Успехи математических наук
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



УМН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Успехи математических наук, 2023, том 78, выпуск 4(472), страницы 209–210
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10107
(Mi rm10107)
 

Краткие сообщения

Группа Пикара связной аффинной алгебраической группы

В. Л. Поповab

a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"
Список литературы:
Поступила в редакцию: 03.04.2023
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 4, Pages 794–796
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10107e
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
MSC: 14C22, 14L17

Все рассматриваемые ниже алгебраические многообразия считаются определенными над основным алгебраически замкнутым полем $k$. Мы придерживаемся принятой в [1] точке зрения на алгебраические группы и используем следующие обозначения. Если $S$ – связная полупростая алгебраическая группа, то $\widehat S$ – ее универсальная накрывающая, а $\pi(S)$ – ядро канонической изогении $\widehat S\to S$. Если $G$ – связная аффинная алгебраическая группа, а $H$ – ее замкнутая подгруппа, то $\varepsilon_{G,H}\colon \operatorname{Hom}_{\rm alg}(H,\mathbb G_m)\to \operatorname{Pic}(G/H)$ – гомоморфизм, который каждому характеру $\chi\colon H\to \mathbb G_m$ ставит в соответствие класс одномерного однородного векторного расслоения над $G/H$, определенного $\chi$ (см. [2; теорема 4]). Если $\varphi\colon X\to Y$ – морфизм гладких неприводимых алгебраических многообразий, то $\varphi^*\colon \operatorname{Pic}(Y)\to \operatorname{Pic}(X)$ – ассоциированный с $\varphi$ гомоморфизм групп Пикара (см. [3; гл. III, § 1, разд. 2]). Напомним, что коммутант связной редуктивной алгебраической группы связен и полупрост (см. [1; I.2.2, II.14.2]).

Целью этой заметки является доказательство следующей теоремы.

Теорема. Пусть $G$ – связная аффинная алгебраическая группа, ${\mathcal R}_u(G)$ – ее унипотентный радикал, $\varrho\colon G\to G/{\mathcal R}_u(G)$ – канонический гомоморфизм, $S$ – коммутант связной редуктивной группы $G/{\mathcal R}_u(G)$, а $\iota\colon S\hookrightarrow G/{\mathcal R}_u(G)$ – тождественное вложение. Тогда следующие канонические гомоморфизмы являются изоморфизмами:

$$ \begin{equation*} \operatorname{Pic}(G)\xleftarrow{\varrho^*} \operatorname{Pic}(G/{\mathcal R}_u(G))\xrightarrow{\iota^*} \operatorname{Pic}(S)\xleftarrow{\varepsilon_{\widehat{S},\pi(S)}} \operatorname{Hom}_{\rm alg}(\pi(S),\mathbb G_m). \end{equation*} \notag $$

Следствие. Группа $\operatorname{Pic}(G)$ канонически изоморфна группе $\operatorname{Hom}_{\rm alg}(\pi(S),\mathbb G_m)$ и неканонически изоморфна группе $\pi(S)$.

Пример. Пусть $G=\operatorname{GL}_n$. Тогда группа ${\mathcal R}_u(G)$ тривиальна, а коммутантом группы $G$ является полупростая группа $\operatorname{SL}_n$. Последняя односвязна, так что $\pi(\operatorname{SL}_n)$ – тривиальная группа. Поэтому по теореме $\operatorname{Pic}(G)$ – тривиальная группа. Это согласуется с тем, что групповое многообразие группы $\operatorname{GL}_n$ изоморфно открытому подмножеству в $\mathbb A^{n^2}$.

В доказательстве теоремы используется следующая лемма.

Лемма. Пусть $X$ – неприводимое гладкое алгебраическое многообразие, $U$ – непустое открытое подмножество в $\mathbb A^{d}$, а $u_0$ – точка из $U$. Тогда для морфизмов

$$ \begin{equation} \alpha\colon X\times U \to X,\ \ (x,u)\mapsto x,\quad\textit{и}\quad \beta\colon X \to X\times U,\ \ x\mapsto (x,u_0), \end{equation} \tag{1} $$
гомоморфизмы $\alpha^*$ и $\beta^*$ являются взаимно обратными изоморфизмами.

Доказательство леммы. Рассмотрим морфизмы
$$ \begin{equation} \gamma\colon X\times \mathbb A^d \to X,\ \ (x,a)\mapsto x,\quad\text{и}\quad \delta\colon X\times U \to X\times\mathbb A^d,\ \ (x, u)\mapsto (x, u). \end{equation} \tag{2} $$
Из (1) и (2) следует, что имеют место равенства
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \gamma\circ\delta\circ\beta=\operatorname{id}_X\!\!\quad\text{и}\quad \alpha\circ\beta=\operatorname{id}_X\!. \end{aligned} \end{equation} \tag{3} $$
Как известно, $\gamma^*$ – изоморфизм (см. [4; гл. II, предложение 6.6 и его доказательство]), а $\delta^*$ – сюръекция (см. [4; гл. II, предложение 6.5, (a)]). Отсюда и из левого равенства в (3) следует, что $\beta^*$ – изоморфизм. Ввиду правого равенства в (3) это показывает, что $\alpha^*$ – тоже изоморфизм, а $\alpha^*$ и $\beta^*$ взаимно обратны.
Доказательство теоремы и следствия. Поскольку связная аффинная алгебраическая группа ${\mathcal R}_u(G)$ унипотентна, из [5; предложения 1, 2] следует, что

(a) групповое многообразие группы ${\mathcal R}_u(G)$ изоморфно аффинному пространству;

(b) существует коммутативная диаграмма

$(4)$
в которой $\tau$ – изоморфизм групповых многообразий (но, вообще говоря, не групп), а $\upsilon$ – естественная проекция на второй сомножитель.

