| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Математическая жизнь Альберт Николаевич Ширяев (к 90-летию со дня рождения) А. В. Булинский, А. А. Гущин, М. В. Житлухин, В. В. Козлов, А. Д. Манита, А. А. Муравлёв, А. А. Новиков, И. В. Павлов, Д. В. Трещев, А. С. Холево, Е. Б. Яровая, П. А. Яськов
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2025, Volume 80, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10234e 
Реферативные базы данных:
    12 октября 2024 г. исполнилось 90 лет выдающемуся ученому – академику Российской академии наук Альберту Николаевичу Ширяеву. Альберт Николаевич родился в г. Щелково Московской области, а вскоре его родители переехали в пос. Подлипки (ныне находящийся в черте г. Королева). С заводами, в разное время работавшими в Королеве, оказалась связанной судьба многих его родственников. С 7-го по 10-й класс Альберт Николаевич был учащимся 338-й московской школы и интерната № 1 при Министерстве иностранных дел (когда родители, работавшие в МИДе, находились в загранкомандировке). В школьные годы его интересы были самыми разнообразными: он участвовал в семинарах по истории дипломатии в Институте международных отношений, ходил на кружки в МВТУ им. Н. Э. Баумана, много занимался спортом (русским хоккеем, футболом, фигурным катанием) и бальными танцами. В 9-м классе стал осваивать незадолго до этого переведенную на русский язык книгу Ф. Франклина “Математический анализ” (в двух томах), успешно решая большое число задач к каждой главе. Для поступления на мехмат МГУ ему, как медалисту, нужно было пройти собеседование. И когда выяснилось, что один из преподавателей на собеседовании – это С. А. Гальперн, бывший редактором перевода книги Франклина, судьба абитуриента была решена. В университете Альберт Николаевич не оставил своего увлечения спортом и занимался в тогда только создававшейся горнолыжной секции, став кандидатом в мастера по этому виду. Будучи студентом мехмата, Альберт Николаевич посещал разнообразные семинары и в конце концов поступил на кафедру теории вероятностей, где руководителем его курсовой работы стал Роланд Львович Добрушин. Первым научным исследованием Альберта Николаевича была работа по теме “Центральная предельная теорема для сложных цепей Маркова”, выполненная им на 4–5-м курсах университета. Сразу же после окончания кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ (1952–1957 гг.) он, по рекомендации А. Н. Колмогорова, был принят в Отдел теории вероятностей Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР (МИАН) и с тех пор бессменно работает в этом институте, пройдя путь от старшего лаборанта до главного научного сотрудника. Вскоре после начала работы в МИАН Альберт Николаевич был приглашен на работу по совместительству на кафедру теории вероятностей МГУ, являясь в настоящее время (с 1996 г.) ее заведующим. В МИАН его научная деятельность началась с совместных с В. П. Леоновым исследований в нелинейной теории случайных процессов, основанной на изучении старших моментов и семиинвариантов. В работе “К технике вычисления семиинвариантов” (ТВП, 1959), написанной в соавторстве с В. П. Леоновым, были рассмотрены старшие моменты
$$
\begin{equation*}
m_X^{(\nu)} =\mathsf{E} X_{t_1}^{\nu_1}\cdots X_{t_n}^{\nu_n}
\end{equation*}
\notag
$$
случайных процессов $X=(X_t)_{t\geqslant0}$ и установлена их связь с соответствующими семиинвариантами, которые проще устроены.
