как задачу оптимального управления:

$$ \begin{equation} \dot{g}=u_1 X_1(g)+u_2 X_2(g), \quad g=(x, y, z, v) \in \mathbb{R}^4, \end{equation} \tag{2.94} $$
$$ \begin{equation} g(0)=g_0, \quad g(t_1)=g_1, \end{equation} \tag{2.95} $$
$$ \begin{equation} l=\int_0^{t_1}\sqrt{u_1^2+u_2^2}\,\,dt \to \min, \end{equation} \tag{2.96} $$
$$ \begin{equation} X_1=\frac{\partial}{\partial x}- \frac{y}{2}\,\frac{\partial}{\partial z}\,, \quad X_2=\frac{\partial}{\partial y}+ \frac{x}{2}\,\frac{\partial}{\partial z}+ \frac{x^2+y^2}{2}\,\frac{\partial}{\partial v}\,. \end{equation} \tag{2.97} $$
Эта задача – субриманова для субримановой структуры на $\mathbb{R}^4$, заданной векторными полями $X_1$, $X_2$ как ортонормированным репером.

Алгебра Энгеля и группа Энгеля. Алгеброй Энгеля называется алгебра Ли $\mathfrak{g}$, в которой существует базис $(X_1,\dots,X_4)$, в котором ненулевые коммутаторы суть

$$ \begin{equation*} [X_1, X_2]=X_3, \quad [X_1, X_3]=X_4 \end{equation*} \notag $$
(см. рис. 34).

Алгебра Энгеля есть нильпотентная алгебра Ли с градуировкой

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \mathfrak{g}=\mathfrak{g}^{(1)} \oplus\mathfrak{g}^{(2)} \oplus \mathfrak{g}^{(3)}, \\ \mathfrak{g}^{(1)}=\operatorname{span}(X_1,X_2),\quad \mathfrak{g}^{(2)}=\mathbb{R}X_3,\quad \mathfrak{g}^{(3)}=\mathbb{R} X_4,\qquad [\mathfrak{g}^{(1)},\mathfrak{g}^{(i)}]=\mathfrak{g}^{(i+1)}, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
и $\mathfrak{g}^{(4)}=\{0\}$, поэтому она является алгеброй Карно. Соответствующая связная односвязная группа Ли $G$ называется группой Энгеля.

Группа Энгеля имеет линейное представление:

$$ \begin{equation*} \left\{\begin{pmatrix} 1 & b & c & d \\ 0 & 1 & a & a^2/2\\ 0 & 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\,\Bigg|\, a,b,c,d \in \mathbb{R}\right\}. \end{equation*} \notag $$
На пространстве $\mathbb{R}^4_{x,y,z,v}$ можно ввести закон умножения
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1\\ v_1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2\\ v_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1+x_2\\ y_1+y_2\\ z_1+z_2+\dfrac{x_1 y_2-x_2 y_1}{2}\\ v_1+v_2+\dfrac{y_1y_2(y_1+y_2)}{2}+x_1z_2+\dfrac{x_1y_2(x_1+x_2)}{2} \end{pmatrix}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
превращающий это пространство в группу Энгеля: $G \cong \mathbb{R}^4_{x,y,z,v}$, а поля (2.97) в левоинвариантные поля на этой группе. Таким образом, задача (2.94)(2.96) есть левоинвариантная субриманова задача на группе Энгеля. Поэтому можно считать, что начальная точка в (2.95) есть единица группы Энгеля: $g_0=\operatorname{Id}=(0,0,0,0)$.

Все вполне неголономные левоинвариантные субримановы задачи ранга 2 на группе Энгеля переводятся друг в друга изоморфизмом этой группы [124].

Особенности задачи. Субриманова задача на группе Энгеля есть простейшая левоинвариантная субриманова задача со следующими свойствами:

Эта задача доставляет нильпотентную аппроксимацию любой субримановой задачи энгелева типа (т. е. с вектором роста $(2,3,4)$, см. [45], [143]), в частности, для мобильного робота с прицепом.

2.9.2. Симметрии распределения и субримановой структуры

Теорема 2.39. Алгебра Ли инфинитезимальных симметрий распределения $\operatorname{span}(X_1,X_2)$ на группе Энгеля параметризуется гладкими функциями на этой группе, постоянными вдоль поля $X_2$.

Теорема 2.40. Алгебра Ли инфинитезимальных симметрий нильпотентной субримановой структуры на группе Энгеля изоморфна алгебре Энгеля и состоит из правоинвариантных векторных полей на этой группе.

2.9.3. Геодезические

Оптимальные траектории в задаче (2.94)(2.96) существуют, это следует из теорем Рашевского–Чжоу и Филиппова.

Принцип максимума Понтрягина. Перейдем от задачи минимизации длины (2.96) к эквивалентной задаче минимизации энергии

$$ \begin{equation} J=\frac{1}{2}\int_0^{t_1} (u_1^2+u_2^2)\,dt \to \min\!. \end{equation} \tag{2.98} $$

Введем линейные на слоях $T^*G$ гамильтонианы $h_i(\lambda)=\langle\lambda,X_i\rangle$, $i=1,\dots,4$. Тогда принцип максимума Понтрягина для задачи (2.94), (2.95), (2.98) принимает форму:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \dot h_1=-u_2 h_3,\quad \dot h_2=u_1 h_3,\quad \dot h_3=u_1 h_4,\quad \dot h_4=0, \\ \dot{g}=u_1 X_1+u_2 X_2, \\ u_1 h_1+u_2 h_2+\frac{\nu}{2}(u_1^2+u_2^2) \to \max_{(u_1,u_2) \in \mathbb{R}^2}, \\ \nu \leqslant 0,\quad (h_1,\dots,h_4,\nu) \ne 0. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Анормальные экстремали. Анормальные экстремали постоянной скорости могут быть параметризованы как

$$ \begin{equation} \begin{gathered}[b] \, h_1=h_2=h_3=0, \quad h_4 \equiv \operatorname{const} \ne 0, \notag \\ u_1\equiv 0, \quad u_2\equiv \pm 1, \notag \\ x=z \equiv 0, \quad y=\pm t, \quad v=\pm \frac{t^3}{6}\,. \end{gathered} \end{equation} \tag{2.99} $$
Анормальные траектории (2.99) суть однопараметрические подгруппы $g(t)=e^{\pm tX_2}$. Они проецируются на плоскость $(x,y)$ в прямые, а потому являются субримановыми кратчайшими. Анормальное множество есть одномерное гладкое многообразие, диффеоморфное прямой:
$$ \begin{equation*} \operatorname{Abn}=\biggl\{g \in G \Bigm| x=z=v-\frac{y^3}{6}=0\biggr\}. \end{equation*} \notag $$

Нормальные экстремали. Нормальные экстремали являются траекториями нормальной гамильтоновой системы

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \dot{\lambda}=\vec{H}(\lambda), \quad \lambda \in T^*G, \end{aligned} \end{equation} \tag{2.100} $$
с гамильтонианом $H=(h_1^2+h_2^2)/2$. Введем на поверхности уровня $\{H=1/2\}$ координаты $(\theta,c,\alpha)$:
$$ \begin{equation*} h_1=-\sin\theta, \quad h_2=\cos\theta, \quad h_3=c, \quad h_4=\alpha, \end{equation*} \notag $$
тогда гамильтонова система (2.100) примет форму
$$ \begin{equation} \dot{\theta}=c, \quad \dot c=-\alpha\sin\theta, \quad \dot{\alpha}=0, \end{equation} \tag{2.101} $$
$$ \begin{equation} \dot{g}=-\sin \theta\cdot X_1+\cos\theta\cdot X_2. \end{equation} \tag{2.102} $$
Вертикальная подсистема (2.101) есть уравнение маятника в поле силы тяжести с ускорением свободного падения $g=\alpha l$, где $l$ – длина маятника. Таким образом, при $\alpha> 0$ (или $\alpha < 0$) сила тяжести направлена вниз (соответственно вверх) относительно оси, от которой отсчитывается угол $\theta$, а при $\alpha=0$ маятник движется в невесомости.

Проекции нормальных экстремалей на плоскость $(x,y)$ суть эйлеровы эластики (см. раздел 2.6).

Анормальные кратчайшие удовлетворяют нормальной гамильтоновой системе (2.101), (2.102) при $\theta=\pi+2\pi n$, $c=0$, поэтому они нестрого анормальны.

Симплектическое слоение и функции Казимира На коалгебре Ли $\mathfrak{g}^*$ существуют две независимые функции Казимира:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, h_4 \quad\text{и}\quad E=\frac{h_3^2}{2}-h_2 h_4, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $E$ есть полная энергия маятника (2.101).

Симплектическое слоение на $\mathfrak{g}^*$ состоит из

Симплектические листы двумерны и нульмерны, поэтому вертикальная подсистема (2.101) интегрируема по Лиувиллю. Фазовый портрет гамильтоновой системы (2.100) на цилиндре $C\cap \{h_4=\operatorname{const}\}$, где $C=\mathfrak{g}^* \cap \{H=1/2\}$, получается пересечением этого цилиндра с поверхностью уровня энергии $E$.

Параметризация нормальных геодезических. Семейство нормальных экстремалей на поверхности уровня $\{H=1/2\}$ параметризуется начальными точками, принадлежащими цилиндру $C$.

Рассмотрим стратификацию цилиндра $C$ на подмногообразия, соответствующие разным типам траекторий маятника (2.101):

$$ \begin{equation*} C=\bigsqcup_{i=1}^7 C_i, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, C_1&=\{\lambda \in C \mid \alpha \ne 0, \ E\in(-|\alpha|,|\alpha|)\}, \\ C_2&=\{\lambda \in C \mid \alpha \ne 0, \ E\in(|\alpha|,+\infty)\}, \\ C_3&=\{\lambda \in C \mid \alpha \ne 0, \ E=|\alpha|, c \ne 0 \}, \\ C_4&=\{\lambda \in C \mid \alpha \ne 0, \ E=-|\alpha|\}, \\ C_5&=\{\lambda \in C \mid \alpha \ne 0, \ E=|\alpha|, c=0\}, \\ C_{6}&=\{\lambda \in C \mid \alpha=0, \ c \ne 0\}, \\ C_7&=\{\lambda \in C \mid \alpha=c=0\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Далее, множества $C_i$, $i=1,\dots,5$, разбиваются на подмножества в зависимости от знака переменной $\alpha$:
$$ \begin{equation*} C_i^+=C_i \cap \{\alpha>0\}, \quad C_i^-=C_i \cap \{\alpha<0\}, \quad i\in\{1,\dots,5\}. \end{equation*} \notag $$

Более того, подмножества $C_6$, $C_2^{\pm}$, $C_3^{\pm}$ разбиваются на связные компоненты в зависимости от знака переменной $c$:

$$ \begin{equation*} \begin{alignedat}{2} C_{6+}&=C_6 \cap \{c>0\}, &\quad C_{6-}&=C_6 \cap \{c<0\}, \\ C_{i+}^{\pm}&=C_i^{\pm} \cap \{c>0\}, &\quad C_{i-}^{\pm}&=C_i^{\pm}\cap \{c<0\}, \qquad i\in\{2,3\}. \end{alignedat} \end{equation*} \notag $$

Для нормализации нормальных геодезических введем на стратах $C_1$, $C_2$, $C_3$ эллиптические координаты $(\varphi,k,\alpha)$, в которых уравнение маятника (2.101) выпрямляется.

В области $C_1^+$

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, k=\sqrt{\frac{E+\alpha}{2 \alpha}}= \sqrt{\frac{c^2}{4\alpha}+\sin^2 \frac{\theta}{2}}\in (0,1), \\ \sin\frac{\theta}{2}=k\operatorname{sn}(\sqrt{\alpha}\,\varphi),\qquad \cos\frac{\theta}{2}=\operatorname{dn}(\sqrt{\alpha}\,\varphi), \\ \frac{c}{2}=k\sqrt{\alpha}\,\operatorname{cn}(\sqrt{\alpha}\,\varphi),\qquad \varphi \in [0,4K]. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

В области $C_2^+$

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, k=\sqrt{\frac{2\alpha}{E+\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{c^2/(4\alpha)+ \sin^2(\theta/2)}}\in (0,1), \\ \sin\frac{\theta}{2}=\operatorname{sign} c\cdot \operatorname{sn}\biggl(\frac{\sqrt{\alpha}\,\varphi}{k}\biggr),\qquad \cos\frac{\theta}{2}= \operatorname{cn}\biggl(\frac{\sqrt{\alpha}\,\varphi}{k}\biggr), \\ \frac{c}{2}=\operatorname{sign}c \cdot \frac{\sqrt{\alpha}}{k} \operatorname{dn}\biggl(\frac{\sqrt{\alpha}\,\varphi}{k}\biggr), \qquad \varphi \in [0,2kK], \\ \psi=\frac{\varphi}{k}\,. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

На множестве $C_3^+$

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, k=1,\\ \sin\frac{\theta}{2}=\operatorname{sign}c\cdot \operatorname{th} (\sqrt{\alpha}\,\varphi),\qquad \cos\frac{\theta}{2}=\frac{1}{ \operatorname{ch} (\sqrt{\alpha}\,\varphi)}\,, \\ \frac{c}{2}=\operatorname{sign} c \cdot \frac{\sqrt{\alpha}}{ \operatorname{ch} (\sqrt{\alpha}\,\varphi)}\,, \qquad \varphi \in (-\infty,+\infty). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

На множествах $C_1^-$, $C_2^-$, $C_3^-$ определим новые координаты следующим образом:

$$ \begin{equation} \varphi(\theta,c,\alpha)=\varphi(\theta-\pi,c,-\alpha), \end{equation} \tag{2.103} $$
$$ \begin{equation} k(\theta,c,\alpha)=k(\theta-\pi,c,-\alpha). \end{equation} \tag{2.104} $$

Вертикальная подсистема (2.101) принимает в новых координатах следующую форму:

$$ \begin{equation*} \dot{\varphi}=1, \qquad \dot{k}=0, \qquad \dot{\alpha}=0, \end{equation*} \notag $$
поэтому ее решения имеют вид
$$ \begin{equation} \varphi_t=\varphi+t, \qquad k=\operatorname{const}, \qquad \alpha=\operatorname{const}. \end{equation} \tag{2.105} $$
Задача инвариантна относительно левых сдвигов на группе Энгеля, а также дилатаций
$$ \begin{equation} \delta_s\colon (t,x,y,z,v) \mapsto (e^s t,e^s x,e^s y,e^{2s}z,e^{3s}v), \end{equation} \tag{2.106} $$
$$ \begin{equation} (\theta,c,\alpha) \mapsto (\theta,e^{-s}c,e^{-2s}\alpha), \quad (\varphi,k,\alpha) \mapsto (e^s\varphi,k,e^{-2s}\alpha) \end{equation} \tag{2.107} $$
и отражений
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, (t,x,y,z,v) \mapsto (t,-x,-y,z,-v), \\ (\theta,c,\alpha) \mapsto (\theta-\pi,c,-\alpha), \quad (\varphi,k,\alpha) \mapsto (\varphi,k,-\alpha). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Дилатации на группе Энгеля задают поток векторного поля
$$ \begin{equation*} Y=x\,\frac{\partial}{\partial x}+y\,\frac{\partial}{\partial y}+ 2z\,\frac{\partial}{\partial z}+3v\,\frac{\partial}{\partial v}\,. \end{equation*} \notag $$

При $\lambda=(\varphi,k,\alpha) \in \bigcup\limits_{i=1}^3 C_i$, $\alpha=1$, геодезические параметризуются следующим образом.

