| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Диффеоморфизмы Морса–Смейла с неблуждающими точками попарно различных индексов Морса на 3-многообразиях О. В. Починкаa , Е. А. Талановаb a Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" b Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2024, Volume 79, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10141e 
Реферативные базы данных:
     ВведениеВажный класс структурно устойчивых динамических систем составляют системы Морса–Смейла, существенной особенностью которых является наличие тесной взаимосвязи между динамическими свойствами систем и топологией несущих многообразий. Системы Морса–Смейла были введены в пионерской работе C. Смейла [64]. Уже в ней были доказаны неравенства Морса, связывающие числа Бетти несущего многообразия с количеством периодических орбит и их индексами Морса. Примечательно, что такие динамические системы проявляют разнообразные топологические эффекты, связанные с теорией узлов и зацеплений. Изучение таких типов динамических систем весьма интересно в свете того, что системы Морса–Смейла моделируют многочисленные регулярные процессы в естествознании, а также когнитивные и эмоциональные функции мозга [1]. Остановимся более подробно на современном состоянии исследований в области, связанной с системами Морса–Смейла, заданными на ориентируемых многообразиях (см. также [22] и [28]). В 1937 г. А. А. Андронов и Л. С. Понтрягин [3] ввели понятие грубой системы в ограниченной части плоскости и установили критерий грубости такой системы. Оказалось, что эти системы имеют гиперболическое неблуждающее множество и не имеют связок (траекторий, идущих из седла в седло), более того, они плотны в пространстве всех потоков на плоскости. Этот результат был обобщен М. Пейшото [47], [48] на произвольные замкнутые поверхности с заменой понятия грубости понятием структурной устойчивости (равносильность этих понятий для потоков на плоскости была им установлена там же). В начале шестидесятых годов прошлого века С. Смейл [64], подобно А. А. Андронову и Л. С. Понтрягину, ввел в рассмотрение класс динамических систем с конечным неблуждающим гиперболическим множеством, чьи инвариантные многообразия пересекаются трансверсально, и доказал, что числа неблуждающих орбит разных индексов удовлетворяют соотношениям, подобным неравенствам Морса, после чего такие системы, так же как и их дискретные аналоги, были названы системами Морса–Смейла. Позже С. Смейлом и Дж. Палисом [45], [46] была доказана структурная устойчивость динамических систем (потоков и каскадов) Морса–Смейла. Несмотря на тривиальность неблуждающего множества, топологическая классификация таких систем еще очень далека от своего завершения. Потоки Морса–Смейла исчерпывающе классифицированы с точностью до топологической эквивалентности на поверхностях (в работах Е. А. Леонтович, А. Г. Майера [36], [37], М. Пейшото [49], А. А. Ошемкова и В. В. Шарко [44]). Перечислим известные результаты, связанные с топологической классификацией различных классов потоков Морса–Смейла на многообразиях размерности 3 и выше. Дж. Флейтас [16] получена топологическая классификация полярных потоков (потоков Морса–Смейла, неблуждающее множество которых содержит в точности две узловые точки и произвольное число седловых периодических точек) на трехмерных многообразиях. Я. Л. Уманским [65] получена топологическая классификация потоков Морса–Смейла с конечным числом гетероклинических траекторий на трехмерных многообразиях. А. О. Пришляк [60] получил полную классификацию трехмерных градиентно-подобных потоков (потоков Морса–Смейла без периодических траекторий). С. Ю. Пилюгиным [50] получена топологическая классификация потоков Морса–Смейла без гетероклинических пересечений на сфере размерности, не меньшей 3. Классификационные результаты для некоторых классов многомерных градиентно-подобных потоков получены в работах В. З. Гринеса, Е. Я. Гуревич, Е. В. Жужомы, О. В. Починки [20], [31], [22], [18], [34], [19]. В работах О. В. Починки и Д. Д. Шубина получена классификация трехмерных неособых потоков с малым числом периодических орбит [63], [53], [54]. Диффеоморфизмы Морса–Смейла на поверхностях, в отличие от потоков, допускают траектории, идущие из седла в седло, – гетероклинические траектории. Такие двоякоасимптотические движения сильно усложняют динамику. Классификация диффеоморфизмов Морса–Смейла на поверхностях была получена Х. Бонатти и Р. Ланжевеном [15] как часть классификации структурно устойчивых диффеоморфизмов с нульмерными базисными множествами. Ими доказано, что каждому диффеоморфизму Смейла соответствует конечный комбинаторный объект, представляющий собой набор геометрических типов марковских разбиений. Однако диффеоморфизмы Морса–Смейла не были выделены для отдельного рассмотрения, в связи с чем для них такая классификация оказалась неоправданно трудоемкой. При отсутствии гетероклинических точек диффеоморфизм Морса–Смейла называется градиентно-подобным, и для таких диффеоморфизмов различные полные топологические инварианты были найдены в работах А. Н. Безденежных, В. З. Гринеса, С. Х. Капкаевой, О. В. Починки [4]–[6], [24]. В работах В. З. Гринеса, Т. М. Митряковой, А. И. Морозова, О. В. Починки [17], [41], [38] получена полная топологическая классификация поверхностных диффеоморфизмов Морса–Смейла с конечным числом гетероклинических орбит. Трудности перехода от двумерных многообразий к многообразиям высшей размерности связаны не только с наличием гетероклинических орбит (открытых еще А. Пуанкаре), но и с возможностью дикого вложения сепаратрис седловых периодических точек (т. е. замыкание сепаратрисы не является подмногообразием объемлющего пространства). Наличие у 3-диффеоморфизмов Морса–Смейла диких сепаратрис обусловлено в первую очередь тем, что в общем случае они не включаются даже в топологический поток [21]. Первый пример такого диффеоморфизма на трехмерной сфере построил Д. Пикстон [51]. В. З. Гринес и Х. Бонатти доказали, что имеется счетное множество несопряженных диффеоморфизмов Морса–Смейла 3-сферы с четырьмя неподвижными точками с одним и тем же графом Пейшото. Работа Х. Бонатти, В. З. Гринеса, О. В. Починки [14], в которой была получена полная топологическая классификация диффеоморфизмов Морса–Смейла на произвольных замкнутых 3-многообразиях, завершила большую серию работ Х. Бонатти, В. З. Гринеса, Е. Я. Гуревич, Е. В. Жужомы, Ф. Лауденбаха, В. С. Медведева, Э. Пеку, О. В. Починки, приближающих решение этой проблемы [23], [22], [7]–[14], [27], [52], [25], [30]. В том случае, когда размерность несущего многообразия диффеоморфизма равна 3, гетероклиническое множество может быть непустым дизъюнктным объединением кривых. При изучении детерминированных процессов, описываемых системами Морса–Смейла, особую роль играют некомпактные гетероклинические кривые, которые в случае потока являются траекториями, а в случае диффеоморфизма – кривыми, инвариантными для некоторой его степени. С конца двадцатого века и по настоящее время в серии работ Е. Приста и Т. Форбса [58], [59] уделено большое внимание проблеме описания топологии магнитного поля в короне Солнца, важную роль в котором играют так называемые сепараторы. Математической моделью сепараторов являются как раз гетероклинические траектории и кривые, а вопрос об их существовании является одной из принципиальных проблем магнитной гидродинамики. Х. Бонатти, В. З. Гринес и В. С. Медведев [10] в 2002 г. получили эффективное достаточное условие существования гетероклинических траекторий и кривых, которое им, совместно с Е. В. Жужомой, Т. В. Медведевым и О. В. Починкой [26], удалось применить для выявления сепараторов в магнитном поле короны Солнца. В частности, из результатов, полученных в [9], следует, что 3-многообразие допускает диффеоморфизм Морса–Смейла без гетероклинических кривых тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно связной сумме конечного числа копий $\mathbb S^2\times\mathbb S^1$, явно выражающегося через число седловых и узловых периодических орбит диффеоморфизма. В. З. Гринесом, Е. В. Жужомой и В. С. Медведевым [29] доказано, что в случае локально плоского (не дикого) вложения одномерных сепаратрис седловых точек несущее многообразие градиентно-подобного 3-диффеоморфизма допускает разложение Хегора, род которого однозначно выражается через число седловых и узловых периодических орбит диффеоморфизма. Существует ли подобная связь в случае дикого вложения сепаратрис – вопрос, открытый на сегодняшний день. В настоящей работе рассмотрен класс $G$ градиентно-подобных диффеоморфизмов $f$, заданных на ориентируемых замкнутых связных многообразиях $M^3$ и имеющих неблуждающие точки попарно различных индексов. Из определения класса следует, что неблуждающее множество диффеоморфизма $f\in G$ состоит в точности из четырех точек $\omega_f$, $\sigma_f^{1}$, $\sigma_f^{2}$, $\alpha_f$ с индексами Морса $0,1,2,3$ соответственно. Первые примеры таких диффеоморфизмов были построены в работе Е. В. Круглова и Е. А. Талановой [35]. Любой диффеоморфизм $f\in G$ имеет в точности две седловые точки $\sigma_f^1$ и $\sigma_f^2$ индексов Морса 1 и 2 соответственно, пересечение двумерных многообразий которых образует гетероклиническое множество
$$
\begin{equation*}
H_f=W^{\rm s}_{\sigma_f^1}\cap W^{\rm u}_{\sigma_f^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из результатов, полученных в работе [29], следует, что в случае локально плоского вложения одномерных сепаратрис несущее многообразие диффеоморфизма $f\in G$ гомеоморфно линзовому пространству $L_{p,q}$. При этом множество $H_f$ содержит не менее $p$ некомпактных гетероклинических кривых. Верно и обратное утверждение о существовании на любом линзовом пространстве диффеоморфизма из класса $G$ с локально плоско вложенными одномерными сепаратрисами. Основной целью настоящей работы является доказательство существования в рассматриваемом классе диффеоморфизмов с дикими сепаратрисами, описание топологии несущего многообразия для таких диффеоморфизмов, а также нахождение топологических инвариантов и построение квазиэнергетических функций некоторых подклассов диффеоморфизмов множества $G$. Для любого диффеоморфизма $f\in G$ введем понятие гетероклинического индекса $I_f$ следующим образом. Если множество $H_f$ не содержит некомпактных кривых, то положим $I_f=0$. В противном случае обозначим через $\widetilde H_f$ подмножество, состоящее из некомпактных кривых. Так как любая кривая $\gamma\subset \widetilde H_f$ содержит вместе с любой точкой $x\in\gamma$ точку $f(x)$, будем считать кривую $\gamma$ ориентированной в направлении от $x$ к $f(x)$. Также зафиксируем ориентацию на многообразиях $W^{\rm s}_{\sigma_1}$ и $W^{\rm u}_{\sigma_2}$. Для некомпактной гетероклинической кривой $\gamma$ обозначим через
$$
\begin{equation*}
v_\gamma=(\vec v^1_\gamma,\vec v^2_\gamma,\vec v^3_\gamma)
\end{equation*}
\notag
$$
тройку векторов с началом в точке $x\in\gamma$ таких, что $\vec v^1_\gamma$ – вектор нормали к $W^{\rm s}_{\sigma_1}$, $\vec v^2_\gamma$ – вектор нормали к $W^{\rm u}_{\sigma_2}$ и $\vec v^3_\gamma$ – касательный вектор к ориентированной кривой $\gamma$. Назовем $v_\gamma$ репером некомпактной гетероклинической кривой $\gamma$. Очевидно, что ориентация (положительная или отрицательная) репера $v_\gamma$ не зависит от выбора точки $x$ на $\gamma$. Положим $I_\gamma=+1$ ($I_\gamma=-1$) в случае положительной (отрицательной) ориентации. Число
$$
\begin{equation*}
I_{f}=\biggl|\sum_{\gamma\subset \widetilde H_f}I_\gamma\biggr|
\end{equation*}
\notag
$$
