| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Ренормализация в одномерной динамике А. С. Скрипченкоab a Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики b Сколковский институт науки и технологий
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10110e 
Реферативные базы данных:
     1. ВведениеПерекладывания отрезков – это взаимно однозначное полунепрерывное отображение полуинтервала в себя с конечным числом точек разрыва, которое на каждом из отрезков непрерывности является сдвигом. Такие отображения возникают в теории динамических систем и маломерной топологии в разных контекстах. Так, например, перекладывания отрезков являются отображением первого возвращения на трансверсаль для биллиардного потока в многоугольниках с рациональными углами. Кроме того, перекладывания отрезков тесно связаны с измеримыми слоениями с особенностями, которые определяются замкнутой 1-формой на ориентируемой поверхности: по любому перекладыванию отрезков можно построить ориентируемую поверхность, для которой это перекладывание отрезков будет отображением первого возвращения для заданного направления слоения на некоторый трансверсальный этому направлению интервал, и наоборот – для любого измеримого слоения на ориентируемой поверхности, которое определяется 1-формой, отображение первого возвращения на любую трансверсаль является перекладыванием отрезков. Кроме того, перекладывания отрезков представляют самостоятельный интерес с точки зрения других разделов теории динамических систем: некоторые их классы возникают в символической динамике (например, как модель штурмовых и эпиштурмовых символических последовательностей) или как естественное обобщение поворота окружности в КАМ-теории. Поэтому эргодические свойства перекладываний отрезков, такие как минимальность, эргодичность, вопрос о числе эргодических мер, слабое и сильное перемешивание, задачи разрешимости когомологических уравнений и т. д., а также топологическая и геометрическая интерпретация этих результатов в терминах свойств слоений и пространств модулей играют заметную роль сразу в нескольких разделах математики. Впервые перекладывания отрезков были определены в работах В. И. Арнольда и В. И. Оселедца в шестидесятые годы XX в.; чуть позже А. Каток и А. М. Степин описали связь перекладываний отрезков и биллиардов в рациональных многоугольниках; параллельно развивалось исследование свойств измеримых слоений на поверхностях, введенных У. Тёрстоном. В 1970-е годы были доказаны минимальность типичных перекладываний отрезков (М. Кин) и отсутствие сильного перемешивания (А. Каток). В 1980-е годы усилиями Х. Мазура и У. Вича был достигнут заметный прогресс в понимании эргодических свойств перекладываний отрезков, а именно, было доказано, что типичное перекладывание отрезков является строго эргодичным. При этом вопрос о том, является ли перекладывание отрезков общего вида слабо перемешивающим, оставался открытым до 2007 г., когда ключевые результаты были доказаны в работе А. Авилы и Дж. Форни. К этому же периоду относятся наблюдения о когомологических уравнениях над перекладываниями отрезков, которые были получены Дж. Форни, с одной стороны, и Ж.-К. Йоккозом, С. Марми и П. Мусса – с другой. Впоследствии их работы стали основой для развития теории малых знаменателей и ее связей с КАМ-теорией. Параллельно развивалось исследование связей эргодических и спектральных свойств перекладываний отрезков с геометрией пространств модулей абелевых и квадратичных дифференциалов; в этих исследованиях очень заметную роль играли результаты А. Зорича и М. Л. Концевича о показателях Ляпунова коцикла Концевича–Зорича и их связи с числом связных компонент пространств модулей, теорема А. Авилы и М. Вианы, показывающая, что ляпуновский спектр является простым, и, наконец, работа А. Эскина и М. Мирзахани о классификации действий группы $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$ на пространстве модулей. Ключевым инструментом, который во всех перечисленных работах использовался для изучения эргодических, топологических и даже символических свойств перекладываний отрезков, является применение алгоритма ренормализации, который в этом случае называется индукцией Рози. Один шаг индукции Рози – это преобразование, строящее по исходному отображению другое, которое будет ему эквивалентно с точки зрения поведения орбит, но определено на меньшем носителе; алгоритм ренормализации определяет бесконечную последовательность таких преобразований. Каждый шаг индукции Рози описывается матрицей, с помощью которой длины полученного перекладывания отрезков выражаются через длины исходного; добавление условия сохранения суммы длин отрезков позволяет определить последовательность проективных преобразований. Таким образом, в случае перекладывания отрезков ренормализация может рассматриваться как многомерная цепная дробь. В случае перекладывания двух отрезков это отображение совпадает с отображением Гаусса. Эргодические и комбинаторные свойства алгоритма ренормализации как самостоятельной динамической системы определяют многие важные эргодические свойства исходного перекладывания отрезков. При этом для ряда топологически осмысленных задач возникает необходимость изучения эргодических свойств и характеристик орбит, а также геометрических характеристик пространств модулей не для самих перекладываний отрезков, а для их естественных обобщений – перекладываний отрезков с флипами, линейных инволюций, отображений сдвигов отрезков, систем изометрий и т. д. Эти обобщения значительно менее, чем классические перекладывания отрезков, изучались в литературе. Перекладывания отрезков с флипами были введены А. Ногейрой и изучались впоследствии А. С. Скрипченко и С. Трубецким. Важные результаты о свойствах линейных инволюций, определенных А. Ногейрой и К. Дантони, были получены впоследствии Э. Ланно и К. Буасси, а также Э. Ланно, С. Марми и А. С. Скрипченко. Вклад в исследования отображений сдвигов отрезков внесли Х. Бруйн, С. Трубецкой и Г. Клак, а некоторые новые наблюдения были сделаны М. Артиджани, Ш. Фужероном, А. С. Скрипченко и П. Юбером. Системы изометрий впервые появились в геометрической теории групп – они были описаны в работе Ж. Левитта, Д. Габорьё и Ф. Полана; их связь с задачей С. П. Новикова о плоских сечениях 3-периодических поверхностей была обнаружена И. А. Дынниковым, который впоследствии в совместных работах с А. С. Скрипченко и П. Юбером получил значительные продвижения в понимании эргодических свойств измеримых слоений, ассоциированных с системами изометрий; при этом их результаты значительно используют результаты совместной работы А. Авилы, А. С. Скрипченко и П. Юбера. Во всех этих случаях центральным становится вопрос построения эффективной ренормализации и использования ренормализующего алгоритма для изучения свойств исходных динамических систем. В настоящей работе мы приводим обзор имеющихся результатов, направленных на решение этой задачи, а также их топологических и геометрических приложений и формулируем оставшиеся открытые вопросы. Обзор содержит следующие разделы. В разделе 2 вводятся перекладывания отрезков и формулируются их наиболее важные динамические свойства. Раздел также содержит интерпретацию описанных результатов с точки зрения топологии (измеримые слоения на ориентируемых поверхностях) и геометрии пространств модулей абелевых дифференциалов. В разделе 3 определяются марковские многомерные цепные дроби и обсуждаются их эргодические и спектральные свойства; в этот класс многомерных цепных дробей попадают все использованные в работе алгоритмы ренормализации. Раздел 4 посвящен изучению перекладываний отрезков с флипами и особенностям процесса ренормализации для этих отображений. В разделе 5 обсуждаются слоения на поверхностях, определенные квадратичными дифференциалами, и некоторые свойства динамики ассоциированных с этими слоениями линейных инволюций. Раздел 6 содержит обзор известных результатов о ренормализации и свойствах отображений сдвигов отрезков, а также доказательство ряда новых утверждений об эргодических характеристиках отображений сдвигов отрезков типа Бруйна–Трубецкого. В разделе 7 описаны системы изометрий и двумерные ленточные комплексы с вертикальным слоением на них, приведены два подхода к задаче ренормализации и результаты их использования с точки зрения динамики, топологии и геометрической теории групп. В разделе 8 приведены приложения доказанных в предыдущих разделах результатов к задаче С. П. Новикова об асимптотическом сечении 3-периодических поверхностей. Автор благодарит И. А. Дынникова за внимательное и критическое прочтение первоначальной версии текста и В. М. Бухштабера за внимание к работе. 2. Перекладывания отрезков: определения и ключевые результатыВ этом разделе мы будем рассматривать перестановки из элементов $1,\dots,n$, являющиеся неприводимыми в следующем смысле: для любого $1\leqslant k<n$. Для вектора $\lambda\in\mathbb{R}_{+}^n$ и перестановки $\pi$ перекладывание отрезков $T(x)=T_{\lambda,\pi}(x)$ – это отображение полуинтервала $I=[0,\lambda_1+\cdots+\lambda_n)$ в себя, определенное следующим образом:
$$
\begin{equation}
T(x)=x+\sum_{\pi(j)<\pi(i)} \lambda_j-\sum_{j<i} \lambda_j,
\end{equation}
\tag{1}
$$
если $x\in I_i=\biggl[\,\displaystyle\sum_{j<i} \lambda_j, \displaystyle\sum_{j\leqslant i} \lambda_j\biggr)$. Орбитой точки $x$ под действием отображения $T$ называется множество точек, полученных итерацией отображения $T$ из $x$: Нас будут интересовать топологические и эргодические свойства орбит отображения $T(x)$. Для перекладываний отрезков, заданных неприводимой перестановкой, в работе [43] М. Кин сформулировал достаточное условие минимальности. Определение 2. Пусть $T$ – перекладывание отрезков, заданное неприводимой перестановкой. Будем говорить, что перекладывание отрезков удовлетворяет условию Кина, если любая точка разрыва $T$ имеет бесконечную орбиту и для любых двух точек разрыва $T$ их орбиты не пересекаются. В частности, если длины отрезков непрерывности отображения $T$ рационально несоизмеримы, то условие Кина выполнено. При этом справедливо следующее утверждение. Следствие 2. При фиксированной неприводимой перестановке почти все (по отношению к мере Лебега) наборы длин $\{\lambda_i\}_{i=1}^n$ задают минимальные перекладывания отрезков. Теорему Кина можно рассматривать как естественное обобщение результата о том, что орбиты поворота окружности на иррациональный угол всюду плотны. Определение 3. Отображение $F\colon X\to X$ называется строго эргодичным, если оно допускает единственную вероятностную инвариантную борелевскую меру. В работе [43] была сформулирована гипотеза, которую позже доказали независимо Х. Мазур [55] и У. Вич [69]. Теорема 3 (Мазур, Вич). Почти все (по отношению к мере Лебега) перекладывания отрезков строго эргодичны. Как и в следствии 2, выражение “почти все перекладывания отрезков” здесь означает “для фиксированной неприводимой перестановки и почти всех векторов длин”. При этом заменить “почти все” на “все” нельзя: известны примеры минимальных перекладываний отрезков, допускающих две и более эргодические меры (см., например, [44] или [46]). Более точно, верхняя оценка числа эргодических мер, которые допускает перекладывание $n$ отрезков, приведена в следующем утверждении, которое вытекает из работ А. Катка [41] и У. Вича [69]. Это оценка на род поверхности, для которой отображением первого возвращения вертикального слоения на трансверсаль является данное перекладывание отрезков. Эффективность этой оценки была доказана Е. А. Сатаевым [61] в терминах потоков на поверхностях и Дж. Фикеншером [33] в терминах перекладываний отрезков. В обоих случаях были построены явные примеры перекладываний отрезков или ориентированной поверхности с линейным потоком на ней, допускающие ровно $g$ эргодических мер. Эргодические свойства перекладываний отрезков имеют явную топологическую интерпретацию в терминах свойств измеримых слоений на гладких поверхностях и голоморфных дифференциальных форм на замкнутых римановых поверхностях. Понятие измеримого слоения на поверхности было введено У. Тёрстоном в связи с изучением классов диффеоморфизмов поверхностей и означает наличие слоения, являющегося гладким (класса $\mathcal C^{\infty}$) везде, за исключением конечного числа изолированных точек, которые являются седлами с $k\geqslant 3$ сепаратрисами, при этом слоение снабжено также конечной трансверсальной мерой, которая $\mathcal C^{\infty}$-эквивалентна мере Лебега. Чтобы описать эргодические свойства измеримых слоений на римановых поверхностях, введем несколько обозначений. Пусть $M_{g,b}$ – ориентированная поверхность рода $g$ c $b$ граничными компонентами и
$$
\begin{equation*}
\operatorname{MCG}(M_{g,b})= \operatorname{Diff}^{+}(M_{g,b})/\operatorname{Diff}_0(M_{g,b})
\end{equation*}
\notag
$$
