Успехи математических наук
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



УМН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Успехи математических наук, 2022, том 77, выпуск 1(463), страницы 91–108
DOI: https://doi.org/10.4213/rm9916
(Mi rm9916)
 

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

О спектре оператора Лапласа на замкнутых поверхностях

Д. А. Попов

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Научно-исследовательский институт физико-химической биологии им. А. Н. Белозерского
Список литературы:
Аннотация: В статье дан обзор классических и сравнительно недавних результатов о распределении собственных значений оператора Лапласа на замкнутых поверхностях. Для различных классов метрик рассмотрена зависимость поведения второго члена в формуле Вейля от геометрии геодезического потока. Приведены различные варианты формул следа и вытекающие из них тождества для спектра. Отдельно, с помощью формулы Сельберга, рассмотрен случай компактной римановой поверхности с метрикой Пуанкаре. Приведен ряд результатов о статистических свойствах спектра в их связи с теорией квантового хаоса и гипотезой универсальности.
Библиография: 51 название.
Ключевые слова: спектр, оператор Лапласа, формула Вейля, геодезический поток, формулы следа, квантовый хаос, гипотеза универсальности.
Поступила в редакцию: 10.01.2020
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 1, Pages 81–97
DOI: https://doi.org/10.1070/RM9916
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517.984.5
MSC: Primary 58J50; Secondary 11F72

1. Введение

Оператор Лапласа (Лапласа–Бельтрами) определен на любом гладком многообразии $M^n$ с римановой метрикой $g$. Если многообразие $M^n$ компактно, то этот оператор имеет чисто дискретный спектр $\{\lambda_n\}$ ($\lambda_n\to\infty$ при $n \to \infty$). Цель настоящего обзора – привести некоторые результаты о спектре $\{\lambda_n\}$ и сформулировать нерешенные задачи в простейшем случае, когда $M^n=(M,g)$ – замкнутая поверхность.

Общие результаты о спектре $\{\lambda_n\}$ содержатся в обзорах [1]–[3]. Разделы 2, 3 посвящены оценкам второго члена в формуле Вейля. Здесь, кроме классических, представлен ряд результатов, касающихся специальных классов метрик. В разделах 4, 5 рассматриваются различные варианты формул следа, включая формулу Сельберга, и точные формулы для функции распределения собственных значений. Формулы следа для некоторых классов метрик позволяют получить тождества, которым должен удовлетворять спектр.

Статистические свойства, включая вопросы существования функции распределения для правильно нормированного второго члена в формуле Вейля, рассмотрены в разделе 6. В этом разделе приведены и гипотезы универсальности, сформулированные в рамках теории квантового хаоса [4]–[6].

Задачи, обсуждаемые ниже, относятся к классу прямых задач спектральной геометрии. Обратные задачи, связанные с восстановлением геометрических свойств $(M,g)$ по спектру $\{\lambda_n\}$ (см. [1], [2]), в обзоре не рассматриваются. Не рассматриваются и геометрические свойства собственных функций. Этим свойствам посвящен обзор [7].

Что касается спектра $\{\lambda_n\}$, то ниже изучаются только его асимптотические свойства, зависящие от поведения $\lambda_n$ при $\lambda_n \to \infty$; задачи о поведении $\lambda_n$ при $\lambda_n<c$ мы не рассматриваем (см. обзор [8]).

В целом настоящий обзор можно рассматривать как дополнение к обзору [7]. Как и в [7], излагаются только результаты и за доказательствами следует обратиться к цитируемой литературе. Отметим, что если в цитируемой литературе содержится общий результат о спектре, касающийся $n$-мерных многообразий, возможно с краем, то ниже приводятся только его следствия для замкнутых поверхностей.

2. Формула Вейля и мера множества замкнутых геодезических

Оператор Лапласа на $n$-мерном многообразии $M^n$ с римановой метрикой $g$ в локальных координатах $q=(q_1,\dots,q_n)$ задается равенством [2], [9]

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \Delta\varphi(q)=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\,\frac{\partial}{\partial q^i} \biggl(\sqrt{|g|}\,g^{ik}\frac{\partial\varphi}{\partial q^k} (q)\biggr),\qquad q \in M^n, \\ ds^2=g_{ik}\,dq^i\,dq^k,\quad |g|=\det(g_{ik}),\quad g_{ik}g^{kl}=\delta_{il}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
В некотором смысле это единственный не зависящий от выбора координат дифференциальный оператор, который строится по метрике $g$.

Если многообразие $M^n$ компактно, то оператор $\Delta$ (точнее, его самосопряженное расширение в $L^2(M^n,\mu)$, где $\mu=\mu(g)$ – мера на $M^n$, индуцированная метрикой $g$) имеет бесконечный, чисто дискретный спектр $\{\lambda_n\}$ ($\lambda_0=0<\lambda_1\leqslant\lambda_2\leqslant\lambda_3\leqslant\cdots$) и полный набор ортонормированных собственных функций $\{\varphi_n\}$. Так как оператор $\Delta$ отрицательно определен, то

$$ \begin{equation} \Delta\varphi_n+\lambda_n\varphi_n=0. \end{equation} \tag{1} $$

Везде ниже $M^n=M=(M,g)$ – замкнутая поверхность, т. е. гладкое компактное двумерное многообразие без края.

Функция распределения собственных значений $N(x)$ определяется равенством

$$ \begin{equation} N(x)=\#\{n \geqslant 0\colon\lambda_n \leqslant x\}, \end{equation} \tag{2} $$
в котором собственные значения считаются с учетом кратности.

При $M=(M,g)$ формула Вейля имеет вид

$$ \begin{equation} N(x)=\frac{|M|}{4\pi}\,x+\Delta N(x), \end{equation} \tag{3} $$
где $|M|$ – площадь $M$ и второй член $\Delta N(x)$, в силу общего результата Хёрмандера [10], удовлетворяет оценке
$$ \begin{equation} \Delta N(x)=O(x^{1/2}),\qquad x \to \infty. \end{equation} \tag{4} $$
Будем говорить, что для $M=(M,g)$ существует степенное понижение, если
$$ \begin{equation} \Delta N(x)=O(x^{1/2-\theta}),\qquad \theta>0,\quad x \to \infty. \end{equation} \tag{5} $$
В работе [11] показано, что необходимым условием существования степенного понижения является равенство
$$ \begin{equation} \mathcal M[g]=0, \end{equation} \tag{6} $$
где $\mathcal M[g]$ – мера множества замкнутых геодезических. Величина $\mathcal M[g]$ определяется следующим образом. Пусть $S^*(M)\subset T^*(M)$ – расслоение единичных сфер в кокасательном расслоении $T^*(M)$. В интересующем нас случае $\dim S^*(M)=3$. Точка $(q,p)\subset S^*(M)$ ($q \in M$, $|p|=1$) однозначно определяет геодезическую, и $S_0^*[g] \subset S^*(M)$ – множество точек, отвечающих замкнутым геодезическим. Тогда $\mathcal M[g]=\mu^*(S_0^*[g])$, где $\mu^*$ – мера на $S^*(M)$, индуцированная метрикой $g$.

В работе [11] показано, что при условии (6)

$$ \begin{equation} \Delta N(x)=o(x^{1/2}),\qquad x \to \infty; \end{equation} \tag{7} $$
в этом случае говорят, что на $(M,g)$ имеет место вейлевская асимптотика (см. [1]).