назовем гетероклиническим индексом диффеоморфизма $f$. Для целого числа $p\geqslant 0$ обозначим через $G_p\subset G$ подмножество диффеоморфизмов $f\in G$ таких, что $I_{f}=p$. Аналогичным образом определяется репер компактной гетероклинической кривой $\gamma$, ограничивающей диск $d_\gamma\subset W^{\rm s}_{\sigma_f^1}$, содержащий седло $\sigma_f^1$. При этом кривая $\gamma$ ориентирована так, что при движении вдоль нее диск $d_\gamma$ остается слева. Для диффеоморфизма $f\in G_p$, $p>0$, множество $H_f$ назовем ориентируемым, если оно состоит только из некомпактных кривых, и реперы всех кривых в $H_f$ имеют одинаковую ориентацию. Для диффеоморфизма $f\in G_0$ множество $H_f$ назовем ориентируемым, если оно либо пусто, либо состоит только из компактных кривых, ограничивающих диски на $W^{\rm s}_{\sigma_f^1}$, содержащие седло $\sigma_f^1$, и реперы всех кривых в $H_f$ имеют одинаковую ориентацию. Обозначим через $G^+_p\subset G_p$, $p\geqslant 0$, подмножество диффеоморфизмов $f\in G_p$ с ориентируемым множеством $H_f$. Следующий доказанный в работе факт является ключом к описанию топологии многообразий, допускающих диффеоморфизмы класса $G$: Полный топологический инвариант, полученный в [14] для 3-диффеоморфизмов Морса–Смейла, состоит из замкнутого связного ориентируемого простого 3-многообразия и двух вложенных в него трансверсально пересекающихся ламинаций, состоящих из торов и бутылок Клейна. В работе [13] выделены все допустимые инварианты, и по каждому из них реализован диффеоморфизм Морса–Смейла. Однако отсутствие классификации простых 3-многообразий и вложенных в них ламинаций не всегда позволяет реализовывать диффеоморфизмы с заданными свойствами. В некоторых частных случаях инварианты зачастую находятся более естественным образом. Так, для диффеоморфизмов, имеющих в точности одну седловую точку (диффеоморфизмов Пикстона), в работе [7] установлено, что их топологическая сопряженность полностью определяется эквивалентностью узлов Хопфа (узлов $L\subset\mathbb S^2\times\mathbb S^1$, принадлежащих гомотопическому классу стандартного узла $L_0=\{s\}\times\mathbb S^1$), являющихся проекциями одномерных неустойчивых седловых сепаратрис в соответствующее каждому диффеоморфизму пространство орбит бассейна стока. Среди хопфовских узлов различают тривиальные (эквивалентные стандартному узлу) и нетривиальные. Из результатов П. М. Ахметьева и О. В. Починки [2] следует, что существует счетное число попарно не эквивалентных (объемлюще не гомеоморфных) нетривиальных хопфовских узлов. В силу [51], [7] любой узел Хопфа может быть реализован диффеоморфизмом Пикстона на 3-сфере. В настоящей работе аналогичный результат получен для диффеоморфизмов класса $G_1^+$: Одним из основных результатов результатов работы является доказательство следующего факта: Также в работе дано конструктивное доказательство следующего утверждения: Заметим, что все ранее известные примеры диффеоморфизмов рассматриваемого класса с дико вложенными одномерными сепаратрисами строились только на трехмерной сфере. 1. Необходимые сведения и факты1.1. Сведения из топологииДля любого подмножества $X$ топологического пространства $Y$ будем обозначать через $i_X\colon X\to Y$ отображение включения. Для любого непрерывного отображения $\phi\colon X\to Y$ из топологического пространства $X$ в топологическое пространство $Y$ будем обозначать через $\phi_*\colon \pi_1(X)\to\pi_1(Y)$ индуцированный им гомоморфизм. $C^{r}$-вложением $(r\geqslant 0)$ многообразия $X$ в многообразие $Y$ называется отображение $f\colon X \to Y$ такое, что $f\colon X\to f(X)$ есть $C^r$-диффеоморфизм. $C^0$-вложение называют также топологическим вложением. Топологическое вложение $\lambda\colon X \to Y$ $m$-многообразия $X$ в $n$-многообразие $Y$ ($m\leqslant n$) называется локально плоским в точке $\lambda(x)$, $x \in X$, если точка $\lambda(x)$ принадлежит такой карте $(U,\psi)$ многообразия $Y$, что либо $\psi (U \cap \lambda(X))=\mathbb{R}^{m}$, где $\mathbb{R}^{m} \subset\mathbb{R}^{n}$ – множество точек, у которых последние $n-m$ координат равны нулю, либо $\psi(U \cap \lambda(X))=\mathbb{R}^{m}_{+}$, где $\mathbb{R}^{m}_{+} \subset\mathbb{R}^{m}$ – множество точек, у которых последняя координата неотрицательна. Вложение $\lambda$ называется локально плоским, а многообразие $X$ – локально плоско вложенным, если $\lambda$ является локально плоским в каждой точке $\lambda(x)$, $x\in X$. В противном случае вложение $\lambda$ называется диким, а многообразие $X$ – дико вложенным. Любая точка $\lambda(x)$, в которой отображение $\lambda$ не является локально плоским, называется точкой дикости. Пусть
$$
\begin{equation*}
\mathbb{D}^{n}=\biggl\{(x_{1},\dots, x_{n})\in \mathbb{R}^{n}\colon \sum_{i=1}^{n} x^{2}_{i} \leqslant 1\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
– стандартный $n$-диск (шар), $\mathbb{D}^{0}=\{0\}$ и
$$
\begin{equation*}
\mathbb{S}^{n-1}=\biggl\{(x_{1},\dots,x_{n})\in \mathbb{R}^{n}\colon \sum_{i=1}^{n} x^{2}_{i}=1\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
– стандартная $(n-1)$-сфера, $\mathbb{S}^{-1}=\varnothing$. Предложение 1.1 [10; лемма 2.1]. Пусть $\lambda\colon \mathbb{S}^2\to M^3$ – топологическое вложение, которое является гладким всюду, кроме одной точки $x_{0}=\lambda(s_{0}) $, $s_{0}\in \mathbb{S}^2$, и пусть $\Sigma=\lambda(\mathbb{S}^2) $, $y_0\in \Sigma\setminus\{x_0\}$ – фиксированная точка, а $V$ – фиксированная окрестность сферы $\Sigma$. Тогда существует гладкий 3-шар $B$, содержащийся в $V$ и такой, что $x_0\in B$ и $\partial B$ трансверсально пересекает $\Sigma$ по единственной кривой, разделяющей в $\Sigma$ точки $x_0$ и $y_0$. Топологически вложенная в $n$-многообразие $X$ $(n-1)$-сфера ${S}^{n-1}$ называется цилиндрической или цилиндрически вложенной, если существует топологическое вложение $e\colon\mathbb{S}^{n-1}\times[-1,1]\to X$ такое, что $e(\mathbb{S}^{n-1}\times\{0\}) ={S}^{n-1}$. $n$-многообразие $X$ называется неприводимым, если любая $(n-1)$-сфера, цилиндрически вложенная в $X$, ограничивает в нем $n$-шар. 3-многообразие $X$ называется простым, если оно либо неприводимо, либо гомеоморфно $\mathbb{S}^{2}\times{\mathbb{S}^{1}}$. Топологически вложенная в $3$-многообразие $X$ поверхность $F$ называется собственно вложенной, если $\partial X \cap F=\partial F$. Собственно вложенная в $X$ поверхность $F$ называется сжимаемой в $X$ в одном из следующих двух случаев: 1) существуют нестягиваемая простая замкнутая кривая $c \subset \operatorname{int} F$ и вложенный 2-диск $D \subset \operatorname{int} X$ такие, что $D \cap F=\partial D=c$; 2) существует 3-шар $B \subset \operatorname{int} X$ такой, что $F=\partial B$. Поверхность $F$ называется несжимаемой в $X$, если она не является сжимаемой в $X$. Предложение 1.2 [7; теорема 4]. Пусть $T$ – двумерный тор, гладко вложенный в многообразие $\mathbb{S}^{2}\times \mathbb{S}^{1}$ так, что $i_{T*}(\pi_1(T))\ne 0$. Тогда $T$ ограничивает в $\mathbb{S}^{2}\times \mathbb{S}^{1}$ заполненный тор. Предложение 1.3 [7; лемма 3.1]. Пусть $S$ – двумерная сфера, цилиндрически вложенная в многообразие $\mathbb{S}^{2}\times \mathbb{S}^{1}$. Тогда $S$ либо ограничивает там 3-шар, либо объемлюще изотопна сфере $\mathbb S^2\times\{s_0\}$, $s_0\in\mathbb S^1$. Предложение 1.4 [43; упражнение 6]. Любой двусторонний сжимаемый тор $T$ в неприводимом 3-многообразии $X$ либо ограничивает там заполненный тор, либо содержится в 3-шаре. Предложение 1.5 [32; гл. 4, разд. 5, следствие 1]. Никакое $n$-мерное многообразие не может быть разбито подмножеством размерности $\leqslant n -2$. Напомним, что узлом на многообразии $M^n$ называется гладкое вложение $\gamma\colon\mathbb S^1\to M^n$ или образ этого вложения $L=\gamma(\mathbb S^1)$. Узлы $L$ и $L'$ называются эквивалентными, если существует гомеоморфизм $h\colon M^n\to M^n$ такой, что $h(L)=L'$. Через $[L]$ будем обозначать класс эквивалентности узла $L$. Предложение 1.6 [42]. Если узлы $L,L'\subset M^n$, $n\leqslant 3$, эквивалентны, то существует диффеоморфизм $h\colon M^n\to M^n$ такой, что $h(L)=L'$. Узлы $\gamma$ и $\gamma'$ называются (гладко) гомотопными, если существует (гладкое) непрерывное отображение $\Gamma\colon\mathbb S^1\times[0,1]\to M^n$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\Gamma(s,0)=\gamma(s)\quad\text{и}\quad \Gamma(s,1)=\gamma'(s) \quad\text{для любого}\ \ s\in\mathbb S^1.
\end{equation*}
\notag
$$
Если при этом $\Gamma|_{\mathbb S^1\times\{t\}}$ – вложение для любого $t\in[0,1]$, то узлы называются (гладко) изотопными. Узел $L\subset\mathbb S^2\times\mathbb S^1$ называется узлом Хопфа, если гомоморфизм $i_{L*}$, индуцированный включением $i_{L}\colon L\to\mathbb S^2\times\mathbb S^1$, является изоморфизмом групп $\pi_1(L)\cong\pi_1(\mathbb S^2\times\mathbb S^1)\cong\mathbb Z$. Любой хопфовский узел гладко гомотопен стандартному хопфовскому узлу $L_0=\{x\}\times\mathbb S^1$ (см., например, [33]), но не является изотопным или эквивалентным ему в общем случае. Б. Мазур [39] построил хопфовский узел $L_{\rm M}$, неэквивалентный и неизотопный узлу $L_0$ (см. рис. 1). В работе [2] построено счетное семейство хопфовских узлов $L_n$ (см. рис. 2), для которых там же доказано, что они попарно неэквивалентны. Напомним, что линзовое пространство определяется как склейка двух заполненных торов посредством гомеоморфизма их границ и обозначается $L_{p,q}$, $p,q\in\mathbb Z$, где ${\langle p,q\rangle}$ – гомотопический тип образа меридиана относительно склеивающего гомеоморфизма. Некоторые известные $3$-многообразия в действительности являются линзовыми пространствами, например трехмерная сфера $\mathbb S^3=L_{1,0}$, многообразие $\mathbb S^2\times\mathbb S^1=L_{0,1}$, проективное пространство $\mathbb RP^3=L_{1,2}$. 1.2. Диффеоморфизмы Морса–СмейлаПусть $M^n$ – гладкое замкнутое ориентируемое $n$-многообразие с метрикой $d$, и пусть $f\colon M^n\to M^n$ – сохраняющий ориентацию диффеоморфизм. Для характеристики блуждаемости траекторий диффеоморфизма традиционно используется понятие цепной рекуррентности. Напомним сначала следующее определение: $\varepsilon$-цепью длины $m\in\mathbb N$ диффеоморфизма $f$, соединяющей точку $x$ с точкой $y$, называется последовательность точек $x=x_0,\dots,x_m=y$ такая, что $d(f(x_{i-1}),x_{i})<\varepsilon$ для $1\leqslant i\leqslant m$. Точка $x\in M^n$ называется цепно рекуррентной точкой диффеоморфизма $f$, если для любого $\varepsilon>0$ существуют $m$, зависящее от $\varepsilon>0$, и $\varepsilon$-цепь длины $m$, соединяющая точку $x$ c ней самой. Множество всех цепно рекуррентных точек $f$ называется цепно рекуррентным множеством $f$ и обозначается $\mathcal R_{f}$. На цепно рекуррентном множестве можно ввести отношение эквивалентности следующим правилом: $x\sim y$, если для любого $\varepsilon>0$ существуют $\varepsilon$-цепи, соединяющие $x$ с $y$ и $y$ с $x$. Тогда цепно рекуррентное множество разбивается на классы эквивалентности, называемые цепными компонентами. Если цепно рекуррентное множество диффеоморфизма $f$ конечно, то оно состоит из периодических точек. Периодическая точка $p\in\mathcal R_f$ периода $m_p$ называется гиперболической, если все собственные значения матрицы Якоби $\biggl(\dfrac{\partial f^{m_p}}{\partial x}\biggr)\bigg|_{p}$ по модулю не равны единице. Если все собственные значения по модулю меньше (или больше) единицы, то $p$ называют стоковой (соответственно источниковой) точкой. Стоковые и источниковые точки называются узловыми. Если гиперболическая периодическая точка не является узловой, то она называется седловой точкой. Из гиперболической структуры периодической точки $p$ и конечности цепно рекуррентного множества следует, что ее устойчивое многообразие
$$
\begin{equation*}
W^{\rm s}_p=\Bigl\{x\in M^n\colon\lim_{k\to+\infty}d(f^{km_p}(x),p)=0\Bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и неустойчивое многообразие
$$
\begin{equation*}
W^{\rm u}_p=\Bigl\{x\in M^n\colon \lim_{k\to+\infty}d(f^{-km_p}(x),p)=0\Bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
являются гладкими подмногообразиями, диффеоморфными $\mathbb R^{n-q_p}$ и $\mathbb R^{q_p}$ соответственно, где $q_p$ – число собственных значений матрицы Якоби, по модулю больших единицы (индекс Морса точки $p$). Устойчивые и неустойчивые многообразия называются инвариантными многообразиями. Компонента связности множества $W^{\rm u}_p\setminus p$ (или $W^{\rm s}_p\setminus p$) называется неустойчивой (соответственно устойчивой) сепаратрисой точки $p$. Диффеоморфизм $f\colon M^n\to M^n$ называется диффеоморфизмом Морса–Смейла, если выполнены следующие условия: 1) цепно рекуррентное множество $\mathcal R_f$ состоит из конечного числа гиперболических точек; 2) многообразия $W^{\rm s}_p$ и $W^{\rm u}_q$ пересекаются трансверсально для любых точек $p,q\in\mathcal R_f$. Обозначим через $\operatorname{MS}(M^{n})$ множество сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса–Смейла, заданных на ориентируемом $n$-многообразии $M^n$. Заметим, что в силу гиперболичности цепно рекуррентное множество любого диффеоморфизма Морса–Смейла совпадает с его неблуждающим множеством $\Omega_f$. Напомним, что точка $x\in M^n$ называется блуждающей точкой диффеоморфизма $f\colon M^n\to M^n$, если она обладает окрестностью $U_x\subset M^n$ такой, что
$$
\begin{equation*}
f^k(U_x)\cap U_x=\varnothing\quad\text{для любого } k\ne 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Дополнение до множества блуждающих точек называется неблуждающим множеством диффеоморфизма $f$. Для множества $P\subset\Omega_f$ обозначим
$$
\begin{equation*}
W^{\rm u}_P=\bigcup_{p\in P} W^{\rm u}_p,\qquad W^{\rm s}_P=\bigcup_{p\in P} W^{\rm s}_p.
\end{equation*}
\notag
$$
Компактное $f$-инвариантное множество $A\subset M^n$ называется аттрактором диффеоморфизма $f$, если оно имеет компактную окрестность $U_{A}$ такую, что
$$
\begin{equation*}
f(U_{A})\subset \operatorname{int} U_{A}\quad\text{и}\quad A=\bigcap_{k\geqslant 0} f^{k}(U_{A}).
