| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О многоточечных параметрах Геронимуса и Шура мер на окружности и на прямой В. И. Буслаев Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 8, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10088e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Многоточечные параметры Шура и ГеронимусаВсюду в статье через $\mathbb C$ будем обозначать множество точек комплексной плоскости,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \overline{\mathbb C}:=\mathbb C\sqcup \{\infty\}, \qquad \mathbb C_+:=\{ \operatorname{Im} z>0\}, \qquad\mathbb C_-:=\{ \operatorname{Im} z<0\}, \\ \mathbb K:=\{ \operatorname{Re} z>0\}, \qquad \mathbb R:=\{ \operatorname{Im} z=0\}, \qquad\overline{\mathbb R}:=\mathbb R\sqcup \{\infty\}, \\ \mathbb D:=\{ |z| <1\}, \qquad\overline{\mathbb D}:=\{ |z| \leqslant 1\}, \qquad \mathbb T:=\{ |z|=1\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Через $H(\Omega)$ будем обозначать множество функций, голоморфных в $\Omega$, если $\Omega$ открыто, и голоморфных в какой-либо (зависящей от функции) окрестности $\Omega$, если $\Omega$ замкнуто. Напомним, что функция $F(z)$ называется функцией Каратеодори, если $F(z)\in H(\mathbb D)$ и $\operatorname{Re} F(z)\geqslant 0$, функция $f(z)$ называется функцией Шура, если $f(z)\in H(\mathbb D)$ и $|f(z)|\leqslant 1$, функция $G(z)$ называется функцией Неванлинны, если $G(z)\in H(\mathbb C_+)$ и $\operatorname{Im} G(z)\geqslant 0$. Множества функций Каратеодори, Шура и Неванлинны будем обозначать через $\mathfrak B^{\mathrm c}$, $\mathfrak B^{\mathrm s}$ и $\mathfrak B^{\mathrm n}$ соответственно. При $a\in\mathbb D$ обозначим через дробно-линейное преобразование, переводящее $\mathbb D$ в $\mathbb D$. Здесь и далее черта сверху означает комплексное сопряжение (за исключением определенных выше множеств $\overline{\mathbb C}$, $\overline{\mathbb R}$ и $\overline{\mathbb D}$). Имеет место простоеУтверждение 1. Пусть $a\in\mathbb D$, $f(z)\in H(\mathbb D)$, $|f(a)|< 1$. Тогда При этом Доказательство. Действительно, равенство (1) тривиально. Импликация “$\Rightarrow$” в (2) следует из определения (1) функции и леммы Шварца, а обратная импликация “$\Leftarrow$” следует из равенства
Утверждение доказано. Многоточечный (в точках $a_1,a_2,\dots$, лежащих в $\mathbb D$) алгоритм Шура в применении к функции Шура $f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm s}$ определяет (конечную или бесконечную) последовательность функций $f_0(z),f_1(z),\dots$ и параметров $\gamma_0,\gamma_1,\dots$, вычисляемых следующим образом: $|\gamma_0|\leqslant 1$ (по определению функции Шура); если $|\gamma_0|=1$, то (по принципу максимума модуля) функция Шура $f_{0}(z)$ тождественно равна $\gamma_{0}$, и в этом случае алгоритм обрывается; если $|\gamma_0|<1$, то, полагая
$$
\begin{equation}
f_{n+1}(z):= f_n^{\mathrm{s},a_{n+1}}(z) = \frac{f_n(z)-\gamma_n}{\varphi_{a_{n+1}}(z)(1-f_n(z)\overline{\gamma }_n)},
\end{equation}
\tag{3}
$$
(обратим внимание на использованное в (3) обозначение $\overline{\gamma}_n:=\overline{\gamma_n}$, которым и далее будем пользоваться в аналогичных ситуациях), по утверждению 1 имеем при $n=0$ равенство
$$
\begin{equation*}
f_0(z)=\gamma_0+\cfrac{(1-|\gamma_0|^2)\varphi_{a_{1}}(z)}{\overline{\gamma }_0\varphi_{a_{1}}(z)+\cfrac{1} {f_1(z)}}
\end{equation*}
\notag
$$
и импликацию
$$
\begin{equation*}
f_0(z)\in\mathfrak B^{\mathrm s}, \quad |f_{0}(a_{1})|=|\gamma_0|<1 \quad\Longrightarrow\quad f_{1}(z)\in\mathfrak B^{\mathrm s}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому к функции $f_{1}(z)\in\mathfrak B^{\mathrm s}$ можно применить описанное выше рассуждение, т.е. если $|\gamma_{1}|=1$, то $f_{1}(z)\equiv \gamma_{1}$ и в этом случае алгоритм обрывается; если $|\gamma_{1}|<1$, то см. (3), (4) при $n=1$ и т.д. Если получаемые параметры по модулю строго меньше единицы при всех $n=0,1,\dots$, то последовательности функций $f_0(z),f_1(z),\dots$ и параметров $\gamma_0,\gamma_1,\dots$ бесконечны. Таким образом, многоточечный алгоритм Шура приводит либо к тождеству $f_{0}(z)\equiv \gamma_{0}$, если $|\gamma_0|=1$, либо к конечной (если $|\gamma_0|<1,\dots,|\gamma_{n-1}|<1,|\gamma_n|=1$ при некотором $n\in\mathbb N$) или к бесконечной непрерывной дроби
$$
\begin{equation}
\gamma_0+\cfrac{(1-|\gamma_0|^2)\varphi_{a_{1}}(z)}{\overline{\gamma }_0\varphi_{a_{1}}(z)+\cfrac{1} {\gamma_1+\cfrac{(1-|\gamma_1|^2)\varphi_{a_{2}}(z)}{\overline{\gamma }_1\varphi_{a_{2}}(z)+\cfrac{1}{\gamma_2+\dotsb }}}}\,
\end{equation}
\tag{5}
$$
с коэффициентами $\gamma_0,\gamma_1,\dots$, по модулю меньшими единицы. Непрерывная дробь (5) называется многоточечной (в точках $a_1,a_2,\dots $) непрерывной дробью Шура. В случае, когда все точки $a_1,a_2,\dots $ равны нулю, имеют место равенства $\varphi_{a_1}(z)=\varphi_{a_2}(z)=\dots =z$, а многоточечный алгоритм Шура и многоточечная непрерывная дробь Шура (5) совпадают с классическими, впервые описанными в [1]. Наряду с утверждением 1 сформулируем столь же просто проверяемое Утверждение 2. Пусть $a\in\mathbb D$, $F(z)\in H(\mathbb D)$, $\operatorname{Re} F(a)> 0$. Тогда При этом Доказательство. Действительно, обозначая через $\tau_\gamma (z)$ дробно-линейное преобразование $(z-\gamma)/(z+\overline{\gamma})$, при $\gamma \in\mathbb K$ переводящее $\mathbb K$ в $\mathbb D$, получим, что импликация “$\Rightarrow$” в (7) следует из определения (6) функции и леммы Шварца, а обратная импликация “$\Leftarrow$” следует из равенства
Утверждение доказано. Пусть $F(z)\in\mathfrak B^{\mathrm c}$ – функция Каратеодори, $a_0,a_1,\dots$ – последовательность точек, лежащих в $\mathbb D$. Рассуждения, аналогичные вышеприведенным, но использующие на первом шаге алгоритма равенства
$$
\begin{equation}
\gamma_{-1}:=F(a_0), \qquad f_0(z):=F^{\mathrm{c},a_0}(z)
\end{equation}
\tag{8}
$$
и утверждение 2, а на последующих шагах – равенства (3), (4) и утверждение 1, показывают, что либо $F(z)\equiv \gamma_{-1}$, если $\operatorname{Re} \gamma_{-1}=0$, либо $F(z)$ равна конечной дроби (если $\operatorname{Re} \gamma_{-1}>0$, $|\gamma_0|<1,\dots $, $|\gamma_{n-1}|<1$, $|\gamma_n|=1$ при некотором $n\in\mathbb Z_+$), либо алгоритм, примененный к функции $F(z)\in\mathfrak B^{\mathrm c}$ определяет бесконечную последовательность функций $F_{-1}(z)=F(z)$, $f_0(z)=F^{\mathrm{c},a_0}(z)$, $f_1(z), \dots$ и приводит к непрерывной дроби
$$
\begin{equation}
\gamma_{-1}+\cfrac{(\gamma_{-1}+\overline{\gamma}_{-1})\varphi_{a_0}(z)} {-\varphi_{a_0}(z)+\cfrac{1}{\gamma_0+ \cfrac{(1-|\gamma_0|^2)\varphi_{a_{1}}(z)}{\overline{\gamma }_0\varphi_{a_{1}}(z)+\cfrac{1}{\gamma_1+ \cfrac{(1-|\gamma_1|^2)\varphi_{a_{2}}(z)}{\overline{\gamma }_1\varphi_{a_{2}}(z)+\cfrac{1}{\gamma_2+\dotsb }}}}}}\,
\end{equation}
\tag{9}
$$
с коэффициентами $\operatorname{Re} \gamma_{-1}>0$, $|\gamma_n|<1$, $n=0,1,\dots$ . Алгоритм, применяемый к функции Каратеодори $F(z)$ и приводящий к конечной или бесконечной непрерывной дроби вида (9), будем называть аналогом алгоритма Шура, а конечную или бесконечную последовательность коэффициентов $\gamma_{-1},\gamma_{0},\gamma_1,\dots$ непрерывной дроби будем называть последовательностью параметров Шура функции Каратеодори $F(z)$ относительно точек $a_0,a_1,\dots$ . Для функций Каратеодори имеются интегральные представления Рисса–Херглотца (см. [2]). Теорема Рисса–Херглотца. Функция $F(z)$ является функцией Каратеодори тогда и только тогда, когда существует неотрицательная борелевская мера $\sigma $ с носителем на окружности $\mathbb T$ такая, что Функцию $F(z)$, задаваемую равенством (10), будем называть функцией Каратеодори меры $\sigma $. Замечание 1. Пусть $F(z)$ – функция Каратеодори, $\operatorname{Re} c_1=0$, $c_2>0$, $a_0,a_1,\dots$ – последовательность точек, лежащих в $\mathbb D$. Тогда 1) $\widetilde{F}(z)=c_1+c_2F(z)$ – функция Каратеодори; 2) $\widetilde{F}^{\mathrm{c},a}(z)=F^{\mathrm{c},a}(z)$ (в силу (6) при всех $a\in\mathbb D$) и, следовательно, для параметров Шура $\gamma_{-1},\gamma_0,\dots$ и $\widetilde{\gamma }_{-1},\widetilde{\gamma }_0,\dots$ соответственно функций $F(z)$ и $\widetilde{F}(z)$ относительно точек $a_0,a_1,\dots$ выполняются равенства Пусть $\gamma_{-1},\gamma_{0},\gamma_1,\dots$ – параметры Шура функции Каратеодори $F(z)$, задаваемой равенством (10), относительно точек $a_0,a_1,\dots$ . Не зависящие (в силу замечания 1) от значений чисто мнимого слагаемого $i\operatorname{Im} F(0)$ в (10) параметры $\gamma_{0},\gamma_1,\dots$ будем называть параметрами Шура меры $\sigma $ относительно точек $a_0,a_1,\dots$ . Из замечания 1 следует также, что параметры Шура относительно точек $a_0,a_1,\dots$ мер $\sigma $ и $c\sigma $, где $c>0$, совпадают между собой. Случай $a_0=a_1=\dots =0$ будем называть классическим, а параметры $\gamma_{0},\gamma_1,\dots$ в этом случае будем называть классическими параметрами Шура меры $\sigma $. Замечание 2. Параметры Шура меры $\sigma $ относительно последовательности точек $a_0,a_1,a_2,\dots$ отличаются от параметров Шура меры $\sigma $ относительно последовательности точек $\widetilde{a}_0\neq a_0,a_1,a_2,\dots $, так как в общем случае Перед определением (классических) параметров Геронимуса меры $\sigma $ с носителем на $\mathbb T$ напомним, что в основе теории ортогональных многочленов на окружности лежит тот факт, что если $\sigma $ – мера на окружности $\mathbb T$ с бесконечным носителем, то для последовательности ортогональных по мере $\sigma $ многочленов
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag p_n(z)=k_nz^n+\dots +p_n(0), \qquad k_n\neq 0, \qquad n=0,1,\dots , \\ \int_{\mathbb T}p_n(z)\overline{z}^{\,k}\,d\sigma (z)=0, \qquad k=0,\dots,n-1, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{12}
$$
при всех $n=1,2,\dots$ имеют место соотношения
$$
\begin{equation}
p_{n}(z)=\frac{k_n}{k_{n-1}}zp_{n-1}(z)-\frac{k_n}{\overline{k}_{n-1}}\overline{\alpha }_{n-1}p_{n-1}^*(z), \quad \text{где }\ p_n^*(z)=z^n\overline{p\biggl(\frac{1}{\overline{z}}\biggr)},
\end{equation}
\tag{13}
$$
$$
\begin{equation}
\alpha_{n-1}=-\frac{\overline{p_{n}(0)}}{p_{n}^*(0)}, \qquad n=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Действительно, учитывая, что $\overline{z}=z^{-1}$ при $z\in\mathbb T$, из определения (12) ортогональных многочленов имеем при $k=1,\dots,n-1$ для многочлена $zp_{n-1}(z)$ равенства
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb T}zp_{n-1}(z)\overline{z}^{\,k}\,d\sigma (z) =\int_{\mathbb T}p_{n-1}(z)\overline{z}^{\,k-1}\,d\sigma (z)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
а для многочлена $p_{n-1}^*(z)$ – равенства
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb T}p_{n-1}^*(z)\overline{z}^{\,k}\,d\sigma (z) =\int_{\mathbb T}z^{n-1}\overline{p_{n-1}\biggl(\frac{1}{\overline{z}}\biggr)}\overline{z}^{\,k}\,d\sigma (z) =\int_{\mathbb T}z^{n-1-k}\overline{p_{n-1}(z)}\,d\sigma (z)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
которые в совокупности с (12) означают, что каждый из многочленов $p_n(z)$, $zp_{n-1}(z)$, $p_{n-1}^*(z)$ лежит в линейном $(n+1)$-мерном пространстве $\mathscr P_n$ многочленов степени не выше $n$ и ортогонален $(n-1)$-мерному пространству $\{ p(z)\colon p(z)\in\mathscr P_{n-1}\text{ и } p(0)=0\}$. Поэтому многочлены $p_n(z)$, $zp_{n-1}(z)$, $p_{n-1}^*(z)$ лежат в двумерном пространстве и, следовательно, с учетом линейной независимости ненулевых многочленов $zp_{n-1}(z)$ и $p_{n-1}^*(z)$ (степени ровно $n$ и не выше $n-1$ соответственно) выполняется равенство С учетом равенств $p_n^*(0)=\overline{k}_n$, $n=0,1,\dots $, из (15) после приравнивания коэффициентов при степенях $z^0$ и $z^n$ вытекает (13), (14). Параметр $\alpha_{n-1}$, определяемый ортогональным многочленом $p_n(z)$ при помощи равенства (14), не зависит от нормировки $p_n(z)$ и называется (классическим) $(n-1)$-м параметром Геронимуса меры $\sigma $. В [3] доказана замечательная Теорема Геронимуса. Пусть $\sigma $ – мера на $\mathbb T$ с бесконечным носителем. Тогда где $\alpha_n$ и $\gamma_n$ – (классические) параметры Геронимуса и Шура меры $\sigma $. Многоточечные параметры Геронимуса меры $\sigma $ на $\mathbb T$ определяются аналогично классическим, но с заменой ортогональных многочленов ортогональными рациональными функциями с полюсами вне $\overline{\mathbb D}$. Точнее, пусть $a_0,a_1,\dots$ – последовательность точек, лежащих в $\mathbb D$, и пусть $\mathscr L_0(z),\mathscr L_1(z),\dots$– (задаваемая произведениями Бляшке) последовательность рациональных функций специального вида
$$
\begin{equation}
\mathscr L_0(z):\equiv 1, \qquad \mathscr L_1(z):=\varphi_{a_1}(z),\dots, \mathscr L_n(z):=\prod_{k=1}^n\varphi_{a_k}(z),\dots ,
\end{equation}
\tag{16}
$$
$\sigma $ – положительная борелевская мера на $\mathbb T$ с бесконечным носителем, $\{ r_n(z)\}_{n=0}^\infty$ – последовательность ортогональных по мере $\sigma $ рациональных функций вида
$$
\begin{equation*}
r_n(z)=\sum_{j=0}^n\varkappa_{n,j}\mathscr L_j(z), \qquad \varkappa_{n,n}\neq 0 ,
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb T}r_n(z)\overline{r_k(z)}\,d\sigma (z)=0, \qquad 0\leqslant k<n<\infty,
