Успехи математических наук
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



УМН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Успехи математических наук, 2023, том 78, выпуск 4(472), страницы 207–208
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10138
(Mi rm10138)
 

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Краткие сообщения

Детерминантное центральное расширение и $\cup$-произведения $1$-коциклов

Д. В. Осипов

Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Список литературы:
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 23-11-00033
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-11-00033, https://rscf.ru/project/23-11-00033/.
Поступила в редакцию: 05.06.2023
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 4, Pages 791–793
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10138e
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
MSC: 14C40, 18G15, 19D45

В этой заметке класс детерминантного центрального расширения некоторого группового функтора, определенного над коммутативными $\mathbb{Q}$-алгебрами, вычислен в виде произведения $2$-коциклов, состоящих из символа Конту-Каррера, примененного к попарным $\cup$-произведениям $1$-коциклов. Это есть локальная теорема Римана–Роха в относительной размерности $1$ для обратимых пучков, записанная во второй группе когомологий групповых функторов.

Под (коммутативным групповым или групповым) функтором $H$ будем подразумевать ковариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию (абелевых групп или групп) множеств. Пусть $H_{\mathbb{Q}}$ – ограничение функтора $H$ на коммутативные $\mathbb{Q}$-алгебры, $H^{\times n}$ – функтор, являющийся $n$-м прямым произведением функтора $H$. Групповые законы во всех группах мы записываем мультипликативно.

Пусть $R$ – коммутативное кольцо, а $G$ и $F$ – групповой и коммутативный групповой функторы соответственно, определенные над коммутативными $R$-алгебрами, и функтор $G$ действует на функторе $F$ (т. е. $F$ есть $G$-модуль). Пусть $\operatorname{Hom}(G^{\times n},F)$ – абелева группа всех (без учета групповых структур) морфизмов функторов $G^{\times n} \to F$. Абелева группа $H^n(G,F)$ (см. [4; § 2.3.1]) есть $n$-я группа когомологий комплекса

$$ \begin{equation} C^0 (G,F) \xrightarrow{\delta_0} C^{1}(G, F) \xrightarrow{\delta_1} \cdots \xrightarrow{\delta_{n-1}} C^{n}(G,F) \xrightarrow{\delta_n} \cdots, \end{equation} \tag{1} $$
где $C^0(G,F)=F(R)$, $C^k(G,F)=\operatorname{Hom}(G^{\times k},F)$, если $k \geqslant 1$, и $\delta_{n}c(g_1,\dots,g_{n+1})= g_1 c(g_2,\dots,g_{n+1}) \prod_{i=1}^n c(g_1,\dots,g_i g_{i+1}, \dots,g_{n+1})^{(-1)^i}\cdot c(g_1,\dots,g_n)^{(-1)^{n+1}}$, $c \in C^n(G,F)$ и $g_j \in G(A)$, $1 \leqslant j \leqslant n+1$, для любой коммутативной $R$-алгебры $A$. Элемент из группы $\operatorname{Ker}\delta_n$ называется $n$-коциклом функтора $G$ с коэффициентами в функторе $F$.

Для любых $1$-коциклов $\lambda_1$ и $\lambda_2$ на функторе $G$ с коэффициентами в $G$-модулях $F_1$ и $F_2$ соответственно получаем $2$-коцикл $\lambda_1 \cup \lambda_2$ на функторе $G$ с коэффициентами в функторе $F_1 \otimes F_2$, так что $(\lambda_1 \cup \lambda_2)(g_1,g_2)=\lambda_1(g_1) \otimes g_1(\lambda_2(g_2))$, где для любой коммутативной $R$-алгебры $A$ имеем $(F_1 \otimes F_2)(A)=F_1(A) \otimes_{\mathbb{Z}} F_2(A)$ и $g_1$, $g_2$ – любые элементы из группы $G(A)$. Это индуцирует $\cup$-произведение между первыми группами когомологий. Любой морфизм $G$-модулей индуцирует гомоморфизм соответствующих групп когомологий функтора $G$. Фиксация коммутативной $R$-алгебры $A$ задает отображение из комплекса (1) в бар-комплекс для $G(A)$-модуля $F(A)$ и гомоморфизм $H^n(G,F) \to H^n(G(A),F(A))$, совместимый с $\cup$-произведениями.

Далее $A$ – любое коммутативное кольцо. Центральным расширением групповых функторов называется короткая точная последовательность групповых функторов, становящаяся центральным расширением групп после ограничения на любое $A$. Центральные расширения функтора $G$ при помощи функтора $F$, которые допускают сечение из функтора $G$ (лишь как функторов), классифицируются с точностью до изоморфизма элементами группы $H^2(G,F)$, где $F$ – тривиальный $G$-модуль.

