| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Краткие сообщения Подсистемы ортогональных систем и восстановление разреженных сигналов при наличии случайных потерь А. М. Иосевичa, Б. С. Кашинbc, И. В. Лимоноваbc, А. Маелиd a University of Rochester, Rochester, NY, USA b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук c Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова d City University of New York, The Graduate Center, New York, NY, USA
Английская версия:
Russian Mathematical Surveys, 2024, Volume 79, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10213e 
Реферативные базы данных:
    Ниже мы называем сигналами векторы $f=\{f_i\}_{i=1}^N$ из пространства $\mathbb{C}^N$ со стандартным скалярным произведением $\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle$, при этом $\operatorname{supp}f=\{i\colon f_i \ne 0\}$. Пусть также $\langle N\rangle=\{1,2,\dots,N\}$, а $|A|$ – число элементов конечного множества $A$. Если $\Phi=\{\varphi_j\}_{j=1}^N$ – фиксированный ортонормированный базис в $\mathbb{C}^N$ и $f \in \mathbb{C}^N$, то через $\widehat{f}_j$, $j \in \langle N\rangle$, мы обозначаем коэффициенты Фурье сигнала $f$: $\widehat{f}_j=\langle f,\varphi_j\rangle$. В работе продолжается исследование задачи, рассмотренной в [1], о восстановлении разреженного сигнала $f$ по информации о величине лишь части коэффициентов Фурье $\{\widehat{f}_j,j \in \langle N\rangle\setminus \Lambda\}$ в случае, когда множество $\Lambda$ потерянных коэффициентов имеет случайную природу. Подробнее о мотивировках рассмотрения указанной задачи см. [1], [2]. Теорема 1 ниже, как и следствия 4.1, 4.2 в [1], опирается на глубокие факты из теории общих ортогональных рядов. Если в [1] это была классическая теорема Бургейна о $\Lambda(p)$-множествах, то здесь используется теорема 3 из [3] и некоторые оценки, установленные в [3] при её доказательстве. Пусть фиксирован ортонормированный базис $\Phi=\{\varphi_j\}_{j=1}^N$ в $\mathbb{C}^N$ такой, что
$$
\begin{equation}
\|\varphi_j\|_{l_\infty^N} \leqslant \frac{K}{N^{1/2}}\,,\qquad j \in \langle N\rangle.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Для $k\in\langle N-1\rangle$ определим на некотором вероятностном пространстве $(\Gamma, \mathsf{P})$ набор независимых векторнозначных величин $\{X_\nu\}_{\nu=1}^k$ таких, что $X_\nu$ принимает значение $\varphi_j$ с вероятностью $1/N$ для $j\in\langle N\rangle$. Каждая точка $\gamma\in\Gamma$ порождает случайный набор функций $\{X_\nu(\gamma)\}_{\nu=1}^k$ и случайную подсистему системы $\Phi$: $\{\varphi_j, j\in\Lambda_\gamma^k\}\equiv \Phi_\gamma^k\equiv \Phi\setminus\{X_{\nu}(\gamma)\}_{\nu=1}^k$.
Для каждого $k$, $1\leqslant k<N$, рассмотрим множество $G(k) \subset \Gamma$ таких $\gamma$, что для любого полинома $Q$ по системе $\Phi_\gamma^k$
$$
\begin{equation}
\|Q\|_{l_2^N} \leqslant \frac{K}{[R(N)]^{1/2}}\,\|Q\|_{l_1^N},\qquad R(N) \equiv \frac{N}{\log(10N)(\log\log(10N))^6}\,.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Из доказательства предложения 1 и теоремы 3 в [3] следует, что для каждого $K$ найдутся последовательности $\{k_N\}_{N=1}^\infty$, $\lim_{N \to \infty}k_N/N=0$, и $\{\rho_N\}_{N=1}^\infty$, $\lim_{N \to \infty}\rho_N= 0$, такие, что для любого ортонормированного базиса $\Phi$ со свойством (1) выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\mathsf{P}\bigl(G(k_N)\bigr) \geqslant 1-\rho_N,\qquad N=1,2,\ldots\,.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Отметим, что для любого полинома $Q$, $Q \ne 0$, по системе $\Phi_\gamma^k$ со свойствами (1) и (2) имеет место неравенство $|\operatorname{supp}Q|\geqslant R(N)/K^2$. Из последнего соотношения непосредственно вытекает, что в этом случае два сигнала $f$ и $g$ с $|\operatorname{supp} f|+|\operatorname{supp} g|< R(N)/K^2$, у которых $\widehat{f}_j=\widehat{g}_j$ при $j \in \langle N\rangle\setminus \Lambda_\gamma^k$, тождественны.
Определение. Множество $E\subset \langle N\rangle$ назовём спектром устойчивого восстановления с параметром $S$ для ортонормированного базиса $\Phi$, если любой сигнал $f \in \mathbb{C}^N$ с $|\operatorname{supp} f|< S$ может быть однозначно восстановлен по значениям $\widehat{f}_j$, $j \in E$, с помощью алгоритма $l_1$-минимизации: Совокупность спектров устойчивого восстановления обозначим $\operatorname{SR}(\Phi,S)$. Используя неравенство (3) и почти дословно повторяя рассуждения из работы [4] (см. там леммы 2.2, 2.3), устанавливаем следующий результат. Теорема 1. Для каждого числа $K \geqslant 1$ найдутся последовательности $\{k_N\}_{N=1}^\infty$, $\lim_{N \to \infty} k_N/N=0$, и $\{\rho_N\}_{N=1}^\infty$, $\lim_{N \to \infty}\rho_N=0$, такие, что при $N=1,2,\ldots$ для любого ортонормированного базиса $\Phi$ в $\mathbb{C}^N$ со свойством (1) имеет место следующая оценка вероятности: Замечание 1. Как фактически показано в [4], условия типа (2) для подсистемы $\Phi_\gamma^k$ при $(N-k)/N$, близких к 1, позволяют не только точно восстанавливать разреженные сигналы, но и приближенно восстанавливать сигналы $f$, близкие к разреженным, по информации лишь о малой доле коэффициентов Фурье $\widehat{f}_j$, $j \in \langle N\rangle \setminus \Lambda_\gamma^k$. Замечание 2. Вместо теоремы Бургейна, использованной в [1], в задаче о восстановлении разреженных сигналов можно использовать результаты работ [5], [6] о лакунарных подсистемах ортонормированных систем. Однако полученные на этом пути результаты не позволяют получать спектры устойчивого восстановления размера $\leqslant N/2$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{IosKasLim24} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|