\end{equation}
\tag{17}
$$
получаемых процессом ортогонализации системы функций (16). Заметим, что $\overline{\mathscr L_n(1/\overline{z})}=\mathscr L_n(z)^{-1}$ и положим
$$
\begin{equation}
r^*_n(z):=\mathscr L_n(z)\overline{r_n\biggl(\frac{1}{\overline{z}}\biggr)}=\sum_{j=0}^n\overline{\varkappa }_{n,j}\frac{\mathscr L_n(z)}{\mathscr L_{j}(z)},
\end{equation}
\tag{18}
$$
$$
\begin{equation}
\alpha_{n-1}:=-\frac{\overline{r_{n}(a_{n-1})}}{r_{n}^*(a_{n-1})}, \qquad n=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Параметры $\alpha_{0},\alpha_{1},\dots$, определяемые равенством (19), не зависят от старших коэффициентов $\varkappa_{0,0},\varkappa_{1,1},\dots$ (отличных от нуля) рациональных функций $r_{0}(z),r_1(z),\dots$ и называются параметрами Геронимуса меры $\sigma $ относительно последовательности точек $a_0,a_1,a_2,\dots$ . Отметим, что при $a_0=a_1=\dots =0$ имеют место равенства $\mathscr L_n(z)=z^n$, $n=0,1,\dots$, и, следовательно, в этом случае определение (19) совпадает с классическим определением (14). Замечание 3. Система функций (16), а также ортогональные рациональные функции (17), получаемые процессом ортогонализации системы (16), не зависят от точки $a_0$ и, следовательно, параметры Геронимуса $\alpha_1,\alpha_2,\dots $ не зависят от точки $a_0$. От точки $a_0$ зависит только лишь параметр Геронимуса $\alpha_0=-\overline{r_{1}(a_{0})}/r_{1}^*(a_{0})$. Кроме не выписываемых здесь соотношений, связывающих между собой функции $r_n(z)$ и $r_{n-1}(z)$ (их модифицированные аналоги будут приведены в § 2), в [4; п. 6.4] получен Многоточечный вариант теоремы Геронимуса. Пусть $a_0,a_1,a_2,\dots$ – последовательность точек, лежащих в $\mathbb D$, $a_0=0$, $\sigma $ – мера на $\mathbb T$ с бесконечным носителем. Тогда где $\alpha_n$ и $\gamma_n$ – соответственно параметры Геронимуса и параметры Шура меры $\sigma $ относительно последовательности точек $a_0,a_1,\dots$ . Обратим внимание на то, что условие $a_0=0$ в сформулированной теореме весьма существенно. Действительно, если изменить точку $a_0=0$, не меняя точки $a_1,a_2,\dots$, то параметры Шура $\gamma_0,\gamma_1,\dots$ изменятся (см. замечание 2), а параметры Геронимуса $\alpha_1,\alpha_2,\dots$ останутся неизменными (см. замечание 3). Теорема, доказанная Е. А. Рахмановым (см. [5], [6]) в классическом случае, верна и в многоточечном случае (включающем в себя классический). А именно, в [4; п. 6.4] доказан Многоточечный вариант теоремы Рахманова. Пусть $a_0,a_1,a_2,\dots$ – последовательность точек, компактно лежащих в $\mathbb D$, $\sigma $ – мера на $\mathbb T$ такая, что $\sigma' >0$ почти всюду на $\mathbb T$ по мере Лебега, где $\sigma' =d\sigma /dm$ – производная меры $\sigma$ по мере Лебега $m$. Тогда где $\alpha_n$ – параметры Геронимуса меры $\sigma $ относительно точек $a_0,a_1,\dots$ . Заметим, что при $a_0=0$ из (20) и (21) следует, что $\lim_{n\to\infty}\gamma_{n}=0$. Однако, как отмечено после формулировки многоточечного варианта теоремы Геронимуса, неравенство $a_0\neq 0$ приводит к нарушению равенств (20). Тем не менее предельное равенство $\lim_{n\to\infty}\gamma_{n}=0$ имеет место и без условия $a_0=0$. А именно, в § 4 статьи будет доказан Усиленный вариант теоремы Рахманова. Пусть $a_0,a_1,a_2,\dots$ – последовательность точек, компактно лежащих в $\mathbb D$, $\sigma $ – мера на $\mathbb T$ такая, что $\sigma' >0$ почти всюду на $\mathbb T$ по мере Лебега, где $\sigma' =d\sigma /dm$ – производная меры $\sigma$ по мере Лебега $m$. Тогда где $\gamma_n$ и $\alpha_n$ – соответственно параметры Шура и Геронимуса меры $\sigma $ относительно точек $a_0,a_1,\dots$ . Опираясь с одной стороны на теорему Геронимуса в классическом случае, а с другой стороны на теорему Фату о некасательных пределах (см. [7; гл. I, п. 5]), утверждающую, что для меры $\sigma $ на $\mathbb T$ почти всюду по мере Лебега $m$ на $\mathbb T$ имеет место равенство где $\sigma' =d\sigma /dm$, $F(z)$ – функция Каратеодори меры $\sigma$, С. В. Хрущев получил в [8] новое доказательство теоремы Рахманова (в классическом случае), в котором используются свойства классической непрерывной дроби Шура, а не свойства ортогональных многочленов. В основе доказательства С. В. Хрущева лежит представляющая самостоятельный интерес теорема Хрущева [8; теорема 1], которая затем была распространена в [9; теорема 3.4] на многоточечный случай.Многоточечный вариант теоремы Хрущева. Пусть $f(z)$ – функция Шура и пусть многоточечный в точках $a_1,a_2,\dots$, компактно лежащих в $\mathbb D$, алгоритм Шура, примененный к $f(z)$, приводит к последовательности функций $f_0(z)=f(z),f_1(z),\dots$ . Тогда Утверждение до некоторой степени противоположной направленности по отношению к теореме Рахманова доказано в классическом случае Я. Л. Геронимусом в [10]. Вторая теорема Геронимуса. Пусть параметры Шура $\gamma_0,\gamma_1,\dots$ меры $\sigma $ на $\mathbb T$ таковы, что Тогда $\operatorname{supp} \sigma =\mathbb T$, где $\operatorname{supp} \sigma $ – носитель меры $\sigma $. В связи с условием (25) второй теоремы Геронимуса отметим, что при $|\gamma_n|< 1$, $n=0,1,\dots$, имеют место импликации
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\gamma_n=0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\prod_{k=0}^n (1-|\gamma_k|^2)^{1/n}=1 \quad\Longrightarrow\quad \varlimsup_{n\to\infty}\prod_{k=0}^n (1-|\gamma_k|^2)^{1/n}=1.
\end{equation}
\tag{26}
$$
В настоящей статье будет доказан многоточечный вариант второй теоремы Геронимуса, перед формулировкой которого введем следующие обозначения. Через $\xi_a$ будем обозначать меру Дирака с носителем в точке $a$, а через $\xrightarrow[n\to\infty]{*}$ будем обозначать $*$-слабую сходимость мер, зависящих от $n$, при $n\to\infty$. В частности,
$$
\begin{equation*}
\frac{\xi_{a_0}+\dots +\xi_{a_{n-1}}}{n} \xrightarrow[n\to\infty]{*}\eta \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\frac{v(a_0)+\dots +v(a_{n-1})}{n}=\int v(z)\,d\eta (z),
\end{equation*}
\notag
$$
где $v(z)$ – произвольная функция, непрерывная на сфере Римана $\overline{\mathbb C}$. Теорема 1. Пусть $a_0,a_1,\dots$ – точки, лежащие на компакте $E\subset\mathbb D$, и пусть коэффициенты $\gamma_{-1},\gamma_{0},\gamma_1,\dots$ многоточечной (в точках $a_0,a_1,\dots$) непрерывной дроби (9) таковы, что $\operatorname{Re}\gamma_{-1}>0$, $|\gamma_n|<1$, $n=0,1,\dots$ . Тогда справедливы следующие утверждения. 1. Подходящие дроби с четными номерами непрерывной дроби (9) локально равномерно в $\mathbb D$ сходятся к функции Каратеодори $F(z)$, подходящие дроби с нечетными номерами локально равномерно в $\overline{\mathbb C}\setminus\overline{\mathbb D}$ сходятся к функции $F^*(z):=-\overline{F(1/\overline{z})}$, и аналог алгоритма Шура в точках $a_0,a_1,\dots$, примененный к $F(z)$, приводит к исходной непрерывной дроби (9). 2. Если точки $a_0,a_1,\dots$ имеют предельное распределение такое, что
$$
\begin{equation}
\frac{\xi_{a_0}+\dots +\xi_{a_{n-1}}}{n} \xrightarrow[n\to\infty]{*}\eta,
\end{equation}
\tag{27}
$$
где $\eta$ – вероятностная мера с носителем на $E$, и если коэффициенты $\gamma_{-1},\gamma_0,\dots$ непрерывной дроби (9) удовлетворяют условию
$$
\begin{equation}
\varlimsup_{n\to\infty}\prod_{k=0}^n(1-|\gamma_k|)^{1/n}=1,
\end{equation}
\tag{28}
$$
то носитель меры в интегральном представлении (10) Рисса–Херглотца функции Каратеодори $F(z)$ совпадает с $\mathbb T$. Дополнение к теореме 1. Утверждение 2 теоремы 1 останется верным, если пару условий (27) и (28) заменить парой условий В связи с условиями теоремы 1 и дополнения к ней отметим, что при $|\gamma_n|< 1$, $n=0,1,\dots$, наряду с (26) имеют место импликации
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\gamma_n=0 \quad\Longrightarrow\quad \varlimsup_{n\to\infty}\prod_{k=0}^n (1-|\gamma_k|)^{1/n}=1 \quad\Longrightarrow\quad \varlimsup_{n\to\infty}\prod_{k=0}^n (1-|\gamma_k|^2)^{1/n}=1,
\end{equation*}
\notag
$$
а обратные импликации в общем случае неверны. Это означает, что классическая вторая теорема Геронимуса, не являясь следствием теоремы 1, является следствием (при $a_0=a_1=\dots =0$) дополнения к теореме 1. Отметим также, что остается открытым Вопрос. Останется ли теорема 1 верной, если в ее предполагающей части отказаться от условия (27) (сохраняя только лишь компактную принадлежность точек $a_0,a_1,\dots $ кругу $\mathbb D$), а условие (28) оставить без изменения или заменить более сильным условием $\lim_{n\to\infty}\gamma_n=0$? § 2. Модификации многоточечных вариантов теорем Геронимуса и РахмановаЗаметим, что непосредственно из определения функций Каратеодори и Неванлинны (см. начало § 1) следует, что
$$
\begin{equation}
F(z)\in\mathfrak B^{\mathrm c} \quad\Longleftrightarrow\quad G(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n}, \quad\text{где }\ G(z)=iF (\psi (z)) ,
\end{equation}
\tag{29}
$$
$\psi (z)$ – какое-либо дробно-линейное преобразование, переводящее $\mathbb C_+$ в $\mathbb D$. Поэтому класс $\mathfrak B^{\mathrm n}$ функций Неванлинны близок по своим свойствам к классу $\mathfrak B^{\mathrm c}$ функций Каратеодори, и, как известно, теорему Рисса–Херглотца, сформулированную в § 1 для функций Каратеодори $F(z)$, можно модифицировать на случай функций Неванлинны $G(z)$. Действительно, пусть $F(z)$ – функция Каратеодори меры $\sigma$ на $\mathbb T$. Фиксируя в (29) дробно-линейное преобразование обозначим через $\varsigma$ меру на $\overline{\mathbb R}$, определяемую при $L\subset\overline{\mathbb R}$ равенством
$$
\begin{equation}
\varsigma (L)=\sigma (\psi (L)), \quad\text{где }\ \psi (L)=\{ t=\psi (u)\colon u\in L\},
\end{equation}
\tag{30}
$$
и положим $\theta :=\sigma (\{ 1\})=\varsigma (\{\infty \})\geqslant 0$. Из (29) и (10) получим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag G(z)&=iF (\psi (z))=i^2\operatorname{Im} F(0) +i\int_{\mathbb T}\frac{t+\psi (z)}{t-\psi (z)}\,d\sigma (t) \\ \notag &=\operatorname{Re} G(i)+i\int_{\overline{\mathbb R}}\frac{\psi (u)+\psi (z)}{\psi (u)-\psi (z)}\,d\varsigma (u)=\operatorname{Re} G(i)+\int_{\overline{\mathbb R}}\frac{1+uz}{u-z}\,d\varsigma (u) \\ &=\operatorname{Re} G(i)+\theta z+\int_{-\infty }^{\infty }\frac{1+uz}{u-z}\,d\varsigma (u). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{31}
$$
Заметим, что если меры $\sigma$ и $\varsigma$ связаны между собой равенством (30), то $\operatorname{supp}\sigma =\psi (\operatorname{supp}\varsigma)$ и, в частности,
$$
\begin{equation}
\operatorname{supp}\sigma =\mathbb T \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{supp}\varsigma =\overline{\mathbb R},
\end{equation}
\tag{32}
$$
а для производных $\sigma' ={d\sigma}/{dm}$ и $\varsigma' ={d\varsigma}/{dM}$ по мерам Лебега $m$ и $M$ соответственно на $\mathbb T$ и $\mathbb R$ имеет место равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \varsigma' (u) &=\lim_{\Delta u\to 0}\frac{\varsigma ([u,u+\Delta u])}{|\Delta u|} \\ \notag &=\lim_{\Delta u\to 0}\biggl (\frac{\sigma (\psi [u,u+\Delta u])}{m (\psi [u,u+\Delta u])} \,\frac{m (\psi [u,u+\Delta u])}{|\Delta u|}\biggr) \\ &=\sigma' (\psi (u))|\psi' (u)|=\sigma' (\psi (u))\frac{2}{1+u^2}, \qquad u\in\mathbb R. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{33}
$$
Обозначим через $\widetilde{m}$ меру на $\overline{\mathbb R}$, получаемую из меры Лебега $m$ на $\mathbb T$ при помощи равенства $\widetilde{m} (L)=m (\psi (L))$. Тогда в силу (33)
$$
\begin{equation}
\widetilde{m}' (u)=\frac{2}{1+u^2}, \quad\text{где }\ \widetilde{m}' =\frac{d\widetilde{m}}{dM}, \quad u\in\mathbb R.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Из (34) следует, что при $|u|\leqslant C<\infty$
$$
\begin{equation*}
\frac{2}{1+C^2}\leqslant\widetilde{m}' (u)\leqslant 2.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому для всякого ограниченного множества $L$ на прямой $\mathbb R$
$$
\begin{equation}
M(L)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \widetilde{m}(L)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad m (\psi (L))=0,
\end{equation}
\tag{35}
$$
причем (35) верно в силу равенства
$$
\begin{equation*}
L=\bigsqcup_{k\in\mathbb Z} L_k, \quad\text{где }\ L_k:=L\cap [ k,k+1),
\end{equation*}
\notag
$$
и для произвольных множеств $L$ на $\mathbb R$. Пусть $G(z)$ – функция Неванлинны меры $\varsigma $ на $\overline{\mathbb R}$, т.е. функция, задаваемая правой частью равенства (31), и пусть $F(z)=i^{-1}G (\psi^{-1}(z))$ – функция Каратеодори меры $\sigma $ на $\mathbb T$. Из (33), (35) и теоремы Фату (см. (23)) следует, что почти всюду по мере Лебега $M$ на $\mathbb R$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\varsigma' (z)=\frac{2}{1+z^2}\sigma' (\psi (z))=\frac{2}{1+z^2}\operatorname{Re} F (\psi (z)) =\frac{2}{1+z^2}\operatorname{Im} G(z), \qquad z\in\mathbb R,
\end{equation*}
\notag
$$
которое можно считать модифицированным вариантом теоремы Фату. Из (33) и (35) следует также, что
$$
\begin{equation}
\sigma' >0 \ \text{п.в. по мере Лебега $m$ на} \ \mathbb T \quad\Longleftrightarrow\quad \varsigma' >0 \ \text{п.в. по мере Лебега $M$ на} \ \mathbb R.
