Успехи математических наук, 2021, том 76, выпуск 2(458), страницы 187–192 DOI: https://doi.org/10.4213/rm9985 (Mi rm9985)

DOI: https://doi.org/10.4213/rm9985

Английская версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 2, Pages 373–378
DOI: https://doi.org/10.1070/RM9985

Реферативные базы данных:

Zoom inZoom out

Уалбай Утмаханбетович Умирбаев – доктор физико-математических наук, профессор, академик Национальной академии наук Республики Казахстан, лауреат премии Мура Американского математического общества, лауреат Государственной премии Республики Казахстан – родился 9 мая 1960 г. в селе Торткуль Южно-Казахстанской области. Его отец Утмаханбет – участник Великой Отечественной войны, долгое время работал редактором районной газеты Шаянского района Южно-Казахстанской области, был директором средней школы в Торткуле и преподавал математику старшеклассникам. Мать Уалбая Бибизухра работала, в том числе и в тяжелые военные годы, бригадиром на уборке урожая, в награду за свой труд в 1940 г. была приглашена на Всесоюзную сельскохозяйственную выставку в Москву. В доме у Умирбаевых все увлекались математикой и шахматами. После окончания шестого класса отец привел Уалбая в летний лагерь Республиканской физико-математической школы города Алма-Аты – столицы Казахской ССР, где он и поступил, успешно сдав экзамены, в лучшую школу республики. В этой школе математику преподавали такие прекрасные педагоги, как Д. Ж. Ержанов и К. Е. Толымбекова, которые увлекали своих учеников интересными и в то же время трудными задачами из разных источников, в том числе из журнала “Квант”.

В 1977 г. Уалбай поступил на механико-математический факультет Новосибирского государственного университета. Новосибирский Академгородок произвел на Уалбая сильное впечатление. Здесь были созданы все условия для жизни, отдыха и труда научных работников, преподавателей и студентов. Большой лесной массив, многочисленные искусственные насаждения, близость к Обскому морю – все это делало Академгородок еще более привлекательным. В Доме ученых, в ДК “Академия” и в самом университете всегда проводилось много интересных мероприятий. Лекции читали известные ученые из разных научно-исследовательских институтов Сибирского отделения АН СССР. С первого курса Уалбай стал интересоваться алгеброй, участвовал в различных семинарах и слушал спецкурсы. Студенты 5-го курса А. В. Боровик и Е. И. Хухро вели кружок по теории конечных групп, а аспиранты В. Н. Желябин и Ю. А. Медведев – кружок по теории колец. Все они позже стали докторами наук и известными учеными. Со своим будущим научным руководителем И. П. Шестаковым – учеником члена-корреспондента АН СССР А. И. Ширшова, выдающегося алгебраиста из научной школы А. Г. Куроша, Уалбай познакомился на втором курсе – Иван Павлович, в то время еще молодой доктор наук, преподавал ему теорию Галуа. Позже Уалбай специализировался у него на кафедре алгебры и логики, возглавляемой тогда Ю. Л. Ершовым, впоследствии академиком РАН. На сегодняшний день У. У. Умирбаев является одним из достойных представителей знаменитой сибирской школы академика А. И. Мальцева по алгебре и логике.

В 1986 г. в Институте математики СО АН СССР У. У. Умирбаев защитил кандидатскую диссертацию, а в 1995 г., в том же институте, – докторскую. Докторская диссертация была посвящена исследованию подалгебр свободных алгебр и проблеме вхождения для свободных алгебр Ли, групп и ассоциативных алгебр. Основные направления научных исследований У. У. Умирбаева: комбинаторная теория и алгоритмические проблемы теории колец, групп и алгебр Ли; автоморфизмы и дифференцирования свободных алгебр; тождества алгебраических систем; гипотеза якобиана; проблемы сокращения и линеаризации. Остановимся на некоторых существенных результатах.

