Успехи математических наук, 2025, том 80, выпуск 2(482), страницы 184–189 DOI: https://doi.org/10.4213/rm10221 (Mi rm10221)

DOI: https://doi.org/10.4213/rm10221

Английская версия:
Russian Mathematical Surveys, 2025, Volume 80, Issue 2, Pages 359–364
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10221e

Реферативные базы данных:

Zoom inZoom out

25 сентября 2024 г. исполнилось 60 лет доктору физико-математических наук, профессору Валерию Владимировичу Волчкову.

Практически вся его жизнь связана с Донбассом. Раннее детство он провел в Донецке, школьные годы – в Шахтерске (Донецкая обл.), затем с семьей снова переселился в Донецк. Уже в подростковом возрасте Валерий проявлял необычайную склонность к творчеству: самостоятельно сделал токарный станок по дереву, на котором вытачивал сложные по форме фигурки, проводил химические эксперименты в домашних условиях, собирал радиоприемник, увлекался художественной литературой, окончил музыкальную школу. Однако своему истинному призванию – занятию математикой – он последовал лишь в 8-м классе, познакомившись с книгами Г. С. М. Коксетера и С. Л. Грейтцера “Новые встречи с геометрией” и О. Оре “Приглашение в теорию чисел”. Первые математические результаты были получены им в 1980–1981 гг., когда шестнадцатилетним школьником он переоткрыл ряд известных геометрических результатов и получил более пятидесяти новых теорем, связанных с замечательными линиями и точками в геометрии. Эти результаты показывали его потенциальные возможности и впоследствии использовались при чтении различных курсов для школьников, студентов и учителей.

В 1981 г. В. В. Волчков поступает на математический факультет Донецкого государственного университета (ДонГУ). С первых дней обучения пользуется авторитетом среди студентов и опытных преподавателей. По приглашению доцента А. К. Слипенко руководит работой факультетского кружка по теории чисел, параллельно с этим занимается собственными исследованиями и посещает семинар профессора А. Я. Савченко по теории устойчивости в Институте прикладной математики и механики. На 3-м курсе университета В. В. Волчков начал специализироваться по теории приближения функций у Р. М. Тригуба и посещать его семинар. Когда на этом семинаре состоялся доклад Б. Д. Котляра, математика из Днепропетровска, научные интересы В. В. Волчкова сместились в область интегральной геометрии и ее приложений. На 4–5-м курсах университета он получает результаты, связанные с геометрическими критериями голоморфности, которые в дальнейшем были опубликованы в журнале “Известия вузов. Математика” (1993 г.).

В 1986 г. В. В. Волчков окончил ДонГУ по специальности “математика”. Вспоминая свои школьные и университетские годы, он отмечал, что его образование носило весьма специфический характер, и в шутку говорил: “Я не решал задачи из учебников, а всегда занимался тем, что не мог решить общеизвестные математические проблемы”.

Осенью 1986 г. В. В. Волчков был призван в Вооруженные силы СССР. Его служба проходила до 1988 г. в Группе советских войск в Германии. Находясь вдали от Родины, в условиях изоляции и отсутствия доступа к математической литературе, в свободное от службы время он продолжает математические исследования. В этот период ему удалось получить следующую теорему о функциях с нулевыми интегралами по всем замкнутым единичным кубам, лежащим в открытом шаре радиуса $r$ в $\mathbb{R}^n$, $n\geqslant2$. Было показано, что если $r\geqslant\sqrt{n+3}/2$, то функция является нулевой, а при $r<\sqrt{n+3}/2$ существуют ненулевые функции класса $C^{\infty}$, удовлетворяющие указанному условию. Другими словами, радиус инъективности преобразования Помпейю, ассоциированного с индикатором единичного куба в $\mathbb{R}^n$, равен $\sqrt{n+3}/2$. Этот результат дает исторически первое точное значение радиуса инъективности и усиливает соответствующую теорему К. А. Беренстейна и Р. Гэя – см. их статью “Le problème de Pompeiu local” (J. Anal. Math., 52 (1989), 133–166). Указанная теорема В. В. Волчкова и ее далеко идущие обобщения были впоследствии опубликованы им в ряде работ (см., например, [1]–[4]).