Выведенные формулы применялись для нахождения моментных и семиинвариантных характеристик нелинейных преобразований $Y_t=Q(X_t)$, $t\geqslant0$. Соответствующие результаты были получены Альбертом Николаевичем и для спектральных моментов и семиинвариантов, и в этих терминах были даны условия эргодичности (ранее подобные условия были известны лишь для гауссовских процессов, для которых все семиинварианты, начиная с третьего, равны нулю). После семиинвариантной тематики А. Н. Колмогоров привлек Альберта Николаевича к плановым работам в МИАН по теме, связанной со скорейшим обнаружением изменений (“разладок”) в статистическом характере наблюдаемого процесса. Простейшая задача о “разладке” может быть сформулирована следующим образом. Пусть наблюдается случайный процесс $X=(X_t)_{t\geqslant0}$ такой, что где $I(\cdot)$ – индикатор множества, $B=(B_t)_{t\geqslant0}$ – броуновское движение, а $\theta$ – случайный момент появления “разладки”, который надо обнаружить как можно скорее и при этом с малой вероятностью “ложной тревоги”.Решение ряда задач о “разладке” привело Альберта Николаевича к серии работ по статистическому последовательному анализу; сводному изложению полученных в этих работах результатов и общей теории посвящены две его книги: “Статистический последовательный анализ” (Наука, М., 1969, 2-е изд.: 1976) и “Стохастические задачи о разладке” (МЦНМО, М., 2016). Обе монографии были переведены на английский язык издательством Springer. Эти задачи приводят в марковском диффузионном случае к решению задач Дирихле–Стефана для дифференциальных уравнений. В отличие от задачи Дирихле, где область, в которой действует уравнение, фиксирована, а на ее границе искомое решение должно удовлетворять определенному условию, в задачах Дирихле–Стефана область, в которой действует уравнение, может меняться со временем и требуется найти не только решение, но и “оптимальную” область. При этом Альбертом Николаевичем было выяснено, что на границах оптимальной области часто выполняется условие “гладкого склеивания”. Математическая формулировка описанной задачи о разладке состояла в следующем. Пусть
$$
\begin{equation*}
\mathsf{P}_\pi(\theta=0)=\pi, \qquad \mathsf{P}_\pi(\theta\geqslant t\,|\, \theta >0)=(1-\pi)e^{-t}
\end{equation*}
\notag
$$
и интересующая нас задача заключается в отыскании байесовской функции
$$
\begin{equation}
V^*(\pi) =\inf_{\tau}[\mathsf{P}_\pi(\tau<\theta)+c\mathsf{E}_\pi(\tau-\theta)^+],
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\tau$ – момент подачи сигнала “тревоги”, т. е. неотрицательная случайная величина, измеримая относительно наблюдаемого процесса (событие $\{\tau\leqslant t\}$ принадлежит $\sigma$-алгебре $\mathcal{F}_t^X=\sigma(X_s, s\leqslant t)$ для любого $t\geqslant0$), $\mathsf{P}_\pi(\tau<\theta)$ – вероятность ложной тревоги, $\mathsf{E}_\pi(\tau-\theta)^+$ – среднее время запаздывания, а $c>0$ играет роль множителя Лагранжа.
Пусть $\pi_t=\mathsf{P}_\pi(\theta\leqslant t\,|\, \mathcal{F}_t^X)$. А. Н. Ширяев показал, что
$$
\begin{equation}
V^*(\pi) =\inf_\tau \mathsf{E}_\pi \biggl[(1-\pi_\tau)+ c\int_0^\tau \pi_s\,ds\biggr],
\end{equation}
\tag{2}
$$
причем процесс $(\pi_t)_{t\geqslant0}$ удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению
$$
\begin{equation}
d\pi_t =\biggl(\lambda-\frac{\mu^2}{\sigma^2}\,\pi_t^2\biggr)(1-\pi_t)\,dt +\frac{\mu}{\sigma^2} \pi_t(1-\pi_t)\,dX_t.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Им также показано, что процесс $X=(X_t)_{t\geqslant0}$ допускает так называемое обновляющее представление:
$$
\begin{equation*}
X_t =\mu\int_0^t \pi_s\,ds+\sigma \overline B_t, \qquad t\geqslant0,
\end{equation*}
\notag
