| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) О теоретико-потенциальных задачах, связанных с асимптотикой многочленов Эрмита–Паде Н. Р. Икономовa, С. П. Суетинb a Institute of Mathematics and Informatics, Bulgarian Academy of Sciences, Sofia, Bulgaria b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Английская версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 8, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10018e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение и определения1.1.В 1981 г. А. А. Гончар и Е. А. Рахманов впервые применили теоретико”-потенциальный подход для исследования асимптотических свойств многочленов Эрмита–Паде. В работе [9] (см. также [10]) они рассмотрели случай многочленов Эрмита–Паде 2-го типа для набора $m$ функций, образующих систему Анджелеско. Поскольку $m$, $m\geqslant2$, может быть произвольным натуральным числом, возникающая теоретико-потенциальная задача равновесия оказывается векторной проблемой, которая описывается в терминах соответствующей задаче $ (m \times m)$-матрицы. В 1986 г. Е. М. Никишин в [16] ввел новую систему функций, которая теперь называется в его честь “система Никишина”. Следуя идеям А. А. Гончара и Е. А. Рахманова (см. [9]), Е. М. Никишин рассмотрел в [16] многочлены Эрмита–Паде 1-го типа для $ m$ функций, которые образуют систему Никишина. Асимптотика этих многочленов Эрмита–Паде была описана в [16] в терминах некоторой векторной теоретико-потенциальный задачи равновесия, которая была сформулирована в терминах соответствующей $(m \times m)$-матрицы. О дальнейших результатах, связанных с развитием метода Гончара–Рахманова, см., например, работы [1], [15] и библиографию в них. В работе [18] (см. также [5]) был рассмотрен случай двух функций, образующих систему Никишина. Вместо векторной задачи равновесия для логарифмического потенциала в [18] была предложена новая задача скалярного равновесия для смешанного гриново-логарифмического потенциала. Асимптотика соответствующих многочленов Эрмита–Паде 1-го типа была описана в [18] в терминах единственного решения этой скалярной задачи равновесия. В [5] было доказано, что этой смешанной задаче равновесия соответствует сопряженная задача равновесия, которая также имеет единственное решение, являющееся выметанием решения исходной задачи равновесия; подробнее см. [5] и п. 1.2 ниже. Оказывается (см. [25]), что скорость сходимости рациональных аппроксимаций, основанных на многочленах Эрмита–Паде 2-го типа для систем Никишина может быть описана в терминах единственного решения соответствующей сопряженной задачи равновесия. Следует также отметить, что для некоторых частных случаев исходная проблема равновесия для смешанного гриново-логарифмического потенциала была впервые сформулирована и рассмотрена в [11] в связи с задачей о сходимости так называемых “линейных” (или типа Фробениуса) и “нелинейных” (или типа Бейкера) аппроксимаций Паде общих ортогональных разложений. Это вполне естественно, поскольку, как хорошо известно, существует связь между многочленами Эрмита–Паде (HP-многочленами) 1-го типа и линейными аппроксимациями Паде ортогональных разложений, в том числе – разложений по многочленам Чебышёва (см. [12], [2], [19], [26]). В обоих случаях, как для исходной смешанной задачи равновесия, так и для сопряженной задачи, соответствующая равновесная мера $\lambda$ зависит от вещественного параметра $\theta\geqslant0$ (см. (4) и (5) ниже), т.е. $\lambda=\lambda(\theta)$. Поскольку скорость сходимости соответствующих конструктивных рациональных аппроксимаций зависит от гринова потенциала равновесной меры $\lambda(\theta)$, то было бы вполне естественно изучить свойство монотонности гринова потенциала в зависимости от параметра $\theta$ для того, чтобы сравнить эти скорости сходимости друг с другом. Для исходной задачи о равновесии смешанного потенциала это было сделано в [11] для параметра $\theta=0,1$ и $3$. В настоящей работе мы рассматриваем сопряженную задачу равновесия для смешанного потенциала. Подчеркнем, что задачи равновесия, вытекающие из HP-теории, очень тесно связаны с экстремальными задачами геометрической теории функций (см. [17], [1], [18] и ср. [3], [8]). Для ознакомления с последними результатами по асимптотике HP-многочленов см. прежде всего [20], [4], [24], [21]. Отметим также, что в последнее время асимптотические свойства полиномов Эрмита–Паде нашли широкое применение в теории возмущения Рэлея–Шрёдингера; см., например, [6], [7] и приведенную там библиографию. Авторы выражают искреннюю признательность рецензенту за внимательное прочтение рукописи и сделанные замечания, которые позволили устранить недостатки работы и улучшить ее содержание. 1.2.Для произвольного регулярного (относительно решения задачи Дирихле) компакта $K\subset\mathbb R$ обозначим через $M_1(K)$ множество всех вероятностных (положительных борелевских) мер с носителями на $K$. Для компактного множества $S\subset\mathbb R$ обозначим через $g_S(\zeta, z)$ функцию Грина для области $\widehat {\mathbb C}\setminus{S}$ с логарифмической особенностью в точке $\zeta=z$. Пусть $V^\mu(z)$ – логарифмический потенциал меры $\mu\in M_1(K)$, а $G^\mu_S(z)$ – гринов потенциал меры $\mu\in M_1(K)$, соответствующий функции Грина $g_S(\zeta,z)$, $S\cap K=\varnothing$:
$$
\begin{equation}
V^\mu(z):=\int_K\log\frac1{|z-t|}\,d\mu(t), \qquad G^\mu_S(z):=\int_K g_S(t,z)\,d\mu(t).
