Успехи математических наук, 2025, том 80, выпуск 5(485), страницы 175–178 DOI: https://doi.org/10.4213/rm10277 (Mi rm10277)

DOI: https://doi.org/10.4213/rm10277

Zoom inZoom out

5 мая 2025 г. на девяносто девятом году жизни скончался выдающийся математик, доктор физико-математических наук, профессор, академик Российской академии наук, лауреат Ленинской премии, главный научный сотрудник отдела дифференциальных уравнений Математического института им. В. А. Стеклова РАН Реваз Валерианович Гамкрелидзе.

Реваз Валерианович Гамкрелидзе родился 4 февраля 1927 г. в Кутаиси. В 1945 г. он поступил в Тбилисский университет на физико-математический факультет, откуда по окончании первого курса перевёлся на механико-математический факультет Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, на котором основной курс обучения окончил в 1950 г. С момента завершения аспирантуры и защиты кандидатской диссертации под руководством Л. С. Понтрягина в 1953 г. Реваз Валерианович до конца жизни работал в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии наук, в отделе дифференциальных уравнений – в том числе руководителем отдела с 1988 по 1997 г.

Научное наследие Реваза Валериановича огромно. В своих ранних работах он получил фундаментальные результаты в топологии алгебраических многообразий, выразив классы Черна комплексных проективных многообразий через проективные инварианты и получив многомерные обобщения классической формулы Плюккера. Принципиальным в этих работах являлось представление циклов, двойственных когомологическим классам Черна, в виде линейных комбинаций алгебраических многообразий [1].

Р. В. Гамкрелидзе является одним из создателей современной математической теории оптимального управления. Ключевой результат этой теории – принцип максимума – первоначально был выдвинут Л. С. Понтрягиным в виде гипотезы. Реваз Валерианович доказал этот принцип для линейных управляемых систем и построил полную теорию таких систем [2]. В этой, ставшей классической, теории были выявлены важнейшие особенности предмета: роль выпуклости, значение релейных управлений, характер оптимального синтеза и вид условий регулярности. Введённое Р. В. Гамкрелидзе “условие общности положения” позже стало известно в упрощённой версии как “ранговое условие полной управляемости” и приобрело чрезвычайно широкое распространение как в математике, так и в приложениях. Линейная теория, построенная Р. В. Гамкрелидзе, надолго определила лицо предмета, а её прозрачность и полнота до сих пор являются образцами для специалистов, исследующих более сложные нелинейные системы.

Ревазом Валериановичем были получены основополагающие результаты для различных обобщений классической задачи оптимального управления. Ему принадлежит первый вариант принципа максимума для задач с фазовыми ограничениями [3]. Несмотря на наличие более поздних обобщений, эта теорема не потеряла актуальности, так как введённые в ней требования регулярности охарактеризовали класс задач, для которых условия оптимальности допускают достаточно полный анализ.

Эти результаты Р. В. Гамкрелидзе занимают значительное место в опубликованной в 1961 г. знаменитой монографии “Математическая теория оптимальных процессов” [4] четырёх авторов – Л. С. Понтрягина, В. Г. Болтянского, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко, – которая впоследствии стала фундаментом для всей теории оптимального управления. В 1962 г. авторы были удостоены Ленинской премии за цикл работ по обыкновенным дифференциальным уравнениям и их приложениям к теории оптимального управления и теории колебаний.

В 1960-х годах, уже после открытия принципа максимума, Ревазом Валериановичем было введено и исследовано понятие скользящего оптимального режима – одно из основных в оптимальном управлении [5]–[7]. Развитая теория включала строгие определения обобщённых управлений и траекторий. Она не только расширяла существовавшее понятие обобщённых кривых, но и устанавливала важную аппроксимационную лемму, гласящую, что не только отдельная обобщённая траектория, но и любое непрерывное семейство траекторий овыпукленной системы может быть равномерно аппроксимировано.

По завершении построения к началу 1970-х годов общей теории условий оптимальности первого порядка [8] Реваз Валерианович переключил своё внимание на исследование особых экстремалей, которые, как выяснилось, играют ключевую роль при построении оптимального синтеза для нелинейных систем. Работа над условиями оптимальности высокого порядка [9] привела его к мысли о необходимости инвариантного бескоординатного подхода и расширении средств дифференциальной геометрии для их применения к новому классу задач. В итоге было создано специальное “хронологическое исчисление”, связывающее динамику с коммутационными свойствами векторных полей, определяющих управляемую систему [10]. Геометрические методы в оптимальном управлении, развиваемые Р. В. Гамкрелидзе и его учениками, получили признание в нашей стране и за рубежом, привели к созданию новых направлений математической теории управления и теории динамических систем и к появлению групп исследователей, развивающих эти направления. Важным этапом в этом развитии стало создание основ теории оптимального управления, инвариантной относительно преобразования обратной связи [11]. История открытия принципа максимума Понтрягина подробно описана в одной из последних работ Реваза Валериановича [12].