\end{equation*}
\notag
$$
Окрестность $U_{A}$ при этом называется захватывающей или изолирующей. Репеллер определяется как аттрактор для $f^{-1}$. В случае, когда $p$ – гиперболическая периодическая точка диффеоморфизма $f\in \operatorname{MS}(M^n)$, мы будем использовать следующие обозначения:
Предложение 1.7 [25; теорема 2.1.1]. Пусть $f\in \operatorname{MS}(M^{n})$. Тогда: 1) $M^{n}=\underset{p\in{\mathcal R}_{f}}{\bigcup}W^{\rm u}_{p}$; 2) $W^{\rm u}_{p}$ является гладким подмногообразием многообразия $M^{n}$, диффеоморфным $\mathbb{R}^{q_{p}}$ для любой периодической точки $p\in{\mathcal R}_{f}$; 3) $\operatorname{cl}(\ell^{\rm u}_{p})\setminus(\ell^{\rm u}_{p}\cup p)= \bigcup\limits_{r\in{\mathcal R}_{f}: \ell^{\rm u}_{p}\cap W^{\rm s}_{r}\ne\varnothing}W^{\rm u}_{r}$ для любой неустойчивой сепаратрисы $\ell^{\rm u}_{p}$ периодической точки $p\in{\mathcal R}_{f}$. Переходом к отображению $f^{-1}$ доказывается аналогичное предложение для устойчивых многообразий. Если $\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$ – различные седловые периодические точки диффеоморфизма $f\in \operatorname{MS}(M^{n})$, для которых $W^{\rm s}_{\sigma_{1}}\cap W^{\rm u}_{\sigma_{2}}\ne\varnothing$, то пересечение $W^{\rm s}_{\sigma_{1}}\cap W^{\rm u}_{\sigma_{2}}$ называется гетероклиническим пересечением. При этом нульмерные компоненты линейной связности гетероклинического пересечения называются гетероклиническими точками, одномерные – гетероклиническими кривыми, а компоненты большей размерности называются гетероклиническими многообразиями. Диффеоморфизм $f \in \operatorname{MS}(M^n)$ называется градиентно-подобным, если из условия $W^{\rm s}_{\sigma_1} \cap W^{\rm u}_{\sigma_2} \ne \varnothing$ для различных точек $\sigma_1, \sigma_2 \in {\mathcal R}_f$ следует неравенство $\dim W^{\rm u}_{\sigma_1}< \dim W^{\rm u}_{\sigma_2}$ (что эквивалентно отсутствию гетероклинических точек у диффеоморфизма $f$). Предложение 1.8 [25; предложение 2.1.3]. Если сепаратриса $\ell^{\rm u}_p$ седловой точки $p$ диффеоморфизма $f\in \operatorname{MS}(M^{n})$ не участвует в гетероклиническом пересечении, то существует единственная стоковая точка $\omega$ такая, что При этом $\operatorname{cl}(\ell^{\rm u}_p)$ гомеоморфно отрезку, если $q_p=1$, и гомеоморфно сфере $\mathbb S^{q_p}$, если $q_p>1$. Положим $\widehat{W}^{\rm u}_{p}=(W^{\rm u}_{p}\setminus {p})/f^{m_p}$ и обозначим через $p_{\widehat{{W}}^{\rm u}_{p}}\colon W^{\rm u}_{p} \setminus {p} \to \widehat{{W}}^{\rm u}_{p} $ естественную проекцию. Предложение 1.9 [25; теорема 2.1.3]. Проекция $p_{\widehat{W}^{\rm u}_{p}}$ является накрытием, которое индуцирует структуру гладкого $q_{p}$-многообразия на пространстве орбит $\widehat{W}^{\rm u}_{p}$. При этом: Пусть $f\in \operatorname{MS}(M^n)$. Обозначим $\Omega_f^i$ периодические точки диффеоморфизма $f$ индекса Морса $i$. Разобьем множество $\Omega^1_f\cup\Omega^2_f\cup\cdots\cup\Omega^{n-1}_f$ на два непересекающиеся подмножества $\Sigma_{A}$ и $\Sigma_{R}$ такие, что множества
$$
\begin{equation*}
A=\Omega^0_f\cup W^{\rm u}_{\Sigma_{A}},\qquad R=\Omega^n_f\cup W^{\rm s}_{\Sigma_{R}}
\end{equation*}
\notag
$$
замкнуты и инвариантны. По построению множества $A$, $R$ содержат все периодические точки диффеоморфизма $f$. Наибольшую размерность неустойчивого (соответственно устойчивого) многообразия периодических точек из $A$ (соответственно $R$) будем называть размерностью $A$ (соответственно $R$). Предложение 1.10 [30; теорема 1]. Пусть $f\in \operatorname{MS}(M^n)$. Тогда множество $A$ является аттрактором, а множество $R$ – репеллером диффеоморфизма $f$. Более того, если размерность аттрактора $A$ (или репеллера $R$) не превосходит $n-2$, то репеллер $R$ (соответственно аттрактор $A$) является связным. Следуя [30], будем называть $A$ и $R$ дуальной парой аттрактор-репеллер диффеоморфизма Морса–Смейла $f\in \operatorname{MS}(M^n)$, а множество $V=M^n\setminus(A\cup R)$ характеристическим множеством. Обозначим через множество орбит действия группы $F=\{f^k,k\in\mathbb{Z}\}$ на многообразии $V$ – характеристическое пространство, которое совпадает с множеством орбит диффеоморфизма $f$ на $V$. Пусть – естественная проекция, ставящая в соответствие точке $x\in V$ ее орбиту в силу диффеоморфизма $f$ и наделяющая множество $\widehat V$ фактортопологией.Предложение 1.11 [30; теорема 2]. Для любой дуальной пары аттрактор-репеллер $(A,R)$ сохраняющего ориентацию диффеоморфизма Морса–Смейла $f\in \operatorname{MS}(M^n)$ справедливы следующие утверждения: 1) характеристическое пространство $\widehat V$ является замкнутым гладким ориентируемым $n$-многообразием, каждая компонента связности которого либо неприводима, либо гомеоморфна $\mathbb{S}^{n-1}\times\mathbb{S}^1$; 2) проекция $p_{\widehat V}\colon V\to\widehat V$ является накрытием; 3) отображение $\eta_{\widehat V}$, ставящее в соответствие каждому гомотопическому классу $[\widehat c]$ петель $\widehat c\subset\widehat V$, замкнутых в точке $\widehat x$, целое число $n$ такое, что поднятие петли $\widehat c$ на $V$ соединяет некоторую точку $x\in p^{-1}_{\widehat V}(\widehat x)$ с точкой $f^n(x)$, является гомоморфизмом на фундаментальной группе каждой компоненты связности пространства $\widehat V$; 4) если размерность аттрактора $A$ и репеллера $R$ не превосходит $n-2$, то множества $V$ и $\widehat V$ связны, и отображение $\eta_{\widehat V}\colon \pi_1(\widehat V)\to\mathbb Z$ – эпиморфизм. Подмногообразие $\widehat X\subset\widehat V$ будем называть $\eta_{\widehat V}$-существенным, если
$$
\begin{equation*}
\eta_{\widehat V}(i_{\widehat X*}(\pi_1(\widehat X)))\ne \{0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $U_{A}$ – захватывающая окрестность аттрактора $A$ диффеоморфизма Морса–Смейла $f\colon M^n\to M^n$, и $R$ – репеллер, дуальный к аттрактору $A$. Положим тогда $\operatorname{cl}(F_{A})$ – фундаментальная область ограничения диффеоморфизма $f$ на $V$. Положим $\widehat V_{A}=\operatorname{cl}(F_{A})/f$, тогда $\widehat V_{A}$ – гладкое замкнутое $n$-многообразие, полученное из $\operatorname{cl}(F_{A})$ отождествлением границ в силу диффеоморфизма $f$. Обозначим через $p_{A}\colon \operatorname{cl}(F_{A})\to \widehat V_{A}$ естественную проекцию.Рассмотрим семейство $E_f\in \operatorname{Diff}(M^n)$ таких диффеоморфизмов, что ${\mathcal R}_{f'}= {\mathcal R}_{f}$ для любого диффеоморфизма $f'\in E_f$, и диффеоморфизм $f'$ совпадает с диффеоморфизмом $f$ на $U_{A}$ и в некоторой окрестности репеллера $R$. Для любого диффеоморфизма $f'\in E_f$ положим
$$
\begin{equation*}
\widehat l^{\rm s}_{f'}=p_{A}(W^{\rm s}_{\Sigma_{A}}\cap F_{A})\quad\text{и}\quad \widehat l^{\rm u}_{f'}=p_{A}(W^{\rm u}_{\Sigma_{R}}\cap F_{A}).
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 1.12 [62; лемма 1]. Пусть $\widehat h\colon \widehat V_{A} \to \widehat V_{A}$ – изотопный тождественному диффеоморфизм. Тогда существует гладкая дуга ${\varphi}_{t}\subset E_f$ такая, что 1.3. Классификация 3-диффеоморфизмов Морса–СмейлаПусть $f\in \operatorname{MS}(M^3)$. Положим
$$
\begin{equation*}
A_f=W^{\rm u}_{\Omega_f^0\cup\Omega_f^1},\qquad R_f=W^{\rm s}_{\Omega_f^2\cup\Omega_f^3},\qquad V_f=M^3\setminus(A_f\cup R_f).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу предложения 1.11 множество $A_f$ (или $R_f$) является связным аттрактором (соответственно репеллером), топологическая размерность которого не превосходит 1, множество $V_f$ есть связное 3-многообразие и
$$
\begin{equation*}
V_f=W^{\rm s}_{A_f\cap \Omega_f}\setminus A_f= W^{\rm u}_{R_f\cap \Omega_f}\setminus R_f.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, характеристическое пространство $\widehat V_f=V_f/f$ есть связное замкнутое ориентируемое 3-многообразие, и естественная проекция $p_{f}\colon V_f\to\widehat V_f$ индуцирует эпиморфизм $\eta_{f}\colon \pi_1(\widehat V_f)\to\mathbb Z$, приписывающий каждому гомотопическому классу $[c]\in\pi_1(\widehat V_f)$ замкнутой кривой $c\subset\widehat V_f$ целое число $n$ такое, что поднятие кривой $c$ на $V_f$ соединяет некоторую точку $x\in V_f$ с точкой $f^n(x)$. Положим
$$
\begin{equation*}
\widehat{L}^{\rm s}_f=p_{f}(W^{\rm s}_{\Omega_f^1}\setminus A_f),\qquad \widehat{L}^{\rm u}_f=p_{f}(W^{\rm u}_{\Omega_f^2}\setminus R_f).
\end{equation*}
\notag
$$
Набор $S_{f}=(\widehat V_{f},\eta_{_{f}},\widehat{L}^{\rm s}_{f},\widehat{L}^{\rm u}_{f})$ называют схемой диффеоморфизма $f\in \operatorname{MS}(M^3)$. Предложение 1.13 [14; теорема 1]. Диффеоморфизмы $f,f'\in \operatorname{MS}(M^3)$ топологически сопряжены тогда и только тогда, когда их схемы эквивалентны, т. е. существует гомеоморфизм $\widehat\varphi\colon\widehat V_{f}\to\widehat V_{f'}$ такой, что (a) $\eta_{f}=\eta_{_{f'}}\widehat\varphi_*$; (b) $\widehat\varphi(\widehat L^{\rm s}_f)=\widehat L^{\rm s}_{f'}$, $\widehat\varphi(\widehat L^{\rm u}_f)=\widehat L^{\rm u}_{f'}$. Для решения проблемы реализации необходимо выделить множество всех абстрактных схем, допускающих реализацию (т. е. построение диффеоморфизма Морса–Смейла, схема которого эквивалентна выбранной абстрактной схеме). Пусть $\widehat V$ – простое гладкое 3-многообразие, чья фундаментальная группа допускает эпиморфизм $\eta\colon\pi_1(\widehat V)\to \mathbb Z$, и пусть $\widehat{\ell}\subset\widehat V$ есть $\eta$-существенный гладкий тор, а $N_{\widehat{\ell}}\subset\widehat V$ – его трубчатая окрестность. Пусть $\widehat Y=\mathbb D^2\times\mathbb S^1$ и $\widehat\mu$ – меридиан заполненного тора $\widehat Y$ (замкнутая кривая, стягиваемая на $\widehat Y$ и не стягиваемая на $\partial\widehat Y$), а $\zeta_\ell\colon\partial\widehat Y\times\mathbb S^0\to \partial N_{\widehat{\ell}}$ – диффеоморфизм такой, что $\eta(\zeta_\ell(\widehat{\mu}\times\mathbb S^0))=0$. Говорят, что пространство
$$
\begin{equation*}
\widehat V_{\widehat{\ell}}=(\widehat V\setminus \operatorname{int}N_{\widehat{\ell}}) \,\cup_{\zeta_\ell}(\widehat{Y}\times\mathbb S^0)
\end{equation*}
\notag
$$
получено из многообразия $\widehat V$ перестройкой вдоль тора $\widehat{\ell}$. Структура гладкого замкнутого 3-многообразия на множестве $\widehat V_{\widehat{\ell}}$ индуцируется естественной проекцией $p_{\widehat{\ell}}\colon(\widehat V\setminus \operatorname{int} N_{\widehat{\ell}}) \sqcup(\widehat{Y}\times\mathbb S^0)\to\widehat V_{\widehat{\ell}}$. Поскольку любой гомеоморфизм границы заполненного тора, переводящий меридиан в меридиан, продолжается на заполненный тор [61], то описанная перестройка корректно определена, т. е. не зависит (с точностью до гомеоморфизма) от выбора трубчатой окрестности ${N}_{\widehat{\ell}}$ и гомеоморфизма $\zeta_\ell$. Аналогично определяется перестройка многообразия $\widehat V$ вдоль $\eta$-существенной гладкой бутылки Клейна $\widehat{\ell}\subset\widehat V$, состоящая в приклейке заполненного тора $\widehat Y$ к краю многообразия $\widehat V\setminus \operatorname{int} N_{\widehat{\ell}}$. Также операция перестройки обобщается на множество $\widehat L\subset\widehat V$, являющееся дизъюнктным объединением гладких $\eta$-существенных торов и бутылок Клейна; многообразие, полученное в результате такой перестройки, будем обозначать через $V_{\widehat L}$. В силу предложений 1.9 и 1.11 для градиентно-подобного диффеоморфизма $f\in \operatorname{MS}(M^3)$ каждая компонента связности $\widehat\ell^{\rm s}$ (или $\widehat\ell^{\rm u}$) множества $\widehat L^{\rm s}_{f}$ (соответственно $\widehat L^{\rm u}_f$) является либо тором, либо бутылкой Клейна, $\eta_{f}$-существенно вложенными в многообразие $\widehat V_f$. Схема любого градиентно-подобного диффеоморфизма $f\in \operatorname{MS}(M^3)$ является абстрактной схемой в смысле следующего определения. Набор $S=(\widehat V,\eta,\widehat{L}^{\rm s},\widehat{L}^{\rm u})$ называется абстрактной схемой, если: (a) $\widehat V$ есть простое многообразие, чья фундаментальная группа допускает эпиморфизм $\eta\colon\pi_1(\widehat V)\to \mathbb Z$; (b) множества $\widehat{L}^{\rm s},\widehat{L}^{\rm u}\subset \widehat V$ являются трансверсально пересекающимися дизъюнктными объединениями гладких $\eta$-существенных торов и бутылок Клейна; (c) каждая компонента связности многообразий $\widehat V_{\widehat{L}^{\rm s}}$, $\widehat V_{\widehat{L}^{\rm u}}$ гомеоморфна многообразию $\mathbb S^2\times\mathbb S^1$. Предложение 1.14 [13; теорема 1]. Для любой абстрактной схемы $S=(\widehat V,\eta,\widehat{L}^{\rm s},\widehat{L}^{\rm u})$ существует градиентно-подобный диффеоморфизм $f\in \operatorname{MS}(M^3)$, схема $S_f$ которого эквивалентна схеме $S$. 