\end{equation}
\tag{1}
$$
Напомним, что для положительной борелевской меры $\varkappa$, $\operatorname{supp}{\varkappa}\Subset\mathbb R$, через
$$
\begin{equation*}
\widehat{\varkappa}(z):=\int\frac{d\varkappa(x)}{z-x}, \qquad z\in\widehat{\mathbb C}\setminus\operatorname{supp}{\varkappa},
\end{equation*}
\notag
$$
обозначается соответствующая марковская функция. Хорошо известно (см. [14]), что существует единственная мера $\tau_K\in M_1(K)$ со следующим свойством:
$$
\begin{equation}
V^{\tau_K}(x)\equiv\gamma_K=\mathrm{const}, \qquad x\in K.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Мера $\tau_K$ называется робэновской мерой или равновесной мерой для компакта $K$, величина $\gamma_K$ называется постоянной Робэна для компакта $K$. Отметим, что $\operatorname{supp}{\tau_K}=K$. Пусть
$$
\begin{equation*}
g_K(z,\infty)=\log|z|+\gamma_K+o(1),\qquad z\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
– функция Грина для области $D=D(K):=\widehat{\mathbb C}\setminus{K}$ с логарифмической особенностью в бесконечно удаленной точке $z=\infty$. Тогда Пусть $E\subset\mathbb R$ и $F\subset\mathbb R$ – два компакта, состоящие из конечного числа непересекающихся замкнутых интервалов каждый, $E=\bigsqcup_{j=1}^p E_j$, $F=\bigsqcup_{k=1}^qF_k$, и такие, что $\operatorname{conv}(E)\cap \operatorname{conv}(F)=\varnothing$, где $\operatorname{conv}(\cdot)$ обозначает выпуклую оболочку соответствующего вещественного множества. Для определенности предположим, что компакт $F$ расположен справа от компакта $E$ (рис. 1). Отметим, что упорядоченная пара компактов $(E,F)$ образует так называемый конденсатор Наттолла (см. [18], где впервые было введено это понятие). В асимптотической теории многочленов Эрмита–Паде для пары функций, образующих систему Никишина, конденсатор Наттолла играет ту же роль, что и компакт Шталя в теории многочленов Паде. Из соотношений равновесия (4) и (5) вытекает, что речь идет именно об упорядоченной паре компактов. Для вещественного параметра $\theta\geqslant0$ рассмотрим смешанный гриново-логарифмический потенциал $\theta V^\mu(z) +G^\mu_F(z)$, $\mu\in M_1(E)$. Хорошо известно (см. [11], [18], [5]), что существует единственная мера $\lambda_E=\lambda_E(\theta)$ с носителем на компакте $E$, $\lambda_E(\theta)\in M_1(E)$, обладающая следующим свойством:
$$
\begin{equation}
\theta V^{\lambda_E}(x)+G^{\lambda_E}_F(x) \equiv c_E(\theta)=\mathrm{const}, \qquad x\in E.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Отметим, что $\operatorname{supp}{\lambda_E}=E$. Введем теперь другой смешанный гриново-логарифмический потенциал $\theta V^\nu(z) +G^\nu_E(z)$, $\nu\in M_1(F)$, и рассмотрим следующую задачу равновесия для этого потенциала с внешним полем, заданным функцией $g_E(z,\infty)$:
$$
\begin{equation}
\theta V^{\lambda_F}(y)+G^{\lambda_F}_E(y) +\theta g_E(y,\infty)\equiv c_F(\theta)=\mathrm{const}, \qquad y\in F, \qquad \lambda_F\in M_1(F).
\end{equation}
\tag{5}
$$
Хорошо известно (см. [5]), что существует единственная мера $\lambda_F=\lambda_F(\theta)$ с носителем на $F$, $\lambda_F(\theta)\in M_1(F)$, доставляющая решение задачи (5). Отметим, что $\operatorname{supp}{\lambda_F}=F$. Существует (см. [5]) следующая связь1 между $\lambda_E(\theta)\in M_1(E)$ и $\lambda_F(\theta)\in M_1(F)$: где ${\mathfrak b}_F(\cdot)$ – это выметание заданной меры из области $G:=\widehat {\mathbb C}\setminus{F}$ на ее границу $\partial G=F$.Имеет место также следующая связь между потенциалами (см. [5; формула (24)]):
$$
\begin{equation}
\theta V^{\lambda_F(\theta)}(z)+G^{\lambda_F(\theta)}_E(z) +\theta g_E(z,\infty)\equiv -(1+\theta)G^{\lambda_E(\theta)}_F(z)+c_F(\theta), \qquad z\in\widehat{\mathbb C}.