\end{equation}
\tag{36}
$$
В этом параграфе будет показано, что сформулированные в § 1 утверждения о функциях Каратеодори, определяемых мерами на $\mathbb T$, имеют соответствующие аналоги для функций Неванлинны, определяемых мерами на $\overline{\mathbb R}$. Прежде всего введем в рассмотрение (многоточечный) аналог алгоритма Шура для функций Неванлинны. Для этого наряду с классом $\mathfrak B^{\mathrm n}$ функций Неванлинны будем использовать также и рассмотренный ранее в [11] класс $\mathfrak B^{\mathrm{b}}$ функций $g(z)$, голоморфных в $\mathbb C_+$ и таких, что $|g(z)|\leqslant 1$. Так как
$$
\begin{equation*}
f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm s} \quad\Longleftrightarrow\quad g(z)\in\mathfrak B^{\mathrm{b}}, \quad\text{где }\ g(z)=f (\psi (z)), \quad \psi (z)=\frac{z-i}{z+i} ,
\end{equation*}
\notag
$$
то класс функций $\mathfrak B^{\mathrm{b}}$ близок по своим свойствам к классу $\mathfrak B^{\mathrm s}$ функций Шура. Многоточечный алгоритм Шура, описанный в § 1 для функций класса $\mathfrak B^{\mathrm s}$, можно практически дословно перенести на случай функций класса $\mathfrak B^{\mathrm{b}}$, если вместо лежащих в $\mathbb D$ точек интерполяции $a_1,a_2,\dots$ использовать лежащие в $\mathbb C_+$ точки $d_1,d_2,\dots$; вместо дробно-линейных преобразований при $a_n\in\mathbb D$ переводящих $\mathbb D$ в $\mathbb D$, использовать дробно-линейные преобразования при $d_n\in\mathbb C_+$ переводящие $\mathbb C_+$ в $\mathbb D$, а вместо утверждения 1 использовать его модифицированную версию, а именно,Утверждение 3. Пусть $d\in\mathbb C_+$, $g(z)\in H(\mathbb C_+)$, $|g(d)|< 1$. Тогда При этом Равенства (3), (4), опирающиеся на утверждение 1 и составляющие суть алгоритма Шура, в модифицированной версии алгоритма заменяются опирающимися на утверждение 3 равенствами
$$
\begin{equation}
g_{n+1}(z):= g_n^{\mathrm{b},d_{n+1}}(z) = \frac{g_n(z)-\delta_n}{\psi_{d_{n+1}}(z)(1-g_n(z)\overline{\delta_n})},
\end{equation}
\tag{37}
$$
в которых появляющиеся параметры обозначаются через $\delta_0,\delta_1,\dots$ (для того, чтобы подчеркнуть факт отличия от алгоритма Шура, применяемого к функциям $f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm s}$). Таким образом, многоточечный (в точках $d_1,d_2,\dots $, лежащих в $\mathbb C_+$) аналог алгоритма Шура, примененный к функции $g(z)\in\mathfrak B^{\mathrm{b}}$, приводит либо к тождеству $g(z)\equiv \delta_0$, если $|\delta_0|=1$, либо к конечной (если $|\delta _0|<1,\dots,|\delta _{n-1}|<1,|\delta _n|=1$ при некотором $n\in\mathbb N$) или бесконечной непрерывной дроби
$$
\begin{equation}
\delta _0+\cfrac{(1-|\delta _0|^2)\psi_{d_{1}}(z)}{\overline{\delta }_0\psi_{d_{1}}(z)+\cfrac{1}{\delta _1+\cfrac{(1-|\delta _1|^2)\psi_{d_{2}}(z)}{\overline{\delta }_1\psi_{d_{2}}(z)+\cfrac{1}{\delta _2+\dotsb }}}}\,
\end{equation}
\tag{39}
$$
с коэффициентами $\delta _0,\delta _1,\dots$, по модулю меньшими единицы. Далее, заметим, что наряду с утверждениями 1, 2 и 3 имеет место Утверждение 4. Пусть $d\in\mathbb C_+$, $G(z)\in H(\mathbb C_+)$, $\operatorname{Im} G(d)> 0$. Тогда При этом Как и выше, из равенств
$$
\begin{equation}
G_{-1}(z):=G(z), \qquad \delta_{-1}(z):=G(d_0), \qquad g_0(z):=G^{\mathrm{n},d_0}(z)
\end{equation}
\tag{41}
$$
и утверждения 4 (на начальном шаге) и из равенств (37), (38) и утверждения 3 (на последующих шагах) следует, что многоточечный (в точках $d_0,d_1,\dots $, лежащих в $\mathbb C_+$) аналог алгоритма Шура, примененный к функции $G(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n}$, приводит либо к тождеству $G(z)\equiv G(d_0)=:\delta_{-1}$, если $\operatorname{Im}\delta_{-1}=0$, либо к конечной дроби (если $\operatorname{Im}\delta_{-1}>0$, $|\delta _0|<1$, $\dots$, $|\delta _{n-1}|<1$, $|\delta _n|=1$ при некотором $n\in\mathbb Z_+$), или определяет бесконечную последовательность функций $G_{-1}(z):=G(z)$, $g_0(z):=G^{\mathrm{n},d_0}(z),g_1(z)$, $\dots$ и приводит к бесконечной непрерывной дроби
$$
\begin{equation}
\delta_{-1}+\cfrac{(\delta_{-1}-\overline{\delta}_{-1})\psi_{d_0}(z)} {-\psi_{d_0}(z)+\cfrac{1}{\delta_0+\cfrac{(1-|\delta_0|^2)\psi_{d_{1}}(z)}{\overline{\delta }_0\psi_{d_{1}}(z)+\cfrac{1} {\delta_1+\cfrac{(1-|\delta_1|^2)\psi_{d_{2}}(z)}{\overline{\delta }_1\psi_{d_{2}}(z)+\cfrac{1}{\delta_2+\dotsb }}}}}}\,
\end{equation}
\tag{42}
$$
с коэффициентами $\operatorname{Im} \delta_{-1}>0$, $|\delta_n|<1$, $n=0,1,\dots$ . Коэффициенты $\delta_0,\delta_1,\dots$ непрерывной дроби (42), получаемой применением аналога алгоритма Шура в точках $d_0,d_1,\dots$ к функции Неванлинны $G(z)$ меры $\varsigma$ на $\overline{\mathbb R}$, будем называть параметрами Шура меры $\varsigma$ относительно последовательности точек $d_0,d_1,\dots$ . Далее, перед определением аналога многоточечных параметров Геронимуса меры $\varsigma$ на $\overline{\mathbb R}$ укажем (следуя предложенной в [4], [9] схеме) соотношения для рациональных функций, ортогональных по мере $\varsigma$ на $\overline{\mathbb R}$ с бесконечным носителем. Пусть $d_0,d_1,\dots$ – последовательность точек, лежащих в $\mathbb C_+$, $\psi_{d}(z)=(z-d)/(z-\overline{d})$,
$$
\begin{equation}
\mathscr B_0(z):\equiv 1, \quad \mathscr B_1(z):=\psi_{d_1}(z), \quad\dots, \quad \mathscr B_n(z):=\prod_{k=1}^n\psi_{d_k}(z), \quad\dots ,
\end{equation}
\tag{43}
$$
– последовательность рациональных функций (совпадающая при $d_1=d_2=\dots =i$ с последовательностью $1,\psi (z),\dots,\psi^n(z),\dots$, где $\psi (z)=(z-i)/(z+i)$), и пусть $\varsigma$ – мера на $\overline{\mathbb R}$ с бесконечным носителем, $s_0(z),s_1(z),\dots$ – последовательность ортонормированных по мере $\varsigma $ рациональных функций вида
$$
\begin{equation}
s_n(z)=\sum_{j=0}^n\varkappa_{n,j}\mathscr B_j(z), \qquad \varkappa_{n,n}\neq 0 ,
\end{equation}
\tag{44}
$$
$$
\begin{equation}
\int_{\overline{\mathbb R}}s_n(u)\overline{s_k(u)}\,d\varsigma (u)=\delta_{n,k}, \qquad 0\leqslant n,k<\infty,
\end{equation}
\tag{45}
$$
получаемых процессом ортогонализации системы функций (43). Здесь и далее $\delta_{n,k}$ – символ Кронекера, равный $0$ при $n\neq k$ и равный $1$ при $n=k$. Пусть $\mathscr P_n$ – множество многочленов степени не выше $n$. Так как $s_0(z),\dots, s_n(z)$ – ортонормированный базис в $(n+1)$-мерном пространстве
$$
\begin{equation*}
L_{n+1}=\biggl \{ \frac{p(z)}{\prod_{j=1}^n(z-\overline{d}_j)}\colon p(z)\in\mathscr P_n \biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
со скалярным произведением, задаваемым левой частью равенства (45), то – воспроизводящее ядро пространства $L_{n+1}$, т.е. при всех $s(z)\in L_{n+1}$
$$
\begin{equation*}
\int_{\overline{\mathbb R}}s(u)\overline{h_n(u,w)}\,d\varsigma (u)=s(w).
\end{equation*}
\notag
$$
При $ n=0,1,\dots$ положим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \overline{\psi}_{d_n}(z)=\overline{\psi_{d_n}(\overline{z})},\qquad \overline{\mathscr B}_n(z)=\overline{\mathscr B_n(\overline{z})}, \\ \overline{s}_n(z):=\overline{s_n(\overline{z})}, \qquad s_n^*(z):=\mathscr B_n(z)\overline{s}_n(z) \end{gathered}
\end{equation}
\tag{47}
$$
и заметим, что (с учетом (43) и (44))
$$
\begin{equation}
\overline{\psi }_{d_n}(z)= (\psi_{d_n}(z))^{-1}, \qquad \overline{\mathscr B }_n(z)= (\mathscr B_n(z))^{-1}, \qquad s_n^*(z)=\sum_{j=0}^n\overline{\varkappa}_{n,j}\frac{\mathscr B_n(z)}{\mathscr B_j(z)}.
\end{equation}
\tag{48}
$$
Так как $\psi_{d_n}(d_n)=0$, то имеем равенства
$$
\begin{equation}
s_n^*(d_n)=\overline{k}_{n}, \quad\text{где }\ k_{n}:=\varkappa_{n,n} ,
\end{equation}
\tag{49}
$$
$$
\begin{equation}
\overline{\mathscr B_n(d_n)}s_k(\overline{d}_n)=0 \quad\text{при }\ 0\leqslant k<n \quad\text{и}\quad \overline{\mathscr B_n(d_n)}s_n(\overline{d}_n)=\overline{s_n^*(d_n)}.
\end{equation}
\tag{50}
$$
Заметим также, что все функции множества
$$
\begin{equation*}
\{ \mathscr B_n(z)\overline{s}_l(z) \}_{l=0}^n =\biggl\{ \sum_{j=0}^l\overline{\varkappa}_{l,j}\frac{\mathscr B_n(z)}{\mathscr B_j(z)}\biggr\}_{l=0}^n
\end{equation*}
\notag
$$
лежат в $L_{n+1}$ и образуют ортонормированный базис $L_{n+1}$, так как при $u\in\overline{\mathbb R}$ $|\mathscr B_n(u)|=1$, $\overline{s}_k(u)=\overline{s_k(u)}$ и, следовательно, при $0\leqslant k,l\leqslant n$ в силу (47) и (45)
$$
\begin{equation*}
\int_{\overline{\mathbb R}}\mathscr B_n(u)\overline{s}_k(u)\overline{\mathscr B_n(u)\overline{s}_l(u)}\,d\varsigma (u) =\int_{\overline{\mathbb R}}|\mathscr B_n(u)|^2\overline{s_k(u)}s_l(u)\,d\varsigma (u) =\delta_{k,l}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому с учетом единственности воспроизводящего ядра (см., например, [12]) наряду с (46) имеем также и равенство
$$
\begin{equation}
h_n(z,w)=\mathscr B_n(z)\overline{\mathscr B_n(w)}\sum_{j=0}^n\overline{s}_j(z)s_j(\overline{w}).
\end{equation}
\tag{51}
$$
Из (51) при $w=d_n$, (50), (47) и (49) следует, что
$$
\begin{equation}
h_n(z,d_n)=\mathscr B_n(z)\overline{\mathscr B_n(d_n)}\overline{s}_n(z)s_n(\overline{d}_n) =s_n^*(z)\overline{s_n^*(d_n)} =s_n^*(z)k _{n} ,
\end{equation}
\tag{52}
$$
Из (46), (51) (для индексов $n-1$ и $n$) и (47) получаем равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, s_n(z)\overline{s_n(w)}+h_{n-1}(z,w) &= h_n(z,w) \\ &=\mathscr B_n(z)\overline{\mathscr B_n(w)}\biggl(\overline{s}_n(z)s_n(\overline{w}) +\sum_{k=0}^{n-1}\overline{s}_k(z)s_k(\overline{w})\biggr) \\ &=s_n^*(z)\overline{s_n^*(w)}+\psi_{d_n}(z)\overline{\psi_{d_n}(w)}h_{n-1}(z,w) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и его следствие
$$
\begin{equation}
h_{n-1}(z,w)=\frac{s_n^*(z)\overline{s_n^*(w)}-s_n(z)\overline{s_n(w)}} {1-\psi_{d_n}(z)\overline{\psi_{d_n}(w)}}.
\end{equation}
\tag{54}
$$
Из (52) (с заменой $n$ на $n-1$) и (54) при $w=d_{n-1}$ следует, что
$$
\begin{equation}
k _{n-1} s_{n-1}^*(z)=h_{n-1}(z,d_{n-1})=\frac{s_n^*(z) \overline{s_n^*(d_{n-1})}-s_n(z)\overline{s_n(d_{n-1})}} {1-\psi_{d_n}(z)\overline{\psi_{d_n}(d_{n-1})}}.
\end{equation}
\tag{55}
$$
Из (53) (c заменой $n$ на $n-1$) и (55) при $z=d_{n-1}$ следует, что
$$
\begin{equation}
|k _{n-1} |^2=k _{n-1} s_{n-1}^*(d_{n-1})=\frac{|s_n^*(d_{n-1})|^2-|s_n(d_{n-1})|^2}{1-|\psi_{d_n}(d_{n-1})|^2}.
\end{equation}
\tag{56}
$$
Заменив каждый коэффициент в (55) на комплексно-сопряженный (не меняя при этом переменную $z$), умножив затем левую часть полученного равенства на $\mathscr B_{n-1}(z)$, а правую – на ${\mathscr B_{n}(z)}/{\psi_{d_n}(z)}$ и пользуясь тем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, s_{n-1}(z)=\mathscr B_{n-1}(z)\overline{s^*_{n-1}}(z), \qquad s_{n}(z)=\mathscr B_{n}(z)\overline{s^*_{n}}(z), \\ \psi_{d_n}(z)(1-\overline{\psi }_{d_n}(z)\psi_{d_n}(d_{n-1}))=\psi_{d_n}(z)-\psi_{d_n}(d_{n-1}), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
получим равенство
$$
\begin{equation}
\overline{k }_{n-1} s_{n-1}(z)=\frac{s_n(z)s_n^*(d_{n-1})-s_n^*(z)s_n(d_{n-1})}{\psi_{d_n}(z)-\psi_{d_n}(d_{n-1})}.