Если $\lambda \in C_1$, то

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, x_t&=2 k (\operatorname{cn} \varphi_t-\operatorname{cn} \varphi), \notag \\ y_t&=2 \bigl(\operatorname{E}(\varphi_t)-\operatorname{E}(\varphi)\bigr)-t, \notag \\ z_t&=2k\biggl(\operatorname{sn}\varphi_t\operatorname{dn}\varphi_t- \operatorname{sn}\varphi\operatorname{dn}\varphi- \frac{y_t}{2}(\operatorname{cn}\varphi_t+\operatorname{cn}\varphi)\biggr), \notag \\ v_t&=\frac{y_t^3}{6}+2 k^2 \operatorname{cn}^2 \varphi\cdot y_t- 4k^2\operatorname{cn}\varphi\cdot(\operatorname{sn}\varphi_t \operatorname{dn}\varphi_t-\operatorname{sn}\varphi\operatorname{dn}\varphi) \notag \\ &\qquad+2k^2\biggl(\frac{2}{3}\operatorname{cn}\varphi_t\operatorname{dn} \varphi_t \operatorname{sn}\varphi_t- \frac{2}{3} \operatorname{cn} \varphi \operatorname{dn} \varphi \operatorname{sn} \varphi+\frac{1-k^2}{3 k^2}\,t \notag \\ &\qquad+\frac{2 k^2 -1}{3 k^2}\bigl(\operatorname{E}(\varphi_t)- \operatorname{E}(\varphi)\bigr)\biggr). \end{aligned} \end{equation} \tag{2.108} $$

Если $\lambda \in C_2$, то

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \begin{aligned} \, x_t&=\frac{2\operatorname{sign}c}{k}(\operatorname{dn}\psi_t- \operatorname{dn}\psi), \notag \\ y_t&=\frac{k^2-2}{k^2}\,t+\frac{2}{k}\bigl(\operatorname{E}(\psi_t)- \operatorname{E}(\psi)\bigr), \notag \\ z_t&=-\frac{x_t y_t}{2}-\frac{2\operatorname{sign}c\, \operatorname{dn}\psi}{k}\,y_t+2\operatorname{sign}c\, (\operatorname{cn}\psi_t\operatorname{sn}\psi_t- \operatorname{cn} \psi \operatorname{sn} \psi), \notag \\ v_t&=\frac{4}{k}\biggl(\frac{1}{3}\operatorname{cn}\psi_t \operatorname{dn} \psi_t \operatorname{sn} \psi_t -\frac{1}{3} \operatorname{cn} \psi \operatorname{dn} \psi \operatorname{sn} \psi-\frac{1-k^2}{3 k^3}\,t- \frac{k^2-2}{6 k^2}\bigl(\operatorname{E}(\psi_t)- \operatorname{E}(\psi)\bigr)\biggr) \notag \\ &\qquad+\frac{y_t^3}{6}+\frac{2y_t}{k^2}\operatorname{dn}^2\psi- \frac{4}{k}\operatorname{dn}\psi\bigl(\operatorname{cn}\psi_t \operatorname{sn}\psi_t-\operatorname{cn}\psi\operatorname{sn}\psi\bigr), \notag \end{aligned} \\ \psi=\frac{\varphi}{k}\,, \quad \psi_t=\psi+\frac{t}{k}\,. \end{gathered} \end{equation} \tag{2.109} $$

Если $\lambda \in C_3$, то

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, x_t&=2 \operatorname{sign}c\biggl(\frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi_t}- \frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi}\biggr), \notag \\ y_t&=2( \operatorname{th} \varphi_t- \operatorname{th} \varphi)-t , \notag \\ z_t&=-\frac{x_t y_t}{2}- \frac{2\operatorname{sign} c}{ \operatorname{ch} \varphi}\, y_t+ 2\operatorname{sign}c\biggl(\frac{ \operatorname{th} \varphi_t}{ \operatorname{ch} \varphi_t}- \frac{ \operatorname{th} \varphi}{ \operatorname{ch} \varphi}\biggr), \notag \\ v_t&=\frac{2}{3}\biggl( \operatorname{th} \varphi_t- \operatorname{th} \varphi+ 2\,\frac{ \operatorname{th} \varphi_t}{ \operatorname{ch} ^2\varphi_t}- 2\,\frac{ \operatorname{th} \varphi}{ \operatorname{ch} ^2\varphi}\biggr)+ \frac{y_t^3}{6}+\frac{2y_t}{ \operatorname{ch} ^2\varphi}- \frac{4}{ \operatorname{ch} \varphi}\biggl(\frac{ \operatorname{th} \varphi_t}{ \operatorname{ch} \varphi_t}- \frac{ \operatorname{th} \varphi}{ \operatorname{ch} \varphi}\biggr). \end{aligned} \end{equation} \tag{2.110} $$
Параметризация геодезических для произвольных $\lambda=(\varphi,k,\alpha) \in \bigcup\limits_{i=1}^3 C_i$ получается из случая $\alpha=1$ с помощью дилатаций и отражения:
  • $\bullet$ если $\alpha > 0$, то
    $$ \begin{equation*} (x_t,y_t,z_t,v_t)(\varphi,k,\alpha)=\biggl(\frac{x_{t'}}{\alpha^{1/2}}\,, \frac{y_{t'}}{\alpha^{1/2}}\,,\frac{z_{t'}}{\alpha}\,, \frac{v_{t'}}{\alpha^{3/2}}\biggr)(\sqrt\alpha\,\varphi,k,1), \quad t'=t\sqrt\alpha\,; \end{equation*} \notag $$
  • $\bullet$ если $\alpha < 0$, то
    $$ \begin{equation*} (x_t,y_t,z_t,v_t)(\varphi,k,\alpha)=(-x_t,-y_t,z_t,-v_t)(\varphi,k,-\alpha). \end{equation*} \notag $$
В оставшихся случаях $\lambda \in \bigcup\limits_{i=4}^7C_i$ геодезические параметризуются элементарными функциями.

Если $\lambda \in C_4$, то

$$ \begin{equation*} x_t=0, \qquad y_t=t \operatorname{sign}\alpha, \qquad z_t=0, \qquad v_t=\frac{t^3}{6} \operatorname{sign} \alpha. \end{equation*} \notag $$

Если $\lambda \in C_5$, то

$$ \begin{equation*} x_t=0, \qquad y_t=- t \operatorname{sign} \alpha, \qquad z_t=0, \qquad v_t=-\frac{t^3}{6} \operatorname{sign} \alpha. \end{equation*} \notag $$

Если $\lambda \in C_6$, то

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, x_t=\frac{\cos (c t+\theta)-\cos \theta}{c}\,,\qquad y_t=\frac{\sin(c t+\theta)-\sin \theta}{c}\,, \qquad z_t=\frac{ct-\sin(ct)}{2c^2}\,, \\ v_t=\frac{3\cos\theta-2ct\sin\theta- 4\cos(ct+\theta)+\cos(2ct+\theta)}{4c^3}\,. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Если $\lambda \in C_7$, то

$$ \begin{equation*} x_t=-t\sin\theta, \qquad y_t=t\cos\theta, \qquad z_t=0, \qquad v_t=\frac{t^3}{6}\cos\theta. \end{equation*} \notag $$

Проекции геодезических на плоскость $(x,y)$ суть эйлеровы эластики (см. раздел 2.6): инфлексионные при $\lambda \in C_1$, неинфлексионные при $\lambda \in C_2$, критические при $\lambda \in C_3$, прямые при $\lambda \in C_4 \cup C_5 \cup C_7$ и окружности при $\lambda \in C_6$.

Семейство всех геодезических параметризуется экспоненциальным отображением

$$ \begin{equation*} \operatorname{Exp} \colon N=C \times \mathbb{R}_+ \to M,\quad \operatorname{Exp}(\lambda,t)=g_t=(x_t,y_t,z_t,v_t). \end{equation*} \notag $$

2.9.4. Симметрии экспоненциального отображения и время Максвелла

Дилатации (2.106), (2.107) образуют однопараметрическую группу симметрий экспоненциального отображения. Имеется также дискретная группа симметрий, образованная отражениями:

$$ \begin{equation*} \operatorname{Sym}=\{\operatorname{Id},\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^7\} \cong \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2. \end{equation*} \notag $$

Пусть $\vec H_v=c\,\dfrac{\partial}{\partial\theta}- \alpha\sin\theta\,\dfrac{\partial}{\partial c}\in\operatorname{Vec}(C)$ есть вертикальная часть нормального гамильтонова поля $\vec H$. Следующие отображения $\varepsilon^i\colon C \to C$ сохраняют поле направлений векторного поля $\vec H_v$:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \varepsilon^1\colon (\theta,c,\alpha) &\mapsto (\theta,-c,\alpha), \\ \varepsilon^2\colon (\theta,c,\alpha) &\mapsto (-\theta,c,\alpha), \\ \varepsilon^3\colon (\theta,c,\alpha) &\mapsto (-\theta,-c,\alpha), \\ \varepsilon^4\colon (\theta,c,\alpha) &\mapsto (\theta+\pi,c,-\alpha), \\ \varepsilon^5\colon (\theta,c,\alpha) &\mapsto (\theta+\pi,-c,-\alpha), \\ \varepsilon^6\colon (\theta,c,\alpha) &\mapsto (-\theta+\pi,c,-\alpha), \\ \varepsilon^7\colon (\theta,c,\alpha) &\mapsto (-\theta+\pi,-c,-\alpha). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
А именно, $\varepsilon^i_*\vec H_v=\vec H_v$ при $i=3,4,7$ и $\varepsilon^i_*\vec H_v=-\vec H_v$ при $i=1,2,5,6$. Действие отражений $\varepsilon^i\colon C \to C$ продолжается до симметрий экспоненциального отображения следующим образом.

Действие $\varepsilon^i\colon N \to N$, $N=C \times \mathbb{R}_{+}$, определяется как

$$ \begin{equation*} {\varepsilon}^i(\lambda,t)=\begin{cases} \bigl({\varepsilon}^i(\lambda),t\bigr), & \text{если}\ {\varepsilon}^i_* \vec{H}_v=\vec{H}_v, \\ \bigl({\varepsilon}^i \circ e^{t \vec{H}_v}(\lambda),t\bigr), & \text{если } \ {\varepsilon}^i_* \vec{H}_v=-\vec{H}_v. \end{cases} \end{equation*} \notag $$

Действие $\varepsilon^i\colon G \to G$ определяется как

$$ \begin{equation*} \varepsilon^i(q)=\varepsilon^i(x,y,z,v)=g^i=(x^i,y^i,z^i,v^i), \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, (x^1, y^1, z^1, v^1)&=(x, y, -z, v-x z), \\ (x^2, y^2, z^2, v^2)&=(-x, y, z, v-x z), \\ (x^3, y^3, z^3, v^3)&=(-x, y, -z, v), \\ (x^4, y^4, z^4, v^4)&=(-x, -y, z, -v), \\ (x^5, y^5, z^5, v^5)&=(-x, -y, -z, -v+x z), \\ (x^6, y^6, z^6, v^6)&=(x, -y, z, -v+x z), \\ (x^7, y^7, z^7, v^7)&=(x, -y, -z, -v). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Предложение 2.11. Группа $\operatorname{Sym}$ есть подгруппа группы симметрий экспоненциального отображения.

Теорема 2.41. Первое время Максвелла, соответствующее группе симметрий $\operatorname{Sym}$, для почти всех геодезических выражается следующим образом:

$$ \begin{equation} \lambda \in C_1 \quad\Longrightarrow\quad t_{\rm Max}^1= \frac{\min\bigl(2 p_z^1(k),4 K(k)\bigr)}{\sigma}\,, \end{equation} \tag{2.111} $$
$$ \begin{equation} \lambda \in C_2 \quad\Longrightarrow\quad t_{\rm Max}^1= \frac{2kK(k)}{\sigma}\,, \end{equation} \tag{2.112} $$
$$ \begin{equation} \lambda \in C_6 \quad\Longrightarrow\quad t_{\rm Max}^1=\frac{2\pi}{|c|}\,, \end{equation} \tag{2.113} $$
$$ \begin{equation} \lambda \in C_3 \cup C_4 \cup C_5 \cup C_7 \quad\Longrightarrow\quad t_{\rm Max}^1=+\infty, \end{equation} \tag{2.114} $$
где $\sigma=\sqrt{|\alpha|}$, а $p^1_z(k)\in \bigl(K(k),3K(k)\bigr)$ есть первый положительный корень функции $f_z(p,k)=\operatorname{dn} p \, \operatorname{sn}p+(p-2\operatorname{E}(p))\operatorname{cn}p$.

Замечание 2.3. Для тех геодезических, для которых первое время Максвелла не равно $t_{\rm Max}^1$, оно больше этого значения, а $t_{\rm Max}^1$ есть первое сопряженное время.

Теорема 2.42. Функция $t_{\rm Max}^1\colon C \to (0,+\infty]$ имеет следующие свойства инвариантности:

(1) $t_{\rm Max}^1(\lambda)$ зависит только от значений $E$ и $|\alpha|$;

(2) $t_{\rm Max}^1(\lambda)$ есть первый интеграл поля $\vec H_v$;

(3) $t_{\rm Max}^1(\lambda)$ инвариантна относительно отражений: если $(\lambda,t) \in C\times \mathbb{R}_+$, $(\lambda^i, t)=\varepsilon^i(\lambda, t)$, то

$$ \begin{equation*} t_{\rm Max}^1(\lambda^i)=t_{\rm Max}^1(\lambda); \end{equation*} \notag $$

(4) $t_{\rm Max}^1(\lambda)$ однородна относительно дилатаций: если $\lambda \in C$, $\lambda_s=\delta_s(\lambda) \in C$, то

$$ \begin{equation*} t_{\rm Max}^1(\lambda_s)=e^st_{\rm Max}^1(\lambda),\qquad s \in \mathbb{R}. \end{equation*} \notag $$

2.9.5. Нижняя оценка сопряженного времени

Теорема 2.43. Для любого $\lambda \in C$

$$ \begin{equation*} t_{\rm conj}^1(\lambda) \geqslant t_{\rm Max}^1(\lambda). \end{equation*} \notag $$

2.9.6. Диффеоморфная структура экспоненциального отображения

Рассмотрим подмножество в пространстве состояний, не содержащее неподвижных точек симметрий $\varepsilon^1$, $\varepsilon^2$:

$$ \begin{equation*} \widetilde G=\{g \in G \mid \varepsilon^1(g) \ne g \ne \varepsilon^2(g)\}= \{g \in G \mid xz \ne 0\}, \end{equation*} \notag $$
и его связные компоненты:
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, G_1&=\{g \in G \mid x < 0, z > 0\}, \\ G_2&=\{g \in G \mid x < 0, z < 0\}, \\ G_3&=\{g \in G \mid x > 0, z < 0\}, \\ G_4&=\{g \in G \mid x > 0, z > 0\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Также рассмотрим открытое плотное подмножество в пространстве всех потенциально оптимальных геодезических:
$$ \begin{equation*} \widetilde{N}=\{(\lambda, t) \in N \mid t < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t/2} \sin \theta_{t/2} \ne 0\}, \end{equation*} \notag $$
и его связные компоненты:
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, D_1&=\bigl\{(\lambda, t) \in N \mid t \in \bigl(0,t_{\rm Max}^1(\lambda)\bigr), \ \sin\theta_{t/2} > 0, \ c_{t/2} > 0\bigr\}, \\ D_2&=\bigl\{(\lambda, t) \in N \mid t \in \bigl(0,t_{\rm Max}^1(\lambda)\bigr), \ \sin\theta_{t/2} > 0, \ c_{t/2} < 0\bigr\}, \\ D_3&=\bigl\{(\lambda, t) \in N \mid t \in \bigl(0, t_{\rm Max}^1(\lambda)\bigr), \ \sin\theta_{t/2} < 0, \ c_{t/2} < 0\bigr\}, \\ D_4&=\bigl\{(\lambda, t) \in N \mid t \in \bigl(0, t_{\rm Max}^1(\lambda)\bigr), \ \sin\theta_{t/2} < 0, \ c_{t/2} > 0\bigr\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Теорема 2.44. Следующие отображения являются диффеоморфизмами:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \operatorname{Exp}\colon D_i &\to G_i, \quad i=1,\dots,4, \\ \operatorname{Exp}\colon \widetilde N &\to \widetilde G. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

2.9.7. Время разреза

Теорема 2.45. Для любого $\lambda \in C$

$$ \begin{equation*} t_{\rm cut}(\lambda)=t_{\rm Max}^1(\lambda). \end{equation*} \notag $$

2.9.8. Множество разреза и его стратификация

Теорема 2.46. Множество разреза $\operatorname{Cut}$ содержится в объединении координатных подпространств $\{x=0\}$ и $\{z=0\}$. Оно инвариантно относительно дилатаций и дискретных симметрий:

$$ \begin{equation*} e^{tY}(\operatorname{Cut})=\operatorname{Cut}, \quad t \in \mathbb{R};\qquad \varepsilon^i(\operatorname{Cut})=\operatorname{Cut}, \quad i=1,\dots,7. \end{equation*} \notag $$