\end{equation}
\tag{7}
$$
В связи с соотношением (6) и тождеством (7) теоретико-потенциальную задачу равновесия (5) можно рассматривать как сопряженную к задаче равновесия (4).
§ 2. Постановка задачи2.1.В работе [11] (см. также [12]) доказано, что гриновы потенциалы равновесных мер $\lambda_F(1)$ и $\lambda_F(3)$ определяют скорости сходимости соответственно нелинейных $F_n$ и линейных $\Phi_n$ аппроксимаций Паде для ортогонального разложения на отрезке $[a,b]$ марковской функции $ f (z)=\widehat {\varkappa} (z)$, соответствующей мере $\operatorname{supp} {\varkappa}=F=[c,d]$, $b<c$. Более точно, пусть $N=2n+1=3m+1$ и известны $N$ коэффициентов Фурье $c_0,c_1,\dots, c_{N-1}$ ортогонального разложения марковской функции $f (z)$ относительно некоторой меры $\sigma$ с носителем на компакте $E=[a,b]$, $\sigma'=d\sigma/dx>0$ почти всюду на $[a,b]$. Тогда на основе этих $N$ коэффициентов Фурье можно построить нелинейную аппроксимацию Паде–Фурье $F_n$ степени $ (n, n)$ и линейную аппроксимацию Паде–Фурье $\Phi_m$ степени $ (m, m)$, где $3m=2n$. В работе [11] доказано, что скорости сходимости конструктивных (относительно заданных $c_0,c_1,\dots c_ {N-1}$, см. [13; § 2]) рациональных аппроксимаций $R_N=F_n$ и $R_N=\Phi_m$ определяются следующими соотношениями, которые выполняются равномерно внутри2 области $G$:
$$
\begin{equation}
\frac1N\log|f(z)-R_N(z)| = \begin{cases} \delta_1(z):=-\dfrac23\,G^{\lambda_E(3)}_F(z) &\text{для }R_N=\Phi_m, \\ \delta_2(z):=-G^{\lambda_E(1)}_F(z) &\text{для }R_N=F_n. \end{cases}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Поскольку (см. [11; формула (9)]) $G^{\lambda_E(1)}_F(z) >\frac23G^{\lambda_E(3)}_F(z)$ при $z\in G$, то $\delta_2(z)<\delta_1(z)$ и, следовательно, нелинейные аппроксимации Паде–Фурье $F_n$ более эффективны, чем линейные аппроксимации Паде–Фурье $\Phi_m$ при $N\to\infty$. Напомним (см. [11]), что равновесная мера $\lambda_E(0)$ и соответствующая функция $G^ {\lambda_E(0)}_F$ связаны с наилучшими (чебышёвскими) рациональными аппроксимациями степени $(n,n)$ марковской функции $f(z)=\widehat{\varkappa}(z)$ на $E=[a,b]$. Однако эти аппроксимации не являются конструктивными в смысле определения работы П. Хенричи [13; § 2]. 2.2.Пусть теперь функция $f(z)\in\mathscr H(\infty)$ задана следующим явным представлением:
$$
\begin{equation}
f(z):=\biggl[\biggl(A-\frac1{\varphi(z)}\biggr) \biggl(B-\frac1{\varphi(z)}\biggr)\biggr]^{-1/2}, \qquad z\notin[-1,1],
\end{equation}
\tag{9}
$$
где $1\,{<}\,A\,{<}\,B$ и выбрана такая ветвь функции $(\cdot)^{1/2}$, что $\varphi(z)\,{=}\,z+(z^ 2\,{-}\,1)^{1/2}\sim 2z$ и $f(z)\sim1/\sqrt{AB}$ при $z\to\infty$. Функция $f$ является алгебраической функцией четвертой степени с четырьмя точками ветвления $\{\pm1,a,b\}$, где $a=(A+1/A)/2$, $b=(B+1/B)/2$, $1<a<b$. Отрезок $ E= [-1,1]$ – это компакт Шталя $ S (f)$ для $ f$, заданной (9), а область $D:=\widehat {\mathbb C}\setminus{E}$ – это соответствующая область Шталя. Класс таких аналитических функций обозначим через $\mathscr Z ([-1,1])$. В работе [23] доказано, что произвольная функция $ f$ из класса $\mathscr Z ([-1,1])$ является марковской функцией, а пара $ f, f^ 2$ и тройка $ f, f^ 2,f^ 3$ образуют системы Никишина (см. [16], [17]):