Ввиду леммы из (a) и (4) следует, что $\varrho^*$ – изоморфизм.

Согласно [6; теорема 1] в группе $G/{\mathcal R}_u(G)$ существует такой тор $Z$, что отображение $\mu\colon S\times Z\to G/{\mathcal R}_u(G)$, $(s,z)\mapsto sz$, является изоморфизмом групповых многообразий (но, вообще говоря, не групп). Рассмотрим коммутативную диаграмму

$(5)$
в которой $\nu\colon S\to S\times Z$, $s\mapsto (s,e)$, где $e$ – единичный элемент. Поскольку групповое многообразие тора $Z$ изоморфно открытому подмножеству аффинного пространства, из (5) и леммы следует, что $\iota^*$ – изоморфизм.

Ввиду полупростоты группы $\widehat S$ группа $\operatorname{Hom}_{\rm alg}(\widehat S,\mathbb G_m)$ тривиальна, а ввиду относвязности группы $\widehat S$ тривиальна группа $\operatorname{Pic}(\widehat S)$ (см. [2; предложение 1]). Согласно [2; теорема 4] отсюда следует, что $\varepsilon_{\widehat{S}, \pi(S)}$ – изоморфизм. Теорема доказана.

Первая часть ее следствия непосредственно вытекает из теоремы, а вторая – из того, что $\pi(S)$ – конечная абелева группа.

Замечание. Приведенная выше теорема вносит исправление в теорему 6 из [2]. В последней утверждается, что группа $\operatorname{Pic}(G)$ изоморфна $\pi\bigl(G/{\mathcal R}(G)\bigr)$, где ${\mathcal R}(G)$ – разрешимый радикал группы $G$. Если расширение $1\to {\mathcal R}(G)\to G\to G/{\mathcal R}(G)\to 1$ расщепляется, то группа $G/{\mathcal R}(G)$ изоморфна коммутанту группы $G/{\mathcal R}_u(G)$, так что сформулированное утверждение верно ввиду доказанной выше теоремы. Но в общем случае это не так, что показывает приведенный выше пример: в нем группа $G/{\mathcal R}(G)$ изоморфна $\operatorname{PGL}_n$, а $\pi(\operatorname{PGL}_n)$ изоморфна группе всех корней $n$-й степени из $1$ в поле $k$. Эта последняя группа нетривиальна, если $n$ не является степенью характеристики поля $k$ (однако группа $\operatorname{Pic}(G)$ тривиальна для любого $n$).

Я благодарен Шуай Вану (Shuai Wang), который обратил мое внимание на приведенный пример; это привело к написанию настоящей заметки. Я также признателен С. О. Горчинскому, комментарии которого привели к приведенному выше доказательству леммы и акценту на канонический характер конструкции (первоначальное доказательство леммы в препринте [7] было более геометрическим).

Список литературы

1. A. Borel, Linear algebraic groups, Grad. Texts in Math., 126, 2nd ed., Springer-Verlag, New York, 1991, xii+288 с.  crossref  mathscinet  zmath
2. В. Л. Попов, Изв. АН СССР. Сер. матем., 38:2 (1974), 294–322  mathnet  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
3. И. Р. Шафаревич, Основы алгебраической геометрии, 3-е изд., МЦНМО, М., 2007, 590 с.  crossref  crossref  mathscinet  mathscinet  zmath  zmath
4. Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия, Мир, М., 1981, 600 с.  crossref  mathscinet  mathscinet  zmath  zmath
5. A. Grothendieck, Séminaire C. Chevalley, t. 3, Anneaux de Chow et applications, 2e année, Secrétariat mathématique, Paris, 1958, Exp. № 5, , 29 pp.  mathscinet  zmath
6. В. Л. Попов, Изв. РАН. Сер. матем., 86:5 (2022), 73–96  mathnet  crossref  mathscinet
7. V. L. Popov, Picard group of connected affine algebraic group, 2023, 3 pp., arXiv: 2302.13374v1

Образец цитирования: В. Л. Попов, “Группа Пикара связной аффинной алгебраической группы”, УМН, 78:4(472) (2023), 209–210; Russian Math. Surveys, 78:4 (2023), 794–796
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pop23}
\by В.~Л.~Попов
\paper Группа Пикара связной аффинной алгебраической группы
\jour УМН
\yr 2023
\vol 78
\issue 4(472)
\pages 209--210
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10107}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10107}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4687814}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023RuMaS..78..794P}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2023
\vol 78
\issue 4
\pages 794--796
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10107e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001146060800008}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85185449645}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm10107
  • https://doi.org/10.4213/rm10107
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm/v78/i4/p209
  • Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Успехи математических наук Russian Mathematical Surveys
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:408
    PDF русской версии:19
    PDF английской версии:46
    HTML русской версии:114
    HTML английской версии:134
    Список литературы:83
    Первая страница:19
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024