При $\mathcal M[g]\ne 0$ вейлевская асимптотика не имеет места. Простейший пример – это $(M,g)=(\mathbb{S}^2,g_1)$, где $g_1$ – метрика, индуцированная стандартным вложением $\mathbb{S}^2\subset \mathbb{R}^3$.

В этом случае оценка (4) точна (см. [3], [11]).

В рассматриваемой работе [11] (см. также [3], [12]) показано, что если на $(M,g)$ все геодезические замкнуты ($S_0^*[g]=S^*(M)$) и имеют одинаковую длину $T$, то спектр $\{\lambda_n\}$ сосредоточен на интервалах

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \bigl(\nu_k-O(k^{-1}),\nu_k+O(k^{-1})\bigr),\qquad k \to \infty, \\ \nonumber \nu_k=\frac{2\pi}{T}(k+\beta)\qquad (\beta=\beta[g]). \end{gathered} \end{equation} \tag{8} $$
Заметим, что на $\mathbb{S}^2$ существует много метрик (метрики Цолля [12]), для которых выполнены указанные условия.

В случае когда спектр сосредоточен на интервалах (8), говорят, что на $(M,g)$ имеет место кластерная асимптотика [1], [13].

Общий случай $0<\mathcal M[g]<\mu^*(S^*(M))$ рассмотрен в работе [13], где показано, что кроме кластерной может иметь место квазивейлевская асимптотика (см. [1], [13]) вида

$$ \begin{equation*} \Delta N(x)=Q(x)x^{1/2}+o(x^{1/2}),\qquad x \to \infty, \end{equation*} \notag $$
с ограниченной, равномерно непрерывной функцией $Q(x)$.

Для всех рассматриваемых ниже $(M,g)$ условие (6) выполнено, и это специально не оговаривается.

Общие условия, достаточные для существования степенного понижения, рассматривались в работе [14]. Пусть $\Phi_t\colon S^*(M)\to S^*(M)$ – геодезический поток. В работе [14] показано, что при условии

$$ \begin{equation} \mu^*\{(q,p) \in S^*(M)\colon \exists t \in [t_0,T],\ d(\Phi_t(q,p),(q,p))<T^{-\alpha}\}\ll T^{-\beta} \end{equation} \tag{9} $$
существует $\delta>0$ такое, что
$$ \begin{equation*} \Delta N(x)=O(x^{1/2-\delta}). \end{equation*} \notag $$
Величина $\delta=\delta(\alpha,\beta)$ в работе [14] не указана и оценка (9) доказана только для метрик поверхности вращения на $\mathbb{S}^2$.

Известен еще один достаточно общий случай, когда немного усилена оценка (7). В работе [15] доказано, что

$$ \begin{equation} \Delta N(x)=O\biggl(\frac{x^{1/2}}{\ln x}\biggr), \end{equation} \tag{10} $$
если на $(M,g)$ нет сопряженных точек.

3. Оценки второго члена в формуле Вейля

Во всех случаях, когда доказано существование степенного понижения (см. определение (5)), геодезический поток $\Phi_t\colon S^*(M)\to S^*(M)$ интегрируем. Имеется в виду интегрируемость по Лиувиллю [16]. Геодезический поток рассматривается как гамильтонова система на $T^*(M)$ с гамильтонианом

$$ \begin{equation*} H(q,p)=\frac{1}{2}g^{ij}p_ip_j=\frac{1}{2}|p|^2, \end{equation*} \notag $$
и интегрируемость, в частности, означает существование второго (кроме $|p|$) интеграла движения.

Если геодезический поток на $(M,g)$ интегрируем, то будем писать $g \in \{g_{\mathrm{I}}\}$, в противном случае будем писать $g \in \{g_{\mathrm{NI}}\}$.

3.1. Интегрируемые геодезические потоки

Геометрия и топология интегрируемых геодезических потоков на поверхностях рассматривается в книге [17]. Так как на поверхностях рода $\operatorname{gen}(M)\geqslant 2$ нет аналитических и полиномиальных по $p_i$ интегралов движения (см. [17]), то в классе ориентируемых поверхностей остается рассмотреть сферу $\mathbb{S}^2$ и тор $\mathbb{T}^2$. В случае сферы имеем $g_2 \in \{g_{\mathrm{I}}\}$, если $g_2$ – метрика поверхности вращения

$$ \begin{equation} ds^2=a(r)\,d\theta^2+dr^2\qquad (g=g_2,\ \ M=(\mathbb{S}^2,g_2)). \end{equation} \tag{11} $$
Если $a(r)$ удовлетворяет некоторым условиям общего положения (УОП), то в работе [18] (см. также [19]) доказано, что
$$ \begin{equation*} \Delta N(x)=O(x^{1/3})\qquad (M=(\mathbb{S}^2,g_2)). \end{equation*} \notag $$
На торе $\mathbb{T}^2$ геодезический поток интегрируем для метрик Лиувилля $g_3$ [17]. В этом случае
$$ \begin{equation} ds^2=\bigl(h_1(x)+h_2(y)\bigr)(dx^2+dy^2)\qquad (g=g_3) \end{equation} \tag{12} $$
и в работе [20] (см. также [21], [22]) доказано, что
$$ \begin{equation*} \Delta N(x)=O(x^{1/3})\qquad (M=(\mathbb{T}^2,g_3)) \end{equation*} \notag $$
при выполнении некоторых УОП.

В обоих указанных случаях удается проинтегрировать уравнения геодезических и разделить переменные в уравнениях для собственных функций (1). Это позволяет свести задачу об оценке величины $\Delta N(x)$ к задаче о числе целых точек в семействах областей $V[g]$ при $t \to \infty$. Области $V[g]$ гомеоморфны замкнутому кругу, и их границы $\partial V[g]$ строятся по метрике $g$. Условия общего положения формулируются в терминах ограничений на метрику $g$ и геометрию $\partial V[g]$.

Поясним характер УОП на рассмотренном в работе [23] примере метрик Лиувилля (12) при $h_2(y)=0$. В этом случае имеется только одна область $V[g]$ и кривая $\partial V[g]$ инвариантна относительно отражений в осях координат. В положительном квадранте имеем $y=y(x)$ при $(x,y) \in \partial V[g]$. Кривая $\partial V[g]$ может иметь точку уплощения $x_0$, и $\alpha:=\dfrac{dy}{dx}(x_0)$. Метрика $g_2$ удовлетворяет УОП, если критические точки $h_1(x)$ простые и $\alpha$ – типичное число [24], т. е.

$$ \begin{equation*} \|\alpha m\|\leqslant \frac{c(\alpha)}{m\Psi_\alpha(m)}\,,\qquad \Psi_\alpha(m)\geqslant (\ln m)^{1+\varepsilon},\quad \forall\,m \in Z,\quad \varepsilon>0 \end{equation*} \notag $$
($\|x\|$ – расстояние от $x$ до ближайшего целого).

В работе [23] для любого целого $k\geqslant 4$ построены метрики Лиувилля необщего положения такие, что оценка

$$ \begin{equation*} \Delta N(x)=O\bigl(x^{1/2-1/(2(k+2))}\bigr) \end{equation*} \notag $$
точна, и такие метрики плотны (в топологии $C^1$) в пространстве метрик Лиувилля.

Таким образом, условие (6) не является достаточным для существования степенного понижения даже при $g \in \{g_{\mathrm{I}}\}$. Вопрос о достаточности этого условия для метрик $g \in \{g_{\mathrm{I}}\}$ общего положения остается открытым.