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f(z)=\frac1{\sqrt{AB}}+\widehat{\sigma}(z), \qquad \operatorname{supp}{\sigma}=E, \\ f^2(z)=\frac1{AB}+\frac1{\sqrt{AB}}\,\widehat{\sigma}(z) +\widehat{s}_1(z), \qquad \operatorname{supp}{s_1}=E, \\ f^3(z)=\frac1{\sqrt{(AB)^3}}+\frac1{AB}\,\widehat{\sigma}(z) +\frac1{\sqrt{AB}}\,\widehat{s}_1(z)+\widehat{s}_2(z), \qquad \operatorname{supp}{s_2}=E, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{supp}\sigma=\operatorname{supp}{s}_1=\operatorname{supp}{s}_2=E$, $s_1:=\langle\sigma,\sigma_2\rangle$, т.е. $ds_1(z)=\widehat{\sigma}_2(z)\,d\sigma(z)$, $\operatorname{supp}{\sigma_2}=[a,b]$, и $s_2:=\langle\sigma,\langle\sigma_2,\sigma\rangle\rangle$. Меры $\sigma$ и $\sigma_2$ допускают явные представления; см. [23; формулы (16)–(17)]. Пусть $f\in\mathscr Z([-1,1])$, $f\in\mathscr H(\infty)$, $N=2n+1=3m+1=4\ell+1$. Для пары функций $f,f^ 2$ определим HP-многочлены 2-го типа $P^ {(2)}_{2m,0}\,{\not\equiv}\, 0,P^{(2)}_{2m,1}$ и $P^{(2)}_{2m,2}$ степени $\operatorname{deg}{P^{(2)}_{2m,j}}\leqslant{2m}$ из соотношений
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \bigl(P^{(2)}_{2m,0}f-P^{(2)}_{2m,1}\bigr)(z)=O(z^{-m-1}), \qquad z\to\infty, \\ \bigl(P^{(2)}_{2m,0}f^2-P^{(2)}_{2m,2}\bigr)(z) =O(z^{-m-1}), \qquad z\to\infty. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{10}
$$
Аналогично для тройки функций $f,f^ 2,f^ 3$ определим HP-многочлены 2-го типа $P^{(3)}_{3\ell,0}\not\equiv0,P^{(3)}_{3\ell,1},P^{(3)}_{3\ell,2},P^{(3)}_{3\ell,3}$, $\operatorname{deg}{P^{(3)}_{3\ell,j}}\leqslant{3\ell}$, из соотношений
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \bigl(P^{(3)}_{3\ell,0}f-P^{(3)}_{3\ell,1}\bigr)(z) =O(z^{-\ell-1}), \qquad z\to\infty, \\ \bigl(P^{(3)}_{3\ell,0}f^2-P^{(3)}_{3\ell,2}\bigr)(z) =O(z^{-\ell-1}), \qquad z\to\infty, \\ \bigl(P^{(3)}_{3\ell,0}f^3-P^{(3)}_{3\ell,3}\bigr)(z)=O(z^{-\ell-1}), \qquad z\to\infty. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{11}
$$
Для произвольного многочлена $Q\not\equiv0$ положим где каждый нуль $\eta$ многочлена $Q$ считается с учетом его кратности.Из результатов работы [1] вытекает, что при $N\to\infty$
$$
\begin{equation*}
\frac1{2m}\chi(P^{(2)}_{2m,j})\xrightarrow{*} \lambda_E(3)\quad \text{и}\quad \frac1{3\ell}\chi(P^{(3)}_{3\ell,k})\xrightarrow{*} \lambda_E(1),
\end{equation*}
\notag
$$
где “$\xrightarrow{*}$” означает сходимость в пространстве мер $M_1(E)$ в $*$-слабой топологии, $j=0,1,2$, $k=0,1,2,3$. 2.3.В [25] (см. также [6]) сформулирован следующий результат. Теорема 1 (см. [25]). Пусть $f\in\mathscr Z(E)$, $E=[-1,1]$. Тогда при $N\to\infty$ равномерно внутри области $D=\widehat{\mathbb C}\setminus{E}$ справедливы следующие соотношения: Из теории Шталя (см. [22]) вытекает, что равномерно внутри области $D$
$$
\begin{equation}
\lim_{N\to\infty}\frac1N\log \bigl|f(z)-[n/n]_f(z)\bigr|=-g_E(z,\infty)=:\delta_1(z)<1,
\end{equation}
\tag{14}
$$
где $[n/n]_f$ – $n$-я диагональная аппроксимация Паде функции $f$. Тем самым $\delta_2(z)<\delta_1(z)<1$. Следовательно, если мы докажем, что
$$
\begin{equation}
G^{\lambda_F(1)}_E(z)>\frac23 G^{\lambda_F(3)}_E(z), \qquad z\in D,
\end{equation}
\tag{15}
$$
то из (12)–(15) мы в итоге получим, что
$$
\begin{equation}
\delta_3(z)<\delta_2(z)<\delta_1(z)<1, \qquad z\in D.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Основным результатом настоящей работы является следующее утверждение, устанавливающее свойство монотонности потенциала $G_E^{\lambda_F(\theta)}(z)$ равновесной меры $\lambda_F(\theta)\in M_1(F)$ по параметру $\theta$ при $\theta\in[1,3]$. Соотношение (15) вытекает непосредственно из (17) при $\theta_1=1$ и $\theta_2=3$. § 3. Доказательство теоремы 23.1.