Пусть ${\mathbb G}_m(A)=A^*$. Пусть $L{\mathbb G}_m $ – коммутативный групповой функтор такой, что $L {\mathbb G}_m (A)=A((t))^*$, где $A((t))=A[[t]][t^{-1}]$. Кольцо $A((t))$ есть топологическое кольцо со следующей базой окрестностей нуля: $U_l=t^l A[[t]]$, $l \in \mathbb{Z}$. Пусть ${{\mathcal Aut}^{\rm c, alg} ({\mathcal L})}$ – групповой функтор такой, что ${{\mathcal Aut}^{\rm c,alg}({\mathcal L})}(A)$ есть группа всех $A$-автоморфизмов $A$-алгебры $A((t))$, являющихся гомеоморфизмами [4; § 2.1]. Любой элемент $\varphi \in {{\mathcal Aut}^{\rm c,alg}({\mathcal L})}(A)$ однозначно определен элементом $\widetilde{\varphi}=\varphi(t)\in A((t))^*$ (это задает структуру функтора).

Так как $L {\mathbb G}_m$ есть ${{\mathcal Aut}^{\rm c,alg}({\mathcal L})}$-модуль, можем определить групповой функтор $\mathcal{G}=L{\mathbb G}_m \rtimes{\mathcal Aut}^{\rm c,alg}({\mathcal L})$. Отметим, что $L{\mathbb G}_m$ есть $\mathcal{G}$-модуль из-за естественного морфизма ${\mathcal{G} \to {{\mathcal Aut}^{\rm c,alg}({\mathcal L})}}$. Имеем естественное непрерывное действие группы ${\mathcal G}(A)$ на модуле $A((t))$ такое, что $(h,\varphi)(f)=h \cdot \varphi(f)$, где $f \in A((t))$, $h \in L{\mathbb G}_m(A)$, $\varphi \in {\mathcal Aut}^{\rm c,alg}({\mathcal L})(A)$.

Для любых элементов $g_1,g_2\! \in {\mathcal G}(A)$ имеется число $l\! \in {\mathbb Z}$ такое, что ${t^{l} A[[t]] \subset g_i(A[[t]])}$ и $g_i(A[[t]]) / t^l A[[t]]$ – проективные $A$-модули конечного ранга для $i=1$ и $i=2$ (см. [4; § 3.2]). Получаем определение относительного детерминанта (который не зависит от выбора числа $l$ с точностью до канонического изоморфизма):

$$ \begin{equation*} \det(g_1(A[[t]]) \mid g_2 (A[[t]]))= \operatorname{Hom}_A(\wedge^{\max}_A (g_1(A[[t]])/ t^l A[[t]]), \wedge^{\max}_A (g_2(A[[t]])/ t^l A[[t]])). \end{equation*} \notag $$

Предложение. Относительный детерминант есть свободный $A$-модуль ранга $1$.

Пусть $g_1, g_2, g_3, g \in {\mathcal G}(A)$, тогда имеются канонические изоморфизмы $A$-модулей

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \det(g_1(A[[t]]) \mid g_2(A[[t]])) \otimes_A \det(g_2(A[[t]]) \mid g_3(A[[t]])) \xrightarrow{\sim} \det(g_1(A[[t]]) \mid g_3(A[[t]])), \\ g\colon \det(g_1(A[[t]]) \mid g_2(A[[t]])) \xrightarrow{\sim} \det(gg_1(A[[t]]) \mid gg_2(A[[t]])). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Пусть группа $\widetilde{{\mathcal G}}(A)$ есть множество пар $(g,s)$, где $g \in {\mathcal G}(A)$ и элемент $s$ принадлежит $A$-модулю ${\det(g (A[[t]]) \mid A[[t]])}$ и порождает этот $A$-модуль. Групповой закон следующий: $(g_1,s_1)(g_2,s_2)=(g_1 g_2,g_1(s_2) \otimes s_1)$. Соответствие $A \mapsto \widetilde{{\mathcal G}}(A)$ есть групповой функтор, определяющий детерминантное центральное расширение функтора ${\mathcal G}$ при помощи функтора ${\mathbb G}_m$, где гомоморфизм $\widetilde{{\mathcal G}}(A) \twoheadrightarrow {\mathcal G}(A)$ есть $(g,s) \mapsto g$.