Отдельного рассмотрения заслуживает случай плоской метрики $g_0$ на торе $\mathbb{T}^2=\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1$. В этом случае спектр известен: $\lambda_n=l^2+m^2$ ($l,m \in \mathbb{Z}$), и $N(x)$ – число целых точек в круге радиуса $\sqrt{x}$ . Знаменитая проблема круга состоит в доказательстве оценки

$$ \begin{equation} |\Delta N(x)|=O(x^{1/4+\varepsilon}) \quad \forall\,\varepsilon>0 \qquad (M=(\mathbb{T}^2,g_0)). \end{equation} \tag{13} $$
В настоящее время доказана оценка (см. [25])
$$ \begin{equation*} \Delta N(x)=O(x^{517/1648+\varepsilon}), \qquad\frac{517}{1648}=0.31371\ldots\,. \end{equation*} \notag $$
О поведении $\Delta N(x)$ при $M=(\mathbb{T}^2,g_0)$ много что известно (см. обзор [25]). Результаты, приведенные в [25], могут рассматриваться как источник гипотез о поведении $\Delta N(x)$ при $g \in \{g_{\mathrm{I}}\}$. В частности, можно предположить, что оценка (13) верна для $g \in \{g_{\mathrm{I}}\}$ при некоторых УОП.

3.2. Поверхности отрицательной кривизны

Метрики отрицательной кривизны ($K(g)<0$) на поверхностях рода $\operatorname{gen}(M)\geqslant 2$ являются типичным примером метрик $g \in \{g_{\mathrm{NI}}\}$ с неинтегрируемым геодезическим потоком [26]. Так как для таких $(M,g)$ нет сопряженных точек, то для них верна оценка (10).

Наибольший интерес представляет случай постоянной отрицательной кривизны $K(g)=-1$. В этом случае $(M,g)=\mathcal{F}(\Gamma)$ – компактная риманова поверхность вида $\mathcal{F}(\Gamma)=\Gamma\backslash H$, где $\Gamma\subset\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})$ – кокомпактная дискретная группа и $H$ – верхняя полуплоскость с метрикой Пуанкаре ($ds^2=y^{-2}(dx^2+dy^2)$). Будем говорить, что $\Gamma$ – группа общего положения, если комплексная структура на $\Gamma\backslash H$ отвечает точке общего положения в пространстве Тейхмюллера [27].

Существует гипотеза [20], что для групп общего положения верна оценка

$$ \begin{equation} \Delta N(x)=O(\sqrt{\ln x}\,)\qquad ((M,g)=\mathcal{F}(\Gamma)). \end{equation} \tag{14} $$
С другой стороны, пока нет примера кокомпактной группы $\Gamma$, для которой было бы доказано существование степенного понижения (см. (6)), и в [28] для случая $(M,g)=\mathcal{F}(\Gamma)$ доказана только оценка
$$ \begin{equation*} \Delta N(x)=O\biggl(\frac{x^{1/2}}{\ln x}\,\biggr)\qquad ((M,g)=\mathcal{F}(\Gamma)), \end{equation*} \notag $$
совпадающая с (10). Доказательство существования степенного понижения для $(M,g)=\mathcal{F}(\Gamma)$ является основной нерешенной задачей. В работе [29] получена оценка
$$ \begin{equation} \frac1T\int_0^T|\Delta N(x)|\,dx =O(T^{1/4+\varepsilon})\quad \forall\,\varepsilon>0\qquad ((M,g)=\mathcal{F}(\Gamma)), \end{equation} \tag{15} $$
характеризующая поведение величины $\Delta N(x)$ в среднем. Этот результат позволяет предположить, что на $\mathcal{F}(\Gamma)$ верна оценка (13).

3.3. $\Omega$-оценки

Приведенные ниже оценки вида $\Delta N(x)=\Omega(f(x))$ заменяют несуществующие равномерные по $x$ при $x\to\infty$ оценки величины $\Delta N(x)$ снизу. Равенство $\Delta N(x)=\Omega(f(x))$ будет означать, что существует последовательность $x_k\to\infty$ такая, что $|\Delta N(x)|>Cf(x_k)$ для всех $k \geqslant k_0$.

Первые $\Omega$-оценки были получены при рассмотрении проблемы круга (см. [24] и цитируемую там литературу). Приведем не самый сильный результат:

$$ \begin{equation*} \Delta N(x)=\Omega\bigl(x^{1/4}(\ln x)^{1/4}\bigr)\qquad ((M,g)=(\mathbb{T}^2,g_0)). \end{equation*} \notag $$
В работе [6] доказано, что
$$ \begin{equation*} \frac1T\int_T^{3T}|\Delta N(x)|\,dx\gg T^{1/4}\quad \forall\,g\in\{g_{\mathrm{I}}\} \end{equation*} \notag $$
и, следовательно,
$$ \begin{equation} \Delta N(x)=\Omega(x^{1/4})\quad \forall\,g\in\{g_{\mathrm{I}}\}. \end{equation} \tag{16} $$
В случае $(M,g)=\mathcal{F}(\Gamma)$ в работе [28] доказана оценка вида
$$ \begin{equation*} \Delta N(x)=\Omega\bigl((\ln x)^{1/2-\varepsilon}\bigr)\quad \forall\,\varepsilon>0. \end{equation*} \notag $$
Этот результат можно немного усилить (см. [30]):
$$ \begin{equation*} \Delta N(x)=\Omega\biggl(\frac{(\ln x)^{1/2}}{\ln\ln x}\biggr)\qquad ((M,g)=\mathcal{F}(\Gamma)). \end{equation*} \notag $$
Сельберг (см. [30]) доказал, что для некоторой бесконечной серии кокомпактных групп $\Gamma=\Gamma(A,p)$ имеет место гораздо более сильная $\Omega$-оценка
$$ \begin{equation} \Delta N(x)=\Omega\biggl(\frac{x^{1/4}}{\ln x}\biggr) \qquad ((M,g)=\mathcal{F}(\Gamma),\ \ \Gamma=\Gamma(A,p)). \end{equation} \tag{17} $$
Кватернионная группа $\Gamma(A,p)$ является строго гиперболической [31], [32] и зависит от выбора двух целых чисел $A$, $p$, удовлетворяющих условиям
$$ \begin{equation*} p \equiv 1 \!\!\!\pmod 4,\quad \text{$p$ -- простое},\quad \biggl(\frac{A}{p}\biggr)=-1, \end{equation*} \notag $$
где $\biggl(\dfrac{A}{p}\biggr)$ – символ Лежандра, а именно,
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \Gamma(A,p) = \begin{pmatrix} y_0+y_1\sqrt{A} & y_2\sqrt{p}+y_3\sqrt{Ap}\, \\ y_2\sqrt{p}-y_3\sqrt{Ap} & y_0-y_1\sqrt{A}\, \end{pmatrix}, \\ y_i \in \mathbb{Z},\qquad y_0^2+y_1^2A-y_2^2p-y_3^2Ap=1. \end{gathered} \end{equation} \tag{18} $$
Группа $\Gamma(A,p)$ не является группой общего положения. Если предположить, что оценка (17) сохраняется при деформации комплексной структуры, то получится оценка
$$ \begin{equation} \Delta N(x)=\Omega(x^{1/4-\varepsilon}), \end{equation} \tag{19} $$
что противоречит гипотезе (14). Случай непостоянной отрицательной кривизны $K(g)<0$ рассматривался в работе [33], где, в частности, доказано, что
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \Delta N(x) =\Omega\bigl((\ln x)^{K_2/(2K_1)-\varepsilon}\bigr)\quad \forall\,\varepsilon>0 \\ -K_1^2<K(g)<-K_2^2. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