Пусть $\mathfrak R_3$ – трехлистная риманова поверхность, построенная следующим образом (см. рис. 1). Нулевой лист $\mathfrak R^{(0)} _3$ поверхности $\mathfrak R_3$ является копией расширенной комплексной плоскости (сферы Римана) $\widehat {\mathbb C}$, разрезанной по компакту $F=\bigsqcup_{k=1}^qF_k$. Таким образом, этот новый компакт рассматривается теперь уже как двусторонний и обозначается через $F^{(0)}_{+}\cup F^{(0)}_{-}$. Точно таким же образом образуется и первый лист $\mathfrak R^{(1)}_3$. А именно, рассматривается копия расширенной комплексной плоскости $\widehat {\mathbb C}$, разрезанной по двум компактам $E=\bigsqcup_{j=1}^pE_j$ и $F=\bigsqcup_{k=1}^qF_k$. Оба этих новых компакта рассматриваются уже как двусторонние и обозначаются $E^{(1)}_{+}\cup E^{(1)}_{-}$ и $F^{(1)}_{+}\cup F^{(1)}_{-}$ соответственно. Наконец для того, чтобы получить второй лист $\mathfrak R^{(2)}_3$, берется копия расширенной комплексной плоскости $\widehat {\mathbb C}$, разрезанной по компакту $E=\bigsqcup_{j=1}^pE_j$. Этот новый компакт также рассматривается теперь как двусторонний и обозначается через $E^{(2)}_{+}\cup E^{(2)}_{-}$. В конечном итоге вся трехлистная риманова поверхность $\mathfrak R_3$ строится склеиванием крест-накрест3 нулевого листа $\mathfrak R^{(0)}_3$ с первым листом $\mathfrak R^{(1)}_3$ через края $F^{(0)}_{+}\cup F^{(0)}_{-}$ и $F^{(1)}_{+}\cup F^{(1)}_{-}$ соответствующих разрезов. И далее склейкой крест-накрест второго листа $\mathfrak R^{(2)}_3$ с первым листом $\mathfrak R^{(1)}_3$ через берега $E^{(2)}_{+}\cup E^{(2)}_{-}$ и $E^{(1)}_{+}\cup E^{(1)}_{-}$ соответствующих разрезов. Точку на нулевом листе $\mathfrak R^{(0)}_3$, которая соответствует точке $z$ в области $G=\widehat{\mathbb C}\setminus{F}$, обозначим через $z^ {(0)}$. Точку на первом листе $\mathfrak R^{(1)}_3$, которая соответствует точке $z$ в области $\widehat{\mathbb C}\setminus({E\cup F})$, обозначим через $z^ {(1)}$. Наконец, точку на втором листе $\mathfrak R^{(2)}_3$, которая соответствует точке $z$ в области $D=\widehat{\mathbb C}\setminus{E}$, обозначим через $z^{(2)}$. Положим $F^{(2)}:=\{z^{(2)}: z\in F\}$, $E^{(0)}:=\{z^{(0)}: z\in E\}$. Граница $\Gamma^{(0,1)}$ между нулевым и первым листами состоит из $q$ замкнутых непересекающихся кривых на римановой поверхности $\mathfrak R_3$, $\Gamma^{(0,1)}=\bigsqcup_{k=1}^q \Gamma^{(0,1)}_k$. Аналогично, граница $\Gamma^{(1,2)}$ между первым и вторым листами состоит из $p$ замкнутых непересекающихся кривых на римановой поверхности $\mathfrak R_3$, $\Gamma^{(1,2)}=\bigsqcup_{j=1}^p \Gamma^{(1,2)}_j$. Для точки на $\mathfrak R_3$ будем использовать обозначение $\mathbf z$. В частности, $\mathbf z=z^{(0)}\in\mathfrak R^{(0)}_3$, $\mathbf z=z^{(1)}\in\mathfrak R^{(1)}_3$, $\mathbf z=z^{(2)}\in\mathfrak R^{(2)}_3$. Таким образом, существует естественная проекция $\pi$ из $\mathfrak R_3$ на $\widehat {\mathbb C}$, $\pi\colon \mathfrak R_3\to \widehat{\mathbb C}$, заданная равенством $\pi(z^{(j)})=z$, $j=0,1,2$, для $z^{(j)}\in\mathfrak R^{(j)}_3$ и $z\notin(E\cup F)$. Для совокупностей кривых $\Gamma^{(0,1)}$ и $\Gamma^{(1,2)} $ на $\mathfrak R_3$ имеем $\pi(\Gamma^{(0,1)})=F$ и $\pi(\Gamma^{(1,2)})=E$ соответственно. Таким образом, $\pi(\mathbf z)\in F$ для $\mathbf z\in\Gamma^{(0,1)}$ и $\pi(\mathbf z)\in E$ для $\mathbf z\in\Gamma^{(1,2)}$. Для точки $\mathbf z\in\mathfrak R_3\setminus\bigl(\Gamma^{(0,1)}\cup\Gamma^{(1,2)}\bigr)$ определим $*$-операцию, $\mathbf z\mapsto\mathbf z_{*}$, по следующему правилу:
$$
\begin{equation}
\mathbf z_{*}:=(\overline{z})^{(j)} \quad\text{при }\ \mathbf z=z^{(j)}, \qquad j=0,1,2,
\end{equation}
\tag{18}
$$