– ее модулярная группа. Пусть $\mathcal{M}\mathcal{F}(M_{g,b})$ – пространство классов эквивалентности измеримых слоений на $M_{g,b}$ (отношение эквивалентности порождается гомотопными тождественному диффеоморфизмами и движениями Уайтхеда). Пусть $\mathcal{P}\mathcal{M}\mathcal{F}(M_{g,b})$ – соответствующее проективное пространство. Известно, что $\mathcal{M}\mathcal{F}(M_{g,b})$ имеет структуру топологического кусочно линейного многообразия (и, более того, множество классов эквивалентности гомеоморфно $\mathbb{R}^{6g-6}\setminus\{0\}$, если $g\geqslant 2$). Тогда мера Лебега задается естественным образом в каждой из карт (подробности можно найти в [32]). В той же работе [55], где была доказана теорема 3, Х. Мазур доказал следующее утверждение. Теорема 5 (Мазур). Действие $\operatorname{MCG}(M_{g,b})$ на $\mathcal{P}\mathcal{M}\mathcal{F}(M_{g,b})$ эргодично (по отношению к мере Лебега), а почти все (по отношению к мере Лебега) измеримые слоения из $\mathcal{M}\mathcal{F}(M_{g,b})$ строго эргодичны. Перемешивающие свойства перекладываний отрезков также хорошо изучены. Определение 4. Отображение $F\colon X\to X$, определенное на вероятностном пространстве $X$ c мерой $\mu$ и $\sigma$-алгеброй $\mathcal{X}$ и сохраняющее $\mu$, называется сильно перемешивающим, если для любых измеримых $A,B \in \mathcal{X}$. Отображение $F$ называется слабо перемешивающим, если для любых измеримых $A,B \in \mathcal{X}$ выполнено соотношение А. Каток доказал, что перекладывания отрезков не могут быть сильно перемешивающим отображением [42]. При этом, как было показано в [9], наличие слабого перемешивания является типичной ситуацией. Теорема 6 (Авила–Форни). Почти все перекладывания отрезков, заданные неприводимой перестановкой, которая не является вращением, – слабо перемешивающие отображения. Еще один аспект изучения перекладываний отрезков – вопрос о разрешимости когомологических уравнений. В теории динамических систем когомологическим уравнением называется уравнение вида где отображения $T\colon X\to X$ и $g\colon X\to \mathbb{R}$ заданы (отображение $T$ чаще всего является биекцией для некоторого множества $X$) и требуется найти, когда уравнение (2) разрешимо для какого-то отображения $f\colon X\to\mathbb{R}$.Когомологические уравнения для перекладываний отрезков были впервые рассмотрены Дж. Форни в контексте изучения линейных потоков на поверхностях высокого рода и преобразований времени для таких потоков [34]. С помощью сложных аналитических инструментов Форни доказал существование решения когомологического уравнения для почти всех направлений линейного потока на заданной поверхности с абелевым дифференциалом. Его результат был несколько уточнен для когомологических уравнений над перекладываниями отрезков С. Марми, П. Мусса и Ж.-К. Йоккозом [53]. Их работа заложила основу для изучения свойства жесткости аффинных перекладываний отрезков и в целом для развития методов КАМ-теории в одномерной динамике (последующие результаты опубликованы в [54]). Речь, в частности, идет об обобщении понятия чисел Рота на перекладывания отрезков. Иррациональное число $\alpha$ называется числом Рота, если для любого $\varepsilon>0$ существует такая положительная константа $C_\varepsilon$, что $|q\alpha-p| \geqslant C_{\varepsilon}q^{1+\varepsilon}$ для всех рациональных $p/q$. Числа Рота допускают несколько эквивалентных определений, в том числе такое: $\alpha$ является числом Рота тогда и только тогда, когда для всех $r,s\in\mathbb{R}$, подчиняющихся условию $r>s+1\geqslant 1$, и для всех функций $\Phi\in\mathcal{C}^r(\mathbb{T})$ на $\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ с нулевым средним $\displaystyle\int_{\mathbb{T}}\Phi\,dx=0$ существует единственная функция $\Psi\in\mathcal{C}^s(\mathbb{T})$ с нулевым средним, для которой выполняется равенство где $R_{\alpha}$ – вращение на окружности $\mathbb T$: $R_{\alpha}(x)=x+\alpha$. Из теоремы Рота известно, что все алгебраические иррациональные числа являются числами Рота; более того, множество чисел Рота имеет полную меру и инвариантно относительно действия модулярной группы $\operatorname{SL}(2,\mathbb Z)$. В работе [56] эта теорема обобщена на случай перекладывания отрезков: определены перекладывания отрезков типа Рота (см. [56; разд. 1.3] и определение 12 в п. 5.3 ниже) и доказаны следующие утверждения. Теорема 7 (Марми–Мусса–Йоккоз). Пусть $T$ – перекладывание отрезков типа Рота, удовлетворяющее условию Кина. Обозначим набор интервалов непрерывности этого отображения через $(I_\alpha)$ и рассмотрим следующие классы функций: Тогда существуют функция $\chi$, постоянная на каждом интервале $I_\alpha$, и ограниченная функция $\Psi$ такие, что Теорема 8 (Марми–Мусса–Йоккоз). Множество параметров, задающих перекладывания отрезков типа Рота, является множеством полной меры (по отношению к мере Лебега). Основной инструмент, который используется в доказательстве всех перечисленных выше результатов, – это алгоритм ренормализации, в случае перекладываний отрезков носящий название индукция Рози. Пусть $T$ – перекладывание отрезков, особые точки которого мы обозначаем $u^{\mathrm{t}}_i$, а особые точки отображения $T^{-1}$ обозначим $u^\mathrm{b}_i$. Рассмотрим крайнюю справа особую точку, отличную от правого конца отрезка-носителя; пусть это точка $u^{\alpha}_n$, где $u^{\alpha}_n$ может совпадать с одной из точек множества $\{u^\mathrm{t}_i\}$ или множества $\{u^\mathrm{b}_i\}$; левый конец отрезка-носителя обозначим через $u_0$, а правый – через $v_0$. Рассмотрим отображение первого возвращения отображения $T$ на интервал $J=[u_0, u^{\alpha}_n)$. Легко видеть, что это отображение тоже является перекладыванием отрезков, причем число отрезков остается неизменным и сохраняется свойство неприводимости. Обозначим это отображение $T'$. Индукция Рози – это динамическая система, определенная на пространстве перекладываний отрезков. В случае перекладываний двух отрезков этот алгоритм ренормализации совпадает с алгоритмом Евклида в следующем смысле: если длины отрезков непрерывности исходного перекладывания отрезков $T$ были равны $(\lambda_A,\lambda_B)$, то после применения одного шага индукции Рози получается перекладывание отрезков с длинами
$$
\begin{equation*}
(\lambda'_A,\lambda'_B)=(\lambda_A-\lambda_B,\lambda_B)\quad (\text{если } \lambda_A>\lambda_B)
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation*}
(\lambda'_A,\lambda'_B)=(\lambda_A,\lambda_B-\lambda_A)\quad (\text{если } \lambda_B>\lambda_A).
\end{equation*}
\notag
$$
Матрицы линейного отображения, задающего преобразования длин, будут такими:
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 0 & \hphantom{-}1 \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{3}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \hphantom{-}1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Добавим ренормализующее условие: $\lambda_A+\lambda_B=1$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
x=\frac{\lambda_B}{\lambda_A}\,, \quad\text{если}\ \ \lambda_B<\lambda_A;\qquad x=\frac{\lambda_A}{\lambda_B}\,,\quad\text{если}\ \ \lambda_A<\lambda_B.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда проективизация описанного выше линейного отображения, т. е. отображение ренормализации, определяется следующим образом:
$$
\begin{equation}
g(x)=\begin{cases} \dfrac{x}{1-x} =: g_1(x), & \text{если}\ 0<x<\dfrac{1}{2}\,, \\ \dfrac{1-x}{x}=g_1(1-x), & \text{если}\ \dfrac{1}{2}<x<1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5}
$$
Чтобы убедиться в этом, достаточно вычислить новые (после применения проективного отображения) длины $\dfrac{\lambda'_A}{\lambda'_A+\lambda'_B}$ и $\dfrac{\lambda'_B}{\lambda'_A+\lambda'_B}$ и найти их отношение. Отображение Гаусса $G(x)=\{1/x\}$ является ускорением этой ренормализации в следующем смысле: где $n$ – наименьшее натуральное число, для которого $g^{n-1}(x)\in[1/2,1)$.Рассмотрим один шаг индукции Рози для перекладывания произвольного числа отрезков: Так как каждое перекладывание отрезов задается перестановкой и вектором длин отрезков, можно считать, что индукция Рози действует на пространстве пар $(\pi,\lambda)$:Таким образом, у действия $\mathcal{R}$ есть две составляющие: комбинаторная (действие на перестановке) и метрическая (действие на векторе длин). А именно, можно проверить, что
$$
\begin{equation}
T'=(\lambda',\pi')=\begin{cases} ((I_a(\pi))^{-1}\lambda, a(\pi)), & \text{если}\ \lambda_{\alpha_0}<\lambda_{\alpha_1}, \\ ((I_b(\pi))^{-1}\lambda, b(\pi)), & \text{если}\ \lambda_{\alpha_0}>\lambda_{\alpha_1}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{6}
$$
где $\alpha_0$ и $\alpha_1$ – символы крайних правых отрезков прообраза и образа перекладывания $T$, а связывающие длины отрезков $T'$ и $T$ матрицы $I_a(\pi),I_b(\pi)\in \operatorname{SL}(n,\mathbb Z)$ определяются следующим образом:
$$
\begin{equation*}
I_a(\pi)=E+E_{\alpha_0,\alpha_1}\quad\text{и}\quad I_b(\pi)=E+E_{\alpha_1,\alpha_0}
\end{equation*}
\notag
$$
($E$ – единичная матрица, а $E_{\alpha,\beta}$ – элементарная матрица, у которой единица стоит на месте $(\alpha,\beta)$). Комбинаторная часть зависит от того, является $u^\alpha_n$ точкой из множества $\{u^\mathrm{t}_i\}$ или из множества $\{u_i^\mathrm{b}\}$ (т. е. какой из крайних справа отрезков оказался длиннее – отрезок исходного разбиения или его образ). Более длинный отрезок, который сохранит свое положение, будет называться победителем, а более короткий, сохраняющий длину, но изменяющий положение в перестановке, будет называться проигравшим. Новые перестановки выглядят так:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a(\pi)&:=\begin{cases} (\pi_0(\alpha), \pi_1(\alpha)), & \text{если}\ |\pi_1|(\alpha) \leqslant \pi_1(\alpha_0), \\ (\pi_0(\alpha),\alpha_1), & \text{если}\ |\pi_1|(\alpha)=\pi_1 (\alpha_0)+1, \\ (\pi_0(\alpha),\pi_1(\alpha)+1) & \text{в остальных случаях}; \end{cases} \\ b(\pi)&:=\begin{cases} (\pi_0(\alpha),\pi_1(\alpha)), & \text{если } \pi_0(\alpha) \leqslant \pi_0( \alpha_1), \\ (\alpha_0,\pi_1(\alpha)), & \text{если } \pi_0(\alpha)=\pi_0 (\alpha_1)+1, \\ (\pi_0(\alpha)+1,\pi_1(\alpha)) & \text{в остальных случаях}. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подробно индукция Рози (которая часто называется индукцией Рози–Вича) и ее роль в доказательстве эргодических свойств перекладываний отрезков описана, например, в [70]. Индукция Рози является представителем класса марковских многомерных цепных дробей (см. раздел 3). Из написанного выше понятно, что комбинаторная составляющая описывается диаграммой Рози – конечным графом, вершинами которого являются все неприводимые перестановки из $n$ элементов, а две вершины $\pi$ и $\pi'$ соединены ребром, если одна из перестановок получается из другой при применении описанного выше алгоритма: Метрическая часть (изменение длин отрезков) описывается линейными преобразованиями, причем длины отрезков отображения $T$ выражаются через длины отрезков отображения $T'$ как линейная комбинация, где все коэффициенты равны нулю или единице:
$$
\begin{equation*}
\lambda=I_a(\pi)\lambda'\quad\text{или}\quad \lambda=I_b(\pi)\lambda'.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае добавления условия ренормализации ($\displaystyle\sum_i \lambda_i=1$) конус длин $\mathbb{R}_{+}^n$ заменяется на конечномерный симплекс, а линейные преобразования заменяются на их проективизацию. При этом индукция Рози может быть не определена для тех перекладываний отрезков, для которых есть рациональные соотношения между длинами и условие Кина не выполнено: применение индукции требует сравнения двух длин разноименных отрезков (и выбор между двумя типами преобразований $a(\pi)$ и $b(\pi)$ возможен, только когда длины сравниваемых отрезков различны). Но в ряде важных топологических и динамических задач возникают семейства перекладываний отрезков, которые условию рациональной независимости длин не удовлетворяют. Например, одним из наиболее известных классов, для которого возникает такая ситуация, является семейство перекладываний отрезков Арну–Рози (подробнее они описаны в разделе 8 и в [3]). Вопрос о том, является ли типичный представитель подобного класса “исключительных” перекладываний отрезков минимальным и каковы его эргодические свойства, в настоящее время остается открытым. Один из возможных подходов к решению этой задачи опирается на топологические аргументы и приведен в работе [30]. Понятно, что нетривиальное целочисленное линейное соотношение между длинами может быть интерпретировано как элемент группы относительных целочисленных гомологий, построенной по рассматриваемому перекладыванию отрезков поверхности, на которой отмечены особые точки слоения. Линейные пространства ограничений, определяемые существующими рациональными соотношениями между длинами отрезков рассматриваемого перекладывания, могут быть разделены на две группы, богатые и бедные пространства, – в зависимости от того, содержат ли они так называемый асимптотический цикл. Определение асимптотического цикла было введено в [62]; его роль для перекладываний отрезков описана в [73] и [74]. В работе [30] доказано, что в случае бедного семейства ограничений и наличия в этом семействе минимального строго эргодичного перекладывания отрезков минимальность и строгая эргодичность являются локально устойчивыми свойствами, а также сформулирована гипотеза о том, что в случае богатого семейства ограничений минимальность не является устойчивым свойством. Помимо перечисленных выше задач, индукция Рози – это очень эффективный инструмент для изучения геометрии пространств модулей абелевых дифференциалов. Так, в работе [47] с помощью комбинаторного анализа компонент связности диаграммы Рози получена классификация связных компонент пространств модулей абелевых дифференциалов, а в [31] получена полная классификация замыканий орбит действия $\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})$ в пространстве модулей. 3. Марковские многомерные цепные дробиМногомерные цепные дроби – это алгоритмы, позволяющие строить одновременные диофантовы приближения рациональными числами компонент заданного иррационального вектора. Все определенные в настоящей работе алгоритмы ренормализации с точки зрения теории чисел являются представителями класса марковских многомерных цепных дробей. Такие алгоритмы, описанные Дж. Лагариасом [48], определяются двумя кусочно непрерывными отображениями: и
$$
\begin{equation*}
A\colon [0,1]^d \to \operatorname{GL}(d+1,\mathbb Z).