Теорема 2.47. Множество разреза имеет стратификацию

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \operatorname{Cut}&= (\mathcal{I}_{x+} \sqcup \mathcal{I}_{x-}) \sqcup (\mathcal{N}{x+} \sqcup \mathcal{N}{x-}) \sqcup (\mathcal{I}_{z+} \sqcup \mathcal{I}_{z-}) \\ &\qquad\sqcup (\mathcal{CI}_{x+}^{+} \sqcup \mathcal{CI}_{x+}^{-} \sqcup \mathcal{CI}_{x-}^{+}\sqcup \mathcal{CI}_{x-}^{-})\sqcup (\mathcal{CN}_{x+}^{+}\sqcup \mathcal{CN}_{x+}^{-} \sqcup \mathcal{CN}_{x-}^{+} \sqcup \mathcal{CN}_{x-}^{-}) \\ &\qquad\sqcup (\mathcal{CI}_{z+}^{+} \sqcup \mathcal{CI}_{z+}^{-} \sqcup \mathcal{CI}_{z-}^{+} \sqcup \mathcal{CI}_{z-}^{-}) \\ &\qquad\sqcup (\mathcal{E}_{+} \sqcup \mathcal{E}_{-}). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Пересечения множества разреза с координатными подпространствами имеют стратификации
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \operatorname{Cut} \cap \{z=0\} &= (\mathcal{I}_{z+} \mathbin{\sqcup} \mathcal{I}_{z-}) \mathbin{\sqcup} (\mathcal{CI}_{z+}^{+} \mathbin{\sqcup} \mathcal{CI}_{z+}^{-} \mathbin{\sqcup} \mathcal{CI}_{z-}^{+} \mathbin{\sqcup} \mathcal{CI}_{z-}^{-}) \\ &\qquad\mathbin{\sqcup} (\mathcal{I}_{x+}^0 \mathbin{\sqcup} \mathcal{I}_{x-}^0)\mathbin{\sqcup} (\mathcal{E}_{+} \mathbin{\sqcup} \mathcal{E}_{-}), \\ \operatorname{Cut} \cap \{x=0\} &=(\mathcal{I}_{x+} \mathbin{\sqcup} \mathcal{I}_{x-}) \mathbin{\sqcup} (\mathcal{CI}_{x+}^{+} \mathbin{\sqcup} \mathcal{CI}_{x+}^{-} \mathbin{\sqcup} \mathcal{CI}_{x-}^{+} \mathbin{\sqcup} \mathcal{CI}_{x-}^{-}) \\ &\qquad\mathbin{\sqcup} (\mathcal{N}_{x+} \mathbin{\sqcup} \mathcal{N}_{x-})\mathbin{\sqcup} (\mathcal{CN}_{x+}^{+} \mathbin{\sqcup} \mathcal{CN}_{x+}^{-} \mathbin{\sqcup} \mathcal{CN}_{x-}^{+} \mathbin{\sqcup} \mathcal{CN}_{x-}^{-}) \\ &\qquad\mathbin{\sqcup} (\mathcal{I}_{z+}^0 \mathbin{\sqcup} \mathcal{I}_{z-}^0)\mathbin{\sqcup} (\mathcal{E}_{+} \mathbin{\sqcup} \mathcal{E}_{-}), \\ \operatorname{Cut} \cap \{x=z=0\} &= (\mathcal{I}_{z+}^0 \mathbin{\sqcup} \mathcal{I}_{z-}^0) \mathbin{\sqcup} (\mathcal{I}_{x+}^0 \mathbin{\sqcup} \mathcal{I}_{x-}^0) \mathbin{\sqcup} (\mathcal{E}_{+} \mathbin{\sqcup} \mathcal{E}_{-}). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
При этом $\mathcal{I}_{x\pm}^0 \subset \mathcal{I}_{x\pm}$, $\mathcal{I}_{z\pm}^0 \subset \mathcal{I}_{z\pm}$, а также
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \mathcal{I}_{z+} &= \bigl\{g \in G \mid z=0, \ y > Y_0^1 |x|, \ w < G_1(x,y)\bigr\} \simeq \mathbb{R}^3, \\ \mathcal{I}_{x+} &= \bigl\{g \in G \mid x=0, \ y > 0, \ w > G_2(z,y)\bigr\} \simeq \mathbb{R}^3, \\ \mathcal{N}{x\pm} &= \bigl\{g \in G \mid x=0, \ \operatorname{sign} z=\pm 1, \ -G_3(z,-y) < w < G_3(z,y)\bigr\} \simeq \mathbb{R}^3, \\ \mathcal{CI}_{z+}^{\pm} &= \bigl\{g \in G \mid z=0, \ y > Y_0^1 |x|, \ w=G_1(x,y), \operatorname{sign} x=\pm 1\bigr\} \simeq \mathbb{R}^2, \\ \mathcal{CI}_{x+}^{\pm} &= \bigl\{g \in G \mid z=0, \ y > 0, \ w=G_2(x,y), \operatorname{sign} z=\pm 1\bigr\} \simeq \mathbb{R}^2, \\ \mathcal{CN}_{x\pm}^{+} &= \bigl\{g \in G \mid x=0, \ \operatorname{sign} z =\pm 1, \ w=G_3(z,y)\bigr\} \simeq \mathbb{R}^2, \\ \mathcal{I}_{z\pm}^0 &= \bigl\{g \in G \mid x=z=0, \ y w < 0, \ \operatorname{sign} y=\pm 1 \bigr\} \simeq \mathbb{R}^2, \\ \mathcal{I}_{x\pm}^0 &= \bigl\{g \in G \mid x=z=0, \ y w > 0, \ \operatorname{sign} y=\pm 1 \bigr\} \simeq \mathbb{R}^2, \\ \mathcal{E}_{\pm} &= \bigl\{g \in G \mid x=y=z=0, \ \operatorname{sign} w=\pm 1 \bigr\} \simeq \mathbb{R}^1, \\ \end{aligned} \\ \begin{gathered} \, \mathcal{I}_{z-} = \varepsilon^4(\mathcal{I}_{z+}), \quad \mathcal{I}_{x-}=\varepsilon^4(\mathcal{I}_{z+}), \\ \mathcal{CI}_{z-}^{\pm}=\varepsilon^4(\mathcal{CI}_{z+}^{\pm}), \quad \mathcal{CI}_{x-}^{\pm}=\varepsilon^4(\mathcal{CI}_{x+}^{\pm}), \quad \mathcal{CN}_{x\pm}^{-}=\varepsilon^4(\mathcal{CN}_{x\pm}^{+}), \end{gathered} \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
где $Y_0^1 < 0$, а $G_i$, $i=1,2,3,$ – некоторые гладкие функции, обладающие следующими свойствами:
$$ \begin{equation*} \begin{alignedat}{4} G_1(0,y)&=0, &\qquad G_1(-x,y)&=G_1(x,y), &\qquad G_1(\rho x,\rho y)&=\rho^3 G_1(x,y),&\quad \rho&>0; \\ G_2(0,y)&=0, &\qquad G_2(-z,y)&=G_2(z,y),&\qquad G_2(\rho^2 z,\rho y)&=\rho^3 G_2(z,y),&\quad \rho&>0; \\ &&G_3(-z,y)&=G_3(z,y), &\qquad G_3(\rho^2 z,\rho y)&=\rho^3 G_3(z,y),&\quad \rho&>0. \end{alignedat} \end{equation*} \notag $$

Трехмерные страты $\mathcal{I}_{x\pm}$, $\mathcal{I}_{z\pm}$ (или $\mathcal{N}_{x\pm}$) состоят из точек, для которых проекции кратчайших на плоскость $(x,y)$ суть инфлексионные, т. е. имеющие точки перегиба (соответственно неинфлексионные, т. е. не имеющие точек перегиба), эластики, см. раздел 2.6. Для одномерных стратов $\mathcal{E}_{\pm}$ соответствующие эластики замкнуты (имеют форму восьмерки, “figure-of-eight elastica”).

На рис. 35, 36 изображены стратификации множества разреза и его пересечения с координатными подпространствами. На рис. 35 показана топология примыкания стратов множества разреза в факторе по дилатациям $Y$. На рис. 36 представлено пересечение $\operatorname{Cut} \mathrel{\cap} \{x=z=0\}$.

На рис. 37 изображено множество $\operatorname{Cut}\cap \{z=0\}$ после факторизации по дилатациям $Y$; фактор $\{z=0\}/ e^{\mathbb{R} Y}$ представлен топологической сферой $\{g \in G \mid x^6+y^6+w^2=1\}$. Аналогично на рис. 38 изображен фактор $(\operatorname{Cut}\mathrel{\cap} \{x=0\})/ e^{\mathbb{R}Y}$ на топологической сфере $\{g \in G \mid y^6+|z|^3+w^2=1\}$.

Очевидно, что в каждую точку $g_1 \in G \setminus \operatorname{Cut}$ приходит ровно одна субриманова кратчайшая. Ниже аналогичное свойство описано для точек $g_1 \in \operatorname{Cut}$.

Теорема 2.48. (1) В каждую точку трехмерных стратов множества разреза приходят ровно две кратчайшие (эти страты состоят из точек Максвелла, не являющихся сопряженными).

(2) В каждую точку двумерных стратов приходит единственная кратчайшая (эти страты состоят из сопряженных точек, не являющихся точками Максвелла).

(3) В каждую точку одномерных стратов приходит однопараметрическое семейство кратчайших (эти страты состоят из точек Максвелла, являющихся одновременно сопряженными точками).

Множество разреза незамкнуто, так как оно содержит точки, сколь угодно близкие к начальной точке $q_0$, но не саму эту точку (это общий факт субримановой геометрии). Замыкание множества разреза в субримановой задаче на группе Энгеля допускает следующее простое описание.

Теорема 2.49. $\operatorname{cl}(\operatorname{Cut})=\operatorname{Cut} \mathrel{\sqcup} \mathcal{A}_+ \sqcup \mathcal{A}_- \sqcup \{g_0\}$.

Примыкание анормальных траекторий $\mathcal{A}_{\pm}$ к стратам множества разреза изображено на рис. 35 слева.

Теорема 2.50. Имеют место стратификации

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \operatorname{Cut} \cap \operatorname{Conj} &= \bigsqcup_{i \in \{+,-\}\, j\in\{+,-\}} (\mathcal{CI}_{zi}^j \sqcup \mathcal{CI}_{xi}^j \sqcup \mathcal{CN}_{xi}^j) \sqcup \mathcal{E}_+\sqcup \mathcal{E}_-, \\ \operatorname{Cut} \cap \operatorname{Max} &= \bigsqcup_{i \in \{+,-\}} (\mathcal{I}_{zi} \sqcup \mathcal{I}_{xi} \sqcup \mathcal{N}_x^{i} \sqcup \mathcal{E}_i). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

2.9.9. Сфера

Субримановы сферы переходят друг в друга при левых сдвигах:

$$ \begin{equation*} L_g(S_R(g_0))=S_R(g g_0), \end{equation*} \notag $$
и дилатациях:
$$ \begin{equation*} \delta_s(S_R(\operatorname{Id}))=S_{R'}(\operatorname{Id}), \qquad R'=e^s R, \end{equation*} \notag $$
поэтому достаточно исследовать единичную сферу $S=S_1(\operatorname{Id})$.

Единичная сфера инвариантна относительно отражений:

$$ \begin{equation*} \varepsilon^i(S)=S, \qquad i=1,\dots,7. \end{equation*} \notag $$
Рассмотрим сечение единичной сферы двумерным инвариантным многообразием основных симметрий $\varepsilon^1$, $\varepsilon^2$:
$$ \begin{equation*} \widetilde{S}=\{g \in S \mid \varepsilon^1(g)= \varepsilon^2(g)=g\}=S \cap \{x=z=0\} \end{equation*} \notag $$
(см. рис. 39).

Сечение $\widetilde{S}$ центрально-симметрично в силу отражения $\varepsilon^4$:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \varepsilon^4(\gamma_i)=\gamma_{i+2}, \qquad i=1, 2, \\ \varepsilon^4(A_+)=A_-, \qquad \varepsilon^4(C_+)=C_-. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Различные точки сечения $\widetilde{S}$ можно охарактеризовать следующим образом: Точки сечения $\widetilde{S}$ имеют следующую кратность $\mu$ (количество кратчайших, приходящих из $\operatorname{Id}$ в эту точку):

Теорема 2.51. Сечение $\widetilde{S}$ имеет следующую регулярность в различных своих точках:

(1) кривые $\gamma_i$ аналитичны и регулярны;

(2) $A_{\pm}$, $C_{\pm}$ – особые точки, в них $\widetilde{S}$ негладкая, но липшицева;

(3) $\overline{\gamma}_2=\gamma_2 \cup \{C_+, A_+\}$ – гладкая класса $C^{\infty}$;

(4) $\gamma_1 \cup \{C_+\}$ – гладкая класса $C^{\infty}$;

(5) $\gamma_1 \cup \{A_-\}$ – гладкая класса $C^{1}$.

Теорема 2.52. (1) Множество $\widetilde{S} \setminus \{A_+, A_-\}$ полуаналитично, а потому субаналитично.

(2) В окрестности точки $A_-$ кривая $\gamma_1$ есть график неаналитической функции

$$ \begin{equation*} w=\frac 16 Y^3-4 Y^3 \exp\biggl(-\frac{2}{Y}\biggr)(1+ o(1)), \qquad Y=\frac{y+1}{2} \to 0. \end{equation*} \notag $$

(3) Множество $\widetilde{S}$ неполуаналитично, следовательно, несубаналитично.

(4) Сфера $S$ несубаналитична.

Замечание 2.4. Утверждение о несубаналитичности сферы Энгеля $S$ следует также из проекции сферы Энгеля на (несубаналитическую) сферу Мартине (см. раздел 2.3).

Теорема 2.53. В окрестности точки $A_-$ кривая $\gamma_1$ есть график функции из $\exp$-$\log$-категории:

$$ \begin{equation*} w=F\biggl(Y,\frac{e^{-1/Y}}{Y}\biggr), \qquad Y=\frac{y+1}{2} \to 0, \end{equation*} \notag $$
где $F(\xi,\eta)$ есть аналитическая функция в окрестности точки $(\xi,\eta )=(0,0)$.

Поэтому множество $\widetilde{S}$ принадлежит $\exp$-$\log$-категории.

Теорема 2.54. Разбиение

$$ \begin{equation*} \widetilde{S}=\bigcup_{i=1}^4 \gamma_i \cup \{A_+,A_-,C_+,C_-\} \end{equation*} \notag $$
есть стратификация Уитни.

2.9.10. Явные выражения для субриманова расстояния

Для некоторых точек группы Энгеля известно их субриманово расстояние до единичного элемента:

2.9.11. Метрические прямые

Теорема 2.55. Натурально параметризованными метрическими прямыми на группе Энгеля являются следующие геодезические (и только они):

(1) однопараметрические подгруппы, касающиеся распределения:

$$ \begin{equation} \begin{aligned}[t] \, &e^{(u_1X_1+u_2X_2) t}=\operatorname{Exp}(\lambda, t), \qquad t \in \mathbb{R}, \\ &u_1=-\sin \theta, \quad u_2=\cos \theta, \quad \lambda=(\theta, c=0, \alpha) \in C_4\cup C_5, \notag \end{aligned} \end{equation} \tag{2.115} $$

(2) критические геодезические:

$$ \begin{equation} \operatorname{Exp}(\lambda, t), \qquad \lambda \in C_3, \quad t\in \mathbb{R}. \end{equation} \tag{2.116} $$

Замечание 2.5. Геодезические (2.115) проецируются на плоскость $(x,y)$ в евклидовы прямые, из них анормальными являются только кривые

$$ \begin{equation*} e^{X_2 t}=\operatorname{Exp}(\lambda,t), \qquad \lambda=(\theta=0, c=0, \alpha)\in C_4 \cup C_5. \end{equation*} \notag $$
Геодезические (2.116) проецируются на плоскость $(x,y)$ в критические эйлеровы эластики (см. рис. 24), так называемые солитоны Эйлера.

2.9.12. Библиографические комментарии

Пункты 2.9.1, 2.9.3, 2.9.4 опираются на [19], п. 2.9.2 – на [124], п. 2.9.5 – на [20], пп. 2.9.6, 2.9.11 – на [21], п. 2.9.8 – на [22], п. 2.9.9 – на [145].

Параметризация субримановых геодезических на группе Энгеля впервые получена в работе [158].

Субриманова задача на группе Энгеля рассматривалась также в [23], [142].