1.4. Топология 3-многообразий, допускающих диффеоморфизмы Морса–Смейла с заданной структурой неблуждающего множестваПусть $f\in \operatorname{MS}(M^3)$. Положим где $r_{f}$ – число седловых и $l_{f}$ – число узловых периодических точек диффеоморфизма $f$. Согласно [25] число $g_{f}$ является целым неотрицательным для любого диффеоморфизма $f\in \operatorname{MS}(M^3)$.Пусть $f\in \operatorname{MS}(M^3)$ – градиентно-подобный диффеоморфизм. Согласно предложению 1.8 замыкание $\operatorname{cl}(\ell^{\rm u}_\sigma)$ любой одномерной неустойчивой сепаратрисы $\ell^{\rm u}_\sigma$ седловой точки $\sigma$ диффеоморфизма $f$ гомеоморфно отрезку, который состоит из этой сепаратрисы и двух точек: $\sigma$ и некоторого стока $\omega$. Пусть ${L}_\omega$ – объединение неустойчивых одномерных сепаратрис седловых точек, которые содержат $\omega$ в своих замыканиях. Поскольку по предложению 1.9 многообразие $W^{\rm s}_\omega$ гомеоморфно $\mathbb R^3$ и множество $L_\omega\cup\omega$ является объединением простых дуг с единственной общей точкой $\omega$, то (по аналогии с пучком дуг в $\mathbb R^3$) множество $L_\omega\cup\omega$ называется пучком одномерных неустойчивых сепаратрис. Согласно [29] пучок сепаратрис $L_\omega\cup\omega$ называется ручным, если существует гомеоморфизм $\psi_\omega\colon W^{\rm s}_\omega \to \mathbb R^3$ такой, что $\psi_\omega(L_\omega\cup\omega)$ – пучок лучей в $\mathbb R^3$ с началом в точке $O(0,0,0)$. В противном случае пучок сепаратрис называется диким (см. рис. 3). Если $\alpha$ – источник диффеоморфизма $f$, то аналогично определяется ручной (дикий) пучок $L_\alpha$ одномерных устойчивых сепаратрис. Предложение 1.15 [10; теорема 1]. Пусть $f\in \operatorname{MS}(M^3)$ – диффеоморфизм Морса–Смейла без гетероклинических кривых. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) если $g_{f}=0$, то $M^3$ есть 3-сфера; 2) если $g_{f}>0$, то $M^3$ есть связная сумма $g_{f}$ копий $\mathbb S^2\times\mathbb S^1$. Обратно, для любых неотрицательных целых чисел $r$ и $l$ таких, что число $g=(r-l+2)/2$ является целым и неотрицательным, существует диффеоморфизм $f\in \operatorname{MS}(M^3)$ без гетероклинических кривых, обладающий следующими свойствами: (a) $M^3$ – это 3-сфера, если $g=0$, и $M^3$ – это связная сумма $g$ копий $\mathbb S^2\times\mathbb S^1$, если $g>0$; (b) неблуждающее множество диффеоморфизма $f$ состоит из $r$ седловых и $l$ узловых точек. 2. Динамика диффеоморфизмов класса $G$В настоящем разделе мы устанавливаем некоторые динамические свойства диффеоморфизма $f\colon M^3\to M^3$ из класса $G$. Напомним, что класс $G$ состоит из диффеоморфизмов $f\in \operatorname{MS}(M^3)$, имеющих в точности четыре неблуждающие точки $\omega_f$, $\sigma_f^{1}$, $\sigma_f^{2}$, $\alpha_f$ с индексами Морса $0,1,2,3$ соответственно. В силу отсутствия гетероклинических точек у диффеоморфизма $f$ одномерные седловые многообразия содержат в своих замыканиях единственную узловую точку (см. предложение 1.8). А именно,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cl}(W^{\rm u}_{\sigma_f^1})= W^{\rm u}_{\sigma_f^1} \cup \omega_f,\qquad \operatorname{cl}(W^{\rm s}_{\sigma_f^2})= W^{\rm s}_{\sigma_f^2}\cup \alpha_f.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом в силу предложения 1.9 множества $A_f=\operatorname{cl}(W^{\rm u}_{\sigma_f^1})$ и $R_f=\operatorname{cl}(W^{\rm s}_{\sigma_f^2})$ являются попарно непересекающимися топологически вложенными окружностями (см. рис. 4), возможно дикими в узловых точках (см. рис. 5). Положим
$$
\begin{equation*}
H_f=W^{\rm s}_{\sigma_f^1}\cap W^{\rm u}_{\sigma_f^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если множество $H_f$ непусто, то в силу предложения 1.7 справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cl}(W^{\rm s}_{\sigma_f^1})= W^{\rm s}_{\sigma_f^1} \cup R_f,\qquad \operatorname{cl}(W^{\rm u}_{\sigma_f^2})= W^{\rm u}_{\sigma_f^2} \cup A_f.
\end{equation*}
\notag
$$
В противном случае согласно предложению 1.8 множества
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cl}(W^{\rm s}_{\sigma_f^1})= W^{\rm s}_{\sigma_f^1} \cup \alpha_f,\qquad \operatorname{cl}(W^{\rm u}_{\sigma_f^2})= W^{\rm u}_{\sigma_f^2} \cup \omega_f
\end{equation*}
\notag
$$
являются топологически вложенными непересекающимися двумерными сферами (см. рис. 6). 2.1. Согласованная система окрестностейДля $t\in(0,1]$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal N_{1}^t&=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3\colon x_1^2(x_2^2+x_3^2)\leqslant t\}, \\ \mathcal N_{2}^t&=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3\colon (x_1^2+x_2^2)x_3^2\leqslant t\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и для $i\in\{1,2\}$ положим $\mathcal N_{i}=\mathcal N^1_{i}$. Определим в окрестности $\mathcal N_{1}$ пару трансверсальных слоений $\mathcal{F}^{\rm u}_1$, $\mathcal{F}^{\rm s}_{1}$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{F}^{\rm u}_1&=\bigcup_{(c_{2},c_3)\in Ox_2x_3}\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathcal N_{1}\colon (x_{2},x_3)=(c_{2},c_3)\}, \\ \mathcal{F}^{\rm s}_{1}&=\bigcup_{c_1\in Ox_1}\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathcal N_{1} \colon x_1=c_1\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Определим в окрестности $\mathcal N_{2}$ пару трансверсальных слоений $\mathcal{F}^{\rm u}_2$, $\mathcal{F}^{\rm s}_{2}$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{F}^{\rm u}_2&=\bigcup_{c_3\in Ox_3}\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathcal N_{2} \colon x_3=c_3\}, \\ \mathcal{F}^{\rm s}_{2}&=\bigcup_{(c_{1},c_2)\in Ox_1x_2}\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathcal N_{2} \colon (x_{1},x_2)=(c_{1},c_2)\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Определим диффеоморфизмы $\nu_i\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3$, $i \in \{1,2\}$, формулами
$$
\begin{equation*}
\nu_1(x_1,x_2,x_3)=\biggl(2x_1,\frac{x_2}{2}\,,\frac{x_3}{2}\biggr),\qquad \nu_2=\nu_1^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что для $i\in\{1,2\}$ множество $\mathcal N_{i}^t$ является инвариантным относительно диффеоморфизма $\nu_i$, который переводит слои слоения $\mathcal{F}^{\rm u}_i$ (или $\mathcal{F}^{\rm s}_{i}$) в слои этого же слоения. В силу [14] седловая точка $\sigma_f^i$ диффеоморфизма $f\in G$ обладает линеаризующей окрестностью $N_f^{i}$, оснащенной гомеоморфизмом ${\mu}_{i}\colon N_f^{i}\to {\mathcal N}_{i}$, который сопрягает диффеоморфизм $f\big|_{{N}_f^{i}}$ c диффеоморфизмом $\nu_i\big|_{{\mathcal N}_{i}}$ и является диффеоморфизмом на $N_f^i\setminus(W^{\rm s}_{\sigma_f^i}\cup W^{\rm u}_{\sigma_f^i})$. Слоения $\mathcal{F}^{\rm u}_{i}$, $\mathcal{F}^{\rm s}_{i}$ индуцируют (посредством гомеоморфизма ${\mu}_{i}^{-1}$) $f$-инвариантные слоения ${F}^{\rm u}_{i}$, ${F}^{\rm s}_{i}$ на линеаризующей окрестности $N_f^{i}$. Для любой точки $x\in N_f^i$ будем обозначать через ${F}^{\rm u}_{i,x}$ (или ${F}^{\rm s}_{i,x}$) единственный слой слоения ${F}^{\rm u}_{i}$ (соответственно ${F}^{\rm s}_{i}$), проходящий через точку $x$. Если множество $H_f$ пусто, то набор $N_f$ непересекающихся линеаризующих окрестностей $N_f^1$, $N_f^2$ седловых точек диффеоморфизма $f$ назовем согласованной cистемой окрестностей, а слоения $F^{\rm s}_i$, $F^{\rm u}_i$ ($i=1,2$) назовем согласованными. Если $H_f\ne\varnothing$, то выберем $f$-инвариантную трубчатую окрестность $N_{H_f}\subset M^3$ кривых множества $H_f$, оснащенную $f$-инвариантным $C^{1,1}$-слоением $F$, состоящим из двумерных дисков, трансверсальных к $H_f$. Для любой точки $x\in N_{H_f}$ будем обозначать через ${F}_{x}$ единственный слой слоения ${F}$, проходящий через эту точку. Назовем объединение $N_f$ линеаризующих окрестностей $N_f^1$ и $N_f^2$ седловых точек диффеоморфизма $f$ согласованной cистемой окрестностей, а слоения $F^{\rm s}_i$, $F^{\rm u}_i$ ($i=1,2$) согласованными, если для любой точки $x\in(N_f^1\cap N_f^2\cap N_{H_f})$ и слоя $F_x$ слоения $F$, проходящего через точку $x$, выполняются следующие условия (см. рис. 7):
$$
\begin{equation*}
{F}^{\rm s}_{1,x}\cap F_x={F}^{\rm s}_{2,x}\cap(N_f^{1}\cap N_{H_f}),\qquad {F}^{\rm u}_{2,x}\cap F_x={F}^{\rm u}_{1,x}\cap (N_f^{2}\cap N_{H_f}).
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 2.1 [14; теорема 1]. Для любого диффеоморфизма $f\in G$ существует согласованная система окрестностей. 2.2. Пространства блуждающих орбитРассмотрим пространства
$$
\begin{equation*}
V_{\omega_f}=W^{\rm s}_{\omega_f}\setminus\omega_f\quad\text{и}\quad \widehat V_{\omega_f}=V_{\omega_f}/f.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $p_{\omega_f}\colon V_{\omega_f}\to\widehat V_{\omega_f}$ естественную проекцию. Положим (см. рис. 8) Предложение 2.2 [25; теорема 2.1.3]. Для любого диффеоморфизма $f\in G$ справедливо следующее: 1) пространство $\widehat V_{\omega_f}$ диффеоморфно многообразию $\mathbb{S}^2\times \mathbb{S}^1$; 2) проекция $p_{\omega_f}$ является накрытием; 3) множество $\widehat A_f$ состоит из пары непересекающихся узлов $L^1_f\sqcup L^2_f$ в $\widehat V_{\omega_f}$ таких, что отображение является изоморфизмом.Предложение 2.3 [25; лемма 4.4]. Множество $p_{\omega_f}(N^1_f)$ является дизъюнктным объединением двух заполненных торов $N_{L^1_f}$, $N_{L^2_f}$, являющихся трубчатыми окрестностями узлов $L^1_f$, $L^2_f$ соответственно. Если хотя бы одно из множеств $\widehat V_{\omega_f}\setminus \operatorname{int}N_{L^1_f}$ и $\widehat V_{\omega_f}\setminus \operatorname{int}N_{L^2_f}$ не гомеоморфно заполненному тору, то многообразие $W^{\rm u}_{\sigma^1_f}$ дико вложено в несущее многообразие $M^3$. В силу предложения 1.10 множества $A_{f}$ и $R_{f}$ являются дуальными аттрактором и репеллером соответственно для диффеоморфизма $f$. Положим В силу предложения 1.11 пространство орбит $\widehat{V}_f=V_f/f$ является гладким замкнутым ориентируемым 3-многообразием, а естественная проекция $p_{f}\colon\!\! V_f \to \widehat{V}_f$ является накрытием и индуцирует эпиморфизм ставящий в соответствие элементу $[\widehat{c}]\in\pi_1( \widehat{V}_{f})$ число $n\in\mathbb{Z}$ такое, что любое поднятие элемента $\widehat{c}$ соединяет точку $x\in V_{f}$ с точкой $f^{n}(x)$. Положим (см. рис. 9)
$$
\begin{equation*}
T^{\rm s}_f=p_{f}(W^{\rm s}_{\sigma_f^1}\setminus\sigma_f^1),\qquad T^{\rm u}_f=p_{f}(W^{\rm u}_{\sigma_f^{2}}\setminus\sigma_f^2),\qquad C_f=p_{f}(H_f).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу предложений 1.9 и 1.11 множества $T^{\rm s}_f$ и $T^{\rm u}_f$ являются гладко вложенными в $\widehat V_f$ двумерными торами такими, что
$$
\begin{equation*}
\eta_{f}(i_{T^{\rm s}_f*}(\pi_1(T^{\rm s}_f)))= \eta_{f}(i_{T^{\rm u}_f*}(\pi_1(T^{\rm u}_f)))\cong\mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Основным результатом раздела является следующая лемма. Лемма 2.1 [62; лемма 2]. Для любого диффеоморфизма $f\in G$ справедливо следующее: 1) множество $\widehat V_f$ является связным неприводимым замкнутым 3-многообразием, и торы $T^{\rm s}_f$, $T^{\rm u}_f$ являются несжимаемыми в нем; 2) множество $C_f$ состоит из конечного числа узлов $c$, при этом $\eta_{f}([c])=0$ тогда и только тогда, когда узел $c\subset C_f$ является проекцией компактной гетероклинической кривой; 3) любой узел $c\subset C_f$ такой, что $\eta_{f}([c])=0$, является стягиваемым (либо не стягиваемым) одновременно на обоих торах $T^{\rm s}_f$ и $T^{\rm u}_f$ (см. рис. 10). Доказательство. Докажем последовательно все утверждения леммы.