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы определить класс марковских многомерных цепных дробей, напомним определение коцикла в динамических системах: для автономной динамической системы c фазовым пространством $X$ и действующей на $X$ группой $T$, которая совпадает с $\mathbb Z$ или $\mathbb R$, коциклом называется отображение $C\colon X\times T\to \mathbb{R}^{n\times n}$, удовлетворяющее двум условиям:
Алгоритмы, которые будут далее рассматриваться, для заданного вектора с действительными компонентами $\theta=(\theta_1,\dots,\theta_d)$ задают последовательность $((d+ 1)\times(d+1))$-матриц, строки которых задают диофантовы приближения к $\theta$. Для произвольного $\theta\in [0,1]^d$ введем обозначение и определим коцикл так что $C^{n}(\theta)=A^{(n)}(\theta)C^{n-1}(\theta)$ (группа $T$ в данном случае совпадает с $\mathbb Z$, а фазовое пространство – с $[0,1]^d$). Будем рассматривать такие коциклы, что строки $C_{i}^{(n)}=(c^{n}_{i,1},\dots,c^{n}_{i,d+1})$ матриц $C$ дают одновременное приближение компонент вектора $\theta$, т. е. выполнено следующее условие: для произвольного $\theta=(\theta_1,\dots,\theta_d)$ при $n\to\infty$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
w^{(n)}_i\to\theta,\quad\text{где}\ \ w^{(n)}_i=\biggl(\frac{c^{(n)}_{i,1}}{c^{(n)}_{i,d+1}}\,,\dots, \frac{c^{(n)}_{i,d}}{c^{(n)}_{i,d+1}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Если это условие (его называют слабой сходимостью алгоритма) выполняется, то пару $(f,A)$ называют марковской многомерной цепной дробью или марковским алгоритмом. Использование такого термина обусловлено тем, что действие алгоритма на $(n+1)$-м шаге полностью определяется значением $\theta^{(n)}=f^{n}(\theta)$ и не зависит от предыдущих шагов. В нашей работе мы рассматриваем специальный подкласс таких алгоритмов – алгоритмы линейного разбиения симплекса. Рассмотрим однородный конус в $\mathbb{R}^{d+1}$:
$$
\begin{equation*}
\mathbb{R}_{++}^{d+1}=\Bigl\{y\in\mathbb{R}^{d+1}\colon y_i\geqslant0,\ y_{d+1}=\max_{i=1,\dots,d}{y_i}\Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Этот конус разбивается на конечное или счетное число однородных подконусов, и для каждого подконуса можно построить однородное линейное отображение $\widehat f$, заданное формулой $\widehat f(x)=\widehat A(x)$ для некоторой $\widehat A\in \operatorname{GL}(d+1,\mathbb{Z})$. Определим Заметим также, что на каждом луче $[y]= \{\lambda(y_1,\dots,y_{d+1})\colon\lambda>0\}$ функция $\widehat f$ определяет точку однородного пространства, которая не зависит от $\lambda$. Поэтому для каждого такого луча достаточно выбрать одного представителя (например, такого, для которого $y_{d+1}=1$), а множество лучей можно отождествить с пространством $[0,1]^{d}$. Тогда по отображению $\widehat f$ строится $f(x)$: и пара $(f,A)$ задает марковский алгоритм (в смысле определения выше).Таким образом, алгоритм линейного разбиения симплекса можно задать следующим образом: зафиксируем $d$-мерный симплекс (пространство параметров) $\Delta=\{x\in\mathbb{R}^{d+1}\colon \|x\|=1\}$ и его разбиение на конечное или счетное число подсимплексов $\Delta_\alpha$. Для каждого $\alpha$ зафиксируем матрицу $A_{\alpha}$ и определим $f\colon \Delta_{\alpha}\subset\Delta$ равенством Для того чтобы алгоритм был марковским, разбиение тоже должно быть марковским, т. е. образом каждого $\Delta_{\alpha}$ при таком отображении должно быть конечное или счетное объединение подсимплексов разбиения.Помимо индукции Рози и классического алгоритма Евклида, алгоритмами линейного разбиения симплексов являются, например, известные алгоритмы Бруна, Селмера, Якоби (cм. [63]). Их эргодические и спектральные свойства активно изучаются в теории диофантовых аппроксимаций и символической динамике, поскольку, с одной стороны, как мы видели выше, такие свойства являются источником сведений о динамике и геометрии той системы, ренормализацией для которой служит рассматриваемый алгоритм, а с другой стороны, оказывается, что именно спектральные свойства соответствующих коциклов отвечают за качество аппроксимации изучаемого алгоритма. Неоднородный (т. е. ренормализованный) алгоритм линейного разбиения симплекса $f(x)$ определяет марковский сдвиг над конечным или счетным алфавитом. Напомним определение. Определение 5. Топологический марковский сдвиг с множеством состояний $\mathcal{S}$ и матрицей переходов $\mathbb{A}=(t_{a,b})_{\mathcal{S}\times\mathcal{S}}$ – это множество Этому сдвигу можно поставить в соответствие граф, который, по аналогии с описанной выше тейхмюллеровой динамикой, мы будем называть диаграммой Рози. Вершины этого графа – это буквы алфавита $\mathcal{S}$, заданного множеством состояний сдвига; две вершины $a$ и $b$ соединены направленным ребром, если существуют $x\in [a]$ и $y \in[b]$, для которых $\sigma(x)=y$. В случае алгоритма линейного разбиения симплекса пространство состояний – это множество номеров конусов $\Delta_\alpha$, на которые разбивается исходный симплекс $\Delta$. Орбита каждой точки $x$ под действием отображения $f$ является бесконечной последовательностью букв алфавита, составленного из элементов пространства состояний, и применение отображения $f$ соответствует сдвигу $\sigma$ на множестве таких последовательностей. Для такого сдвига $\sigma$ можно построить диаграмму Рози. Таким образом, каждому ребру $\gamma_1$ этой диаграммы Рози отвечает матрица $A_{\gamma_1}$ из определения марковского алгоритма цепных дробей $(f,A)$; произвольному пути $\gamma$ на диаграмме ставится в соответствие матрица $A_{\gamma}$, полученная как произведение матриц, отвечающих входящим в путь $\gamma$ ребрам: если $\gamma=\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_n$, где $\gamma_i$ – ребро, которому отвечает матрица $A_{\gamma_i}$, то $A_{\gamma}=A_{\gamma_1}A_{\gamma_2}\cdots A_{\gamma_n}$. Определение 6. Путь на диаграмме Рози называется положительным, если соответствующая ему матрица $A_{\gamma}$ содержит только положительные элементы. Определение 7. Путь на диаграмме Рози называется петлей, если он начинается и заканчивается в одной и той же вершине диаграммы Рози. Зафиксируем матрицу $A_{\gamma}$, отвечающую пути $\gamma$. Рассмотрим такое подмножество $\Delta_\gamma\subset\Delta$, что $f(\Delta_\gamma)=\Delta$, где
$$
\begin{equation*}
f(x)=\frac{A_{\gamma}^{-1}x}{\|A_{\gamma}^{-1}x\|}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда это множество $\Delta_\gamma$ в точности совпадает с множеством точек, символическое описание которых начинается с $\gamma$. Более того, если матрица $A_{\gamma}$ имеет только строго положительные элементы, то отвечающий ей подсимплекс $\Delta_\gamma$ компактно содержится в пространстве параметров $\Delta$. Это позволяет определить специальное ускорение алгоритма. Идея состоит в том, что для эргодичного алгоритма можно рассмотреть отображение первого возвращения в подсимплекс положительной меры, который компактно вложен в исходное пространство параметров. При этом, по теореме Пуанкаре о возвращении, возвращаться будут, возможно, не все, но почти все орбиты. Такое отображение первого возвращения мы называем специальным ускорением алгоритма. Для произвольного $\mathcal C^1$-отображения $T\colon X \to Y$ будем обозначать $d_x T$ его дифференциал в точке $x \in X$. Следующее определение взято из [13]. Определение 8. Проективно-расширяющим называется отображение где $\Delta_{*}$ – симплекс, компактно вложенный в пространство параметров и соответствующий пути $\gamma_{*}$ на диаграмме Рози, а $\{\Delta^{(l)}\}$ – его конечное или счетное разбиение на симплексы, которые не пересекаются между собой и покрывают почти весь $\Delta_{*}$, если выполнено такое условие: $T^{l}=T\colon \Delta^{(l)}\to\Delta_{*}$ – биекция, для которой обратное отображение является проективным сжатием. Замечание 2. Очевидно, что специальное ускорение любого эргодичного алгоритма линейного разбиения симплекса является проективно-расширяющим отображением. Проективно-расширяющее отображение $T$ называется сильно расширяющим (термин взят из [9]), если выполнено следующее условие: существует $k >1$ такое, что якобиан отображения $T$ удовлетворяет для всех $x \in \Delta_*$ условию $\|d_x T\|_\infty \geqslant k$. Сильно расширяющие марковские отображения активно изучались в эргодической теории (см., например, [1]). Совместно с Ш. Фужероном мы доказали в [36] следующее утверждение, которое оказывается очень полезным в ряде конкретных примеров. Предложение 9 (Фужерон–Скрипченко). Любое специальное ускорение марковского алгоритма линейного разбиения симплекса является сильно расширяющим. При этом известно, что для любого равномерно расширяющего отображения существует единственная абсолютно непрерывная мера, которая является эргодической и, более того, перемешивающей. Фужерон в [35] предложил эффективный критерий, позволяющий доказать строгую эргодичность широкого класса таких алгоритмов, опираясь на их комбинаторное описание. Центральным в этом критерии являются понятия симплициальной системы и быстро сбегающей системы. Первое означает наличие диаграммы Рози и ассоциированной с ней марковской многомерной цепной дроби, второе является комбинаторным выражением свойства ограниченного искажения. Свойство ограниченного искажения было введено С. Керкгофом в [45] в связи с альтернативным доказательством строгой эргодичности типичных перекладываний отрезков. Неформально говоря, речь идет о следующем свойстве. При применении индукции Рози нормы столбцов, отвечающих проигравшим, растут, а нормы остальных столбцов не меняются. Поэтому если и победители, и проигравшие меняются регулярно, то матрица индукции после достаточного числа итераций является сбалансированной, т. е. отношение норм любых двух ее столбцов ограничено не зависящей от числа шагов индукции константой. А вот если победителем или проигравшим долгое время является один и тот же отрезок, свойство сбалансированности не выполняется. Но мера того подмножества пространства параметров, для точек которого матрицы индукции после значительного числа итераций остаются несбалансированными, незначительна и может быть эффективно оценена. В дальнейшем ограниченное искажение применительно к перекладываниям отрезков было подробно изучено в работе А. Авилы, С. Гезеля и Ж.-К. Йоккоза [10]. Их оценки являются более точными, чем оценки Керкгофа, и используются для того, чтобы доказать существование экспоненциального хвоста у функции крыши, которая применяется при построении специального потока (в их случае – потока Вича) над перекладываниями отрезков (определения специального потока и функции крыши приведены в разделе 7). Впоследствии их подход был успешно применен в работе [12] к системам изометрий и их ренормализации. В работе Ш. Фужерона показано, что аналогичные конструкции могут быть перенесены на широкий класс многомерных цепных дробей. А именно, в [35] сформулированы комбинаторные условия, гарантирующие выполнение свойства ограниченного искажения для марковских алгоритмов многомерных цепных дробей. Классические инструменты эргодической теории марковских отображений позволяют в этом случае доказать эргодичность, а использование методов термодинамического формализма – построить инвариантную эргодическую меру для рассматриваемых алгоритмов. Спектральные свойства марковских многомерных цепных дробей менее изучены по сравнению с эргодическими. Используя мультипликативную эргодическую теорему, для каждого алгоритма можно определить показатели Ляпунова. Спектр марковских алгоритмов определяется как множество показателей Ляпунова соответствующего коцикла. Спектр называется простым, если все показатели Ляпунова различны. Спектр удовлетворяет свойству Пизо, если один из показателей Ляпунова строго положителен, а остальные меньше нуля. В работе [36] был предложен простой алгоритм, позволяющий проверить простоту спектра. Его обоснование опирается на идеи, которые использовали А. Авила и М. Виана [13] для доказательства простоты спектра коцикла Концевича–Зорича, и Галуа-версию критерия Авилы–Вианы, которую для перекладываний отрезков доказали Ж.