2.10. Субриманова задача на группе Картана

2.10.1. Постановка задачи

Геометрическая постановка. Рассмотрим следующее обобщение (усложнение) задач на группе Гейзенберга [143], [157] и группе Энгеля (раздел 2.9) – обобщенную задачу Дидоны. Пусть на евклидовой плоскости заданы точки $a_0,a_1 \in \mathbb{R}^2$, соединенные кривой $\gamma_0 \subset \mathbb{R}^2$. Пусть также заданы число $S \in \mathbb{R}$ и точка $c\in \mathbb{R}^2$. Требуется соединить точки $a_0$ и $a_1$ кратчайшей кривой $\gamma \subset \mathbb{R}^2$ так, чтобы кривые $\gamma_0$ и $\gamma$ ограничивали на плоскости область алгебраической площади $S$ с центром масс $c$.

Задача оптимального управления. Эту геометрическую задачу можно переформулировать как задачу оптимального управления:

$$ \begin{equation} \dot{g}=u_1 X_1(g)+u_2 X_2(g), \qquad g=(x, y, z, v, w) \in \mathbb{R}^5, \end{equation} \tag{2.117} $$
$$ \begin{equation} g(0)=g_0, \quad g(t_1)=g_1, \end{equation} \tag{2.118} $$
$$ \begin{equation} l=\int_0^{t_1}\sqrt{u_1^2+u_2^2}\,\,dt \to \min, \end{equation} \tag{2.119} $$
$$ \begin{equation} X_1=\frac{\partial}{\partial x}-\frac{y}{2}\,\frac{\partial}{\partial z}- \frac{x^2 +y^2}{2}\,\frac{\partial}{\partial w}\,, \quad X_2=\frac{\partial}{\partial y}+\frac{x}{2}\,\frac{\partial}{\partial z}+ \frac{x^2 +y^2}{2}\,\frac{\partial}{\partial v}\,. \end{equation} \tag{2.120} $$
Это субриманова задача для субримановой структуры на $\mathbb{R}^5$, заданной векторными полями $X_1$, $X_2$ как ортонормированным репером.

Алгебра Картана и группа Картана. Алгеброй Картана называется пятимерная свободная нильпотентная алгебра Ли $\mathfrak{g}$ с двумя образующими, глубины 3. Существует базис $\mathfrak{g}=\operatorname{span}(X_1,\dots,X_5)$, в котором ненулевые скобки Ли суть

$$ \begin{equation*} [X_1,X_2]=X_3, \quad [X_1,X_3]=X_4, \quad [X_2,X_3]=X_5 \end{equation*} \notag $$
(см. рис. 40).

Алгебра Картана имеет градуировку

$$ \begin{equation*} \mathfrak{g}=\mathfrak{g}^{(1)} \oplus \mathfrak{g}^{(2)} \oplus \mathfrak{g}^{(3)}, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \mathfrak{g}^{(1)}=\operatorname{span}(X_1,X_2),\quad \mathfrak{g}^{(2)}=\mathbb{R} X_3,\quad \mathfrak{g}^{(3)}=\operatorname{span}(X_4,X_5),\qquad [\mathfrak{g}^{(1)}, \mathfrak{g}^{(i)}]=\mathfrak{g}^{(i+1)}, \\ \mathfrak{g}^{(4)}=\mathfrak{g}^{(5)}=\{0\}, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
поэтому она является алгеброй Карно. Соответствующая связная односвязная группа Ли $G$ называется группой Картана.

На пространстве $\mathbb{R}^5_{x,y,z,v,w}$ можно ввести закон умножения

$$ \begin{equation*} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \\ v_1 \\ w_1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \\ v_2 \\ w_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2+(x_1 y_2-y_1 x_2)/2 \\ v_1+v_2+(x_1^2+y_1^2+x_1 x_2+y_1 y_2)y_2/2+x_1 z_2 \\ w_1+w_2-(x_1^2+y_1^2+x_1x_2+y_1 y_2)x_2/2+y_1z_2 \end{pmatrix}, \end{equation*} \notag $$
который превращает это пространство в группу Картана: $G \cong \mathbb{R}^5_{x,y,z,v,w}$, а поля (2.120) в левоинвариантные поля на этой группе. Таким образом, задача (2.117)(2.119) есть левоинвариантная субриманова задача на группе Картана. Следовательно, можно считать, что $g_0=\operatorname{Id}=(0,\dots,0)$.

Помимо модели (2.120) известны и другие модели субримановой задачи на группе Картана [10], [56], [124].

Левоинвариантная субриманова задача с вектором роста $(2,3,5)$ на группе Картана единственна с точностью до изоморфизма этой группы [124].

Особенности задачи. Субриманова задача на группе Картана есть простейшая левоинвариантная задача со следующими свойствами:

Эта задача – единственная свободная нильпотентная субриманова задача глубины 3 с интегрируемым по Лиувиллю нормальным гамильтоновым полем принципа максимума Понтрягина (неинтегрируемыми по Лиувиллю являются свободные нильпотентные задачи глубины 3, ранга более 2 [50], а также глубины более 3, ранга не менее 2 [104]).

Распределение $\Delta=\operatorname{span}(X_1,X_2)$ имеет 14-мерную алгебру инфинитезимальных симметрий – особую алгебру $\mathfrak{g}_2$, этот факт восходит к знаменитой “пятимерной” работе Эли Картана [62] (см. также далее п. 2.10.2).

Наконец, субриманова задача на группе Картана доставляет нильпотентную аппроксимацию любой задачи с вектором роста $(2,3,5)$, в частности:

Любой из этих причин достаточно для детального исследования субримановой задачи на группе Картана.

2.10.2. Симметрии распределения и субримановой структуры

Теорема 2.56. Алгебра Ли инфинитезимальных симметрий распределения $\Delta$ на группе Картана есть $14$-мерная алгебра $\mathfrak{g}_2$ – некомпактная вещественная форма комплексной особой алгебры Ли $\mathfrak{g}_2^{\mathbb{C}}$.

Теорема 2.57. Алгебра Ли инфинитезимальных симметрий нильпотентной субримановой структуры на группе Картана есть $6$-мерная алгебра Ли, в которой можно выбрать базис $X_0,Y_1,\dots,Y_5$ с ненулевыми скобками

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, [X_0,Y_1]=-Y_2, \qquad [X_0,Y_2]=Y_1, \\ [X_0,Y_4]=-Y_5, \qquad [X_0,Y_5]=Y_4, \\ [Y_1, Y_2]=Y_3,\quad [Y_1, Y_3]=Y_4, \quad [Y_2, Y_3]=Y_5. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Векторные поля $Y_1,\dots,Y_5$ – правоинвариантные поля на группе $G$, а поле $X_0$ обращается в нуль в единице этой группы. Коммутаторы симметрий с базисными полями субримановой структуры имеют вид
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, [Y_i, X_j]=0, \qquad i,j=1,\dots,5, \\ [X_0, X_1]= -X_2, \quad [X_0, X_2]=X_1, \quad [X_0, X_3]=0, \\ [X_0, X_4]=-X_5, \quad [X_0, X_5]=X_4. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
В модели (2.120)
$$ \begin{equation*} X_0=-y\,\frac{\partial}{\partial x}+x\,\frac{\partial}{\partial y}- w\,\frac{\partial}{\partial v}+v\,\frac{\partial}{\partial w}\,. \end{equation*} \notag $$

Представление алгебры Ли симметрий распределения и субримановой структуры векторными полями в $\mathbb{R}^5$ приведено в работе [124].

2.10.3. Геодезические

Существование оптимальных управлений в задаче (2.117)(2.119) следует из теорем Рашевского–Чжоу и Филиппова.

Принцип максимума Понтрягина. Переходя от минимизации длины (2.119) к минимизации энергии $J=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{t_1} (u_1^2+u_2^2)\,dt$ и используя линейные на слоях $T^*G$ гамильтонианы $h_i(\lambda)=\langle\lambda, X_i\rangle$, $i=1,\dots,5$, получаем условия принципа максимума Понтрягина:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \dot h_1=-u_2 h_3,\quad \dot h_2=u_1 h_3,\quad \dot h_3=u_1 h_4+u_2 h_5,\quad \dot h_4=0,\quad \dot h_5=0, \\ \dot{g}=u_1 X_1+u_2 X_2, \\ u_1 h_1+u_2 h_2+\frac{\nu}{2}(u_1^2+u_2^2) \to \max_{(u_1,u_2) \in \mathbb{R}^2}, \\ \nu \leqslant 0,\qquad (h_1,\dots,h_5,\nu) \ne 0. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Анормальные экстремали. Анормальные экстремали постоянной скорости могут быть параметризованы как

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, h_1= h_2=h_3=0, \quad (h_4, h_5) \equiv \operatorname{const} \ne 0, \\ (u_1, u_2) \equiv \operatorname{const}, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
$$ \begin{equation} x=u_1 t, \end{equation} \tag{2.121} $$
$$ \begin{equation} y=u_2 t, \end{equation} \tag{2.122} $$
$$ \begin{equation} z=0, \end{equation} \tag{2.123} $$
$$ \begin{equation} v=\frac{1}{6}(u_1^2+u_2^2)u_1 t^3, \end{equation} \tag{2.124} $$
$$ \begin{equation} w=-\frac{1}{6}(u_1^2+u_2^2)u_2 t^3. \end{equation} \tag{2.125} $$
Анормальные траектории (2.121)(2.125) суть однопараметрические подгруппы $g_t=e^{t(u_1X_1+u_2X_2)}$, касающиеся распределения $\Delta$. Они проецируются на плоскость $(x,y)$ в прямые, поэтому являются кратчайшими.

Анормальное множество есть двумерное гладкое многообразие, диффеоморфное $\mathbb{R}^2$:

$$ \begin{equation*} \operatorname{Abn}=\biggl\{g \in G \Bigm| z=v-\frac{1}{6}(x^2+y^2)x= w+\frac{1}{6}(x^2+y^2)y=0\biggr\}. \end{equation*} \notag $$

Нормальные экстремали. Нормальные экстремали удовлетворяют гамильтоновой системе

$$ \begin{equation} \dot{\lambda}=\vec{H}(\lambda), \quad \lambda \in T^*G, \end{equation} \tag{2.126} $$
с гамильтонианом $H=(h_1^2+h_2^2)/2$. Введем на поверхности уровня $\{H=1/2\}$ координаты $(\theta,c,\alpha,\beta) \in S^1\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}_+\times S^1$:
$$ \begin{equation} h_1=\cos \theta, \quad h_2=\sin \theta, \quad h_3=c, \quad h_4=\alpha \sin \beta, \quad h_5=-\alpha \cos \beta, \end{equation} \tag{2.127} $$
тогда гамильтонова система (2.126) примет форму
$$ \begin{equation} \dot{\theta}=c, \quad \dot c=-\alpha \sin(\theta-\beta), \quad \dot{\alpha}=\dot{\beta}=0, \end{equation} \tag{2.128} $$
$$ \begin{equation} \dot{g}=\cos \theta\, X_1+\sin \theta\,X_2. \end{equation} \tag{2.129} $$
Вертикальная подсистема (2.128) есть уравнение маятника.

Проекции нормальных геодезических на плоскость $(x,y)$ суть эйлеровы эластики (см. раздел 2.6).

Анормальные кратчайшие (2.121)(2.125) удовлетворяют нормальной гамильтоновой системе (2.128), (2.129) при $\theta=\beta$, $c=0$, поэтому они нестрого анормальны.

Симплектическое слоение и функции Казимира. На коалгебре Ли $\mathfrak{g}^*$ существуют три независимые функции Казимира:

$$ \begin{equation*} h_4, \quad h_5, \quad E=\frac{h_3^2}{2}+h_1 h_5-h_2 h_4. \end{equation*} \notag $$
Симплектическое слоение на $\mathfrak{g}^*$ состоит из Размерность симплектических листов не больше 2, поэтому вертикальная подсистема (2.128) интегрируема по Лиувиллю.

Параметризация нормальных геодезических. Семейство нормальных экстремалей на поверхности уровня $\{H=1/2\}$ параметризуется начальными точками, принадлежащими цилиндру

$$ \begin{equation*} C=\mathfrak{g}^* \cap \biggl\{H=\frac{1}{2}\biggr\}. \end{equation*} \notag $$
Этот цилиндр стратифицируется в зависимости от разных типов траекторий маятника (2.128):
$$ \begin{equation*} C=\bigsqcup_{i=1}^7 C_i, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, C_1&=\{\lambda \in C \mid \alpha > 0, \ E \in (-\alpha,\alpha)\}, \\ C_2&=\{\lambda \in C \mid \alpha > 0, \ E \in (\alpha,+\infty)\}, \\ C_3&=\{\lambda \in C \mid \alpha > 0, \ E=\alpha, \ \theta-\beta \ne \pi\}, \\ C_4&=\{\lambda \in C \mid \alpha > 0, \ E=-\alpha\}, \\ C_5&=\{\lambda \in C \mid \alpha > 0, \ E=\alpha, \ \theta-\beta=\pi\}, \\ C_6&=\{\lambda \in C \mid \alpha=0, \ c \ne 0\}, \\ C_7&=\{\lambda \in C \mid \alpha=c=0\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Для параметризации нормальных геодезических введем на стратах $C_1$, $C_2$, $C_3$ эллиптические координаты $(\varphi,k,\alpha,\beta)$, в которых уравнение маятника (2.128) выпрямляется:

если $\lambda \in C_1$, то

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, k=\sqrt{\frac{E+\alpha}{2\alpha}}= \sqrt{\sin^2\frac{\theta-\beta}{2}+\frac{c^2}{4\alpha}} \in (0,1), \qquad \varphi \in [0,4K], \\ \begin{cases} \sin\dfrac{\theta-\beta}{2}=k\operatorname{sn}(\sqrt{\alpha}\,\varphi), \\ \dfrac{c}{2}=k\sqrt{\alpha}\,\operatorname{cn}(\sqrt{\alpha}\,\varphi); \end{cases} \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

если $\lambda \in C_2$, то

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, k=\sqrt{\frac{2\alpha}{E+\alpha}}=\biggl(\sqrt{\sin^2\frac{\theta-\beta}{2}+ \frac{c^2}{4\alpha}}\biggr)^{-1}\in (0, 1),\qquad \varphi \in [0,2kK], \\ \begin{cases} \sin\dfrac{\theta-\beta}{2}=\pm \operatorname{sn} \dfrac{\sqrt{\alpha}\,\varphi}{k}\,, \\ \dfrac{c}{2}=\pm \dfrac{\sqrt{\alpha}}{k} \operatorname{dn} \dfrac{\sqrt{\alpha}\,\varphi}{k}\,, \end{cases} \qquad \pm=\operatorname{sign} c, \\ \psi=\frac{\varphi}{k}\,; \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
если $\lambda \in C_3$, то
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, k=1, \qquad \varphi \in (-\infty,+\infty), \\ \begin{cases} \sin\dfrac{\theta-\beta}{2}=\pm \operatorname{th} (\sqrt{\alpha}\,\varphi), \\ \dfrac{c}{2}=\pm\dfrac{\sqrt{\alpha}}{ \operatorname{ch} (\sqrt{\alpha}\,\varphi)}\,, \end{cases} \qquad \pm=\operatorname{sign} c. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Тогда
$$ \begin{equation*} \dot{\varphi}=1, \quad \dot{k}=\dot{\alpha}=\dot{\beta}=0. \end{equation*} \notag $$
Задача инвариантна относительно левых сдвигов на группе Картана, дилатаций
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, e^{sY}\!\colon (t,x,y,z,v,w)\mapsto (e^st,e^sx,e^sy,e^{2s}z,e^{3s}v,e^{3s}w), \\ (\theta,c,\alpha,\beta)\mapsto (\theta,e^{-s}c,e^{-2s}\alpha,\beta), \\ (\varphi,k,\alpha,\beta)\mapsto (e^s\varphi,k,e^{-2s}\alpha,\beta), \\ Y=x\,\frac{\partial}{\partial x}+y\,\frac{\partial}{\partial y}+ 2z\,\frac{\partial}{\partial z}+3v\,\frac{\partial}{\partial v}+ 3w\,\frac{\partial}{\partial w}\,, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
и вращений
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, e^{rX_0}\colon (x,y,z,v,w)&\mapsto (x\cos r-y\sin r,x\sin r+y\cos r,z, \notag \\ &\qquad v\cos r-w\sin r,v\sin r+w\cos r). \end{aligned} \end{equation} \tag{2.130} $$
С помощью вращений и дилатаций любой ковектор $\lambda=(\varphi,k,\alpha,\beta) \in\bigcup\limits_{i=1}^3C_i$ переводится в фундаментальное множество $\{\alpha=1, \ \beta=0\}$. При $\alpha=1$, $\beta=0$, $\lambda \in\bigcup\limits_{i=1}^3C_i$ геодезические $g_t=(x_t,y_t,z_t,v_t,w_t)$ параметризуются следующим образом.