Проблема Нагаты об автоморфизмах алгебры многочленов. Рассмотрим $K[X]=K[x_1,\dots,x_n]$ – алгебру многочленов над полем $K$ от множества переменных $X=\{x_1,\dots, x_n\}$, и пусть $\operatorname{GA}_n(K)$ – группа автоморфизмов алгебры $K[X]$. Через $\phi=(f_1,\dots,f_n)$ обозначим такой автоморфизм алгебры $K[X]$, что $\phi(x_i)=f_i$, $1\leqslant i\leqslant n$. Автоморфизмы алгебры $K[X]$ вида

В 1942 г. немецкий математик Г. Юнг доказал, что автоморфизмы алгебры многочленов от двух переменных над полем нулевой характеристики являются ручными. В 1953 г. голландский математик В. ван дер Калк расширил этот результат для алгебр над полями произвольной характеристики.

Несмотря на все усилия специалистов, в случае трех и более переменных проблема ручных и диких автоморфизмов оставалась неприступной. Появилось несколько кандидатов в контрпримеры, и самым известным среди них был автоморфизм

В 2001 г. У. У. Умирбаев и И. П. Шестаков [10], [11] доказали, что автоморфизм Нагаты алгебры многочленов $K[x,y,z]$ от трех переменных над полем нулевой характеристики является диким. За эти две работы [10], [11] в 2007 г. авторы были удостоены премии Мура Американского математического общества.

В работе [11] были классифицированы все сокращения ручных автоморфизмов алгебры многочленов $K[x,y,z]$. Используя эту классификацию, У. У. Умирбаев чуть позже описал [12] все определяющие соотношения группы ручных автоморфизмов $\operatorname{TA}_3(K)$ относительно системы порождающих $\sigma(i,\alpha,f)$.

Проблема Кона и подалгебры свободных ассоциативных алгебр. Строение подалгебр свободных ассоциативных алгебр изучалось многими математиками. В 1993 г. У. У. Умирбаев [2] доказал следующий уникальный и глубокий результат: алгебраическая зависимость конечной системы элементов свободных ассоциативных алгебр алгоритмически нераспознаваема. Уникальность этого результата заключается в том, что ни для какого другого класса свободных алгебр еще не удалось доказать аналог этой теоремы. Для свободных групп и алгебр Ли алгебраическая зависимость конечной системы элементов распознается алгоритмически. В работе [2] доказана также неразрешимость проблемы вхождения в конечно порожденные подалгебры свободных ассоциативных алгебр.

В 1970–1971 гг. А. Черниякевич и Л. Г. Макар-Лиманов доказали аналог результата Юнга–ван дер Калка для свободных ассоциативных алгебр, т. е. показали, что автоморфизмы свободных ассоциативных алгебр от двух переменных являются ручными. Вопрос о существовании диких автоморфизмов был известен как проблема Кона. Наиболее известным кандидатом в дикие автоморфизмы был автоморфизм Аника

В 2004 г. У. У. Умирбаев [13] доказал, что автоморфизм Аника свободной ассоциативной алгебры $K\langle x,y,z\rangle$ от трех переменных над полем нулевой характеристики является диким. При этом существенно использовался результат работы [12] об определяющих соотношениях группы ручных автоморфизмов $\operatorname{TA}_3(K)$ алгебры многочленов от трех переменных.

Проблема М. И. Каргаполова о свободных разрешимых группах. Одно из применений базисов Грёбнера дает разрешимость проблемы вхождения в конечно порожденные подалгебры алгебры многочленов $K[x_1,\dots,x_n]$. Хорошо известная теорема Нильсена–Шрайера утверждает, что подгруппы свободных групп свободны, а теорема Ширшова–Витта показывает, что подалгебры свободных алгебр Ли свободны. Из этих результатов легко извлекается разрешимость проблемы вхождения для свободных групп и алгебр Ли. Член-корреспондент АН СССР М. И. Каргаполов сформулировал следующий вопрос: разрешима ли проблема вхождения в конечно порожденные подгруппы свободных разрешимых групп? Разрешимость проблемы вхождения для свободных метабелевых групп была доказана в 1980 г. Н. С. Романовским. Проблема М. И. Каргаполова была решена в 1995 г. У. У. Умирбаевым [6]: он показал, что проблема вхождения для свободных разрешимых групп ступени разрешимости $\geqslant 3$ алгоритмически неразрешима. Аналогичный результат был также доказан для алгебр Ли [1].