4. Формулы следа

Если оператор $f(\Delta)$ ядерный [34], то в некоторых случаях удается вычислить его след $\operatorname{Tr}f(\Delta)$. Это позволяет получить различные соотношения, которым должен удовлетворять спектр $\{\lambda_i\}$. Примерами таких соотношений являются формула Минакшисундарама–Плейеля [1], [34], регуляризованная формула Вороного и формула Сельберга. В интересующем нас случае $\dim M=2$ формула Минакшисундарама–Плейеля имеет следующий вид [35]:

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \operatorname{Tr}e^{t\Delta}&=\sum_n e^{-t\lambda_n}= \frac{|F|}{4\pi}\,\frac{1}{t}+\frac{1}{8\pi}\int_M K(g)\,d\mu \nonumber \\ &\qquad+\frac{\pi t}{60}\int_M K^2(g)\,d\mu+\sum_{j=3}t^{j-1} \int_M a_j(g)\,d\mu,\qquad t\to 0. \end{aligned} \end{equation} \tag{20} $$
Напомним, что
$$ \begin{equation*} \frac{1}{8\pi}\int_M K(g)\,d\mu =\frac{1}{4}\chi(M), \end{equation*} \notag $$
где $\chi(M)=-2\operatorname{gen}(M)+2$ – характеристика Эйлера. Формула (20) – единственная формула следа, имеющая место для всех $(M,g)$. Остальные формулы следа относятся к специальным $(M,g)$.

Регуляризованная формула Вороного [25] в случае $(M,g)=(\mathbb{T}^2,g_0)$ дает для гладких достаточно быстро убывающих функций $h$ следующее выражение для $\operatorname{Tr} h(\Delta)$:

$$ \begin{equation} \operatorname{Tr} h(\Delta) =\sum_{n=0}^\infty r(n)h(n) =\pi\sum_{n=0}^\infty r(n)\int_0^\infty h(x)J_0(2\pi\sqrt{nx}\,)\,dx. \end{equation} \tag{21} $$
Здесь $r(n)$ – число представлений $n$ в виде $n=l^2+m^2$ ($l,m \in \mathbb{Z}$), т. е. кратность собственного значения $\lambda=l^2+m^2$, и $J_\nu(\,\cdot\,)$ – функция Бесселя.

Формула Сельберга относится к случаю $(M,g)=\mathcal{F}(\Gamma)$; она позволяет для всех $h\in\{h\}_{\mathrm{s}}$ (это обозначение поясняется ниже) выразить величину

$$ \begin{equation*} \operatorname{Tr} h(\Delta)=\sum_{n} h(r_n),\qquad \lambda_n=\frac{1}{4}+r_n^2, \end{equation*} \notag $$
через спектр $\{N(P)\}$ норм сопряженных классов группы $\Gamma$ или, что эквивалентно, через спектр $\{L\}$ длин замкнутых геодезических.

Приведем формулу Сельберга для строго гиперболических групп. Кокомпактная группа $\Gamma$ называется строго гиперболической, если она не содержит эллиптических элементов [31], [32]. Условие $h \in\{h\}_{\mathrm{s}}$ означает, что $h(r)=h(-r)$, функция $h(r)$ голоморфна в полосе $|\operatorname{Im}r|\leqslant 1/2+\varepsilon$ (для любого $\varepsilon>0$) и в этой полосе $h(r)=O((1+|r|^2)^{-1-\varepsilon})$ при $|r|\to \infty$. В рассматриваемом случае формула Сельберга имеет следующий вид [30], [36], [37]:

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \sum_n h(r_n) & =\frac{|\mathcal{F}(\Gamma)|}{4\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} r \operatorname{th} (\pi r)h(r)\,dr\nonumber\\ &\quad +\sum_{\{P\}}\frac{\ln N(P_0)}{N^{1/2}(P)-N^{-1/2}(P)} \widehat{h}(\ln N(P)), \end{aligned} \end{equation} \tag{22} $$
где
$$ \begin{equation*} \widehat{h}(y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-iry}h(r)\,dr. \end{equation*} \notag $$
Суммирование в правой части формулы (22) ведется по множеству $\{P\}$ сопряженных (в $\Gamma$) классов. Каждый элемент $\gamma \in \Gamma$ сопряжен в $\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})$ отображению
$$ \begin{equation*} z\mapsto N(P)z, \qquad N(P)>1, \quad z\in H, \end{equation*} \notag $$
$P_0=P_0(P)$ – соответствующий примитивный класс ($P=P_0^k$, $k\geqslant 1$) и $\ln N(P)$ – длина замкнутой геодезической ($\{L\}=\{\ln N(P)\}$).

Рассмотрим подпространство $\{h\}_{\mathrm{s}}^1 \subset \{h\}_{\mathrm{s}}$ такое, что

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \int_{b_0}^\infty e^{y/2}\bigl(y|\widehat{h}(y)|+|h^{(1)}(y)|+ |h^{(2)}(y)|\bigr)\,dy<\infty, \\ b_0=\min_{\{P_0\}}\ln N(P_0). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
В работе [38] показано, что для любой $h \in \{h\}_{\mathrm{s}}^1$ спектр удовлетворяет тождеству
$$ \begin{equation} \sum_n h(r_n)=\Phi_\Gamma[h\mid \{r_n\}], \end{equation} \tag{23} $$
где
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \nonumber &\Phi_\Gamma[h\mid r_n]=\frac{|\mathcal{F}(\Gamma)|}{4\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}r \operatorname{th} (\pi r)h(r)\,dr \\ \nonumber &\qquad-\sum_{r_n>0}\frac{1}{r_n^2+1/4}\int_{b_0}^\infty \bigl(\cos(r_ny)+2r_n\sin(r_n y)\bigr)\biggl(-\frac{1}{2}\widehat{h}(y)+ \widehat{h}^{(1)}(y)\biggr)\,dy \\ &\qquad+\Delta\Phi_\Gamma[h\mid \alpha_i(\Gamma)], \end{aligned} \end{equation} \tag{24} $$
и указан явный вид функционала $\Delta\Phi_\Gamma[h\,|\, \alpha_i(r)]$, зависящего от конечного числа параметров $\alpha_i(\Gamma)$, в частности от исключительных собственных значений $0<\lambda_n<1/4$. В случае $h(r)=e^{-t(r^2+1/4)}$ из (24) (см. также [30]) следует, что
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \sum_n e^{-tr_n^2} & =\frac{|F|}{2\pi}\,e^{-t/4}\int_0^\infty re^{-tr^2} \operatorname{th} (\pi r)\,dr+O\bigl(t^{-2}e^{-b_0^2/(4t)}\bigr) \\ &=\frac{|\mathcal{F}|}{4\pi}\,\frac{1}{t}+\sum_{k=0}^\infty c_k t^k+ O\bigl(t^{-2}e^{-b_0^2/(4t)}\bigr),\qquad t \to 0. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Ранее (см. [39]) было показано, что на $(M,g)$ с метрикой отрицательной кривизны имеет место оценка
$$ \begin{equation*} \sum_n e^{-t\lambda_n^2}=\frac{|M|}{4\pi}\,\frac{1}{t}+\frac{1}{\sqrt{t}} \sum_{\{L \ne 0\}} a(L)e^{-b_0^2/(4t)}+O(1),\qquad t \to \infty, \end{equation*} \notag $$
где суммирование ведется по спектру $\{L\}$ длин замкнутых геодезических.

