Успехи математических наук
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



УМН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Успехи математических наук, 2023, том 78, выпуск 1(469), страницы 167–204
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10075
(Mi rm10075)
 

О сильной и слабой ассоциированности весовых пространств Соболева первого порядка

В. Д. Степановab, Е. П. Ушаковаbc

a Вычислительный центр ДВО Российской академии наук
b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
c Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова Российской академии наук
Список литературы:
Аннотация: В работе дан краткий обзор недавних результатов по проблеме характеризации ассоциированных и дважды ассоциированных пространств к функциональным классам, включающим как идеальные, так и неидеальные структуры. К числу последних относятся двухвесовые пространства Соболева первого порядка на положительной полуоси. Показано, что, в отличие от понятия двойственности, ассоциированность может быть “сильной” и “слабой”. При этом дважды ассоциированные пространства делятся еще на три типа. В этом контексте установлено, что пространство Соболева функций с компактным носителем обладает слабой ассоциированной рефлексивностью, а сильно ассоциированное к слабому ассоциированному пространству состоит только из нуля. Аналогичными свойствами обладают весовые классы типа Чезаро и Копсона, для которых проблема изучена полностью и установлена их связь с пространствами Соболева со степенными весами. В качестве приложения рассмотрена задача об ограниченности преобразования Гильберта из весового пространства Соболева в весовое пространство Лебега.
Библиография: 49 названий.
Ключевые слова: функциональное пространство; двойственное пространство; ассоциированное пространство; рефлексивность; пространства Соболева, Чезаро, Копсона.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 19-11-00087
Исследование авторов, результаты которого представлены в разделах 2 и 3, выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 19-11-00087, https://rscf.ru/project/19-11-00087/, в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии наук.
Поступила в редакцию: 20.07.2022
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 1, Pages 165–202
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10075e
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517.51
MSC: 46B10, 46E30, 46E35

Введение

Пусть $I:=(0,\infty)$ и $\mathfrak{M}(I)$ – множество всех измеримых по Лебегу функций на $I$. Пусть $X\subset\mathfrak{M}(I)$ – функциональное пространство с нормой $\|\,\cdot\,\|_X$. Наряду с понятием двойственного (сопряженного) пространства $X^\ast$ всех линейных ограниченных функционалов на $X$, хорошо известно понятие ассоциированного с $X$ пространства $X'$, а также задача о его описании. В ряде классических случаев эти пространства изометрически изоморфны.

Пространство $X$ называется идеальным, если из того, что $|f|\leqslant|g|$ п. в. на $I$ и $g\in X$, вытекает, что $f\in X$ и $\|f\|\leqslant\|g\|$. Положим

$$ \begin{equation} \mathfrak{D}_X:=\biggl\{g\in \mathfrak{M}(I)\colon\int_I|fg|<\infty \text{ для всех } f\in X\biggr\}. \end{equation} \tag{0.1} $$
Для любого $g\in\mathfrak{D}_X$ определим функционалы
$$ \begin{equation*} \mathbf{J}_{X}(g):= \sup_{0\ne f\in X}\frac{\int_I|fg|}{\|f\|_{X}}\quad\text{и}\quad {J}_{X}(g):=\sup_{0\ne f\in X}\frac{\bigl|\int_I fg\bigr|}{\|f\|_{X}} \end{equation*} \notag $$
и ассоциированные пространства
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, X'_{\rm s}&:=\bigl\{g\in \mathfrak{M}(I)\colon\|g\|_{X'_{\rm s}}:= \mathbf{J}_X(g)<\infty\bigr\}, \\ X'_{\rm w}&:=\bigl\{g\in \mathfrak{M}(I)\colon\|g\|_{X'_{\rm w}}:= {J}_X(g)<\infty\bigr\}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
которые будем называть сильным и слабым соответственно. Стандартной задачей для идеального пространства $(X,\|\cdot\|_X)$ является характеризация его сильного ассоциированного (или двойственного по Кётэ) пространства (см. [1; гл. 1, § 2]). Отметим, что $J_X(g)=\mathbf{J}_X(g)$ для идеального $X$ (см. [1; гл. 1, лемма 2.8]), в этом случае $X'_{\rm s}=X'_{\rm w}$. Для неидеального пространства $X$ функционалы $J_X(g)$ и $\mathbf{J}_X(g)$ могут быть различными (см. примеры в [2]). Естественной также является задача характеризации дважды ассоциированных пространств. Поскольку $X'_{\rm s}$ идеально, то $[X'_{\rm s}]'_{\rm s}=[X'_{\rm s}]'_{\rm w}$, к этому добавляются $[X'_{\rm w}]'_{\rm s}$ и $[X'_{\rm w}]'_{\rm w}$.

В разделе 1 мы даем полное описание пространств, сильно ассоциированных с (идеальными) весовымы пространствами типа Чезаро и Копсона.

Для $1\leqslant p\leqslant\infty$ обозначим $L^p(I)\subset \mathfrak{M}(I)$ обычное пространство Лебега с нормой $\|f\|_{L^p(I)}=\|f\|_p:=\biggl(\displaystyle\int_I|f|^p\biggr)^{1/p}$ (и обычной модификацией нормы при $p=\infty$). Символ ${\mathscr V}_p(I)$ применяется для соответствующего множества весовых функций (весов):

$$ \begin{equation*} {\mathscr V}_p(I):=\{v\in L^p_{\rm loc}(I)\colon v\geqslant 0, \|v\|_{L^1(I)}\ne 0\}. \end{equation*} \notag $$
Предположим, что $v_0,v_1\in {\mathscr V}_1(I)$. Обозначим $W^1_{1,{\rm loc}}(I)$ пространство всех таких функций $u\in L^1_{\rm loc}(I)$, что их обобщенные производные $Du$ принадлежат $L^1_{\rm loc}(I)$. Мы рассматриваем весовое пространство Соболева
$$ \begin{equation*} W^1_p(I):=\{u\in W^1_{1,{\rm loc}}(I)\colon\|u\|_{W^1_p(I)}<\infty\}, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \|u\|_{W^1_p(I)}:=\|v_0 u\|_{L^p(I)}+\|v_1 Du\|_{L^p(I)}, \end{equation*} \notag $$
и подпространства $ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)\subset \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_p(I)\subseteq W^1_p(I)$, второе из которых есть замыкание в $W^1_p(I)$ первого, т. е. подпространства $ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)$ абсолютно непрерывных функций, подчиняющихся ряду дополнительных требований:
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)&:=\Bigl\{f\in \operatorname{AC}(I)\colon \limsup_{t\to 0+}|f(t)|=0, \ \operatorname{supp} f \text{ - компакт в }[0,\infty), \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\! \|f\|_{W^1_p(I)}<\infty\Bigr\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
В отдельных случаях множество $\mathfrak{D}_{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)}$ задается с дополнительными условиями (см. раздел 2).

Пусть $X\in\{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I), \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_p(I),W^1_p(I)\}$. Полная характеризация ассоциированных пространств $X'_{\rm s}$ и $X'_{\rm w}$ на произвольном интервале, а не только на $I$, была получена в [2; §§ 5, 6]. В частности, для любого пространства Соболева $X\in\{ \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_p(I),W^1_p(I)\}$ показано, что

$$ \begin{equation*} J_X(g)<\infty\ \ \Longleftrightarrow\ \ \mathbf{J}_X(g)<\infty \end{equation*} \notag $$
[3; теоремы 2.5 и 2.6], а также указаны примеры пространств $ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)$ и функций $g\in X$, для которых $J_X(g)<\infty$, $\mathbf{J}_X(g)=\infty$. Кроме того, обнаружилось, что для степенных весовых функций $v_0$ и $v_1$ пространства $X'_{\rm s}$ и $X'_{\rm w}$ совпадают с сильными и слабыми пространствами типа Чезаро и Копсона соответственно, а для пространства $X= \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)$ имеет место слабая рефлексивность $X=[X'_{\rm w}]'_{\rm w}$. Полный анализ этой проблемы, включая характеризацию дважды ассоциированных $[X'_{\rm s}]'_{\rm s}$, $[X'_{\rm w}]'_{\rm s}$ и $[X'_{\rm w}]'_{\rm w}$ для пространств Соболева со степенными весами в роли $X$ и пространств типа Чезаро и Копсона, проведен в разделе 2.

В разделе 3 работы содержится новый результат, состоящий в доказательстве слабой ассоциированной рефлексивности пространства Соболева $X= \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)$ в случае $1<p<\infty$ и произвольных весов. Кроме этого мы показываем, что $[X'_{\rm w}]'_{\rm s}=\{0\}$. Характеризация пространства $[X'_{\rm s}]'_{\rm s}=[X'_{\rm s}]'_{\rm w}$ пока остается открытой проблемой.

Основной мотивацией к исследованию слабых ассоциированных пространств служит возможность применения принципа двойственности, позволяющего свести задачу об ограниченности индефинитного линейного оператора, скажем, из пространства Соболева в пространство Лебега, к более изученным случаям с двойственным оператором. В разделе 4 мы иллюстрируем этот метод на примере преобразования Гильберта.

Более подробная вводная информация приведена в начале каждого раздела.

На протяжении всей работы неопределенности вида $0\cdot\infty$ полагаются равными 0. Соотношение $A\lesssim B$ означает, что $A\leqslant cB$ с некоторой константой $c$, зависящей только от параметра $p$; запись $A\approx B$ равносильна $A\lesssim B \lesssim A$. Символы $\mathbb{N}$ и $\mathbb{Z}$ применяются для множества натуральных и целых чисел соответственно. Характеристическая функция (индикатор) множества $E$ обозначается $\chi_E$. Если $1<p<\infty$, то $p':={p}/(p-1)$.

1. Идеальные пространства Чезаро и Копсона

Далее будут использоваться следующие обозначения:

$$ \begin{equation} \mathfrak{M}^+:=\{f\in \mathfrak{M}(I)\colon f\geqslant 0\}, \end{equation} \tag{1.1} $$
$\mathfrak{M}^{\downarrow}\subset \mathfrak{M}^{+}$ – подмножество всех невозрастающих функций, $\mathfrak{M}^{\uparrow}\subset\mathfrak{M}^{+}$ – подмножество всех неубывающих функций. Пусть $0<p\leqslant\infty$, а $u\in \mathfrak{M}^+$ и $v\in \mathfrak{M}^+$ – заданные весовые функции. Мы рассматриваем весовые пространства $\operatorname{Ces}_{p,u,v}$ и $\operatorname{Cop}_{p,u,v}$ вида
$$ \begin{equation*} \operatorname{Ces}_{p,u,v}:=\biggl\{f\in\mathfrak{M}(I)\colon \|f\|_{\operatorname{Ces}_{p,u,v}}:=\biggl(\int_0^\infty \biggl(\,\int_0^t|f|u\biggr)^pv(t)\,dt\biggr)^{1/p}<\infty\biggr\} \end{equation*} \notag $$
при $0<p<\infty$ и
$$ \begin{equation*} \operatorname{Ces}_{\infty,u,v}:=\biggl\{f\in\mathfrak{M}(I)\colon \|f\|_{\operatorname{Ces}_{\infty,u,v}}:= \operatorname*{ess\,sup}_{t\geqslant 0}v(t)\int_0^t|f|u < \infty\biggr\} \end{equation*} \notag $$
для $p=\infty$. Аналогично,
$$ \begin{equation*} \operatorname{Cop}_{p,u,v}:=\biggl\{f\in\mathfrak{M}(I)\colon \|f\|_{\operatorname{Ces}_{p,u,v}}:=\biggl(\,\int_0^\infty \biggl(\,\int_t^\infty|f|u\biggr)^pv(t)\,dt\biggr)^{1/p}<\infty\biggr\} \end{equation*} \notag $$
при $0<p<\infty$ и
$$ \begin{equation*} \operatorname{Cop}_{\infty,u,v}:=\biggl\{f\in\mathfrak{M}(I)\colon \|f\|_{\operatorname{Ces}_{\infty,u,v}}:= \operatorname*{ess\,sup}_{t\geqslant 0}v(t) \int_t^\infty|f|u <\infty\biggr\} \end{equation*} \notag $$
для $p=\infty$. Если $1\leqslant p<\infty$, то при $u\equiv 1$, $v(t)=t^{-p}$ пространство $\operatorname{Ces}_{p,u,v}$ называют пространством Чезаро, а при $u(s)=s^{-1}$, $v(t)\equiv 1$ пространство $\operatorname{Cop}_{p,u,v}$ называют пространством Копсона (см., например, монографии [4], [5], а историю вопроса и пристатейную библиографию в [6]). Весовые пространства Чезаро и Копсона являются полными идеальными (квази)нормированными пространствами. Поэтому если $X\in\{\operatorname{Ces}_{p,u,v},\operatorname{Cop}_{p,u,v}\}$, то $X'_{\rm s}=X'_{\rm w}$ и задача описания ассоциированных с ними пространств сводится к двусторонней оценке функционала $\mathbf{J}_{X}(g)$. Для классических пространств Чезаро $\operatorname{Ces}_p:=\operatorname{Ces}_{p,1,t^{-p}}$ ($1< p<\infty$, $u\equiv 1$, $v(t)=t^{-p}$), а также их дискретных аналогов указанная выше задача была поставлена в 1968 г. и изучалась многими авторами начиная с 1974 г., с постепенным улучшением результатов и рассмотрением более общих постановок (см. [7]). Полнота $\operatorname{Ces}_p$ доказана в [8]. Для $\operatorname{Ces}_p$ норма в ассоциированном пространстве найдена (см., например, [4], [6; теорема 4.1]):
$$ \begin{equation} \|g\|_{[\operatorname{Ces}_p]'}\approx \biggl(\,\int_I(\|g\chi_{[x,\infty)}\|_{L_\infty})^{p'}\,dx\biggr)^{1/p'}. \end{equation} \tag{1.2} $$
Одновесовой случай $\operatorname{Ces}_{p,1,v}$, $1<p<\infty$, $u\equiv 1$, рассмотрен в [9] с довольно громоздким описанием. Для $\operatorname{Cop}_{p,1,v}$, $1<p<\infty$, задача решена в [10; следствие 3.8], а для $\operatorname{Cop}_{p,x^{-1},v}$, $0<p\leqslant\infty$, – в [11; теорема 2.1]. В данном разделе мы обзорно представим обобщение формулы (1.2), а также указанных результатов из [10] и [11] на случай произвольных весовых пространств Чезаро и Копсона. Основные результаты раздела взяты из [12].

Для $g\in\mathfrak{M}(I)$ обозначим

$$ \begin{equation*} g^\downarrow(t):=\operatorname*{ess\,sup}_{x\geqslant t}|g(x)|,\qquad g^\uparrow(t):=\operatorname*{ess\,sup}_{x\leqslant t}|g(x)|. \end{equation*} \notag $$
Пусть
$$ \begin{equation*} Kf(x)=\int_I k(x,t)f(t)\,dt \end{equation*} \notag $$
– интегральный оператор с ядром $k(x,t)\geqslant0$. Пусть $(X,{\|\cdot\|}_X)$ – линейное пространство измеримых функций на $I$ с монотонной (квази)нормой, т. е. $\|f\|_X\leqslant \|g\|_X$, если $0\leqslant f\leqslant g$. Следующие два утверждения получены в [10; теорема 3.3, следствие 3.4].

(a) Пусть ядро $k(x,t)$ не возрастает по $t$ при каждом фиксированном $x$. Тогда

$$ \begin{equation*} \sup_{f\in\mathfrak{M}^+}\frac{\int_I fu}{\|Kf\|_X}= \sup_{f\in\mathfrak{M}^+}\frac{\int_I fu^\downarrow}{\|Kf\|_X}\,. \end{equation*} \notag $$

(b) Пусть ядро $k(x,t)$ не убывает по $t$ при каждом фиксированном $x$. Тогда

$$ \begin{equation*} \sup_{f\in\mathfrak{M}^+}\frac{\int_I fu}{\|Kf\|_X}= \sup_{f\in\mathfrak{M}^+}\frac{\int_I fu^\uparrow}{\|Kf\|_X}\,. \end{equation*} \notag $$

Кроме этого нам потребуются результаты типа “принципа двойственности Сойера” [13], [14; § 2.1], [15; предложение 1], [16; теоремы 2.1, 2.3–2.5]. Для $v\in\mathfrak{M}^+$ обозначим

$$ \begin{equation*} V(t):=\int_0^t v,\qquad V_*(t):=\int_t^\infty v. \end{equation*} \notag $$
Аналогично, если $\lambda$ – мера Бореля на $I$, то
$$ \begin{equation*} \Lambda(t):=\int_{[0,t]} d\lambda,\qquad \Lambda_*(t):=\int_{[t,\infty)} d\lambda. \end{equation*} \notag $$
Пусть $v\in\mathfrak{M}^+$ и $\lambda$ – мера Бореля на $I$. Тогда:

(a$_1$) для $0<p\leqslant 1$

$$ \begin{equation*} \sup_{F\in\mathfrak{M}^\downarrow} \frac{\int_{I}F\,d\lambda}{\bigl(\int_{I}F_{\vphantom{1}}^p v\bigr)^{1/p}}= \sup_{t\in I}\frac{\Lambda(t)}{V^{1/p}(t)}\,; \end{equation*} \notag $$

(a$_2$) для $1<p<\infty$

$$ \begin{equation*} \sup_{F\in\mathfrak{M}^\downarrow} \frac{\int_{I}F\,d\lambda}{(\int_{I}F_{\vphantom{1}}^p v)^{1/p}}\approx \biggl(\,\int_{I}\biggl(\frac{\Lambda(t)}{V(t)}\biggr)^{p'} v(t)\,dt\biggr)^{1/p'}+\frac{\Lambda(\infty)}{V^{1/p}(\infty)}\,; \end{equation*} \notag $$

(b$_1$) для $0<p\leqslant 1$

$$ \begin{equation*} \sup_{F\in\mathfrak{M}^\uparrow} \frac{\int_{I}F\,d\lambda}{(\int_{I}F_{\vphantom{1}}^p v)^{1/p}}= \sup_{t\in I}\frac{\Lambda_*(t)}{V_*^{1/p}(t)}\,; \end{equation*} \notag $$

(b$_2$) для $1<p<\infty$

$$ \begin{equation*} \sup_{F\in\mathfrak{M}^\uparrow} \frac{\int_{I}F\,d\lambda}{(\int_{I}F{\vphantom{1}}^p v)^{1/p}}\approx \biggl(\,\int_{I}\biggl(\frac{\Lambda_*(t)}{V_*(t)}\biggr)^{p'} v(t)\,dt\biggr)^{1/p'}+\frac{\Lambda_*(0)}{V_*^{1/p}(0)}\,; \end{equation*} \notag $$

(a$_3$) для $p=\infty$

$$ \begin{equation*} \sup_{F\in\mathfrak{M}^\downarrow}\frac{\int_{I}F\,d\lambda}{\|Fv\|_\infty}= \int_{I}\frac{d\lambda(x)}{v^\uparrow(x)}\,; \end{equation*} \notag $$

(b$_3$) для $p=\infty$

$$ \begin{equation*} \sup_{F\in\mathfrak{M}^\uparrow}\frac{\int_{I}Fd\lambda}{\|Fv\|_\infty}= \int_{I}\frac{d\lambda(x)}{v^\downarrow(x)}\,. \end{equation*} \notag $$

Применением соотношений (a), (b), (a$_1$)–(a$_3$), (b$_1$)–(b$_3$) доказывается приводимая ниже теорема.