\end{equation}
\tag{57}
$$
Исключая $s_n^*(z)$ из (57) и (55), а именно, складывая (57) и (55), умноженные соответственно на
$$
\begin{equation*}
\overline{s_n^*(d_{n-1})} (\psi_{d_n}(z)-\psi_{d_n}(d_{n-1}))\quad\text{и}\quad s_{n}(d_{n-1}) (1-\psi_{d_n}(z)\overline{\psi_{d_n}(d_{n-1})}),
\end{equation*}
\notag
$$
получим с учетом (56) равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\overline{k }_{n-1} \overline{s_n^*(d_{n-1})} (\psi_{d_n}(z)-\psi_{d_n}(d_{n-1}))s_{n-1}(z) \\ &\qquad\qquad +k_{n-1} s_n(d_{n-1}) (1-\psi_{d_n}(z)\overline{\psi_{d_n}(d_{n-1})})s_{n-1}^*(z) \\ &\qquad =\bigl(|s_n^*(d_{n-1})|^2-|s_{n}(d_{n-1})|^2\bigr)s_n(z) =|k_{n-1}|^2(1-|\psi_{d_n}(d_{n-1})|^2)s_n(z), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
эквивалентное равенству
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag s_n(z) &=\frac{\overline{s_n^*(d_{n-1})}}{1-|\psi_{d_n}(d_{n-1})|^2}\biggl [ (\psi_{d_n}(z)-\psi_{d_n}(d_{n-1}))\frac{s_{n-1}(z)}{k_{n-1}} \\ &\qquad - (1-\psi_{d_n}(z)\overline{\psi_{d_n}(d_{n-1})})\overline{\beta }_{n-1}\frac{s_{n-1}^*(z)}{\overline{k}_{n-1}}\biggr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{58}
$$
где
$$
\begin{equation}
\beta_{n-1}=-\frac{\overline{s_n(d_{n-1})}}{s_n^*(d_{n-1})}, \qquad n=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{59}
$$
В частном случае $d_{n-1}=d_n$, учитывая, что
$$
\begin{equation*}
\overline{s_n^*(d_{n-1})}=\overline{s_n^*(d_{n})}=k_{n}, \qquad \psi_{d_n}(d_{n-1})=\psi_{d_n}(d_{n})=0,
\end{equation*}
\notag
$$
равенства (58) имеют следующий (сопоставимый с (13)) вид
$$
\begin{equation*}
s_n(z)=\frac{k_{n}}{k_{n-1}}\psi_{d_n}(z)s_{n-1}(z) -\frac{k_{n}}{\overline{k}_{n-1}}\overline{\beta }_{n-1}s_{n-1}^*(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 4. Равенства (58), полученные в предположении ортонормированности функций $s_n(z)$, а также фигурирующие в них коэффициенты $\beta_{n-1}$, $n=1,2,\dots$, определенные равенствами (59), не зависят от умножения $s_n(z)$ и $s_{n-1}(z)$ на произвольные постоянные $c_n\neq 0$ и $c_{n-1}\neq 0$. Это означает, что равенства (58) и (59) выполняются для любой последовательности ортогональных по мере $\varsigma$ рациональных функций вида (44). Коэффициенты $\beta_{0},\beta_{1},\dots$, определенные равенствами (59), будем называть параметрами Геронимуса меры $\varsigma$ на $\overline{\mathbb R}$ относительно точек $d_0,d_1,d_2,\dots$ . Имеют место следующие модификации теорем, сформулированных в § 1. Модификация теоремы Геронимуса. Пусть $d_0=i$, $d_1,d_2,\dots$ – последовательность точек, лежащих в $\mathbb C_+$, $\varsigma $ – мера на $\overline{\mathbb R}$ с бесконечным носителем. Тогда где $\beta_n$ и $\delta_n$ – соответственно параметры Геронимуса и Шура меры $\varsigma $ относительно точек $d_0=i$, $d_1,d_2,\dots$ . Условие $d_0=i$ в сформулированной теореме существенно, так как параметры $\beta_1,\beta_2,\dots$ Геронимуса меры $\varsigma $ не зависят от $d_0$, а параметры Шура меры $\varsigma $ существенным образом различаются между собой при различных $d_0$. Модификация теоремы Рахманова. Пусть $d_0,d_1,d_2,\dots$ – последовательность точек, компактно лежащих в $\mathbb C_+$, $\varsigma $ – мера на $\overline{\mathbb R}$ такая, что $\varsigma' >0$ почти всюду по мере Лебега на $\mathbb R$, где $\varsigma' =d\varsigma /dM$ – производная меры $\varsigma$ по мере Лебега $M$ на $\mathbb R$. Тогда где $\delta_n$ и $\beta_n$ – соответственно параметры Шура и Геронимуса меры $\varsigma $ относительно точек $d_0,d_1,\dots$ . Модификация теоремы Хрущева. Пусть $g(z)\in\mathfrak B^{\mathrm{b}}$, и пусть многоточечный в точках $d_1,d_2,\dots$, компактно лежащих в $\mathbb C_+$, аналог алгоритма Шура, примененный к $g(z)$, приводит к последовательности функций $g_0(z)=g(z),g_1(z),\dots$ . Тогда Теорема 2 (модификация теоремы 1). Пусть $d_0,d_1,\dots$ – точки, лежащие на компакте $E$ в $\mathbb C_+$, и пусть параметры $\delta_{-1},\delta_0,\dots$ многоточечной (в точках $d_0,d_1,\dots$) непрерывной дроби (42) таковы, что $\operatorname{Im}\delta_{-1}>0$, $|\delta_n|<1$, $n=0,1,\dots$ . Тогда верно следующее. 1. Подходящие дроби с четными номерами непрерывной дроби (42) локально равномерно в $\mathbb C_+$ сходятся к функции Неванлинны $G(z)$, подходящие дроби с нечетными номерами локально равномерно в $\mathbb C_-:=\{ \operatorname{Im} z<0\}$ сходятся к функции $\overline{G}(z):=\overline{G(\overline{z})}$, и аналог алгоритма Шура в точках $d_0,d_1,\dots$, примененный к $G(z)$, приводит к исходной непрерывной дроби (42). 2. Если точки $d_0,d_1,\dots$ имеют предельное распределение такое, что
$$
\begin{equation}
\frac{\xi_{d_0}+\dots +\xi_{d_{n-1}}}{n} \xrightarrow[n\to\infty]{*}\zeta,
\end{equation}
\tag{63}
$$
где $\zeta$ – вероятностная мера с носителем на $E$, и если коэффициенты $\delta_{-1}, \delta_0,\dots$ непрерывной дроби (42) удовлетворяют условию
$$
\begin{equation}
\varlimsup_{n\to\infty}\prod_{k=0}^n(1-|\delta_k|)^{1/n}=1,
\end{equation}
\tag{64}
$$
то носитель меры $\varsigma $ в интегральном представлении (31) Рисса–Херглотца функции Неванлинны $G(z)$ равен $\overline{\mathbb R}$. Дополнение к теореме 2. Утверждение 2 теоремы 2 останется верным, если пару условий (63) и (64) заменить парой условий § 3. Лемма 1 и ее следствияСформулированные в § 2 модификации теорем из § 1 могут быть доказаны при помощи модификаций доказательств соответствующих теорем § 1. Однако более короткий способ состоит в доказательстве приводимой ниже леммы 1, из которой будет следовать, что теоремы, сформулированные в § 1, эквивалентны соответствующим их модификациям, сформулированным в § 2. Лемма 1. Пусть $\sigma$ – мера на $\mathbb T$ с бесконечным носителем, $a_0,a_1,\dots$ – точки, лежащие в $\mathbb D$, $\gamma_0,\gamma_{1},\dots $ и $\alpha_0,\alpha_{1},\dots $ – соответственно параметры Шура и Геронимуса меры $\sigma$ относительно точек $a_0,a_1,\dots$ . Пусть
$$
\begin{equation}
\psi (z)=\frac{z-i}{z+i}, \qquad t_n=\frac{1-a_n}{1-\overline{a}_n}, \quad n=0,1,\dots,
\end{equation}
\tag{65}
$$
$\varsigma$ - мера на $\overline{\mathbb R}$, определенная при $L\subset\overline{\mathbb R}$ равенством $\varsigma (L)=\sigma (\psi (L))$, $\delta_0,\delta_{1},\dots $ и $\beta_0,\beta_{1},\dots $ – соответственно параметры Шура и Геронимуса меры $\varsigma$ относительно точек $d_0,d_1,\dots$, где $d_n=\psi^{-1}(a_n)$, $n=0,1,\dots$ . Тогда Доказательство. Из второго равенства в (65) и равенств получаем равенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag t_{n}\psi_{d_n}(z) &=\frac{1-a_n}{1-\overline{a}_n}\, \frac{z-d_n}{z-\overline{d}_n}=\frac{1-a_n}{1-\overline{a}_n}\, \frac{z-i(1+a_n)/(1-a_n)}{z+i(1+\overline{a}_n)/(1-\overline{a}_n)} \\ \notag &=\frac{z(1-a_n)-i(1+a_n)}{z(1-\overline{a}_n)+i(1+\overline{a}_n)} =\frac{(z-i)-a_n(z+i)}{(z+i)-\overline{a}_n(z-i))} \\ &=\frac{\psi (z)-a_n}{1-\psi (z)\overline{a}_n}=\varphi_{a_n} (\psi (z)), \qquad n=0,1,\dots . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{68}
$$
Пусть ортогональные по мере $\sigma$ функции $r_n(z)$ задаются равенствами (17), а функции $r_n^*(z)$ – равенствами (18). Из (68) и определений (16) и (43) функций $\mathscr L_n(z)$ и $\mathscr B_n(z)$ имеем равенства $\mathscr L_0 (\psi (z))\equiv 1\equiv \mathscr B_0(z)$,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathscr L_n (\psi (z))&=\prod_{k=1}^n\varphi_{a_k} (\psi (z)) \notag \\ &=\prod_{k=1}^nt_k\psi_{d_k}(z)=t_1\dotsb t_n\mathscr B_n(z), \qquad n=1,2,\dots\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{69}
$$
Из (17) и (69) следует, что функции $s_0(z):=r_0 (\psi (z))=\varkappa_{0,0}$,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, s_n(z) &:=r_n (\psi (z))=\sum_{j=0}^n\varkappa_{n,j}\mathscr L_j (\psi (z)) \notag \\ &=\sum_{j=0}^n\varkappa_{n,j}t_1\dotsb t_j\mathscr B_j(z), \qquad n=1,2,\dots \end{aligned}
\end{equation}
\tag{70}
$$
(произведение $t_1\cdots t_j$ при $j=0$ считаем равным 1), во-первых, имеют вид (44) и, во-вторых, ортогональны по мере $\varsigma$, так как $\varsigma (L)=\sigma (\psi (L))$ и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\int_{\overline{\mathbb R}}s_n(u)\overline{s_k(u)}\,d\varsigma (u)=\int_{\mathbb T}r_n(t)\overline{r_k(t)}\,d\sigma (t)=0, \qquad 0\leqslant k<n<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $|t_k|=1$, $k=0,\dots,n$, то из (70), (48), (69) и (18) следует, что при $n=1,2,\dots$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, s^*_n(z) &=\sum_{j=0}^n\overline{\varkappa }_{n,j}\overline{t}_1\dotsb \overline{t}_j\frac{\mathscr B_n(z)}{\mathscr B_{j}(z)} \\ &=\overline{t}_1\dotsb \overline{t}_{n}\sum_{j=0}^n\overline{\varkappa }_{n,j} \frac{\mathscr L_n (\psi (z))}{\mathscr L_{j} (\psi (z))} =\overline{t}_1\dotsb \overline{t}_{n}r^*_n (\psi (z)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому из определений (59) и (19) имеем при $n=1,2,\dots$ равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \beta_{n-1} &=-\frac{\overline{s_n(d_{n-1})}}{s_n^*(d_{n-1})} =-\frac{\overline{r_n (\psi(d_{n-1}))}}{\overline{t}_1\dotsb \overline{t}_{n}r_n^* (\psi(d_{n-1}))} \\ &=-t_1\dotsb t_n\frac{\overline{r_n(a_{n-1})}}{r_n^*(a_{n-1})}=t_1\dotsb t_n\alpha_{n-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следуют равенства (66).
Далее, пусть $F(z)$ – функция Каратеодори меры $\sigma$. Как отмечалось в начале § 2, функция $G(z)=iF (\psi (z))$ является функцией Неванлинны меры $\varsigma$. Пусть многоточечный в точках $a_0,a_1,\dots$ аналог алгоритма Шура, примененный к $F(z)$, определяет последовательность функций
$$
\begin{equation*}
F_{-1}(z)=F(z), \quad f_0(z)=F^{\mathrm{c},a_0}(z), \quad f_1(z), \quad \dots
\end{equation*}
\notag
$$
и приводит к непрерывной дроби (9) с коэффициентами $\gamma_{-1},\gamma_0,\gamma_1,\dots$, а многоточечный в точках $d_0,d_1,\dots$ аналог алгоритма Шура, примененный к $G(z)$, определяет последовательность функций
$$
\begin{equation*}
G_{-1}(z)=G(z), \quad g_0(z)=G^{\mathrm{n},d_0}(z), \quad g_1(z), \quad \dots
\end{equation*}
\notag
$$
и приводит к непрерывной дроби (42) с коэффициентами $\delta_{-1},\delta_0,\delta_1,\dots$ . Покажем, что
$$
\begin{equation}
g_n(z)=t_0\cdots t_nf_n (\psi (z)), \qquad n=0,1,\dots,
\end{equation}
\tag{71}
$$
и имеют место равенства (67). Действительно, из тривиальных равенств
$$
\begin{equation*}
\delta_{-1}=G(d_0)=iF (\psi (d_0))=iF(a_0)=i\gamma_{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
равенств (68) и определений функций $g_0(z)$ и $f_0 (\psi (z))$ (см. (40), (41) и (6), (8)) получаем равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_0(z) &=\frac{iF (\psi (z))-i\gamma_{-1}}{\psi_{d_0}(z) (iF (\psi (z))-\overline{i\gamma_{-1}})} \\ &=\frac{F (\psi (z))-\gamma_{-1}}{t_0^{-1}\varphi_{a_0} (\psi (z)) (F (\psi (z))+\overline{\gamma }_{-1})}= t_0f_0 (\psi (z)), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
совпадающее с (71) при $n=0$. Отсюда с учетом (38) и (4) следует, что
$$
\begin{equation*}
\delta_0=g_0(d_{1})=t_{0}f_0 (\psi (d_{1}))=t_{0}f_0(a_{1})=t_{0}\gamma_0 .
\end{equation*}
\notag
$$
Сделаем индуктивное предположение, что равенства (71) и равенства (67) выполняются при всех индексах от $0$ до $n-1$ включительно. Тогда, учитывая, что $\overline{t}_kt_k=|t_{k}|^2=1$, $k=0,1,\dots$, из (37), (38), (68) и (3), (4) получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_n(z) &=\frac{g_{n-1}(z)-\delta_{n-1}}{\psi_{d_n}(z) (1-\overline{\delta }_{n-1}g_{n-1}(z))} \\ &=\frac{t_{0}\dotsb t_{n-1} (f_{n-1} (\psi (z))-\gamma_{n-1})} {t_{n}^{-1}\varphi_{a_n} (\psi (z)) (1-\overline{\gamma }_{n-1}f_{n-1}(\psi (z)))} =t_{0}\dotsb t_{n}f_n (\psi (z)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, равенства (71) выполняются при всех $n=0,1,\dots$ . Из (71) с учетом (38) и (4) получаем равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \delta_n=g_n(d_{n+1}) &=t_{0}\dotsb t_{n}f_n (\psi (d_{n+1})) \\ &=t_{0}\dotsb t_{n}f_n(a_{n+1})=t_{0}\dotsb t_{n}\gamma_n, \qquad n=0,1,\dots , \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
доказывающие равенства (67).