Если оператор $f(\Delta)$ не является ядерным, то его след может существовать в смысле обобщенных функций.

В работе [40] показано, что для любой поверхности $(M,g)$ при условии (6) след $\operatorname{Tr} e^{\pm it\sqrt{\Delta}}$ – это обобщенная функция, сингулярный носитель которой совпадает с множеством $\{\pm L\}$. Асимптотика при $t\to 0$ величины

$$ \begin{equation*} \langle\operatorname{Tr}\cos(\sqrt{\Delta}\,t),\omega(t)e^{-it}\rangle \end{equation*} \notag $$
вычислена в работе [41] в предположении, что $K(g)<0$, существует единственная геодезическая длины $L$ и носитель функции $\omega(t) \in C_0^\infty(\mathbb{R})$ сосредоточен в окрестности точки $t=L$.

5. Точные формулы

Первым и наиболее известным примером точной (явной) формулы для величины $\Delta N(x)$ в (3) является формула Вороного (см. [25] и цитируемую там литературу). Эта формула относится к случаю $(M,g)=(\mathbb{T}^2,g_0)$ ($\mathbb{T}^2=\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1$) и имеет вид

$$ \begin{equation} \Delta N(x) =\sqrt{x}\,\sum_{n=1}^\infty\frac{r(n)}{\sqrt{n}}\, J_1(2\pi\sqrt{nx}\,), \end{equation} \tag{25} $$
где величина $r(n)$ была определена выше (см. (21)).

Так как $r(n)=O(n^\varepsilon)$ для любого $\varepsilon>0$, то из (25) сразу следует, что

$$ \begin{equation*} \Delta N(x)=O(x^{1/3}) \qquad ((M,g)=(\mathbb{T}^2,g_0)). \end{equation*} \notag $$

В работах [42], [43] была получена точная формула для $\Delta N(x)$ в случае $(M,g)=\mathcal{F}(\Gamma)$ ($\Gamma$ – строго гиперболическая). При $b_0 \geqslant 2$ эта формула имеет вид

$$ \begin{equation} \Delta N\biggl(t^2+\frac14\biggr) =\frac{1}{\pi}S(t)+f(t), \end{equation} \tag{26} $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, S(t) & =\sum_{r_n\geqslant 0}\bigl[\operatorname{sign}(r_n-t) \operatorname{si}(|t-r_n|b_0)-\operatorname{si}((t+r_n)b_0)- \beta_n(t)\bigr], \\ & \beta_n(t)=-\frac{r_n\cos((r_n-t)b_0)}{b_0(r_n^2+1/4)}+ \frac{1}{2}\,\frac{\sin((r_n-t)b_0}{b_0(r_n^2+1/4))} \\ &\quad +\frac{r_n\cos((r_n+t)b_0)}{b_0(r_n^2+1/4)} -\frac{1}{2}\,\frac{\sin((r_n+t)b_0)}{b_0(r_n^2+1/4)}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
$f(t)$ – ограниченная, непрерывная функция, имеющая при $t\to \infty$ асимптотику вида
$$ \begin{equation*} f(t)=C_0+\frac{C_1}{t}+\frac{C_2}{t^2}+\cdots, \end{equation*} \notag $$
и используется стандартное обозначение
$$ \begin{equation*} \operatorname{si}x=\int_{-\infty}^x \frac{\sin y}{y}\,dy \end{equation*} \notag $$
– интегральный синус. В работе [43] на основе формулы (26) показано, что существование степенного понижения для $\mathcal{F}(\Gamma)$ (при некоторых дополнительных условиях) следует из нетривиальной оценки тригонометрической суммы вида
$$ \begin{equation*} \Phi(\xi)=\sum_{r_n<\xi}e^{ir_n b_0}. \end{equation*} \notag $$

Точные формулы для рассмотренных выше примеров метрик $g \in \{g_{\mathrm{I}}\}$ на $\mathbb{S}^2$ и $\mathbb{T}^2$ имеются в работах [19]–[21].

В случае $(M,g)=(\mathbb{S}^2,g_2)$ (см. (11)) в работе [19] доказано, что при выполнении некоторых УОП

$$ \begin{equation} t^{-1}\Delta N(t^2)=_{B^2}\! F(t). \end{equation} \tag{27} $$
Это есть равенство двух почти-периодических функций из пространства Безиковича [44], [45], и по определению
$$ \begin{equation*} f_1=_{B^p}f_2\ \ \Longleftrightarrow\ \ D_p(f_1,f_2)=0, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} D_p(f_1,f_2) =\biggl[\lim_{T\to\infty}\frac1T \int_0^T|f_1(t)-f_2(t)|^p\,dt\biggr]^{1/p}. \end{equation*} \notag $$
В работе [19] указан явный вид разложения функции $F(t) \in B^2$ в ряд Фурье:
$$ \begin{equation} F(t)=_{B^2}\sum_{\{\gamma\}}A(\gamma)\cos\bigl(L(\gamma)t+ \varphi(\gamma)\bigr), \end{equation} \tag{28} $$
где суммирование ведется по множеству $\{\gamma\}$ замкнутых геодезических и $L(\gamma)$ – длина геодезической $\gamma$.

Аналогичный результат для $(M,g)=(\mathbb{T}^2,g_3)$ (см. (12)) получен в работах [20], [21]. В этом случае доказано, что

$$ \begin{equation} t^{-1/2}\Delta N(t^2)=_{B^1}G(t), \end{equation} \tag{29} $$
где
$$ \begin{equation} G(t)=_{B^1}\sum_\gamma A'(\gamma)\cos\bigl(L(\gamma)t+ \varphi'(\gamma)\bigr), \end{equation} \tag{30} $$
и высказана гипотеза, что равенства (29), (30) имеют место и в $B^2$.

6. Статистические свойства спектра и гипотезы универсальности

К статистическим свойствам спектра $\{\lambda_n\}$ мы относим существование функции распределения для величины $\Delta N(x)$ и собственно статистические свойства последовательности $\lambda_n$. Для случая $(\mathbb{T}^2,g_0)$ эти вопросы рассмотрены в обзоре [25]. Общий случай $(M,g)$ кратко рассмотрен в [25; § 7], и настоящей раздел можно рассматривать как расширенный и уточненный вариант § 7 обзора [25].

Рассмотрим вопрос о существовании функции распределения для величины $\Delta N(x)$. В соответствии с определением (см. [46]) некоторая величина $F(t)$ имеет функцию распределения с плотностью $\rho_F(s)$, если для любой плотности $\rho(s)$ распределения вероятностей на $[0,1]$ и любой непрерывной функции $g(t)$ ($-\infty<t<\infty$) имеет место равенство

$$ \begin{equation*} \lim_{T \to \infty}\int_0^T g(F(t))\rho\biggl(\frac{t}{T}\biggr)\,dt= \int_{-\infty}^{+\infty} g(s)\rho_F(s)\,ds \end{equation*} \notag $$
и $\rho_F(s)$ не зависит от выбора $\rho(t)$.