Теорема 1.1. Пусть $u,v\in\mathfrak{M}^+$. Если $X=\operatorname{Ces}_{p,u,v}$, $g\in\mathfrak{D}_X$, то верно следующее:

$\rm {(c_1)}$ для $0<p\leqslant 1$

$$ \begin{equation*} \|g\|_{X'_{\rm s}}=\biggl\|\frac{g}{uV_*^{1/p}}\biggr\|_\infty; \end{equation*} \notag $$

$\rm {(c_2)}$ для $1<p<\infty$

$$ \begin{equation*} \|g\|_{X'_{\rm s}}\approx\biggl(\,\int_{I} \biggl(\frac{g_u^\downarrow(t)}{V_*(t)}\biggr)^{p'} v(t)\,dt\biggr)^{1/p'}+ \frac{g_u^\downarrow(0)}{V_*^{1/p}(0)},\quad\textit{где}\quad g_u^\downarrow:=\biggl(\frac{|g|}{u}\biggr)^\downarrow; \end{equation*} \notag $$

$\rm {(c_3)}$ для $p=\infty$

$$ \begin{equation*} \|g\|_{X'_{\rm s}}=\int_{I}\frac{dg_u^\downarrow}{v^\downarrow}. \end{equation*} \notag $$

В случае $X=\operatorname{Cop}_{p,u,v}$ справедливы следующие утверждения:

$\rm {(d_1)}$ для $0<p\leqslant 1$

$$ \begin{equation*} \|g\|_{X'_{\rm s}}=\biggl\|\frac{g}{uV^{1/p}}\biggr\|_\infty; \end{equation*} \notag $$

$\rm {(d_2)}$ для $1<p<\infty$

$$ \begin{equation*} \|g\|_{X'_{\rm s}}\approx\biggl(\,\int_{I} \biggl(\frac{g_u^\uparrow(t)}{V(t)}\biggr)^{p'} v(t)\,dt\biggr)^{1/p'}+ \frac{g_u^\uparrow(\infty)}{V^{1/p}(\infty)},\quad\textit{где}\quad g_u^\uparrow:=\biggl(\frac{|g|}{u}\biggr)^\uparrow; \end{equation*} \notag $$

$\rm {(d_3)}$ для $p=\infty$

$$ \begin{equation*} \|g\|_{X'_{\rm s}}=\int_{I}\frac{dg_u^\uparrow}{v^\uparrow}\,. \end{equation*} \notag $$

Пример 1.1. Пусть $0<p<\infty$ и $\operatorname{Ces}_p:=\operatorname{Ces}_{p,1,t^{-p}}$, $\operatorname{Cop}_p:=\operatorname{Cop}_{p,s^{-1},1}$ – пространства Чезаро и Копсона соответственно, а также

$$ \begin{equation*} \|f\|_{\operatorname{Ces}_\infty}:= \sup_{t\geqslant 0}\frac{1}{t}\int_0^t|f|,\qquad \|f\|_{\operatorname{Cop}_\infty}:=\int_I\frac{|f(s)|\,ds}{s}\,. \end{equation*} \notag $$
Тогда по теореме 1.1 получаем, что если $X=\operatorname{Ces}_p$, то
$$ \begin{equation*} \begin{alignedat}{2} X'_{\rm s}&=\{0\},&&\qquad 0<p\leqslant 1, \\ \|g\|_{X'_{\rm s}}&\approx\|g^\downarrow\|_{p'},&&\qquad 1<p<\infty, \\ \|g\|_{X'_{\rm s}}&=\|g^\downarrow\|_1,&&\qquad p=\infty. \end{alignedat} \end{equation*} \notag $$
Отметим, что условием нетривиальности $[\operatorname{Ces}_{p,u,v}]'_{\rm s}$ при $0<p\leqslant 1$, согласно (c$_1$), является конечность функции $uV_*^{1/p}$ (это условие выполнено, например, если $u\equiv 1$, $v(t)=t^{-q}$, $q>1$). Известно, что пространство $X=\operatorname{Ces}_p$ при $1<p<\infty$ не является рефлексивным в смысле функционалов, $X^{**}\ne X$ (см. [17; теорема 1, (g)]). Однако ассоциированная рефлексивность имеется. Действительно, при $1<p<\infty$, используя (a$_2$), имеем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, {J}_{X'_{\rm s}}(f):=\sup_{g\in X'_{\rm s}} \frac{\int_I |fg|}{\|g\|_{X'_{\rm s}}}\approx \sup_{g\in X'_{\rm s}}\frac{\int_I |fg|}{\|g^\downarrow\|_{p'}}&\leqslant \sup_{g\in X'_{\rm s}}\frac{\int_I |f|g^\downarrow}{\|g^\downarrow\|_{p'}} \leqslant\sup_{g\in \mathfrak{M}^\downarrow}\frac{\int_I |f|g}{\|g\|_{p'}} \approx\|f\|_{\operatorname{Ces}_p}, \\ \sup_{g\in X'_{\rm s}}\frac{\int_I |fg|}{\|g^\downarrow\|_{p'}}&\geqslant \sup_{g\in \mathfrak{M}^\downarrow}\frac{\int_I |f|g}{\|g\|_{p'}} \approx\|f\|_{\operatorname{Ces}_p}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Аналогично, при $p=\infty$, используя (a$_1$), получаем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \sup_{g\in X'_{\rm s}}\frac{\int_I |fg|}{\|g\|_{X'_{\rm s}}}&= \sup_{g\in X'}\frac{\int_I |fg|}{\|g^\downarrow\|_{1}}\leqslant \sup_{g\in \mathfrak{M}^\downarrow}\frac{\int_I |f|g}{\|g\|_{1}}= \|f\|_{\operatorname{Ces}_\infty}, \\ \sup_{g\in X'_{\rm s}}\frac{\int_I |fg|}{\|g^\downarrow\|_{1}}&\geqslant \sup_{h\in \mathfrak{M}^+}\frac{\int_0^\infty |f(s)| (\int_s^\infty h)\,ds}{\|sh(s)\|_{1}}= \|f\|_{\operatorname{Ces}_\infty}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Таким образом,
$$ \begin{equation} [[\operatorname{Ces}_p]'_{\rm s}]'_{\rm s}=\operatorname{Ces}_p,\qquad 1<p\leqslant\infty. \end{equation} \tag{1.3} $$
Пусть
$$ \begin{equation*} L^\downarrow_p:=\{f\in\mathfrak{M}^\downarrow\colon \|f\|_p <\infty\} \end{equation*} \notag $$
– конус в $L_p$ всех невозрастающих функций. Тогда (см. (a$_2$))
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \|g\|_{[L^\downarrow_{p'}]'}&:=\sup_{f\in \mathfrak{M}^\downarrow} \frac{\int_I f|g|}{\|f\|_{p'}}\approx\|g\|_{\operatorname{Ces}_{p}},\qquad 1<p<\infty, \\ \|g\|_{[L^\downarrow_{1}]'}&\,=\,\|g\|_{\operatorname{Ces}_{\infty}}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Следовательно,
$$ \begin{equation} [[L^\downarrow_{p'}]{']'_{\rm s}}=[\operatorname{Ces}_p]'_{\rm s},\qquad 1<p\leqslant\infty, \end{equation} \tag{1.4} $$
и из результатов работ [18], [19] вытекает, что пространство $[\operatorname{Ces}_p]'_{\rm s}$ является минимальным пространством Банаха, содержащим конус $L^\downarrow_{p'}$.

Если $X=\operatorname{Cop}_p$, то

$$ \begin{equation*} \begin{alignedat}{2} \|g\|_{X'_{\rm s}}&=\operatorname*{ess\,sup}_{s\geqslant 0} s^{1-1/p}|g(s)|&&\quad\text{при }\ 0<p\leqslant 1, \\ \|g\|_{X'_{\rm s}}&\approx\biggl(\,\int_I \biggl(\frac{g_u^\uparrow(t)}{t}\biggr)^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'} &&\quad\text{при } 1<p<\infty \ (\text{здесь } g_u^\uparrow(t)= \operatorname*{ess\,sup}_{0\leqslant s\leqslant t}s|g(s)|), \\ \|g\|_{X'_{\rm s}}&=\|sg(s)\|_\infty &&\quad\text{при } p=\infty. \end{alignedat} \end{equation*} \notag $$

Аналогично (1.3) доказывается, что

$$ \begin{equation*} [[\operatorname{Cop}_p]{'_{\rm s}]'_{\rm s}}=\operatorname{Cop}_p,\qquad 1\leqslant p\leqslant\infty. \end{equation*} \notag $$
Если $Y:=\operatorname{Cop}_{p,1,1}$, то имеет место аналог равенства (1.4):
$$ \begin{equation*} [[L^\uparrow_{p'}]{']'_{\rm s}}=Y'_{\rm s},\qquad 1<p<\infty. \end{equation*} \notag $$

Известно [4], [6; теорема 3.2, (a)], что $\operatorname{Ces}_p=\operatorname{Cop}_p$, $1<p<\infty$, причем $\|f\|_{\operatorname{Ces}_p}\approx \|f\|_{\operatorname{Cop}_p}$. Отсюда и из приведенного примера следует интересная связь между нормами мажорант $g^\downarrow$ и $g^\uparrow$:

$$ \begin{equation*} \|g^\downarrow\|_{p}\approx\biggl(\,\int_I \biggl(\frac{[sg(s)]^\uparrow(t)}{t}\biggr)^{p} \,dt\biggr)^{1/p},\qquad 1<p<\infty. \end{equation*} \notag $$

Пример 1.2. Пусть $1<p<\infty$, $u\in \mathfrak{M}^+$. Весовое пространство Гильберта $\mathcal{H}_{p,u}$ состоит из всех функций с конечной нормой

$$ \begin{equation*} \|f\|_{\mathcal{H}_{p,u}}:=\biggl(\,\int_I\biggl(\,\int_I \frac{|f(y)|u(y)}{x+y}\,dy \biggr)^p\,dx\biggr)^{1/p} \end{equation*} \notag $$
(см. [4; § 21]). Тогда
$$ \begin{equation*} \|f\|_{\mathcal{H}_{p,u}}\approx \|f\|_{\operatorname{Ces}_{p,u,x^{-p}}}, \end{equation*} \notag $$
и из (c$_2$) следует, что
$$ \begin{equation*} \|g\|_{[\mathcal{H}_{p,u}]'_s}\approx\|g_u^\downarrow\|_{p'}. \end{equation*} \notag $$

2. Неидеальные пространства типа Чезаро и Копсона со степенными весами. Связь с пространствами Соболева

Пусть $p\in(1,\infty)$, $\beta>1/p$. Определим пространства типа Чезаро как пространства

$$ \begin{equation*} \operatorname{Ces}_{p,\beta}(I):=\{f\in\mathfrak{M}(I)\colon \|f\|_{\operatorname{Ces}_{p,\beta}(I)}<\infty\} \end{equation*} \notag $$
функций с конечной нормой
$$ \begin{equation*} \|f\|_{\operatorname{Ces}_{p,\beta}(I)}:= \biggl(\,\int_0^\infty\biggl(\frac{1}{x^\beta} \int_0^x|f|\biggr)^p\,dx\biggr)^{1/p}. \end{equation*} \notag $$

Обозначим

$$ \begin{equation*} L^1_{\rm loc}([0,\infty)):=\biggl\{f\in\mathfrak{M}(I)\colon \int_0^b |f|<\infty \text{ для всех } b\in I\biggr\}. \end{equation*} \notag $$
Наряду с $\operatorname{Ces}_{p,\beta}(I)$ рассмотрим неидеальные пространства типа Чезаро
$$ \begin{equation*} {\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I):=\{f\in L^1_{\rm loc}([0,\infty))\colon \|f\|_{{\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)}<\infty\} \end{equation*} \notag $$
с нормой
$$ \begin{equation*} \|f\|_{{\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)}:=\biggl(\,\int_0^\infty \biggl|\frac{1}{x^\beta}\int_0^xf\biggr|^p\,dx\biggr)^{1/p}. \end{equation*} \notag $$
Очевидно, что $L^p_{x^{1-\beta}}(I)\subset \operatorname{Ces}_{p,\beta}(I)\subset{\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)$, где первое вложение следует из неравенства Харди [20; теорема 330], а весовое пространство Лебега $L^p_v(I)$ определяется нормой
$$ \begin{equation*} \|f\|_{L^p_v(I)}:=\biggl(\,\int_I|v(x)f(x)|^p\,dx\biggr)^{1/p}. \end{equation*} \notag $$
Далее, для $\gamma< 1/p$ зададим функциональное пространство типа Копсона
$$ \begin{equation*} \operatorname{Cop}_{p,\gamma}(I):=\{g\in\mathfrak{M}(I)\colon \|g\|_{\operatorname{Cop}_{p,\gamma}(I)}<\infty\}, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \|g\|_{\operatorname{Cop}_{p,\gamma}(I)}:=\biggl(\,\int_0^\infty \biggl(\frac{1}{x^\gamma}\int_x^\infty|g|\biggr)^p\,dx\biggr)^{1/p}. \end{equation*} \notag $$
Положим
$$ \begin{equation*} L^1_{{\rm loc}}((0,\infty]):=\biggl\{f\in\mathfrak{M}(I)\colon \int_t^\infty |f|<\infty \text{ для всех } t\in I\biggr\} \end{equation*} \notag $$
и по аналогии с пространствами Чезаро определим неидеальное пространство типа Копсона вида
$$ \begin{equation*} {\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I):=\{g\in L^1_{{\rm loc}}((0,\infty])\colon \|g\|_{{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)}<\infty\}, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \|g\|_{{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)}:=\biggl(\,\int_0^\infty \biggl|\frac{1}{x^\gamma}\int_x^\infty g\biggr|^p\,dx\biggr)^{1/p}. \end{equation*} \notag $$
Легко видеть, что $L^p_{x^{1-\gamma}}(I)\subset \operatorname{Cop}_{p,\gamma}(I)\subset{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)$, где первое вложение снова вытекает из неравенства Харди [20; теорема 330]. Частный случай пространств типа Копсона для $\gamma=0$ и $p=2$ изучался в [3; § 5].

Нашей основной целью в этом разделе работы является характеризация сильно и слабо ассоциированных пространств к функциональным пространствам типа Чезаро и Копсона. Первая задача для $\operatorname{Ces}_{p,\beta}(I)$, $\beta=1$, решена – см., например, [6; теорема 4.1], а также [9], [7]. В общем случае с помощью теоремы 1.1 находятся нормы сильно ассоциированных пространств к $\operatorname{Ces}_{p,\beta}(I)$ и $\operatorname{Cop}_{p,\gamma}(I)$:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \|g\|_{[\operatorname{Ces}_{p,\beta}(I)]'_{\rm s}}&\approx \biggl(\,\int_I( x^{\beta-1}g^\downarrow(x))^{p'}\,dx\biggr)^{1/p'}, \\ \|g\|_{[\operatorname{Cop}_{p,\gamma}(I)]'_{\rm s}}&\approx \biggl(\,\int_I(x^{\gamma-1}g^\uparrow(x))^{p'}\,dx\biggr)^{1/p'} \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
и устанавливается их сильная рефлексивность.

В п. 2.1 мы выявляем тесную связь между пространствами типа Чезаро и Копсона и весовыми классами Соболева первого порядка на полуоси. А именно, показано, что пространства типа Чезаро и Копсона являются ассоциированными к пространствам Соболева со степенными весами.

Основной результат содержится в п. 2.2, где представлена характеризация $X'_{\rm s}$ и $X'_{\rm w}$, когда $X$ – одно из слабых пространств типа Чезаро и Копсона. Здесь мы показываем, что $X'_{\rm s}=\{0\}$, а $X'_{\rm w}$ совпадают с классами Соболева, для которых $X={\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)$ и $X={\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)$ ассоциированные, т. е. устанавливается слабая рефлексивность слабых пространств типа Чезаро и Копсона.

Случай пространств Чезаро $\operatorname{Ces}_{p}(I)$ и ${\mathscr C}\!es_{p}(I)$ был недавно изучен Д. В. Прохоровым в работе [21] (см. также [22]). Основные результаты этого раздела взяты из [23].

Отметим, что ${\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)$ и ${\mathscr C}\!op_{p,\beta}(I)$ являются неполными нормированными пространствами.

Пример 2.1. Для $\varepsilon\in(0,1/p)$ положим

$$ \begin{equation*} f_\varepsilon(x)=\frac{\sin x}{x^{1+\varepsilon}}\,. \end{equation*} \notag $$
Тогда $\|f_\varepsilon\|_{{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)}<\infty$, но $\|f_\varepsilon\|_{\operatorname{Cop}_{p,\gamma}(I)}=\infty$, т. е. $f_\varepsilon\in {\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)\setminus \operatorname{Cop}_{p,\gamma}(I)$.

Вместе с тем имеют место следующие утверждения.

Лемма 2.1. (a) $\operatorname{Cop}_{p,\gamma}(I)$ плотно в ${\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)$.

(b) $\operatorname{Ces}_{p,\beta}(I)$ плотно в ${\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)$.

2.1. Характеризация пространств типа Чезаро и Копсона как ассоциированных с пространствами Соболева

Замечание 2.1. Для $0<\delta<1<\lambda<\infty$

$$ \begin{equation*} \|f\|_{{\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)}\approx\biggl(\,\int_0^\infty \biggl(\frac{1}{x^\beta}\biggl|\int_{\delta x}^{x}f\biggr|\,\biggr)^p\, dx\biggr)^{1/p}\approx\biggl(\,\int_0^\infty\biggl(\frac{1}{x^\beta} \biggl|\int_x^{\lambda x}f\biggr|\,\biggr)^p\,dx\biggr)^{1/p}. \end{equation*} \notag $$
Аналогично,
$$ \begin{equation*} \|f\|_{{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)}\approx\biggl(\,\int_0^\infty \biggl(\frac{1}{x^\gamma}\biggl|\int_{\delta x}^{x}f\biggr|\,\biggr)^p\, dx\biggr)^{1/p}\approx\biggl(\,\int_0^\infty\biggl(\frac{1}{x^\gamma} \biggl|\int_x^{\lambda x}f\biggr|\,\biggr)^p\,dx\biggr)^{1/p}. \end{equation*} \notag $$
Такие же соотношения верны для норм в $\operatorname{Ces}_{p,\beta}(I)$ и $\operatorname{Cop}_{p,\gamma}(I)$.