Лемма 1 доказана. Покажем теперь, что простым следствием доказанной леммы является эквивалентность теорем, сформулированных в § 1 и их модификаций, сформулированных в § 2. Действительно, пусть имеют место предположения леммы 1, а также обозначения, использованные при ее формулировке и доказательстве. Тогда получаем следующее. 1. Из равенств
$$
\begin{equation*}
t_n=\frac{1-a_n}{1-\overline{a}_n}=\frac{i-\overline{d}_n}{i+d_n},
\end{equation*}
\notag
$$
$t_0=1$ при $a_0=0$ (или, что то же самое, при $d_0=i$) и доказанных в лемме 1 равенств (66) и (67) следуют утверждения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \alpha_n=\gamma_n \quad&\Longleftrightarrow\quad t_1\dotsb t_{n+1}\alpha_n=t_0\dotsb t_{n+1}\gamma_n \\ &\Longleftrightarrow\quad \beta_n=t_{n+1}\delta_n,\qquad n=0,1,\dots, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
означающие эквивалентность многоточечной теоремы Геронимуса (см. (20)) и ее модифицированного варианта (см. (60)). 2. Утверждение (36), а также равенства $|\alpha_n|=|\beta_n|$ и $|\gamma_n|=|\delta_n|$, $n=0,1,\dots$ (см. (65), (66) и (67)), означают эквивалентность усиленного варианта теоремы Рахманова (см. (22)) и ее модифицированного варианта (см. (61)).
$$
\begin{equation*}
|g_n(z)|=|t_0\dotsb t_nf_n (\psi (z))|=|f_n (\psi (z))|, \qquad n=0,1,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
то из (34) и (35) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_{\mathbb T}|f_n(t)|^2\,dm(t)=\int_{\mathbb R}|g_n(u)|^2\,d\widetilde{m}(u)=\int_{\mathbb R}|g_n(u)|^2\frac{2}{1+u^2}\,dM(u), \\ |f_0(t)|\,{<}\,1\ \text{п.в. по мере Лебега на}\ \mathbb T \ \ \Longleftrightarrow\ \ |g_0(u)|\,{<}\,1\ \text{п.в. по мере Лебега на}\ \mathbb R. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому многоточечная теорема Хрущева (см. (24)) и ее модифицированный вариант (см. (62)) эквивалентны друг другу. 4. Заметим, что из равенств $a_n=\psi (d_n)$, $n=0,1,\dots$, и равенств (67), дополненных при $n=-1$ равенством $\delta_{-1}=i\gamma_{-1}$, следует, что непрерывная дробь (9), умноженная на $i$, после замены $z$ на $\psi (z)$ превращается с учетом (68) в дробь, эквивалентную дроби (42). Поэтому
$$
\begin{equation}
\pi_{k}^{\mathrm{n}}(z)=i\pi_{k}^{\mathrm{c}} (\psi(z)), \qquad k=0,1,\dots,
\end{equation}
\tag{72}
$$
где $\pi_{k}^{\mathrm{c}}(z)$ и $\pi_{k}^{\mathrm{n}}(z)$ – $k$-е подходящие дроби непрерывных дробей (9) и (42) соответственно. Обозначая через $\rightrightarrows $ локально равномерную сходимость в указываемых далее областях, из (72) и равенства
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\overline{\psi(z)}}=\frac{\overline{z}-i}{\overline{z}+i}=\psi (\overline{z})
\end{equation*}
\notag
$$
получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\pi_{2k}^{\mathrm{c}}(z)\rightrightarrows F(z)\in\mathfrak B^{\mathrm c}, \qquad z\in\mathbb D, \\ &\ \Longleftrightarrow\quad \pi_{2k}^{\mathrm{n}}(z)=i\pi_{2k}^{\mathrm{c}} (\psi(z))\rightrightarrows iF (\psi(z))=G(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n}, \qquad z\in\mathbb C_+, \\ &\pi_{2k+1}^{\mathrm{c}}(z)\rightrightarrows -\overline{F\biggl(\frac{1}{\overline{z}}\biggr)}, \qquad z\in\overline{\mathbb C}\setminus\overline{\mathbb D}, \\ &\ \Longleftrightarrow\quad \pi_{2k+1}^{\mathrm{n}}(z)=i\pi_{2k+1}^{\mathrm{c}} (\psi(z))\rightrightarrows -i\overline{F \biggl(\frac1{\overline{\psi(z)}}\biggr)} =\overline{iF (\psi (\overline{z}))}=\overline{G(\overline{z})}, \qquad z\in\mathbb C_-. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это означает, что утверждения 1 теорем 1 и 2 эквивалентны друг другу. Далее, заметим, что из равенств $a_n=\psi (d_n)$, $n=0,1,\dots$, и определения слабой сходимости мер следует, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\xi_{d_0}+\dots +\xi_{d_{n-1}}}{n} \xrightarrow[n\to\infty]{*}\zeta \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\xi_{a_0}+\dots +\xi_{a_{n-1}}}{n} \xrightarrow[n\to\infty]{*}\eta,
\end{equation*}
\notag
$$
где меры $\zeta$ и $\eta$ связаны между собой равенством (30) (с заменой $\varsigma$ на $\zeta$ и $\sigma$ на $\eta$). Поэтому равенства $|\gamma_n|=|\delta_n|$, $n=0,1,\dots$ (см. (67)), влекущие за собой эквивалентность предположений (28) и (64), а также утверждение (32) об эквивалентности равенств $\operatorname{supp}\sigma =\mathbb T$ и $\operatorname{supp}\varsigma =\overline{\mathbb R}$ означают, что утверждения 2 теорем 1 и 2 эквивалентны друг другу.
§ 4. Доказательство усиленного варианта теоремы РахмановаЗаметим, что в силу (21) доказательства требует только лишь равенство $\lim_{n\to\infty}\gamma_n=0$. Предлагаемое доказательство опирается на предложенную Хрущевым схему доказательства теоремы Рахманова (в классическом случае), в которой будет использован доказанный в [9] многоточечный вариант теоремы Хрущева, сформулированный в § 1 (см. (24)). Пусть $F(z)$ – функция Каратеодори меры $\sigma$,
$$
\begin{equation*}
\gamma_{-1}=F(a_0), \qquad F^{\mathrm{c},a_0}(z)=\frac{F(z)-\gamma_{-1}}{\varphi_{a_0}(z) (F(z)+\overline{\gamma }_{-1})}.
\end{equation*}
\notag
$$
По утверждению 2 $F^{\mathrm{c},a_0}(z)\in\mathfrak B^{\mathrm s}$ и
$$
\begin{equation*}
F(z)=\gamma_{-1}+\cfrac{(\gamma_{-1}+\overline{\gamma }_{-1})\varphi_{a_0}(z)}{-\varphi_{a_0}(z)+\cfrac{1}{F^{\mathrm{c},a_0}(z)}} =\frac{F^{\mathrm{c},a_0}(z)\varphi_{a_0}(z)\overline{\gamma}_{-1}+\gamma_{-1}}{1-F^{\mathrm{c},a_0}(z)\varphi_{a_0}(z)}.
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме Фату о некасательных пределах (см. (23)) почти всюду по мере Лебега на $\mathbb T$ имеет место равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sigma' (z) &=\operatorname{Re} F(z)= \operatorname{Re} \frac{F^{\mathrm{c},a_0}(z)\varphi_{a_0}(z)\overline{\gamma}_{-1}+\gamma_{-1}} {1-F^{\mathrm{c},a_0}(z)\varphi_{a_0}(z)} \notag \\ &=\frac{1-|F^{\mathrm{c},a_0}(z)\varphi_{a_0}(z)|^2}{|1-F^{\mathrm{c},a_0}(z) \varphi_{a_0}(z)|^2}\operatorname{Re} \gamma_{-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{73}
$$
Так как $F(z)$ – функция Каратеодори, то $\operatorname{Re} \gamma_{-1}\geqslant 0$, причем равенство $\operatorname{Re} \gamma_{-1}=0$ невозможно, так как иначе имеет место тождество $F(z)\equiv \gamma_{-1}$, которое приводит к противоречию
$$
\begin{equation*}
0<\int_{\mathbb T}d\sigma (t)=\operatorname{Re} F(0)=\operatorname{Re} F(a_0)=\operatorname{Re} \gamma_{-1}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, так как $\varphi_{a_0}(z)F^{\mathrm{c},a_0}(z)$ – функция Шура, то равенство на множестве положительной меры Лебега на $\mathbb T$ влечет за собой тождество
$$
\begin{equation*}
\varphi_{a_0}(z)F^{\mathrm{c},a_0}(z)\equiv 1, \qquad z\in\mathbb D
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [7; гл. II, следствие 4.2.]), не выполняющееся при $z=a_0$. Таким образом,
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re} \gamma_{-1}>0 , \qquad |1-\varphi_{a_0}(z)F^{\mathrm{c},a_0}(z)|>0 \quad \text{п.в. по мере Лебега на } \ \mathbb T.
\end{equation}
\tag{74}
$$
Из (73), (74) и равенства $|\varphi_{a_0}(z)|=1$ при $z\in\mathbb T$ следует, что почти всюду по мере Лебега на $\mathbb T$
$$
\begin{equation}
\sigma' (z)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1-|F^{\mathrm{c},a_0}(z)\varphi_{a_0}(z)|^2>0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1>|F^{\mathrm{c},a_0}(z)|.
\end{equation}
\tag{75}
$$
Пусть $F_{-1}(z)=F(z),f_0(z)=F^{\mathrm{c},a_0}(z),f_1(z),f_2(z),\dots$ – функции, получаемые при помощи многоточечного (в точках $a_0,a_1,\dots$) алгоритма Шура, примененного к $F(z)\in\mathfrak B^{\mathrm c}$. Так как по условиям теоремы точки $a_0,a_1,\dots$ компактно лежат в $\mathbb D$, то из (75) и (24) имеем импликации
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sigma' (z)>0 \ \text{п.в. на}\ \mathbb T \quad&\Longrightarrow\quad |F^{\mathrm{c},a_0}(z)|<1 \ \text{п.в. на}\ \mathbb T \notag \\ &\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\int_0^{2\pi }|f_n(e^{i\theta })|^2\,d\theta =0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{76}
$$
а также неравенства
$$
\begin{equation*}
|e^{i\theta }-a_n|\geqslant \varepsilon >0 \quad\text{при всех }\ \theta\in [0,2\pi ], \qquad n=1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, пользуясь определением параметров Шура функции Каратеодори $F(z)$, теоремой Коши и неравенством Коши–Буняковского, получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |\gamma_n| &=|f_n(a_{n+1})| \\ \notag &=\biggl|\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathbb T} \frac{f_n(z)}{z-a_{n+1}}\,dz\biggr| =\biggl|\frac{1}{2\pi i}\int_0^{2\pi }f_n(e^{i\theta })\frac{ie^{i\theta }}{e^{i\theta }-a_{n+1}}\,d\theta\biggr| \\ \notag &\leqslant \frac{1}{2\pi } \biggl(\int_0^{2\pi }|f_n(e^{i\theta })|^2\,d\theta\biggr)^{1/2} \biggl(\int_0^{2\pi }\frac{1}{|e^{i\theta }-a_{n+1}|^2}\,d\theta \biggr)^{1/2} \\ &\leqslant \frac{1}{\varepsilon \sqrt{2\pi }}\biggl(\int_0^{2\pi }|f_n(e^{i\theta })|^2\,d\theta\biggr)^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{77}
$$
Из (76) и (77) следует, что
$$
\begin{equation*}
\sigma' (z)>0\ \text{п.в. по мере Лебега на }\ \mathbb T \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\gamma_n=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Усиленный вариант теоремы Рахманова доказан при любых $a_0\in\mathbb D$.
§ 5. Доказательство теорем 1 и 2В силу отмеченной в конце § 3 эквивалентности теорем 1 и 2 достаточно доказать только лишь одну из этих теорем. Докажем теорему 2. Этот выбор обусловлен тем, что предлагаемое ниже доказательство требует введения в случае теоремы 1 ассоциированной с функцией Каратеодори $F(z)$ функции $F^*(z):=-\overline{F(1/\overline{z})}$, $z\in\overline{\mathbb C}\setminus\overline{\mathbb D}$, а в случае теоремы 2 – ассоциированной с функцией Неванлинны $G(z)$ функции $\overline{G}(z):=\overline{G(\overline{z})}$, $z\in\mathbb C_-$, что более удобно. Доказательство теоремы 2 будет опираться на имеющую определенный самостоятельный интерес лемму 2, перед формулировкой которой заметим, что из определений
$$
\begin{equation*}
\psi_{d_n}(z):=\frac{z-d_n}{z-\overline{d}_n}, \qquad n=0,1,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
следует эквивалентность непрерывной дроби (42) дроби
$$
\begin{equation}
\delta_{-1}+\cfrac{(\delta_{-1}-\overline{\delta }_{-1})(z-d_0)}{-(z-d_0) +\cfrac{z-\overline{d}_0}{\delta_0+\cfrac{(1-|\delta_0|^2)(z-d_1)} {\overline{\delta}_0(z-d_1)+\cfrac{z-\overline{d}_1}{\delta_1+\dotsb}}}},
\end{equation}
\tag{78}
$$
с полиномиальными коэффициентами, что предпочтительнее в использовании. Эквивалентность непрерывных дробей (42) и (78) означает, что $n$-й числитель и $n$-й знаменатель дроби (78) получаются соответственно из $n$-го числителя и $n$-го знаменателя дроби (42) их умножением на
$$
\begin{equation*}
\prod_{k=0}^{[(n-1)/2]}(z-\overline{d}_k), \qquad n=1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Хорошо известные трехчленные равенства для числителей $P_n (z)$ и знаменателей $Q_n (z)$ подходящих дробей $\pi_n(z)=P_n(z)/Q_n(z)$ непрерывной дроби (78) имеют при $n=1,2,\dots$ следующий вид:
$$
\begin{equation}
P_{2n} (z)=\delta_{n-1}P_{2n-1} (z)+(z-\overline {d}_{n-1})P_{2n-2} (z),
\end{equation}
\tag{79}
$$
$$
\begin{equation}
Q_{2n} (z)=\delta_{n-1}Q_{2n-1} (z)+(z-\overline {d}_{n-1})Q_{2n-2} (z),
\end{equation}
\tag{80}
$$
$$
\begin{equation}
P_{2n+1} (z)=(z-d_{n}) (\overline{\delta}_{n-1}P_{2n} (z)+(1-|\delta_{n-1}|^2)P_{2n-1} (z)),
\end{equation}
\tag{81}
$$
$$
\begin{equation}
Q_{2n+1} (z)=(z-d_{n}) (\overline{\delta}_{n-1}Q_{2n} (z)+(1-|\delta_{n-1}|^2)Q_{2n-1} (z)),
\end{equation}
\tag{82}
$$
с начальными условиями
$$
\begin{equation}
P_{0}(z)=\delta_{-1}, \qquad P_{1}(z)=-\overline{\delta }_{-1}(z-d_0),
\end{equation}
\tag{83}
$$
Введем следующие обозначения. Пусть $d_0,d_1,\dots$ – последовательность точек, лежащих в $\mathbb C_+$, и пусть $G(z)$ – функция, голоморфная в открытом множестве $\Omega\subseteq\mathbb C_+$, содержащем точки $d_0,d_1,\dots$ . Положим
$$
\begin{equation}
\mathbf G(z):=\begin{cases} G(z),\, z\in\Omega, \\ \overline{G}(z),\, z\in\overline{\Omega}, \end{cases} \quad\text{где }\ \overline{G}(z):=\overline{G(\overline{z})}, \qquad \overline{\Omega}=\{ z\colon \overline{z}\in \Omega\},
\end{equation}
\tag{85}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \begin{gathered} \, \mathbf E_n:=E_n\sqcup \overline{E}_n, \\ \text{где }\ E_n:=\{ d_0,\dots,d_{n-1}\}, \quad \overline{E}_n:=\{ \overline{d}_0,\dots,\overline{d}_{n-1}\}, \quad n=1,2,\dots, \end{gathered}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathbf \Psi_n(z):=\Psi_n(z)\overline{\Psi }_n(z), \\ \text{где }\ \Psi_n(z):=\prod_{k=0}^{n-1}(z-d_k) , \quad \overline{\Psi }_n(z):=\overline{\Psi_n(\overline{z})}=\prod_{k=0}^{n-1}(z-\overline{d}_k), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{86}
$$
$$
\begin{equation}
\Delta_{\mathbf E_n}^\mathbf G:=\det \biggl(\frac{1}{2\pi i} \oint_{\mathbf E_n}\frac{\mathbf G(z)}{\mathbf \Psi_n(z)}z^{l+j-2}\,dz\biggr)_{l,j=1,\dots,n}, \qquad n=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{87}
$$
Здесь и всюду в дальнейшем для всякой функции $\Phi (z)$, определенной на множестве $\Omega\subseteq\mathbb C$, через $\overline{\Phi }(z)$ обозначается функция, определенная на множестве $\overline{\Omega}$ равенством $\overline{\Phi }(z)=\overline{\Phi (\overline{z})}$, а для всякого $m$-точечного множества $E_m$, состоящего из $l\leqslant m$ геометрически различных точек $e_1,\dots,e_l$, и всякой функции $\Phi (z)$, голоморфной в некоторой окрестности $E_m$ с проколами в $e_1,\dots,e_l$, полагаем
$$
\begin{equation*}
\oint_{E_m}\Phi (z)\,dz:=\sum_{j=1}^l\int_{|z-e_j|=\varepsilon_j}\Phi (z)\,dz,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$ столь малы, что $\bigcup_{j=1}^l \{0<|z-e_j|<\varepsilon_j\}$ принадлежит множеству голоморфности $\Phi (z)$. Лемма 2. Пусть непрерывная дробь (78) такова, что Тогда при всех $n=0,1,\dots $ имеют место равенства
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} P_{2n+1} (z)\\ Q_{2n+1} (z)\end{pmatrix} =-(z-d_{n}) \begin{pmatrix} \overline{P}_{2n} (z)\\ \overline{Q}_{2n} (z)\end{pmatrix}, \qquad \pi_{2n+1} (z)=\overline{\pi }_{2n} (z),
\end{equation}
\tag{89}
$$
$$
\begin{equation}
(\pi_{2n+1} -\pi_{2n} )(z)=\frac{\rho_{n}\Psi_{n+1}(z)\overline{\Psi }_{n}(z)}{Q_{2n} (z)Q_{2n+1} (z)},
\end{equation}
\tag{90}
$$
$$
\begin{equation}
(\pi_{2n+2} -\pi_{2n} )(z)=\frac{\delta_{n}\rho_{n}\Psi_{n+1}(z)\overline{\Psi }_{n}(z)}{Q_{2n} (z)Q_{2n+2} (z)},
\end{equation}
\tag{91}
$$
$$
\begin{equation}
\Delta_{\mathbf E_n}^\mathbf G = \prod_{k=0}^{n-1}\frac{\rho_{k}}{|Q_{2k}(d_{k})|^2(d_{k}-\overline{d}_{k})} , \qquad n=1,2,\dots ,
\end{equation}
\tag{92}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \textit{где }\ \Psi_0(z)=\overline{\Psi }_0(z)=1, \quad \rho_{0} :=\delta_{-1}-\overline{\delta }_{-1}, \\ \rho_k:=\rho_{0} \prod_{j=0}^{k-1}(1-|\delta_j|^2), \qquad k=1,2,\dots\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{93}
$$
При $z\in\mathbb C_+$ имеют место неравенства
$$
\begin{equation}
0<\prod_{j=0}^{n-1} (1-|\delta_j\psi_{d_j}(z)|)\leqslant \frac{|Q_{2n}(z)|}{\prod_{j=0}^{n-1}|z-\overline{d}_j|}\leqslant \prod_{j=0}^{n-1} (1+|\delta_j\psi_{d_j}(z)|), \qquad n=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{94}
$$
и их следствия
$$
\begin{equation}
0<\prod_{j=0}^{n-1} (1-|\delta_j|)\leqslant \frac{|Q_{2n}(z)|}{\prod_{j=0}^{n-1}|z-\overline{d}_j|} \leqslant \prod_{j=0}^{n-1} (1+|\delta_j |), \qquad z\in\mathbb C_+, \quad n=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{95}
$$
$$
\begin{equation}
|Q_{2n}(z)|>0, \qquad z\in\mathbb C_+, \quad n=0,1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{96}
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation}
\pi_{2n}(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n}, \quad n=0,1,\dots, \qquad \pi_{2n}(z)\rightrightarrows G(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n}, \qquad \pi_{2n+1}(z)\rightrightarrows \overline{G}(z)
\end{equation}
\tag{97}
$$
локально равномерно в $\mathbb C_+$ и $\mathbb C_-$ соответственно. Функция Неванлинны $G(z)$ совпадает с $\pi_{2n}(z)$ в точках $d_0,\dots,d_{n}$ с учетом кратностей, т.е.