После демобилизации в 1988 г. В. В. Волчков поступает в аспирантуру ДонГУ к профессору Р. М. Тригубу на кафедру математического анализа и теории функций, где продолжает заниматься вопросами, связанными с преобразованием Помпейю. Большая заслуга Р. М. Тригуба как руководителя состояла в том, что он дал своему ученику полную свободу действий. Благодаря этому В. В. Волчков за время обучения в аспирантуре заложил основы собственных методов для решения ряда задач интегральной геометрии и теории периодических в среднем функций. Его кандидатская диссертация “Проблемы типа Помпейю на ограниченных областях” была защищена им в 1991 г. до окончания аспирантуры.

С сентября 1991 г. по настоящее время В. В. Волчков работает на математическом факультете в ДонГУ. Степень доктора наук он получил в апреле 1997 г. В отзыве на его докторскую диссертацию “Преобразование Помпейю и его применение в теории функций” президент Израильского математического общества Л. Зальцман писал: “В своей работе В. В. Волчков получил результаты, о которых предшественники не могли даже и мечтать. В действительности, если бы существовал выбор, я бы поставил этой работе самую высокую оценку”. В 1998 г. научные заслуги В. В. Волчкова были отмечены медалью и международной премией Европейской академии.

За время своей дальнейшей почти 30-летней научной деятельности Валерий Владимирович получил фундаментальные результаты в интегральной геометрии, в теории многомерных интегральных уравнений типа свертки и в их приложениях, что во многом определило современное направление развития этих областей математики и принесло ему широкую известность.

Исследования В. В. Волчкова в интегральной геометрии связаны с проблемами восстановления функций по заданным интегральным средним. Это направление сформировалось в первой половине XX в. в работах Г. Минковского, П. Функа, И. Радона, Д. Помпейю, Ф. Йона и в более поздних исследованиях Л. Зальцмана, К.А. Беренстейна и других математиков. Однако изучение подобных задач на ограниченных областях наталкивалось на существенные трудности, поскольку прежние методы были основаны на применении преобразования Фурье. В работах В. В. Волчкова разработана новая методика, основанная на разложениях по специальным функциям, позволившая получить полные решения ряда известных проблем (проблема Л. Зальцмана [3], [5], локальная проблема о двух радиусах [4], [6], проблема носителя [7], [8], проблемы инъективности преобразования Радона на сферах [3], [4], [9], проблема описания множеств инъективности преобразования Помпейю [3], [10], проблема Беренстейна–Гэя [8], [11] и др.). Эти результаты получили высокую оценку известных ученых разных стран. Так, профессор Л. Зальцман в своем библиографическом обзоре “Supplementary bibliography to ‘A bibliographic survey of the Pompeiu problem’ ” (Contemp. Math., 278, 2001, 69–74) отмечал экстраординарный вклад В. В. Волчкова и указывал на то, что его работы составляют треть всей библиографии в данном направлении. Красноречивым подтверждением высокой значимости этих исследований являются также слова известного американского математика Э. Т. Квинто: “Работы В. В. Волчкова вынуждают меня учить русский язык…”.

В. В. Волчков получил много глубоких и окончательных результатов в теории уравнений свертки на евклидовых и симметрических пространствах. Уравнения свертки весьма важны в многочисленных приложениях, и их исследованию посвящены работы Ж. Дельсарта, Л. Шварца, Л. Эренпрейса, Б. Мальгранжа, Л. Хёрмандера, А. Ф. Леонтьева, К. А. Беренстейна, А. Ситарама и др. В своей монографии 2003 г. “Integral geometry and convolution equations” [3] В. В. Волчков существенно усилил результаты ряда математиков и предложил около пятидесяти новых открытых проблем, которые сразу привлекли внимание исследователей. В итоге часть поставленных задач была решена, что существенно обогатило теорию и указало новые приложения. Эта работа подытожена в монографиях В. В. Волчкова и Вит. В. Волчкова “Harmonic analysis of mean periodic functions on symmetric spaces and the Heisenberg group” [8] и “Offbeat integral geometry on symmetric spaces” [4]. Среди наиболее важных результатов В. В. Волчкова, относящихся к уравнениям свертки, следует отметить теоремы единственности, теоремы о структуре общего решения, теоремы об асимптотическом поведении решений, теоремы об устранимой особенности, а также аналогичные результаты для систем уравнений свертки.

