|
Эта публикация цитируется в 7 научных статьях (всего в 7 статьях)
Исчисление для схем рефлексии и спектры консервативности
Л. Д. Беклемишев Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Аннотация:
Строго позитивные логики в последнее время привлекают внимание специалистов благодаря их сочетанию эффективности и приемлемой выразительности. Язык исчисления рефлексий $\mathrm{RC}$ состоит из импликаций между формулами, составленными из пропозициональных переменных и константы “истина” лишь с помощью связки конъюнкции и модальностей, интерпретируемых в арифметике Пеано как ограниченные равномерные схемы рефлексии. Мы расширяем язык $\mathrm{RC}$ дополнительным семейством модальностей, соответствующих операторам, которые сопоставляют данной арифметической теории $T$ её фрагмент, аксиоматизированный всеми теоремами $T$ арифметической сложности $\Pi^0_n$ для каждого $n>0$. Мы показываем, что эти операторы, в некотором точном смысле, не представимы в полном языке модальной логики. Мы формулируем модальную систему $\mathrm{RC}^\nabla$, расширяющую $\mathrm{RC}$, которая корректна и, по нашей гипотезе, полна относительно указанной интерпретации. Показано, что в этой системе выразимы итерации схем рефлексии вплоть до любого ординала $<\varepsilon_0$. Далее, мы предлагаем нормальную форму для формул фрагмента $\mathrm{RC}^\nabla$ без переменных. На основе нормальных форм показывается алгоритмическая разрешимость данного фрагмента и его полнота относительно арифметической семантики. В заключительной части работы рассматриваются несколько естественных характеризаций алгебры Линденбаума–Тарского для замкнутого фрагмента $\mathrm{RC}^\nabla$ и для её двойственной шкалы Крипке. Элементы этой алгебры находятся в естественном соответствии с последовательностями теоретико-доказательственных $\Pi^0_{n+1}$-ординалов для ограниченных фрагментов арифметики Пеано, так называемых спектров консервативности, а также с точками известной модели Крипке, введённой К. Н. Игнатьевым.
Библиография: 46 названий.
Ключевые слова:
строго позитивная модальная логика, RC, схема рефлексии, консервативность, ординал.
Поступила в редакцию: 14.04.2018
Образец цитирования:
Л. Д. Беклемишев, “Исчисление для схем рефлексии и спектры консервативности”, УМН, 73:4(442) (2018), 3–52; Russian Math. Surveys, 73:4 (2018), 569–613
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/rm9843https://doi.org/10.4213/rm9843 https://www.mathnet.ru/rus/rm/v73/i4/p3
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 553 | PDF русской версии: | 96 | PDF английской версии: | 43 | Список литературы: | 58 | Первая страница: | 24 |
|