$$
где процесс $\overline B=(\overline B_t)_{t\geqslant0}$ является броуновским движением относительно потока $\sigma$-алгебр $\mathbb{F}^X=(\mathcal{F}_t^X)_{t\geqslant0}$. Таким образом, уравнение (3) может быть записано в виде
$$
\begin{equation*}
d\pi_t =\lambda(1-\pi_t)\,dt +\frac{\mu}{\sigma^2}\pi_t(1-\pi_t)\,d\overline B_t,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что процесс $(\pi_t)_{t\geqslant0}$ имеет инфинитезимальный оператор
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}=\lambda(1-\pi)\,\frac{d}{d\pi}+ \frac{\mu^2}{\sigma^2}\pi(1-\pi)\,\frac{d^2}{d \pi^2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Альбертом Николаевичем установлено, что $V^*(\pi)$ является решением следующей задачи Дирихле–Стефана (для нахождения функции $V^*(\pi)$ и границы $A^*$):
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \mathcal{A} V(\pi)&=-c\pi, &&\qquad 0<\pi<A, \\ V(\pi)&=1-\pi,&&\qquad \pi\geqslant A, \\ \frac{d V(\pi)}{d\pi}&=-1,&& \qquad \pi=A, \\ \frac{dV(\pi)}{d\pi}&\to0,&& \qquad \pi\downarrow 0. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Им показано, что эта задача допускает решение $(V^*(\pi),A^*)$ и оптимальный момент $\tau^*$ имеет вид $\tau^*=\inf\{t\colon \pi_t\geqslant A^*\}$. Отсюда уже для класса $\mathfrak{M}_\alpha=\{\tau\colon\mathsf{P}_\pi(\tau<\theta) \leqslant \alpha\}$ (т. е. класса тех моментов остановки $\tau$, для которых вероятность ложной тревоги не превосходит заданного значения $\alpha$) находится и время запаздывания: $R(\alpha,\lambda)= \mathsf{E}_0(\tau^*-\theta\,|\,\tau^*\geqslant\theta)$.
Уравнения типа (3) послужили для Альберта Николаевича основанием заняться выводом уравнений фильтрации (для $\mathsf{E}(\theta_t \,|\, \mathcal{F}_t^X)$), интерполяции (для $\mathsf{E}(\theta_s \,|\, \mathcal{F}_t^X)$ при $s\leqslant t$) и экстраполяции (для $\mathsf{E}(\theta_s \,|\, \mathcal{F}_t^X)$ при $s\geqslant t$) в случае процессов $\theta=(\theta_t)_{t\geqslant0}$, порожденных мартингалами, и диффузионных процессов $X=(X_t)_{t\geqslant0}$. Эти уравнения легли в основу исследования А. Н. Ширяевым вопросов, связанных с линейной и нелинейной фильтрацией, оцениванием параметров, оптимальным управлением и т. д. Суммарное изложение было дано в написанной вместе с Р. Ш. Липцером книге “Статистика случайных процессов” (Наука, М., 1974), выдержавшей два издания на английском языке (Springer, 1978, 2001). В этой же книге введены понятие “слабого” решения стохастических дифференциальных уравнений и понятие “обновляющего” процесса (для диффузионных процессов), получен многомерный вариант теоремы Камерона–Мартина, исследованы условия абсолютной непрерывности ($\widetilde{\mathsf{P}} \ll \mathsf{P}$) и сингулярности ($\widetilde{\mathsf{P}}\perp \mathsf{P}$) двух вероятностных мер $\mathsf{P}$ и $\widetilde{\mathsf{P}}$ диффузионных процессов. Значительное место в работах Альберта Николаевича и его соавторов занимали вопросы контигуальности ($\widetilde{\mathsf{P}}^n\!\!\vartriangleleft\! \mathsf{P}^n$) и асимптотической разделимости ($\widetilde{\mathsf{P}}^n \!\!\vartriangle\! \mathsf{P}^n$) для двух последовательностей мер $(\mathsf{P}^n)_{n\geqslant1}$ и $(\widetilde{\mathsf{P}}^n)_{n\geqslant1}$. Основной интерес заключался в отыскании условий выполнения этих свойств, которые были бы сформулированы в так называемых “предсказуемых” терминах. Если меры $\mathsf{P}^n$ и $\widetilde{\mathsf{P}}^n$ заданы на фильтрованных пространствах $(\Omega^n,\mathcal{F}^n,(\mathcal{F}_t^n)_{t\geqslant0})$, то в терминах свойств процессов Хеллингера $h(\alpha,\mathsf{P}^n,\widetilde{\mathsf{P}}^n)= (h_t(\alpha,\mathsf{P}^n,\widetilde{\mathsf{P}}^n))_{t\geqslant0}$ удается дать необходимые и достаточные условия контигуальности и асимптотической разделимости. Полученные критерии для случаев дискретного и непрерывного времени вошли в книги: P. E. Greenwood, A. N. Shiryaev, “Contiguity and the statistical invariance principle” (Gordon & Breach, 1985); J. Jacod, A. N. Shiryaev, “Limit theorems for stochastic processes” (Springer, 1987; 2-е изд.: 2003); вторая из этих монографий впоследствии была переведена на русский язык (Наука, М., 1994). В этих книгах исследован также вопрос о выполнимости статистического принципа инвариантности, хорошо известного в статистике, но рассмотренного в более общей постановке. В частности, этот принцип гласит, что для семимартингалов $X^n=(X_t^n)_{t\geqslant0}$, $n\geqslant1$, слабая сходимость их законов $\operatorname{Law}(X^n\,|\,\mathsf{P}^n)$ к некоторой вероятностной мере $\mathsf{Q}$ в предположении контигуальности $(\widetilde{\mathsf{P}}^n_t) \vartriangleleft (\mathsf{P}_t^n)$ для всех $t\geqslant0$ обеспечивает и сходимость $\operatorname{Law}(X^n\,|\,\widetilde{\mathsf{P}}^n)$ к некоторой вероятностной мере $\mathrm{\widetilde Q}$ такой, что $\mathrm{\widetilde Q} \ll \mathsf{Q}$. Большой цикл работ А. Н. Ширяева, совместных с Ж. Жакодом, Р. Ш. Липцером, Л. И. Гальчуком, Ю. М. Кабановым и др., был связан с развитием теории слабой сходимости семимартингалов $X^n=(X_t^n)_{t\geqslant0}$ при $n\to\infty$. Рассмотрение класса семимартингалов оправдано тем, что этот класс достаточно “богат”: он включает в себя такие важные процессы, как процессы с дискретным временем, большинство процессов с независимыми приращениями, мартингалы, многие марковские процессы, диффузионные процессы, решения стохастических дифференциальных уравнений и т. д. Для семимартингалов определено понятие триплета $(B,C,\nu)$ предсказуемых характеристик, обобщающих характеристики процессов с независимыми приращениями (снос, дисперсия гауссовской компоненты, мера Леви) и играющих фундаментальную роль в теории семимартингалов, в частности в вопросах их слабой сходимости в пространстве $D$ (т. е. в пространстве функций, непрерывных справа и имеющих пределы слева), наделенном полной сепарабельной метрической топологией. Обычно доказательство функциональных предельных теорем $X^n\xrightarrow{\operatorname{Law}} X$ проходит по следующей схеме (Ю. В. Прохоров):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl[\begin{aligned} \, &\text{плотность распределений}\\ &\text{последовательности $(X^n)_{n\geqslant1}$} \end{aligned}\biggr] \oplus \biggl[\begin{aligned} \, &\text{сходимость конечномерных}\\ &\text{распределений} \end{aligned}\biggr] \\ &\qquad\oplus\biggl[\begin{aligned} \, &\text{характеризация процесса $X$}\\ &\text{конечномерными распределениями}\end{aligned}\biggr] \implies X^n \xrightarrow{\operatorname{Law}} X. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В развиваемой теории слабой сходимости семимартингалов (Ж. Жакод, А. Н. Ширяев) используется другая схема:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl[\begin{aligned} \, &\text{плотность распределений}\\ &\text{последовательности $(X^n)_{n\geqslant1}$} \end{aligned}\biggr] \oplus\biggl[\begin{aligned} \, &\text{сходимость триплетов}\\ &\text{$(B^n,C^n,\nu^n)$ к $(B,C,\nu)$} \end{aligned}\biggr] \\ &\qquad\oplus\biggl[\begin{aligned} \, &\text{характеризация процесса $X$}\\ &\text{триплетом $(B,C,\nu)$} \end{aligned}\biggr] \implies X^n \xrightarrow{\operatorname{Law}} X. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В книге А. Н. Ширяева с Ж. Жакодом дается систематическое изложение, связанное с составляющими этой второй схемы.