Описанными выше направлениями не исчерпывается весь круг математических интересов В. В. Волчкова. Остановимся кратко на некоторых его результатах в областях, отличных от указанных выше.

1. Теория приближений. Получены $L^p$-аналоги классической теоремы Н. Винера о замыкании сдвигов на ограниченных областях, а также точные теоремы об аппроксимации сферическими волнами [3], [12]. Установлены результаты о точных константах в $L^2$-приближениях [13]. Доказаны теоремы об аппроксимации функций многочленами с целыми коэффициентами [14] и аналог теоремы Т. Карлемана о касательной аппроксимации [15].

2. Гармонический анализ. Получены окончательные результаты о кратных тригонометрических рядах со слабыми лакунами, а также их аналоги для рядов по специальным функциям [3], [16]. Уточнена теорема Л. Эренпрейса и Ф. Маутнера о спектральном синтезе на группе конформных автоморфизмов единичного круга [17].

3. Теория гармонических функций. Рассмотрены некоторые задачи теории гармонических функций, связанные с шаровыми средними. Основные результаты являются существенным усилением известных теорем Ж. Дельсарта (о двух радиусах) и Л. Флатто (об одном радиусе) [3], [18].

4. Теория дифференциальных уравнений в частных производных. Установлены новые теоремы о среднем и точные теоремы единственности для некоторых уравнений математической физики (уравнение Дарбу, волновое уравнение, уравнение теплопроводности и др.) [3], [4], [19], [20]. Получено решение одной проблемы К. А. Беренстейна об описании множества решений системы дифференциально-разностных уравнений с частными производными [3].

5. Теория отображений, сохраняющих меру. Получены точные условия, из которых следует свойство полного сохранения меры для некоторых классов отображений многомерных областей [3].

6. Комплексный анализ. Установлены критерии разрешимости интерполяционных задач для некоторых классов функций [4], [21], [22]. Отметим также новые теоремы типа Мореры (в том числе многомерные) и уточнения теоремы В. К. Дзядыка о геометрическом описании аналитических функций [3], [23].

7. Комбинаторная геометрия. Получены результаты, относящиеся к оценкам плотности укладок ограниченных множеств [3].

8. Теория чисел. Установлены новый критерий справедливости гипотезы Римана [24], оценки меры иррациональности некоторых постоянных, асимптотически точные теоремы о распределении простых чисел в среднем.

Отметим, что на с. 81–90 монографии P. Borwein, S. Choi, B. Rooney, A. Weirathmueller “The Riemann hypothesis: A resource for the afficionado and virtuoso alike” (Springer, 2007) указана временна́я шкала достижений, связанных с гипотезой Римана, начиная с результатов Эйлера, Гольдбаха, Гаусса… В качестве одного из достижений в этом списке приводится указанный критерий В. В. Волчкова.

Наряду с научной работой, весьма многогранна общественно-научная и преподавательская деятельность В. В. Волчкова. В течение ряда лет он является членом редколлегий различных научных журналов, членом специализированных ученых советов, имеет опыт руководства международными научными проектами. В. В. Волчков неоднократно получал приглашения для чтения лекций и докладов о своих исследованиях в зарубежные университеты. Его, как блестящего лектора, обладающего даром четко и ясно излагать сложные вопросы современной математики, всегда с огромным интересом слушают студенты ДонГУ и сотрудники Донецкого научного центра. Особенно запоминающимися для слушателей были его лекции по теории чисел, где излагались вопросы теории дзета-функции Римана, решение тернарной проблемы Гольдбаха, полученное И. М. Виноградовым, а также решение седьмой проблемы Гильберта, полученное А. О. Гельфондом.

Большое внимание Валерий Владимирович уделяет работе с талантливой молодежью – он принимает активное участие в проведении олимпиад различного ранга, в течение многих лет руководил работой жюри республиканского конкурса Малой академии наук. Методы, развитые в работах В. В. Волчкова, используются в многочисленных исследованиях его учеников и последователей.