Оказывается, что классы Соболева со специально подобранными весами $v_0$ и $v_1$ тесно связаны с функциональными пространствами Чезаро и Копсона. Начнем с пространств Чезаро, сначала “сильного” типа (теорема 2.1) и затем “слабого” типа (теорема 2.2).

Теорема 2.1. Пусть $1<p<\infty$, $\beta=\alpha+1>1/p'$, и пусть $W_{p,\beta}^1(I)$ – пространство Соболева с весами

$$ \begin{equation} v_0(x)=\eta_p x^\alpha,\quad v_1(x)=x^\beta, \end{equation} \tag{2.1} $$
где $\eta_p$ – некоторый коэффициент. Тогда
$$ \begin{equation*} \mathbf{J}_{W_{p,\beta}^1(I)}(g)\approx \|g\|_{\operatorname{Ces}_{p',\beta}(I)}. \end{equation*} \notag $$

Следствие 2.1. Для $X\in\{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p,\beta}(I), \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_{p,\beta}(I), W^1_{p,\beta}(I)\}$ из теоремы 2.1 выше и следствия 6.1 работы [2] получаем, что

$$ \begin{equation*} X_s'=\operatorname{Ces}_{p',\beta}(I) \end{equation*} \notag $$
и $\|g\|_{X_s'}=\mathbf{J}_{W_{p,\beta}^1(I)}(g)\approx \|g\|_{\operatorname{Ces}_{p',\beta}(I)}$ для $g\in \operatorname{Ces}_{p',\beta}(I)$.

Замечание 2.2. Пусть

$$ \begin{equation*} L^\downarrow_{p,\beta}(I):=\biggl\{f\in \mathfrak{M}^\downarrow\colon \|f\|_{L^p_{x^{\beta-1}}(I)}= \biggl(\,\int_I\bigl(x^{\beta-1}f(x)\bigr)^{p}\,dx\biggr)^{1/p} <\infty\biggr\}. \end{equation*} \notag $$
Известно [14; лемма 2.3], что
$$ \begin{equation*} \|g\|_{[L^\downarrow_{p,\beta}]'}:=\sup_{f\in \mathfrak{M}^\downarrow(I)} \frac{\int_I f|g|}{\|f\|_{L^p_{x^{\beta-1}}(I)}}\approx \|g\|_{\operatorname{Ces}_{p',\beta}(I)}. \end{equation*} \notag $$
Поэтому если $X\in\{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p,\beta}(I), \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_{p,\beta}(I),W^1_{p,\beta}(I)\}$, то
$$ \begin{equation} (X_s')'_s=[L^\downarrow_{p,\beta}]^{\prime\prime}:= \biggl\{g\in \mathfrak{M}(I)\colon\sup_{f\in [L^\downarrow_{p,\beta}(I)]'} \frac{\int_I f|g|}{\|f\|_{[L^\downarrow_{p,\beta}(I)]'}}<\infty\biggr\}, \end{equation} \tag{2.2} $$
т. е. дважды сильно ассоциированное пространство Соболева совпадает с оптимальным (минимальным) функциональным пространством Банаха, содержащим конус $L^\downarrow_{p,\beta}$ (см. [18], [19]).

Теорема 2.2. Пусть $1<p<\infty$, $\beta=\alpha+1>1/p'$ и веса $v_0$, $v_1$ определены в (2.1). Тогда

$$ \begin{equation*} J_{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p,\beta}(I)}(g)\approx \|g\|_{{\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)}. \end{equation*} \notag $$

Следствие 2.2. Для $X= \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p,\beta}(I)$ мы получаем

$$ \begin{equation} X'_{\rm w}=\Bigl\{g\in L^1_{\rm loc}([0,\infty))\colon J_{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p,\beta}(I)}(g)<\infty\Bigr\}={\mathscr C}\!es_{p',\beta}(I) \end{equation} \tag{2.3} $$
и $\|g\|_{X'_{\rm w}}=J_{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p,\beta}(I)}(g)\approx \|g\|_{{\mathscr C}\!es_{p',\beta}(I)}$ для $g\in {\mathscr C}\!es_{p',\beta}(I)$.

Аналогичные соотношения выполняются между пространствами Соболева и пространствами типа Копсона.

Теорема 2.3. Пусть $1<p<\infty$, $\gamma=\sigma+1<1/p'$, и пусть $W_{p,\gamma}^1(I)$ – пространство Соболева с весами

$$ \begin{equation} v_0(x)=\theta_p x^\sigma,\quad v_1(x)=x^\gamma. \end{equation} \tag{2.4} $$
Тогда
$$ \begin{equation*} \mathbf{J}_{W_{p,\gamma}^1(I)}(g)\approx \|g\|_{\operatorname{Cop}_{p',\gamma}(I)}. \end{equation*} \notag $$

Следствие 2.3. Для $X\in\{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p,\gamma}(I), \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_{p,\gamma}(I), W^1_{p,\gamma}(I)\}$ из теоремы 2.3 выше и следствия 6.1 работы [2] следует, что

$$ \begin{equation*} X'_{\rm s}=\{g\in\mathfrak{M}(I)\colon\mathbf{J}_{W_{p,\gamma}^1(I)}(g)< \infty\}=\operatorname{Cop}_{p',\gamma}(I) \end{equation*} \notag $$
и $\|g\|_{X'_{\rm s}}=\mathbf{J}_{W_{p,\gamma}^1(I)}(g)\approx \|g\|_{\operatorname{Cop}_{p',\gamma}(I)}$ для $g\in \operatorname{Cop}_{p',\gamma}(I)$.

Замечание 2.3. Пусть

$$ \begin{equation*} L^\uparrow_{p,\gamma}(I):=\biggl\{f\in \mathfrak{M}^\uparrow\colon \|f\|_{L^p_{x^{\gamma-1}}(I)}= \biggl(\,\int_I( x^{\gamma-1}f(x))^{p}\,dx\biggr)^{1/p}<\infty\biggr\}. \end{equation*} \notag $$
По аналогии с (2.2) если $X\in\{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p,\gamma}(I), \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_{p,\gamma}(I),W^1_{p,\gamma}(I)\}$, то
$$ \begin{equation*} [X'_{\rm s}]'_{\rm s}=[L^\uparrow_{p,\gamma}]^{\prime\prime}. \end{equation*} \notag $$

Теорема 2.4. Пусть $1<p<\infty$, $\gamma=\sigma+1<1/p'$ и веса $v_0$, $v_1$ определены в (2.4). Тогда

$$ \begin{equation*} J_{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p,\gamma}(I)}(g)\approx \|g\|_{{\mathscr C}\!op_{p',\gamma}(I)}. \end{equation*} \notag $$

Следствие 2.4. Пусть $X= \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p,\gamma}(I)$. Тогда

$$ \begin{equation} X'_{\rm w}=\bigl\{g\in L^1_{\rm loc}((0,\infty])\colon J_{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p,\gamma}(I)}(g)<\infty\bigr\}={\mathscr C}\!op_{p',\gamma}(I) \end{equation} \tag{2.5} $$
и $\|g\|_{X'_{\rm w}}=J_{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p,\gamma}(I)}(g)\approx \|g\|_{{\mathscr C}\!op_{p',\gamma}(I)}$ для $g\in {\mathscr C}\!op_{p',\gamma}(I)$.

2.2. Характеризация пространств, ассоциированных с пространствами типа Чезаро и Копсона

Лемма 2.2. Пусть $[a,b]\subset I$ и $h\in L^1([a,b])$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ можно подобрать $f\in \operatorname{Cop}_{p,\gamma}(I)$ такую, что $|f|=|h|$ на $(a,b)$ и $\|f\|_{{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)}< \varepsilon$.

Следствие 2.5. Пусть $g\in\mathfrak{M}(I)$. Если $\operatorname{mes}(\{x\in I\colon g(x)\ne 0\})>0$, то

$$ \begin{equation*} \mathbf{J}_{{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)}(g)=\infty,\qquad \mathbf{J}_{{\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)}(g)=\infty. \end{equation*} \notag $$
Поэтому если $X\in\{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p,\beta}(I), \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p,\gamma}(I)\}$, то по теоремам 2.2 и 2.4
$$ \begin{equation*} [X'_{\rm w}]'_{\rm s}=\{0\}. \end{equation*} \notag $$

В соответствии с (0.1) обозначим

$$ \begin{equation*} \mathfrak{D}_{{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)}:= \biggl\{g\in \mathfrak{M}(I)\colon\int_I |fg|<\infty\text{ для всех } f\in {{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)}\biggr\}. \end{equation*} \notag $$

Теорема 2.5. Пусть $g\in \mathfrak{D}_{{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)}$. Тогда $J_{{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)}(g)<\infty$ в том и только том случае, когда $g\in L^{p'}_{x^{\gamma-1}}(I)$, $g=\widetilde g$ п. в., где $\widetilde g\in \operatorname{AC}_{\rm loc}(I)$ и $D\widetilde g\in L^{p'}_{x^{\gamma}}(I)$. Кроме того, $\operatorname{supp} \widetilde g$ компактен в $[0,\infty)$, т. е. $\widetilde g\in \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p',\gamma}(I)$, и $J_{{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)}(g)\approx \|\widetilde g\|_{W_{p',\gamma}^1(I)}$.

Аналогичное утверждение имеет место для пространства типа Чезаро.

Теорема 2.6. Пусть $g\in \mathfrak{D}_{{\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)}$. Тогда $J_{{\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)}(g)<\infty$, если и только если $g\in L^{p'}_{x^{\beta-1}}(I)$, $g=\widetilde g$ п. в., где $\widetilde g\in \operatorname{AC}_{\rm loc}(I)$ и $D\widetilde g\in L^{p'}_{x^{\beta}}(I)$. В то же время $\operatorname{supp}\widetilde g$ компактен в $[0,\infty)$, т. е. $\widetilde g\in \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p',\beta}(I)$, и $J_{{\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)}(g)\approx \|\widetilde g\|_{W_{p',\beta}^1(I)}$.

Следствие 2.6. Из теорем 2.5 и 2.6 вытекают обратные к (2.5) и (2.3) утверждения o слабой рефлексивности ${\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)$, ${\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)$ и соответствующих им пространств Соболева. Если $X={\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)$, то

$$ \begin{equation*} X'_{\rm w}=\{g\in\mathfrak{M}(I)\colon J_{{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)}(g)< \infty\}= \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p',\gamma}(I) \end{equation*} \notag $$
и $\|g\|_{X'_{\rm w}}=J_{{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)}(g)\approx \|g\|_{W_{p',\gamma}^1(I)}$.

Аналогично, если $X={\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)$, то

$$ \begin{equation*} X'_{\rm w}=\{g\in\mathfrak{M}(I)\colon J_{{\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)}(g)< \infty\}= \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p',\beta}(I) \end{equation*} \notag $$
и $\|g\|_{X'_{\rm w}}=J_{\operatorname{Ces}{p,\gamma}}(g)\approx \|g\|_{W_{p',\beta}^1(I)}$.

3. Пространства Соболева и ассоциированные с ними

Пусть $1<p<\infty$ и $m\in\mathbb{N}$. Обозначим $W^{p,m}$, $W_0^{p,m}$ и $H^{p,m}$ классические пространства Соболева (см. [24; гл. 3]), где $W_0^{p,m}$ и $H^{p,m}$ – пополнения $C^\infty_0$ и $C^m$ соответственно по норме

$$ \begin{equation*} \|f\|_{m,p}:=\biggl(\,\sum_{0\leqslant |\alpha|\leqslant m} \|D^\alpha f\|_p^p\biggr)^{1/p}. \end{equation*} \notag $$
Известно, что $W^{p,m}=H^{p,m}$ [24; теорема 3.16]. Если $N=\displaystyle\sum_{0\leqslant |\alpha|\leqslant m}1$, то двойственное к $W^{p,m}$ является замкнутым подпространством векторнозначного пространства Лебега $L^{p'}_N$, где $p'={p}/(p-1)$. Этот факт влечет рефлексивность $W^{p,m}$ и $W^{p,m}_0$ на основе общего критерия рефлексивности банаховых пространств [24; теорема 1.17], а также в силу слабой компактности шара в $W^{p,m}$, которая следует из теоремы 2 в [25; § 4]. Общий вид произвольного ограниченного линейного функционала $L\in (W^{p,m})^\ast$ установлен в [24; теорема 3.8], там же дана неявная формула для нормы $\|L\|$. Альтернативно $W^{-m,p'}:=(W^{p,m}_0)^\ast$ можно построить как замыкание множества функционалов $V:=\{L_v; v\in L^{p'}\}\subset (W^{p,m}_0)^\ast$ вида
$$ \begin{equation*} L_v(u):=\langle u,v\rangle:=\displaystyle\int u(x)v(x)\,dx \end{equation*} \notag $$
по норме
$$ \begin{equation} \|v\|_{-m,p'}:=\sup_{0\ne u\in W^{p,m}_0} \frac{|\langle u,v\rangle|}{\|u\|_{m,p}}. \end{equation} \tag{3.1} $$
Похожие результаты известны также для пространств Соболева–Орлича (см. [26] и ссылки на литературу там же).

Вообще говоря, элементами $(W^{p,m})^\ast$ и $(W^{p,m}_0)^\ast$ являются распределения положительных порядков. Мы изучаем ситуацию, когда двойственность меняется на ассоциированность, и ограничиваемся исследованием двухвесовых пространств Соболева первого порядка на действительной оси: $ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)$, $ \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_{p}(I)$, $W^1_{p}(I)$. По схеме доказательства рефлексивности пространств $W^{p,m}$, $W_0^{p,m}$ доказывается рефлексивность $W^1_{p}(I)$, $ \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_{p}(I)$ при условии локальной суммируемости весовых функций $v_0^p$, $v_0^{-p'}$, $v_1^p$, $v_1^{-p'}$. Основной мотивацией к исследованию ассоциированных пространств служит возможность применения принципа двойственности, позволяющего свести задачу об ограниченности линейного оператора (скажем, из пространства Соболева в пространство Лебега) к более изученным случаям с двойственным оператором (см., например, [27]–[34]).

Пусть $1<p<\infty$. Будем предполагать, что существует $c\in I$ такая, что

$$ \begin{equation} \|v_1^{-1}\|_{{L^{p'}(0,c)}}\|v_0\|_{{L^p}(0,c)}= \|v_1^{-1}\|_{L^{p'}(c,\infty)}\|v_0\|_{L^p(c,\infty)}=\infty. \end{equation} \tag{3.2} $$
Тогда $ \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_p(I)= W^1_p(I)$ по лемме 1.6 из [35], и в силу конструкции Ойнарова–Отелбаева (см. [35], [3], [2]) существует единственная пара строго возрастающих абсолютно непрерывных на $I$ функций $a(t)$ и $b(t)$ таких, что
$$ \begin{equation} \begin{gathered}[b] \, \notag \lim_{t\to 0}a(t)=\lim_{t\to 0}b(t)=0,\quad \lim_{t\to \infty}a(t)=\lim_{t\to \infty}b(t)=\infty,\quad a(t)<t<b(t)\quad (t>0), \\ \int_{a(t)}^t v_1^{-p'}=\int_t^{b(t)}v_1^{-p'},\quad t>0\qquad\textit{(условие равновесия)}, \end{gathered} \end{equation} \tag{3.3} $$
и
$$ \begin{equation} \biggl(\,\int_{a(t)}^{b(t)}v_1^{-p'}\biggr)^{1/p'} \biggl(\,\int_{a(t)}^{b(t)}v_0^p\biggr)^{1/p}=1,\quad t>0. \end{equation} \tag{3.4} $$
Пусть
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, V_1(t):=\int_{\Delta(t)}v_1^{-p'},\qquad V_1^\pm(t):=\int_{\Delta^\pm(t)}v_1^{-p'}, \\ \Delta(t):=(a(t),b(t)),\quad \Delta^-(t):=(a(t),t),\quad \Delta^+(t):=(t,b(t)) \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
и $a^{-1}(t)$ – обратная к $a(t)$ функция. Определим
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \mathbb{G}(g)&:=\biggl(\,\int_0^\infty v_1^{-p'}(t) \biggl|\int_t^{a^{-1}(t)}\frac{g(x)}{V_1(x)}\biggl(\,\int_{a(x)}^t v_1^{-p'}\biggr)\,dx\biggr|^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'}, \\ \mathcal{G}(g)&:=\biggl(\,\int_0^\infty v_1^{-p'}(t)V_1^{p'}(t) \biggl|\int_t^{a^{-1}(t)}\frac{g(x)}{V_1(x)} \,dx\biggr|^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'}, \\ \mathsf{G}(g)&:=\biggl(\,\int_0^\infty \biggl(\,\int_t^{a^{-1}(t)}|g(x)|\,dx\biggr)^{p'} v_1^{-p'}(t)\,dt\biggr)^{1/p'} \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
и обозначим $W_p^1:=W_p^1(I)$, $ \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_p:= \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_p(I)$, $ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} _p^1:= \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} _p^1(I)$.

Теорема 3.1 [36; теорема 3.1], [3; теорема 4.1], [3; теорема 4.5]. Пусть $1<p<\infty$ и $g\in L^1_{\rm loc}(I)$. Предположим, что $v_0,v_1\in {\mathscr V}_p(I)$, $1/v_1\in L^{p'}_{\rm loc}(I)$ и выполнено условие (3.2). Тогда, во-первых,

$$ \begin{equation*} {\mathbf J}_{W_p^1}(g)={\mathbf J}_{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} _p^1}(g)\approx \mathsf{G}(g); \end{equation*} \notag $$
и если $X=W_p^1$ или $X= \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} _p^1$, то
$$ \begin{equation*} X'_{\rm s}=\bigl\{g\in L^1_{\rm loc}(I)\colon \mathsf{G}(g)<\infty, \|g\|_{X'_{\rm s}}\approx \mathsf{G}(g)\bigr\}. \end{equation*} \notag $$
Во-вторых,
$$ \begin{equation} J_{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} _p^1}(g)\approx \mathbb{G}(g)+\mathcal{G}(g); \end{equation} \tag{3.5} $$
и если $X= \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} _p^1$, то
$$ \begin{equation*} X'_{\rm w}=\bigl\{g\in L^1_{\rm loc}(I)\colon\mathbb{G}(g)+\mathcal{G}(g) <\infty, \|g\|_{X'_{\rm w}}\approx \mathbb{G}(g)+\mathcal{G}(g)\bigr\}. \end{equation*} \notag $$

Также $J_{W_p^1}(g)<\infty$ в том и только том случае, когда

$$ \begin{equation*} \mathsf{G}(g)<\infty\quad\textit{и}\quad J_{W_p^1}(g)\approx \mathbb{G}(g)+\mathcal{G}(g). \end{equation*} \notag $$

Замечание 3.1. Пусть $v_0=v_1\equiv 1$. Тогда можно раскрыть правую часть (3.1) для $W^{1,p}(I)$, используя пример 7.2 в [2]. А именно,

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \|v\|_{-1,p'}&\approx \biggl(\,\int_0^\infty \biggl|\int_t^{t+1/2} v\biggr|^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'}+\biggl[\int_0^{1/2} t^{-p'} \biggl|\int_0^t\biggl(\,\int_t^{y+1/2}v\biggr)\,dy\biggr|^{p'}\,dt \\ &\qquad+\int_{1/2}^\infty \biggl|\int_{t-1/2}^t \biggl(\,\int_t^{y+1/2}v\biggr)\,dy\biggr|^{p'}\,dt\biggr]^{1/p'}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Аналогичная формула выполняется для пространства $W^{1,p}(0,1)$. В этом случае [2; пример 7.3]
$$ \begin{equation*} \|v\|_{-1,p'}\approx \biggl(\,\int_0^{1/2} \biggl|\int_0^t v\biggr|^{p'}\,dt\biggr)^{{1}/{p'}}+ \biggl(\,\int_{1/2}^1\biggl|\int_t^1 v\biggr|^{p'}\,dt\biggr)^{{1}/{p'}}+ \biggl|\int_0^1 v\biggr|. \end{equation*} \notag $$

Лемма 3.1. Пусть $1<p<\infty$ и $X= \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} _p^1$. Тогда функционал $\|g\|_{X'_{\rm w}}$ задает норму.