где $\overline{z}$ – точка, комплексно-сопряженная с $z\in\mathbb C$. На рис. 1 изображена построенная трехлистная риманова поверхность $\mathfrak R_3$ вместе с “физической” комплексной плоскостью $\widehat{\mathbb C}$, содержащей компакты $E$ и $F$. При этом компакт на листе $\mathfrak R_3^{(0)}$, который соответствует компакту $E=\bigsqcup_{j=1}^pE_j\subset\widehat{\mathbb C}$, обозначен через $E^{(0)}\subset\mathfrak R^{(0)}_3$. Компакт на листе $\mathfrak R^{(2)}_3$, который соответствует компакту $F\subset\widehat{\mathbb C}$, обозначен через $F^{(2)}$ (см. рис. 1). Отметим, что все три листа римановой поверхности $\mathfrak R_3$ являются ее открытыми подмножествами и $\mathfrak R_3=\mathfrak R_3^{(0)}\sqcup\Gamma^{(0,1)}\sqcup\mathfrak R_3^{(1)}\sqcup\Gamma^{(1,2)}\sqcup\mathfrak R_3^{(2)}$. 3.2.Определим функцию $v_\theta(\mathbf z)$ следующим представлением:
$$
\begin{equation}
v_\theta(\mathbf z):= \begin{cases} (\theta+1)G^{\lambda_F(\theta)}_E(z), &\mathbf z=z^{(0)}, \\ -2\theta V^{\lambda_F(\theta)}(z)+(\theta-1)G^{\lambda_F(\theta)}_E(z)-2\theta g_E(z,\infty)+2c_F(\theta), &\mathbf z=z^{(1)}, \\ -2\theta V^{\lambda_F(\theta)}(z)-(\theta-1)G^{\lambda_F(\theta)}_E(z)+2\theta g_E(z,\infty)+2c_F(\theta), &\mathbf z=z^{(2)}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{19}
$$
Очевидно, что $v_\theta(\mathbf z)\equiv0$ для $\mathbf z=z^{(0)}\in E^{(0)}$, $v_\theta(\mathbf z)=4\theta\log|z|+O(1)$ при $\mathbf z\to\infty^{(2)}$ и $v_\theta(\mathbf z)$ является гармонической функцией в $\mathfrak R^ {(0)}_3\setminus E^{(0)}$, в $\mathfrak R^{(1)}$ и в $\mathfrak R^{(2)}_3\setminus (F^{(2)}\cup\infty^{(2)})$. Таким образом, функция $v_\theta(\mathbf z)$ является кусочно гармонической функцией, за исключением точки $\mathbf z=\infty^{(2)}$. Лемма 1. Кусочно гармоническая функция $v_\theta(\mathbf z)$ продолжается через кривые $\Gamma^ {(0,1)}$ и $\Gamma^{(1,2)}$ как гармоническая функция на $\mathfrak R_3\setminus(E^{(0)}\cup F^{(2)}\cup\infty^{(2)})$. Доказательство. Пусть $ U^ {(0,1)}\subset\mathfrak R_3$ – окрестность компакта $\Gamma^ {(0,1)}$ такая, что $ U^ {(0,1)}\cap E^ {(0)}=\varnothing$ и $U^ {(0,1)}\cap \Gamma^{(1,2)}=\varnothing$; см. рис. 1. Из соотношения (5) вытекает, что функция является гармонической функцией в $ U^ {(0)}:=U^ {(0,1)}\cap \mathfrak R^ {(0)}_3$ и обладает следующим свойством: она непрерывная в $U^ {(0)}\cup \Gamma^{(0,1)}$ и $u_1(z^{(0)})\equiv0$ при $z^{(0)}\in\Gamma^{(0,1)}$. Следовательно, мы можем продолжить функцию $u_1(\mathbf z)$, $\mathbf z\in U^ {(0)}$, через кривые $\Gamma^{(0,1)}$ в открытое множество $U^{(1)}:=U^{(0,1)}\cap \mathfrak R^{(1)}$ противоположными значениями в $*$-симметричных точках: Полученная функция $u_1(\mathbf z)$ является гармонической функцией в $U^ {(0,1)}\supset\Gamma^{(0,1)}$.
Пусть $\widetilde{\lambda}={\mathfrak b}_E(\lambda_F(\theta))\in M_1(E)$ – выметание меры $\lambda_F(\theta)\in M_1(F)$ из области $D$ на ее границу $\partial{D}=E$. Тогда мы получаем, что $V^{\widetilde{\lambda}}(z)\equiv V^{\lambda_F(\theta)}(z)-G_E^{\lambda_F(\theta)}(z)+\mathrm{const}$, $z\in\widehat{\mathbb C}$. Поскольку $\widetilde{\lambda}\in M_1(E)$, то потенциал $V^ {\widetilde{\lambda}}(z)$ является гармонической функцией в $U:=\pi (U^ {(0,1)})$. Функцию $V^{\widetilde{\lambda}}$ можно поднять на множество $U^{(0,1)}\subset\mathfrak R_3$, а также на листы $\mathfrak R^{(0)}_3$, $\mathfrak R^{(1)}_3$ и $\mathfrak R^{(2)}_3$ по следующему правилу:
$$
\begin{equation}
V^{\widetilde{\lambda}}(\mathbf z):=V^{\widetilde{\lambda}}(\pi(\mathbf z))= V^{\widetilde{\lambda}}(z).
