| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Об одной обратной задаче теории аппроксимации в пространстве Блоха А. Д. Барановa, Р. Заруфb, И. Р. Каюмовca a Санкт-Петербургский государственный университет b Aix-Marseille Université, Marseille, France c Казанский (Приволжский) федеральный университет
Английская версия:
Russian Mathematical Surveys, 2025, Volume 80, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10223e 
Реферативные базы данных:
    Для области $G$ через $\mathcal{R}_{n}(G)$ обозначим множество рациональных функций степени не выше $n$ с полюсами вне $\overline{G}$. Для банахова пространства $X$, состоящего из функций, голоморфных в $G$, и содержащего $H^\infty(G)$, рассмотрим наилучшее приближение функции $f$ в $X$ рациональными функциями из $\mathcal{R}_{n}(G)$, т. е. $R_{n}(f,X)=\inf \{\|f-g\|_{X}\colon g \in \mathcal{R}_{n}(G)\}$. Е. П. Долженко [1] доказал, что если кривизна границы области $G$ удовлетворяет условию Липшица, то из неравенства $\sum_{n=1}^\infty R_n(f,H^\infty(G))/n<\infty$ вытекает, что $f'\in A^1(G)$, где $A^1(G)$ – пространство Бергмана в области $G$. В недавнем препринте [2] этот результат был уточнен, а именно, было показано, что включение $f'\in A^1(G)$ справедливо для любой односвязной области со спрямляемой границей и при более слабом условии $\sum_{n=2}^\infty R_n(f,H^\infty(G))/(n \sqrt{\log n}\,)<\infty$, причем это условие уже является точным. Отметим также, что близким обратным задачам теории аппроксимации посвящены работы [3]–[6]. В настоящей заметке результат Долженко распространен на более широкий класс функций, а именно на пространство Блоха $\mathcal{B}(G)$, состоящее из всех аналитических в $G$ функций $f$ с конечной полунормой $\|f\|_{\mathcal{B}(G)}=\sup_{w \in G}R(w,G)|f'(w)|$, где $R(w,G)$ – конформный радиус области $G$ в точке $w$. Напомним, что конформный радиус эквивалентен расстоянию от точки $w$ до границы области $G$. Имеет место Теорема 1. Пусть $G$ – односвязная область со спрямляемой гёльдеровой границей. Если то $f' \in A^1(G)$. Доказательство теоремы 1 основано на следующей оценке для интегральных средних производных. Теорема 2. Пусть $G$ – область со спрямляемой гёльдеровой границей. Тогда существует константа $C=C(G)>0$ такая, что для любой функции $f \in \mathcal{B}(G)$, не более чем $n$-листной в области $G$, выполнено неравенство Теоремы 1 и 2 являются точными. Точность неравенства (2) видна на примере функций $f_n(z)=\sum_{k=1}^n z^{2^k}$, имеющих равномерно ограниченную норму Блоха в единичном круге $\mathbb{D}$, в то время как интегральное среднее растет, как $n$. Условие (1) точно в следующем смысле: для любой положительной последовательности $(a_n)$ с $\lim_{n\to\infty} a_n=0$ найдется функция $f\in \mathcal{B}=\mathcal{B}(\mathbb{D})$ такая, что $\sum_{n=2}^\infty a_n R_{n}(f,\mathcal{B})/n <\infty$, но $f' \notin A^1(\mathbb{D})$. Отметим, что для случая ограниченных $n$-листных функций в области со спрямляемой границей (без условия гёльдеровости) справедлива более сильная, чем (2), оценка с множителем $\sqrt{\log(n+1)}$ вместо $\log(n+1)$ в правой части [7]. Теорема 2 доказывается пересадкой нашей задачи в единичный круг $\mathbb{D}$ (отметим, что пространство Блоха конформно-инвариантно). Далее символ $C$ обозначает различные положительные числовые константы. Нам понадобится следующее неравенство, которое нетрудно вывести из классической теоремы площадей:
