| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Последовательности независимых функций и структура симметричных пространств С. В. Асташкинabcd a Самарский национальный исследовательский университет им. академика С. П. Королева b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова c Московский центр фундаментальной и прикладной математики d Bahçesehir University, Istanbul, Turkey
Английская версия:
Russian Mathematical Surveys, 2024, Volume 79, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10171e 
Реферативные базы данных:
     1. ВведениеВ последней главе своей знаменитой книги “Théorie des opérations linéaires” (1932 г.) [22], выход которой ознаменовал рождение теории банаховых пространств, С. Банах (S. Banach) поставил проблему описания множества пар чисел $(p,q)$, $1\leqslant p,q<\infty$, таких, что пространство функций $L_p=L_p[0,1]$ содержит подпространство, изоморфное пространству последовательностей $\ell_q$. В последовавших затем работах С. Банаха и С. Мазура (S. Mazur), а также Р. Э. А. К. Пэли (R. E. A. C. Paley) [86] эта задача была частично решена, но вплоть до 50-х годов прошлого века вопрос оставался открытым в случае, когда $1\leqslant p<q<2$. Наконец, в 1958 г. М. И. Кадец ответил на него положительно, доказав эквивалентность в $L_p$ последовательности независимых копий ступенчатой функции $g$ такой, что $\xi^{(q)}(t)\leqslant g(t)\leqslant 2\xi^{(q)}(t)$, $0<t\leqslant 1$, где $\xi^{(q)}$ – это $q$-устойчивая случайная величина, каноническому $\ell_q$-базису [59]. Решение проблемы С. Банаха с использованием независимых функций, одного из основных объектов теории вероятностей, стимулировало интерес к ним среди математиков, изучающих структуру банаховых пространств. Еще одной причиной роста интереса к этой тематике явилось открытие в 1970 г. Х. П. Розенталем (H. P. Rosenthal) подпространств пространства $L_p[0,1]$, порожденных независимыми функциями и имеющих новый изоморфный тип (т. е. не изоморфных ни одному подпространству из известных ранее) [96]. В связи с этим в центре внимания оказалась проблема описания подпространств $L_p$, порожденных последовательностями независимых функций. В этом направлении французские математики Ж. Бретаньоль (J. Bretagnolle) и Д. Дакунья-Кастель (D. Dacunha-Castelle), используя последовательности одинаково и симметрично распределенных независимых функций, переоткрыли результат М. И. Кадеца, а также показали, что пространство Орлича $\ell_\psi$ может быть изоморфно вложено в $L_p$, $1\leqslant p<2$, тогда и только тогда, когда функция $\psi$ эквивалентна на $[0,1]$ некоторой $p$-выпуклой и $2$-вогнутой функции Орлича [34], [35], [40]. Несколько позднее близкие результаты были получены М. Ш. Браверманом [31]–[33], а также в конечномерной ситуации С. Квапенем (S. Kwapień) и К. Шютом (C. Schütt) [71] (с помощью комбинаторных методов). Хорошо известно, насколько отличается поведение сумм независимых функций в пространствах $L_p$ при конечных $p$ и в пространстве $L_\infty$ (например, последовательность функций Радемахера эквивалентна каноническому $\ell_2$-базису в $L_p[0,1]$, если $1\leqslant p<\infty$, и $\ell_1$-базису в $L_\infty[0,1]$). При этом происходящим явлениям, как правило, нельзя дать удовлетворительного объяснения, находясь “внутри” $L_p$-шкалы. В то же время это можно сделать, выйдя за ее пределы и рассматривая, скажем, пространства Орлича или даже общие симметричные (перестановочно инвариантные) пространства функций. Наиболее решительный шаг в этом направлении был сделан М. Ш. Браверманом в монографии [32], посвященной изучению последовательностей независимых функций в симметричных пространствах на основе интенсивного применения как вероятностной техники, так и методов теории функций комплексной переменной. Данный обзор в целом продолжает линию исследований, проводимых в [32], отличаясь в то же время своими методами. Здесь предлагается подход, инициированный в совместной работе С. В. Асташкина и Ф. А. Сукочева [18] и затем развитый в работах [20], [4], [21]. Он основан на использовании комбинации результатов теории симметричных пространств и методов теории интерполяции операторов, центральная роль в которой принадлежит последовательному применению соотношений между нормами сумм независимых функций и их дизъюнктных копий, впервые появившихся в случае $L_p$-пространств в вышеупомянутой работе Розенталя и затем распространенных на класс симметричных пространств У. Б. Джонсоном (W. B. Johnson) и Г. Шехтманом (G. Schechtman) [58]. Позднее С. В. Асташкин и Ф. А. Сукочев показали, что эти соотношения имеют место в точности в симметричных пространствах с так называемым свойством Круглова, введенным ранее М. Ш. Браверманом (см. обзор [17] и литературу, содержащуюся там, а также п. 3.2). На наш взгляд, подход, предлагаемый здесь, имеет существенные преимущества по сравнению с методами, основанными на использовании теории функций комплексной переменной в [32]. Будучи более прямым, он делает нагляднее связь между свойствами подпространства пространства $X$, порожденного последовательностью одинаково распределенных независимых функций $\{f_k\}_{k=1}^\infty$, и распределением функции $f_1\in X$. Благодаря этому появляется возможность “пойти несколько дальше”: если из-за ограничений метода в монографии [32] изучаются лишь ${\ell_q}$-оценки сумм независимых функций, т. е. рассматривается случай, когда их последовательность эквивалентна каноническому $\ell_q$-базису при некотором $1\leqslant q<\infty$, то наш подход позволяет эффективно изучать более общие $\ell_\psi$-оценки для широкого класса функций Орлича $\psi$. Об этом пойдет речь в разделах 4 и 5. В разделе 5 будет также рассмотрена в определенном смысле обратная задача (впервые явно поставленная в работе [18]), а именно проблема единственности распределения функции, последовательность независимых копий которой порождает данное подпространство. В обзор включены недавние результаты, посвященные ее решению как для $L_p$-пространств, так и для общих симметричных пространств. “Набор” подпространств функциональных пространств, порожденных независимыми функциями, определяет многие геометрические свойства пространств, и поэтому свойства независимых функций, а также вероятностные неравенства, связанные с ними, оказались весьма эффективным средством при изучении геометрии банаховых пространств. В качестве выдающихся примеров их применения назовем здесь лишь работы Ж. Бургейна (J. Bourgain) о $\Lambda(p)$-множествах [28], Е. Д. Глускина о диаметре компакта Минковского [50], Б. С. Кашина о разложении пространства $L_2$ в прямую сумму подпространств, на которых $L_1$- и $L_2$-нормы эквивалентны [65]. К настоящему времени эта тематика нашла свое отражение и в монографической литературе; ни в коей мере не претендуя на полноту, упомянем в этой связи книги [79], [57], [32], [66], [90]. В этом обзоре, в разделах 6 и 7, рассматриваются вопросы, связанные с дополняемостью подпространств, порожденных независимыми функциями. Красивый классический результат в этом направлении – теорема Л. Дора (L. E. Dor) и Т. Стабеда (T. Starbird) – говорит, что всякое подпространство пространства $L_p$, $1\leqslant p<\infty$, порожденное независимыми функциями и изоморфное пространству $\ell_p$, дополняемо в $L_p$ [44]. Как мы увидим, эта теорема по существу является следствием принципа сравнения дополняемости подпространств, порожденных последовательностями независимых функций в симметричном пространстве $X$ на $[0,1]$ и их попарно дизъюнктных копий в некотором пространстве на полуоси $(0,\infty)$. Будучи весьма общим, этот принцип позволяет также получить результаты типа Дора–Стабеда для симметричных пространств, удовлетворяющих нижней $p$-оценке. В доказательстве этих и других результатов используются методы, близкие к тем, что применялись в обзоре [17], вышедшем в журнале “Успехи математических наук” в 2010 г., где в качестве приложений была дана характеризация симметричных пространств, в которых справедлив векторнозначный вариант неравенства Хинчина, а также найдены наиболее широкие на сегодняшний день достаточные условия, при которых симметричные пространства на $[0,1]$ и $(0,\infty)$ изоморфны между собой (проблема, поставленная Б. С. Митягиным в [82] и интенсивно изучавшаяся в мемуаре [57]). Упомянем еще две тематически близкие обзорные статьи, опубликованные ранее в “Успехах математических наук”. В первой из них, написанной В. Ф. Гапошкиным в 1966 г. [49], в центре внимания находятся теоретико-функциональные свойства последовательностей как независимых, так и слабо зависимых (лакунарных) систем функций (сходимость и абсолютная сходимость, интегрируемость, предельные теоремы, закон повторного логарифма и т. д.). Второй обзор [89], авторы которого – Г. Пешкир (G. Peškir) и А. Н. Ширяев, написан гораздо позднее, в 1995 г., и посвящен изучению важнейшей и в то же время наиболее простой из систем независимых функций – системы Радемахера – с точки зрения возможностей переноса ее свойств на общие мартингальные последовательности. Отметим, что детальное изучение различных аспектов, связанных с поведением этой классической системы в функциональных пространствах, составляет содержание недавно опубликованной монографии [5]. Скажем несколько слов еще об одном направлении, напрямую относящемся к данному обзору, но не включенном в него в связи с ограниченностью места. Это направление связано с изучением так называемых сильно вложенных подпространств $H$ симметричных пространств $X$, т. е. таких подпространств, что сходимость на $H$ в $X$-норме эквивалентна сходимости по мере. Инициированная в классической работе У. Рудина (W. Rudin) [98], посвященной анализу Фурье на окружности $[0,2\pi)$, эта линия исследований была сразу же продолжена в разных направлениях. В частности, Розенталь доказал замечательный результат о том, что для каждого $1<p<2$ подпространство $H$ пространства $L_p$ сильно вложено тогда и только тогда, когда функции единичного шара в $H$ имеют равностепенно непрерывные нормы в $L_p$ [97]. В недавней работе [6] (см. также [7]) была рассмотрена задача распространения теоремы Розенталя на класс функциональных пространств Орлича $L_M$. Наряду с другими результатами, в терминах индексов Матушевской–Орлича функции $M$ доказан критерий того, что функции единичного шара любого сильно вложенного в $L_M$ подпространства $H$, изоморфного некоторому пространству Орлича последовательностей, имеют равностепенно непрерывные нормы в $L_M$. Отметим, что центральную роль в доказательстве играют свойства подпространств, порожденных в $L_M$ как независимыми, так и попарно дизъюнктными функциями. При этом более сложная, чем в $L_p$, структура подпространств, порожденных дизъюнктными функциями, приводит к тому, что теорема типа Розенталя в пространствах Орлича $L_M$, лежащих между $L_1$ и $L_2$, вообще говоря, неверна. Напомним наиболее важные классические неравенства, содержащие независимые функции и ставшие стимулом для дальнейших исследований. В 1923 г. А. Я. Хинчин в работе “Über dyadische Brüche” [67] доказал свои знаменитые неравенства для функций Радемахера
$$
\begin{equation*}
r_n(t)=\operatorname{sign}\sin 2^n\pi t,\qquad 0\leqslant t\leqslant 1\quad (n\in\mathbb{N}).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1.1 (неравенства Хинчина). Для любого $0<p<\infty$ существуют такие константы $A_p>0$ и $B_p>0$, что для всех $n\in{\mathbb N}$ и произвольных $a=(a_k)_{k=1}^n\in\mathbb{R}^n$ имеем где $\|a\|_{\ell_2}:=\displaystyle\biggl(\,\sum_{k=1}^n|a_k|^2\biggr)^{1/2}$. Теорема 1.1 показывает, что $L_p$-нормы полиномов по системе Радемахера эквивалентны нормам последовательностей их коэффициентов в ${\ell_2}$. С точки зрения геометрии пространств последнее означает, что система Радемахера эквивалентна в $L_p[0,1]$ ($0<p<\infty$) каноническому базису в ${\ell_2}$. Доказательство теоремы 1.1 приведено, например, в [66; теорема 2.6] или [5; теорема 1.4] (кроме того, в [5] можно найти различные варианты этих неравенств, а также информацию относительно оптимальных констант $A_p$ и $B_p$). Одним из наиболее известных обобщений неравенств Хинчина явились неравенства Марцинкевича–Зигмунда [81], опубликованные в 1937 г. Теорема 1.2 (неравенства Марцинкевича–Зигмунда). Пусть $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ – система независимых функций на $[0,1]$, удовлетворяющая условиям Тогда для каждого $p\geqslant 1$ существует константа $C_{M,p}>0$, зависящая лишь от $M$ и $p$, такая, что для любого $n\in{\mathbb N}$ и произвольных $a=(a_k)_{k=1}^n\in\mathbb{R}^n$ выполнены неравенства Более того, всякая система независимых функций, удовлетворяющая условиям теоремы 1.2, эквивалентна системе Радемахера по распределению [5; следствие 7.3]. 2. Определения, обозначения, предварительные сведенияЕсли $F_1$ и $F_2$ – две функции (квазинормы), то выражение вида $F_1\preceq F_2$ будет означать, что $F_1\leqslant CF_2$ для некоторой константы $C>0$, которая не зависит от всех или части аргументов $F_1$ и $F_2$ (из контекста должно быть ясно, о каких аргументах идет речь). В случае, когда одновременно $F_1\preceq F_2$ и $F_2\preceq F_1$ пишем $F_1\asymp F_2$ и называем эти функции (квазинормы) эквивалентными. В частности, будем говорить, что две функции $F_1$ и $F_2$, определенные на полуоси $(0,\infty)$, эквивалентны в нуле (или в бесконечности), если при некотором $t_0>0$ имеем $F_1\asymp F_2$ для всех $0<t\leqslant t_0$ (соответственно для всех $t\geqslant t_0$). Всюду далее вложение одного банахова пространства в другое понимается как непрерывное, т. е. запись $X_1\subset X_0$ означает, что из $x\in X_1$ следует, что $x\in X_0$ и $\|x\|_{X_0}\leqslant C\|x\|_{X_1}$ для некоторого $C>0$. Если важна конкретная константа, с которой имеет место это вложение, то в случае выполнения последнего неравенства для норм мы будем писать также $X_1\overset{C}{\subset} X_0$. Наконец, наличие изоморфизма между банаховыми пространствами $X_0$ и $X_1$ обозначаем как $X_0\approx X_1$. 2.1. Независимые функцииОпределение 2.1. Набор $\{f_k\}_{k=1}^n$ измеримых функций (случайных величин), определенных на вероятностном пространстве $(\Omega,\Sigma,{\mathsf P})$, называется независимым, если для любых интервалов $I_k$ на прямой ${\mathbb R}$ справедливо равенство Будем говорить, что последовательность $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ состоит из независимых функций, если для каждого $n\in{\mathbb N}$ набор $\{f_k\}_{k=1}^n$ независим. Измеримые функции $f$ и $g$ называются одинаково распределенными, если
$$
\begin{equation*}
{\mathsf P}\{\omega\in \Omega\colon f(\omega)>\tau\}= {\mathsf P}\{\omega\in \Omega\colon g(\omega)>\tau\} \quad\text{для любого}\ \tau>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Говорят, что функция $f$ симметрично распределена на $\Omega$, если величины $f$ и $-f$ одинаково распределены. Если $f$ симметрично распределена, то она на $\Omega$ в среднем равна нулю, т. е. $\displaystyle\int_\Omega f(\omega)\,d{\mathsf P}(\omega)=0$. Пусть $f$ – интегрируемая функция, определенная на вероятностном пространстве $(\Omega,\Sigma,{\mathsf P})$. Если $\Re$ – это $\sigma$-подалгебра $\sigma$-алгебры $\Sigma$, то существует и единственна (с точностью до меры нуль) $\Re$-измеримая интегрируемая функция ${\mathsf E}_\Re f$, которая для всех $B\in\Re$ удовлетворяет равенству
$$
\begin{equation*}
\int_Bf(\omega)\,d{\mathsf P}(\omega)= \int_B{\mathsf E}_\Re f(\omega)\,d{\mathsf P}(\omega)
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [45; теорема 1.1]). Функцию ${\mathsf E}_\Re f$ называют условным математическим ожиданием $f$ относительно $\sigma$-алгебры $\Re$. В частности, если $\Re=\{\Omega,\varnothing\}$, то
$$
\begin{equation*}
{\mathsf E}_\Re f={\mathsf E}f:=\int_{\Omega}f(\omega)\,d{\mathsf P}(\omega).
\end{equation*}
\notag
$$
В дальнейшем почти всегда в качестве вероятностного пространства будет рассматриваться отрезок $[0,1]$ с мерой Лебега $m$, определенной на $\sigma$-алгебре измеримых по Лебегу множеств. Одним из наиболее важных примеров последовательностей одинаково и симметрично распределенных, независимых функций на $[0,1]$ является последовательность функций Радемахера $r_k(t)=\operatorname{sign}\sin 2^k\pi t$, $k \in \mathbb{N}$, которая будет неоднократно упоминаться далее. Другой пример – последовательность $\{\xi_k^{(r)}\}_{k=1}^\infty$ случайных величин, являющихся $r$-устойчивыми $(0<r\leqslant 2)$. Они также одинаково распределены, и величина $\xi_1^{(r)}$ удовлетворяет для некоторого $c=c(r)$ условию
$$
\begin{equation*}
{\mathsf E}(\exp(it\xi_1^{(r)}))=\exp(-c|t|^r),\qquad t\in\mathbb{R}
\end{equation*}
\notag
$$
(см., например, [1; § 6.4]). В случае, когда $r=2$ и $c=1/2$, получаем стандартную последовательность нормально распределенных (гауссовских) случайных величин. Подробнее о свойствах систем независимых функций см. в [62], [66; гл. 2], [72], [73], а о свойствах условного математического ожидания – в [45; гл. 1]. 2.2. Симметричные пространстваИзложим здесь основные понятия и результаты из теории симметричных пространств, которые будут интенсивно использоваться (подробнее см. монографии [64], [69], [79], [25]). Пусть $J=[0,1]$ или $J=(0,\infty)$. Обозначим через $S(J)$ множество всех почти всюду конечных измеримых (относительно меры Лебега $m$) вещественнозначных функций (классов эквивалентности) на $J$ c естественными алгебраическими операциями и порядком почти всюду. Для функции $x=x(t) \in S(J)$ введем функцию распределения, принятую в теории функций:
$$
\begin{equation*}
n_{x}(\tau):=m\{ t\in J\colon |x(t)| > \tau \},\qquad \tau > 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Она неотрицательна, не возрастает и непрерывна справа. Две функции $x,y \in S(J)$ называются равноизмеримыми, если $n_{x}(\tau)=n_{y}(\tau)$ для всех $\tau >0$. Ясно, что одинаково распределенные функции равноизмеримы. Кроме того, любая функция $x \in S(J)$ равноизмерима со своей невозрастающей непрерывной слева перестановкой
$$
\begin{equation*}
x^{\ast}(t):=\inf\{\tau \geqslant 0\colon n_{x}(\tau) < t \},\qquad t\in J.
\end{equation*}
\notag
$$
Функции $x^{\ast}$ и $n_{x}$ взаимно обратны в обобщенном смысле, а именно,
$$
\begin{equation*}
n_{x}(x^{\ast}(t))=t, \quad \text{если } x^{\ast}(t)\ - \text{ точка непрерывности }n_{x},
\end{equation*}
\notag
$$
и наоборот,
$$
\begin{equation*}
x^{\ast}(n_{x}(\tau))=\tau, \quad \text{если } n_{x}(\tau)\ - \text{ точка непрерывности }x^{\ast}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [69; § II.2]). Определение 2.2. Банахово функциональное пространство $X \subset S(J)$ называется симметричным (с. п.) или перестановочно инвариантным, если 1) из того, что $x \in X$, $y \in S(J)$ и $|y(t)|\leqslant |x(t)|$ почти всюду, следует, что $y\in X$ и ${\|y\|}_X \leqslant \|x\|_X$; 2) из того, что $x \in X$, $y \in S(J)$ и функции $x$ и $y$ равноизмеримы, следует, что $y\in X$ и ${\|y\|}_X=\|x\|_X$. Если $X$ – с. п., то из сходимости $\|x_n-x\|_X\to 0$ $(x_n,x\in X)$ следует сходимость $x_n\to x$ по мере $m$ на множествах конечной меры из $J$ [64; теорема 4.3.1]. Не ограничивая общности, будем всегда предполагать, что $\|\chi_{[0,1]}\|_X=1$ (всюду далее $\chi_A$ – характеристическая функция множества $A$). Тогда для произвольного с. п. $X$ на $[0,1]$ имеем
$$
\begin{equation*}
L_\infty[0,1]\overset{1}{\subset} X\overset{1}{\subset} L_1[0,1].
\end{equation*}
\notag
$$
В случае, когда $X$ – с. п. на $(0,\infty)$, справедливы вложения
$$
\begin{equation*}
(L_1\cap L_\infty) (0,\infty)\overset{1}{\subset}X\overset{1}{\subset} (L_1+ L_\infty) (0,\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $X$ – с. п. на $J$, то двойственное (или ассоциированное) пространство $X'$ состоит из всех $y\in S(J)$, для которых
$$
\begin{equation*}
\|y\|_{X'}:=\sup\biggl\{\int_{J}{x(t)y(t)\,dt}\colon \|x\|_{X} \leqslant 1\biggr\}\,<\,\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Пространство $X'$ также симметрично; оно изометрически вложено в сопряженное пространство $X^*;$ при этом $X'=X^*$ тогда и только тогда, когда $X$ сепарабельно. Любое с. п. $X$ непрерывно вложено в свое второе двойственное, которое будет обозначаться через $X''$. С. п. $X$ называется максимальным (имеет свойство Фату), если из того, что $x_n\in X$, $n \in \mathbb{N}$, $\sup_{n \in \mathbb{N}} \|x_n\|_X<\infty$, $x\in S(J)$ и $x_n\to{x}$ почти всюду, следует, что $x\in X$ и $\|x\|_X\leqslant \liminf_{n\to\infty}{\|x_n\|_X}$. Пространство $X$ максимально тогда и только тогда, когда его естественное вложение в $X''$ является сюръективной изометрией [64; теорема 6.1.7]. Если с. п. $X$ сепарабельно или максимально, то оно вложено в $X''$ изометрически [64; теорема 6.1.6]. В дальнейшем, как это во многих случаях принято (см., например, [79]), мы предполагаем, что любое с. п. сепарабельно или максимально. Пусть $X$ – с. п. на $(0,\infty)$. Для любого $\tau>0$ в $X$ ограничен оператор растяжения ${\sigma}_\tau x(t):=x(t/\tau)$, $t>0$, причем $\|\sigma_\tau\|_{X\to X}\leqslant \max\{1,\tau\}$ (см., например, [69; теорема II.4.4]). Если $X$ – с. п. на $[0,1]$, то такая же оценка имеет место для нормы модифицированного оператора растяжения $\widetilde{\sigma}_\tau x(t):=x(t/\tau)\chi_{(0,\min\{1,\tau\})}(t)$, $0\leqslant t\leqslant 1$. С помощью него определяются нижний и верхний индексы Бойда с. п. $X$ на $[0,1]$:
$$
\begin{equation*}
\mu_X=\lim_{\tau \to +0} \frac{\ln {\|\widetilde{\sigma}_\tau\|}_{X \to X}}{\ln \tau}\quad\text{и}\quad \nu_X=\lim_{\tau \to +\infty}\frac{\ln \|\widetilde{\sigma}_\tau\|_{X \to X}}{\ln \tau}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом всегда выполнены неравенства $0\leqslant\mu_X\leqslant\nu_X\leqslant 1$ [69; § II.1, теоремы II.1.3 и II.4.5]. Приведем примеры с. п. Прежде всего, это пространства $L_p=L_p(J)$, где $1 \leqslant p \leqslant \infty$:
$$
\begin{equation*}
\|x\|_{p}:=\begin{cases} \biggl(\displaystyle\int_J{|x(t)|}^{p}\,dt \biggr)^{1/p}, & 1 \leqslant p < \infty, \\ \displaystyle\operatorname*{ess\,sup}_{t\in J}|x(t)|, & p=\infty, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
а также их обобщение – семейство пространств $L_{p,q}=L_{p,q}(J)$, $1<p<\infty$, $1 \leqslant q \leqslant \infty$:
$$
\begin{equation*}
\|x\|_{L_{p,q}}:=\begin{cases} \biggl(\dfrac{q}{p}\displaystyle\int_J t^{q/p}x^{\ast}(t)^q\, \dfrac{dt}{t}\biggr)^{1/q}, & 1 \leqslant q < \infty, \\ \displaystyle\operatorname*{ess\,sup}_{t\in J} (t^{1/p}x^{\ast}(t)), & q=\infty. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Хотя функционал $x\mapsto \|x\|_{L_{p,q}}$ при $q>p$ не субаддитивен, он эквивалентен норме $\|x\|'=\|x^{**}\|_{L_{p,q}}$, где $x^{**}(t)=\dfrac{1}{t}\displaystyle\int_0^t x^*(s)\,ds$. Кроме того, $L_{p,q_1}\subset L_{p,q_2}$, если $1\leqslant q_1\leqslant q_2\leqslant\infty$, и $L_{p,p}=L_p$ [69; лемма II.6.5 и последующее замечание]. Пусть $\varphi$ – возрастающая вогнутая функция на $J$ такая, что $\varphi(0)\kern-0.5pt=0$, $\varphi(1)\kern-0.5pt= 1$. Пространства Лоренца $\Lambda(\varphi)$ и Марцинкевича $M(\varphi)$ состоят из всех измеримых на $J$ функций $x(t)$, для которых
$$
\begin{equation*}
\|x\|_{\Lambda(\varphi)}:=\int_{J} x^*(t)\,d\varphi(t)< \infty\quad\text{и}\quad \|x\|_{M(\varphi)}:=\sup_{t\in J} \frac{1}{\varphi(t)}\int_{0}^{t}x^{\ast}(s)\,ds < \infty
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно. Если $\lim_{t\to +0}\varphi(t)=\lim_{t\to +\infty}\varphi(t)/t=0$, то пространство $\Lambda(\varphi)$ сепарабельно и максимально, а $M(\varphi)$ максимально, но не сепарабельно. Справедливы также следующие соотношения двойственности: $\Lambda(\varphi)'=M(\varphi)$ и $M(\varphi)'=\Lambda(\varphi)$ [69; теоремы II.5.2 и II.5.4]. Пусть $X$ – с. п. на $[0,1]$. Через $X_0$ мы будем обозначать сепарабельную часть с. п. $X$, т. е. замыкание $L_\infty$ в $X$. С. п. $X_0$ сепарабельно, если только $X\ne L_\infty$ [69; п. II.4.5]. В частности, пространство $M(\varphi)_0$ может быть охарактеризовано как множество всех таких функций $x\in M(\varphi)$, что $\lim_{t\to +0} \dfrac{1}{\varphi(t)}\displaystyle\int_{0}^{t}x^{\ast}(s)\,ds=0$ [69; лемма II.5.4]. Фундаментальная функция $\phi_X$ с. п. $X$ определяется соотношением: где $A$ – любое измеримое подмножество $J$ такое, что $m(A)=t$. Функция $\phi_X$ квазивогнута (т. е. $\phi_X(0)=0$, $\phi_X$ не убывает и $\phi_X(t)/t$ не возрастает на области определения). В частности,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, {\phi}_{L_{p,q}}(s)=s^{1/p}\qquad (1\leqslant q\leqslant\infty), \\ \phi_{\Lambda(\varphi)}(s)={{\varphi}}(s)\quad\text{и}\quad \phi_{M(\varphi)}(s)=\frac{s}{\varphi(s)}\,. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\phi_X$ – фундаментальная функция с. п. $X$, то $\Lambda({\Phi_X})\subset X\subset M(s/\Phi_X(s))$, где через $\Phi_X$ обозначена наименьшая вогнутая мажоранта функции $\phi_X$ [69; теоремы II.5.5 и II.5.7]. Аналогично определяются с. п. числовых последовательностей $\{a_k\}_{k=1}^\infty$ (см., например, [69; § II.8]). В частности, фундаментальная функция с. п. последовательностей $E$ определяется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\phi(n):=\biggl\|\,\sum_{k=1}^n e_k\biggr\|_E,\qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
где $e_k$ – канонические единичные векторы в пространствах последовательностей. Как нетрудно видеть, $\{e_k\}_{k=1}^\infty$ – симметричный базис в $E$, если $E$ сепарабельно. Еще одним естественным обобщением $L_p$-пространств являются пространства Орлича. Поскольку они (как пространства функций, так и пространства последовательностей) будут играть в дальнейшем особенно важную роль, предварительные сведения, относящиеся к ним, мы выделим в отдельный пункт. 2.3. Пространства ОрличаДетальное описание свойств пространств Орлича см. в монографиях [68], [92], [80]. Пусть $M$ – функция Орлича, т. е. (строго) возрастающая, выпуклая, непрерывная функция на полуоси $[0,\infty)$ такая, что $M(0)=0$. Не ограничивая общности, всюду в дальнейшем считаем, что $M(1)=1$. Пространство Орлича $L_{M}:=L_M(J)$ состоит из всех измеримых на $J$ функций $x(t)$, для которых конечна норма Люксембурга
$$
\begin{equation*}
\|x\|_{L_{M}}:=\inf\biggl\{\lambda > 0 \colon \int_J M\biggl(\frac{|x(t)|}{\lambda}\biggr) \, dt \leqslant 1\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, если $M(u)=u^p$, $1\leqslant p<\infty$, то $L_M=L_p$ с обычной нормой. Заметим, что определение пространства $L_M[0,1]$ зависит (с точностью до эквивалентности норм) лишь от поведения функции $M$ в бесконечности (т. е. при больших значениях аргумента). Фундаментальная функция этого пространства вычисляется по формуле
$$
\begin{equation*}
\phi_{L_M}(u)=\frac{1}{M^{-1}(1/u)}\,,\qquad 0<u\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $M^{-1}$ – функция, обратная к $M$. Если $M$ – функция Орлича, то дополнительной (или сопряженной по Янгу) к ней называется функция $M'$, определяемая следующим образом: Как нетрудно видеть, $M'$ также является функцией Орлича, а дополнительной к ней будет функция $M$.Всякое пространство Орлича $L_M(J)$ максимально; пространство $L_M[0,1]$ сепарабельно тогда и только тогда, когда функция $M$ удовлетворяет $\Delta_2^\infty$-условию ($M\in \Delta_2^\infty$), т. е. аналогично, пространство $L_M(0,\infty)$ сепарабельно тогда и только тогда, когда функция $M$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию ($M\in \Delta_2$), т. е. В этом случае $L_M(J)^*=L_M(J)'=L_{M'}(J)$.Важный пример несепарабельных пространств Орлича – так называемые экспоненциальные пространства. Если $p>0$, то пространство $\exp L_p$ – это пространство Орлича $L_{N_p}[0,1]$, где $N_p(u)$ – произвольная функция Орлича, эквивалентная в бесконечности функции $\exp(u^p)$. Двойственным к пространству $\exp L_p$ является сепарабельное пространство Орлича $L\ln^{1/p}L$, построенное по функции Орлича, эквивалентной в бесконечности функции $u\ln^{1/p}u$. Система Радемахера эквивалентна в с. п. $X$ каноническому базису $\ell_2$ тогда и только тогда, когда имеет место вложение $X\supset G$, где $G:=(\exp L_2)_0$, т. е. $G$ – замыкание $L_\infty$ в пространстве $\exp L_2$ (п. 2.2) [94] (см. также [5; теорема 2.3]). Как нетрудно проверить, индексы Бойда пространства Орлича $L_M[0,1]$ выражаются через индексы Матушевской–Орлича в бесконечности,
$$
\begin{equation*}
\alpha_{M}^{\infty}:=\sup\biggl\{p\colon \sup_{t,s \geqslant 1} \frac{M(t)s^{p}}{M(ts)} < \infty \biggr\}\quad\text{и}\quad \beta_{M}^{\infty}:=\inf\biggl\{p\colon \inf_{t,s \geqslant 1} \frac{M(t)s^{p}}{M(ts)} > 0 \biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\mu_{L_M}=\frac{1}{\beta_{M}^{\infty}}\quad\text{и}\quad \nu_{L_M}=\frac{1}{\alpha_{M}^{\infty}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
И наконец, $M\in \Delta_2^\infty$ тогда и только тогда, когда $\beta_{M}^{\infty} <\infty$. Аналогичным образом определяется пространство Орлича последовательностей. А именно, если $\psi$ – функция Орлича, то пространство $\ell_{\psi}$ состоит из всех последовательностей вещественных чисел $a=(a_{k})_{k=1}^{\infty}$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\|a\|_{\ell_{\psi}}:=\inf\biggl\{\lambda>0\colon \sum_{k=1}^{\infty} \psi\biggl(\frac{|a_{k}|}{\lambda}\biggr)\leqslant 1\biggr\}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\psi(u)=u^p$, $p\geqslant 1$, то $\ell_\psi=\ell_p$ изометрически. Определение пространства Орлича $\ell_{\psi}$ зависит (с точностью до эквивалентности норм) лишь от поведения функции $\psi$ в нуле (т. е. при малых значениях аргумента). Фундаментальная функция пространства Орлича $\ell_{\psi}$ может быть вычислена по формуле
$$
\begin{equation}
\phi_{\ell_\psi}(n)=\frac{1}{\psi^{-1}(1/n)}\,,\qquad n \in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Пространство $\ell_{\psi}$ сепарабельно тогда и только тогда, когда $\psi$ удовлетворяет $\Delta_{2}^{0}$-условию ($\psi\in \Delta_{2}^{0}$), т. е. $\sup_{0<u\leqslant 1}{\psi(2u)}/{\psi(u)}<\infty$. В этом случае $\ell_{\psi}^*=\ell_{\psi}'=\ell_{{\psi}'}$, где ${\psi}'$ – функция, дополнительная к $\psi$. Для любой функции Орлича $\psi$ определим индексы Матушевской–Орлича в нуле:
$$
\begin{equation*}
\alpha_{\psi}^{0}:=\sup\biggl\{p \colon \sup_{0<t,s \leqslant 1} \frac{\psi(st)}{s^{p}\psi(t)} < \infty\biggr\}, \qquad \beta_{\psi}^{0}:=\inf \biggl\{p \colon \inf_{0<t, s \leqslant 1} \frac{\psi(st)}{s^{p}\psi(t)} > 0 \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как и для индексов Матушевской–Орлича в бесконечности, выполняются неравенства $1 \leqslant \alpha_{\psi}^{0} \leqslant \beta_{\psi}^{0} \leqslant \infty$ (см., например, [78; гл. 4]). 2.4. Некоторые понятия теории интерполяции операторовНемалую роль в дальнейшем будут играть некоторые понятия и методы теории интерполяции операторов. Совокупность $\vec X=(X_0,X_1)$ двух банаховых пространств $X_0$ и $X_1$ называют банаховой парой, если они оба линейно и непрерывно вложены в одно и то же отделимое линейное топологическое пространство. Для банаховой пары можно определить пересечение $X_0\cap X_1$ и сумму $X_0+X_1$ как банаховы пространства с нормами и
$$
\begin{equation*}
\|x\|_{X_0+X_1}=\inf\{\|x_0\|_{X_0}+\|x_1\|_{X_1}\colon x=x_0+x_1,x_i\in X_i,i=0,1\}
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно. Банахову пару образуют, например, любые два с. п. $X_0$ и $X_1$ на $J$, так как они линейно и непрерывно вложены в пространство $S(J)$, рассматриваемое с топологией сходимости по мере Лебега на множествах конечной меры. Говорят, что банахово пространство $X$ интерполяционно относительно банаховой пары $(X_0,X_1)$, если $X_0 \cap X_1 \subset X \subset X_0+X_1$ и для любого линейного оператора $T\colon X_0+X_1\to X_0+X_1$, ограниченного в $X_0$ и в $X_1$, имеем $T\colon X \to X$. В частности, согласно классической теореме Рисса–Торина [26; теорема 1.1.1] пространство $L_p$ интерполяционно относительно пары $(L_{p_0},L_{p_1})$ для любых $1\leqslant p_0\leqslant p\leqslant p_1\leqslant\infty$. Один из наиболее важных и в теории, и в приложениях способ построения интерполяционных пространств связан с использованием ${\mathcal K}$-функционала Петре, определенного на банаховой паре $( X_0,X_1)$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
{\mathcal K}(t,x;X_0,X_1):=\inf\{\|x_0\|_{X_0}+t\|x_1\|_{X_1}\colon x=x_0+x_1,x_i\in X_i\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $x\in {X_0+X_1}$, а $t>0$. Для любой банаховой пары при фиксированном $x\in X_0+X_1$ отображение $t\mapsto {\mathcal K}(t,x;X_0,X_1)$ определяет неотрицательную непрерывную возрастающую вогнутую функцию [26; лемма 3.1.1]. Лишь в очень редких случаях ${\mathcal K}$-функционал банаховой пары может быть вычислен точно. Две такие точные формулы нам далее понадобятся. Пусть $(T,\Sigma,\mu)$ – произвольное пространство с $\sigma$-конечной мерой $\mu$. Если $w$ измерима и неотрицательна на $T$, то весовое $L_1$-пространство $L_1(w)$ состоит из всех измеримых на $T$ функций $x$, для которых $\|x\|_{L_1(w)}:=\displaystyle\int_T|x(t)|w(t)\,d\mu<\infty$. Для любой пары $(L_1(w_1),L_1(w_2))$ имеет место равенство
$$
\begin{equation}
{\mathcal K}(t,x;L_1(w_1),L_1(w_2))= \int_\Omega |x(s)|\min\{w_1(s),tw_2(s)\}\,d\mu(s),\qquad t>0
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
(см. [26; доказательство теоремы 5.4.1] или [36; предложение 3.1.17]). Вторая формула позволяет вычислить ${\mathcal K}$-функционал пары $(L_1,L_\infty)$, также определенной на произвольном пространстве с $\sigma$-конечной мерой:
$$
\begin{equation}
{\mathcal K}(t,x;L_1,L_\infty)=\int_0^{t} x^*(s)\,ds,\qquad t>0
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
(см., например, [26; теорема 5.2.1]). Центральную роль в теории интерполяции играет так называемое свойство $K$-делимости $\mathcal{K}$-функционала, доказанное Ю. А. Брудным и Н. Я. Кругляком (см. [36]). Доказательство этого свойства основано на использовании следующего важного результата. Предложение 2.1 [36; предложение 3.2.5]. Предположим, что $\varphi$ – возрастающая вогнутая функция на $[0,\infty)$, $\varphi(0)=0$, и $q>1$. Тогда существует последовательность $\{t_i\}_{i=-m}^n$, $m,n\in \mathbb{N}\cup\{+\infty\}$, положительных чисел, удовлетворяющая следующим условиям (a)–(d). (a) $t_0=1$, $t_{i+1}/t_i\geqslant q$, $-m\leqslant i<n$. (b) Имеют место равенства
$$
\begin{equation*}
\frac{\varphi(t_{2i})}{t_{2i}}=q\cdot\frac{\varphi(t_{2i+1})}{t_{2i+1}}\,,\qquad \varphi(t_{2i+2})=q\cdot \varphi(t_{2i+1}).