\end{equation}
\tag{20}
$$
То же самое применимо и для функции Грина $g_E(z,\infty)$:
$$
\begin{equation}
g_E(\mathbf z,\infty):=g_E(\pi(\mathbf z),\infty)=g_E(z,\infty).
\end{equation}
\tag{21}
$$
Из соотношений (20) и (21) вытекает, что можно определить новую функцию $u_2(\mathbf z):=u_1(\mathbf z)-\theta V^{\widetilde{\lambda}}(\mathbf z)-\theta g_E(\mathbf z,\infty)+\mathrm{const}$, гармоническую при $\mathbf z\in U^{(0,1)}$, и получить для нее следующее представление в $U^{(0,1)}$:
$$
\begin{equation}
u_2(\mathbf z)= \begin{cases} (\theta+1)G^{\lambda_F(\theta)}_E(z)-c_F(\theta), & \mathbf z=z^{(0)}, \\ -2\theta V^{\lambda_F(\theta)}(z)+(\theta-1)G^{\lambda_F(\theta)}_E(z)-2\theta g_E(z,\infty)+2c_F(\theta), & \mathbf z=z^{(1)}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{22}
$$
Функция $u_2 (\mathbf z)$ является гармонической функцией в $U^ {(0,1)}$.
Пусть $U^ {(1,2)}\subset\mathfrak R_3$ – такая окрестность $\Gamma^{(1,2)}$, $\pi (\Gamma^ {(1,2)})=E$, что $U^ {(1,2)}\cap \Gamma^{(0,1)}=\varnothing$ и $U^{(1,2)}\cap F^{(2)}=\varnothing$. Поскольку $\lambda_F(\theta)\in M_1(F)$, то функция $V^ {\lambda_F(\theta)}(z)$ является гармонической функцией в $U_2=\pi(U^{(1,2)})$. Так как $G^{\lambda_F(\theta)}_E(z)\equiv0$ и $g_E(z,\infty)\equiv0$ для $z\in E$, то гармоническую функцию
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_3(\mathbf z) &:=-2\theta V^{\lambda_F(\theta)}(z)+(\theta-1)G^{\lambda_F(\theta)}_E(z) \nonumber \\ &\qquad-2\theta g_E(z,\infty) +2c_F(\theta), \qquad \mathbf z\in U^{(1,2)}\cap\mathfrak R^{(1)}_3, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
можно гармонически продолжить через кривую $\Gamma^{(1,2)}$ в открытое множество $U^{(1,2)}\cap\mathfrak R^{(2)}_3$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_3(\mathbf z) &=-2\theta V^{\lambda_F(\theta)}(z)-(\theta-1)G^{\lambda_F(\theta)}_E(z) \nonumber \\ &\qquad+2\theta g_E(z,\infty) +2c_F(\theta), \qquad \mathbf z\in U^{(1,2)}\cap\mathfrak R^{(2)}_3. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
$$
Функции $u_2(\mathbf z)$ и $u_3(\mathbf z)$ (см. (22)–(24)) совместно дают нам функцию $v_\theta(\mathbf z)$ (см. (19)). Таким образом, лемма 1 доказана. 3.3.В силу тождества
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \theta V^{\lambda_F(\theta)}(z)-c_F(\theta) &\equiv \bigl(\theta V^{\lambda_F(\theta)}(z)+G^{\lambda_F(\theta)}_E(z)+\theta g_E(z,\infty)-c_F(\theta)\bigr) \\ &\qquad-G^{\lambda_F(\theta)}_E(z)-\theta g_E(z,\infty) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
из соотношения (5) и определения (19) получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v_\theta(z^{(2)}) &=-2\bigl(\theta V^{\lambda_F(\theta)}(z)+G^{\lambda_F(\theta)}_E(z)+\theta g_E(z,\infty)-c_F(\theta)\bigr) \notag \\ &\qquad+2G^{\lambda_F(\theta)}_E(z)+4\theta g_E(z,\infty) -(\theta-1)G^{\lambda_F(\theta)}_E(z) \notag \\ &=(3-\theta) G^{\lambda_F(\theta)}_E(z)+4\theta g_E(z,\infty), \qquad z\in F. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
v(\mathbf z)=\frac1{\theta_1}\, v_{\theta_1}(\mathbf z)-\frac1{\theta_2}\, v_{\theta_2}(\mathbf z).