Результаты работ [1], [2], [6] составили основу докторской диссертации У. У. Умирбаева.

Свободные алгебры Ли. Многообразия алгебр, в которых подалгебры свободных алгебр являются свободными, называются шрайеровыми. Таковы многообразия всех неассоциативных алгебр (А. Г. Курош, 1947), коммутативных и антикоммутативных алгебр (А. И. Ширшов, 1954), алгебр Ли (А. И. Ширшов, 1953; Э. Витт, 1956) и многообразие алгебр с нулевым умножением. Известный вопрос о существовании других шрайеровых многообразий алгебр был решен в 1994 г. У. У. Умирбаевым [5], который показал, что многообразие алгебр с тождеством $(xx)x=0$ является шрайеровым. Многообразия супералгебр Ли (А. А. Михалев, 1985; А. С. Штерн, 1986) также оказались шрайеровыми.

В 1964 г. П. Кон доказал, что автоморфизмы конечно порожденных свободных алгебр Ли над произвольным полем являются ручными. В 1968 г. Ж. Левин обобщил этот результат на свободные алгебры шрайеровых многообразий алгебр. Следовательно, автоморфизмы свободных неассоциативных алгебр, свободных коммутативных и антикоммутативных алгебр конечного ранга над полями также являются ручными. В 2006 г. У. У. Умирбаев описал [14] все определяющие соотношения группы автоморфизмов свободных алгебр конечного ранга шрайеровых многообразий алгебр относительно системы порождающих $\sigma(i,\alpha,f)$.

Напомним, что рангом системы элементов $f_1,\dots,f_k$ свободной алгебры Ли $L$ от свободных переменных $x_1,\dots,x_n$ называется минимальное число $r$, для которого найдется автоморфизм алгебры $G$, переводящий $f_1,\dots,f_k$ в подалгебру, порожденную элементами $x_1,\dots,x_r$. В 1994 г. А. А. Михалев и А. А. Золотых доказали, что ранг системы элементов $f_1,\dots,f_k$ свободной алгебры Ли $L$ совпадает с (правым) рангом ($n\times k$)-матрицы Якоби $[\partial f_i/\partial x_j]$, где $\partial f_i/\partial x_j$ – производные Фокса. Аналог этого замечательного результата для свободных групп был установлен в 1996 г. У. У. Умирбаевым [4], [7]. В 2001 г. этот результат был также обобщен А. А. Михалевым, У. У. Умирбаевым, и Ц. Ю [8] для свободных алгебр шрайеровых многообразий алгебр.

Хорошо известная теорема Дж. Столлингса (1968) и Р. Суона (1969) гласит, что группы когомологической размерности 1 свободны. В 1994 г. А.А. Золотых, А. А. Михалев и У. У. Умирбаев [3] построили пример несвободной алгебры Ли когомологической размерности 1 над полем положительной характеристики. Вопрос о справедливости аналога этого замечательного результата Столлингса–Суона для алгебр Ли над полем нулевой характеристики до сих пор остается открытым.

Свободные алгебры Пуассона. Строение свободных алгебр Пуассона и их автоморфизмы и дифференцирования были исследованы в совместных работах У. У. Умирбаева и Л. Г. Макар-Лиманова. Ими получены следующие существенные результаты.

1) Централизатор любого элемента свободной алгебры Пуассона над полем нулевой характеристики, который не является константой, является алгеброй многочленов от одной переменной [15]. Этот результат представляет собой точный аналог известной теоремы Дж. Бергмана о централизаторах для свободных ассоциативных алгебр.

2) Теорема о свободе верна для свободных алгебр Пуассона над полем нулевой характеристики [17]. Напомним, что теорема о свободе для свободных ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики была доказана Л. Г. Макар-Лимановым в 1985 г.