Если $\lambda \in C_1$, то

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, x_t&=2(\operatorname{E}(\varphi_t)-\operatorname{E}(\varphi))- (\varphi_t-\varphi), \\ y_t&=2k(\operatorname{cn} \varphi-\operatorname{cn} \varphi_t), \\ z_t&=2k(\operatorname{sn} \varphi_t \operatorname{dn} \varphi_t- \operatorname{sn}\varphi\operatorname{dn}\varphi)- k(\operatorname{cn}\varphi+\operatorname{cn}\varphi_t)x_t, \\ v_t&=2k \operatorname{sn} \varphi_t \operatorname{dn} \varphi_t\cdot x_t- k \operatorname{cn} \varphi_t\cdot x_t^2-(1-2k^2+ 2k^2 \operatorname{cn} \varphi \operatorname{cn}\varphi_t) y_t, \\ w_t&=-\frac{1}{6}\bigl[x_t^3+2(2k^2-1+6k^2\operatorname{cn}^2\varphi)x_t+ 2(\varphi_t-\varphi) \\ &\qquad+8k^2(\operatorname{sn} \varphi_t \operatorname{cn} \varphi_t \operatorname{dn} \varphi_t-\operatorname{sn} \varphi\operatorname{cn} \varphi \operatorname{dn} \varphi) \\ &\qquad-24 k^2 \operatorname{cn} \varphi (\operatorname{sn} \varphi_t \operatorname{dn} \varphi_t- \operatorname{sn} \varphi \operatorname{dn} \varphi)\bigr], \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $\varphi_t=\varphi+t$.

Если $\lambda \in C_2$, то

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, x_t&=\frac{2}{k}\biggl(\operatorname{E}(\psi_t)- \operatorname{E}(\psi)-\frac{2-k^2}{2}(\psi_t-\psi)\biggr), \\ y_t&=\pm \frac{2}{k}(\operatorname{dn} \psi-\operatorname{dn} \psi_t), \\ z_t&=\pm \biggl(2(\operatorname{sn} \psi_t \operatorname{cn}\psi_t- \operatorname{sn} \psi \operatorname{cn} \psi)- \frac{1}{k}(\operatorname{dn}\psi+\operatorname{dn}\psi_t)x_t\biggr), \\ v_t&=\pm \biggl(2\operatorname{sn} \psi_t \operatorname{cn} \psi_t\cdot x_t- \frac{1}{k} \operatorname{dn} \psi_t\cdot x_t^2 \biggr)+ \frac{1}{k^2}(2-k^2-2\operatorname{dn} \psi \operatorname{dn} \psi_t) y_t, \\ w_t&=-\frac{1}{6}\biggl(x_t^3+\frac{2}{k^2}(2-k^2+ 6 \operatorname{dn}^2 \psi) x_t+2 k(\psi_t-\psi) \\ &\qquad+\frac{8}{k}(\operatorname{sn}\psi_t\operatorname{cn} \psi_t \operatorname{dn}\psi_t-\operatorname{sn} \psi \operatorname{cn} \psi \operatorname{dn}\psi) \\ &\qquad-\frac{24}{k}\operatorname{dn}\psi\,(\operatorname{sn}\psi_t \operatorname{cn}\psi_t-\operatorname{sn}\psi\operatorname{cn}\psi)\biggr), \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $\pm=\operatorname{sign}c$ и $\psi_t=\psi+t/k$.

Если $\lambda \in C_3$, то

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, x_t&=2( \operatorname{th} \varphi_t- \operatorname{th} \varphi)-(\varphi_t-\varphi), \\ y_t&=\pm 2 \biggl(\frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi}-\frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi_t}\biggr), \\ z_t&=\pm \biggl( 2 \biggl( \frac{\operatorname{sh} \varphi_t} { \operatorname{ch} ^2 \varphi_t}-\frac{\operatorname{sh}\varphi}{ \operatorname{ch} ^2 \varphi} \biggr)- \biggl( \frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi}+\frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi_t} \biggr) x_t \biggr), \\ v_t&=\pm \biggl(\frac{2}{\operatorname{sh} \varphi_t}\,x_t- \frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi_t}\,x_t^2\biggr)+ \biggl(1-\frac{2}{ \operatorname{ch} \varphi \operatorname{ch} \varphi_t}\biggr) y_t, \\ w_t&=-\frac{1}{6}\biggl(x_t^3+ 6\,\frac{2+ \operatorname{ch} ^2\varphi}{ \operatorname{ch} ^2\varphi}\,x_t+6(\varphi_t-\varphi) \\ &\qquad-\frac{24}{ \operatorname{ch} \varphi}\biggl(\frac{\operatorname{sh} \varphi_t} { \operatorname{ch} ^2 \varphi_t}-\frac{\operatorname{sh} \varphi}{ \operatorname{ch} ^2 \varphi}\biggr)- 8( \operatorname{th} ^3 \varphi_t- \operatorname{th} ^3 \varphi) \biggr), \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $\pm=\operatorname{sign} c$ и $\varphi_t=\varphi+t$.

Параметризация геодезических при произвольных $\lambda=(\varphi,k,\alpha,\beta) \in\bigcup\limits_{i=1}^3C_i$ получается из случая $\alpha=1$, $\beta=0$ с помощью вращений и дилатаций:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, g_t(\varphi,k,\alpha,\beta)=e^{-rX_0}\circ e^{-sY}(g_{t'}(\varphi',k,\alpha'=1,\beta'=0)), \\ t'=t\sqrt{\alpha}\,, \quad \varphi'=\varphi\sqrt{\alpha}\,, \quad r=-\beta, \quad s=\frac{1}{2} \ln \alpha. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
В оставшихся случаях $\lambda=(\theta,c,\alpha,\beta) \in \bigcup\limits_{i=4}^7C_i$ геодезические параметризуются элементарными функциями:

если $\lambda=(\theta,c,\alpha,\beta) \in C_4 \cup C_5 \cup C_7$ и $\beta=0$, то

$$ \begin{equation*} (x_t,y_t,z_t,v_t,w_t)=\biggl(t,0,0,0,-\frac{t^3}{6}\biggr); \end{equation*} \notag $$
в общем же случае $\lambda \in C_4 \cup C_5 \cup C_7$
$$ \begin{equation*} g_t(\theta,c,\alpha,\beta)= e^{-r X_0}\bigl(g_t(\theta',c,\alpha,\beta'=0)\bigr), \quad \theta'=\theta-\beta, \quad r=-\beta; \end{equation*} \notag $$

если $\lambda=(\theta=0,c,\alpha=0) \in C_6$, то

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, x_t=\frac{\sin \tau}{c}\,, \qquad y_t=\frac{1-\cos \tau}{c}\,, \qquad z_t=\frac{\tau-\sin \tau}{2c^2}\,, \\ v_t=\frac{\cos(2\tau)-4 \cos \tau+3}{4c^3}\,, \qquad w_t=\frac{\sin(2\tau)-4 \sin \tau+2\tau}{4c^3}\,, \qquad \tau=ct; \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
в общем же случае $\lambda \in C_6$
$$ \begin{equation*} g_t(\theta,c,\alpha=0,t)=e^{\theta X_0}(g_t(\theta' =0,c,\alpha=0,t)). \end{equation*} \notag $$

Семейство всех геодезических параметризуется экспоненциальным отображением

$$ \begin{equation*} \operatorname{Exp}\colon(\lambda,t) \mapsto g_t=\pi \circ e^{t \vec H}(\lambda), \quad C \times \mathbb{R}_+ \to G. \end{equation*} \notag $$

2.10.4. Симметрии и страты Максвелла

Непрерывные симметрии. Дилатации и вращения образуют двухпараметрическую группу непрерывных симметрий экспоненциального отображения.

Введем линейные на слоях $T^*G$ гамильтонианы

$$ \begin{equation*} h_0(\lambda)=\langle \lambda,X_0(g) \rangle, \quad h_Y(\lambda)=\langle \lambda,Y(g) \rangle,\qquad \lambda \in T^*G, \end{equation*} \notag $$
и соответствующие гамильтоновы векторные поля
$$ \begin{equation*} \vec h_0,\vec h_Y \in \operatorname{Vec}(T^* G). \end{equation*} \notag $$
Тогда
$$ \begin{equation*} \begin{alignedat}{2} [\vec h_0, \vec H]&=0, &\qquad \vec h_0 H&=0, \\ [\vec h_Y, \vec H]&=-2 \vec H, &\qquad \vec h_Y H&=-2 H. \end{alignedat} \end{equation*} \notag $$
Пусть $e=\displaystyle\sum_{i=1}^5 h_i\,\dfrac{\partial}{\partial h_i}$ – вертикальное эйлерово поле на $T^*G$. Так как гамильтониан $H$ квадратичен на слоях, гамильтоново поле $\vec H$ линейно на слоях, поэтому
$$ \begin{equation*} [e,\vec H]=\vec H, \qquad e H=2H. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, векторное поле $Z=\vec h_Y+e$ удовлетворяет равенствам
$$ \begin{equation} \notag [Z,\vec H]=-\vec H, \qquad Z H=0. \end{equation} \notag $$
Более того,
$$ \begin{equation*} [\vec h_0,Z]=0. \end{equation*} \notag $$

Предложение 2.12. Для любых $t,s,r \in \mathbb{R}$ и $\lambda \in T^*G$

$$ \begin{equation*} e^{rZ} \circ e^{s \vec h_0} \circ e^{t \vec H}(\lambda)= e^{t' \vec H} \circ e^{r Z} \circ e^{s \vec h_0}(\lambda),\quad \textit{где } t'=t e^r. \end{equation*} \notag $$

Дискретные симметрии. Вертикальная подсистема (2.128) факторизуется по вращениям $X_0$ и дилатациям $Y$ в стандартное уравнение маятника

$$ \begin{equation*} \dot \theta=c, \quad \dot c=-\sin \theta, \qquad (\theta,c) \in S^1 \times \mathbb{R}. \end{equation*} \notag $$
Поле направлений этого уравнения имеет очевидные дискретные симметрии – отражения относительно координатных осей и в начале координат
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \varepsilon^1\colon(\theta, c) &\to (\theta,-c), \\ \varepsilon^2\colon(\theta, c) &\to (-\theta, c), \\ \varepsilon^3\colon (\theta, c) &\to (-\theta,-c). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Эти отражения порождают группу диэдра
$$ \begin{equation*} D_2=\{\operatorname{Id},\varepsilon^1,\varepsilon^2,\varepsilon^3\}= \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2. \end{equation*} \notag $$
Действие отражений естественно продолжается на эйлеровы эластики $(x_t,y_t)$, так что по модулю вращений в плоскости $(x,y)$ Действие отражений также естественно продолжается в прообраз экспоненциального отображения:
$$ \begin{equation*} \varepsilon^i\colon C \times\mathbb{R}_+\to C \times \mathbb{R}_+,\qquad i=1, 2, 3, \end{equation*} \notag $$
и в его образ:
$$ \begin{equation*} \varepsilon^i\colon G \to G, \qquad i=1, 2, 3, \end{equation*} \notag $$
так что
$$ \begin{equation*} \varepsilon^i \circ \operatorname{Exp}(\lambda, t)= \operatorname{Exp} \circ \varepsilon^i(\lambda,t), \qquad (\lambda, t) \in C \times \mathbb{R}_+, \quad i=1, 2, 3. \end{equation*} \notag $$
В явном виде:
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \varepsilon^1 \colon (\theta, c, \alpha, \beta, t) &\mapsto (\theta^1, c^1, \alpha, \beta^1, t)=(\theta_t, -c_t, \alpha, \beta, t), \\ \varepsilon^2 \colon (\theta, c, \alpha, \beta, t) &\mapsto (\theta^2, c^2, \alpha, \beta^2, t)=(-\theta_t, c_t, \alpha, -\beta, t), \\ \varepsilon^3 \colon (\theta, c, \alpha, \beta, t) &\mapsto (\theta^3, c^3, \alpha, \beta^3, t)=(-\theta, -c, \alpha, -\beta, t) \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
и
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \varepsilon^1\colon (x, y, z, v, w) &\mapsto (x, y, -z, v-xz, w-yz), \\ \varepsilon^2\colon (x, y, z, v, w) &\mapsto (x, -y, z, -v+xz, w-yz), \\ \varepsilon^3\colon (x, y, z, v, w) &\mapsto (x, -y, -z, -v, w). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Группа $\operatorname{Sym}$ симметрий экспоненциального отображения состоит из вращений, отражений и их композиций:
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, e^{s \vec h_0},e^{s\vec h_0} \circ \varepsilon^i&\colon C \times \mathbb{R}_+\to C \times \mathbb{R}_+, \\ e^{s X_0},e^{sX_0} \circ \varepsilon^i&\colon G\to G. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Теорема 2.58. Пусть $\lambda \in C$. Первое время Максвелла, соответствующее группе $\operatorname{Sym}$ симметрий экспоненциального отображения, для почти всех геодезических $\operatorname{Exp}(\lambda,t)$ выражается следующим образом:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \lambda \in C_1 &\quad\Longrightarrow\quad t_{\rm Max}^1(\lambda)= \min \biggl(\frac{2}{\sqrt{\alpha}}\,p_1^z(k), \frac{2}{\sqrt{\alpha}}\,p_1^V(k)\biggr), \\ \lambda \in C_2 &\quad\Longrightarrow\quad t_{\rm Max}^1(\lambda)= \frac{2k}{\sqrt{\alpha}}\,p_1^V(k), \\ \lambda \in C_6 &\quad\Longrightarrow\quad t_{\rm Max}^1(\lambda)= \frac{4}{|c|}\,p_1^V(0) \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
и
$$ \begin{equation*} \lambda \in C_i, \quad i=3, 4, 5, 7 \quad\Longrightarrow\quad t_{\rm Max}^1(\lambda)=+ \infty. \end{equation*} \notag $$
Здесь $p=p_1^z(k) \in (K,3K)$ есть первый положительный корень функции
$$ \begin{equation*} f_z(p,k)=\operatorname{sn} p \operatorname{dn} p- (2 \operatorname{E}(p)-p) \operatorname{cn} p, \end{equation*} \notag $$
$p=p_1^V(k)$ есть первый положительный корень функции
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, f_V(p)&=\frac{4}{3}\operatorname{sn}p \, \operatorname{dn}p \bigl[-p-2(1-2 k^2+6 k^2 \operatorname{cn}p^2)(2\operatorname{E}(p)-p)+ (2\operatorname{E}(p)-p)^3 \\ &\qquad+8 k^2\operatorname{cn}p \, \operatorname{sn}p \, \operatorname{dn}p\bigr]+4\operatorname{cn}p \, (1-2 k^2 \operatorname{sn}p^2)(2 \operatorname{E}(p)-p)^2 \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
при $\lambda \in C_1$ (в этом случае $p_1^V(k) \in [2K,4K)$) и функции
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, f_V(p)&=\frac{4}{3}\bigl\{ 3\,\operatorname{dn}p\, (2\operatorname{E}(p)-(2-k^2)p)^2+\operatorname{cn}p\, \bigl[8\operatorname{E}^3(p)-4\operatorname{E}(p)(4+k^2) \\ &\qquad-12\operatorname{E}^2(p)(2-k^2)p +6\operatorname{E}(p)(2-k^2)^2 p^2 \\ &\qquad+p(16-4k^2-3k^4-(2-k^2)^3p^2)\bigr]\,\operatorname{sn}p \\ &\qquad-2\,\operatorname{dn}p\,(-4k^2+3(2\operatorname{E}(p)- (2-k^2)p)^2)\,\operatorname{sn}p^2 \\ &\qquad+12k^2\operatorname{cn}p\,(2\operatorname{E}(p)- (2-k^2)p)\operatorname{sn}p^3- 8k^2\,\operatorname{sn}p^4\operatorname{dn}p\bigr\} \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
при $\lambda \in C_2$ (в этом случае $p_1^V(k) \in (K,2K)$), а $p=p_1^V(0) \in (\pi/2,\pi)$ есть первый положительный корень функции
$$ \begin{equation*} f_V^0(p)=\frac{1}{512}[(32p^2-1)\cos(2p)-8p\sin(2p)+\cos(6p)]. \end{equation*} \notag $$

Замечание 2.6. Для тех геодезических, для которых первое время Максвелла, соответствующее группе симметрий $\operatorname{Sym}$, не равно $t_{\rm Max}^1$, оно больше этого значения, а $t_{\rm Max}^1$ есть первое сопряженное время.