Доказательство. Достаточно показать, что
$$ \begin{equation*} \|g\|_{X'_{\rm w}}=0\ \ \Longrightarrow\ \ g=0 \text{ п.в. на } (0,\infty). \end{equation*} \notag $$
Если $\|g\|_{X'_{\rm w}}=0$, то $\mathbb{G}(g)=\mathcal{G}(g)=0$. В частности,
$$ \begin{equation*} G(t):=\int_t^{a^{-1}(t)}\frac{g(x)}{V_1(x)} \biggl(\,\int_{a(x)}^tv_1^{-p'}\biggr)\,dx=0\quad\text{п.в. на }(0,\infty). \end{equation*} \notag $$
Следовательно,
$$ \begin{equation*} 0=G'(t)=\frac{g(t)}{2}\quad\text{п.в. на } (0,\infty). \end{equation*} \notag $$
Лемма доказана.

Пусть $1<r<\infty$ и $u\in {\mathscr V}_r(I)$. Введем следующие обозначения:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, L^r_u(I)&:=\bigl\{h\colon\|h\|_{r,u}:=\|uh\|_{L^r(I)}<\infty\bigr\}, \\ \mathfrak{L}_{p',1/{v_1}}&:=\bigl\{g\in L^1_{\rm loc}(I)\colon \|g\|_{\mathfrak{L}_{p',1/{v_1}}}:=\mathsf{G}(g)<\infty\bigr\}, \\ \mathcal{L}_{p',1/{v_1}}&:=\bigl\{g\in L^1_{\rm loc}(I)\colon \|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}:= \mathbb{G}(g)+\mathcal{G}(g)<\infty\bigr\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Замечание 3.2. Из (3.5) вытекает неравенство типа Гёльдера (см. [1; теорема 2.4]) для пространств $ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} _p^1$ и $\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}$: если $1<p<\infty$, то

$$ \begin{equation*} \biggl|\int_I fg\biggr|\lesssim \|f\|_{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} _p^1} \|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}\quad\text{для любых } f\in \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} _p^1 \text{ и } g\in \mathcal{L}_{p',1/{v_1}}. \end{equation*} \notag $$

Нам потребуется альтернативная запись нормы в $\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}$ в терминах последовательности $\{\eta_k\}_{k\in\mathbb{Z}}$ вида

$$ \begin{equation*} \eta_0=1, \qquad \eta_{k}=a^{-1}(\eta_{k-1})\quad (k\in\mathbb{N}), \qquad \eta_{k}=a(\eta_{k+1})\quad (-k\in\mathbb{N}). \end{equation*} \notag $$
Эту запись мы укажем в следующей лемме; для этого обозначим
$$ \begin{equation*} G^{(\delta)}(t):={[V_1(t)]^{\delta}}\int_t^{a^{-1}(t)}\frac{g(x)}{V_1(x)} \biggl(\,\int_{a(x)}^tv_1^{-p'}\biggr)^{1-\delta}\,dx,\qquad \delta=0,1, \end{equation*} \notag $$
и отметим, что для $t\in[\eta_{k-1},\eta_k]$
$$ \begin{equation} \begin{gathered}[t] \, G^{(\delta)}(t)=G_{1,k}^{(\delta)}(t)+G_{2,k}^{(\delta)}(t), \\ \begin{aligned} \, G_{1,k}^{(\delta)}(t)&:={V^{\delta}_1(t)}\int_t^{\eta_k} \frac{g(x)}{V_1(x)}\biggl(\,\int_{a(x)}^tv_1^{-p'}\biggr)^{1-\delta}\,dx, \notag \\ G_{2,k}^{(\delta)}(t)&:={V^{\delta}_1(t)}\int_{\eta_k}^{a^{-1}(t)} \frac{g(x)}{V_1(x)}\biggl(\,\int_{a(x)}^tv_1^{-p'}\biggr)^{1-\delta}\,dx. \notag \end{aligned} \end{gathered} \end{equation} \tag{3.6} $$

Лемма 3.2. Пусть $1<p<\infty$, $v_0,v_1\in {\mathscr V}_p(I)$, $1/v_1\in L^{p'}_{\rm loc}(I)$ и выполнено условие (3.2). Тогда

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}^{p'}&\approx\,\sum_{k\in\mathbb{Z}} \biggl\{\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k}v_1^{-p'}(t) |G_{1,k}^{(0)}(t)|^{p'}\,dt+\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(t)|G_{2,k}^{(0)}(t)|^{p'}\,dt \notag \\ &\qquad+\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k}v_1^{-p'}(t)|G_{1,k}^{(1)}(t)|^{p'}\,dt+ \int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k}v_1^{-p'}(t)|G_{2,k}^{(1)}(t)|^{p'}\,dt\biggr\}. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.7} $$

Доказательство. Верхняя оценка вытекает из (3.6) и соотношения
$$ \begin{equation*} \|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}^{p'}\lesssim \sum_{k\in\mathbb{Z}}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k}v_1^{-p'}(t) \bigl\{|G^{(0)}(t)|^{p'}+|G^{(1)}(t)|^{p'}\bigr\}\,dt. \end{equation*} \notag $$

Чтобы доказать нижнюю оценку, предположим, что неравенство

$$ \begin{equation*} \biggl|\int_I fg\biggr|\leqslant C\|f\|_{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p}= C\{\|fv_0\|_p+\|f'v_1\|_p\} \end{equation*} \notag $$
выполнено с $C\approx\|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}$, и для $N\in\mathbb{N}$ определим следующие функции:
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, {F}_{1,N}^{(\delta)}(x)&:=\, \frac{\sum_{|k|\leqslant N}\chi_{[\eta_{k-1},\eta_k]}(x)}{V_1^-(x)} \int_{\eta_{k-1}}^x v_1^{-p'}(t) [\operatorname{sign} G^{(\delta)}_{1,k}(t)] \\ &\qquad\times \biggl(\,\int_{a(x)}^t v_1^{-p'}\biggr)^{1-\delta} [V_1(t)]^{\delta}|G^{(\delta)}_{1,k}(t)|^{p'-1}\,dt, \\ {F}_{2,N}^{(\delta)}(x)&:=\, \frac{\sum_{|k|\leqslant N}\chi_{[\eta_{k},\eta_{k+1}]}(x)}{V_1^-(x)} \int_{a(x)}^{\eta_{k}}v_1^{-p'}(t)[\operatorname{sign} G^{(\delta)}_{2,k}(t)] \\ &\qquad\times\biggl(\,\int_{a(x)}^t v_1^{-p'}\biggr)^{1-\delta} [V_1(t)]^{\delta}|G^{(\delta)}_{2,k}(t)|^{p'-1}\,dt. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Если $f={F}^{(\delta)}_{1,N}+{F}^{(\delta)}_{2,N}$, то
$$ \begin{equation} \int_I g(x)f(x)\,dx=\sum_{|k|\leqslant N}\biggl\{\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(t)|G_{1,k}^{(\delta)}(t)|^{p'}\,dt+\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(t)|G_{2,k}^{(\delta)}(t)|^{p'}\,dt\biggr\}. \end{equation} \tag{3.8} $$
Чтобы оценить норму
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \bigl\|{F}^{(\delta)}_{1,N}v_0\bigr\|_p^p&=\sum_{|k|\leqslant N} \int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_0^{p}(x)\biggl|\frac{1}{V_1^-(x)} \int_{\eta_{k-1}}^x v_1^{-p'}(t)[\operatorname{sign} G^{(\delta)}_{1,k}(t)] \\ &\qquad\times \biggl(\,\int_{a(x)}^t v_1^{-p'}\biggr)^{1-\delta} [V_1(t)]^{\delta}|G^{(\delta)}_{1,k}(t)|^{p'-1}\,dt\biggr|^p\,dx, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
применим характеристики для весового неравенства Харди [37; с. 6], в силу которых
$$ \begin{equation*} \int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_0^{p}(x)\biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^x v_1^{-p'}(t) |G^{(\delta)}_{1,k}(t)|^{p'-1}\,dt\biggr)^p\,dx\lesssim A_{1}^p\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k}v_1^{-p'}|G_{1,k}^{(\delta)}|^{p'}, \end{equation*} \notag $$
где (см. (3.4))
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, A_{1}&:=\sup_{\eta_{k-1}<t<\eta_k} \biggl(\,\int_t^{\eta_k} v_0^{p}\biggr)^{1/p} \biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^t v_1^{-p'}\biggr)^{1/p'} \\ &\leqslant \biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_0^{p}\biggr)^{1/p} \biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_{k}} v_1^{-p'}\biggr)^{1/p'} \leqslant 1. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Используя для случая $\delta=1$ соотношение
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag V_1(t)=2V_1^+(t)&\leqslant 2\int_{\eta_{k-1}}^{b(t)}v_1^{-p'}\leqslant 2\int_{\eta_{k-1}}^{b(x)}v_1^{-p'} \\ &\leqslant 2V_1(x)=4V_1^-(x),\qquad \eta_{k-1}\leqslant t\leqslant x, \end{aligned} \end{equation} \tag{3.9} $$
получаем для обоих $\delta=0,1$:
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \bigl\|{F}^{(\delta)}_{1,N}v_0\bigr\|_p^p&\leqslant \sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_0^{p}(x) \biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^x v_1^{-p'}(t) |G^{(\delta)}_{1,k}(t)|^{p'-1}\,dt\biggr)^p\,dx \notag \\ &\lesssim \sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}|G_{1,k}^{(\delta)}|^{p'}=: [\mathbf{G}^{(\delta)}_{1,N}(g)]^{p'}. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.10} $$
Аналогично, применяя соотношение
$$ \begin{equation} V_1(t)=2V_1^+(t)\leqslant 2\int_{a(x)}^{b(\eta_k)}v_1^{-p'}\leqslant 2V_1(x)=4 V_1^-(x), \qquad \eta_k\leqslant x\leqslant\eta_{k+1}, \end{equation} \tag{3.11} $$
оцениваем тем же самым способом норму функции ${F}^{(\delta)}_{2,N}$ и получаем, что
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \bigl\|{F}^{(\delta)}_{2,N}v_0\bigr\|_p^p&=\sum_{|k|\leqslant N} \int_{\eta_{k}}^{\eta_{k+1}} v_0^{p}(x) \biggl|\frac{1}{V_1^-(x)}\int_{a(x)}^{\eta_{k}}v_1^{-p'}(t) \bigl[\operatorname{sign}G^{(\delta)}_{2,k}(t)\bigr] \\ &\qquad\times \biggl(\,\int_{a(x)}^t v_1^{-p'}\biggr)^{1-\delta} [V_1(t)]^{\delta}|G^{(\delta)}_{2,k}(t)|^{p'-1}\,dt\biggr|^p\,dx \\ &\leqslant \sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k}}^{\eta_{k+1}}v_0^{p}(x) \biggl(\,\int_{a(x)}^{\eta_{k}} v_1^{-p'}(t) |G^{(\delta)}_{2,k}(t)|^{p'-1}\,dt\biggr)^p\,dx \\ &\lesssim A_{2}^p\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}|G_{1,k}^{(\delta)}|^{p'}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где (см. (3.4))
$$ \begin{equation*} A_{2}:=\sup_{\eta_{k-1}<t<\eta_k}\biggl(\,\int_{\eta_k}^{a^{-1}(t)} v_0^{p}\biggr)^{1/p}\biggl(\,\int_t^{\eta_{k}} v_1^{-p'}\biggr)^{1/p'}\leqslant 1. \end{equation*} \notag $$
Следовательно,
$$ \begin{equation} \bigl\|{F}^{(\delta)}_{2,N}v_0\bigr\|_p^p\lesssim\sum_{|k|\leqslant N} \int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k}v_1^{-p'}|G_{2,k}^{(\delta)}|^{p'}=: [\mathbf{G}^{(\delta)}_{2,N}(g)]^{p'}. \end{equation} \tag{3.12} $$
Далее, так как
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \bigl[{F}_{1,N}^{(\delta)}(x)\bigr]'&=-\sum_{|k|\leqslant N} \chi_{[\eta_{k-1},\eta_k]}(x)\frac{[V_1^-(x)]'}{[V_1^-(x)]^2} \int_{\eta_{k-1}}^x v_1^{-p'}(t)[\operatorname{sign}G^{(\delta)}_{1,k}(t)] \\ &\qquad\times\biggl(\,\int_{a(x)}^t v_1^{-p'}\biggr)^{1-\delta} [V_1(t)]^{\delta}|G^{(\delta)}_{1,k}(t)|^{p'-1}\,dt+ \sum_{|k|\leqslant N}\chi_{[\eta_{k-1},\eta_k]}(x) \\ &\qquad\times\begin{cases} v_1^{-p'}(x)[\operatorname{sign}G^{(0)}_{1,k}(x)]|G^{(0)}_{1,k}(x)|^{p'-1}& \\ \qquad-\displaystyle\frac{v_1^{-p'}(a(x))\,a'(x)}{V_1^-(x)} \int_{\eta_{k-1}}^x v_1^{-p'}[\operatorname{sign}G^{(0)}_{1,k}] |G^{(0)}_{1,k}|^{p'-1}, & \delta=0, \\ 2v_1^{-p'}(x)[\operatorname{sign} G^{(1)}_{1,k}(x)] |G^{(1)}_{1,k}(x)|^{p'-1}, & \delta=1, \end{cases} \\ \bigl[{F}_{2,N}^{(\delta)}(x)\bigr]'&=-\sum_{|k|\leqslant N} \chi_{[\eta_{k},\eta_{k+1}]}(x)\frac{[V_1^-(x)]'}{[V_1^-(x)]^2} \int_{a(x)}^{\eta_{k}} v_1^{-p'}(t)[\operatorname{sign} G^{(\delta)}_{2,k}(t)] \\ &\qquad\times\biggl(\,\int_{a(x)}^t v_1^{-p'}\biggr)^{1-\delta} [V_1(t)]^{\delta}|G^{(\delta)}_{2,k}(t)|^{p'-1}\,dt- \sum_{|k|\leqslant N}\chi_{[\eta_{k},\eta_{k+1}]}(x) \\ &\qquad\times\begin{cases} \displaystyle\frac{v_1^{-p'}(a(x))\,a'(x)}{V_1^-(x)}\int_{a(x)}^{\eta_{k}} v_1^{-p'}[\operatorname{sign} G^{(0)}_{2,k}]|G^{(0)}_{2,k}|^{p'-1}, & \delta=0, \\ \displaystyle\frac{v_1^{-p'}(a(x))\,a'(x)}{V_1^-(x)}& \\ \qquad\times[\operatorname{sign} G^{(1)}_{2,k}(a(x))]V_1^-(a(x)) |G^{(1)}_{2,k}(a(x))|^{p'-1}, & \delta=1, \end{cases} \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
то
$$ \begin{equation*} \bigl\|[{F}_{1,N}^{(\delta)}]'v_1\bigr\|_p \leqslant\begin{cases} I_1+\bigl[\mathbf{G}^{(0)}_{1,N}(g)\bigr]^{p'-1}+II_1, &\delta=0, \\ I_1+\bigl[\mathbf{G}^{(1)}_{1,N}(g)\bigr]^{p'-1}, &\delta=1, \end{cases} \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, I_1^p&:=\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{p}(x) \frac{|[V_1^-(x)]'|^p}{[V_1^-(x)]^{2p}} \\ &\qquad\times \biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^x v_1^{-p'}(t) \biggl(\,\int_{a(x)}^t v_1^{-p'}\biggr)^{1-\delta} [V_1(t)]^{\delta}|G^{(\delta)}_{1,k}(t)|^{p'-1}\,dt\biggr)^p\,dx \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
и
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, II_1^p&:=\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{p}(x) [V_1^-(x)]^{-p}[v_1^{-p'}(a(x))a'(x)]^p \\ &\qquad\times\biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^x v_1^{-p'}(t)|G^{(0)}_{1,k}(t)|^{p'-1}\,dt\biggr)^p\,dx. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Принимая во внимание соотношение $v_1^{-p'}(a(x))a'(x)\leqslant 2v_1^{-p'}(x)$ (см. (3.24)) и используя (3.9) в случае $\delta=1$, получаем, что
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, I_1^p&\leqslant\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{p}(x) \frac{|v_1^{-p'}(x)-v_1^{-p'}(a(x))a'(x)|^p}{[V_1^-(x)]^{p}} \biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^xv_1^{-p'}|G^{(\delta)}_{1,k}|^{p'-1}\biggr)^p\,dx \\ &\leqslant \sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{p}(x) \frac{[v_1^{-p'}(x)+v_1^{-p'}(a(x))a'(x)]^p}{[V_1^-(x)]^{p}} \biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^xv_1^{-p'}|G^{(\delta)}_{1,k}|^{p'-1}\biggr)^p\,dx \\ &\leqslant 3^{p}\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(x) [V_1^-(x)]^{-p} \biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^xv_1^{-p'} |G^{(\delta)}_{1,k}|^{p'-1}\biggr)^p\,dx. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Аналогично,
$$ \begin{equation*} II_2^p\leqslant 2^p\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(x) \bigl[V_1^-(x)\bigr]^{-p} \biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^xv_1^{-p'} \bigl|G^{(0)}_{1,k}\bigr|^{p'-1}\biggr)^p\,dx. \end{equation*} \notag $$
В силу условий ограниченности для оператора Харди [37; с. 6] имеем
$$ \begin{equation*} \int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(x)[V_1^-(x)]^{-p} \biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^xv_1^{-p'}(t)|G^{(\delta)}_{1,k}(t)|^{p'-1} \,dt\biggr)^p\,dx\lesssim \mathbb{A}_1^p\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}|G_{1,k}^{(\delta)}|^{p'}, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \mathbb{A}_1:=\sup_{\eta_{k-1}<t<\eta_k}\biggl(\,\int_t^{\eta_{k}}v_1^{-p'}(x) [V_1^-(x)]^{-p}\,dx\biggr)^{1/p} \biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^t v_1^{-p'}\biggr)^{1/p'}. \end{equation*} \notag $$
Так как
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \mathbb{A}_1^p&\leqslant\sup_{\eta_{k-1}<t<\eta_k}\biggl(\,\int_t^{\eta_{k}} v_1^{-p'}(x)\biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^x v_1^{-p'}\biggr)^{-p}\,dx\biggr) \biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^t v_1^{-p'}\biggr)^{p-1} \\ &=\frac{1}{p-1}\sup_{\eta_{k-1}<t<\eta_k}\biggl[\biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^t v_1^{-p'}\biggr)^{1-p}-\biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}\biggr)^{1-p}\biggr]\biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^tv_1^{-p'}\biggr)^{p-1} \\ &\leqslant\frac{1}{p-1}\,, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
то
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} \frac{v_1^{-p'}(x)} {[V_1^-(x)]^{p}}\biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^xv_1^{-p'}(t) |G^{(\delta)}_{1,k}(t)|^{p'-1}\,dt\biggr)^p\,dx \\ &\qquad\lesssim\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}|G_{1,k}^{(\delta)}|^{p'}=[\mathbf{G}^{(\delta)}_{1,N}(g)]^{p'}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
т. е.
$$ \begin{equation*} \bigl\|[{F}_{1,N}^{(\delta)}]'v_1\bigr\|_p \lesssim [\mathbf{G}^{(\delta)}_{1,N}(g)]^{p'-1}. \end{equation*} \notag $$
Отсюда, а также из (3.10) и (3.8), устремляя $N$ к бесконечности, извлекаем нужную оценку
$$ \begin{equation} \|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}^{p'}\gtrsim \sum_{k\in\mathbb{Z}}\biggl\{\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(t)|G_{1,k}^{(0)}(t)|^{p'}\,dt+\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(t)|G_{1,k}^{(1)}(t)|^{p'}\,dt\biggr\}. \end{equation} \tag{3.13} $$

