| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Модель дискретного кинематического динамо Н. Аканбайa, С. А. Молчановb, З. Сулейменоваa a Казахский национальный университет им. Аль-Фараби, Алматы, Казахстан b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2024, Volume 79, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10190e 
Реферативные базы данных:
    Важная астрофизическая проблема о генерации магнитного поля $\vec{H}(t,x)$ турбулентным потоком электропроводящей плазмы с однородным по времени и пространству случайным полем скоростей рассматривалась в (полу)физических работах (см. [1] и в особенности обзор [2]). Однако в них изучались только вторые моменты поля $\vec{H}(t,x)$ (корреляционные функции). В упрощенной скалярной задаче (модель Андерсона с потенциалом типа белого шума; см. [3]) были найдены старшие показатели Ляпунова и выборочный ($\mathsf{P}$-п. н.) показатель Ляпунова как функции магнитной вязкости среды. Наша цель – реализовать подобную программу для векторного поля $\vec{H}(t,x)$, но в дискретном пространстве-времени. Такое упрощение удобно технически и при этом сохраняет все качественные особенности проблемы. Описание дискретной модели. Фазовое пространство модели состоит из точек $(t,x)$, где $t \in \mathbb{Z}_+=\{0,1,2,\dots\}$, $x \in \mathbb{R}^3$, и ребер, соединяющих точки $(s,x)$ и $(s-1,x')$, где $|x-x'| \leqslant 1$. На этом графе можно определить симметричное блуждание $x(t)$ с возрастающим временем и переходными вероятностями
$$
\begin{equation}
\mathsf{P}\{{x(t+1)=x'}\mid x(t)=x\}=\begin{cases} 1-\rho, & x'=x, \\ \rho/6, & |x-x'|=1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{1}
$$
Лагранжевы траектории имеют вид $\xi(s)=x+x(t-s)$, $s\geqslant 0$, т. е. $\xi(t)=x$, $\xi(t-1)=x+x(1),\dots$ (мы изменили направление времени).
Магнитный потенциал $A((s,y),(s-1,y'))$ определен на ребрах графа, направленных из точки $(s,y)$ в точку $(s-1,y')$, $|y-y'|\leqslant 1$. Мы предполагаем, что $(3\times 3)$-матрицы $A((s,y),(s-1,y'))$ независимы для разных ребер и имеют специальный вид
$$
\begin{equation*}
A[(s,y_s),(s-1,y_{s-1})]=O_1\mathrm{\Lambda}O_2[(s,y_s),(s-1,y_{s-1})],
\end{equation*}
\notag
$$
где ортогональные матрицы $O_1$, $O_2$ равномерно распределены на группе $\mathrm{O}^3$ вращений пространства $\mathbb{R}^3$, независимы между собой и независимы от диагональной матрицы $\Lambda$ с диагональю $[a,1/\sqrt{a}\,,1/\sqrt{a}\,]$, а $C_0\geqslant a(\,\cdot\,)\geqslant 1$ – одинаково распределенные случайные величины, определенные на ребрах графа.
Для каждой лагранжевой траектории $\xi(\,\cdot\,)$, ведущей из точки $(t,x)$ в финальную точку $\left(0,y\right)$ нашего графа, мы определяем выражение ${\vec{H}}_{\xi}(t,x)$:
$$
\begin{equation*}
{\vec{H}}_{\xi}(t,x)=A[(t,x_0),(t-1,x_1)] \cdot A[(t-1,x_1),(t-2,x_2)]\cdots A[(1,x_{t-1}),(0,x_t=y)]\cdot \vec{H}_0(y)
\end{equation*}
\notag
$$
($\xi=(x_0,x_1,\dots,y)$ – лагранжева траектория, ${\vec{H}}_0(y,\omega)$ – начальное магнитное поле, например множество независимых $\mathcal{N}(0,I)$-гауссовских векторов со значениями в $\mathbb{Z}^3$).
