| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Субримановы геодезические на трехмерном нильмногообразии Гейзенберга А. А. Глуцюкabc, Ю. Л. Сачковde a Высшая школа современной математики МФТИ b CNRS, UMR 5669 (UMPA, ENS de Lyon), Lyon, France c НИУ "Высшая школа экономики" d Институт программных систем им. А. К. Айламазяна РАН e Российский университет дружбы народов
Английская версия:
Russian Mathematical Surveys, 2025, Volume 80, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10218e 
Реферативные базы данных:
    В заметке изучается проекция левоинвариантной субримановой структуры на трехмерной группе Гейзенберга $G$ на компактное однородное пространство группы $G$ – трехмерное нильмногообразие Гейзенберга $M$. Субриманова структура на $M$ локально изометрична структуре на $G$, поэтому локальные объекты (геодезические и сопряженные точки) переносятся с $G$ на $M$ естественной проекцией. Однако глобальные свойства, такие как динамика геодезических и время разреза, различаются. Мы исследуем эти глобальные вопросы. Описаны динамическая характеристика геодезического гамильтонова потока для $M$, периодические и плотные орбиты и свойства аналитической интегрируемости. Получены точные двусторонние границы субриманова расстояния в $G$ и на этой основе оценки времени разреза на субримановых геодезических в $M$. Полный текст доказательств основных результатов представлен в [2]. Динамика и свойства оптимальности проекции евклидова геодезического потока с абелевой группы Ли $\mathbb{R}^n$ на ее компактное однородное пространство, тор $\mathbb{T}^n=\mathbb{R}^n /\mathbb{Z}^n$, хорошо известны [3]. В данной работе мы стремимся построить аналогичную теорию для простейшего некоммутативного аналога этой структуры на торе – проекции левоинвариантной субримановой структуры на трехмерной группе Гейзенберга на трехмерное нильмногообразие Гейзенберга. В том же смысле как субриманова группа Гейзенберга доставляет простейшую некоммутативную неголономную версию евклидова пространства $\mathbb{R}^3$, это нильмногообразие есть некоммутативная версия тора $\mathbb{T}^3$. Группа Гейзенберга есть пространство $G=\{(a, b, c)\}\cong \mathbb{R}^3$ с групповой операцией $(a_1, b_1, c_1) \cdot (a_2, b_2, c_2)= (a_1+a_2, b_1+b_2, c_1+ c_2+a_1b_2)$. Рассмотрим дискретную подгруппу $H=\mathbb{Z}^3$ и ее фактор (пространство правых смежных классов) $M:=H\backslash G=\{Hg \mid g \in G\}$. Обозначим через $\pi\colon G\to M$ каноническую проекцию $g\mapsto Hg$. Рассмотрим субриманову структуру на $G$ с левоинвариантным полем ортонормированных реперов $X_1=\partial/\partial x-(y/2)\,\partial/\partial z$, $X_2=\partial/\partial y+(x/2)\,\partial/\partial z$, где $a=x$, $b=y$, $c=z+xy/2$. Геодезические этой структуры, выходящие из единичного элемента $\operatorname{Id} \in G$, – либо прямые в плоскости $\{z=0\}$, исходящие из начала координат, либо спирали переменного наклона (здесь $\theta\in\mathbb{R}$, $\delta\ne0$)
$$
\begin{equation}
(x(t),y(t),z(t))=\bigl(\delta^{-1}(\sin(\theta+\delta t)-\sin \theta), \delta^{-1}(\cos\theta-\cos(\theta+\delta t)), (2\delta^2)^{-1}(\delta t-\sin \delta t)\bigr).
\end{equation}
\tag{1}
$$
Рассмотрим также субриманову структуру на $M$, индуцированную канонической проекцией $\pi$. Геодезические на $M$ имеют вид $\pi(g(t))$, где $g(t)$ – геодезические на $G$.
Для $\lambda\in TN$ положим $h_j(\lambda):=\langle\lambda,X_j\rangle$, $j=1,2,3$, и $X_3:=\partial/\partial z=[X_1,X_2]$. Субримановы геодезические на многообразии $N$ ($G$ или $M$) суть проекции траекторий гамильтонова потока на $T^*N$ с функцией Гамильтона $F=(h_1^2+h_2^2)/2$, $j=1, 2, 3$, $\lambda\in T^*N$, являющейся нормальным гамильтонианом принципа максимума Понтрягина [1]. Он имеет первые интегралы $F$ и $h_3$. Их совместное множество уровня $S_\delta:=\{F=1/2, \ h_3=\delta\}$ естественно изоморфно произведению $S^1\times N$, $S^1=\mathbb{R}_\theta/2\pi\mathbb{Z}$, где $\theta=\operatorname{arcctg}(h_1/h_2)$. Ограничение на $S_\delta$ гамильтоновой системы имеет вид
$$
\begin{equation}
(\dot\theta,\dot a,\dot b,\dot c)=(\delta,\cos\theta,\sin\theta,a\sin\theta).
\end{equation}
\tag{2}
$$
Проекция $G\to\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, $(a,b,c)\mapsto(a,b)$, индуцирует проекцию $p\colon M\to\mathbb{T}^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$.