Похожим образом, учитывая, что

$$ \begin{equation*} V_1^-(x)=\frac{1}{2}V_1(x)\geqslant \frac{1}{2}V_1^+(a(x))= \frac{1}{4}V_1(a(x)) \end{equation*} \notag $$
для $\delta=1$, получаем
$$ \begin{equation*} \bigl\|[{F}_{2,N}^{(\delta)}]'v_1\bigr\|_p\leqslant\begin{cases} I_2+II_2, &\delta=0, \\ I_2+[{G}^{(2)}_{1,N}(g)]^{p'-1}, &\delta=1, \end{cases} \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, I_2^p&:=\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k}}^{\eta_{k+1}} v_1^{p}(x) \frac{|[V_1^-(x)]'|^p}{[V_1^-(x)]^{2p}} \\ &\qquad\times \biggl(\,\int_{a(x)}^{\eta_{k}} v_1^{-p'}(t) \biggl(\,\int_{a(x)}^t v_1^{-p'}\biggr)^{1-\delta} [V_1(t)]^{\delta}|G^{(\delta)}_{2,k}(t)|^{p'-1}\,dt\biggr)^p\,dx, \\ II_2^p&:=\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k}}^{\eta_{k+1}} \frac{v_1^{p}(x)}{\bigl[V_1^-(x)\bigr]^{p}} [v_1^{-p'}(a(x))\,a'(x)]^p \biggl(\,\int_{a(x)}^{\eta_{k}} v_1^{-p'}|G^{(0)}_{2,k}|^{p'-1}\biggr)^p\,dx, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
и, аналогично предыдущему случаю (см. также (3.11) для $\delta=1$),
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, I_2^p&\leqslant\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k}}^{\eta_{k+1}} v_1^{p}(x) \frac{|v_1^{-p'}(x)-v_1^{-p'}(a(x))a'(x)|^p}{[V_1^-(x)]^{p}} \biggl(\,\int_{a(x)}^{\eta_{k}} v_1^{-p'} |G^{(\delta)}_{2,k}|^{p'-1}\biggr)^p\,dx \\ &\lesssim \sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k}}^{\eta_{k+1}} v_1^{-p'}(x) [V_1^-(x)]^{-p}\biggl(\,\int_{a(x)}^{\eta_{k}} v_1^{-p'}|G^{(\delta)}_{2,k}|^{p'-1}\biggr)^p\,dx, \\ II_2^p&\lesssim\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k}}^{\eta_{k+1}} v_1^{-p'}(x)[V_1^-(x)]^{-p} \biggl(\,\int_{a(x)}^{\eta_{k}} v_1^{-p'}(t)|G^{(0)}_{2,k}(t)|^{p'-1}\,dt\biggr)^p\,dx. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Снова из неравенства Харди [37; c. 6] следует, что
$$ \begin{equation*} \int_{\eta_{k}}^{\eta_{k+1}}\! v_1^{-p'}(x)[V_1^-(x)]^{-p} \biggl(\,\int_{a(x)}^{\eta_{k}} v_1^{-p'}(t) |G^{(0)}_{2,k}(t)|^{p'-1}\,dt\biggr)^p\,dx\lesssim \mathbb{A}_2^p\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k}\! v_1^{-p'}|G_{2,k}^{(\delta)}|^{p'}, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \mathbb{A}_2:=\sup_{\eta_{k-1}<t<\eta_k} \biggl(\,\int_{\eta_{k}}^{a^{-1}(t)} v_1^{-p'}(x) [V_1^-(x)]^{-p}\,dx\biggr)^{1/p} \biggl(\,\int_t^{\eta_{k}} v_1^{-p'}\biggr)^{1/p'}. \end{equation*} \notag $$
Имеем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \mathbb{A}_2^p&\leqslant\sup_{\eta_{k-1}<t<\eta_k} \biggl(\,\int_{\eta_{k}}^{a^{-1}(t)} v_1^{-p'}(x) \biggl(\,\int_{t}^x v_1^{-p'}\biggr)^{-p}\,dx\biggr) \biggl(\,\int_t^{\eta_{k}} v_1^{-p'}\biggr)^{p-1} \\ &=\frac{1}{p-1}\sup_{\eta_{k-1}<t<\eta_k} \biggl[\biggl(\,\int_t^{\eta_{k}} v_1^{-p'}\biggr)^{1-p}- \biggl(\,\int_t^{a^{-1}(t)} v_1^{-p'}\biggr)^{1-p}\biggr] \biggl(\,\int_t^{\eta_{k}} v_1^{-p'}\biggr)^{p-1} \\ &\leqslant\frac{1}{p-1}\,. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Следовательно,
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k}}^{\eta_{k+1}} \frac{v_1^{-p'}(x)}{[V_1^-(x)]^{p}} \biggl(\,\int_{a(x)}^{\eta_{k}}v_1^{-p'}(t) |G^{(\delta)}_{2,k}(t)|^{p'-1}\,dt\biggr)^p\,dx \\ &\qquad\lesssim\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}|G_{2,k}^{(\delta)}|^{p'}= [\mathbf{G}^{(\delta)}_{2,N}(g)]^{p'}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
что в комбинации с (3.12) и (3.8) влечет неравенство
$$ \begin{equation*} \|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}^{p'}\gtrsim \sum_{k\in\mathbb{Z}}\biggl\{\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(t)\bigl|G_{2,k}^{(0)}(t)\bigr|^{p'}\,dt+\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(t)\bigl|G_{2,k}^{(1)}(t)\bigr|^{p'}\,dt\biggr\} \end{equation*} \notag $$
при $N\to\infty$. Таким образом (см. также (3.13)), требуемая оценка установлена. Лемма доказана.

Лемма 3.2 является основанием для доказательства следующего утверждения.

Лемма 3.3. Пусть $1<p<\infty$, $v_0,v_1\in {\mathscr V}_p(I)$, $1/v_1\in L^{p'}_{\rm loc}(I)$ и выполнено условие (3.2). Тогда пространство $\mathfrak{L}_{p',1/v_1}$ плотно в $\mathcal{L}_{p',1/v_1}$.

Доказательство. Пусть $g\in \mathcal{L}_{p',1/v_1}$. Тогда в силу (3.7)
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\lim_{n\to\infty}\sum_{|k|\geqslant n}\biggl\{\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(t)|G_{1,k}^{(0)}(t)|^{p'}\,dt+\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(t)|G_{2,k}^{(0)}(t)|^{p'}\,dt \notag \\ &\qquad+\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(t)|G_{1,k}^{(1)}(t)|^{p'}\,dt+\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(t)|G_{2,k}^{(1)}(t)|^{p'}\,dt\biggr\}=0. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.14} $$

Для некоторого $N\in\mathbb{N}$ положим $g_N:=\chi_{[\eta_{-N},\eta_N]}g$. Тогда

$$ \begin{equation*} G(|g_N|)^{p'}=\biggl\{\int_0^{\eta_{-N-1}}+\int_{\eta_{-N-1}}^{\eta_{N}}+ \int_{\xi_{N}}^{\infty}\biggr\}\,v_1^{-p'}(x) \biggl(\,\int_x^{a^{-1}(x)}|g_N|\biggr)^{p'}\,dx, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_0^{\eta_{-N-1}}v_1^{-p'}(x)\biggl(\,\int_x^{a^{-1}(x)} |\chi_{[\eta_{-N},\eta_N]}g|\biggr)^{p'}\,dx=0 \\ &\qquad=\int_{\eta_{N}}^\infty v_1^{-p'}(x) \biggl(\,\int_x^{a^{-1}(x)}|\chi_{[\eta_{-N},\eta_N]}g|\biggr)^{p'}\,dx. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Для оставшегося интеграла имеем
$$ \begin{equation*} \int_{\eta_{-N-1}}^{\eta_{N}}v_1^{-p'}(x)\biggl(\,\int_x^{a^{-1}(x)} |\chi_{[\eta_{-N},\eta_N]}g|\biggr)^{p'}\,dx\leqslant \int_{\eta_{-N-1}}^{\eta_{N}}v_1^{-p'} \biggl(\,\int_{\eta_{-N-1}}^{\eta_{N+1}}|g|\biggr)^{p'}<\infty, \end{equation*} \notag $$
откуда вытекает, что $g_N\in \mathfrak{L}_{p',1/{v_1}}$.

Обозначим $G_{i,k}^{(\delta)}(t)=:H_{i,k}^{(\delta)}g(t)$, $i=1,2$, и запишем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\|g-g_N\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}^{p'}=\sum_{i=1,2}\,\sum_{\delta=1,2}\, \sum_{k\in\mathbb{Z}}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k}v_1^{-p'}(t) \bigl|H_{i,k}^{(\delta)}g(t)-H_{i,k}^{(\delta)}g_N(t)\bigr|^{p'}\,dt \\ &\qquad=\sum_{i=1,2}\,\sum_{\delta=1,2}\,\sum_{k\in\mathbb{Z}} \int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k}v_1^{-p'}(t)\bigl|H_{i,k}^{(\delta)} (\chi_{(0,\eta_{-N})}g)(t) +H_{i,k}^{(\delta)}(\chi_{(\eta_{N},\infty)}g)(t)\bigr|^{p'}\,dt \\ &\qquad=\sum_{i=1,2}\,\sum_{\delta=1,2}\,\sum_{k\leqslant -N-1} \int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k}v_1^{-p'}|G_{i,k}^{(\delta)}|^{p'}+ \sum_{\delta=1,2}\int_{\eta_{-N-1}}^{\eta_{-N}}v_1^{-p'} |G_{1,N}^{(\delta)}|^{p'} \\ &\qquad\qquad+\sum_{\delta=1,2}\int_{\eta_{N-1}}^{\eta_{N}} v_1^{-p'}|G_{2,N}^{(\delta)}|^{p'}+\sum_{i=1,2}\,\sum_{\delta=1,2}\, \sum_{k\geqslant N+1}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}|G_{i,k}^{(\delta)}|^{p'} \\ &\qquad\leqslant\sum_{i=1,2}\,\sum_{\delta=1,2}\,\sum_{|k|\geqslant N} \int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(t)|G_{i,k}^{(\delta)}(t)|^{p'}\,dt. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Отсюда утверждение леммы вытекает на основе (3.14).

Теперь сделаем важное дополнение к последнему утверждению теоремы 3.1.

Замечание 3.3. Пусть $X=W_p^1$. Тогда по теореме 3.1

$$ \begin{equation*} X'_{\rm w}=\bigl\{g\in \mathfrak{L}_{p',1/{v_1}}\colon \|g\|_{X'_{\rm w}} \approx\|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}<\infty\bigr\}. \end{equation*} \notag $$
Отсюда следует, что $X'_{\rm w}\subset \mathcal{L}_{p',1/{v_1}}$, при этом вложение является строгим, так как известны примеры функций $g_0\in\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}$ таких, что $g_0\not\in\mathfrak{L}_{p',1/{v_1}}$ (см. [3; замечание 5.5]).

Действительно, если $g_0\in X'_{\rm w}$, то в силу [3; теорема 2.5]

$$ \begin{equation*} \|g_0\|_{X'_{\rm w}}=J_X(g_0)<\infty\ \ \Longleftrightarrow \ \ \infty>\mathbf{J}_X(g_0)=\|g_0\|_{\mathfrak{L}_{p',1/{v_1}}}=\infty, \end{equation*} \notag $$
т. е. имеет место противоречие.

Пусть

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, X'_{\rm ext}&:=\Bigl\{g\in\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}\colon \text{ существует } \{g_k\}\subset X'_{\rm w} \textrm{ такая, что } \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\lim_{k\to\infty}\|g-g_k\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}=0 \textrm{ и } \|g\|_{X'_{\rm ext}}:=\lim_{k\to\infty}\|g_k\|_{X'_{\rm w}}\Bigr\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Заметим, что определение $X'_{\rm ext}$ не зависит от выбора $\{g_k\}$. Поэтому
$$ \begin{equation*} X'_{\rm ext}\hookrightarrow\mathcal{L}_{p',1/{v_1}} \quad\text{и}\quad \|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}\leqslant \|g\|_{X'_{\rm ext}}. \end{equation*} \notag $$
Обратно, пусть $g\in\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}$. Тогда по лемме 3.3 найдется последовательность $\{g_k\}\subset \mathfrak{L}_{p',1/{v_1}} \subset X'_{\rm w}$ такая, что $\|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}=\lim_{k\to\infty} \|g_k\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}=\|g\|_{X'_{\rm ext}}$. Следовательно, $g\in X'_{\rm ext}$ и справедливо вложение $\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}\subset X'_{\rm ext}$, причем $\|g\|_{X'_{\rm ext}}=\|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}$. Таким образом,
$$ \begin{equation*} X'_{\rm ext}=\mathcal{L}_{p',1/{v_1}} \end{equation*} \notag $$
с равенством норм.

Следующее техническое утверждение понадобится нам для доказательства следствия 3.1, из которого вытекает, что $[X'_{\rm w}]'_{\rm s}=\{0\}$.

Лемма 3.4. Пусть $1<p<\infty$, $[c,d]\subset (0,\infty)$ и $h\in L^1([c,d])$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ найдется $g\in \mathfrak{L}_{p',1/{v_1}}$ такая, что $|g|=|h|V_1$ на $[c,d]$ и $\|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}< \varepsilon$.