$$
\begin{equation}
\int_{0}^{2\pi}|f'(re^{it})|^2\,dt \leqslant C n\,\frac{\log^2(1-r)}{1-r}\,\|f\|^2_{\mathcal{B}}, \qquad r \in \biggl(\frac{1}{2}\,,1\biggr),
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $f \in \mathcal{B}=\mathcal{B}(\mathbb{D})$, причем $f$ (не более чем) $n$-листна в круге $\mathbb{D}$. Доказательство теоремы 2 получается из эквивалентного неравенству (2) неравенства
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{D}} |f'(z)|\, |\varphi'(z)|\,dA(z) \leqslant C\log n\,\|f\|_{\mathcal{B}}, \qquad f \in \mathcal{B},
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $\varphi$ – конформное отображение круга $\mathbb{D}$ на область $G$. Поскольку область $G$ гёльдерова (т. е. $\varphi$ лежит в некотором классе Гёльдера в $\overline{\mathbb{D}}$), имеем $|\varphi'(z)|\leqslant C(1-|z|)^{\delta-1}$ для некоторого $\delta>0$. Неравенство (4) доказывается путем разбиения нашего двойного интеграла на интегралы по множествам $\{|z|<1-1/n^K\}$ и $\{1-1/n^K \leqslant |z|< 1\}$ для некоторого $K>0$. В первом случае работают простая оценка $|f'(z)| \leqslant \|f\|_{\mathcal{B}}/(1- |z|)$ и спрямляемость границы $G$ (в этом случае $\varphi'$ принадлежит пространству Харди $H^1$). Для оценки второго интеграла воспользуемся неравенством Коши–Буняковского–Шварца, оценкой (3) и свойством гёльдеровости границы $G$:
$$
\begin{equation*}
\int_{1-1/n^K \leqslant |z|<1}|f'(z)|\, |\varphi'(z)|\,dA(z) \leqslant C\|\varphi'\|^{1/2}_{H^1}\|f\|_{\mathcal{B}}\, n^{1/2} \int_{1-1/n^K}^1\frac{|\log(1-r)|}{(1-r)^{1-\delta/2}}\,dr.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что последнюю величину можно сделать сколь угодно малой, выбрав достаточно большое $K=K(\delta)$.
Докажем теперь теорему 1. Для заданного $n$ выберем рациональные функции $f_{n}\in \mathcal{R}_{n}$ такие, что $\|f-f_{n}\|_{\mathcal{B}(G)}\leqslant 2R_{n}(f,\mathcal{B}(G))$. Заметим, что $f_{2^{2^k}}=f_2+\sum_{m=1}^k u_m$, где $u_m=f_{2^{2^m}}-f_{2^{2^{m-1}}}$. Так как $f_{2^{2^k}}$ сходятся к $f$ локально равномерно в области $G$, имеем $\|f'\|_{A^1(G)} \leqslant \liminf_{k\to \infty} \bigl\|f_{2^{2^k}}'\bigr\|_{A^1(G)} \leqslant \|f_2'\|_{A^1(G)}+ \liminf_{k\to \infty}\,\sum_{m=1}^k\|u_m'\|_{A^1(G)}$. Очевидно, что $\|u_m\|_{\mathcal{B}(G)}\leqslant 4R_{2^{2^{m-1}}}(f,\mathcal{B}(G))$. Поскольку $u_m \in \mathcal{R}_{2^{2^m}}(G)$, в силу теоремы 2, имеем
$$
\begin{equation*}
\|u_m'\|_{A^1(G)} \leqslant C \log 2^{2^m} \|u_m\|_{\mathcal{B}(G)} \leqslant C\,2^{m} R_{2^{2^{m-1}}}(f,\mathcal{B}(G)).
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $f'\in A^1(G)$ при условии, что $\sum_{m=1}^\infty 2^{m} R_{2^{2^m}}(f,\mathcal{B}(G)) < \infty$. Остается заметить, что последнее условие эквивалентно сходимости ряда $\sum_{n=1}^\infty R_n(f,\mathcal{B}(G))/n< \infty$. Этот факт завершает доказательство теоремы 1.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BarZarKay25} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|