Теорема 2.59. Функция $t_{\rm Max}^1\colon C \to (0,+\infty]$ имеет следующие свойства инвариантности:

(1) $t_{\rm Max}^1(\lambda)$ зависит только от значений $E$ и $|\alpha|$;

(2) $t_{\rm Max}^1(\lambda)$ есть первый интеграл поля $\vec H_v$;

(3) $t_{\rm Max}^1(\lambda)$ инвариантна относительно отражений: если $(\lambda,t) \in C \times \mathbb{R}_+$, $(\lambda^i, t)=\varepsilon^i(\lambda,t)$, то

$$ \begin{equation*} t_{\rm Max}^1(\lambda^i)=t_{\rm Max}^1(\lambda); \end{equation*} \notag $$

(4) $t_{\rm Max}^1(\lambda)$ однородна относительно дилатаций: если $\lambda \in C$, $\lambda_s=\delta_s(\lambda) \in C$, то

$$ \begin{equation*} t_{\rm Max}^1(\lambda_s)=e^s\, t_{\rm Max}^1(\lambda),\qquad s \in \mathbb{R}. \end{equation*} \notag $$

2.10.5. Нижняя оценка сопряженного времени

Теорема 2.60. Для любого $\lambda \in C$

$$ \begin{equation*} t_{\rm conj}^1(\lambda) \geqslant t_{\rm Max}^1(\lambda). \end{equation*} \notag $$

2.10.6. Время разреза и кратчайшие

Теорема 2.61. Для любого $\lambda \in C$

$$ \begin{equation*} t_{\rm cut}(\lambda)=t_{\rm Max}^1(\lambda). \end{equation*} \notag $$

Теорема 2.62. Пусть $g_1=(x_1,y_1,z_1,v_1,w_1) \in G$. Если $z_1\ne 0$ и $x_1 v_1+y_1 w_1-{(x_1^2+y_1^2)z_1}/{2}\ne 0$, то существует единственная кратчайшая, соединяющая $g_0=\operatorname{Id}$ c $g_1$.

2.10.7. Метрические прямые

Теорема 2.63. Натурально параметризованными метрическими прямыми на группе Картана являются следующие геодезические (и только они):

(1) однопараметрические подгруппы, касающиеся распределения:

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, e^{t(u_1 X_1+u_2 X_2) }=\operatorname{Exp}(\lambda,t), \\ u_1=\cos \theta, \quad u_2=\sin \theta, \quad \lambda=(\theta, c=0, \alpha, \beta)\in C_4\cup C_5\cup C_7, \notag \end{gathered} \end{equation} \tag{2.131} $$

(2) критические геодезические

$$ \begin{equation} \operatorname{Exp}(\lambda, t), \quad \lambda \in C_3. \end{equation} \tag{2.132} $$

Замечание 2.7. Геодезические (2.131) проецируются на плоскость $(x,y)$ в евклидовы прямые, а геодезические (2.132) – в критические эйлеровы эластики (см. рис. 24), так называемые солитоны Эйлера.

2.10.8. Библиографические комментарии

Субриманова задача на группе Картана впервые рассматривалась в работе Р. Брокетта и Л. Даи [56], где показана интегрируемость геодезических в эллиптических функциях.

Пункты 2.10.1, 2.10.3 опираются на [123]; п. 2.10.2 – на [124]; п. 2.10.4 – на [125]–[127]; п. 2.10.5 – на [141]; пп. 2.10.6, 2.10.7 – на [14]. См. также недавнюю работу [144].

3. Вместо заключения: некоторые неохваченные вопросы

Некоторые вопросы, близкие к рассмотренным выше, остались неохваченными из-за большого объема обзора. Перечислим их здесь.

1. Работы по вакономной механике [28]. В частности, исследовалась задача о “санях Чаплыгина” в вариационной постановке и ее гидродинамический аналог – плоское движение твердого тела в жидкости по инерции, эта задача проинтегрирована в эллиптических функциях [95]. Если устремить к бесконечности одну из присоединенных масс, то в пределе получается субриманова задача [92]. Задача о качении шара по плоскости была проинтегрирована в эллиптических функциях в работе [90]. Субриманова задача на группе движений трехмерного пространства соответствует в механике задачам динамики твердого тела с неподвижной точкой, она рассматривалась в работе [93] вместе с геометрической картиной Пуансо.

2. Левоинвариантные субфинслеровы задачи: [16], [17], [24], [25], [30], [37], [38], [41], [42], [52], [57], [102], [138], [139].

3. Левоинвариантные сублоренцевы задачи: [26], [61], [80], [82], [91], [147].

4. Левоинвариантные субримановы задачи с неинтегрируемым геодезическим потоком: [50], [77], [103], [104], [146].

5. Приложения левоинвариантных задач к нильпотентной аппроксимации и конструктивному решению двухточечной задачи управления: [4], [7], [31]–[33], [47], [63], [71], [81], [85], [94], [97], [109], [118], [150], [152], [155], [156], [160].

6. Приложения левоинвариантных задач к обработке изображений и моделям зрения: [34]–[36], [53], [54], [64], [66]–[68], [72]–[74], [110], [112], [113], [120], [121].

7. Приложения левоинвариантных задач к робототехнике: [11], [13], [15], [27].

Автор благодарит А. А. Аграчева, В. В. Козлова, А. В. Подобряева, А. П. Маштакова, А. А. Ардентова и И. Ю. Бесчастного за полезные советы по содержанию и изложению в данной работе.

Также автор благодарен Е. Ф. Сачковой за помощь в наборе обзора и постоянную поддержку при работе над ним.