\end{equation*}
\notag
$$
(c) $0\leqslant n\leqslant\infty$, при этом $n=+\infty$ тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation}
\varphi'(+\infty):=\lim_{t\to+\infty}\frac{\varphi(t)}{t}=0\quad\textit{и}\quad \varphi(+\infty):=\lim_{t\to +\infty}\varphi(t)=+\infty.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Первое соотношение в (2.4) не выполнено в том и только том случае, когда $n$ четно; в этом случае
$$
\begin{equation}
\frac{\varphi(t)}{t}\geqslant\frac{1}{q}\cdot \frac{\varphi(t_n)}{t_n}\quad\textit{при}\quad t\geqslant t_{n}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Второе соотношение в (2.4) не выполнено в том и только том случае, когда $n$ нечетно; в этом случае
$$
\begin{equation}
\varphi(t_n)\min\biggl\{1,\frac{t}{t_n}\biggr\}\geqslant \frac{1}{q}\cdot\varphi(t)\quad\textit{при}\ \ t\geqslant t_{n-1}.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
(d) $m=+\infty$ тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation}
\varphi(+0)=0\quad\textit{и}\quad \varphi'(+0):=\lim_{t\to +0}\frac{\varphi(t)}{t}=+\infty.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Первое соотношение в (2.7) не выполнено в том и только том случае, когда $m$ четно; в этом случае
$$
\begin{equation}
\varphi(t)\geqslant \frac{1}{q}\cdot\varphi(t_{-m})\quad\textit{при}\ \ t\leqslant t_{-m}.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Второе соотношение в (2.7) не выполнено в том и только том случае, когда $m$ нечетно; в этом случае Банахова пара $(X_0,X_1)$ называется $\operatorname{Conv}_0$-обильной, если для всякой возрастающей вогнутой функции $\varphi$ на $(0,\infty)$, $\varphi(0)=0$, такой, что $\lim_{t\to +0}\varphi(t)=\lim_{t\to +\infty}\varphi(t)/t=0$, существует элемент $x\in X_0+X_1$, удовлетворяющий соотношению
$$
\begin{equation*}
\varphi(t)\asymp {\mathcal K}(t,x;X_0,X_1),\qquad t>0,
\end{equation*}
\notag
$$
с константами, не зависящими от $\varphi$. Детальное изложение приведенных здесь, а также многих других результатов и фактов теории интерполяции можно найти в монографиях [26], [36], [69], [25]. 3. Вспомогательные результаты и конструкцииВ дальнейшем при изучении подпространств с. п., порожденных независимыми функциями, наряду с методами теории интерполяции будут интенсивно использоваться подходы, связанные со сравнением норм сумм независимых функций и их дизъюнктных копий, а также свойства выпуклых и вогнутых функций. 3.1. Неравенства Розенталя и теорема Джонсона–ШехтманаПри изучении дополняемых подпространств пространства $L_p=L_p[0,1]$ Х. П. Розенталь доказал в 1970 г. следующие замечательные соотношения, показывающие, что с точностью до эквивалентности $L_p$-норма суммы независимых функций, в среднем равных нулю, определяется $L_p$- и $L_2$-нормами слагаемых. Теорема 3.1 [96]. Для каждого $p> 2$ существует константа $K_p>0$ такая, что для произвольной последовательности $\{f_k\}_{k=1}^\infty\subset L_p$ независимых функций со свойством $\displaystyle\int_0^1f_k(t)\,dt=0$, $k=1,2,\dots$, и каждого $n\in\mathbb N$ выполнены неравенства Выражение, с которым в (3.1) сравнивается норма $\biggl\|\,\displaystyle\sum_{k=1}^n f_k\biggr\|_p$, может быть представлено несколько иначе. Для каждой последовательности $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ функций, заданных на $[0,1]$, через $\{\bar{f}_k\}_{k=1}^\infty$ обозначим произвольную последовательность дизъюнктных функций, заданных уже на полуоси $[0,\infty)$ и таких, что для каждого $k=1,2,\dots$ функция $\bar{f}_k$ имеет то же распределение, что и $f_k$. Например, можно положить
$$
\begin{equation*}
\bar{f}_k(t)=f_k(t-k+1)\cdot \chi_{[k-1,k)}(t),\qquad t>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда функция которую называют дизъюнктной суммой функций $f_k$, $k=1,\dots,n$, обладает следующим очевидным свойством:
$$
\begin{equation}
m\{t>0\colon {\mathbf f}_n(t)>\tau\}=\sum_{k=1}^n m\{t\in [0,1]\colon f_k(t)>\tau\},\qquad \tau>0,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $m$ – мера Лебега. С помощью введенного понятия неравенства (3.1) могут быть переписаны следующим образом: если $p\geqslant 2$ и независимые функции $f_k$ имеют нулевой интеграл на $[0,1]$, то с константой, зависящей лишь от $p$,
$$
\begin{equation}
\biggl\|\,\sum_{k=1}^n f_k\biggr\|_p\asymp \|{\mathbf f}_n\|_{(L_p\cap L_2)[0,\infty)},\qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Справедливо также двойственное утверждение: если $1\leqslant p\leqslant 2$ и функции $f_k$ удовлетворяют тем же условиям, то
$$
\begin{equation}
\biggl\|\,\sum_{k=1}^n f_k\biggr\|_p\asymp \|{\mathbf f}_n\|_{(L_p +L_2)[0,\infty)},\qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
\|g\|_{(L_p\cap L_q)[0,\infty)}=\max\bigl\{\|g\|_{L_p[0,\infty)}, \|g\|_{L_q[0,\infty)}\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|g\|_{(L_p+L_q)[0,\infty)}&=\inf\bigl\{\|g_0\|_{L_p[0,\infty)}+ \|g_1\|_{L_q[0,\infty)}\colon \\ &\qquad\qquad\qquad g_0+g_1=g,\ g_0\in L_p[0,\infty),\ g_1\in L_q[0,\infty)\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, с константами, зависящими лишь от $p$, последовательность $\{f_k\}_{k=1}^\infty$, удовлетворяющая указанным выше условиям, эквивалентна в $L_p[0,1]$ последовательности $\{\bar{f}_k\}_{k=1}^\infty$ дизъюнктных копий этих функций в пространстве $(L_p\cap L_2)[0,\infty)$, если $p\geqslant 2$, и в $(L_p+L_2)[0,\infty)$, если $1\leqslant p\leqslant 2$. Приведенная переформулировка неравенств Розенталя приводит к следующему естественному вопросу: для каких функциональных пространств, кроме $L_p$, справедливы аналогичные неравенства? При этом, как показывает равенство (3.2), именно с. п. – наиболее вероятные кандидаты на выполнение неравенств этого типа. В 80-е годы прошлого века был опубликован ряд работ, посвященных проблеме сравнения сумм независимых и дизъюнктных функций в различных пространствах, а также применению этих соотношений к изучению геометрии этих пространств. Так, в 1988 г. Н. Л. Каротерс (N. L. Carothers) и С. Дж. Дилворс (S. J. Dilworth) [38] получили аналоги неравенств (3.3) и (3.4) для пространств Лоренца $L_{p,q}$, $1\leqslant p<\infty$, $0<q\leqslant \infty$ (см. определение этих пространств в п. 2.2). Примерно в то же время У. Б. Джонсон (W. B. Johnson) и Г. Шехтман (G. Schechtman) [58], используя неравенство, доказанное Й. Хоффманом-Йоргенсеном (J. Hoffman-Jø rgensen) [54], достигли значительного прогресса в решении этой проблемы, распространив неравенства (3.3) и (3.4) на случай общих с. п. Чтобы сформулировать их результат, введем следующую полезную конструкцию (см. [57] или [79; 2.f]), которая далее будет неоднократно использоваться. Если $X$ – с. п. на $[0,1]$ и $1\leqslant p\leqslant\infty$, то множество $Z_X^p$ состоит из всех измеримых на $(0,\infty)$ функций $f$, для которых
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{Z_X^p}:=\|f^*\chi_{[0,1]}\|_X+ \|f^*\chi_{[1,\infty)}\|_{L_p[1,\infty)}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Функционал $f\mapsto \|f\|_{Z_X^p}$ является лишь квазинормой (неравенство треугольника выполняется, вообще говоря, с константой, большей 1). Тем не менее для любого с. п. $X$ он эквивалентен подходящей симметричной норме. Действительно, так как $X\subset L_1[0,1]$, то ввиду хорошо известного соотношения (см., например, [55] или [26; упражнение 5.7.3])
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{(L_1+L_p)(0,\infty)}\asymp \int_{{0}}^1f^*(t)\,dt+ \biggl(\int_{{1}}^\infty f^*(t)^p\,dt\biggr)^{1/p},\qquad f\in (L_1+L_p)(0,\infty),
\end{equation*}
\notag
$$
функционал $f\mapsto \|f\|_{Z_X^p}$ эквивалентен норме
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{Z_X^p}':=\|f^*\chi_{[0,1]}\|_{X}+\|f\|_{(L_1+L_p)[0,\infty)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым $Z_X^p$ становится с. п. на полуоси $[0,\infty)$. Теорема 3.2 [58; теорема 1]. Пусть $X$ – произвольное с. п. на $[0,1]$. Тогда существует такое $C=C_X>0$, что для любой последовательности независимых функций $\{f_k\}_{k=1}^\infty\subset X$, $\displaystyle\int_0^1f_k(t)\,dt=0$, $k=1,2,\dots$, выполнено неравенство где ${\mathbf f}$ – дизъюнктная сумма функций $f_k$, $k=1,2,\dots$ . Если, кроме того, $X\supset L_p$ при некотором $p<\infty$, то существует такое $C_1=C_1(p)>0$, что для всякой последовательности, удовлетворяющей тем же условиям, имеет место противоположное неравенство 3.2. Свойство Круглова и сравнение норм сумм независимых функций и их дизъюнктных копийВложение $X\supset L_p$ при некотором $p<\infty$ из второй части теоремы 3.2 (означающее определенную “удаленность” $X$ от пространства $L_\infty$) не является необходимым условием для выполнения неравенства (3.6). Это неравенство справедливо также и для некоторых (но, конечно, не всех) с. п., расположенных по “другую сторону” от пространств $L_p$, $p<\infty$. При определенных условиях на систему независимых функций и для некоторого класса пространств Орлича это следовало уже из вероятностных конструкций В. М. Круглова [70], связанных с изучением безгранично делимых распределений и, в частности, с анализом классической формулы Леви–Хинчина. Несколько позднее, распространив наблюдение, сделанное в [70], на весь класс с. п., М. Ш. Браверман ввел понятие свойства Круглова и разработал иной (по сравнению с развитым в работе [58]) “вероятностный” подход к изучению сравнения сумм независимых и дизъюнктных функций (см. [32]). Пусть $f$ – измеримая функция (случайная величина) на $[0,1]$. Через $\pi(f)$ обозначим сумму $\displaystyle\sum_{i=1}^Nf_i$, где $f_i$ – независимые копии $f$, а $N$ – случайная величина, независимая относительно последовательности $\{f_i\}$ и имеющая распределение Пуассона с параметром 1. Непосредственные вычисления показывают, что (вероятностная) функция распределения функции $\pi(f)$ определяется равенством
$$
\begin{equation*}
{\mathcal F}_{\pi(f)}(t)=\frac{1}{e}\biggl(\chi_{(0,\infty)}(t)+ {\mathcal F}_{f}(t)+\sum_{l=2}^\infty\frac{1}{l!} {\mathcal F}_{f}^{*l}(t)\biggr),\qquad t\in\mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
где через ${\mathcal F}_{f}^{*l}$ обозначается $l$-кратная свертка функции распределения ${\mathcal F}_{f}$. Будем говорить, что с. п. $X$ на $[0,1]$ имеет свойство Круглова (и писать $X\in \mathbb{K}$), если из того, что $f\in X$, следует, что $\pi(f)\in X$. Заметим, что противоположная импликация $\pi(f)\in X\,\Longrightarrow\,f\in X$ выполнена всегда. Действительно, так как ввиду определения $\pi(f)$ имеем $m\{|\pi(f)|\geqslant \tau\}\geqslant e^{-1}m\{|f|\geqslant \tau\}$ для всех $\tau>0$ и $X$ – с. п., то $\|f\|_X\leqslant e\|\pi(f)\|_X$. Несколько упрощая, можно сказать, что свойством Круглова обладают с. п., достаточно “удаленные” от пространства $L_\infty$. Так, его имеют максимальные с. п., содержащие $L_p$ для некоторого $p<\infty$ [32; теорема I.2] (и, в частности, пространства $X$, нижний индекс Бойда $\mu_X$ которых положителен (см. п. 2.2)). Но не только такие; например, экспоненциальное пространство Орлича $\exp L_p$ принадлежит $\mathbb{K}$ тогда и только тогда, когда $0<p\leqslant 1$. Последнее утверждение является следствием вышеупомянутой теоремы Круглова [70], а также рассуждений из начала § II.4 монографии [32]. В то же время следует сказать, что свойство Круглова довольно-таки деликатно, и не может быть охарактеризовано, скажем, с помощью вложений. Например, пространство $\exp L_1$, наименьшее экспоненциальное пространство Орлича со свойством Круглова, не является таковым в классе всех с. п.: существуют как пространства $X\overset{\ne}{\subset} \exp L_1$, обладающие свойством Круглова, так и пространства $X\overset{\ne}{\supset} \exp L_1$, его не имеющие (подробнее см. [17; § 4.3]). Свойство Круглова оказалось чрезвычайно полезным средством при изучении геометрических свойств банаховых пространств измеримых функций, играя важную роль в монографии [32]. Объяснением этого является следующий результат, показывающий, что при некотором дополнительном условии на последовательность независимых функций свойство Круглова гарантирует выполнение неравенства (3.6). Теорема 3.3 [32; лемма I.4]. Пусть с. п. $X\in \mathbb{K}$. Тогда существует константа $C=C_X>0$ такая, что для произвольной последовательности независимых функций $\{f_k\}_{k=1}^\infty\subset X$, удовлетворяющей условию выполнено неравенство Замечание 3.1. Так как в силу (3.7) “носитель” дизъюнктной суммы ${\mathbf f}=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \bar{f}_k$ содержится в отрезке $[0,1]$, то можно рассматривать произвольные (не обязательно в среднем равные нулю) независимые функции и $\|{\mathbf f}\|_{Z_X^2}$ заменить на $\|{\mathbf f}\|_{X}$. При сравнении теорем 3.2 и 3.3 естественным образом возникает вопрос о возможности распространения неравенства (3.6) на произвольные с. п. со свойством Круглова (или, эквивалентно, вопрос о справедливости теоремы 3.3 без условия (3.7) с соответствующей модификацией правой части неравенства (3.8)). Положительный ответ на него был дан С. В. Асташкиным и Ф. А. Сукочевым с помощью операторного подхода, введенного ими в работах [12] и [13]. Скажем здесь об этом лишь несколько слов (подробнее см. обзор [17]). На пространстве всех почти всюду конечных измеримых по Лебегу на $[0,1]$ функций был определен линейный положительный оператор ${\mathbf K}$, ограниченный в с. п. $X$ тогда и только тогда, когда $X\in \mathbb{K}$ (в связи с чем ${\mathbf K}$ был назван также оператором Круглова). Такой подход позволил использовать преимущества операторного языка, например, применять теорию интерполяции операторов, а также изучить более общую ситуацию, когда нормы в левой и правой частях неравенства (3.6) берутся в разных пространствах. Благодаря этому удалось не только решить ряд вопросов, относящихся непосредственно к свойству Круглова, но и во многих случаях более эффективно его применять (см. [11], [16], [19], [17]). Первоначальный вариант следующей теоремы, усиливающей как теорему 3.2, так и теорему 3.3, был доказан в работе [14] с использованием техники теории безгранично делимых распределений. Несколько позднее (см. [19; теорема 21] и [17; теорема 25]) за счет применения арксинус-неравенства Прохорова [91] ее доказательство было, во-первых, значительно упрощено, а во-вторых, распространено на случай квазибанаховых симметричных пространств. Теорема 3.4. Пусть с. п. $X\in \mathbb{K}$. Существует константа $\kappa^{}_X> 0$ такая, что для произвольной последовательности $\{f_k\}_{k=1}^\infty\subset X$ независимых функций таких, что $\displaystyle\int_0^1 f_k(t)\,dt=0$, $k=1,2,\dots$, имеет место неравенство Таким образом, в с. п. со свойством Круглова выполняется обобщенное неравенство Розенталя. Замечание 3.2. Константа $\kappa^{}_X$ равна произведению некоторой универсальной константы на норму оператора Круглова ${\mathbf K}$ в пространстве $X$ (см. [19; теорема 21] или [17; теорема 25]). Замечание 3.3. Для сепарабельных с. п. справедливо также утверждение, обратное по отношению к теореме 3.4. Точнее, если существует константа $C=C_X>0$ такая, что для произвольной последовательности независимых функций $\{f_k\}_{k=1}^\infty\subset X$, удовлетворяющей условию (3.7), выполнено неравенство (3.8), то $X\in \mathbb{K}$ и $\|{\mathbf K}\|_{X\to X}\leqslant C$ [17; теорема 23]. 3.3. $p$-выпуклые и $p$-вогнутые функции ОрличаПусть $1\leqslant p<\infty$. Функцию Орлича $M$ называют $p$-выпуклой (или $p$-вогнутой), если отображение $t \mapsto M(t^{1/p})$ является выпуклым (соответственно вогнутым) на полуоси $[0,\infty)$. Следующее хорошо известное утверждение – непосредственное следствие определений (см., например, [69; § II.1]). Лемма 3.1. Пусть $\psi$ – функция Орлича. (i) Если $\psi$ является $p$-выпуклой, то функция $t\mapsto{\psi(t)}/{t^p}$, $t>0$, возрастает. (ii) Если $\psi$ является $p$-вогнутой, то функция $t\mapsto{\psi(t)}/{t^p}$, $t>0$, убывает. Доказательство следующей характеризации введенных понятий можно найти в [84; лемма 20] или [18; лемма 5] (см. также определение индексов Матушевской–Орлича в п. 2.3). Лемма 3.2. Пусть $1\leqslant p<\infty$ и $\psi$ – функция Орлича на $[0,\infty)$. Тогда справедливы следующие утверждения. (i) $\psi$ эквивалентна $p$-выпуклой (соответственно $p$-вогнутой) функции в нуле в том и только том случае, когда $\psi(st)\leqslant C s^{p}\psi(t)$ (соответственно $s^p\psi(t)\leqslant C \psi(st)$) для некоторого $C>0$ и всех $0<t,s\leqslant 1$. (ii) $\psi$ эквивалентна $(p+\varepsilon)$-выпуклой (соответственно $(p-\varepsilon)$-вогнутой) функции в нуле при некотором $\varepsilon>0$ в том и только том случае, когда $\alpha_\psi^0>p$ (соответственно $\beta_\psi^0<p$). Лемма 3.3. Пусть $1\leqslant p<q<\infty$ и $\psi$ – функция Орлича. Следующие условия равносильны: (a) $\psi$ эквивалентна в нуле некоторой $p$-выпуклой и $q$-вогнутой функции Орлича и $\lim_{t\to +0}\psi(t)/t^p=0$; (b) существует возрастающая вогнутая функция $\varphi$ на $(0,1]$ такая, что $\lim_{t\to +0}\varphi(t)=0$ и Доказательство. (a) $\Rightarrow$ (b). Без потери общности, будем считать, что функция $\psi$ сама $p$-выпукла и $q$-вогнута в нуле. Положим $\varphi_1(t):=t^{-p/(q-p)}\psi(t^{1/(q-p)})$, $0<t\leqslant 1$. Так как $\psi$ является $p$-выпуклой и $q$-вогнутой, $\varphi_1(t^{q-p})=\psi(t)t^{-p}$ и $\varphi_1(t^{q-p})t^{p-q}=\psi(t)t^{-q}$, то по лемме 3.1 функция $\varphi_1$ возрастает, а функция $\varphi_1(t)/t$ убывает. Следовательно, $\varphi_1$ квазивогнута, и поэтому она эквивалентна на $[0,1]$ своей наименьшей вогнутой мажоранте $\varphi$ (см., например, [69; теорема II.1.1]). Отсюда следует, что где $\varphi$ – возрастающая вогнутая функция на $(0,1]$. Кроме того, согласно условию (a) имеем и условие (b) доказано.
(b) $\Rightarrow$ (a). Пусть $\varphi$ – функция из условия (b). Определим функцию $\psi_1$, положив $\psi_1(t):=t^p\varphi(t^{q-p})$, если $0\leqslant t\leqslant 1$, и $\psi_1(t)=\varphi(1)t^p$, если $t\geqslant 1$. Как легко проверить, функция $\psi_1(t^{1/p})/t$ возрастает, а функция $\psi_1(t^{1/q})/t$ убывает. Следовательно, если $\psi_2(t):=\displaystyle\int_0^t \dfrac{\psi_1(s)}{s}\,ds$, $t>0$, то из равенства
$$
\begin{equation*}
\psi_2(t)=\int_0^{t^p}\frac{\psi_1(s^{1/p})}{ps}\,ds= \int_0^{t^q}\frac{\psi_1(s^{1/q})}{qs}\,ds,\qquad t>0,
\end{equation*}
\notag
$$
вытекает, что $\psi_2$ – $p$-выпуклая и $q$-вогнутая функция Орлича. Кроме того, в силу предыдущих равенств Следовательно, из условия и определения $\psi_1$ вытекает эквивалентность функций $\psi$ и $\psi_2$ в нуле. Так как то получаем (a), и лемма доказана. Пусть $1 \leqslant p \leqslant\infty$. Банахова решетка $X$ называется $p$-выпуклой, соответственно $p$-вогнутой, если существует $C>0$ такое, что для любого $n\in\mathbb{N}$ и произвольных векторов $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$ из $X$ (c естественной модификацией выражений в случае $p=\infty$)
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\biggl(\,\sum_{k=1}^n |x_k|^p\biggr)^{1/p}\biggr\|_X \leqslant C\biggl(\,\sum_{k=1}^n \|x_k\|_X^p\biggr)^{1/p},
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно
$$
\begin{equation*}
\biggl(\,\sum_{k=1}^n\|x_k\|_X^p\biggr)^{1/p} \leqslant C\biggl\|\biggl(\,\sum_{k=1}^n|x_k|^p\biggr)^{1/p}\biggr\|_X.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что каждая банахова решетка $1$-выпукла и $\infty$-вогнута с константой $1$. Кроме того, пространство $L_p$ на любом пространстве с мерой $p$-выпукло и $p$-вогнуто также с константой $1$. Нетрудно проверить, что пространство Орлича $L_M[0,1]$ является $p$-выпуклым (соответственно $p$-вогнутым) тогда и только тогда, когда функция $M$ эквивалентна в бесконечности некоторой $p$-выпуклой (соответственно $p$-вогнутой) функции Орлича. Аналогично, пространство Орлича последовательностей $\ell_\psi$ является $p$-выпуклым (соответственно $p$-вогнутым) тогда и только тогда, когда функция $\psi$ эквивалентна в нуле некоторой $p$-выпуклой (соответственно $p$-вогнутой) функции Орлича. 3.4. Подпространства пространств Орлича, порожденные независимыми одинаково распределенными функциями, в среднем равными нулюСтруктура подпространств $L_p$-пространств в случае $1\leqslant p<2$ весьма сложна и до сих пор не получила какого-либо эффективного описания. Даже если ограничиться подпространствами $L_p$ с симметричным базисом, то известно лишь, что они являются некоторыми $p$-усреднениями пространств Орлича (см. [40], а также соответствующий конечномерный результат в [71]; кроме того, в [93] рассматривается случай общих симметричных функциональных пространств). Намного больше известно о подпространствах $L_p$, изоморфных пространствам Орлича последовательностей. Как мы увидим в следующем разделе 4, они могут быть описаны как замкнутые линейные оболочки последовательностей независимых копий в среднем равных нулю функций. Здесь мы решим обратную, более простую задачу, показав, что всякая такая последовательность эквивалентна в сепарабельном функциональном пространстве Орлича на $[0,1]$ каноническому базису некоторого пространства Орлича последовательностей. Подобное описание впервые появилось, видимо, в работе [40] (см. там теорему 1 на с. X.8). Пусть $M$ – функция Орлича на $[0,\infty)$, $M\in \Delta_2^\infty$ и $L_M=L_M[0,1]$ – пространство Орлича. Кроме того, положим
$$
\begin{equation}
\theta(u):=\begin{cases} u^2, & 0<u\leqslant 1, \\ M(u), & u >1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Функция $\theta$, вообще говоря, не является выпуклой. Тем не менее функция $\theta(t)/t$ возрастает, непрерывна, и так как $M\in \Delta_2^\infty$, то $\theta\in\Delta_2$. Поэтому $\theta$ эквивалентна на $(0,\infty)$ функции Орлича $\widetilde{\theta}(t):= \displaystyle\int_0^t\dfrac{\theta(u)}{u}\,du$. Действительно, с одной стороны, $\displaystyle\int_0^t\dfrac{\theta(u)}{u}\,du\leqslant \theta(t)$, $t>0$, а с другой стороны, для некоторого $c>0$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\int_0^t\frac{\theta(u)}{u}\,du\geqslant \int_{t/2}^t\frac{\theta(u)}{u}\,du\geqslant \theta\biggl(\frac{t}{2}\biggr) \geqslant c \theta(t),\qquad t>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, можно определить пространство Орлича $L_\theta=L_\theta[0,\infty)$. Начнем с доказательства того, что $L_\theta$ совпадает с пространством $Z_{L_M}^2$ (см. определение в п. 3.1). Близкие утверждения были доказаны в [83; теорема 1] и [11; предложение 2.2], а также, для частного случая, когда $L_M=L_1$, в [52]. Лемма 3.4. Если функция $\theta$ определена соотношением (3.10), то с точностью до эквивалентности норм имеет место равенство Доказательство. Так как рассматриваемые пространства симметричны, будем далее предполагать, не ограничивая общности, что функция $g$ неотрицательна и убывает, т. е. $g^*=g$.
С одной стороны, с универсальными константами для каждого $1\leqslant p<\infty$ и любого с. п. $X$ выполнено соотношение
$$
\begin{equation}
\|g\|_{Z_X^p}\asymp\|g\chi_{[0,1]}\|_X+ \biggl(\,\sum_{k=1}^\infty g(k)^p\biggr)^{1/p}.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Действительно, поскольку $\|\chi_{[0,1]}\|_X=1$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl(\int_1^\infty g(t)^p\,dt\biggr)^{1/p}&= \biggl(\,\sum_{k=1}^\infty\int_k^{k+1} g(t)^p\,dt\biggr)^{1/p}\leqslant \biggl(\,\sum_{k=1}^\infty g(k)^p\biggr)^{1/p} \\ &\leqslant g(1)+\biggl(\,\sum_{k=2}^\infty g(k)^p\biggr)^{1/p}\leqslant \|g\chi_{[0,1]}\|_X+\biggl(\int_1^\infty g(t)^p\,dt\biggr)^{1/p}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и соотношение (3.11) следует из определения квазинормы в пространстве $Z_X^p$.
С другой стороны, покажем, что (также с универсальными константами)
$$
\begin{equation}
\|g\|_{L_\theta}\asymp\|g\chi_{[0,1]}\|_{L_M}+ \biggl(\,\sum_{k=1}^\infty g(k)^2\biggr)^{1/2}.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Пусть сначала $\|g\|_{L_\theta}\leqslant 1$, т. е. $\displaystyle\int_0^\infty \theta(g(t))\,dt\leqslant 1$. Так как функция $\theta$ возрастает, то
$$
\begin{equation*}
\theta(g(1))\leqslant \int_0^1 \theta(g(t))\,dt\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу (3.10) вытекает оценка $g(1)\leqslant 1$ (функция $M$ строго возрастает и $M(1)= 1$!), и, значит, $\theta(g(1))=g(1)^2$ по определению функции $\theta$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^\infty g(k)^2\leqslant \theta(g(1))+ \int_1^\infty \theta(g(t))\,dt\leqslant 2.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, из предыдущих оценок следует, что Поэтому, учитывая, что $M(t)\leqslant M(1)=1$, если $0\leqslant t\leqslant 1$, получим
$$
\begin{equation*}
\int_0^1 M(g(t))\,dt\leqslant \int_0^{c_0} \theta(g(t))\,dt+ (1-c_0)\leqslant 2.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым так как функция $M$ выпукла, то $\|g\chi_{[0,1]}\|_{L_M}\leqslant 2$. В итоге последние оценки показывают, что правая часть соотношения (3.12) не превосходит числа $2+\sqrt{2}$, и, значит, в силу однородности неравенство $\geqslant$ в (3.12) доказано.