В. В. Волчков является заслуженным профессором Донецкого государственного университета и отличником народного образования. За значительный вклад в развитие образования и весомые результаты в подготовке учащихся к олимпиадам он награжден Почетной грамотой Главного управления образования и науки Донецкой области. Его талант сопряжен со скромностью, дружелюбием, добротой. Все, кто с ним работал, отмечают многогранность его интересов, целеустремленность и неизменную доброжелательность.

Валерий Владимирович полон сил, творческих идей и замыслов. Мы желаем ему новых выдающихся свершений, крепкого здоровья и счастья.

Список литературы
1.	В. В. Волчков, “Экстремальные задачи о множествах Помпейю. II”, Матем. сб., 191:5 (2000), 3–16        ; англ. пер.: V. V. Volchkov, “Extremal problems on Pompeiu sets. II”, Sb. Math., 191:5 (2000), 619–632
2.	В. В. Волчков, “О полиэдрах с локальным свойством Помпейю”, Докл. РАН, 373:4 (2000), 448–450      ; англ. пер.: V. V. Volchkov, “On polyhedra with the local Pompeiu property”, Dokl. Math., 62:1 (2000), 69–71
3.	V. V. Volchkov, Integral geometry and convolution equations, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2003, xii+454 pp.
4.	V. V. Volchkov, Vit. V. Volchkov, Offbeat integral geometry on symmetric spaces, Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, 2013, x+592 pp.
5.	В. В. Волчков, “Об одной проблеме Зальцмана и ее обобщениях”, Матем. заметки, 53:2 (1993), 30–36      ; англ. пер.: V. V. Volchkov, “On a problem of Zalcman and its generalizations”, Math. Notes, 53:2 (1993), 134–138
6.	В. В. Волчков, “Локальная теорема о двух радиусах на симметрических пространствах”, Матем. сб., 198:11 (2007), 21–46        ; англ. пер.: V. V. Volchkov, “Local two-radii theorem in symmetric spaces”, Sb. Math., 198:11 (2007), 1553–1577
7.	В. В. Волчков, “Решение проблемы носителя для некоторых классов функций”, Матем. сб., 188:9 (1997), 13–30        ; англ. пер.: V. V. Volchkov, “Solution of the support problem for several function classes”, Sb. Math., 188:9 (1997), 1279–1294
8.	V. V. Volchkov, Vit. V. Volchkov, Harmonic analysis of mean periodic functions on symmetric spaces and the Heisenberg group, Springer Monogr. Math., Springer-Verlag London, Ltd., London, 2009, xii+671 pp.
9.	В. В. Волчков, “О множествах инъективности преобразования Радона на сферах”, Изв. РАН. Сер. матем., 63:3 (1999), 63–76        ; англ. пер.: V. V. Volchkov, “Injectivity sets for the Radon transform over a sphere”, Izv. Math., 63:3 (1999), 481–493
10.	В. В. Волчков, “О множествах инъективности преобразования Помпейю”, Матем. сб., 190:11 (1999), 51–66        ; англ. пер.: V. V. Volchkov, “Injectivity sets of the Pompeiu transform”, Sb. Math., 190:11 (1999), 1607–1622
11.	В. В. Волчков, Вит. В. Волчков, “Об одной проблеме Беренстейна–Гэя и ее обобщениях”, Изв. РАН. Сер. матем., 74:4 (2010), 33–62        ; англ. пер.: V. V. Volchkov, Vit. V. Volchkov, “On a problem of Berenstein–Gay and its generalizations”, Izv. Math., 74:4 (2010), 691–721
12.	В. В. Волчков, “Аппроксимация функций на ограниченных областях в $R^n$ линейными комбинациями сдвигов”, Докл. РАН, 334:5 (1994), 560–561      ; англ. пер.: V. V. Volchkov, “Approximation of functions on bounded domains in $R^n$ by linear combinations of shifts”, Dokl. Math., 49:1 (1994), 160–162
13.	В. В. Волчков, “О точных константах в неравенствах типа Джексона для периодических функций в пространстве $L_{2}$”, Укр. матем. журн., 47:1 (1995), 108–110    ; англ. пер.: V. V. Volchkov, “On exact constants in Jackson-type inequalities in the space $L^2$”, Ukrainian Math. J., 47:1 (1995), 125–129