-К. Йоккоз, К. Матеус и М. Мёллер [56]. Инструменты, введенные нами для абстрактных многомерных цепных дробей, используются при изучении одномерных отображений в разделах 4 и 8. 4. Перекладывания отрезков с флипамиПерекладывания отрезков с флипами являются естественным обобщением перекладываний отрезков. Неформально перекладывание отрезков с флипами задается конечным разбиением полуинтервала $I$ действительной оси на подынтервалы $I_{\alpha}$ и кусочно непрерывным отображением $f$ из $\bigcup\limits_{\alpha \in \mathcal{A}} \operatorname{int} (I_{\alpha})$ в $I$, которое устроено следующим образом: $f$ является изометрией на каждом из $I_{\alpha}$, так что образы подынтервалов разбиения $\{I_{\alpha}\}$ не пересекаются по внутренним точкам, при этом $f$ обращает ориентацию хотя бы одного из отрезков разбиения $\{I_{\alpha}\}$. Заметим, что из-за требования обращения ориентации даже доопределение $f$ в левых концах не позволит автоматически получить биекцию $I \to I$. Определение 9. Перекладывание отрезков с флипами называется минимальным, если любая его бесконечная орбита всюду плотна. Замечание 3. Перекладывания отрезков минимальны в более сильном смысле – у них плотны орбиты, взятые в обоих направлениях (прошлого и будущего). Для перекладываний отрезков c флипами не все орбиты продолжаются в обоих направлениях, поэтому мы рассматриваем только орбиты, которые продолжаются в будущее. Топологическая мотивация для изучения перекладываний отрезков с флипами связана с тем, что они возникают как отображения первого возвращения на трансверсаль для измеримых слоений на неориентируемой поверхности; при этом слои соответствующего слоения могут быть ориентируемы, но не коориентируемы. Более строгое определение выглядит следующим образом. Рассмотрим интервал $I=[0,1)$ и его разбиение на подынтервалы $I_\alpha$, которые мы будем помечать буквами некоторого алфавита $\mathcal{A}$. Обозначим длину каждого отрезка разбиения $I_\alpha$ через $\lambda_\alpha$ и определим вектор $\lambda=(\lambda_{\alpha})_{\alpha \in \mathcal{A}}$ (каждая компонента $\lambda_\alpha$ строго положительна). Введем пару отображений, которую мы назовем обобщенной перестановкой где $\pi_0\colon \mathcal{A}\to \{1,\dots,n\}$ – биекция и $\pi_1\colon \mathcal{A}\to \{-n,\dots,-1,1,\dots,n\}$ – такое отображение, что его модуль $|\pi_1|$ является биекцией. Пара отображений $\pi_0$, $|\pi_1|$ описывает порядок следования интервалов $I_\alpha$ до и после применения отображения. Отображение $\pi_1$ можно рассматривать как перестановку, дополнительно снабжающую все элементы знаками (т. е. перестановка выглядит как $\theta|\pi_1|$, где $\theta\in\{-1,1\}^{n})$. Эта перестановка хранит информацию о тех интервалах, ориентация которых была обращена (они определяются условиями $\theta_\alpha=-1$). Множество мы будем называть множеством флипов. Определение 10. Перекладывание отрезков с флипами, заданное $(\widehat \pi,\lambda)$, – это следующее отображение: Типичное поведение орбит перекладываний отрезков с флипами полностью противоположно устройству орбит классических перекладываний отрезков [57]. Теорема 10 (Ногейра). Для фиксированной перестановки почти все (по отношению к заданной на пространстве параметров мере Лебега) перекладывания отрезков с флипами имеют конечную орбиту. Таким образом, множество параметров, задающих минимальное перекладывание отрезков с флипами (мы обозначим это множество через $\operatorname{MF}(n)$), имеет нулевую меру Лебега. В работе [66] мы уточнили этот результат. Теорема 11 (Скрипченко–Трубецкой). Выполнены следующие оценки на хаусдорфову размерность множества $\operatorname{MF}(n)$: Следствием этого наблюдения является нижняя оценка на хаусдорфову размерность множества нестрого эргодичных минимальных перекладываний отрезков с флипами, которое мы обозначим $\operatorname{NUE}(n)$. Теорема 12 (Скрипченко–Трубецкой). Выполнены следующие оценки на хаусдорфову размерность множества $\operatorname{NUE}(n)$: Главный инструмент доказательства этих утверждений (как и в случае теоремы 10) – это алгоритм ренормализации, который, по аналогии с перекладываниями отрезков, носит название индукции Рози. Подробно индукция Рози для случая перекладываний отрезков с флипами описана в [40]. Как и в случае перекладываний отрезков, один шаг индукции является отображением первого возвращения на подотрезок отрезка-носителя; матрицы, отвечающие за изменения длин отрезков, полностью аналогичны классической индукции Рози, а вот комбинаторная часть отличается, так как в случае наличия флипов индукция, примененная к заданному неприводимой перестановкой отображению, может дать отображение, перестановка которого приводима. В таком случае индукция Рози останавливается. Соответственно, для доказательства теоремы 11 необходимо оценить хаусдорфову размерность множества параметров, для которого индукция никогда не останавливается. Стратегия доказательства теоремы 11 во многом совпадает с описанной в разделе 3 в связи с критерием Фужерона. Аналогичное утверждение также доказывается в разделе 7 в связи с теоремой 24. Доказательство разбивается на следующие этапы: 1) описание марковского сдвига, отвечающего отображению ренормализации и ассоциированному с ним специальному потоку (это понятие определено в разделе 7); 2) проверка выполнения свойства ограниченного искажения; 3) определение функции крыши как времени первого возвращения в подсимплекс и проверка утверждения о наличии экспоненциального хвоста у функции крыши; функция $f$, определенная на симплексе $\Delta$, имеет экспоненциальный хвост, если для некоторого $\sigma>0$ выполнено условие $\displaystyle\int_{\Delta}e^{\sigma f}\,d\operatorname{Leb}<\infty$; 4) доказательство утверждения о том, что соответствующий марковский сдвиг является быстро распадающимся (прямое следствие экспоненциального хвоста у функции крыши); марковское отображение $T\colon \Delta\to\Delta$, которому отвечает марковское разбиение $\Delta^{(l)}$, называется быстро распадающимся, если существуют такие $C_1>0$ и $\alpha_1>0$, что $\displaystyle\sum_{\mu(\Delta^{(l)})\leqslant \varepsilon}\mu(\Delta^{(l)})\leqslant C_1\varepsilon^{\alpha_1}$ для произвольного $1>\varepsilon>0$; 5) оценка сверху хаусдорфовой размерности исключительного множества, которая опирается на свойство быстрого распада (доказательство этой части дословно повторяет результат Авилы–Делакруа [8]); 6) для доказательства оценки снизу мы явно строим семейство минимальных перекладываний отрезков с флипами и оцениваем хаусдорфову размерность этого семейства. Задача построения меры, инвариантной относительно описанной выше ренормализации – индукции Рози, с носителем $\operatorname{MF}(n)$ в настоящее время решена только для четырех отрезков. Основным препятствием для применения предложенного в работе [12] подхода (обобщенного позже в [35]), использующего термодинамический формализм для счетных марковских сдвигов (см. раздел 7), является сложная комбинаторная структура соответствующей диаграммы Рози. А именно, для перекладываний отрезков с флипами не выполняется условие о том, что у каждой вершины диаграммы Рози число входящих в нее ребер равно числу исходящих. Соответственно, затруднена проверка гипотезы о том, что соответствующий марковский сдвиг является топологически транзитивным (более того, это свойство может выполняться только асимптотически для пяти и более отрезков). Тем не менее верна следующая теорема. Теорема 13. Пусть $\mu$ – эргодическая мера, носителем которой является $\operatorname{MF}(n)$, и пусть $\mu$ инвариантна относительно индукции Рози. Тогда почти все (по отношению к $\mu$) минимальные перекладывания отрезков с флипами строго эргодичны. С учетом наличия алгоритма ренормализации, который является марковской многомерной цепной дробью, эта теорема оказывается следствием предложения 9. Альтернативный способ ее доказательства опирается на инструменты символической динамики – легко проверить, что перекладывания отрезков с флипами, как и классические перекладывания отрезков, имеют линейную комбинаторную сложность и удовлетворяют критерию Бошерницана [16]. Отметим, что теорема 13 верна при условии существования меры $\mu$, которое, вообще говоря, не доказано. Примеры минимальных перекладываний отрезков с флипами, допускающих две и более инвариантных мер, известны (см. [51], [66]). Также известно, что число инвариантных мер не превышает числа отрезков (этот результат следует из [19]). Символический подход к изучению перекладываний отрезков с флипами позволяет существенно улучшить эту оценку: используя критерий из [20], опирающийся на оценку сложности и числа биспециальных слов в комбинаторном представлении рассматриваемой динамической системы, можно показать, что число инвариантных мер не превышает $[n/2]$, где $n$ – число отрезков непрерывности отображения. При этом вопрос об эффективности этой оценки остается открытым. 5. Линейные инволюции и квадратичные дифференциалы5.1. Определение линейных инволюций и их свойстваЛинейные инволюции возникают как отображения первого возвращения на трансверсаль для слоев слоения на римановой поверхности, которое определяется не абелевым (как в случае перекладываний отрезков), а квадратичным дифференциалом. Определение 11. Пусть $\widehat X=X\times \{0,1\}$ – две непересекающиеся копии открытого интервала $X$. Линейная инволюция $T$ на $\widehat X$ – это отображение такое, что: (a) $T'$ – это гладкая инволюция без неподвижных точек, определенная на $\widehat{X}\setminus \Sigma$, где $\Sigma$ – конечное подмножество множества $\widehat{X}$; (b) если $(x,\varepsilon)$ и $T(x,\varepsilon)$ принадлежат одной и той же связной компоненте множества $\widehat X$, то производная $T'$ в $(x,\varepsilon)$ равна $-1$, а в противном случае она равна $1$; (c) $f$ – инволюция $(x,\varepsilon)\mapsto(x,1-\varepsilon)$. Заметим, что если $G$ – это перекладывание отрезков на $X$, то $G$ (или, точнее, две его копии) можно рассматривать как линейную инволюцию $T$ на $\widehat X$:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} T(x,0)=(G(x),0), \\ T(x,1)=(G^{-1}(x),1), \end{cases} \qquad x\in X.