1) В силу предложений 1.10 и 1.11 многообразие $\widehat V_f$ является связным, замкнутым, простым 3-многообразием. Так как тор $T^{\rm s}_f$ является $\eta_{f}$-существенным в $\widehat V_f$, то он не лежит в 3-шаре. Покажем от противного, что тор $T^{\rm s}_f$ не ограничивает заполненный тор в $\widehat V_f$. Отсюда в силу предложения 1.2 будет следовать, что многообразие $\widehat V_f$ не гомеоморфно $\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^1$ и, значит, является неприводимым, а в силу предложения 1.4 тор $T^{\rm s}_f$ является несжимаемым в $\widehat V_f$. Если предположить, что тор $T^{\rm s}_f$ ограничивает в $\widehat V_f$ заполненный тор, то $\widehat V_f\setminus T^{\rm s}_f$ состоит из двух компонент связности. С другой стороны, в силу предложения 1.7
$$
\begin{equation*}
M^3=W^{\rm s}_{\omega_f}\cup W^{\rm s}_{\sigma_f^{1}}\cup W^{\rm s}_{\sigma_f^{2}}\cup W^{\rm s}_{\alpha_f}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $V_f\setminus W^{\rm s}_{\sigma_f^1}=W^{\rm s}_{\omega_f}\setminus A_f$, и, следовательно, многообразия $\widehat V_f\setminus T^{\rm s}_f$ и $\widehat V_{\omega_f}\setminus\widehat A_f$ гомеоморфны. Поскольку одномерное подмногообразие не делит многообразие размерности 3 (см. предложение 1.5), то множество $\widehat V_{\omega_f}\setminus\widehat A_{f}$ является связным (см. рис. 8). Получили противоречие с тем, что связное многообразие гомеоморфно не связному.
2) Непосредственно из определения эпиморфизма $\eta_{f}$ следует, что равенство $\eta_{f}([c])=0$ выполнено тогда и только тогда, когда $c \subset C_{f}$ – проекция компактной гетероклинической кривой. 3) Предположим, что некоторый узел $c\subset C_f$ стягиваем на торе $T^{\rm u}_f$ и является существенным на торе $T^{\rm s}_f$. Тогда по определению тор $T^{\rm s}_f$ является сжимаемым в $\widehat V_f$, что противоречит доказанному пункту 1). Лемма доказана. Обозначим через $ C^0_f$ подмножество $C_f$, состоящее из стягиваемых на торах $T^{\rm u}_f$ и $T^{\rm s}_f$ кривых. Назовем кривые множества $H^0_f=p_f^{-1}( C^0_f)$ несущественными; оставшиеся гетероклинические кривые будем называть существенными. 3. Тривиализация динамики диффеоморфизмов класса $G$Напомним, что для любого диффеоморфизма $f\in G$ мы ввели понятие гетероклинического индекса $I_f$ следующим образом. Если множество $H_f$ не содержит некомпактных кривых, то полагаем $I_f=0$. В противном случае обозначим через $\widetilde H_f$ подмножество, состоящее из некомпактных кривых. Так как любая кривая $\gamma\subset \widetilde H_f$ содержит вместе с любой точкой $x\in\gamma$ точку $f(x)$, будем считать кривую $\gamma$ ориентированной в направлении от $x$ к $f(x)$. Также зафиксируем ориентацию на многообразиях $W^{\rm s}_{\sigma_1}$ и $W^{\rm u}_{\sigma_2}$. Для некомпактной гетероклинической кривой $\gamma$ обозначим через
$$
\begin{equation*}
v_\gamma=(\vec v^1_\gamma,\vec v^2_\gamma,\vec v^3_\gamma)
\end{equation*}
\notag
$$
тройку векторов с началом в точке $x\in\gamma$ таких, что
Очевидно, что ориентация (правая или левая) репера $v_\gamma$ не зависит от выбора точки $x$ на $\gamma$. Положим $I_\gamma=+1$ ($I_\gamma=-1$) в случае положительной (отрицательной) ориентации. Число $I_{f}=\displaystyle\biggl|\,\sum_{\gamma\subset \widetilde H_f}I_\gamma\biggr|$ назовем гетероклиническим индексом диффеоморфизма $f$. Для целого числа $p\geqslant 0$ обозначим через $G_p\subset G$ подмножество диффеоморфизмов $f\in G$ таких, что $I_{f}=p$. Например, на рис. 6 изображен фазовый портрет диффеоморфизма из класса $G_0$, а на рис. 12 – фазовый портрет диффеоморфизма из класса $G_1$. Заметим, что любая существенная компактная гетероклиническая кривая $\gamma\subset H_f$ ограничивает диск $d_\gamma\subset W^{\rm s}_{\sigma_f^1}$, содержащий седло $\sigma_f^1$. Будем считать любую такую кривую ориентированной так, что при движении вдоль нее диск $d_\gamma$ остается слева. Тогда для кривой $\gamma$, аналогично случаю некомпактной кривой, определяется ее репер $v_\gamma$. Множество $H_f$ назовем ориентируемым, если оно состоит только из существенных гетероклинических кривых, все реперы которых имеют одинаковую ориентацию. В противном случае множество $H_f$ назовем неориентируемым (см. рис. 13). Обозначим через $G^+_p\subset G_p$, $p\geqslant 0$, подмножество диффеоморфизмов $f\in G_p$ с ориентируемым множеством $H_f$ (см. рис. 12). Таким образом, у любого диффеоморфизма $f\in G^+_p$ множество $H_f$ или пусто, или состоит либо только из некомпактных, либо только из компактных гетероклинических кривых (см. рис. 14). Основным результатом настоящего раздела является доказательство следующей теоремы. Теорема 1 [55; теорема 1]. Для любого диффеоморфизма $f\colon M^3\to M^3$ из класса $G_p$, $p\geqslant 0$, существует изотопный ему диффеоморфизм $f_+\in G_p^+$. Доказательство теоремы будет следовать непосредственно из лемм 3.1, 3.2, доказываемых ниже. 3.1. Сценарий исчезновения несущественных гетероклинических кривыхОбозначим через $\widetilde G_p\subset G_p$ подкласс диффеоморфизмов $f$, для которых множество $H^0_f$ пусто. Основным результатом настоящего пункта является доказательство следующего факта. Лемма 3.1 [62; теорема 1]. Для любого диффеоморфизма $f\colon M^3\to M^3$ из класса ${G}_p$ существует дуга в множестве $\operatorname{Diff}(M^3)$, соединяющая диффеоморфизм $f$ с некоторым диффеоморфизмом $\widetilde f\in\widetilde G_p$. Доказательство. Пусть $f\in G_p$. Если $H^0_f=\varnothing$, то лемма доказана. В противном случае в силу леммы 2.1 для любого узла $c\subset C^0_f$ существует единственный диск $d^{\rm s}_{c}$ такой, что $d^{\rm s}_{c} \subset T^{\rm s}_{f}$, $c=\partial d^{\rm s}_{c}$; аналогичный диск $d^{\rm u}_{c} \subset T^{\rm u}_{f}$ узел $c=\partial d^{\rm u}_{c}$ ограничивает на торе $T^{\rm u}_f$ (см. рис. 15, (a)).
Среди кривых множества $C^0_f$ выберем крайнюю кривую $c$, т. е. такую, что Поскольку $d^{\rm s}_c\cap d^{\rm u}_c=c$, то множество $d_c^{\rm s} \cup d_c^{\rm u}$ является цилиндрически вложенной в многообразие $\widehat V_f$ двумерной сферой. В силу леммы 2.1 многообразие $\widehat V_f$ неприводимо, и, следовательно, эта сфера ограничивает в нем единственный трехмерный шар $b_c$. Обозначим через $T^{\rm u}_{f,c}$ двумерный тор, полученный сглаживанием тора $(T^{\rm u}_f\setminus d^{\rm u}_c)\cup d^{\rm s}_c$ (см. рис. 15, (b)). Тогда существует изотопный тождественному диффеоморфизм $\widehat h\colon \widehat V_f\to\widehat V_f$ такой, что $\widehat h(T^{\rm u}_f)=T^{\rm u}_{f,c}$. По предложению 1.12 существует дуга ${\zeta}_{t}\subset E_f$ такая, что
$$
\begin{equation*}
{\zeta}_{0}=f\quad\text{и}\quad T^{\rm u}_{\zeta_1}=T^{\rm u}_{f, c},\quad T^{\rm s}_{\zeta_1}=T^{\rm s}_f.
\end{equation*}
\notag
$$
Повторяя этот процесс для каждой крайней кривой, мы получаем требуемый диффеоморфизм $\widetilde f\in\widetilde G_p$. Лемма доказана. 3.2. Сценарий исчезновения неориентируемых гетероклинических кривыхОсновным результатом настоящего пункта является доказательство следующего факта. Лемма 3.2 [55; теорема 1]. Для любого диффеоморфизма ${f}\colon M^3\to M^3$ из класса $\widetilde{G}_p$ существует дуга в множестве $\operatorname{Diff}(M^3)$, соединяющая диффеоморфизм $f$ с некоторым диффеоморфизмом $f_+\in G^+_p$. Доказательство. Пусть ${f}\in\widetilde{G}_p$.
Если множество $H_f$ пусто или ориентируемо, то лемма доказана. В противном случае $C_f$ состоит из нестягиваемых попарно гомотопных друг другу на каждом из торов $T^{\rm s}_f$, $T^{\rm u}_f$ узлов (см., например, [61]), и среди них есть узлы $c_+$ и $c_-$ с репером, ориентированным положительно и отрицательно соответственно (см. рис. 16, 17). Покажем, что число кривых в множестве $H_f$ можно уменьшить как минимум на два. Для этого положим
$$
\begin{equation*}
Y_{f}=p_{\omega_f}(W^{\rm u}_{\sigma^2_f}\cap V_{\omega_f})\quad\text{и}\quad \widehat N^1_f=p_{\omega_f}(N^1_f\cap V_{\omega_f}).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда множество $\widehat N^1_f$ является дизъюнктным объединением двух заполненных торов $N_{L^1_f}$, $N_{L^2_f}$, являющихся трубчатыми окрестностями узлов Хопфа $L^1_f$, $L^2_f$ соответственно. При этом множество $Y_f\setminus\operatorname{int}\widehat N^1_{f}$ состоит из конечного числа колец, границы которых лежат на торах $T^1_f=\partial N_{L^1_f}$, $T^2_f=\partial N_{L^2_f}$. В силу неориентируемости множества $H_f$ существует компонента связности $K^{\rm u}$ множества $Y_f\setminus \operatorname{int}\widehat N^1_{f}$, имеющая граничные окружности на одной и той же компоненте связности множества $\partial\widehat N^1_f$ (для определенности будем считать, что на $T^1_f$). Тогда окружности $\partial K^{\rm u}$ делят тор $T^1_f$ на два кольца, каждое из которых $K^{\rm s}$ образует в объединении с кольцом $K^{\rm u}$ двумерный тор $T_{K^{\rm u}}$. Покажем, что $K^{\rm s}$ можно выбрать так, что тор $T_{K^{\rm u}}$ ограничивает заполненный тор $Q_{K^{\rm u}}$, внутренность которого не пересекает $\widehat N^1_f$ в $\widehat V_{\omega_f}$ (см. рис. 18, 19).  Рис. 18.Проекции инвариантных седловых многообразий в пространство $\widehat V_{\omega_f}$, соответствующие рис. 16.  Рис. 19.Проекции инвариантных седловых многообразий в пространство $\widehat V_{\omega_f}$, соответствующие рис. 17. Поскольку тор $T^1_f$ гомотопически нетривиален в $\widehat V_{\omega_f}$, то кольцо $K^{\rm u}$ можно выбрать так, что тор $T_{K^{\rm u}}$ также гомотопически нетривиален. В силу предложения 1.2 тор $T_{K^{\rm u}}$ ограничивает заполненный тор $Q_{K^{\rm u}}$ в $\widehat V_{\omega_f}$. Если $N_{L^1_f}\subset Q_{K^{\rm u}}$, то по построению $\operatorname{cl}(Q_{K^{\rm u}})\setminus N_{L^1_f}$ – также заполненный тор, ограниченный тором, построенным по второму кольцу $K^{\rm s}$. Поэтому везде далее мы полагаем, что $Q_{K^{\rm u}}\cap \widehat N_{L^1_f}=K^{\rm s}$. Таким образом, с каждым кольцом $K^{\rm u}$ связан тор $T_{K^{\rm u}}$, ограничивающий заполненный тор $Q_{K^{\rm u}}$ в $\widehat V_{\omega_f}$. Поскольку в силу предложения 1.4 любой тор, гомотопически нетривиально вложенный в заполненный тор, ограничивает там единственный заполненный тор, то среди всех таких заполненных торов $Q_{K^{\rm u}}$ существует такой $Q_{K^{\rm u}_0}$, чья внутренность не пересекается с кольцами $K^{\rm u}$. Тогда внутренность тора $Q_{K^{\rm u}_0}$ не пересекается с торами $\widehat N^1_f$ и $Q_{K^{\rm u}_0}\cap Y_f=K^{\rm u}_0$. Обозначим через $K^{\rm s}_0$ вторую половину тора $T_{K^{\rm u}_0}$. Положим
$$
\begin{equation*}
N_{T^{\rm s}_f}=p_{f}(N^1_f\cap V_f),\qquad N_{T^{\rm u}_f}=p_{f}(N^2_f\cap V_f).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\mathcal K^{\rm u}_0$ компоненту связности множества $T^{\rm u}_f\setminus C_f$ такую, что $p_{f}(p_{\omega_f}^{-1}(K^{\rm u}_0))\subset \mathcal K^{\rm u}_0$, и через $\mathcal K^{\rm s}_0$ компоненту связности множества $T^{\rm s}_f\setminus C_f$ такую, что кольца $p_{f}(p_{\omega_f}^{-1}(K^{\rm s}_0)$), $\mathcal K^{\rm s}_0$ лежат в одной и той же компоненте связности $N^{\rm s}_0$ множества $N_{T^{\rm s}_f}\setminus T^{\rm u}_f$. Обозначим через $\mathcal K'^{\rm s}_0$ компоненту связности множества $\partial N_{T^{\rm s}_f}\cap N^{\rm s}_0$, отличную от $p_{f}(p_{\omega_f}^{-1}(K^{\rm s}_0))$. Положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal K'^{\rm u}_0=\mathcal K^{\rm u}_0\cup (\operatorname{cl}(N^{\rm s}_0)\cap T^{\rm u}_f).