В 2006 г. вышла в свет книга Г. Пешкира и А. Н. Ширяева “Optimal stopping and free-boundary problems” (Birkhäuser, Basel), в которой помимо общих результатов теории оптимальных правил остановки содержится большой материал, связанный с решением конкретных задач об оптимальной остановке типа
$$
\begin{equation*}
V(x)=\sup_\tau \mathsf{E}_x \biggl[ M(X_\tau)+ \int_0^\tau L(X_t)\,dt+\sup_{t\leqslant\tau} K(X_t)\biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
где $X=(X_t)_{t\geqslant0}$ – марковский процесс и $\tau$ – момент остановки. Детально рассмотрена эксцессивная характеризация функции цены $V(x)$, даны критерии справедливости условий “гладкого склеивания” и решен ряд конкретных задач, включая те ситуации, когда моменты остановки ограничены ($\tau\leqslant T<\infty$).
Большой цикл работ А. Н. Ширяева связан с финансовой математикой. Многие его ученики выбрали эту дисциплину в качестве своей основной специализации. Альберт Николаевич прочитал в МГУ первый курс по финансовой математике, к работе в своих семинарах он привлек многих учеников, особенно тех, кто хорошо знал теорию мартингалов и стохастический анализ случайных процессов. В 1998 г. была опубликована двухтомная монография “Основы стохастической финансовой математики” (Фазис, М.; последующие переиздания: МЦНМО, М.), которая является настольным руководством для студентов и всех тех, кто занимается применением математических методов к проблемам финансовой математики и финансовой инженерии. Эта монография издавалась в России трижды и несколько раз была издана на английском языке издательством World Scientific (1-е изд.: 1999 г.). В первой части этой монографии приведены “факты и модели” финансовой математики. Во второй части излагается теория арбитража и расчетов. Приведен так называемый расширенный вариант первой фундаментальной теоремы арбитража (Ж. Жакод и А. Н. Ширяев), даны разные характеризации безарбитражности, проиллюcтрированы расчеты различных опционов (в частности, “русского опциона”, введенного Л. Шеппом и А. Н. Ширяевым). Два издания выдержала книга “Change of time and change of measure” (World Scientific, 2010, 2015), написанная Альбертом Николаевичем в соавторстве с О. Е. Барндорфф-Нильсеном по материалам лекций, прочитанных авторами в Московском университете и в университетах Орхуса (Дания), Хальмстада (Швеция), Барселоны (Испания). Книга посвящена применениям замены времени и меры в вопросах арбитража, хеджирования, определения рациональной стоимости в финансовой математике и инженерии. Альберт Николаевич уделяет большое внимание педагогической и научно-организационной работе. Он является заведующим кафедрой теории вероятностей механико-математического факультета МГУ (с 1996 г.). Под его руководством 70 человек защитили кандидатские диссертации, из них более 15 стали докторами наук. Его ученики работали и работают в ведущих вузах нашей страны и в университетах Австралии, Болгарии, Великобритании, Германии, Грузии, Израиля, Канады, США, Узбекистана, Уругвая, Финляндии, Швеции. Альберт Николаевич прочитал много общих и специальных курсов лекций. Его университетский учебник по теории вероятностей в двух томах (“Вероятность–1” и “Вероятность–2”) переиздавался в России семь раз (первое, однотомное издание увидело свет в 1980 г.), три издания учебника вышли на английском языке в издательстве Springer, книга также была переведена на немецкий и китайский языки. К этому учебнику были изданы сборник задач (Задачи по теории вероятностей, МЦНМО, М., 2006) и “решебник” (Вероятность в теоремах и задачах (с доказательствами и решениями), МЦНМО, М., 2013), написанный Альбертом Николаевичем в соавторстве с И. Г. Эрлихом и П. А. Яськовым. Сборник задач был переведен на английский