Доказательство. Сначала покажем, что для $g$ с $\operatorname{supp}g\subset[c,d]$
$$ \begin{equation} \|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}^{p'}\lesssim [V_1(c)]^{p'+1}\biggl|\int_c^d \frac{g}{V_1}\biggr|^{p'}+ \int_{c}^{d}v_1^{-p'}(t)V_1^{p'}(t) \biggl|\int_t^d\frac{g}{V_1}\biggr|^{p'}\,dt. \end{equation} \tag{3.15} $$
Начнем с функционала $\mathcal{G}(g)$, для которого в силу неравенства треугольника верна оценка
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \mathcal{G}(g\chi_{[c,d]})&\leqslant\biggl(\,\int_{a(c)}^d v_1^{-p'}(t) V_1^{p'}(t)\,\biggl|\int_t^{a^{-1}(t)}\frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)} \,dx\biggr|^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'} \\ &\leqslant \biggl(\,\int_{a(c)}^d v_1^{-p'}(t)V_1^{p'}(t)\biggl|\int_t^d \frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'} \\ &\qquad+\biggl(\,\int_{a(c)}^{d} v_1^{-p'}(t)V_1^{p'}(t) \biggl|\int_{a^{-1}(t)}^d \frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Так как для любого $\alpha>0$
$$ \begin{equation} \int_{a(t)}^t v_1^{-p'}[V_1^+]^{\alpha}\leqslant \int_{a(t)}^t v_1^{-p'}(x)\biggl[\int_{a(t)}^{b(x)} v_1^{-p'}\biggr]^{\alpha}\,dx\leqslant [V_1(t)]^{\alpha+1} , \end{equation} \tag{3.16} $$
то
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\int_{a(c)}^d v_1^{-p'}(t)V_1^{p'}(t)\biggl|\int_t^d \frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dt \notag \\ &\qquad=\int_{a(c)}^c v_1^{-p'}(t)V_1^{p'}(t)\biggl|\int_c^d \frac{g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dt+\int_{c}^d v_1^{-p'}(t) V_1^{p'}(t)\biggl|\int_t^d\frac{g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dt \notag \\ &\qquad\lesssim [V_1(c)]^{p'+1}\biggl|\int_c^d \frac{g}{V_1}\biggr|^{p'}+ \int_{c}^{d}v_1^{-p'}(t)V_1^{p'}(t) \biggl|\int_t^d \frac{g}{V_1}\biggr|^{p'}\,dt. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.17} $$
Подстановкой $y=a^{-1}(t)$, применяя (3.24) и неравенство $V_1^+(a(y))\leqslant V_1(y)$, получаем, что
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_{a(c)}^{d} v_1^{-p'}(t)V_1^{p'}(t)\biggl|\int_{a^{-1}(t)}^d \frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dt \\ &\qquad=\int_{a(c)}^{a(d)}v_1^{-p'}(t)V_1^{p'}(t)\biggl|\int_{a^{-1}(t)}^d \frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dt \\ &\qquad\leqslant\int_{c}^{d} v_1^{-p'}(a(y))V_1^{p'}(a(y))a'(y) \biggl|\int_{y}^d\frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dt \\ &\qquad\lesssim \int_{c}^{d} v_1^{-p'}(y)V_1^{p'}(y) \biggl|\int_{y}^d\frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dt \\ &\qquad=\int_{c}^{d} v_1^{-p'}(y)V_1^{p'}(y) \biggl|\int_{y}^d\frac{g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dt. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Отсюда вытекает оценка (3.15) для компоненты $\mathcal{G}(g\chi_{[c,d]})$ нормы $\|g\chi_{[c,d]}\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}^{p'}$. Чтобы показать то же самое для $\mathbb{G}(g\chi_{[c,d]})$, запишем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_0^\infty v_1^{-p'}(t)\biggl|\int_t^{a^{-1}(t)} \frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)} \biggl(\,\int_{a(x)}^tv_1^{-p'}\biggr)\,dx\biggr|^{p'}\,dt \\ &\qquad=\int_{a(c)}^dv_1^{-p'}(t)\biggl|\int_t^{a^{-1}(t)} \frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)} \biggl(\,\int_{a(x)}^tv_1^{-p'}\biggr)\,dx\biggr|^{p'}\,dt \\ &\qquad=\int_{a(c)}^d v_1^{-p'}(t)\biggl|\int_{a(t)}^tv_1^{-p'}(y) \biggl(\,\int_t^{a^{-1}(y)} \frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr)\,dy\biggr|^{p'}\,dt. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
В силу неравенств треугольника и Гёльдера
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \mathbb{G}(g\chi_{[c,d]})&=\biggl(\,\int_{a(c)}^d v_1^{-p'}(t) \biggl(\,\int_{a(t)}^tv_1^{-p'}(y)\biggl|\int_t^{a^{-1}(y)} \frac{\chi_{[c,d]}g}{V_1}\biggr|\,dy\biggr)^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'} \\ &\leqslant \biggl(\,\int_{a(c)}^d v_1^{-p'}(t) \biggl(\,\int_{a(t)}^tv_1^{-p'}(y)\biggl|\int_t^d \frac{\chi_{[c,d]}g}{V_1}\biggr|\,dy\biggr)^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'} \\ &\quad+\biggl(\,\int_{a(c)}^{a(d)}v_1^{-p'}(t)\biggl(\,\int_{a(t)}^tv_1^{-p'}(y) \biggl|\int_{a^{-1}(y)}^d \frac{\chi_{[c,d]}g}{V_1}\biggr|\,dy\biggr)^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'} \\ &\leqslant\biggl(\,\int_{a(c)}^d v_1^{-p'}(t)V_1^{p'}(t) \biggl|\int_t^d\frac{\chi_{[c,d]}g}{V_1}\biggr|^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'} \\ &\quad+\biggl(\,\int_{a(c)}^{a(d)} v_1^{-p'}(t)V_1^{p'-1}(t) \biggl(\,\int_{a(t)}^tv_1^{-p'}(y)\biggl|\int_{a^{-1}(y)}^d \frac{\chi_{[c,d]}g}{V_1}\biggr|^{p'}\,dy\biggr)\,dt\biggr)^{1/p'}\!. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Отсюда ввиду того, что (см. (3.16) и (3.24))
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_{a(c)}^{a(d)} v_1^{-p'}(t)V_1^{p'-1}(t) \biggl(\,\int_{a(t)}^tv_1^{-p'} (y)\biggl|\int_{a^{-1}(y)}^d \frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dy\biggr)\,dt \\ &\qquad=\int_{a(a(c))}^{a(d)} v_1^{-p'} (y)\biggl|\int_{a^{-1}(y)}^d \frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'} \biggl(\,\int_y^{a^{-1}(y)} v_1^{-p'}(t)\,V_1^{p'-1}(t)\,dt\biggr)\,dy \\ &\qquad\lesssim\int_{a(c)}^{a(d)} v_1^{-p'} (y)V_1^{p'}(a^{-1}(y)) \biggl|\int_{a^{-1}(y)}^d \frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dy \\ &\qquad\lesssim\int_{c}^{d} v_1^{-p'}(t)V_1^{p'}(t)\biggl|\int_{t}^d \frac{g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dy, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
оценка (3.15) для компоненты $\mathbb{G}(g\chi_{[c,d]})$ следует с учетом (3.17).

На следующем шаге зафиксируем $\varepsilon>0$ и положим

$$ \begin{equation*} n>\varepsilon^{-1}\biggl(\,\int_c^d v_1^{-p'}V_1^{p'}\biggr)^{1/p'}\int_c^d|h|. \end{equation*} \notag $$
Пусть $\{\alpha_i\}_{i=0}^n$ – разбиение отрезка $[c,d]$ такое, что $\displaystyle\int_{\alpha_i}^{\alpha_{i+1}}|h|= n^{-1}\displaystyle\int_c^d|h|$. Выберем $\beta_i\in[\alpha_i,\alpha_{i+1}]$ таким образом, чтобы выполнялось равенство $\displaystyle\int_{\alpha_i}^{\beta_{i}}|h|= \displaystyle\int_{\beta_i}^{\alpha_{i+1}}|h|$, $i\in\{0,\dots,n-1\}$. Положим
$$ \begin{equation*} \widetilde{g}:=V_1|h|\sum_{i=0}^{n-1}(\chi_{[\alpha_i,\beta_i]}- \chi_{(\beta_i,\alpha_{i+1)}}). \end{equation*} \notag $$
Тогда $\widetilde{g}\in \mathfrak{L}_{p',1/{v_1}}$, $|\widetilde{g}|=|h|V_1$ на $[c,d]$, $\displaystyle\int_{\alpha_i}^{\alpha_{i+1}}\dfrac{\widetilde{g}}{V_1}=0$ для $i=0,\dots,n-1$ и (см. (3.15))
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \|\widetilde{g}\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}^{p'}&\lesssim \int_{c}^{d}v_1^{-p'}(x)V_1^{p'}(x) \biggl|\int_x^d \frac{\widetilde{g}}{V_1}\biggr|^{p'}\,dx \\ &=\sum_{i=0}^{n-1}\int_{\alpha_i}^{\alpha_{i+1}}v_1^{-p'}(x)V_1^{p'}(x) \biggl|\int_x^{\alpha_{i+1}} \frac{\widetilde{g}}{V_1}\biggr|^{p'}\,dx \\ &=\sum_{i=0}^{n-1}\int_{\alpha_i}^{\alpha_{i+1}}v_1^{-p'}(x)V_1^{p'}(x) \biggl|\int_{\alpha_{i}}^x \frac{\widetilde{g}}{V_1}\biggr|^{p'}\,dx \\ &\leqslant \sum_{i=0}^{n-1} \biggl(\,\int_{\alpha_{i}}^{\alpha_{i+1}}|h|\biggr)^{p'} \int_{\alpha_i}^{\alpha_{i+1}}v_1^{-p'}V_1^{p'} \\ &=n^{-p'}\biggl(\,\int_{c}^{d} |h|\biggr)^{p'}\sum_{i=0}^{n-1} \int_{\alpha_i}^{\alpha_{i+1}}v_1^{-p'}V_1^{p'} \\ &=n^{-p'}\biggl(\,\int_{c}^{d} |h|\biggr)^{p'}\int_{c}^{d}v_1^{-p'}V_1^{p'}< \varepsilon^{p'}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Лемма доказана.

Следствие 3.1. Пусть $f\in\mathfrak{M}(I)$. Если $\operatorname{mes}\{x\in I\colon f(x)\ne 0\}>0$, то

$$ \begin{equation*} \mathbf{J}_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}(f)=\infty. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Пусть $f\not\equiv 0$. Тогда существует отрезок $[c,d]\subset I$ такой, что $c<d$ и $\operatorname{mes}\bigl((c,d)\cap \{x\in I\colon f(x)\ne 0\}\bigr)>0$. Зафиксируем произвольное $\varepsilon> 0$. По лемме 3.4 найдется $\widetilde{g}\in\mathfrak{L}_{p',1/{v_1}}$ с $\operatorname{supp}\widetilde{g}=[c,d]$ такая, что $\|\widetilde{g}\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}< \varepsilon$ и $|\widetilde{g}|=V_1$ на $(c,d)$. Тогда
$$ \begin{equation*} \mathbf{J}_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}(f)\geqslant \frac{\int_I|f\widetilde{g}|}{\|\widetilde{g}\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}}\geqslant \varepsilon^{-1}\int_c^d|f|V_1. \end{equation*} \notag $$
Следствие доказано.

В заключительной части раздела мы получим основной результат. Начнем со вспомогательных утверждений.

Лемма 3.5. Пусть $1<p<\infty$, $v_0,v_1\in {\mathscr V}_p(I)$, $1/v_1\in L^{p'}_{\rm loc}(I)$ и выполнено условие (3.2). Тогда

$$ \begin{equation} L_{1/{v_0}}^{p'}(I)\subset \mathcal{L}_{p',1/{v_1}} \end{equation} \tag{3.18} $$
и
$$ \begin{equation} \|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}\lesssim \|g\|_{p',1/{v_0}} \end{equation} \tag{3.19} $$
для любой $g\in L_{1/{v_0}}^{p'}(I)$.

Доказательство. Так как
$$ \begin{equation} V_1^+(t)\leqslant\int_{t}^{b(x)}v_1^{-p'}\leqslant V_1(x)=2V_1^-(x),\qquad t\leqslant x\leqslant a^{-1}(t), \end{equation} \tag{3.20} $$
то
$$ \begin{equation*} \|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}\lesssim\biggl(\,\int_0^\infty v_1^{-p'}(t) \biggl(\,\int_t^{a^{-1}(t)}|g(x)|\,dx\biggr)^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'}. \end{equation*} \notag $$
Тогда (3.19) будет следовать из оценки
$$ \begin{equation} \biggl(\,\int_0^\infty v_1^{-p'}(t)\biggl(\,\int_t^{a^{-1}(t)} |g(x)|\,dx\biggr)^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'}\leqslant C\|g\|_{p',1/{v_0}}. \end{equation} \tag{3.21} $$
Рассмотрим двойственное к (3.21) неравенство
$$ \begin{equation*} \biggl(\,\int_0^\infty v_0^{p}(y) \biggl(\,\int_{a(y)}^y|f|\biggr)^{p}\,dy\biggr)^{1/p}\leqslant C\|f\|_{p,v_1}, \end{equation*} \notag $$
которое является следствием оценки
$$ \begin{equation*} \biggl(\,\int_0^\infty v_0^{p}(y) \biggl(\,\int_{a(y)}^{b(y)}|f|\biggr)^{p}\,dy\biggr)^{1/p}\leqslant C_1\|f\|_{p,v_1}. \end{equation*} \notag $$
Известно [3; теорема 3.1], что
$$ \begin{equation*} C_1\approx\mathcal{A}:=\sup_t\biggl(\,\int_{a(t)}^{b(t)}v_1^{-p'}\biggr)^{1/p'} \biggl(\,\int_{b^{-1}(t)}^{a^{-1}(t)}v_0^{p}\biggr)^{1/p}. \end{equation*} \notag $$
Обозначим $V_0(t):=\displaystyle\int_{a(t)}^{b(t)}v_0^p$, $V_0^\pm(t):=\displaystyle\int_{\Delta^\pm(t)}v_0^p$. Из (3.20) получаем
$$ \begin{equation*} V_1^+(t)\leqslant V_1(a^{-1}(t)),\qquad \int_t^{a^{-1}(t)}v_0^p\leqslant\int_t^{b(a^{-1}(t))}v_0^p=:V_0^+(a^{-1}(t)). \end{equation*} \notag $$
Следовательно, в силу (3.4)
$$ \begin{equation*} \mathcal{A}_a(t):=\biggl(\,\int_{a(t)}^{b(t)}v_1^{-p'}\biggr)^{1/p'} \biggl(\,\int_{t}^{a^{-1}(t)}v_0^{p}\biggr)^{1/p}\leqslant V_1(a^{-1}(t))^{1/p'}V_0(a^{-1}(t))^{1/p}=1. \end{equation*} \notag $$
Аналогично,
$$ \begin{equation*} \mathcal{A}_b(t):=\biggl(\,\int_{a(t)}^{b(t)}v_1^{-p'}\biggr)^{1/p'} \biggl(\,\int_{b^{-1}(t)}^tv_0^{p}\biggr)^{1/p}\leqslant V_1(b^{-1}(t))^{1/p'}V_0(b^{-1}(t))^{1/p}=1. \end{equation*} \notag $$
Отсюда вытекает, что
$$ \begin{equation*} \mathcal{A}\approx\sup_{t>0}[\mathcal{A}_a(t)+\mathcal{A}_b(t)]\lesssim 1, \end{equation*} \notag $$
и соотношение (3.19), а с ним и лемма доказаны.

Следствие 3.2. Пусть $1<p<\infty$ и $f\in \mathfrak{D}_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}$ (см. (0.1)). Если выполнены условия леммы 3.5, то вложение (3.18) влечет соотношения $f\in L_{v_0}^p(I)$ и

$$ \begin{equation} \infty>J_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}(f)\gtrsim \|f\|_{p,v_0}. \end{equation} \tag{3.22} $$

Доказательство. По лемме 3.5
$$ \begin{equation*} J_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}(f)=\sup_{0\ne g\in \mathcal{L}_{p',1/{v_1}}} \frac{\bigl|\int_I gf\bigr|}{\|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}}\gtrsim \sup_{0\ne g\in L_{1/{v_0}}^{p'}(I)} \frac{\bigl|\int_I gf\bigr|} {\|g\|_{p',1/{v_0}}}=\|f\|_{p,v_0}, \end{equation*} \notag $$
что и доказывает следствие.

Лемма 3.6. Пусть $1<p<\infty$ и выполнены условия леммы 3.5. Если $J_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}(f)<\infty$, то $f=\widetilde{f}$ п. в., где $\widetilde{f}\in \operatorname{AC}_{\rm loc}(I)$ и

$$ \begin{equation} \infty>J_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}(f)\gtrsim\|\widetilde{f}'\|_{p,v_1}. \end{equation} \tag{3.23} $$

Доказательство. Пусть
$$ \begin{equation*} g_\phi(x):=\frac{d\phi}{dx}\,,\qquad \phi\in C_0^\infty(I). \end{equation*} \notag $$
Покажем, что $g_\phi\in \mathcal{L}_{p',1/{v_1}}$. Для этого продемонстрируем справедливость неравенств $\mathbb{G}(g_\phi)\lesssim \|\phi\|_{p',1/{v_1}}$ и $\mathcal{G}(g_\phi)\lesssim \|\phi\|_{p',1/{v_1}}$. Принимая во внимание равенство
$$ \begin{equation} v_1^{-p'}(a(x))a'(x)+v_1^{-p'}(b(x))b'(x)= 2v_1^{-p'}(x), \end{equation} \tag{3.24} $$
которое следует из условия равновесия (3.3), запишем
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\int_t^{a^{-1}(t)}\frac{g_\phi(x)}{V_1(x)} \biggl(\,\int_{a(x)}^tv_1^{-p'}\biggr)\,dx=-\phi(t)+\int_t^{a^{-1}(t)}\phi(x) \biggl\{\frac{v_1^{-p'}(a(x))a'(x)}{V_1^-(x)} \notag \\ &\qquad\qquad+\frac{v_1^{-p'}(x)\int_{a(x)}^tv_1^{-p'}}{[V_1^-(x)]^2}- \frac{v_1^{-p'}(a(x))a'(x)\int_{a(x)}^tv_1^{-p'}}{[V_1^-(x)]^2}\biggr\}\,dx \notag \\ &\qquad\leqslant |\phi(t)|+ 5\int_t^{a^{-1}(t)}\frac{v_1^{-p'}(x)|\phi(x)|}{V_1^-(x)}\,dx. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.25} $$
Тогда
$$ \begin{equation*} \mathbb{G}(g_\phi)\lesssim \|\phi\|_{p',v_1^{-1}}+ \biggl(\,\int_0^\infty v_1^{-p'}(t)\biggl(\,\int_t^{a^{-1}(t)} \frac{v_1^{-p'}(x)|\phi(x)|}{V_1^-(x)}\,dx\biggr)^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'}. \end{equation*} \notag $$
Обозначим $h=v_1^{-1}|\phi|$ и рассмотрим двойственное к
$$ \begin{equation} \biggl(\,\int_0^\infty v_1^{-p'}(t)\biggl(\,\int_t^{a^{-1}(t)} \frac{v_1^{1-p'}(x)h(x)}{V_1^-(x)}\,dx\biggr)^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'}\leqslant C\|h\|_{p'} \end{equation} \tag{3.26} $$
неравенство вида
$$ \begin{equation*} \biggl(\,\int_0^\infty \frac{v_1^{-p'}(x)}{[V_1^-(x)]^p} \biggl(\,\int_{a(x)}^x{v_1^{-1}(t)|\psi(t)|}\,dt\biggr)^{p}\,dx\biggr)^{1/p} \leqslant C\|\psi\|_{p}, \end{equation*} \notag $$
которое следует из оценки
$$ \begin{equation*} \biggl(\,\int_0^\infty \frac{v_1^{-p'}(x)}{[V_1^-(x)]^p} \biggl(\,\int_{a(x)}^{b(x)}{v_1^{-1}(t)|\psi(t)|}\,dt\biggr)^p\,dx\biggr)^{1/p} \leqslant C_2\|\psi\|_{p}. \end{equation*} \notag $$
В силу критериев ограниченности операторов Харди–Стеклова [38; теорема 1]
$$ \begin{equation*} C_2\approx\mathscr{A}:=\sup_t\biggl(\,\int_{a(t)}^{b(t)}v^{-p'}_1\biggr)^{1/p'} \biggl(\,\int_{b^{-1}(t)}^{a^{-1}(t)}\frac{v^{-p'}_1}{[V_1^-]^p}\biggr)^{1/p}. \end{equation*} \notag $$
Так как $\displaystyle\int_{b^{-1}(t)}^{a^{-1}(t)}{v^{-p'}_1}{[V_1^-]^{-p}} \lesssim V_1^{1-p}(t)$ (см. [2; (5.18)]), то $\mathscr{A}\lesssim 1$, поэтому $\mathbb{G}(g_\phi)\lesssim \|\phi\|_{p',v_1^{-1}}<\infty$.