\end{equation}
\tag{26}
$$
Функция $v(\mathbf z)$ – непрерывная функция на римановой поверхности $\mathfrak R_3$. Кроме того, она является гармонической функцией в области $\mathfrak R_3\setminus(E^{(0)}\cup F^{(2)})$. Из соотношений (25) и (26) вытекает также, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v(z^{(0)}) &=\biggl(1+\frac1{\theta_1}\biggr)G^{\lambda_F(\theta_1)}_E(z) -\biggl(1+\frac1{\theta_2}\biggr)G^{\lambda_F(\theta_2)}_E(z), \qquad z\in \widehat{\mathbb C}\setminus {F}, \\ v(z^{(2)}) &= \biggl(\frac3{\theta_1}-1\biggr)G^{\lambda_F(\theta_1)}_E(z) -\biggl(\frac3{\theta_2}-1\biggr)G^{\lambda_F(\theta_2)}_E(z), \qquad z\in F. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{27}
$$
Отметим, что при $\theta_1=1$ и $\theta_2=3$ из (27) мы сразу же получаем, что
$$
\begin{equation*}
v(z^{(2)})=2 G^{\lambda_F(1)}_E(z)>0, \qquad z^{(2)}\in F^{(2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (27), опираясь на принцип минимума для гармонических функций, получаем, что $v(\mathbf z)>0$ в области $\mathfrak D:=\mathfrak R_3\setminus (E^{(0)}\cup F^{(2)})$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
2G^{\lambda_F(1)}_E(z)-\frac43\, G^{\lambda_F(3)}_E(z)>0, \qquad z\in \widehat{\mathbb C}\setminus E.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
G^{\lambda_F(1)}_E(z)>\frac23\, G^{\lambda_F(3)}_E(z), \qquad z\in \widehat{\mathbb C}\setminus E,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда вытекает утверждение теоремы 2 для $\theta_1=1$ и $\theta_2=3$. Очевидно, что теорема 2 также верна и для $1<\theta_1<\theta_2=3$. Докажем теперь теорему 2 для общего случая $1\leqslant\theta_1<\theta_2<3$. Если $v(z^{(2)})\geqslant0$ для $z^{(2)}{\kern1pt}{\in}\, F^{(2)}$, то $v(\mathbf z)>0$ в области $\mathfrak D$, поскольку $v(z^{(0)})\equiv 0$ на $E^{(0)}$ и, как легко проверить, $v(\mathbf z)\not\equiv0$. Теорема 2 вытекает в этом случае из неравенства $v(\mathbf z)>0$, справедливого в области $\mathfrak D$. Предположим теперь, что $m:=\min_{z\in F}v(z^{(2)})<0$. Тогда существует точка $y_0\in F$ такая, что $m=v(y^{(2)}_0)<0$. Таким образом, мы получаем, что
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac3{\theta_1}-1\biggr)G^{\lambda_F(\theta_1)}_E(y_0)< \biggl(\frac3{\theta_2}-1\biggr)G^{\lambda_F(\theta_2)}_E(y_0).
\end{equation}
\tag{28}
$$
Из принципа минимума для гармонических функций вытекает, что $v(\mathbf z)>m$ для $\mathbf z\in\mathfrak D$. Следовательно, $v(y_0^{(0)})>m$, и из определения (26) функции $v(\mathbf z)$ и (27) мы получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl(\frac1{\theta_1}+1\biggr)G^{\lambda_F(\theta_1)}_E(y_0)- \biggl(\frac1{\theta_2}+1\biggr)G^{\lambda_F(\theta_2)}_E(y_0) \\ &\qquad >m= \biggl(\frac3{\theta_1}-1\biggr)G^{\lambda_F(\theta_1)}_E(y_0) -\biggl(\frac3{\theta_2}-1\biggr)G^{\lambda_F(\theta_2)}_E(y_0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
$$
Соотношение (29) приводит к следующему неравенству:
$$
\begin{equation}
\biggl(2-\frac2{\theta_1}\biggr)G^{\lambda_F(\theta_1)}_E(y_0)> \biggl(2-\frac2{\theta_2}\biggr)G^{\lambda_F(\theta_2)}_E(y_0), \qquad y_0\in F.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Для случая, когда $\theta_1=1$, соотношение (30) сразу приводит к противоречию, поскольку $G^{\lambda_F(\theta_2)}_E(y_0)>0$. Таким образом, теперь мы можем предположить, что $1<\theta_1<\theta_2<3$. После деления обеих частей соотношения (28) на соответствующие части соотношения (30) получаем неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac3{\theta_1}-1\biggr)\biggl(2-\frac2{\theta_1}\biggr)^{-1}< \biggl(\frac3{\theta_2}-1\biggr)\biggl(2-\frac2{\theta_2}\biggr)^{-1}.
\end{equation}
\tag{31}
$$
Из неравенства (31) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\frac{3-\theta_1}{\theta_1-1}<\frac{3-\theta_2}{\theta_2-1},
\end{equation}
\tag{32}
$$
где $1<\theta_1<\theta_2<3$. Определим функцию $g(t)$ явным представлением: Легко проверить, что Следовательно, функция $g(t)$ является убывающей функцией на интервале $(1,3)$. Этот факт противоречит соотношению (32). Соотношение (32) – следствие сделанного предположения, что $\min_{z\in F}v(z^{(2)})<0$. Таким образом, из полученного противоречия вытекает, что $v(z^ {(2)})\geqslant0$ на $ F^ {(2)}$. Тем самым теорема 2 доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{IkoSue24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|