Пусть теперь, наоборот, правая часть соотношения (3.12) не превосходит $1$. Тогда так как $g(1)\leqslant 1$ и $c_0=m\{t>0\colon g(t)>1\}\leqslant 1$, то
$$
\begin{equation*}
\int_0^\infty \theta(g(t))\,dt\leqslant \int_0^{c_0} M(g(t))\,dt+(1-c_0)+\sum_{k=1}^\infty g(k)^2\leqslant 3.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу неравенства $\theta(u/3)\leqslant \theta(u)/3$ отсюда следует, что $\|g\|_{L_\theta}\leqslant 3$. Таким образом, из тех же соображений, что и раньше, получаем противоположную оценку, и тем самым (3.12) доказано.
Для завершения доказательства леммы осталось заметить, что ее утверждение является непосредственным следствием соотношений (3.11) и (3.12). Лемма доказана. В дальнейшем будет неоднократно использоваться следующее обозначение: если функция $f$ определена на $[0,1]$ и $a=(a_k)_{k=1}^\infty$ – числовая последовательность, то под $a\,\,\overline\otimes\,\,f$ понимается дизъюнктная сумма функций $a_k f(t)$, $k=1,2,\dots$ (см. п. 3.1), т. е.
$$
\begin{equation*}
(a \,\overline\otimes\, f)(s):= \sum_{k=1}^\infty a_kf(s-k+1)\cdot\chi_{[k-1,k)}(s),\qquad s>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть по-прежнему $M$ – функция Орлича, $M\in \Delta_2^\infty$ и функция $\theta$ определена соотношением (3.10). Тогда если $f\in L_M$, $f\ne 0$, то функция $\psi$, определенная формулой вместе с $\theta$, будет эквивалентна некоторой функции Орлича. Предложение 3.1. Предположим, что $f\in L_M$ и $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ – последовательность независимых функций, равноизмеримых с $f$ и удовлетворяющих условию $\displaystyle\int_0^1 f_k(t)\,dt=0$, $k=1,2,\dots$ . Тогда с константами, не зависящими от последовательности $(a_k)\in \ell_\psi$, выполнено соотношение Доказательство. Как уже упоминалось в п. 2.3, условие $M\in \Delta_2^\infty$ эквивалентно неравенству $\beta_M^\infty<\infty$ или, что то же самое, неравенству $\mu_{L_M}>0$. Следовательно, пространство $L_M$ обладает свойством Круглова (см. п. 3.2), и, значит, согласно теоремам 3.2 и 3.4, а также введенным обозначениям, с константами, не зависящими от $a_k\in\mathbb{R}$, $k=1,2,\dots$, имеет место соотношение
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\,\sum_{k=1}^\infty a_kf_k\biggr\|_{L_M}\asymp \|a \,\overline\otimes\, f\|_{Z_{L_M}^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, применяя лемму 3.4 и учитывая равноизмеримость функций $f_k$, $k=1,2,\dots$, и $f$ вместе с определением функции $\psi$ (см. (3.13)), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\|\,\sum_{k=1}^\infty a_kf_k\biggr\|_{L_M}&\asymp \|a \,\overline\otimes\, f\|_{L_\theta} \\ &=\inf\biggl\{\lambda >0\colon\int_{0}^{\infty}\theta \biggl(\frac{1}{\lambda}\sum_{k=1}^\infty |a_kf(t-k+1)| \chi_{[k-1,k)}(t)\biggr)\,dt\leqslant 1\biggr\} \\ &=\inf\biggl\{\lambda >0:\,\sum_{k=1}^\infty\int_{0}^{1}\theta \biggl(\frac{|a_k|\,|f(t)|}{\lambda}\biggr)\,dt\leqslant 1\biggr\}= \|(a_k)\|_{\ell_\psi}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и предложение доказано. Предложение 3.2. Пусть $f\in L_M$ и $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ – последовательность независимых функций, равноизмеримых с $f$ и таких, что $\displaystyle\int_0^1 f_k(t)\,dt= 0$, $k=1,2,\dots$ . Предположим также, что $\ell_\varphi$ – некоторое пространство Орлича последовательностей. Следующие условия равносильны: (a) последовательность $\{f_k\}_{k=1}^{\infty}$ эквивалентна в $L_M$ каноническому базису $\{e_k\}_{k=1}^\infty$ в $\ell_\varphi$; (b) с некоторой константой $C>0$, не зависящей от $n\in\mathbb{N}$, имеем
$$
\begin{equation}
\biggl\|\,\sum_{k=1}^{n}f_k\biggr\|_{L_M}\asymp \biggl\|\,\sum_{k=1}^{n}e_k\biggr\|_{\ell_\varphi};
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
(c) справедливо соотношение
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\varphi^{-1}(t)}\asymp\|\widetilde{\sigma}_{1/t}f^*\|_{L_M}+ \biggl(\frac{1}{t}\int_{t}^1f^*(s)^2\,ds\biggr)^{1/2},\qquad 0<t\leqslant 1.
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
В частности, если $M(u)=u^p$, $1\leqslant p<\infty$, то условия (a), (b) и (c) эквивалентны следующему: (c$'$) имеет место соотношение Доказательство. Снова, не ограничивая общности, будем считать, что $f^*=f$. Так как импликация (a) $\Rightarrow$ (b) очевидна, начнем с проверки импликации (b) $\Rightarrow$ (c).
Если $s_n:=\displaystyle\sum_{k=1}^n e_k$, $n\in\mathbb{N}$, то, с одной стороны, в силу (2.1) (см. п. 2.3)
$$
\begin{equation}
\|s_n\|_{\ell_\varphi}\asymp \frac{1}{\varphi^{-1}(1/n)}\,,\qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
С другой стороны, согласно лемме 3.4
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\,\sum_{k=1}^n f_k\biggr\|_{L_M}\asymp \|s_n \,\overline\otimes\, f\|_{Z_{L_M}^2},\qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как легко проверить, функция
$$
\begin{equation*}
(s_n \,\overline\otimes\, f)(t)= \sum_{k=1}^n f(t-k+1)\chi_{[k-1,k)}(t),\qquad t>0,
\end{equation*}
\notag
$$
равноизмерима с функцией $\sigma_n f(t):=f(t/n)$, $t>0$ (функцию $f$, определенную на $[0,1]$, мы отождествляем с функцией $f\chi_{[0,1]}$, заданной на $[0,\infty)$). Отсюда и из равенства $\sigma_nf\cdot \chi_{[0,1]}=\widetilde{\sigma}_{n}f$ (см. п. 2.2) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\|\,\sum_{k=1}^n f_k\biggr\|_{L_M}&\asymp \|\widetilde{\sigma}_{n}f\|_{L_M}+\|\sigma_nf\cdot \chi_{[1,\infty)}\|_{L_2} \\ &=\|\widetilde{\sigma}_{n}f\|_{L_M}+ \biggl(n\int_{1/n}^1f(s)^2\,ds\biggr)^{1/2},\qquad n\in\mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В результате, сопоставляя это соотношение с (3.18) и учитывая условие (3.15), а также квазивогнутость входящих функций, получаем (3.16).
(c) $\Rightarrow$ (a). В силу предложения 3.1 последовательность $\{f_k\}_{k=1}^{\infty}$ эквивалентна в $L_M$ каноническому базису в пространстве Орлича $\ell_\psi$, где $\psi$ определена равенством (3.13). Тогда имеет место соотношение (3.15) (с заменой $\varphi$ на $\psi$) и поэтому, рассуждая точно так же, как при доказательстве импликации (b) $\Rightarrow$ (c), заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\psi^{-1}(t)}\asymp \|\widetilde{\sigma}_{n}f\|_{L_M}+ \biggl(\frac{1}{t}\int_t^1f(s)^2\,ds\biggr)^{1/2},\qquad 0<t\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (3.16) вытекает эквивалентность функций Орлича $\varphi$ и $\psi$ на промежутке $(0,1]$, а значит, и равенство $\ell_\psi=\ell_\varphi$ с точностью до эквивалентности норм (см. п. 2.3). Тем самым (a) доказано.
Для завершения доказательства предложения осталось заметить, что эквивалентность (3.17) – это не что иное, как соотношение (3.16) в случае, когда $M(u)=u^p$, $1\leqslant p<\infty$. Предложение доказано. 4. Описание подпространств $L_p$-пространств, изоморфных пространствам Орлича последовательностейСогласно предложению 3.1 всякая последовательность $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ независимых копий некоторой в среднем равной нулю функции $f$ из пространства Орлича $L_M:=L_M[0,1]$ эквивалентна в $L_M$ каноническому базису некоторого пространства Орлича последовательностей $\ell_{\psi}$. В случае $L_p$-пространств можно пойти дальше и найти описание соответствующего класса функций Орлича $\psi$ (в зависимости от $p$), а также доказать, что всякое подпространство $L_p$, изоморфное некоторому пространству Орлича последовательностей $\ell_{\psi}$, $\ell_{\psi}\not\approx \ell_p$, может быть получено описанным способом. Заметим, что только для $1\leqslant p<2$ эта задача нетривиальна. Действительно, для каждой в среднем равной нулю функции $f\in L_2$ последовательность ее независимых копий $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ состоит из попарно ортогональных функций, и поэтому, согласно классическому результату М. И. Кадеца и А. Пелчинского [61; следствие 4], она эквивалентна в $L_p$ при $p\geqslant 2$ каноническому ${\ell_2}$-базису. Теорема 4.1. Пусть $1\leqslant p<2$ и $\psi$ – функция Орлича. Следующие условия равносильны: (a) $\lim_{t\to +0}\psi(t)/t^p=0$ и функция $\psi$ эквивалентна в нуле некоторой $p$-выпуклой и $2$-вогнутой функции Орлича; (b) существует функция $f\in L_p$, $\displaystyle\int_0^1f(t)\,dt=0$, такая, что последовательность $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ независимых копий $f$ эквивалентна в $L_p$ каноническому $\ell_{\psi}$-базису; (c) существует функция $f\in L_p$, $\displaystyle\int_0^1f(t)\,dt=0$, такая, что $\ell_{\psi}$ изоморфно подпространству пространства $L_p$, порожденному независимыми копиями функции $f$; (d) пространство $\ell_{\psi}$ изоморфно подпространству пространства $L_p$, но не изоморфно $\ell_p$. В 60–70-е годы прошлого века проблему описания подпространств $L_p$-пространств, изоморфных пространствам Орлича последовательностей, рассматривали Ж. Бретаньоль (J. Bretagnolle) и Д. Дакунья-Кастель (D. Dacunha-Castelle). В частности, используя вероятностный подход, они доказали эквивалентность утверждений (a) и (d) теоремы 4.1 [35; теорема IV.3] (см. также короткую заметку [34]). Позднее некоторые из этих результатов были переоткрыты М. Ш. Браверманом, широко использовавшим кроме вероятностных соображений также методы теории функций комплексной переменной (см. [31; следствие 2.1] и [32; гл. 3]). Близкое утверждение с помощью комбинаторных методов было доказано также в работе С. Квапеня (S. Kwapień) и К. Шюта (C. Schütt) [71] (см. также [99]). Здесь для доказательства теоремы 4.1 мы применим иной метод, основанный на использовании теории интерполяции операторов (см. п. 2.4). Он возник в работе С. В. Асташкина и Ф. А. Сукочева [18] и, будучи связанным с более непосредственными оценками, имеет определенные преимущества по сравнению с упомянутыми выше методами. Главное из них состоит в том, что в качестве “бонуса” выявляется тесная связь между функцией $f\in L_p$, независимые копии которой рассматриваются, и соответствующей функцией Орлича $\psi$ (см. [18], а также следствие 4.2). В частности, из теоремы 4.1 вытекает следующий результат. Следствие 4.1. Пусть ${\psi}$ – функция Орлича. Следующие условия равносильны: (a) $\lim_{t\to +0}\psi(t)/t=0$ и $\psi$ эквивалентна в нуле некоторой $2$-вогнутой функции Орлича; (b) существует функция $f\in L_1$, $\displaystyle\int_0^1f(t)\,dt=0$, такая, что последовательность $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ независимых копий $f$ эквивалентна в $L_1$ каноническому $\ell_{\psi}$-базису; (c) существует функция $f\in L_1$, $\displaystyle\int_0^1f(t)\,dt=0$, такая, что $\ell_{\psi}$ изоморфно подпространству пространства $L_1$, порожденному независимыми копиями функции $f$; (d) пространство $\ell_{\psi}$ изоморфно подпространству пространства $L_1$, но не изоморфно $\ell_1$. Для доказательства теоремы 4.1 нам понадобятся два вспомогательных результата. Первый из них выявляет непосредственную связь между функциями Орлича, возникающими при описании подпространств пространства $L_p$, порожденных независимыми копиями в среднем равных нулю функций, и интерполяционными свойствами некоторой весовой $L_1$-пары. Определения функции распределения $n_{g}(\tau)$ измеримой функции $g$ и ${\mathcal K}$-функционала Петре банаховой пары см. в пп. 2.2 и 2.4 соответственно. Предложение 4.1. Пусть $1\leqslant p<2$. Предположим, что функция Орлича $\varphi$ удовлетворяет соотношению где $h$ – убывающая неотрицательная функция на полуоси $[0,\infty)$, $h(0)\leqslant 1$. Если измеримая на $[0,1]$ функция $f$ такова, что $\displaystyle\int_0^1f(s)\,ds=0$ и то последовательность $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ независимых копий функции $f$ эквивалентна в $L_p$ каноническому $\ell_{\varphi}$-базису. Доказательство. Покажем, прежде всего, что функция $f$, удовлетворяющая условиям предложения, существует.
Действительно, $h\in L_1(\min\{u,u^{p-1}\})$ в силу условия (4.1) и равенства (2.2) для ${\mathcal K}$-функционала весовой $L_1$-пары. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\int_1^\infty h(u)\,du\leqslant \int_1^\infty h(u)u^{p-1}\,du\leqslant \|h\|_{L_1(\min\{u,u^{p-1}\})}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $h$ убывает, отсюда следует, что $\lim_{t\to\infty}h(t)=0$. Таким образом, в силу неравенства $h(0)\leqslant 1$ заключаем, что функция $f$, удовлетворяющая условиям предложения, существует (см. п. 2.2). Кроме того, так как
$$
\begin{equation*}
\|f\|_p^p=p\int_0^\infty u^{p-1}n_f(u)\,du=p\int_0^\infty u^{p-1}h(u)\,du \leqslant p(1+\|h\|_{L_1(\min\{u,u^{p-1}\})})<\infty
\end{equation*}
\notag
$$
(см., например, [66; приложение 1, утверждение 1.1]), то $f\in L_p$.
Далее, так как норма в пространстве Орлича последовательностей зависит (с точностью до эквивалентности) только от поведения соответствующей функции Орлича вблизи нуля (см. п. 2.3), то в силу предложения 3.1 нам остается лишь проверить, что функция $\varphi$ эквивалентна в нуле функции $\psi$, определенной равенством (3.13), в случае, когда $\theta(u)=u^2$ при $0<u\leqslant 1$ и $\theta(u)=u^p$ при $u\geqslant 1$. Перепишем равенство (3.13) следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\psi(u)=\int_0^\infty dn_{\theta(u|f|)}(\tau),\qquad u>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственные вычисления показывают, что $n_{\theta(u|f|)}(\tau)=n_f(\tau^{1/2}/u)$, если $0<\tau\leqslant 1$, и $n_{\theta(u|f|)}(\tau)=n_f(\tau^{1/p}/u)$, если $\tau>1$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi(u)&=\int_0^1 n_{f}\biggl(\frac{\tau^{1/2}}{u}\biggr)\,d\tau+ \int_1^\infty n_{f}\biggl(\frac{\tau^{1/p}}{u}\biggr)\,d\tau \\ &=2u^2\int_0^{1/u} s n_{f}(s)\,ds+pu^p\int_{1/u}^\infty s n_{f}(s)\,ds \\ &=\int_0^\infty h(s)\,d(\theta(us)),\qquad u>0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя теперь формулу (2.2) в случае, когда пространство с мерой – полуось $(0,\infty)$ с мерой Лебега, $w_1(u):=u^{p-1}$ и $w_2(u)=u$, для любого $t>0$ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi(t)&=t^p\biggl(p\int_{1/t}^\infty h(u)u^{p-1}\,du+ 2t^{2-p}\int_0^{1/t}h(u)u\,du\biggr) \\ &\asymp t^p\int_0^\infty h(u)\min\{u^{p-1},t^{2-p}u\}\,du \\ &=t^p{\mathcal K}\bigl(t^{2-p},h;L_1(u^{p-1}),L_1(u)\bigr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с константами, зависящими лишь от $p$. Так как отсюда и из (4.1) вытекает эквивалентность функций $\psi$ и $\varphi$ в нуле, то предложение доказано. Следствие 4.2. Пусть $1\leqslant p<2$, $f\in L_p$, $\displaystyle\int_0^1f(s)\,ds=0$. Предположим, что функция Орлича $\varphi$ удовлетворяет соотношению Тогда последовательность $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ независимых копий функции $f$ эквивалентна в $L_p$ каноническому $\ell_{\varphi}$-базису. В следующем предложении изучаются свойства множества ${\mathcal K}$-функционалов, соответствующих банаховой паре
$$
\begin{equation*}
\overrightarrow{\mathbb{X}}_{c,d}:=(L_1(u^{c}),L_1(u^d)),\qquad 0\leqslant c<d<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Как нетрудно показать, эта пара является $\operatorname{Conv}_0$-обильной (см. п. 2.4). Однако далее нам будет нужно более сильное утверждение о том, что в качестве элемента из пространства $L_1(u^{c})+L_1(u^d)=L_1(\min\{u^c,u^d\})$, порождающего заданную вогнутую функцию, может быть выбрана неотрицательная функция, которая дополнительно является ограниченной и невозрастающей. Предложение 4.2. Пусть $0\leqslant c<d<\infty$. Для каждой возрастающей вогнутой функции $\varphi(t)$ на $[0,1]$ такой, что $\lim_{t\to +0}\varphi(t)=0$, существует убывающая неотрицательная функция $h\in L_1(\min\{u^c,u^d\})$ такая, что $h(0)\leqslant 1$ и с константами, зависящими лишь от чисел $\varphi(1)$, $c$ и $d$. Докажем сначала одну техническую лемму. Пусть функция $\varphi$ удовлетворяет условиям предложения 4.2, и пусть $q> 1$, а $\{t_i\}_{i=-m}^n$ – последовательность положительных чисел, удовлетворяющая условиям предложения 2.1. Предположим дополнительно, что $m=2r-1$, $n=2l+1$, где $r\in \mathbb{N}\cup \{+\infty\}$ и $l\in \mathbb{N}\cup \{0\}$, а также определим функцию $\psi$ на полуоси $[0,\infty)$ формулой
$$
\begin{equation}
\psi(t):=\sum_{i=-r}^l\varphi(t_{2i+1}) \min\biggl\{1,\frac{t}{t_{2i+1}}\biggr\}.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Доказательство. Так как $\varphi(t)$ возрастает, а $\varphi(t)/t$ убывает, то в силу равенств из пункта (b) предложения 2.1 при $t_{2i}\leqslant t\leqslant t_{2i+1}$, $-r+1\leqslant i\leqslant l$, получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\varphi(t)}{t}\leqslant\frac{\varphi(t_{2i})}{t_{2i}}= q\cdot\frac{\varphi(t_{2i+1})}{t_{2i+1}}\,,
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
и аналогично при $t_{2i+1}\leqslant t\leqslant t_{2i+2}$, $-r\leqslant i\leqslant l-1$, имеем
$$
\begin{equation}
\varphi(t)\leqslant\varphi(t_{2i+2})=q\cdot \varphi(t_{2i+1}).
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Так как неравенство (4.5) – непосредственное следствие этих соотношений, то остается проверить справедливость (4.6).
Заметим, что правая часть в (4.5) для каждого $t\geqslant 0$ не превосходит $\psi(t)$. Поэтому левое неравенство в (4.6) очевидно. Что касается правого неравенства в (4.6), то его достаточно доказать для $t=0$ и $t=t_{2i+1}$, $i=-r,\dots,l$. Это следует из того факта, что функция $\varphi$ вогнута на полуоси, а $\psi$ – вогнутая кусочно линейная функция с узлами в точках $(t_{2i+1},\varphi(t_{2i+1}))$, $i=-r,\dots,l$. Прежде всего, из определения (4.4) следует, что $\psi(0)=0\leqslant \varphi(0)$. Далее, для фиксированного $k=-r,\dots,l$ рассмотрим представление
$$
\begin{equation*}
\psi(t_{2k+1})=\sum_{-r\leqslant i\leqslant k}\varphi(t_{2i+1})+ t_{2k+1}\sum_{k<i\leqslant l}\frac{\varphi(t_{2i+1})}{t_{2i+1}}=:S_1+S_2.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу равенства из (4.8) и того, что $\varphi$ возрастает, имеем
$$
\begin{equation*}
\varphi(t_{2i+1})=\frac{\varphi(t_{2i+2})}{q}\leqslant \frac{\varphi(t_{2i+3})}{q}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
S_1\leqslant (1+q^{-1}+q^{-2}+\cdots)\varphi(t_{2k+1})\leqslant \frac{q}{q-1}\,\varphi(t_{2k+1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, учитывая равенство из (4.7) и то, что функция $\varphi(t)/t$ убывает, получим
$$
\begin{equation*}
\frac{\varphi(t_{2i+1})}{t_{2i+1}}=\frac{1}{q}\cdot \frac{\varphi(t_{2i})}{t_{2i}}\leqslant \frac{1}{q}\cdot \frac{\varphi(t_{2i-1})}{t_{2i-1}}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
а следовательно,
$$
\begin{equation*}
S_2\leqslant (q^{-1}+q^{-2}+\cdots)\varphi(t_{2k+1})\leqslant \frac{1}{q-1}\varphi(t_{2k+1}).
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге из этой и предыдущей оценок следует, что
$$
\begin{equation*}
\psi(t_{2k+1})=S_1+S_2\leqslant \frac{q+1}{q-1}\,\varphi(t_{2k+1}),\qquad k=-r,\dots,l,
\end{equation*}
\notag
$$
и, таким образом, неравенство (4.6) доказано, что и завершает доказательство леммы. Доказательство предложения 4.2. Рассмотрим сначала случай, когда $c=0$.
Полагая $m_a(t):=\min\{1, t/a\}$ и $v_a(t):=(d+1)a^{1/d}\chi_{[0,a^{-1/d}]}(t)$, где $a>0$ произвольно, проверим, что
$$
\begin{equation}
m_a(t)\leqslant {\mathcal K}(t,v_a;\overrightarrow{ \mathbb{X}}_{0,d}) \leqslant (d+1)m_a(t),\qquad t>0.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Действительно, если $t\leqslant a$, то из равенства (2.2) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathcal K}(t,\chi_{[0,a^{-1/d}]};\overrightarrow{\mathbb{X}}_{0,d})&= \int_0^\infty \chi_{[0,a^{-1/d}]}(u)\min\{1,tu^d\}\,du \\ &=t\int_0^{a^{-1/d}}u^d\,du=\frac{ta^{-1/d}}{a(d+1)}\,, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, ${\mathcal K}(t,v_a;\overrightarrow{ \mathbb{X}}_{0,d})=m_a(t)$ и в этом случае (4.9) доказано.
Если $t>a$, то имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathcal K}(t,\chi_{[0,a^{-1/d}]};\overrightarrow{\mathbb{X}}_{0,d})&= t\int_0^{t^{-1/d}}u^d\,du+\int_{t^{-1/d}}^{a^{-1/d}}\,du \\ &=\frac{t^{-1/d}}{d+1}+{a^{-1/d}}-{t^{-1/d}} ={a^{-1/d}}-\frac{d}{d+1}\, t^{-1/d}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, ${\mathcal K}(t,v_a;\overrightarrow{ \mathbb{X}}_{0,d})= d+1-d(a/t)^{1/d}$. Так как в этом случае $m_a(t)= 1$, то в результате опять получаем (4.9).
Пусть функция $\varphi$, определенная на $[0,1]$, удовлетворяет условиям предложения 4.2. Продолжим ее на полуось $[0,\infty)$ по формуле
$$
\begin{equation}
\varphi_1(t):=\varphi(t)\chi_{[0,1]}(t)+\varphi(1)\chi_{[1,\infty)}(t).
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Тогда $\varphi_1$ – возрастающая вогнутая функция на $[0,\infty)$ и $\lim_{t\to +0}\varphi_1(t)=0$.
Полагая $q=4d+5$, выберем последовательность $\{t_j\}_{j=-m}^n$, $m,n\in \mathbb{N}\cup\{+\infty\}$, положительных чисел, удовлетворяющую условиям (a) и (b) предложения 2.1, т. е. такую, что
$$
\begin{equation}
t_0=1,\qquad \frac{t_{j+1}}{t_j}\geqslant q,\quad \text{если}\ \ -m\leqslant j<n,
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
и при подходящих значениях $i$
$$
\begin{equation}
\frac{\varphi_1(t_{2i})}{t_{2i}}=q\cdot\frac{\varphi_1(t_{2i+1})}{t_{2i+1}} \quad \text{и}\quad \varphi_1(t_{2i+2})=q\cdot\varphi_1(t_{2i+1}).
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Cогласно утверждениям (c) и (d) того же предложения в этом случае $m=2r-1$ и $n=2l+1$, где $r\in \mathbb{N}\cup \{+\infty\}$ и $l\in \mathbb{N}\cup \{0\}$. Кроме того, по лемме 4.1 выполнены неравенства
$$
\begin{equation}
\frac{1}{q}\cdot\varphi_1(t)\leqslant\varphi_1(t_{2i+1})m_{t_{2i+1}}(t), \quad\text{если }\, t_{2i}\leqslant t\leqslant t_{2i+2},\ \ -r+1\leqslant i\leqslant l-1,
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
и
$$
\begin{equation}
\frac{1}{q}\cdot\varphi_1(t)\leqslant \sum_{i=-r}^l\varphi_1(t_{2i+1})m_{t_{2i+1}}(t)\leqslant \frac{q+1}{q-1}\,\varphi_1(t),\qquad t\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Заметим, что в силу (2.6) неравенство (4.13) при $i=l$ выполняется для всех $t\geqslant t_{2l}$ (соответственно, если $r\in \mathbb{N}$, то в силу (2.8) неравенство (4.13) выполняется при $i=-r$ для всех $0<t<t_{-2r+2}$).
Используя аргументы из доказательства предложения 3.2.6 и теоремы 4.5.7 в монографии Ю. А. Брудного и Н. Я. Кругляка [36], покажем, что функция
$$
\begin{equation}
{h}_1(t):=\sum_{i=-r}^l\varphi_1(t_{2i+1})v_{t_{2i+1}}(t),\qquad t\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
удовлетворяет неравенствам
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2(4d+5)}\,\varphi_1(t)\leqslant {\mathcal K}(t,h_1;\overrightarrow{\mathbb{X}}_{0,d})\leqslant \frac{2d+3}{2}\,\varphi_1(t),\qquad t>0.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Так как функционал $t\mapsto {\mathcal K}(t,x;X_0,X_1)$ для фиксированного $t>0$ является нормой на сумме $X_0+X_1$, то в силу (4.9) и (4.14) для всех $t\geqslant 0$ получаем оценку сверху:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, {\mathcal K}(t, h_1;\overrightarrow{ \mathbb{X}}_{0,d})&\leqslant (d+1)\sum_{i=-r}^l\varphi_1(t_{2i+1})m_{t_{2i+1}}(t) \nonumber \\ &\leqslant \frac{(d+1)(q+1)}{q-1}\,\varphi_1(t)=\frac{2d+3}{2}\,\varphi_1(t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Докажем противоположную оценку. Учитывая, что $m_{t_{2k+1}}(t_{2k+1})=1$, а также применяя (4.9), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathcal K}(t_{2k+1},h_1;\overrightarrow{ \mathbb{X}}_{0,d})&\geqslant \varphi_1(t_{2k+1}){\mathcal K}(t_{2k+1},v_{t_{2k+1}}; \overrightarrow{\mathbb{X}}_{0,d}) \\ &\qquad-\sum_{i\ne k}\varphi_1(t_{2i+1}){\mathcal K}(t_{2k+1},v_{t_{2i+1}}; \overrightarrow{\mathbb{X}}_{0,d}) \\ &\geqslant \varphi_1(t_{2k+1})- (d+1)\sum_{i\ne k}\varphi_1(t_{2i+1})m_{t_{2i+1}}(t_{2k+1}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как в силу (4.14)
$$
\begin{equation*}
\sum_{i\ne k}\varphi_1(t_{2i+1})m_{t_{2i+1}}(t_{2k+1})\leqslant \varphi_1(t_{2k+1})\biggl(\frac{q+1}{q-1}-1\biggr)= \frac{1}{2(d+1)}\,\varphi_1(t_{2k+1}),
\end{equation*}
\notag
$$
то отсюда следует, что
$$
\begin{equation}
{\mathcal K}(t_{2k+1},h_1;\overrightarrow{ \mathbb{X}}_{0,d})\geqslant \frac{1}{2}\,\varphi_1(t_{2k+1}).
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Пусть теперь $t>0$ фиксировано. Возможны три случая: (i) $t_{2k}\leqslant t< t_{2k+2}$ при некотором $-r+1\leqslant k\leqslant l-1$, (ii) $0<t<t_{-2r+2}$ и (iii) $t\geqslant t_{2l}$. В случаях (ii) и (iii) мы полагаем $k=-r$ и $k=l$ соответственно. Тогда в силу выбора $k$, вогнутости функции $t\mapsto {\mathcal K}(t,x;\vec{X})$, а также соотношений (4.18) и (4.13) (см. также замечание сразу после неравенств (4.14)) в каждом из этих случаев получим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathcal K}(t,h_1;\overrightarrow{ \mathbb{X}}_{0,d})&\geqslant {\mathcal K}(t_{2k+1},h_1;\overrightarrow{ \mathbb{X}}_{0,d})m_{t_{2k+1}}(t) \\ &\geqslant \frac{1}{2}\,\varphi_1(t_{2k+1})m_{t_{2k+1}}(t)\geqslant \frac{1}{2q}\,\varphi_1(t) \\ &=\frac{1}{2(4d+5)}\,\varphi_1(t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге из этого неравенства и (4.17) вытекает (4.16).
Далее, учитывая (4.11), (4.12) и определение функции $\varphi_1$, получим, что $l=0$ и $t_1=q$. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\frac{q\varphi_1(t_{2i+1})}{t_{2i+1}}=\frac{\varphi_1(t_{2i})}{t_{2i}}= \frac{q\varphi_1(t_{2i-1})}{t_{2i}}\,,\qquad i\leqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что
$$
\begin{equation*}
\varphi_1(t_{2i-1})=\frac{t_{2i}}{t_{2i+1}}\,\varphi_1(t_{2i+1})\leqslant q^{-1}\varphi_1(t_{2i+1}),\qquad i\leqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
v_{t_{2i+1}}(t)\leqslant (d+1)t_{2i+1}^{1/d}\leqslant (d+1)t_1^{1/d}=(d+1)q^{1/d},\qquad t\geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
то из предыдущего неравенства и определения (4.15) следует, что для всех $t\geqslant 0$
$$
\begin{equation*}
{h}_1(t)\leqslant \varphi(1)\sum_{i=-r}^0 q^{i}v_{t_{2i+1}}(t)\leqslant \varphi(1)(d+1)q^{1/d}\sum_{k=0}^\infty q^{-k}\leqslant \varphi(1)(d+1)\,\frac{q^{1/d+1}}{q-1}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, убывающая неотрицательная функция (так же как и $h_1$) принадлежит пространству $L_1+L_1(u^d)=L_1(\min\{1,u^d\})$ и $h(0)\leqslant 1$. Кроме того, в силу (4.10) и (4.16) получим, что
$$
\begin{equation*}
{\mathcal K}(t,h;\overrightarrow{\mathbb{X}}_{0,d})\asymp\varphi(t),\qquad 0<t\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
с константами, зависящими только от $d$. В итоге в случае $c=0$ доказательство закончено.
Переходя к рассмотрению общего случая, покажем сначала (в тех же обозначениях), что для любых $g\in L_1(\min\{u^{c},u^d\})$ и $t>0$
$$
\begin{equation}
{\mathcal K}(t,g;\overrightarrow{\mathbb{X}}_{c,d})\asymp \int_0^{t^{d/(d-c)}}s^{-c/d-1} {\mathcal K}(s,g;\overrightarrow{\mathbb{X}}_{0,d})\,ds
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
с константами, зависящими лишь от $c$ и $d$.