На протяжении десятилетий Р. В. Гамкрелидзе вёл обширнейшую редакционно-издательскую деятельность. Он был многолетним главным редактором реферативного журнала “Математика”, служившего важным источником информации для математиков страны. Им основан ряд математических журналов, которыми он впоследствии руководил на посту главного редактора. Реваз Валерианович был инициатором создания, издателем и соредактором энциклопедической серии “Современные проблемы математики. Фундаментальные направления”. Эта монументальная серия, публикуемая на английском языке издательством Springer-Verlag под названием “Encyclopaedia of Mathematical Sciences”, навсегда останется памятником Московской математической школе периода её расцвета и будет способствовать распространению её идей в мировом математическом сообществе.

Реваз Валерианович неоднократно читал курсы лекций для студентов, аспирантов и молодых математиков. Им воспитан ряд талантливых учёных.

Светлая память о выдающемся учёном и учителе навсегда сохранится в наших сердцах.

Список литературы
1.	Р. В. Гамкрелидзе, “Циклы Черна комплексных алгебраических многообразий”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 20:5 (1956), 685–706
2.	Р. В. Гамкрелидзе, “Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 22:4 (1958), 449–474
3.	Р. В. Гамкрелидзе, “Оптимальные процессы управления при ограниченных фазовых координатах”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 24:3 (1960), 315–356
4.	Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко, Математическая теория оптимальных процессов, Физматгиз, М., 1961, 391 с.    ; англ. пер.: L. S. Pontryagin, V. G. Boltyanskii, R. V. Gamkrelidze, E. F. Mishchenko, The mathematical theory of optimal processes, Intersci. Publ. John Wiley & Sons, Inc., New York–London, 1962, viii+360 с.
5.	Р. В. Гамкрелидзе, “О скользящих оптимальных режимах”, Докл. АН СССР, 143:6 (1962), 1243–1245      ; англ. пер.: R. V. Gamkrelidze, “Optimal sliding states”, Soviet Math. Dokl., 3 (1962), 559–562
6.	R. V. Gamkrelidze, “On some extremal problems in the theory of differential equations with applications to the theory of optimal control”, J. SIAM Control Ser. A, 3 (1965), 106–128
7.	Р. В. Гамкрелидзе, Основы оптимального управления, 2-е изд., Изд-во Тбилисского ун-та, Тбилиси, 1977, 254 с.  ; 3-е изд., испр., URSS, М., 2019, 200 с.; англ. пер.: R. V. Gamkrelidze, Principles of optimal control theory, Math. Concepts Methods Sci. Eng., 7, Plenum Press, New York–London, 1978, xii+175 с.
8.	Р. В. Гамкрелидзе, “Необходимые условия первого порядка и аксиоматика экстремальных задач”, Сборник статей. I, Посвящается академику Ивану Матвеевичу Виноградову к его восьмидесятилетию, Тр. МИАН СССР, 112, 1971, 152–180      ; англ. пер.: R. V. Gamkrelidze, “Necessary first order conditions, and the axiomatics of extremal problems”, Proc. Steklov Inst. Math., 112 (1971), 156–186
9.	А. А. Аграчев, Р. В. Гамкрелидзе, “Принцип оптимальности второго порядка для задачи быстродействия”, Матем. сб., 100(142):4(8) (1976), 610–643      ; англ. пер.: A. A. Agračev, R. V. Gamkrelidze, “A second order optimality principle for a time-optimal problem”, Math. USSR-Sb., 29:4 (1976), 547–576
10.	А. А. Аграчев, Р. В. Гамкрелидзе, “Экспоненциальное представление потоков и хронологическое исчисление”, Матем. сб., 107(149):4(12) (1978), 467–532      ; англ. пер.: A. A. Agračev, R. V. Gamkrelidze, “The exponential representation of flows and the chronological calculus”, Math. USSR-Sb., 35:6 (1979), 727–785
11.	A. A. Agrachev, R. V. Gamkrelidze, “Feedback-invariant optimal control theory and differential geometry. I. Regular extremals”, J. Dynam. Control Systems, 3:3 (1997), 343–389
12.	Р. В. Гамкрелидзе, “История открытия принципа максимума Понтрягина”, Оптимальное управление и дифференциальные уравнения, Сборник статей. К 110-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Труды МИАН, 304, МИАН, М., 2019, 7–14        ; англ. пер.: R. V. Gamkrelidze, “History of the discovery of the Pontryagin maximum principle”, Proc. Steklov Inst. Math., 304 (2019), 1–7

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{AvaAgrAse25}
\by Е.~Р.~Аваков, А.~А.~Аграчев, С.~М.~Асеев, Г.~К.~Гиоргадзе, А.~А.~Давыдов, М.~И.~Зеликин, В.~В.~Козлов, Л.~В.~Локуциевский, М.~С.~Никольский, А.~В.~Овчинников, Ю.~С.~Осипов, А.~В.~Сарычев, Ю.~Л.~Сачков, Д.~В.~Трещев
\paper Реваз Валерианович Гамкрелидзе
\jour УМН
\yr 2025
\vol 80
\issue 5(485)
\pages 175--178
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10277}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10277}