В работе [47] доказано, что функция распределения существует, если существуют непрерывные, периодические с периодом $1$ функции $a_n(t)$ и константы $\gamma_n$, линейно независимые над полем рациональных чисел, такие, что

$$ \begin{equation} \lim_{N\to\infty}\,\limsup_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_0^T\min\biggl\{1,\biggl|F(t) -\sum_{n\leqslant N}a_n(\gamma_nt)\biggr|\biggr\}\,dt=0, \end{equation} \tag{31} $$
$$ \begin{equation} \int_0^\infty a_n(t)\,dt=0, \qquad \sum_{n=1}^\infty a_n^2(t)<\infty, \end{equation} \tag{32} $$
$$ \begin{equation} \max_{t \in [0,1]}|a_n(t)|\ll n^{1-\mu} \quad (\mu>1), \qquad \lim_{n\to\infty}n^\mu \int_0^1 a_n^2(t)\,dt=\infty. \end{equation} \tag{33} $$

В работе [46] доказано, что если выполнены условия (31), (32), то $\rho_F(s)$ совпадает с плотностью распределения вероятностей случайной величины

$$ \begin{equation*} \eta=\sum_n a_n(t_n), \end{equation*} \notag $$
где $t_n$ – независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке $[0,1]$.

Общие вопросы существования функций распределения обсуждаются в работе [48].

Вопрос о существовании и свойствах функции распределения для величины $\Delta N(x)$ в случае $(\mathbb{S}^2,g_2)$ (см. (11)) рассмотрен в работе [19]. В этой работе доказано, что величина $F(t)$, определенная равенством (28), удовлетворяет условиям (31)(33), а функция $\rho_F(s)$ ведет себя так же, как соответствующая величина для $(\mathbb{T}^2,g_0)$ (см. [21]), и

$$ \begin{equation*} \rho_F(s)\ll \exp\{-|s|^{4-\varepsilon}\} \quad \forall\,\varepsilon>0. \end{equation*} \notag $$
В [20], [21] аналогичный результат доказан для $(M,g)=(\mathbb{T }^2,g_3)$ (см. (12)). Для величины $G(t)$ (см. (29)) доказано, что
$$ \begin{equation*} \rho_G(s)\ll \exp\{-|s|^{16/9-\varepsilon}\} \quad \forall\,\varepsilon>0 \end{equation*} \notag $$
и высказана гипотеза, что
$$ \begin{equation*} \rho_G(s)\ll \exp\{-|s|^{4-\varepsilon}\} \quad \forall\,\varepsilon>0. \end{equation*} \notag $$
В обоих указанных случаях предполагается, что выполнены некоторые УОП. Что касается случая $g \in \{g_{\mathrm{NI}}\}$, то оценки (15), (17) подсказывают, что и в случае $(M,g)=\mathcal{F}(\Gamma)$, где $\Gamma(A,p)$ определена формулой (18), величина $F(t)=t^{-1/2}\Delta N(t^2)$ должна была бы иметь функцию распределения, однако это не доказано.

Вопросы, связанные со статистическими свойствами последовательности $\lambda_n$, рассматриваются в теории квантового хаоса [4]–[6], [49]. В этой теории вместо последовательности $\lambda_n$ принято рассматривать последовательность

$$ \begin{equation*} \widetilde{\lambda}_n=\frac{4\pi}{|M|}\lambda_n, \end{equation*} \notag $$
для которой
$$ \begin{equation*} \widetilde{N}(x)=\#\{n \colon\widetilde{\lambda}_n \leqslant x\}= x+O(x^{1/2}). \end{equation*} \notag $$
В работах, посвященных квантовому хаосу, ожидаемые статистические свойства последовательности $\widetilde{\lambda}_n$ формулируются в виде гипотез универсальности. Эти гипотезы основаны на экспериментальных фактах, результатах численных экспериментов, и ни одна из них не только не доказана, но и четко не сформулирована. В частности, предполагается, что рассматриваемые метрики удовлетворяют некоторым УОП, которые явно не формулируются. В гипотезах универсальности речь идет о локальных асимптотических свойствах последовательности $\widetilde{\lambda}_n$, зависящих от поведения этой последовательности в интервалах $(\lambda,\lambda+O(\lambda^{1/2}))$ при $\lambda \to \infty$ и не зависящих от выбора $\lambda$.

С учетом вышесказанного сформулируем гипотезы универсальности. Согласно этим гипотезам статистические свойства последовательности $\widetilde{\lambda}_n$ зависят только от того, интегрируем или нет геодезический поток.

Если геодезический поток интегрируем ($g \in \{g_{\mathrm{I}}\}$), то последовательность $\widetilde{\lambda}_n$ распределена по Пуассону.

Если геодезический поток неинтегрируем ($g \in \{g_{\mathrm{NI}}\}$), то последовательность $\widetilde{\lambda}_n$ распределена как собственные значения случайных матриц из гауссова ортогонального ансамбля (см. [50]).

Экспериментальной и теоретической проверке подлежат следствия из этих гипотез. В частности, это относится к равенствам

$$ \begin{equation*} \lim_{n\to\infty}n^{-1}\# \{i\leqslant n\colon a\leqslant\widetilde{\lambda}_{i+1}-\widetilde{\lambda}_{i}\leqslant b\}= \int_a^b \rho(\xi)\,d\xi, \end{equation*} \notag $$
в которых
$$ \begin{equation} \begin{alignedat}{2} \rho(\xi)&=e^{-\xi}&&\qquad (g \in \{g_{\mathrm{I}}\}), \\ \nonumber \rho(\xi)&\simeq \frac{\pi}{2}\xi e^{-\pi\xi^2/4}&&\qquad (g \in \{g_{\mathrm{NI}}\}). \end{alignedat} \end{equation} \tag{34} $$
Заметим, что равенство (34) не доказано даже в случае $(\mathbb{T}^2,g_0)$.

Кроме расстояния $\widetilde{\lambda}_{i+1}-\widetilde{\lambda}_{i}$ в теории квантового хаоса рассматриваются и другие статистики, например величина

$$ \begin{equation*} \Sigma^2(\lambda,L)=\lambda^{-1}\int_\lambda^{2\lambda} [\widetilde{N}(x+L)-\widetilde{N}(x)-L]^2\,dx \end{equation*} \notag $$
и ее сглаженный вариант (см. [51])
$$ \begin{equation*} \overline\Sigma^2(\lambda,L)=\frac{1}{L}\int_0^L\Sigma^2(\lambda,\xi)\,d\xi. \end{equation*} \notag $$
Из гипотез универсальности следует, что при $1\ll L \ll \lambda^{1/2}$
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \nonumber \Sigma^2(\lambda,L)&=L\qquad (g \in \{g_{\mathrm{I}}\}), \\ \Sigma^2(\lambda,L)&=\frac{2}{\pi} \biggl(\ln(2\pi L)+\gamma+1- \frac{\pi^2}{8}\biggr) +O(L^{-1})\qquad (g \in \{g_{\mathrm{NI}}\}). \end{aligned} \end{equation} \tag{35} $$
В работе [51] рассматривалась величина $\overline{\Sigma}^2(\lambda,L)$ в случае $\mathcal{F}(\Gamma)$, где $\Gamma$ – арифметическая или кватернионная группа [31]. Эти группы не являются группами общего положения. В работе [50], в частности, показано, что для кватернионных групп
$$ \begin{equation*} \overline{\Sigma}^2(\lambda,L) \gg \frac{L}{\ln L}, \quad\text{где\ \ } L\sim \frac{\sqrt{\lambda}}{\ln \lambda}. \end{equation*} \notag $$
Эта оценка противоречит (35), что указывает на важность УОП при рассмотрении гипотез универсальности.