Прежде всего, в силу равенства (2.2) и теоремы Фубини
$$
\begin{equation*}
\int_0^{t^{d/(d-c)}}s^{-c/d-1}{\mathcal K} (s,g;\overrightarrow{\mathbb{X}}_{0,d})\,ds=\int_0^\infty |g(u)|\int_0^{t^{d/(d-c)}}s^{-c/d-1}\min\{1,su^d\}\,ds\,du.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $tu^d\leqslant u^c$, то $su^d\leqslant 1$ для всех $0<s\leqslant t^{d/(d-c)}$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\int_0^{t^{d/(d-c)}} s^{-c/d-1}\min\{1,su^d\}\,ds= u^d \int_0^{t^{d/(d-c)}} s^{-c/d}\,ds\asymp u^d t.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае, когда $tu^d> u^c$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^{t^{d/(d-c)}} s^{-c/d-1}\min\{1,su^d\}\,ds &= u^d \int_0^{u^{-d}} s^{-c/d}\,ds+ \int_{u^{-d}}^{t^{d/(d-c)}}s^{-c/d-1}\,ds \\ &=\frac{d}{d-c}u^c+\frac{d}{c}(u^c-t^{-c/(d-c)})\asymp u^c. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, еще раз применяя формулу (2.2), приходим к соотношению (4.19).
Далее, покажем, что банахова пара $\overrightarrow{\mathbb{X}}_{c,d}$ является $\operatorname{Conv}_0$-обильной. Для этого согласно теореме Брудного–Кругляка (см. [36; теорема 4.5.7]) достаточно найти функцию $f_0\in L_1(\min\{u^{c},u^d\})$, для которой ${\mathcal K}(t, f_0;\overrightarrow{\mathbb{X}}_{c,d})\asymp t^{\alpha}$, $t>0$, при некотором $\alpha\in (0,1)$. Проверим, что такому условию удовлетворяет функция $f_0(u)=u^{-\theta}$, если $\theta\in (c+1,d+1)$. Используя в очередной раз равенство (2.2) и элементарные вычисления, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathcal K}(t,u^{-\theta};\overrightarrow{\mathbb{X}}_{c,d})&= \int_0^\infty u^{-\theta}\min\{u^{c},tu^d\}\,du \\ &=\biggl(\frac{1}{\theta-1-c}+\frac{1}{d+1-\theta}\biggr) t^{(\theta-c-1)/(d-c)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\alpha:=(\theta-c-1)/(d-c)\in (0,1)$, то отсюда с учетом сделанных замечаний следует, что пара $\overrightarrow{\mathbb{X}}_{c,d}$ является $\operatorname{Conv}_0$-обильной.
Далее, так как по условию $\lim_{t\to +0}\varphi(t)=0$, то продолжение $\varphi_1$ функции $\varphi$ на полуось $(0,\infty)$, определенное в (4.10), принадлежит конусу $\operatorname{Conv}_0$. Поэтому существует функция $w\in L_1(\min\{u^{c},u^d\})$ такая, что с константами, зависящими лишь от $c$ и $d$, имеет место эквивалентность
$$
\begin{equation}
{\mathcal K}(t,w;\overrightarrow{\mathbb{X}}_{c,d})\asymp\varphi(t),\qquad 0\leqslant t\leqslant 1.
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
Заметим, что функция $t\mapsto {\mathcal K}(t,w;\overrightarrow{\mathbb{X}}_{c,d})$ вогнута и возрастает на $[0,1]$. Кроме того, в силу (4.20) справедливы соотношения
$$
\begin{equation*}
\lim_{t\to +0}{\mathcal K}(t,w;\overrightarrow{\mathbb{X}}_{c,d})= \lim_{t\to +0}\varphi(t)=0
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathcal K}(1,w;\overrightarrow{\mathbb{X}}_{0,d})&= \int_0^1s^d|w(s)|\,ds+\int_1^\infty |w(s)|\,ds\leqslant \int_0^1s^d|w(s)|\,ds+\int_1^\infty s^{c}|w(s)|\,ds \\ &={\mathcal K}(1,w;\overrightarrow{\mathbb{X}}_{c,d})\asymp\varphi(1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, по первой части доказательства, примененной к функции $t\mapsto {\mathcal K}(t, w;\overrightarrow{\mathbb{X}}_{c,d})$ вместо $\varphi$, можно найти убывающую неотрицательную функцию $h\in L_1(\min\{1,u^d\})$, $h(0)\leqslant 1$, удовлетворяющую условию
$$
\begin{equation*}
{\mathcal K}(t,h;\overrightarrow{\mathbb{X}}_{0,d})\asymp {\mathcal K}(t,w;\overrightarrow{\mathbb{X}}_{0,d}),\qquad 0<t\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
с константами, зависящими только от $\varphi(1)$ и $d$. В итоге отсюда, а также из (4.19) и (4.20) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathcal K}(t,h;\overrightarrow{\mathbb{X}}_{c,d}) &\asymp \int_0^{t^{d/(d-c)}}s^{-c/d-1} {\mathcal K}(s,h;\overrightarrow{\mathbb{X}}_{0,d})\,ds \\ &\asymp\int_0^{t^{d/(d-c)}} s^{-c/d-1} {\mathcal K}(s,w;\overrightarrow{\mathbb{X}}_{0,d})\,ds \\ &\asymp {\mathcal K}(t, w;\overrightarrow{\mathbb{X}}_{c,d}) \asymp\varphi(t),\qquad 0\leqslant t\leqslant 1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и тем самым предложение 4.2 доказано. Доказательство теоремы 4.1. (a) $\Rightarrow$ (b). Если функция Орлича $\psi$ удовлетворяет условиям пункта (a), то, последовательно применяя лемму 3.3 и предложение 4.2, найдем убывающую неотрицательную функцию $h\in L_1(\min\{u^{p-1},u\})$ такую, что $h(0)\leqslant 1$ и
$$
\begin{equation*}
{\psi}(t)\asymp t^p\cdot{\mathcal K}(t^{2-p},h;L_1(u^{p-1}),L_1(u)),\qquad 0\leqslant t\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, согласно предложению 4.1, если функция $f\in L_p$ удовлетворяет условиям: $\displaystyle\int_0^1f(u)\,du= 0$ и $n_f(\tau)=h(\tau)$, $\tau>0$, то последовательность $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ независимых копий функции $f$ эквивалентна в пространстве $L_p$ каноническому $\ell_{\psi}$-базису. Тем самым импликация (a) $\Rightarrow$ (b) доказана.
Импликация (b) $\Rightarrow$ (c) очевидна. Для доказательства того факта, что из (c) следует (d), нужно лишь проверить, что ни одно подпространство в $L_p$, порожденное независимыми копиями $f_k$, $k=1,2,\dots$, некоторой функции $f\in L_p$, $\displaystyle\int_0^1f(u)\,du=0$, не может быть изоморфно пространству $\ell_p$. С целью найти противоречие предположим, что замкнутая линейная оболочка $[f_k]$ некоторой такой последовательности изоморфна $\ell_p$. Так как $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ – симметричный базис в оболочке $[f_k]$, а канонический базис в ${\ell_p}$ совершенно однороден (perfectly homogeneous) (см., например, [100; теорема 24.1]), то последовательность $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ эквивалентна ему. Поэтому в силу [44; предложение 3.4] существуют попарно дизъюнктные подмножества $E_i$ отрезка $[0,1]$ и число $\delta>0$, для которых $\displaystyle\int_{E_i}|f_i(t)|\,dt\geqslant\delta$, $i=1,2,\dots$ . Последнее, очевидно, противоречит тому, что функции $f_i$, $i=1,2,\dots$, одинаково распределены. Следовательно, импликация (c) $\Rightarrow$ (d) также доказана. Для проверки последней импликации (d) $\Rightarrow$ (a) предположим, что пространство Орлича последовательностей $\ell_{\psi}$ изоморфно подпространству $L_p$, которое, в свою очередь, не изоморфно $\ell_p$. Так как пространство $L_p$ является $p$-выпуклым и $2$-вогнутым в силу того, что $1\leqslant p<2$, то по теореме 1.d.7 из [79] пространство $\ell_{\psi}$ также обладает этими свойствами. Таким образом, $\psi$ эквивалентна в нуле некоторой $p$-выпуклой и $2$-вогнутой функции Орлича $\psi_1$ (см. п. 3.3). Отсюда следует, что функция ${\psi}_1(t)t^{-p}$ возрастает на $[0,1]$, и, значит, существует предел $\lim_{t\to +0}{\psi}_1(t)t^{-p}$. Если этот предел не равен нулю, то в силу леммы 3.2 получаем, что $\psi(t)\asymp \psi_1(t)\asymp t^p$ в нуле, т. е. $\ell_{\psi}=\ell_p$ (с точностью до эквивалентности норм). Так как это противоречит условиям пункта (d), то имеет место равенство и мы получаем (a). Теорема доказана.5. Проблема единственности распределения функции, независимые копии которой порождают данное подпространствоПусть $1\leqslant p<\infty$ и функция $f\in L_p=L_p[0,1]$ такова, что $\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt=0$. Согласно предложению 3.1 последовательность $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ независимых копий $f$ эквивалентна каноническому базису некоторого пространства Орлича $\ell_\psi$. Можно ли в этом случае что-то сказать о функции $f$, зная функцию $\psi$? Для того чтобы сразу определить границы наших возможностей в этом смысле, напомним известную теорему Квапеня–Рыхлика [102; теорема V.4.5]. Предположим, что $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ и $\{g_k\}_{k=1}^\infty$ – две последовательности независимых симметрично распределенных функций на $[0,1]$ такие, что
$$
\begin{equation*}
m\{t\in [0,1]\colon |g_k(t)|>\tau\}\leqslant Cm\biggl\{t\in [0,1]\colon|f_k(t)|>\frac{\tau}{C}\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого $C>0$ и всех $k \in \mathbb{N}$ и $\tau>0$. Тогда для любых $n \in \mathbb{N}$, $\tau>0$ и всех $a_k\in\mathbb{R}$, $k=1,\dots,n$, справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
m\biggl\{t\in [0,1]\colon\biggl|\,\sum_{k=1}^n a_kg_k(t)\biggr|>\tau\biggr\} \leqslant 2Cm\biggl\{t\in [0,1]\colon\biggl|\,\sum_{k=1}^n a_kf_k(t)\biggr|> \frac{\tau}{C^2}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этой теоремы и стандартного применения неравенства симметризации (см., например, [102; предложение V.2.2]) вытекает следующее утверждение. Пусть $1\leqslant p<\infty$ и функции $f,g\in L_p$ таковы, что $\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt=\displaystyle\int_0^1 g(t)\,dt=0$. Тогда если для некоторых $C_1>0$ и $C_2>0$ функции распределения $n_f$ и $n_g$ удовлетворяют условию
$$
\begin{equation}
\frac{1}{C_1}n_g(C_2 \tau)\leqslant n_f(\tau)\leqslant C_1n_g\biggl(\frac{\tau}{C_2}\biggr),\qquad \tau>0,
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
то последовательности $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ и $\{g_k\}_{k=1}^\infty$ независимых копий функций $f$ и $g$ соответственно эквивалентны в $L_p$ каноническому базису одного и того же пространства Орлича. Распределения функций $f$ и $g$, для которых выполнено (5.1), будем далее называть квазиэквивалентными. Таким образом, соотношение (5.1) для некоторых $C_1>0$ и $C_2>0$ – это максимум того, что можно утверждать, зная об эквивалентности последовательностей независимых копий функций $f$ и $g$ каноническому базису одного и того же пространства $\ell_\psi$. Если это действительно так и последовательность независимых копий функции $f\in L_p$ эквивалентна в $L_p$ каноническому $\ell_\psi$-базису, то будем говорить, допуская некоторую вольность речи, что распределение функции $f$ единственно. Заметим сразу, что такая единственность возможна лишь при $1\leqslant p<2$. Действительно, как уже упоминалось, если $2\leqslant p<\infty$, то последовательность $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ независимых копий любой функции $f\in L_p$ такой, что $\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt=0$, эквивалентна в $L_p$ каноническому ${\ell_2}$-базису (см. [61]; аналогичные результаты для общих с. п. см. в [15] и [56; теорема 1.3]). Введенные определения без каких-либо изменений распространяются на ситуацию, когда вместо $L_p$ рассматривается произвольное с. п. $X$ на $[0,1]$. В степенном случае, т. е. если $\psi(t)=t^q$, $1<q<2$, вопрос о единственности распределения функции, независимые копии которой порождают заданное подпространство, был (неявно) изучен М. Ш. Браверманом. Он доказал, что во всяком с. п. $X\supset L_{q,\infty}$ последовательность независимых, в среднем равных нулю функций $\{g_n\}$, равноизмеримых с функцией $g(t)=t^{-1/q}$, $0<t\leqslant 1$, эквивалентна в $X$ каноническому $\ell_q$-базису (см. [32; теорема III.3]). Кроме того, если $L_{q,\infty}\subset X_0$, где $X_0$ – сепарабельная часть пространства $X$, то последовательность независимых копий функции $f\in X$, в среднем равной нулю, эквивалентна в $X$ каноническому $\ell_q$-базису тогда и только тогда, когда $n_f(\tau)\asymp \tau^{-q}$, $\tau>0$ (см. [30] и [32; с. 50–66]). Таким образом, в этом случае распределение функции, последовательность независимых копий которой эквивалентна в $X$ каноническому $\ell_q$-базису, единственно. Здесь речь пойдет обо всем классе подпространств, порождаемых независимыми копиями функций из данного пространства и совпадающих, как мы знаем, с некоторыми пространствами Орлича последовательностей. В п. 5.2 мы докажем теорему 5.2 о том, что распределение функции $f\in L_p$, $1\leqslant p<2$, последовательность независимых копий которой эквивалентна каноническому $\ell_\psi$-базису, единственно, если $\psi$ расположена в определенном смысле достаточно “далеко” от “крайних” функций $t^p$ и $t^2$. Более того, при этом условии распределения функций $f$ и $1/\psi^{-1}$ оказываются квазиэквивалентными [20; теорема 1.1]. Заметим, что условие “удаленности” функции $\psi$ от “краев” в теореме 5.2, вообще говоря, существенно. В п. 5.3 будет приведен пример двух функций $f$ и $g$ из $L_1$, последовательности независимых копий каждой из которых эквивалентны в $L_1$ каноническому базису одного и того же пространства Орлича $\ell_\psi$, где $\psi(t)\asymp {t}/{\ln(e/t)}$ в нуле, но $\lim_{\tau\to+\infty}n_g(\tau)/n_f(\tau)=0$ (см. также [20]). В п. 5.4, следуя работам [21] и [4], мы рассматриваем аналогичные вопросы применительно к произвольному с. п. $X$ на $[0,1]$. Прежде всего, мы покажем, что при предположении субмультипликативности функции $\psi$ (см. (5.22)) условие $1/\psi^{-1}\in X$ гарантирует эквивалентность в $X$ последовательности функций, равноизмеримых с функцией $1/\psi^{-1}$ и в среднем равных нулю, каноническому $\ell_\psi$-базису. При этом если функция $\psi$ не субмультипликативна, то найдется пространство $X$ такое, что $1/\psi^{-1}\in X$, но последнее утверждение неверно (см. теорему 5.4). И наконец, будет доказана теорема 5.5, распространяющая вышеупомянутые результаты М. Ш. Бравермана на случай субмультипликативных функций Орлича. 5.1. Условия, при которых функции, равноизмеримые с функцией $1/\psi^{-1}$, порождают в $L_p$ пространство $\ell_\psi$Пусть $\psi$ – функция Орлича, $\mathfrak{m}_{\psi}:=1/\psi^{-1}$. Как мы увидим в дальнейшем, $\mathfrak{m}_{\psi}$ – наиболее вероятный “кандидат” на роль функции, независимые копии которой (точнее, функции, в среднем равной нулю и равноизмеримой с $\mathfrak{m}_{\psi}$) порождают в с. п. пространство Орлича $\ell_\psi$. Для того чтобы найти точные условия, при которых последнее имеет место, напомним, что последовательность независимых копий функции $f\in L_p$, $\displaystyle\int_0^1f(t)\,dt=0$, эквивалентна в $L_p$ каноническому $\ell_\psi$-базису тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\psi^{-1}(t)}\asymp\biggl(\frac{1}{t}\int_{0}^t f^*(s)^p\,ds\biggr)^{1/p}+\biggl(\frac{1}{t}\int_{t}^1 f^*(s)^2\,ds\biggr)^{1/2},\qquad 0<t\leqslant 1
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
(см. предложение 3.2). Таким образом, осталось выяснить, когда соотношение (5.2) выполнено для $f=\mathfrak{m}_{\psi}$. Теорема 5.1 [20; теорема 3.3]. Пусть $1\leqslant p<2$ и $\psi$ – $p$-выпуклая и $2$-вогнутая функция Орлича. Следующие условия равносильны: (a) соотношение (5.2) выполнено для функции $f=\mathfrak{m}_{\psi}$; (b) существует $\varepsilon>0$ такое, что функция $\psi$ эквивалентна в нуле некоторой $(p+\varepsilon)$-выпуклой и $(2-\varepsilon)$-вогнутой функции Орлича. Для доказательства теоремы 5.1 нам понадобятся два вспомогательных результата, первый из которых содержит необходимые и достаточные условия, при которых функция $\mathfrak{m}_{\psi}^p$ эквивалентна ее интегральному среднему (иначе говоря, преобразованию Чезаро функции $\mathfrak{m}_{\psi}^p$). Предложение 5.1. Пусть $1\leqslant p<\infty$ и $\psi$ – $p$-выпуклая функция Орлича, $\psi\in\Delta_2^0$. Следующие условия равносильны: (i) существует $\varepsilon>0$ такое, что функция $\psi$ эквивалентна в нуле некоторой $(p+\varepsilon)$-выпуклой функции Орлича; (ii) справедливо соотношение Доказательство. Прежде всего, полагая $\varphi(t)=t\mathfrak{m}_{\psi}^p(t)$, $0<t\leqslant 1$, заметим, что условие (ii) эквивалентно выполнению неравенства для некоторой константы $C>0$.
(i) $\Rightarrow$ (ii). Не ограничивая общности, можно считать, что $\psi$ сама является $(p+\varepsilon)$-выпуклой в нуле, т. е. на $[0,1]$. Тогда функция $t\mapsto ({\psi}^{-1}(t))^{p+\varepsilon}$, $t\in (0,1]$, вогнута, откуда следует, что
$$
\begin{equation*}
\frac{(\psi^{-1}(t))^{p+\varepsilon}}{(\psi^{-1}(st))^{p+\varepsilon}} \leqslant \frac{1}{s}\,,\qquad 0<s,t\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как в силу определения функции $\varphi$
$$
\begin{equation*}
\sup_{0<t\leqslant 1}\frac{\varphi(st)}{\varphi(t)}= s\cdot\sup_{0<t\leqslant 1}\biggl(\frac{(\psi^{-1}(t))^{p+\varepsilon}} {(\psi^{-1}(st))^{p+\varepsilon}}\biggr)^{p/(p+\varepsilon)},\qquad 0<s\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
то отсюда вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\sup_{t\in(0,1)}\frac{\varphi(st)}{\varphi(t)}\leqslant s^{\varepsilon/(p+\varepsilon)},\qquad 0<s\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\int_0^t\frac{\varphi(s)\,ds}{s}=\int_0^1\frac{\varphi(st)\,ds}{s}\leqslant \int_0^1s^{-p/(p+\varepsilon)}\,ds\cdot \varphi(t)= \frac{p+\varepsilon}{\varepsilon}\cdot\varphi(t),
\end{equation*}
\notag
$$
и тем самым неравенство (5.4), а значит, и импликация (i) $\Rightarrow$ (ii) доказаны.
(ii) $\Rightarrow$ (i). Так как функция $\psi$ является $p$-выпуклой, то
$$
\begin{equation*}
\frac{{\psi}(s)}{s^p}\leqslant\frac{{\psi}(t)}{t^p}\,,\qquad 0<s\leqslant t\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Заменяя в этом неравенстве $s$ на $\psi^{-1}(s)$ и $t$ на $\psi^{-1}(t)$, заключаем, что функция $\varphi$ на своей области определения возрастает.
Как отмечалось в начале доказательства, по условию для некоторого $C>0$ имеет место неравенство (5.4). Пусть $s_0\in (0,e^{-2C})$ произвольно. Зафиксировав это число, покажем, что Действительно, предполагая, что это не так, найдем число $t\in(0,1)$ такое, что $\varphi(s_0t)>\varphi(t)/2$. Так как $\varphi$ возрастает и $\ln(s_0^{-1})>2C$ в силу выбора $s_0$, то
$$
\begin{equation*}
\int_0^t\frac{\varphi(s)\,ds}{s}\geqslant \int_{s_0t}^t\frac{\varphi(s)\,ds}{s}\geqslant \varphi(s_0t)\ln(s_0^{-1})>C\varphi(t),
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит (5.4). Таким образом, (5.5) доказано.
Согласно (5.5), существует $a\in(0,1)$ такое, что
$$
\begin{equation}
\varphi(s_0t)\leqslant a\varphi(t),\qquad 0<t\leqslant 1.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Очевидно, можно считать, что $a>s_0^{1/(1+p)}$. Следовательно, найдется $\varepsilon\in(0,1)$, для которого $a=s_0^{\varepsilon/(p+\varepsilon)}$.
Далее, для каждого $s\in (0,1]$ существует такое $n\in \mathbb{N}\cup\{0\}$, что $s\in(s_0^{n+1},s_0^n)$. Так как $\varphi$ возрастает, то в силу (5.6) имеем
$$
\begin{equation*}
\varphi(st)\leqslant\varphi(s_0^nt)\leqslant s_0^{n\varepsilon/(p+\varepsilon)}\varphi(t)\leqslant s_0^{-\varepsilon/(p+\varepsilon)}s^{\varepsilon/(p+\varepsilon)} \varphi(t),\qquad 0<t\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\varphi(st)\preceq s^{\varepsilon/(p+\varepsilon)}\varphi(t),\qquad 0<s,t\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
или, эквивалентно,
$$
\begin{equation*}
(st)^{-\varepsilon/(p+\varepsilon)}\varphi(st)\preceq t^{-\varepsilon/(p+\varepsilon)}\varphi(t),\qquad 0<s,t\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда по определению $\varphi$ получаем
$$
\begin{equation*}
\psi(st)\preceq s^{p+\varepsilon}\, \psi(t),\qquad 0<s,t\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
и теперь (i) – следствие леммы 3.2. Предложение доказано. Так как доказательство следующего двойственного утверждения (см. [20; предложение 3.2]) аналогично, мы его опускаем. Предложение 5.2. Пусть $1<q<\infty$ и $\psi$ – $q$-вогнутая функция Орлича. Следующие условия равносильны: (i) существует $\varepsilon>0$ такое, что функция $\psi$ эквивалентна в нуле некоторой $(q-\varepsilon)$-вогнутой функции Орлича; (ii) справедливо соотношение Доказательство теоремы 5.1. (b) $\Rightarrow$ (a). Если для некоторого $\varepsilon>0$ функция $\psi$ эквивалентна в нуле некоторой $(p+\varepsilon)$-выпуклой и $(2-\varepsilon)$-вогнутой функции Орлича, то в силу предложений 5.1 и 5.2 выполнены неравенства (5.3) и (5.7). В итоге (5.2) для $f=\mathfrak{m}_{\psi}$ вытекает из этих соотношений, а также следующего очевидного в силу убывания функции $\mathfrak{m}_{\psi}$ неравенства:
(a) $\Rightarrow$ (b). Заметим, что неравенства (5.3) и (5.7) являются непосредственным следствием выполнения соотношения (5.2) для функции $f=\mathfrak{m}_{\psi}$. Поэтому, применяя предложения 5.1 и 5.2, получаем (b). Теорема доказана. Из теоремы 5.1 и предложения 3.2 вытекает следующий результат. Следствие 5.1. Пусть $1\leqslant p<2$ и $\psi$ – $p$-выпуклая и $2$-вогнутая функция Орлича. Следующие условия равносильны: (i) последовательность функций, равноизмеримых с функцией $\mathfrak{m}_{\psi}$ и равных в среднем нулю, эквивалентна в $L_p$ каноническому $\ell_\psi$-базису; (ii) для некоторого $\varepsilon>0$ функция $\psi$ эквивалентна в нуле некоторой $(p+ \varepsilon)$-выпуклой и $(2-\varepsilon)$-вогнутой функции Орлича. 5.2. Случай $L_p$-пространстваПокажем, что наличие в определенном смысле “избыточных” свойств выпуклости и вогнутости функции $\psi$ (как в условии (b) теоремы 5.1) необходимо и достаточно для того, чтобы из эквивалентности в $L_p$ последовательности независимых копий функции $f$, в среднем равной нулю, каноническому $\ell_\psi$-базису следовала квазиэквивалентность распределений функций $f$ и $\mathfrak{m}_\psi=1/\psi^{-1}$. Теорема 5.2 [20; теорема 1.1]. Пусть $1\leqslant p<2$ и $\psi$ – функция Орлича, эквивалентная в нуле некоторой $p$-выпуклой и $2$-вогнутой функции Орлича, такая, что $\lim_{t\to +0}\psi(t)t^{-p}=0$. Следующие условия равносильны: (a) $\psi$ эквивалентна в нуле $(p+\varepsilon)$-выпуклой и $(2-\varepsilon)$-вогнутой функции Орлича для некоторого $\varepsilon>0$; (b) если последовательность $\{f_k\}_{k=1}^{\infty}$ независимых копий функции $f\in L_p$, в среднем равной нулю, удовлетворяет неравенству
$$
\begin{equation}
\frac{1}{C\psi^{-1}(1/n)}\leqslant\biggl\|\,\sum_{k=1}^{n}f_k\biggr\|_p \leqslant \frac{C}{\psi^{-1}(1/n)}
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
для некоторой константы $C>0$, не зависящей от $n\in\mathbb{N}$, то распределения функций $f$ и $\mathfrak{m}_\psi$ квазиэквивалентны; (c) если последовательность $\{f_k\}_{k=1}^{\infty}$ независимых копий функции $f\in L_p$, в среднем равной нулю, эквивалентна в $L_p$ каноническому $\ell_{\psi}$-базису, то распределения функций $f$ и $\mathfrak{m}_\psi$ квазиэквивалентны; (d) $\mathfrak{m}_\psi\in L_p$ и последовательность независимых копий функции, равноизмеримой с $\mathfrak{m}_\psi$ и в среднем равной нулю, эквивалентна в $L_p$ каноническому $\ell_{\psi}$-базису. Начнем со следующей технической леммы. Лемма 5.1. Пусть $1\leqslant p<\infty$, $1<q<\infty$ и $\psi$ – функция Орлича. (i) Если $\psi$ является $(q-\varepsilon)$-вогнутой функцией для некоторого $\varepsilon>0$, то
$$
\begin{equation*}
\lim_{N\to\infty} N \cdot \sup_{t>0} \frac{\mathfrak{m}_{\psi}^q(Nt)}{\mathfrak{m}_{\psi}^q(t)}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
(ii) Если $\psi$ является $(p+\varepsilon)$-выпуклой функцией при некотором $\varepsilon>0$, то Доказательство. Утверждения (i) и (ii) доказываются аналогично. Поэтому мы приведем доказательство лишь первого из них.
В силу $(q-\varepsilon)$-вогнутости $\psi$ функция $t\mapsto \psi(t)t^{\varepsilon-q}$ убывает при $t>0$. Следовательно, отображение
$$
\begin{equation*}
t\mapsto t\mathfrak{m}^{q-\varepsilon}(t)= t(\psi^{-1}(t))^{\varepsilon-q},\qquad t>0,
\end{equation*}
\notag
$$
также задает убывающую функцию. Поэтому откуда следует, что Лемма доказана. Доказательство теоремы 5.2. Так как
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\,\sum_{k=1}^{n}e_k\biggr\|_{\ell_\psi}= \frac{1}{\psi^{-1}(1/n)}\,,\qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
где $e_k$ – векторы канонического базиса $\ell_\psi$ (см. п. 2.3), то неравенство (5.8) – следствие эквивалентности последовательности $\{f_k\}_{k=1}^{\infty}$ в $L_p$ каноническому базису в $\ell_{\psi}$. Поэтому импликация (b) $\Rightarrow$ (c) очевидна.
Предположим теперь, что имеет место (c). В силу условий, которым удовлетворяет функция $\psi$, и теоремы 4.1 существует функция $f\in L_p$, $\displaystyle\int_0^1f(u)\,du=0$, последовательность независимых копий которой эквивалентна в $L_p$ каноническому $\ell_\psi$-базису. В силу предложения 3.2 тогда выполнено соотношение (5.2). С другой стороны, согласно (c) распределения функций $f$ и $\mathfrak{m}_{\psi}$ квазиэквивалентны. Поэтому $\mathfrak{m}_{\psi}\in L_p$ и соотношение, аналогичное (5.2), выполнено для всякой функции, равноизмеримой с функцией $\mathfrak{m}_{\psi}$. Тем самым, снова в силу предложения 3.2, последовательность независимых копий такой функции, в среднем равной нулю, эквивалентна в $L_p$ каноническому $\ell_\psi$-базису, и (d) доказано. Так как импликация (d) $\Rightarrow$ (a) является результатом применения предложения 3.2 и следствия 5.1, то остается доказать импликацию (a) $\Rightarrow$ (b). Итак, пусть $\psi$ эквивалентна в нуле $(p+\varepsilon)$-выпуклой и $(2-\varepsilon)$-вогнутой функции Орлича, $f\in L_p$, $\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt=0$, и последовательность $\{f_k\}_{k=1}^{\infty}$ независимых копий $f$ удовлетворяет условию (5.8) с некоторой константой $C>0$, не зависящей от $n\in\mathbb{N}$. Так как убывающая перестановка $f^*$ является обобщенной обратной функцией к функции распределения $n_f$ (см. п. 2.2), то для доказательства квазиэквивалентности распределений $f$ и $\mathfrak{m}_{\psi}$ достаточно показать, что функции $f^*$ и $\mathfrak{m}_{\psi}$ эквивалентны при малых значениях аргумента. Для упрощения обозначений будем считать, не ограничивая общности, что $f=f^*$. Прежде всего, согласно предложению 3.2 имеет место неравенство (5.2), откуда вытекает оценка
$$
\begin{equation}
f(t)\leqslant C_1 \mathfrak{m}_{\psi}(t), \qquad 0<t\leqslant 1,
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
справедливая для некоторого $C_1>0$. Таким образом, все, что осталось сделать, это доказать противоположное соотношение при всех достаточно малых $t\in (0,1)$.
Далее нам понадобится ряд неравенств, справедливых в силу условий или ранее доказанных утверждений. Прежде всего, из соотношения (5.2) вытекает существование константы $C>0$ такой, что для каждого $t\in(0,1)$ выполнено, по крайней мере, одно из неравенств
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{1}{t}\int_t^1f^2(s)\,ds\biggr)^{1/2}\geqslant \frac{1}{2C}\mathfrak{m}_{\psi}(t)
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
или
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{1}{t}\int_0^tf^p(s)\,ds\biggr)^{1/p}\geqslant \frac{1}{2C}\mathfrak{m}_{\psi}(t).
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Кроме того, в силу предложений 5.1 и 5.2 найдется $C_2>0$, для которого
$$
\begin{equation}
\frac{1}{t}\int_0^t\mathfrak{m}_{\psi}^p(s)\,ds\leqslant C_2^p\mathfrak{m}_{\psi}^p(t),\qquad 0<t\leqslant 1,
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
и
$$
\begin{equation}
\frac{1}{t}\int_t^1\mathfrak{m}_{\psi}^2(s)\,ds\leqslant C_2^2\mathfrak{m}_{\psi}^2(t),\qquad 0<t\leqslant 1.
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
И наконец, применяя лемму 5.1, выберем и зафиксируем настолько большое $R$, что
$$
\begin{equation}
\sup_{t>0}\frac{\mathfrak{m}_{\psi}^2(Rt)}{\mathfrak{m}_{\psi}^2(t)} \leqslant \frac{1}{8RC^2C_1^2C_2^2}\quad\text{и}\quad \sup_{t>0}\frac{\mathfrak{m}_{\psi}^p({t}/{R})}{\mathfrak{m}_{\psi}^p(t)} \leqslant\frac{R}{2^{p+1}C^{p}C_1^pC_2^p}\,.
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
Пусть $t\in(0,1/R)$. Рассмотрим сначала случай, когда выполнено неравенство (5.11). После возведения в квадрат обеих частей этого неравенства и применения (5.9) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{4C^2}\mathfrak{m}_{\psi}^2(t) &\leqslant \frac{1}{t}\int_t^1f^2(s)\,ds=\frac{1}{t}\int_t^{Rt}f^2(s)\,ds+ \frac{1}{t}\int_{Rt}^1f^2(s)\,ds \\ &\leqslant(R-1)f^2(t)+\frac{C_1^2}{t}\int_{Rt}^1\mathfrak{m}_{\psi}^2(s)\,ds. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как отсюда в силу (5.14) следует, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{4C^2}\mathfrak{m}_{\psi}^2(t)\leqslant (R-1)f^2(t)+RC_1^2C_2^2\mathfrak{m}_{\psi}^2(Rt),
\end{equation*}
\notag
$$
то в силу первого неравенства в (5.15) получаем
$$
\begin{equation}
(R-1)f^2\biggl(\frac{t}{R}\biggr)\geqslant (R-1)f^2(t)\geqslant \frac{1}{4C^2}\,\mathfrak{m}_{\psi}^2(t)-RC_1^2C_2^2\mathfrak{m}_{\psi}^2(Rt) \geqslant\frac{1}{8C^2}\,\mathfrak{m}_{\psi}^2(t).