$$
\begin{equation}
\frac{G(z)-\pi_{2n}(z)}{\Psi_{n+1}(z)}\in H(\mathbb C_+).
\end{equation}
\tag{98}
$$
Аналог алгоритма Шура, примененный к функции Неванлинны $G(z)$, приводит к непрерывной дроби (42), эквивалентной (78). Отметим, что утверждения, аналогичные приведенным в лемме 2, могут быть сформулированы и для полиномиальных аналогов непрерывных дробей (5), (9) и (39). В частности, в [13] получен (в неявном виде) аналог равенства (92) для классической непрерывной дроби Шура, а в [14] – для многоточечной непрерывной дроби Шура (5). Доказательство леммы 2. Из начальных условий (83), (84) имеем равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}P_{1} (z)\\ Q_{1} (z)\end{pmatrix} =-(z-d_{0}) \begin{pmatrix} \overline{\delta }_{-1}\\ 1\end{pmatrix} =-(z-d_{0}) \begin{pmatrix} \overline{P}_{0} (z)\\ \overline{Q}_{0} (z)\end{pmatrix}, \qquad \pi_{1} (z)=\overline{\pi }_{0} (z),
\end{equation*}
\notag
$$
совпадающие с равенствами (89) при $n=0$. Сделаем индуктивное предположение, что (89) выполняются для всех индексов от $0$ до $n-1$ включительно. Тогда, пользуясь равенствами (81) и (79), индуктивным предположением (после приведения подобных членов) о справедливости равенств (89) для индекса $n-1$ и еще раз равенством (79), в котором все коэффициенты меняются на комплексно-сопряженные, получим для индекса $n$ равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{P_{2n+1}(z)}{z-d_{n}} &=\overline{\delta}_{n-1}P_{2n} (z)+(1-|\delta_{n-1}|^2)P_{2n-1} (z) \\ &=\overline{\delta }_{n-1}\bigl(\delta_{n-1}P_{2n-1} (z)+(z-\overline{d}_{n-1})P_{2n-2} (z)\bigr)+(1-|\delta_{n-1}|^2)P_{2n-1} (z) \\ &=P_{2n-1} (z)+\overline{\delta }_{n-1}(z-\overline{d}_{n-1})P_{2n-2} (z) \\ &=-(z-d_{n-1})\overline{P}_{2n-2} (z)-\overline{\delta }_{n-1}\overline{P}_{2n-1} (z) =-\overline{P}_{2n} (z), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
доказывающее первое из равенств в (89). Меняя всюду в полученной цепочке равенств букву $P$ на $Q$ и пользуясь соотношениями (82) и (80), получим второе из равенств в (89). Третье – очевидное следствие первых двух.
Далее, действуя по хорошо известной стандартной схеме, после вычитания равенства (82), умноженного на $P_{2n}$, из равенства (81), умноженного на $Q_{2n}$, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(P_{2n+1}Q_{2n}- Q_{2n+1}P_{2n})(z) \notag \\ &\qquad=(z-d_{n})(1-|\delta_{n-1}|^2) ( Q_{2n}P_{2n-1}-P_{2n}Q_{2n-1})(z). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{99}
$$
Аналогичным образом из (79) и (80) получаются равенства
$$
\begin{equation}
(Q_{2n}P_{2n-1}-P_{2n}Q_{2n-1})(z)=(z-\overline{d}_{n-1}) (P_{2n-1}Q_{2n-2}- Q_{2n-1}P_{2n-2})(z),
\end{equation}
\tag{100}
$$
$$
\begin{equation}
(P_{2n}Q_{2n-2}- Q_{2n}P_{2n-2})(z)=\delta_{n-1} (P_{2n-1}Q_{2n-2}- Q_{2n-1}P_{2n-2})(z).
\end{equation}
\tag{101}
$$
С учетом определения (93) чисел $\rho_n$, определения (86) многочленов $\Psi_{n}(z)$ и $\overline{\Psi }_n(z)$ и равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (P_{1}Q_{0}-Q_{1}P_{0})(z) &=-\overline{\delta}_{-1}(z-d_0)+(z-d_{0})\delta_{-1} \\ &=(\delta_{-1}-\overline{\delta }_{-1})(z-d_0)=\rho_{0}(z-d_0) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
последовательное поочередное использование (99) и (100) приводит к равенствам
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &(P_{2n+1}Q_{2n}- Q_{2n+1}P_{2n})(z) \\ \notag &\qquad =(1-|\delta_{n-1}|^2)(z-d_{n})(z-\overline{d}_{n-1}) (P_{2n-1}Q_{2n-2}- Q_{2n-1}P_{2n-2})(z)=\dotsb \\ &\qquad =\biggl(\prod_{j=0}^{n-1}(1-|\delta_j|^2)(z-d_{j+1})(z-\overline{d}_j)\biggr) (P_{1}Q_{0}-Q_{1}P_{0})(z)= \rho_{n}\Psi_{n+1}(z)\overline{\Psi }_{n}(z). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{102}
$$
Из (101) (с заменой $n$ на $n+1$) и (102) следует, что
$$
\begin{equation}
(P_{2n+2}Q_{2n}- Q_{2n+2}P_{2n})(z)=\delta_{n}\rho _{n}\Psi_{n+1}(z)\overline{\Psi }_{n}(z), \qquad n=0,1,\dots\,.
\end{equation}
\tag{103}
$$
После деления равенств (102) и (103) соответственно на $Q_{2n} (z)Q_{2n+1} (z)$ и $Q_{2n} (z)Q_{2n+2} (z)$ получаем равенства (90) и (91). Из (80) (с заменой $n$ на $n+1$) и (89) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{Q_{2n+2}(z)}{z-\overline {d}_{n}} &=\delta_{n}\frac{Q_{2n+1}(z)}{z-\overline {d}_{n}}+Q_{2n}(z) =-\delta_{n}\frac{z-d_{n}}{z-\overline {d}_{n}}\overline{Q}_{2n}(z)+Q_{2n}(z) \\ &=Q_{2n}(z)\biggl(1-\delta_{n}\psi_{d_{n}}(z)\frac{\overline{Q}_{2n}(z)}{Q_{2n}(z)}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{104}
$$
Так как $Q_{0}(z)\equiv 1$, $|\delta_0|<1$, $d_{0}\in \mathbb C_+$ и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\biggl|\delta_0\psi_{d_0}(z)\frac{\overline{Q}_{0}(z)}{Q_{0}(z)} \biggr|<1
\end{equation*}
\notag
$$
при $z\in\mathbb C_+$, то из (104) (при $n=0$) следует (94) при $n=1$.
Сделаем индуктивное предположение, что неравенства (94) выполняются при $z\in\mathbb C_+$ для индекса $n$. В частности, $|Q_{2n}(z)|> 0$ при $z\in\mathbb C_+$. Это означает, что все нули многочлена $Q_{2n}(z)$ лежат в $\mathbb C\setminus \mathbb C_+$ и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\overline{Q}_{2n}(z)}{Q_{2n}(z)}\biggr|\leqslant 1 \quad\text{при }\ z\in\mathbb C_+.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, из неравенств $|\delta_{n}|<1$, $|\psi_{d_{n}}(z)|<$ при $z\in\mathbb C_+$, равенства (104) и индуктивного предположения (см. (94) для индекса $n$) получаем неравенства (94) при $z\in\mathbb C_+$ для индекса $n+1$. Таким образом, неравенства (94) и их следствия – неравенства (95), (96) – доказаны.
Так как непрерывные дроби (42) и (78) эквивалентны, то, приступая к доказательству (97), под $\pi_{n}(z)$ будем понимать $n$-ю подходящую дробь непрерывной дроби (42) (равную $n$-й подходящей дроби непрерывной дроби (78)). В силу условия $\operatorname{Im} \delta_{-1}>0$ леммы 2 (см. (88)) включение $\pi_{0}(z)=\delta_{-1}\in\mathfrak B^{\mathrm n}$ тривиально. При $n=0,1,\dots$ положим $g_{n,n}(z):\equiv \delta_{n-1}$ и обозначим при $0\leqslant k<n<\infty$ через $g_{k,n}(z)$ конечную часть непрерывной дроби (42), начинающуюся с “$\delta_{k-1}+$” и заканчивающуюся на “$+{1}/{\delta_{n-1}}$”. Непосредственно из приведенных обозначений и вида непрерывной дроби (42) вытекают равенства
$$
\begin{equation}
g_{0,n}(z)=\delta_{-1}+\cfrac{ (\delta_{-1}-\overline{\delta }_{-1}) \psi_{d_0}(z)}{-\psi_{d_0}(z)+\cfrac{1}{g_{1,n}(z)}}, \qquad n=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{105}
$$
$$
\begin{equation}
g_{k,n}(z)=\delta_{k-1}+\cfrac{ (1-|\delta_{k-1}|^2) \psi_{d_k}(z)} {\overline{\delta }_{k-1}\psi_{d_k}(z)+\cfrac{1}{g_{k+1,n}(z)}}, \qquad k=1,\dots,n-1, \qquad n=2,3,\dots\,.
\end{equation}
\tag{106}
$$
Заметим, что в силу условий (88) имеем при $n=1,2,\dots$ включения $g_{n,n}(z)=\delta_{n-1}\in\mathfrak B^{\mathrm{b}}$ и цепочку утверждений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag g_{n,n}(z)\in\mathfrak B^{\mathrm{b}} \quad&\Longleftrightarrow\quad g_{n-1,n}(z)\in\mathfrak B^{\mathrm{b}} \\ &\Longleftrightarrow\quad \cdots \quad\Longleftrightarrow\quad g_{1,n}(z)\in\mathfrak B^{\mathrm{b}} \quad\Longleftrightarrow\quad g_{0,n}(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{107}
$$
в которой все утверждения, за исключением последнего, следуют из (106) и утверждения 3, а последнее – из (105) и утверждения 4. Так как $\pi_{2n}(z)=g_{0,n}(z)$, $n=0,1,\dots $, то из цепочки утверждений (107) получаем первое из утверждений в (97).
Пусть $L$ – произвольный компакт в $\mathbb C_+$, и пусть $E$ – компакт в $\mathbb C_+$, содержащий точки $d_0,d_1,\dots$ (см. (88)). В (107) показано, что $g_{1,n}(z)\in\mathfrak B^{\mathrm{b}}$ при $n\geqslant 1$. Поэтому в силу определения класса функций $\mathfrak B^{\mathrm{b}}$
$$
\begin{equation}
|g_{1,n}(z)-g_{1,m}(z)|\leqslant 2 \quad\text{при всех }\ z\in\mathbb C_+ \quad\text{и всех }\ 1\leqslant n,m<\infty.
\end{equation}
\tag{108}
$$
Выражая из равенства (105) $g_{1,n}(z)$ через $g_{0,n}(z)$ (см. (40) в утверждении 4), и учитывая, что $g_{0,n}(z)=\pi_{2n}(z)$, получаем равенство
$$
\begin{equation*}
g_{1,n}(z)=\frac{g_{0,n}(z)-\delta_{-1}}{\psi_{d_0}(z) (g_{0,n}(z)-\overline{\delta }_{-1})} =\frac{\pi_{2n}(z)-\delta_{-1}}{\psi_{d_0}(z) (\pi_{2n}(z)-\overline{\delta }_{-1})}, \qquad n=1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (91) получаем, что при всех $ 1\leqslant n< m<\infty$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &g_{1,m}(z)-g_{1,n}(z)=\frac{\pi_{2m}(z)-\delta_{-1}}{\psi_{d_0}(z) (\pi_{2m}(z)-\overline{\delta }_{-1})}- \frac{\pi_{2n}(z)-\delta_{-1}}{\psi_{d_0}(z) (\pi_{2n}(z)-\overline{\delta }_{-1})} \\ &\qquad =\frac{(\pi_{2m}(z)-\pi_{2n}(z))(\delta_{-1}-\overline{\delta }_{-1})}{\psi_{d_0}(z) (\pi_{2m}(z)-\overline{\delta }_{-1}) (\pi_{2n}(z)-\overline{\delta }_{-1})} \\ &\qquad =\frac{(\delta_{-1}-\overline{\delta }_{-1})}{\psi_{d_0}(z) (\pi_{2m}(z)-\overline{\delta }_{-1}) (\pi_{2n}(z)-\overline{\delta }_{-1})}\sum_{k=n}^{m-1} \frac{\delta_{k}\rho_{k}\Psi_{k+1}(z)\overline{\Psi }_{k}(z)}{Q_{2k} (z)Q_{2k+2} (z)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из полученного равенства видно (с учетом определения (86) многочленов $\Psi_{n}(z)$, неравенств (96), включений $\pi_{2n}(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n}$ (см. (97)), влекущих за собой неравенства $|\pi_{2n}(z)-\overline{\delta }_{-1}|>0$ при $z\in\mathbb C_+$), что разность $g_{1,m}(z)-g_{1,n}(z)$ обращается в нуль в точках $d_1,\dots,d_n$ с учетом кратностей и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\frac{g_{1,m}(z)-g_{1,n}(z)}{\psi_{d_1}(z)\dotsb \psi_{d_{n}}(z)}\in H(\mathbb C_+).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, полагая из (108) по лемме Шварца получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
|g_{1,n}(z)-g_{1,m}(z)|\leqslant 2 |\psi_{d_1}(z)\dotsb \psi_{d_{n}}(z)|\leqslant 2q^{n}, \qquad z\in L, \quad 1\leqslant n< m<\infty .