\end{equation*}
\notag
$$
По построению $\partial \mathcal K^{\rm s}_0= \partial \mathcal K^{\rm u}_0=c_+\sqcup c_-$, где $c_+\subset C_f$ и $c_-\subset C_f$ – нестягиваемые кривые с положительно и отрицательно ориентированным репером соответственно. Кроме того, тор $\mathcal T_0=\mathcal K^{\rm u}_0\cup\mathcal K^{\rm s}_0$ ограничивает заполненный тор $\mathcal Q_0$ в $\widehat V_f$, внутренность которого не пересекается с множеством $T^{\rm u}_f\cup T^{\rm s}_f$. Обозначим через $T'^{\rm u}_{f}$ двумерный тор, полученный сглаживанием тора $(T^{\rm u}_f\setminus \mathcal K'^{\rm u}_0)\cup\mathcal K'^{\rm s}_0$. Поскольку тор $\mathcal T'_0=\mathcal K'^{\rm u}_0\cup\mathcal K'^{\rm s}_0$ ограничивает заполненный тор $\mathcal Q'_0$ в $\widehat V_f$, внутренность которого не пересекается с тором $T^{\rm u}_f$, то существует изотопный тождественному диффеоморфизм $\widehat h\colon\widehat V_f\to\widehat V_f$ такой, что $\widehat h(T^{\rm u}_f)=T'^{\rm u}_{f}$. Тогда в силу предложения 1.12 существует дуга ${\zeta}_{t}\subset E_f$ такая, что
$$
\begin{equation*}
{\zeta}_{0}=f,\quad {\zeta}_{1}=f'\quad\text{и}\quad T^{\rm u}_{f'}=T'^{\rm u}_{f},\quad T^{\rm s}_{f'}=T^{\rm s}_f.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, диффеоморфизм $f'\in G$ задан на том же многообразии $M^3$, что и диффеоморфизм $f$, но имеет на две гетероклинические кривые меньше. Продолжая этот процесс, мы построим дугу, соединяющую диффеоморфизм $f$ с некоторым диффеоморфизмом $f_+\in G^+_p$. Лемма доказана. 4. Узел Хопфа как полный инвариант диффеоморфизмов класса $G^+_1$. Топологическая классификация диффеоморфизмов класса $G^+_1$В настоящем разделе приводится полная топологическая классификация диффеоморфизмов класса $G^+_1$, включая реализацию. Пусть $f\in G^+_1$. Обозначим через $\ell_f^1$, $\ell_f^2$ неустойчивые сепаратрисы точки $\sigma_f^{1}$. В силу предложения 1.8 замыкание $\operatorname{cl}(\ell_f^i)$ ($i=1,2$) одномерной неустойчивой сепаратрисы точки $\sigma_f^{1}$ гомеоморфно простой компактной дуге и состоит из этой сепаратрисы и двух точек: точки $\sigma_f^{1}$ и стока $\omega_f$ (см. рис. 12). Согласно предложению 1.7 пространство орбит бассейна стока $\widehat V_{\omega_f}$ диффеоморфно многообразию $\mathbb S^{2}\times\mathbb S^1$ (везде далее мы будем отождествлять эти многообразия), и подмножество $L_f^{i}=p_{\omega_f}(\ell_f^i)$, $i=1,2$, является узлом Хопфа в нем. 4.1. Эквивалентность узлов $L^1_f$, $L^2_f$Лемма 4.1 [57; лемма 1.1]. Для любого диффеоморфизма $f\in G^+_1$ узлы $L_f^1$, $L_f^2$ являются изотопными. Согласно предложению 1.9 пространство орбит $(W^{\rm u}_{\sigma_f^{2}}\setminus\sigma_f^{2})/f$ гомеоморфно двумерному тору, и пространство орбит $H_f/f$ гомеоморфно окружности, являющейся нетривиальным узлом на торе $(W^{\rm u}_{\sigma_f^{2}}\setminus\sigma_f^{2})/f$. Так как
$$
\begin{equation*}
W^{\rm u}_{\sigma_f^{2}}\cap V_{\omega_f}= W^{\rm u}_{\sigma_f^{2}}\setminus (H_f\cup \sigma_f^{2}),
\end{equation*}
\notag
$$
то множество $Y_f$ гомеоморфно двумерному кольцу; при этом гомоморфизм $i_{Y_f*}$, индуцированный включением $i_{Y_f}\colon Y_f\to\mathbb S^2\times\mathbb S^1$, является изоморфизмом групп
$$
\begin{equation*}
\pi_1(Y_f)\cong\pi_1(\mathbb S^2\times\mathbb S^1)\cong\mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $N^1_f\cap V_{\omega_f}=N^1_f\setminus W^{\rm s}_{\sigma_f^{1}}$, то множество является дизъюнктным объединением двух заполненных торов, являющихся трубчатыми окрестностями узлов $L^1_f$, $L^2_f$: $\widehat N^1_f=N_{L^1_f}\sqcup N_{L^2_f}$. Положим (см. рис. 21) Поскольку множество $H_f=W^{\rm s}_{\sigma_f^{1}}\cap{W^{\rm u}_{\sigma_f^{2}}}$ состоит из единственной некомпактной $f$-инвариантной кривой, то множество $\partial N^{1}_{f}\cap{W^{\rm u}_{\sigma_f^{2}}}$ состоит из двух некомпактных $f$-инвариантных кривых, проекцией которых в многообразие $\widehat V_{\omega_f}\cong\mathbb S^2\times\mathbb S^1$ являются узлы $S^1_f\sqcup S^2_f$. Отсюда следует, что $S^1_f$, $S^2_f$ – изотопные хопфовские узлы. Таким образом, узлы $S^i_f$, $L^i_f$ являются образующими заполненного тора $N_{L^i_f}$. Тогда они ограничивают в нем двумерное кольцо и, следовательно, являются изотопными. Лемма доказана. 4.2. Класс эквивалентности узла Хопфа как полный инвариант топологической сопряженности в классе $G$Из леммы 4.1 и теоремы Тома о продолжении изотопии (см., например, [40]) следует, что хопфовские узлы $L_f^1$, $L_f^2$ эквивалентны. Обозначим через $\mathcal L_f=[L_f^1]=[L_f^2]$ класс эквивалентности этих узлов. Теорема 2 [57; теорема 1.1]. Диффеоморфизмы $f,f'\in G^+_1$ топологически сопряжены тогда и только тогда, когда $\mathcal L_f=\mathcal L_{f'}$. Доказательство. ($\Rightarrow$) Пусть диффеоморфизмы
$$
\begin{equation*}
f\colon M^3\to M^3,\quad f'\colon M'^3\to M'^3,\quad f,f'\in G^+_1,
\end{equation*}
\notag
$$
топологически сопряжены посредством некоторого гомеоморфизма $h\colon M^3\to M'^3$. Поскольку $h$ переводит инвариантные многообразия неподвижных точек диффеоморфизма $f$ в инвариантные многообразия диффеоморфизма $f'$ с сохранением устойчивости, то Так как $hf=f'h$, то гомеоморфизм $h$ определяет гомеоморфизм $\widehat h\colon\widehat V_{\omega_f}\to\widehat V_{\omega_{f'}}$ формулой Откуда вытекает, что $\widehat h(L^i_f)=L^i_{f'}$ и, следовательно, хопфовские узлы $L^i_f$, $L^i_{f'}$ эквивалентны.
($\Leftarrow$) Пусть $\mathcal L_f=\mathcal L_{f'}$. По шагам построим гомеоморфизм $h\colon M^3\to M'^3$, сопрягающий диффеоморфизмы $f$ и $f'$. Для этого мы будем использовать обозначения леммы 4.1 и п. 2.1, которые будем снабжать штрихом в случае диффеоморфизма $f'$. Положим (см. рис. 22) Шаг 1: построим гомеоморфизм $\widehat h_1\colon\widehat V_{\omega_f}\to\widehat V_{\omega_{f'}}$ такой, что $\widehat h_1(\widehat N_f)=\widehat N_{f'}$. Выберем нестягиваемый узел $L_f$ на кольце $Y_f\setminus\widehat N_f^1$ и нестягиваемый узел $L_{f'}$ на кольце $Y_{f'}\setminus\widehat N_{f'}^1$. Из леммы 4.1 следует, что $[L_f]=\mathcal L_f$ и $[L_{f'}]= \mathcal L_{f'}$. Поскольку $\mathcal L_f=\mathcal L_{f'}$, то по теореме Тома существует гомеоморфизм $\widehat h_0\colon\widehat V_{\omega_f}\to\widehat V_{\omega_{f'}}$ такой, что $\widehat h_0(L_f)=L_{f'}$. В силу предложения 1.6 этот гомеоморфизм можно считать диффеоморфизмом. Поскольку кольца $Y_f$, $Y_{f'}$ являются гладкими, то также, не уменьшая общности, можно считать, что $\widehat h_0(Y_f)\subset Y_{f'}$ в некоторой окрестности узла $L_f$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\widetilde N_f=\widehat h_0^{-1}(\widehat N_{f'}),\quad \widetilde N^1_f=\widehat h_0^{-1}(\widehat N^1_{f'}),\quad \widetilde Y_f=\widehat h_0^{-1}(Y_{f'}),
\end{equation*}
\notag
$$
и $J_{f}\subset \widehat V_f$ – гладкое двумерное кольцо, трансверсальное $\widehat N_f$ и $\widetilde N_f$ и такое, что $\widehat J_f=J_f\cap\widehat N_f$, $\widetilde J_f=J_f\cap\widetilde N_f$ – двумерные кольца, принадлежащие $\widehat N_f\setminus\widehat N^1_f$, $\widetilde N_f\setminus\widetilde N^1_f$ и содержащие узел $L_f$ в своей внутренности (см. рис. 23). Из леммы 4.1 следует, что $\widehat N_f$, $\widetilde N_f$ – трубчатые окрестности узла $L_f$. Выберем трубчатые окрестности $W$, $U$, $\widetilde U$ узла $L_f$ так, что
$$
\begin{equation*}
W\subset \operatorname{int}(\widehat N_f\cap\widetilde N_f),\qquad \widehat N_f\subset \operatorname{int}U,\qquad \widetilde N_f\subset \operatorname{int} \widetilde U
\end{equation*}
\notag
$$
и каждая из них пересекает $J_f$ по двумерному кольцу. Поскольку множества
$$
\begin{equation*}
\widehat N_f\setminus \operatorname{int} W,\qquad U\setminus \operatorname{int} \widehat N_f,\qquad \widetilde N_f\setminus \operatorname{int} W,\qquad \widetilde U\setminus \operatorname{int}\widetilde N_f
\end{equation*}
\notag
$$
гомеоморфны $\mathbb T^2\times[0,1]$, то существуют гомеоморфизм
$$
\begin{equation*}
\widehat\psi\colon\widehat V_{\omega_f}\to\widehat V_{\omega_f},
\end{equation*}
\notag
$$
тождественный на $W$ и вне $U$ и такой, что
$$
\begin{equation*}
\widehat\psi(\widehat N_f)=W,\qquad \widehat\psi(\widehat J_f)=\widehat J_f,
\end{equation*}
\notag
$$
и гомеоморфизм
$$
\begin{equation*}
\widetilde\psi\colon\widehat V_{\omega_f}\to\widehat V_{\omega_f},
\end{equation*}
\notag
$$
тождественный на $W$ и вне $\widetilde U$ и такой, что
$$
\begin{equation*}
\widetilde\psi(\widetilde N_f)=W,\qquad \widetilde\psi(\widetilde J_f)=\widetilde J_f.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда искомый гомеоморфизм $\widehat h_1$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\widehat h_1=\widehat h_0\widetilde\psi^{-1}\widehat\psi.