Список литературы

1. Г. В. Розенблюм, М. З. Соломяк, М. А. Шубин, “Спектральная теория дифференциальных операторов”, Дифференциальные уравнения с частными производными – 7, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 64, ВИНИТИ, М., 1989, 5–242  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: G. V. Rozenblyum, M. A. Shubin, M. Z. Solomyak, “Spectral theory of differential operators”, Partial differential equations VII, Encyclopaedia Math. Sci., 64, Springer, Berlin, 1994, 1–261
2. M. Berger, P. Gauduchon, E. Mazet, Le spectre d'une variété riemannienne, Lecture Notes in Math., 194, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1971, vii+251 pp.  crossref  mathscinet  zmath
3. Л. Хёрмандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. 4, Интегральные операторы Фурье, Мир, М., 1988, 448 с.  mathscinet; пер. с англ.: L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, т. IV, Grundlehren Math. Wiss., 275, Fourier integral operators, Springer-Verlag, Berlin, 1985, vii+352 с.  mathscinet  zmath
4. Я. Г. Синай, А. И. Шафаревич (ред.), Квантовый хаос, Сб. cт., РХД, М.–Ижевск, 2008, 384 с.
5. Х.-Ю. Штокман, Квантовый хаос, Физматлит, М., 2004, 376 с.; пер. с англ.: H.-J. Stöckmann, Quantum chaos. An introduction, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999, x+368 с.  crossref  mathscinet  zmath
6. P. Sarnak, “Arithmetic quantum chaos”, The Shur lectures (1992) (Tel Aviv), Israel Math. Conf. Proc., 8, Bar-Ilan Univ., Ramat-Gan, 1995, 183–236  mathscinet  zmath
7. Н. Надирашвили, Дж. Тот, Д. Якобсон, “Геометрические свойства собственных функций”, УМН, 56:6(342) (2001), 67–88  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: D. Jakobson, N. Nadirashvili, J. Toth, “Geometric properties of eigenfunctions”, Russian Math. Surveys, 56:6 (2001), 1085–1105  crossref  adsnasa
8. А. В. Пенской, “Метрики, экстремальные для собственных чисел оператора Лапласа–Бельтрами на поверхностях”, УМН, 68:6(414) (2013), 107–168  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. V. Penskoi, “Extremal metrics for eigenvalues of the Laplace–Beltrami operator on surfaces”, Russian Math. Surveys, 68:6 (2013), 1073–1130  crossref  adsnasa
9. С. Хелгасон, Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, Мир, М., 1964, 533 с.  zmath; пер. с англ.: S. Helgason, Differential geometry and symmetric spaces, Pure Appl. Math., 12, Academic Press, New York–London, 1962, xiv+486 с.  mathscinet  zmath
10. L. Hörmander, “The spectral function on an elliptic operator”, Acta Math., 121 (1968), 193–218  crossref  mathscinet  zmath
11. J. J. Duistermaat, V. W. Guillemin, “The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics”, Invent. Math., 29 (1975), 39–79  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
12. А. Бессе, Многообразия с замкнутыми геодезическими, М., Мир, 1981, 327 с.  mathscinet; пер. с англ.: A. L. Besse, Manifolds all of whose geodesics are closed, Ergeb. Math. Grenzgeb., 93, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1978, ix+262 с.  crossref  mathscinet  zmath
13. Т. Е. Гуреев, Ю. Г. Сафаров, “Точная асимптотика спектра оператора Лапласа на многообразии с периодическими геодезическими”, Краевые задачи математической физики. 13, Сборник работ, Тр. МИАН СССР, 179, 1988, 36–53  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: T. E. Gureev, Yu. G. Safarov, “Exact spectral asymptotics for the Laplace operator on a manifold with periodic geodesics”, Proc. Steklov Inst. Math., 179 (1989), 35–53
14. A. V. Volovoy, “Improved two-term asymptotics for the eigenvalue distribution function of an elliptic operator on a compact manifold”, Comm. Partial Differential Equations, 15:11 (1990), 1509–1563  crossref  mathscinet  zmath
15. P. H. Bérard, “On the wave equation on a compact Riemannian manifold without conjugate points”, Math. Z., 155:3 (1977), 249–276  crossref  mathscinet  zmath
16. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Современная геометрия. Методы и приложения, 2-е изд., перераб., Наука, М., 1986, 760 с.  mathscinet  zmath; англ. пер. 1-го изд.: B. A. Dubrovin, A. T. Fomenko, S. P. Novikov, Modern geometry – methods and applications, Part I. The geometry of surfaces, transformation groups, and fields, Grad. Texts in Math., 93, Springer-Verlag, New York, 1984, xv+464 с.  crossref  mathscinet  zmath; Part II. The geometry and topology of manifolds, 104, 1985, xv+430 pp.  crossref  mathscinet  zmath; Part III. Introduction to homology theory, 124, 1990, x+416 pp.  mathscinet  zmath
17. А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко, Геометрия и топология интегрируемых геодезических потоков на поверхностях, Библиотека “Регулярная и хаотическая динамика”, Едиториал УРСС, М., 1999, 328 с.
18. Y. Colin de Verdière, “Spectre conjoint d'opérateurs pseudo-différentiels qui commutent. II. Le cas intégrable”, Math. Z., 171:1 (1980), 51–73  crossref  mathscinet  zmath
19. P. M. Bleher, “Distribution of energy levels of a quantum free particle on a surface of revolution”, Duke. Math. J., 74:1 (1994), 45–93  crossref  mathscinet  zmath
20. Д. В. Косыгин, А. А. Минасов, Я. Г. Синай, “Статистические свойства спектров операторов Лапласа–Бельтрами на поверхностях Лиувилля”, УМН, 48:4(292) (1993), 3–130  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: D. V. Kosygin, A. A. Minasov, Ya. G. Sinai, “Statistical properties of the spectra of Laplace–Beltrami operators on Liouville surfaces”, Russian Math. Surveys, 48:4 (1993), 1–142  crossref  adsnasa
21. P. M. Bleher, D. V. Kosygin, Ya. G. Sinai, “Distribution of energy levels of quantum free particle on the Liouville surface and trace formulae”, Comm. Math. Phys., 170:2 (1995), 375–403  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
22. H. Lapointe, “A remainder estimate for Weyl's law on Liouville tori”, Spectrum and dynamics, CRM Proc. Lecture Notes, 52, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2010, 89–112  crossref  mathscinet  zmath
23. Д. А. Попов, “О втором члене в формуле Вейля для спектра оператора Лапласа на двумерном торе и числе целых точек в спектральных областях”, Изв. РАН. Сер. матем., 75:5 (2011), 139–176  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: D. A. Popov, “On the second term in the Weyl formula for the spectrum of the Laplace operator on the two-dimensional torus and the number of integer points in spectral domains”, Izv. Math., 75:5 (2011), 1007–1045  crossref  adsnasa
24. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, 3-е изд., Физматгиз, М., 1961, 112 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. Ya. Khinchin, Continued fractions, The Univ. of Chicago Press, Chicago, IL–London, 1964, xi+95 с.  mathscinet  zmath
25. Д. А. Попов, “Проблема круга и спектр оператора Лапласа на замкнутых двумерных многообразиях”, УМН, 74:5(449) (2019), 145–162  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: D. A. Popov, “Circle problem and the spectrum of the Laplace operator on closed 2-manifolds”, Russian Math. Surveys, 74:5 (2019), 909–925  crossref  adsnasa
26. В. И. Арнольд, А. Авец, Эргодические проблемы классической механики, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 1999, 284 с.  zmath; пер. с фр.: V. I. Arnold, A. Avez, Problèmes ergodiques de la mécanique classique, Monographies Internationales de Mathématiques Modernes, 9, Gauthier-Villars, Paris, 1967, ii+243 pp.  mathscinet  zmath
