| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Самоподобные сплайны Т. И. Зайцеваab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Английская версия:
Russian Mathematical Surveys, 2024, Volume 79, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10203e 
Реферативные базы данных:
    Пусть $M \in \mathbb{Z}^{n \times n}$ – растягивающая матрица, т. е. все её собственные значения лежат вне единичного круга на комплексной плоскости. Она определяет разбиение решётки $\mathbb{Z}^n$ на $m=|\!\det M|$ классов эквивалентности: $\boldsymbol{y} \sim \boldsymbol{x} \Leftrightarrow \boldsymbol{y}-\boldsymbol{x} \in M\mathbb{Z}^n$. Выберем по представителю $\boldsymbol{d}_i \in \mathbb{Z}^n$ из каждого класса эквивалентности; полученное множество назовём набором цифр: $D(M)=\{\boldsymbol{d}_i \colon i=0,\dots,m-1\}$. В одномерном случае $D(M)$ будет набором цифр в системе счисления с основанием $M=m$. Таким образом, целочисленная матрица и набор цифр определяют “систему счисления” в $\mathbb{Z}^n$. Определение 1. Тайлом, порождённым растягивающей матрицей $M \in \mathbb{Z}^{n\times n}$ и набором цифр $D(M)=\{\boldsymbol{d}_i\colon i=0,\dots,m-1\}$, называется множество если оно имеет меру Лебега, равную единице. В общем случае эта мера может быть целым числом. Про множество $G$ известно [1], что оно компактно и самоподобно, а его целые сдвиги $\{G+\boldsymbol{k}\}_{\boldsymbol{k} \in \mathbb{Z}^n}$ замощают всё $\mathbb{R}^n$ в один слой. Тайл можно использовать для построения многомерных всплесков Хаара. По аналогии с кардинальными B-сплайнами на отрезке рассмотрим следующее понятие. Определение 2. Тайловым B-сплайном, заданным по тайлу $G$, называется свёртка характеристических функций этого тайла: $B_{\ell}^G=\chi_{G} * \cdots * \chi_{G}$ ($\ell$ свёрток). Определение 3. Многомерным масштабирующим уравнением называется уравнение вида $\varphi(\boldsymbol{x})=\sum_{\boldsymbol{k} \in \mathbb{Z}^n} c_{\boldsymbol{k}}\varphi(M\boldsymbol{x}-\boldsymbol{k})$, где $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$. Несложно показать, что тайловые B-сплайны являются решениями масштабирующих уравнений. Обширная литература посвящена вычислению показателей гладкости решений масштабирующих уравнений. Существует матричный метод, недостатком которого является использование сложно вычислимого совместного спектрального радиуса. Также есть методы типа Литтлвуда–Пэли (см., например, [2], [3]). Мы пользуемся недавним обобщением таких методов на случай произвольной матрицы, чтобы найти гладкость по Соболеву, определённую как $\sup\biggl\{\beta \geqslant 0\colon \displaystyle\int_{\mathbb{R}} |\widehat\varphi(\xi)|^2(1+|\xi|^2)^{\beta}\, dt<\infty\biggr\}$. Известно, что показатель гладкости по Соболеву совпадает с гладкостью по Гёльдеру в пространстве $L_2$. Ранее этот метод был получен лишь для изотропных матриц (подобных ортогональной, умноженной на число). Формула в общем случае достаточно сложна, однако при $m<6$ можно показать, что можно пользоваться “простой” версией. Некоторые из тайловых B-сплайнов удивительным образом имеют бо́льшую гладкость, чем классические B-сплайны того же порядка [4]. Такие сплайны и соответствующие тайлы назовём сверхгладкими. Ограничимся далее случаем двух переменных и $m \leqslant 5$. Известно, что на плоскости при двух цифрах ($m=2$) существует три тайла с точностью до аффинного подобия: Медведь (tame twindragon), Дракон (twindragon) и Квадрат, из них сверхгладким является только Медведь. Для двухциферных тайлов замена цифр меняет тайл на аффинно подобный. В общем случае это неверно. Зафиксируем матрицу $M$ и рассмотрим всевозможные цифры и соответственно тайлы. На их основе построим тайловые B-сплайны зафиксированного порядка $\ell$. Будем называть их семействами тайловых B-сплайнов порядка $\ell$, соответствующих матрице $M$. Рассмотрим множества их гладкостей – это те гладкости, которых мы можем “достичь” при заданном порядке сплайнов, используя заданную матрицу $M$. С их помощью можно установить наличие сверхгладких тайлов для заданной матрицы. Лемма 1. У целочисленно подобных матриц множества гладкостей соответствующих семейств тайловых B-сплайнов одного порядка одинаковы. Описание всех классов целочисленного подобия при $m=3,4,5$ сделано в [5] с использованием классификации идеалов $\mathbb{Z}[\theta]$. Есть классы целочисленного подобия, соответствующие растягивающим многочленам вида $x^2+ax+m$, и есть особые матрицы, не относящиеся ни к одному из таких классов. Определение 4. Алгебраические полиномы $p=\sum_{k=0}^{n} p_k t^k$ и $q=\sum_{k=0}^{n} q_k t^k$ называются противоположными, если $q_k=(-1)^{n-k}p_k$, $k=0,\dots,n$. Оказывается, что противоположные полиномы дают одинаковую гладкость, хотя матрицы относятся к разным классам, а тайлы не обязательно аффинно подобны. Теорема 1. Семейства B-сплайнов, порождённые противоположными полиномами, имеют одинаковые гладкости. Осуществляя численный перебор по полученным классам целочисленного подобия и наборам цифр с небольшим модулем, имеем следующее. Теорема 2. Существует не менее 20 различных сверхгладких тайлов двух переменных с числом цифр не более пяти, где мы отождествляем те тайлы, которые дают одинаковую гладкость у сплайнов. Теорема 2 конструктивна, все семейства найдены в явном виде. Гипотеза 1. Число 20 в теореме 2 точное. Гипотеза 2. Не существует неизотропных сверхгладких тайловых B-сплайнов с количеством цифр не более пяти. Мы можем сформулировать эти утверждения только как гипотезы в силу конечности перебора рассматриваемых множеств цифр. Автор выражает благодарность В. Ю. Протасову за помощь в работе. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Zai24} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|