3) Группа автоморфизмов свободного пуассонова поля $P(x,y)$ от двух переменных над полем $K$ нулевой характеристики изоморфна двумерной группе Кремоны [18]:

В частности, все автоморфизмы свободной алгебры Пуассона от двух переменных являются ручными [16].

Примитивные элементы свободной неассоциативной алгебры. Пусть $N\langle V\rangle$ есть свободная неассоциативная алгебра векторного пространства $V$ над полем $K$. Определим гомоморфизм алгебр $\Delta\colon N\langle V\rangle\to N\langle V\rangle\otimes N\langle V\rangle$, полагая $\Delta(v)=v\otimes 1+1\otimes v$ для $v\in V$. Элемент $f\in N\langle V\rangle$ называется примитивным, если $\Delta(f)=1\otimes f+f\otimes 1$. В 1990 г. К. Х. Хофманн и К. Штрамбах сформулировали гипотезу о том, что линейное подпространство примитивных элементов порождается над $V$ с помощью операций коммутатора $[x,y]=xy-yx$ и ассоциатора $(x,y,z)=(xy)z-x(yz)$. В 2002 г. У. У. Умирбаев и И. П. Шестаков [9] опровергли эту гипотезу, построили полную систему порождающих для примитивных элементов и описали это пространство как линейную алгебру с бесконечным множеством полилинейных операций. Оказалось, что эти операции совпадают с операциями, введенными в 1988 г. П. О. Михеевым и Л. В. Сабининым на касательном пространстве аналитической лупы. Позднее эти алгебры стали называть алгебрами Сабинина; они составили основу для неассоциативной теории Ли и неассоциативных алгебр Хопфа. В 2017 г. У. У. Умирбаев и В. К. Харченко [19] доказали, что любое сплетение $\tau\colon V\otimes V\to V\otimes V$ векторного пространства $V$ единственным способом продолжается до сплетения свободной неассоциативной алгебры $N\langle V\rangle$ и эта алгебра $N\langle V\rangle$ имеет естественную структуру сплетенной неассоциатиной алгебры Хопфа. Кроме того, было введено понятие сплетенной алгебры Сабинина и доказано, что примитивные элементы сплетенной неассоциативной алгебры Хопфа образуют сплетенную алгебру Сабинина.

В 2009 г. У. У. Умирбаев был удостоен Государственной премии Республики Казахстан за цикл работ по теме “Подалгебры и автоморфизмы свободных алгебр”.

Стоит также отметить большую преподавательскую деятельность Уалбая Утмаханбетовича. Работая в Казахском национальном университете им. аль-Фараби (Алматы), Южно-Казахстанском университете им. М. Ауезова (Шымкент), Евразийском национальном университете им. Л. Н. Гумилева (Нур-Султан), в Университете Уэйна (Детройт), он немало усилий приложил для подготовки специалистов-математиков и по сей день продолжает передавать студентам свой научный опыт, энтузиазм и любовь к математике.

Мы желаем Уалбаю Утмаханбетовичу крепкого здоровья, долгих лет жизни и новых творческих успехов!