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
Пусть теперь имеет место (5.12). Тогда
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2^pC^p}\mathfrak{m}_{\psi}^p(t)\leqslant \frac{1}{t}\int_0^tf^p(s)\,ds=\frac{1}{t}\int_0^{t/R}f^p(s)\,ds+ \frac{1}{t}\int_{t/R}^tf^p(s)\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, учитывая соотношения (5.9) и (5.13), а также то, что $f$ убывает, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{2^pC^p}\mathfrak{m}_{\psi}^p(t) &\leqslant \frac{C_1^p}{t}\int_0^{t/R}\mathfrak{m}_{\psi}^p(s)\,ds+ \biggl(1-\frac{1}{R}\biggr)f^p\biggl(\frac{t}{R}\biggr) \\ &\leqslant\frac{1}{R}C_1^pC_2^p\mathfrak{m}_{\psi}^p\biggl(\frac{t}{R}\biggr) +\biggl(1-\frac{1}{R}\biggr)f^p\biggl(\frac{t}{R}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как из этой оценки и второго неравенства в (5.15) следует, что
$$
\begin{equation*}
\biggl(1-\frac{1}{R}\biggr)f^p\biggl(\frac{t}{R}\biggr)\geqslant \frac{1}{2^pC^p}\mathfrak{m}_{\psi}^p(t)- \frac{1}{R}C_1^pC_2^p\mathfrak{m}_{\psi}^p\biggl(\frac{t}{R}\biggr) \geqslant\frac{1}{2^{p+1}C^p}\mathfrak{m}_{\psi}^p(t),
\end{equation*}
\notag
$$
то из (5.16) получаем, что с некоторой константой, не зависящей от $t$, имеет место соотношение
$$
\begin{equation*}
f\biggl(\frac{t}{R}\biggr)\succeq \mathfrak{m}_{\psi}(t),\qquad 0<t<\frac{1}{R}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу выпуклости функции $\psi$ имеем $\mathfrak{m}_{\psi}(t)\asymp \mathfrak{m}_{\psi}(t/R)$, $0<t\leqslant 1$, с константами, зависящими от $R$. Поэтому из последней оценки следует, что (5.10) выполнено, если $t\in (0,R^{-2})$. Таким образом, доказательство импликации (a) $\Rightarrow$ (b), а значит, и теоремы 5.2 завершено. 5.3. Пример нарушения единственности распределения функции, порождающей подпространство “вблизи” $L_1$Пусть $1\leqslant p<2$. Предположим, что функция Орлича $\psi$ эквивалентна в нуле некоторой $p$-выпуклой и $2$-вогнутой функции Орлича, $\lim_{t\to +0}{\psi(t)}{t^{-p}}=0$, но не существует такого $\varepsilon>0$, что она эквивалентна в нуле какой-то $(p+\varepsilon)$-выпуклой функции Орлича (и, значит, не выполнено условие (a) теоремы 5.2). Покажем, что тогда, вообще говоря, $1/\psi^{-1}\not\in L_p$ и распределение функции, независимые копии которой эквивалентны в $L_p$ каноническому базису $\ell_\psi$, не единственно. Для простоты рассмотрим случай $p=1$. Теорема 5.3 [20; предложение 5.3]. Существуют функции $f$ и $g$ из $L_1[0,1]$ такие, что (a) для любого $C>0$
$$
\begin{equation*}
\limsup_{\tau\to +\infty}\frac{n_f(C\tau)}{n_g(\tau)}=\infty;
\end{equation*}
\notag
$$
(b) последовательности $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ и $\{g_k\}_{k=1}^\infty$ независимых функций, равноизмеримых с $f$ и $g$ соответственно и таких, что $\displaystyle\int_0^1 f_k(t)\,dt= \displaystyle\int_0^1 g_k(t)\,dt=0$, $k=1,2,\dots$, эквивалентны в $L_1$ каноническому базису в пространстве Орлича $\ell_\psi$, где $\psi(t)=t/\log_2(2/t)$. Таким образом, распределения функций $f$ и $g$ не квазиэквивалентны, но последовательности независимых, в среднем равных нулю функций, равноизмеримых с $f$ и $g$, эквивалентны каноническому базису одного и того же пространства $\ell_\psi$. Доказательство. Пусть $\{E_k\}_{k=1}^\infty$ (соответственно $\{F_k\}_{k=1}^\infty$) – последовательность попарно дизъюнктных измеримых подмножеств $(0,1)$ такая, что $m(E_k)=2^{-k-2^k}$ (соответственно $m(F_k)=4^{-k-4^k}$), $k\in\mathbb{N}$. Определим функции $f$ и $g$, полагая
Предполагая, что (a) не имеет места, найдем такое $C>0$, для которого
$$
\begin{equation}
n_f(C\tau)\leqslant Cn_g(\tau)\quad\text{при всех}\ \ \tau>0,
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
и зафиксируем $k\in\mathbb{N}$ такое, что
Как нетрудно проверить, можно выбрать $\tau$ так, чтобы $\tau$ и $C\tau$ принадлежали интервалу $(2^{2^{2k+1}},2^{2^{2k+2}})$. Так как $2^{2^{2k+1}}=4^{4^k}$, а $2^{2^{2k+2}}=4^{2\cdot 4^{k}}<4^{4^{k+1}}$, то, учитывая определение функций $f$ и $g$, отсюда получим
$$
\begin{equation*}
n_f(C\tau)=n_f(2^{2^{2k+1}})\geqslant 2^{-(2k+2)-2^{2k+2}}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
n_g(\tau)=n_g(4^{4^k})\leqslant 2\cdot 4^{-(k+1)-4^{k+1}}=2^{-(2k+1)-2^{2k+3}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из неравенства (5.18) теперь следует, что
$$
\begin{equation*}
2^{2k+2+2^{2k+2}}\geqslant \frac{1}{C} 2^{2k+1+2^{2k+3}},
\end{equation*}
\notag
$$
или, эквивалентно, что противоречит выбору $k$ (см. (5.19)). Таким образом, (a) доказано.
Для доказательства свойства (b) нам понадобится следующее соотношение:
$$
\begin{equation}
\int_0^1\min\{f(s),tf^2(s)\}\,ds\asymp\int_0^1\min\{g(s),tg^2(s)\}\,ds \asymp\frac{1}{\log_2(2/t)}\,,\qquad 0< t\leqslant 1.
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
Прежде всего, заметим, что (5.20) достаточно доказать при $0<t<1/4$. В этом случае можно найти максимальное положительное целое число $m$, для которого $2^{2^m}<1/t$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^1\min\{f(s),tf^2(s)\}\,ds&=\sum_{2^{2^k}\geqslant 1/t}2^{2^k} 2^{-k-2^k}+t\sum_{2^{2^k}<1/t}2^{2^{k+1}} 2^{-k-2^k} \\ &=\sum_{k=m+1}^{\infty}2^{-k}+t\sum_{k=1}^m2^{2^k-k}= 2^{-m}+t\sum_{k=1}^m2^{2^k-k}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^m2^{2^k-k}\leqslant 2^{2^m-m}+(m-1)\,2^{2^{m-1}-m+1}\leqslant 2^{2^m-m}+2^{2^{m-1}}\leqslant 2 \cdot 2^{2^m-m},
\end{equation*}
\notag
$$
то отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
2^{-m}\leqslant\int_0^1\min\{f(s),tf^2(s)\}\,ds\leqslant 2^{-m}+2t\cdot 2^{2^m-m}\leqslant 3\cdot 2^{-m},
\end{equation*}
\notag
$$
или, учитывая определение числа $m$,
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\log_2(1/t)}\leqslant\int_0^1\min\{f(s),tf^2(s)\}\,ds\leqslant \frac{6}{\log_2(1/t)}\,,\qquad 0<t< \frac{1}{4}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку точно так же аналогичное неравенство можно получить и для соответствующего интеграла с функцией $g$, эквивалентность (5.20) доказана.
Предположим теперь, что последовательности $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ и $\{g_k\}_{k=1}^\infty$ удовлетворяют условиям теоремы. Покажем, что они эквивалентны в $L_1$ каноническому базису в пространстве Орлича $\ell_\psi$, где $\psi(t)=t/\log_2(2/t)$, т. е. с константами, не зависящими от $n\in\mathbb{N}$ и $a_k\in\mathbb{R}$, справедливы соотношения
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\,\sum_{k=1}^na_kf_k\biggr\|_{L_1}\asymp \biggl\|\,\sum_{k=1}^na_kg_k\biggr\|_{L_1}\asymp \|(a_k)_{k=1}^n\|_{\ell_{\psi}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая эквивалентность (3.4), для этого достаточно показать, что
$$
\begin{equation}
\biggl\|\,\sum_{k=1}^n a_k\bar{f}_k\biggr\|_{L_1+L_2}\asymp \biggl\|\,\sum_{k=1}^n a_k\bar{g}_k\biggr\|_{L_1+L_2}\asymp \|(a_k)_{k=1}^n\|_{\ell_{\psi}},\qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
где, как и ранее, можно считать, что
$$
\begin{equation*}
\bar{f}_k(t)=f(t+k-1)\cdot\chi^{}_{[k-1,k)}(t),\quad \bar{g}_k(t)=g(t+k-1)\cdot\chi^{}_{[k-1,k)}(t),\qquad t>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Как нетрудно проверить, пространство $L_1+L_2$ совпадает (с точностью до эквивалентности норм) с пространством Орлича $L_N$, где
$$
\begin{equation*}
N(t)=\begin{cases} t^2,& t\in(0,1), \\ 2t-1,& t\geqslant 1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая (ср. с п. 3.4 и, в частности, с формулой (3.13)), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\|\,\sum_{k=1}^n a_k\bar{f}_k\biggr\|_{L_N}\leqslant 1 \quad&\Longleftrightarrow\quad \int_0^\infty N\biggl(\,\sum_{k=1}^n |a_k| \,|\bar{f}_k(s)|\biggr)\,ds\leqslant 1 \\ &\Longleftrightarrow\quad\sum_{k=1}^n \int_0^1N(|a_k|\,|f_k(s)|)\,ds \leqslant 1 \\ &\Longleftrightarrow\quad \sum_{k=1}^n {\psi}^{}_N(|a_k|)\leqslant 1 \\ &\Longleftrightarrow\quad \|(a_k)_{k=1}^n\|_{\ell_{\psi_N}}\leqslant 1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, с константами, не зависящими от $n\in\mathbb{N}$ и $a_k\in\mathbb{R}$, имеет место эквивалентность
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\,\sum_{k=1}^n a_k\bar{f}_k\biggr\|_{L_1+L_2}\asymp \|(a_k)_{k=1}^n\|_{\ell_{\psi_N}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $N(t)\asymp\min\{t,t^2\}$, $t>0$, то отсюда и из определения функции $\psi^{}_N$ следует, что
$$
\begin{equation*}
{\psi}_N(t)\asymp\int_0^1\min\{tf(s),(tf(s))^2\}\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, учитывая (5.20), получаем
$$
\begin{equation*}
{\psi}_N(t)\asymp {\psi}(t)=\frac{t}{\log_2(2/t)}\,,\qquad 0<t\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
и, таким образом,
$$
\begin{equation*}
\bigg\|\sum_{k=1}^n a_k\bar{f}_k\bigg\|_{L_1+L_2}\asymp \|(a_k)_{k=1}^n\|_{\ell_{\psi}},\qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как для последовательности $\{\bar{g}_k\}$ применимы в точности те же рассуждения, то соотношение (5.21), а с ним и теорема 5.3 доказаны. Замечание 5.1. Функция ${\psi}$ из теоремы 5.3 не удовлетворяет условию (a) теоремы 5.2, так как она не является $(1+\varepsilon)$-выпуклой для любого $\varepsilon>0$. Естественно задать вопрос, что будет, если функция $\psi(t)$ “близка” к другой “крайней” функции, т. е. к $t^2$. Частично на этот вопрос отвечает следующий результат, доказанный в работе [31; теорема 4.2]. Пусть $h\colon [0,\infty)\to [0,\infty)$ – функция, медленно изменяющаяся в бесконечности, т. е. $\lim_{t\to\infty}h(st)/h(t)=1$ для каждого $s>0$. Предположим, что $\displaystyle\int_0^\infty\dfrac{h(t)\,dt}{t}<\infty$. Как нетрудно проверить, это условие гарантирует то, что функция $f$ с функцией распределения $n_f(\tau)=\tau^{-2}h(\tau)$, $\tau\geqslant 0$, принадлежит пространству $L_2$. Тогда последовательность копий некоторой в среднем равной нулю функции $g$ эквивалентна в $L_p$, $1\leqslant p<2$, каноническому базису в пространстве Орлича $\ell_\psi$, где $\psi(s)=s^2\displaystyle\int_0^{1/s}\dfrac{h(t)\,dt}{t}$ , в том и только том случае, когда $n_g(\tau)\asymp\tau^{-2}h(\tau)$ при больших $\tau$. Тем самым, в частности, распределение в среднем равной нулю функции, последовательность независимых копий которой эквивалентна в $L_p$, $1\leqslant p<2$, каноническому $\ell_\psi$-базису, где $\psi(t)=t^2\log_2(2/t)$, единственно, что контрастирует с результатом теоремы 5.3. 5.4. Случай произвольного симметричного пространстваПусть $1<q<2$ и $\{g_n\}$ – последовательность независимых функций, равноизмеримых с функцией $g(t)=t^{-1/q}$, $0<t\leqslant 1$, и таких, что $\displaystyle\int_0^1 g_n(t)\,dt=0$, $n \in \mathbb{N}$. Как уже отмечалось во вводной части к этому разделу, используя достаточно серьезный арсенал средств из теории функций комплексной переменной, М. Ш. Браверман доказал, что во всяком с. п. $X$, удовлетворяющем условию: $X\supset L_{q,\infty}$, последовательность $\{g_n\}$ эквивалентна каноническому $\ell_q$-базису (см. [32; теорема III.3]). Здесь аналогичный результат будет доказан (иным и, на наш взгляд, гораздо более простым способом) для пространств Орлича $\ell_\psi$ в случае, когда функция $\psi$ субмультипликативна на $[0,1]$, т. е. удовлетворяет условию
$$
\begin{equation}
\psi(ts)\leqslant K\psi(t)\psi(s),\qquad 0<t,s\leqslant 1,
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
для некоторого $K\geqslant 1$. При этом роль $L_{q,\infty}$ будет играть пространство Марцинкевича, построенное по функции $\varphi(t):=t/{{\psi}^{-1}(t)}$. Мы покажем также, что при определенных условиях на $\psi$ соотношение (5.22) является точным в следующем смысле: если последовательность $\{f_n\}$ независимых, в среднем равных нулю функций, равноизмеримых с функцией $\mathfrak{m}_{\psi}:={1}/{\psi}^{-1}$ на $[0,1]$, эквивалентна каноническому $\ell_\psi$-базису в пространстве $M(\varphi)$, то выполнено (5.22). Теорема 5.4 [4; теорема 3.8]. Предположим, что $\psi$ – функция Орлича, эквивалентная в нуле $(1+\varepsilon)$-выпуклой и $(2-\varepsilon)$-вогнутой функции Орлича для некоторого $\varepsilon>0$. Если $\{f_n\}$ – последовательность независимых, в среднем равных нулю функций на $[0,1]$, равноизмеримых с функцией $\mathfrak{m}_{\psi}$, то следующие условия равносильны: (a) в любом с. п. $X$ таком, что $X\supset M(\varphi)$, последовательность $\{f_n\}$ эквивалентна каноническому $\ell_\psi$-базису; (b) для любого с. п. $X$ такого, что $X\supset M(\varphi)$, с константами, не зависящими от $n\in \mathbb{N}$, имеет место эквивалентность
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\,\sum_{k=1}^nf_k\biggr\|_X\asymp \frac{1}{{\psi}^{-1}(1/n)}\,;
\end{equation*}
\notag
$$
(c) выполнено условие (5.22). Без ограничения общности всюду далее предполагаем, что функция $\psi$ сама является $(1+\varepsilon)$-выпуклой и $(2-\varepsilon)$-вогнутой в нуле при некотором $\varepsilon>0$, строго возрастает и $\psi(1)=1$. Начнем с вывода эквивалентного выражения для нормы пространства Марцинкевича $M(\varphi)$. Лемма 5.2. Если функция Орлича $\psi$ является $(1+\varepsilon)$-выпуклой в нуле при некотором $\varepsilon>0$ и $\varphi(t)=t/\psi^{-1}(t)$, то Доказательство. Определим функцию растяжения ${\mathcal M}_\varphi$ функции $\varphi$ следующим образом:
Так как по условию функция $\psi(t^{1/(1+\varepsilon)})$, $0<t\leqslant 1$, выпукла на $[0,1]$, то по лемме 3.2
$$
\begin{equation*}
\psi((st)^{1/(1+\varepsilon)})\leqslant t\psi(s^{1/(1+\varepsilon)}), \qquad 0<s,t\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation*}
\psi(uv)\leqslant v^{1+\varepsilon}\psi(u), \qquad 0<u,v\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к обратным функциям, получим
$$
\begin{equation*}
\psi^{-1}(s) t^{1/(1+\varepsilon)}\leqslant \psi^{-1}(st),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что
$$
\begin{equation*}
\varphi(st)=\frac{st}{\psi^{-1}(st)}\leqslant \frac{st^{\varepsilon/(1+\varepsilon)}}{\psi^{-1}(s)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
{\mathcal M}_\varphi(t)\leqslant t^{\varepsilon/(1+\varepsilon)},\qquad 0<t\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит, ${\mathcal M}_\varphi(t)\to 0$ при $t\to +0$. Следовательно, по теореме II.5.3 из [69] Лемма доказана. Следующая лемма будет использоваться при доказательстве как теоремы 5.4, так и следующей теоремы 5.5. Как и ранее, если $a=(a_n)_{n=1}^\infty$, то
$$
\begin{equation*}
a \,\overline\otimes\, \mathfrak{m}_{\psi}(u):= \sum_{n=1}^\infty a_n \mathfrak{m}_{\psi}(u+n-1)\cdot\chi_{[n-1,n)}(u),\qquad u>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 5.3. Пусть функция Орлича $\psi$ удовлетворяет условию (5.22). Тогда Доказательство. Пусть $a=(a_k)_{k=1}^\infty\in \ell_\psi$. Без ограничения общности можно считать, что $a_k\geqslant 0$, $k \in \mathbb{N}$, и (ввиду соображений однородности) $\|a\|_{\ell_{\psi}}= 1$.
Так как $\psi$ возрастает, $\psi(0)=0$ и $\psi(1)=1$, то для каждого $t\geqslant 1$
$$
\begin{equation*}
n_{\mathfrak{m}_{\psi}}(t)=m\biggl\{u\in [0,1]\colon \frac{1}{\psi^{-1}(u)}> t\biggr\}=m\biggl\{u\in [0,1]\colon \psi\biggl(\frac{1}{t}\biggr)>u\biggr\}= \psi\biggl(\frac{1}{t}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит,
$$
\begin{equation*}
n_{a \,\overline\otimes\, \mathfrak{m}_{\psi}} (t)= \sum_{k=1}^\infty n_{a_k \mathfrak{m}_{\psi}} (t)= \sum_{k=1}^\infty {\psi}\biggl(\frac{a_k}{t}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, для любого $j \in \mathbb{N}$ имеем откуда, учитывая, что $\psi$ возрастает и $\psi(1)=1$, следует, что $a_j \leqslant 1$, $j \in \mathbb{N}$, т. е. $\|a\|_{\ell_\infty} \leqslant 1$. Поэтому если $t \geqslant 1$, то в силу (5.22)
$$
\begin{equation*}
\psi({a_k}t)\leqslant K\psi(a_k)\psi\biggl(\frac{1}{t}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из предыдущих равенств получаем, что
$$
\begin{equation}
n_{a\,\overline\otimes\, \mathfrak{m}_{\psi}}(t)\leqslant K\sum_{k=1}^\infty \psi(a_k)\psi\biggl(\frac{1}{t}\biggr)= K\psi\biggl(\frac{1}{t}\biggr)=Kn_{\mathfrak{m}_{\psi}}(t),\qquad t\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
Пусть $s \in (0,1)$. Так как $\psi(1)=1$, то $\{u \colon n_{\mathfrak{m}_{\psi}}(u)\leqslant s\}\subset (1,\infty)$. Следовательно, если $n_{\mathfrak{m}_{\psi}}(u)\leqslant s$, то в силу (5.24)
$$
\begin{equation*}
n_{a \,\overline\otimes\, \mathfrak{m}_{\psi}} (u)\leqslant Kn_{\mathfrak{m}_{\psi}}(u)\leqslant Ks.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, воспользовавшись определением невозрастающей перестановки измеримой функции и учитывая, что функция $\mathfrak{m}_{\psi}$ убывает, получаем
$$
\begin{equation*}
\sigma_{1/K}(a\,\overline\otimes\,\mathfrak{m}_{\psi})^*\cdot \chi_{(0,1)} \leqslant \mathfrak{m}_{\psi},
\end{equation*}
\notag
$$
и тем самым
$$
\begin{equation}
(a\,\overline\otimes\, \mathfrak{m}_{\psi})^*\cdot\chi_{(0,1)}\leqslant \sigma_K\mathfrak{m}_{\psi}.
\end{equation}
\tag{5.25}
$$
С другой стороны, в силу выпуклости $\psi$ имеем неравенство $\psi(s/K)\leqslant \psi(s)/K$ для каждого $s>0$, или, полагая $s=\psi^{-1}(t)$, неравенство $\psi(\psi^{-1}(t)/K)\leqslant t/K$ для каждого $t>0$. Так как $\psi$ возрастает, то отсюда следует, что $\psi^{-1}(t)/K \leqslant \psi^{-1}(t/K)$, $t>0$, или, учитывая определение $\mathfrak{m}_{\psi}$,
$$
\begin{equation*}
\sigma_K\mathfrak{m}_{\psi}\leqslant K\mathfrak{m}_{\psi}.
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге нужное неравенство – непосредственное следствие последнего соотношения и неравенства (5.25). Лемма доказана. Доказательство теоремы 5.4. Докажем сначала импликацию (c) $\Rightarrow$ (a). Так как в силу условий теоремы, а также предложения 3.2 и теоремы 5.1 с константами, не зависящими от $a=(a_n)\in \ell_{\psi}$, имеет место эквивалентность и $X\subset L_1[0,1]$, то достаточно показать, что с константой, не зависящей от последовательности $a\in \ell_{\psi}$, выполнено соотношение
Прежде всего, так как $\psi$ является $(2-\varepsilon)$-вогнутой в нуле, то функция $\psi(t^{1/(2-\varepsilon)})/t$ убывает на $[0,1]$, и, значит, $\psi(t)\geqslant t^{2-\varepsilon}\geqslant t^2$, $0<t\leqslant 1$. Поэтому $\varphi(t)\geqslant t^{1/2}$, откуда следует, что $M(\varphi)\supset M(t^{1/2})\supset L_2$. Таким образом, в силу теоремы 3.2
$$
\begin{equation}
\biggl\|\,\sum_{n=1}^\infty a_nf_n\biggr\|_{M(\varphi)}\asymp \|a \,\overline\otimes\,\mathfrak{m}_{\psi}\|_{Z_{M(\varphi)}^2},
\end{equation}
\tag{5.28}
$$
где $Z_{M(\varphi)}^2$ – с. п. на $(0,\infty)$ с квазинормой
$$
\begin{equation}
\|x\|_{Z_{M(\varphi)}^2}=\|x^*\chi_{[0,1]}\|_{M(\varphi)}+ \|x^*\chi_{(1,\infty)}\|_{2}
\end{equation}
\tag{5.29}
$$
(см. п. 3.1). Так как по той же теореме 3.2 (см. также соотношение (3.4))
$$
\begin{equation*}
\bigg\|\sum_{n=1}^\infty a_nf_n\bigg\|_1\asymp \|a \,\overline\otimes\, \mathfrak{m}_{\psi}\|_{(L_1+L_2)(0,\infty)},
\end{equation*}
\notag
$$
то ввиду (5.26)
$$
\begin{equation*}
\|(a \,\overline\otimes\,\mathfrak{m}_{\psi})^*\cdot\chi_{(1,\infty)}\|_{2} \preceq\|a\,\overline\otimes\,\mathfrak{m}_\psi\|_{(L_1+L_2)(0,\infty)} \asymp \|a\|_{\ell_{\psi}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, согласно лемме 5.2 имеет место включение $\mathfrak{m}_{\psi}\in M(\varphi)$, и поэтому, применяя лемму 5.3, получим
$$
\begin{equation*}
\|(a\,\overline\otimes\, \mathfrak{m}_{\psi})^*\cdot\chi_{[0,1]}\|_{M(\varphi)}\leqslant K\|\mathfrak{m}_{\psi}\|_{M(\varphi)}\|a\|_{\ell_{\psi}}\preceq \|a\|_{\ell_{\psi}}
\end{equation*}
\notag
$$
с константами, не зависящими от $a\in \ell_{\psi}$. В итоге из последних неравенств, соотношений (5.28), (5.29) и вложения $X\supset M(\varphi)$ вытекает неравенство (5.27).
Так как импликация (a) $\Rightarrow$ (b) очевидна, осталось показать, что из (b) следует (c). Пусть $s_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n e_k$, $n\in\mathbb{N}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
s_n \,\overline\otimes\, \mathfrak{m}_{\psi}(u)= \sum_{k=1}^n\mathfrak{m}_{\psi}(u+k-1)\cdot\chi_{[k-1,k)}(u),\qquad u>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как функция $1/\psi^{-1}$ убывает, то отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
(s_n \,\overline\otimes\, \mathfrak{m}_{\psi})^*(u)\cdot\chi_{[0,1]}(u)= \frac{1}{\psi^{-1}(u/n)}\,,\qquad u\in [0,1].
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, применяя условие (b) для $X=M(\varphi)$ и учитывая (5.28) и (5.29), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\|\frac{1}{{\psi}^{-1}(\cdot/n)}\biggr\|_{M(\varphi)}&= \|(s_n \,\overline\otimes\, \mathfrak{m}_{\psi})^*\cdot\chi_{[0,1]}\|_{M(\varphi)}\preceq \|s_n \,\overline\otimes\, \mathfrak{m}_{\psi}\|_{Z_{M(\varphi)}^2} \\ &\asymp\biggl\|\,\sum_{k=1}^n f_k\biggr\|_{M(\varphi)}\asymp \frac{1}{\psi^{-1}(1/n)}\,,\qquad n\in\mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как по лемме 5.2
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\frac{1}{\psi^{-1}(\cdot/n)}\biggr\|_{M(\varphi)}\asymp \sup_{0<t\leqslant 1}\frac{\psi^{-1}(t)}{\psi^{-1}(t/n)}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
то из предыдущего соотношения следует, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\psi^{-1}(t)}{\psi^{-1}(t/n)}\leqslant \frac{C_1}{\psi^{-1}(1/n)}\,,\qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation*}
\psi^{-1}\biggl(\frac{1}{n}\biggr)\psi^{-1}(t)\leqslant C_1\psi^{-1}\biggl(\frac{t}{n}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого $C_1>0$ и всех $t\in (0,1]$ и $n\in\mathbb{N}$. Заметим, что согласно условиям теоремы $\psi\in\Delta_2^\infty$. Поэтому в силу предыдущего неравенства для некоторого $C_2>0$ и всех $t\in (0,1]$ получаем
$$
\begin{equation*}
\psi\biggl(\psi^{-1}\biggl(\frac{1}{n}\biggr)\psi^{-1}(t)\biggr)\leqslant \psi\biggl(C_1\psi^{-1}\biggl(\frac{t}{n}\biggr)\biggr)\leqslant \frac{C_2t}{n}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как эта оценка эквивалентна неравенству (5.22), то теорема 5.4 доказана. Замечание 5.2. Анализ доказательства теоремы 5.4 показывает, что каждое из условий (a), (b) и (c) равносильно тому, что с константами, не зависящими от $n\in \mathbb{N}$, имеет место эквивалентность Во второй части этого пункта мы покажем, что если функция $\psi$ субмультипликативна и функция $\mathfrak{m}_\psi$ принадлежит сепарабельной части с. п. $X$, то распределение функции, независимые копии которой порождают в $X$ пространство $\ell_\psi$, единственно. Теорема 5.5 [21; теорема 4.7]. Пусть функция Орлича $\psi$ эквивалентна в нуле некоторой $(1+\varepsilon)$-выпуклой и $(2-\varepsilon)$-вогнутой функции Орлича для некоторого $\varepsilon>0$ и удовлетворяет условию (5.22). Предположим, что $X$ – с. п. на $[0,1]$ такое, что $\mathfrak{m}_\psi\in X_0$. Eсли последовательность независимых копий функции $f\in X$, $\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt=0$, эквивалентна в $X$ каноническому $\ell_{\psi}$-базису, то распределения функций $f$ и $\mathfrak{m}_\psi$ квазиэквивалентны. Докажем сначала ряд вспомогательных утверждений, доказательство первого из которых получается за счет замены переменной в интеграле. Лемма 5.4. Пусть $\psi$ – функция Орлича. Тогда $\mathfrak{m}_\psi\in L_1[0,1]$ в том и только том случае, когда выполнено условие При этом Пусть $r\geqslant 1$ и функция $\psi_r \colon [0,\infty) \to [0,\infty)$ определена следующим образом:
$$
\begin{equation}
\psi_r(t):=\begin{cases} t^r, & 0 \leqslant t \leqslant 1, \\ 1+r(t-1), & t >1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.31}
$$
Нетрудно проверить, что $\psi_r$ – функция Орлича. Кроме того, если $t > 1$, то
$$
\begin{equation*}
t \leqslant 1+r(t-1)=\psi_r(t)=rt+(1-r) \leqslant \min\{t^r,rt\},
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит,
$$
\begin{equation}
\min\{t^r,t\} \leqslant \psi_r(t) \leqslant \min\{t^r,rt\},\qquad t\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{5.32}
$$
Лемма 5.5. Пусть $1\leqslant r<\infty$ и функция $\psi_r$ определена равенством (5.31). Тогда $L_{\psi_r}=L_1+L_r$ и Доказательство. Без ограничения общности можем предположить, что $f\geqslant0$ и $\|f\|_{L_{\psi_r}}=1$. Отсюда в силу (5.32) вытекает, что и, следовательно, полагая $f_1=f\chi_{\{f>1\}}$ и $f_2=f\chi_{\{0\leqslant f\leqslant 1\}}$, получаем представление $f=f_1+f_2$, где $\|f_1\|_1\leqslant 1$ и $\|f_2\|_r\leqslant 1$. Тем самым
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{L_1+L_r}\leqslant\|f_1\|_1+\|f_2\|_r\leqslant 2,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следуют вложение $L_{\psi_r}\subset L_1+L_r$ и правое неравенство в (5.33).
В противоположном направлении, если $f\in L_1+L_r$, то можно выбрать $f_1\in L_1$ и $f_2\in L_r$ так, что
$$
\begin{equation*}
f=f_1+f_2\quad\text{и}\quad \|f_1\|_1+\|f_2\|_r\leqslant 2\|f\|_{L_1+L_r}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу правого неравенства в (5.32) отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
\|f_2\|_{L_{\psi_r}}\leqslant\|f_2\|_r\leqslant 2\|f\|_{L_1+L_r}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\|f_1\|_{L_{\psi_r}}\leqslant r\|f_1\|_1\leqslant 2r\|f\|_{L_1+L_r}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, применяя неравенство треугольника, получим
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{L_{\psi_r}}\leqslant \|f_1\|_{L_{\psi_r}}+ \|f_2\|_{L_{\psi_r}}\leqslant (2r+2)\|f\|_{L_1+L_r},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда вытекает вложение $L_1+L_r\subset L_{\psi_r}$, а также левое неравенство в (5.33). Лемма доказана. Следующая лемма является существенным упрощением леммы 7 и теоремы 8 из работы [83]. Лемма 5.6. Пусть $r>1$ и $\psi$ – функция Орлича, удовлетворяющая условию (5.30). Пусть также функция $\psi_r$ определена равенством (5.31) и где $\mathfrak{m}_\psi(s)=1/\psi^{-1}(s)$, $s\in(0,1]$. Тогда с константами, не зависящими от $c\in \ell_N$, имеет место эквивалентность Доказательство. Прежде всего, проверим, что определение функции $N$ корректно и она является функцией Орлича.
Действительно, из (5.32) следует, что $\psi_r(t)\leqslant rt$ для всех $t>0$. Поэтому, учитывая, что $\psi$ удовлетворяет условию (5.30), по лемме 5.4
$$
\begin{equation*}
N(t)\leqslant rt\int_0^1{\mathfrak{m}_\psi}(s)\,ds<\infty,\qquad t>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, так как $\psi_r$ выпукла, то
$$
\begin{equation*}
{\psi}_r([\lambda t_1+(1-\lambda)t_2]{\mathfrak{m}_\psi}(s))\leqslant \lambda {\psi}_r(t_1{\mathfrak{m}_\psi}(s))+ (1-\lambda){\psi}_r(t_2{\mathfrak{m}_\psi}(s)),
\end{equation*}
\notag
$$
если только $s,\lambda\in[0,1]$, $t_1,t_2\geqslant 0$, и после интегрирования этого неравенства по $s\in [0,1]$ получим
$$
\begin{equation*}
N(\lambda t_1+(1-\lambda)t_2)\leqslant \lambda N(t_1)+(1-\lambda)N(t_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $N$ – выпуклая функция. Так как $N$ возрастает и $N(0)=0$, то в итоге это функция Орлича.