Символ Конту-Каррера $\operatorname{CC}$ – морфизм групповых функторов ${L{\mathbb G}_m \otimes L{\mathbb G}_m \to {\mathbb G}_m}$, имеющий много интересных свойств (см. [1], [5; § 2]). В частности, морфизм $\operatorname{CC}$ есть морфизм ${\mathcal G}$-модулей, где функтор ${\mathcal G}$ действует диагонально на функторе $L{\mathbb G}_m \otimes L {\mathbb G}_m$ и тривиально на функторе ${\mathbb G}_m$ (см. [3]).

Для любых двух $1$-коциклов $\lambda_1$ и $\lambda_2$ на функторе ${\mathcal G}$ с коэффициентами в функторе $L{\mathbb G}_m$ определим $2$-коцикл $\langle \lambda_1,\lambda_2 \rangle= \operatorname{CC} \mathrel{\circ} (\lambda_1 \cup \lambda_2)$ на функторе ${\mathcal G}$ с коэффициентами в функторе ${\mathbb G }_m$, где $\circ$ обозначает композицию морфизмов функторов.

Рассмотрим $1$-коциклы $\Lambda$ и $\Omega$ на функторе ${\mathcal G}$ с коэффициентами в функторе $L{\mathbb G}_m$, где $\Lambda((h,\varphi))=h$ и $\Omega((h,\varphi))={\widetilde{\varphi}}^{\,\prime}=d\varphi(t)/dt$ для $(h,\varphi) \in {\mathcal G}(A)$.

Теорема. Детерминантное центральное расширение группового функтора ${\mathcal G}$ при помощи группового функтора ${\mathbb G}_m$ допускает естественное сечение ${\mathcal G} \to \widetilde{\mathcal G}$ как функторов и поэтому задает элемент $\mathcal D$ в группе $H^2({\mathcal G},{\mathbb G}_m)$. В группе $H^2({\mathcal G}_{\mathbb{Q}},{{\mathbb G}_m}_{\mathbb{Q}})$ имеем

$$ \begin{equation} {\mathcal D}^{12}=\langle \Lambda, \Lambda \rangle^{6} \cdot \langle\Lambda,\Omega\rangle^{-6} \cdot \langle\Omega,\Omega\rangle. \end{equation} \tag{2} $$

Формально равенство (2) выглядит как изоморфизм Делиня–Римана–Роха из [2]. Рассмотрим проективную кривую $C$ над полем $k$ и коммутативную $k$-алгебру $A$. Элементы из ${\mathcal G}(A)$ переклеивают схему $C_A=C \times_k A$ и пучок ${\mathcal O}_{C_A}$ вдоль проколотой формальной окрестности постоянного сечения (в гладкую точку). Слои детерминантного центрального расширения над элементами из ${\mathcal G}(A)$ канонически изоморфны разнице между детерминантами высших прямых образов переклеенных пучков и пучка ${\mathcal O}_{C_A}$.

Список литературы

1. C. Contou-Carrère, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 318:8 (1994), 743–746  mathscinet  zmath
2. P. Deligne, Current trends in arithmetical algebraic geometry (Arcata, CA, 1985), Contemp. Math., 67, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987, 93–177  mathscinet  zmath
3. С. О. Горчинский, Д. В. Осипов, Функц. анализ и его прил., 50:4 (2016), 26–42  mathnet  crossref  crossref  mathscinet  zmath
4. Д. В. Осипов, Труды МИАН, 320 (2023), 243–277  mathnet  crossref  crossref  mathscinet  zmath
5. D. Osipov, Xinwen Zhu, J. Algebraic Geom., 25:4 (2016), 703–774  crossref  mathscinet  zmath

Образец цитирования: Д. В. Осипов, “Детерминантное центральное расширение и $\cup$-произведения $1$-коциклов”, УМН, 78:4(472) (2023), 207–208; Russian Math. Surveys, 78:4 (2023), 791–793
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Osi23}
\by Д.~В.~Осипов
\paper Детерминантное центральное расширение и~$\cup$-произведения $1$-коциклов
\jour УМН
\yr 2023
\vol 78
\issue 4(472)
\pages 207--208
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10138}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10138}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4687813}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1539.14018}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023RuMaS..78..791O}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2023
\vol 78
\issue 4
\pages 791--793
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10138e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001146060800007}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85169451918}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm10138
  • https://doi.org/10.4213/rm10138
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm/v78/i4/p207
  • Доклады по теме:
    Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Успехи математических наук Russian Mathematical Surveys
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:583
    PDF русской версии:26
    PDF английской версии:37
    HTML русской версии:228
    HTML английской версии:156
    Список литературы:32
    Первая страница:21
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024