27. У. Тёрстон, Трехмерная геометрия и топология, т. 1, МЦНМО, М., 2001, 312 с.; пер. с англ.: W. P. Thurston, Three-dimensional geometry and topology, т. 1, Princeton Math. Ser., 35, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1997, x+311 с.  mathscinet  zmath
28. B. Randol, “The Riemann hypothesis for Selberg's zeta-function and the asymptotic behavior of eigenvalues of the Laplace operator”, Trans. Amer. Math. Soc., 236 (1978), 209–223  crossref  mathscinet  zmath
29. B. Randol, “A Dirichlet series of eigenvalue type with applications to asymptotic estimates”, Bull. London Math. Soc., 13:4 (1981), 309–315  crossref  mathscinet  zmath
30. D. A. Hejhal, The Selberg trace formula for $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$, v. 1, Lecture Notes in Math., 548, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1976, vi+516 pp.  crossref  mathscinet  zmath
31. С. Б. Каток, Фуксовы группы, Факториал Пресс, М., 2002, 160 с.; пер. с англ.: S. Katok, Fuchsian groups, Chicago Lectures in Math., Univ. of Chicago Press, Chicago, IL, 1992, x+175 с.  mathscinet  zmath
32. Г. Шимура, Введение в арифметическую теорию автоморфных функций, Мир, М., 1973, 326 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: G. Shimura, Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions, Publ. Math. Soc. Japan, 11, Kanô Memorial Lectures, 1, Iwanami Shoten, Publishers, Tokyo; Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1971, xiv+267 с.  mathscinet  zmath
33. D. Jakobson, I. Polterovich, J. A. Toth, “A lower bound for the remainder in Weyl's law on negatively curved surfaces”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2008:2 (2008), rnm142, 38 pp.  crossref  mathscinet  zmath; (2007 (v1 – 2006)), 27 pp., arXiv: math/0612250
34. Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман, Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2-е изд., Наука, М., 1966, 543 с.  mathscinet  zmath; нем. пер.: N. I. Akhieser, I. M. Glasmann, Theorie der linearen Operatoren im Hilbert-Raum, Math. Lehrbucher und Monogr., IV, Akademie-Verlag, Berlin, 1968, xvi+488 pp.  mathscinet  zmath
35. H. P. McKean, Jr., I. M. Singer, “Curvature and the eigenvalues of the Laplacian”, J. Differential Geometry, 1:1 (1967), 43–69  crossref  mathscinet  zmath
36. А. Б. Венков, “Спектральная теория автоморфных функций, дзета-функция Сельберга и некоторые проблемы аналитической теории чисел и математической физики”, УМН, 34:3(207) (1979), 69–135  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. B. Venkov, “Spectral theory of automorphic functions, the Selberg zeta-function, and some problems of analytic number theory and mathematical physics”, Russian Math. Surveys, 34:3 (1979), 79–153  crossref
37. D. A. Hejhal, “The Selberg trace formula and the Riemann zeta-function”, Duke Math. J., 43:3 (1976), 441–482  crossref  mathscinet  zmath
38. Д. А. Попов, “О формуле Сельберга для строго гиперболических групп”, Функц. анализ и его прил., 47:4 (2013), 53–66  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: D. A. Popov, “On the Selberg trace formula for strictly hyperbolic groups”, Funct. Anal. Appl., 47:4 (2013), 290–301  crossref
39. Y. Colin de Verdière, “Spectre du laplacien et longueurs des géodésiques périodiques. I”, Compositio Math., 27 (1973), 83–106  mathscinet  zmath
40. J. Chazarain, “Formule de Poisson pour les variétés riemanniennes”, Invent. Math., 24 (1974), 65–82  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
41. H. Donnelly, “On the wave equation asymptotics of a compact negatively curved surface”, Invent. Math., 45:2 (1978), 115–137  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
42. Д. А. Попов, “Явная формула для функции распределения собственных значений оператора Лапласа на компактной римановой поверхности рода $g>1$”, Функц. анализ и его прил., 46:2 (2012), 66–82  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: D. A. Popov, “Explicit formula for the spectral counting function of the Laplace operator on a compact Riemannian surface of genus $g>1$”, Funct. Anal. Appl., 46:2 (2012), 133–146  crossref
43. Д. А. Попов, “О формуле Вейля для оператора Лапласа на гиперболических римановых поверхностях”, Функц. анализ и его прил., 48:2 (2014), 93–96  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: D. A. Popov, “On the Weyl formula for the Laplace operator on hyperbolic Riemann surfaces”, Funct. Anal. Appl., 48:2 (2014), 150–153  crossref
44. Б. М. Левитан, Почти-периодические функции, Гостехиздат, М., 1953, 396 с.  mathscinet  zmath
45. A. S. Besicovitch, Almost periodic functions, Dover Publications, Inc., New York, 1955, xiii+180 pp.  mathscinet  zmath
46. P. M. Bleher, Zheming Chang, F. J. Dyson, J. L. Lebowitz, “Distribution of the error term for the number of lattice points inside a shifted circle”, Comm. Math. Phys., 154:3 (1993), 433–469  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
47. D. R. Heath-Brown, “The distribution and moments of the error term in the Dirichlet divisor problem”, Acta Arith., 60:4 (1992), 389–415  crossref  mathscinet  zmath
48. Yuk-Kam Lau, “On the existence of limiting distributions of some number-theoretic error terms”, J. Number Theory, 94:2 (2002), 359–374  crossref  mathscinet  zmath
49. А. Бекер, Ф. Штайнер, “Квантовый хаос и квантовая эргодичность”, Квантовый хаос, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2008, 60–101; пер. с англ.: A. Bäcker, F. Steiner, “Quantum chaos and quantum ergodicity”, Ergodic theory, analysis, and efficient simulation of dynamical systems, Springer, Berlin, 2001, 717–751  crossref  mathscinet  zmath
50. М. А. Мета, Случайные матрицы, МЦНМО, М., 2012, 648 с.; пер. с англ.: M. L. Mehta, Random matrices, Pure Appl. Math. (Amst.), 142, 3rd ed., Elsevier/Academic Press, Amsterdam, 2004, xviii+688 с.  mathscinet  zmath
51. W. Luo, P. Sarnak, “Number variance for arithmetic hyperbolic surfaces”, Comm. Math. Phys., 161:2 (1994), 419–432  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa

Образец цитирования: Д. А. Попов, “О спектре оператора Лапласа на замкнутых поверхностях”, УМН, 77:1(463) (2022), 91–108; Russian Math. Surveys, 77:1 (2022), 81–97
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pop22}
\by Д.~А.~Попов
\paper О~спектре оператора Лапласа на замкнутых поверхностях
\jour УМН
\yr 2022
\vol 77
\issue 1(463)
\pages 91--108
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm9916}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm9916}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4461385}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1487.58030}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022RuMaS..77...81P}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2022
\vol 77
\issue 1
\pages 81--97
\crossref{https://doi.org/10.1070/RM9916}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000790547600001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85130437424}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm9916
  • https://doi.org/10.4213/rm9916
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm/v77/i1/p91
  • Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Успехи математических наук Russian Mathematical Surveys
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:444
    PDF русской версии:114
    PDF английской версии:89
    HTML русской версии:221
    Список литературы:79
    Первая страница:28
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024