14.	R. M. Trigub, V. V. Volchkov, “Best approximation of constants by polynomials with integer coefficients”, J. Approx. Theory, 2025 (to appear)
15.	В. В. Волчков, Вит. В. Волчков, “Аппроксимация функций на лучах в $\mathbb{R}^n$ решениями уравнений свертки”, Сиб. матем. журн., 64:1 (2023), 56–64        ; англ. пер.: V. V. Volchkov, Vit. V. Volchkov, “Approximation of functions on rays in $\mathbb{R}^n$ by solutions to convolution equations”, Siberian Math. J., 64:1 (2023), 48–55
16.	В. В. Волчков, “Теоремы единственности для кратных лакунарных тригонометрических рядов”, Матем. заметки, 51:6 (1992), 27–31      ; англ. пер.: V. V. Volchkov, “Uniqueness theorems for multiple lacunary trigonometric series”, Math. Notes, 51:6 (1992), 550–552
17.	В. В. Волчков, Вит. В. Волчков, “Спектральный синтез на группе конформных автоморфизмов единичного круга”, Матем. сб., 209:1 (2018), 3–36        ; англ. пер.: V. V. Volchkov, Vit. V. Volchkov, “Spectral synthesis on the group of conformal automorphisms of the unit disc”, Sb. Math., 209:1 (2018), 1–34
18.	В. В. Волчков, “Новые теоремы о двух радиусах в теории гармонических функций”, Изв. РАН. Сер. матем., 58:1 (1994), 182–194      ; англ. пер.: V. V. Volchkov, “New two-radii theorems in the theory of harmonic functions”, Russian Acad. Sci. Izv. Math., 44:1 (1995), 181–192
19.	В. В. Волчков, “Новые теоремы о среднем для решений уравнения Гельмгольца”, Матем. сб., 184:7 (1993), 71–78      ; англ. пер.: V. V. Volchkov, “New theorems on the mean for solutions of the Helmholtz equation”, Russian Acad. Sci. Sb. Math., 79:2 (1994), 281–286
20.	V. V. Volchkov, Vit. V. Volchkov, “A uniqueness theorem for the non-Euclidean Darboux equation”, Lobachevskii J. Math., 38:2 (2017), 379–385
21.	В. В. Волчков, Вит. В. Волчков, “Сферические средние на двухточечно-однородных пространствах и их приложения”, Изв. РАН. Сер. матем., 77:2 (2013), 3–34        ; англ. пер.: V. V. Volchkov, Vit. V. Volchkov, “Spherical means on two-point homogeneous spaces and applications”, Izv. Math., 77:2 (2013), 223–252
22.	V. V. Volchkov, Vit. V. Volchkov, “Interpolation problem with knots on a line for solutions of a multidimensional convolution equation”, Lobachevskii J. Math., 44:8 (2023), 3630–3639
23.	V. Volchkov, Vit. Volchkov, “Zalcman's problem and related two-radii theorems”, Anal. Math. Phys., 13:5 (2023), 72, 47 pp.
24.	V. V. Volchkov, “On an equality equivalent to the Riemann hypothesis”, Ukrainian Math. J., 47:3 (1995), 491–493

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{AvsBurGor25}
\by О.~Г.~Авсянкин, В.~П.~Бурский, В.~В.~Горяйнов, В.~П.~Заставный, А.~Ю.~Иванов, А.~А.~Ковалевский, С.~В.~Конягин, Д.~В.~Лиманский, А.~Д.~Манов, П.~А.~Машаров, Л.~Л.~Оридорога, И.~П.~Половинкин, С.~М.~Ситник, Э.~Л.~Шишкина
\paper Валерий Владимирович Волчков (к шестидесятилетию со дня рождения)
\jour УМН
\yr 2025
\vol 80
\issue 2(482)
\pages 184--189
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10221}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10221}
\mathscinet{https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4920935}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2025RuMaS..80..359A}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2025
\vol 80
\issue 2
\pages 359--364
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10221e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001519777000008}