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Впервые линейные инволюции были определены в работе К. Дантони и А. Ногейры [21]; там же был описан алгоритм ренормализации для линейных инволюций, который, как и в случае перекладываний отрезков, называется индукцией Рози или индукцией Рози–Вича. При этом было показано, что при наличии флипа (обращения ориентации на одном из отрезков непрерывности) почти все линейные инволюции имеют периодическую орбиту, в то время как почти все линейные инволюции без флипа строго эргодичны. Линейные инволюции определяются набором комбинаторных данных (которые записываются в виде обобщенной перестановки) и непрерывных данных – длин отрезков. Обобщенной перестановкой типа $(l,m)$ в данном случае называется “2-в-1”-отображение $\pi\colon\{1,\dots,2d\}\to\mathcal{A}$ (здесь $d$ – число отрезков непрерывности, а $\mathcal{A}$ – алфавит). При этом так определенный класс линейных инволюций шире, чем множество отображений, возникающих как отображение первого возвращения для некоторого определенного квадратичным дифференциалом слоения. Обобщенная перестановка называется неприводимой, если существует ассоциированная с этой перестановкой линейная инволюция, которая представляет собой некоторое сечение вертикального слоения на римановой поверхности, определенного каким-то квадратичным дифференциалом. Обобщенная перестановка называется динамически неприводимой, если существует минимальная линейная инволюция, ассоциированная с этой перестановкой. Эти определения были введены в работе К. Буасси и Э. Ланно [15]. В той же работе приведена комбинаторная интерпретация этого понятия неприводимости (оно отличается от аналогичного понятия для классических перекладываний отрезков), изучена связь компонент связности диаграмм Рози, ассоциированных с неприводимыми перестановками, и числа компонент связности пространств модулей квадратичных дифференциалов, а также доказано, что почти все линейные инволюции, определяемые динамически неприводимыми перестановками, являются минимальными, при этом достаточным условием для минимальности является прямой аналог условия Кина. 5.2. Когомологические уравнения и линейные инволюцииМы обобщаем описанные выше результаты Марми–Мусса–Йоккоза о решении когомологических уравнений над перекладываниями отрезков на случай неприводимых линейных инволюций. Для этого сначала мы определяем линейные инволюции типа Рота и доказываем утверждение о разрешимости когомологического уравнения над ними, а потом проверяем, что условие Рота выполнено почти всегда. Определение линейных инволюций типа Рота приведено ниже (см. п. 5.3). Будем рассматривать функции, определенные на $\widehat X$. Пусть $\widehat{\operatorname{BV}}{}_{*}^1\bigl(\,\bigsqcup A_\alpha\bigr)$ – множество функций $\widehat\Phi$ класса $\mathcal C^1$, определенных на каждом отрезке непрерывности, у которых производная имеет ограниченную вариацию, а интеграл по области определения равен нулю. В работе [49] доказаны следующие утверждения. Теорема 14 (Ланно–Марми–Скрипченко). Пусть $T$ – минимальная линейная инволюция типа Рота. Тогда для любого $\widehat\Phi\in \widehat{\operatorname{BV}}{}_{*}^1\bigl(\,\bigsqcup A_\alpha\bigr)$ существуют функция $\chi$, постоянная на каждом $A_\alpha$, и ограниченная функция $\Psi$ на $\widehat X$ такие, что Теорема 15 (Ланно–Марми–Скрипченко). Линейные инволюции типа Рота составляют подмножество полной меры в множестве всех неприводимых линейных инволюций. 5.3. Линейные инволюции типа РотаОпределение отображений типа Рота для случая неприводимых инволюций почти совпадает с аналогичным понятием для перекладываний отрезков. В обоих случаях речь идет о выполнении следующих трех ключевых свойств, описывать которые удобно в терминах матриц индукции Рози–Вича: условие на скорость роста, наличие спектральной дыры и когерентность. Для их формального определения нужно рассмотреть ускорение индукции Рози, которое в случае перекладываний отрезков впервые предложил А. Зорич. Ускорение построено по принципу быстрого алгоритма Евклида и состоит в том, что все последовательные итерации алгоритма, для которых победителем является один и тот же отрезок, должны быть объединены в один шаг ускоренной индукции (полученное отображение для случая двух отрезков будет совпадать с отображением Гаусса). Такое ускорение называется индукцией Зорича. Как и для стандартной индукции Рози, результатом применения одного шага индукции Зорича к перекладыванию отрезков является новое перекладывание отрезков, длины отрезков которого выражаются через длины отрезков исходного перекладывания с помощью линейного преобразования. Матрица этого преобразования является произведением последовательности элементарных матриц, каждая из которых описывает изменения длин отрезков при соответствующем шаге индукции Рози. При этом специальное ускорение, описанное в разделе 3, является ускорением индукции Зорича. Рассмотрим ускорение индукции такое, что в один ее шаг объединены все шаги индукции Рози, в которых победителями становятся все отрезки, кроме одного (т. е. множество победителей имеет мощность $d-1$). Отвечающую этому ускорению матрицу (являющуюся произведением элементарных, которые соответствуют каждому из входящих в соответствующий путь на диаграмме Рози ребер) обозначим $Z(k)$. Линейную инволюцию, полученную из $T$ применением этого ускорения, обозначим $T^{(k)}$. Кроме того, для $k<l$ введем обозначения
$$
\begin{equation*}
Q(k,l)=Z(k)\cdots Z(l) \quad \text{и}\quad Q(k)=Q(0,k).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы можем дать формальное описание трех упомянутых выше ключевых свойств. (a) Условие на скорость роста: для каждого $\varepsilon>0$ существует $C_{\varepsilon}>0$ такое, что для всех $k\geqslant0$ мы имеем
$$
\begin{equation}
\|Z(k+1)\|\leqslant C_{\varepsilon}\|Q(k)\|^{\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Это условие по сути является условием ограниченного искажения для специального ускорения индукции Рози. (b) Спектральная дыра. Второе условие – это спектральное условие, которое вводится для того, чтобы гарантировать строгую эргодичность для линейных инволюций. Формально оно выглядит так: пусть задана неприводимая линейная инволюция; для каждого $k\geqslant 0$ обозначим через $\Gamma^{(k)}$ пространство функций, постоянных на каждом интервале непрерывности линейной инволюции $T^{(k)}$, которая получается из исходной инволюции $T$ применением ускорения индукции, описанного перед условием (a). Для $0\leqslant k\leqslant l$ пусть $S(k,l)$ обозначает линейное отображение из $\Gamma^{(k)}$ в $\Gamma^{(l)}$, матрица которого в каноническом базисе совпадает с $(Q(k,l))^\top$; при этом будем писать $S(k)$ вместо $S(0,k)$. Как уже упоминалось выше, линейные инволюции кодируются обобщенными перестановками: каждая обобщенная перестановка содержит буквы некоторого алфавита и каждая буква встречается в перестановке дважды. Обозначим алфавит через $\mathcal{A}$, а его удвоенную копию через $\widehat{\mathcal{A}}$. Для $\phi=(\phi_\alpha)_{\alpha\in\widehat{\mathcal{A}}}\in\Gamma^{(k)}$ определим
$$
\begin{equation*}
I_k(\phi)= \sum_{\alpha\in\widehat{\mathcal{A}}}\lambda_\alpha^{(k)}\phi_\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда Через $\Gamma^{(k)}_*$ обозначим ядро линейной формы $I_k$. Условие спектральной дыры состоит в следующем: существуют $\theta >0$ и $C>0$ такие, что для всех $k\geqslant 0$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
\bigl\|S(k)|_{\Gamma^{(0)}_*}\bigr\|\leqslant C\|S(k)\|^{1-\theta}=C\|Q(k)\|^{1-\theta}.
\end{equation*}
\notag
$$
(c) Когерентность. Третье условие тоже определяется с помощью операторов $S(k,l)\colon \Gamma^{(k)}\to\Gamma^{(l)}$. Пусть $\Gamma^{(k)}_{\rm s}$ – линейное подпространство пространства $\Gamma^{(k)}$, элементы $v$ которого удовлетворяют следующему условию: существуют $\sigma=\sigma(v)>0$ и $C=C(v)>0$ такие, что для всех $l\geqslant k$ мы имеем Мы будем называть $\Gamma^{(k)}_{\rm s}$ стабильным подпространством пространства $\Gamma^{(k)}$. Тогда оператор $S(k,l)$ отображает $\Gamma^{(k)}_{\rm s}$ на $\Gamma^{(l)}_{\rm s}$. Поэтому можно определить отображение
$$
\begin{equation*}
S_{(k,l)}\colon\Gamma^{(k)}/\Gamma^{(k)}_{\rm s}\to \Gamma^{(l)}/\Gamma^{(l)}_{\rm s}.
\end{equation*}
\notag
$$
Наше условие (c) означает, что норма обратного к $S_{(k,l)}$ отображения не слишком велика: для любого $\varepsilon >0$ существует $C_\varepsilon >0$ такое, что для всех $l\geqslant k$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \| [S_{(k,l)}]^{-1}\| &\leqslant C_\varepsilon\| Q(l)\|^\varepsilon, \\ \bigl\|S(k,l)|_{\Gamma^{(k)}_{\rm s}}\bigr\| &\leqslant C_\varepsilon\|Q(l)\|^\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 12. Линейная инволюция $T$ называется инволюцией типа Рота, если $T$ и $T^{-1}$ удовлетворяют условиям (a)–(c). Утверждение теоремы 15 следует из анализа спектральных свойств линейных инволюций (применения мультипликативной эргодической теоремы, простоты ляпуновского спектра и выполнения свойств ограниченного искажения). 6. Отображения сдвигов отрезков6.1. Определения и известные ранее результатыОпределение 13. Рассмотрим кусочно линейное отображение $R$, определенное на полуоткрытом интервале $I \subset \mathbb{R}$ и принимающее значения в $I$. Такое отображение $R$ называется отображением сдвигов отрезка на $n$ отрезках, если $I$ имеет $n$ максимальных полуоткрытых отрезков непрерывности, ограничение $R$ на каждый из которых является сдвигом. Концы этих отрезков называются особыми точками отображения, концы отрезка-носителя являются образами особых точек. Отображения сдвигов отрезков задаются конечным набором параметров: для каждого отрезка достаточно знать его длину и сдвиг. Отображения сдвигов отрезков были введены в работе [17] как обобщение перекладываний отрезков. Основное отличие их от перекладываний отрезков – отсутствие требования, чтобы образы отрезков непрерывности задавали разбиение отрезка-носителя; в случае отображения сдвигов отрезков они могут пересекаться. В той же работе введена терминология для двух различных классов отображений сдвигов отрезков: отображения бывают конечного и бесконечного типа в зависимости от устройства аттрактора отображения. Определение 14. Пусть задано отображение сдвигов отрезков $R$; определим последовательность Если существует $n\in\mathbb{N}$, для которого последовательность $\Omega_n$ стабилизируется: то отображение сдвигов отрезков $R$ – конечного типа. Если же такого $n$ не существует, то отображение $R$ – бесконечного типа. Замечание 4. Если $R$ – отображение бесконечного типа, то $\overline\Omega$ – замыкание множества $\Omega=\lim_{n\to\infty}\Omega_n$ – является канторовским множеством. Замечание 5. Первый пример отображения бесконечного типа приведен в работе [17]. Динамика отображений бесконечного типа отличается от перекладываний отрезков. Гипотеза 1 (Бошерницан–Корнфельд). Множество параметров, задающих отображения сдвигов $n\geqslant3$ отрезков бесконечного типа, имеет нулевую меру Лебега в $n$-мерном симплексе. Эта гипотеза в настоящий момент доказана только для очень ограниченного набора семейств отображений сдвигов отрезков: двойных вращений и отображений на трех отрезках. Подробный разбор этих случаев приведен ниже. 6.2. Отображения сдвигов отрезков типа Бруйна–ТрубецкогоПервое семейство отображений сдвигов отрезков, для которого удалось доказать гипотезу 1, было описано Х. Бруйном и С. Трубецким в [18]. Семейство определяется следующим образом: пусть
$$
\begin{equation*}
U:=\{(\alpha,\beta)\colon 0\leqslant\beta\leqslant\alpha\leqslant1\},\qquad L:=\{(\alpha,\beta)\colon 0\leqslant\alpha\leqslant\beta+1\leqslant1\},
\end{equation*}
\notag
$$
тогда для любой внутренней точки $(\alpha,\beta)\in U$ мы определяем
$$
\begin{equation}
R_{\alpha,\beta}(x)=\begin{cases} x+\alpha, & \text{если}\ x\in[0,1-\alpha], \\ x+\beta, & \text{если}\ x\in[1-\alpha,1-\beta], \\ x+\beta-1, & \text{если}\ x\in[1-\beta,1), \end{cases}
\end{equation}
\tag{9}
$$
в случае множества $L$ отображение определяется симметрично. Легко видеть, что $R(x)=R_{\alpha,\beta}(x)\colon [0,1)\to[0,1)$ – это отображение сдвигов отрезков. Если мы склеим точки 0 и 1, то получим описываемое в следующем п. 6.3 отображение – двойное вращение. Пример Бошерницана–Корнфельда, упомянутый выше, как раз принадлежит к семейству Бруйна–Трубецкого. Будем говорить, что пара $(\alpha,\beta)$ задает отображение $R_{\alpha,\beta}$. В работе [18] Бруйн и Трубецкой доказывают гипотезу 1, а также показывают, что в данном семействе множество $B$ параметров, задающих строго эргодичные отображения сдвигов отрезков, является плотным $G_\delta$-подмножеством множества параметров $A$, задающих отображения бесконечного типа. Мы доказываем следующее обобщение их результата. Теорема 16. Пусть, как и выше, $A$ – множество пар $(\alpha,\beta)$ таких, что заданное парой $(\alpha,\beta)$ отображение $R_{\alpha,\beta}$ является отображением сдвигов отрезков бесконечного типа, а $B\subset A$ – множество пар $(\alpha,\beta)$, для которых $R_{\alpha,\beta}$ является строго эргодичным отображением сдвигов отрезков бесконечного типа. Тогда существует определенная на множестве пар $(\alpha,\beta)$ вероятностная мера $\mu$, носителем которой является множество $A$, и множество $B$ по отношению к мере $\mu$ является подмножеством полной меры. Бруйн и Трубецкой доказали свою теорему, построив ренормализацию (они назвали ее отображением Гаусса), позволившую им получить символическое представление заданной отображениями сдвигов отрезков динамической системы в терминах подстановок. Стратегия доказательства теоремы 16 также основана на применении метода ренормализации, но алгоритм, который мы используем, на самом деле является алгоритмом ренормализации для систем изометрий (см. раздел 7) и может рассматриваться как марковская многомерная цепная дробь. Как уже отмечалось выше, для таких алгоритмов Ш. Фужерон доказал комбинаторный критерий строгой эргодичности. Доказательство теоремы 16 опирается на применение этого критерия. Доказательство теоремы 16. Опишем алгоритм ренормализации (будем обозначать соответствующее ренормализации линейное преобразование через $\mathcal R$). Начнем с введения новых обозначений, чтобы сделать нашу систему более однородной. А именно: если $\alpha>\beta$, обозначим