Пусть $c=(c_k)_{k=1}^\infty\in \ell_N$, $\|c\|_{\ell_N}=1$ и $c_k\geqslant 0$, $k \in \mathbb{N}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
1=\sum_{k=1}^\infty N(c_k)=\sum_{k=1}^\infty \int_0^1 \psi_r(c_k \mathfrak{m}_\psi(s))\,ds= \int_0^\infty \psi_r(c\,\overline\otimes\,\mathfrak{m}_\psi)(u)\,du.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $\|c \,\overline\otimes\,\mathfrak{m}_\psi\|_{L_{\psi_r}}=1$ и, таким образом, в силу положительной однородности норм выполнено равенство $\|c\|_{\ell_N}=\|c\,\overline\otimes\, \mathfrak{m}_\psi\|_{L_{\psi_r}}$. Нужное утверждение следует теперь из леммы 5.5. Лемма 5.6 доказана. Лемма 5.7. Если функции $\psi$, $N$ и $\psi_r$ – такие же, как в лемме 5.6, то Доказательство. По определению $\mathfrak{m}_\psi$ для каждого $t\in(0,1]$
$$
\begin{equation*}
t\mathfrak{m}_\psi(s)\geqslant 1\ \ \Longleftrightarrow\ \ s\leqslant \psi(t)\qquad\text{и}\qquad t\mathfrak{m}_\psi(s)\leqslant 1\ \ \Longleftrightarrow\ \ s\geqslant \psi(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу (5.31) получаем равенства
$$
\begin{equation*}
\psi_r(t\mathfrak{m}_\psi(s))=(t\mathfrak{m}_\psi(s))^r,\qquad s\in (\psi(t),1],
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\psi_r(t\mathfrak{m}_\psi(s))=1-r+rt\mathfrak{m}_\psi(s),\qquad s\in(0,\psi(t)].
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
N(t)=\int_0^{\psi(t)}(rt\mathfrak{m}_\psi(s)-r+1)\,ds+ \int_{\psi(t)}^1(t\mathfrak{m}_\psi(s))^r\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя в последнее равенство $s=\psi(u)$, получим
$$
\begin{equation*}
N(t)=(1-r)\psi(t)+r\int_0^t\frac{t\psi'(u)\,du}{u}+ \int_t^1\frac{t^r\psi'(u)\,du}{u^r}\,,\qquad t\in(0,1],
\end{equation*}
\notag
$$
и, после интегрирования по частям,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, N(t)&=(1-r)\psi(t)+rt\biggl(\frac{\psi(u)}{u}\bigg|_0^t+ \int_0^t\frac{\psi(u)}{u^2}\,du\biggr)+ t^r\biggl(\frac{\psi(u)}{u^r}\bigg|_t^1+ r\int_t^1\frac{\psi(u)}{u^{r+1}}\, du\biggr) \\ &=rt\biggl(-\lim_{u\to 0}\frac{\psi(u)}{u}+ \int_0^t\frac{\psi(u)}{u^2}\,du\biggr)+ t^r\biggl(1+r\int_t^1\frac{\psi(u)}{u^{r+1}}\,du\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\frac{\psi(u)}{u}\leqslant \int_0^{\psi(u)}\,\frac{ds}{\psi^{-1}(s)}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
то из условия (5.30) вытекает, что $\lim_{u\to 0}\psi(u)/u=0$. Тем самым лемма доказана. Лемма 5.8. Пусть $\psi$ – функция Орлича и $\varepsilon>0$. (i) Если $\psi$ является $(1+\varepsilon)$-выпуклой на $[0,1]$, то
$$
\begin{equation*}
\int_0^t \frac{\psi(u)}{u^2}\,du\leqslant \frac{\psi(t)}{\varepsilon t}\,,\qquad t>0.
\end{equation*}
\notag
$$
(ii) Если $r>1$ и функция $\psi$ является $(r-\varepsilon)$-вогнутой на $[0,1]$, то Доказательство. (i) Если $u\in(0,t]$, то по лемме 3.1 (i)
$$
\begin{equation*}
\frac{\psi(u)}{u^{1+\varepsilon}}\leqslant \frac{\psi(t)}{t^{1+\varepsilon}}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит, Отсюда следует, что
(ii) Пусть $u\in [t,1]$. Тогда в силу леммы 3.1 (ii) имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{\psi(u)}{u^{r-\varepsilon}}\leqslant \frac{\psi(t)}{t^{r-\varepsilon}}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому
$$
\begin{equation*}
\frac{\psi(u)}{u^{r+1}}\leqslant \frac{\psi(t)}{t^{r-\varepsilon}u^{1+\varepsilon}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\int_t^1\frac{\psi(u)\,du}{u^{r+1}}\leqslant \int_t^1\frac{\psi(t)\,du}{t^{r-\varepsilon}u^{1+\varepsilon}}= \frac{\psi(t)}{t^{r-\varepsilon}}\int_t^1u^{-\varepsilon-1}\,du\leqslant \frac{\psi(t)}{\varepsilon t^r}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Лемма 5.9. Пусть $r>1$. Предположим, что $\psi$ – функция Орлича, которая $(1+\varepsilon)$-выпукла и $(r-\varepsilon)$-вогнута на $[0,1]$ для некоторого $\varepsilon>0$. Тогда с константами, не зависящими от $c\in \ell_{\psi}$. Доказательство. Проверим сначала, что функция $\psi$ удовлетворяет условию (5.30). Действительно, в силу $(1+\varepsilon)$-выпуклости $\psi$ функция $\psi(t^{1/(1+\varepsilon)})$ выпукла, и, значит, ее производная $(1+\varepsilon)^{-1}\psi'(t^{1/(1+\varepsilon)}) t^{-\varepsilon/(1+\varepsilon)}$ возрастает при $t\in [0,1]$. Как легко видеть, отсюда следует, что $\psi'(t)\leqslant \psi'(1)t^{\varepsilon}$, $t\in (0,1]$, откуда, в свою очередь, вытекает (5.30).
Таким образом, как и в лемме 5.6, можно определить функцию Орлича $N$. Покажем, что По лемме 3.1 (ii) функция $\psi(t)t^{-r+\varepsilon}$ убывает на $[0,1]$. Следовательно (так как можно считать, что $r-\varepsilon>1$),
$$
\begin{equation*}
\int_0^t \frac{\psi(u)}{u^2}\,du \geqslant \frac{\psi(t)}{t^{r-\varepsilon}}\int_0^t u^{r-\varepsilon-2}\,du= \frac{\psi(t)}{(r-\varepsilon-1)t}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда в силу леммы 5.7 вытекает неравенство $\psi\preceq N$ на $[0,1]$.
С другой стороны, ввиду лемм 5.7 и 5.8
$$
\begin{equation*}
N(t)\leqslant t^r+{2r}{\varepsilon}^{-1}\psi(t),\qquad 0<t\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, так как $\psi(1)=1$, то, используя лемму 3.1 (ii) еще раз, получаем, что $\psi(t)\geqslant t^{r-\varepsilon}>t^r$, $0<t\leqslant 1$. Из этого и предыдущего неравенств следует, что $N\preceq \psi$ на $(0,1]$. Таким образом, эквивалентность (5.34) доказана, и нужный результат следует теперь из леммы 5.6. Лемма 5.9 доказана. Лемма 5.10. Пусть $\psi$ – функция Орлича и $X$ – с. п. на $[0,1]$. Предположим, что для некоторой измеримой на $[0,1]$ функции $f$ имеет место оценка Тогда Доказательство. Так как $Z_X^2 \subset L_1+L_{\infty}$, то из условия леммы следует, что
$$
\begin{equation*}
\|c\,\overline\otimes\, f\|_{L_1+L_{\infty}} \preceq \|c\|_{\ell_{\psi}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $s_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n e_k$, $n\in\mathbb{N}$, то $(s_n \,\overline\otimes\, f)^*= \sigma_nf^*$, и поэтому в силу (2.3) Таким образом, в силу предыдущей оценки
Если теперь $t\in (0,1]$, то $t\in(1/(n+1),1/n]$ для некоторого $n\in\mathbb{N}$ и с константой, не зависящей от $t$, имеет место оценка Тем самым лемма доказана.Лемма 5.11. Если $X$ – произвольное с. п. на $[0,1]$, то для каждого $1\leqslant r<2$ и любой функции $f\in Z_X^r$ имеет место оценка Доказательство. Напомним, что по определению
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{Z_X^q}=\|f^*\chi_{(0,1)}\|_X+\|f^*\chi_{(1,\infty)}\|_q,\quad 1\leqslant q<\infty,\quad\text{и}\quad \|f\|_{Z_X^\infty}=\|f^*\chi_{(0,1)}\|_X.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\|f^*\chi_{(0,1)}\|_X=\|f^*\chi_{(0,1)}\|_X^{1-r/2}\|f^*\chi_{(0,1)}\|_X^{r/2} \leqslant\|f\|_{Z_X^{\infty}}^{1-r/2}\|f\|_{Z_X^r}^{r/2},
\end{equation*}
\notag
$$
и, так как $\|\chi_{[0,1]}\|_X=1$, то для любого $1\leqslant r<2$ Следовательно, Так как из приведенных соотношений вытекает нужная оценка, то лемма доказана. Лемма 5.12. Пусть $\psi$ – функция Орлича, являющаяся $(1+\varepsilon)$-выпуклой и $(2-\varepsilon)$-вогнутой на $[0,1]$ для некоторого $\varepsilon>0$. Предположим, что $X$ – с. п. на $[0,1]$ такое, что $\mathfrak{m}_\psi\in X$. Если функция $f\in X$ удовлетворяет условию то Доказательство. Зафиксируем такое $r<2$, что функция $\psi$ является $(r- \delta)$-вогнутой при некотором $\delta>0$. Тогда по лемме 5.11
$$
\begin{equation*}
\|c\,\overline\otimes\, f\|_{Z_X^2}\preceq \|c\,\overline\otimes\, f\|_{Z_X^{\infty}}^{1-r/2} \|c\,\overline\otimes\, f\|_{Z_X^r}^{r/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, в силу леммы 5.10 имеет место оценка $f^*(t)\preceq {\mathfrak{m}_\psi}(t)$, $t\in (0,1]$, и, значит, по лемме 5.9
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|c \,\overline\otimes\, f\|_{Z_X^r}&\asymp \|c\,\overline\otimes\, f\|_{Z_X^{\infty}}+ \|c \,\overline\otimes\, f\|_{L_1+L_r}\preceq \|c\,\overline\otimes\, f\|_{Z_X^{\infty}}+ \|c \,\overline\otimes\, {\mathfrak{m}_\psi}\|_{L_1+L_r} \\ &\asymp\|c\,\overline\otimes\, f\|_{Z_X^{\infty}}+ \|c\|_{\ell_{\psi}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым с учетом условия леммы и предыдущей оценки получаем Поскольку $r<2$, то отсюда следует, что $\|c\|_{\ell_{\psi}}\preceq \|c\,\overline\otimes\, f\|_{Z_X^{\infty}}$. Так как противоположная оценка очевидна, то лемма доказана. Лемма 5.13. Пусть $X$ – с. п. на $[0,1]$. Если $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subset X$, $\|x_n\|_1\to0$ при $n\to \infty$ и $x_n^*\leqslant x^*$, $n=1,2,\dots$, для некоторой функции $x\in X_0$, то $\|x_n\|_X\to 0$ при $n\to \infty$. Доказательство. Так как $x\in X_0$, то для произвольного $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$ такое, что $\|x^*\chi_{(0,\delta]}\|_X<\varepsilon$. Кроме того, $x_n\to0$ при $n\to \infty$ по мере. Следовательно, для всех достаточно больших $n\in\mathbb{N}$ имеем $m(A_n)<\delta$, где $A_n:=\{t\colon |x_n(t)|>\varepsilon\}$, откуда следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|x_n\|_X &\leqslant \|x_n\chi_{A_n}\|_X+\|x_n\chi_{[0,1]\setminus A_n}\|_X \leqslant \|x_n^*\chi_{(0,\delta]}\|_X+\varepsilon\|\chi_{[0,1]}\|_X \\ &\leqslant \|x^*\chi_{(0,\delta]}\|_X+\varepsilon\|\chi_{[0,1]}\|_X \leqslant 2\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Доказательство теоремы 5.5. Как и ранее, далее считаем, что функция $\psi$ является $(1+\varepsilon)$-выпуклой и $(2-\varepsilon)$-вогнутой на $[0,1]$.
Во-первых, так как по условию $\mathfrak{m}_\psi\in X_0$ и $\psi$ является $(1+\varepsilon)$-выпуклой на $[0,1]$, то в силу леммы 5.2 имеет место вложение $X\supset M(\varphi)$, где $\varphi(t)=t/\psi^{-1}(t)$, $0<t\leqslant 1$. Во-вторых, $\psi$ является $(2-\varepsilon)$-вогнутой на $(0,1]$, и поэтому $M(\varphi)\supset L_2$ (см. доказательство теоремы 5.4). Таким образом, $X\supset L_2$, а так как по условию последовательность независимых копий функции $f\in X$, $\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt=0$, эквивалентна в $X$ каноническому базису пространства $\ell_{\psi}$, то, применяя теорему 3.2, получим
$$
\begin{equation*}
\|c\,\overline\otimes\, f\|_{Z_X^{2}}\asymp \|c\|_{\ell_{\psi}},\qquad c\in \ell_{\psi}.
\end{equation*}
\notag
$$
В свою очередь, отсюда по лемме 5.12
$$
\begin{equation*}
\|(c\,\overline\otimes\, f)^*\cdot\chi_{[0,1]}\|_X= \|c\,\overline\otimes\, f\|_{Z_X^{\infty}}\asymp \|c\|_{\ell_{\psi}},\qquad c\in \ell_{\psi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, $f^*\preceq{\mathfrak{m}_\psi}$ на $(0,1]$ согласно лемме 5.10, и, значит, в силу леммы 5.3
$$
\begin{equation*}
(c\,\overline\otimes\, f)^*\cdot\chi_{(0,1)}\preceq (c\,\overline\otimes\, {\mathfrak{m}_\psi})^*\cdot\chi_{(0,1)} \preceq \|c\|_{\ell_{\psi}}{\mathfrak{m}_\psi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая в последних двух соотношениях $c=\displaystyle\sum_{k=1}^n e_k$, $n\in\mathbb{N}$, как и ранее, получим
$$
\begin{equation*}
\|\sigma_n f^*\cdot\chi_{(0,1)}\|_X\asymp \frac{1}{\psi^{-1}(1/n)}\,,\qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\sigma_n f^*\cdot\chi_{(0,1)}\preceq \frac{1}{\psi^{-1}(1/n)}{\mathfrak{m}_\psi},\qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому если
$$
\begin{equation*}
x_n:=\psi^{-1}\biggl(\frac{1}{n}\biggr)\sigma_nf^*\cdot\chi_{(0,1)},\qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation}
x_n^*\preceq{\mathfrak{m}_\psi}\quad\text{и}\quad \|x_n\|_X\asymp 1,\quad n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{5.35}
$$
Предположим, что существует подпоследовательность $\{x_{n_k}\}\subset \{x_n\}$ такая, что $\|x_{n_k}\|_{1}\to 0$. Тогда, так как по условию ${\mathfrak{m}_\psi}\in X_0$, то $\|x_{n_k}\|_{X}\to 0$ при $k\to \infty$ в силу первого неравенства в (5.35) и леммы 5.13, что противоречит второму соотношению в (5.35). Таким образом, $\|x_n\|_1\asymp 1$, и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\|\sigma_n f^*\cdot\chi_{(0,1)}\|_1\asymp \frac{1}{\psi^{-1}(1/n)}\,,\qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation*}
n\int_0^{1/n}f^*(s)\,ds\asymp \frac{1}{\psi^{-1}(1/n)}\,,\qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, если $t\in (0,1]$, то $t\in(1/(n+1),1/{n})$ для некоторого $n\in\mathbb{N}$. Так как
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{t}\int_0^t f^*(s)\,ds\geqslant n\int_0^{1/(n+1)}f^*(s)\,ds \succeq\frac{1}{\psi^{-1}(1/(n+1))}\asymp \frac{1}{\psi^{-1}(t)}
\end{equation*}
\notag
$$
и, наоборот,
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{t}\int_0^t f^*(s)\,ds\leqslant (n+1)\int_0^{1/n} f^*(s)\,ds \preceq\frac{1}{\psi^{-1}(1/n)}\asymp \frac{1}{\psi^{-1}(t)}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
то для некоторого $C>1$ имеем
$$
\begin{equation}
C^{-1}\frac{t}{\psi^{-1}(t)}\leqslant \int_0^t f^*(s)\,ds\leqslant C\frac{t}{\psi^{-1}(t)}\,,\qquad t\in(0,1].
\end{equation}
\tag{5.36}
$$
Зафиксируем теперь такое $R$, что ${R}^{\varepsilon}>(2C^2)^{1+\varepsilon}$. Так как $\psi$ является $(1+\varepsilon)$-выпуклой функцией на $[0,1]$ и $2C^2R^{-1}<1$, то согласно лемме 3.1 (i) получаем
$$
\begin{equation*}
R\cdot \psi\biggl(\frac{2C^2}{R}u\biggr)\leqslant R\cdot\biggl(\frac{2C^2}{R}\biggr)^{1+\varepsilon}\psi(u)\leqslant \psi(u),\qquad u\in(0,1],
\end{equation*}
\notag
$$
или, переходя к обратным функциям,
$$
\begin{equation*}
\psi^{-1}\biggl(\frac{t}{R}\biggr)\geqslant \frac{2C^2}{R}{\psi}^{-1}(t),\qquad t\in(0,1].
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом того, что $2C^2\leqslant {R}$, из (5.36) и последнего неравенства следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C^{-1}\frac{t}{{\psi}^{-1}(t)} &\leqslant \int_0^t f^*(s)\,ds \leqslant t\biggl(1-\frac{1}{R}\biggr)f^*\biggl(\frac{t}{R}\biggr)+ \int_0^{t/R} f^*(s)\,ds \\ &\leqslant t f^*\biggl(\frac{t}{R}\biggr)+C\frac{t}{R\psi^{-1}(t/R)} \leqslant t f^*\biggl(\frac{t}{R}\biggr)+ (2C)^{-1}\frac{t}{\psi^{-1}(t)}\,, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит,
$$
\begin{equation*}
t f^*\biggl(\frac{t}{R}\biggr)\geqslant (2C)^{-1}\frac{t}{\psi^{-1}(t)}\,,\qquad t\in(0,1].
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, в силу того, что $\psi^{-1}$ вогнута, получаем
$$
\begin{equation*}
f^*(t)\geqslant (2C{R})^{-1}\frac{1}{\psi^{-1}(t)}\,,\qquad t\in(0,R^{-1}].
\end{equation*}
\notag
$$
Так как в противоположном направлении ввиду (5.36) то в итоге откуда вытекает требуемая квазиэквивалентность распределений функций $f$ и $\mathfrak{m}_\psi$. Теорема доказана. Следствие 5.2 [32; теорема III.2]. Пусть $1<q<2$ и $X$ – такое с. п., что $q$-устойчивая случайная величина $\xi^{(q)}$ принадлежит $X_0$. Если последовательность независимых копий некоторой функции $f\in X$, $\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt=0$, эквивалентна в $X$ каноническому $\ell_q$-базису, то для некоторого $C>0$ и всех $\tau>0$ имеет место неравенство 6. Дополняемость подпространств, порожденных независимыми функциямиНапомним, что (замкнутое линейное) подпространство $E$ банахова пространства $X$ называется дополняемым, если существует ограниченный линейный проектор $P\colon X\to X$ такой, что $P(X)=E$. Дополняемость подпространств является одной из центральных тем при изучении геометрических свойств банаховых пространств. Если ограничиться рассмотрением сепарабельных банаховых решеток измеримых функций $X$, то одной из причин этого является тот факт, что всякая симметричная последовательность, порождающая в $X$ дополняемое подпространство, эквивалентна в $X$ либо каноническому $\ell_2$-базису, либо последовательности попарно дизъюнктных функций (см., например, [57; лемма 8.10]). Вопросам дополняемости посвящены классические статьи С. Банаха и С. Мазура [23] с доказательством существования недополняемых подпространств, а также Г. Фихтенгольца и Л. В. Канторовича [46], где показано, что $C[0,1]$ недополняемо как подпространство в $L_\infty[0,1]$. Отметим также работы А. Пелчинского и Й. Линденштраусса [87], [74], [76], содержащие глубокие результаты о дополняемости в классических банаховых пространствах, работу Й. Линденштраусса и Л. Цафрири [77], в которой доказано, что всякое бесконечномерное банахово пространство, не изоморфное гильбертову, содержит недополняемое подпространство, а также обзор М. И. Кадеца и Б. С. Митягина [60], где, в частности, дано подробное доказательство результатов из [77] (см. также литературу, приведенную там). Дополняемость подпространств и ее применения рассматриваются в той или иной степени (список ни в коей мере не претендует на полноту) в книгах [57], [78], [79], [69], [41], [66], [32], [103], [85], [1], [5]. 6.1. Теорема Дора–СтабедаНемалое внимание в литературе уделялось, в частности, изучению дополняемости подпространств, порожденных независимыми функциями. Как было показано в работе [95] (и независимо в [79; теорема 2.b.4 (ii)]), замкнутая линейная оболочка $[r_k]$ функций Радемахера $r_k(t)=\operatorname{sign}\sin 2^k\pi t$, $k=1,2,\dots$, дополняема в с. п. $X$ на $[0,1]$ в том и только том случае, когда имеют место вложения $G\subset X\subset G'$, где $G:=(\exp L_2)_0$, т. е. замыкание $L_\infty$ в экспоненциальном пространстве Орлича $\exp L_2$ (см. п. 2.3), а $G'$ – пространство, двойственное к нему (оно совпадает с пространством Орлича $L\ln^{1/2}L:=L_{N_2'}$, $N_2'(u)\asymp u\ln^{1/2}(e/u)$ в бесконечности). В частности, для $L_p[0,1]$ последнее условие выполнено тогда и только тогда, когда $1< p<\infty$. Вскоре этот результат был обобщен М. Ш. Браверманом на последовательности как одинаково распределенных, так и равномерно ограниченных независимых функций (см. [32] и [29]). Еще раньше, в 1979 г., Л. Дор (L. E. Dor) и Т. Стабед (T. Starbird) доказали в работе [44] следующую элегантную теорему о дополняемости в пространстве $L_p$, $1\leqslant p<\infty$, замкнутой линейной оболочки $[f_k]$, порожденной независимыми функциями, при условии, что $[f_k]\approx \ell_p$. Теорема 6.1 (Дор–Стабед). Пусть $1 \leqslant p <\infty$ и $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ – последовательность независимых функций в пространстве $L_p=L_p[0,1]$. Если $[f_k]\approx \ell_p$, то подпространство $[f_k]$ дополняемо в $L_p$. Если $p\ne 2$, то теорема Дора–Стабеда точна в том смысле, что ни одно из ее условий не является лишним. Действительно, во-первых, в $L_p$ есть недополняемые подпространства, изоморфные $\ell_p$. Для $p > 2$ это было доказано Х. П. Розенталем в 1970 г. [96], для $1 < p < 2$ – Г. Беннетом (G. Bennett), Л. Дором, В. Гудменом (V. Goodman), У. Б. Джонсоном и Ч. М. Ньюменом (C. M. Newman) в 1977 г. [24]. Наконец, в 1981 г. Ж. Бургейн (J. Bourgain) решил давно стоявшую проблему, построив недополняемое подпространство в $L_1$, изоморфное пространству $\ell_1$ [27]. Во-вторых, для каждого $p\ne 2$ пространство $L_p$ содержит недополняемые подпространства, порожденные последовательностями симметрично и одинаково распределенных независимых функций. Если $p > 2$, то такие подпространства, $X_{w,p}$, были построены Х. П. Розенталем также в [96]. В случае $1\leqslant p < 2$ аналогичный факт вытекает из результата М. И. Кадеца, согласно которому последовательность независимых $q$-устойчивых случайных величин $\{\xi_k^{(q)}\}$ эквивалентна в $L_p$ каноническому $\ell_q$-базису, если $1\leqslant p < q < 2$ (см. [59], а также раздел 1). Действительно, если предположить, что подпространство $E:=[\xi_k^{(q)}]$ дополняемо в $L_p$, то тогда сопряженное пространство $E^*$ изоморфно вкладывается в $L_p^*=L_{p'}$, где $1/p+1/p'=1$. Кроме того, $E^*\approx l_{q'}$, $1/q+1 /q'=1$. Но поскольку $p'>2$, $q'\ne p'$ и $q'\ne 2$, это противоречит альтернативе Кадеца–Пелчинского, согласно которой всякое бесконечномерное подпространство пространства $L_r$, $r>2$, должно либо быть изоморфно $\ell_2$, либо содержать подпространство, изоморфное $\ell_r$ [61; следствие 2]. Доказательство теоремы 6.1, приведенное в работе [44], имеет непростую структуру, опираясь на целый ряд результатов, среди которых одним из основных является следующая аналитическая характеризация эквивалентности последовательности $\{f_n\}$ независимых функций в $L_p$ каноническому $\ell_p$-базису. Предложение 6.1 [44; предложение 3.5]. Пусть $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ – последовательность независимых функций из пространства $L_p=L_p[0,1]$, $1\leqslant p<\infty$, $p\ne 2$, не являющихся тождественными константами. Предположим также, что среди следующих условий выполнены все, относящиеся к выбранному значению $p$: (i) если $1\leqslant p<2$, то существуют число $\delta>0$ и подмножества $E_n$, $n=1,2,\dots$, отрезка $[0,1]$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^\infty m(E_n)<\infty \quad\textit{и}\quad \int_{E_n}|f_n(t)|^p\,dt\geqslant\delta^p, \qquad n=1,2,\dots;
\end{equation*}
\notag
$$
(ii) если $2< p<\infty$, то (iii) если $1< p<\infty$, $1/p+1/p'=1$, то
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^\infty\biggl|\int_0^1 f_n(t)\,dt\biggr|^{p'}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда последовательность $\{f_n\}$ эквивалентна в $L_p$ каноническому $\ell_p$-базису. Обратно, если $1\leqslant p<\infty$, $p\ne 2$, и $\{f_n\}$ – последовательность в $L_p$, эквивалентная в $L_p$ каноническому $\ell_p$-базису, то справедливы утверждения (i), (ii) и (iii). Более того, утверждение (i) верно при всех значениях $1\leqslant p<\infty$, $p\ne 2$, причем в качестве $E_n$ в (i) могут быть выбраны множества вида $\{t\colon |f_n(t)|\geqslant \beta_n\}$ с подходящими константами $\beta_n>0$. В этом разделе будет показано, что теорема Дора–Стабеда по существу является следствием некоторого принципа сравнения дополняемости подпространств, порожденных последовательностями независимых функций, в среднем равных нулю, в с. п. $X$ на $[0,1]$ и последовательностями их попарно дизъюнктных копий в пространстве $Z_X^2$ на полуоси $(0,\infty)$. Будучи весьма общим, этот принцип позволяет получить как результаты типа Дора–Стабеда для некоторого класса с. п., так и некоторые следствия относительно дополняемости подпространств, порожденных независимыми функциями в $L_p$-пространствах. 6.2. Принцип сравнения дополняемости подпространств, порожденных независимыми функциями и их дизъюнктными копиямиНапомним, что класс $\mathbb{K}$ с.п., обладающих свойством Круглова, определен в п. 3.2. Теорема 6.2 [2]. Пусть $X$ – с. п. на $[0,1]$, $\{f_k\}_{k=1}^\infty\subset X$ – произвольная последовательность независимых функций, а $\{\bar{f}_k\}_{k=1}^\infty$ – последовательность их попарно дизъюнктных копий, определенных на полуоси $[0,\infty)$. Если $X\in\mathbb{K}$, то из дополняемости подпространства $[f_k]$ в $X$ следует дополняемость подпространства $[\bar{f}_k]$ в пространстве $Z_X^2$. В том случае, когда дополнительно $X'\in\mathbb{K}$, справедливо также обратное: если подпространство $[\bar{f}_k]$ дополняемо в пространстве $Z_X^2$, то такое же свойство имеет подпространство $[f_k]$ в $X$. Теорема 6.2 – следствие предложений 6.2 и 6.3, для доказательства которых нам понадобятся вспомогательные утверждения. Доказательство первых двух лемм стандартно, и поэтому мы его опускаем. Лемма 6.1 (см., например, [44; факт 2.2]). Пусть $X$ – банахово пространство, а $Y$ и $E$ – его подпространства, причем $E$ конечномерно. Тогда $Y$ дополняемо в $X$ в том и только том случае, когда в нем дополняемо подпространство $Y+E$. Лемма 6.2 [9; лемма 1]. Если $X$ – сепарабельное (соответственно максимальное) с. п. на $[0,1]$, то $Z_X^2$ – сепарабельное (соответственно максимальное) с. п. на $[0,\infty)$. При этом $(Z_X^2)'=Z_{X'}^2$. Напомним, что банахова решетка $X$ допускает нижнюю $p$-оценку ($1\leqslant p < \infty$), если существует константа $C_X > 0$ такая, что для любого $n\in\mathbb{N}$ и произвольных попарно дизъюнктных элементов $x_1,\dots,x_n$ из $X$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl(\,\sum_{k=1}^n \|x_k\|_X^p\biggr)^{1/p}\leqslant C_X\biggl\|\,\sum_{k=1}^n x_k\biggr\|_X.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, нижнюю $p$-оценку допускает всякая $p$-вогнутая банахова решетка (см. п. 3.3). Очевидно также, что $L_p$ допускает нижнюю $p$-оценку, но не допускает нижнюю $q$-оценку ни при каком $q < p$. Лемма 6.3 [2]. Пусть с. п. $X$ на $[0,1]$ допускает нижнюю $p$-оценку, $p>2$. Тогда существует константа $B_X>0$ такая, что если $\{x_k\}\subset Z_X^2$, $\operatorname{supp}x_k\subset [k-1,k]$ для всех $k=1,2,\dots$, то Доказательство. Покажем сначала, что пространство $L_{p,1}:=L_{p,1}[0,1]$ непрерывно вложено во всякое с. п., допускающее нижнюю $p$-оценку, т. е.
Для каждого $t\in (0,1]$ найдется такое $n\in{\mathbb N}$, что $1/2<nt\leqslant 1$. Так как $\chi_{(0,nt)}=\displaystyle\sum_{k=1}^n\chi_{(t(k-1),tk)}$ и $X$ допускает нижнюю $p$-оценку, то для фундаментальной функции $\phi_X$ пространства $X$ выполнено соотношение
$$
\begin{equation*}
\phi_X(nt)=\|\chi_{(0,nt)}\|_X\geqslant C_X^{-1}\biggl(\,\sum_{k=1}^n\|\chi_{(t(k-1),tk)}\|^p\biggr)^{1/p}= C_X^{-1}\phi_X(t) n^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, в силу выбора $n$ и того, что $\phi_X(1)=1$, имеем
$$
\begin{equation*}
\phi_X(t)\leqslant C_X\phi_X(nt)n^{-1/p}\leqslant C_X\,2^{1/p}t^{1/p}=C't^{1/p},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда вытекает вложение $\Lambda(t^{1/p})\subset \Lambda(\phi_X)$ для пространств Лоренца. Тем самым ввиду изометрического равенства $L_{p,1}=\Lambda(t^{1/p})$ и того, что $\Lambda(\phi_X)\subset X$ (см. п. 2.2), получаем (6.1).
Далее, по аналогии с определением пространств $Z_X^{p}$ в п. 3.1 введем с. п. $Z_X^{p,1}$, состоящее из всех измеримых на $(0,\infty)$ функций $f$, для которых
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{Z_X^{p,1}}=\|f^*\chi_{[0,1]}\|_X+ \|f^*\chi_{[1,\infty)}\|_{L_{p,1}[0,\infty)}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что с некоторой константой $C>0$, зависящей только от $X$ и $p$, для произвольной последовательности $\{x_k\}\subset Z_X^{p,1}$, $\operatorname{supp}x_k\subset [k-1,k]$, $k \in \mathbb{N}$, выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl(\,\sum_{k=1}^\infty\|x_k^*\|_X^p\biggr)^{1/p}\leqslant C\biggl\|\,\sum_{k=1}^\infty x_k\biggr\|_{Z_X^{p,1}}.
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Прежде всего, по определению функционала $f\mapsto\|f\|_{Z_X^{p,1}}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\,\sum_{k=1}^\infty x_k\biggr\|_{Z_X^{p,1}}= \biggl\|\biggl(\,\sum_{k=1}^\infty u_k\biggr)^*\biggr\|_X+ \biggl\|\,\sum_{k=1}^\infty v_k\biggr\|_{L_{p,1}[0,\infty)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $x_k=u_k+v_k$, функции $u_k$ и $v_k$ дизъюнктны для каждого $k \in \mathbb{N}$ и
$$
\begin{equation*}
m\biggl(\operatorname{supp}\sum_{k=1}^\infty u_k\biggr)\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, так как пространства $X$ и $L_{p,1}(0,\infty)$ допускают нижнюю $p$-оценку (см., например, [39] или [63]) и $m(\operatorname{supp}v_k)\leqslant 1$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\|\biggl(\,\sum_{k=1}^\infty u_k\biggr)^*\biggr\|_X&\geqslant C_X^{-1}\biggl(\,\sum_{k=1}^\infty \|u_k^*\|_X^p\biggr)^{1/p}, \\ \biggl\|\,\sum_{k=1}^\infty v_k\biggr\|_{L_{p,1}[0,\infty)}&\geqslant C_{p}^{-1}\biggl(\,\sum_{k=1}^\infty \|v_k^*\|_{L_{p,1}[0,1]}^p\biggr)^{1/p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, обозначая через $A$ константу в неравенстве из (6.1), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\|\,\sum_{k=1}^\infty x_k\biggr\|_{Z_X^{p,1}} &\geqslant \min\{C_X^{-1},C_{p}^{-1}\}\biggl(\,\sum_{k=1}^\infty \bigl(\|u_k^*\|_X+\|v_k^*\|_{L_{p,1}[0,1]}\bigr)^p\biggr)^{1/p} \\ &\geqslant A^{-1}\min\{C_X^{-1},C_{p}^{-1}\}\biggl(\,\sum_{k=1}^\infty \bigl(\|u_k^*\|_X+\|v_k^*\|_{X}\bigr)^p\biggr)^{1/p} \\ &\geqslant C^{-1}\biggl(\,\sum_{k=1}^\infty\|x_k^*\|_{X}^p\biggr)^{1/p}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, таким образом, неравенство (6.2) доказано.