Список литературы

1. A. Agrachev, D. Barilari, “Sub-Riemannian structures on 3D Lie groups”, J. Dyn. Control Syst., 18:1 (2012), 21–44  crossref  mathscinet  zmath
2. A. Agrachev, D. Barilari, U. Boscain, A comprehensive introduction to sub-Riemannian geometry. From the Hamiltonian viewpoint, Cambridge Stud. Adv. Math., 181, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2020, xviii+745 pp.  crossref  mathscinet  zmath
3. A. Agrachev, B. Bonnard, M. Chyba, I. Kupka, “Sub-Riemannian sphere in Martinet flat case”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 2 (1997), 377–448  crossref  mathscinet  zmath
4. A. Agrachev, A. Marigo, “Nonholonomic tangent spaces: intrinsic construction and rigid dimensions”, Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc., 9 (2003), 111–120  crossref  mathscinet  zmath
5. A. A. Agrachev, Yu. L. Sachkov, “An intrinsic approach to the control of rolling bodies”, Proceedings of the 38th IEEE conference on decision and control (Phoenix, AZ, 1999), v. 1, IEEE, 1999, 431–435  crossref
6. А. А. Аграчев, Ю. Л. Сачков, Геометрическая теория управления, Физматлит, М., 2005, 392 с.  zmath; пер. с англ.: A. A. Agrachev, Yu. L. Sachkov, Control theory from the geometric viewpoint, Encyclopaedia Math. Sci., 87, Control theory and optimization II, Springer-Verlag, Berlin, 2004, xiv+412 с.  crossref  mathscinet  zmath
7. А. А. Аграчев, А. В. Сарычев, “Фильтрация алгебры Ли векторных полей и нильпотентная аппроксимация управляемых систем”, Докл. АН СССР, 295:4 (1987), 777–781  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Agrachev, A. V. Sarychev, “Filtrations of a Lie algebra of vector fields and nilpoint approximation of controlled systems”, Dokl. Math., 36:1 (1988), 104–108
8. Н. И. Ахиезер, Элементы теории эллиптических функций, 2-е изд., Наука, М., 1970, 304 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. I. Akhiezer, Elements of the theory of elliptic functions, Transl. Math. Monogr., 79, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1990, viii+237 с.  crossref  mathscinet  zmath
9. S. S. Antman, “The influence of elasticity on analysis: modern developments”, Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.), 9:3 (1983), 267–291  crossref  mathscinet  zmath
10. A. Anzaldo-Menezes, F. Monroy-Pérez, “Charges in magnetic fields and sub-Riemannian geodesics”, Contemporary trends in nonlinear geometric control theory and its applications (México City, 2000), World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2002, 183–202  crossref  mathscinet  zmath
11. A. A. Ardentov, “Controlling of a mobile robot with a trailer and its nilpotent approximation”, Regul. Chaotic Dyn., 21:7-8 (2016), 775–791  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
12. A. Ardentov, G. Bor, E. Le Donne, R. Montgomery, Yu. Sachkov, “Bicycle paths, elasticae and sub-Riemannian geometry”, Nonlinearity, 34:7 (2021), 4661–4683  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
13. А. А. Ардентов, И. С. Губанов, “Моделирование парковки автомобиля с прицепом вдоль путей Маркова–Дубинса и Ридса–Шеппа”, Программные системы: теория и приложения, 10:4 (2019), 97–110  mathnet  crossref
14. A. Ardentov, E. Hakavuori, “Cut time in the sub-Riemannian problem on the Cartan group”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 28 (2022), 12, 19 pp.  crossref  mathscinet  zmath
15. A. A. Ardentov, Y. L. Karavaev, K. S. Yefremov, “Euler elasticas for optimal control of the motion of mobile wheeled robots: the problem of experimental realization”, Regul. Chaotic Dyn., 24:3 (2019), 312–328  mathnet  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
16. A. A. Ardentov, E. Le Donne, Yu. L. Sachkov, “Sub-Finsler geodesics on the Cartan group”, Regul. Chaotic Dyn., 24:1 (2019), 36–60  mathnet  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
17. А. А. Ардентов, Э. Ле Донне, Ю. Л. Сачков, “Субфинслерова задача на группе Картана”, Оптимальное управление и дифференциальные уравнения, Сборник статей. К 110-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Труды МИАН, 304, МИАН, М., 2019, 49–67  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Ardentov, E. Le Donne, Yu. L. Sachkov, “A sub-Finsler problem on the Cartan group”, Proc. Steklov Inst. Math., 304 (2019), 42–59  crossref
18. А. А. Ардентов, Ю. Л. Сачков, “Решение задачи Эйлера об эластиках”, Автомат. и телемех., 2009, № 4, 78–88  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov, “Solution to Euler's elastic problem”, Autom. Remote Control, 70:4 (2009), 633–643  crossref
19. А. А. Ардентов, Ю. Л. Сачков, “Экстремальные траектории в нильпотентной субримановой задаче на группе Энгеля”, Матем. сб., 202:11 (2011), 31–54  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov, “Extremal trajectories in a nilpotent sub-Riemannian problem on the Engel group”, Sb. Math., 202:11 (2011), 1593–1615  crossref  adsnasa
20. A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov, “Conjugate points in nilpotent sub-Riemannian problem on the Engel group”, J. Math. Sci. (N. Y.), 195:3 (2013), 369–390  crossref  mathscinet  zmath
21. A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov, “Cut time in sub-Riemannian problem on Engel group”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 21:4 (2015), 958–988  crossref  mathscinet  zmath
22. A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov, “Maxwell strata and cut locus in the sub-Riemannian problem on the Engel group”, Regul. Chaotic Dyn., 22:8 (2017), 909–936  mathnet  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
23. А. А. Ардентов, Ю. Л. Сачков, “Множество разреза в субримановой задаче на группе Энгеля”, Докл. РАН, 478:6 (2018), 623–626  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov, “Cut locus in the sub-Riemannian problem on Engel group”, Dokl. Math., 97:1 (2018), 82–85  crossref
24. А. А. Ардентов, Ю. Л. Сачков, “Субфинслерова задача на группе Картана”, Докл. РАН, 484:2 (2019), 138–141  crossref  zmath; англ. пер.: A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov, “Sub-Finsler problem on the Cartan group”, Dokl. Math., 99:1 (2019), 20–22  crossref  mathscinet
25. А. А. Ардентов, Ю. Л. Сачков, “Субфинслеровы структуры на группе Энгеля”, Докл. РАН, 485:4 (2019), 395–398  crossref  zmath; англ. пер.: A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov, “Sub-Finsler structures on the Engel group”, Dokl. Math., 99:2 (2019), 171–174  crossref  mathscinet
26. А. А. Ардентов, Ю. Л. Сачков, Т. Хуанг, К. Янг, “Экстремальные траектории в сублоренцевой задаче на группе Энгеля”, Матем. сб., 209:11 (2018), 3–31  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov, T. Huang, X. Yang, “Extremal trajectories in the sub-Lorentzian problem on the Engel group”, Sb. Math., 209:11 (2018), 1547–1574  crossref  adsnasa
27. А. А. Ардентов, А. В. Смирнов, “Управление мобильным роботом вдоль эластик Эйлера”, Программные системы: теория и приложения, 8:4 (2017), 163–178  mathnet  crossref
28. В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт, Математические аспекты классической и небесной механики, 2-е изд., перераб. и доп., Едиториал УРСС, М., 2002, 416 с.; англ. пер.: V. I. Arnold, V. V. Kozlov, A. I. Neishtadt, Mathematical aspects of classical and celestial mechanics, Encyclopaedia Math. Sci., 3, Dynamical systems. III, 3rd rev. ed., Springer-Verlag, Berlin, 2006, xiv+518 с.  crossref  mathscinet  zmath
29. A. M. Arthurs, G. R. Walsh, “On Hammersley's minimum problem for a rolling sphere”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 99:3 (1986), 529–534  crossref  mathscinet  zmath
30. D. Barilari, U. Boscain, E. Le Donne, M. Sigalotti, “Sub-Finsler structures from the time-optimal control viewpoint for some nilpotent distributions”, J. Dyn. Control Syst., 23:3 (2017), 547–575  crossref  mathscinet  zmath
31. A. Bellaïche, “The tangent space in sub-Riemannian geometry”, Sub-Riemannian geometry, Progr. Math., 144, Birkhäuser, Basel, 1996, 1–78  crossref  mathscinet  zmath
32. A. Bellaïche, J.-P. Laumond, M. Chyba, “Canonical nilpotent approximation of control systems: application to nonholonomic motion planning”, Proceedings of 32nd IEEE conference on decision and control (San Antonio, TX), v. 3, IEEE, 1993, 2694–2699  crossref
33. A. Bellaïche, J.-P. Laumond, J.-J. Risler, “Nilpotent infinitesimal approximations to a control Lie algebra”, Nonlinear control systems design 1992, Selected papers from the 2nd IFAC symposium (Bordeaux, 1992), IFAC Symposia Series, Pergamon Press, Oxford, 1993, 101–108  crossref
34. E. J. Bekkers, R. Duits, A. Mashtakov, G. R. Sanguinetti, “A PDE approach to data-driven sub-Riemannian geodesics in $\mathrm{SE}(2)$”, SIAM J. Imaging Sci., 8:4 (2015), 2740–2770  crossref  mathscinet  zmath
35. E. J. Bekkers, R. Duits, A. Mashtakov, Yu. Sachkov, “Vessel tracking via sub-Riemannian geodesics on the projective line bundle”, Geometric science of information, Lecture Notes in Comput. Sci., 10589, Springer, Cham, 2017, 773–781  crossref  mathscinet  zmath
36. G. Ben-Yosef, O. Ben-Shahar, “A tangent bundle theory for visual curve completion”, IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell., 34:7 (2012), 1263–1280  crossref
37. В. Н. Берестовский, “Однородные многообразия с внутренней метрикой. II”, Сиб. матем. журн., 30:2 (1989), 14–28  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. N. Berestovskii, “Homogeneous manifolds with intrinsic metric. II”, Siberian Math. J., 30:2 (1989), 180–191  crossref
38. В. Н. Берестовский, “О структуре однородных локально компактных пространств с внутренней метрикой”, Сиб. матем. журн., 30:1 (1989), 23–34  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. N. Berestovskii, “Structure of homogeneous locally compact spaces with intrinsic metric”, Siberian Math. J., 30:1 (1989), 16–25  crossref
39. В. Н. Берестовский, “Геодезические левоинвариантной неголономной римановой метрики на группе движений евклидовой плоскости”, Сиб. матем. журн., 35:6 (1994), 1223–1229  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. N. Berestovskii, “Geodesics of a left-invariant nonholonomic Riemannian metric on the group of motions of the Euclidean plane”, Siberian Math. J., 35:6 (1994), 1083–1088  crossref
40. В. Н. Берестовский, “Геодезические неголономных левоинвариантных внутренних метрик на группе Гейзенберга и изопериметриксы плоскости Минковского”, Сиб. матем. журн., 35:1 (1994), 3–11  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. N. Berestovskii, “Geodesics of nonholonomic left-invariant intrinsic metrics on the Heisenberg group and isoperimetric curves on the Minkowski plane”, Siberian Math. J., 35:1 (1994), 1–8  crossref
41. В. Н. Берестовский, И. А. Зубарева, “Экстремали левоинвариантной субфинслеровой метрики на группе Энгеля”, Сиб. матем. журн., 61:4 (2020), 735–751  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. N. Berestovskii, I. A. Zubareva, “Extremals of a left-invariant sub-Finsler metric on the Engel group”, Siberian Math. J., 61:4 (2020), 575–588  crossref
42. V. N. Berestovskii, I. A. Zubareva, “PMP, (co)adjoint representation, and normal geodesics, of left-invariant (sub-)Finsler metric on Lie groups”, Чебышевский сб., 21:2 (2020), 43–64  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
43. D. Bernoulli, “26th letter to L. Euler (October, 1742)”: P. H. Fuss, Correspondance mathématique et physique, v. 2, St. Petersburg, 1843, 499–507
44. J. Bernoulli, “Véritable hypothèse de la résistance des solides, avec la demonstration de la corbure des corps qui font ressort”, Collected works, v. 2, Geneva, 1744
45. I. Beschastnyi, A. Medvedev, “Left-invariant Sub-Riemannian Engel structures: abnormal geodesics and integrability”, SIAM J. Control Optim., 56:5 (2018), 3524–3537  crossref  mathscinet  zmath
46. И. Ю. Бесчастный, Ю. Л. Сачков, “Геодезические в субримановой задаче на группе $\operatorname{SO}(3)$”, Матем. сб., 207:7 (2016), 29–56  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: I. Yu. Beschastnyi, Yu. L. Sachkov, “Geodesics in the sub-Riemannian problem on the group $\operatorname{SO}(3)$”, Sb. Math., 207:7 (2016), 915–941  crossref  adsnasa
47. R. M. Bianchini, G. Stefani, “Graded approximations and controllability along a trajectory”, SIAM J. Control Optim., 28:4 (1990), 903–924  crossref  mathscinet  zmath
48. A. Bicchi, D. Prattichizzo, S. Sastry, “Planning motions of rolling surfaces”, Proceedings of 1995 34th IEEE conference on decision and control (New Orleans, LA, 1995), v. 3, IEEE, 1995, 2812–2817  crossref
49. K. E. Bisshopp, D. C. Drucker, “Large deflection of cantilever beams”, Quart. Appl. Math., 3 (1945), 272–275  crossref  mathscinet  zmath
50. И. А. Бизяев, А. В. Борисов, А. А. Килин, И. С. Мамаев, “Интегрируемость и неинтегрируемость субримановых геодезических потоков на группах Карно”, Нелинейная динам., 13:1 (2017), 129–146  mathnet  crossref; пер. с англ.: I. A. Bizyaev, A. V. Borisov, A. A. Kilin, I. S. Mamaev, “Integrability and nonintegrability of sub-Riemannian geodesic flows on Carnot groups”, Regul. Chaotic Dyn., 21:6 (2016), 759–774  mathnet  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
51. M. Born, Stabilität der elastischen Linie in Ebene und Raum, Preisschrift und Dissertation, Dieterichsche Universitäts-Buchdruckerei Göttingen, Göttingen, 1906, 101 pp.  zmath
52. U. Boscain, Th. Chambrion, G. Charlot, “Nonisotropic 3-level quantum systems: complete solutions for minimum time and minimum energy”, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 5:4 (2005), 957–990  crossref  mathscinet  zmath
53. U. Boscain, R. Duits, F. Rossi, Yu. Sachkov, “Curve cuspless reconstruction via sub-Riemannian geometry”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 20:3 (2014), 748–770  crossref  mathscinet  zmath
54. U. Boscain, R. A. Chertovskih, J.-P. Gauthier, A. O. Remizov, “Hypoelliptic diffusion and human vision: a semidiscrete new twist”, SIAM J. Imaging Sci., 7:2 (2014), 669–695  crossref  mathscinet  zmath
55. U. Boscain, F. Rossi, “Invariant Carnot–Caratheodory metrics on $S^3$, $\operatorname{SO}(3)$, $\operatorname{SL}(2)$ and lens spaces”, SIAM J. Control Optim., 47:4 (2008), 1851–1878  crossref  mathscinet  zmath
56. R. W. Brockett, L. Dai, “Non-holonomic kinematics and the role of elliptic functions in constructive controllability”, Nonholonomic motion planning, Kluwer Int. Ser. Eng. Comput. Sci., 192, Kluwer Acad. Publ., Boston, MA, 1993, 1–21  crossref  zmath
57. H. Busemann, “The isoperimetric problem in the Minkowski plane”, Amer. J. Math., 69:4 (1947), 863–871  crossref  mathscinet  zmath
58. Y. A. Butt, Yu. L. Sachkov, A. I. Bhatti, “Extremal trajectories and Maxwell strata in sub-Riemannian problem on group of motions of pseudo-Euclidean plane”, J. Dyn. Control Syst., 20:3 (2014), 341–364  crossref  mathscinet  zmath
59. Y. A. Butt, Yu. L. Sachkov, A. I. Bhatti, “Maxwell strata and conjugate points in the sub-Riemannian problem on the Lie group $\operatorname{SH}(2)$”, J. Dyn. Control Syst., 22:4 (2016), 747–770  crossref  mathscinet  zmath
60. Y. A. Butt, Yu. L. Sachkov, A. I. Bhatti, “Cut locus and optimal synthesis in sub-Riemannian problem on the Lie group $\operatorname{SH}(2)$”, J. Dyn. Control Syst., 23:1 (2017), 155–195  crossref  mathscinet  zmath
61. Q. Cai, T. Huang, Yu. L. Sachkov, X. Yang, “Geodesics in the Engel group with a sub-Lorentzian metric”, J. Dyn. Control Syst., 22:3 (2016), 465–484  crossref  mathscinet  zmath
62. E. Cartan, “Les systèmes de Pfaff, à cinq variables et les équations aux dérivées partielles du second ordre”, Ann. Sci. École Norm. Sup. (3), 27 (1910), 109–192  crossref  mathscinet  zmath
63. Y. Chitour, F. Jean, R. Long, “A global steering method for nonholonomic systems”, J. Differential Equations, 254:4 (2013), 1903–1956  crossref  mathscinet  zmath
64. G. Citti, A. Sarti, “A cortical based model of perceptual completion in the roto-translation space”, J. Math. Imaging Vision, 24:3 (2006), 307–326  crossref  mathscinet  zmath
65. L. van den Dries, A. Macintyre, D. Marker, “The elementary theory of restricted analytic fields with exponentiation”, Ann. of Math. (2), 140:1 (1994), 183–205  crossref  mathscinet  zmath
66. R. Duits, U. Boscain, F. Rossi, Y. L. Sachkov, “Association fields via cuspless sub-Riemannian geodesics in $\operatorname{SE}(2)$”, J. Math. Imaging Vision, 49:2 (2014), 384–417  crossref  mathscinet  zmath
67. R. Duits, M. Felsberg, G. Granlund, B. H. Romeny, “Image analysis and reconstruction using a wavelet transform constructed from a reducible representation of the Euclidean motion group”, Int. J. Comput. Vis., 72:1 (2007), 79–102  crossref
68. R. Duits, A. Ghosh, T. C. J. Dela Haije, A. Mashtakov, “On sub-Riemannian geodesics in $\operatorname{SE}(3)$ whose spatial projections do not have cusps”, J. Dyn. Control Syst., 22:4 (2016), 771–805  crossref  mathscinet  zmath
69. M. S. El Naschie, “Thermal initial post buckling of the extensional elastica”, Int. J. Mech. Sci., 18:6 (1976), 321–324  crossref
70. Л. Эйлер, “Об упругих кривых”, Приложение I, Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле, ГТТИ, М.–Л., 1934, 447–572; пер. с латин.: L. Euler, “De curvis elasticis”, Additamentum I, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti, M.-M. Bousquet, Lausanne–Geneva, 1744, 245–310
71. C. Fernandes, L. Gurvits, Z. X. Li, “A variational approach to optimal nonholonomic motion planning”, Proceedings. 1991 IEEE international conference on robotics and automation (Sacramento, CA, 1991), v. 1, IEEE, 1991, 680–685  crossref
72. B. Franceschiello, A. Mashtakov, G. Citti, A. Sarti, “Modelling of the Poggendorff illusion via sub-Riemannian geodesics in the roto-translation group”, New trends in image analysis and processing–ICIAP 2017, Lecture Notes in Comput. Sci., 10590, Springer, Cham, 2017, 37–47  crossref  mathscinet
73. B. Franceschiello, A. Mashtakov, G. Citti, A. Sarti, “Geometrical optical illusion via sub-Riemannian geodesics in the roto-translation group”, Differential Geom. Appl., 65 (2019), 55–77  crossref  mathscinet  zmath
74. E. Franken, R. Duits, “Crossing-preserving coherence-enhancing diffusion on invertible orientation scores”, Int. J. Comput. Vis., 85:3 (2009), 253–278  crossref
75. R. Frisch-Fay, Flexible bars, Butterworths and Co., London, 1962, vii+220 pp.  zmath
76. N. J. Glassmaker, C. Y. Hui, “Elastica solution for a nanotube formed by self-adhesion of a folded thin film”, J. Appl. Phys., 96:6 (2004), 3429–3434  crossref  adsnasa
77. C. Golé, R. Karidi, “A note on Carnot geodesics in nilpotent Lie groups”, J. Dyn. Control Syst., 1:4 (1995), 535–549  crossref  mathscinet  zmath
78. A. G. Greenhill, The applications of elliptic functions, Macmillan, London–New York, 1892, xi+357 pp.  mathscinet  zmath
79. Ф. Гриффитс, Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление, Мир, М., 1986, 360 с.  mathscinet; пер. с англ.: P. A. Griffiths, Exterior differential systems and the calculus of variations, Progr. Math., 25, Birkhäuser, Boston, MA, 1983, ix+335 с.  crossref  mathscinet  zmath
80. M. Grochowski, “Reachable sets for the Heisenberg sub-Lorentzian metric on $\mathbb{R}^3$. An estimate for the distance function”, J. Dyn. Control Syst., 12:2 (2006), 145–160  crossref  mathscinet  zmath
81. M. Gromov, “Carnot–Carathéodory spaces seen from within”, Sub-Riemannian geometry, Progr. Math., 144, Birkhäuser, Basel, 1996, 79–323  crossref  mathscinet  zmath
82. E. Grong, A. Vasil'ev, “Sub-Riemannian and sub-Lorentzian geometry on $\operatorname{SU}(1,1)$ and on its universal cover”, J. Geom. Mech., 3:2 (2011), 225–260  crossref  mathscinet  zmath
83. J. M. Hammersley, “Oxford commemoration ball”, Probability, statistics and analysis, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 79, Cambridge Univ. Press, Cambridge–New York, 1983, 112–142  crossref  mathscinet  zmath
84. G. H. M. van der Heijden, S. Neukirch, V. G. A. Goss, J. M. T. Thompson, “Instability and self-contact phenomena in the writhing of clamped rods”, Int. J. Mech. Sci., 45 (2003), 161–196  crossref  zmath
85. H. Hermes, “Nilpotent and high-order approximations of vector field systems”, SIAM Rev., 33:2 (1991), 238–264  crossref  mathscinet  zmath
86. V. Jurdjevic, “The geometry of the plate-ball problem”, Arch. Rational Mech. Anal., 124:4 (1993), 305–328  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
87. V. Jurdjevic, “Non-Euclidean elastica”, Amer. J. Math., 117:1 (1995), 93–124  crossref  mathscinet  zmath