Аналогичным образом получаем, что

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_t^{a^{-1}(t)}\frac{g_\phi(x)}{V_1(x)}\,dx \\ &\qquad=\frac{\phi(a^{-1}(t))}{V_1^-(a^{-1}(t))}-\frac{\phi(t)}{V_1^-(t)} +\int_t^{a^{-1}(t)}\phi(x)\, \frac{v_1^{-p'}(x)-v_1^{-p'}(a(x))a'(x)}{[V_1^-(x)]^2}\,dx \\ &\qquad\leqslant \frac{|\phi(a^{-1}(t))|} {V_1^-(a^{-1}(t))} +\frac{|\phi(t)|}{V_1^-(t)} +\int_t^{a^{-1}(t)}|\phi(x)|\, \frac{v_1^{-p'}(x)+v_1^{-p'}(a(x))a'(x)}{[V_1^-(x)]^2}\,dx. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Так как $2v_1^{-p'}(a^{-1}(t))[a^{-1}(t)]'\geqslant v_1^{-p'}(t)$ (см. (3.24) с $x=a^{-1}(t)$) и $V_1(a^{-1}(t))\geqslant V_1^+(t)=V_1(t)/2$, то
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_0^\infty v_1^{-p'}(t)V_1^{p'}(t) \biggl[\frac{|\phi(a^{-1}(t))|}{V_1^-(a^{-1}(t))}+ \frac{|\phi(t)|}{V_1^-(t)}\biggr]^{p'}\,dt \\ &\qquad\lesssim \int_0^\infty [a^{-1}(t)]'|\phi(a^{-1}(t)) v_1^{-1}(a^{-1}(t))|^{p'}\,dt+\int_0^\infty |\phi(t)v_1^{-1}(t)|^{p'}\,dt \simeq \|\phi\|_{p',v_1^{-1}}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Далее (см. (3.26)),
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_0^\infty v_1^{-p'}(t)\,V_1^{p'}(t)\biggl(\,\int_t^{a^{-1}(t)}|\phi(x)|\, \frac{v_1^{-p'}(x)+ v_1^{-p'}(a(x))a'(x)}{[V_1^-(x)]^2}\,dx\biggr)^{p'}\,dt \\ &\qquad\leqslant\int_0^\infty v_1^{-p'}(t)\biggl(\,\int_t^{a^{-1}(t)}|\phi(x)|\, \frac{v_1^{-p'}(x)+ v_1^{-p'}(a(x))a'(x)}{V_1^-(x)}\,dx\biggr)^{p'}\,dt \\ &\qquad\leqslant 3\int_0^\infty v_1^{-p'}(t)\biggl(\,\int_t^{a^{-1}(t)} \frac{v_1^{-p'}(x)|\phi(x)|}{V_1^-(x)}\,dx\biggr)^{p'}\,dt \\ &\qquad\simeq\int_0^\infty v_1^{-p'}(t)\biggl(\,\int_t^{a^{-1}(t)} \frac{v_1^{1-p'}(x)h(x)}{V_1^-(x)}\,dx\biggr)^{p'}\,dt. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Следовательно, $\mathcal{G}(g_\phi)\lesssim \|\phi\|_{p',1/{v_1}}<\infty$ и
$$ \begin{equation} \|g_\phi\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}\lesssim \|\phi\|_{p',1/{v_1}}. \end{equation} \tag{3.27} $$
Из (3.27) получаем, что
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \sup_{0\ne \phi\in C^\infty_0(I)} \frac{\bigl|\int_I f\phi'\bigr|}{\|\phi\|_{p',1/{v_1}}}&\lesssim \sup_{0\ne \phi\in C^\infty_0(I)} \frac{\bigl|\int_I fg_\phi\bigr|}{\|g_\phi\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}} \notag \\ &\leqslant\sup_{g\in \mathcal{L}_{p',1/{v_1}}} \frac{\bigl|\int_I fg\bigr|}{\|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}}= J_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}(f)<\infty. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.28} $$
Теперь положим $\Lambda\phi:=\displaystyle\int_I f\phi'$, $\phi\in C^\infty_0(I)$. В силу (3.28) справедливо неравенство $|\Lambda\phi|\lesssim\|\phi\|_{p',1/{v_1}}$. По теореме Хана–Банаха можно продолжить $\Lambda$ до $\widetilde{\Lambda}\in (L^{p'}_{1/{v_1}}(I))^\ast$. По теореме Рисса о представлении существует $u\in L^p_{v_1}(I)$ такая, что $\widetilde{\Lambda}h=-\displaystyle\int_I uh$, $h\in L^{p'}_{1/{v_1}}(I)$. Отсюда получаем, что
$$ \begin{equation} -\int_I u\phi=\int_I f\phi',\qquad \phi\in C_0^\infty(I), \end{equation} \tag{3.29} $$
т. е. $u$ является обобщенной производной функции $f$. Поэтому, согласно [39; теорема 7.13], функция $f$ п. в. совпадает с некоторой $\widetilde f\in \operatorname{AC}_{\rm loc}(I)$ и $u=\widetilde{f}'$. Из (3.29) вытекает, что
$$ \begin{equation*} J_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}(f)\geqslant\sup_{0\ne \phi\in C^\infty_0(I)} \frac{\bigl|\int_I fg_\phi\bigr|}{\|g_\phi\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}} \gtrsim\sup_{0\ne \phi\in C^\infty_0(I)} \frac{\bigl|\int_I \widetilde{f}'\phi\bigr|}{\|\phi\|_{p',1/{v_1}}}= \|\widetilde{f}'\|_{p,v_1}. \end{equation*} \notag $$
Лемма доказана.

Основной результат работы содержится в следующем утверждении.

Теорема 3.2. Пусть $1<p<\infty$ и $f\in\mathfrak{D}_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}$. Тогда $J_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}(f)<\infty$ в том и только том случае, когда $f=\widetilde{f}$ п. в., $\widetilde{f}\in \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p$ и $\|f\|_{W^1_p}\approx J_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}(f)$. Как следствие, справедливы равенства

$$ \begin{equation*} \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p=[\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}]'_{\rm w}=[[ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p]'_{\rm w}]'_{\rm w}. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Достаточность следует из замечания 3.2.

Необходимость. Неравенствами (3.22) и (3.23) установлено, что $\widetilde{f}\in W^1_p$. Покажем, что $\operatorname{supp}\widetilde{f}$ ограничен в $[0,\infty)$. Пусть $E:=\{x\in I\colon|\widetilde f(x)|>0\}$. Так как $|\widetilde f|$ непрерывна на $I$, то $E$ – открытое множество. Предположим, что $\operatorname{mes}((b,\infty)\cap E)>0$ для любого $b\in I$. Тогда найдется последовательность отрезков $\{[a_k,b_k]\}_1^\infty\subset I$ такая, что

$$ \begin{equation*} b_k<a_{k+1}\quad\text{и}\quad m_k:=\min_{x\in [a_k,b_k]}|\widetilde f(x)|V_1(x)>0. \end{equation*} \notag $$
Положим $\theta_k:=\dfrac{1}{k m_k(b_k-a_k)}$. По лемме 3.4 можно подобрать функции $g_k\in \mathcal{L}_{p',1/{v_1}}$ такие, что $\|g_k\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}<2^{-k}$ и $|g_k|=\theta_k V_1$ на $(a_k,b_k)$. Пусть $g:=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty g_k$. Тогда $\|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}\leqslant 1$ и
$$ \begin{equation*} \int_I|\widetilde{f}g|\geqslant \sum_{k=1}^\infty \theta_k m_k(b_k-a_k)= \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}=\infty, \end{equation*} \notag $$
а это противоречит тому, что $J_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}(f)<\infty$.

Аналогично можно показать, что $\limsup_{t\to 0+}|\widetilde{f}(t)|=0$. Отсюда следует, что $\operatorname{supp}\widetilde{f}\subset [0,\infty)$ компактен. Теорема доказана.

Замечание 3.4. Результаты этого раздела справедливы для пространств Соболева $ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)$ на произвольном интервале $I=(a,b)\subset \mathbb{R}$ при выполнении условия (3.2).

4. Критерий ограниченности преобразования Гильберта из весового пространства Соболева в весовое пространство Лебега

Важной задачей гармонического анализа является характеризация весовых неравенств для норм с оператором Гильберта. Первой работой в этом направлении была статья К. И. Бабенко [40] об ограниченности сопряженной функции в пространстве Лебега со степенным весом. Далее эта задача рассматривалась с семидесятых годов прошлого столетия, и в статье Р. Ханта, Б. Мукенхоупта и Р. Уидена [41] было установлено, что преобразование Гильберта ограничено в весовых пространствах Лебега $L^p_w$, $1<p<\infty$, тогда и только тогда, когда вес $w$ принадлежит классу Мукенхоупта $A_p$. Дальнейшие попытки распространить этот результат на более общие случаи параметров суммирования и весов в $L^p_w$ столкнулись с серьезными трудностями (см. [42]–[44] для случая $p=2$ и различных весов). Некоторый прогресс, однако, был достигнут сужением на подклассы в $L^p_w$ (см., например, [45], [46]).

В этой части работы изучается действие преобразования Гильберта

$$ \begin{equation*} Hf(x)=\textrm{p.v.}\int_0^\infty\frac{f(t)}{x-t}\,dt, \qquad x>0, \end{equation*} \notag $$
из весового пространства Соболева первого порядка в весовое пространство Лебега на полуоси. В частности, устанавливаются достаточные условия ограниченности $H\colon \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} _p^1(I)\to L^q_w(I)$ для $1<p,q<\infty$ и некоторых классов весов $v_0,v_1,w\in\mathfrak{M}^+(I)$. Основные результаты раздела взяты из [47].

Мы предполагаем, что весовые функции $v_0$ и $v_1$ таковы, что

$$ \begin{equation} \|f\|_{{p},{v_0}}\lesssim\|f'\|_{{p},{v_1}}, \qquad f\in \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I). \end{equation} \tag{4.1} $$
В силу [37; замечание 1.4] требование (4.1) выполнено тогда и только тогда, когда
$$ \begin{equation*} {\mathbf A}_0:=\sup_{(s,t)\subset I}\biggl(\,\int_s^t v_0^p\biggr)^{1/p} \biggl(\min\biggl\{\int_0^s v_1^{-p'},\int_t^\infty v_1^{-p'}\biggr\}\biggr)^{1/p'}<\infty. \end{equation*} \notag $$
В этом случае
$$ \begin{equation} \|f\|_{W_{p}^1(I)}\approx \|f'\|_{{p},{v_1}}, \end{equation} \tag{4.2} $$
т. е. норма в двухвесовом пространстве Соболева $W_{p}^1(I)$ эквивалентна норме $\|f'\|_{{p},{v_1}}$ “одновесового пространства Соболева”. В общем случае, очевидно, первое пространство строго меньше второго.

Лемма 4.1. Пусть $1<p<\infty$ и весовые функции $v_0$ и $v_1$ таковы, что

$$ \begin{equation} {\mathbf A}_1:=\sup_{t\in I}\biggl(\,\int_0^t v_0^p\biggr)^{1/p} \biggl(\,\int_t^\infty v_1^{-p'}\biggr)^{1/p'}<\infty. \end{equation} \tag{4.3} $$
Тогда
$$ \begin{equation} Hf(x)=\int_0^\infty k(x,s)f'(s)\,ds=:Lf'(x), \qquad f\in \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I), \end{equation} \tag{4.4} $$
где
$$ \begin{equation} k(x,s)=\int_0^s\frac{dt}{x-t}=\begin{cases} \log\dfrac{x}{x-s}\,, &0<s<x, \\ \log\dfrac{x}{s-x}\,, &x<s<2x, \\ \log\dfrac{x}{s-x}\,, &s\geqslant 2x, \end{cases} \end{equation} \tag{4.5} $$
и
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, Lg(x)&=\int_0^{x}\log\biggl(\frac{x}{x-s}\biggr)g(s)\,ds+ \int_x^{2x}\log\biggl(\frac{x}{s-x}\biggr)g(s)\,ds \\ &\qquad+\int_{2x}^\infty\log\biggl(\frac{x}{s-x}\biggr)g(s)\,ds \\ &=:L_1g(x)+L_2g(x)-L_3g(x). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Отсюда, на основе (4.2), (4.4), (4.5) и в силу плотности $ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)$ в $ \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_p(I)$, имеем

$$ \begin{equation*} \|H\|_{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)\to L^q_{w}(I)}=\sup_{0\ne f\in \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)} \frac{\|Hf\|_{q,{w}}}{\|f\|_{W_p^1(I)}}\approx \sup_{0\ne f\in \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} _p^1(I)}\frac{\|Lf'\|_{q,{w}}}{\|f'\|_{p,{v_1}}} \end{equation*} \notag $$
и
$$ \begin{equation} \|H\|_{ \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_p(I)\to L^q_{w}(I)}=\|H\|_{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)\to L^q_{w}(I)} \lesssim\sum_{i=1}^3\|L_i\|_{L_{v_1}^p(I)\to L^q_{w}(I)}, \end{equation} \tag{4.6} $$
где $H$ продолжено на $ \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_p(I)$ по непрерывности.

В трех приводимых ниже теоремах даны вспомогательные двусторонние оценки норм $\|L_i\|_{L_{v_1}^p(I)\to L^q_{w}(I)}$, $i=1,2,3$, представляющие и самостоятельный интерес.

Неравенство $\|L_1g\|_{q,w}\lesssim\|g\|_{p,{v_1}}$ охарактеризовано в [48] при условии $v_1\in \mathfrak{M}^\uparrow$.

Теорема 4.1 [48]. Пусть $1<p<\infty$, $0<q<\infty$, $1/r=(1/q-1/p)_+$, $v_1\in\mathfrak{M}^\uparrow$. Тогда неравенство

$$ \begin{equation*} \biggl(\,\int_0^\infty w^q(x)\biggl(\,\int_0^x \log\biggl(\frac{x}{x-y}\biggr) g(y)\,dy\biggr)^q\,dx\biggr)^{1/q}\leqslant C\biggl(\,\int_0^\infty (gv_1)^p\biggr)^{1/p},\qquad\!\!\! g\in\mathfrak{M}^+, \end{equation*} \notag $$
выполнено в том и только том случае, когда

(i) $A<\infty$ при $1<p\leqslant q<\infty$, где

$$ \begin{equation} A:=\sup_{t\in I}\biggl(\,\int_t^\infty \frac{w^q(x)\,dx}{x^q}\biggr)^{1/q} \biggl(\,\int_0^t\frac{x^{p'}\,dx}{v_1^{p'}(x)}\biggr)^{1/p'}, \end{equation} \tag{4.7} $$
и $C=\|L_1\|_{L_{v_1}^p(I)\to L^q_{w}(I)}\approx A$;

(ii) $B<\infty$ при $0<q<p<\infty$ и $p>1$, где

$$ \begin{equation} B:=\biggl(\,\int_0^\infty\biggl(\,\int_t^\infty\frac{w^q(x)dx}{x^q}\biggr)^{r/q} \biggl(\,\int_0^t\frac{x^{p'}\,dx}{v_1^{p'}(x)}\biggr)^{r/q'} \frac{t^{p'}}{v_1^{p'}(t)}\,dt\biggr)^{1/r}, \end{equation} \tag{4.8} $$
и $C=\|L_1\|_{L_{v_1}^p(I)\to L^q_{w}(I)}\approx B$.

В следующей теореме приводятся оценки для $L_2$.

Теорема 4.2. Пусть $1<p<\infty$, $1<q<\infty$, $1/r=(1/q-1/p)_+$, $v_1\in\mathfrak{M}^\uparrow$, а также существует константа $\gamma>0$ такая, что $x^{-\gamma}v_1(x)\in\mathfrak{M}^\downarrow$. Тогда неравенство

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\biggl(\,\int_0^\infty w^q(x)\biggl(\,\int_x^{2x}\log\biggl(\frac{x}{y-x}\biggr) g(y)\,dy\biggr)^q\,dx\biggr)^{1/q} \\ &\qquad\leqslant C\biggl(\,\int_0^\infty (gv_1)^p\biggr)^{1/p},\qquad g\in\mathfrak{M}^+, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
верно в том и только том случае, если
$$ \begin{equation} \biggl(\,\int_0^\infty \frac{w^q(x)}{x^q}\biggl(\,\int_{3x/2}^{2x}(2x-y) g(y)\,dy\biggr)^q\,dx\biggr)^{1/q}\leqslant D\biggl(\,\int_0^\infty (gv_1)^p\biggr)^{1/p},\qquad g\in\mathfrak{M}^+, \end{equation} \tag{4.9} $$
и $\mathbb{A}<\infty$, где
$$ \begin{equation} \mathbb{A}:=\begin{cases} \displaystyle\sup_{k\in\mathbb{Z}}\,\sup_{t\in[a^k,a^{k+1}]} \biggl(\,\int_{a^{k}}^t\omega^q\biggr)^{1/q}\biggl(\,\int_t^{a^{k+2}} u^{p'}\biggr)^{1/p'}, & p\leqslant q, \\ \displaystyle\biggl(\,\sum_{k\in\mathbb{Z}}\int_{a^k}^{a^{k+1}}\omega^q(x) \biggl(\,\int_{a^{k}}^x\omega^q\biggr)^{r/p}\biggl(\,\int_x^{a^{k+2}} u^{p'}\biggr)^{r/p'}\,dx\biggr)^{1/r}, & q<p, \end{cases} \end{equation} \tag{4.10} $$
$a\in(1,\sqrt{2}\,)$, $\omega(x):=w(x)/x^\gamma$, $u(y):=y^\gamma/v_1(y)$. Кроме того,
$$ \begin{equation*} C=\|L_2\|_{L_{v_1}^p(I)\to L^q_{w}(I)}\approx D+\mathbb{A}. \end{equation*} \notag $$

Теперь оценим норму оператора $L_3$.

Теорема 4.3. Неравенство

$$ \begin{equation*} \biggl(\,\int_0^\infty w^q(x)\biggl(\,\int_{2x}^\infty \log\biggl(\frac{s-x}{x}\biggr) \frac{h(s)}{v_1(s)}\,ds\biggr)^q\,dx\biggr)^{1/q}\leqslant C\biggl(\,\int_0^\infty h^p\biggr)^{1/p},\qquad h\in\mathfrak{M}^+, \end{equation*} \notag $$
эквивалентно
$$ \begin{equation} \biggl(\,\int_0^\infty \frac{w^q(x)}{x^q}\biggl(\,\int_{2x}^{3x}(s-2x) \frac{h(s)}{v_1(s)}\,ds\biggr)^q\,dx\biggr)^{1/q}\leqslant D_1\biggl(\,\int_0^\infty h^p\biggr)^{1/p} \end{equation} \tag{4.11} $$
и
$$ \begin{equation} \biggl(\,\int_0^\infty w^q(x)\biggl(\,\int_{3x}^\infty \log\biggl(\frac{s}{x}\biggr) \frac{h(s)}{v_1(s)}\,ds\biggr)^q\,dx\biggr)^{1/q}\leqslant D_2\biggl(\,\int_0^\infty h^p\biggr)^{1/p}, \end{equation} \tag{4.12} $$
причем $C=\|L_3\|_{L_{v_1}^p(I)\to L^q_{w}(I)}\approx D_1+D_2$.