Наконец, так как $p>2$ и $\|\chi_{[0,1]}\|_X=1$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f^*\chi_{[1,\infty)}\|_{L_{p,1}[0,\infty)}&= \frac{1}{p}\int_0^\infty f^*(t+1)t^{1/p-1}\,dt \\ &\leqslant \frac{1}{p}\biggl(f^*(1)p+ \biggl(\int_1^\infty f^*(t)^2\,dt\biggr)^{1/2} \biggl(\int_1^\infty t^{2/p-2}\,dt\biggr)^{1/2}\biggr) \\ &\leqslant \|f^*\chi_{[0,1]}\|_X+ (p(p-2))^{-1/2}\|f^*\chi_{[1,\infty)}\|_{L_{2}[1,\infty)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда, сравнивая нормы в пространствах $Z_X^{p,1}$ и $Z_X^2$, получаем соотношение $\|f\|_{Z_X^{p,1}}\preceq\|f\|_{Z_X^2}$ для $f\in Z_X^2$ с некоторой константой, зависящей лишь от $X$ и $p$. Так как отсюда и из (6.2) вытекает нужное неравенство, лемма доказана. Доказательство следующего утверждения совершенно аналогично, и поэтому мы его не приводим. Лемма 6.4. Пусть с. п. $X$ допускает нижнюю $2$-оценку и $X\supset L_2[0,1]$. Тогда существует константа $B_X>0$ такая, что если $\{x_k\}\subset Z_X^2$ и $\operatorname{supp}x_k\subset [k-1,k]$, $k=1,2,\dots$, то Последняя лемма показывает, что свойство дополняемости подпространства с. п. на полуоси, порожденного дизъюнктными функциями с носителями из отрезков $[k-1,k]$, $k=1,2,\dots$, обладает определенной устойчивостью. Лемма 6.5. Если функции $g_k$ и $h_k$ из с. п. $Z$ на полуоси $[0,\infty)$ равноизмеримы для любого $k=1,2,\dots$ и $\operatorname{supp}g_k\cup\operatorname{supp}h_k\subset [k-1,k]$, то подпространства $[g_k]$ и $[h_k]$ дополняемы или нет в $Z$ одновременно. Доказательство. Предположим, например, что подпространство $[g_k]$ дополняемо в $Z$ и $Q$ – ограниченный проектор в $Z$, образ которого совпадает с $[g_k]$. Тогда (см. [69; теорема II.2.1] или [25; предложение 2.7.4]) для произвольного $\delta>0$ и каждого $k=1,2,\dots$ существуют взаимно однозначное (с точностью до множества нулевой меры) сохраняющее меру отображение $w_k\colon [k-1,k)\to [k-1,k)$ и измеримая функция $\varepsilon_k\colon[k-1,k)\to \{\pm 1\}$ такие, что Как нетрудно видеть, отображение $w\colon [0,\infty)\to [0,\infty)$, определенное соотношением $w(t):=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty w_k(t)\chi_{[k-1,k)}(t)$, также сохраняет меру. Следовательно, оператор изометричен в $Z$, а $P:=T_{w,\varepsilon}\cdot Q\cdot T_{w,\varepsilon}^{-1}$ – ограниченный проектор пространства $Z$ на подпространство $[T_{w,\varepsilon}g_k]=[\varepsilon g_k(w)]$. Таким образом, это подпространство также дополняемо в $Z$.
Заметим, что из (6.3) следует, что $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\|h_k-\varepsilon g_k(w)\|_Z\leqslant\delta$. Так как свойство дополняемости подпространства, порожденного последовательностью векторов банахова пространства, устойчиво относительно их малых возмущений (см., например, [1; теорема 1.3.9]), число $\delta>0$ может быть выбрано настолько малым, что последнее неравенство будет гарантировать дополняемость в $Z$ подпространства $[h_k]$. Лемма доказана. Предложение 6.2 [2]. Пусть $X$ – с. п. на $[0,1]$, $X\in\mathbb{K}$. Тогда, если подпространство $[f_k]$, порожденное последовательностью независимых функций $\{f_k\}_{k=1}^\infty\subset X$, дополняемо в $X$, то подпространство $[\bar{f}_k]$, порожденное последовательностью их попарно дизъюнктных копий $\{\bar{f}_k\}_{k=1}^\infty$, дополняемо в пространстве $Z_X^2$. Доказательство. Прежде всего, благодаря лемме 6.1 мы можем (и будем) считать, что $\displaystyle\int_0^1 f_k(t)\,dt=0$, $k=1,2,\dots$ . Кроме того, как нетрудно проверить, подпространство
$$
\begin{equation*}
\overline{N}(X):=\biggl\{y\in Z_X^2\colon\int_{k-1}^ky(s)\,ds=0\ \text{для всех}\ k=1,2,\dots\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
замкнуто в $Z_X^2$. И наконец, так как ввиду [69; п. II.3.2 и теорема II.4.3] линейный оператор является ограниченным проектором в $Z_X^2$, образ которого совпадает с $\overline{N}(X)$, это подпространство дополняемо в $Z_X^2$.
Через $\Sigma_k$ обозначим $\sigma$-алгебру подмножеств отрезка $[0,1]$, порожденную функцией $f_k$, а через $\mathsf{E}_k$ – соответствующий ей оператор условного математического ожидания, т. е. $\mathsf{E}_k x:=\mathsf{E}(x\,|\,{\Sigma_k})$ (см. п. 2.1). Тогда если $y_k(s):=y(s+k-1)$, $0\leqslant s\leqslant 1$, где функция $y\in\overline{N}(X)$ произвольна, то вместе с $\sigma$-алгебрами $\Sigma_k$ функции $\mathsf{E}_ky_k$ также независимы и
$$
\begin{equation*}
\int_0^1\mathsf{E}_ky_k(t)\,dt=\int_0^1 y_k(t)\,dt= \int_{k-1}^k y(s)\,ds=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, так как $X\in\mathbb{K}$, то по теореме 3.4 для всех $n\in{\mathbb N}$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl\|\,\sum_{k=1}^n\mathsf{E}_ky_k\biggr\|_X\leqslant \alpha_X \biggl\|\,\sum_{k=1}^n(\mathsf{E}_ky_k) (t-k+1)\,\chi_{[k-1,k)}(t)\biggr\|_{Z_X^2}.
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
С другой стороны, ввиду ограниченности операторов $\mathsf{E}_k$ в пространствах $L_p[0,1]$, $1\leqslant p\leqslant\infty$ (см., например, [45; замечание 1.14]), оператор
$$
\begin{equation}
Ty(t):=\sum_{k=1}^\infty(\mathsf{E}_ky_k)(t-k+1)\, \chi_{[k-1,k)}(t)
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
ограничен в $L_1[0,\infty)$ и в $L_\infty[0,\infty)$ с нормой 1. По лемме 6.2 пространство $Z_{X}^2$ сепарабельно или максимально вместе с $X$. Поэтому оно интерполяционно относительно пары $(L_1[0,\infty),L_\infty[0,\infty))$ с константой 1 [69; теоремы II.4.9 и II.4.10], и тем самым оператор $T$ ограничен в $Z_{X}^2$ также с нормой 1 (см. п. 2.4). Таким образом, для любого $y\in Z_X^2$
$$
\begin{equation}
\biggl\|\,\sum_{k=1}^n(\mathsf{E}_ky_k)(\,\cdot\,-k+1)\, \chi_{[k-1,k)}\biggr\|_{Z_X^2}\leqslant \|y\|_{Z_X^2},\qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
Проверим, что оператор
$$
\begin{equation}
Vy(t):=\sum_{k=1}^\infty\mathsf{E}_ky_k(t),\qquad 0\leqslant t\leqslant 1,
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
ограниченно действует из $\overline{N}(X)$ в $X$.
Если $X$, а вместе с ним и $Z_X^2$ (см. лемму 6.2) сепарабельны, то в силу неравенства (6.7) ряд в правой части (6.6) сходится в $Z_X^2$ для произвольной функции $y\in Z_X^2$. Тем самым ввиду (6.5) ряд из правой части (6.8) сходится в $X$ и
$$
\begin{equation}
\|Vy\|_X\leqslant \kappa^{}_X\|Ty\|_{Z_X^2}\leqslant \kappa^{}_X\|y\|_{Z_X^2}.
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
Предположим теперь, что пространство $X$ максимально. Тогда в силу неравенств (6.5) и (6.7)
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\,\sum_{k=1}^n\mathsf{E}_ky_k\biggr\|_X\leqslant \kappa^{}_X\|y\|_{Z_X^2},\qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда ввиду [102; следствие V.2.3] следует, что ряд в правой части (6.8) сходится почти всюду на $[0,1]$. Так как $X$ максимально, то $Vy\in X$ и снова выполнено (6.9).
Далее, по условию существует ограниченный проектор $R\colon X\to [f_k]$. Рассмотрим оператор $S:=LRVU\colon Z_X^2\to [\bar{f}_k]$, где оператор $L\colon [f_k]\to [\bar{f}_k]$ определяется соотношением
$$
\begin{equation*}
L\biggl(\,\sum_{k=1}^\infty a_k{f}_k\biggr):= \sum_{k=1}^\infty a_k\bar{f}_k\qquad (a_k\in{\mathbb R}).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $f_k$ независимы и $\displaystyle\int_0^1 f_k(t)\,dt=0$, $k=1,2,\dots$, то ввиду неравенства (3.5) оператор $L$ ограниченно действует из оболочки $[f_k]$ в оболочку $[\bar{f}_k]$. Поэтому оператор $S$ также ограничен и его образ совпадает с подпространством $[\bar{f}_k]$. Кроме того, так как $\mathsf{E}_k f_i=0$, если $k\ne i$, и $\mathsf{E}_i f_i=f_i$, то для каждого $i\in \mathbb N$ получаем В итоге $S$ – ограниченный проектор, действующий из $Z_X^2$ на подпространство $[\bar{f}_k]$, и предложение доказано. При дополнительном условии $X'\in\mathbb{K}$ справедливо и обратное утверждение. Предложение 6.3 [2]. Пусть $X$ – с. п. на $[0,1]$ такое, что $X\in\mathbb{K}$ и $X'\in\mathbb{K}$. Если последовательность независимых функций $\{f_k\}_{k=1}^\infty\subset X$ такова, что подпространство $[\bar{f}_k]$ дополняемо в $Z_X^2$, то подпространство $[f_k]$ дополняемо в $X$. Доказательство. Как и в доказательстве предыдущего предложения, можно считать, что $\displaystyle\int_0^1 f_k(t)\,dt=0$, $k=1,2,\dots$ . Далее, подпространство
$$
\begin{equation*}
N(X):=\biggl\{x\in X\colon\int_0^1 x(s)\,ds=0\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
дополняемо в $X$. Действительно, если $Qx(t):=x(t)-\displaystyle\int_0^1 x(s)\,ds$, то ввиду неравенства $\|x\|_{1}\leqslant \|x\|_X$, $x\in X$ (см. [69; теорема II.4.1] или п. 2.2), имеем $\|Qx\|_X\leqslant 2\|x\|_X$. Кроме того, $Qx=x$ для всех $x\in N(X)$.
Пусть по-прежнему $\mathsf{E}_k$ – оператор условного математического ожидания относительно $\sigma$-алгебры подмножеств отрезка $[0,1]$, порожденной функцией $f_k$. Определим на $N(X)$ оператор
$$
\begin{equation*}
Wx(t):=\sum_{k=1}^\infty(\mathsf{E}_k x)(t-k+1)\chi_{[k-1,k)}(t),\qquad t>0,
\end{equation*}
\notag
$$
и покажем, что он ограниченно действует из $N(X)$ в $Z_X^2$. Так как по лемме 6.2 пространство $Z_X^2$ сепарабельно или максимально вместе с $X$, то оно изометрически вложено в свое второе двойственное $(Z_X^2)''$ (см. п. 2.2). Кроме того, согласно той же лемме $(Z_{X}^2)'=Z_{X'}^2$, и поэтому
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|Wx\|_{Z_X^2}&=\sup\biggl\{\int_0^\infty\sum_{k=1}^\infty(\mathsf{E}_kx) (s-k+1)\chi_{[k-1,k)}(s)y(s)\,ds\colon\|y\|_{Z_{X'}^2}\leqslant 1\biggr\} \nonumber \\ &=\sup\biggl\{\,\sum_{k=1}^\infty\int_0^1(\mathsf{E}_kx)(s) y_k(s)\,ds\colon\|y\|_{Z_{X'}^2}\leqslant 1\biggr\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
где $y_k(s):=y(s+k-1)$, $0\leqslant s\leqslant 1$. Поскольку ввиду свойств условного математического ожидания (см., например, [45; гл. 1]) и того, что $x\in N(X)$, справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^1(\mathsf{E}_kx)(s)y_k(s)\,ds &= \int_0^1\mathsf{E}_k(\mathsf{E}_kx\cdot y_k)(s)\,ds= \int_0^1(\mathsf{E}_kx)(s)\cdot(\mathsf{E}_ky_k)(s)\,ds \\ &=\int_0^1\mathsf{E}_k(x\cdot\mathsf{E}_ky_k)(s)\,ds= \int_0^1 x(s)\cdot\mathsf{E}_ky_k(s)\,ds \\ &=\int_0^1x(s)\cdot\biggl((\mathsf{E}_ky_k)(s)- \int_0^1 y_k(t)\,dt\biggr)\,ds,\qquad k \in \mathbb{N}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
то в силу (6.10)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|Wx\|_{Z_X^2}&=\sup\biggl\{\,\sum_{k=1}^\infty\int_0^1x(s) \biggl((\mathsf{E}_ky_k)(s)-\int_0^1 y_k(t)\,dt\biggr)\,ds\colon \|y\|_{Z_{X'}^2}\leqslant 1\biggr\} \nonumber \\ &\leqslant \|x\|_X\sup\biggl\{\biggl\|\,\sum_{k=1}^\infty \biggl((\mathsf{E}_ky_k)(s)-\int_0^1 y_k(t)\,dt\biggr)\biggr\|_{X'}\colon \|y\|_{Z_{X'}^2}\leqslant 1\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
Функции $g_k(s):=(\mathsf{E}_ky_k)(s)-\displaystyle\int_0^1 y_k(t)\,dt$ независимы и $\displaystyle\int_0^1g_k(s)\,ds=0$, $k=1,2,\dots$ . Следовательно, так как $X'\in\mathbb{K}$, то по теореме 3.4 для каждого $n\in \mathbb{N}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl\|\,\sum_{k=1}^n g_k\biggr\|_{X'} &\leqslant \kappa^{}_{X'}\biggl\|\,\sum_{k=1}^n\biggl((\mathsf{E}_ky_k)(s-k+1)- \int_0^1y_k(t)\,dt\biggr)\chi_{[k-1,k)}(s)\bigg\|_{Z_{X'}^2} \nonumber \\ &\leqslant \kappa^{}_{X'}\|Ty\|_{Z_{X'}^2}+\kappa^{}_{X'}\biggl\|\,\sum_{k=1}^n \int_{k-1}^k y(t)\,dt\cdot\chi_{[k-1,k)}\biggr\|_{Z_{X'}^2}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
где оператор $T$ определен равенством (6.6).
Как и в доказательстве предложения 6.2, имеем
$$
\begin{equation*}
\|Ty\|_{Z_{X'}^2}\leqslant \|y\|_{Z_{X'}^2},\qquad y\in {Z_{X'}^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, в силу [69; п. II.3.2 и теорема II.4.3]
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\,\sum_{k=1}^\infty\int_{k-1}^k y(t)\,dt\cdot \chi_{[k-1,k)}\biggr\|_{Z_{X'}^2}\leqslant\|y\|_{Z_{X'}^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, так как пространство $X'$ максимально, из (6.12) следует, что
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\,\sum_{k=1}^\infty\biggl((\mathsf{E}_ky_k)(s)- \int_0^1 y_k(t)\,dt\biggr)\biggr\|_{X'}\leqslant 2\kappa^{}_{X'}\|y\|_{Z_{X'}^2},\qquad y\in Z_{X'}^2,
\end{equation*}
\notag
$$
и тем самым в силу (6.11) оператор $W$ ограниченно действует из $N(X)$ в $Z_X^2$.
По условию существует ограниченный проектор $N\colon Z_X^2\to [\bar{f}_k]$. Рассмотрим оператор $S:=MNWQ\colon X\to [f_k]$, где оператор $M\colon[\bar{f}_k]\to [f_k]$ определен равенством
$$
\begin{equation*}
M\biggl(\,\sum_{k=1}^\infty a_k\bar{f}_k\biggr)= \sum_{k=1}^\infty a_k{f}_k\qquad (a_k\in{\mathbb R}).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $f_k$ независимы, $\displaystyle\int_0^1 f_k(t)\,dt=0$, $k=1,2,\dots$, а $X\in\mathbb{K}$, то, применяя в очередной раз теорему 3.4, заключаем, что $M$ ограниченно действует из оболочки $[\bar{f}_k]$ в оболочку $[f_k]$. В итоге оператор $S$ ограничен и его образ совпадает с подпространством $[f_k]$. Кроме того, учитывая, что $\mathsf{E}_k f_i=0$, если $k\ne i$, и $\mathsf{E}_i f_i=f_i$, для каждого $i\in{\mathbb N}$ получаем Таким образом, $S$ – ограниченный проектор, действующий из $X$ на $[f_k]$, и предложение доказано. Замечание 6.1. Ни одно из условий $X\in\mathbb{K}$ и $X'\in\mathbb{K}$ в предложении 6.3 отбросить, вообще говоря, нельзя. Действительно, система Радемахера $\{r_k\}$ порождает в с. п. $X$ дополняемое подпространство тогда и только тогда, когда $G\subset X\subset G'$, где по-прежнему $G$ – замыкание $L_\infty$ в экспоненциальном пространстве Орлича $\exp L_2$ (см. [95] или [79; теорема 2.b.4 (ii)]). В то же время последовательность дизъюнктных копий функций $r_k$, $k=1,2,\dots$ (точно так же, как и последовательность $\{\chi_{[k-1,k]}\}_{k=1}^\infty$; см. лемму 6.5), порождает в $Z_X^2$ дополняемое подпространство для любого с. п. $X$. Следствие 6.1. Пусть $X$ – с. п. на $[0,1]$ такое, что $X\in\mathbb{K}$ и $X'\in\mathbb{K}$. Тогда если $\{f_k\}$ и $\{g_k\}$ – две последовательности независимых функций из $X$ такие, что $f_k$ и $g_k$ равноизмеримы для каждого $k \in \mathbb{N}$, то подпространства $[f_k]$ и $[g_k]$ дополняемы или нет в $X$ одновременно. Доказательство. Если $\{\bar{f}_k\}$ и $\{\bar{g}_k\}$ – последовательности дизъюнктных копий для последовательностей $\{f_k\}$ и $\{g_k\}$ соответственно, то функция $\bar{f}_k$ равноизмерима с $\bar{g}_k$ для каждого $k \in \mathbb{N}$. Поэтому по лемме 6.5 подпространства $[\bar{f}_k]$ и $[\bar{g}_k]$ дополняемы или нет в пространстве $Z_X^2$ одновременно. Применяя теорему 6.2, получаем нужное утверждение. Следствие доказано. Следствие 6.2. Пусть $X$ – с. п. на $[0,1]$ такое, что $X\in\mathbb{K}$ и $X'\in\mathbb{K}$, и пусть $\{f_k\}\subset X$ – такая последовательность независимых функций, что $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty m(\operatorname{supp}f_k)\leqslant 1$. Если $\operatorname{supp}\bar{f}_k\subset [0,1]$ для всех $k \in \mathbb{N}$, то подпространства $[f_k]$ и $[\bar{f}_k]$ дополняемы или нет в пространстве $X$ одновременно. Доказательство. Прежде всего, по определению пространства $Z_X^2$ в условиях следствия, действительно, можно считать, что $\operatorname{supp}\bar{f}_k\subset [0,1]$, $k \in \mathbb{N}$. Кроме того, $X$ можно рассматривать как дополняемое подпространство $Z_X^2$. Поэтому дополняемость подпространства $[\bar{f}_k]$ в $Z_X^2$ эквивалентна его дополняемости в $X$. Осталось применить теорему 6.2. Следствие доказано. 6.3. Теорема типа Дора–Стабеда для одного класса симметричных пространствНазовем последовательность $\{f_k\}$ из с. п. $X$ на $[0,1]$ почти дизъюнктной, если существуют число $\delta>0$ и последовательность множеств $A_k \subset [0,1]$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1 }^\infty m(A_k)<\infty\quad\text{и}\quad \|f_k\chi_{A_k}\|_X \geqslant\delta,\quad k=1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
В классе с. п., допускающих нижнюю $p$-оценку, справедлив следующий вариант теоремы Дора–Стабеда. Теорема 6.3 [2]. Пусть $1\leqslant p<\infty$. Предположим, что с. п. $X$ допускает нижнюю $p$-оценку, $X'\in\mathbb{K}$, а $\{f_k\}\subset X$ – последовательность независимых функций, эквивалентная в $X$ каноническому базису ${\ell_p}$. Пусть выполнено хотя бы одно из следующих условий: (a) $p>2$; (b) $p=2$ и $X\supset L_2$; (c) последовательность $\{f_k\}$ почти дизъюнктна. Тогда подпространство $[f_k]$ дополняемо в $X$. Доказательство. Так как $X$ допускает нижнюю $p$-оценку, то $X=L_1[0,1]$, если $p=1$, и $X\supset L_{p,1}[0,1]$, если $1< p<\infty$ (см. начало доказательства леммы 6.3). Поэтому $X\in\mathbb{K}$ (см. п. 3.2), и, таким образом, $X$ удовлетворяет всем условиям теоремы 6.2.
Не ограничивая общности, будем далее считать, что $\|f_k\|_X=1$, $k=1,2,\dots$ . Предполагая сначала, что $\displaystyle\int_0^1f_k(s)\,ds=0$, $k=1,2,\dots$, рассмотрим, в зависимости от того, какие из условий (a)–(c) выполнены, три случая. (a) $p>2$. Пусть $\bar{f}_k$ – дизъюнктные копии функций $f_k$, $\operatorname{supp}\bar{f}_k\subset [k-1,k]$, $k=1,2,\dots$ . Так как $\|\bar{f}_k\|_{Z_{X}^2}=\|f_k\|_X=1$, то найдутся функции $g_k\in Z_{X'}^2=(Z_{X}^2)'$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\|g_k\|_{Z_{X'}^2}=1,\quad \operatorname{supp}g_k\subset [k-1,k],\quad \int_0^\infty \bar{f}_k(s)g_k(s)\,ds=1,\qquad k=1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим на пространстве $Z_X^2$ оператор
$$
\begin{equation*}
Px(t):=\sum_{k=1}^\infty\int_0^\infty x(s)g_k(s)\,ds\cdot\bar{f}_k(t),\qquad t>0.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу неравенства (3.5) из теоремы 3.2, эквивалентности $\{f_k\}$ в $X$ каноническому ${\ell_p}$-базису, а также леммы 6.3 получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|Px\|_{Z_X^2} &\preceq \biggl\|\,\sum_{k=1}^\infty \int_0^\infty x(s) g_k(s)\,ds\cdot f_k\biggr\|_X\asymp \biggl(\,\sum_{k=1}^\infty \biggl|\int_0^\infty x(s)g_k(s)\,ds\biggr|^p\biggr)^{1/p} \\ &\leqslant \biggl(\,\sum_{k=1}^\infty \|g_k\|_{Z_{X'}^2}^p \|x\chi_{[k-1,k]}\|_{Z_{X}^2}^p\biggr)^{1/p}= \biggl(\,\sum_{k=1}^\infty\|(x\chi_{[k-1,k]})^*\|_{X}^p\biggr)^{1/p} \\ &\leqslant B_X\|x\|_{Z_{X}^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, так как $P\bar{f}_k=\bar{f}_k$, $k=1,2,\dots$, то проектор $P$ ограниченно действует из $Z_X^2$ на подпространство $[\bar{f}_k]$, и поэтому нужное нам утверждение – непосредственное следствие теоремы 6.2.
(b) $p>2$. Доказательство проводится точно так же, как в случае (a), только вместо леммы 6.3 нужно использовать лемму 6.4. (c) Как и в случае (a), сначала докажем, что подпространство $[\bar{f}_k]$ дополняемо в $Z_X^2$, и затем применим теорему 6.2. По условию существуют число $\delta>0$ и последовательность множеств $A_k \subset [0,1]$ такие, что $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty m(A_k)<\infty$ и $\|f_k\chi_{A_k}\|_X \geqslant\delta$, $k=1,2,\dots$ . По определению пространства $X'$ найдутся функции $h_k\in X'$, $\|h_k\|_{X'}\leqslant\delta^{-1}$, $\operatorname{supp}h_k\subset A_k$, такие, что
$$
\begin{equation*}
\int_0^1f_k(s)h_k(s)\,ds=\int_{A_k}f_k(s)h_k(s)\,ds=1,\qquad k=1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Если теперь $\bar{f}_k(t)=f_k(t-k+1)\cdot\chi_{[k-1,k]}(t)$, $\bar{h}_k(t)=h_k(t-k+1)\cdot\chi_{[k-1,k]}(t)$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \int_0^\infty \bar{h}_k(t)\bar{f}_k(t)\,dt&=1,&\qquad k&=1,2,\dots, \\ \int_0^\infty \bar{h}_k(t)\bar{f}_i(t)\,dt&=0,&\qquad k&\ne i \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
(т. е. последовательности $\{\bar{f}_k\}$ и $\{\bar{h}_k\}$ биортогональны), а также
$$
\begin{equation}
\|\bar{h}_k\|_{Z_{X'}^2}=\|h_k\|_{X'}\leqslant\delta^{-1},\qquad k=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{6.13}
$$
Предположим, что $s_0:=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty m(A_k)>1$ (если $s_0\leqslant 1$, то рассуждения только упрощаются). Так как $m(\operatorname{supp}\sigma_{s_0^{-1}}\bar{h}_k)\leqslant s_0^{-1} m(A_k)$, $k=1,2,\dots$, то
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^\infty m(\operatorname{supp}\sigma_{s_0^{-1}}\bar{h}_k)\leqslant s_0^{-1}\sum_{k=1}^\infty m(A_k)\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому в силу того, что $\|\sigma_\tau\|_{Y\to Y}\leqslant\max\{1,\tau\}$ ($\tau>0$) для любого с. п. $Y$ [69; следствие II.4.1], по определению нормы пространства $Z_{X'}^2$ имеем
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\,\sum_{k=1}^\infty a_k\bar{h}_k\biggr\|_{Z_{X'}^2}= \biggl\|\sigma_{s_0}\biggl(\,\sum_{k=1}^\infty a_k\sigma_{s_0^{-1}} \bar{h}_k\biggr)\biggr\|_{Z_{X'}^2}\leqslant s_0 \biggl\|\biggl(\,\sum_{k=1}^\infty a_k\sigma_{s_0^{-1}} \bar{h}_k\biggr)^*\biggr\|_{X'}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что пространство $X'$ допускает верхнюю $p'$-оценку, где $1/p+1/p'=1$, т. е. для некоторой константы $C_{X'}> 0$ и для произвольных $n\in\mathbb{N}$ и попарно дизъюнктных элементов $y_1,\dots,y_n$ из $X'$
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\,\sum_{k=1}^n y_k\biggr\|_{X'}\leqslant C_{X'}\biggl(\,\sum_{k=1}^n\|y_k\|_{X'}^{p'}\biggr)^{1/p'}
\end{equation*}
\notag
$$
[78; предложение 1.f.5]. Следовательно, в силу попарной дизъюнктности функций $\sigma_{s_0^{-1}}\bar{h}_k$, $k=1,2,\dots$, и неравенства
$$
\begin{equation*}
\|(\sigma_{s_0^{-1}}\bar{h}_k)^*\|_{X'}\leqslant \|\bar{h}_k^*\|_{X'}=\|{h}_k\|_{X'}\leqslant\delta^{-1}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. (6.13)) из предыдущего соотношения вытекает, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl\|\,\sum_{k=1}^\infty a_k\bar{h}_k\biggr\|_{Z_{X'}^2} &\leqslant C_{X'}s_0\biggl(\,\sum_{k=1}^\infty |a_k|^{p'}\|(\sigma_{s_0^{-1}} \bar{h}_k)^*\|_{X'}^{p'}\biggr)^{1/{p'}} \nonumber \\ &\leqslant C_{X'}s_0\delta^{-1} \biggl(\,\sum_{k=1}^\infty |a_k|^{p'}\biggr)^{1/p'} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.14}
$$
(если $p=1$, то $\biggl(\,\displaystyle\sum_{k=1}^\infty |a_k|^{p'}\biggr)^{1/p'}$ нужно заменить на $\sup_{k=1,2,\dots}|a_k|$).
С другой стороны, так как $X\in\mathbb{K}$ и $\displaystyle\int_0^1f_k(s)\,ds=0$, $k=1,2,\dots$, то, применяя теоремы 3.2 и 3.4, получим
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\,\sum_{k=1}^\infty a_kf_k\biggr\|_X\asymp \biggl\|\,\sum_{k=1}^\infty a_k\bar{f}_k\biggr\|_{Z_X^2},
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит, по условию последовательность $\{\bar{f}_k\}$ эквивалентна в $Z_X^2$ каноническому $\ell_p$-базису. Таким образом, в силу неравенства (6.14) и известного критерия дополняемости подпространства, порожденного последовательностью, эквивалентной каноническому $\ell_p$-базису (см., например, [44; факт 2.1]), подпространство $[\bar{f}_k]$ дополняемо в $Z_X^2$. Но тогда по теореме 6.2 подпространство $[{f}_k]$ дополняемо в $X$.
В общем случае рассмотрим функции $u_k:=f_k-\displaystyle\int_0^1 f_k(s)\,ds$, $k=1,2,\dots$ . Они независимы, и $\displaystyle\int_0^1 u_k(s)\,ds=0$, $k=1,2,\dots$ . Докажем, что последовательность $\{u_k\}$ удовлетворяет тем же условиям теоремы, что и $\{f_k\}$. Чтобы показать, что $\{u_k\}$ эквивалентна каноническому $\ell_p$-базису, воспользуемся известной теоремой И. Ц. Гохберга и А. С. Маркуса [51], согласно которой для этого достаточно проверить выполнение условия $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\|f_k- u_k\|_X^{p'}< \infty$, где по-прежнему $1/p+1/p'=1$. Действительно, если константа эквивалентности $\{f_k\}$ в $X$ каноническому базису $\ell_p$ равна $C$, то, так как $X\overset{1}{\subset} L_1[0,1]$ (см. п. 2.2), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{k=1}^\infty\|f_k-u_k\|_X^{p'}&= \sum_{k=1}^\infty\biggl|\int_0^1 f_k(s)\,ds\biggr|^{p'} \\ &\leqslant \sup\biggl\{\biggl(\int_0^1 \biggl|\,\sum_{k=1}^\infty a_kf_k(s)\biggr|\,ds\bigg)^{p'}\colon \sum_{k=1}^\infty |a_k|^p\leqslant 1\biggr\} \\ &\leqslant\sup\biggl\{\biggl\|\,\sum_{k=1}^\infty a_kf_k\biggr\|_X^{p'}\colon \sum_{k=1}^\infty |a_k|^p\leqslant 1\biggr\}\leqslant C^{p'}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из последней оценки следует также, что $\displaystyle\int_0^1 f_k(s)\,ds\to 0$ при $k\to\infty$. Тем самым условие почти дизъюнктности для последовательности $\{u_k\}$ выполнено (начиная с некоторого номера) с теми же множествами $A_k$, что и для $\{f_k\}$, возможно с несколько меньшим $\delta>0$.