\end{equation*}
\notag
$$
Шаг 2: построим гомеоморфизм $\widehat h_2\colon\widehat V_{\omega_f}\to\widehat V_{\omega_{f'}}$, совпадающий с $\widehat h_1$ вне $\widehat N_f$ и такой, что $\widehat h(Y_f)=Y_{f'}$. Для этого напомним, что линеаризующая окрестность $N^1_f$ оснащена гомеоморфизмом где
$$
\begin{equation*}
\mathcal N_{1}^t=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3\colon x_1^2(x_2^2+x_3^2)< t\},\qquad t\in(0,1],
\end{equation*}
\notag
$$
и причем гомеоморфизм $\mu_1$ сопрягает диффеоморфизм $f\big|_{N^1_f}$ с диффеоморфизмом $\nu_1\big|_{\mathcal N_1}$, заданным формулой $\nu_1(x_1,x_2,x_3)=(2x_1,x_2/2,x_3/2)$. Аналогичные обозначения со штрихом введем для диффеоморфизма $f'$. Положим $H=\mu_1(H_f)$ и $H'=\mu'_1(H_{f'})$. Тогда $H$, $H'$ являются $\nu_1$-инвариантными кривыми на плоскости $Ox_2x_3$. Поэтому существует гомеоморфизм $\xi_{\rm s}\colon Ox_2x_3\to Ox_2x_3$, коммутирующий с $\nu_1\big|_{Ox_2x_3}$ и такой, что $\xi_{\rm s}(H)=H'$ (см., например, [25]). Определим гомеоморфизм $\xi\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ формулой (см. рис. 24) Выберем $\tau\in(0,1)$ так, что $\xi(\mathcal N^\tau_1)\subset \operatorname{int}\mathcal N_1$. Положим
$$
\begin{equation*}
N^\tau_1=\mu_1(\mathcal N^\tau_1)\quad\text{и}\quad \xi_1=(\mu'_1)^{-1}\xi\mu_1\big|_{N^\tau_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из определения согласованной системы окрестностей следует, что
$$
\begin{equation*}
\xi_1(N^\tau_1\cap W^{\rm u}_{\sigma^2_f})\subset W^{\rm u}_{\sigma^2_{f'}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\widehat N^{\tau}_1=p_{\omega_f}(N^\tau_1),\quad \widehat\xi_1=p_{\omega_{f'}}\xi_1 p_{\omega_f}^{-1}\big|_{\widehat N^\tau_1}\quad\text{и}\quad \widehat N'^\tau_1=\widehat\xi_1(\widehat N^\tau_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда множества $K=Y_f\setminus \operatorname{int}\widehat N^\tau$, $K'=Y_{f'}\setminus \operatorname{int}\widehat N'^\tau_1$ гомеоморфны двумерным кольцам. Выберем трубчатые окрестности
$$
\begin{equation*}
N_K\subset (\operatorname{int}\widehat N^2_f\setminus \operatorname{int} \widehat N^\tau_1),\qquad N_{K'}\subset(\operatorname{int}\widehat N^2_{f'}\setminus \operatorname{int}\widehat N'^\tau_1)
\end{equation*}
\notag
$$
колец $K$, $K'$ так, что пересечение $N_K$ с каждой компонентой связности множества $\partial \widehat N^\tau_1$ является двумерным кольцом и
$$
\begin{equation*}
\widehat\xi_1(N_K\cap \partial{\widehat N}^\tau_1)= N_{K'}\cap \partial{\widehat N}'^\tau_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\widehat N^\tau=\widehat N^\tau_1\cup N_K$ и $\widehat N'^\tau=\widehat N'^\tau_1\cup N_{K'}$ (см. рис. 25). Тогда гомеоморфизм $\widehat\xi_1$ продолжается до гомеоморфизма $\widehat\xi\colon\widehat N^\tau\to \widehat N'^\tau$ такого, что $\widehat\xi(Y_f)=Y_{f'}$. По построению гомеоморфизм $\widehat\psi_1=\widehat h_1^{-1}\widehat\xi$ обладает свойством $\widehat\psi_1(\widehat N^\tau)\subset \operatorname{int} \widehat N_f$ и гомеоморфизм $\widehat\psi_1\big|_{\partial{\widehat N}^\tau}$ гомотопен тождественному отображению. Поскольку множества $\widehat N_f\setminus \operatorname{int}\widehat N^\tau$ и $\widehat N_f\setminus \operatorname{int}\widehat\psi_1(\widehat N^\tau)$ гомеоморфны $\mathbb T^2\times[0,1]$, то гомеоморфизм $\widehat\psi_1$ продолжается до гомеоморфизма $\widehat\psi_1\colon\widehat V_{\omega_f}\to\widehat V_{\omega_f}$, тождественного вне $\widehat N_f$. Тогда искомый гомеоморфизм $\widehat h_2$ имеет вид Шаг 3: построим искомый гомеоморфизм $h$. Из построения гомеоморфизма $\widehat h_2$ следует, что существует его поднятие $h_2\colon V_{\omega_f}\to V_{\omega_{f'}}$, сопрягающее диффеоморфизмы $f\big|_{V_{\omega_f}}$, $f'\big|_{V_{\omega_{f'}}}$ и продолжающееся гомеоморфизмом $\xi_1$ на $W^{\rm s}_{\sigma_f^1}$. Таким образом, мы построили сопрягающий гомеоморфизм всюду, кроме замыканий одномерных многообразий седловых точек. В силу предложения 1.13 такой гомеоморфизм продолжается до искомого гомеоморфизма $h$. Теорема 2 доказана. Таким образом, класс эквивалентности $\mathcal L_f$ хопфовского узла является полным топологическим инвариантом для диффеоморфизма $f\in G^+_1$. Более того, имеет место следующая теорема реализации. 4.3. Реализация диффеоморфизмов класса $G^+_1$ узлами ХопфаТеорема 3 [57; теорема 1.2]. Для любого класса эквивалентности $\mathcal L$ хопфовских узлов в $\mathbb S^{2}\times\mathbb S^1$ существует диффеоморфизм $f\in G^+_1$ такой, что $\mathcal L_{f}=\mathcal L$. Доказательство. Напомним, что и ${\nu}\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ – диффеоморфизм, заданный формулой ${\nu}({\mathbf x})={\mathbf x}/2$. Проекцию $p\colon\mathbb R^3\setminus O\to\mathbb S^{2}\times\mathbb S^1$ мы определили формулой
Реализуем любой узел Хопфа диффеоморфизмом $f\in G^+_1$. Пусть $L\subset \mathbb S^{2}\times\mathbb S^1$ – хопфовский узел и $U(L)$ – его трубчатая окрестность. Тогда множество $\overline L=p^{-1}(L)$ является ${{\nu}}$-инвариантной дугой в $\mathbb R^3\setminus O$, и $U(\overline L)=p^{-1}(U(L))$ – ее ${{\nu}}$-инвариантная окрестность, диффеоморфная $\mathbb{D}^{2}\times\mathbb R^1$ (см. рис. 26). Положим
$$
\begin{equation*}
C=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^3\colon x_2^2+x_{3}^2\leqslant 4\}
\end{equation*}
\notag
$$
и определим поток $g^t\colon C\to C$ формулой Тогда существует диффеоморфизм $\zeta\colon U(L)\to C$, который сопрягает диффеоморфизмы $\nu\big|_{U(L)}$ и $g=g^1\big|_C$. Определим поток $\phi^t$ на $C$ следующими формулами:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \dot{x}_1&=\begin{cases} 1-\dfrac{1}{9}(x_1^2+x_2^2+x_3^2-4)^2,& x_1^2+x_2^2+x_3^2 \leqslant 4, \\ 1, & x_1^2+x_2^2+x_3^2 > 4; \end{cases} \\ \dot{x}_2&=\begin{cases} \dfrac{x_2}{2}\biggl(\sin\biggl(\dfrac{\pi}{2} (x_1^2+x_2^2+x_3^2-3)\biggr)-1\biggr), & 2<x_1^2+x_2^2+x_3^2\leqslant 4, \\ -x_2,& x_1^2+x_2^2+x_3^2\leqslant 2, \\ 0, & x_1^2+x_2^2+x_3^2 > 4; \end{cases} \\ \dot{x}_3&=\begin{cases} -\dfrac{x_3}{2}\biggl(\sin\biggl(\dfrac{\pi}{2} (x_1^2+x_2^2+x_3^2-3)\biggr)-1\biggr), & 2<x_1^2+x_2^2+x_3^2\leqslant 4, \\ x_3,& x_1^2+x_2^2+x_3^2\leqslant 2, \\ 0, & x_1^2+x_2^2+x_3^2 > 4. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По построению диффеоморфизм $\phi=\phi^1$ имеет два неподвижных гиперболических седла: седло $P_1(-1,0,0)$ с индексом Морса 1 и седло $P_2(1,0,0)$ с индексом Морса 2 (см. рис. 27). Некомпактная гетероклиническая кривая $W^{\rm s}_{P_1}\cap W^{\rm u}_{P_2}$ совпадает с открытым интервалом $\{{\mathbf x}\in\mathbb R^3\colon |x_1|<1,\ x_2=x_3=0\}$. Заметим, что $\phi$ совпадает с диффеоморфизмом $g=g^1$ вне шара $\{{\mathbf x}\in C\colon\|{\mathbf x}\|\leqslant 4\}$. Определим диффеоморфизм $\overline f_L\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ таким образом, что $\overline{f}_{L}$ совпадает с $\nu$ вне $U(L)$ и совпадает с ${\zeta}^{-1}\phi{\zeta}$ на ${U({L})}$. Тогда $\overline f_{L}$ имеет в $U(L)$ две неподвижные точки: седло ${\zeta}^{-1}(P_1)$ и седло ${\zeta}^{-1}(P_2)$. Пусть $N(0,0,0,1)$ – это северный полюс сферы $\mathbb S^3=\{{\mathbf x}=(x_1,x_2,x_3,x_{4})\colon\!\! \|{\mathbf x}\|=1\}$ и $\vartheta\colon\mathbb R^3\to(\mathbb{S}^3\setminus\{N\})$ – стандартная стереографическая проекция. По построению диффеоморфизм $\overline{f}_{L}$ совпадает с $\nu$ в некоторой окрестности точки $O$ и в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки, следовательно, он индуцирует на $\mathbb{S}^3$ диффеоморфизм Морса–Смейла
$$
\begin{equation*}
f_{L}({\mathbf s})=\begin{cases} \vartheta(\overline f_{L}(\vartheta({\mathbf s}))),&{\mathbf s}\ne N; \\ N,& {\mathbf s}=N. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно из построения следует, что неблуждающее множество диффеоморфизма $f_{L}$ состоит из четырех неподвижных гиперболических точек: стока $\omega=S$, двух седел $\sigma^1=\vartheta({\zeta}^{-1}(P_1))$, $\sigma^2=\vartheta({\zeta}^{-1}(P_2))$ и одного источника $\alpha=N$. Построенный диффеоморфизм принадлежит классу $G^+_1$; назовем такие диффеоморфизмы модельными (см. рис. 28). Теорема доказана. Непосредственно из теорем 2 и 3 следует, что объемлющим многообразием для диффеоморфизмов класса $G^+_1$ является 3-сфера $\mathbb S^3$. 5. Топология многообразий, допускающих диффеоморфизмы класса $G$5.1. Линзовое пространство как несущее многообразие для диффеоморфизмов класса $G$В настоящем пункте мы докажем следующую теорему. Теорема 4 [56; теорема 1]. Несущее многообразие любого диффеоморфизма $f\in G_p$, $p\geqslant 0$, гомеоморфно линзовому пространству $L_{p,q}$. Доказательство. В силу леммы 3.2, не уменьшая общности, будем предполагать, что $f\in G^+_p$, т. е. множество $H_f$ гетероклинических кривых диффеоморфизма $f$ ориентируемо, и гетероклинический индекс равен $p\geqslant 0$. Рассмотрим отдельно следующие случаи: 1) $p=0$; 2) $p>0$.
1) В случае $p=0$ множество $H_f$ либо пусто, либо состоит только из компактных кривых, ограничивающих диски на $W^{\rm s}_{\sigma_f^1}$, содержащие седло $\sigma_f^1$, и реперы всех кривых в $H_f$ имеют одинаковую ориентацию (см. рис. 14). Если множество $H_f$ пусто, то в силу предложения 1.15 несущее многообразие гомеоморфно $\mathbb S^2\times\mathbb S^1=L_{0,1}$ (см. рис. 6). Везде далее будем использовать обозначения, введенные при доказательстве леммы 3.1. Если множество $H_f$ не пусто, то каждая компонента связности $K^{\rm u}$ множества $Y_f\setminus \operatorname{int}\widehat N^1_f$ является гладким двумерным кольцом, имеющим одну граничную компоненту на торе $T^1_f$, а другую – на торе $T^2_f$, и эти окружности являются меридианами заполненных торов $N_{L^1_f}$ и $N_{L^2_f}$ соответственно. Обозначим через $d_1\subset N_{L^1_f}$ и $d_2\subset N_{L^2_f}$ двумерные диски, ограниченные этими меридианами и имеющие в точности по одной точке пересечения с узлами $L^1_f$ и $L^2_f$ соответственно (см. рис. 29). Тогда множество $S=K^{\rm u}\cup d_1\cup d_2$ является двумерной сферой, цилиндрически вложенной в многообразие $\widehat V_{\omega_f}$. Поскольку сфера $S$ имеет единственную точку пересечения с каждым из узлов $L^1_f$, $L^2_f$, то в силу предложения 1.3 она объемлюще изотопна сфере $\mathbb S^2\times\{s_0\}$, $s_0\in\mathbb S^1$. Выберем сферу $\widetilde S$, близкую к сфере $S$, объемлюще изотопную сфере $\mathbb S^2\times\{s_0\}$, $s_0\in\mathbb S^1$, так, что пересечение $\widetilde S\cap N_{L^i_f}$, $i=1,2$, является двумерным диском $\widetilde d_i$, имеющим единственную точку пересечения с узлом $L^i_f$, и $(\widetilde S\cap Y_f)\subset \operatorname{int}(\widetilde d_1\sqcup\widetilde d_2)$. Тогда сфера $\overline S$, являющаяся компонентой связности множества $p_{\omega_f}^{-1}(\widetilde S)$, ограничивает 3-шар $B\subset W^{\rm s}_{\omega_f}$, содержащий $\omega_f$ в своей внутренности. При этом пересечение $\overline S\cap W^{\rm u}_{\sigma^2_f}$ принадлежит дизъюнктному объединению двух дисков $\Delta_1\subset p_{\omega_f}^{-1}(\widetilde d_1)$ и $\Delta_2\subset p_{\omega_f}^{-1}(\widetilde d_2)$ (см. рис. 30). Положим $I=W^{\rm u}_{\sigma_f^1}\setminus \operatorname{int}B$. Из свойств согласованной системы окрестностей и ориентируемости гетероклинических кривых следует, что существует трубчатая окрестность $N_I$ дуги $I$ такая, что пересечение $\partial N_I\cap W^{\rm u}_{\sigma_f^2}$ состоит из единственной замкнутой кривой $\mu_2$. Тогда множество $Q_1=B\cup N_I$ гомеоморфно заполненному тору, и кривая $\mu_2$ является его меридианом. Поскольку кривая $\mu_2$ гомотопна на $W^{\rm u}_{\sigma_f^2}\setminus \sigma_f^2$ гетероклиническим кривым диффеоморфизма $f$, то она ограничивает диск $\delta_2$, содержащий седло $\sigma_f^2$. Выберем трубчатую окрестность $N_{\delta_2}\subset M^3\setminus \operatorname{int}Q_1$ диска $\delta_2$ так, что $N_{\delta_2}\cap W^{\rm u}_{\sigma_f^2}=\delta_2$, и $N_{\delta_2}\cap\partial Q_1$ – кольцо на торе $\partial Q_1$, являющееся трубчатой окрестностью кривой $\mu_2$. Поскольку кривая $\mu_2$ существенна на торе $\partial Q_1$, то множество $S_\alpha=\partial (Q_1\cup N_{\delta_2})$ гомеоморфно 2-сфере. По построению сфера $S_\alpha$ не пересекается с неустойчивыми многообразиями седловых точек и, следовательно, в силу предложения 1.7 лежит в $W^{\rm u}_\alpha$, где ограничивает 3-шар $B_\alpha$. Таким образом, множество $Q_2=M^3\setminus \operatorname{int}Q_1$ устроено так, что, разрезая его по диску $\delta_2$, получаем 3-шар. Это означает, что $Q_2$ – заполненный тор, кривая $\mu_2$ является его меридианом, а $M^3=Q_1\cup Q_2$ – линзовое пространство $L_{0,1}\cong\mathbb S^2\times\mathbb S^1$ (см. рис. 14). 