язык (Springer, 2012). Альберт Николаевич принимал самое активное участие в организации Советcко-Японcких симпозиумов по теории вероятностей, его энергия и математическая разносторонность во многом способствовали успеху Первого всемирного конгресса Общества Бернулли (Ташкент, 1986), немало сил он отдает организации и проведению ежегодных международных конференций по стохастическим методам в Дивноморском (под его руководством идет подготовка к 10-й, юбилейной конференции, посвященной 90-летию со дня создания А. Н. Колмогоровым кафедры теории вероятностей МГУ). Альберт Николаевич был инициатором и вдохновителем проведения различных научных школ (многим запомнился международный симпозиум “Лидеры и их ученики”, проходивший в МИАН в 2010 г.). Он не раз выступал с лекциями на конференциях как в России, так и за рубежом. В 1978 г. Альберт Николаевич был приглашенным пленарным докладчиком на Международном математическом конгрессе в Хельсинки. Он был форумным докладчиком на международных конференциях в Брайтоне (Великобритания), Сиднее, Пекине, Ульме. А. Н. Ширяев является действительным членом Академии Европы (с 1990 г.), почетным членом Королевского статистического общества Великобритании (c 1985 г.), в 1994–1995 гг. он был президентом Российского общества актуариев. Он является почетным доктором Фрайбургского университета им. Альберта Людвига (Германия) и Университета Анже (Франция), а также почетным профессором Амстердамского университета (Нидерланды). Ему присвоены звания заслуженного деятеля науки РФ и заслуженного профессора МГУ. Международная деятельность Альберта Николаевича получила признание его коллег – он был избран президентом Общества Бернулли по теории вероятностей и математической статистике (1989–1991) и президентом Общества Башелье по финансовой математике (1998–1999). Альберт Николаевич награжден премией им. А. А. Маркова (1974 г.) за цикл работ по стохастическим уравнениям марковских процессов, премией им. А. Н. Колмогорова (1994 г.) за цикл работ <<Задача Колмогорова о “разладке”, методы ее решения и их развитие>>, золотой медалью им. П. Л. Чебышёва за выдающиеся результаты в области математики (2017 г.); он является лауреатом премии им. А. Гумбольдта (1996 г.) и международной премии им. А. Вальда (2011 г.). А. Н. Ширяев – член диссертационных советов в МИАН и МГУ, а также член ученого совета механико-математического факультета МГУ. Он является главным редактором журнала “Теория вероятностей и ее применения” и членом редколлегий ряда международных журналов, в том числе “Finance and Stochastics”, “Quantitative Finance”, “Markov Processes and Related Fields”, журнала “Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика, механика”. Несомненной заслугой Альберта Николаевича является его редакционно-издательская деятельность, связанная с сохранением памяти академика Андрея Николаевича Колмогорова, – были изданы Избранные труды А. Н. Колмогорова, книги воспоминаний о нем; в 2003 г., к столетию А. Н. Колмогорова, вышел трехтомник “Колмогоров”: “Истина – благо” (биобиблиография), “Этих строк бегущих тесьма…” (из переписки А. Н. Колмогорова и П. С. Александрова), “Звуков сердца тихое эхо” (из дневников). И эта работа продолжается. 5 февраля 2024 г. А. Н. Ширяев за заслуги в развитии отечественной науки, многолетнюю плодотворную деятельность и в связи с 300-летием со дня основания Российской академии наук был удостоен Почетной грамоты Президента Российской Федерации. Коллеги, друзья и ученики желают Альберту Николаевичу здоровья, долгих лет творческой жизни и неисчерпаемой энергии во всех его начинаниях. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BulGusZhi25} |
|
|||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|