88. V. Jurdjevic, Geometric control theory, Cambridge Stud. Adv. Math., 52, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997, xviii+492 pp.  crossref  mathscinet  zmath
89. V. Jurdjevic, Optimal control and geometry: integrable systems, Cambridge Stud. Adv. Math., 154, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2016, xx+415 pp.  crossref  mathscinet  zmath
90. П. В. Харламов, “Критика некоторых математических моделей механических систем с дифференциальными связями”, ПММ, 56:4 (1992), 683–692  mathscinet  zmath; англ. пер.: P. V. Kharlamov, “A critique of some mathematical models of mechanical systems with differential constraints”, J. Appl. Math. Mech., 56:4 (1992), 584–594  crossref  adsnasa
91. A. Korolko, I. Markina, “Nonholonomic Lorentzian geometry on some $\mathbb H$-type groups”, J. Geom. Anal., 19:4 (2009), 864–889  crossref  mathscinet  zmath
92. В. В. Козлов, “Динамика систем с неинтегрируемыми связями. I”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1982, № 3, 92–100  mathnet  mathscinet  zmath; II, 1982, № 4, 70–76  mathnet  mathscinet  zmath; III, 1983, № 3, 102–111  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. V. Kozlov, “Dynamics of systems with nonintegrable constraints. I”, Moscow Univ. Mech. Bull., 37:3-4 (1982), 27–34; II, 37:3-4 (1982), 74–80; III, 38:3 (1983), 40–51
93. В. В. Козлов, “Реализация неинтегрируемых связей в классической механике”, Докл. АН СССР, 272:3 (1983), 550–554  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. V. Kozlov, “Realization of nonintegrable constraints in classical mechanics”, Soviet Phys. Dokl., 28:9 (1983), 735–737
94. G. Lafferriere, H. J. Sussmann, “A differential geometric approach to motion planning”, Nonholonomic motion planning, Kluwer Int. Ser. Eng. Comput. Sci., 192, Kluwer Acad. Publ., Boston, MA, 1993, 235–270  crossref  zmath
95. Г. Ламб, Гидродинамика, Гостехиздат, М.–Л., 1947, 928 с.; пер. с англ.: H. Lamb, Hydrodynamics, 6th ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1932, xv+738 с.  mathscinet  zmath
96. T. J. Lardner, “A note on the elastica with large loads”, Internat. J. Solids Structures, 21:1 (1985), 21–26  crossref  mathscinet
97. J. P. Laumond, Nonholonomic motion planning for mobile robots, Preprint № 98211, LAAS-CNRS, Toulouse, 1998
98. D. F. Lawden, Elliptic functions and applications, Appl. Math. Sci., 80, Springer-Verlag, New York, 1989, xiv+334 pp.  crossref  mathscinet  zmath
99. R. Levien, The elastica: a mathematical history, Tech. rep. № UCB/EECS-2008-103, Univ. of California, Berkeley, 2008, 25 pp.,\par https://www2.eecs.berkeley.edu/Pubs/TechRpts/2008/EECS-2008-103.html
100. Z. Li, J. Canny, “Motion of two rigid bodies with rolling constraint”, IEEE Trans. Robot. Automat., 6:1 (1990), 62–72  crossref
101. J.-M. Lion, J.-P. Rolin, “Théorème de préparation pur les fonctions logarithmico-exponentielles”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 47:3 (1997), 859–884  crossref  mathscinet  zmath
102. Л. В. Локуциевский, “Выпуклая тригонометрия с приложениями к субфинслеровой геометрии”, Матем. сб., 210:8 (2019), 120–148  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: L. V. Lokutsievskiy, “Convex trigonometry with applications to sub-Finsler geometry”, Sb. Math., 210:8 (2019), 1179–1205  crossref  adsnasa
103. Л. В. Локуциевский, Ю. Л. Сачков, “Неинтегрируемость по Лиувиллю субримановых задач на свободных группах Карно глубины 4”, Докл. РАН, 474:1 (2017), 19–21  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: L. V. Lokutsievskii, Yu. L. Sachkov, “Liouville nonintegrability of sub-Riemannian problems on free Carnot groups of step 4”, Dokl. Math., 95:3 (2017), 211–213  crossref
104. Л. В. Локуциевский, Ю. Л. Сачков, “Об интегрируемости по Лиувиллю субримановых задач на группах Карно глубины 4 и больше”, Матем. сб., 209:5 (2018), 74–119  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: L. V. Lokutsievskiy, Yu. L. Sachkov, “Liouville integrability of sub-Riemannian problems on Carnot groups of step 4 or greater”, Sb. Math., 209:5 (2018), 672–713  crossref  adsnasa
105. А. Ляв, Математическая теория упругости, ОНТИ, М.–Л., 1935, 674 с.; пер. с англ.: A. E. H. Love, A treatise on the mathematical theory of elasticity, 4th ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1927, xviii+643 с.  mathscinet  zmath
106. R. S. Manning, J. H. Maddocks, J. D. Kahn, “A continuum rod model of sequence-dependent DNA structure”, J. Chem. Phys., 105:13 (1996), 5626–5646  crossref  adsnasa
107. R. S. Manning, K. A. Rogers, J. H. Maddocks, “Isoperimetric conjugate points with application to the stability of DNA minicircles”, R. Soc. Lond. Proc. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 454:1980 (1998), 3047–3074  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
108. A. Marigo, A. Bicchi, “Rolling bodies with regular surface: the holonomic case”, Differential geometry and control (Boulder, CO, 1997), Proc. Sympos. Pure Math., 64, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, 241–256  crossref  mathscinet  zmath
109. А. П. Маштаков, “Алгоритмическое и программное обеспечение решения конструктивной задачи управления неголономными пятимерными системами”, Программные системы: теория и приложения, 3:1 (2012), 3–29  mathnet
110. A. P. Mashtakov, A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov, “Parallel algorithm and software for image inpainting via sub-Riemannian minimizers on the group of rototranslations”, Numer. Math. Theory Methods Appl., 6:1 (2013), 95–115  crossref  mathscinet  zmath
111. A. Mashtakov, A. Ardentov, Yu. L. Sachkov, “Relation between Euler's elasticae and sub-Riemannian geodesics on $\operatorname{SE}(2)$”, Regul. Chaotic Dyn., 21:7-8 (2016), 832–839  mathnet  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
112. А. П. Маштаков, P. Дайтс, Ю. Л. Сачков, E. Беккерс, И. Ю. Бесчастный, “Субримановы геодезические на группе $\operatorname{SO}(3)$ в задаче поиска кровеносных сосудов на сферических изображениях сетчатки”, Докл. РАН, 473:5 (2017), 521–524  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. P. Mashtakov, R. Duits, Yu. L. Sachkov, E. Bekkers, I. Yu. Beschastnyi, “Sub-Riemannian geodesics in $\operatorname{SO}(3)$ with application to vessel tracking in spherical images of retina”, Dokl. Math., 95:2 (2017), 168–171  crossref
113. A. Mashtakov, R. Duits, Yu. Sachkov, E. J. Bekkers, I. Beschastnyi, “Tracking of lines in spherical images via sub-Riemannian geodesics in $\operatorname{SO}(3)$”, J. Math. Imaging Vision, 58:2 (2017), 239–264  crossref  mathscinet  zmath
114. А. П. Маштаков, Ю. Л. Сачков, “Экстремальные траектории и асимптотика времени Максвелла в задаче об оптимальном качении сферы по плоскости”, Матем. сб., 202:9 (2011), 97–120  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. P. Mashtakov, Yu. L. Sachkov, “Extremal trajectories and the asymptotics of the Maxwell time in the problem of the optimal rolling of a sphere on a plane”, Sb. Math., 202:9 (2011), 1347–1371  crossref  adsnasa
115. Y. Mikata, “Complete solution of elastica for a clamped-hinged beam, and its applications to a carbon nanotube”, Acta Mech., 190:4 (2007), 133–150  crossref  zmath
116. I. Moiseev, Yu. L. Sachkov, “Maxwell strata in sub-Riemannian problem on the group of motions of a plane”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 16:2 (2010), 380–399  crossref  mathscinet  zmath
117. D. Mumford, “Elastica and computer vision”, Algebraic geometry and its applications (West Lafayette, IN, 1990), Springer, New York, 1994, 491–506  crossref  mathscinet  zmath
118. R. M. Murray, “Nilpotent bases for a class of nonintegrable distributions with applications to trajectory generation for nonholonomic systems”, Math. Control Signals Systems, 7:1 (1994), 58–75  crossref  mathscinet  zmath; CDS Tech. Rep. 92-002, Univ. of California, Berkeley, 1992, 19 pp. http://www.cds.caltech.edu/~murray/papers/1992i_mur92-cds.html
119. D. E. Panayotounakos, P. S. Theocaris, “Analytic solutions for nonlinear differential equations describing the elastica of straight bars: theory”, J. Franklin Inst., 325:5 (1988), 621–633  crossref  mathscinet  zmath
120. J. Petitot, “The neurogeometry of pinwheels as a sub-Riemannian contact structure”, J. Physiol. Paris, 97:2-3 (2003), 265–309  crossref
121. J. Petitot, Neurogéométrie de la vision. Modèles mathématiques et physiques des architectures fonctionnelles, Éditions de l'École Polytechnique, Palaiseau, 2008, 419 pp.  mathscinet
122. L. Saalschütz, Der belastete Stab unter Einwirkung einer seitlichen Kraft, B. G. Teubner, Leipzig, 1880, 280 pp.  zmath
123. Ю. Л. Сачков, “Экспоненциальное отображение в обобщенной задаче Дидоны”, Матем. сб., 194:9 (2003), 63–90  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: Yu. L. Sachkov, “Exponential map in the generalized Dido problem”, Sb. Math., 194:9 (2003), 1331–1359  crossref  adsnasa
124. Yu. L. Sachkov, “Symmetries of flat rank two distributions and sub-Riemannian structures”, Trans. Amer. Math. Soc., 356:2 (2004), 457–494  crossref  mathscinet  zmath
125. Ю. Л. Сачков, “Дискретные симметрии в обобщенной задаче Дидоны”, Матем. сб., 197:2 (2006), 95–116  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: Yu. L. Sachkov, “Discrete symmetries in the generalized Dido problem”, Sb. Math., 197:2 (2006), 235–257  crossref  adsnasa
126. Ю. Л. Сачков, “Множество Максвелла в обобщенной задаче Дидоны”, Матем. сб., 197:4 (2006), 123–150  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: Yu. L. Sachkov, “The Maxwell set in the generalized Dido problem”, Sb. Math., 197:4 (2006), 595–621  crossref  adsnasa
127. Ю. Л. Сачков, “Полное описание стратов Максвелла в обобщенной задаче Дидоны”, Матем. сб., 197:6 (2006), 111–160  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: Yu. L. Sachkov, “Complete description of the Maxwell strata in the generalized Dido problem”, Sb. Math., 197:6 (2006), 901–950  crossref  adsnasa
128. Ю. Л. Сачков, “Теория управления на группах Ли”, Оптимальное управление, СМФН, 27, РУДН, М., 2008, 5–59  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: Yu. L. Sachkov, “Control theory on Lie groups”, J. Math. Sci. (N. Y.), 156:3 (2009), 381–439  crossref
129. Ю. Л. Сачков, “Оптимальность эйлеровых эластик”, Докл. РАН, 417:1 (2007), 23–25  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: Yu. L. Sachkov, “Optimality of Euler's elasticae”, Dokl. Math., 76:3 (2007), 817–819  crossref
130. Yu. L. Sachkov, “Maxwell strata in Euler elastic problem”, J. Dyn. Control Syst., 14:2 (2008), 169–234  crossref  mathscinet  zmath
131. Yu. L. Sachkov, “Conjugate points in Euler elastic problem”, J. Dyn. Control Syst., 14:3 (2008), 409–439  crossref  mathscinet  zmath
132. Ю. Л. Сачков, “Симметрии и страты Максвелла в задаче об оптимальном качении сферы по плоскости”, Матем. сб., 201:7 (2010), 99–120  mathnet  crossref  zmath; англ. пер.: Yu. L. Sachkov, “Maxwell strata and symmetries in the problem of optimal rolling of a sphere over a plane”, Sb. Math., 201:7 (2010), 1029–1051  crossref  mathscinet  adsnasa
133. Ю. Л. Сачков, С. В. Левяков, “Устойчивость инфлексионных эластик, центрированных в вершинах или точках перегиба”, Дифференциальные уравнения и топология. II, Сборник статей. К 100-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Труды МИАН, 271, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2010, 187–203  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: Yu. L. Sachkov, S. V. Levyakov, “Stability of inflectional elasticae centered at vertices or inflection points”, Proc. Steklov Inst. Math., 271 (2010), 177–192  crossref
134. Yu. L. Sachkov, “Conjugate and cut time in the sub-Riemannian problem on the group of motions of a plane”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 16:4 (2010), 1018–1039  crossref  mathscinet  zmath
135. Yu. L. Sachkov, “Cut locus and optimal synthesis in the sub-Riemannian problem on the group of motions of a plane”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 17:2 (2011), 293–321  crossref  mathscinet  zmath
136. Yu. L. Sachkov, “Closed Euler elasticae”, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей, Труды МИАН, 278, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2012, 227–241  mathnet  mathscinet  zmath; Proc. Steklov Inst. Math., 278 (2012), 218–232  crossref
137. Yu. L. Sachkov, E. F. Sachkova, “Exponential mapping in Euler's elastic problem”, J. Dyn. Control Syst., 20:4 (2014), 443–464  crossref  mathscinet  zmath
138. Yu. L. Sachkov, “Optimal bang-bang trajectories in sub-Finsler problem on the Cartan group”, Нелинейная динам., 14:4 (2018), 583–593  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
139. Yu. L. Sachkov, “Periodic controls in step 2 strictly convex sub-Finsler problems”, Regul. Chaotic Dyn., 25:1 (2020), 33–39  mathnet  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
140. Ю. Л. Сачков, “Однородные субримановы геодезические на группе движений плоскости”, Дифференц. уравнения, 57:11 (2021), 1568–1572  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: Yu. L. Sachkov, “Homogeneous sub-Riemannian geodesics on a group of motions of the plane”, Differ. Equ., 57:11 (2021), 1550–1554  crossref
141. Yu. L. Sachkov, “Conjugate time in the sub-Riemannian problem on the Cartan group”, J. Dyn. Control Syst., 27:4 (2021),  709–751  crossref  mathscinet  zmath
142. Ю. Л. Сачков, Введение в геометрическую теорию управления, URSS, М., 2021, 160 с.; англ. пер.: Yu. Sachkov, Introduction to geometric control, Springer Optim. Appl., 192, Springer, Cham, 2022, xvii+162 с.  crossref  mathscinet  zmath
143. Ю. Л. Сачков, “Левоинвариантные задачи оптимального управления на группах Ли: классификации и задачи, интегрируемые в элементарных функциях”, УМН, 77:1(463) (2022), 109–176  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: Yu. L. Sachkov, “Left-invariant optimal control problems on Lie groups: classification and problems integrable by elementary functions”, Russian Math. Surveys, 77:1 (2022), 99–163  crossref  adsnasa
144. Ю. Л. Сачков, “Субриманова сфера Картана”, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 507 (2022), 66–70  mathnet  crossref
145. Ю. Л. Сачков, А. Ю. Попов, “Субриманова сфера Энгеля”, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 500 (2021), 97–101  mathnet  crossref  zmath; англ. пер.: Yu. L. Sachkov, A. Yu. Popov, “Sub-Riemannian Engel sphere”, Dokl. Math., 104:2 (2021), 301–305  crossref  mathscinet
146. Ю. Л. Сачков, Е. Ф. Сачкова, “Вырожденные анормальные траектории в субримановой задаче с вектором роста $(2,3,5,8)$”, Дифференц. уравнения, 53:3 (2017), 362–374  mathnet  crossref  zmath; англ. пер.: Yu. L. Sachkov, E. F. Sachkova, “Degenerate abnormal trajectories in a sub-Riemannian problem with growth vector $(2, 3, 5, 8)$”, Differ. Equ., 53:3 (2017), 352–365  crossref  mathscinet
147. Ю. Л. Сачков, Е. Ф. Сачкова, “Сублоренцева задача на группе Гейзенберга”, Матем. заметки, 113:1 (2023), 154–157  mathnet  crossref; англ. пер.: Yu. L. Sachkov, E. F. Sachkova, “Sub-Lorentzian problem on the Heisenberg group”, Math. Notes, 113:1 (2023), 160–163  crossref
148. P. Seide, “Large deflections of a simply supported beam subjected to moment at one end”, J. Appl. Mech., 51:3 (1984), 519–525  crossref  adsnasa
149. I. H. Stampouloglou, E. E. Theotokoglou, P. N. Andriotaki, “Asymptotic solutions to the non-linear cantilever elastica”, Internat. J. Non-Linear Mech., 40:10 (2005), 1252–1262  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
150. G. Stefani, “Polynomial approximations to control systems and local controllability”, 1985 24th IEEE conference on decision and control (Fort Lauderdale, FL, 1985), IEEE, 1985, 33–38  crossref
151. T. Tang, N. J. Glassmaker, “On the inextensible elastica model for the collapse of nanotubes”, Math. Mech. Solids, 15:5 (2010), 591–606  crossref  zmath
152. D. Tilbury, R. M. Murray, S. S. Sastry, “Trajectory generation for the $N$-trailer problem using Goursat normal form”, IEEE Trans. Automat. Control, 40:5 (1995), 802–819  crossref  mathscinet  zmath
153. С. П. Тимошенко, История науки о сопротивлении материалов, Гостехиздат, М., 1957, 536 с.; пер. с англ.: S. P. Timoshenko, History of strength of materials, McGraw-Hill Book Co., Inc., New York–Toronto–London, 1953, x+452 с.  mathscinet  zmath
154. C. Truesdell, “The influence of elasticity on analysis: the classic heritage”, Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.), 9:3 (1983), 293–310  crossref  mathscinet  zmath
155. M. Vendittelli, G. Oriolo, J.-P. Laumond, “Steering nonholonomic systems via nilpotent approximations: the general two-trailer system”, Proceedings 1999 IEEE international conference on robotics and automation (Detroit, MI, 1999), v. 1, IEEE, 1999, 823–829  crossref
156. M. Venditelli, G. Oriolo, F. Jean, J.-P. Laumond, “Nonhomogeneous nilpotent approximations for nonholonomic systems with singularities”, IEEE Trans. Automat. Control, 49:2 (2004), 261–266  crossref  mathscinet  zmath
157. А. М. Вершик, В. Я. Гершкович, “Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи”, Динамические системы – 7, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 16, ВИНИТИ, М., 1987, 5–85  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. M. Vershik, V. Ya. Gershkovich, “Nonholonomic dynamical systems, geometry of distributions and variational problems”, Dynamical systems VII, Encyclopaedia Math. Sci., 16, Springer, Berlin, 1994, 1–81  crossref  mathscinet
158. А. М. Вершик, О. А. Граничина, “Редукция неголономных вариационных задач к изопериметрическим и связности в главных расслоениях”, Матем. заметки, 49:5 (1991), 37–44  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. M. Vershik, O. A. Granichina, “Reduction of nonholonomic variation problems to isoperimetric ones and connections in principal bundles”, Math. Notes, 49:5 (1991), 467–472  crossref
159. Н. Я. Виленкин, Специальные функции и теория представлений групп, Наука, М., 1965, 588 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. Ja. Vilenkin, Special functions and the theory of group representations, Transl. Math. Monogr., 22, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1968, x+613 с.  mathscinet  zmath
160. G. C. Walsh, R. Montgomery, S. S. Sastry, “Optimal path planning on matrix Lie groups”, Proceedings of 1994 33rd IEEE conference on decision and control (Lake Buena Vista, FL, 1994), v. 2, IEEE, 1994, 1258–1263  crossref
161. C. Y. Wang, “Post-buckling of a clamped-simply supported elastica”, Internat. J. Non-Linear Mech., 32:6 (1997), 1115–1122  crossref  zmath
162. Э. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон, Курс современного анализа, 3-е стер. изд., Эдиториал УРСС, М., 2002, 515 с.; пер. с англ.: E. T. Whittaker, G. N. Watson, A course of modern analysis. An introduction to the general theory of infinite processes and of analytic functions; with an account of the principal transcendental functions, 4th ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1927, vi+608 с.  mathscinet  zmath

Образец цитирования: Ю. Л. Сачков, “Левоинвариантные задачи оптимального управления на группах Ли, интегрируемые в эллиптических функциях”, УМН, 78:1(469) (2023), 67–166; Russian Math. Surveys, 78:1 (2023), 65–163
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sac23}
\by Ю.~Л.~Сачков
\paper Левоинвариантные задачи оптимального управления на~группах Ли, интегрируемые в~эллиптических функциях
\jour УМН
\yr 2023
\vol 78
\issue 1(469)
\pages 67--166
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10063}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10063}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4634796}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023RuMaS..78...65S}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2023
\vol 78
\issue 1
\pages 65--163
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10063e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001057003200002}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85163991145}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm10063
  • https://doi.org/10.4213/rm10063
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm/v78/i1/p67
  • Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Успехи математических наук Russian Mathematical Surveys
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:572
    PDF русской версии:81
    PDF английской версии:90
    HTML русской версии:350
    HTML английской версии:178
    Список литературы:43
    Первая страница:10
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024