|
Эта публикация цитируется в 73 научных статьях (всего в 74 статьях)
Неразложимые представления группы Лоренца
И. М. Гельфанд, В. А. Пономарев
Аннотация:
Пусть $L$ – алгебра Ли группы Лоренца или, что то же самое, группы $SL(2,C)$.
Обозначим через $L_k$ алгебру Ли ее максимальной компактной подгруппы, т.е. алгебру Ли группы $SU(2)$. Пусть $M_i$ – конечномерные неприводимые $L_k$-модули (конечномерные представления алгебры Ли $L_k$). Рассмотрим некоторый $L$-модуль $M$. Авторы называют модуль $M$ модулем Хариш-Чандры, если, будучи рассматриваем как $L_k$-модуль,он может быть записан в виде суммы
$$
\displaystyle M=\bigoplus_i{M}_i
$$
– суммы конечномерных неприводимых $L_k$-модулей $M_i$. При этом для каждого $M_i$ в разложении $M$ встречается лишь конечное число $L_k$ –
подмодулей, эквивалентных $M_{i_0}$.
Модуль Хариш-Чандры называется неразложимым, если он не может быть разложен
в прямую сумму $L$-подмодулей. В данной работе полностью описаны все неразложимые
модули Хариш-Чандры над $L$. При этом оказывается, что имеется два типа неразложимых
модулей Хариш-Чандры. Модули первого типа – неособые неразложимые
модули Хариш-Чандры определяются следующими инвариантами: целым числом
$2l_0$, $l_0\geqslant 0)$, комплексным числом $l_1$ и целым числом $n$. Первые два из этих инвариантов уже встречались как инварианты неприводимых представлений группы Лоренца (см. [2]). Случай неособых модулей был ранее в несколько другой постановке разобран Д. П. Желобенко [3].
Наиболее интересен случай особых модулей Хариш-Чандры. Решение этой задачи
сводится к нетривиальной задаче линейной алгебры, разобранной подробно в главе II.
Инвариантами особых неразложимых модулей являются по-прежнему числа
$l_0\geqslant 0$, $2l_0$ – целое и $2l_0-|l_1|$ – целое.
Однако вместо одного дополнительного инварианта $n$ здесь появляется много
инвариантов. Возможны два типа особых модулей: особые модули первого рода и особые
модули второго рода.
Особые модули первого рода характеризуются, кроме указанных инвариантов $l_0$ и $l_1$ еще набором целых чисел произвольной длины. Особые неразложимые модули
второго рода характеризуются следующим набором инвариантов: указанными выше
числами $l_0$, $l_1$ набором целых чисел $j_1,j_2,\dots,j_k$, целым числом $q$ и еще одним произвольным комплексным параметром $\mu$. Наличие этого параметра особенно интересно, ибо оно показывает возможность при фиксированных числах $l_0$, и $l_1$ деформировать неразложимый модуль.
Задачи линейной алгебры, которые используются при установлении изложенных
выше фактов, представляют самостоятельный интерес благодаря тому, что авторы развивают и используют аппарат теории линейных отношений Маклейна [4].
Поступила в редакцию: 18.12.1967
Образец цитирования:
И. М. Гельфанд, В. А. Пономарев, “Неразложимые представления группы Лоренца”, УМН, 23:2(140) (1968), 3–60; Russian Math. Surveys, 23:2 (1968), 1–58
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/rm5609 https://www.mathnet.ru/rus/rm/v23/i2/p3
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 1777 | PDF русской версии: | 482 | PDF английской версии: | 67 | Список литературы: | 92 | Первая страница: | 5 |
|