Тогда $a+b+c=1$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R([0,a))&=[1-a,1), \\ R([a,a+b))&=[1-b,1), \\ R([a+b,1)&=[0,c). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Будем называть $a$-отрезком ту пару, длина которой в начальный момент времени равна $a$; аналогично определяются $b$-отрезки и $c$-отрезки. Будем рассматривать только случай общего положения, когда $a$, $b$ и $c$ рационально независимы. Возможны следующие три случая. Случай 1: $a>b+c$. Рассмотрим отображение первого возвращения на отрезок $[b+c,1)$. Индуцированное отображение будет отображением сдвигов отрезков типа Бруйна–Трубецкого со следующими длинами отрезков: Легко видеть, что матрица этого отображения совпадает с матрицей алгоритма ренормализации для специальных систем изометрий, о которых речь пойдет в п. 7.2.При этом преобразование отображения сдвигов отрезков, которое мы применили, можно интерпретировать следующим образом: пара отрезков длины $b$ не претерпевает никаких изменений (не сдвигается с места и не укорачивается), один из отрезков длины $c$ перемещается, при этом длина этой пары тоже не меняется, а вот отрезки длины $a$ не меняют своего положения, но укорачиваются. Случай 2: $c<a<b+c$. В этом случае отображение сводится к сдвигу двух отрезков и, следовательно, всегда является отображением конечного типа. В этом случае индукция останавливается. Случай 3: $a<c$. Рассмотрим отображение первого возвращения на отрезок $[a,1)$. В результате получается отображение сдвигов отрезков со следующими параметрами:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R([0,b))&=[1-b,1); \\ R([b,a+b))&=[1-a,1); \\ R([a+b,1-a))&=[0,c-a). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае геометрическая интерпретация такого преобразования отображения сдвигов отрезков следующая: отрезки длины $b$ снова не меняют ни длины, ни положения, отрезки длины $c$ укорачиваются, а один из отрезков длины $a$ перемещается. Таким образом, задано разбиение исходного симплекса длин $\Delta$ на три части, каждая из которых является симплексом (будем обозначать их $\Delta_1$, $\Delta_2$, $\Delta_3$). Проективизация отображения $R$ индуцирует на каждом $\Delta_i$ отображение, которое отображает $\Delta_i$ на весь симплекс $\Delta$, при этом вершины переходят в вершины, а ребра – в ребра. Диаграмма Рози соответствующего алгоритма состоит из трех вершин: две вершины отвечают соответственно случаю 1 и случаю 3, а третья отвечает случаю 2, в котором индукция останавливается. Последовательное применение алгоритма определяет счетное марковское разбиение. Справедливо следующее очевидное утверждение. Лемма 17. Множество параметров $A$ таких, что для $(\alpha,\beta)\in A$ отображение Бруйна–Трубецкого $R_{\alpha,\beta}$ является отображением сдвигов отрезков бесконечного типа, совпадает с множеством параметров, для которого описанная выше индукция никогда не останавливается. Следующий этап – доказательство аналога леммы Марми–Мусса–Йоккоза (см. [53; п. 1.2]) о том, что после достаточного количества итераций все элементы матрицы индукции будут строго положительны. Воспользуемся терминологией, принятой для классической индукции Рози: длинный отрезок, который укорачивается, будет называться победителем, а более короткий отрезок, который перемещается, будет называться проигравшим. Соответственно, в случае 1 победителем является $a$-отрезок, а проигравшим – $c$-отрезок, в то время как в случае 3 все наоборот. Для краткости будем говорить, что в случае 1 победила буква $a$, а буква $c$ проиграла (и аналогично в остальных случаях). Из леммы 17 вытекает следующий результат. Лемма 18. Отображение сдвигов отрезков типа Бруйна–Трубецкого является отображением бесконечного типа тогда и только тогда, когда каждая из букв $a$, $b$, $c$ становилась победителем и проигравшим бесконечное число раз. С учетом этих соображений введем обозначения: $\lambda=(a,b,c)$ – вектор исходных длин; $\lambda'=(a',b',c')$ – вектор длин после применения шага индукции; имеем где
$$
\begin{equation*}
\mathcal{R}=R_1^{k_1}R_2^{k_2}R_1^{k_3}\cdots\quad\text{с некоторыми}\quad k_1,k_2,\ldots \in\mathbb{N}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
R_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1& 0 \\ 0 & 0& 1 \end{pmatrix},\qquad R_2=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0& 0 \\ 0 & 1& 1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
R_1^{k_1}=\begin{pmatrix} 1 & k_1 & k_1\\ 0 & 1& 0 \\ 0 & 0& 1 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
и если $k_2=2l_2+1$, то
$$
\begin{equation*}
R_2^{k_2}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0& 0 \\ l_2 & l_2+1& 1 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
так что $R_{0}=R_1^{k_1}R_2^{k_2}R_1$ – это матрица со строго положительными элементами:
$$
\begin{equation*}
R_0=\begin{pmatrix} k_1+k_{1}l_2 & 2k_1(l_2+1) & 2k_1+k_{1}l_2\\ 1 & 1& 1 \\ l_2 & 2l_2+1&l_2+1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Остается заметить, что из леммы 18 вытекает, что момент, когда $k_{2i-1}>0$ и $k_{2i}$ нечетно, обязательно настает для любого отображения бесконечного типа (иначе или $b$-отрезки, или $a$-отрезки не будут выигрывать бесконечно часто). Поэтому матрица индукции после достаточного количества шагов принимает вид матрицы $R_0$, умноженной слева и/или справа на матрицы с неотрицательными элементами. Таким образом, верно следующее утверждение. Определения специального ускорения и сильно расширяющего отображения приведены в разделе 3. Конструкция инвариантной меры опирается на метод термодинамического формализма для марковских сдвигов и описана в работе [35]: наша система, очевидно, является быстро сбегающей (в смысле определения из [35; разд. 3.1] и, следовательно, удовлетворяет условиям следствий 4.4 и 4.13 из [35]). Из этих же следствий вытекает утверждение о строгой эргодичности. Теорема 16 доказана. 6.3. Двойные вращенияДвойные вращения были впервые определены в работе Х. Сузуки, Ш. Ито и К. Айхара [68], где также впервые был описан алгоритм ренормализации, который называется индукцией SIA. Доказательство гипотезы 1 принадлежит Х. Бруйну и Г. Клаку и использует индукцию SIA. Кроме того, ими доказана теорема, в чем-то похожая на нашу теорему 13: без явного построения примера меры, инвариантной относительно индукции SIA, и без проверки существования такой меры с помощью методов символической динамики показано, что почти все (по отношению к любой такой мере, если она есть) двойные вращения бесконечного типа строго эргодичны. В работе [6] мы усилили их результаты следующим образом. Теорема 20 (Артиджани–Фужерон–Юбер–Скрипченко). Множество $A_{D}$ параметров $(\alpha,\beta,c)$, для которых $P_{\alpha,\beta,c}$ является отображением двойного вращения бесконечного типа, имеет хаусдорфову размерность, строго меньшую 3. В рамках доказательства этой теоремы в [6] нами построена также вероятностная мера $\mu'$, носителем которой является множество параметров $A_{D}$. Эта мера инвариантна относительно введенной нами ренормализации и индуцирует меру максимальной энтропии для специального потока, построенного по отображению сдвигов отрезков. Теорема 21 (Артиджани–Фужерон–Юбер–Скрипченко). Почти все двойные вращения бесконечного типа являются строго эргодичными. Отметим, что в теореме 21 под выражением “почти все” подразумевается “почти все по отношению к мере $\mu'$ ”. Нашим основным инструментом является ренормализация, отличная от индукции SIA и являющаяся, как и индукция Рози, примером марковской многомерной цепной дроби. Мы проверяем, что ассоциированная с нашей индукцией симплициальная система удовлетворяет критерию Фужерона (кратко описанному в разделе 3), т. е. является быстро сбегающей, а значит, удовлетворяет условиям следствий 4.4 и 4.13 из [35]. При этом из теоремы Буззи–Юбера [19] следует, что двойные вращения могут допускать не более двух эргодических мер. Примеры двойных вращений с двумя мерами были построены в [18], однако все эти примеры не являются двойными вращениями общего положения и относятся к классу отображений типа Бруйна–Трубецкого. Замечание 6. Д. Волк показал в [71], что отображения сдвигов трех отрезков сводятся к двойным вращениям, поэтому открытые вопросы об эргодических свойствах отображений сдвигов отрезков бесконечного типа в настоящее время начинаются с отображений на четырех отрезках. Замечание 7. Легко видеть, что доказательство теоремы Катка [42] об отсутствии сильного перемешивания для перекладываний отрезков обобщается на отображения сдвигов отрезков. При этом вопрос о наличии или отсутствии слабого перемешивания является значительно более тонким и в настоящее время остается полностью открытым. Известно, что отображения сдвигов отрезков возникают как отображения первого возвращения на трансверсаль для биллиардного потока в так называемых биллиардах со шпионскими зеркалами: многоугольниках с дополнительными стенками, которые представляют собой прямолинейные отрезки; при столкновении с таким шпионским зеркалом с одной стороны шар продолжает движение беспрепятственно, а при ударе с противоположной стороны он отражается по закону геометрической оптики, как от компонент границы стола. В частности, двойные вращения могут быть определены как отображения первого возвращения на трансверсаль при наличии вертикального шпионского зеркала произвольной длины в единичном квадрате $[0,1]\times[0,1]$ (см. [65]). Теорема 21 означает, что для почти всех $x$, $y$, $\theta$ биллиардные траектории, выпущенные в направлении $\theta$, являются строго эргодичными. 