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, последовательность $\{ g_{1,n}(z)\}_{n=1}^\infty$ функций класса $\mathfrak B^{\mathrm{b}}$ фундаментальна на любом компакте $L\subset \mathbb C_+$ и, следовательно, имеет локально равномерный в $\mathbb C_+$ предел $g(z)\in\mathfrak B^{\mathrm{b}}$. Поэтому в силу (105)
$$
\begin{equation*}
\pi_{2n}(z)=g_{0,n}(z)=\delta_{-1}+\cfrac{ (\delta_{-1}-\overline{\delta }_{-1}) (z-d_0)}{-(z-d_0)+\cfrac{z-\overline{d}_0}{g_{1,n}(z)}} \,\rightrightarrows \, G(z)=\delta_{-1}+\cfrac{ (\delta_{-1}-\overline{\delta }_{-1}) (z-d_0)}{-(z-d_0)+\cfrac{z-\overline{d}_0}{g(z)}}
\end{equation*}
\notag
$$
локально равномерно в $\mathbb C_+$, причем $G(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n}$ в силу утверждения 4. Отсюда и из (89) следует также, что
$$
\begin{equation*}
\pi_{2n+1}(z)=\overline{\pi }_{2n}(z)\rightrightarrows \overline{G}(z)
\end{equation*}
\notag
$$
локально равномерно в $\mathbb C_-$. Утверждения (97) доказаны.
Так как $\Psi_{n+1}(z)$ делит $\Psi _{k+1}(z)$ при всех $k\geqslant n$, то из (97), (91) и (96) следует, что при всех $n=0,1,\dots$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{G(z)-\pi_{2n}(z)}{\Psi_{n+1}(z)} &=\sum_{k=n}^\infty \frac{\pi_{2k+2}(z)-\pi_{2k}(z)}{\Psi_{n+1}(z)} \\ &=\sum_{k=n}^\infty \frac{\delta_{k}\rho_{k}\Psi_{k+1}(z)\overline{\Psi }_{k}(z)}{\Psi_{n+1}(z)Q_{2k} (z)Q_{2k+2} (z)} \in H(\mathbb C_+). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, включение (98) доказано.
Заметим, что в силу (98) первые $n+1$ коэффициентов непрерывных дробей, получаемых применением многоточечного в точках $d_0,d_1,\dots$ аналога алгоритма Шура к функциям Неванлинны $G(z)$ и $\pi_{2n}(z)$, совпадают между собой и равны $\delta_{-1},\delta_0,\dots,\delta_{n-1}$. В силу произвольности $n$ отсюда получаем, что аналог алгоритма Шура, примененный к функции Неванлинны $G(z)$, приводит к непрерывной дроби (42). Приступая к доказательству равенства (92), заметим, что в силу (85)–(87), (89) и (98) определители $\Delta_{\mathbf E_{n+1}}^\mathbf G$ и $\Delta_{\mathbf E_{n}}^\mathbf G$ могут быть записаны в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\nonumber \Delta_{\mathbf E_{n+1}}^\mathbf G =\frac{1}{(2\pi i)^{n+1}}\det \biggl(\oint _{E_{n+1}}\frac{G(z)z^{l+j-2}}{\mathbf \Psi_{n+1}(z)}\,dz + \oint _{\overline{E}_{n+1}}\frac{\overline{G}(z)z^{l+j-2}}{\mathbf \Psi_{n+1}(z)}\,dz\biggr)_{l,j=1,\dots,n+1}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad=\frac{1}{(2\pi i)^{n+1}}\det \biggl(\oint _{E_{n+1}}\frac{\pi_{2n}(z)z^{l+j-2}}{\mathbf \Psi_{n+1}(z)}\,dz + \oint _{\overline{E}_{n+1}}\frac{\pi_{2n+1}(z)z^{l+j-2}}{\mathbf \Psi_{n+1}(z)}\,dz\biggr)_{l,j=1,\dots,n+1},
\end{equation}
\tag{109}
$$
$$
\begin{equation}
\Delta_{\mathbf E_{n}}^\mathbf G =\frac{1}{(2\pi i)^{n}}\det \biggl(\oint _{E_{n}}\frac{\pi_{2n}(z)z^{l+j-2}}{\mathbf \Psi_{n}(z)}\,dz + \oint _{\overline{E}_{n}}\frac{\pi_{2n+1}(z)z^{l+j-2}}{\mathbf \Psi_{n}(z)}\,dz\biggr)_{l,j=1,\dots,n}.
\end{equation}
\tag{110}
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, E_1=\{ d_0\}, \qquad \overline{E}_1=\{ \overline{d}_0\}, \qquad \pi_{0}(z)=\delta_{-1}, \qquad \pi_{1}(z)=\overline{\delta }_{-1}, \\ \mathbf \Psi_1(z)=(z-d_0)(z-\overline{d}_0), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
то из (109) при $n=0$ по теореме Коши получаем равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta_{\mathbf E_1}^\mathbf G &=\frac{1}{2\pi i} \biggl(\oint _{E_{1}}\frac{\delta_{-1}}{(z-d_0)(z-\overline{d}_0)}\,dz + \oint_{\overline{E}_{1}} \frac{\overline{\delta }_{-1}}{(z-d_0)(z-\overline{d}_0)}\,dz\biggr) \\ &=\frac{\delta_{-1}}{d_0-\overline{d}_0}+\frac{\overline{\delta }_{-1}}{\overline{d}_0-d_0}= \frac{\rho_{0}}{d_0-\overline{d}_0}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
совпадающее с (92) при $n=1$. Сделаем индуктивное предположение о справедливости (92) для индекса $n$ и докажем (92) для индекса $n+1$.
Так как $\deg P_{2n}(z)\leqslant n$ (в силу трехчленных равенств (79), (81) и начальных условий (83)) и $\deg \mathbf \Psi_{n+1}(z)=2n+2$, то для произвольного многочлена $T(z)$ степени не выше $n$ при $R>\max\{ |d_0|,\dots,|d_{n}|\}$ выполняется равенство
$$
\begin{equation}
\oint_{E_{n+1}}\frac{P_{2n}(z)T(z)\,dz}{\mathbf \Psi_{n+1}(z)}+\oint_{\overline{E}_{n+1}}\frac{P_{2n}(z)T(z)\,dz}{\mathbf \Psi_{n+1}(z)} =\int_{|z|=R}\frac{P_{2n}(z)T(z)\,dz}{\mathbf \Psi_{n+1}(z)}=0.
\end{equation}
\tag{111}
$$
Непосредственно из определения $\pi_{2n}(z)$ имеем при всех $z\in\mathbb C$ тождество а в силу (90), (89) и (86) – также и равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &Q_{2n}(z)\pi_{2n+1}(z)-P_{2n}(z)=Q_{2n}(z) (\pi_{2n+1}(z)-\pi_{2n}(z)) \\ &\qquad =\frac{\rho_{n} \Psi_{n+1}(z)\overline{\Psi }_n(z)}{Q_{2n+1}(z)} =\frac{\rho_{n} \Psi_{n+1}(z)\overline{\Psi }_n(z)}{-(z-d_{n})\overline{Q}_{2n}(z)} =-\frac{\rho_{n} \mathbf \Psi_{n}(z)}{\overline{Q}_{2n}(z)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{113}
$$
Из (111)–(113), определения (86) многочленов $\mathbf \Psi_{n}(z)$, неравенств $\overline{Q}_{2n}(z)\neq 0$ при $z\in\overline{E}_{n+1}$ (см. (96)) и теоремы Коши получаем для произвольного многочлена $T(z)$ степени не выше $n$ равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\oint _{E_{n+1}}\frac{Q_{2n}(z)\pi_{2n}(z)}{\mathbf \Psi_{n+1}(z)}T(z)\,dz +\oint _{\overline{E}_{n+1}}\frac{Q_{2n}(z)\pi_{2n+1}(z)}{\mathbf \Psi_{n+1}(z)}T(z)\,dz \\ \notag &\qquad =\oint _{E_{n+1}}\frac{Q_{2n}(z)\pi_{2n}(z)-P_{2n}(z)}{\mathbf \Psi_{n+1}(z)}T(z)\,dz \\ \notag &\qquad\qquad +\oint _{\overline{E}_{n+1}}\frac{Q_{2n}(z)\pi_{2n+1}(z)-P_{2n}(z)}{\mathbf \Psi_{n+1}(z)}T(z)\,dz \\ \notag &\qquad =-\oint _{\overline{E}_{n+1}}\frac{\rho_{n}\mathbf \Psi_{n}(z)}{\mathbf \Psi_{n+1}(z)\overline{Q}_{2n}(z)} T(z)\,dz =\oint _{\overline{E}_{n+1}}\frac{\rho_{n}}{(d_{n}-z)(z-\overline{d}_{n})\overline{Q}_{2n}(z)} T(z)\,dz \\ &\qquad =2\pi i\frac{\rho_n}{(d_{n}-\overline{d}_{n})\overline{Q_{2n}(d_{n})}}T (\overline{d}_{n}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{114}
$$
Элементарными преобразованиями определителей (точнее, вычитанием из $j$-й строки предыдущей $(j-1)$-й строки, умноженной на $d_{n}$, $j=n+1,\dots,2$, и последующего вычитания из $l$-го столбца предыдущего $(l-1)$-го столбца, умноженного на $\overline{d}_{n}$, $l=n+1,\dots,2$), приведем задаваемый равенством (109) определитель $\Delta_{\mathbf E_{n+1}}^{\mathbf G} $ к виду
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Delta_{\mathbf E_{n+1}}^{\mathbf G} &=\det\biggl(\oint _{E_{n+1}}\frac{\pi_{2n}(z)U_j(z)V_l(z)}{2\pi i\mathbf \Psi_{n+1}(z)}\,dz \notag \\ &\qquad\qquad+\oint _{\overline{E}_{n+1}}\frac{\pi_{2n+1}(z)U_j(z)V_l(z)}{2\pi i\mathbf \Psi_{n+1}(z)}\,dz \biggr)_{j,l=1,\dots,n+1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{115}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, U_1(z)=V_1(z)=1, \\ U_j(z)=z^{j-2}(z-d_{n}), \qquad V_{l}(z)=z^{l-2}(z-\overline{d}_{n}), \qquad j,l=2,\dots,n+1, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и заметим, что $(n\times n)$-матрица, стоящая (при стандартной нумерации строк и столбцов) в нижнем правом углу $ ((n+1)\times (n+1)))$-матрицы в правой части (115), совпадает с матрицей
$$
\begin{equation*}
\biggl(\oint _{E_n}\frac{\pi_{2n}(z)z^{l+j-2}}{2\pi i\mathbf \Psi_{n}(z)}\,dz +\oint _{\overline{E}_n}\frac{\pi_{2n+1}(z)z^{l+j-2}}{2\pi i\mathbf \Psi_{n}(z)}\,dz\biggr)_{l,j=1,\dots,n},
\end{equation*}
\notag
$$
определитель которой в силу (110) равен $\Delta_{\mathbf E_{n}}^{\mathbf G} $. Кроме того, учитывая, что $Q_{2n}(d_{n})\neq 0 $ (см. (96)) и $\deg Q_{2n}(z)\leqslant n$ (в силу трехчленных равенств (80), (82) и начальных условий (84)), имеем при некоторых $t_2,\dots,t_{n+1}$ равенство
$$
\begin{equation*}
\frac{Q_{2n}(z)}{Q_{2n}(d_{n})}=1+\sum_{j=2}^{n+1}t_jU_j(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Добавляя к первой строке матрицы (115) линейную комбинацию последующих строк с коэффициентами соответственно $t_2,\dots,t_{n+1}$, получим, что $l$-й элемент, $l=1,\dots,n+1$, первой строки преобразованной таким образом матрицы (115) с учетом (114) равен
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{Q_{2n}(d_{n})} \biggl(\oint _{E_{n+1}}\frac{\pi_{2n}(z)Q_{2n}(z)}{2\pi i\mathbf \Psi_{n+1}(z)}V_l(z)\,dz +\oint _{\overline{E}_{n+1}}\frac{\pi_{2n+1}(z)Q_{2n}(z)}{2\pi i\mathbf \Psi_{n+1}(z)}V_l(z)\,dz \biggr) \\ &\qquad =\frac{\rho_n}{Q_{2n}(d_{n})(d_{n}-\overline{d}_{n})\overline{Q_{2n}(d_{n})}}V_l (\overline{d}_{n}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
V_1(z)\equiv 1, \qquad V_l (\overline{d}_{n})=0 \quad\text{при }\ l=2,\dots,n+1,
\end{equation*}
\notag
$$
то полученное равенство означает, что все элементы первой строки преобразованной (без изменения определителя) матрицы (115) за исключением первого равны нулю, а первый элемент равен
$$
\begin{equation*}
\frac{\rho_n }{(d_{n}-\overline{d}_{n})|Q_{2n}(d_{n})|^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из вышесказанного следует, что
$$
\begin{equation*}
\Delta_{\mathbf E_{n+1}}^{\mathbf G}= \frac{\rho_n }{(d_{n}-\overline{d}_{n})|Q_{2n}(d_{n})|^2}\Delta_{\mathbf E_{n}}^{\mathbf G}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из индуктивного предположения для индекса $n$ получаем равенство (92) для индекса $n+1$. Лемма 2 доказана. Кроме леммы 2, в основе доказательства теоремы 2 будут лежать формулируемые ниже два результата, ранее доказанные автором соответственно в [15] и [16]. Первый из этих результатов дополняет известную теорему Полиа (см. [17]) об оценке ганкелевых определителей мероморфной функции посредством стандартного (при отсутствии внешнего поля) трансфинитного диаметра множества ее особенностей, а именно, в [15] получен аналог теоремы Полиа при наличии внешнего поля. Формулировку полученного в [15] результата приведем здесь для (наиболее интересного) частного случая, в котором $K$ – компакт на сфере Римана $\overline{\mathbb C}$, а внешнее поле имеет специальный вид $v(z)=-\mathscr V^\lambda (z)$, где
$$
\begin{equation}
\mathscr V^\lambda (z):=-\int\log |z-t|\,d\lambda (t)
\end{equation}
\tag{116}
$$
– логарифмический потенциал единичной положительной борелевской меры $\lambda$ с носителем вне $K$. Напомним (подробнее см. [18]), что трансфинитным диаметром $\mathbf d_{v }{K}$ компакта $K\subset\overline{\mathbb C}$ во внешнем поле $v$, где $v$ – вещественнозначная непрерывная на $K$ функция, называется величина
$$
\begin{equation*}
\mathbf d_{v}K:=\lim_{n\to\infty}\biggl(\max_{z_1,\dots,z_n\subset K}\prod_{1\leqslant q<r\leqslant n}|z_q-z_r|e^{-(v (z_q)+v (z_r))}\biggr)^{2/((n-1)n)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Усиленный вариант теоремы Полиа. Пусть $\mathbf E$ – компакт в $\mathbb C$, $\mathbf G(z)\in H(\mathbf E)$, $\lambda$ – единичная положительная борелевская мера с носителем на $\mathbf E$, $\{\mathbf \Phi_n(z)\}_{n=1}^\infty$ – последовательность голоморфных в $\overline{\mathbb C}\setminus \mathbf E$ функций такая, что локально равномерно в $\overline{\mathbb C}\setminus \mathbf E$. Тогда для всякого компакта $\mathbf K\subset\overline{\mathbb C}$, не пересекающегося с $\mathbf E$, состоящего из конечного числа континуумов и такого, что $\mathbf G(z)$ допускает мероморфное продолжение во все связные компоненты $\overline{\mathbb C}\setminus \mathbf K$, имеющие непустое пересечение с $\mathbf E$, выполняется неравенство где $\mathbf d_{-\mathscr V^\lambda}\mathbf K$ – трансфинитный диаметр компакта $\mathbf K$ во внешнем поле $-\mathscr V^\lambda$. Полученный в [16] результат представляет собой формулу для вычисления трансфинитного диаметра компакта, находящегося во внешнем поле $-\mathscr V^\lambda$. Формула для вычисления $\mathbf d_{-\mathscr V^\lambda }\mathbf K$. Пусть $\mathbf K$ – компакт на сфере Римана $\overline{\mathbb C}$, $\lambda$ – единичная положительная борелевская мера с носителем на компакте $\mathbf E\subset\mathbb C$, не пересекающемся с $\mathbf K$. Тогда где $g_\mathbf K(z,t)$ – функция Грина дополнения $\overline{\mathbb C}\setminus \mathbf K$ с особенностью в точке $z=t$. Обратим внимание на то, что логарифмический потенциал (116) существует только лишь при условии По этой причине формула (118) сформулирована в [16] в чуть более общем виде в терминах всегда существующего сферически нормированного логарифмического потенциала
$$
\begin{equation*}
{\cal V}^\lambda (z):=-\int_{|t|\leqslant 1}\log |z-t|\,d\lambda (t) -\int_{|t|>1}\log \biggl|\frac {z-t}{t}\biggr|\,d\lambda (t),
\end{equation*}
\notag
$$
отличающегося от обычного логарифмического потенциала (в случае его существования) на постоянное слагаемое Это позволило включить в формулировку результата в [16] также и случай $\infty\in \mathbf E$ (который для доказательства теоремы 2 не требуется). Доказательство теоремы 2. Утверждение 1 теоремы 2 о сходимости подходящих дробей непрерывной дроби (42), эквивалентной дроби (78), уже доказано в лемме 2. Докажем утверждение 2 теоремы 2.