В итоге, так как по лемме 6.1 из дополняемости подпространства $[u_k]$ вытекает дополняемость подпространства $[f_k]$, доказательство теоремы сводится к ранее рассмотренному случаю. Теорема 6.3 доказана. Замечание 6.2. “Почти дизъюнктность” последовательности $\{f_k\}\subset X$ (если $1\leqslant p<2$) в части (c) теоремы 6.3 существенна. Действительно, последовательность независимых $p$-устойчивых случайных величин эквивалентна в пространстве $L_r$ каноническому базису $\ell_p$, если $1\leqslant r<p<2$, и порождает при этом в $L_r$ недополняемое подпространство (см., например, [1; теоремы 6.4.18 и 6.4.21]). Возвращаясь к $L_p$-пространствам, заметим, что формально более сильное условие эквивалентности последовательности $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ каноническому $\ell_p$-базису в теореме 6.3 в этом случае равносильно условию изоморфности пространств $[f_k]$ и $\ell_p$ в теореме 6.1. Действительно, пусть функции $f_k$ независимы, $\|f_k\|_p=1$, $k=1,2,\dots$, и $[f_k]\approx {\ell_p}$. Как и ранее, можно предположить, что $\displaystyle\int_0^1 f_k(t)\,dt=0$, $k=1,2,\dots$ . Независимые функции, в среднем равные нулю, образуют в любом с. п. безусловную базисную последовательность [32; предложение I.14]. Поэтому если $p=1$ или $p=2$, то нужное нам утверждение сразу вытекает из единственности (с точностью до эквивалентности) нормированного безусловного базиса в $\ell_1$ [75] и в произвольном сепарабельном гильбертовом пространстве [101; предложение 1.1] соответственно. В случае $2<p<\infty$ из теоремы 4 и леммы 7 работы [96] следует, что либо $\{f_k\}$ эквивалентна в $L_p$ каноническому базису $\ell_p$, либо $[f_k]$ содержит подпространство, изоморфное $\ell_2$, что в данном случае невозможно. И наконец, если $1<p<2$, то эквивалентность последовательности $\{f_k\}$ в $L_p$ каноническому базису $\ell_p$ является следствием аргументов, приведенных в начале доказательства теоремы A из работы [44] (см. с. 168–169). Таким образом, в случае $X=L_p$, $p\geqslant 2$, теорема Дора–Стабеда является следствием теоремы 6.3. Если $1\leqslant p < 2$, то дополнительно нужна почти дизъюнктность последовательности $\{f_k\}$ в $L_p$, которая вытекает из следующей известной теоремы Дора. Теорема 6.4 [43; теорема B]. Пусть $1\leqslant p < \infty$, $p\ne 2$, и $\{f_k\}_{k=1}^\infty\subset L_{p}$. Предположим, что либо (i) $1\leqslant p < 2$, $\|f_i\|_{p}\leqslant 1$, $i=1,2,\dots$, и для всех $a_i\in\mathbb{R}$
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\,\sum_{i=1}^n a_if_i\biggr\|_{p}\geqslant c\|(a_i)_{i=1}^n\|_{\ell_p},
\end{equation*}
\notag
$$
либо (ii) $2<p < \infty$, $\|f_i\|_{p}\geqslant 1$, $i=1,2,\dots$, и для всех $a_i\in\mathbb{R}$
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\,\sum_{i=1}^n a_if_i\biggr\|_{p}\leqslant C\|(a_i)_{i=1}^n\|_{\ell_p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда последовательность $\{f_i\}$ почти дизъюнктна в $L_p$. Рассмотрим теперь более общий случай пространств $L_{p,q}\!=L_{p,q}[0,1]$, $1<p<\infty,1\leqslant q<\infty$ (см. п. 2.2). Известно (см., например, [48; теорема 5.1] и [37; лемма 3.1]), что из всякой последовательности дизъюнктных функций в $L_{p,q}$ можно выделить эквивалентную каноническому $\ell_q$-базису подпоследовательность, порождающую дополняемое подпространство в $L_{p,q}$. Так как $L_{p,q}\in\mathbb{K}$ и $(L_{p,q})'=L_{p',q'}\in\mathbb{K}$, где $1/p+1/p'=1$ и $1/q+1/q'=1$ (см. п. 3.2), то поэтому в силу следствия 6.2 всякая последовательность независимых функций $\{f_k\}$ из $L_{p,q}$ такая, что $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty m(\operatorname{supp}f_k)\leqslant 1$, содержит подпоследовательность $\{f_{k_i}\}$, оболочка $[f_{k_i}]$ которой дополняема в $L_{p,q}$. Если носители функций $f_k$, $k=1,2,\dots$, произвольны, то, учитывая, что пространство $L_{p,q}$ допускает нижнюю $\max\{p,q\}$-оценку (см. [39] или [42; теорема 3]), $L_{p_2,q_2}\subset L_{p_1,q_1}$, если $p_1<p_2$, и $L_{p,p}=L_p$, $1<p<\infty$, в силу теоремы 6.3 получаем следующее утверждение. Теорема 6.5. Пусть $1<p\leqslant q<\infty$. Предположим, что $\{f_k\}\subset L_{p,q}$ – последовательность независимых функций, эквивалентная в $L_{p,q}$ каноническому $\ell_q$-базису. Тогда подпространство $[f_k]$ дополняемо в $L_{p,q}$, если либо $q\geqslant 2$, либо последовательность $\{f_k\}$ почти дизъюнктна. Приведем одно следствие последней теоремы. С одной стороны, если $p\in [2,\infty)$, то согласно классическому результату Кадеца и Пелчинского [61; следствие 1] всякое подпространство пространства $L_p$, изоморфное $\ell_2$, дополняемо в $L_p$. С другой стороны, известно [24; теорема 3.3], что для каждого $p\in (1,2)$ в $L_p$ есть недополняемые подпространства, изоморфные $\ell_2$. Из теоремы 6.5 вытекает следующее утверждение, показывающее, что результат Кадеца и Пелчинского распространяется на случай $p\in (1,2)$, если ограничиться рассмотрением подпространств, порожденных независимыми функциями. Следствие 6.3 [2]. Если $1<p<2$ и $\{f_k\}\subset L_{p}$ – последовательность независимых функций, эквивалентная в $L_{p}$ каноническому базису $\ell_2$, то подпространство $[f_k]$ дополняемо в $L_{p}$. 6.4. Подпространства, порожденные одинаково распределенными независимыми функциямиС помощью теоремы 6.2, а также результатов работы [53] Е. М. Семенова и Ф. Л. Эрнандеса (F. L. Hernández) можно сравнительно просто охарактеризовать дополняемость подпространств, порожденных одинаково распределенными независимыми функциями в с. п. со свойством Круглова. Теорема 6.6 [2]. Пусть $X$ – сепарабельное с. п. на $[0,1]$, $X\in\mathbb{K}$ и $X'\in\mathbb{K}$. Предположим, что функции $f_k\in X$, $k=1,2,\dots$, независимы и одинаково распределены. Для того чтобы последовательность $\{f_k\}$ порождала в $X$ дополняемое подпространство, необходимо и достаточно, чтобы она была эквивалентна в $X$ каноническому $\ell_2$-базису. Доказательство. Рассмотрим последовательность $\{g_k\}$ целочисленных сдвигов функции $f_1$, т. е.
$$
\begin{equation*}
g_k(t):=f_1(t-k+1)\cdot\chi_{[k-1,k)}(t),\qquad t>0,\quad k=1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 6.2 пространство $Z_X^2$ сепарабельно вместе с $X$. Поэтому несложный анализ доказательств теорем 2.1 и 2.2 работы [53] показывает, что подпространство $[g_k]$ дополняемо в $Z_X^2$ тогда и только тогда, когда последовательность $\{g_k\}$ эквивалентна в $Z_X^2$ последовательности $\{\chi_{[k-1,k)}\}_{k=1}^\infty$, которая, в свою очередь, эквивалентна в $Z_X^2$ каноническому $\ell_2$-базису.
С другой стороны, так как функции $f_k$, $k=1,2,\dots$, одинаково распределены, то в $Z_X^2$ эквивалентны последовательности $\{g_k\}$ и $\{\bar{f}_k\}$, где $\bar{f}_k(t)=f_k(t-k+1)\cdot\chi_{[k-1,k)}(t)$. При этом согласно лемме 6.5 подпространства $[g_k]$ и $[\bar{f}_k]$ дополняемы или нет в этом пространстве одновременно. Поскольку последовательность $\{f_k\}$ в $X$ эквивалентна, в свою очередь, последовательности $\{\bar{f}_k\}$ в $Z_X^2$ в силу теорем 3.2 и 3.4 (как обычно, можно считать, что $\displaystyle\int_0^1 f_k(t)\,dt=0$, $k=1,2,\dots$), то нужное нам утверждение следует теперь из приведенных фактов и теоремы 6.2. Теорема 6.6 доказана. Замечание 6.3. Пример последовательности функций Радемахера показывает, что условие $X'\in\mathbb{K}$ в теореме 6.6 отбросить нельзя (см. теорему 1.1). Следующий результат является еще одной характеризацией гильбертова пространства $L_2$ на основе дополняемости его подпространств. Теорема 6.7 [2]. Пусть $X$ – сепарабельное с. п. на $[0,1]$, $X\in\mathbb{K}$ и $X'\in\mathbb{K}$. Следующие условия равносильны: (i) для любых последовательностей одинаково распределенных независимых функций $\{f_k\}\subset X$ и $\{f_k'\}\subset X'$ подпространства $[f_k]$ и $[f_k']$ дополняемы в $X$ и $X'$ соответственно; (ii) $X=L_2[0,1]$. Доказательство. Достаточно показать, что из (i) следует (ii). Заметим, что по теореме 6.2 условие (a) эквивалентно тому, что для произвольных последовательностей $\{g_k\}\subset Z_X^2$ и $\{g_k'\}\subset Z_{X'}^2$ одинаково распределенных функций таких, что $\operatorname{supp}g_k\cup\operatorname{supp}g_k'\subset [k-1,k)$, $k=1,2,\dots$, подпространства $[g_k]$ и $[g_k']$ дополняемы в пространствах $Z_X^2$ и $(Z_X^2)'=Z_{X'}^2$ соответственно. Но тогда в силу теоремы 5.4 из [53] получаем, что $Z_X^2=L_p[0,\infty)$ при некотором $1<p<\infty$. Отсюда и из определения пространства $Z_X^2$ следует, что $X=L_2[0,1]$. Теорема доказана. 6.5. Подпространства, порожденные равномерно ограниченными независимыми функциямиВ связи со следующим результатом см. также теорему 1.2. Теорема 6.8 [2]. Пусть $X$ – с. п. на $[0,1]$, $X\in\mathbb{K}$ и $X'\in\mathbb{K}$. Если $\{f_k\}\subset X$ – такая последовательность независимых функций, что $\displaystyle\int_0^1 f_k(t)\,dt=0$, $k=1,2,\dots$, и то подпространство $[f_k]$ дополняемо в $X$. Доказательство. Ввиду теоремы 6.2 достаточно показать, что подпространство $[\bar{f}_k]$ дополняемо в $Z_X^2$. Согласно лемме 6.5 можно считать, что $\bar{f}_k\geqslant 0$. Определим на пространстве $Z_X^2$ оператор
$$
\begin{equation*}
Px(t):=\sum_{k=1}^\infty\biggl(\int_{k-1}^k \bar{f}_k(s)\,ds\biggr)^{-1} \int_{k-1}^k {x}(s)\,ds\cdot \bar{f}_k(t),\qquad t>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $P\bar{f}_k=\bar{f}_k$, $k=1,2,\dots$ . Кроме того, так как ввиду (6.15)
$$
\begin{equation*}
\int_{k-1}^k \bar{f}_k(s)\,ds\geqslant \frac{1}{M}\int_{k-1}^k \bar{f}_k(s)^2\,ds \geqslant \frac{\alpha^2}{M}\,,\qquad k=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
Px(t) \leqslant \frac{M}{\alpha^2}\sum_{k=1}^\infty \biggl|\int_{k-1}^k {x}(s)\,ds\biggr|\cdot \bar{f}_k(t) \leqslant \biggl(\frac{M}{\alpha}\biggr)^2\sum_{k=1}^\infty \biggl|\int_{k-1}^k {x}(s)\,ds\biggr|\cdot \chi_{[k-1,k]}(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, в очередной раз учитывая ограниченность операторов усреднения в с. п. (см. [69; п. II.3.2 и теорема II.4.3]), получаем, что $\|Px\|_{Z_X^2}\!\leqslant(M/\alpha)^2 \|x\|_{Z_X^2}$. Таким образом, подпространство $[\bar{f}_k]$ дополняемо в $Z_X^2$, и теорема доказана. Замечание 6.4. Теоремы 6.6 и 6.8 показывают, насколько упрощается изучение подпространств, порожденных одинаково распределенными (и соответственно равномерно ограниченными) независимыми функциями в с. п. со свойством Круглова сравнительно с общим случаем, рассмотренным ранее М. Ш. Браверманом в главе IV монографии [32]. В частности, там приведено (см. теорему 4.2) гораздо более “трудоемкое” доказательство следующего (более сильного, чем теорема 6.6) утверждения: подпространство сепарабельного с. п. $X$, порожденное последовательностью $\{f_k\}$ одинаково распределенных независимых функций, дополняемо в $X$ тогда и только тогда, когда $G\subset X\subset G'$ и $[f_k]\approx \ell_2$. В работе [29] сформулирован (без доказательства) аналогичный более сильный вариант теоремы 6.8, где условия $X\in\mathbb{K}$, $X'\in\mathbb{K}$ заменены на вложения $G\subset X\subset G'$. Заметим в заключение, что в [32; теорема 4.1] доказана ослабленная версия последнего утверждения, где во втором выражении из (6.15) норма пространства $L_2$ заменена на норму пространства $L_1$. 7. Аппроксимация конечномерных подпространств симметричных пространств, порожденных независимыми функциямиПусть $X$ – банахово пространство. Для любого его подпространства $E$, $\dim E=n$, и произвольного $M>1$ определим $k=k_X(E,M)$ как наименьшее число, для которого существует ограниченный линейный оператор $U\colon X\to X$ такой, что $Ux=x$ при $x\in E$, $\|U\|\leqslant M$ и $\dim U(X)\leqslant k$. Кроме того, положим
$$
\begin{equation*}
k_X(n,M):=\sup\{k_X(E,M)\colon E\ - \text{ подпространство } X,\dim E=n\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае $L_p=L_p[0,1]$, $1\leqslant p\leqslant\infty$, функция равномерности ограниченного аппроксимационного свойства $k_p(n,M):=k_{L_p}(n,M)$ была введена в 1988 г. Т. Фигелем (T. Figiel), У. Б. Джонсоном и Г. Шехтманом [47]. Еще раньше, не определяя этой величины явно, А. Пелчинский и Х. П. Розенталь в [88] доказали ее конечность для любых $1\leqslant p\leqslant\infty$, $n\in\mathbb{N}$ и $M>1$. Более того, работа [88] содержит аргумент (принадлежащий С. Квапеню (S. Kwapień)), из которого фактически следует, что величина $k_p(n,1+\varepsilon)$ имеет порядок, не превышающий $(n/\varepsilon)^{Cn}$ для некоторого $C>0$. В работе [47] был также получен ряд оценок величины $k_1(E,M)$ в случае, когда $E$ – подпространство, порожденное некоторой системой независимых функций. Так, если $E$ – линейная оболочка $n$ стандартных гауссовских или радемахеровских случайных величин, то где $\delta>0$ – некоторая константа. Если же $1<p<2$ и $E$ – подпространство, порожденное $n$ $p$-устойчивыми случайными величинами, то
$$
\begin{equation*}
k_1(E,M)\geqslant \exp(\delta M^{-2}n^{2/p'}),\quad\text{где}\ \ \frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, из этих оценок тотчас же следует, что для каждого фиксированного $M$ функция равномерности $k_1(n,M)$ удовлетворяет экспоненциальной нижней оценке по $n$. В то же время согласно гипотезе, высказанной в работе [58], для каждого $1<p<\infty$ найдется такое $M=M(p)$, что $k_p(n,M)$ имеет верхнюю полиномиальную оценку по $n$. В ее подтверждение У. Б. Джонсон и Г. Шехтман доказали в [58] существование такого $M=M(p)$, что для линейной оболочки $E$ произвольных $n$ независимых функций справедливо неравенство где $C>0$ – некоторая константа, не зависящая от $1<p<\infty$ и $n\in\mathbb{N}$. Как мы увидим, аналогичная оценка величины $k_X(E,M)$ имеет место для широкого класса с. п. в том случае, когда функции, порождающие $E$, одинаково распределены. В частности, она верна для пространства Орлича $L \ln^\beta L$, если $\beta\geqslant 1$, а $E$ – подпространство, порожденное $n$ симметричными $p$-устойчивыми величинами, $1<p<2$, что резко контрастирует с ранее упомянутой экспоненциальной нижней оценкой величины $k_1(E,M)$. Далее нам потребуются определения и результаты работы [10] о дополняемости конечномерных подпространств с. п. на $[0,1]$, порожденных сжатиями и сдвигами. Пусть $X$ – с. п. на $[0,1]$. Для произвольной функции $a \in X$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_{n,k}(t):=a(2^{n}t-k+1)\cdot\chi_{[(k-1)2^{-n},k2^{-n})}(t), \\ n=0,1,2,\dots,\qquad k=1,2,\dots,2^n. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $n=0,1,2,\dots$ через $Q_{a,n}$ обозначим линейную оболочку функций $a_{n,k}$, $k=1,2,\dots,2^n$. Тогда с. п. $X$ на $[0,1]$ принадлежит классу ${\mathcal N}_{0}$, если для каждой функции $a \in X$ существует последовательность проекторов $\{P_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ в $X$, удовлетворяющих условиям
$$
\begin{equation*}
P_{n}(X)=Q_{a, n}\quad\text{и}\quad D_X:=\sup_{n=0,1,2,\dots}\|P_{n}\|_{X \to X} < \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно [10; теорема 4] с. п. $X$ принадлежит ${\mathcal N}_{0}$ тогда и только тогда, когда оператор тензорного произведения $x\otimes y(s,t)=x(s)y(t)$ ограничен из $X \times X$ в пространство $X([0,1]\times [0,1])$. Это описание класса ${\mathcal N}_{0}$ вместе с известными результатами об ограниченности оператора тензорного произведения в с. п. (см. библиографию, приведенную в [10]) дают достаточно полную информацию о том, какие с. п. ему принадлежат. В частности, пространство Орлича $L_M$ принадлежит ${\mathcal N}_{0}$ в том и только том случае, когда для некоторых $C>0$ и $u_0>0$ выполнено неравенство Аналогичное условие
$$
\begin{equation*}
\psi(st)\leqslant C\psi(s)\psi(t),\qquad 0\leqslant s,t\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
необходимо и достаточно для того, чтобы пространство Лоренца $\Lambda(\psi)$ принадлежало ${\mathcal N}_{0}$. Пространство Марцинкевича $M(\psi)$ принадлежит ${\mathcal N}_{0}$ тогда и только тогда, когда $\psi'\otimes\psi'\in M(\psi)([0,1]\times [0,1])$ ($\psi'$ – производная). Теорема 7.1 [3; теорема 1]. Пусть $Y$ – такое с. п. на $[0,\infty)$, что $\|x\|_Y=\|x^*\|_X$, если $m(\operatorname{supp}x)\leqslant 1$, где $X$ – с. п. на $[0,1]$, $X\in \mathcal{N}_0$. Если $\{f_i\}_{i=1}^n\subset Y$ – произвольная последовательность попарно дизъюнктных одинаково распределенных функций такая, что $m(\operatorname{supp}f_i)\leqslant 1$, $i=1,\dots,n$, то для каждого $\varepsilon>0$ найдется проектор $P\colon Y\to Y$, для которого где $C=C(\varepsilon)$ не зависит от $X$ и $n\in\mathbb{N}$. Доказательство. Не ограничивая общности, предположим, что $\|f_i\|_Y=1$ для всех $i=1,\dots,n$.
Так как $m(\operatorname{supp}f_i)\leqslant 1$, $i=1,\dots,n$, и $\|\chi_{[0,1]}\|_X=1$, то для пока произвольного $\delta>0$ (выбор его будет уточнен позднее)
$$
\begin{equation*}
\|f_i\chi_{\{|f_i|\leqslant\delta/n\}}\|_Y\leqslant \frac{\delta}{n}\,\|\chi_{[0,1]}\|_X=\frac{\delta}{n}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому если $\delta$ достаточно мало, то в силу произвольности $\varepsilon>0$ и теоремы о малых возмущениях [1; теорема 1.3.9] можно считать, что $m\{0<|f_i|<\delta/n\}= 0$ для всех $i=1,\dots,n$. Значит, где
$$
\begin{equation*}
g_i:=f_i\chi_{\{|f_i|>n\}}\quad\text{и}\quad h_i:=f_i\chi_{\{{\delta}/{n}\leqslant |f_i|\leqslant n\}},\quad i=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Еще раз используя тот факт, что $m(\operatorname{supp}f_i)\leqslant 1$, получим
$$
\begin{equation*}
m(\operatorname{supp}g_i)=m\{|f_i|>n\}\leqslant \frac{1}{n} \|f_i\|_{L_1(\operatorname{supp}f_i)}\leqslant \frac{1}{n} \|f_i^*\|_X=\frac{1}{n}\|f_i\|_Y=\frac{1}{n}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда для множества $G:=\bigcup\limits_{i=1}^n\operatorname{supp}g_i$ вытекает оценка $m(G)\leqslant 1$. Следовательно, по условию на функциях с носителем из множества $G$ нормы пространств $Y$ и $X$ совпадают.
Положим $a=\biggl(\,\displaystyle\sum_{i=1}^n g_i\biggr)^*$, и пусть $\{a_i\}_{i=1}^n$ – последовательность дизъюнктных сдвигов функции $\sigma_na(t)=a(t/n)$, $0\leqslant t\leqslant 1$, на $[0,1]$. Тогда, так как $X\in {\mathcal N}_{0}$, существует проектор $Q'\colon \,X\to X$, образ которого совпадает с линейной оболочкой $[a_i]_{i=1}^n$ и для которого $\|Q'\|\leqslant D_X$ (см. также [10]). Поскольку функции $a_i$ и $g_i$ одинаково распределены для каждого $i=1,\dots,n$, то, применяя аргументы из доказательства леммы 6.5, нетрудно показать, что существует проектор $Q\colon Y\to Y$, образ которого совпадает с линейной оболочкой $F_1:=[g_i]_{i=1}^n$ и для которого $\|Q\|\leqslant D_X+\varepsilon/2$ и $Qx=0$, если $G\cap \operatorname{supp}x=\varnothing$. Далее, следуя доказательству теоремы 10 из [58], представим каждую функцию $h_i$ в виде суммы $m$ дизъюнктных функций (где $m$ приблизительно равно отношению $2\ln(n/\delta)/ \ln(1 + \delta)$), модули которых являются “почти” характеристическими функциями некоторых множеств. Начнем со следующего наблюдения. Пусть $l\in\mathbb{N}$ произвольно, множества $B_i\subset (0,\infty)$, $i=1,\dots,n$, попарно дизъюнктны, $z_i$ – такие функции, что $\operatorname{supp}z_i\subset B_i$ и $|z_i(s)|/|z_i(t)|\leqslant 1+\delta$ для всех $s,t\in B_i$, $i=1,\dots,l$. Тогда оператор
$$
\begin{equation*}
W'x(t):=\sum_{i=1}^l\biggl(\int_{B_i}|z_i(s)|\,ds\biggr)^{-1} \int_{B_i} x(s)\,ds\cdot |z_i(t)|
\end{equation*}
\notag
$$
определен на $Y$ и является проектором, область значений которого – подпространство $[|z_i|]_{i=1}^l$. При этом $|W'x(t)|\leqslant (1+\delta)|Ux(t)|$, где $U$ – оператор усреднения:
$$
\begin{equation*}
Ux(t):=\sum_{i=1}^l\frac{1}{m(B_i)}\int_{B_i}x(s)\,ds\cdot\chi_{B_i}(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\|U\|=1$ [69; п. II.3.2 и теорема II.4.3], то из предыдущей оценки следует, что $\|W'\|\leqslant 1+\delta$. Но тогда оператор
$$
\begin{equation*}
Wx:=\sigma W'(\sigma x), \quad \text{где}\quad \sigma(t):= \operatorname{sign}\biggl(\,\sum_{i=1}^l z_i(t)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
является проектором на подпространство $[z_i]_{i=1}^l$, верна оценка $\|W\|\leqslant 1+\delta$ и $Wx=0$, если $\operatorname{supp}x \cap \biggl(\,\bigcup\limits_{i=1}^l B_i\biggr)=\varnothing$.
Пусть теперь $m$ – наименьшее целое число, для которого выполнено неравенство $n(1+\delta)^{-m}\leqslant\delta/n$; для всех $i=1,\dots,n$ и $k=1,\dots,m$ положим Так как множества $A_{i,k}$, $i=1,\dots,n$, $k=1,\dots,m$, попарно дизъюнктны, $\operatorname{supp}f_i\chi_{A_{i,k}}\subset A_{i,k}$ и $|f_i(s)|/|f_i(t)|\leqslant 1+\delta$ для всех $s,t\in A_{i,k}$, $i=1,\dots,n$, $k=1,\dots,m$, то, как было показано, существует проектор $R\colon Y\to Y$, образ которого – линейная оболочка $F_2$ функций $f_i\chi_{A_{i,k}}$, $i=1,\dots,n$, $k=1,\dots,m$, такой, что $\|R\|\leqslant 1+\delta$ и $Rx=0$, если $\operatorname{supp}x \cap \operatorname{supp}h_i=\varnothing$ для всех $i=1,\dots,n$. Подпространства $F_1$ и $F_2$ попарно дизъюнктны, поэтому $P:=Q+R$ – проектор, определенный на $Y$, образ которого – линейная оболочка функций из объединения $F_1\cup F_2$ размерности не более чем $n(m+1)\asymp n\ln(n+1)$ (с константой, зависящей от $\delta$), такой, что При этом в силу построения $Pf_i=f_i$ для всех $i=1,\dots,n$. Поэтому, выбирая $\delta$ меньшим, чем $\varepsilon/2$, завершаем доказательство теоремы.С помощью теоремы 7.1, а также рассуждений, аналогичных тем, что применялись при доказательстве предложений 6.2 и 6.3, можно доказать следующий результат. Теорема 7.2 [3; теорема 2]. Пусть $X$ – с. п. на $[0,1]$, $X\in {\mathcal N}_0\cap \mathbb{K}$ и $X'\in\mathbb{K}$. Тогда существует такая константа $M_X>0$, что для любого $n\in\mathbb{N}$ и произвольного подпространства $E$ пространства $X$, порожденного $n$ одинаково распределенными независимыми функциями, найдется проектор $P\colon X\to X$, для которого $\|P\|\leqslant M_X$, $Px=x$, если $x\in E$, и $\dim P(X)\leqslant Cn\ln(n+1)$, где константа $C$ не зависит от $X$ и $n$. В частности, $k_X(E,M_X)\leqslant Cn\ln(n+1)$. Из теоремы 7.2 вытекают конкретные следствия для различных классов с. п. Ограничимся рассмотрением пространств Орлича. Напомним, что функция Орлича, дополнительная к функции Орлича $\Phi$, определяется равенством
$$
\begin{equation*}
{\Phi}'(u):=\sup_{v>0}(uv-{\Phi}(v)),\qquad u\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие 7.1 [3; следствие 2]. Пусть функция Орлича $\Phi$ удовлетворяет следующим условиям: (a) существуют $C>0$ и $u_0>0$ такие, что $\Phi(uv)\leqslant C\Phi(u)\Phi(v)$, $u,v\geqslant u_0$; (b) $\Phi'$ удовлетворяет $\Delta_2^\infty$-условию. Тогда существует константа $M_{\Phi}$, зависящая только от $\Phi$, такая, что для любого $n\in\mathbb{N}$ и произвольного подпространства $E$ пространства Орлича $L_{\Phi}$, порожденного $n$ одинаково распределенными независимыми функциями, справедливо неравенство где константа $C$ не зависит от $\Phi$ и $n\in\mathbb{N}$.Заметим, что условие (b) следствия 7.1 не выполнено для пространства Орлича $X=L \ln^\beta L$ ни при каком $\beta>0$. Тем не менее $X\in {\mathcal N}_0\cap \mathbb{K}$ и $X'=\exp L_{1/\beta}\in\mathbb{K}$, если $\beta\geqslant 1$ (п. 3.2). Поэтому, применяя теорему 7.2, получаем следующий результат. Следствие 7.2 [3; следствие 3]. Пусть $\beta\geqslant 1$. Существует константа $M_\beta$ такая, что для любого $n\in\mathbb{N}$ и произвольного подпространства $E$ пространства $X=L \ln^\beta L$, порожденного $n$ одинаково распределенными независимыми функциями, справедливо неравенство где константа $C$ не зависит от $\beta$ и $n\in\mathbb{N}$. В частности, в последнем следствии в качестве $E$ можно взять подпространство, порожденное $p$-устойчивыми случайными величинами, $1<p<2$. Заметим, что в этом случае неравенство (7.1) резко контрастирует с упомянутой в начале раздела экспоненциальной нижней оценкой величины $k_1(E,M)$ из работы [47]. 8. Открытые проблемыВ связи с теоремами 5.2 и 5.3 возникает следующий вопрос. Проблема 1. Пусть $1\leqslant p<2$ и $\psi$ – функция Орлича, эквивалентная в нуле некоторой $p$-выпуклой и $2$-вогнутой функции Орлича и удовлетворяющая условию $\lim_{t\to +0}\psi(t)t^{-p}= 0$. Найти необходимые и достаточные условия на функцию $\psi$, при которых распределение функции $f\in L_p$, последовательность независимых копий которой эквивалентна в $L_p$ каноническому $\ell_\psi$-базису, единственно (в смысле определения, данного в разделе 5). Относительно следующей проблемы см. предложение 6.3. Проблема 2. Предположим, что $X$ – с. п. на $[0,1]$, а $\{f_k\}$ – последовательность независимых функций из $X$ такая, что подпространство $[f_k]$ дополняемо в $X$. Следует ли отсюда, что подпространство $[\bar{f}_k]$, порожденное дизъюнктными копиями $\bar{f}_k$ функций ${f}_k$, $k=1,2,\dots$, в пространстве $Z_X^2$, дополняемо? В связи с теоремой 6.5 естественным образом возникает вопрос о том, справедлив ли для пространств $L_{q,r}$ аналог теоремы 6.4 о почти дизъюнктности. Проблема 3. Пусть $1 < q <\infty$ и $1 \leqslant r < \infty$. Предположим, что последовательность $\{f_k\}\subset L_{q,r}$ эквивалентна в $L_{q,r}$ каноническому $\ell_r$-базису. Следует ли отсюда, что последовательность $\{f_k\}$ почти дизъюнктна? Сформулируем также следующий более общий вопрос. Проблема 4. Пусть $1 \leqslant r <\infty$ и $X$ – с. п. на $[0,1]$. Найти достаточные (необходимые) условия на пространство $X$, при которых всякая последовательность $\{f_k\}\subset X$, эквивалентная в $X$ каноническому $\ell_r$-базису, является почти дизъюнктной. В частности, проблему 4 было бы интересно рассмотреть для так называемых $r$-дизъюнктно однородных с. п. $X$, т. е. таких, что каждая последовательность нормированных попарно дизъюнктных функций в $X$ содержит подпоследовательность, эквивалентную каноническому $\ell_r$-базису. Проблема 5. Пусть $X=L \ln^\beta L$. Найти все значения $\beta>0$, при которых существует константа $M_\beta$ такая, что для любого $n\in\mathbb{N}$ величина $k_{X}(E,M_\beta)$, где $E$ – подпространство пространства $X$, порожденное $n$ симметричными $p$-устойчивыми величинами при некотором $1<p<2$, удовлетворяет оценке (7.1) из следствия 7.2. Аналогичный вопрос можно сформулировать для подпространств, порожденных произвольными $n$ независимыми одинаково распределенными функциями. Проблема 6. Пусть $2<p<\infty$. В работе [96] Х. П. Розенталь показал, что всякое подпространство $L_p$, порожденное некоторой последовательностью независимых функций, в среднем равных нулю (но, вообще говоря, имеющих разное распределение), изоморфно некоторому подпространству прямой суммы $\ell_p\oplus \ell_2$. При этом в [96] приведены примеры как дополняемых, так и недополняемых подпространств этого типа. Найти необходимые и достаточные условия, при которых такое подпространство дополняемо в $L_p$. Проблема 7. Пусть $X$ – сепарабельное с. п. на $[0,1]$ и $\{f_k\}$ – последовательность одинаково и симметрично распределенных независимых функций таких, что $f_1\in X$. При каких условиях замкнутая линейная оболочка $X_f$ множества всех функций вида $x(t)\cdot f_k(s)$, $t,s\in [0,1]$, где $x\in X$, будет дополняемым подпространством пространства $X([0,1]\times [0,1])$? Заметим, что в случае, когда $\{f_k\}$ – последовательность функций Радемахера, необходимое и достаточное условие дополняемости этого подпространства (обозначаемого $\operatorname{Rad}X$) – нетривиальность индексов Бойда пространства $X$, т. е. условие $0<\mu_X\leqslant\nu_X<1$ (см. [79; предложение 2.d.2] и [8]). Заключительные два вопроса относятся к экспоненциальным пространствам Орлича, не обладающим свойством Круглова. Проблема 8. Согласно [56; теорема 1.3]), если с. п. $X$ интерполяционно относительно пары $(L_2,\exp L_2)$, то всякая последовательность $\{f_k\}$ одинаково распределенных независимых функций, в среднем равных нулю, эквивалентна в $X$ каноническому базису в $\ell_2$. В то же время для каждого $p>2$ существуют последовательности $\{f_k\}$ и $\{g_k\}$ с указанными свойствами, которые эквивалентны в пространстве $\exp L_p$ каноническому базису в $\ell_p$ и $\ell_{p',\infty}$ соответственно (см., например, [32]). Возникает естественный вопрос: какие еще пространства последовательностей могут быть получены подобным образом? Сформулируем также следующую более трудную задачу. Проблема 9. Пусть $p>2$. Так же, как это сделано для $L_p$-пространств (см. теорему 4.1), найти описание всех подпространств пространства $\exp L_p$ вида $[f_k]$, где $\{f_k\}$ – последовательность одинаково распределенных независимых функций, в среднем равных нулю. Автор выражает глубокую благодарность Ф. А. Сукочеву и Д. В. Занину за сотрудничество, а М. Ш. Браверману, И. Рейно (Y. Raynaud), Е. М. Семенову и Ф. Л. Эрнандесу (F. L. Hernández) за полезные обсуждения многих вопросов, рассматриваемых в этой статье. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ast24} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|