7. Системы изометрий7.1. Определения и гипотезыСистемы изометрий – это некоторое обобщение перекладываний отрезков и отображений сдвигов отрезков. Они были введены в работе Д. Габорьё, Ж. Левитта и Ф. Полана [38] как инструмент для доказательства теоремы Рипса о действии конечно порожденной группы на $\mathbb R$-деревьях и впоследствии заново открыты И. А. Дынниковым [26] под названием “системы наложений отрезков” в связи с решением задачи С. П. Новикова о плоских сечениях 3-периодических поверхностей (см. раздел 8). Определение 16. Система изометрий $S$ состоит из Мы будем преимущественно рассматривать случай, когда $D$ – один отрезок, и в этом случае называть $D$ отрезком-носителем. Определим орбиту системы изометрий следующим образом. С каждой системой изометрий $S$ мы ассоциируем граф $\Gamma(S)$, вершины которого – это все точки мультиотрезка-носителя $D$, а ребром две вершины соединены в том и только том случае, когда они переходят друг в друга под действием изометрий $\phi_i$ ($i=1,\dots,n$) или обратных к ним (в [37] этот граф называется графом Кэли системы изометрий). Связную компоненту такого графа, содержащую точку $x$, будем обозначать $\Gamma_x(S)$. Система $S$ задает отношение эквивалентности на $D$: эквивалентными являются точки, лежащие в одной связной компоненте графа $\Gamma(S)$. Множество точек, эквивалентных в этом смысле точке $x$, будет называться орбитой точки $x$. В работе [26] доказано следующее утверждение. Предложение 22. Если сумма длин баз $|A_i|$ (или $|B_i|$) меньше длины мультиотрезка-носителя $D$, то существует множество точек $U\subset D$ положительной меры такое, что для всех $x\in U$ граф $\Gamma_{x}(S)$ конечен. Если сумма длин баз $|A_i|$ больше длины мультиотрезка-носителя $D$, то для всех $x$ из некоторого множества точек $U\subset D$ положительной меры граф $\Gamma_{x}(S)$ содержит циклы. Аналогичное утверждение доказано в [38] в терминах независимых порождающих изометрий. Мы будем говорить, что порождающие изометрии $\phi_j$ независимы, если выполнено следующее условие: пусть действие нетривиального несократимого слова, составленного из $\phi_i^{\pm 1}$, на мультиотрезке-носителе имеет неподвижную точку, тогда его область определения состоит только из этой точки. В работе [38] было доказано, что если порождающие изометрии $\phi_j$ независимы, то система изометрий минимальна только в том случае, когда она является сбалансированной. При этом любую систему изометрий можно заменить эквивалентной ей (с точки зрения поведения орбит), порождающие которой будут независимы (подробнее написано в [37]). Определение 17. Сбалансированная система изометрий – это система изометрий, для которой сумма отрезков в каждом из наборов баз $A_i$ и $B_i$ равна длине отрезка-носителя. Перекладывания отрезков – частный случай системы изометрий, для которого каждая точка принадлежит ровно двум базам; такие системы изометрий называются системами поверхностного типа. В этом случае чаще всего орбита всюду плотна и топологически представляет собой прямую. Однако не всегда орбиты систем изометрий (даже минимальных) устроены именно так. Наиболее интересный с точки зрения динамики случай – это минимальные системы изометрий, все орбиты которых являются бесконечными деревьями. Такие системы изометрий называются тонкими или экзотическими и были впервые описаны Ж. Левиттом в работе [50]. Самой важной открытой задачей при изучении систем изометрий является следующая гипотеза. Гипотеза 2. Множество параметров, задающих минимальные системы изометрий, орбиты которых – бесконечные деревья, является подмножеством нулевой меры в множестве параметров, задающих сбалансированные системы изометрий, и его хаусдорфова размерность строго меньше $n-1$, где $n$ – число отрезков в системе изометрий. В настоящее время эта гипотеза доказана только для одного класса систем изометрий, речь о котором пойдет в следующем пункте. 7.2. Специальные системы изометрий порядка 3 Определение 18. Система изометрий $S$ называется специальной, если выполнены следующие условия: Обозначим через $\Delta$ стандартный двумерный симплекс и введем в нем барицентрические координаты $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\lambda_3$:
$$
\begin{equation*}
\Delta=\{(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\in \mathbb{R}^3_{\geqslant 0}\colon \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим линейные отображения $\mathbb R^3_{\geqslant0}\to\mathbb R^3_{\geqslant0}$, определенные матрицами
$$
\begin{equation}
M_1=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},\quad M_2=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&1\\0&0&1\end{pmatrix},\quad M_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{11}
$$
соответственно, и пусть $f_1$, $f_2$, $f_3$ – соответствующие проективные отображения симплекса $\Delta$ в себя:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_1(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)&=\biggl(\frac{1}{1+\lambda_2+\lambda_3}\,, \frac{\lambda_2}{1+\lambda_2+\lambda_3}\,, \frac{\lambda_3}{1+\lambda_2+\lambda_3}\biggr), \\ f_2(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)&= \biggl(\frac{\lambda_1}{1+\lambda_1+\lambda_3}\,, \frac{1}{1+\lambda_1+\lambda_3}\,, \frac{\lambda_3}{1+\lambda_1+\lambda_3}\biggr), \\ f_3(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)&= \biggl(\frac{\lambda_1}{1+\lambda_1+\lambda_2}\,, \frac{\lambda_2}{1+\lambda_1+\lambda_2}\,, \frac{1}{1+\lambda_1+\lambda_2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Образами $f_1(\Delta)$, $f_2(\Delta)$, $f_3(\Delta)$ будут три треугольника, которые отсекаются от $\Delta$ средними линиями. С каждым словом $i_1i_2\ldots i_k$, составленным из букв алфавита $\{1,2,3\}$, мы ассоциируем $f_{i_1i_2\ldots i_k}$ – композицию $f_{i_1}\circ f_{i_2}\circ\cdots\circ f_{i_k}$. В частности, $f_\varnothing=\mathrm{id}$. Определение 19. Салфетка Рози – это максимальное подмножество $\mathcal{R}_\mathrm{g}$ пространства параметров $\Delta$, для которого верно следующее: Это множество параметров было определено в разные годы в символической динамике (как множество, задающее перекладывание отрезков типа Арну–Рози, – в [3]), в геометрической теории групп (в связи с псевдогруппой вращений в [50]) и в маломерной топологии (как множество, определяющее хаотические режимы в задаче С. П. Новикова в случае симметричной поверхности рода 3 и двух двойных седел, – в [22]). В каждом их этих контекстов была доказана следующая теорема – см. [4], [50], [22]. В работе [11] мы усилили этот результат следующим образом. Замечание 8. Впоследствии наш результат был несколько раз уточнен: сначала Ш. Фужероном в [35], а затем М. Поликоттом и Б. Сьюэллом в [59], которые получили наилучшую из известных в настоящее время оценок сверху хаусдорфовой размерности салфетки Рози: 1.74. Эта оценка хорошо согласуется с численными оценками из [22]. Замечание 9. Наилучшая из известных оценок снизу хаусдорфовой размерности салфетки Рози принадлежит К. Матеусу и Р. Гутьересу-Ромо [39] и равна 1.19. Доказательство теоремы 24 опирается на те же идеи, которые были использованы в доказательстве теоремы 11. Ключевой момент – описание ренормализации: по исходной системе изометрий мы строим эквивалентную ей, но с меньшим отрезком-носителем, а затем выписываем линейное преобразование, связывающие длины исходной и полученной систем изометрий. Это линейное преобразование в случае специальных систем изометрий совпадает с известной в символической динамике многомерной цепной дробью, которая называется алгоритмом Арну–Рози; этот алгоритм изначально был определен как отображение первого возвращения на подотрезок для семейства перекладываний отрезков Арну–Рози; это семейство определено в следующем разделе обзора (см. определение 22). Преобразование системы изометрий (аналог индукции Рози для перекладываний отрезков) состоит из двух движений, которые называются переносом (справа или слева) и сокращением (справа или слева), и впервые было введено в [26]. (См. рис. 1.) Оба эти движения переводят системы изометрий в эквивалентные им (с точки зрения поведения орбит), не изменяя числа отрезков. Важно отметить, что перенос влияет только на комбинаторную составляющую (порядок критических точек), в то время сокращение изменяет длины некоторых отрезков, при этом в случае специальной системы изометрий длины отрезков исходной системы выражаются через длины отрезков новой системы с помощью линейного преобразования с неотрицательными коэффициентами. Это преобразование сопряжено известному в теории многомерных цепных дробей алгоритму, который называется алгоритмом полного вычитания. Ренормализация определена только в случае, когда самый длинный из трех отрезков оказывается длиннее половины отрезка-носителя; если это условие нарушается, у отрезка-носителя возникает часть, не покрытая ни одним из отрезков системы; точки этой части имеют, очевидно, конечные орбиты. Множество точек, для которых ренормализация никогда не останавливается, совпадает с салфеткой Рози. Кроме того, мы используем ренормализацию для построения эргодической меры, носителем которой является салфетка Рози. Эта мера инвариантна относительно нашей ренормализации. Более точно, в [12] сначала мы доказываем следующую теорему. Теорема 25 (Авила–Юбер–Скрипченко). Существует и единственна мера максимальной энтропии $\nu$ для специального потока над алгоритмом ренормализации, определяющим салфетку Рози. Прежде чем переходить к наброску доказательства, напомним ключевые определения. Начнем с функции крыши: это время первого возвращения в подсимплекс $\Delta$, определенный положительным путем $\gamma$ на диаграмме Рози:
$$
\begin{equation*}
r(\lambda,\pi)=-\log\|(B^\top_{\gamma})^{-1}\lambda\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $B_{\gamma}$ – матрица коцикла, которая стандартным образом связана с матрицей индукции $A_{\gamma}$, соответствующей пути $\gamma$ на диаграмме Рози ($B_{\gamma}=A^{\top}_{\gamma}$), $\pi$ – исходная для $\gamma$ вершина диаграммы Рози, а $\lambda$ – длины отрезков исходной системы изометрий. Далее, определим специальный поток над сдвигом $\sigma$ с функцией крыши $r$. Этот поток растягивает отрезок, полученный в результате применения алгоритма ренормализации, на единичный интервал. Поток $\Phi(\sigma,r)$ определяется на пространстве
$$
\begin{equation*}
Y=\bigl\{(\lambda,\pi,t)\in \sigma \times \mathbb R\colon 0 \leqslant t \leqslant r(\lambda,\pi)\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и отождествляет между собой точки вида $(\lambda,\pi,r(\lambda,\pi))$ и $(\sigma(\lambda,\pi),0)$. Его действие описывается так: для всех $t+s\in [0,r(\lambda,\pi)]$. В случае перекладываний отрезков построенный аналогично специальный поток, называемый потоком Вича, оказывается дискретизацией геодезического потока в пространстве модулей абелевых дифференциалов – потока Тейхмюллера. В нашем случае геометрический смысл построенного специального потока пока не определен. Мера $\nu$ строится с помощью термодинамического формализма для счетных марковских сдвигов. Теория термодинамического формализма для счетных марковских сдвигов была развита О. Саригом в работе [60]. Мера, которая будет построена, является мерой Гиббса (в смысле Боуэна). Определение 20. Мера Гиббса (в смысле Боуэна) для слабо непрерывной по Гёльдеру функции $\phi\colon \Sigma\to\mathbb R$ – это инвариантная относительно топологического марковского сдвига $\sigma$ мера $\mu$, для которой существуют константы $M>1$ и $P\in\mathbb{R}$ такие, что для любого цилиндра $[a_0,\dots,a_{n-1}]$ и $n\in\mathbb{R}$ выполнено следующее условие: для $x\in[a_0,\dots,a_{n-1}]$. Функция $\phi$ в этом определении называется потенциалом. В работе [60] было доказано, что при выполнении нескольких условий на марковский сдвиг и на потенциал мера Гиббса существует. Доказательство теоремы 25 состоит из нескольких шагов: 1) сначала нужно убедиться, что последовательное применение алгоритма ренормализации задает счетное марковское разбиение, и определить отвечающий применению специального потока марковский сдвиг; 2) следующий этап – проверка комбинаторных свойств марковского сдвига: для того чтобы применять теорему Сарига, необходимо проверить, что марковский сдвиг является топологически перемешивающим и обладает свойствами больших образов и прообразов; 3) затем переходим к изучению свойств функции крыши: проверяем, что она отделена от нуля и слабо непрерывна по Гёльдеру (и, следовательно, имеет суммируемые вариации), а также доказываем, что у нее экспоненциальный хвост (определение функции с экспоненциальным хвостом приведено в разделе 4); 4) рассматриваем семейство потенциалов $\phi_{\kappa}=-\kappa r$, которые получаются умножением функции крыши $r$ на константу $\kappa>0$; используя доказанные свойства функции крыши, проверяем условие локальной компактности оператора переноса при выполнении условия $\kappa>3$; 5) применяем теорему 4.9 из [60], чтобы доказать существование меры Гиббса для каждого потенциала $\phi_{\kappa}$ при $\kappa>3$; 6) среди семейства гиббсовских мер с потенциалом $\phi_{\kappa}$ находим единственную меру максимальной энтропии (существование и единственность такой меры доказаны в [60], там же приведены все необходимые определения). После этого применяем формулу Абрамова–Рохлина [2], чтобы получить следующую теорему. Теорема 26 (Авила–Юбер–Скрипченко). Существует вероятностная мера $\mu_{\mathcal{R}}$, носителем которой является салфетка Рози и которая инвариантна относительно определяющего этот фрактал алгоритма ренормализации. Важно, что благодаря