Список цитированных работ У. У. Умирбаева
1.	У. У. Умирбаев, “Проблема вхождения для алгебр Ли”, Алгебра и логика, 32:3 (1993), 326–340      ; англ. пер.: U. U. Umirbaev, “The occurrence problem for Lie algebras”, Algebra and Logic, 32:3 (1993), 173–181
2.	У. У. Умирбаев, “Некоторые алгоритмические вопросы ассоциативных алгебр”, Алгебра и логика, 32:4 (1993), 450–470      ; англ. пер.: U. U. Umirbaev, “Algorithmic problems in associative algebras.”, Algebra and Logic, 32:4 (1993), 244–255
3.	А. А. Золотых, А. А. Михалев, У. У. Умирбаев, “Пример несвободной алгебры Ли когомологической размерности 1”, УМН, 49:1(295) (1994), 203–204      ; англ. пер.: A. A. Zolotykh, A. A. Mikhalev, U. U. Umirbaev, “An example of a non-free Lie algebra of cohomological dimension 1”, Russian Math. Surveys, 49:1 (1994), 254
4.	У. У. Умирбаев, “Примитивные элементы свободных групп”, УМН, 49:2(296) (1994), 175–176      ; англ. пер.: U. U. Umirbaev, “Primitive elements of free groups”, Russian Math. Surveys, 49:2 (1994), 184–185
5.	У. У. Умирбаев, “О шрейеровых многообразиях алгебр”, Алгебра и логика, 33:3 (1994), 317–340      ; англ. пер.: U. U. Umirbaev, “Schreier varieties of algebras”, Algebra and Logic, 33:3 (1994), 180–193
6.	У. У. Умирбаев, “Проблема вхождения для свободных разрешимых групп”, Алгебра и логика, 34:2 (1995), 211–232      ; англ. пер.: U. U. Umirbaev, “Occurrence problem for free solvable groups”, Algebra and Logic, 34:2 (1995), 112–124
7.	У. У. Умирбаев, “О ранге элементов свободных групп”, Фундамент. и прикл. матем., 2:1 (1996), 313–315
8.	A. A. Mikhalev, U. Umirbaev, J.-T. Yu, “Automorphic orbits in free non-associative algebras”, J. Algebra, 243:1 (2001), 198–223
9.	I. P. Shestakov, U. U. Umirbaev, “Free Akivis algebras, primitive elements, and hyperalgebras”, J. Algebra, 250:2 (2002), 533–548
10.	I. P. Shestakov, U. U. Umirbaev, “Poisson brackets and two-generated subalgebras of rings of polynomials”, J. Amer. Math. Soc., 17:1 (2004), 181–196
11.	I. P. Shestakov, U. U. Umirbaev, “The tame and the wild automorphisms of polynomial rings in three variables”, J. Amer. Math. Soc., 17:1 (2004), 197–227
12.	U. U. Umirbaev, “Defining relations of the tame automorphism group of polynomial algebras in three variables”, J. Reine Angew. Math., 2006:600 (2006), 203–235
13.	U. U. Umirbaev, “The Anick automorphism of free associative algebras”, J. Reine Angew. Math., 2007:605 (2007), 165–178
14.	U. U. Umirbaev, “Defining relations for automorphism groups of free algebras”, J. Algebra, 314:1 (2007), 209–225
15.	L. Makar-Limanov, U. Umirbaev, “Centralizers in free Poisson algebras”, Proc. Amer. Math. Soc., 135:7 (2007), 1969–1975
16.	L. Makar-Limanov, U. Turusbekova, U. Umirbaev, “Automorphisms and derivations of free Poisson algebras in two variables”, J. Algebra, 322:9 (2009), 3318–3330
17.	L. Makar-Limanov, U. Umirbaev, “The Freiheitssatz for Poisson algebras”, J. Algebra, 328:1 (2011), 495–503
18.	L. Makar-Limanov, U. Umirbaev, “Free Poisson fields and their automorphisms”, J. Algebra Appl., 15:10 (2016), 1650196, 13 pp.
19.	U. Umirbaev, V. Kharchenko, “Free braided nonassociative Hopf algebras and Sabinin $\tau$-algebras”, J. Algebra, 492 (2017), 130–156

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{ArtDreErs21}
\by В.~А.~Артамонов, В.~С.~Дренски, Ю.~Л.~Ершов, М.~В.~Зайцев, Е.~И.~Зельманов, Т.~Ш.~Кальменов, Л.~Г.~Макар-Лиманов, А.~А.~Михалёв, А.~В.~Михалёв, В.~Н.~Ремесленников, Н.~С.~Романовский, В.~А.~Романьков, И.~П.~Шестаков
\paper Уалбай Утмаханбетович Умирбаев (к шестидесятилетию со дня рождения)
\jour УМН
\yr 2021
\vol 76
\issue 2(458)
\pages 187--192
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm9985}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm9985}
\mathscinet{https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4236248}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1471.01037}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021RuMaS..76..373A}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2021
\vol 76
\issue 2
\pages 373--378
\crossref{https://doi.org/10.1070/RM9985}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000701446200001}