Пусть функция Неванлинны $G(z)$ (к которой сходятся подходящие дроби с четными номерами непрерывной дроби (42)) имеет (по теореме Рисса–Херглотца) интегральное представление (31) с мерой $\varsigma $. Действуя от противного, предположим, что $\operatorname{supp} \varsigma \neq \overline{\mathbb R}$. Тогда при некоторых $x\in \mathbb R$ и $\varepsilon >0$ имеет место включение
$$
\begin{equation}
\operatorname{supp} \varsigma \subseteq \mathbf K, \quad\text{где }\ \mathbf K=\overline{\mathbb R}\setminus (x-\varepsilon,x+\varepsilon).
\end{equation}
\tag{119}
$$
Для функции Неванлинны $G(z)$ определим в $\mathbb C_+\sqcup\mathbb C_-$ функцию $\mathbf G(z)$ равенством (85) и заметим, что в силу (31) и (119) функция $\mathbf G(z)$ имеет голоморфное продолжение в $\mathbb C\setminus \mathbf K$, задаваемое равенством
$$
\begin{equation*}
\mathbf G(z)=\operatorname{Re} G(i) +\int_\mathbf K\frac{1+uz}{u-z}\,d\varsigma (u).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $E$ – компакт, лежащий в $\mathbb C_+$ и содержащий точки $d_0,d_1,\dots$ (существование этого компакта – одно из условий теоремы 2). Наряду с введенными перед леммой 2 обозначениями (85)–(87) введем дополнительные обозначения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathbf\Phi_n(z):=\mathbf \Psi_n^{-1}(z), \qquad \mathbf E:=E\sqcup \overline{E}, \\ \zeta_n:=\frac{\sum_{k=0}^{n-1}\xi_{d_k}}{n}, \qquad \overline{\zeta }_n:=\frac{\sum_{k=0}^{n-1}\xi_{\overline{d}_k}}{n}, \qquad \lambda_n:=\frac {\zeta_n+\overline{\zeta}_n}{2}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{120}
$$
Отметим, что из условия (63) теоремы 2 следует, что
$$
\begin{equation}
\zeta_n \xrightarrow[n\to\infty]{*}\zeta, \qquad \overline{\zeta }_n \xrightarrow[n\to\infty]{*}\overline{\zeta }, \qquad \lambda_n \xrightarrow[n\to\infty]{*}\lambda :=\frac {\zeta +\overline{\zeta}}{2},
\end{equation}
\tag{121}
$$
где мера $\overline{\zeta}$ определяется равенством $\overline{\zeta}(L)=\zeta (\overline{L})$ для всякого $L\subset\mathbb C$.
Заметим также, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf E\cap \mathbf K\subseteq \mathbf E\cap \overline{\mathbb R}=\varnothing, \qquad \operatorname{supp}\zeta\subseteq E, \qquad \operatorname{supp}\overline{\zeta}\subseteq \overline{E}, \qquad \operatorname{supp}\lambda\subseteq E\sqcup \overline{E}=\mathbf E,
\end{equation*}
\notag
$$
а из (120), (86) и отмеченной слабой сходимости мер $\lambda_n$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{2n}\log|\mathbf\Phi_n(z)| &=-\frac{1}{2n}\log|\mathbf \Psi_n(z)| =-\frac{1}{2n}\sum_{k=0}^{n-1} (\log |z-d_k|+\log |z-\overline{d}_k|) \\ &=-\int\log |z-t|\,d\lambda_n(t)\,\underset{n\to\infty}{\rightrightarrows} \, -\int\log |z-t|\,d\lambda (t)=\mathscr V^{\lambda }(z) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
локально равномерно в $\overline{\mathbb C}\setminus \mathbf E$. Отсюда по усиленному варианту теоремы Полиа (см. (117)) в обозначениях (87) и (120) имеем неравенство
$$
\begin{equation}
\varlimsup_{n\to\infty} |\Delta^\mathbf G_{\mathbf E_n} |^{1/n^2}= \varlimsup_{n\to\infty}\biggl| \det \biggl(\oint_{\mathbf E}\mathbf G(z)\mathbf\Phi_n(z)z^{j+k-2}\,dz\biggr)_{j,k=1,\dots,n}\biggr|^{1/n^2} \leqslant \mathbf d_{-\mathscr V^\lambda }\mathbf K.
\end{equation}
\tag{122}
$$
Пользуясь леммой 2 (см. (92)), оценим снизу левую часть неравенства (122). С этой целью покажем, что существует предел
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\frac{2}{(n-1)n}\sum_{k=1}^{n-1}\sum_{j=0}^{k-1}\log |d_{k}-\overline{d}_j| =\iint\log|z-t|\,d\overline{\zeta }(t)\,d\zeta (z).
\end{equation}
\tag{123}
$$
Запишем выражение, стоящее после знака предела в левой части (123), в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{2}{(n-1)n}\sum_{k=1}^{n-1}k \int\log |d_k-t|\,d\overline{\zeta}_k(t) \\ &\qquad=\frac{2}{(n-1)n}\sum_{k=1}^{n-1}k \int\log |d_k-t|\,d(\overline{\zeta}_k-\overline{\zeta})(t)+A_n, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{124}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag A_n=\frac{2}{(n-1)n}\sum_{k=1}^{n-1}k \int\log |d_k-t|\,d\overline{\zeta}(t) =\iint\log |z-t|\,d\overline{\zeta}(t)\,d\breve{\zeta }_n(z), \\ \begin{split} \breve{\zeta }_n &:=\frac{2\sum_{k=1}^{n-1}k\xi_{d_{k}}}{(n-1)n}= \frac{2}{n}\biggl(\sum_{k=0}^{n-1}\xi_{d_{k}} -\frac{\sum_{k=0}^{n-2}\sum_{j=0}^k\xi_{d_{j}}}{n-1}\biggr) \\ &= 2\zeta_n-\frac{2\sum_{k=0}^{n-2}(k+1)\zeta_{k+1}}{(n-1)n}. \end{split} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{125}
$$
Так как $E\cap\overline{E}=\varnothing$, то функция $\log |z-t|$ ограничена и равномерно непрерывна на $\{ (z,t)\in (E\times \overline{E})\}$. Поэтому первое слагаемое в правой части (124) в силу (121) стремится к нулю при $n\to\infty$. Второе слагаемое в правой части (124) стремится к правой части (123), так как в силу (125) и (121)
$$
\begin{equation*}
\breve{\zeta}_n \xrightarrow[n\to\infty]{*} 2\zeta -\zeta =\zeta .
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, (123) доказано.
Далее, из (92)–(94) и (123) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\varlimsup_{n\to\infty} |\Delta^\mathbf G_{\mathbf E_n} |^{1/n^2} =\varlimsup_{n\to\infty} \biggl|\prod_{k=0}^{n-1}\frac{\rho_{k}}{(d_{k}-\overline{d}_{k})|Q_{2k}(d_{k})|^2}\biggr|^{1/n^2} \\ \notag &\qquad \geqslant \varlimsup_{n\to\infty}\biggl|\prod_{k=1}^{n-1}\frac{\rho_0}{d_{k}-\overline{d}_{k}} \prod_{j=0}^{k-1} \frac{(1-|\delta_j|^2)}{(1+|\delta_j\psi_{d_j}(d_k)|)^2|d_{k}-\overline{d}_{j}|^2}\biggr|^{1/n^2} \\ &\qquad =\exp \biggl\{ -\iint\log|z-t|\,d\overline{\zeta }(t)\,d\zeta (z)\biggr\} \varlimsup_{n\to\infty}\biggl|\prod_{k=1}^{n-1} \prod_{j=0}^{k-1} \frac{(1-|\delta_j|^2)}{(1+|\delta_j\psi_{d_j}(d_k)|)^2}\biggr|^{1/n^2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{126}
$$
Так как $|\psi_{d_j}(d_k)|<1$, $j,k=0,1,\dots$, и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\varlimsup_{n\to\infty}\biggl|\prod_{k=1}^{n-1} \prod_{j=0}^{k-1} \frac{(1-|\delta_j|^2)}{(1+|\delta_j\psi_{d_j}(d_k)|)^2}\biggr|^{1/n^2}\geqslant \varlimsup_{n\to\infty}\prod_{k=1}^{n-1} \prod_{j=0}^{k-1} (1-|\delta_j|)^{2/n^2} \\ &\qquad =\varlimsup_{n\to\infty}\prod_{j=0}^{n-2}(1-|\delta_j|)^{2(n-1-j)/n^2}\geqslant \varlimsup_{n\to\infty}\prod_{j=0}^{n-2}(1-|\delta_j|)^{2/n}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
то из (126) и предположения (64) теоремы 2 получаем неравенство
$$
\begin{equation}
\varlimsup_{n\to\infty} |\Delta^\mathbf G_{\mathbf E_n} |^{1/n^2}\geqslant \exp \biggl\{ -\iint\log|z-t|\,d\overline{\zeta }(t)\,d\zeta (z)\biggr\}.
\end{equation}
\tag{127}
$$
В связи с дополнением к теореме 2 отметим, что при $j,k=0,1,\dots$
$$
\begin{equation*}
|\delta_j\psi_{d_j}(d_k)|<\biggl|\frac{d_k-d_j}{d_k-\overline{d}_j}\biggr|\leqslant C(E)|d_k-d_j|, \quad \text{где }\ C(E)=\max_{d\in E,\widetilde{d}\in\overline{E}}\frac{1}{|d-\widetilde{d}|}<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
и если существует предел $\lim_{n\to\infty}d_n=d\in\mathbb C_+$, то
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^{n-1}\prod_{j=0}^{k-1} (1+|\delta_j\psi_{d_j}(d_k)|)^{2/n^2}=1, \qquad \zeta_n=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\xi_{d_k}\,\underset{n\to\infty}{\overset {*}\longrightarrow }\zeta =\xi_d .
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому неравенство (127) является в этом случае следствием (126) и предположения
$$
\begin{equation*}
\varlimsup_{n\to\infty}\prod_{j=0}^{n} (1-|\delta_j|^2)^{1/n}=1
\end{equation*}
\notag
$$
(более слабого, по сравнению с предположением (64) теоремы 2).
Оценим теперь сверху правую часть неравенства (122). Из определения (119) компакта $\mathbf K$ следует, что $g_\mathbf K(z,t)>g_{\overline{\mathbb R}}(z,t)$ при $z,t\in \mathbb C\setminus\overline{\mathbb R}$. Поэтому при всех $z,t\in \mathbf E$ имеем неравенство $g_\mathbf K(z,t)>g_{\overline{\mathbb R}}(z,t)+\epsilon$, где $\epsilon >0$. Отсюда и из (118) получаем строгое неравенство
$$
\begin{equation}
\mathbf d_{-\mathscr V^\lambda }\mathbf K <\exp \biggl\{\iint (-\log |z-t|-g_{\overline{\mathbb R}}(z,t))\,d\lambda (z)\,d\lambda (t)\biggr \}.
\end{equation}
\tag{128}
$$
Таким образом, в силу неравенства (122), его нижней оценки (127) и верхней оценки (128) имеем строгое неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\exp \biggl\{ -\iint\log|z-t|\,d\overline{\zeta }(t)\,d\zeta (z)\biggr\} \notag \\ &\qquad<\exp \biggl\{\iint (-\log |z-t|-g_{\overline{\mathbb R}}(z,t))\,d\lambda (z)\,d\lambda (t)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{129}
$$
По определению функции Грина
$$
\begin{equation*}
g_{\overline{\mathbb R}}(z,t)= \begin{cases} \log \biggl|\dfrac{z-\overline{t}}{z-t}\biggr |,&\text{если } z\ \text{и}\ t\ \text{одновременно лежат в}\ \mathbb C_+\ \text{или}\ \mathbb C_- , \\ 0,&\text{если}\ z\ \text{и}\ t\ \text{лежат в разных компонентах}\ \mathbb C\setminus\overline{\mathbb R}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\log |z-t|+g_{\overline{\mathbb R}}(z,t) \\ &\qquad =\begin{cases} \log |z-\overline{t}|,&\text{если}\ z\ \text{и}\ t\ \text{одновременно лежат в}\ \mathbb C_+\ \text{или}\ \mathbb C_- , \\ \log |z-t|,&\text{если}\ z\ \text{и}\ t\ \text{лежат в разных компонентах}\ \mathbb C\setminus\overline{\mathbb R}. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому выражение, стоящее под знаком экспоненты в правой части неравенства (129), равно
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &-\int_{\mathbb C_+}\int_{\mathbb C_+}\log |z-\overline{t}|\,d\lambda (z)\,d\lambda (t) -2\int_{\mathbb C_+}\int_{\mathbb C_-}\log |z-t|\,d\lambda (z)\,d\lambda (t) \\ &\qquad\qquad - \int_{\mathbb C_-}\int_{\mathbb C_-}\log |z-\overline{t}|\,d\lambda (z)\,d\lambda (t) \\ &\qquad=-\iint \log |z-\overline{t}|\frac {d\zeta (z)\,d\zeta (t)}{4} -\iint \log |z-t|\frac {d\overline{\zeta }(t)\,d\zeta (z)}{2} \\ &\qquad\qquad -\iint \log |z-\overline{t}|\frac {d\overline{\zeta }(z)\,d\overline{\zeta }(t)}{4} \\ &\qquad=-\iint \log |z-t|\,d\overline{\zeta }(t)\,d\zeta (z) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и совпадает с выражением, стоящим под знаком экспоненты в левой части строгого неравенства (129). Полученное противоречие означает, что сделанное предположение $\operatorname{supp}\varsigma \neq\overline{\mathbb R}$ невозможно. Следовательно, $\operatorname{supp}\varsigma =\overline{\mathbb R}$.
Теорема 2 и сделанное к ней дополнение доказаны. Как отмечалось в начале этого параграфа, теорема 1 отдельного доказательства не требует в силу ее эквивалентности теореме 2. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bus24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|