1. Динамика субриманова геодезического потока на $M$Проекция $p(\Gamma)$ геодезической-спирали $\Gamma$ в $M$ – стягиваемая замкнутая кривая $\gamma\subset\mathbb{T}^2$; $\Gamma$ замкнута при $\delta^2\in\pi\mathbb Q$ и плотна на поверхности $p^{-1}(\gamma)$ при $\delta^2\notin\pi\mathbb Q$. Это легко следует из (1). Теорема 1. 1) Проекция на $M$ каждой геодезической-прямой в $G$ в плоскости $z=0$, исходящей из $\operatorname{Id}$ и имеющей иррациональный (или рациональный) тангенс угла наклона в координатах $(x,y)$, плотна в $M$ (соответственно периодична). 2) Поток (2) на $S^1\times M$ с $\delta\ne0$ сопряжен со стандартным $\delta$-потоком, заданным полем $(\dot\theta,\dot a,\dot b,\dot c)=\bigl(\delta,0,0,1/(2\delta)\bigr)$, диффеоморфизмом, изотопным тождественному. 3) Гамильтонов поток на $T^*M\setminus\{F=0\}$ аналитически интегрируем по Лиувиллю на дополнении к гиперповерхности $\{h_3=0\}$, а на всем $T^*M\setminus\{F=0\}$ это неверно. Утверждение 1) теоремы 1 сводится к плотности последовательности точек на торе $(\{2rn\},\{rn^2\})\in\mathbb{T}^2$, следующей из результата Г. Фюрстенберга (см. [4; лемма 2.1]). Решая систему (2), мы строим семейство диффеоморфизмов $F_\nu\colon S^1\times G\to S^1\times G$, $\nu\in[0,1]$, сохраняющих координату $\theta$, $F_0=\operatorname{Id}$, сопрягающих поток (2) со стандартным $\delta$-потоком. Доказывается его $H$-эквивариантность, а значит, $F_\nu$ определены на $S^1\times M$. 2. Оценки времени разреза на $M$Пусть $d$ и $d'$ – субримановы расстояния на $G$ и $M$, а $t_{\rm cut}(q(\,\cdot\,))$ – время разреза на геодезической $q(\,\cdot\,)$, т. е. время, после которого геодезическая дуга перестает минимизировать длину. Пусть $q_0=\pi(\operatorname{Id}) \in M$. Обозначим $B'_t=\{q \in M \mid d'(q_0, q) \leqslant t\}$, $t \geqslant 0$. Пусть $\bar{t}=\inf\{t > 0 \mid B'_t= M\}$. Имеют место равенства $\bar{t}=\sup\{d'(q_0, q_1) \mid q_1 \in M\}= \sup\{t_{\rm cut}(q(\,\cdot\,)) \mid q(\,\cdot\,) \subset M$ – геодезическая и $ q(0)=q_0\}$. Пусть $\bar{g}=(\bar{a},\bar{b},\bar{c})$, $\tilde{g}=(\tilde{a},\tilde{b},\tilde{c}) \in G$ таковы, что $\bar{a}=\bar{b}=\bar{c}=1/2$ и $\tilde{a}=1$, $\tilde{b}=\tilde{c}=0$, тогда $d(\tilde{g},\bar{g}) \approx 0.91$ Теорема 2. Выполнены неравенства $d(\tilde{g},\bar{g}) \!\leqslant\! \bar{t} \leqslant \sqrt{(1+\sqrt{1+1024 \pi^2}\,)/2}/2 \approx 3.56$. Для доказательства теоремы 2 сначала на основе формул (1) получена оценка
$$
\begin{equation}
\sqrt{\frac{\sqrt{r^4+48z^2}+r^2}{2}} \leqslant d(\operatorname{Id},g) \leqslant \sqrt{\frac{\sqrt{r^4+64 \pi^2 z^2}+r^2}{2}}\,,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $g=(x,y,z) \in G$, $r=\sqrt{x^2+y^2}$ . Затем построено покрытие фундаментальной области в группе $G$ эллипсоидом, определяемым верхней оценкой в (3). Пусть $B_t(g)=\{q \in G \mid d(g,q) \leqslant t\}$, $t \geqslant 0$, $g \in G$, и $\hat{t}=\sup\{t > 0 \mid B_t(h_1) \cap B_t(h_2)= \varnothing \text{ для любых } h_1 \ne h_2 \in H\}$. Число $\hat{t}$ связано с временем разреза на геодезической $g(\,\cdot\,)$ в $G$ с началом $\operatorname{Id}$ и на ее проекции $g'(\,\cdot\,)$ в $M$: 1) $t_{\rm cut}(g'(\,\cdot\,)) \leqslant t_{\rm cut}(g(\,\cdot\,))$; 2) если $t_{\rm cut}(g(\,\cdot\,))\geqslant \hat{t}$, то $\hat{t} \leqslant t_{\rm cut}(g'(\,\cdot\,))\leqslant t_{\rm cut}(g(\,\cdot\,))$; 3) если $t_{\rm cut}(g(\,\cdot\,))< \hat{t}$, то $t_{\rm cut}(g'(\,\cdot\,))= t_{\rm cut}(g(\,\cdot\,))$. Из нижней оценки в (3) вытекает
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GluSac25} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|