свойствам мер Гиббса мера $\mu_{\mathcal{R}}$ эргодична и, более того, коцикл, определяемый матрицей ренормализации, автоматически будет лог-интегрируемым. Это позволит нам применить мультипликативную эргодическую теорему и определить показатели Ляпунова. Идеи доказательства теоремы 26 легли в основу описанного выше подхода Фужерона к построению инвариантных мер в случае марковских многомерных цепных дробей. Известен также альтернативный алгоритм ренормализации для систем изометрий, который в геометрической теории групп описан под названием машина Рипса. Машина Рипса включает в себя пять различных преобразований, которые могут применяться к системе изометрий или построенному по ней ленточному комплексу. Ленточный комплекс получается из системы изометрий приклеиванием прямоугольных ленточек, горизонтальные стороны которых имеют длины, совпадающие с длинами отрезков системы изометрий (см. рис. 2). На каждой прямоугольной ленте задано вертикальное слоение. Под действием машины Рипса система изометрий также переходит в эквивалентную с точки зрения поведения орбит систему, но число отрезков может изменяться. Среди движений машины Рипса наиболее значимым для нас является сокращение свободной дуги. Интервал мультиотрезка-носителя называется свободной дугой, если он покрыт только одной из баз системы изометрий. Если свободная дуга существует, ее можно сократить, т. е. по исходной системе можно построить новую систему изометрий, мультиотрезок-носитель которой не будет содержать свободную дугу. Соответственно, покрывающая его база (обозначим ее $A_i$) разделится на несколько отрезков; аналогичное разделение произойдет с отвечающей ей базой $B_i$. Формальное определение приведено в [38] и в [14]). Системы изометрий тонкого типа определяются как те, для которых всегда существует свободная дуга [14; предложение 8.13]. С использованием машины Рипса Д. Габорьё [37] доказал, что в случае тонкого типа c точностью до квазиизометрии орбиты являются деревьями с конечным числом концов, причем почти все они имеют один или два топологических конца (понятие топологического конца графа определено в [67]). Мы получили несколько уточнений результата Габорьё в [28]. Для формулировки утверждений нам понадобится еще одно определение. Определение 21. Система изометрий называется самоподобной, если в результате применения ренормализации получается сжатая версия исходной системы. При этом, как показано в [28], свойство самоподобия не зависит от выбора ренормализации (самоподобные с точки зрения машины Рипса системы являются также самоподобными с точки зрения индукции Рози, и наоборот). В [28] был доказан следующий результат. Теорема 27 (Дынников–Скрипченко). Почти все орбиты самоподобных систем изометрий имеют ровно один топологический конец. Ранее в [64] аналогичный результат был получен для конкретной самоподобной системы изометрий. Теорема 28 (Дынников, Скрипченко). Существуют тонкие системы изометрий, почти все орбиты которых имеют два топологических конца. Теоремы 27 и 28 были доказаны с помощью анализа эргодических свойств машины Рипса как алгоритма ренормализации. 8. Приложения к задаче С. П. Новикова о плоских сечениях 3-периодических поверхностейВ 1982 г. С. П. Новиков [58] в связи с изучением модели полуклассического движения электрона в кристаллической решетке сформулировал следующую задачу. Пусть в трехмерном торе $\mathbb{T}^3=\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3$ задана поверхность уровня $M$ некоторой гладкой функции. Пусть $\pi\colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{Z}^3$ – стандартная проекция, тогда $\widehat M=\pi^{-1}(M)$ есть 3-периодическая поверхность. Рассмотрим сечения поверхности $\widehat M$ семейством параллельных плоскостей, которые ортогональны вектору $H=(H_1,H_2,H_3)$; что можно сказать об асимптотическом поведении открытых связных компонент этих сечений (мы будем называть их $H$-сечениями)? Эту задачу можно сформулировать на языке теории измеримых слоений: рассмотрим слоение $\mathcal{F}$, определенное ограничением на $M$ 1-формы с постоянными коэффициентами $H_1\,dx^1+H_2\,dx^2+H_3\,dx^3$; слои этого слоения – образы интересующих нас сечений при проекции $\pi$. Отображением первого возвращения на трансверсаль для этого слоения будут перекладывания отрезков, однако, так как речь идет о поверхности в трехмерном торе, длины отрезков так определенных перекладываний отрезков не будут полностью рационально независимы, поэтому стандартная ренормализация с помощью индукции Рози не может быть применена. Первые результаты в этой задаче были получены А. Зоричем и И. А. Дынниковым топологическими методами [23]–[25], [72]. В частности, была получена следующая классификация (будем фокусироваться только на случае общего положения, когда $\dim_{\mathbb{Q}}(H_1,H_2,H_3)=3$):
Хаотический случай был открыт И. А. Дынниковым в [25] (ранее С. П. Царев построил промежуточный пример – уже не интегрируемый, но еще не хаотический – для случая, когда координаты вектора $H$ не являются полностью рационально независимыми). В настоящее время основные открытые вопросы относятся к хаотическому случаю. Известно, что хаотические режимы являются редкими в следующем смысле [25]. Теорема 29 (Дынников). В пространстве пар $(M,H)$, где $M$ – гомологичная нулю поверхность в $\mathbb{T}^3$, а $H$ – ковектор в $\mathbb{R}^3$, все пары, задающие хаотические слоения $\mathcal{F}$, сосредоточены на некотором подмножестве $\mathcal{R}$ коразмерности 1 и образуют нигде не плотное подмножество в нем. В работе [52] С. П. Новиков сформулировал две гипотезы. В первой гипотезе утверждается, что при фиксированной гомологичной нулю поверхности общего положения хаусдорфова размерность множества направлений $H$, при которых сечения являются хаотическими, строго меньше 1. Во второй гипотезе утверждается, что для фиксированной функции $f$, поверхностями уровня которой является однопараметрическое семейство гомологичных нулю поверхностей $M_c$, хаусдорфова размерность множества направлений $H$, при которых сечения $M_c$ плоскостями, ортогональными $H$, являются хаотическими, строго меньше 2. В [26] И. А. Дынников показал, что в случае поверхности рода 3 хаотические режимы могут изучаться с помощью систем изометрий порядка 3 тонкого типа. Более точно, было показано, как, используя значения параметров, определяющих длины отрезков и сдвиги для системы изометрий тонкого типа, можно задать поверхность рода 3 и выбрать вектор таким образом, чтобы выполнялось следующее условие: сечение ленточного комплекса, построенного по системе изометрий порядка 3 тонкого типа, плоскостями, которые ортогональны выбранному вектору, является деформационным ретрактом сечения полнотория, который отрезается рассматриваемой поверхностью от трехмерного тора, тем же семейством плоскостей построенной 3-периодической поверхности. При этом специальные системы изометрий отвечают хаотическому режиму на поверхности рода 3, обладающей дополнительной симметрией, а слоение имеет два кратных седла. Было показано, что в этом случае отображением первого возвращения на правильно выбранную трансверсаль является семейство перекладываний отрезков, которое впервые было описано П. Арну и Ж. Рози в связи с приложениями к символической динамике. Определение 22. Для $\lambda\in\Delta$ определим перекладывание отрезков типа Арну–Рози $T_\lambda^{\mathrm{AR}}$ как композицию где $\Phi$ – это сдвиг на $1/2$ (поворот на половину окружности), т. е. $\Phi(x)=x+1/2$, и $T_\lambda'$ – это перекладывание отрезков, определенное на $[0,1)$ перестановкой Первым представителем этого класса был пример Арну–Йоккоза [5], определенный в терминах слоения на проективной плоскости $\mathbb{R}P^2$. Опираясь на описанную Вичем конструкцию, мы можем построить поверхность рода 3, для которой перекладывание отрезков типа Арну–Рози будет отображением первого возвращения линейного трансверсального потока на отрезок трансверсали. Подробно взаимосвязь между хаотическими слоениями в задаче Новикова и измеримыми слоениями типа Арну–Рози описана в [27]. Кроме того, теорема 24 доказывает гипотезу Новикова для поверхности типа Арну–Рози (второе из сформулированных выше утверждений). Используя описанные выше методы ренормализации для систем изометрий, мы получаем следующий результат [27]. Теорема 30 (Дынников–Юбер–Скрипченко). Любое перекладывание отрезков типа Арну–Рози допускает не более двух инвариантных эргодических мер, и почти все эти перекладывания отрезков (по отношению к мере $\mu_{\mathcal{R}}$) являются строго эргодичными. Кроме того, верно следующее утверждение [27]. Теорема 31. Почти все (по отношению к мере $\mu_{\mathcal{R}}$) перекладывания отрезков типа Арну–Рози не являются слабо перемешивающими. Замечание 10. Утверждения теорем 30 и 31 верны не для всех перекладываний отрезков класса Арну–Рози, а только для почти всех: известны примеры перекладываний отрезков типа Арну–Рози, допускающих две инвариантные меры [29], и примеры, обладающие свойством слабого перемешивания. При этом взаимоотношения между двумя исключительными множествами – множеством не строго эргодичных и множеством слабо перемешивающих перекладываний отрезков типа Арну–Рози – не изучены и представляют собой интересный открытый вопрос. Анализ спектральных свойств алгоритма ренормализации для специальных систем изометрий позволяет доказать, что их ляпуновский спектр почти всегда простой (т. е. все показатели Ляпунова различны) и удовлетворяет свойству Пизо (один из показателей положителен, два других отрицательны). Простота спектра проверяется с помощью алгоритма, описанного в статье [36], а утверждение о свойстве Пизо следует из аналогичного утверждения для сопряженного с нашей ренормализацией алгоритма полного вычитания, которое было доказано в [7]. Прямым следствием доказанных спектральных свойств алгоритма ренормализации является следующее утверждение. Теорема 32 (Авила–Юбер–Скрипченко). В случае поверхности Арну–Рози почти все хаотические траектории имеют скорость диффузии строго между $1/2$ и 1: где $d(x,y)$ – стандартное евклидово расстояние между точками $x$ и $y$ на плоскости, $x$ – некоторая начальная точка, принадлежащая хаотическому сечению, а $x_t$ – положение точки через время $t$. Использование ренормализации для систем изометрий оказывается информативным не только в случае поверхности рода 3 с двумя двойными седлами. Теорема 33 (Скрипченко). Существуют 3-периодическая поверхность $\widehat M$ и вектор $H$ такие, что сечения $\widehat M$ почти всеми плоскостями, ортогональными $H$, состоят ровно из одной связной компоненты. Эта теорема является следствием теоремы 27. Доказательство опирается на следующие элементарные соображения, использующие эйлерову характеристику: пусть построенная по самоподобной системе изометрий $S$ центрально-симметричная поверхность является поверхностью $\widehat M$ уровня некоторой функции $f$; предположим, что хаотическое сечение поверхности $\widehat M$ плоскостями, ортогональными $H$, состоит хотя бы из двух связных компонент; тогда
$$
\begin{equation*}
\chi({\mathbb R}^2)=\chi(f>0)+\chi(f<0)-\chi(\delta),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta$ – это граница, отвечающая $f=0$. Так как в теореме 27 было показано, что графы $\Gamma_x(S)$ имеют по одному топологическому концу, то при этом по предположению $\chi(\delta)\geqslant 2$. Полученное противоречие означает, что почти каждое $H$-сечение состоит ровно из одной связной компоненты. Аналогично (с использованием теоремы 28 вместо теоремы 27) доказывается следующий результат. Теорема 34 (Дынников–Скрипченко). Существуют 3-периодическая поверхность $\widehat M$ и вектор $H$ такие, что пара $(M,H)$ задает хаотический режим, а сечения $\widehat M$ почти всеми плоскостями, ортогональными $H$, состоят из бесконечного числа связных компонент.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Skr23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|