Замечание 4.1. (a) Пусть $a(x)=3x$, $k(y,x)=\log(y/x)$. Тогда

$$ \begin{equation*} k(y,x)\approx k(y,z)+k(a(z),x),\qquad 0<x\leqslant z\leqslant a^{-1}(y)<\infty. \end{equation*} \notag $$
Это означает, что ядро $k(y,x)=\log(y/x)$ принадлежит классу Ойнарова $\mathbb{O}_a$ (см. [38; определение 2.3]), и в силу следствия 2.2 из [38]
$$ \begin{equation*} D_2\approx \begin{cases} A_0+A_1, & p\leqslant q, \\ B_0+B_1, & q<p, \end{cases} \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, A_0&:=\sup_{t\in I}\biggl(\,\int_0^t\log^q\biggl(\frac{3t}{x}\biggr) w^q(x)\,dx\biggr)^{1/q}\biggl(\,\int_{3t}^\infty v_1^{-p'}\biggr)^{1/p'}, \\ A_1&:=\sup_{t\in I}\biggl(\,\int_0^t w^q\biggr)^{1/q} \biggl(\,\int_{3t}^\infty \log^{p'}\biggl(\frac{y}{t}\biggr) v_1^{-p'}(y)\,dy\biggr)^{1/p'}, \\ B_0&:=\biggl(\biggl(\,\int_0^{t/3}\log^q\biggl(\frac{t}{x}\biggr) w^q(x)\,dx\biggr)^{r/q}\biggl(\,\int_{t}^\infty v_1^{-p'}\biggr)^{r/q'} v_1^{-p'}(t)\,dt\biggr)^{1/r}, \\ B_1&:=\biggl(\biggl(\,\int_0^{t}w^q\biggr)^{r/p}\biggl(\,\int_{3t}^\infty \log^{p'}\biggl(\frac{y}{t}\biggr) v_1^{-p'}(y)\,dy\biggr)^{r/p'} w^q(t)\,dt\biggr)^{1/r}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

(b) Неравенства (4.9) и (4.11) охарактеризованы в [49; теорема 3.2] и [49; теорема 3.1] соответственно. Сформулируем оценки в случае, когда $p\leqslant q$. Случай $q<p$ также охарактеризован, но в дискретной форме, поэтому мы опускаем детали.

Применяя теорему 3.2 из [49] для наилучшей константы $D$ в (4.9), находим

$$ \begin{equation*} D\approx {\mathcal A}_0+{\mathcal A}_1,\qquad p\leqslant q, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, {\mathcal A}_0&:=\sup_{t\in I}\,\sup_{3t/2<s<t} \biggl(\,\int_s^t(x-s)^q w^q(x)\,dx\biggr)^{1/q} \biggl(\,\int_{3t/2}^{2s} v_1^{-p'}\biggr)^{1/p'}, \\ {\mathcal A}_1&:=\sup_{t\in I}\,\sup_{3t/2<s<t} \biggl(\,\int_s^t w^q\biggr)^{1/q}\biggl(\,\int_{3t/2}^{2s} (2s-y)^{p'}v_1^{-p'}(y)\,dy\biggr)^{1/p'}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Аналогично, применяя теорему 3.1 из [49] для наименьшей константы $D_1$ в (4.11), получаем
$$ \begin{equation*} D_1\approx {\mathcal A}^*_0+{\mathcal A}^*_1,\qquad p\leqslant q, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, {\mathcal A}^*_0&:=\sup_{t\in I}\,\sup_{s<t<3s/2}\biggl(\,\int_s^t(t-x)^q w^q(x)\,dx\biggr)^{1/q}\biggl(\,\int_{2t}^{3s} v_1^{-p'}\biggr)^{1/p'}, \\ {\mathcal A}^*_1&:=\sup_{t\in I}\,\sup_{s<t<3s/2} \biggl(\,\int_s^t w^q\biggr)^{1/q}\biggl(\,\int_{2t}^{3s}(y-2t)^{p'} v_1^{-p'}(y)\,dy\biggr)^{1/p'}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Пример 4.1. Пусть $1/p'<\alpha<1+1/p'$ и

$$ \begin{equation*} W^1_{p,\alpha}(I):=\{f\in \operatorname{AC}(I)\colon\|f\|_{W^1_{p,\alpha}}:= \|f\|_{L^p_{x^{\alpha-1}}}+\|f'\|_{L^p_{x^{\alpha}}}<\infty\}. \end{equation*} \notag $$
Тогда
$$ \begin{equation} \|Hf\|_{L^p_{x^{\alpha}}}\lesssim \|f\|_{W^1_{p,\alpha}}. \end{equation} \tag{4.13} $$

Из (4.6) и теорем 3.1, 4.2, 4.3 следует основной результат раздела.

Теорема 4.4. Пусть $1<p$, $q<\infty$. Предположим, что ${\mathbf A}_1<\infty$ (см. (4.3)), $v_1\in\mathfrak{M}^\uparrow(I)$ и существует $\gamma>0$ такое, что $x^{-\gamma}v_1(x)\in\mathfrak{M}^\downarrow$. Тогда

$$ \begin{equation} \|H\|_{ \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_p(I)\to L^q_{w}(I)}\lesssim {\mathbb D}+{\mathbb A}+D+D_1+D_2, \end{equation} \tag{4.14} $$
где ${\mathbb D}=A$ (см. (4.7)), если $p\leqslant q$, и ${\mathbb D}=B$ (см. (4.8)), если $q<p$, а константы ${\mathbb A}$, $D$, $D_1$, $D_2$ определены в (4.10), (4.9), (4.11), (4.12) соответственно. Точные выражения констант $D$, $D_1$, $D_2$ приведены в замечании 4.1.

Список литературы

1. C. Bennett, R. Sharpley, Interpolation of operators, Pure Appl. Math., 129, Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988, xiv+469 pp.  mathscinet  zmath
2. Д. В. Прохоров, В. Д. Степанов, Е. П. Ушакова, “Характеризация функциональных пространств, ассоциированных с весовыми пространствами Соболева первого порядка на действительной оси”, УМН, 74:6(450) (2019), 119–158  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: D. V. Prokhorov, V. D. Stepanov, E. P. Ushakova, “Characterization of the function spaces associated with weighted Sobolev spaces of the first order on the real line”, Russian Math. Surveys, 74:6 (2019), 1075–1115  crossref  adsnasa
3. D. V. Prokhorov, V. D. Stepanov, E. P. Ushakova, “On associate spaces of weighted Sobolev space on the real line”, Math. Nachr., 290:5-6 (2017), 890–912  crossref  mathscinet  zmath
4. G. Bennett, Factorizing the classical inequalities, Mem. Amer. Math. Soc., 120, no. 576, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1996, viii+130 pp.  crossref  mathscinet  zmath
5. K.-G. Grosse-Erdmann, The blocking technique, weighted mean operators and Hardy's inequality, Lecture Notes in Math., 1679, Springer-Verlag, Berlin, 1998, x+114 pp.  crossref  mathscinet  zmath
6. S. V. Astashkin, L. Maligranda, “Structure of Cesàro function spaces: a survey”, Function spaces X, Banach Center Publ., 102, Polish Acad. Sci. Inst. Math., Warsaw, 2014, 13–40  crossref  mathscinet  zmath
7. K. Leśnik, L. Maligranda, “Abstract Cesàro spaces. Duality”, J. Math. Anal. Appl., 424:2 (2015), 932–951  crossref  mathscinet  zmath
8. B. D. Hassard, D. A. Hussein, “On Cesàro function spaces”, Tamkang J. Math., 4 (1973), 19–25  mathscinet  zmath
9. A. Kamińska, D. Kubiak, “On the dual of Cesàro function space”, Nonlinear Anal., 75:5 (2012), 2760–2773  crossref  mathscinet  zmath
10. G. Sinnamon, “Transferring monotonicity in weighted norm inequalities”, Collect. Math., 54:2 (2003), 181–216  mathscinet  zmath
11. M. Carro, A. Gogatishvili, J. Martin, L. Pick, “Weighted inequalities involving two Hardy operators with applications to embeddings of function spaces”, J. Operator Theory, 59:2 (2008), 309–332  mathscinet  zmath
12. В. Д. Степанов, “Об ассоциированных пространствах к весовым пространствам Чезаро и Копсона”, Матем. заметки, 111:3 (2022), 443–450  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. D. Stepanov, “On spaces associated with weighted Cesàro and Copson spaces”, Math. Notes, 111:3 (2022), 470–477  crossref
13. E. Sawyer, “Boundedness of classical operators on classical Lorentz spaces”, Studia Math., 96:2 (1990), 145–158  crossref  mathscinet  zmath
14. А. Гогатишвили, В. Д. Степанов, “Редукционные теоремы для весовых интегральных неравенств на конусе монотонных функций”, УМН, 68:4(412) (2013), 3–68  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. Gogatishvili, V. D. Stepanov, “Reduction theorems for weighted integral inequalities on the cone of monotone functions”, Russian Math. Surveys, 68:4 (2013), 597–664  crossref  adsnasa
15. V. D. Stepanov, “The weighted Hardy's inequality for nonincreasing functions”, Trans. Amer. Math. Soc., 338:1 (1993), 173–186  crossref  mathscinet  zmath
16. G. Sinnamon, “Hardy's inequality and monotonicity”, Function spaces, differential operators and nonlinear analysis (Milovy, 2004), Math. Inst. Acad. Sci. Czech Republ., Prague, 2005, 292–310
17. S. V. Astashkin, L. Maligranda, “Structure of Cesàro function spaces”, Indag. Math. (N. S.), 20:3 (2009), 329–379  crossref  mathscinet  zmath
18. М. Л. Гольдман, П. П. Забрейко, “Оптимальное восстановление банахова функционального пространства по конусу неотрицательных функций”, Функциональные пространства и смежные вопросы анализа, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН Олега Владимировича Бесова, Труды МИАН, 284, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2014, 142–156  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: M. L. Goldman, P. P. Zabreiko, “Optimal reconstruction of a Banach function space from a cone of nonnegative functions”, Proc. Steklov Inst. Math., 284 (2014), 133–147  crossref
19. В. Д. Степанов, “Об оптимальных пространствах Банаха, содержащих весовой конус монотонных или квазивогнутых функций”, Матем. заметки, 98:6 (2015), 907–922  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. D. Stepanov, “On optimal Banach spaces containing a weight cone of monotone or quasiconcave functions”, Math. Notes, 98:6 (2015), 957–970  crossref
20. Г. Харди, Дж. И. Литтлвуд, Г. Полиа, Неравенства, ИЛ, М., 1948, 456 с.  mathscinet; пер. с англ.: G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya, Inequalities, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1934, xii+314 с.  mathscinet  zmath
21. D. V. Prokhorov, “On the associated spaces for altered Cesàro space”, Anal. Math., 48:4 (2022), 1169–1183  crossref  mathscinet
22. D. V. Prokhorov, “On the dual spaces for weighted altered Cesàro and Copson spaces”, J. Math. Anal. Appl., 514:2 (2022), 126325, 11 pp.  crossref  mathscinet  zmath
23. V. D. Stepanov, “On Cesàro and Copson type function spaces. Reflexivity”, J. Math. Anal. Appl., 507:1 (2022), 125764, 18 pp.  crossref  mathscinet  zmath
24. R. A. Adams, Sobolev spaces, Pure Appl. Math., 65, Academic Press, New York–London, 1975, xviii+268 pp.  mathscinet  zmath
25. С. Л. Соболев, Некоторые применения функционального анализа в математической физике, 3-е изд., перераб. и доп., Наука, М., 1988, 334 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: S. L. Sobolev, Some applications of functional analysis in mathematical physics, Transl. Math. Monogr., 90, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991, viii+286 с.  crossref  mathscinet  zmath
26. A. Kamińska, M. .{Z}yluk, “Uniform convexity, reflexivity, superreflexivity and $B$ convexity of generalized Sobolev spaces $W^{1,\Phi}$”, J. Math. Anal. Appl., 509:1 (2022), 125925, 31 pp.  crossref  mathscinet  zmath
27. A. Kalybay, R. Oinarov, “Boundedness of Riemann–Liouville operator from weighted Sobolev space to weighted Lebesgue space”, Eurasian Math. J., 12:1 (2021), 39–48  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
28. A. Kalybay, R. Oinarov, “Boundedness of Riemann–Liouville operator from weighted Sobolev space to weighted Lebesgue space for $1<q<p<\infty$”, Math. Inequal. Appl., 25:1 (2022), 17–26  crossref  mathscinet  zmath
29. A. Kalybay, R. Oinarov, “Kernel operators and their boundedness from weighted Sobolev space to weighted Lebesgue space”, Turkish J. Math., 43:1 (2019), 301–315  crossref  mathscinet  zmath
30. Р. Ойнаров, “Ограниченность интегральных операторов в весовых пространствах Соболева”, Изв. РАН. Сер. матем., 78:4 (2014), 207–223  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: R. Oinarov, “Boundedness of integral operators in weighted Sobolev spaces”, Izv. Math., 78:4 (2014), 836–853  crossref  adsnasa
31. R. Oinarov, “Boundedness of integral operators from weighted Sobolev space to weighted Lebesgue space”, Complex Var. Elliptic Equ., 56:10-11 (2011), 1021–1038  crossref  mathscinet  zmath
32. А. А. Беляев, А. А. Шкаликов, “Мультипликаторы в пространствах бесселевых потенциалов: случай индексов неотрицательной гладкости”, Матем. заметки, 102:5 (2017), 684–699  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Belyaev, A. A. Shkalikov, “Multipliers in spaces of Bessel potentials: the case of indices of nonnegative smoothness”, Math. Notes, 102:5 (2017), 632–644  crossref
33. А. А. Беляев, А. А. Шкаликов, “Мультипликаторы в пространствах бесселевых потенциалов: случай индексов гладкости разного знака”, Алгебра и анализ, 30:2 (2018), 76–96  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Belyaev, A. A. Shkalikov, “Multipliers in Bessel potential spaces with smoothness indices of different sign”, St. Petersburg Math. J., 30:2 (2019), 203–218  crossref
34. А. А. Шкаликов, Дж.-Г. Бак, “Мультипликаторы в дуальных соболевских пространствах и операторы Шрёдингера с потенциалами-распределениями”, Матем. заметки, 71:5 (2002), 643–651  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: J.-G. Bak, A. A. Shkalikov, “Multipliers in dual Sobolev spaces and Schrödinger operators with distribution potentials”, Math. Notes, 71:5 (2002), 587–594  crossref
35. R. Oinarov, “On weighted norm inequalities with three weights”, J. London Math. Soc. (2), 48:1 (1993), 103–116  crossref  mathscinet  zmath
36. S. P. Eveson, V. D. Stepanov, E. P. Ushakova, “A duality principle in weighted Sobolev spaces on the real line”, Math. Nachr., 288:8-9 (2015), 877–897  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
37. A. Kufner, L.-E. Persson, N. Samko, Weighted inequalities of Hardy type, 2nd ed., World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2017, xx+459 pp.  crossref  mathscinet  zmath
38. В. Д. Степанов, Е. П. Ушакова, “Об интегральных операторах с переменными пределами интегрирования”, Функциональные пространства, гармонический анализ, дифференциальные уравнения, Сборник статей. К 95-летию со дня рождения академика Сергея Михайловича Никольского, Труды МИАН, 232, Наука, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2001, 298–317  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. D. Stepanov, E. P. Ushakova, “On integral operators with variable limits of integration”, Proc. Steklov Inst. Math., 232 (2001), 290–309
39. G. Leoni, A first course in Sobolev spaces, Grad. Stud. Math., 105, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009, xvi+607 pp.  crossref  mathscinet  zmath
40. К. И. Бабенко, “О сопряженных функциях”, Докл. АН СССР, 62:2 (1948), 157–160  mathscinet  zmath
41. R. Hunt, B. Muckenhoupt, R. Wheeden, “Weighted norm inequalities for the conjugate function and Hilbert transform”, Trans. Amer. Math. Soc., 176 (1973), 227–251  crossref  mathscinet  zmath
42. M. T. Lacey, E. T. Sawyer, Chun-Yen Shen, I. Uriarte-Tuero, “Two-weight inequality for the Hilbert transform: a real variable characterization. I”, Duke Math. J., 163:15 (2014), 2795–2820  crossref  mathscinet  zmath
43. M. T. Lacey, “Two-weight inequality for the {H}ilbert transform: a real variable characterization. II”, Duke Math. J., 163:15 (2014), 2821–2840  crossref  mathscinet  zmath
44. T. P. Hytönen, “The two-weight inequality for the Hilbert transform with general measures”, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 117:3 (2018), 483–526  crossref  mathscinet  zmath
45. E. Liflyand, “Weighted estimates for the discrete Hilbert transform”, Methods of Fourier analysis and approximation theory, Appl. Numer. Harmon. Anal., Birkhäuser/Springer, Cham, 2016, 59–69  crossref  mathscinet  zmath
46. V. D. Stepanov, S. Yu. Tikhonov, “Two power-weight inequalities for the Hilbert transform on the cones of monotone functions”, Complex Var. Elliptic Equ., 56:10-11 (2011), 1039–1047  crossref  mathscinet  zmath
47. V. D. Stepanov, “On the boundedness of the Hilbert transform from weighted Sobolev space to weighted Lebesgue space”, J. Fourier Anal. Appl., 28:3 (2022), 46, 17 pp.  crossref  mathscinet  zmath
48. A. M. Abylayeva, L.-E. Persson, “Hardy type inequalities and compactness of a class of integral operators with logarithmic singularities”, Math. Inequal. Appl., 21:1 (2018), 201–215  crossref  mathscinet  zmath
49. V. D. Stepanov, E. P. Ushakova, “Kernel operators with variable intervals of integration in Lebesgue spaces and applications”, Math. Inequal. Appl., 13:3 (2010), 449–510  crossref  mathscinet  zmath

Образец цитирования: В. Д. Степанов, Е. П. Ушакова, “О сильной и слабой ассоциированности весовых пространств Соболева первого порядка”, УМН, 78:1(469) (2023), 167–204; Russian Math. Surveys, 78:1 (2023), 165–202
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SteUsh23}
\by В.~Д.~Степанов, Е.~П.~Ушакова
\paper О сильной и слабой ассоциированности весовых пространств Соболева первого порядка
\jour УМН
\yr 2023
\vol 78
\issue 1(469)
\pages 167--204
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10075}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10075}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4634797}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1534.46024}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023RuMaS..78..165S}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2023
\vol 78
\issue 1
\pages 165--202
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10075e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001057003200003}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85171274522}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm10075
  • https://doi.org/10.4213/rm10075
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm/v78/i1/p167
  • Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Успехи математических наук Russian Mathematical Surveys
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:472
    PDF русской версии:49
    PDF английской версии:99
    HTML русской версии:293
    HTML английской версии:124
    Список литературы:42
    Первая страница:13
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024