2) В случае $p>0$ в силу ориентируемости множества $H_f$ каждая компонента $K^{\rm u}$ связности множества $Y_f\setminus \operatorname{int}\widehat N^1_f$ является двумерным кольцом, имеющим граничные окружности на разных торах множества $\partial{\widehat N}_f^1$, причем эти окружности являются узлами Хопфа. Тогда каждая компонента связности границы множества $\widehat N_f$ является двумерным тором, гомотопически нетривиально вложенным в $\mathbb S^2\times\mathbb S^1$ (см. рис. 31). Согласно предложению 1.2 каждый такой тор ограничивает в $\widehat V_{\omega_f}$ заполненный тор, откуда следует, что $\widehat N_f$ принадлежит внутренности заполненного тора $\widehat J\subset\widehat V_{\omega_f}$. Положим $J=p_{\omega^{-1}_f}(\widehat J)$. Поскольку $J$ является $f$-инвариантным заполненным цилиндром, граница которого не пересекается с инвариантными многообразиями седловых точек, то в силу предложения 1.7 имеем $\partial J\subset W^{\rm u}_{\alpha_f}$. Выберем 2-диск $d\subset W^{\rm u}_{\alpha_f}\setminus \alpha_f$ так, что $\partial d\subset\partial J$ и $\partial d$ делит $\partial J$ на две компоненты связности. Выберем точку $y_0\in \operatorname{int} d$. Обозначим через $S_{\omega_f}$ замыкание компоненты связности множества $\partial J\setminus\partial d$, содержащее $\omega_f$. По построению $S_{\omega_f}$ является 2-сферой, гладкой всюду, кроме, возможно, точки $\omega_f$. Согласно предложению 1.1 существует гладкий $3$-шар $B\subset M^3$ такой, что $\omega_f\in \operatorname{int} B$ и $\partial B$ трансверсально пересекает $S_{\omega_f}$ по единственной кривой, разделяющей в $S_{\omega_f}$ точки ${\omega_f}$ и $y_0$. Не уменьшая общности, будем считать, что $\partial B$ пересекает цилиндр $J$ по диску $\Delta$, трансверсально пересекающему $N_f^1$ по двум дискам и $N_f^2\setminus \operatorname{int} N_f^1$ по $p$ дискам (см. рис. 32). Положим $I=W^{\rm u}_{\sigma_f^1}\setminus \operatorname{int}B$. Из свойств согласованной системы окрестностей и ориентируемости гетероклинических кривых следует, что существует трубчатая окрестность $N_I$ дуги $I$ такая, что $N_I\cap\Delta\subset N_f^1\cap\Delta$, $W^{\rm s}_{\sigma_f^1}$ пересекается с $Q_1=B\cup N_I$ по одному 2-диску, граница $\mu_1$ которого пересекается с $W^{\rm u}_{\sigma_f^2}$ в точности в $p$ точках, и пересечение $\partial N_I\cap W^{\rm u}_{\sigma_f^2}$ состоит в точности из $p$ кривых. По построению множество $Q_1$ гомеоморфно заполненному тору, и
$$
\begin{equation*}
W^{\rm u}_{\sigma_f^2}\cap \partial Q_1= W^{\rm u}_{\sigma_f^2}\cap (\Delta\cup\partial N_I).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cl}(W^{\rm u}_{\sigma_f^2})\setminus W^{\rm u}_{\sigma_f^2}= \operatorname{cl}(W^{\rm u}_{\sigma_f^1})\subset \operatorname{int}Q_1,
\end{equation*}
\notag
$$
то $W^{\rm u}_{\sigma_f^2}\cap\partial Q_1$ состоит из замкнутых кривых. Так как пересечение диска $W^{\rm u}_{\sigma_f^2}$ с тором $\partial Q_1$ ориентировано, то оно состоит из единственной кривой $\mu_2$ (см. рис. 33). Поскольку кривая $\mu_2$ пересекает все гетероклинические кривые диффеоморфизма $f$ ориентируемым образом, то она ограничивает диск $\delta_2$, содержащий седло $\sigma_f^2$. Рассуждая аналогично случаю $p=0$, получим, что $M^3=Q_1\cup Q_2$ – линзовое пространство $L_{p,q}$, где $\langle p,q\rangle$ – гомотопический тип кривой $\mu_2$ на торе $\partial Q_1$. Теорема доказана. 5.2. Построение диффеоморфизмов с дико вложенными сепаратрисами на каждом линзовом пространствеВ настоящем пункте мы конструктивно докажем следующий результат. Теорема 5 [56; теорема 2]. На любом линзовом пространстве $L_{p,q}$ существует диффеоморфизм $f\in G$ c дико вложенными одномерными седловыми сепаратрисами. 5.2.1. Построение на линзе $L_{0,1}\cong\mathbb S^2\times\mathbb S^1$Пусть $L^1,L^2\subset \mathbb S^2\times\mathbb S^1$ – два непересекающихся узла Хопфа: стандартный узел и узел Мазура соответственно. Пусть $N_{L^1}$, $N_{L^2}$ – их попарно непересекающиеся трубчатые окрестности. Выберем на торе $T_i=\partial N_{L^i}$, $i=1,2$, образующие $\lambda_i$, $\mu_i$ так, что параллель $\lambda_i$ – это узел Хопфа, а $\mu_i$ – это меридиан заполненного тора $N_{L^i}$. Пусть $\widetilde N_{L^1}\supset N_{L^1}$ – также трубчатая окрестность узла $L^1$, не пересекающаяся с $N_{L^2}$, и $\widetilde T=\partial\widetilde N_{L^1}$ (см. рис. 34). Обозначим через $\widehat V$ многообразие, полученное из $\mathbb S^2\times\mathbb S^1\setminus \operatorname{int}(N_{L^1} \cup N_{L^2})$ отождествлением граничных торов посредством диффеоморфизма, переводящего меридиан $\mu_1$ в меридиан $\mu_2$. Пусть
$$
\begin{equation*}
q\colon\mathbb S^2\times\mathbb S^1\setminus \operatorname{int}(N_{L^1} \cup N_{L^2})\to\widehat V
\end{equation*}
\notag
$$
– естественная проекция. Положим $\widehat L^{\rm s}=q(\widetilde T)$ и $\widehat L^{\rm u}=q(T_2)$. Заметим, что фундаментальная группа $\pi_1(\widehat V)$ допускает эпиморфизм $\eta\colon\pi_1(\widehat V)\to \mathbb Z$, ставящий в соответствие гомотопическому классу замкнутой кривой в $\widehat V$ число ее оборотов вокруг образующей $q(\lambda_1)$. При этом торы $\widehat L^{\rm s}$ и $\widehat L^{\rm u}$ являются $\eta$-существенными. Положим
$$
\begin{equation*}
S=(\widehat V,\eta,\widehat L^{\rm s},\widehat L^{\rm u}).
\end{equation*}
\notag
$$
По построению многообразие $\widehat V_{\widehat L^{\rm s}}$ гомеоморфно исходному многообразию $\mathbb S^2\times\mathbb S^1$. Поскольку тор $\widetilde T$ ограничивает в $\mathbb S^2\times\mathbb S^1$ два заполненных тора, то многообразие $\widehat V_{\widehat L^{\rm u}}$ также гомеоморфно многообразию $\mathbb S^2\times\mathbb S^1$. Таким образом, схема $S$ является абстрактной схемой. В силу предложения 1.14 схема $S$ реализуется некоторым градиентно-подобным диффеоморфизмом $f\in \operatorname{MS}(M^3)$ таким, что схемы $S_f$ и $S$ эквивалентны. Поскольку множества $\widehat L^{\rm s}$, $\widehat L^{\rm u}$, $\widehat V_{\widehat L^{\rm s}}$, $\widehat V_{\widehat L^{\rm u}}$ связны, то диффеоморфизм $f$ имеет в точности четыре неблуждающие точки попарно различных индексов Морса, т. е. $f\in G$. Так как торы $\widehat L^{\rm s}$ и $\widehat L^{\rm u}$ не пересекаются, то множество $H_f$ пусто. Согласно теореме 4 несущее многообразие диффеоморфизма $f$ гомеоморфно линзовому пространству $L_{0,1}\cong\mathbb S^2\times\mathbb S^1$. Согласно предложению 2.3 многообразие $W^{\rm u}_{\sigma^1_f}$ дико вложено в несущее многообразие. 5.2.2. Построение на линзе $L_{p,q}$, $p\ne 0$Пусть $p\ne 0$, и пусть $q\ne 0$ взаимно просто с $p$. На трехмерном торе
$$
\begin{equation*}
\mathbb T^3=\mathbb S^1\times\mathbb S^1\times\mathbb S^1= \{(e^{i2\pi x},e^{i2\pi y},e^{i2\pi z})\colon x,y,z\in\mathbb R\}
\end{equation*}
\notag
$$
зададим образующие
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a=\mathbb S^1\times\{e^{i2\pi 0}\}\times\{e^{i2\pi 0}\},\qquad b=\{e^{i2\pi 0}\}\times\mathbb S^1\times\{e^{i2\pi 0}\}, \\ c=\{e^{i2\pi 0}\}\times\{e^{i2\pi 0}\}\times\mathbb S^1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Зададим двумерные торы $\widetilde T^{\rm s},\widetilde T^{\rm u}\subset\mathbb T^3$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\widetilde T^{\rm s}=\{(e^{i2\pi x},e^{i2\pi y},e^{i2\pi z}) \colon z=0\},\qquad \widetilde T^{\rm u}=\biggl\{(e^{i2\pi x},e^{i2\pi y},e^{i2\pi z})\colon z=\frac {p}{q}\,y\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем трубчатые окрестности $N_{\widetilde T^{\rm s}}$, $N_{\widetilde T^{\rm u}}$ этих торов. По построению замыкание каждой компоненты связности множества $\mathbb T^3\setminus (N_{\widetilde T^{\rm s}}\cup N_{\widetilde T^{\rm u}})$ является заполненным тором с образующей, гомотопной узлу $a$. Выберем одну такую компоненту $W$ и обозначим через $\mu_{W}$ меридиан заполненного тора $W$ (см. рис. 35). Пусть $L\subset\mathbb S^2\times\mathbb S^1$ – узел Мазура, $N_L$ – его трубчатая окрестность с меридианом $\mu_{N_L}$ и $\zeta\colon \partial N_L\to\partial W$ – диффеоморфизм, переводящий меридиан $\mu_{N_L}$ в меридиан $\mu_{W}$. Положим
$$
\begin{equation*}
\widehat V=(\mathbb T^3\setminus \operatorname{int}W)\cup_{\zeta} (\mathbb S^2\times\mathbb S^1\setminus \operatorname{int}N_L).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через
$$
\begin{equation*}
q\colon (\mathbb T^3\setminus \operatorname{int}W)\sqcup (\mathbb S^2\times\mathbb S^1\setminus \operatorname{int}N_L)\to\widehat V
\end{equation*}
\notag
$$
естественную проекцию. Положим $\widehat L^{\rm s}=q(\widetilde T^{\rm s})$ и $\widehat L^{\rm u}=q(\widetilde T^{\rm u})$. Заметим, что фундаментальная группа $\pi_1(\widehat V)$ допускает эпиморфизм $\eta\colon\pi_1(\widehat V)\to \mathbb Z$, ставящий в соответствие гомотопическому классу замкнутой кривой в $\widehat V$ число ее оборотов вокруг образующей $q(a)$. При этом торы $\widehat L^{\rm s}$, $\widehat L^{\rm u}$ являются $\eta$-нетривиальными. Положим
$$
\begin{equation*}
S=(\widehat V,\eta,\widehat L^{\rm s},\widehat L^{\rm u}).
\end{equation*}
\notag
$$
Проверим допустимость абстрактной схемы, показав, что многообразие $\widehat V_{\widehat L^{\rm s}}$ гомеоморфно многообразию $\mathbb S^2\times\mathbb S^1$ (для многообразия $\widehat V_{\widehat L^{\rm u}}$ доказательство аналогичное). По построению многообразие $\mathbb T^3\setminus \operatorname{int}N_{\widetilde T^{\rm s}}$ гомеоморфно $\mathbb T^2\times[0,1]$. Приклеив заполненный тор к каждой компоненте связности этого многообразия так, что меридиан заполненного тора склеивается с кривой, гомотопной образующей $b$, получим многообразие $\mathbb S^2\times\mathbb S^1$. При этом полученное многообразие является склейкой по границе двух заполненных торов $W$ и $\mathbb S^2\times\mathbb S^1\setminus \operatorname{int}W$. Тогда многообразие $\widehat V_{\widehat L^{\rm s}}$ получается склейкой многообразий $\mathbb S^2\times\mathbb S^1\setminus \operatorname{int}W$, $\mathbb S^2\times\mathbb S^1\setminus \operatorname{int}N_L$ по границе в силу диффеоморфизма, переводящего меридиан $\mu_{N_L}$ в меридиан $\mu_{W}$. Поскольку $\mathbb S^2\times\mathbb S^1\setminus \operatorname{int}W$ – заполненный тор, то $\widehat V_{\widehat L^{\rm s}}$ гомеоморфно многообразию $\mathbb S^2\times\mathbb S^1$. Таким образом, схема $S$ является абстрактной схемой. В силу предложения 1.14 схема $S$ реализуется некоторым градиентно-подобным диффеоморфизмом $f\in \operatorname{MS}(M^3)$ таким, что схемы $S_f$ и $S$ эквивалентны. Поскольку множества $\widehat L^{\rm s}$, $\widehat L^{\rm u}$, $\widehat V_{\widehat L^{\rm s}}$, $\widehat V_{\widehat L^{\rm u}}$ связны, то диффеоморфизм $f$ имеет в точности четыре неблуждающие точки попарно различных индексов Морса, т. е. $f\in G$. Так как торы $\widehat L^{\rm s}$, $\widehat L^{\rm u}$ пересекаются ориентируемым образом вдоль $p$ $\eta$-существенных кривых, то множество $H_f$ ориентируемо и состоит из $p$ некомпактных гетероклинических кривых. Согласно теореме 4 несущее многообразие диффеоморфизма $f$ гомеоморфно линзовому пространству $L_{p,q}$. Согласно предложению 2.3 многообразие $W^{\rm u}_{\sigma^1_f}$ дико вложено в несущее многообразие.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PocTal24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|