Вероятность траектории $\xi(s)$, $s\in [0,t]$, дается формулой $\mathsf{P}(\xi)=(1-\rho)^{n_0}(\rho/6)^{n_1}$, где $n_0(\xi)=\sharp\{s\colon x_s=x_{s-1}\}$ и $n_1(\xi)=\sharp\{s\colon|x_s-x_{s-1}|=1\}$. Наконец, для полного магнитного поля в нашей модели мы имеем следующее выражение: $\vec{H}(t,x)=\sum_{y\in \mathbb{Z}^3}\, \sum_{\xi\colon(t,x)\to (0,y)}\mathsf{P}(\xi)\vec{H}_{\xi}(t,x)$. Последнюю формулу можно трактовать как представление Каца–Фейнмана магнитного поля $\vec{H}(t,x)$, заданного (разностным) параболическим уравнением
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \vec{H}(t,x)&=(1-\rho)A((t,x),(t-1,x))\vec{H}(t-1,x) \\ &\qquad+\sum_{x'\colon |x-x'|=1}A((t,x),(t-1,x'))\vec{H}(t-1,x'). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя введенное выше представление поля $\vec{H}(t,x)$, можно изучать показатели Ляпунова – как моментные показатели $\gamma_{2p}= (2p)^{-1}\lim_{t\to \infty}\ln\langle{(\vec{H},\vec{H})}^p\rangle$, $p=1,2,\dots$, так и выборочный показатель $\widetilde{\gamma}=(1/2)\lim_{t\to \infty}\ln(\vec{H},\vec{H})/t$ ($\mathsf{P}$-п. н.).
Заметим, что все нечетные моменты $\vec{H}(t,x)$ равны нулю. В частности, $\langle\vec{H}(t,x)\rangle= 0$ и $\langle\vec{H}(t,x),(\vec{H}(t,x),\vec{H}(t,x))\rangle=0$. Вычисление показателей Ляпунова основано на нескольких простых леммах. Лемма 1. Случайный единичный изотропный вектор $\vec{e} \in \mathbb{R}^3$, $|\vec{e}|=1$, имеет представление $\vec{e}=[\lambda,\sqrt{1-\lambda^2}\,\cos\varphi, \sqrt{1-\lambda^2}\,\sin\varphi]^\top$, где $\lambda$ и $\varphi$ независимы и равномерно распределены: $\lambda \sim \mathrm{U}([-1,1])$, $\varphi\sim\mathrm{U}([0,2\pi])$. Лемма 2. Для двух несовпадающих лагранжевых траекторий $\xi_1$, $\xi_2$ на интервале времени $[t,0]$ имеет место равенство $\langle\vec{H}_{\xi_1}(t,x_1),\vec{H}_{\xi_2}(t,x_2)\rangle=0$, т. е. их вклады в $\vec{H}(t,x)$ некоррелированы. Лемма 3. Пусть $A_1,A_2,\dots$ – введенные выше независимые одинаково распределенные матрицы, $\vec{e_0}$ – единичный вектор. Тогда где $\lambda \sim \mathrm{U}([-1,1])$ и введенные выше случайные векторы $a_1,\dots,a_n$ не зависят от $\lambda$. Лемма 3 – это фактически теорема Фюрстенберга; см. также [4], [5]. Вычисление старших моментных показателей Ляпунова сводится к решению многочастичных уравнений Шрёдингера на $\mathbb{Z}^p$, $p\geqslant 1$. Эти уравнения аналогичны уравнениям из [3]. Как и в [1]–[3], показатель $\gamma_2$ находится явно, для старших и выборочного моментов имеются оценки, напоминающие формулы из работы [3], все они демонстрируют фазовые переходы. Центральным результатом заметки является следующая теорема. Теорема 1. Все моменты $\gamma_{2p}$, $\widetilde{\gamma}$ растут экспоненциально при $t\to \infty$ для малых $\rho$. Если $|1-\rho|\ll 1$ и $|1-a|\ll 1$, то они ограничены. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AkaMolSul24} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|